Problemas 11

2
Índice
Páginas preliminares
pág. 4
Nivel 1
a) La geometría y la medida.
i) Contenidos
ii) Problemas para el aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
c) Los datos y la estadística.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
d) Miscelánea
i) Enunciados y Soluciones
Nivel 2
a) La geometría y la medida.
i) Contenidos
ii) Problemas para el aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
c) Los datos y la estadística.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
d) Miscelánea
i) Enunciados y Soluciones
Nivel 3
a) La geometría y la medida.
i) Contenidos
ii) Problemas para el aula. Enunciados y Soluciones
iii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
b) El número y las operaciones – Expresiones Algebraicas.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
ii) Problemas Desafiantes. Enunciados y Soluciones
c) Probabilidad y estadística.
i) Contenidos
ii) Problemas para el Aula. Enunciados y Soluciones
d) Miscelánea
i) Enunciados y Soluciones
230
3
pág. 19
pág. 20
pág. 27
pág. 35
pág. 37
pág. 48
pág. 59
pág. 59
pág. 69
pág. 83
pág. 85
pág. 91
pág. 101
pág. 103
pág. 111
pág. 121
pág. 121
pág. 133
pág. 157
pág. 161
pág. 169
pág. 183
pág. 187
pág. 195
pág. 211
pág. 211
pág. 223
También se va a repetir la parte del panal que está pintada. Como la
parte que está pintada tiene tres octógonos y hay un octógono que no
estamos considerando (el de la izquierda), tenemos:
60 ÷ 3 = 20
La parte pintada se repite 20 veces.
La cantidad de segmentos en la parte pintada es:
⇒
7 + 7 + 6 + 1 + 1 = 22
22 × 20 = 440
El total de segmentos obtendremos agregando al valor anterior 1 (para
alcanzar 8) por el octógono de la derecha y 5, (8 – 3), por el octógono de
la izquierda.
En total:
440 + 1 + 5 = 446
La respuesta es: E
Problema 390 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 2)
Se tienen 100 cuadrados iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de
rectángulos diferentes que se pueden armar simultáneamente?
A) 18
C) 13
E) 8
B) 15
D) 10
F) n. d. l. a.
Solución
Hacemos el conteo, hasta aproximarnos a 100, tratando de tener los
valores más bajos posibles:
1
1
1
1
2
×
×
×
×
×
1
2
3
4
2
→
→
→
→
→
1
2
3
4
4
1
1
2
1
1
×
×
×
×
×
5
6
3
7
8
→
→
→
→
→
5
6
6
7
8
2
1
3
1
2
×
×
×
×
×
4
9
3
10
5
→
→
→
→
→
8
9
9
10
10
Calculamos cuántos cuadrado usamos:
1 + 2 + 3 + 4 × 2 + 5 + 6 × 2 + 7 + 8 × 2 + 9 × 2 + 10 × 2 = 92
La respuesta es: B
4
229
2 (a + b + c) + (x + y + z) = 58 (1)
Por otro lado:
36 − 25 = 11 ; 36 − 28 = 8 ; 36 − 20 = 16
c + y + z = 11 ; b + x + y = 8 ; a + x + z = 16
(a + b + c) + 2 (x + y + z) = 35
⇒
2 (a + b + c) + 4 (x + y + z) = 70 (2)
Restando (1) de (2):
3 (x + y + z) = 12
⇒
x+y+z=4
La respuesta es: A
Problema 389 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 30)
Existen 61
octágonos en este
panal. ¿Cuántos
segmentos se
utilizaron para
hacer el panal?
A) 488
C) 328
E) 446
B) 400
D) 244
Solución
Trabajamos sobre
la cantidad de
segmentos que se
necesitan para
hacer cada una de
las figuras e
indicamos por
medio de números
la cantidad que se
necesita para
construir cada
figura.
Para ello comenzamos a contar desde el primer octógono de la izquierda
y el primero de la derecha.
En las figuras que queden entre ellos la situación se va a repetir.
228
5
Entonces queda:
⇒
5 ab = 5 (a + b + 5)
ab = a + b + 5
Los únicos números primos que cumplen la condición establecida son 2 y
7. Efectivamente:
2—7=2+7+5
La respuesta es: D
Problema 388 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 25)
Matilde dibujó 36 canguros usando 3 colores diferentes. 25 de los
canguros contienen un poco de amarillo, 28 contienen un poco de
marrón y 20 contienen un poco de negro. Solamente 5 canguros
contienen los tres colores. ¿Cuántos canguros de un único color
pintó Matilde?
A) 4
C) 27
E) No se puede determinar
B) 31
D) 0
Solución
Hacemos un diagrama que refleje la situación.
Vamos a definir el significado de cada
variable:
A →
Conjunto de todos los canguros
que tienen color amarillo.
M → Conjunto de todos los canguros
que tienen color marrón.
N →
Conjunto de todos los canguros
que tienen color negro.
Entonces:
25 − 5 = 20 ; 28 − 5 = 23 ; 20 − 5 = 15
a + b + x = 20 ; a + c + y = 23 ; b + c + z = 15
Sumando las tres igualdades anteriores, tenemos:
2 a + 2 b + 2 c + x + y + z = 58
6
227
El total de puntos es:
18 + 10 + 7 = 35
La respuesta es: D
Problema 386 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 20)
En la figura, ambos hexágonos son regulares y
congruentes. ¿Qué fracción del área del
paralelogramo se encuentra sombreada?
5
1
2
A)
C)
E)
12
2
3
2
1
B)
D)
5
3
Solución
Llamamos A al área de los hexágonos,
entonces, por la simetría de la figura,
tenemos regiones que corresponden
justamente a la mitad de esos hexágonos.
Entonces, el área del paralelogramo es:
2A+4—
=4A
⇒
4A−2A=2A
El área de la parte sombreada es 2 A.
La respuesta es: E
Problema 387 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 21)
Diremos que tres números primos distintos son especiales si el
producto de estos números es cinco veces la suma de éstos.
¿Cuántos grupos de números primos especiales existen? (Nota:
Grupos como {1 , 2 , 3} y {3 , 2 , 1} se consideran iguales.)
A) 6
C) 2
E) 0
B) 4
D) 1
Solución
Llamamos a , b y c a los números primos. Entonces:
a — b — c = 5 (a + b + c)
⇒
a—b—c=
Si a : b : c es múltiplo de 5, siendo 5 el único múltiplo de 5 que es
número primo, uno de los tres números sebe ser 5. Digamos que a = 5.
226
7
Problema 384 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 17)
Cuatro dados idénticos se disponen en una
fila como se muestra en la figura. Los
dados pueden no ser estándares, es decir,
la suma de sus caras opuestas podría no
ser necesariamente 7.
¿Cuál es la suma total de los puntos de las seis caras que se tocan
de los dados de la figura?
A) 23
C) 19
E) 20
B) 21
D) 22
Solución
En la figura se han indicado los números
de cada cubo que corresponden a cada
una de las caras que se tocan.
La suma es:
5 + 1 + 4 + 6 + 2 + 2 = 20
La respuesta es: E
Problema 385 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 19)
Se proponen 5 problemas en una competencia matemática. Como
cada problema es de diferente nivel de dificultad, ningún
problema vale igual que otro (todos los puntajes son enteros
positivos y el mayor puntaje posible es 10). Felipe hizo el puntaje
máximo y obtuvo un total de 10 puntos por los dos problemas de
menor puntaje, y un total de 18 puntos por los dos problemas de
mayor valor. ¿Cuántos puntos, en total, obtuvo Felipe en la
prueba?
A) 30
C) 34
E) 40
B) 32
D) 35
Solución
El problema con valor mayor tiene 10 puntos. Entonces, si en los dos
problemas de mayor valor hizo 18 puntos, el otro problema es de 8
puntos.
Como en los dos problemas de menor puntaje hizo 10 puntos, el 7 no es
posible como valor de uno de ellos, entonces, los de menor valor son 4
puntos y 6 puntos.
8
225
Solución
En la figura vemos los dos
rectángulos iguales,
divididos en forma
diferente.
Luego vemos lo que hizo
cada uno, por ejemplo:
Tomás
→
2
= 40 cm
⇒
Javier
→
2
= 50 cm
⇒
a+
= 20 cm
= 25 cm
Luego:
2 a + b = 40 cm (1)
a + 2 b = 50 cm
⇒
2 a + 4 b = 100 cm (2)
Efectuando (2) menos (1):
3 b = 60 cm
⇒
b = 20 cm
⇒
a = 10 cm
Y el perímetro original es:
2 (a + b) = 2 (20 cm + 10 cm) = 60 cm
La respuesta es: C
Problema 383 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 16)
Cada uno de los cubos de la figura tiene
lado de medida 1 cm. ¿Cuál es la medida
(en centímetros) del segmento AB?
A)
17
B) 7
C)
13
D)
7
E)
14
Solución
AB viene a ser la diagonal del
paralelepípedo incompleto de
dimensiones 3 × 2 × 2. Entonces:
=
AB =
La respuesta es: A
224
9
Problema 380 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 9)
En una representación decimal de cierto número de seis cifras,
cada dígito, comenzando por el tercero (leyendo de izquierda a
derecha), es igual a la suma de los dos dígitos anteriores.
¿Cuántos números de seis cifras poseen dicha propiedad?
A) 0
C) 2
E) 6
B) 1
D) 4
Solución
Los números son:
101 123 ; 112 358 ; 202 246 ; 303 369
La respuesta es: D
Problema 381 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 10)
Francisco y Gabriel compitieron en una carrera de 200 metros.
Gabriel completó los 200 metros en la mitad de un minuto,
mientras que Francisco lo hizo en una centésima parte de una
hora. ¿Quién completó el recorrido en menor tiempo?
A) Gabriel, por 36 segundos de diferencia con Francisco
B) Francisco, por 24 segundos de diferencia con Gabriel
C) Gabriel, por 6 segundos de diferencia con Francisco
D) Francisco, por 4 segundos de diferencia con Gabriel
E) Los dos lo hicieron en igual tiempo
Solución
Determinamos el tiempo utilizado por cada uno:
Gabriel
Francisco
→
→
30 segundos
3 600 segundos ÷ 100 = 36 segundos
La respuesta es: C
Problema 382 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 13)
Tomás y Javier tienen dos rectángulos iguales. Cada uno corta su
rectángulo en dos. Tomás obtiene dos rectángulos de perímetro
40 cm mientras que Javier obtiene dos rectángulos de perímetro
50 cm. ¿Cuál era el perímetro de los rectángulos iniciales?
A) 40 cm
C) 60 cm
E) 100 cm
B) 50 cm
D) 80 cm
10
223
Solución
La única posibilidad es:
La respuesta es: B
Problema 379 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 8)
La cabecera de un río está en el punto A. Éste fluye por su cauce
y se divide en dos ramas. La primera rama toma dos tercios del
agua y la otra, el resto. Luego, la primera se distribuye en tres
nuevas ramas donde la primera toma un octavo del efluente, la
segunda cinco octavos y la tercera el resto. Esta última subrama
se conecta con la otra rama del río como se muestra en la figura.
¿Qué fracción de agua inicial fluye por el punto B?
1
2
1
B)
3
1
4
2
D)
9
A)
C)
E)
5
4
Solución
Calculamos primero la fracción de agua que corre por la tercera rama de
la segunda bifurcación:
1−
⇒
=
—
=
Por otro lado, en la segunda rama de la primera bifurcación la fracción
de agua que corre es:
1−
=
⇒
+
=
La respuesta es: A
222
11
A los Profesores que están involucrados con las
Olimpiadas de Matemática
Las soluciones de la colección de problemas tienen como objetivo
orientar a los Profesores sobre el enfoque que tienen los mismos en las
Olimpiadas de Matemática, de modo que puedan asesorar a sus alumnos
en el proceso de resolución.
En ese sentido, no es aconsejable mostrar muy pronto la solución de un
problema al estudiante. Lo correcto es dejar que trabaje el problema,
imagine estrategias de solución; dejar que invierta tiempo en la
búsqueda de la solución y cuando se decide ayudarlo, darle
orientaciones, pistas (nunca la solución), que le permitan seguir
trabajando el problema y, luego, en última instancia, analizar con el
estudiante la solución del mismo. Esperamos que a los chicos les lleve
más de una hora de trabajo la resolución de algunos de los problemas
propuestos.
Recomendamos a los profesores no quedarse con la solución del problema
que se presenta, sino que busquen otros procesos diferentes. Al hacerlo
podrán descubrir procedimientos más sencillos o más elegantes que los
propuestos.
La resolución de problemas es un proceso que puede resultar muy
placentero pero que requiere esfuerzo mental. Cuando una cuestión
planteada se puede resolver en forma inmediata, ¡tenemos un ejercicio,
no un problema!
María Luz Callejos, española y doctora en matemática, nos propone en su
libro Un Club Matemático para la Diversidad unas pautas para la
resolución de problemas, que a su vez ha adaptado del libro Aventuras
Matemáticas del connotado matemático español Miguel de Guzmán. Las
trascribimos a continuación y recomendamos que se las aplique en el aula
porque son verdaderamente muy útiles.
12
Miscelánea
Problema 376 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 3)
¿Cuál es la menor cantidad de letras que se deben quitar de la
palabra CONCURSO de tal forma que las restantes queden en
orden alfabético?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
Solución
Eliminamos las letras O , C , U . O y queda:
C , N , R , S
La respuesta es: D
Problema 377 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 4)
Para festejar el día de fin de año, José vestía una remera con el
número 2008 estampado en ella. José se paró de manos frente a
un espejo mientras su amigo Manuel observaba. ¿Qué observó
Manuel en el espejo?
Solución
La inversión en un espejo plano es de derecha a izquierda, así que lo que
observa Manuel es:
La respuesta es: B
Problema 378 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 5)
Los números 3 , 4 y otros dos números deben escribirse en
las celdas de la tabla 2 × 2 que se muestra en la figura.
Sabemos que la suma de los números de las filas deben
ser igual a 5 y 10 y la suma de los números de una de las
columnas debe ser igual a 9. ¿Cuál es el mayor de los
números desconocidos?
A) 5
C) 7
E) 3
B) 6
D) 8
221
PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Primera Fase:
FAMILIARIZARSE CON EL PROBLEMA
•
•
•
•
Lee el problema lentamente, trata de entender todas las palabras.
Distingue los datos de la incógnita; trata de ver la situación.
Si puedes, haz un dibujo o un esquema de la situación.
Si los datos del problema no son cantidades muy grandes, intenta
expresar la situación jugando con objetos (fichas, botones, papel,
etc.).
• Si las cantidades que aparecen en el enunciado son grandes, entonces
imagínate el mismo problema con cantidades más pequeñas y haz como
dice el punto anterior.
• Si el problema está planteado en forma general, da valores concretos a
los datos y trabaja con ellos.
Segunda Fase:
BUSCA UNAS CUANTAS ESTRATEGIAS PARA SOLUCIONAR EL PROBLEMA
Lee la siguiente lista. Te puede ayudar:
• ¿Es semejante a otros problemas que ya conoces?
• ¿Cómo se resuelven éstos? ¿Alguna idea te podría servir?
• Imagínate un problema más fácil para empezar y así animarte.
• Experimenta con casos particulares, ¿te dan alguna pista natural al
lenguaje matemático?
• Supón el problema resuelto, ¿cómo se relaciona la situación de partida
con la situación final?
• Imagínate lo contrario de lo que quieres demostrar, ¿llegas a alguna
conclusión?
• ¿El problema presenta alguna simetría o regularidad?
• ¿Será el caso general más sencillo que el caso particular?
Tercera Fase:
SELECCIONA UNA DE LAS ESTRATEGIAS Y TRABAJA CON ELLA
• No te rindas fácilmente.
• No te encapriches con una estrategia. Si ves que no conduce a nada,
déjala.
• Si la estrategia que elegiste no va bien, acude a otras de las estrategias
que seleccionaste o haz una combinación de ellas.
• Trata de llegar hasta el final.
220
13
Cuarta Fase:
REFLEXIONA SOBRE EL PROCESO SEGUIDO
• ¿Entiendes bien tu solución? ¿Entiendes por qué funciona? ¿Tiene
sentido esta solución o es absurda?
• ¿Cómo ha sido tu camino? ¿Dónde te atascaste? ¿En qué momento y
cómo has salido de los atascos?
• ¿Cuáles han sido los momentos de cambio de rumbo? ¿Han sido
acertados?
• ¿Sabes hacerlo ahora de manera más sencilla?
• ¿Sabes aplicar el método empleado a casos más generales?
• ¿Puedes resolver otras situaciones relacionadas con el tema que sean
interesantes?
Les deseamos un buen trabajo. Si este material les resulta de utilidad,
nos damos por satisfechos y esperamos se comuniquen con nosotros ante
cualquier inquietud que tengan.
Solución
La cantidad de pañuelos es:
20 + 35 = 55
Los sucesos de sacar los pañuelos son independientes, porque al sacar el
primer pañuelo, en la bolsa quedan 54 pañuelos.
Luego, la probabilidad de que los dos pañuelos sean blancos es:
La probabilidad de que los dos sean negros es:
Características del material de apoyo
Este material está dividido en secciones. A más de la clásica separación
por niveles, hemos creído oportuno establecer dentro de cada nivel una
división auxiliar, de modo que los docentes puedan ir graduando el
trabajo con sus alumnos.
Para calcular la probabilidad de que salga un pañuelo blanco y otro negro
debemos tener en cuenta de que primero puede salir un pañuelo blanco y
luego considerar la situación de que primero puede salir uno negro.
Luego:
Esta división es la siguiente:
1. Problemas para el Aula
En esta sección hemos incluido los problemas más accesibles. Los hemos
denominado Problemas para el Aula porque pensamos que serán útiles
también para los docentes que, aunque no participen todavía en las
Olimpiadas, puedan llevarlos al aula y utilizarlos para modificar la
metodología utilizada en las clases normales; que están enfocadas casi
siempre en procesos mecánicos, de repetición, del uso de extensos
formularios, del encasillamiento de los temas desarrollados en
compartimientos estancos y de la exclusiva resolución de ejercicios. Este
enfoque metodológico impide el desarrollo del pensamiento lógico –
matemático de nuestros alumnos.
Es el momento oportuno para trabajar algunas estrategias heurísticas
básicas. Este material puede servir como un aporte para que el docente
cuente con contenidos que le permita aplicar lo que se les está pidiendo
14
219
La cantidad de casos favorables es:
desde el MEC, o sea, utilizar los pasos de George Polya para evaluar el
trabajo de los alumnos.
2+2+2=6
Luego, la posibilidad de tener la suma 7 es:
Problema 374
La profe de Manu le pide que escriba en su cuaderno un número
natural entre 1 y 180 y le pide que no lo muestre a sus
compañeros.
Luego pregunta a la clase cuál es la probabilidad de que el
número escrito por Manu sea divisible entre 3 o entre 7.
¿Cuál es la respuesta?
Solución
Hay que determinar cuántos múltiplos de 3 y de 7 hay desde 1 hasta 180:
180 ÷ 3 = 60
180 ÷ 7 ≅ 25
En total hay 85. Pero los múltiplos de 21 están contados dos veces.
Entonces debemos sacarlos:
180 ÷ 21 ≅ 8
Entonces, en total tenemos:
85 − 8 = 77
Estos problemas están seleccionados para que los alumnos y docentes que
se inician en las actividades de las Olimpiadas puedan encontrar un
espacio cómodo para comenzar a trabajar en la resolución de problemas.
2. Problemas Desafiantes
En esta sección hemos incluido aquellos problemas que requieren más
trabajo de razonamiento matemático.
Están pensados para perfeccionar a los alumnos en la resolución de
problemas, avanzando más en el conocimiento y aplicación de las
estrategias heurísticas que pueda hacer el docente y fijando el objetivo
de que los alumnos expliquen por escrito el proceso que han seguido en
la resolución de un problema. Digamos que este es el momento oportuno
para introducir la idea de la demostración axiomática.
Además dentro de cada una de estas dos secciones, los problemas están
agrupados de acuerdo a los contenidos programáticos, siguiendo lo
indicado por los programas del MEC.
Los problemas agrupados en la sección Miscelánea, son problemas en los
cuales se puede encontrar más de un área de conocimiento, ya sea por el
enunciado del problema o por el procedimiento elegido para su solución.
Por ejemplo Geometría y Teoría de Números o problemas de Estrategia.
Esta situación es bastante común en los problemas de Olimpiadas.
El nivel de dificultad de los problemas no está definido por los contenidos
programáticos que en ellos se contempla.
La probabilidad es:
Recomendaciones para el uso del material
Problema 375
En una bolsa hay 20 pañuelos blancos y 35 negros. Sin mirar se
eligen dos pañuelos y se sacan de la bolsa.
Calcular la probabilidad de que:
• los dos pañuelos sean blancos,
• los dos pañuelos sean negros,
• salga un pañuelo blanco y otro negro.
218
Recomendamos que el trabajo se comience siempre resolviendo los
problemas de menor nivel de dificultad, tanto dentro de un nivel como
así también al considerar los otros niveles. En un buen entrenamiento
para un alumno del Nivel 2, se debería comenzar por ver cómo responde
al Nivel 1 para luego pasar al nivel que le corresponde.
Lo mismo, para un alumno del Nivel 3. Si el profesor piensa que el Nivel 1
no tiene suficientes desafíos, lo hará trabajar primero con el Nivel 2.
15
Todo el proceso de aprender a resolver problemas se realiza a través del
tiempo. Es imposible pensar que con un solo año de trabajo obtendremos
logros significativos, aunque se pueden dar excepciones.
OMAPA
Organización Multidisciplinaria de Apoyo a Profesores y Alumnos
Dirección: Dr. César López Moreira 693 c/ Nuestra Sra. Del Carmen
Telefax: (021) 605-154 / 612-135
Web: www.omapa.org.py ; e-mail: [email protected]
Rodolfo Berganza Meilicke
Director Académico de las Olimpiadas Nacionales de Matemática
Teléfono: (021) 331-538 − (0971) 201-758
e-mail: [email protected]
Observación: para la escritura de valores numéricos, escritura de la hora
y escritura de las unidades de medida hemos utilizado las Normas
Paraguayas 161, 164, 165, 166 y 180 de la Ley Nº 15 235 de 1980.
Solución
Las posibilidades son:
(N N N N) ; (N N N B) ; (N N B N) ; (N B N N) ; (B N N N)
(N N B B ) ; (N B N B) ; (N B B N) ; (B N N B) ; (B N B N)
(B B N N ) ; (N B B B) ; (B N B B ) ; (B B N B) ; (B B B N)
(B B B B)
Como por lo menos tenemos que tener arriba dos caras blancas, también
puede haber 3 ó 4.
Entonces, la probabilidad es:
Problema 373
Marcela tira dos dados simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad
de que la suma de los números que se ven en las caras superiores
sea 7?
Solución
Los números que se ven en las dos caras superiores pueden ser:
1) Con 1 adelante:
(1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6)
Vemos, que las posibilidades son 6.
Como adelante también podemos tener 2 , 3 , 4 , 5 , ó 6, la cantidad de
casos posibles es:
6 × 6 = 36
Calculamos ahora los casos favorables. La suma 7 la podemos obtener:
1,6
2,5
3,4
16
→
→
→
2 posibilidades
2 posibilidades
2 posibilidades
217
Solución
Los números que tienen las monedas son:
1y6 ; 2y5 ; 3y4
Calculamos las posibilidades que hay de elegir los números que quedan
arriba:
Para la primera moneda: 2
Para la segunda moneda: 2
Para la tercera moneda: 2
En total:
2×2×2
→
8 posibilidades
Las sumas posibles son:
1
1
1
1
+
+
+
+
2
2
5
5
+
+
+
+
3
4
3
4
=
=
=
=
6
7
9
10
6
6
6
6
+
+
+
+
5
5
2
2
+
+
+
+
3
4
3
4
=
=
=
=
14
15
11
12
La lista es:
6 , 7 , 9 , 10 , 11 , 12 , 14 , 15
De los 8 números, 4 son múltiplos de 3.
La probabilidad es:
Problema 372
Se tienen 4 discos de madera con una de sus
mitades pintada de blanco y la otra de negro,
como se muestra en la figura.
Se tiran los 4 discos simultáneamente.
¿Cuál es la probabilidad de que queden arriba al menos dos círculos
blancos?
216
NIVEL 1
6.º y 7.º Grado
17
Problema 370
Las calificaciones de algunos de los alumnos que dieron una
prueba de Geometría, sin contar los 4 y los 5 fueron:
2,3,2,3,1,2,1,3,3
2,2,2,1,3,3,2,1,1
3,3,3,2,3,2,3,1
Se sabe que hubo la misma cantidad de notas 4 y 5, y que la
media es 3.
¿Cuántas notas 4 y notas 5 hubo?
Solución
Ubicamos los datos conocidos en la tabla:
Nota
1
2
3
4
5
Frecuencia
absoluta
6
9
11
X
X
La media es:
1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 11 + 4 x + 5 x
=3 ⇒
6 + 9 + 11 + 2 x
57 + 9
x = 78 + 6 x ⇒
3
x = 21
Entonces, la cantidad de notas 4 y notas 5 es 7.
Problema 371
Se tienen 3 monedas. En una de las caras están escritos los
números del 1 al 3 y en la otra cara los números del 4 al 6, pero
de modo que la suma de los números ubicadas en caras opuestas
sea igual.
Juan Carlos tira las 3 monedas simultáneamente y suma los
números que se observan.
¿Qué probabilidad tiene Juan Carlos de sacar un múltiplo de 3?
18
215
La nueva lista es:
La geometría y la medida
1,2,3,3,3,3,3,3,4,4,5
Ahora hay 11 números y la mediana es el número que ocupa 6º lugar, o
sea 3.
La respuesta es: C
Problema 369
La gráfica representa el resultado de las
calificaciones del grado de Marta, en
inglés.
Determinar la media, la mediana y la
moda.
Solución
Registramos las cantidades de alumnos con sus calificaciones:
4 (nota 1) , 7 (nota 2) , 8 (nota 3) , 5 (nota 4) , 6 (nota 5)
La cantidad de alumnos encuestados es:
4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30
Calculamos la media:
4 × 1 + 5 × 4 + 6 × 5 + 7 × 2 + 8 × 3 = 92
⇒
92 ÷ 30 = 3,07
Para calcular la mediana, tenemos que tener en cuenta los datos
ordenados:
1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3
3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5
La mediana es: 3
La moda es el dato más abundante, o sea: 3
Media = 3,07
;
Mediana = 3
214
;
Moda = 3
Contenidos:
• Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5.º Grado)
• Área de figuras geométricas planas: rectángulo, cuadrado, triángulo,
trapecio, rombo. (5.º y 6.º Grados)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Triángulo. Concepto. Elementos. Características. (6.º y 7.º Grados)
• Clases de triángulo según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y
según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (6.º y 7.º Grados)
• Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,
paralelogramo. Características particulares de cada uno. (6.º y 7.º
Grados)
• Diagonal de polígonos. (6.º y 7.º Grados)
• Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (6.º y 7.º
Grados)
• Ángulo. Concepto. Elementos. (6.º y 7.º Grados)
• Bisectriz de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Operaciones de adición y sustracción con medida de ángulos. (6.º y 7.º
Grados)
• Complemento y suplemento de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Características y regularidades y cuerpos geométricos. (6.º Grado)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Ángulo. Concepto. Elementos. (6.º y 7.º Grados)
• Bisectriz de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Operaciones de adición y sustracción con medida de ángulos. (6.º y 7.º
Grados)
• Complemento y suplemento de un ángulo. (6.º y 7.º Grados)
• Triángulos. Concepto. Elementos. Característica. (6.º y 7.º Grados)
• Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y
según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (6.º y 7.º Grados)
• Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (6.º y 7.º
Grados)
• Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de lados.
Diagonal de un polígono. Polígono regular. (6.º y 7.º Grados)
• Polígonos cóncavo y convexo. Concepto, características. Región:
interior, exterior y frontera. (6.º y 7.º Grados)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos. (6.º y 7.º
Grados)
• Área lateral y área total de cuerpos geométricas (cubo, prisma,
cilindro). (6.º y 7.º Grados)
19
Problemas para el Aula
Problema 101 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 1)
En un triángulo ABC, el lado BC es una de las alturas del
triángulo. El triángulo ABC es:
A) Equilátero
C) Isósceles
E) C y D son correctas
B) Rectángulo
D) Acutángulo
F) n. d. l. a.
Problema 368
La profe del 9º grado pide a sus alumnos que cada uno de ellos
escriba un divisor de 24 en la pizarra.
Después construye la siguiente tabla:
Divisor
1
2
3
4
6
8
12
24
Solución
Solamente en el triángulo rectángulo uno de los lados puede ser una de
las alturas.
La respuesta es: B
Problema 102 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 3)
La figura muestra un trapecio isósceles,
es decir, los lados inclinados AD y BC son
iguales. Las diagonales se cortan en un
punto P. Si la base DC mide 30, ¿cuánto
debe medir la base AB, para que los
triángulos ABD y ABC tengan la misma
área?
A) 3
C) cualquier valor
E) menos que 30
B) 6
D) más que 10
F) n. d. l. a.
Solución
Los triángulos ABD y ABC tienen la misma base (AB) y la misma altura
(10). Por lo tanto, cualquier valor que tenga la base AB, incluso valores
mayores que 30, el área de los triángulos citados será la misma.
La respuesta es: C
Problema 103 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)
En el triángulo ABC, PA y PB son
bisectrices. La medida del ángulo ACB es
50º.
¿Cuál es la medida del ángulo APB?
A) 115º
C) 150º
E) 50º
B) 130º
D) 65º
F) n. d. l. a.
Cantidad
escrita
1
3
4
3
3
5
4
2
Luego los estudiantes deben calcular la media, la mediana y la
moda. Al entrar un alumno que había salido al patio la profe le
pide que agregue tres divisores iguales a la lista de tal modo que
no varíe la mediana ni la moda.
¿Cuál es el número?
A) 1
C) 3
E) Es imposible
B) 2
D) 4
F) n. d. l. a.
Solución
Como hay 8 números, la mediana debemos calcular con los números que
se ubican en el lugar 4 y 5.
Hacemos una lista de los datos:
1,2,3,3,3,4,4,5
La mediana es:
=3
Como 3 es el número más abundante, esa es la moda.
Para que la moda no varíe Luis debe agregar tres números 3.
Veamos qué pasa con la mediana.
20
213
Problema 367
La lluvia caída sobre Paraguay en el año 2011 se registró en la
siguiente tabla:
Mes
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
∠
∠
BAC + ABC = 180º − 50º = 130º
Lluvia caída
en mm
46
50
99
77
11
5
5
0
19
32
62
106
∠
∠
BAC + ABC
= 65º
2
En el triángulo APB:
∠
APB = 180º − 65º = 115º
La respuesta es: A
¿Cuál es la media de la cantidad de lluvia caída en 2011?
¿Qué porcentaje representa la cantidad de lluvia caída en el mes
de diciembre con respecto al mes de noviembre?
Solución
Para contestar la primera pregunta calculamos la suma de los 12 valores:
46 + 50 + 99 + 77 + 11 + 5 + 5 + 0 + 19 + 32 + 62 + 106 = 512
Luego la media es:
512 ÷ 12 ≅ 42,7 mm
Para la segunda pregunta, tenemos en cuenta que la referencia es el mes
de noviembre, entonces:
⇒
Solución
Considerando el triángulo ABC tenemos:
x = 170,97 %
Problema 104 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)
Alberto dibuja en la pizarra el triángulo de la
izquierda y desafía a sus compañeros para que
calculen la medida del ángulo x.
¿Cuál es la medida del ángulo x?
A) 52º
C) 62º
E) 72º
B) 58º
D) 70º
F) n. d. l. a.
Solución
⇒
58º + x = 128º
La respuesta es: D
Problema 105 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 4)
Se tiene un punto M en el interior de un ángulo de
39º. Desde M se trazan perpendiculares a los lados
del ángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo formado
por esas perpendiculares?
A) 39º
C) 90º
E) 156º
B) 78º
D) 141º
F) n. d. l. a.
Solución
Recordamos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360º.
Entonces:
39º + 90º + 90º + ? = 360º
212
x = 70º
21
⇒
? = 141º
La respuesta es: D
Problema 106 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6)
En el rectángulo de la figura A y B son
puntos
medios
de
los
lados
correspondientes. El área de la superficie
2
pintada es 10 cm .
¿Cuál es el área del rectángulo?
2
2
2
A) 80 cm
C) 40 cm
E) 20 cm
2
2
B) 60 cm
D) 30 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Como A y B son puntos medios, cortan a la
diagonal en su punto medio.
Trazamos MN perpendicular al segmento
AB y a los lados del rectángulo.
Problemas para el Aula
Problema 366 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 13)
Si tres puntos de la figura son seleccionados al azar. ¿Cuál
es la probabilidad de que sean colineales?
1
3
1
A)
C)
E)
2
20
10
1
3
B)
D)
6
10
Solución
Los puntos que son colineales son:
A,B,C ; C,E,F ; A,D,F
Los otros conjuntos de tres puntos son:
Entre AB y MN dividen al rectángulo en cuatro partes iguales, entonces,
la parte pintada es la octava parte del área del rectángulo.
A,C,D ; A,C,E ; A,C,F
Luego, el área del rectángulo es:
2
10 cm — 8 = 80 cm
A,D,E
2
La respuesta es: A
Problema 107 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8)
En un triángulo equilátero el perímetro es mayor que 29 cm pero
menor que 40 cm. La medida de los lados del triángulo son
números enteros. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser uno de
los lados del triángulo?
A) 8 cm
C) 16 cm
E) 22 cm
B) 9 cm
D) 18 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Si llamamos L a la medida de uno de los lados, tenemos:
29 cm < 3 L < 40 cm
A,B,D ; A,B,E ; A,B,F
⇒
9,7 cm < L < 13,3 cm
Por lo tanto, los valores posibles de L son:
10 cm , 11 cm , 12 cm , 13 cm
La respuesta es: F
22
A,E,F
B,C,D ; B,C,E ; B,C,F
B,D,E ; B,D,F
B,E,F
C,D,E ; C,D,F
D,E,F
Encontramos 17 conjuntos. Entonces, en total hay 20 conjuntos.
Y la probabilidad de que tres de ellos estén alineados es:
3
20
La respuesta es: C
211
Problema 108 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 14)
En un paralelogramo ABCD se traza la diagonal AC. El área del
2
triángulo ADC es 26 cm . ¿Cuál es el área del paralelogramo?
2
2
2
A) 6,5 cm
C) 39 cm
E) 65 cm
2
2
D) 52 cm
F) n. d. l. a.
B) 13 cm
Solución
La diagonal AC divide al paralelogramo en
dos triángulos iguales.
Entonces:
(ADC) = 26 cm
2
2
2
(ABCD) = 2 (ADC) = 26 cm — 2 = 52 cm
La respuesta es: D
Problema 109 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 3)
¿Cuánto mide el ángulo x?
Solución
Vemos que:
a + b + x = 180º
180º − 2 x + 180º − 3 x + x = 180º
180º − 4 x = 0
⇒
x = 45º
Problema 110 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 4)
En el cuadrado de la figura, A y B son puntos
medios de los lados correspondientes.
2
El área pintada es 24 cm .
Calcular el área del cuadrado.
210
23
Solución
Como A y B son puntos medios de los lados del
cuadrado, AC = CB. Entonces, los triángulos ACD y
CBD tienen las bases iguales y también las alturas,
por ser lados del cuadrado.
Luego:
1
2
del área del cuadrado = 24 cm
2
2
Entonces, el área del cuadrado es 48 cm .
Problema 111 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 15)
Un jardín con forma de cuadrado se ha dividido
en una piscina (P), flores (F), césped (C) y arena
(A), como se muestra en la figura. El césped y las
flores tienen forma cuadrada. El perímetro del
césped es 20 m y el perímetro del espacio de las
flores es 12 m. ¿Cuál es el perímetro, en metros,
de la piscina?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
Solución
Probabilidad y estadística
Contenidos:
• Tablas de frecuencia absoluta y relativa. (5.º Grado)
• Gráficos de línea. (5.º Grado)
• Tablas y gráficos estadísticos. (6º. Grado)
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado)
• Tablas de frecuencias. (6.º Grado)
• Gráfico circular. (6.º Grado)
• Tabla de frecuencias: absoluta, relativa y porcentual (7.º Grado)
• Gráficos estadísticos circulares (7.º Grado)
• Interpretación de tablas, gráficos circulares y moda (7.º Grado)
• Tablas de frecuencias e histogramas (8.º Grado)
• Interpretación de tablas de frecuencia, histogramas y media
(8.º Grado)
• Experimento aleatorio. (9.º Grado)
• Evento o suceso. (9.º Grado)
• Espacio muestral. (9.º Grado)
• Casos favorables, casos posibles. (9.º Grado)
• Probabilidad de un evento. Regla de Laplace, (9.º Grado)
• Tablas de frecuencia y polígonos de frecuencia (9.º Grado)
• La mediana. (9.º Grado)
• Interpretación de tablas, polígonos de frecuencia y mediana
(9.º Grado)
Consideramos la parte correspondiente al césped:
4 a = 20 m
⇒
a=5m
Lo que corresponde a las flores:
4 b = 12 m
⇒
b=3m
El perímetro de la piscina es:
2 (a + b) = 2 (5 m + 3 m) = 2 — 8 m = 16 m
La respuesta es: D
24
209
Solución
Como M es punto medio, también los son
N y P.
Entonces:
(APM) = (MNC) = (PBN) =10
Y en área del triángulo ABC es:
10 + 10 + 10 + 10 = 40
Problema 112 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 1)
La figura está formada por varios cuadrados. El
más pequeño de ellos tiene un perímetro de 8
cm.
Cuando se va completando la figura, cada
cuadrado tiene 4 cm más de perímetro que el
anterior.
Se dibujan en total 7 cuadrados. ¿Cuál es la medida del contorno
de la figura que resulta con esos 7 cuadrados?
A) 70 cm
B) 72 cm
C) 94 cm
D) 80 cm
E) 86 cm
F) n. d. l. a.
La respuesta es: E
Solución
Los lados de los cuadrados son:
1º → 2 cm
2º → 3 cm
3º → 4 cm
Y así hasta llegar al sétimo cuadrado que tendrá lado 8.
Entre el lado de un cuadrado y el siguiente habrá una diferencia de 1 cm,
como se ve en la figura.
Entonces, calculamos primero la parte de abajo y luego el contorno de la
parte del costado y arriba:
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35
2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 + 6 + 1 + 7 + 1 + 8 + 8 =51
35 + 51 = 86
La respuesta es: E
208
25
Problema 113 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 4)
En la cuadrícula de la figura se pueden distinguir varias
clases de cuadrados.
Los que están formados por un solo cuadradito, los que
están formados por cuatro cuadraditos, etc.
¿Cuántos cuadrados que contengan al menos uno de los
cuadraditos pintados hay?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
F) n. d. l. a.
Problema 364 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 14)
Sandra escribe la siguiente lista de números:
Solución
Cuadrados de 1 × 1 hay 2.
Solución
Vemos que:
Cuadrados de 2 × 2 hay 6.
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
1 , 4 , 7 , 10 , 13 , …
En total Sandra escribe 2 008 números y luego suma todos los
números que escribió. ¿Qué suma obtiene Sandra?
A) 6 045 084
C) 6 049 100
E) 6 061 148
B) 6 047 092
D) 6 055 124
F) n. d. l. a.
Cuadrados de 3 × 3 hay 4.
Cuadrados de 4 × 4 hay 1.
1
1
1
1
+
+
+
+
3
6=1+3—2
9=1+3—3
12 = 1 + 3 — 4
Luego:
En total:
2 + 6 + 4 + 1 = 13
La respuesta es: C
Problema 114 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 8)
En la figura se puede ver un pentágono regular
ABCDE, cuyo centro es O.
2
El área del cuadrilátero ABCO es 26 cm .
¿Cuál es el área del pentágono?
2
2
A) 82 cm
D) 65 cm
2
2
B) 80 cm
E) 52 cm
2
C) 78 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Uniendo los vértices con el centro tenemos 5
triángulos iguales. Entonces:
2
(AOB) = (BOC) = 26 cm ÷ 2 = 13 cm
2
Luego, el área del pentágono es:
2
a2008 = 1 + 3 — 2 007 = 6 022
Por lo tanto tenemos 1 004 parejas que suman:
6 022 + 1 = 6023
Y la suma de todos los números es:
6 023 × 1 004 = 6 047 092
La respuesta es: B
Problema 365 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 15)
En el triángulo de la figura, M es punto
medio del lado correspondiente.
Asimismo 10 es el área del triángulo
menor correspondiente. ¿Cuál es el área
del triángulo mayor?
A) 20
C) 30
E) 40
B) 25
D) 35
F) n. d. l. a.
2
(ABCDE) = 13 cm — 5 = 65 cm
La respuesta es: D
26
207
Solución
Buscamos el primer múltiplo de 17 después de 1 000:
Problemas Desafiantes
Problema 115 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 15)
1 000 ÷ 17 ≅ 58,82
∠
En el triángulo ABC, BAC = 48º. AE es la bisectriz
del ángulo BAC.
¿Cuál es la medida del ángulo EPH?
A) 114º
C) 69º
E) 24º
B) 78º
D) 42º
F) n. d. l. a.
Entonces, el primer múltiplo de 17 es:
59 × 17 = 1 003
Calculamos ahora el último número de la lista:
2 000 ÷ 17 ≅ 117,7
El último es:
Solución
117 × 17 = 1 989
Como AE es bisectriz, tenemos:
Y la cantidad de términos en la lista es:
∠
∠
58 + 1 = 59
La respuesta es: A
BAE = EAC = x = 48º ÷ 2 = 24º
Problema 363 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 10)
Luisa escribe una lista de todos los números primos menores que
38. Luego, en esa lista busca parejas de números primos cuya
suma sea múltiplo de 3. ¿Cuál es la mayor cantidad de parejas
que puede encontrar Luisa?
A) 21
C) 17
E) 10
B) 19
D) 12
F) n. d. l. a.
Como el triángulo APH es rectángulo:
1 989 − 1 003 = 986
→
986 ÷ 17 = 58
→
Solución
La lista de números primos es:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37
∠
APH = 90º − 24º = 66º
∠
EPH = 180º − 66º = 114º
La respuesta es: A
Problema 116 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 3)
El perímetro del rectángulo ACDF de la
figura es 96 cm.
Las parejas cuya suma da un resultado múltiplos de 3 es:
2+7=9
7 + 17 = 24
2 + 13 = 15
7 + 23 = 30
2 + 19 = 21
7 + 29 = 36
2 + 31 = 33
11 + 13 = 24
2 + 37 = 39
11 + 19 = 30
5 + 7 = 12
11 + 31 = 42
5 + 13 = 18
11 + 37 = 48
5 + 19 = 24
13 + 17 = 30
5 + 31 = 36
13 + 23 = 36
5 + 37 = 42
13 + 29 = 42
7 + 11 = 18
Vemos que en total hay 29 parejas.
17
17
17
19
19
23
23
29
+
+
+
+
+
+
+
+
19
31
37
23
29
31
37
31
= 36
= 48
= 54
= 42
= 48
= 54
= 60
= 60
BCDE es un cuadrado que tiene 24 cm más
de perímetro que el rectángulo ABEF.
Determinar el área del rectángulo ACDF.
Solución
y + x + x + x + y + x = 96
4 x + 2 y = 96
4 x – 2 (x + y) = 24 ⇒ 2 x − 2 y = 24
x − y = 12 ⇒ x = 12 + y
La respuesta es: F
206
27
4 (12 + y) + 2 y = 96 ⇒ 48 + 4y + 2y = 96 ⇒ y = 8 ,
x = 20
Los lados del rectángulo miden 28 cm y 20 cm. Entonces, el área es:
28 cm — 20 cm = 560 cm2
A)
Criterios de corrección
•
•
•
Problema 361 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 29)
Sea m un número real tal que 0 ≤ m ≤ 1. Si x + y = m y
2
2
4
4
x + y = 1, ¿Cuál es equivalente de x + y ?
(
1− 1− m 2
2
B) 1 +
Por elegir correctamente las dimensiones de la figura
Por plantear las ecuaciones
Por resolver el problema
2 puntos
3 puntos
2 puntos
)
2
C) 1 −
(1 − m )
2
D) m
2
En un triángulo ABC, BAC = 82º. Calcular el ángulo formado por
las bisectrices de los otros dos ángulos si una de las bisectrices es
interior y la otra exterior al triángulo.
Solución
∠
2 z = 180º − ACB
2
∠
ACB
z = 90º−
2
2 2
4
∠
Entonces, en el triángulo BDC tenemos:
∠
BDC + x + z + ACB = 180º
∠
ABC
ACB
BDC +
+ 90º−
+ ACB = 180º
2
2
28
4
4
2 2
x +y =1−2x y
⇒
x +2x y +y =1
(3)
Elevando (1) al cuadrado:
2
2
2
2 xy = m − 1
2
⇒
⇒
2
2
2
2 xy = m − (x + y )
2 2
2
2
4 x y = (m − 1)
(4)
Reemplazando (4) en (3):
También:
x=
2
Elevando (2) al cuadrado:
x + 2 xy + y = m
∠
4
x + y = 1 (2)
4
Tenemos que:
∠
4
E) m + 1
2
x + y = m (1)
∠
∠
2 2
Solución
Tenemos:
Problema 117 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 5)
∠
(1 − m )
4
4
x +y =1−
ABC
2
La respuesta es: C
Problema 362 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 3)
Sebastián hace una lista de todos los números, múltiplos de 17,
comprendidos entre 1 000 y 2 000. ¿Cuántos números hay en la
lista de Sebastián?
A) 59
C) 71
E) 90
B) 62
D) 83
F) n. d. l. a.
205
Los múltiplos de 3 entre 75 y 85 son:
∠
∠
78 , 81 , 84
Los posibles divisores son:
b
77
79
80
82
83
a—b
5929
6083
6160
6314
6391
a
79
79
79
79
b
79
80
82
83
a—b
6241
6320
6478
6557
a
80
80
80
b
80
82
83
a—b
6400
6560
6640
a
82
82
b
82
83
a—b
6724
6806
a
83
b
83
a—b
6889
∠
∠
∠
ABC+ ACB
BDC +
= 90º
2
77 , 79 , 80 , 82 , 83
a
77
77
77
77
77
∠
ABC
ACB
BDC +
+
= 90º
2
2
∠
180 º − 82º
= 90º
2
BDC +
∠
BDC + 49º = 90º
∠
BDC = 41º
Criterios de corrección
•
•
•
Por graficar
Por relacionar el ángulo interno con el externo
Por relacionar los ángulos del triángulo BDC
•
Por hallar la medida de BDC
∠
2 puntos
1 punto
2 puntos
2 puntos
Problema 118 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 17)
¿Con cuántos palillos idénticos es imposible construir un
triángulo? (Los palillos no pueden romperse)
A) 7
B) 5
C) 3
D) 6
E) 4
Solución
Tomamos como ejemplo el triángulo de la figura, cuyos
lados AB = BC = CA = 1. Esto es, el triángulo se ha armado
con 3 palillos.
Es posible armar un triángulo cuando se cumple que uno
de los lados es menor que la suma de los otros dos.
En las tablas podemos ver todos los productos entre los posibles
divisores. Hay uno solo que está entre las respuestas.
La respuesta es: B
Entonces, con 4 palillos no será posible el triángulo porque tendríamos
como lados: 2 , 1 y 1.
204
29
Analizamos las demás posibilidades:
A partir de la igualdad * y eligiendo la situación conveniente, podemos
n y
demostrar que
Con 5 palillos: 2 , 2 y 1
Con 6 palillos: 2 , 2 y 2
Con 7 palillos: 3 , 2 y 2
p son racionales.
Con esto se completa la demostración.
La respuesta es: E
Problema 119 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 29)
La siguiente figura muestra el plano de un
pequeño pueblo. Hay cuatro rutas de
autobuses en el pueblo. El autobús Nº 1
sigue la ruta C-D-E-F-G-H-C, que tiene un
perímetro de 17 km. El autobús Nº 2 sigue
la ruta A-B-C-F-G-H-A y cubre un
perímetro de 12 km. La ruta del autobús
Nº 3 es A-B-C-D-E-F-G-H-A, y tiene un
perímetro de 20 km.
El autobús Nº 4 realiza el recorrido C-F-G-H-C. ¿Cuál es el
perímetro, en kilómetros, de esta última ruta?
A) 5
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15
Solución
Si sumamos los perímetros de las figuras ABFG y HDEG, aparecen sumados
dos veces los segmentos HG y GF y una vez los segmentos HC y CF:
Criterios de corrección
• Por establecer un racional que representa a
•
•
•
•
•
m + n + p 1 punto
Por descubrir que hay que trabajar con binomios
Por elevar al cuadrado y aislar la parte racional
Por repetir el proceso de elegir otro racional
Por demostrar que una de las expresiones es racional
Por reconocer que se puede aplicar el mismo proceso
para terminar la demostración
1
2
1
1
punto
puntos
punto
punto
1 punto
Problema 359 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 15)
Se sabe que n! = 1 — 2 — 3 — … — (n – 1) — n.
Si n! = 215 — 36 — 53 — 72 — 11 — 13, ¿cuál es el valor de n?
A) 13
C) 15
E) 17
B) 14
D) 16
Solución
Agregamos factores al factorial de acuerdo a la cantidad de exponentes:
2
3
2
2
n! = 1 — 2 — 3 — 2 — 5 — (2 — 3) — 7 — 2 — 3 — (2 — 5) — 11 — (2 — 3) — 13 — (2 — 7) —
PABFG + PHDEG = 12 km + 17 km = 29 km
4
(3 — 5) — 2
Si a este resultado restamos el perímetro de la figura ABCDEFG quedará
la suma equivalente a HC + CF + FG + GH, o sea el perímetro de HCFG:
n! = 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12 — 13 — 14 — 15 — 16
La respuesta es: D
29 km − 20 km = 9 km
Problema 360 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 28)
32
El número 3 − 1 tiene exactamente dos divisores entre 75 y 85.
¿Cuál es el producto de estos divisores?
A) 5 852
C) 6 804
E) 6 972
B) 6 560
D) 6 888
La respuesta es: C
Solución
Tenemos:
3
32
3
30
16
− 1 = (3
+1=
16
+ 1) (3
+1
203
;
16
− 1)
−1
Solución
Sea r un racional cualquiera tal que:
m+ n+ p
r=
r−
2
r −2r
n+ p
m =
2
(r −
*
2
n+ p)
m) =(
m +m=n+2
2
r +m−n−p−2r
np + p
m =2
Problema 120 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 2)
Se construye un triángulo con las
piezas obtenidas usando rombos
de 2 cm de lado, que se cortan
por la diagonal obteniéndose dos
triángulos iguales, como se ve en
la figura.
Se disponen de 31 rombos iguales al de la figura.
¿Cuál es el perímetro del mayor triángulo que se podrá armar?
A) 30 cm
C) 42 cm
E) 54 cm
B) 36 cm
D) 48 cm
F) n. d. l. a.
Solución
En el ejemplo tenemos 4 triángulos que necesitan 2
rombos.
np
Vamos a llamar
horizontalmente.
Sea q un racional tal que:
“filas”
al
conjunto
de
triángulos
ubicados
Con 2 filas tenemos: 1 + 3 → 4 triángulos (2 rombos)
2
q=r +m−n−p
Seguimos con ese esquema:
Entonces:
q−2r
m =2
3 filas: 1 + 3 + 5 → 9 triángulos (4 rombos y una mitad)
np
4 filas: 1 + 3 + 5 + 7 → 16 triángulos (8 rombos)
(q − 2 r
2
q −4rq
2
2
m ) = (2
np )
5 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 → 25 triángulos (12 rombos y una mitad)
2
m +4r m=4np
2
q +4r m−4np=4rq
m =
2
m
q +4r m-4np
4rq
2
2
Como m , n , p , r , q son racionales, el segundo miembro de la
igualdad es racional. Por lo tanto, también lo es el primer miembro.
Luego:
m es racional
6 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 → 36 triángulos
(18 rombos)
7 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 → 49 triángulos
(24 rombos y una mitad)
8 filas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 → 64 triángulos
(32 rombos)
Entonces, podemos llegar hasta 7 filas. Luego habrá 7 triángulos en cada
lado.
La medida de cada lado es:
2 cm — 7 = 14 cm
202
31
Y el perímetro del triángulo:
Para n = 49:
14 cm — 3 = 42 cm
S49 = 48 + 47 + … + 1 + 0 + 1 + 2 + … + 51 = 49 — 24 + 53 — 25 + 1 = 2 502
La respuesta es: C
Para n = 50:
Problema 121 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 12)
El perímetro de un rectángulo tiene 34 cm más que uno de los
lados que mide 18 cm. El rectángulo tiene su área igual a la de un
cuadrado. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
A) 28 cm
B) 32 cm
C) 40 cm
D) 48 cm
E) 54 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Calculamos el perímetro del rectángulo:
18 cm + 34 cm = 52 cm
S50 = 49 + 48 + … + 1 + 0 + 1 + … + 50 = 51 — 24 + 1 + 51 — 25 = 2 500
Para n = 51:
S51 = 50 + 49 + … + 1 + 0 + 1 + … + 49 = 51 — 25 + 51 — 24 + 1 = 2 500
Para n = 52:
S52 = 51 + 50 + … + 1 + 0 + 1 + … + 48 = 53 — 25 + 1 + 49 — 24 = 2 502
El otro lado del rectángulo es:
Vemos que los valores de n que hacen mínimo el valor de S son,
efectivamente:
52 cm − 2 — 18 cm = 16 cm
;
16 cm ÷ 2 = 8 cm
50 y 51
Entonces, el área del rectángulo es:
Criterios de corrección
18 cm — 8 cm = 144 cm
2
• Por hacer exploraciones serias
hasta
3 puntos
Como el cuadrado tiene la misma área que el rectángulo, su lado es:
144 cm2 = 12 cm
• Por descubrir que los valores menores están en el centro
• Por hallar los valores de n
El perímetro del cuadrado es:
2 puntos
2 puntos
12 cm — 4 = 48 cm
La respuesta es: D
Problema 358 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 5)
Problema 122 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 13)
ABCD es un cuadrado de lado 10 y E es el punto
medio del lado BC.
Hallar el área pintada.
50
100
A) 12,5
C)
E)
3
3
25
B)
D) 25
F) n. d. l. a.
3
32
Sean m , n , p racionales, tales que,
racional. Demostrar que
m ,
201
n ,
m + n + p es
p son racionales.
Solución 1
Vemos que los valores de n son:
Solución
El área del triángulo DEC es:
n = 2 , 3 , 4, … , 97 , 98 , 99
10 × 5
= 25
2
Calculamos valores de S para diferentes valores de n:
Para n = 2:
Comparando los triángulos DFC y EFC, los dos
tienen la misma altura, porque el punto F está
sobre el segmento DE , y además equidista de los
lados DC y BC, pero la base del triángulo DFC es
el doble.
S2 = 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + … + 98
S2 = 1 + 99 — 49 = 4 852 (por el Método de Gauss)
Para n = 3:
Por lo tanto:
S3 = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + … + 97
S3 = 2 + 1 + 1 + 99 — 48 = 4 756
Para n = 98:
S98 = 97 + 96 + … + 2 + 1 + 0 + 1 + 2
DC = 2 EC
⇒
(DFC) = 2 (EFC)
Eso quiere decir, que el área (EFC) es la tercera parte del área (DEC) y
por lo tanto el área (DFC) será las dos terceras partes de (DEC):
(DFC) =
2
2
50
(DEC) =
— 25 =
3
3
3
La respuesta es: C
S98 = 99 — 48 + 1 + 1 + 2 = 4 756
Para n = 99:
S99 = 98 + 97 + … + 1 + 0 + 1
S99 = 99 — 49 + 1 = 4 852
Vemos como se comparta S y llegamos a la conclusión que los valores
menores deben estar hacia el centro de la lista:
2 , 3 , … , 98 , 99
Como el promedio de los valores extremos es:
2 + 99
= 50,5 , el valor de
2
S debe corresponder a n = 50 ó n = 51.
Esa ya es la respuesta, pero hacemos algunas verificaciones finales:
200
33
×
7
49
343
2
14
98
−
4
28
196
−
8
56
392
−
16
112
−
−
32
224
−
−
64
448
−
−
128
−
−
−
256
−
−
−
×
11
121
2
22
242
4
44
484
8
88
−
16
176
−
32
352
−
64
−
−
128
−
−
256
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
×
11
121
7
77
−
49
−
−
343
−
−
C) Con tres factores primos: 2 números
×
11
121
14
154
−
28
308
−
56
−
−
98
−
−
112
−
−
En total tenemos: 13 + 17 + 2 = 32
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por hallar
Por hallar
Por hallar
Por hallar
los números que tienen un solo factor primo
los números con dos factores primos
los números con tres factores primos
el resultado
2
3
1
1
puntos
puntos
punto
punto
Problema 357 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 2)
Tenemos la siguiente expresión:
S = n – 1 + n – 2 + . . . . . . . . . . . + n – 100
(n es entero , 1 < n < 100)
Determinar para qué valores de n, S tiene su mínimo valor.
Observación: Recordamos que A significa valor absoluto de A,
que siempre es positivo. Por ejemplo: -2 = 2
34
199
Problema 355 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 9)
Determinar el residuo que se obtiene al dividir 32008 + 2 entre
10.
Solución
Las terminaciones de las primeras potencias de 3 son:
0
1
2
3
4
3 = 1 , 3 = 3 , 3 = 9 , 3 = …7 , 3 = …1 , etc.
Vemos que se repiten cada 4 veces. Entonces:
2 008 = 4 — 502 + 0
La terminación de 3
2008
es 1.
Luego:
3
2008
+2
→
------ 1 + 2
→
------ 3 ÷ 10
→
residuo 3
Problema 356 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 1)
Se consideran todos los números enteros positivos, menores que
500, tales que sus factores primos sean solamente 2 , 7 , 11 o
alguna combinación entre ellos.
¿Cuántos números hay?
Solución
A) Con un solo factor primo: 13 números
•
•
•
Potencias de 2
Potencias de 7
Potencias de 11
→
→
→
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256
7 , 49 , 343
11 , 121
El número y las operaciones – Expresiones algebraicas
Contenidos:
• Relaciones de equivalencias y de orden. (5.º Grado)
• Valor posicional, absoluto y relativo. (5.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (5.º
Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7 y 11. (5.º Grado)
• Amplificación y simplificación de fracciones. (5.º Grado)
• Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado)
• Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado)
• Algoritmos y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales de
números racionales en notación decimal y fraccionaria. (5º Grado)
• Relaciones de equivalencias y de orden. (6.º Grado)
• Notación científica. (6.º Grado)
• Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias
de diez. (6.º Grado)
• Lee y escribe comprensivamente números racionales en notación
fraccionaria y decimal, hasta los millonésimos. (6.º Grado)
• Lee y escribe números naturales hasta la centena del millón. (6.º
Grado)
• Concepto de razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y
magnitud. (6.º Grado)
• Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6.º Grado)
• Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6.º Grado)
• Regla de tres. (6.º Grado)
• Números enteros opuestos y valor absoluto. (7.º Grado)
• Representación de los números enteros en la recta numérica.
• (7.º Grado)
• Números enteros opuestos y valor absoluto. (7.º Grado)
• Representación de los números enteros en la recta numérica.
• (7.º Grado)
El total es:
2 , 7 , 11 , 4 , 49 , 121 , 8 , 343 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256
B) Con dos factores primos: 9 + 7 + 1 = 17 números
198
35
Hacemos la tabla:
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
B
59
58
57
56
55
54
53
52
51
A+B
100
100
100
100
100
100
100
100
100
Se encuentran 9 pares de números.
Problema 354 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 5)
2
2
En la ecuación x − A x + 2A = 0 , A es un número entero y una
de las raíces es 2.
Determinar los posibles valores de la otra raíz.
Solución
Tenemos:
2
2
x − A x + 2A = 0
;
A∈Z
;
r1 = 2 , r2 = b
De acuerdo a las relaciones de Vieta:
2+b=A
2
;
2b=2A
2
⇒
⇒
b=A
Entonces:
A+2=A
2
A −A−2=0
Luego:
(A − 2) (A + 1) = 0
Los posibles de A son:
2 , -1
36
197
Problema 351 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 12)
2
2
¿Cuál es el resultado de: 3 000 003 + 4 000 004 ?
2
2
2
A) 5 000 005
C) 1 200 000
E) 2 500 000
2
2
D) 1 000 001
F) n. d. l. a.
B) 7 000 007
Problemas para el Aula
Problema 123 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 4)
A es el menor número que debe restarse de 1 456 para que sea
divisible por 29. ¿Cuánto se obtiene al multiplicar los dígitos de
A?
A) 3
C) 5
E) 8
B) 4
D) 6
F) n. d. l. a.
Solución
Descomponemos los números:
2
2
2
(3 — 1 000 001) + (4 — 1 000 001) = 9 — 1 000 001 + 16 — 1 000 001
2
2
2
2
25 — 1 000 001 = (5 — 1 000 001) = 5 000 005
La respuesta es: A
Problema 352 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 15)
Se tiene la proporción:
.
Además se sabe que a + b + c = 24 108.
¿Cuál es el valor de (c − a)?
A) 7
C) 9
E) 12
B) 8
D) 10
F) n. d. l. a.
Solución
Tenemos:
y a + b + c = 24 108
Entonces, aplicamos una de las propiedades de las proporciones:
⇒
c−a=8
La respuesta es: B
Problema 353 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 1)
La suma de dos números enteros positivos y diferentes es 100.
Ambos números son mayores que 40 pero menores que 60.
¿Cuántos pares de números se pueden encontrar?
Solución
Llamamos A y B a los dos números. Entonces:
A + B = 100
;
40 < A , B < 60
196
Solución
Efectuamos la división:
1 456 = 29 × 50 + 6
Como el residuo es 6, ese valor tenemos que restar del dividendo para
que sea divisible exactamente por 29.
Por lo tanto, A = 6 y lógicamente la suma de sus dígitos es 6 porque A
tiene un solo dígito
La respuesta es: D
Problema 124 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 1)
La profesora de Lucía escribió en la pizarra la siguiente lista de
números que tiene tres números desconocidos. Ella comentó a los
alumnos que usó una “regla secreta” para hacer lista:
23 , 40 , 57 , A , B , 108 , 125 , C
La profesora pidió a los alumnos que determinen el valor de
(A + B − C).
¿Qué valor encontró Lucía?
A) 307
C) 142
E) 23
B) 165
D) 125
F) n. d. l. a.
Solución
Buscamos la ley de formación:
23 + 17 = 40
40 + 17 = 57
57 + 17 = 74
74 + 17 = 91
91 + 17 = 108
108 + 17 = 125
125 + 17 = 142
37
Por lo tanto:
A = 74 , B = 91 , C = 142
A + B − C = 74 + 91 − 142 = 23
La respuesta es: E
Problema 125 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 3)
Pedro divide un número mayor que 50 000 entre 7. ¿Cuál de los
siguientes residuos es posible que obtenga Pedro?
A) 15
C) 8
E) 5
B) 10
D) 7
F) n. d. l. a.
Solución
El valor del residuo está entre los números naturales desde el 0 hasta el
6. Recordamos que el residuo tiene que ser menor que el divisor.
La respuesta es: E
Problema 126 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)
Mirta escribe una lista con tres números enteros consecutivos en
su cuaderno y luego halla la suma de todos esos números. La
suma que obtiene es 111. ¿Cuál de los siguientes números puede
estar en la lista de Mirta?
A) 35
C) 36
E) 44
B) 39
D) 42
F) n. d. l. a.
Solución
Dividimos 111 entre 3 para encontrar el número del medio:
111 ÷ 3 = 37
La lista de Mirta es:
Problema 349 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)
Carlos y cuatro de sus compañeros resuelven el problema de
estadística dado por la profesora. El problema consiste en
calcular la edad promedio de los cinco. Ellos encuentran como
resultado 15,8 años. Pero luego, Luisa se suma al grupo y el
nuevo promedio con ella es de 16 años.
¿Cuál es la edad de Luisa?
A) 13 años
C) 15 años
E) 17 años
B) 14 años
D) 16 años
F) n. d. l. a.
Solución
La edad promedio de Carlos y sus 4 compañeros es:
S5 = 79 años
Al ser agregada Luisa, la situación es la siguiente:
= 16 años
⇒
S6 = 96 años
Entonces, la edad de Luisa es:
96 años − 79 años = 17 años
La respuesta es: E
Problema 350 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 9)
y
.
Las raíces de una ecuación de 2º grado son:
¿Cuál es la ecuación?
A) 3 x2 + 6 x + 1 = 0
D) 9 x2 − 12 x + 1 = 0
B) 3 x2 − 6 x + 1 = 0
E) 12 x2 − 9 x + 1 = 0
2
C) 9 x + 12 x + 1 = 0
F) n. d. l. a.
Solución
Trabajamos con las raíces:
36 , 37 , 38
(
La respuesta es: C
Problema 127 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)
Una novela que está leyendo Martín tiene numeradas sus páginas
del 1 al 81. ¿Cuántos dígitos 3 están escritos en las páginas de la
novela?
A) 17
C) 19
E) 21
B) 18
D) 20
F) n. d. l. a.
38
⇒
= 15,8 años
)(
)=0
=0
=0
2
x −
x+
=0
⇒
195
2
9 x − 12 x + 1 = 0
La respuesta es: D
Solución
Contabilizamos:
Llevando (2) a (1):
a = 4 (5 c + 5 a) + 4 c = 20 c + 20 a + 4 c
⇒
-19 a = 24 c
Entonces:
a=-
c
En (2):
b = 5 (-
c) + 5 c = -
+5c=-
c
De la
De la
De la
De la
De la
De la
De la
De la
De la
página
página
página
página
página
página
página
página
página
1 a la 9
10 a la 19
20 a la 29
30 a la 39
40 a la 49
50 a la 59
60 a la 69
70 a la 79
80 a la 81
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1
1
1
11
1
1
1
1
0
La cantidad total es:
Luego:
1 × 7 + 11 = 18
La respuesta es: B
=La respuesta es: C
Problema 348 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)
Las raíces de una ecuación de segundo grado son - y b.
¿Cuál de las siguientes puede ser la ecuación?
2
2
A) 5 x − 3 x + 2 b = 0
D) 5 x + 3 x − 5 b x − 3 b = 0
2
2
B) 2 x + x − 5 b = 0
E) 5 x − 3 x + 5 b x − 5 = 0
2
C) 3 x − 3 x − b = 0
F) n. d. l. a.
Problema 128 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 9)
Si se suman las edades de Raúl y Ramona dentro de 8 años, se
obtiene como resultado 41 años.
¿Cuál sería el resultado si la suma se hiciera hoy?
A) 33 años
C) 28 años
E) 13 años
B) 30 años
D) 25 años
F) n. d. l. a.
Solución
Llamamos X e Y a las edades
respectivamente. Entonces tenemos:
X + 8 + Y + 8 = 41
⇒
Solución
Como las raíces son -
y b, deben responder a la igualdad:
2
(x + ) ( x − b) = x +
x−
b − bx = 0
2
5 x + 3 x − 3 b − 5 bx = 0
La respuesta es: D
actuales
de
Raúl
y
Ramona,
X + Y = 41 − 16 = 25
La respuesta es: D
Problema 129 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 10)
Ir al cine y comprarse un helado cuesta 20 000 G. Si invito a Laura
sólo al cine, gasto 30 000 G. ¿Cuánto gastaría para invitar a Laura
y 3 amigos más al cine y a tomar un helado cada uno?
A) 80 000 G
C) 50 000 G
E) 150 000 G
B) 40 000 G
D) 100 000 G
F) n. d. l. a.
Solución
Invitar a Laura más 3 amigos y yo, hacemos 5 personas.
Entonces:
20 000 G — 5 = 100 000 G
La respuesta es: D
194
39
Problema 130 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 11)
En la adición de la izquierda, X e Y representan dígitos
distintos. ¿Qué valor tiene la suma (X + Y)?
A) 4
C) 7
E) 10
B) 6
D) 8
F) n. d. l. a.
Solución
Atendiendo a las centenas, es evidente que el valor de X es 1.
Entonces, en las decenas:
4 + Y + Y + 1 = 17
⇒
2 Y = 17 − 5 = 12
⇒
Y=6
Luego:
X+ Y = 1 + 6 = 7
La respuesta es: C
Problemas Desafiantes
Problema 346 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)
Con los dígitos a y b (a y b mantienen constantes sus valores), se
escriben todos los capicúas posibles de cuatro cifras.
La suma de todos los capicúas escritos es 11 110. Halar el valor
de (a + b). Los capicúas no tienen los 4 dígitos iguales.
(Un número capicúa es el número que se lee de igual forma de
derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo
15 651)
A) 15
C) 13
E) 11
B) 14
D) 12
F) n. d. l. a.
Solución
Hay dos números que se pueden escribir:
;
Problema 131 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 16)
Entre los números de tres cifras distintas, X es el menor posible e
Y es el mayor posible. ¿Cuál es el valor de 3 X + 2 Y?
A) 2 384
C) 2 304
E) 1 122
B) 2 367
D) 2 298
F) n. d. l. a.
Entonces:
Solución
Los valores de X e Y son:
1 000 a + 100 b + 10 b + a + 1 000 b + 100 a + 10 a + b = 1 111 a + 1 111 b
X = 102
;
+
Y = 987
= 11 110
1 111 (a + b) = 11 110
Entonces:
3 X + 2 Y = 3 × 102 + 2 × 987 = 2 280
La respuesta es: F
Problema 132 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 1)
Cuando nació su hijo Raúl, Marta tenía 28 años y su marido 31.
Hoy Raúl cumple 11 años. ¿Cuál es la suma de las edades de Raúl
y sus padres?
Solución
Calculamos las edades actuales de marta y su marido:
Marta: 28 + 11
Marido: 31 + 11
→
→
39 años
42 años
Entonces, la suma de las edades actuales de los tres es:
a + b = 10
La respuesta es: F
Problema 347 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 4)
Si
=4 y
= 5 ; determinar
.
A) 19
C) -
E) -
B) –19
D)
F) n. d. l. a.
Solución
Tenemos:
=4
⇒
a = 4 b + 4 c (1)
=5
⇒
b = 5 c + 5 a (2)
39 años + 42 años + 11 años = 92 años
40
⇒
193
Problema 133 (3ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)
Carmen escribe una lista de todos los números capicúas que
existen entre 700 y 1 000. La profesora de matemáticas le da
como tarea encerrar en círculo los números de la lista que son
múltiplos de 11.
¿Cuántos números debe encerrar en círculo Carmen?
(Un número capicúa es el número que se lee de igual forma de
derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo
15 651)
Solución
La lista de Carmen es la siguiente:
707 , 717 , 727 , 737 , 747 , 757 , 767 , 777 , 787 , 797
808 , 818, 828 , 838 , 848 , 858 , 868 , 878 , 888 , 898
909 , 919 , 929 , 939 , 949 , 959 , 969 , 979 , 989 , 999
Los múltiplos de 11 están subrayados. Vemos que son 3 números.
Problema 134 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 5)
Un número entero de 2 008 cifras se divide entre 37. Determinar
cuántos valores posibles existen para el resto de la división.
Solución
Como el resto debe ser menor que el divisor, los valores posibles son:
0 , 1 , 2 , … , 36
O sea que 37 valores posibles.
Problema 135 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 8)
Un número A se divide entre 13 y se obtiene un cociente igual a 6
y residuo 9.
Si A se divide entre (2 B) se obtiene el mismo cociente pero
residuo 3. Calcular el valor de B.
Solución
En la primera división tenemos:
A = 13 × 6 + 9 = 87
En la segunda división:
87 = (2 B) — 6 + 3
192
⇒
84 = 12 B
41
⇒
B=7
Problema 136 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 10)
a
b
c
=
=
En la proporción
se tiene que b + c − a = 135.
36 84 114
Hallar el valor de b.
Solución
Recordamos una propiedad de las proporciones:
Problema 344 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 9)
x
y
Si 8 — 9 = 41 472, (x , y son números enteros), ¿cuál es el valor
de (x + y)?
A) 2
C) 4
E) 6
B) 3
D) 5
F) n. d. l. a.
Solución
Tenemos:
“En toda proporción, la suma (o resta) de los antecedentes es a la suma
(o resta) de los consecuentes, como una antecedente cualquiera es a su
consecuente”.
x
y
8 — 9 = 41 472
x
⇒
y
9
4
;
2y=4
8 —9 = 2 —3
⇒
2
3x
—3
2y
9
=2 —3
4
Luego:
Entonces:
b+c−a
b
=
84 + 114 − 36 84
3x=9
135
b
=
162 84
⇒
⇒
⇒
x=3
b = 70
⇒
y=2
3+2=5
La respuesta es: D
Problema 137 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 1)
¿Por cuál número puede ser reemplazado
para que
×
= 2 × 2 × 3 × 3?
A) 2
B) 3
C) 6
D) 4
E) 9
Solución
Vemos que para que se cumpla la igualdad debemos agregar dos factores
2 y dos factores 3.
Entonces:
La respuesta es: C
Problema 138 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 2)
Para que la igualdad 1 + 1 ♥ 1 − 2 = 100 sea correcta, ¿por cuál
de las alternativas siguientes debemos reemplazar el símbolo ♥?
A) +
B) −
C) ×
D) 1
E) 0
Problema 345 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 12)
1
a−
2
a ?
Si a =
(a ≠ 0 , b ≠ 0); ¿cuál es el equivalente de
1
b
b+
b
b 2 −1
4 − b2
b 2 −1
A)
C)
E)
4 + 2b 2
2b 2 + 2
8 + 2b 2
2
2
4−a
a −1
B)
D)
F) n. d. l. a.
2a 2 + 2
4 + 2a 2
Solución
Tenemos:
=
=
=
La respuesta es: C
Solución
Trabajamos con la igualdad:
1 + 1 ♥ 1 − 2 = 100
1 ♥ 1 = 100 + 2 − 1
⇒
⇒
1 ♥ 1 = 101
♥=0
La respuesta es: E
42
191
Problema 341 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 1)
4
¿Qué número hay sumar a la fracción
, para que la fracción se
11
duplique?
4
8
2
A)
C)
E)
11
11
11
B) 2
D) 4
Problema 139 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 6)
Las tablas I y II son pequeñas tablas de multiplicación.
¿Qué número debería estar en el
lugar del signo de interrogación?
A) 36
B) 42
C) 54
D) 56
E) 65
F) n. d. l. a.
Solución
Solución
Para que una cantidad se duplique, basta con sumarle la misma cantidad.
La respuesta es: A
Lo primero que completamos es el 5 y el 7 porque son los
factores comunes entre 35 y 30 el primero y entre 35 y 63
el segundo.
Problema 342 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 6)
Luego, ubicamos el 6 que es factor de 30 y el 9 que es
factor de 63.
Dada la igualdad: 3 8A = 6, ¿cuál debe ser el menor valor de A
para que la igualdad se cumpla?
A) 6
C) 216
E) 4 800
B) 36
D) 2 160
F) n. d. l. a.
Solución
Tenemos:
=
⇒
3
A=2 —3
6
= 5 832
La respuesta es: F
Problema 343 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 7)
Determinar la siguiente suma:
1 + 2 + 5 + 6 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38
A) 280
B) 390
C) 410
D) 520
E) 630
F) n. d. l. a.
Por último, nos queda 6 × 9 = 54
La respuesta es: C
Problema 140 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 7)
Teresa tiene 37 bombones de chocolate. Su amiga Claudia le
dice: “Si me dieras 10 de tus bombones, ambas tendríamos el
mismo número de bombones”. ¿Cuántos bombones tiene Claudia?
A) 10
B) 17
C) 22
D) 27
E) 32
Solución
Si Teresa de 10 de sus bombones, le quedan 27 bombones.
Entonces:
⇒
27 = C + 10
Solución
La suma es:
C = 17
La respuesta es: B
1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38 =
3 + 11 + 19 + … + 59 + 67 + 75
La cantidad de términos en la última serie es:
75 − 3 = 72
; 72 ÷ 8 = 9
;
9 + 1 = 10
Entonces, tenemos 5 parejas que suman 78. Luego:
78 × 5 = 390
Problema 141 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 8)
Lucas lanzó dos flechas al tablero de tiro al
blanco. En el dibujo se observa un puntaje de 5
puntos. Si suponemos que ambas flechas siempre
caen en el tablero, ¿cuántos puntajes distintos
puede obtener Lucas?
A) 6
B) 9
C) 3
D) 8
E) 4
La respuesta es: B
190
43
Solución
Calculamos los puntos que se obtienen de acuerdo a las distintas
posibilidades, para ver si no hay puntajes que se repiten:
2+2=4 ; 2+3=5 ; 2+6=8
3 + 3 = 6 ; 3 + 6 = 9 ; 6 + 6 = 12
La respuesta es: A
Problema 142 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 10)
Hay 3 canciones en un CD. La primera dura 6 minutos y 25
segundos, la segunda dura 12 minutos y 25 segundos y la tercera
10 minutos y 13 segundos. ¿Cuál es la duración total de la música
grabada en el CD?
A) 28 minutos y 30 segundos
B) 31 minutos y 13 segundos
C) 29 minutos y 3 segundos
D) 31 minutos y 30 segundos
E) 30 minutos y 10 segundos
Solución
Calculamosla suma de los tiempos:
6 min 25 seg + 12 min 25 seg + 10 min 13 seg = 28 min 63 seg
Eso corresponde a:
29 min 3 seg
La respuesta es: C
Problema 143 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 11)
Gabriel es más alto que Arnaldo y más pequeño que Tomás.
Ignacio es más alto que Cristian pero más pequeño que Gabriel.
¿Quién es el más alto?
A) Arnaldo
B) Cristian
C) Gabriel
D) Ignacio
E) Tomás
Solución
Consideramos primero la primera condición:
A<G<T
Y de acuerda a la segunda condición:
C<I<G
Comparando las dos desigualdades, vemos que el mayor de todos es
Tomás.
La respuesta es: E
44
Problema 338 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 6)
Si x + y = 0 y x ≠ 0, ¿a cuánto equivale
A) - 1
C) 1
B) 0
D) 22008
?
E)
x
y
Solución
Tenemos:
x+y=0
⇒
x = -y
Entonces:
=
2008
=
= (-1)
=1
La respuesta es: C
Problema 339 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 11)
Dados los siguientes siete números:
-9 ; 0 ; -5 ; 5 ; -4 ; -1 ; -3
se toman tres parejas que tengan la misma suma. ¿Cuál es el
número que queda fuera?
A) 5
C) - 3
E) - 5
B) 0
D) - 4
Solución
Vemos que:
-9 + 5 = -4 ; -3 + -1 = -4 ; -4 + 0 = -4
La respuesta es: E
Problema 340 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 12)
2
3
3
2
9
Si tenemos que x y z = 7 y x y = 7 ,
¿cuál es el valor de x y z?
4
8
10
A) 7
C) 7
E) 7
6
9
B) 7
D) 7
Solución
Multiplicando las igualdades tenemos:
3 3 3
x y z =7
12
⇒
xyz=7
4
La respuesta es: A
189
Problema 336 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 7)
Se suma varias veces un número primo y se obtiene como
resultado 4 290. Determinar cuáles pueden ser los valores de ese
número primo.
Solución
La descomposición canónica del número 4 290 es:
Problema 144 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 14)
A Juan le gusta multiplicar por 3, a Pedro le gusta sumar 2 y a
Luis le gusta restar 1. Si llamamos J , P y L a las acciones de
Juan, Pedro y Luis, respectivamente, ¿en qué orden deberían
realizar sus acciones favoritas para convertir 3 en 14?
A) J P L
B) P J L
C) J L P
D) L J P
E) P L J
Solución
Analizamos las distintas opciones:
4 290 = 2 × 3 × 5 × 11 × 13
Eso quiere decir que podemos sumar 2 145 (3 × 5 × 11 × 13) veces el
número 2.
JPL
PJL
JLP
LJP
PLJ
Así mismo podemos proceder con los otros valores.
Los valores posibles son:
→
→
→
→
→
3 × 3 + 2 − 1 = 10
(3 + 2) × 3 − 1 = 14
3 × 3 − 1 + 2 = 10
(3 − 1) × 3 + 2 = 8
(3 + 2 − 1) × 3 = 12
La respuesta es: B
2 , 3 , 5 , 11 , 13
Problema 337 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 2)
En las siguientes igualdades, las letras A , B , C , D y E
representan dígitos distintos.
A+A+A=B
¿Cuál es el valor de “E”?
A) 0
B) 2
;
C+C+C=D
C) 6
D) 8
;
B+D=E
E) 9
Solución
Observando las igualdades, tanto B como D deben ser múltiplos de 3, por
lo tanto E es múltiplo de 3.
El único valor posible es 9, que es la suma de 3 y 6, porque el otro
múltiplo de 3 que es 6 es la suma de 3 y 3, y B ≠ D.
La respuesta es: E
Problema 145 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 16)
¿Cuántos números de dos cifras son tales que el dígito de la
derecha es mayor que el de la izquierda?
A) 36
B) 18
C) 50
D) 45
E) 30
Solución
Con 1 adelante:
12 , 13 , 14 , … , 19 (8 números)
Así seguimos con 2 , 3 , etc., adelante:
23, 24 , … , 29 (7 números)
34 , … , 39 (6 números)
45 , … , 49 (5 números)
56 , … , 59 (4 números)
67 , … , 69 (3 números)
78 , .. , 79 (2 números)
89 (1 número)
El total de números es:
8 + 7 + 6 + … + 1 = 36
La respuesta es: A
188
45
Problema 146 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 18)
Una tarde, doña Carmen recibió la visita de sus nietos y antes de
que ellos llegaran había preparado algunas galletitas. Durante la
visita se puso a preparar 17 galletitas más de las que había
preparado antes de la llegada de sus nietos y repartió un total de
21 galletitas entre ellos. Después de la visita, a doña Carmen le
sobraron 15 galletitas. ¿Cuántas galletitas había preparado doña
Carmen antes de la visita de sus nietos?
A) 18
B) 19
C) 23
D) 33
E) 53
Solución
Llamamos X a la cantidad de galletitas que preparó doña Carmen antes
de que lleguen sus nietos.
⇒
Entonces no existe la posibilidad de que esos capicúas terminen en 5.
La respuesta es: F
Problema 334 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 3)
Los números positivos m y n están relacionados de la siguiente
2
forma: = n ;
= 8 n. Hallar el valor de m.
Solución
Tenemos:
Entonces:
X +17 = 21 + 15
Solución
Entre 100 000 y 200 000 los números capicúas son de la forma:
X = 19
La respuesta es: B
Problema 147 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 24)
De todos los números abcd de cuatro cifras tales que
a < b < c < d, elegimos el mayor número divisible por 6. ¿Cuál es
el dígito de las centenas de este número?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
=n
2
⇒
m=4n
2
=8n
⇒
m = 72 n (2)
(1)
De (1) y (2):
2
4 n = 72 n
⇒
n = 18
⇒
2
m = 4 — 18 = 1 296
Solución
Para que un número sea divisible por 6 debe serlo por 3 y por 2. O sea,
debe ser par y la suma de sus dígitos debe ser múltiplo de 3.
O bien:
La cifra de las unidades es la mayor de todas, según dice la condición del
problema. Probemos variando en primer lugar el dígito de las unidades y
luego el de las decenas, centenas y unidades de mil respectivamente:
Problema 335 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)
¿Por cuáles de los siguientes números es divisible la suma de siete
números enteros positivos consecutivos
A) 1
C) 7
E) 1 y 7
B) 2
D) 1 y 2
F) n. d. l. a.
5 678
4 578
→
→
5 + 6 + 7 + 8 = 26
4 + 5 + 7 + 8 = 24
La respuesta es: C
m = 72 n = 72 — 18 = 1 296
Solución
La suma es:
a + a+ 1 +a + 2 + a + 3 + a + 4 + a + 5 + a + 6 = 7 a + 21 = 7 (a +3)
Tenemos que 7 (a + 3) es múltiplo de 7 entonces es divisible por 7, pero
también, todo número es divisible por 1.
La respuesta es: E
46
187
Solución
Hacemos la división:
Problema 148 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 28)
Una florería tiene 24 rosas blancas, 42 rojas y 36 amarillas
después de la venta del día. ¿Cuál es el mayor número de arreglos
florales idénticos que se pueden hacer si se quieren usar todas las
flores que quedaron?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Solución
Tenemos en cuenta que:
Como la división es exacta, tenemos:
24 = 6 — 4
M a − 88 a = 0
⇒
M = 88
La respuesta es: E
Problema 332 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)
El producto de tres números pares consecutivos es 1 680. ¿Cuál es
la suma de los tres números?
A) 30
C) 38
E) 48
B) 36
D) 42
F) n. d. l. a.
Solución
Podemos aproximar nuestro cálculo hallando la raíz cúbica de 1 680:
≅ 11,8
Como los tres números consecutivos son pares, podemos pensar que uno
de ellos es 10. Entonces, los otros serían:
8 × 10 × 12 = 960
;
42 = 6 — 7
;
36 = 6 — 6
Como 6 es el máximo divisor común de los tres números, podemos formar
un arreglo floral tomando cuatro flores blancas, siete flores rojas y seis
flores amarillas y habrá 6 arreglos iguales.
La respuesta es: B
Problema 149 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 3)
Hallar el resultado de la siguiente suma:
3 333 333 − 333 333 + 33 333 − 3 333 + 333 − 33 + 3
A) 330 330
B) 3 030 303
C) 3 000 000
D) 6 060 606
E) 6 000 000
F) n. d. l. a.
Solución
Efectuamos por parejas las operaciones, es decir, el 1º y el 2º, el 3º y el
4º, y así sucesivamente:
3 000 000 + 30 000 + 300 + 3 = 3 030 303
La respuesta es: B
10 × 12 × 14 =1 680
Problema 150 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 9)
¿Cuál es la suma de los 20 primeros números de la secuencia
Y la suma buscada es:
10 + 12 + 14 = 36
La respuesta es: B
Problema 333 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 3)
Se escribe una lista de todos los números capicúas que existen
entre 100 000 y 200 000.
¿Cuál es la cantidad de números terminados en 5 que hay en la
lista?
A) 10
C) 100
E) 900
B) 50
D) 500
F) n. d. l. a.
(Un número capicúa es aquel que se lee igual de derecha a izquierda, que
de izquierda a derecha, por ejemplo: 575 , 1 331).
186
;
A) 133
D) 154
1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 6 , 7 , ...?
B) 140
C) 147
E) 162
F) n. d. l. a.
Solución
La suma que buscamos es:
1+2+2+3+4+4+5+6+6+7+8+
8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14
El resultado es: 147
La respuesta es: C
47
Problema 151 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 15)
4
¿Qué número hay que sumar a la fracción
, para que la
11
fracción se duplique?
4
8
A)
B) 2
C)
11
11
2
F) n. d. l. a.
D) 4
E)
11
Problemas para el Aula
Problema 330 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6)
¿En que termina la suma de siete números enteros consecutivos,
mayores que -1?
A) cualquier nº desde 0 a 9
D) en 0 ó en 2 ó en 7
B) siempre en 2
E) en 1 ó en 5 ó en 7
C) siempre en 7
F) n. d. l. a.
Solución
La suma es:
Solución
Llamamos X al número que vamos a sumar:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 + a + 5 + a +6 = 7 a + 21
4
4
+X=2—
11
11
⇒
4
8
+X=
11
11
Entonces:
X=
8
4
4
−
=
11 11 11
La respuesta es: A
Problemas Desafiantes
Problema 152 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)
¿Cuál es la mayor cantidad de capicúas de tres dígitos que se
puede sumar de manera que se obtenga otro capicúa de tres
dígitos?
(Un número capicúa es el número que se lee de igual forma de
derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo
15 651)
A) 3
C) 5
E) 7
B) 4
D) 6
F) n. d. l. a.
Solución
Analizamos algunos casos:
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
0
7
4
1
8
5
2
9
6
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1
8
5
2
9
6
3
0
7
4
A partir de 10 se repiten todos los valores obtenidos, entonces, el dígito
de las unidades puede ser:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
La respuesta es: A
Problema 331 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)
3
2
2
El polinomio 40 a − 63 a + M a − 84 es divisible por 8 a − 3 a +
14. ¿Cuál es el valor de M?
A) 36
C) 57
E) 88
B) 42
D) 76
F) n. d. l. a.
101 + 121 + 131 = 343
494 + 585 = 1 079
Nos damos cuenta que si aparecen dígitos mayores, al sumar se pasa
unidades al siguiente orden.
48
185
• Algoritmos y propiedades de la potenciación y la radicación con números
enteros y racionales en notación fraccionaria y decimal.
(7.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y
racionales, en situaciones que lo requieran. (7.º Grado)
• Leyes y propiedades de la potenciación. (7.º Grado)
• Radicación, concepto, características. (7.º Grado)
• Ecuaciones lineales. (7.º Grado)
• Ecuación lineal: Concepto. Características. Elementos: miembros,
incógnita, término independiente. (7.º Grado)
• Ecuaciones lineales con una incógnita de las formas: ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d. (7.º Grado)
• Expresión algebraica. Concepto. Características. Elementos. Clasificación.
(8.º Grado)
• Grado de un monomio. Monomios semejantes. (8.º Grado)
• Clasificación de polinomios. Grado absoluto y relativo de un polinomio.
(8.º Grado)
• Valor numérico de expresiones algebraicas. (8.º Grado)
• Algoritmos y propiedades de las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación con expresiones algebraicas: entre monomios, entre polinomio
y monomio, entre polinomios. (8.º Grado)
• Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios,
entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla de
Ruffini. (8.º Grado)
• Factorización de expresiones algebraicas polinómicas, en diferentes
contextos. (8.º Grado)
• Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios,
entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla de
Ruffini. (8.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de las operaciones con radicales con expresiones
algebraicas. (9.º Grado)
• Radicales semejantes. Introducción y extracción de factores de un
radical. (9.º Grado)
• Algoritmo de las operaciones con radicales. (9.º Grado)
• Expresiones conjugadas. Racionalización de denominadores.
(9.º
Grado)
• Ecuaciones con radicales. (9.º Grado)
• Resolución analítica y gráfica de ecuaciones. (9.º Grado)
• Ecuaciones de 2º grado. Reconstrucción de ecuaciones de 2º grado. (9.º
Grado)
Entonces, probemos con dígitos bajos:
101 + 101 + … + 101 = 101 × 9 = 909
101 + 101 + … + 101 = 101 × 10 = 1 010
111 + 111 + … + 111 = 111 × 9 = 999
111 + 111 + … + 111 = 111 × 10 = 1 110
Otras combinaciones:
101 × 3 + 111 × 6 = 969
101 × 4 + 111 × 6 = 1 070
Podemos seguir haciendo pruebas y encontraremos que la mayor cantidad
de capicúas es 9.
La respuesta es: F
Problema 153 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6)
La mamá de Marcos siempre prepara la misma cantidad de
galletitas una vez a la semana. Como Marcos es muy goloso, su
mamá le dijo: “si comes 3 cada día, tendrás que esperar 3 días
más hasta que las prepare de nuevo, pero si comes 2 cada día,
sólo dejarás de comerlas un día”. ¿Cuántas galletitas prepara su
mamá cada vez?
Observación: Marcos empieza a comer el día que la madre
prepara las galletitas.
A) 10
C) 14
E) 12
B) 16
D) 8
F) n. d. l. a.
Solución
Sea X la cantidad de galletitas que prepara la mamá y sea Y los días que
Marcos come las galletitas. Entonces:
X=3Y−3—3
;
3Y−9=2Y−2
X=2Y−2—1
⇒
Y=7
Luego:
X = 3 — 7 − 9 = 21 − 9 = 12
X = 2 — 7 − 2 = 14 − 2 = 12
La respuesta es: E
184
49
Problema 154 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8)
Se tiene la siguiente lista de números, que se ha construido
usando una estrategia secreta. Al descubrir la estrategia
podremos conocer el valor de M y N.
2 , 5 , 7 , 10 , M , 15 , 17 , N , 22
¿Cuál es el valor de (M + N)?
A) 25
C) 32
B) 30
D) 35
E) 37
F) n. d. l. a.
Solución
Determinamos la ley de formación:
2+3=5
5+2=7
7 + 3 = 10
10 + 2 = 12
12 + 3 = 15
15 + 2 = 17
17 + 3 = 20
20 + 2 = 22
Luego: M = 12 y N = 20
M + N = 12 + 20 = 32
La respuesta es: C
Problema 155 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 12)
N es un número divisible por 2 , 3 , 5 y 7 simultáneamente.
Además, 500 < N < 1 100. ¿Cuál es la cantidad de valores posibles
de N?
A) 2
C) 4
E) 6
B) 3
D) 5
F) n. d. l. a.
Solución
El mcm de 2 , 3 , 5 y 7 es 210.
Vemos que los múltiplos de 210 son:
210 × 2 = 420
210 × 3 = 630
210 × 4 = 840
210 × 5 = 1 050
210 × 6 = 1 269
50
El número y las operaciones – Expresiones algebraicas
Contenidos:
• Relaciones de equivalencia y de orden. (5.º Grado)
• Valor posicional, absoluto y relativo. (5.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (5.º
Grado)
• Números racionales positivos en notación decimal y fraccionaria.
(5.º Grado)
• Algoritmos y propiedades de la multiplicación y de la división de números
racionales positivos en notación fraccionaria. (5.º Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado)
• Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado)
• Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado)
• Amplificación y simplificación de fracciones. (5º. Grado)
• Potencia como producto de factores idénticos. (6.º Grado)
• Relaciones de equivalencias y de orden. (6º. Grado)
• Notación científica. (6º. Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales. (6.º
Grado)
• Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias de
diez. (6.º Grado)
• Razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y magnitud. (6º.
Grado)
• Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6.º Grado)
• Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6.º Grado)
• Regla de tres (6.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y
racionales. (7.º Grado)
• Valor absoluto. (7.º Grado)
• Potenciación: Concepto. Elementos. Características. Potencias con base
entera y racional. (7.º Grado)
• Potenciación: Concepto. Elementos. Características. Potencias con base
entera y racional. (7.º Grado)
• Leyes de potencias: multiplicación de potencias de igual base, división de
potencias de igual base (ley de cancelación), potencia de una potencia,
potencia con exponente cero, potencia de un producto y de un cociente,
propiedad distributiva de la potenciación respecto al cociente. (7.º Grado)
• Fracción generatriz de números decimales periódicos puros y mixtos. (7.º
Grado)
• Operaciones con y sin signos de agrupación con números enteros y
racionales en notación fraccionaria y decimal. (7.º Grado)
183
Problema 329 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 13)
En el triángulo ABC, M es el punto medio
del lado BC. El área del triángulo ABM es
42.
La medida de AH es 6 y la medida de HC
es 15.
Calcular el perímetro del triángulo ABC.
A) 24
C) 48
E) 64
B) 40
D) 52
F) n. d. l. a.
Solución
Como AM es mediana.
Luego, los valores posibles de N son:
630 , 840 , 1 050
La respuesta es: B
Problema 156 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 7)
El producto de dos números enteros positivos es 2 008 y la suma
de esos números es 259. Hallar los dos números.
Solución
Buscamos los pares de números cuyo producto es 2 008, para encontrar el
par que suma 259:
1
2
4
8
⇒ (ABC) = 84
(ABM) = (AMC) = 42
El lado AC mide:
AC = AH + HC = 6 + 15 = 21
2 008
1 004
502
251
Vemos que:
8 + 251 = 259
Luego:
⇒
84 =
Entonces, los números buscados son:
BH = 8
8 y 251
Entonces, tenemos:
AB =
=
= 10
BC =
=
= 17
Problema 157 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 9)
Tres hermanos, Abel, Marisa y José ahorraron juntos 223 000 G.
José ahorró 12 000 G menos que Abel y 37 000 G menos que
Marisa.
¿Cuántos guaraníes ahorró Marisa?
Y el perímetro del triángulo ABC es:
Solución 1
Tenemos:
21 + 10 + 17 = 48
A + M + J = 223 000 G (1)
La respuesta es: C
J = A − 12 000 G
⇒
A = J + 12 000 G (2)
J = M − 37 000 G
⇒
M = J + 37 000 G (3)
En (1):
J + 12 000 G + J + 37 000 G + J = 223 000 G
3 J = 174 000 G
⇒
J = 58 000 G
M = 58 000 G + 37 000 G = 95 000 G
Marisa ahorró 95 000 G
182
51
Solución 2
Si quitamos a 223 000 G lo que ahorraron demás Abel y Marisa, tendremos
que se equiparan los ahorros de los tres.
La suma de las distancias es:
S=a+b+x+b+x+x+c−x+c−x+d
S=a+2b+2c+d+x
Dividendo entre 3 tendremos lo que ahorró José:
S = (a + b + c + d) + (b + c) + x
12 000 G + 37 000 G = 49 000 G
223 000 G − 49 000 G = 174 000 G
174 000 G ÷ 3 = 58 000G (ahorro de José)
Como los puntos A1 , A2 , A3 , A4 , A5 están fijos, las sumas dentro de los
paréntesis tiene un valor constante. Entonces, para que la suma de las
distancias sea mínima, x tiene que ser 0.
Esto significa que P está en la ubicación de A3.
La respuesta es: A
Ahorro de Marisa:
58 000 G + 37 000 G = 95 000 G
Problema 158 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 1)
Dados los dígitos 2 , 6 , 8 , 9 ; se utilizan los que sean necesarios
para escribir múltiplos de 29; con la condición de que esos
múltiplos estén comprendidos entre 800 y 1 000.
Determinar todos los múltiplos posibles.
Problema 328 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 27)
En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 1 y los
arcos de circunferencias tienen centro en A , B , C
y D. ¿Cuál es la longitud del segmento PQ?
A) 2 − 2
C)
5− 2
3
4
D)
3 −1
B)
Solución
Comenzamos por dividir 800 entre 29 y obtenemos:
800 = 29 × 27 + 17
E)
3
3
Solución
Al residuo 17 le falta 12 para alcanzar 29. Si sumamos 12 a 800
tendremos el primer múltiplo de 29 que viene después de 800:
El triángulo BPC es un triángulo equilátero de lado
1 puesto que BP = CP = 1 por ser radios.
800 + 12 = 812
Por lo tanto, PM es la altura del triángulo BPC.
Luego:
Pero 812 no es uno de los múltiplos de 29 que buscamos. Calculamos
entonces los siguientes:
812 + 29 = 841
841 + 29 = 870
870 + 29 = 899
899 + 29 = 928
928 + 29 = 957
957 + 29 = 986
986 + 29 = 1 015
PM =
=
=
=
La distancia de P a AD es la misma que de Q a BC. Entonces:
QM = 1 −
Y la distancia entre P y Q:
Los números buscados son:
899 , 928 , 986
52
PQ = PM − QM =
−1+
181
=2—
−1=
−1
La respuesta es: D
Criterios de corrección
Llamamos a , b , c y d la distancias entre los puntos de la recta.
•
•
•
Supongamos que P está sobre A1.
Entonces:
PA2 =
PA3 =
PA4 =
PA5 =
a
a+b
a+b+c
a+b+c+d
Por calcular el primer múltiplo de 29
Por determinar los demás múltiplos de 29
Por el resultado del problema
Dos números enteros a y b forman una fracción
a
que, luego de
b
5
. Se suma 120 al numerador, pero se
16
desea que la razón se mantenga; para ello, se debe multiplicar al
denominador por 4.
Determinar el valor de a y b.
ser simplificada, queda
S1 = 4 a + 3 b + 2 c + d
Supongamos ahora que P está sobre A2:
Solución
Según los datos del problema, tenemos:
a
b
b+c
b+c+d
a 5
=
(1)
b 16
S2 = a + 3 b + 2 c + d
Evidentemente S2 < S1. Con esto se confirma lo dicho en la primera parte
de la solución.
Entonces, ubicamos el
punto P en el entorno de
A3.
Luego:
a + 120
5
=
4b
16
⇒ 16 a + 1 920 = 20 b (2)
Resolvemos el sistema
16 a − 20 b = -1 920
⇒ a = 40 , b = 128
16 a − 5 b = 0
Los números son: 40 , 128
Escribimos las distancias:
PA1 =
PA2 =
PA3 =
PA4 =
PA5 =
2 puntos
4 puntos
1 punto
Problema 159 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 4)
Llamemos S1 a la suma de esas distancias. Luego:
PA1 =
PA3 =
PA4 =
PA5 =
hasta
a+b+x
b+x
x
c−x
c−x+d
180
53
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por escribir la expresión equivalente a
Criterios de corrección
5
16
2 puntos
Por llegar a la ecuación (2)
Por construir el sistema
Por resolver el problema
1 punto
2 puntos
2 puntos
Problema 160 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 20)
Una tabla contiene 21 columnas numeradas del 1 , 2 , 3 , ... , 21
y 33 filas numeradas del 1 , 2 , 3 , ... , 33. Borramos las filas cuyo
número no sea múltiplo de 3 y las columnas cuyo número sea par.
¿Cuántas celdas quedan entonces después de borrar?
A) 110
B) 119
C) 242
D) 115,5
E) 121
• Por trazar en la figura los elementos que conduzcan
a la solución
∠
1 punto
∠
• Por hallar BCP = FBP (o alguna relación análoga)
• Por determinar que los triángulos PDC y PFD
son semejantes (y relación)
• Por determinar que los triángulos PEC y PDB son
semejantes y relación (simetría, analogía u otro)
• Por completar la demostración
1 punto
2 puntos
2 puntos
1 punto
Observación: en caso de solución parcial que puntúa en ambos criterios,
se considera la mayor, no la suma.
Los puntos parciales no se acumularán con ninguno de los criterios.
Solución
Las columnas que quedan son:
1 , 3 , 5 , 7, 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 y 21
→
11 columnas
Las filas que quedan son:
3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33
→
11 filas
La tabla que queda es 11 × 11. La cantidad de celdas es:
11 × 11 = 121
La respuesta es: E
Problema 161 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 23)
Nora quiere colocar en los espacios 2 _ _ 8 dos dígitos de forma
que el número completo sea divisible por 3. ¿Cuántas
posibilidades tiene?
A) 19
B) 20
C) 29
D) 30
E) 33
• Por descubrir la simetría del problema
Problema 327 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 26)
Se tienen cinco puntos diferentes A1 , A2 , A3 , A4 y A5,
colocados en este orden en una recta no necesariamente
equidistantes. Otro punto P es colocado en la misma recta de tal
forma que la suma de las distancia PA1 + PA2 + PA3 + PA4 + PA5 sea
mínima. ¿Cuál es el punto P?
A) A3
C) A1
B) A2
D) cualquier punto entre A2 y A4
E) cualquier punto entre A1 y A5
Solución
Vamos
primeramente a
demostrar que
cuando más se
acerca el punto P
al centro de la
recta, la suma de
las distancias (PA1
+ PA2 + PA3 + PA4 +
PA5) disminuye.
Solución
Como 2 + 8 = 10, los dos dígitos que se agregan deben dar en la suma
múltiplos de 3. Analizamos las situaciones posibles:
54
1 punto
179
Criterios de corrección
• Por trazar en la figura los elementos que conduzcan
a la solución
∠
Si solo encuentra los ángulos iguales (DEP y FDP) ,
(PDE y PFD) , (FPD y DPE)
1 punto
1 punto
3 puntos
hasta 2 puntos
• Por completar la demostración
1 punto
Solución 2
Comenzamos por trazar BP y CP.
∠
∠
Se tiene BCP = FBP por corresponderles
el arco BP como inscripto y semiinscripto, respectivamente.
Por tanto, los triángulos rectángulos PDC
PD PC
y PFB son semejantes y
=
.
PF PB
Análogamente, considerando el arco CP se tiene:
∠
→
→
2 posibilidades
1 posibilidad
15 − 10 = 5 ; 05
14
23
→
→
→
2 posibilidades
2 posibilidades
2 posibilidades
18 − 10 = 8 ; 08
17
26
35
44
→
→
→
→
→
2
2
2
2
1
posibilidades
posibilidades
posibilidades
posibilidades
posibilidad
21 − 10 = 11 ; 29
38
47
56
→
→
→
→
2
2
2
2
posibilidades
posibilidades
posibilidades
posibilidades
24 − 10 = 14 ; 59
68
77
→
→
→
2 posibilidades
2 posibilidades
1 posibilidad
27 − 10 = 17 ; 89
→
2 posibilidades
1 punto
∠
• Por hallar BCP = FBP (o alguna relación análoga)
• Por decir que los cuadriláteros son inscriptibles
• Por determinar que los triángulos PDE y PFD son
semejantes
12 − 10 = 2 ; 02
11
El total es:
∠
PCE = PBC
3 + 6 + 9 + 8 + 5 + 2 = 33
La respuesta es: E
Los triángulos rectángulos PEC y PBD son semejantes:
PE PC
=
PD PB
Por tanto,
PD PE
=
PF PD
⇒ (PD)2 = PE — PF
Problema 162 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 21)
¿Cuál es el mayor número de dígitos que pueden ser borrados del
número 200820082008 ... 2008, que tiene 1 000 dígitos, de forma
que la suma de los dígitos restantes sea 2 008?
A) 260
B) 510
C) 1 061
D) 746
E) 130
Solución
Primero sacamos los ceros, que son 500.
178
55
∠
Me queda 250 parejas que suman 10 (2 + 8):
∠
Además, FPB = DPC por ser
250 × 10 = 2 500
∠
∠
complementos de FBP = DCP ,
respectivamente.
2 500 − 2 008 = 492
La suma de los dígitos que debo sacar es 492.
Como queremos quitar la mayor cantidad de dígitos, quitaremos los más
pequeños que quedan, o sea los dígitos 2:
Los cuadriláteros DPEC y DBFP son cuadriláteros cíclicos (inscriptibles en
una circunferencia) por ser:
PD ⊥ BC
492 ÷ 2 = 246
El mayor número de dígitos que quitamos es:
∠
,
PE ⊥ AC
,
PF ⊥ AB
∠
Entonces, DEP = DCP por subtender el mismo arco PD.
500 + 246 = 746
La respuesta es: D
Problema 163 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 30)
En una tienda de mascotas se sabe que el costo de dos gatos es el
mismo que el de un loro y un perro juntos. El costo de tres loros
es el mismo que el de un gato y un perro juntos. Y el costo de un
loro, un gato y un perro es de 600 000 G. ¿Cuál es el precio, en
guaraníes, de un perro?
A) 100 000
B) 200 000
C) 300 000
D) 150 000
E) 250 000
Solución
Llamamos L, G y P a los precios de un loro, un gato
respectivamente.
y un perro
Entonces tenemos:
∠
∠
∠
∠
Además, DCP es el mismo ángulo que BCP , entonces DEP = BCP
También:
∠
∠
FBP = FDP (porque sustentan el mismo arco PF)
Entonces:
∠
∠
∠
∠
∠
DEP = DCP = BCP = FBP = FDP
∠
∠
Análogamente, puede probarse que PDE = PFD . (El problema es
totalmente simétrico en relación a E y F).
Por lo tanto, los triángulos PDE y PFD son semejantes y podemos escribir:
L + G + P = 600 000 G
PD PF
=
PE PD
Como el precio de un loro y un perro equivale al precio de dos gatos:
3 G = 600 000 G
⇒
G = 200 000 G
Y como el precio de un gato y un perro juntos equivalen al precio de tres
loros:
4 L = 600 000 G
⇒
L = 150 000 G
⇒
2
(PD) = PE — PF
Con esto se completa la demostración.
Observación: otra forma de probar la semejanza consiste en observar que
∠
∠
FBC = ECB por ser ángulos semi-inscriptos, subtendiendo el mismo arco.
∠
∠
Luego FPD = DPE por ser los suplementarios respectivos. Así, los
triángulos PDE y PFD son semejantes.
Luego, el precio de un perro es:
600 000 G − (200 000 G + 150 0000 G) = 250 000 G
La respuesta es: E
56
177
Problema 164 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 10)
María suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 11 con el
menor número de tres cifras múltiplo de 11.
Blas suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 5 con el
menor número de tres cifras múltiplo de 5. ¿Cuál es la diferencia
entre las sumas de María y Blas?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
F) n. d. l. a.
Calculamos a partir del área (DEC):
(DEC) =
4 · 2 5 6 · EM
=
2
2
⇒
EM =
4
5
3
Entonces, considerando el triángulo DNE tenemos:
NE =
(2 5 )
2
4

-
5
3

2
=
20 -
100
10
=
9
3
80
=
9
Solución
Buscamos los números de María:
20
EF = 2 NE =
3
Criterios de corrección
•
•
•
•
•
999 = 11 — 90 + 9
Por hacer trazados auxiliares que conduzcan a la solución
Por hallar DE
Por hallar EM (b)
Por hallar NE
Por llegar al resultado
1
1
2
2
1
punto
punto
puntos
puntos
punto
Problema 326 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 4)
En el dibujo tenemos una circunferencia y
dos tangentes AB y AC, siendo B y C los
puntos de tangencia.
P es un punto ubicado sobre la
circunferencia.
Desde P se trazan PD , PE y PF
perpendiculares a BC, AC y AB
respectivamente.
2
Demostrar que (PD) = PE — PF
;
100 = 11 —9 + 1
Entonces, los números de María son:
11 — 90 = 990 y 11 — 10 = 110
Y la suma:
990 + 110 = 1 100
Hacemos lo mismo con los números de Blas:
999 = 5 — 199 + 4
5 — 199 = 995
;
;
100 = 5 — 20
995 + 100 = 1 095
Y la diferencia:
1 100 − 1 095 = 5
La respuesta es: F
Solución 1
Comenzamos por trazar PB , FD , PC y DE.
∠
∠
Se tiene BCP = FBP por corresponderles
el arco BP como inscripto y semiinscripto, respectivamente.
176
Problema 165 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 11)
Dani construye la siguiente secuencia de figuras, utilizando
cuadraditos iguales.
57
¿Cuántos cuadraditos usará Dani para construir la 24ª figura?
A) 507
C) 576
E) 626
B) 553
D) 601
F) n. d. l. a.
Solución 1
Como D es punto medio, DC = 6.
Trazamos EM perpendicular a DC y
DN perpendicular a EF.
Solución
Mirando la disposición de los cuadritos en las figuras y tratando de
expresar en función de los cuadraditos que hay en la base tenemos:
Figura
Figura
Figura
Figura
1
2
3
4
→
→
→
→
1 cuadradito
3 cuadraditos
7 cuadraditos
13 cuadraditos
→
→
→
→
1
2
3
4
—0
—1
—2
—3
+
+
+
+
1
1
1
1
Los triángulos rectángulos DEC ,
EMC y DME son semejantes entre
sí por tener sus ángulos iguales.
En el triángulo DEC tenemos:
Generalizando:
DE =
Figura n → n — (n − 1) + 1
36 − 16 = 2 5
Considerando los triángulos DEC y EMC tenemos:
6
Entonces:
2 5
Figura 24 → 24 — 23 + 1 = 553
La respuesta es: B
Problema 166 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 14)
Dentro del círculo se puede escribir un dígito que cumpla las
condiciones dadas.
¿Cuál es la suma de todos los dígitos que pueden escribirse dentro
del círculo?
A) 23
C) 27
E) 32
B) 26
D) 30
F) n. d. l. a.
Solución
De acuerdo a las condiciones del problema, dentro del círculo podemos
escribir:
=
4
b
⇒
b=
4
5
3
Como EF ║ BC y DN ⊥ EF, por la simetría de la figura, ya que el
triángulo ABC es isósceles, N es punto medio de EF y también DN = b por
ser segmento de paralelas entre paralelas.
Entonces, considerando el triángulo DNE tenemos:
NE =
(2 5 )
2
4

-
5
3

2
=
20 -
EF = 2 NE =
80
=
9
100
10
=
9
3
20
3
Solución 2
Como D es punto medio, DC = 6.
Trazamos EM perpendicular a DC y
DN perpendicular a EF.
1,2,3,4,5,6,7
En el triángulo DEC tenemos:
La suma es:
DE =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
La respuesta es: F
58
175
36 − 16 = 2
5
Esto equivale al volumen de todas las esferas juntas. Luego:
150 VESFERA = 200 π cm
=
π cm
3
⇒
3
⇒
3
r = 1 cm
3
3
VESFERA =
π cm
⇒
r = 1 cm
Problema 324 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 10)
En el cuadrilátero ABCD de la
figura, M es un punto ubicado
sobre el segmento AB. La
diferencia entre los ángulo a y b
es: a − b = 45º.
Determinar la relación que existe
entre los lados AB y BC.
Solución
En la figura vemos que el ángulo
BDC mide 45º, porque esa es la
diferencia entre los ángulos a y b.
Entonces:
= 90º − 45º = 45º
Luego ABCD es un cuadrado.
Por lo tanto:
AB = BC
Los datos y la Estadística
Problemas para el Aula
Contenidos:
• Tablas de frecuencia (absoluta y relativa). (5.º Grado)
• Gráficos de línea (5.º Grado)
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado)
• Tablas de frecuencia (6.º Grado)
• Gráfico circular (6.º Grado)
• Datos no agrupados, moda (7.º Grado)
Problema 167
En el mes de abril de 2012, se registraron los siguientes datos de
lluvia caída:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
5 de abril
8 de abril
9 de abril
10 de abril
13 de abril
19 de abril
20 de abril
25 de abril
27 de abril
28 de abril
31 de abril
Construir un polígono de frecuencia.
Problema 325 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 3)
En un triángulo isósceles ABC, AB = AC , BC = 12. D es el punto
medio de BC.
Por D se traza una perpendicular al lado AC, que lo corta en el
punto E.
Sea F un punto del lado AB tal que EF ║ BC. Si EC = 4, determinar
la medida del segmento EF.
174
59
3 mm
1 mm
20 mm
3 mm
22 mm
49 mm
23 mm
80 mm
2 mm
2 mm
85 mm
Solución
La gráfica es:
Problema 322 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 4)
Pepe y Mariela construyen paralelepípedos rectángulos
con cubos unitarios, en los cuales el ancho y la altura son
iguales.
En la figura se puede ver un paralelepípedo 2 × 1 × 1 de
volumen 2.
El paralelepípedo de Pepe es de volumen 12 y el de Mariela de volumen
36, ambos con el mismo ancho y altura (pero diferentes de 1).
¿Cuál es la diferencia entre las áreas laterales de los paralelepípedos
construidos por Mariela y Pepe?
Solución
En la figura se
muestran los dos
paralelepípedos
que se
construyeron
según los datos
del problema.
Calculamos las áreas laterales:
Problema 168
En el colegio de Tere se elige una muestra de 60 estudiantes para hacer
una encuesta acerca de lo pesos de cada uno, y se obtienen los siguientes
datos en kilogramos:
34
41
33
47
48
32
, 35
, 40
, 32
, 38
, 35
, 40
, 33
, 40
, 32
, 38
, 35
, 40
, 33
, 42
, 32
, 41
, 34
, 42
, 30
, 47
, 29
, 42
, 34
, 42
, 35
, 41
, 36
, 38
, 34
, 42
,
,
,
,
,
,
31
44
36
38
32
29
, 29
, 42
, 31
, 38
, 32
, 29
, 38
, 38
, 31
, 30
, 31
, 29
, 36
, 39
, 32
, 30
, 31
, 38
¿Cuál es la diferencia entre la dos mayores frecuencias absolutas?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
F) n. d. l. a.
Pepe
→
2 (2 × 2) + 2 (3 × 2) = 20
Mariela
→
2 (2 × 2) + 2 (9 × 2) = 44
La diferencia entre ambos valores es:
44 − 20 = 24
Problema 323 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 8)
Un recipiente cilíndrico tiene por base un círculo de 20 cm de
diámetro y contiene agua hasta cierta altura. Se agregan 150
pequeñas esferas iguales de metal y el agua en el cilindro sube 2
cm.
Calcular el radio de una de las esferas de metal.
Solución
La variación del volumen del agua en el cilindro es:
2
∆V = π — (10 cm) — 2 cm = 200 π cm
60
173
3
Solución
Construimos la tabla de frecuencias:
El área del triángulo ADE es:
(ADE) =
= 96 cm
2
Peso
En kg
29
Y el área del cuadrilátero EBFD es:
2
2
2
Conteo o tarja
Frecuencia
absoluta
5
2
30
La respuesta es: D
31
5
Problema 321 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 2)
En un triángulo ABC, AB = BC. La mediana AM mide 7,5 cm y el
lado AC mide 8 cm. Calcular la medida de la altura BH.
32
33
34
35
36
38
39
40
41
7
3
4
4
3
8
1
4
3
42
6
44
47
48
1
2
1
576 cm − 144 cm − 96 cm = 336 cm
Solución
Como el triángulo es isósceles la altura es al
mismo tiempo mediana, mediatriz y bisectriz.
Entonces, el punto E es la intersección de dos
medianas. Estas se cortan en un punto que está a
un tercio del lado y dos tercios del vértice.
Luego:
AE = 5 cm ; EM = 2,5 cm
3
El lado AC mide 8 cm y H es su punto medio, entonces:
La diferencia es:
AH = 4 cm
8−7=1
Consideramos el triángulo AEH, rectángulo en H y tenemos:
2
2
La respuesta es: A
2
(AE) = (AH) + (HE)
2
2
2
(5 cm) = (4 cm) + (HE)
2
2
2
(HE) = 25 cm − 16 cm = 9 cm
⇒
Entonces:
2
Problema 169
La tabla muestra las frecuencias absolutas de las calificaciones de
matemática, en el curso de David, incluido él:
Nota
HE = 3 cm
Pero BH también es mediana, luego:
BH = 3 EH = 3 — 3 cm = 9 cm
172
1
2
3
4
5
Frecuencia
absoluta
3
7
8
6
4
61
¿Cuántos compañeros tiene David?
A) 25
C) 27
B) 26
D) 28
E) 29
F) n. d. l. a.
Solución
La cantidad de compañeros de David es:
3 + 7 + 8 + 6 + 4 – 1 = 28 – 1 = 27
La respuesta es: C
Problema 319 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8)
Un paralelepípedo rectángulo está formado por caras que miden
2
2
2
70 cm , 50 cm , 35 cm . ¿Cuál es el volumen del
paralelepípedo?
3
3
3
C) 250 cm
E) 700 cm
A) 135 cm
3
3
B) 155 cm
D) 350 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Llamamos a , b y c a las dimensiones del
paralelepípedo.
Problema 170
La profe de Raúl dio a sus alumnos 30 problemas para resolver.
Analizando los resultados de 3 alumnos la profe encontró lo
siguiente.
La frecuencia relativa de los problemas resueltos es:
Raúl
→
;
Luis
→
;
María
→
¿Cuántos problemas más que María resolvió Luis?
A) 25
C) 7
E) 8
B) 5
D) 18
F) n. d. l. a.
Solución
De una tabla de frecuencias relativas conseguimos los siguientes datos:
Estudiantes
Frecuencia
relativa
Problemas
resueltos
Raúl
× 30 = 20
Luis
× 30 = 25
María
× 30 = 18
Luis resolvió 25 problemas y María 18 problemas. Entonces:
Entonces, el área de las caras es:
a b = 70 cm
2
; b c = 50 cm
; a c = 35 cm
2
Multiplicando las tres igualdades anteriores entre
si resulta:
2
2
2
a — b — c = 122 500 cm
6
3
⇒
a — b — c = 350 cm
La respuesta es: D
Problema 320 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 16)
En el cuadrado ABCD, EB = 2 AE y F es el punto
medio de BC.
El área de la superficie pintada es 144 cm2.
¿Cuánto mide la superficie EBFD?
A) 96 cm2
C) 320 cm2
E) 350 cm2
2
2
B) 288 cm
D) 336 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Llamamos “a” al lado del cuadrado.
Entonces, en la superficie sombreada
tenemos:
25 − 18 = 7
= 144 cm
La respuesta es: C
2
a = 576 cm
62
2
171
2
⇒
2
a = 24 cm
Entonces, tenemos:
⇒
=2
⇒
BF = 6
Problema 171
En tres grados del colegio de Julia se tomaron los datos que se
registran en las tablas:
Luego:
FC = BC − BF = 12 − 6 = 6
La respuesta es: B
Problema 318 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6)
En un triángulo ABC, AB = BC. Se trazan la mediana AM y la altura
BH, que se cortan en el punto P. El área del cuadrilátero HPMC es
2
28 cm . Hallar el área APB.
2
2
2
A) 7 cm
C) 28 cm
E) 56 cm
2
2
B) 14 cm
D) 42 cm
F) n. d. l. a.
Construir una tabla de frecuencia relativa para los tres grados
juntos.
Solución
Como el triángulo ABC es isósceles, la altura BH
es también mediatriz, bisectriz y mediana.
Entonces tenemos trazadas dos medianas: AM y
BH.
Recordemos que la mediana divide a un triángulo
en dos triángulos de igual área y que las 3
medianas dividen a un triángulo en 6 triángulos
de áreas iguales.
Solución
Color del
cabello
Rubio
Frecuencia
relativa
Negro
ó
Castaño
Problema 172
Las calificaciones de Ciencias Naturales en un 5º grado se
muestran en el siguiente gráfico lineal:
Luego
(AMB) = (AMC) y (PMB) = (APH)
(APB) + (PMB) = (APH) + (HPMC)
(APB) = (HPMC) = 28 cm
2
La respuesta es: C
Construir un gráfico circular.
170
63
Solución
Calculamos el ángulo central que corresponde a cada nota:
Nota 1:
⇒
x = 72º
Nota 2:
⇒
x = 60º
Nota 3:
⇒
x = 72º
Problemas Desafiantes
Problema 316 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 3)
En el trapecio isósceles de la figura, las
diagonales se cortan en el punto P. El
lado DC mide 25 y la distancia de P al
lado DC es 6.
¿Cuál es la relación entre las áreas de los
triángulos BPC y ABP?
A) 3 : 1
B) 3 : 2
C) 5 : 5
D) 2 : 3
E) 2 : 5
F) n. d. l. a.
Solución
Escribimos la razón que queremos calcular:
Tenemos:
Nota 4:
⇒
x = 96º
Nota 5:
⇒
x = 60º
(BPC ) =
( ABP )
AB ⋅ 10 AB ⋅ 4
−
2
2 = 10 − 4 = 3
AB ⋅ 4
4
2
2
La respuesta es: B
Problema 317 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8)
En el cuadrado ABCD, DE = 2 BE. El perímetro del
cuadrado es 48.
Se prolonga AE hasta que corta a BC en el punto
F.
El área del triángulo BEF es 12.
¿Cuál es la medida de FC?
A) 4
C) 7
E) 9
B) 6
D) 8
F) n. d. l. a.
El gráfico circular es:
Solución
Podemos ver que hay ángulos que son iguales en
la figura.
Además hemos llamado 2 x al segmento DE y x al
segmento EB (DE = 2 EM).
Los triángulos ADE y BEF son semejantes por tener
sus ángulos iguales dos a dos.
64
169
Problema 314 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 8)
En la circunferencia de la figura el diámetro es
12.
M es el punto medio del radio correspondiente.
Hallar el área de la superficie sombreada.
A) 3
C) 9
E) 27
B) 3
3
D) 9
3
F) n. d. l. a.
Solución
El área sombreada es un rectángulo. Buscamos el
lado desconocido:
a=
=
=
=3
Entonces, el área es:
3×3
=9
La respuesta es: D
Problema 315 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 11)
El cuadrado de la figura tiene sus lados divididos
en los segmentos a y b y la medida de su
superficie es S.
¿Cuál es el área del cuadrilátero inscripto en el
cuadrado?
A) S − 2 ab
D) S − a
B) S − 4 ab
E) S − 2 a
C) S − ab
F) n. d. l. a.
Solución
Al área S del cuadrado debemos restar cuatro veces el área de los
triángulos de catetos a y b. Entonces:
S−4—
Problema 173
En una ciudad pequeña se aplica una encuesta para averiguar la
cantidad de habitaciones que tiene cada una de las casas.
El resultado obtenido de la encuesta se muestra en la siguiente
tabla:
Cantidad de habitaciones
1
2
3
4
5
¿Cuántas habitaciones más tienen las casas cuya frecuencia
relativa porcentual es 17,5 % que la que tiene como frecuencia
25 %?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
F) n. d. l. a.
Solución
La cantidad de casas en la población es:
100 + 130 + 90 + 70 + 10 = 400
La frecuencia relativa porcentual es:
Casas con 1 habitación
→
=
→
25 %
Casas con 2 habitaciones
→
=
→
32,5 %
Casas con 3 habitaciones
→
=
→
22,5 %
Casas con 4 habitaciones
→
=
→
17,5 %
Casas con 5 habitaciones
→
=
→
2,5 %
= S − 2 ab
La respuesta es: A
Cantidad de casas
100
130
90
70
10
Entonces, la diferencia es:
4−1=3
La respuesta es: C
168
65
Problema 174
Se hace una encuesta para conocer la edad de los alumnos de un
6º grado. Los resultados se presentan en un gráfico circular en
donde se ve que a los 4 alumnos que tienen 12 años le
corresponde un sector circular de 48º. ¿Cuántos alumnos tiene el
grado?
A) 27
C) 30
E) 48
B) 28
D) 32
F) n. d. l. a.
Solución
El área del rectángulo es:
Solución
Planteamos la regla de 3:
El área del triángulo ADC es:
16 × 12 = 192
La diagonal AC es:
AC =
=
= 20
192 ÷ 2 = 96
⇒
x = 30
Entonces:
La respuesta es: C
96 =
Problema 175
En la granja de Elena producen lechuga, naranja, mandarina y
locote. El porcentaje de producción de cada producto es:
Producto
Lechuga
Naranja
Mandarina
Locote
Porcentaje de la
producción en (%)
32
34
22
12
¿Cuál es la diferencia de los valores de los ángulos centrales
correspondientes a la naranja y el locote, en un gráfico circular?
Solución
Calculamos los ángulos
correspondientes:
⇒
x = 9,6
La respuesta es: E
Problema 313 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 5)
La arista del cubo de la figura es 10. El cubo se
interseca con un plano como está indicado.
¿Cuál es el área de la superficie que resulta de la
intersección entre el plano y el cubo?
2
A) 10
D) 100
B) 10 2
C) 100
E) 200
F) n. d. l. a.
Solución
El área de la superficie es AB — AC.
Calculamos AB:
centrales
de
los
sectores
circulares
AB =
⇒
Entonces, el área de la superficie es:
— 10 = 100
La respuesta es: D
43,2º
Y la diferencia es: 122,4º − 43,2º = 79,2º
66
= 10
122,4º
10
⇒
=
167
Problema 311 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 18)
La figura muestra un triángulo isósceles con
AB = AC. Si PQ es perpendicular a AB, la medida
del ángulo BPC es 120º y la medida del ángulo ABP
es 50º. ¿Cuál es la medida del ángulo PBC?
A) 10º
C) 15º
E) 20º
B) 5º
D) 5º
Problema 176
Según los datos de las últimas encuestas, en la población
económicamente activa, el 40 % son mujeres.
En un gráfico circular, ¿cuántos grados corresponden a los
varones?
Solución
El porcentaje correspondiente a los varones es:
100 % − 40 % = 60 %
Planteamos la regla de 3:
Solución
Como el triángulo PQB es rectángulo, tenemos:
⇒
= 90º − 50º = 40º
Luego:
= 180º − (120º + 40º) = 20º
El triángulo QAP es también rectángulo, por lo tanto:
= 90º − 20º = 70º
El triángulo ABC es isósceles, con AB = AC. Eso implica:
=
= 55º
Y el ángulo que debemos calcular:
= 55º − 50º = 5º
La respuesta es: B
Problema 312 (Validación Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 4)
ABCD es un rectángulo. ¿Cuál es la medida
de x?
A) 48
D) 10,5
B) 24,4
E) 9,6
C) 12,2
F) n. d. l. a.
166
67
216º
Problema 309 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 7)
¿Cuál es la longitud del segmento AB si los
cuadrados de la figura son de lado 1?
A) 5
2+ 5
C)
B) 13
D) 5
E) Ninguna de las a nteriores
Solución
El segmento AB es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo de catetos 2 y 3.
Entonces:
AB =
=
=
La respuesta es: B
Problema 310 (Kanguro 2008 - Estudiante – Problema 14)
En un triángulo isósceles ABC (CA = CB), el
punto D está marcado en el lado AB de
forma que AD = AC y DB = DC como se
muestra en la figura. ¿Cuál es la medida
del ángulo ACB?
A) 10º
C) 104º
E) 98º
B) 108º
D) 100º
Solución
En la figura hemos ubicado los
nombres de los ángulos, teniendo
en cuenta que los triángulos ACD y
CDB son isósceles.
Entonces tenemos:
2 a + b = 180º
2 b + 180º − a = 180º
2 — 2 b + b = 180º
⇒
5 b = 180º
⇒
2b=a
⇒
b = 36º
⇒
a = 72º
Luego:
= a + b = 72º + 36º = 108º
La respuesta es: B
68
165
Problema 307 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 6)
En un triángulo ABC, recto en B, M es el punto medio del lado AC.
Si el área del triángulo ABC es 240 cm2, determinar el área del
triángulo CMB.
Solución
Tenemos el área del triángulo ABC:
(ABC) =
2 ab = 240 cm
2
= 240 cm
⇒
2
ab = 120 cm
2
Miscelánea
Problema 177 (1.ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)
Los lados de un rectángulo son números enteros múltiplos de 3 y
menores que 15. ¿Cuántos rectángulos cumplen la condición del
problema?
A) 4
C) 6
E) 10
B) 5
D) 8
F) n. d. l. a.
Solución
Los múltiplos de 3, mayores que 0 y menores que 15 son:
El área que buscamos es:
2
= ab = 120 cm
(CMB) =
3 , 6 , 9 , 12
Los rectángulos posibles son:
3 × 3 ; 3 × 6 ; 3 × 9 ; 3 × 12 ; 6 × 6
6 × 9 ; 6 × 12 ; 9 × 9 ; 9 × 12 ; 12 × 12
La respuesta es: E
Problema 308 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 4)
Un cuadrado tiene inscripta una circunferencia. La diagonal del
2 . ¿Cuánto mide la circunferencia?
C) 10 π
E) 5 π
cuadrado mide 20
A) 20 π
B) 20
2 π
2 π
D) 10
F) n. d. l. a.
Solución
Como la diagonal del cuadrado es 20
,
tenemos que la mitad de la misma es
10
.
Teniendo en cuenta que el radio es
perpendicular a la tangente de la
circunferencia en el punto de tangencia,
tenemos
un
triángulo
rectángulo.
Entonces:
2
2
r + r = (10
2
)
⇒
2
2 r = 200
⇒
2
r = 100
Problema 178 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 13)
Micaela efectúa la suma de varios números utilizando una
calculadora. Al llegar al resultado descubre que en algún
momento en vez de sumar 1 235, sumó 1 532.
Para llegar al resultado correcto a partir del número que aparece
en la calculadora, ¿qué tiene que hacer Micaela?
A) sumar 235
C) sumar 297
E) restar 532
B) restar 235
D) restar 297
F) n. d. l. a.
Solución
Micaela sumó un número mayor que el que correspondía, entonces el
resultado que obtuvo es mayor que el resultado correcto.
Entonces, ella tiene que sacar del resultado que muestra la calculadora
la diferencia entre el número equivocado y el número correcto.
r = 10
O sea:
Entonces, la circunferencia mide:
1 532 − 1 235 = 297
2 π r = 20 π
La respuesta es: D
La respuesta es: A
164
69
Problema 179 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 6)
2
En un triángulo ABC, el área es 126 cm , la altura BH mide 12 cm
y el lado AB 17 cm. Calcular el perímetro del triángulo ABC si las
medidas de los lados del triángulo son números impares
consecutivos.
Solución
Tenemos:
2
126 cm =
Problema 305 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 13)
En un triángulo ABC, AB = BC. El ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos adyacentes correspondientes al vértice
C es el triple del ángulo correspondiente al vértice B. ¿Cuál es la
medida del ángulo BAC?
A) 75º
C) 50º
E) 30º
B) 60º
D) 45º
F) n. d. l. a.
Solución
12 cm ⋅ AC
2
⇒
Los ángulos formados por el bisectriz interior y
exterior son complementarios. Entonces:
AC = 21 cm
a + b =90º
Entonces:
También:
AB = 17 cm y AC = 21 cm
Como los lados del triángulo son números impares consecutivos, la
medida del lado BC es:
⇒
a+b=3
⇒
90º = 3
= 30º
Y el ángulo buscado es:
BC = 19 cm
=
= 75º
La respuesta es: A
Y el perímetro del triángulo:
17 cm + 19 cm + 21 cm = 57 cm
Problema 306 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 14)
En el cuadrado ABCD, E es el punto medio del
lado AB. La medida de EC es 5 .
¿Cuál es el área del cuadrado ABCD?
Problema 180 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 2)
Un edificio muy alto tiene 2 008 pisos, sin contar con la planta
baja. De la planta baja (se puede considerar como piso 0), salen
5 ascensores:
El ascensor A para en todos los pisos.
El ascensor B para en los pisos múltiplos de 5.
El ascensor C para en los pisos múltiplos de 7.
El ascensor D para en los pisos múltiplos de 17.
El ascensor E para en los pisos múltiplos de 23.
1º) ¿Existe algún piso en el cual paren todos los ascensores,
aparte de la planta baja?
A) 1
C) 2 5
E) 4
B) 2
D) 3 5
F) n. d. l. a.
Solución
Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
2
2
(2 x) + x = (
2
2
⇒
)
⇒
2
5x =5
Entonces:
2
⇒
x =1
2º) Determinar todos los pisos en los cuales paren al menos 4
ascensores.
2
4x +x =5
x=1
y el área del cuadrado es:
2
2
(2 x) = 2 = 4
La respuesta es: E
70
163
Problema 303 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 10)
Al contar la cantidad total de aristas que tiene una pirámide,
Carmen encuentra 2 008 aristas. ¿Cuántos lados tiene el polígono
de la base de la pirámide?
A) 4 016 lados
C) 1 004 lados
E) 502 lados
B) 2 008 lados
D) 806 lados
F) n. d. l. a.
Solución
Como 5 , 7 , 17 y 23 son números primos, para que todos los ascensores
paren en un mismo piso, el piso debe ser múltiplo de:
5 × 7 × 17 × 23 = 13 685
Como el edificio tiene solamente 2 008 pisos, no existe ningún piso en el
cual paren todos los ascensores.
Solución
Vemos en los dos ejemplos que la
mitad del número total de aristas
son los otros elementos tenidos en
cuenta.
Esto se va a cumplir si seguimos
analizando los casos siguientes.
Respuesta 1: NO
Como A para en todos los pisos, A necesariamente parará en todos los
pisos en que paran los demás ascensores. Calculamos las posibilidades
para los otros tres:
•
•
B , C y D paran en los pisos múltiplos de 5 × 7 × 17 = 595 ( además de
1 190 y 1785)
B , C y E paran en los pisos múltiplos de 5 × 7 × 23 = 805 (además de
1 610)
B , D y E paran en los pisos múltiplos de 5 × 17 × 23 = 1 955
C , D y E paran en los pisos múltiplos de 7 × 17 × 23 = 2 737
(imposible)
Entonces, si Carmen encontró que el número de lados del polígono de
base es la mitad de la cantidad total de aristas, en la pirámide del
problema hay 1 004 lados en la base y 1 004 aristas laterales.
La respuesta es: C
•
•
Problema 304 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 11)
En el hexágono regular de la figura, cada uno de los lados
mide 6. ¿Cuál es el área sombreada?
A) 36
C) 12
E) 9
B) 18
D) 48
F) n. d. l. a.
Respuesta 2: Entonces, los pisos donde paran al menos 4 ascensores son:
Solución
•
595
•
Entonces, el área de la parte sombreada es:
•
•
,
1 190 ,
1 610
,
1 785
,
1 955
Por demostrar que no hay piso en que paren los 5
ascensores
Por encontrar pisos en que paren al menos 4
ascensores
hasta
Por descubrir que también paran en otros
hasta
Por escribir el resultado completo
2 puntos
2 puntos
2 puntos
1 punto
= 18
La respuesta es: B
162
805
Criterios de corrección
Los dos triángulos destacados en la figura tienen
iguales sus áreas por tener la misma altura e
iguales sus bases.
+
,
•
En caso que encuentre las seis opciones
correctas, pero propone soluciones incorrectas
71
restar 2 puntos
Problema 181 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 3)
¿Cuáles de las siguientes figuras son las que más se repiten en la
siguiente secuencia?
A) sólo la cruz
B) sólo el triángulo
C) sólo el cuadrado
D) el triángulo y la cruz
E) todas las figuras se repiten por igual
Solución
La secuencia nos muestra cruz , triángulo , cuadrado; excepto en la
última parte donde falta un cuadrado.
La respuesta es: D
Problema 182 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 4)
Rosa tiene cinco cajas que contienen algunas cartas marcadas con
las letras A , B , C , D y E, como se muestra en la figura. Ella
quiere eliminar cartas de las cajas de manera que, al final, cada
caja contenga una sola carta y que ningún par de cajas contenga
cartas marcadas con la misma letra. ¿Qué letra tendrá la carta
que quedará en la caja 5?
Problemas para el Aula
Problema 301 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 1)
En un triángulo ABC se traza la altura AH. Se cumple que AB es
una de las medianas del triángulo AHC.
2
2
¿Cuál es el valor correspondiente a (AC) − (AB) ?
2
2
2
A) (AC)
C) 3 (AC)
E) 2 (AC)
2
2
B) (BC)
D) 3 (BC)
F) n. d. l. a.
Solución
El triángulo AHC es rectángulo en H,
luego:
2
2
2
2
2
2
2
2
(AC) = (AH) + (2 BC)
(AC) = (AH) + 4 (BC)
2
(AB) = (AH) + (BC)
2
2
(1)
(2)
2
(AC) − (AB) = 3 (BC)
Restando (2) de (1) tenemos:
La respuesta es: D
Problema 302 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 1)
∠
A) A
D) B
B) C
E) D
C) E
Solución
Como la caja 4 tiene solo una carta (E), esa se queda; entonces, en la
caja 1 hay que sacar la E y se queda la B.
∠
En un triángulo ABC, A = 80º , B = 60º . Se trazan las bisectrices
de los ángulos A y B que se cortan en un punto E, interior del
triángulo. Se prolonga AE hasta cortar al lado BC en el punto F.
¿Cuál es la medida del ángulo BFE?
A) 50º
C) 80º
E) 105º
B) 70º
D) 90º
F) n. d. l. a.
Solución
En el triángulo AEB:
Como en la caja 1 quedo la B, en la caja 3 queda la A.
= 180º − 40º − 30º = 110º
En la caja 2 queda la D.
En el triángulo BEF:
Luego, en la caja 5 queda la C.
La respuesta es: B
= 180º − 110º = 70º
= 180º − 30º − 70º = 80º
La respuesta es: C
72
161
Problema 183 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 5)
Raquel marcó un punto en una hoja de papel (no en el borde,
sino en el interior de la hoja). Después, dibuja cuatro líneas
rectas no superpuestas que pasan por el punto. ¿En cuántas
secciones dividen a la hoja las líneas dibujadas?
A) 12
B) 8
C) 6
D) 5
E) 4
Solución
El dibujo nos muestra la situación planteada en el
problema.
La respuesta es: B
Problema 184 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 9)
Las figuras representan banderas coloreadas sólo
con blanco y negro. ¿Cuántas de estas banderas
satisfacen la condición de que la región pintada
de negro cubre exactamente tres quintas partes
de la bandera?
A) 1
B) 3
C) 0
D) 2
E) 4
160
73
• Cuerpos poliedros. Concepto. Clasificación (regular e irregular).
(9.º Grado)
• Cubo, prisma, pirámide. Concepto. Características. Elementos.
Desarrolla plano de la superficie. (9.º Grado)
• Cuerpos redondos. Concepto. Elementos. Características. (9.º Grado)
• Cilindro, cono, esfera. Concepto. Características. Elementos.
Desarrollo plano de la superficie. (9.º Grado)
Solución
La respuesta es: D
Problema 185 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 12)
Un cubo tiene 12 aristas. Al cubo de la figura se
le han cortado todas sus esquinas, como se
muestra en la figura. ¿Cuántos bordes resultan al
hacer dichos cortes?
A) 36
B) 30
C) 26
D) 48
E) 40
Solución
El cubo tiene 12 aristas. Con eso ya tenemos 12 bordes.
En total tenemos 8 esquinas, una de las cuales se puede
ver en la figura. Después del corte con cada esquina se
agregan 3 bordes.
Entonces, en total:
12 + 8 × 3 = 36
La respuesta es: A
74
159
• Triángulo rectángulo: características, hipotenusa y catetos.
(7.º Grado)
• Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (7.º Grado)
• Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,
paralelogramo. Características particulares de cada uno. (7.º Grado)
• Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de
lados. Diagonal de un polígono. Polígono regular. (7.º Grado)
• Elementos notables de un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables (ortocentro,
baricentro, circuncentro, incentro). (7º. Grado)
• Teorema de Pitágoras. (7.º Grado)
• Axiomas, postulados y teoremas sobre: el punto y la recta, el punto y
el plano, dos puntos, la recta y el plano, intersección de dos planos,
suma de ángulos internos de un triángulo, medidas de ángulos externos
de un triángulo, congruencia de ángulos de un triángulo equilátero. (7.º
Grado)
• Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y
según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (7.º Grado)
• Elementos notables en un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables (ortocentro,
baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado)
• Circunferencia. Concepto. Características. Arco, cuerda, recta
tangente y recta secante. Posiciones de la recta y la circunferencia, y de
dos circunferencias. (8.º Grado)
• Congruencia de triángulos, postulados. (8.º Grado)
• Figuras semejantes. Concepto. Lados homólogos proporcionales y
ángulos congruentes. (8.º Grado)
• Criterios de semejanza de triángulos. (8.º Grado)
• Teorema de Thales. Segmentos correspondientes proporcionales.
(8º Grado)
• Simetrías, traslaciones y rotaciones en el plano. (8.º Grado)
• Simetría de figuras con respecto a una recta (axial) y con respecto a
un punto (central). (8.º Grado)
• Homotecia. Figuras homotéticas. Propiedades. (8.º Grado)
• Circunferencia. Concepto, características. Arco, cuerda, recta
tangente y recta secante. Posiciones de la recta y de la circunferencia, y
de dos circunferencias. (8.º Grado)
• Paralelismo y perpendicularidad entre planos, entre rectas y planos.
Plano secante. (9.º Grado)
• Ángulo diedro. Concepto. Elementos: arista, caras. (9.º Grado)
• Ángulo poliedro. Concepto. Clasificación: diedro, triedro. (9.º Grado)
158
Problema 186 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 13)
Graciela hizo la figura que se muestra en el gráfico.
¿Cuál de las siguientes figuras de abajo (cuando se ve
desde cualquier lado) no se puede lograr al mover un
único cubo?
Solución
Numeramos los cubos de la figura inicial.
La figura A se obtiene moviendo el cubo 1 sobre el 5.
La figura B se obtiene moviendo el cubo 1 sobre el otro
costado del cubo 2.
La figura D se obtiene moviendo el cubo 1 sobre el cubo 2.
La figura E se obtiene moviendo el cubo 1 al lado del cubo 3.
La respuesta es: C
Problema 187 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 19)
Tres amigos viven en la misma calle: un médico, un ingeniero y
un músico. Estos amigos se llaman Eduardo, Roberto y Santiago.
El médico no tiene hermanos ni hermanas. Él es el más joven de
los tres amigos. Santiago es más viejo que el ingeniero y está
casado con la hermana de Eduardo. Los nombres del médico, del
ingeniero y del músico son, respectivamente:
A) Eduardo, Roberto y Santiago
B) Santiago, Eduardo y Roberto
C) Roberto, Santiago y Eduardo
D) Roberto, Eduardo y Santiago
E) Eduardo, Santiago y Roberto
Solución
Analizamos los datos del problema. Con respecto a las edades:
Médico < que los otros
⇒
Médico < Ingeniero < Santiago
75
Por lo tanto, Santiago es el Músico.
Santiago está casado con la hermana de Eduardo. Por lo tanto, Eduardo
no puede ser el médico. Entonces, el Médico es Roberto.
Luego, el Ingeniero es Eduardo.
La respuesta es: D
Problema 188 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 22)
Kangu sólo hace saltos de 1 ó 3 metros. Él quiere avanzar 10
metros, sin retroceder ni una vez. ¿Cuántas formas tiene Kangu
para hacerlo? (Se consideran como formas diferentes 1 + 3 + 3 + 3
y 3 + 3 + 3 + 1, por ejemplo)
A) 28
B) 34
C) 35
D) 55
E) 56
Solución
Veamos las posibilidades que tenemos:
Con 3 saltos de 3 m: 3 , 3 , 3 , 1
El 1 en las posiciones 4 , 3 , 2 , 1
→
4 posibilidades
Con 2 saltos de 3 m: 3 , 3 , 1 , 1 , 1 , 1
Los dos 3 en las posiciones:
1,2−1,3−1,4−1,5−1,6−2,3−2,4−2,5−2,6−3,4−3,
5−3,6−4,5−4,6−5,6 →
15 posibilidades
Con 1 salto de 3 m: 3 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1
El 1 en las posiciones 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
→
8 posibilidades
Sin saltos de 3 m:
→
1111111111
1 posibilidad
En total:
4 + 15 + 8 + 1 = 28
La respuesta es: A
76
La geometría y la medida
Contenidos:
• Puntos simétricos con relación a un segmento. (5.º Grado)
• Clasificación de las figuras geométricas según sus simetrías.
(5.º Grado)
• Número de ejes de simetría del: triángulo, cuadrado, rectángulo,
trapecio, paralelogramo, pentágono, exágono, octógono. (5.º Grado)
• Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5.º Grado)
• Longitud de la circunferencia. (5.º Grado)
• Unidades de medida de superficie. (5.º Grado)
• Unidades de medidas agrarias: hectárea, área, centiárea. (5.º Grado)
• Área de figuras geométricas planas y del círculo. (5.º Grado)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Relación entre el perímetro y el área de una figura en función a las
medidas de sus lados. (6.º Grado)
• Ángulo, clasificación (recto, agudo, obtuso y llano). (6.º Grado)
• Ángulos complementarios y suplementarios. (6.º Grado)
• Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. (6.º Grado)
• Simetría, figuras simétricas mediante giro o traslación. (6.º Grado)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro) (6.º Grado)
• Área lateral y área total de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro). (6º. Grado)
• Relaciones de equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de las
unidades de medidas de capacidad. (6.º Grado)
• Volumen: concepto, relaciones de equivalencias entre múltiplos y
submúltiplos de las unidades de medidas de volumen. (6.º Grado)
• Relaciones de equivalencias entre las unidades de medidas de
volumen, capacidad y peso. (6.º Grado)
• Volumen de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro). (6.º Grado)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro) (6.º Grado)
• Ángulo. Concepto. Elementos: vértice, lados. (7.º Grado)
• Bisectriz de un ángulo. (7.º Grado)
• Clasificación de ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, nulo.
(7.º
Grado)
• Ángulos complementarios, suplementarios y adyacentes.
Complemento y suplementos de un ángulo. (7.º Grado)
• Triángulo. Concepto. Elementos. Características. (7.º Grado)
157
Problema 189 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 25)
Un niño siempre dice la verdad los jueves y los viernes y siempre
miente los martes. En los demás días de la semana no sabemos
cuándo miente o dice la verdad. En siete días consecutivos, se le
preguntó su nombre y él contestó los primeros seis días en este
orden: Juan, Pedro, Juan, Pedro, Luis, Pedro. ¿Qué respondió el
séptimo día?
A) Juan
B) Pedro
C) Luis
D) Silvia
E) Otra respuesta
Solución
Si dice Juan un jueves, también tiene que decir Juan el viernes.
Entonces, un viernes dice Juan. Vemos si esto corresponde a lo planteado
en el problema:
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Lunes
Martes
Miércoles
Juan
Pedro
Juan
Pedro
Luis
Pedro
Vemos que el martes dice una mentira. Entonces, el séptimo día que es
un jueves deberá decir la verdad, o sea Juan.
La respuesta es: A
Problema 190 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 26)
Un grupo de personas quiere visitar cuatro islas A , B , C , D en
barco. Existen barcos que hacen el servicio entre tierra firme y
las islas A , B y C. Hay un barco que lo hace entre las islas A y B.
También a C se puede llegar desde A y viceversa. Existe, además,
un barco que traslada entre las islas A y D. ¿Cuál es el mínimo
número de viajes, en barco, que se deben hacer para visitar las
cuatro islas partiendo desde tierra firme?
A) 5
B) 7
C) 4
D) 6
E) 8
156
77
Solución
Consideramos uno de los posibles itinerarios,
tratando de que la cantidad de viajes sea la
menor posible:
De Tierra Firme a B
De B a A
De A a D
De D a A
De A a C
De esta forma hemos recorrido las cuatro islas,
haciendo 5 viajes.
La respuesta es: A
Problema 191 (Kanguro 2008 - Cadete – Problema 27)
Luisa y Juan juegan a las adivinanzas. Para ello, colocan siete
hojas de papel en una mesa y escriben los números del 1 al 7 en
cada hoja (exactamente uno en cada hoja). Voltean las hojas de
manera que no se vean los números y las desordenan. Al azar,
Juan toma tres hojas y Luisa toma dos quedando dos en la mesa
sin voltear ni ver. Después de ver sus hojas, Juan le dice a Luisa:
“Yo sé que la suma de los números que tienes en tus hojas es un
número par”. ¿Cuál es la suma de los números de las hojas que
tiene Juan?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
Solución
De los números del 1 al 7 tenemos 4 números impares y 3 pares.
Como Juan tiene tres números, estos deben ser los tres pares. De lo
contrario no podría asegurar de que la suma de los números de Luisa sea
par.
Entonces:
2 + 4 + 6 = 12
La respuesta es: D
NIVEL 3
1º, 2º y 3º Año
78
155
Problema 192 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 5)
Las operaciones
manera:
A
B
y
se comportan de la siguiente
C = A — B + (A + C) − (B − C)
Determinar el valor de: 8
A) 50
D) 55
6
3
B) 52
E) 60
C) 54
F) n. d. l. a.
Solución
De acuerdo a las características establecidas tenemos:
8 — 6 + (8 + 3) − (6 − 3) = 56
La respuesta es: F
Problema 193 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 7)
Se tienen 100 cuadrados iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de
rectángulos diferentes que se pueden armar simultáneamente?
A) 18
B) 15
C) 13
D) 10
E) 8
F) n. d. l. a.
Solución
Veamos las características de los rectángulos que podemos tener:
1) 1 × 1
2) 1 × 2
3) 1 × 3
4) 1 × 4
5) 2 × 2
6) 1 × 5
7) 1 × 6
8) 2 × 3
9) 1 × 7
10) 1 × 8
11) 2 × 4
12) 1 × 9
13) 3 × 3
14) 1 × 10
15) 1 × 11
154
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1 cuadrado
2 cuadrados
3 cuadrados
4 cuadrados
4 cuadrados
5 cuadrados
6 cuadrados
6 cuadrados
7 cuadrados
8 cuadrados
8 cuadrados
9 cuadrados
9 cuadrados
10 cuadrados
11 cuadrados
79
Total de cuadrados:
1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + + 8 + 9 + 9 + 10 +11 = 93
Como hasta aquí ya usamos 93 cuadrados, sobran 7 con lo cual podríamos
armar uno de 1 × 7 pero que estaría repetido.
La respuesta es: B
Problema 194 (Validación Kanguro 2008 - Cadete – Problema 6)
En un trozo de un mapa del tesoro se
observan 5 ciudades antiguas.
Todas las ciudades están unidas entre sí
por caminos menos las ciudades B y E. ¿De
cuantas maneras puedes ir desde la
ciudad A hasta la ciudad B, pasando por
todas las ciudades y sin repetir ningún
tramo?
A) 4
C) 6
E) 8
B) 5
D) 7
F) n. d. l. a.
Solución
Escribimos los caminos que encontramos:
Problema 293 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 16)
El día de hoy, Carmen puede decir: “Dentro de dos años, mi hijo
Carlos tendrá el doble de la edad que tenía hace dos años. Y,
dentro de tres años, mi hija Sara tendrá tres veces la edad que
tenía hace tres años”. Con base en la información anterior, ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Carlos y Sara tienen la misma edad
B) Sara tiene un año más que Carlos
C) Carlos tiene un año más que Sara
D) Sara tiene dos años más que Carlos
E) Carlos tiene dos años más que Sara
Solución
Construimos las dos tablas:
Carlos
Sara
X + 2 = 2 (X − 2)
⇒
X+2=2X−4
⇒
Y + 3 = 3 (Y − 3)
⇒
Y+3=3Y−9
⇒
X
Hace
2
años
X−2
Hoy
Y
Dentro
de 3
años
Y+3
Entonces:
ADECB
ACEDB
AEDCB
AECD B
La respuesta es: A
80
Hace
3
años
Y−3
Dentro
de 2
años
X+2
Hoy
153
x=6
Y=6
La respuesta es: A
Solución
Al punto D llega:
1−
=
—
=
−
=
Al punto E llega:
Al punto B llega:
La respuesta es: D
Problema 292 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 11)
Una de las caras de un cubo es cortada en sus diagonales
como se muestra en la figura. ¿Cuáles de las siguientes
configuraciones no es posible?
A) 1 y 3
B) 1 y 5
C) 2 y 4
D) 3 y 4
E) 3 y 5
Solución
En la figura 3 falta una pestaña en el cuadrado del medio en sentido
horizontal y en la figura 5 falta una pestaña en el último cuadrado en
sentido horizontal.
La respuesta es: E
152
NIVEL 2
8.º y 9.º Grado
81
A) 2431
B) 4213
C) 2143
D) 2134
E) 3214
Solución
Indicamos el punto de partida en cada
caso, y con una flecha el punto del
recorrido donde se tomó cada foto.
Podemos ver que primero se tomó la foto
2, en segundo lugar la foto 1, luego la 4 y
por último la 3.
La respuesta es: C
Problema 291 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 9)
Como se ve en la figura, un río comienza en el punto A, y a cierta
distancia la corriente se separa en dos. Uno de los cauces se lleva
1/3 de la corriente, y el segundo cauce se lleva el resto. Este
segundo cauce se vuelve a dividir en dos, un cauce se lleva las
3/4 partes de la corriente y el otro cauce se lleva el resto. ¿Qué
fracción de la corriente principal original llega al punto B?
82
A)
1
4
B)
2
3
C)
D)
11
12
E) No se puede determinar
1
6
151
Vemos que la cantidad de fichas en cada rectángulo es el producto de
dos números enteros consecutivos. Si logramos descubrir el primer
número, tenemos resuelto el problema.
Podemos considerar:
2 ≅ 1 (considerando la parte entera)
6 ≅2
;
12 ≅ 3
;
20 ≅ 4
Ya sabemos cómo hallar el primer número. Como 2 008 ≅ 44, el primer
número de la disposición rectangular será 45. Entonces:
45 × 46 = 2 070
El año es 2 070 y los años que faltan son:
2 070 − 2 008
→
62 años
Criterios de corrección
•
Por establecer algunas disposiciones rectangulares
•
Por descubrir y establecer disposiciones rectangulares
convenientes
Por descubrir que la disposición rectangular
corresponde al producto de dos números enteros
consecutivos
Por descubrir cómo hallar uno de los dos números
Por hallar el resultado
•
•
•
hasta 2 puntos
3 puntos
2 puntos
1 punto
1 punto
Problema 290 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 6)
Beatriz dio vuelta a un parque, como el que se
muestra en la figura, partiendo del punto
indicado en la dirección dada. Ella tomó las
cuatro fotos (indicadas con los números 1 , 2 , 3 y
4 en la figura) durante su caminata. ¿En qué
orden fueron tomadas las fotos?
150
La geometría y la medida
Contenidos:
• Puntos simétricos con relación a un segmento. (5.º Grado)
• Clasificación de las figuras geométricas según sus simetrías. (5.º Grado)
• Número de ejes de simetría del: triángulo, cuadrado, rectángulo,
trapecio, paralelogramo, pentágono, exágono, octógono. (5.º Grado)
• Perímetro de polígonos regulares e irregulares. (5.º Grado)
• Longitud de la circunferencia. (5.º Grado)
• Unidades de medida de superficie. (5.º Grado)
• Unidades de medidas agrarias: hectárea, área, centiárea. (5.º Grado)
• Área de figuras geométricas planas y del círculo. (5.º Grado)
• Área de polígonos regulares e irregulares y círculos. (6.º Grado)
• Relación entre el perímetro y el área de una figura en función a las
medidas de sus lados. (6.º Grado)
• Ángulo, clasificación (recto, agudo, obtuso y llano). (6.º Grado)
• Ángulos complementarios y suplementarios. (6.º Grado)
• Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. (6.º Grado)
• Simetría, figuras simétricas mediante giro o traslación. (6.º Grado)
• Características y regularidades de cuerpos geométricos. (6.º Grado)
• Área lateral y área total de cuerpos geométricos (cubo, prisma,
cilindro). (6.º Grado)
• Relaciones de equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de las
unidades de medidas de capacidad. (6.º Grado)
• Volumen: concepto, relaciones de equivalencias entre múltiplos y
submúltiplos de las unidades de medidas de volumen. (6.º Grado)
• Relaciones de equivalencias entre las unidades de medidas de volumen,
capacidad y peso. (6.º Grado)
• Volumen de cuerpos geométricos (cubo, prisma, cilindro). (6.º Grado)
• Bisectriz de un ángulo. (7.º Grado)
• Clasificación de ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, nulo. (7.º Grado)
• Ángulos complementarios, suplementarios y adyacentes. Complemento
y suplementos de un ángulo. (7.º Grado)
• Cuadriláteros. Concepto. Elementos. Propiedades básicas. (7.º Grado)
• Clases de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo, trapecios, rombo,
paralelogramo. Características particulares de cada uno. (7.º Grado)
• Polígono. Concepto. Elementos. Clasificación según el número de lados.
Diagonal de un polígono. Polígono regular. (7.º Grado)
83
• Elementos notables de un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables
(ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado)
• Teorema de Pitágoras. (7.º Grado)
• Axiomas, postulados y teoremas sobre: el punto y la recta, el punto y el
plano, dos puntos, la recta y el plano, intersección de dos planos, suma
de ángulos internos de un triángulo, medidas de ángulos externos de un
triángulo, congruencia de ángulos de un triángulo equilátero.
(7.º Grado)
• Clases de triángulos según sus lados (isósceles, equilátero, escaleno) y
según sus ángulos (rectángulo, oblicuángulo). (7.º Grado)
• Elementos notables en un triángulo: altura, mediana, mediatriz,
bisectriz. Puntos de intersección de los elementos notables
(ortocentro, baricentro, circuncentro, incentro). (7.º Grado)
• Circunferencia. Concepto. Características. Arco, cuerda, recta
tangente y recta secante. Posiciones de la recta y la circunferencia, y
de dos circunferencias. (8.º Grado)
• Cuerpos poliedros. Concepto. Clasificación (regular e irregular).
(9.º Grado)
• Cubo, prisma, pirámide. Concepto. Características. Elementos.
Desarrollo plano de la superficie. (9.º Grado)
Con 10 → 2 (1 por 10 , 2 por 5)
Contamos la cantidad de cuadrados usados hasta aquí:
1 + 2 + 3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 16 + 18 + 20 = 92
La respuesta es: B
Problema 289 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 5)
La siguiente disposición de fichas circulares origina los “números
triangulares”.
Utilizando el doble de fichas que corresponden a un determinado
número triangular, podemos armar un rectángulo, como se indica
en el gráfico de abajo.
A partir del año 2 008, ¿cuántos años faltan para que la cantidad
de fichas en una disposición rectangular como la anterior
coincida, por primera vez, con el número del año?
Solución
Analizamos lo que pasa con los primeros números triangulares, eligiendo
una disposición rectangular que nos pueda servir:
84
149
Problema 287(Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 4)
Dani construye la siguiente secuencia de
figuras, utilizando cuadraditos iguales.
¿Cuántos cuadraditos usará Dani para
construir la 24ª figura?
A) 507
D) 601
B) 553
E) 626
C) 576
E) n. d. l. a.
Solución
Vamos a descubrir el patrón seguido por Dani:
1
2
3
4
→
→
→
→
1=1—0+1
3=2—1+1
7=3—2+1
13 = 4 — 3 + 1
Figura n
→
n (n − 1) + 1
Figura
Figura
Figura
Figura
Problemas para el Aula
Problema 201 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 1)
En un triángulo ABC, se traza la altura AH. Se cumple que el lado
AB es una de las medianas del triángulo AHC.
¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al triángulo ABC?
A) Equilátero
C) Acutángulo
E) A y D son correctas
B) Rectángulo
D) Obtusángulo
F) n. d. l. a.
Solución
Si AB es mediana, B tiene que
estar entre H y C.
Esta situación se muestra en la
figura.
Entonces:
∠
ABC > 90º
Entonces:
La respuesta es: D
Figura 24 →
24 — 23 + 1 = 553
La respuesta es: B
Problema 288 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 9)
Se tienen 100 cuadrados iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de
rectángulos diferentes que se pueden armar simultáneamente?
A) 18
C) 13
E) 8
B) 15
D) 10
F) n. d. l. a.
Solución
Hacemos una lista con la cantidad de cuadrados que se utilizan:
Con 1
Con 2
Con 3
Con 4
Con 5
Con 6
Con 7
Con 8
Con 9
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1
1
1
2
1
2
1
2
2
Problema 202 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 4)
La longitud de una circunferencia C es 10 π cm. Hallar la longitud
correspondiente a una circunferencia cuya área es 4 veces mayor
que la de C.
Solución
Calculamos el radio de la circunferencia:
10 π cm = 2 π r
2
(1 por 6, 2 por 3)
2
2
2
4 A = 100 π cm = π (10 cm)
;
Entonces, el radio del otro círculo es 10 cm. Y la longitud de la
circunferencia correspondiente:
2 π — 10 cm = 20 π cm
(1 por 8, 2 por 4)
(1 por 9, 3 por 3)
148
5 cm
El área del círculo correspondiente es:
A = π (5 cm) = 25 π cm
(1 por 4, 2 por 2)
⇒
85
Problema 203 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6)
Se tiene un punto M en el interior de un ángulo de 39º. Desde M
se trazan perpendiculares a los lados del ángulo. ¿Cuál es la
medida del ángulo mayor formado por esas perpendiculares?
A) 141º
C) 189º
E) 238º
B) 178º
D) 219º
F) n. d. l. a.
Solución
Considerándole cuadrilátero BAMC tenemos:
Problema 286 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 30)
Cuatro dados idénticos se arreglan en una
fila como se muestra en la figura. Los
dados pueden no ser estándares, es decir,
la suma de sus caras opuestas podría no
ser necesariamente 7.
¿Cuál es la suma total de los puntos de las seis caras que se tocan
de los dados de la figura?
A) 23
C) 19
E) 20
B) 21
D) 22
∠
39º + 90º + 90º + AMC = 360º
Solución
Los dados no son convencionales pero son
todos iguales. Eso quiere decir que cada
uno de ellos tiene en las caras opuestas
los mismos números distribuidos de la
misma forma.
∠
AMC = 141º
La respuesta es: A
Problema 204 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 6)
2
En un triángulo ABC, el área es 126 cm , la altura BH mide 12 cm
y el segmento HC mide 5 cm. Calcular el perímetro del triángulo
ABC.
Podemos ver que el 3 no puede tener en la cara opuesta:
Solución
Entonces el 3 y el 5 son opuestos.
2,4,1,6
Consideramos el área del triángulo:
El 1 no puede en la cara opuesta:
AC ⋅ 12 cm
2
126 cm =
2
⇒
AC = 21 cm
Entonces el 1 y el 4 son opuestos.
Luego:
AH = 21 cm − 5 cm = 16 cm
BC =
AB =
2,3,5,6
(12 cm)2 + (5 cm)2 = 13 cm
(12 cm)2 + (16 cm)2
= 20 cm
También son opuestos el 2 y 6.
En el dibujo están los posibles números de las caras que se tocan. Hay
dos posibilidades:
5,1,4,6,2,2
→
suma: 20
3,4,1,2,6,2
→
suma: 18
Y el perímetro del triángulo ABC es:
La respuesta es: E
20 cm + 13 cm + 21 cm = 54 cm
86
147
Problema 284 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 28)
Los puntos A , B , C y D se encuentran marcados en una
recta en cualquier orden. Se sabe que AB = 13 , BC = 11 ,
CD = 14 y DA = 12. ¿Cuál es la distancia entre los puntos
extremos o más apartados?
A) 14
C) 38
E) Otra respuesta
B) 25
D) 50
Problema 205 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 7)
El triángulo y el cuadrado que se muestran en la figura
tienen el mismo perímetro. ¿Cuál es el perímetro de toda
la figura (o sea, del pentágono) en centímetros?
A) 12
D) 28
B) 24
E) 32
C) Depende de las medidas del triángulo
Solución
El gráfico muestra la disposición
posible de los puntos.
Solución
El perímetro del cuadrado es:
Entonces:
4 — 4 cm = 16 cm
12 + 13 = 25
Entonces, el perímetro del triángulo es:
14 + 11 = 25
La respuesta es: B
Problema 285 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 29)
En un grupo de compañeros de clase, las chicas representan más
de un 45 % del grupo pero menos del 50 %. ¿Cuál es el mínimo
número posible de chicas en el grupo?
A) 3
C) 5
E) 7
B) 4
D) 6
Solución
Según los datos del problema:
V + M = T (V: varones, M: mujeres)
45 % < M < 50 %
⇒
4,5 < M < 5 ; 5 < V < 5,5
4 cm + a + b = 16 cm
⇒
a + b = 12 cm
Y el perímetro del pentágono:
4 cm + 4 cm + 4 cm + 12 cm = 24 cm
La respuesta es: B
Problema 206 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 8)
Tres rectas se intersecan en un punto. Dos
de los ángulos así formados se muestran
en la figura. ¿Cuántos grados mide el
ángulo gris?
A) 52
C) 54
E) 56
B) 53
D) 55
Si hay 5 chicas, los varones serán 6 y el total es 11, con lo cual se
cumplen las condiciones del problema.
Solución
También podrían haber 10 , 15 , 20 , … chicas y 12 , 16 , 22 , … varones y
se cumplirían los porcentajes que tenemos como datos.
La respuesta es: C
146
Recordamos que los ángulos opuestos por
el vértice son iguales y que la suma de los
ángulos formados alrededor de un punto y
a un mismo lado de la recta es 180º.
Entonces:
87
Solución
108º + b = 180º
Hemos señalado con A , B , C, … las
casillas que se van llenando, queriendo
indicar un cierto orden de llenado,
aunque
algunas
se
llenan
casi
simultáneamente y con alguna pequeña
diferencia de orden.
b = 72º
Por otro lado:
⇒
a + b = 124º
a = 52º
La respuesta es: A
Primero ubicamos 2 en el casilla A por el 2
que tenemos en el resultado, luego el 5
en la B y la C para que obtener el 6 en el
producto y simultáneamente el 4 en la
casilla D.
Problema 207 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 1)
En la figura se puede ver un pentágono regular
ABCDE, cuyo centro es O.
El área del cuadrilátero ABCO es 26 cm2.
¿Cuál es el área del pentágono?
D) 65 cm2
A) 82 cm2
2
B) 80 cm
E) 52 cm2
2
C) 78 cm
F) n. d. l. a.
Así hemos seguido el orden indicado.
Entonces:
Solución
5 + 6 + 5 + 0 + 0 = 16
El segmento BO divide al cuadrilátero ABCO en
dos partes iguales. Entonces:
2
(AOB) = (BOC) = 26 cm ÷ 2 = 13 cm
2
Y el área del pentágono es:
2
13 cm — 5 = 65 cm
2
La respuesta es: D
Problema 208 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 11)
ABCD es un rectángulo. ¿Cuál es la medida
de x?
A) 48
D) 10,5
B) 24,4
E) 9,6
C) 12,2
F) n. d. l. a.
La respuesta es: A
Problema 283 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 27)
Rafael tiene 10 cartas, con exactamente los números 3 , 8 , 13 ,
18 , 23 , 28 , 33 , 48 , 53 , 68 escritos en ellas. ¿Cuál es el menor
número de cartas que puede elegir Rafael para que la suma de las
escogidas sea 100?
A) 2
C) 4
E) Es imposible de hacer
B) 3
D) 5
Solución
Podemos usar 3 cartas terminadas en 8 y dos terminadas en 3, de modo
que 24 + 6 termine en 0.
La otra posibilidad de usar 5 cartas terminadas en 8, que también daría
una suma terminada en 0, daría una suma mayor que 100.
Los números son:
8 + 13 + 18 + 33 + 28 = 100
La respuesta es: D
88
145
Solución
El área del triángulo ADC es:
En la posición x:
B + C + A + 5 = 22
⇒
A = 22 − (B + C) − 5 = 22 − 10 − 5 = 7 (3)
(ADC) =
= 96
Llevando (3) a (1):
La diagonal AC mide:
B + D = 13 − 7 = 6
La respuesta es: C
Problema 281 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 25)
Seis números enteros son marcados en la recta real (ver figura).
AC =
=
= 20
Entonces:
⇒
(ADC) = 96 =
x = 9,6
La respuesta es: E
Si se sabe que al menos
menos dos de ellos son
divisibles por 15?
A) A y F
C)
B) B y E
D)
dos de ellos son divisibles por 3 y al
divisibles por 5, ¿cuáles números son
C y D
E) Sólo uno de ellos
Los seis números
Solución
La única posibilidad para que hayan al menos dos números divisibles por 3
y dos por 5 es que A sea múltiplo de 3 y de 5. En este caso B, E y F serían
divisibles por 3 y C, D y F por 5.
Luego son divisibles por 15 A y F.
La respuesta es: A
Problema 282 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 26)
En la figura, cada cuadradito puede representar
cualquier dígito. ¿Cuál es la suma de los dígitos
del producto?
A) 16
D) 30
B) 20
E) Otra respuesta
C) 26
Problema 209 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 12)
La arista del cubo de la figura es 10. El cubo se
interseca con un plano como está indicado.
¿Cuál es el área de la superficie que resulta de la
intersección entre el plano y el cubo?
A) 10
C) 100
E) 200
2
B) 10
D) 100
2
F) n. d. l. a.
Solución
La diagonal de una de las caras es:
=
=
= 10
Entonces, las dimensiones del rectángulo que está sombreado en la figura
son:
10 , 10
Y el área de intersección entre el cubo y el plano es:
10 × 10
= 100
La respuesta es: D
144
89
Problema 280 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 24)
Un conjunto de ocho triángulos equiláteros pueden ser unidos
para formar un octaedro regular. Para construir un octaedro
mágico, se reemplazan las letras A , B , C , D y E con los números
2 , 4 , 6 , 7 y 8 (sin repetición) de forma que la suma de los
cuatro números de las cuatro caras que comparten vértices
tengan siempre la misma suma.
¿Cuál es la suma B + D en el octaedro mágico?
A) 8
C) 6
E) 10
B) 9
D) 7
Solución
Llamamos A y D a las caras del frente; C y 9 a las
caras del costado derecho; C y 3 a las caras de
atrás; 5 y E a las caras del costado izquierdo.
Los vértices donde se encuentran 4 caras, deben
ser opuestos, y están en las posiciones x , y , z.
La suma de todos los números es:
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44
Y como 44 se debe repartir entre los vértices opuestos, en cada vértice la
suma es:
44 ÷ 2 = 22
Entonces tenemos:
En la posición z:
A + B + 9 + D = 22
⇒
B + D = 22 − 9 − A = 13 − A (1)
⇒
B + C = 22 − 9 − 3 = 10 (2)
En la posición y:
B + 9 + C + 3 = 22
90
143
Problema 279 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 22)
Un niño siempre dice la verdad los jueves y los viernes y siempre
miente los martes. En los demás días de la semana no sabemos
cuándo miente o dice la verdad. En siete días consecutivos, se le
preguntó su nombre y él contestó los primeros seis días en este
orden: Juan, Pedro, Juan, Pedro, Luis, Pedro. ¿Qué respondió el
séptimo día?
A) Juan
C) Luis
E) Otra respuesta
B) Pedro
D) Silvia
Solución
Como en la secuencia de 6 días no hay dos nombres repetidos, el jueves y
el viernes no pueden estar simultáneamente en los 6 días.
Problemas Desafiantes
Problema 210 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 3)
En el trapecio isósceles de la figura, las
diagonales se cortan en el punto P. El
lado DC mide 25 y la distancia de P al lado
DC es 6. Hallar la relación entre las áreas
de los triángulos ABC y ABP.
A) 3 : 1
B) 3 : 2
C) 5 : 2
D) 2 : 3
E) 2 : 5
F) n. d. l. a.
Solución
Tenemos:
Luego, el viernes debe ser el primer día y en jueves el séptimo: o bien el
jueves puede ser el sexto día y el viernes el séptimo.
(ABC) =
(ABP)
Veamos la primera posibilidad:
Viernes
Sábado
Domingo
Lunes
Martes
Miércoles
El séptimo día
→
→
→
→
→
→
→
Juan
Pedro
Juan
Pedro
Luis
Pedro
Juan
La segunda posibilidad, vamos a ver que es imposible:
Sábado
Domingo
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
→
→
→
→
→
→
Juan
Pedro
Juan
Pedro
Luis
Pedro (contradice al martes)
La respuesta es: A
AB ⋅ 10
10 5
2
=
=
AB ⋅ 4
4
2
2
La respuesta es: C
Problema 211 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)
ABCD es un rectángulo y AED es un
triángulo equilátero.
¿En qué porcentaje aumenta el
perímetro de la figura ABCDE
cuando se agrega el cuadrado de
línea de puntos?
A) 16 %
C) 30 %
E) 50 %
B) 25 %
D) 40 %
F) n. d. l. a.
Solución
El perímetro de la figura ABCDE es:
8 + 20 + 8 + 20 + 8 = 64
Al agregar el cuadrado que está en línea de puntos, el nuevo perímetro
es:
8 + 20 + 8 + 20 + 8 + 8 + 8 = 80
142
91
Y entonces:
⇒
x = 125 %
La respuesta es: B
Problema 212 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 3)
En un triángulo ABC, la mediana BM tiene la misma medida que el
Problema 277 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 20)
En una clase hay 9 niños y 13 niñas. Si la mitad de los estudiantes
de la clase están resfriados, ¿al menos cuántas niñas están
resfriadas?
A) 4
C) 0
E) 2
B) 1
D) 3
Solución
El total de alumnos es:
∠
lado AB y ABM = 60º. ¿Cuál es la medida del ángulo ABC?
A) 45º
C) 75º
E) 90º
B) 50º
D) 80º
F) n. d. l. a.
9 + 13 = 22
Y la mitad que están resfriados es:
Solución
22 ÷ 2 = 11
Como BM y AB son iguales, el
triángulo ABM es isósceles y
∠
∠
BAM = BMA .
∠
Pero como ABM = 60º, los tres
ángulos del triángulo miden 60º y
sus tres lados son iguales.
Luego:
∠
BMC = 180º − 60º = 120º
Como BM es mediana, M es punto medio de AC. En consecuencia:
BM = MC
∠
∠
Solución
Los dígitos que forman los números son:
Para la primera situación las posibilidades son:
11155 , 11515 , 15115 , 51115 , 11551
15511 , 55111 , 15151 , 51151 , 51511
180º − 120º
= 30º
2
Son 10 posibilidades.
Entonces:
∠
ABC = 60º + 30º = 90º
La respuesta es: E
92
Problema 278 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 21)
Tenemos dos conjuntos de números de cinco dígitos, el conjunto
A formado por los números cuyo producto de sus dígitos es igual a
25, y el conjunto B formado por los números cuyo producto de sus
dígitos es igual a 15. ¿Qué conjunto tiene más números? ¿Cuántas
veces más tiene ese conjunto?
A) A , 5/3 veces
C) B , 5/3 veces
B) A , 2 veces
D) B , 2 veces
E) El número de elementos es igual
1 , 1 , 1 , 5 , 5 y 1 , 1 , 1 , 3 , 5.
El triángulo BMC resulta ser isósceles y:
MBC = BCM =
Como solamente hay 9 niños, por lo menos dos niñas están resfriadas.
La respuesta es: E
Con el mismo criterio armamos el segundo número, solamente que las
posibilidades se duplican, porque podemos cambiar de lugar el 5 con el 3.
La respuesta es: D
141
Solución
Calculamos la edad de los 3 más jóvenes:
42 ÷ 3 = 14
⇒
Problema 213 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8)
El área del paralelogramo ABCD de la
figura es 72. ¿Cuál es la medida del
segmento HC?
A) 8
C) 6
E) 3
B) 7
D) 4
F) n. d. l. a.
13 , 14 , 15
Entonces, la suma de las edades de los 3 más viejos es:
17 + 18 + 19 = 54
La respuesta es: D
Problema 276 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 18)
En la primera prueba de ortografía de cinco palabras, escribí
correctamente una sola. Si ahora practico mucho para escribir
correctamente todas las palabras en las pruebas siguientes, ¿cuál
es el mínimo número de pruebas que debo hacer, a partir de
ahora, para que mi promedio sea cuatro de cinco palabras, si
todas las pruebas tienen cinco palabras?
A) 2
C) 4
E) 6
B) 3
D) 5
Solución
Vamos a graficar la situación que se plantea en el problema:
Solución
El área del paralelogramo es:
⇒
72 = BC — 6
BC = 12
En el triángulo BAH tenemos:
BH =
10 2 − 6 2 = 8
Luego:
HC = 12 − 8 = 4
La respuesta es: D
Problema 214 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 11)
El triángulo ABC de la figura es rectángulo
en B.
¿Cuál es la medida del segmento BH?
A) 11,2 cm
D) 8,4 cm
B) 10 cm
E) 8 cm
C) 9,6 cm
F) n. d. l. a.
Solución
Calculamos primero el área del triángulo ABC:
(ABC) =
En A vemos la primera prueba, en donde el acierto es de 1 de 5.
En B vemos una prueba más. Ahora el acierto es 6 de 10.
En C vemos otra prueba más, totalizando los aciertos 11 de 15.
Y en la situación D, con tres pruebas a más de la primera, vemos que los
aciertos son 16 de 20 o sea 4 de 5.
La respuesta es: B
12 cm ⋅ 16 cm
2
= 96 cm
2
La medida de la hipotenusa es:
AC =
(12 cm)2 + (16 cm)2
= 400 cm2 = 20 cm
Tomando la hipotenusa como base tenemos:
2
96 cm =
20 cm ⋅ BH
2
⇒
BH = 9,6 cm
La respuesta es: C
140
93
Problema 215 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 14)
En el trapecio de la figura, el área sombreada
2
2
mide 48 cm y es los
del área del trapecio.
3
¿Cuánto mide la base menor del trapecio?
A) 2 cm
C) 4 cm
D) 10 cm
B) 3 cm
E) 8 cm
F) n. d. l. a.
Solución
2
2 1
2
de esa superficie es 24 cm .
Si los del área del trapecio es 48 cm ,
3
3
Luego el área del trapecio es:
2
2
48 cm + 24 cm = 72 cm
2
12 cm ⋅ h
2
Solución
Calculamos el monto del dinero que tiene en cada bolsillo:
20 000 G — 9 = 180 000 G
2
50 000 G — 8 = 400 000 G
La altura del triángulo sombreado es:
48 cm =
Problema 274 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 14)
Daniel tiene en un bolsillo 9 billetes, cada uno de 20 000 G,
mientras que en el otro bolsillo tiene 8 billetes de 50 000 G cada
uno. ¿Cuál es el menor número de billetes que Daniel debe
cambiar de bolsillo para tener la misma cantidad de dinero en los
dos bolsillos?
A) 4
C) 8
E) No puede ser determinado
B) 5
D) 12
La diferencia es:
⇒
400 000 G − 180 000 G = 220 000 G
h = 8 cm
220 000 G ÷ 2 = 110 000 G
Entonces:
Ese es el monto que tenemos que mover. Entonces:
12 cm + b
72 cm =
⋅ 8 cm
2
2
⇒
b = 6 cm
La respuesta es: F
Problema 216 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 16)
En el cuadrado ABCD, M es el punto medio del
lado AD y N es el punto medio del lado DC. La
2
superficie pintada mide 19,5 cm . ¿Cuál es el área
del cuadrado?
2
2
2
A) 26 cm
C) 39 cm
E) 56 cm
2
2
B) 32,5 cm
D) 52 cm
F) n. d. l. a.
Solución 1
Trazamos DF perpendicular a AC.
Entonces, los triángulos rectángulos DEM y DEN
son iguales. También DE = EF y AF = 2 ME.
50 000 G — 3 = 150 000 G
20 000 G — 2 = 40 000 G
La diferencia entre los dos montos es 110 000 G. Entonces, pasamos 3
billetes de 50 000 G al otro bolsillo y 2 billetes de 20 000 G al bolsillo que
inicialmente contenía solamente billetes de 50 000 G.
La respuesta es: B
Problema 275 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 15)
Los 7 enanitos de Blanca Nieves nacieron el mismo día pero en 7
años consecutivos. La suma de las edades de los 3 más jóvenes es
42 años. ¿Cuál es la suma, en años, de las edades de los 3 más
viejos?
A) 57
C) 60
E) 48
B) 51
D) 54
La superficie MEFA es:
94
139
Problema 272 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 5)
Si 6 canguros comen 6 bolsas de forraje en 6 minutos, ¿cuántos
canguros comerán 100 bolsas de forraje en 100 minutos?
A) 600
C) 60
E) 100
B) 6
D) 10
2
(MEFA) = 19,5 cm ÷ 2 = 9,75 cm
Luego:
2
9,75 cm = (DAF) − (DME) =
Solución
La cantidad de bolsas aumenta de 6 a 100, pero también aumenta de 6 a
100 la cantidad de minutos. Entonces, todo se mantiene constante.
La respuesta es: B
Problema 273 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 12)
Un cubo de madera de 11 × 11 × 11 se forma al unir 113 cubos de
tamaño 1 × 1 × 1 (unitarios). ¿Cuál es el máximo número de cubos
unitarios visibles al tomar una fotografía del cubo de madera?
A) 331
C) 332
E) 328
B) 329
D) 330
Solución
2
2
9,75 cm =
AF ⋅ DF ME ⋅ DE
−
2
2
2 ME ⋅ 2 DE ME ⋅ DE
3
−
=
ME — DE
2
2
2
Por lo tanto:
2
⇒
9,75 cm = 3 (DME)
(DME) = 3,25 cm
2
2
(DAF) = 9,75 cm + 3,25 cm = 13 cm
2
2
Y el área del cuadrado es:
En primer lugar, para ver la mayor
cantidad de cubos unitarios,
debemos tomar la foto de un lugar
que nos permita fotografiar tres
caras del cubo mayor.
Entonces contamos en la cara del
frente:
11 × 11
→
2
(ABCD) = 13 cm — 4 = 52 cm
2
La respuesta es: D
Problema 217 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 2)
En el trapecio ABCD, AE es la bisectriz del ángulo
DAB y BE es la bisectriz del ángulo ABC.
∠
∠
En la figura se cumple que: ADC+ BCD = 84º.
∠
121cubos
Determinar la medida del ángulo AEB .
En la cara de arriba:
11 × 10
→
110 cubos
Solución
En la cara del costado:
10 × 10
→
100 cubos
El total de cubos es:
∠
∠
121 + 110 + 100 = 331
La respuesta es: A
138
∠
180º − ADC
DAE = EAB =
(1)
2
∠
∠
∠
180º − BCD
ABE = EBC =
(2)
2
95
Sumando (1) y (2) tenemos:
∠ 
 ∠
360 º −  ADC + BCD 

 360 º − 84 º
∠
∠

=
EAB + ABE =
= 138º
2
2
Luego:
∠
AEB = 180º − 138º = 42º
Problema 270 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 3)
Si se lanzan dos dardos a un tablero de tiro al blanco
pintado en la pared como se muestra en la figura,
¿cuántos son todos los posibles puntajes distintos que se
pueden obtener? (Se acepta que los dardos caigan fuera
del tablero)
A) 4
C) 8
E) 10
B) 6
D) 9
Solución
Vamos a ver las opciones según en qué lugar caen los dardos (si caen
afuera anotaremos 0):
2+6=8
6+3=9
6+0=6
0+0=0
6 + 6 = 12
Problema 218 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 8)
En un triángulo ABC, M es el punto medio del lado AC, AB = 27 cm
y BC = 18 cm. Desde M se trazan MH perpendicular a BC y MH’
perpendicular a AB (H sobre BC y H’ sobre AB). Determinar la
razón entre MH y MH’.
;
;
;
;
;
2+3=5
2+0=2
0+3=3
2+2=4
3+3=6
Los puntajes posibles son:
Solución
Como M es punto medio, BM es una de las
medianas del triángulo. Entonces:
(ABM) = (BMC)
AB ⋅ MH' BC ⋅ MH
=
2
2
MH AB
=
MH' BC
MH 27 cm 3
=
=
MH' 18 cm 2
⇒
Problema 219 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 10)
Un rectángulo ABCD tiene como medida de sus lados números
enteros. El perímetro del rectángulo es mayor que 35 pero menor
que 65.
Uno de los lados del rectángulo mide 8 unidades más que el otro.
¿Cuántos rectángulos que cumplen la condición del problema
existen?
Observación: un rectángulo a × b es lo mismo que un rectángulo
b × a.
0 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 , 12
La respuesta es: D
Problema 271 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 4)
Los números 2 , 3 , 4 y algún otro número se encuentran
escritos, sin repeticiones, en las celdas de la tabla 2 × 2
que se muestra en la figura. Se sabe que la suma de los
números de la primera columna es igual a 9 y que la suma
de los números de la segunda columna es igual a 6.
¿Cuál es el número desconocido?
A) 5
C) 7
E) 4
B) 6
D) 8
Solución
Tenemos que:
3+6=9
y
2+4=6
Entonces, la tabla queda completada así:
La respuesta es: B
96
137
• En los intentos 1 , 2 y 4, el dígito 4 es vaca, por lo tanto, el único lugar
posible para este dígito es el de las decenas.
• En los intentos 1 , 2 y 4, el dígito 2 también es vaca, por lo tanto, el
único lugar posible para este dígito es el de las unidades.
• Debemos ubicar los dígitos 0 y 1, pero como sabemos que el número
buscado es mayor a 1 000, la única opción es ubicar 0 en el lugar de las
centenas, y el 1 en la unidad de 1 000.
Solución
Consideramos
problema:
la
situación
planteada
en
el
35 < 2 a + 2 b < 65
17,5 < a + b < 32,5
a+b
Por lo tanto, de acuerdo al análisis realizado, el número pensado por Blas
es:
→
18 , 19 , 20 , … , 30 , 31 , 32
→
(b + 8) + b = 2 b + 8
1 042
2b+8
→
32
⇒
18
⇒
b=5
b = 12
Criterios de corrección
Por lo tanto, los valores posibles de b son:
•
•
•
•
•
•
Por decir que 3 , 5 , 7 , 9 no pueden formar parte
del número
Por decir que 2 y 4 forman parte del número buscado
Por descartar el 6 y el 8
Por decir que 0 y 1 forman parte del número
Por definir cuáles son vacas y cuáles toros
Por hallar el resultado
1
1
1
1
2
1
punto
punto
punto
punto
puntos
punto
Problema 269 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 1)
¿Cuántos cuadrados se pueden formar al unir con
segmentos los puntos de la figura?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12
Luego, b puede tener 8 valores y entonces, la cantidad de rectángulos
que cumplen las condiciones es:
8
Problema 220 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 1)
En un trapecio ABCD, AB ║ CD. Las alturas del trapecio AF y BE
miden 16 y el área del triángulo FBC es 192. Además BF = BC y 4
DF – 5 FC = 0.
Hallar el perímetro del trapecio.
Solución
En el triángulo FBC tenemos:
Solución
(FBC) = 192
FC ⋅ 16
= 192
2
⇒
FC = 24
Como el triángulo FBC es isósceles, la altura BE es también mediana.
Entonces:
La respuesta es: C
136
FE = EC = 12
97
Además:
4 DF − 5 FC = 0 ⇒
4 DF − 5 × 24 = 0
DC = DF + FC = 30 + 24 = 54
;
⇒
DF = 30
AB = EF = 12
Clasificaremos los dígitos en tres filas: los que no forman parte del
número buscado, los que pueden formar parte del número buscado, y los
que estamos seguros que forman parte del número buscado.
Entonces:
AD =
16 2 + 30 2 = 34
;
BC =
16 2 + 12 2 = 20
Paso A
Considerando el tercer intento (3 579), donde no hay toros ni vacas,
podemos concluir que 3 , 5 , 7 , 9 no forman parte del número.
Perímetro = 34 + 12 + 20 + 54 = 120
Criterios de corrección
•
•
•
•
Solución 2
Según el enunciado del problema, el número que buscamos tiene cuatro
cifras. Las posible cifras son los dígitos 0 , 1 , 2 , . . . . . , 9.
Por determinar la medida del segmento FC
Por determinar la medida de los segmentos FE, DF, AB
Por determinar AD y BC
Por hallar el perímetro
1
3
2
1
punto
puntos
puntos
punto
Problema 221 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 2)
En un hexágono regular ABCDEF de lado 20, se trazan las
diagonales AE y BF, que se intersecan en G.
Calcular el área del triángulo AFG.
Paso B
Considerando el segundo (7 254) y cuarto (4 925) intento, podemos
concluir que los dígitos 2 y 4 forman parte del número buscado, ya que
los otros dígitos fueron descartados en el paso A.
A
B
Solución
AN y FM son medianas y G es el
baricentro y este se encuentra
1
sobre cualquier mediana a
de
3
su longitud a partir del lado
correspondiente. Entonces, si
llamamos x a GN, AG será 2 x.
Por otro lado tenemos:
AN =
C
D
No están
Pueden estar
Si están
No están
Pueden estar
Si están
No están
Pueden estar
Si están
No están
Pueden estar
Si están
3
0
1
0
1
2
5
4
3
5
7
9
8
4
3
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
1
2
4
3
0
9
8
6
2
0
7
6
1
2
4
Paso C
Considerando el primero intento (2 468), podemos concluir que los dígitos
6 y 8 no forman parte del número (según se dedujo en el paso B, sabemos
que esas no son las dos vacas mencionadas).
400 − 100 = 300 = 10 3
AN = 3 x
⇒
10
x=
3
3
Paso D
Como las 4 cifras tienen que ser distintas, los dígitos 0 y 1 deben ser
parte del número, ya que los demás han sido descartados.
Luego:
10 ⋅ 10 3
(AFG) =
−
2
10 ⋅
98
10
3
100
3
3
=
2
3
A continuación ubicaremos los dígitos en su lugar correspondiente.
135
Solución 1
Con los primeros dos números pensados por Silvia, aún no se puede
deducir cuáles son los dígitos incluidos dentro del número que Blas pensó.
A partir de 3 579, podemos deducir lo siguiente:
• Que 2 y 4 son las vacas, ya que son dígitos mencionados en 7 254, que
además están incluidos en 2 468. Se descartan 7 y 5, porque se indica
que en 3 579 no hay ni toros ni vacas.
• Que 1 y 0 son parte del número que Blas pensó. En los primeros 3
números citados están incluidos los dígitos del 2 al 9. Como se
demuestra que 2 y 4 son las vacas, aún faltan dos dígitos para formar el
número pensado.
Con 4 925, tenemos que:
• La ubicación del 2 es en las unidades, ya que en 2468 está en la unidad
de mil y no es un toro; en 7254 esta en las centenas y es una vaca; y en
4925 ocupa el lugar de las decenas y tampoco coincide.
• La ubicación del 4 es en las decenas, realizando el mismo proceso antes
mencionado.
Criterios de corrección
•
•
•
•
Por graficar todos los elementos necesarios
Por determinar que G es intersección de medianas
Por hallar la altura del triángulo AFO
Por calcular el área (AFG)
Solución
El lado QP del triángulo es:
QP = 6 cm + 12 cm = 18 cm
Y la altura del triángulo es 12 cm. Por lo tanto, el área es:
= 108 cm
1 042
La respuesta es: D
Criterios de corrección
•
•
•
A) 12,5
B)
1 punto
2 puntos
3 puntos
1 punto
C)
25
3
50
3
D) 25
Solución
El área del cuadrado es:
2
10 = 100
134
2
Problema 223 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 6)
ABCD es un cuadrado de lado 10 y E es el punto
medio del lado BC.
Hallar el área pintada.
Por lo tanto, el número pensado por Blas es:
Decir explícitamente que 3 , 5 , 7 , 9 no pueden
formar parte del número
Decir explícitamente que 2 y 4 forman parte del
número buscado
Descartar el 6 y el 8
Escribir el número
punto
puntos
punto
puntos
Problema 222 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 19)
Cuatro círculos congruentes tangentes de
radio 6 cm se inscriben en un rectángulo,
como se muestra en la figura. Si P es el
vértice y Q y R son puntos de tangencia,
¿cuál es el área del triángulo PQR en cm2?
A) 27
C) 54
E) 180
B) 45
D) 108
• La ubicación del 1 y el 0 es en la unidad de mil y la centena
respectivamente, pues 0 no se puede ubicar en la unidad de mil, luego
ya no sería un número de 4 cifras.
•
1
2
1
3
99
E)
100
3
F) n. d. l. a.
Las áreas de los triángulos DBC y DEC son:
(
DBC) = 100 ÷ 2 = 50
Miscelánea
(DEC) = 50 ÷ 2 = 25 (por ser E es punto medio)
Las altura de los triángulos EFC y DFC son iguales porque F está sobre la
diagonal del cuadrado. Entonces:
(DFC) = 2 (FEC)
(DFC) =
⇒
(DFC) =
2
(DEC)
3
2
50
— 25 =
3
3
Problema 224 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 15)
En la circunferencia de la figura el diámetro es
12.
M es el punto medio del radio correspondiente.
Hallar el área del rectángulo sombreado.
A) 3
C) 9
E) 27
3
D) 9
3
F) n. d. l. a.
Solución
Como M es punto medio, uno de los lados del
rectángulo es 3, y la diagonal del mismo es 6 (por
ser radios de la circunferencia).
Luego la medida de MP es:
MP =
=
Sean A, B, C, y D los puntos.
AD , AB , AC , DC , DB , BC
La respuesta es: A
Problema 268 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 3)
Blas y Silvia juegan “Toros y Vacas”. El juego consiste en que
Silvia tiene que adivinar el número de 4 cifras distintas, mayor
que 1 000, que pensó Blas. Para que Silvia pueda adivinarlo, debe
decir el primer número de 4 cifras que se le ocurra y Blas debe
indicarle en qué se parecen.
Si el número pensado fuera 1 234, y Silvia dice 9 631; serán
“Toros” los dígitos que se encuentran en el número pensado y
además ocupan el mismo lugar, en éste caso, el 3. Son “Vacas”
los dígitos que se encuentran en el número de Blas, pero que no
están en su lugar; como el 1. Y cuando no hay toros ni vacas, no
hay dígitos que coincidan.
Silvia descubre el número en el 5º intento. Los números de los
intentos anteriores son:
2 468 2 vacas; 7 254 2 vacas; 3 579 ni toros, ni vacas;
4 925 2 vacas
=3
Y el área del rectángulo es:
3×3
Solución
Identificamos los segmentos:
La respuesta es: C
B) 3
Problema 267 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)
Ariel dibuja en su cuaderno 4 puntos de tal forma que no hay tres
de ellos alineados. Luego Ariel une los puntos trazando
segmentos. ¿Cuál es la mayor cantidad de segmentos que puede
trazar Ariel?
A) 6
C) 4
E) 2
B) 5
D) 3
F) n. d. l. a.
¿Cuál fue el número en el que pensó Blas?
=9
La respuesta es: D
100
133
El número y las operaciones – Expresiones algebraicas
Contenidos:
• Relaciones de equivalencia y de orden. (5.º Grado)
• Valor posicional, absoluto y relativo. (5.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales.
(5.º Grado)
• Números racionales positivos en notación decimal y fraccionaria.
(5.º Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5.º Grado)
• Máximo común divisor (mcd). (5.º Grado)
• Mínimo común múltiplo (mcm). (5.º Grado)
• Números primos y compuestos. (5.º Grado)
• Divisibilidad por: 2, 3, 5, 7, y 11. (5º. Grado)
• Amplificación y simplificación de fracciones. (5.º Grado)
• Relaciones de equivalencias y de orden. (6.º Grado)
• Notación científica. (6.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de las cuatro operaciones fundamentales.
(6.º Grado)
• Descomposición polinómica de un número natural utilizando potencias
de diez. (6.º Grado)
• Razón, razón aritmética, razón geométrica, proporción y magnitud.
(6.º Grado)
• Magnitudes directa e inversamente proporcionales. (6.º Grado)
• Porcentaje, descuento, tanto por ciento. (6.º Grado)
• Regla de tres (6.º Grado)
• Aplica algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y
racionales. (7.º Grado)
• Valor absoluto. (7.º Grado)
• Fracción generatriz de números decimales periódicos puros y mixtos.
(7.º Grado)
• Operaciones con y sin signos de agrupación con números enteros y
racionales en notación fraccionaria y decimal. (7.º Grado)
• Algoritmos y propiedades de la potenciación y la radicación con
números enteros y racionales en notación fraccionaria y decimal.
(7.º Grado)
• Algoritmo y propiedades de operaciones con números enteros y
racionales, en situaciones que lo requieran. (7.º Grado)
• Leyes y propiedades de la potenciación. (7.º Grado)
• Radicación, concepto, características. (7.º Grado)
132
101
• Ecuaciones lineales. (7.º Grado)
• Ecuación lineal: Concepto. Características. Elementos: miembros,
incógnita, término independiente. (7.º Grado)
• Ecuaciones lineales con una incógnita de las formas: ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d. (7.º Grado)
• Aplica algoritmos y propiedades de las operaciones de adición,
sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas: entre
monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios. (8.º Grado)
• Utiliza el proceso de factorización de expresiones algebraicas
polinómicas, en diferentes contextos. (8.º Grado)
• Aplica el algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre
monomios, entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del
resto, regla de Ruffini. (8.º Grado)
• Algoritmo de la división con expresiones algebraicas: entre monomios,
entre polinomio y monomio, entre polinomios, teorema del resto, regla
de Ruffini. (8.º Grado)
Problema 266
En una encuesta se preguntó a un grupo de familias cuántos hijos
tienen.
El resultado de la encuesta se ve en el gráfico de barras
verticales.
a) ¿Cuántas familias fueron encuestadas?
b) ¿Cuántos hijos hay en total, teniendo en cuenta todas las
familias encuestadas?
Solución
Hacemos el conteo de la cantidad de familias:
Con 1
Con 2
Con 3
Con 4
Con 6
hijo
hijos
hijos
hijos
hijos
→
→
→
→
→
12
8
6
5
2
El total de familias es:
12 + 8 + 6 + 5 + 4 + 2 = 37
El total de hijos es:
12 × 1 + 8 × 2 + 6 × 3 + 5 × 4 + 4 × 5 + 2 × 6 = 98
102
131
Problema 265
En el grado de Amalia se hizo una lista con la edad de los niños.
La lista es la siguiente:
7
6
8
7
,8
,7
,9
,8
,8
,8
,8
,9
,
,
,
,
9
7
8
7
,9
,9
,9
,9
,
,
,
,
9
8
8
9
,8
,7
,7
,9
,7
,9
,9
,8
,
,
,
,
8
8
8
7
,6
,8
,8
,7
¿Cuál es la suma de la media, la mediana y la moda?
A) 7,96
C) 20,36
E) 24,16
B) 8
D) 23,95
F) n. d. l. a.
,6
,7
,8
,9
,7
,8
,8
,9
,
,
,
,
7
8
8
9
,7
,8
,8
,9
,
,
,
,
7
8
8
9
,7
,8
,8
,9
,7
,8
,8
,9
,
,
,
,
7
8
9
9
Problema 225 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)
Un número N de dos cifras se suma con el número que resulta al
invertir el orden de sus cifras y se obtiene 143.
¿Cuál es la suma de los dígitos de N?
A) 17
C) 15
E) 13
B) 16
D) 14
F) n. d. l. a.
Solución
El número es de la forma ab . Entonces:
10 a + b + 10 b + a = 143
Solución
Para calcular la mediana debemos ordenar los datos:
6
7
8
9
Problemas para el Aula
11 a + 11 b = 143
,7
,8
,9
,9
Como hay 40 valores, tomamos los ubicados en lugar 20 y 21 para calcular
la mediana:
⇒
11 (a + b) = 143
⇒
a + b = 13
La respuesta es: E
Problema 226 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 4)
¿Cuál es el producto del mayor divisor de 85 por el mayor primo
menor que 100?
A) 1 649
C) 8 524
E) 1 547
B) 7 735
D) 7 357
F) n. d. l. a.
Solución
El mayor divisor de 85 es el mismo número 85.
8+8
Mediana =
=8
2
En mayor número primo menor que 100 es 97.
Calculamos la suma de los valores para hallar la media:
Luego, el producto buscado es:
6 × 2 + 7 × 10 + 8 × 16 + 9 × 12 = 318
85 × 97 = 8 245
Media = 318 ÷ 40 = 7,95
La respuesta es: F
El valor que más abunda es el 8, luego.
Problema 227 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 6)
3
Al descomponer el polinomio x − 9 x en sus factores, ¿cuál de los
siguientes es uno de los factores que aparece en la
descomposición?
2
A) 3 + x
C) x + 9
E) x − 3
2
B) x − 9
D) x + 3
F) n. d. l. a.
Moda = 8
Sumado la media, la mediana y la moda tenemos:
7,95 + 8 + 8 = 23,95
La respuesta es: D
130
103
Solución
Descomponemos en sus factores el binomio:
3
Mediana = 46
La moda es el valor que más se repite.
2
x − 9 x = x (x − 9) = x (x + 3) (x − 3)
La respuesta es: A
Moda = 46
Problema 228 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 8)
Julia tiene 10 años, su mamá tiene 34 años y su papá 51 años.
¿Dentro de cuántos años la suma de las edades de Julia y su
madre será igual a la edad del papá?
A) 4
C) 6
E) 8
B) 5
D) 7
F) n. d. l. a.
Al entrar en la lista Patricia, la lista queda así:
Solución
Comparamos la suma de las edades de Julia y su mamá con la edad de su
papá con el paso de los años:
La media es: 751 ÷ 16 = 46,94
TIEMPO
Hoy
Dentro de 1 año
Dentro de 2 años
Dentro de 3 años
Dentro de 4 años
Dentro de 5 años
Dentro de 6 años
Dentro de 7 años
SUMA
44
46
48
50
52
54
56
58
PADRE
51
52
53
54
55
56
57
58
45 , 45 , 45 , 46 , 46 , 46 , 46 , 46 , 47 , 47 , 48 , 48 , 48 , 49 , 49 , 50
La suma ahora es: 703 + 48 = 751
Como ahora hay 16 valores, en el medio están los valores que ocupan el
lugar 8º y 9º.
La mediana es:
= 46,5
La moda seguirá siendo 46.
Hacemos un resumen de la situación:
Media: 46,97
La respuesta es: D
Problema 229 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 2)
La profesora de Lucho pide a sus alumnos que escriban la lista de
todos los números capicúas que existen entre 400 y 500. Lucho
tiene que determinar cuántos de ellos son múltiplos de 3. Si
Lucho contesta correctamente, ¿cuál es su respuesta?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
F) n. d. l. a.
Mediana: 46
;
;
Media: 46,94
Mediana: 46,5
Las variaciones son:
46,97 − 46,94 = 0,03
46 − 46,5 = -0,5
La mediana disminuye 0,5
Solución
La lista de los números capicúas es:
404 , 414 , 424 , 434 , 444 , 454 , 464 , 474 , 484 , 494
Para que sean múltiplos de 3 la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo
de 3:
414 (suma 9) , 444 (suma 12) , 474 (suma 15)
La respuesta es: C
104
129
Problema 264
La profe del 9º grado pide a cada uno de sus alumnos que anoten
en la tabla sus pesos:
Nombre
Ana
Arami
Atilio
Belisario
Carmen
Catalina
Cirilo
Darío
Dora
Eva
Fausto
Federico
Fidel
Genaro
Ismael
Peso (en
kg)
46
45
50
47
46
49
48
46
47
45
48
46
49
45
46
A continuación los alumnos deben calcular la media, la mediana y
la moda.
Al día siguiente viene Patricia que estuvo ausente y que pesa
48 kg. Al agregarla a la lista, ¿cuál de los tres parámetros se
modificará más?
Solución
Ordenamos los datos en la siguiente lista:
45 , 45 , 45 , 46 , 46 , 46 , 46 , 46 , 47 , 47 , 48 , 48 , 49 , 49 , 50
Para calcular la media sumamos todos los datos:
45 × 3 + 46 × 5 + 47 × 2 + 48 × 2 + 49 × 2 + 50 × 1 = 703
Y la media es: 703 ÷ 15 = 46,97
Para hallar la mediana debemos determinar el valor que está en el medio
de la lista. Como en total hay 15 valores, la mediana ocupa el lugar
número 8 de la lista.
128
Problema 230 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 3)
3
2
El valor numérico del polinomio a + 3 a + 2 a − 4 es 20 (a es un
número entero positivo menor que 5).
2
Hallar el valor numérico del polinomio 5 a − 2 a + 16.
Solución
Escribimos la igualdad:
3
2
a + 3 a + 2 a − 4 = 20
3
⇒
2
a (a + 3 a + 2) = 24
;
2
a + 3 a + 2 a = 24
a (a + 1) (a + 2) = 24
El primer miembro de la igualdad anterior está formado por tres números
consecutivos. Y como:
24 = 2 — 3 — 4
;
a=2
Entonces:
2
2
5 a − 2 a + 16 = 5 — 2 − 2 — 2 + 16 = 32
Problema 231 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 5)
3
A
se le resta tres veces una misma fracción desconocida. El
4
3
resultado tiene el denominador con doble valor que en
. ¿Cuál
4
es la fracción desconocida?
Solución
Llamamos F a la fracción desconocida. Entonces:
3
3
−3F=
4
8
⇒
3F=
3
3
3
−
=
4
8
8
⇒
F=
1
8
Problema 232 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 7)
Mauri escribió la siguiente lista de números usando una regla
secreta:
2 , 4 , 8 , 14 , A , B , 44 , 58 , C
¿Cuál es el valor de C − (A + B)?
105
Solución
Tenemos que descubrir la ley de formación:
Problema 263
La lluvia caída sobre Paraguay en el año 2011 se registró en la
siguiente tabla:
4−2=2
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
14 − 8 = 6
Se seguirán sumando los números:
8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , …
Entonces, la sucesión es:
2 , 4 , 8 , 14 , 22 , 32 , 44 , 58 , 74
Luego:
C − (A + B) = 74 − (22 + 32) = 20
Problema 233 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 9)
Entre Ani, Blanca y César cuentan el dinero que tienen.
Si Ani y Blanca juntan su dinero tienen 107 000 G.
Si Ani y César juntan su dinero tienen el doble, pero si Blanca y
César cuentan lo que tienen entre los dos encuentran 179 000 G.
¿Cuánto dinero tiene Blanca?
Solución
Si sumamos los capitales que tiene cada pareja, obtendremos el doble de
lo que tienen entre los tres juntos. Luego:
107 000 G + 214 000 G + 179 000 G = 500 000 G
Lluvia caída
en mm
46
50
99
77
11
5
5
0
19
32
62
106
Mes
8−4=4
¿Cuál es la media de la cantidad de lluvia caída en 2011?
A) 46,5 mm
C) 42,7 mm
E) 44,4 mm
B) 44,7 mm
D) 43,5 mm
F) n. d. l. a.
Solución
Calculamos la suma de los 12 valores:
46 + 50 + 99 + 77 + 11 + 5 + 5 + 0 + 19 + 32 + 62 + 106 = 512
Luego:
512 ÷ 12 ≅ 42,7 mm
La respuesta es: C
Los tres juntos tienen:
500 000 G ÷ 2 = 250 000 G
Entonces, lo que tiene Blanca es:
250 000 G − 214 000 G = 36 000 G
106
127
Problema 262
Teresa tiene como trabajo práctico dibujar rectángulos, con las
condiciones:
1. La medida de los lados deben ser números naturales.
2. Los perímetros pueden ser: 24 , 28 , 30 ó 34.
¿Cuál es la frecuencia relativa que corresponde a los rectángulos
de perímetro 28?
A)
C)
E)
B)
D)
F) n. d. l. a.
Solución
Calculamos primero la cantidad de posibilidades que tenemos para cada
uno de los perímetros:
Problema 234 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 2)
Si se tiene que: a = 2 − (- 4) ; b = (- 2) — (- 3) ; c = 2 − 8
d = 0 − (- 6) ; e = (- 12) ÷ (- 2)
¿Cuántos de estos resultados no son iguales a 6?
A) 4
C) 0
E) 1
B) 2
D) 5
Solución
Calculemos los valores:
a = 2 − (- 4) = 2 + 4 = 6
b = (- 2) — (- 3) = 6
c = 2 − 8 = -6
d = 0 − (- 6) = 0 + 6 = 6
e = (- 12) ÷ (- 2) = 6
Perímetro 24: 1 × 11 ; 2 × 10 ; 3 × 9 ; 4 × 8 ; 5 × 7
6 × 6 (6 rectángulos)
Perímetro 28: 1 × 13 ; 2 × 12 ; 3 × 11 ; 4 × 10 ; 5 × 9
6 × 8 ; 7 × 7 (7 rectángulos)
Perímetro 30: 1 × 14 ; 2 × 13 ; 3 × 12 ; 4 × 11 ; 5 × 10
6 × 9 ; 7 × 8 (7 rectángulos)
La respuesta es: E
Problema 235 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 2)
¿Cuál es la suma de los 20 primeros números de la secuencia?
A) 133
B) 140
1,2,2,3,4,4,5,6,6,7,…
C) 147
E) 162
D) 154
F) n. d. l. a.
Perímetro 34: 1 × 16 ; 2 × 15 ; 3 × 14 ; 4 × 13 ; 5 × 12
6 × 11 ; 7 × 10 ; 8 × 9 (8 rectángulos)
Solución
La secuencia completa es:
Construimos la tabla de frecuencias:
1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 9 , 10 , 10 , 11 , 12 , 12 , 13 , 14
Perímetro
24
28
30
34
TOTAL
Frecuencia
6
7
7
8
28
Vemos que para el perímetro 28, la frecuencia relativa es:
La respuesta es: D
126
Y la suma es:
1 + 2 × 2 + 3 + 4 × 2 + 5 + 6 × 2 + 7 + 8 × 2 + 9 + 10 × 2 + 11 + 12 × 2 + 13 + 14 = 147
La respuesta es: C
Problema 236 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 5)
El perímetro de un rectángulo tiene 34 cm más que uno de los
lados que mide 18 cm. El rectángulo tiene su área igual a la de un
cuadrado. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
A) 28 cm
C) 40 cm
E) 54 cm
B) 32 cm
D) 48 cm
F) n. d. l. a.
107
Solución
El perímetro del rectángulo es:
Solución
Ubicamos los datos conocidos en la tabla:
18 cm + 34 cm = 52 cm
Nota
El otro lado del rectángulo mide:
⇒
52 cm ÷ 2 = 26 cm
1
2
3
4
5
Total
26 cm − 18 cm = 8 cm
Entonces, el área del rectángulo (que es también el área del cuadrado)
es:
18 cm — 8 cm = 144 cm
2
Frecuencia
absoluta
6
9
11
Frecuencia
relativa
0,15
0,225
0,275
C
40
F
1
Llamamos C a la cantidad de notas 5 y F a la frecuencia correspondiente
a la calificación 5. Entonces:
El lado del cuadrado entonces es 12 cm y su perímetro:
12 cm — 4 = 48 cm
La respuesta es: D
Problema 237 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 7)
Dentro del círculo se puede escribir un dígito que cumpla las
condiciones dadas.
¿Cuál es la suma de todos los dígitos que pueden escribirse dentro
del círculo?
A) 23
C) 27
E) 32
B) 26
D) 30
F) n. d. l. a.
Solución
Para que la desigualdad se cumpla pueden escribirse los dígitos del 1 al
7. Entonces:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
La respuesta es: F
Problema 238 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 8)
¿Qué número hay sumar a la fracción
4
, para que la fracción se
11
duplique?
A)
4
11
B) 2
C)
8
11
D) 4
108
E)
2
11
0,1 = 0,275 − F
⇒
F = 0,275 − 0,1 = 0,175
= 0,175
⇒
C = 0,175 × 40 = 7
Luego:
Problema 261
Las calificaciones que obtuvo Enrique en sus pruebas parciales
fueron:
3,4,1,2,3,3,5,2,4,3,5,1,4,2,1
¿Cuál es la diferencia entre la moda y la media?
Solución
Vemos que la calificación que más abunda es 3, por lo tanto la moda es
3.
La media es:
(3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 3 + 5 + 2 + 4 + 3 + 5 + 1 + 4 + 2 + 1) ÷ 15 ≅ 2,87
La diferencia es:
3 − 2,87 = 0,13
F) n. d. l. a.
125
Solución
Completamos la tabla:
Edad
11
12
13
14
15
TOTAL
Solución
Si a un número se le suma el mismo número, el número se duplica.
La respuesta es: A
Número de
Estudiantes
10
18
21
18
13
80
Porcentajes
12,5 %
22,5 %
26,25 %
22,5 %
16,25 %
Hacemos el diagrama circular:
Problema 239 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 10)
Sebastián hace una lista de todos los números, múltiplos de 17,
comprendidos entre 1 000 y 2 000. ¿Cuántos números hay en la
lista de Sebastián?
A) 59
C) 71
E) 90
B) 62
D) 83
F) n. d. l. a.
Solución
Buscamos el primer número de la lista y el último:
1 000 ÷ 17 ≅ 58,5
⇒
59 × 17 = 1 003
2 000 ÷ 17 ≅ 117,6
⇒
117 × 17 = 1 989
Luego, la cantidad de números en la lista es:
1 989 − 1 003 = 986 ; 986 ÷ 17 = 58
(Se agregó 1 porque habíamos sacado el 1 003)
;
58 + 1 = 59
La respuesta es: A
Problema 240 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 13)
Dada la igualdad:
= 6, ¿cuál debe ser el valor de A para
que la igualdad se cumpla?
A) 6
C) 216
E) 4 800
B) 36
D) 2 160
F) n. d. l. a.
Problema 260
Las calificaciones de algunos de los 40 alumnos que dieron una
prueba de Geometría, sin contar los 4 y los 5 fueron:
2,3,2,3,1,2,1,3 , 3
2,2,2,1,3,3,2,1,1
3,3,3,2,3,2,3,1
Solución
Trabajamos con la igualdad:
=6
⇒
8 A = 46 656
=6
⇒
8A=6
6
A = 5 832
La respuesta es: F
La diferencia entre las frecuencias relativas correspondientes a
las calificaciones 3 y 5 es 0,1. ¿Cuántas calificaciones 5 hubo?
124
⇒
109
Solución
La tabla de frecuencias es:
1
2
3
4
5
4
7
8
6
5
Entonces, el diagrama lineal que corresponde es:
La respuesta es: C
Problema 259
Las edades de los estudiantes de 7º a 9º grado (en años) son:
Edad
11
12
13
14
15
Número de
Estudiantes
10
18
21
18
13
En un diagrama circular representar los porcentajes correspondientes a la
cantidad de alumnos por edades y el valor de ángulo central
correspondiente.
110
123
Solución
Hacemos la tabla de frecuencias:
Cantidad de animales
por casa
0
1
2
3
4
5
6
TOTAL
Problemas Desafiantes
Cantidad de
casas
20
40
21
8
5
4
2
100
Cantidad de
animales
0
40
42
24
20
20
12
158
Problema 241 (1ª Ronda Colegial 2008 – Problema 7)
a+3
El valor de
es un número entero positivo menor que 7.
3
¿Cuál es la cantidad de valores posibles de a?
A) 2
C) 7
E) 10
B) 6
D) 8
F) n. d. l. a.
Solución
Consideramos la desigualdad:
a+3
<7
3
⇒
a + 3 < 21
⇒
a < 18
Calculamos la media:
Eso significa que el valor de (a + 3) es menor que 21, pero también
(a + 3) tiene que ser múltiplo de 3.
158 ÷ 100 = 1,58
La respuesta es: B
Entonces, los valores posibles de a son:
Problema 258
Las calificaciones en Ciencias en un 8º Grado son:
2,3,3,2,5,4,5,5,1,1
4,4,3,5,4,1,3,2,2,3
1,2,2,3,5,4,4,3,3,2
¿Cuál es el polígono de frecuencias que representa la situación de
ese grado?
15 , 12 , 9 , 6 , 3 , 0
La respuesta es: B
Problema 242 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 1)
3
2
El producto de tres binomios es x + 3 x − 10 x − 24. Uno de los
factores es x + 2. ¿Cuáles de los siguientes puede ser el otro
factor?
A) x + 3
C) x − 4
E) B y C
B) x − 3
D) A y C
F) n. d. l. a.
Solución
Efectuando la división, obtenemos:
3
2
2
(x + 3 x − 10 x − 24) ÷ (x + 2) = x + x − 12
Pero:
2
x + x − 12 = (x + 4) (x − 3)
La respuesta es: B
122
111
Problema 243 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 4)
N−3
En la expresión 2 <
< 4, N es un número entero. ¿Cuál es la
6
cantidad de valores que puede tener N?
A) 9
C) 10
E) 15
B) 11
D) 27
F) n. d. l. a.
Solución
Trabajamos con la desigualdad:
2<
N−3
< 4 (por 6)
6
12 < N − 3 < 24 (más 3)
15 < N < 27
Los datos y la estadística
Contenidos:
• Tablas de frecuencia absoluta y relativa. (5.º Grado)
• Gráficos de línea. (5.º Grado)
• Tablas y gráficos estadísticos. (6.º Grado)
• Frecuencia absoluta, relativa y porcentual. (6.º Grado)
• Tablas de frecuencias. (6.º Grado)
• Gráfico circular. (6.º Grado)
• Tabla de frecuencias: absoluta, relativa y porcentual (7.º Grado)
• Gráficos estadísticos circulares (7.º Grado)
• Interpretación de tablas, gráficos circulares y moda (7.º Grado)
• Tablas de frecuencias e histogramas (8.º Grado)
• Interpretación de tablas de frecuencia, histogramas y media
(8.º Grado)
Los valores posibles de N son:
16 , 17 , 18 , … , 25 , 26
Problemas para el Aula
En total son:
26 − 15
→
11 valores
La respuesta es: B
Problema 244 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 5)
Berta tiene una lista de 8 números enteros consecutivos. Calcula
la suma de esos números y obtiene 188. Mario borra dos números
de la lista de Berta y al sumar los que quedan obtiene 146.
¿Cuáles son los dos números borrados por Mario?
A) 20 y 25
C) 20 y 22
E) 22 y 24
B) 21 y 23
D) 24 y 25
F) n. d. l. a.
Solución
En el medio de la lista no hay un número entero. Entonces, por
aproximación hacemos el cálculo:
188 ÷ 8 = 23,5
Problema 257
En un pueblo se administró una encuesta para averiguar la
cantidad de animales, entre perros y gatos que tenían en las
casas.
El resultado obtenido fue:
20 casas no tenían ni perros ni gatos
40 casas tenían 1 perro
21 casas tenían 1 perro y 1 gato
8 casas tenían 2 perros y 1 gato
5 casas tenían 2 perros y 2 gatos
4 casas tenían 3 perros y 2 gatos
2 casas tenían 2 perros y 4 gatos
¿Cuál es la media que representa el número de animales por casa?
A) 1,38
C) 1,85
E) 2,4
B) 1,58
D) 2,1
F) n. d. l. a.
Entonces, la lista es:
20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 25 , 27
La diferencia que hay al ser borrados dos números es:
188 − 146 = 42
→
42 = 20 + 22
La respuesta es: C
112
121
Problema 256 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 14)
Determinar la siguiente suma:
1 + 2 + 5 + 6 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38
A) 280
B) 390
C) 410
D) 520
E) 630
F) n. d. l. a.
Solución
Llamamos S a la suma que queremos calcular:
Problema 245 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 9)
Cristian tiene dos bolsas de caramelos. Entre las dos bolsas hay
185 caramelos, pero en una de las bolsas hay 15 caramelos más
que en la otra. ¿Cuál es la cantidad de caramelos en la bolsa que
tiene menos caramelos?
A) 100
C) 85
E) 75
B) 90
D) 80
F) n. d. l. a.
Solución
Quitamos los 15 caramelos que hay demás en una de las bolsas:
185 − 15 = 170
S = 1 + 2 + 5 + 6 + … + 29 + 30 + 33 + 34 + 37 + 38
S = 3 + 11 + … + 59 + 67 + 75
En la bolsa que tiene menos caramelos, la cantidad de caramelos es:
Vemos que los sumandos aumentan de 8 en 8. Entonces, la cantidad de
términos que hay en la lista es:
75 − 3 = 72
;
72 ÷ 8 = 9
;
9 + 1 = 10
La lista tiene 10 sumandos. Vamos a aplicar el “Método de Gauss”.
Entonces, tenemos 5 parejas que suman 78. Luego:
78 × 5 = 390
La respuesta es: B
170 ÷ 2 = 85
La respuesta es: C
Problema 246 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 10)
En la sustracción de la izquierda a y b son dígitos.
¿Cuánto es el producto a — b?
A) 2
C) 8
E) 15
B) 6
D) 12
F) n. d. l. a.
Solución
Atendiendo las cifras de las unidades tenemos:
12 − 7 = 5
⇒
b=2
Entonces queda:
15a2−2a7=a295
⇒
a=1
El producto buscado es:
a—b=1—2=2
La respuesta es: A
Problema 247 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 12)
Cuando Ana nació, Pedro tenía 5 años y cuando Pedro nació Rocío
tenía 3 años. Ana cumple 15 años dentro de 4 años. ¿Cuál es la
suma de las edades actuales de los tres? (Todos ellos nacieron el
31 de julio)
A) 58 años
C) 46 años
E) 12 años
B) 52 años
D) 37 años
F) n. d. l. a.
120
113
Solución
Llamamos A , P y R a las edades actuales de Ana, Pedro
respectivamente.
Solución
y Rocío
Es evidente que:
Entonces:
R=K+1
P=A+5
;
y
N=G+1
R=P+3
Entonces:
La edad actual de Ana es:
RN − KG = 10 R + N − (10 K + G)
15 años − 4 años = 11 años
10 (K + 1) + G + 1 − (10 K + G) = 10 K + 10 + G + 1 − 10 K − G = 11
La respuesta es: E
Y las edades de Pedro y Rocía son:
Problema 255 (Validación Kanguro 2008 - Junior – Problema 3)
María suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 11 con el
menor número de tres cifras múltiplo de 11.
Blas suma el mayor número de tres cifras múltiplo de 5 con el
menor número de tres cifras múltiplo de 5. ¿Cuál es la diferencia
entre las sumas de María y Blas?
A) 2
C) 6
E) 10
B) 4
D) 8
F) n. d. l. a.
P = 11 años + 5 años = 16 años
R = 16 años + 3 años = 19 años
Y la suma de las tres edades:
11 años + 16 años + 19 años = 46 años
La respuesta es: C
Problema 248 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 13)
N es el menor número que se debe restar a 981 para que la
diferencia sea divisible por 53. ¿Cuál es la suma de los dígitos de
N?
A) 8
C) 12
E) 16
B) 9
D) 14
F) n. d. l. a.
Solución
Hacemos la división:
Solución
El mayor número de tres cifras es 999, entonces:
999 ÷ 11 ≅ 90,8
⇒
90 × 11 = 990
El menor número de tres cifras es 100, luego:
100 ÷ 11 ≅ 9,09
⇒
10 × 11 = 110
Hacemos lo mismo con los múltiplos de 5:
999 ÷ 5 ≅ 199,8
981 ÷ 53 = 18,5…
⇒
199 × 5 = 995
El menor número de 3 cifras múltiplo de 5 es evidentemente 100.
Entonces:
María
→
990 + 110 = 1 100
981 − 53 × 18 = 27
Luego N = 27 y:
Blas
2+7=9
La respuesta es: B
→
995 + 100 = 1 095
Y la diferencia es:
1 100 − 1 095 = 5
La respuesta es: F
114
119
Problema 253 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 17)
Supongamos que por cada número de dos dígitos se toma la cifra
de las decenas y se le resta la cifra de las unidades. ¿Cuál es la
suma de todos esos resultados?
A) 100
C) 30
E) 45
B) 90
D) 55
Solución
Vamos a construir la siguiente tabla, en la cual a la izquierda aparecen
los números de dos cifras y a la derecha, la diferencia entre la cifra de
las decenas y la cifra de las unidades:
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
1
0
-1
-2
-3
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
-4
-5
-6
-7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
3
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
-3
-4
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
7
6
5
4
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
3
2
1
0
-1
-2
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Sumando los valores que tenemos hacia la derecha de cada número
obtenemos 45.
La respuesta es: E
Problema 249 (2ª Ronda Colegial 2008 – Problema 15)
Martín escribe una lista de números utilizando una regla secreta:
11 , 24 , 37 , 50 , …
¿Qué cantidad de números tiene la lista de Martín?
A) 13
C) 31
E) 33
B) 30
D) 32
F) n. d. l. a.
Solución
Buscamos la ley de formación
24 − 11 = 13 ; 37 − 24 = 13 ; 50 − 37 = 13
Luego:
414 − 11 = 403
;
403 ÷ 13 = 31
Como habíamos sacado el primer término, agregamos 1. La cantidad de
términos es:
31 + 1 = 32
La respuesta es: D
Problema 250 (3ª Ronda Regional 2008 – Problema 1)
El producto de 8 números enteros es –8. Determinar cuál es la
menor cantidad de estos 8 números enteros, que pueden ser
menores que 0.
Solución
Se multiplican 8 números enteros. Como el producto es negativo, la
cantidad de factores negativos tiene que ser impar. O sea, la cantidad de
factores negativos puede ser:
1 , 3 , 5 , 7
Problema 254 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 233)
En la igualdad K A N + G A = R O O cada una de las letras
representa algún dígito (letras diferentes representan dígitos
diferentes
y
letras
iguales
representan
dígitos
iguales). ¿Cuál es el valor de la diferencia R N − K G?
A) 10
C) 12
E) 11
B) 9
D) 21
118
, 401 , 414
La respuesta es entonces: UNO
115
Problema 251 (4ª Ronda Final 2008 – Problema 4)
Observar cómo se va construyendo la siguiente tabla:
1 024 , 1025 , 1 026 , … , 2 045 , 2046 , 2047
El lugar que corresponde al número 2 008 en la fila lo conoceremos al
saber cuántos números hay desde 1 024 hasta 2 008:
2 008 − 1 023 = 985
El lugar que corresponde al número 2 008 es:
Fila 11 , Columna 985
Criterios de corrección
•
•
Calcular en qué fila y en qué columna está escrito el número
2 008.
Solución
Vemos que el primer elemento de cada columna es una potencia de 2.
Efectivamente:
Fila 1
→
1 = 20
Fila 2
→
2 = 21
Fila 3
→
4 = 22
Fila 4
→
8 = 23
Fila 5
→
16 = 24
Para la Fila n tendremos 2
210 = 1 024
•
•
Por decir que el primer número de cada fila es una
potencia de 2
Por relacionar el primer número de la fila con el
exponente del 2
Por determinar la fila que corresponde a 2008
Por determinar la columna que corresponde a 2008
1 punto
2 puntos
2 puntos
2 puntos
Problema 252 (Kanguro 2008 - Junior – Problema 10)
El numerador y el denominador de una fracción son números
negativos y el numerador es mayor que el denominador en uno.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la fracción es
verdadera?
A) La fracción es un número menor que – 1.
B) La fracción es un número entre – 1 y 0.
C) La fracción es un número positivo menor que 1.
D) La fracción es un número mayor que 1.
E) No se puede determinar si la fracción es un número positivo o
negativo.
Solución
Sea la fracción . Como a y b son menores que 0, tenemos:
n–1
. Consideramos:
211 = 2 048
;
Según esto, la Fila 11 comienza con 1 024 y termina con 2 047. La Fila 11
es:
-b + 1 = -a
⇒
b−1=a
⇒
b=a+1
Entonces tenemos:
<1
La respuesta es: C
116
117