OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS (Recopilación de problemas

OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS
(Recopilación de problemas)
PROBLEMARIO
Oficina Técnica
Febrero 2015
Presentación
Con el propósito de apoyar a los alumnos de las escuelas pertenecientes a la Dirección
General de Bachillerato, en su participación en la Fase Regional y Estatal de la Olimpiada de
Matemáticas, el Departamento de Bachillerato a través de la Oficina Técnica elabora el presente
material, consistente en la recopilación de problemas publicados por la Sociedad Matemática
Mexicana en años anteriores, en sus cuadernillos de entrenamiento, con la finalidad de que los
interesados en concursar, posean un material base que les permita conocer el tipo de problemas, así
como el nivel de éstos, de tal forma que los jóvenes reciban un entrenamiento más adecuado.
Los problemas que aquí aparecen comprenden temas variados de Aritmética, Geometría y
Combinatoria. Además, requieren de una buena dosis de ingenio, creatividad y esfuerzo para ser
resueltos, ya que no son ejercicios rutinarios en los que se apliquen directamente los conocimientos
adquiridos en la escuela.
Se incluyen opciones para las respuestas de los problemas, con el fin de que éstas le
muestren ciertas características de la veracidad de su razonamiento. En ocasiones, es conveniente
ignorar las opciones propuestas para acostumbrar al alumno a las condiciones de una competencia.
Para resolverlos, se aconseja el esfuerzo individual, pero también es muy importante comentarlos
con los compañeros y profesores. Además, se tendrá que prescindir de la calculadora, ya que en las
diferentes etapas en que participe, no se permite su uso.
Se espera que este material resulte útil para todas aquellas personas que se interesen en
resolver sus problemas, y al mismo tiempo cumpla con el propósito para el cual fue elaborado.
2
Problemas
A continuación se presentan algunos problemas para mostrar el tipo de matemáticas que se
manejan en las primeras fases de la Olimpiada de Matemáticas.
1. Si ( 6! ) ( 7! ) = n! ¿Cuál es el valor de n? [ n! = 1 · 2 · 3... · (n-1) · n ]
a) 10
b) 12
c) 13
d) 42
e) 52
2.
Cada movimiento en un juego consiste de invertir dos flechas adyacentes, la posición inicial es ↑↑↑↓↓↓ y la posición final es ↑↓↑↓↑↓. ¿Cuál es el número mínimo de movimientos para llegar a esta posición final?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3.
Los niños A,B y C tomaron 13 dulces de una mesa, al final, A dijo tomé 2 dulces más que
B, B dijo tomé la mitad de dulces que A y 5 menos que C, y finalmente C dijo tomé un número par de dulces. Si sabemos que a lo más uno de ellos mentía, ¿quién es el mentiroso?
a) A
b) B
c) C
d) Ninguno
e) Todos
4.
Si el perímetro de un triángulo cualquiera es p y el radio del círculo inscrito es r. ¿Cuál de
las siguientes afirmaciones es cierta en todos los casos?
d) p<3r
e) p=3r2
a) p>2πr
b) p>2πr
c) p2=πr2
5.
¿Cuál es el número más pequeño por el que ha de multiplicarse el número 126 para que el
producto sea un cuadrado perfecto?
a) 81
b) 14
c) 16
d) 20
e) 36
6. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14. ¿Cuál es el área del triángulo?
a) 3
b) 7
c) 12
d) 14
e) 19
7. ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 2, 2, 3?
a) 120
b) 40
c) 30
d) 20
e) 10
8. Dado p(x) = x3 + ax + 1, si p(1) = 1. ¿Cuál es el valor de p(2)?
a) 1
b) 2
c) 5
d) 7
e) 9
9.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar un número entre 400 y 699 (inclusive) tenga sus
tres cifras diferentes?
10
18
81
27
25
a)
b)
c)
d)
e)
25
100
81
50
72
10.
Se tiene un triángulo ΔABC con AB=5, BC=3 y CA=4. Sea ΔA'B'C' un triángulo semejante al ΔABC y tal que su circunferencia inscrita sea la circunferencia circunscrita del ΔABC.
¿Cuánto vale A'C'?
15
25
a)
d)
b) 8
c) 10
e) 13
2
2
3
11.
Si el promedio de tres números es 85 y el promedio de otros dos es 95, ¿cuál es el promedio
de los cinco números?
a) 88
b) 89
c) 90
d) 91
e) 92
12.
Si 2 x = 5 y = 10 . ¿Cuánto vale
a)
13.
1
10
b)
1 1
+ ?
x y
1 1
+
2 5
c) 10
d) 1
e) 5
Dibujar en la figura el camino más corto que puede recorrer la araña que está en A, si únicamente puede caminar sobre la superficie del paralepípedo, para llegar a la mosca que está
en B. ¿Cuál es la longitud del camino?
B
1
1
A
1
3
b) 13
a) 4
c)
d) 3
5
e) 5
14. ¿Cuánto mide el ángulo α en la siguiente figura? (Los lados AB, AD y DC son iguales).
A
∪∪
48°
B
a) 42°
15.
α
D
b) 40°
C
c) 33°
d) 24°
e) 22°
Si ABCD es un cuadrado de lado 2, M es el punto medio de AB y P es la intersección de
los segmentos DB y MC. ¿Cuánto vale PC?
A
M
D
a)
2
3
B
C
b) 1
c)
5
3
d)
2 5
3
e) 2
4
16.
En un cuadrado ABCD de lado 1, E es punto medio de la diagonal BD y F punto medio de
ED. ¿Cuál es el área del triángulo CFD?
3
1
1
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
8
2
8
4
12
17.
La suma de todos los dígitos del número 1099−99 es:
a) 873
b) 874
c) 879
18.
d) 899
e) 901
El lado AC de un triángulo ABC se divide en ocho partes iguales, siete segmentos de recta
paralelos a BC se dibujan desde los puntos de división. Si BC=10, ¿cuánto mide la suma de
las longitudes de los siete segmentos?
B
C
a) 35
b) 70
A
c) 80
d) 89
e) 91
19.
Una “operación” consiste en multiplicar el número inicial por tres y sumarle cinco. Si se
empieza con el número uno, ¿cuál es la cifra de las unidades después de aplicar la operación
1999 veces?
a) 1
b) 2
c) 8
d) 9
e) 10
20.
Un estratega francés de la Segunda Guerra Mundial tiene el siguiente problema: la distancia
(en línea recta) de Chálons a Vitry es de 30 km; de Vitry a Chaumont 80 km; de Chaumont a
St. Quetin 236 km; de St. Quetin a Reims 86 km y de Reims a Chálons 40 km ¿cuál es la distancia en línea recta que hay entre Reims y Chaumont?
a) 110 km
b) 120 km
c) 322 km
d) 150 km
e) 190 km
21.
La hierba en un prado crece con densidad y rapidez homogéneas. Sabiendo que 70 vacas consumen la hierba en 24 días y 30 vacas en 60 días, ¿cuántas vacas consumirán la hierba en 96
días?
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 25
22.
Si un cubo de arista igual a cinco se parte en cubos de arista igual a uno, entonces la suma de
las longitudes de todas las aristas de todos los nuevos cubos es:
a) 300
b) 400
c) 2000
d) 1500
e) 900
23.
Un cuadrado tiene perímetro P y área Q. Dada la ecuación 3P=2Q, determine el valor de P.
a) 10
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
5
24.
El 70% de los habitantes de un país habla un idioma y 60% de la misma población habla otro
idioma. ¿Qué porcentaje de la población habla los dos idiomas, sabiendo que cada habitante
habla al menos uno de ellos?
a) 70%
b) 60%
c) 30%
d) 10%
e) 40%
25.
Dados dos números a y b, se define la operación ♦ de la siguiente manera: a♦b=a+b+ab.
¿Cuál es el valor de 1♦1/2♦1/3♦...♦1/1999?
1000
1
a)
c) 1000+
b) 1999
d) 2000
e) 2999
1999
1999
26.
¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación: 2 3+ x + 2 3−x = 65 ?
a) 3
b) 2
c) 19
d) 0
e) 5
27.
Se tienen nueve ciudades y se quieren construir carreteras entre pares de ellas, de tal forma
que sea posible viajar entre cualesquiera dos de ellas. ¿Cuál es el mínimo número de carreteras que se deben construir?
a) 8
b) 9
c) 18
d) 36
e) 42
28.
Un hombre nació en el año x2 y murió en el año y2 (donde los números x, y son enteros positivos). Considérese que murió en el día de su cumpleaños. Se sabe que vivió entre el año
1800 y el 2000. ¿Cuántos años vivió el hombre?
a) 43
b) 44
c) 78
d) 87
e) 90
29. Si x 2 + 8x − 2 = 0 . ¿Qué número representa la expresión x 4 + 8x 3 + 16 x + 10 ?
a) 0
b) 8
c) 10
d) 14
30.
e) 16
Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a ocho y se dibuja un círculo que pasa a través de
los vértices A y D, y es tangente al lado BC. El radio del círculo es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
1 ⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛
31. Si ⎜1 + ⎟ ⎜1 − ⎟ = 1 , entonces m es igual a:
⎝ n ⎠ ⎝ m ⎠
b) n+1
c) 2n
a) n−1
d)
n2 +1
e) n
32.
Si ABCD es trapecio de bases AB=8 y CD=2 y sus diagonales se cortan en E, la razón del
área del trapecio entre el área del triángulo ABE es:
a) 8
b) 4
c) 25/16
d) 16/25
e) 3
33.
Si los números a,b,c satisfacen las siguientes igualdades:
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
+ + = 1,
− + = ,
+ − = 0 , entonces, a + 2b + 3c es igual a:
a b c
a b c 3
a b c
a) 6
b) 12
c) 18
d) 26
e) 26
6
34.
En la siguiente figura, el área del triángulo chico es 8. ¿Cuál es el área del triángulo grande?
a
2a
2b
a) 20
35.
3b
b) 24
c) 28
d) 30
e) 32
Un punto P está fuera de un círculo, a una distancia 13 del centro. Una secante trazada desde P corta a la circunferencia en Q y R, de tal manera que el segmento externo de la secante
PQ, mide 9 y QR mide 7. El radio del círculo es:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
36. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación: 99 − 97 + 95 − 93 + ... + 3 − 1 = ?
a) 48
b) 64
c) 32
d) 50
e) 0
37.
Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de
cortar. ¿Qué fracción de pastel original quedó después de cortar tres veces?
2
4
4
8
8
a)
b)
c)
d)
e)
3
3
9
9
27
38.
En un triángulo equilátero ABC se dividen los lados en tres partes iguales. Sean las divisiones M, N, O, P, Q y R como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región NPRQ, si
el área del triángulo ABC es 18?
A
M
Q
N
a) 12
39.
B
R
O
P
C
b) 10
c) 9
d) 8
e) 7
El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes al círculo cuyo centro es
O y cuyo radio es 3 . El área del cuadrilátero AOBC es igual a:
A
O
C
B
a) 2 3
b) π 3
c) 2π
d) 3 3
e) 3π
7
40.
Un costal está lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando canicas del
costal. ¿Cuál es el número mínimo de canicas que deben sacarse para poder garantizar que
en la colección tomada habrá al menos 100 canicas del mismo color?
a) 1960
b) 1977
c) 1981
d) 1995
e) 2001
41.
En el rectángulo de la siguiente figura, M y N son los puntos medios de AD y BC, respectivamente, y P y Q son las respectivas intersecciones de AC con BM y con ND. Suponiendo
que AD mide 5 y que AB mide 3, ¿cuál es la superficie del cuadrilátero MPQD?
A
M
D
P
Q
B
a) 2.75
N
b) 3
C
c) 3.25
d) 3.75
e) 4
42.
A una cantidad le sumo su 10%, y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda?
a) 98
b) 99
c) 100
d) 101
e) 102
43.
Utilizando cada una de las cifras 1, 2, 3, 4 se pueden escribir diferentes números, por ejemplo, podemos escribir 3241. ¿Cuál es la diferencia entre el más grande y el más pequeño de
los números que se construyen así?
a) 2203
b) 2889
c) 3003
d) 3087
e) 3333
44.
El boleto de entrada al Palacio de las Ciencias cuesta 5 pesos por niño y 10 pesos por adulto. Al final del día 50 personas visitaron el Palacio y el ingreso total de las entradas fue de
350 pesos. ¿Cuántos adultos visitaron el Palacio?
a) 18
b) 20
c) 25
d) 40
e) 45
45.
El entrenador más experimentado del circo necesita 40 minutos para bañar un elefante. Su
hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el entrenador y su
hijo en bañar 3 elefantes trabajando juntos?
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
e) 100
46.
Una acción en la bolsa de valores vale 1499 pesos en mayo. De mayo a junio la acción aumenta 10% y de junio a julio la acción disminuye 10%. ¿Cuántos pesos vale a fin de julio?
a) 1450
b) 1400
c) 1390
d) 1386
e) 1376
47.
Si se efectúa el producto de todos los números impares comprendidos entre 1 y 1994, ¿cuál
es la cifra de las unidades del número así obtenido?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
48.
¿Cuánto vale la suma de las cifras del número N = 1092 − 92 ?
a) 1992
b) 992
c) 818
d) 808
e) 798
8
49.
A cierta persona le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito y observó que la
suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es cero; además el número es
múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
50.
En el cubo siguiente, ¿de cuántas formas se puede ir de A a B, sobre las aristas sin pasar
dos veces por el mismo vértice y no se permite subir?
A
B
a) 10
51.
b) 11
c) 12
d) 13
Alicia va al club cada día; Beatriz va cada 2 días; Carlos va cada 3; Daniel cada 4; Enrique
cada 5; Francisco cada 6 y Gabriela cada 7. Si hoy están todos en el club, ¿dentro de cuántos días será la primera vez que vuelvan a reunirse?
a) 27
b) 28
c) 210
d) 420
e) 5040
52. Dos enteros a>1 y b>1 satisfacen a b + ba = 57 . Encontrar el valor de a + b .
a) 5
b) 7
c) 10
d) 12
53.
e) 16
e) 57
En la siguiente figura AD=DC, AB=AC, el ángulo ∠ABC mide 75° y el ángulo ∠ADC
mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo ∠BAD?
A
D
B
C
a) 30°
b) 85°
c) 95°
d) 125°
e) 140°
54.
Si “x” es un número par y “y” un número impar, ¿cuál de los siguientes números no es impar?
y+y
x2
d)
a) x + y
e) xy + 1
b) x + x + 1
c)
2
2
55.
Sea f una función de números tal que f (2) = 3 y f (a + b) = f (a ) + f (b) + ab , para toda a y b.
Entonces f (11) es igual a:
a) 22
b) 33
c) 44
d) 55
e) 66
56.
Un poliedro de forma parecida a la de un balón de fútbol tiene 32 caras: 20 son hexágonos
regulares y 12 son pentágonos regulares. ¿Cuántos vértices tiene el poliedro?
a) 72
b) 90
c) 60
d) 56
e) 54
9
57.
Cinco amigos P, Q, R, S y T se dan la mano. Tanto P como Q estrecharon la mano de uno
solo de sus amigos, mientras R, S y T estrecharon cada uno la mano de dos de sus amigos. Se
sabe que P estrechó la mano de T. ¿Quiénes se puede asegurar que no se dieron la mano?
a) T y S
b) T y R
c) Q y R
d) Q y T
e) Q y S
58. ¿Cuál es la longitud de x en la siguiente figura, si CD=18 y EF=10?
A
B
C
D
x
E
a) 116
F
b) 4 10
c) 9
d) 12
e) 18
59.
Jorge y Raúl apostaron según las siguientes reglas: van a lanzar un dado normal (con los números del 1 al 6 en sus caras) y una moneda (con los números 1 y 2 marcados en sus caras).
Después multiplicarán el número que salga en el dado con el que salga en la moneda. Si el resultado es par gana Jorge, y si es impar gana Raúl. ¿Qué probabilidad de ganar tiene Jorge?
1
2
5
1
3
a)
b)
c)
d)
e)
3
2
3
4
6
60.
Una caja que compró Lupita está llena de chocolates en forma de cubo. Primero se comió
todos los del piso de arriba, que eran 77; después se comió 55, que eran los que quedaban en
un costado; finalmente se comió los que quedaban enfrente. Sobraron algunos chocolates en
la caja, ¿cuántos?
a) 203
b) 256
c) 295
d) 300
e) 350
61.
En la siguiente figura, los puntos P, Q, R y S dividen respectivamente a cada lado del rectángulo en la razón 1:2. ¿Cuál es el cociente entre el área del paralelogramo PQRS y el área de
ABCD?
A
P
B
Q
S
D
a)
2
5
R
b)
3
5
C
c)
4
9
d)
5
9
e)
2
3
10
62.
En la figura, ABCDE representa un pentágono regular de una unidad de lado y ABQ es un
triángulo equilátero. ¿Cuántos grados mide el ángulo ∠BCQ?
A
E
B
Q
D
a) 45°
C
b) 54°
c) 60°
d) 66°
e) 72°
63.
Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera que si del montón
A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos al C tantas canicas
como hay en el C y del C pasamos al A tantas como existen ahora en el A, tendremos el
mismo número de canicas en cada montón. ¿Cuántas canicas había al principio en el montón
A?
a) 16
b) 19
c) 20
d) 22
e) 30
64.
En la siguiente figura, cada lado del cuadrado más pequeño mide 3 y cada lado del cuadrado más grande mide 6. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado?
6
3
3
a) 6
6
b) 10
c) 12
d) 18
e) 24
65.
Se escriben los números enteros del 0 al 2000 y se dibujan flechas entre ellos con el siguiente
patrón:
1
1
1
è
0 è 1
3
6 è 7
9
2
3
5
ê ì ê
é
ê ì ê
é
ê ì
1
1
1
è
2
4 è 5
8
0
1
4
Y así sucesivamente. ¿Cuál es la sucesión de flechas que llevan del 1997 al 2000?
a) èêì
b) ìêè
c) êèé
d) èéè
e) éèê
66.
Marcos compró una bolsa con 2000 caramelos de cinco colores; 387 eran blancos, 396
amarillos, 402 rojos, 407 verdes y 408 cafés. Decidió comerse los caramelos de la siguiente
forma: sin mirar sacaba tres de la bolsa. Si los tres eran del mismo color, se los comía, si
no, los regresaba a la bolsa. Continuó así hasta que sólo quedaron dos caramelos en la bolsa. ¿De qué color eran estos caramelos?
a) blancos
b) cafés
c) rojos
d) verdes
e) amarillos
11
67.
Un pedazo rectangular de piel mágica se reduce a la mitad de su longitud y a la tercera parte de su ancho después de cumplirle un deseo a su dueño. Después de tres deseos tiene un
área de 4 cm2. Si su ancho inicial era de 9 cm, ¿cuál era su largo inicial?
a) 32 cm
b) 96 cm
c) 144 cm
d) 288 cm
e) faltan datos
68.
Pedro tiene dos relojes de arena de diferente tamaño. En el primer reloj cada centímetro
cúbico de arena pasa en un minuto y en el segundo reloj esa misma cantidad de arena pasa
en tres minutos. En ambos relojes la arena total pasa en el mismo tiempo. Si el primer reloj
contiene 27 cm3 de arena, ¿cuántos centímetros cúbicos de arena contiene el segundo?
a) 3
b) 6
c) 9
d) 27
e) 81
69.
Se tienen seis números enteros A, B, C, D, E, F que cumplen lo siguiente: C=AB, D=BC,
E=CD y F=DE (es decir, a partir del tercero, cada uno es el producto de los dos anteriores). Si se sabe que A=2 y que F=6075000, ¿cuánto vale B+C+D+E?
a) 12345
b) 12525
c) 13000
d) 13995
e) 14555
70.
¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 71998?
a) 01
b) 07
c) 18
d) 43
e) 49
71. Los lados de un triángulo miden 2, 3, “x”. Si el área también es “x”, ¿cuánto vale “x”?
a) 1
b) 2
d) 3
e) 5
c) 5
72.
En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un solo punto), los tres círculos son del mismo tamaño y su radio es igual a 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
a) 12 − π
b) 12 − 2π
c) 2 12 − 2π
d) 12 − 4π
e) 12 −12π
73.
Un vendedor tiene seis canastas de frutas, unas de puras naranjas y otras de puras manzanas. Las seis canastas tienen 8, 12, 14, 17, 19 y 23 frutas respectivamente, pero no se sabe
cuáles son de naranjas y cuáles de manzanas. La persona vendió una canasta completa, y en
total en las restantes cinco canastas quedaron el doble de naranjas que de manzanas. ¿Cuántas naranjas le quedan en total al vendedor?
a) 25
b) 27
c) 40
d) 53
e) 54
74.
En cierta escuela, uno de 69 alumnos tiene promedio de 10, uno de 87 alumnos está becado
y uno de 29 alumnos domina el inglés. Con estas condiciones, ¿cuál es el número mínimo
de alumnos que puede tener la escuela?
a) 29
b) 87
c) 185
d) 2001
e) 174087
75.
Considera el paralelogramo ABCD con los puntos P, Q y R indicados. Si ∠ARQ=150°,
∠QPC=35° y ∠PCB=45°, ¿cuánto vale ∠PQR?
12
D
P
C
Q
A
a) 50°
R
b) 60°
B
c) 65°
d) 70°
e) 75°
76.
Un punto P está fuera de un círculo, a una distancia 13 del centro. Una secante trazada desde P corta a la circunferencia en Q y R de tal manera que el segmento externo de la secante
PQ mide 9 y QR mide 7. ¿Cuál es la longitud del radio del círculo?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
77.
Una escalera tiene numerados los escalones a partir del 0 en orden creciente hacia arriba: 0,
1, 2, 3, 4, 5, ... Una rana está en el escalón 0, salta cinco escalones hacia arriba hasta el escalón 5 y luego dos para abajo hasta el escalón 3, después sigue saltando alternando cinco
escalones para arriba y dos para abajo. La sucesión de escalones que pisa la rana es 0, 5, 3,
8, 6, ... ¿Cuál de los siguientes escalones no pisa la rana?
a) 1997
b) 1998
c) 1999
d) 2000
e) 2001
78.
Un círculo cuyo radio mide una unidad está inscrito en un cuadrado, y éste a su vez está
inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el radio del círculo circunscrito?
a) 1
b)
2
c)
2 /2
d)
3
e)
3 /2
79.
Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros de igual longitud. Si el
triángulo tiene área igual a dos, ¿cuál es el área del hexágono?
a) 3/4
b) 2
c) 5/2
d) 3
e) 4
80.
El producto de las edades de los hijos de Don Wenceslao es 1664. La edad del más grande
es el doble que la del más pequeño. ¿Cuántos hijos tiene Don Wenceslao?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
81. ¿Cuál es la probabilidad de que un número de tres cifras escogido al azar sea par y mayor
de 399?
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/6
d) 2/3
e) 1/9
82.
En una clase hay 25 alumnos: de ellos 17 alumnos son ciclistas, 13 nadadores y 8 esquiadores. Ningún alumno practica tres deportes. Los ciclistas, nadadores y esquiadores se sacaron
9 en matemáticas. Si seis alumnos de la clase se sacaron 6 en matemáticas, ¿cuántos nadadores saben esquiar?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
13
83.
Si las diagonales de un rombo difieren en 14 unidades y sus lados miden 13 unidades, el
área del rombo es igual a:
c) 108
d) 120
e) 156
a) 28 13
b) 48 3
10 x + 1
es un número entero?
2x − 1
c) 357
d) 358
84. ¿Cuántos números enteros “x” hay tales que
a) 1
b) 8
e) 4
85.
Si a, b, c, d y e son números positivos, tales que ab=1, bc=2, cd=3, de=4 y ea=5, ¿cuál es el
valor de b?
3
8
16
40
a)
2
b)
c)
d)
e) 30
3
10
15
5
86.
El producto de tres dígitos a,b,c es el número de dos dígitos “bc”; el producto de los dígitos b
y c es c. ¿Cuánto vale “a” si c=2?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
87.
Se vende el 20% de una finca de 40 hectáreas, se alquila el 50% del resto y se cultiva el
25% del nuevo resto. Hallar la porción cultivada en hectáreas.
a) 4.5
b) 2
c) 10
d) 4
e) 8
88.
En la siguiente figura, AB=AD=DC. Si el ángulo ∠BAD=48°, ¿cuánto mide el ángulo
∠DAC?
A
B
a) 24°
D
b) 29°
C
c) 33°
d) 40°
e) 42°
89.
¿Cuál es el dígito de las unidades de (1+12)+(2+22)+(3+32)+(4+42)+ ... +(2000+20002)?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
90.
¿Cuántas cantidades diferentes de dinero se pueden pagar con cambio exacto si se tienen
dos monedas de un peso y dos monedas de 50 centavos?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 6
e) más de 6
91.
En una hoja de papel cuadriculado cada cuadrito mide 1×1. Se coloca una moneda de
diámetro 2 encima de la hoja. ¿Cuál es el máximo número de cuadritos que puede cubrir
parcialmente la moneda? (parcialmente se entiende que la región cubierta en un cuadrito
tenga área mayor que cero).
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
14
92.
En la siguiente figura, WXYZ es un rectángulo, TV es paralela a ZY y U es un punto YZ
de forma que UY mide el doble que UZ. Si el área del cuadrilátero TUVX es 12, ¿cuánto
vale el área del rectángulo WXYZ?
W
T
Z
U
X
a) 16
V
b) 19
Y
c) 21
d) 24
e) 26
93.
Las tres cuartas partes de los alumnos de un grupo son hombres y el resto son mujeres.
¿Cuál es el “quebrado” que representa la razón del número de hombres entre el número de
mujeres?
3
4
3
4
3
a)
b)
c)
d)
e)
4
3
7
7
1
94.
Si cuatro manzanas y dos naranjas cuestan $15.40 y dos naranjas y cuatro plátanos cuestan
$17.00, ¿cuánto se tiene que pagar en total por una manzana, una naranja y un plátano?
a) $7.70
b) $7.80
c) $7.90
d) $8.00
e) $8.10
95.
Una calculadora se descompuso y trabaja de manera muy rara: cuando se le teclea un número, la calculadora lo multiplica por dos, después le voltea todos los dígitos y termina sumando dos al resultado. ¿Cuál de los siguientes números podría ser el que aparece en la
calculadora, si se le tecleó un número de dos cifras?
a) 39
b) 41
c) 42
d) 43
e) 45
96.
Se numeran 2002 tarjetas del 1 al 2002 y se quitan aquéllas que terminen en cero. Después
se vuelven a numerar las que quedan y otra vez se quitan las que terminen en cero. Al final,
¿cuántas tarjetas quedaron?
a) 1622
b) 1620
c) 1000
d) 900
e) 782
97.
Un gato y medio se come un ratón y medio cada hora y media. ¿Cuántos ratones pueden
comer quince gatos en quince horas?
a) 15
b) 45
c) 60
d) 125
e) 150
98.
Los siguientes números:
1
3
, x, y, están en orden creciente y la diferencia entre cuales2
4
quiera dos consecutivos es la misma. ¿Cuánto vale “y”?
3
2
5
5
7
a)
b)
c)
d)
e)
8
3
6
8
12
15
99.
¿Cuál es el doble del cuadrado de la mitad de la diagonal de un cuadrado de lado uno?
1
3
a)
b)
c) 1
e) 2
d) 2
2
4
100. En la figura, ABCD es un cuadrado con AB=1. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo
PQOR?
A
P
D
Q
R
O
B
a)
1
2
C
b)
3
2
c)
2
d) 1
e) no se puede
determinar
101. En una fiesta cada persona saludó a exactamente otras tres personas. Si hubo en total 123
saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?
a) 54
b) 67
c) 77
d) 82
e) 101
102. Si se escriben todos los múltiplos de 5 menores que 2002, ¿cuántos números “uno” se utilizan?
a) 140
b) 200
c) 280
d) 360
e) 400
103. Cuatro paquetes se pesan por parejas en todas las posibles combinaciones. Los pesos obtenidos son 5 kg, 6 kg, 8 kg, 11 kg y 12 kg. El peso total de los cuatro paquetes es:
a) 12 kg
b) 17 kg
c) 28 kg
d) 34 kg
e) 51 kg
104. ¿Cuál es el máximo número de intersecciones que pueden obtenerse dibujando dos círculos
y tres líneas rectas?
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
105. Una persona corre detrás de una tortuga. En un principio, la distancia entre ellos es de 990
metros. Si la persona recorre 100 metros cada minuto y la tortuga recorre un metro cada
minuto, ¿en cuántos minutos alcanzará la persona a la tortuga?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
106. Haciendo cortes paralelos a las caras de un cubo de madera se obtiene una pieza como la
que se muestra en la siguiente figura. Si el volumen original del cubo era 8 m3, ¿cuál es
ahora la nueva superficie de la pieza resultante?
16
a) 18 m2
b) 24 m2
c) 26 m2
d) 28 m2
e) no se puede
determinar
107. En cierta población de ratones, el 25% son blancos y el 75% son negros. De los ratones
blancos, el 50% tiene ojos azules y de los negros, el 20% tiene ojos azules. Si se sabe que
99 ratones tienen ojos azules, ¿cuántos ratones tiene la población?
a) 360
b) 340
c) 240
d) otra respuesta
e) sin solución
a 1
b 1
b−a
es igual a:
= y
= , entonces
c−b
b 9
c 3
4
7
25
a)
b)
c)
1
12
8
108. Si
d)
4
9
e)
3
10
109. Sea ABC un triángulo con AB=AC, D un punto en BC, tal que ∠BAD=30° y E un punto en
AC, tal que AD=AE. Entonces ∠EDC es igual a:
a) 8°
b) 10°
c) 15°
d) 20°
e) 30°
110. Un barco recoge 30 náufragos en una isla. Como resultado, los alimentos del barco que
eran suficientes para 60 días ahora son sólo suficientes para 50 días. ¿Cuántas personas había en el barco antes de llegar a la isla?
a) 15
b) 40
c) 110
d) 140
e) 150
2
⎛ a + b ⎞
111. Si a y b son números distintos que cumplen a + b = 4ab, el valor de ⎜
⎟ es:
⎝ a − b ⎠
a) 3
b) 4ab
c) 4(a+b)
d) 2
e) a/b
2
2
112. Una escalera eléctrica tarda 60 segundos en transportar a una persona del primero al segundo piso. Si la escalera está apagada, la persona tarda 90 segundos en subir de un piso a otro
caminando sobre ella. ¿Cuántos segundos tarda en subir una persona que camina sobre la
escalera eléctrica cuando está en funcionamiento?
a) 36
b) 75
c) 45
d) 30
e) 50
113. ¿Cuál es el valor de x que cumple 2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155 ?
a) 26
b) 28
c) 29
d) 30
e) 32
114. Cuando a un barril le falta el 30% para llenarse, contiene 30 litros más que cuando está
lleno hasta el 30% de su capacidad. ¿Cuántos litros le caben al barril?
a) 60
b) 75
c) 90
d) 100
e) 120
17
115. En un torneo de básquetbol compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se dividen en
grupos de cuatro. En cada grupo, cada equipo juega una vez contra cada uno de los equipos
restantes. De cada grupo, los mejores dos equipos califican para la siguiente ronda y los dos
peores son eliminados. Después de la última ronda quedan dos equipos que se enfrentan en
un partido para determinar al ganador del torneo. ¿Cuántos partidos se jugarán a lo largo de
todo el torneo?
a) 33
b) 41
c) 43
d) 49
e) 63
116. El “triángulo” de la siguiente figura está formado por seis círculos de radio r. Si la altura
del “triángulo” es 2, ¿cuál es el valor de r?
2
a)
− 1+ 3
2
b)
3− 3
2
c)
1+ 3
2
d)
2+ 3
2
e)
1
3
1
1
1
7
+
+
= , ¿cuál será el valor de la sia + b b + c c + a 10
a
b
c
guiente expresión:
?
+
+
b+c c+a a+b
3
9
19
17
10
a)
b)
c)
d)
e)
7
2
10
7
10
117. Si se tiene que a + b + c = 7 y que
118. En un cultivo de bacterias con forma de cuadrícula hay un solo cuadro que está infectado,
pero cada segundo que pasa todos los cuadros que comparten un lado con algún cuadro que
esté infectado también quedan infectados. Después de 10 segundos, ¿cuántos cuadros infectados hay? (En la siguiente figura se muestran los cuadros que están infectados después de
dos segundos, en el primer segundo se infectan los grises, en el segundo los blancos.)
a) 180
b) 181
c) 200
d) 210
e) 221
18
119. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?
3
2x
x
11
b) 2
a) 1
c) 2
d)
3
e) 3 2
120. En la siguiente figura P y Q son los centros de los círculos tangentes C1 y C2, la línea PQ
corta al círculo C1 en A y el radio QB es perpendicular a PQ. Si la suma de las áreas de los
círculos es 10π y el área de AQB es 8, ¿cuál es la longitud de PB?
C1
A
Q
C2
P
B
a) 5
b)
c) 6
26
121. Si dos enteros positivos a y b satisfacen la ecuación: a +
valor de a + b ?
a) 2
b) 3
c) 4
d)
40
1
1
2+
b
=
d) 5
e) 3π
12
, entonces ¿cuál es el
5
e) 6
122. En la figura ABCD es un cuadrado y OEF es un triángulo rectángulo. Si OA=48 y OB=36,
¿cuánto mide EF?
F
D
A
C
O
a) 176
B
b) 180
E
c) 185
d) 188
e) 190
123. El área del cuadrado de la figura es “a” y el área de cada uno de los círculos es “b”.
¿Cuánto vale el área de la figura sombreada?
a) 3b
b) a+b
c) a+2b
d) 3a
e) 2a+b
124. Se compra un costal lleno de alpiste para alimentar canarios. El primer día, los canarios se
comieron 1/2 del total del alpiste. El segundo día se comieron 1/3 del alpiste restante y el
19
tercer día se comieron 1/4 del sobrante. Del total de alpiste que había en el costal, ¿qué
fracción queda?
1
1
3
4
1
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
4
5
24
125. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?
a) 2003n
b) n2+2003
c) n3
d) n+2004
e) 2n2+2003
126. ¿Cuál es el doble del cuadrado de la mitad de la diagonal de un cuadrado de lado uno?
1
3
a)
b)
c) 1
e) 2
d) 2
2
4
127. ¿Cuánto vale x en el siguiente cuadrado?
81cm2
a) 2 cm
18cm2
X
b) 7 cm
c) 9 cm
d) 10 cm
e) 11 cm
128. Una persona compra peras, manzanas y piñas (al menos una de cada una). Una pera cuesta
una moneda, una manzana cuesta dos monedas y una piña cuesta cuatro monedas. Si la
persona compró diez frutas y pagó dieciséis monedas, ¿cuántas piñas compró?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
129. En la siguiente figura, ABCD es un rectángulo y P, Q, R y S son los puntos medios de sus
lados. Además, T es el punto medio del segmento RS. Si el área de ABCD es 1, ¿cuál es el
área del triángulo PQT?
D
R
C
S
A
a)
5
16
T
Q
P
3
b)
8
B
c)
1
5
d)
1
6
e)
1
4
130. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa igual a 6 unidades y su perímetro mide 14 unidades.
¿Cuál es el área del triángulo?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
20
131. Se tienen dos esferas de diferente tamaño cuyos radios están en proporción 2/3 y el
volumen de la menor es 1. ¿Cuál es el volumen de la esfera mayor?
2
4
8
8
27
a)
b)
c)
d)
e)
3
9
9
27
8
132. Si “a” y “b” son dos números distintos tales que cumplen la condición: a +
¿cuál es el valor de ab (“a por b”)?
a) −2
b) −1
c) 0
d) 1
1
1
= b+ ,
b
a
e) 2
133. En la siguiente figura, los lados AB, DC y AD son iguales. Si ∠BAD=48°, ¿cuánto mide el
ángulo DAC?
A
B
a) 24°
D
b) 26°
C
c) 30°
d) 33°
e) 37°
134. En un calabozo hay dragones rojos y dragones verdes. Cada dragón rojo tiene seis cabezas,
ocho patas y dos colas. Cada dragón verde tiene ocho cabezas, seis patas y cuatro colas. Si se
sabe que entre todos los dragones tienen 44 colas y que hay 6 patas verdes menos que
cabezas rojas, ¿cuántos dragones verdes hay?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
135. Las tres cuartas partes de los alumnos de un grupo son hombres y el resto son mujeres.
¿Cuál es el “quebrado” que representa la razón del número de hombres entre el número de
mujeres?
3
4
3
4
3
a)
b)
c)
d)
e)
4
3
7
7
1
136. Entre seis niños se comieron 20 galletas. Antonio se comió una, Benito se comió dos, César
se comió tres y Darío comió más que ningún otro niño. ¿Cuál es la mínima cantidad de galletas que pudo haberse comido Darío?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
137. Martel dibuja flores: una azul, una verde, una roja, una amarilla, una azul, una verde, etc.
¿De qué color es la flor número veintinueve?
a) azul
b) verde
c) roja
d) amarilla
e) no se sabe
138. Una máquina corta una pieza de madera en tres partes en un minuto y después corta en tres
las partes restantes, cada una en un minuto. En el momento en que hay al menos 317 piezas
de madera la máquina se detiene. Cuando la máquina se detenga, ¿cuántos minutos habrán
pasado?
a) 6
b) 7
c) 105
d) 106
e) 158
21
139. ¿De cuántas formas puede elegirse siete números del 1 al 9 de tal manera que al sumarlos,
el resultado sea múltiplo de 3?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
140. En la siguiente figura, ABC es un triángulo rectángulo donde AB=3, BC=4 y AC=5.
¿Cuánto mide el radio del círculo?
A
B
C
b)
a) 1
c)
2
3
d)
4
e)
5
141. Dos paralelas son cortadas por dos transversales de manera que se intersectan con los ángulos marcados en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo “x”?
30°
x
140°
a) 57°
b) 60°
c) 65°
d) 70°
e) 73°
142. El promedio de estudiantes que ingresaron a una escuela durante los cuatro años del período 1999-2002 fue de 325 estudiantes por año. Si el promedio de ingreso durante los cinco
años del período 1999-2003 es 20% más alto, ¿cuántos estudiantes entraron a la escuela en
2003?
a) 390
b) 455
c) 520
d) 600
e) 650
143. Una persona del sexo femenino tiene cuatro blusas, tres faldas y dos pantalones. ¿Cuántas
combinaciones distintas puede hacer para vestirse?
a) 9
b) 10
c) 20
d) 24
e) 24
144. En un edificio se numeraron todas las puertas de las oficinas utilizando placas que contienen un dígito cada una (por ejemplo, al numerar la puerta 14 se usaron dos placas, una con
el 1 y otra con el 4). Si en total se utilizaron 35 placas, ¿cuántas puertas hay?
a) 14
b) 19
c) 22
d) 28
e) 35
145. El precio promedio de cinco pinturas era $6000. Cuando se vendió la más cara de las pinturas el precio promedio de las cuatro restantes quedó en $5000. ¿En cuánto se vendió la pintura más cara?
a) $1000
b) $2000
c) $5500
d) $6000
e) $10000
22
146. En la siguiente figura, PQRS es un paralelogramo. Si ∠SPT=83° y ∠PQR=41°, ¿cuánto
vale el ángulo PTR?
P
Q
T
S
a) 139°
R
b) 138°
c) 124°
d) 98°
e) 97°
147. Una persona viajando por la carretera a velocidad constante encontró una señal que indicaba AB kilómetros (A y B son dígitos). Una hora después vio otra señal con BA kilómetros,
y otra hora más tarde encontró una que señalaba A0B kilómetros. Calcular el valor de A+B.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
148.
¿Cuál de las siguientes cantidades corresponde a la mitad de 4 2004 ?
a) 2 2004
b) 4 2003
c) 41002
d) 2 4007
e) 21002
149. En la siguiente figura ABCD es un cuadrado, E y F son los puntos medios de AB y CD,
respectivamente, AB=1. ¿Cuál es el área del triángulo EOD?
A
D
E
O
F
B
C
1
1
1
1
1
b)
c)
d)
e)
4
5
6
7
8
150. Sea ABC un triángulo con su lado AB igual a su lado AC, D un punto en BC tal que
∠BAD=30° y E un punto en AC tal que AD=AE. Entonces el ángulo EDC es igual a:
a) 8°
b) 10°
c) 15°
d) 20°
e) 30°
a)
2
⎛ a + b ⎞
151. Si a y b son números distintos que cumplen a + b = 4ab , el valor de ⎜
⎟ es:
⎝ a − b ⎠
a) 3
b) 4ab
c) 4(a+b)
d) 2
e) a/b
2
2
152. En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado y E, F, G, H son los puntos medios de sus
lados. Si se sabe que el círculo que está inscrito en el cuadrado EFGH tiene un área igual a
π, ¿cuál es el área de ABCD?
A
H
D
E
B
G
F
C
23
a) 8−π
b) 8
c) 8π
d) π/8
e) 8+π
153. Mirando la hora un poco después de las 6 am se tiene que las agujas formaban un ángulo de
110°. Mirando poco después, eran antes de las 7 am y nuevamente las agujas formaban un
ángulo de 110°. ¿Cuántos minutos habían transcurrido?
a) 40
b) 30
c) 60
d) 45
e) 35
154. En la figura, el rectángulo ABCD está en el interior de la circunferencia de tal manera que
el vértice B es el centro de la circunferencia. Si AC=6 y ∠ACB=30°, ¿cuánto mide su
diámetro?
A
D
B
a) 6
b) 8
C
c) 10
d) 12
e) 14
155. Una persona eligió tres dígitos distintos y escribió todos los números de tres cifras que se
forman con ellos (sin repeticiones). Después sumó todos los números que obtuvo. ¿Cuál es
el valor de la suma que obtuvo la persona, si la suma de los dígitos originales era 14?
a) 4662
b) 4800
c) 3108
d) 3200
e) 3226
156. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 16 unidades está inscrito en una
circunferencia. ¿Cuál es el radio de dicha circunferencia?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 14
e) 15
157. En un número de tres cifras, la suma de las mismas es 18. La cifra de las unidades es el
doble de la de las decenas. Por último, la diferencia que se obtiene restando el número dado
y el formado al invertir el orden de sus cifras es 297. ¿Cuál es el número inicial?
a) 684
b) 648
c) 936
d) 963
e) 965
158. ¿Por cuál dígito se debe sustituir la letra “a” para que el siguiente número 9758236642a2
sea divisible entre 4?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 9
159. En una caja se tienen 20 pares de zapatos completos de tres colores distintos y de tres
tamaños distintos. Si en la caja hay: 4 pares rojos (1 chico, 1 mediano y 2 grandes), 7 pares
verdes (2 chicos, 2 medianos y 3 grandes), 9 pares azules (2 chicos, 3 medianos y 4
grandes), ¿cuál es la cantidad mínima de zapatos que se deben sacar para estar seguro de
tener un par completo del mismo color y tamaño?
a) 4
b) 16
c) 20
d) 21
e) 8
24
160. Tres cuadrados con lados de longitudes: 10, 8 y 6 unidades, respectivamente, se colocan uno
al lado del otro como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es el área de la parte
sombreada?
a) 100
b) 90
c) 120
d) 80
e) 110
161. Cipriano ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma
cantidad de canicas, ¿cuál es la máxima cantidad de primos a los que les puede repartir sus
canicas?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
162. ¿Cuántos números hay entre 100 y 300 (sin contar el 100 y el 300) que no sean divisibles
entre 3 ni entre 5?
a) 106
b) 107
c) 108
d) 140
e) 142
163. ¿Cuál es el valor del exponente que falta en la siguiente expresión para que sea correcta?
7 7 + 7 7 + 7 7 + 7 7 + 7 7 + 7 7 + 7 7 = 7?
a) 6
b) 7
c) 49
d) 8
e) 14
164. El trapecio isósceles ABCD es tal que AB=AD=BC=1 y DC=2, donde AB es paralelo a
DC. ¿Cuánto mide el ángulo DBC?
A
B
D
a) 45°
C
b) 60°
c) 90°
d) 120°
e) 70°
165. Una persona quiere sacar un par de calcetines de un cajón, en el que hay 100 calcetines
blancos, 50 verdes y 25 rojos. ¿Cuántos calcetines debe sacar (sin ver) para asegurar que
tendrá un par del mismo color?
a) 174
b) 50
c) 25
d) 4
e) 12
166. ¿Qué valor debe de tomar “n” para que “ n 2 + n + 41 ” sea un número entero que no es
primo?
a) 15
b) 26
c) 37
d) 40
e) 25
25
167. Sea E un punto en el lado AB del cuadrado DCBA. Si EB=1 y EC=2, entonces ¿cuál es la
razón entre el área del cuadrilátero DCEA y el área del triángulo ECB?
D
C
A
a)
E
b)
3
B
3 −1
c) 2 3 − 1
d) 2( 3 − 1)
e)
3 +1
168. En un vértice A de una caja de tamaño 2 × 3 × 4 se encuentra una hormiga que quiere ir al
vértice opuesto B caminando sobre las caras de la caja. ¿Cuál es la distancia mínima que
debe recorrer?
2
B
A
4
3
a)
b) 7
41
c) 4 + 13
d) 5 + 2 5
e) 1+ 3
169. Si los ángulos α, β y δ de un triángulo rectángulo cumplen con la condición δ = α − β , entonces ¿cuál es el valor del ángulo α?
a) 75°
b) 80°
c) 85°
d) 90°
e) 95°
170. Una persona quiere subir una escalera y lo puede hacer subiendo uno o dos escalones a la
vez. Si la escalera tiene diez escalones en total, ¿de cuántas formas distintas puede subir la
escalera?
a) 10
b) 20
c) 55
d) 89
e) 30
171. En un triángulo ABC, se tiene que BA=5, BC=7, AC=9 y D es un punto sobre el segmento
BC con BD=5. Encontrar el valor de AD.
A
B
a) 6
D
19
b)
3
C
c)
20
3
d) 7
e)
22
3
26
172. Un niño tiene un conjunto de 96 bloques. Cada bloque es de uno: de 2 materiales (plástico o
madera), de 3 tamaños (chico, mediano o grande), de 4 colores (azul, verde, rojo o amarillo) y de 4 formas (círculo, hexágono, cuadrado o triángulo). ¿Cuántos bloques en el conjunto son distintos del bloque de “plástico-mediano-rojo-círculo” en exactamente dos características? Por ejemplo, el bloque de “madera-mediano-rojo-cuadrado” es uno de tales bloques.
a) 29
b) 39
c) 48
d) 56
e) 36
173. ¿Cuánto mide el área de un cuadrado inscrito en una semicircunferencia de radio igual a
una unidad?
A
B
C O
b) 4
a) 2
D
c) 6
d) 16
e) 8
174. Los triángulos ABC y DBC son isósceles y el ángulo BAC mide 30°. ¿Cuánto mide el ángulo AEC?
A
D
E
O
B
a) 95°
C
b) 100°
c) 105°
d) 110°
e) 115°
175. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que le quedan 36 hombres por
acomodar. Decide poner una fila y una columna más de hombres en dos lados consecutivos
del cuadrado y se da cuenta que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos
hombres hay en la tropa?
a) 3061
b) 55
c) 3025
d) 2004
e) 110
176. Se tiene un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 8 unidades y área igual a 9 unidades
cuadradas, ¿cuánto vale su perímetro?
a) 18
b) 16
c) 17
d) 12
e) 13
177.
Si se sabe que 7a + 3b = 12 y 3a + 7b = 8 , ¿cuál es el valor de a + b ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
178. Un rectángulo mide 9 unidades en uno de sus lados y tiene 45 unidades cuadradas de área,
¿cuál es su perímetro?
a) 14
b) 19
c) 23
d) 28
e) 30
27
179. ¿Cuántas parejas de números enteros positivos (x,y) se tienen, de tal forma que cumplan
x 2 − y 2 = 13 ?
a) ninguna
b) 1
c) 2
d) 3
e) muchas
180. ¿Cuántas ternas (x,y,z) de números reales satisfacen el siguiente sistema?
x ( x + y + z) = 26
y( x + y + z) = 27
a) 1
z( x + y + z) = 28
c) 3
b) 2
d) 4
e) ninguna
181. Se tiene un segmento AB de longitud igual a 10 unidades y un punto C en él, de tal forma
que AC:CB=3:2. Se construyen sobre el mismo lado del segmento, un triángulo equilátero
de lado AC y otro de lado CB. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de los triángulos equiláteros, que están fuera del segmento AB?
A
C
b) 2 6
a) 2 5
B
c) 2 7
d) 2 8
182. Si x + y = 1 y x 2 + y 2 = 2 , entonces ¿cuál es el valor de x 3 + y 3 ?
5
7
b)
d)
a) 4
c) 3
2
2
e) 6
e) 5
183. En la siguiente figura, AB⊥BC, BC⊥CD y BC es tangente al círculo con centro en O y
diámetro AD. ¿Cuáles son los valores de AB y CD para que el área del trapecio ABCD sea
un número entero?
A
O
D
B
a) 3 y 1
C
b) 5 y 2
c) 7 y 3
d) 9 y 4
e) 6 y 3
184. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2(2 2 x ) = 4 x + 64 , en números enteros?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
28
185. Seis bolsas de canicas contienen 18, 19, 21 ,23 y 34 canicas, respectivamente. Cinco de las
bolsas contienen canicas azules y la otra tiene canicas rojas. José toma tres de las bolsas y
Luis, dos bolsas de las otras. Sólo quedó la bolsa con canicas rojas. Si José obtuvo el doble
de canicas que Luis, ¿cuántas canicas rojas hay?
a) 19
b) 21
c) 23
d) 34
e) 26
186. Se dice que un número es “cuadradísimo” si satisface las siguientes condiciones: a) todos
sus dígitos son cuadrados, b) es un cuadrado perfecto y c) si se separa el número en parejas
de dígitos de derecha a izquierda, estas parejas son cuadrados perfectos si se consideran
como números de dos dígitos. ¿Cuántos números menores que 2005 son “cuadradísimos”?
a) 5
b) 7
c) 8
d) 15
e) 12
187. En la siguiente figura, P y Q son los centros de los círculos tangentes C1 y C2, y la línea PQ
corta el círculo en A y B, como se ilustra. El rectángulo ABCD es tangente a C2 en T. Si el
área de ABCD es 15, ¿cuál es el área de PQT?
C2
C1
A
P
Q
B
D
T
C
b)
a) 4
15
4
c)
π
2
d) 5
e) 2 5
188. En la siguiente figura, BC=2AB, el triángulo AEB es un triángulo isósceles de 72 unidades
cuadradas de área y BEDC es un rectángulo. Calcular el área del cuadrilátero ABDE.
E
D
A
a) 314
B
b) 225
C
c) 216
d) 123
e) 156
189. Sea P un punto en el interior del rectángulo ABCD, si PA=3, PC=5 y PD=4, entonces ¿cuál
es el valor de PB?
A
B
P
D
a) 3 2
C
b)
32
c)
15
4
d) 2 3
e)
23
29
190. En la siguiente figura, ¿cuánto vale la suma de los ángulos interiores formados en los vértices A, B, C, D y E?
A
B
E
C
a) 270°
D
b) 240°
c) 180°
d) 360°
e) no se puede
determinar
191. Un virus atacó el disco duro de una computadora, el primer día destruyó dos terceras partes,
el segundo día, de lo que quedó destruyó una cuarta parte, finalmente el tercer día destruyó
la quinta parte de lo que quedaba. ¿Qué fracción del disco duro quedó sin dañar?
3
1
13
7
1
a)
b)
c)
d)
e)
5
5
60
60
30
192. Cierto profesor de matemáticas realiza cinco exámenes a lo largo del año, en cada uno de
los cuales otorga a sus alumnos como calificación un entero entre 0 y 10. ¿Cuál es el menor
promedio que pudo haber obtenido un alumno, si con tan sólo conocer este promedio, su
padre supo que su hijo había obtenido 10 en al menos dos de los exámenes?
a) 9.2
b) 9.3
c) 9.4
d) 9.5
e) 9.6
193. Cinco amigos llegaron en distintos momentos a un restaurante para comer. En cuanto se
sentó a la mesa, Marisol le contó a Claudia un secreto de Julián, sin que él estuviera presente. Cuando llegó Aarón, aún no llegaba Rosalía. A pesar de esto, la mejor amiga de Rosalía
ya no pudo platicarle a nadie del regalo sorpresa que planeaba comprarle a Rosalía para su
cumpleaños la próxima semana. ¿Quién llegó al final?
a) Aarón
b) Claudia
c) Julián
d) Marisol
e) Rosalba
194. Una recta parte al rectángulo ABCD como se muestra en la siguiente figura. Si el segmento
AP mide 3 unidades y el segmento QC mide 2, ¿cuánto vale la longitud de DQ menos la
longitud de PB?
A
P
B
D
a) 1
b) 2
Q
C
c) 3
d) 5
e) no se puede
determinar
30
195. En un puesto de frutas y verduras hay cinco cajas de madera colocadas en línea que contienen productos distintos. La caja con fresas está junto a la caja con berenjenas y junto a la
caja con espinacas; la caja con mandarinas y la caja con papas no están colocadas una junto
a la otra; además, la caja con mandarinas se encuentra hacia la derecha de la caja con berenjenas. ¿Qué artículo se encuentra en la caja del extremo izquierdo de la línea?
a) berenjenas
b) espinacas
c) fresas
d) mandarinas
e) papas
196. ¿Cuál es el valor de “x” en la ecuación 9 x +2 = 240 + 9 x ?
1
2
3
4
a)
b)
c)
d)
10
10
10
10
e)
1
2
197. Una alcantarilla rectangular de metal tiene 23 hoyos circulares idénticos por donde fluye
agua a razón de 1.38 litros por segundo. Si a la alcantarilla se le hacen 16 nuevas perforaciones circulares cuyo diámetro mide la mitad del diámetro de los hoyos originales, ¿cuántos litros de agua por segundo fluirán por la alcantarilla?
a) 1.62
b) 1.78
c) 1.86
d) 2.04
e) 2.34
198. En la siguiente figura, los triángulos ΔPAB y ΔPCD son idénticos. Si el ángulo ∠APC=67°
y ∠CPD=38°, ¿cuánto mide el ángulo ∠BPC?
P
A
D
C
B
a) 29°
b) 31°
c) 38°
d) 39°
e) 67°
199. Una alfombra mágica, de forma rectangular, después de cumplirle un deseo a su dueño, se
reduce a la mitad de su longitud y a la tercera parte de su ancho. Al cabo de tres deseos, la
alfombra tiene un área de 4 m2. Si su ancho inicial era de 9 m, ¿cuál era su largo inicial?
a) 106 m
b) 84 m
c) 12 m
d) 76 m
e) 96 m
200. En la siguiente figura, la circunferencia grande tiene un perímetro de 2 unidades, mientras
que la circunferencia pequeña tiene un perímetro de una unidad. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
a)
1
2π
b)
3
4π
c)
π
4
d)
3π
4
e) no se puede
determinar
31
201. Pablo recorta cada una de las cifras del número 2003 de un periódico y se dispone a pegar
algunos de estos cuatro “trocitos “ de papel (o tal vez todos) en un reglón de su cuaderno
para formar un número. ¿Cuántos números distintos puede construir de esta manera?
a) 12
b) 15
c) 18
d) 19
e) 21
202. Si P es el incremento de la circunferencia de un círculo cuando se incrementa en π centímetros el diámetro del círculo, ¿cuál es el valor de P?
e) no se puede
1
π2
a)
b) π
c)
d) π 2
determinar
π
2
203. Una diseñadora dispone de 5 tonos de naranja, 7 tonos de verde y 4 tonos de morado, y
quiere escoger dos de éstos para un logotipo. Ella considera que usar dos tonos del mismo
color es aburrido, pero todas las demás combinaciones le agradan. ¿Cuántas opciones tiene?
a) 55
b) 67
c) 70
d) 83
e) 90
204. ¿Cuál es la cifra decimal que ocupa el lugar 2005 en el desarrollo decimal de
a) 3
b) 6
c) 0
d) 9
205. Si x>5, ¿cuál de las siguientes fracciones es la menor?
5
5
5
a)
b)
c)
x
x −1
x +1
d)
x
5
4
?
101
e) otro
e)
x +1
5
206. ¿Cuál es el menor entero positivo con la propiedad que al multiplicarlo por 14 se obtenga
como resultado un número cuyas primeras dos cifras son 41?
a) 29
b) 30
c) 292
d) 293
e) no existe
207. ¿Cuántos números de dos cifras hay con la propiedad de que sus dígitos son números enteros consecutivos?
a) 8
b) 9
c) 16
d) 17
e) 18
208. Inicialmente la aguja de una brújula apunta hacia arriba (Û). Cada minuto, la aguja gira
135° en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Qué aspecto tendrá la aguja después de 405
minutos?
a) Û
b) Þ
c) à
d) ß
e) Ý
209. ABCD es un trapecio con AB paralela a DC y ∠ADC=∠BCD=45°. E y F son puntos sobre
el lado DC tales que DE=EF=FC=1. Además, el trapecio tiene la propiedad de que AF es
paralela a BC y BE es paralela a AD. ¿Cuál es el perímetro del trapecio?
A
B
a) 4 2
D
b) 6
E
F
C
c) 4 + 2 2
d) 7
e) 4 + 2 3
32
210. Javier escribió un número de cinco cifras, pero se le borraron dos de ellas. El número se ve
de la siguiente forma: 679 . El primero y último dígito son los que se han borrado. Si se
sabe que el número es divisible por 72, ¿cuál es el número?
a) 46792
b) 36792
c) 36796
d) 36794
e) 46798
211. Un automóvil se encuentra en una esquina de una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula y son todas de doble sentido. Se dispone a recorrer tres cuadras (comenzando hacia cualquier dirección), con la única condición de que cuando llegue a una esquina no regrese por
donde acaba de venir. ¿Cuántos recorridos distintos puede realizar el vehículo?
a) 16
b) 27
c) 28
d) 36
e) 40
212. En el extremo de cada rama de cierto matorral hay una hoja o una flor. El matorral crece de
la siguiente manera: si hoy hay una hoja en el extremo de una rama, el próximo año desaparecerá la hoja y aparecerá una flor en ese lugar; si hoy hay una flor en el extremo de una
rama, el próximo año desaparecerá la flor y aparecerán dos ramas nuevas con hojas en sus
extremos. Si el matorral tiene hoy 80 flores y el año pasado tenía 70, ¿cuántas hojas tendrá
dentro de dos años?
a) 150
b) 210
c) 240
d) 280
e) 320
213. Un número que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha se dice que
es un número capicúa, por ejemplo 1221 y 3625263. ¿Cuántos números capicúas de 6 dígitos existen?
a) 100
b) 900
c) 2005
d) 331
e) 890
214. ¿Cuánto mide el lado de un decágono regular inscrito en un círculo de radio igual a uno?
1
3
5 −1
5 +1
5
d)
e)
a)
b)
c)
2
5
2
4
2
215. La siguiente figura se forma a partir de un triángulo equilátero de área igual a uno, prolongando cada lado dos veces su longitud en ambas direcciones. ¿Cuál es el área de la figura
así formada?
a) 36
b) 37
c) 39
d) 40
e) 34
33
216. Si “s” y “r” son las raíces de x 2 + bx + 1 = 0 , el valor de
2
a) b − 4
b2 − 4
b)
2
c) b 2 + 2
1
1
+ 2 es igual a:
2
r
s
d) b 2 − 2
e) b 2
217. Una persona camina un kilómetro al este, luego un kilómetro al noreste y finalmente, otro
kilómetro al este. Encontrar la distancia en kilómetros, entre el punto de partida y el punto
de llegada.
a)
5+2 2
b)
5+2 3
c)
5 2
d)
5+ 2
e)
5+3 2
218. Si las medidas de dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre estos dos lados
son 7, 50 y 135°, respectivamente, encontrar la medida del segmento que une los puntos
medios de estos dos lados.
5
15
13
13
5+ 3
a)
c)
d)
e)
b)
2
2
2
3
2
219. Considerar el triángulo rectángulo ΔABC, con ángulo recto en B y tal que AB=BC=1. Sea
D el punto medio de AB y trazar el segmento CD. También, trazar desde B la perpendicular
a CD y denotar por P a la intersección. Encontrar la distancia de P a la intersección de las
medianas.
3
5
5
5
3
a)
b)
c)
d)
e)
15
15
12
10
10
220. En la época en que los cañones lanzaban balas, éstas eran almacenadas en parques de artillería en forma de pirámides de base cuadrada; cada lado del cuadrado de la base contaba
con 10 balas. ¿Cuál era el número de balas por pirámide?
a) 385
b) 400
c) 1015
d) 1000
e) 1500
34
Bibliografía
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de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México, México, 2002.
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35