ampliación de fundamentos de matemática aplicada

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS
DE
MATEMÁTICA APLICADA
FERNANDO LUIS GARCÍA ALONSO
ANTONIO PÉREZ CARRIÓ
JOSÉ ANTONIO REYES PERALES
Profesores Titulares
de la
Escuela Politécnica Superior
de la
Universidad de Alicante
Título: Ampliación de fundamentos de matemática aplicada.
Autores: © Fernando Luis García Alonso
Antonio Pérez Carrió
José Antonio Reyes Perales.
I.S.B.N.: 84-8454-326-9
Depósito legal: A-142-2004
Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 38 45
C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
www.ecu.fm
Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87
C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
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[email protected]
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por
ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier
almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los
titulares del Copyright.
A nuestras familias
Prólogo
Las matemáticas son una herramienta para los estudiantes de las carreras técnicas,
tanto conceptual como de cálculo. Conceptual porque permite comprender los desarrollos
teóricos de asignaturas fundamentales, de cálculo porque ayuda a resolver los problemas
que habitualmente se presentan en el ejercicio de la profesión.
Las matemáticas tienen un carácter formativo, que genera el hábito de plantear los
trabajos con rigor y contribuye al desarrollo de un auténtico método científico del futuro
profesional.
El objetivo fundamental que comparten las asignaturas de matemáticas en todas las
carreras técnicas, tanto medias como superiores, es el de proporcionar al estudiante una
formación matemática básica, que le permita acceder al estudio de cualquier disciplina de
matemática aplicada, requerida en su ejercicio profesional, más adelante. Este objetivo
puede ser formulado, más detalladamente, del modo siguiente:
•
•
•
Familiarizar al alumno con el lenguaje y razonamientos matemáticos, situándolo en condiciones
de adquirir por sí mismo, en el futuro, los conocimientos de matemáticas que precise como
instrumento de su labor técnica específica.
Proporcionarle asimismo, métodos útiles para abordar los problemas que aparecen en las
diferentes disciplinas de su titulación.
Dotarle de un repertorio de conceptos, métodos y técnicas de análisis o cálculo adecuados a sus
futuras necesidades profesionales.
La presente obra ha sido concebida para tales fines, y está dirigida preferentemente a
los alumnos que han elegido una carrera técnica, inspirándose su redacción en los
programas de las principales universidades.
Es también voluntad de los autores que este texto constituya una herramienta útil y
eficaz en la preparación de exámenes, procurando que sea lo más autosuficiente posible,
en el sentido de que pueda leerse sin más conocimientos previos que los que aparecen en
cualquier asignatura de Fundamentos de Matemática Aplicada.
Con esta idea se ha creído conveniente incluir en cada capítulo, además de una
introducción teórica que proporciona una visión global del tema que intentamos abordar,
una colección variada de problemas resueltos con observaciones y notas que tienen por
objeto facilitar su comprensión. Al finalizar cada capítulo aparece una recopilación de
problemas propuestos, similares a los resueltos, para que el alumno ejercite y afiance los
conocimientos adquiridos.
Es también intención de los autores, que el presente libro permita asentar unas bases
sólidas para ulteriores estudios.
El contenido de esta obra se estructura en siete capítulos; en los cinco primeros se
estudian los conceptos de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, valores y vectores
propios de un endomorfismo, transformaciones ortogonales, diagonalización ortogonal y
su aplicación al estudio, clasificación y representación gráfica de cónicas. El capítulo seis
presenta las ideas de límite, continuidad y diferenciabilidad de campos escalares y
vectoriales. Por último en el séptimo se efectúa el estudio sobre la integración exacta de
ecuaciones diferenciales ordinarias básicas.
Los autores
v
Índice
Capítulo 1 ........................................................................................................................ 1
Aplicaciones Lineales ................................................................................................. 1
1.1 Introducción ....................................................................................................... 1
1.2 Aplicaciones lineales. Clasificación................................................................... 2
1.2.1 Definición de aplicación lineal.................................................................... 2
1.2.2 Teorema de caracterización......................................................................... 2
1.2.3 Ejemplos de aplicaciones lineales ............................................................... 2
1.2.4 Propiedades ................................................................................................. 3
1.2.5 Clasificación de homomorfismos................................................................ 3
1.3 Imagen y núcleo de una aplicación lineal .......................................................... 3
1.3.1 Definiciones y consecuencias...................................................................... 3
1.3.2 Teoremas de caracterización de monomorfismos. ...................................... 4
1.3.3 Caracterización de la imagen recíproca de un vector.................................. 4
1.4 Homomorfismos entre E.V. de dimensión finita................................................ 5
1.4.1 Isomorfismos entre E.V. de la misma dimensión. ...................................... 5
1.4.2 Determinación de aplicaciones lineales. ..................................................... 5
1.4.3 Teoremas de caracterización de mono, epi e isomorfismos........................ 6
1.5 Matriz de una aplicación lineal .......................................................................... 6
1.5.1 Ecuaciones y matriz de un homomorfismo ................................................. 6
1.5.2 Operaciones con aplicaciones lineales y matrices asociadas ...................... 7
1.6 Equivalencia de matrices asociadas a una misma A.L....................................... 8
1.6.1 Definición de matrices equivalentes, semejantes y congruentes................. 8
1.6.2 Relación entre matrices asociadas a una misma A.L. en distintas bases. ... 9
Ejercicios resueltos................................................................................................... 10
Ejercicios propuestos ............................................................................................... 28
vii
Capítulo 2 ...................................................................................................................... 31
Diagonalización de Endomorfismos ....................................................................... 31
2.1 Introducción ..................................................................................................... 31
2.2 Valores y vectores propios ............................................................................... 32
2.2.1 Definición de valores y vectores propios de un endomorfismo. ............... 32
2.2.2 Subespacio propio asociado a un valor propio.......................................... 32
2.3 Determinación de valores y vectores propios. ................................................. 33
2.3.1 Cálculo de valores y vectores propios. Ecuación característica................ 33
2.4 Definición de endomorfismo diagonalizable. .................................................. 34
2.4.1 Endomorfismo diagonalizable................................................................... 34
2.4.2 Teorema de caracterización y consecuencias............................................ 34
2.4.3 Primer teorema de diagonalización. .......................................................... 34
2.4.4 Teorema fundamental de diagonalización................................................. 34
2.5 Matrices diagonalizables .................................................................................. 35
2.5.1 Definición de matrices diagonalizables..................................................... 35
2.5.2 Caracterización.......................................................................................... 35
2.5.3 Propiedades ............................................................................................... 35
2.5.4 Teoremas de anulación.............................................................................. 35
Ejercicios resueltos................................................................................................... 37
Ejercicios propuestos ............................................................................................... 57
Capítulo 3 ...................................................................................................................... 59
Transformaciones Ortogonales............................................................................... 59
3.1 Introducción ..................................................................................................... 59
3.2 Aplicaciones ortogonales ................................................................................. 60
3.2.1 Homomorfismo ortogonal ......................................................................... 60
3.2.2 Consecuencias ........................................................................................... 60
3.3 Transformaciones ortogonales ......................................................................... 60
3.3.1 Definición de transformación ortogonal. .................................................. 60
3.3.2 Teoremas de caracterización ..................................................................... 61
3.4. Matrices ortogonales ....................................................................................... 61
3.4.1 Definición de matrices ortogonales........................................................... 61
3.4.2 Teorema de caracterización....................................................................... 61
3.4.3 Transformaciones ortogonales directas e inversas .................................... 62
2
3.4.4 Transformaciones en el E.V.E. \ ( \ ) con el p.e. canónico. ................. 63
Ejercicios resueltos................................................................................................... 64
Ejercicios propuestos ............................................................................................... 75
Capítulo 4 ...................................................................................................................... 77
Diagonalización Ortogonal...................................................................................... 77
4.1 Introducción ..................................................................................................... 77
n
4.2 Endomorfismos simétricos de \ ( \ ) ............................................................ 78
4.3 Valores y vectores propios de un endomorfismo simétrico ............................. 78
4.4 Diagonalización ortogonal de un endomorfismo simétrico ............................. 79
4.5 Formas cuadráticas........................................................................................... 79
4.5.1 Definición de forma cuadrática ................................................................. 79
4.5.2 Expresión reducida de una forma cuadrática ............................................ 83
4.5.3 Formas cuadráticas definidas, semidefinidas e indefinidas ...................... 84
Ejercicios resueltos................................................................................................... 85
Ejercicios propuestos ............................................................................................. 106
viii
Capítulo 5 .................................................................................................................... 109
Cónicas .................................................................................................................... 109
5.1 Introducción ................................................................................................... 109
5.2 Definición y ecuación reducida...................................................................... 110
5.3 Ecuación canónica y representación gráfica de cónicas no degeneradas....... 112
5.4 Clasificación y representación gráfica de cónicas.......................................... 113
Ejercicios resueltos................................................................................................. 118
Ejercicios propuestos ............................................................................................. 154
Capítulo 6 .................................................................................................................... 155
Cálculo Diferencial................................................................................................. 155
6.1 Introducción ................................................................................................... 155
n
6.2 Nociones de topología de \ ........................................................................ 156
n
6.2.1 El espacio normado \ ........................................................................... 156
n
6.2.2 Clasificación de los puntos de \ con respecto a un conjunto D ⊆ R n 157
6.3 Límites de campos escalares. ......................................................................... 159
6.3.1 Límites finitos de campos escalares ........................................................ 159
6.3.2 Límites según un subconjunto................................................................. 159
6.3.3 Límites infinitos de campos escalares ..................................................... 161
6.3.4 Propiedades de los límites de campos escalares...................................... 163
6.4 Límites finitos de campos vectoriales ............................................................ 163
6.5 Continuidad de funciones de varias variables. ............................................... 164
6.5.1 Continuidad local de campos escalares................................................... 164
6.5.2 Continuidad local de campos vectoriales ................................................ 164
6.6 Derivadas direccionales y derivadas parciales ............................................... 165
6.6.1 Derivadas direccionales y derivadas parciales de campos escalares....... 165
6.6.2 Derivadas direccionales y derivadas parciales de campos vectoriales.... 168
6.7 La diferencial.................................................................................................. 169
6.7.1 Diferencial de campos vectoriales........................................................... 169
6.7.2 Matriz jacobiana...................................................................................... 172
6.7.3 Interpretación geométrica de la diferencial de campos escalares ........... 175
6.8 Diferenciación de funciones compuestas ....................................................... 175
Ejercicios resueltos................................................................................................. 177
Ejercicios propuestos ............................................................................................. 242
Capítulo 7 .................................................................................................................... 249
Ecuaciones diferenciales ........................................................................................ 249
7.1 Introducción. .................................................................................................. 249
7.2 Definiciones y terminología. .......................................................................... 250
7.3 Problema Cauchy o de valores iniciales......................................................... 250
7.4 Ecuaciones con variables separables.............................................................. 252
7.5 Ecuaciones homogéneas................................................................................. 252
7.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. ....................................... 253
7.7 Ecuaciones de Bernouilli................................................................................ 255
7.8 Ecuaciones diferenciales exactas. .................................................................. 255
7.8.1 Factores integrantes................................................................................. 255
7.8.2 Algunos tipos de factores integrantes ..................................................... 256
7.9 Trayectorias isogonales. ................................................................................. 258
7.10 Ecuación diferencial lineal de orden n, con coeficientes constantes............ 258
7.10.1 Sistema fundamental de soluciones. ..................................................... 259
7.10.2 Cálculo de sistemas fundamentales de soluciones. ............................... 259
ix
7.10.3 Solución general de la ecuación diferencial lineal de orden n
completa con coeficientes constantes. ................................................... 261
Ejercicios resueltos................................................................................................. 263
Cuadro E.D.O. orden n.......................................................................................... 305
Ejercicios propuestos ............................................................................................. 306
x
Capítulo 1
Aplicaciones Lineales
1.1 Introducción
Parece lógico que después de haber manejado Espacios vectoriales intentemos
buscar relaciones entre ellos. Estas aplicaciones entre espacios vectoriales deben
cumplir al menos con las operaciones que definen la estructura de espacio vectorial y
conservar dicha estructura, es decir, deben preservar la suma y el producto por un
escalar. En otras palabras estas aplicaciones, llamadas lineales, “mantienen la forma” y
de ahí que también reciban el nombre de homomorfismos (igual forma).
La palabra lineal con la que se apostillan estas aplicaciones entre espacios
vectoriales, proviene de la expresión en ecuaciones lineales de las imágenes. Cuando los
espacios vectoriales relacionados son de dimensión finita, las ecuaciones lineales de las
imágenes toman cuerpo a través de su expresión matricial, encontrándonos con un
elemento tan ligado a la aplicación lineal que en ocasiones se identificarán ambos
conceptos. Nos estamos refiriendo a la matriz asociada a una aplicación lineal respecto a
dos bases dadas (si los EV son distintos) o respecto de una base (si son iguales), lo que
finalmente nos llevará respectivamente a la equivalencia o semejanza de matrices que
representan a una misma aplicación lineal.
Son muchos los fenómenos que se comportan de modo lineal a través de
modelos matemáticos aplicados a distintos ámbitos científico-técnicos, como por
ejemplo, en arquitectura, física, ingeniería eléctrica, ecología, economía,
telecomunicaciones,...
1
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
1.2 Aplicaciones lineales. Clasificación
1.2.1 Definición de aplicación lineal
Definición. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo k . Una
G
aplicación f de U en V es toda correspondencia que asocia a cada vector u ∈ U un
G
G
único vector u ∈ V , que se llama Imagen o Transformado de u mediante f .
La Aplicación f : U → V es Lineal si verifica las condiciones siguientes:
G G
1) f ( u + v ) = f
G
2) f λ u = λ f
( )
G
G
G G
( u ) + f ( v ) ∀u , v ∈U .
G
(u ) ∀λ ∈ k
G
∀u ∈ U .
Observación: Terminológicamente son conceptos idénticos Aplicación Lineal, Homomorfismo,
Transformación Lineal y Operador lineal.
1.2.2 Teorema de caracterización
Teorema. La aplicación f : U → V es lineal u homomorfismo si, y sólo si:
G
G
G
G
G G
f ( λu + µ v ) = λ f ( u ) + µ f ( v ) ∀λ , µ ∈ k ∀u , v ∈ U
1.2.3 Ejemplos de aplicaciones lineales
1. Si R n [x] es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n, a
coeficientes reales y con indeterminada en x, entonces la aplicación entre espacios
vectoriales D : R n [x] → R n −1 [x] que a cada polinomio le hace corresponder su derivada
respecto de x es lineal (compruébese por el lector).
2. Sea U = [a, b] , a < b el espacio vectorial de las funciones reales que son continuas
en el intervalo [a, b].
La aplicación entre espacios vectoriales: ϕ : U ⎯→ R
f ( x)
6
∫
b
a
f ( x)dx
es lineal (basta utilizar la linealidad de la integral definida).
3. Dado el espacio vectorial U = U1 ⊕ U 2 , entonces las aplicaciones proyección de U
sobre U1 y sobre U 2 son lineales.
G G G
4. La aplicación identidad i : U → V , tal que i (u ) = u ∀u ∈ U , es lineal.
G G
G
5. La aplicación nula 0 : U → V , tal que 0(u ) = 0, ∀u ∈ U , es lineal.
6. Los giros y simetrías axiales son transformaciones que conservan las distancias y
puede comprobar el lector que son transformaciones lineales.
2
Resumen teórico
1.2.4 Propiedades
Dada la Aplicación Lineal entre espacios vectoriales sobre el cuerpo k, f : U → V , se
verifica:
G G
a) f (0) = 0 .
G
G
G
b) f (−u ) = − f (u ) ∀u ∈ U .
c) Si U1 es subespacio vectorial de U ⇒ f (U1 ) es subespacio vectorial de V .
d) Si V1 es subespacio vectorial de V ⇒ f −1 (V1 ) es subespacio vectorial de U .
e) Si S es un sistema generador de U1 ⇒ f ( S ) es un sistema generador de f (U1 ) .
f) Si S es un sistema ligado en U ⇒ f ( S ) es un sistema ligado en V .
g) Si f ( S ) es un sistema libre en V ⇒ S es un sistema libre en U ( contrarrecíproco de f).
Observación : El sistema imagen de un sistema libre puede ser libre o ligado, dependiendo de la
aplicación lineal .
1.2.5 Clasificación de homomorfismos
Definición. Una aplicación f : U → V es:
G
G
G G G G
a) inyectiva si f (u ) = f (v ) ⇒ u = v ;∀u , v ∈ U .
b) sobreyectiva si f (U ) = V .
c) biyectiva si es inyectiva y sobre a la vez.
Definición. Sea f : U → V una aplicación lineal u homomorfismo, entonces:
1)
2)
3)
4)
Si f es inyectiva, se le llama monomorfismo.
Si f es sobreyectiva, se le llama epimorfismo.
Si f es biyectiva, se le llama isomorfismo.
Si U = V , entonces a f se le llama endomorfismo.
A un endomorfismo biyectivo se le llama automorfismo.
Observación: En una correspondencia unívoca entre conjuntos con cardinalidad, f : A→ B , en
la que todos los originales tienen una sola imagen, la inyectividad implica que
Card ( A ) ≤ Card ( B ) , la sobreyectividad implica que Card ( A ) ≥ Card ( B ) y la biyectividad ,
que Card ( A ) = Card ( B ) . En estas condiciones si f es inyectiva y Card ( A ) = Card ( B ) entonces
f es biyectiva. Claramente las dimensiones de espacios vectoriales isomorfos son iguales.
1.3 Imagen y núcleo de una aplicación lineal
1.3.1 Definiciones y consecuencias
Definición. Sea f : U → V una aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre un
mismo cuerpo k , entonces:
3
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
I.
II.
III.
Se llama Imagen de f al conjunto de vectores transformados de todos los
vectores de U y se representa por Im( f ). Como Im( f ) = f (U ) , entonces
por la propiedad c) es un Subespacio Vectorial de V.
Llamamos Rango de f a la dimensión de Im( f ).
G
Se denomina Imagen recíproca de un vector v ∈ V mediante f, y se
G
representa por f −1 (v ) , al conjunto de vectores de U que tienen por imagen
G
a v.
Se llama Núcleo de f , y se representa por N( f ) o Ker(f) (del inglés
Kernel, o del alemán kern), al conjunto de vectores de U cuya imagen es
G
nula (imagen recíproca del vector nulo). Por la propiedad d) como { 0 } es
G
un subespacio vectorial (impropio) de V y N( f ) = f −1 (0) entonces N( f ) =
G
G G
u ∈ U : f (u ) = 0 es un subespacio vectorial de U. A la dimensión del
{
}
núcleo de f se le llama nulidad de f .
IV.
Si U es de dimensión finita entonces dimU = dim N( f ) + dim Im( f ) =
nulidad de f + rango de f .
1.3.2 Teoremas de caracterización de monomorfismos.
Teoremas:
G
i. f es un monomorfismo ⇔ N( f ) = 0 .
{}
ii.
f es un monomorfismo ⇔ La imagen de todo sistema libre de U es un sistema
libre en V.
Observación: Como consecuencia del primer teorema resulta obvio que si dim U es finita entonces,
f es monomorfismo sii dimU = rango de f = dimIm( f ) = dim f ( U ) .
1.3.3 Caracterización de la imagen recíproca de un vector
G
G
Sea el homomorfismo f : U → V y v ∈ Im( f ), entonces existe un vector u0 ∈ U tal
G
G
G
G
que f (u0 ) = v . Si u es otro vector de U cuya imagen también es v , es decir , un vector
G
G
G
cualquiera de la imagen recíproca de v , entonces f (u ) = f (u0 )
por lo que
G G
u − u0 ∈ N ( f ) , y así podemos concluir fácilmente que :
G
G
f −1 (v ) = {u0 } + N ( f ) .
G
Observación: Obviamente si N ( f ) = 0 la imagen recíproca de de cualquier vector consta de un
{}
(mono) solo vector.
4
Resumen teórico
1.4 Homomorfismos entre E.V. de dimensión finita.
En esta sección entenderemos que U n quiere decir que el espacio vectorial U sobre el
cuerpo k tiene dimensión n.
Entonces la aplicación lineal f : U n → Vm se entenderá que parte de un espacio vectorial
de dimensión n y llega a un espacio vectorial de dimensión m. Si no se pone el
subíndice se entenderá que no es necesario el dato de la dimensión.
1.4.1 Isomorfismos entre E.V. de la misma dimensión.
G
G
Dado el espacio vectorial U n (k) , una base B = {{ei , i = 1, 2,..., n} de éste y el vector x
G
del mismo, podemos expresar x como combinación lineal única de los vectores de la
G
G
G
base, es decir, x = x1e1 + ... + xn en , donde los coeficientes de la combinación lineal son
escalares del cuerpo k , que agrupados de la forma ( x1 ,..., xn ) denotan las coordenadas
G
de x en la base B.
La aplicación
φ : U n (k) ⎯→ k n (k)
G
x
6 (x1 ,..., xn )
es lineal y biyectiva (compruébese como ejercicio).
Lo que establece un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensión n y el espacio
vectorial k n .
Observación: El isomorfismo definido dependerá en cada caso de la base elegida. Este isomorfismo
nos permite identificar U n con kn para de esta forma poder trabajar con mayor simplicidad a la
hora de resolver ejercicios tanto teóricos como prácticos. kn es el modelo analítico de los espacios
vectoriales, n-dimensionales, sobre el cuerpo k y su importancia estriba en que un sistema de
coordenadas permite el estudio de la geometría vectorial de un e.v. V de dimensión n sobre k .
Observación: Si recordamos la observación del apartado 1.2.5, toda aplicación lineal inyectiva
entre espacios vectoriales de la misma dimensión finita es biyectiva y por lo tanto isomorfismo.
1.4.2 Determinación de aplicaciones lineales.
Teorema. Una aplicación lineal
f :Un → V
queda unívocamente determinada
G
conociendo las imágenes de los vectores de una base de U n . Si B = {ei }i =1,2,..., n es base
G
de U n y x ∈ U n entonces,
G
G
G
G
G
G
G
G
x = x1e1 + ... + xn en ⇒ f ( x) = f ( x1e1 + ... + xn en ) = x1 f (e1 ) + ... + xn f (en ) .
5
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
1.4.3 Teoremas de caracterización de mono, epi e isomorfismos.
Sea f : U n → V un homomorfismo,
G
G
B = {ei }i =1,2,..., n una base de U n y f ( B) = { f (ei )}i =1,...,n entonces:
Teoremas:
i. f es epimorfismo ⇔ f ( B ) es sistema generador de V.
ii. f es monomorfismo ⇔ f ( B ) es libre.
iii. f es isomorfismo ⇔ f ( B ) es base de V.
1.5 Matriz de una aplicación lineal
1.5.1 Ecuaciones y matriz de un homomorfismo
G
G
Sean BU = {u1 ,..., un } y BV = {v1 ,..., vn } bases respectivas de los espacios
G
G
G
G
vectoriales U n y Vm y x ∈ U n e y ∈ Vm tales que f ( x ) = y .
Si conocemos las imágenes de los vectores de la base BU tendremos determinada la
aplicación lineal f : U n → Vm , en efecto:
G
G
G
G
f (u1 ) = α11v1 + α12 v2 + ... + α1m vm
G
G
G
G
f (u2 ) = α 21v1 + α 22 v2 + ... + α 2 m vm
...................................................
G
G
G
G
f (un ) = α n1v1 + α n 2 v2 + ... + α nm vm
Recordemos que por un lado
JG
G
G
y = y1v1 + ... + ym vm
y que por otro
G
G
G
G
y = f ( x ) = x1 f (u1 ) + ... + xn f (un ) =
G
G
G
G
G
G
= x1 (α11v1 + α12 v2 + ... + α1m vm ) + ... + xn (α n1v1 + α n 2 v2 + ... + α nm vm ) =
G
G
= ( x1α11 + x2α 21 + ... + xnα n1 )v1 + ... + ( x1α1m + x2α 2 m + ... + xnα nm )vm
JG
y como la expresión de y es única en la base BV , los coeficientes de la combinación
lineal coinciden y así resulta que:
y1 = x1α11 + x2α 21 + ... + xnα n1
y2 = x1α12 + x2α 22 + ... + xnα n 2
..............................................
ym = x1α1m + x2α 2 m + ... + xnα nm
6
Resumen teórico
que son las Ecuaciones de la aplicación lineal.
Expresando matricialmente el sistema anterior, que relaciona las coordenadas ( x1 ,..., xn )
G
G
de x en la base BU con las coordenadas ( y1 ,..., ym ) de f ( x ) en la base BV se obtiene:
⎛ y1 ⎞ ⎛ α11 α 21
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2 ⎟ = ⎜ α12 α 22
⎜ # ⎟ ⎜ #
#
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎝ ym ⎠ ⎝ α1m α 2 m
" α n1 ⎞⎛ x1 ⎞
⎟⎜ ⎟
" α n 2 ⎟⎜ x2 ⎟
% # ⎟⎜ # ⎟
⎟⎜ ⎟⎟
" α nm ⎟⎜
⎠⎝ xn ⎠
donde
⎛ α11 α 21
⎜
⎜ α12 α 22
⎜ #
#
⎜⎜ α
⎝ 1m α 2 m
" α n1 ⎞
⎟
" α n2 ⎟
% # ⎟
⎟
" α nm ⎟⎠
es la Matriz de la aplicación lineal f respecto a las bases BU y BV , cuyas columnas
son las coordenadas de las imágenes de los vectores de BU respecto de la base BV .
Se puede utilizar la notación f BU BV para aludir a dicha matriz.
Observación: A la matriz de un homomorfismo f respecto a las bases dadas también se llama
matriz asociada al homomorfismo f respecto a dichas bases.
1.5.2 Operaciones con aplicaciones lineales y matrices asociadas
Sean f : U n → Vm y g : U n → Vm y BU una base de U n y BV una base de Vm . Las
matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a las bases BU y BV , son
respectivamente:
F = f BU BV
y
G = g BU BV
Suma y producto por un escalar
Definición. Se define la aplicación lineal suma f ± g de la siguiente forma:
G
G
G
G
( f ± g )(u ) = f (u ) ± g (u );∀u ∈ U n y la matriz asociada correspondiente es F ± G.
Del mismo modo se define el homomorfismo producto por un escalar λ f tal que
G
G
G
(λ f )(u ) = λ f (u ) ,∀u ∈ U n , ∀λ ∈ K y su matriz asociada es λ F .
Con estas operaciones el conjunto de las aplicaciones lineales entre los espacios
vectoriales U n y Vm , L(U n ,Vm ) tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo k
7
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
y es isomorfo al espacio vectorial de las matrices de orden m × n, por lo que su
dimensión es m ⋅ n.
Composición de aplicaciones
Sean f : U n → Vm y h : Vm → W p y BU una base de U n y BV una base de Vm y BW una
base de W p . Las matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a sus bases son
respectivamente:
F = f BU BV
y
H = hBV BW
Definición: El homomorfismo composición (f compuesto con h)
h D f : U n → Wp
G
G
se define por (h D f )(u ) = h[ f (u )] y tiene por matriz asociada H ⋅ F .
De forma natural en caso de existir la aplicación inversa de f para la composición ,
f −1 , su matriz asociada sería la inversa de F, es decir , F −1 .
1.6 Equivalencia de matrices asociadas a una misma A.L.
1.6.1 Definición de matrices equivalentes, semejantes y congruentes
Definición. Dos matrices A, B ∈ M mxn (k) son equivalentes si existen dos matrices P y
Q, cuadradas y regulares, de órdenes n y m respectivamente, tales que :
B = Q −1 ⋅ A ⋅ P
Observación: Dos matrices que representen a una misma aplicación lineal pero en distintas bases,
son equivalentes, siendo P y Q las matrices de cambio de base (en el siguiente apartado se estudiará
esta situación con detalle).
Definición. Dos matrices A, B ∈ M n (k) son semejantes si existe una matriz P regular,
de orden n, tal que:
B = P −1 ⋅ A ⋅ P
Observación: Dos matrices que representen al mismo endomorfismo pero en distinta base, son
semejantes, siendo P la matriz de cambio de base. Es trivial que las matrices semejantes tienen el
mismo determinante.
Definición. Dos matrices A, B ∈ M n (k) son congruentes si existe una matriz P regular,
de orden n, tal que:
B = Pt ⋅ A ⋅ P
8
Resumen teórico
Observación: Dos matrices que representen al mismo endomorfismo ortogonal pero en distinta
base, son congruentes, siendo P la matriz de cambio de base.
1.6.2 Relación entre matrices asociadas a una misma A.L. en distintas
bases.
Sean f : U n → Vm , BU una base de U n , BV una base de Vm y F = f BU BV la matriz
asociada a f en dichas bases.
Consideramos ahora las bases B 'U de U n y B 'V de Vm respecto a las que la matriz
asociada a f es F ' = f B 'U B 'V .
La matriz de cambio de base (cuadrada y regular) de B ' a B se denota por ( B ' : B ) en
cada espacio vectorial.
G
G
G
G
Sea x ∈ U n e y ∈ Vm tales que f ( x ) = y .
La expresión en forma de matriz columna de
base B 'U por X ' .
La expresión en forma de matriz columna de
base B 'V por Y ' .
G
x en la base BU viene dada por X, y en la
G
y en la base BV viene dada por Y, y en la
Las relaciones de cambio de base son:
X = ( B 'U : BU ) ⋅ X ' (1)
Y = ( B 'V : BV ) ⋅ Y ' (2)
Por otro lado: Y = F ⋅ X (3), Y ' = F '⋅ X ' (4) (relaciones de las matrices asociadas)
Sustituyendo (1) y (2) en (3) se obtiene:
( B 'V : BV ) ⋅ Y ' = F ⋅ ( B 'U : BU ) ⋅ X '
(5)
por lo que
Y ' = ( B 'V : BV ) ⋅ F ⋅ ( B 'U : BU ) ⋅ X ' (6)
−1
y como la matriz de una aplicación lineal respecto a unas bases dadas es única,
comparando (4) y (6) resulta que:
F ' = ( B 'V : BV ) ⋅ F ⋅ ( B 'U : BU )
−1
lo que corrobora la equivalencia de las matrices asociadas a una misma aplicación lineal
en distintas bases.
9
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dados los espacios vectoriales U y V, estudie si las siguientes aplicaciones
f:U → V son lineales:
a) U = V = R 3 (R) / f(x,y,z) = (2x + y, y –z, x + y + z).
b) U = R 3 (R) ; V = R 2 (R) / f(x,y,z) = (2xy, x + 3y – 4z).
c) U = V = M n (R) / f(A) = At – A.
SOLUCIÓN:
Para que la aplicación f : U → V (entre espacios vectoriales sobre el mismo
cuerpo k ) sea lineal u homomorfismo debe cumplirse que:
G G
G
G
GG
f(u+v) = f(u)+f(v) ∀u,v ∈ U
G
G G
f(λu) = λf(u) ∀u ∈ U,∀λ ∈ k
En la práctica se utiliza el teorema de caracterización (T.C.):
G G
G
G
GG
f : U → V es homomorfismo ⇔ f(λu+µv ) = λ f(u) + µ f(v ) ∀u,v ∈ U,∀λ , µ ∈ k
a) Dado que f : R 3 ( R ) → R 3 ( R )/f(x, y, z) = (2x + y, y − z, x + y + z)
Utilizando la caracterización anterior
f( λ (x1 , y 1 , z1 ) + µ (x 2 , y 2 , z 2 )) = f( λ x1 + µ x 2 , λ y 1 + µ y 2 , λ z1 + µ z2 ) =
(2( λ x1 + µ x 2 ) + ( λ y 1 + µ y 2 ),( λ y 1 + µ y 2 ) − ( λ z1 + µ z 2 ),( λ x1 + µ x 2 ) + ( λ y1 + µ y 2 ) + ( λ z1 + µ z2 )) =
λ(2x1 + y 1 , y 1 − z1 , x1 + y 1 + z1 ) + µ (2x 2 + y 2 , y 2 − z2 , x 2 + y 2 + z2 ) = λ f(x1 , y 1 , z1 ) + µ f(x 2 , y 2 , z 2 )
para cualquier λ , µ ∈ R y ∀ (x1 , y 1 , z1 ),(x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ R 3 ( R ) por lo que es f una
aplicación lineal
b) En este caso f : R 3 ( R ) → R 2 ( R )/ f (x, y, z) = (2xy, x+3y-4z)
Cuando las coordenadas del vector imagen son expresiones polinómicas podemos utilizar
un método intuitivo para el reconocimiento de homomorfismos. Cuando las coordenadas
mencionadas son polinomios de términos homogéneos de grado 1 ( lineales) entonces es
homomorfismo. Por el contrario si alguna coordenada es no lineal o de grado cero (no
nulo), no será aplicación lineal. En este último caso basta encontrar un ejemplo que no
cumpla la definición o el T.C.
10
Ejercicios resueltos
f(2,0,0)=(0,2)⎫
⎪
f(1,1,1)=(2,0)⎬ ⇒ f(2,0,0)+f(1,1,1) ≠ f(3,1,1)
f(3,1,1)=(6,2)⎪⎭
y como consecuencia f no es homomorfismo
c) f : M n ( R ) → M n ( R )/f( A ) = A t − A
Utilizando el T.C.
f( λ A + µ B ) = ( λ A + µ B )t − ( λ A + µ B ) = λ A t + µ B t − λ A − µ B =
λ( A t − A ) + µ ( B t − B ) = λ f( A ) + µ f( B )
∀A , B ∈ M n ( R ), ∀λ , µ ∈ R con lo que f es una aplicación lineal.
≈≈≈≈≈≈≈
2. Determine los subespacios Im(f) y N(f) de la siguientes aplicaciones lineales :
a) f: R 3 (R) → R 3 (R) / f(x,y,z) = ( y, 0, x - y - z).
b) f: P1 (R) → P1 (R) / f(p(x)) = xp’(x) ( P1 (R) es el e.v. de los polinomios de
grado menor o igual que uno, con indeterminada en x y a coeficientes
reales).
SOLUCIÓN:
Hallaremos unas ecuaciones implícitas y una base del N( f ) y de la Im( f ) en
cada caso.
a) De la definición de f resulta que
f(x, y, z) = x(0,0,1) + y(1,0,-1) + z(0,0,-1)
por lo que se deduce fácilmente que
Im( f ) = <(1,0,-1), (0,0,1)>
pues (0,0,-1) es proporcional a (0,0,1) y una base de la imagen es pues {(1,0,-1),(0,0,1)}
Para hallar unas ecuaciones implícitas sea (x,y,z) ∈ Im( f ) , por lo que
⎧x = α
⎪
(x,y,z) = α (1,0,-1) + β (0,0,1) ⇒ ⎨ y = 0
⎪z = −α + β
⎩
11
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
que constituyen las ecuaciones paramétricas de las que eliminando los parámetros
obtenemos una ecuación implícita que en este caso es y = 0.
⎧y = 0
⎪
En cuanto al N( f ) ={(x,y,z)/f(x,y,z)=(0,0,0)} nos conduce al sistema ⎨0 = 0
de
⎪x-y-z = 0
⎩
donde N( f ) ={(x,y,z)/y=0, x = z}={(x,0,x)/x real}=<(1,0,1)>, siendo unas ecuaciones
implícitas, y = 0 , x = z y una base, {(1,0,1)}.
b) En este caso resulta claro que f(ax + b) = ax por lo que Im( f ) = <x> = {ax+b /
b = 0}, siendo la ecuación implícita, b = 0 y una base de Im( f ), {x}.
De la misma forma N( f ) = {ax+b / f(ax+b) = polinomio idénticamente nulo (P.I.N)}
Es decir N( f ) = {ax+b/ ax = 0x+0} = {ax+b/ a = 0} =<1> y de esta forma una base
de N( f ) es {1} y una ecuación implícita es a = 0.
≈≈≈≈≈≈≈
3. Clasifique las siguientes aplicaciones lineales :
a) f: M n (R) → M n (R) / f(A) = At + A n ≥ 2.
b) f: R 3 (R) → R 2 (R) / f(x,y,z) = ( x + y, y + z).
c) f: R 2 (R) → R 3 (R) / f(x,y) = ( 2x - y, 2y – x, 2x+2y).
SOLUCIÓN:
a) Dado que A+At es una matriz simétrica entonces Im( f ) = Sn( R ) (espacio
vectorial de las matrices simétricas).
Por otro lado toda matriz cuadrada real de orden n puede expresarse de forma
única como suma de una matriz simétrica mas una antisimétrica, es decir,
Mn( R ) = Sn( R ) ⊕ ASn( R )
Además dim Mn( R ) = dim Im( f ) + dim N( f ) = dim Sn( R )+ dim N( f ) y de la
expresión anterior podemos concluir que N( f ) = ASn( R ) por lo que f sólo es
endomorfismo *.
Otra forma de llegar al núcleo de f es:
N( f ) ={A ∈ Mn( R )/A+At = 0 (matriz nula)}={A∈ Mn( R )/A= - At} es decir N(f) =
ASn( R ).
* Como dim Sn( R ) =
resultado.
12
n(n + 1)
n(n − 1)
y dim ASn( R ) =
resulta obvio el
2
2
Ejercicios resueltos
b) Im(f) = x(1,0) + y(1,1) + z(0,1) =<(1,0), (0,1)> = R 2 (R) como consecuencia f
es sobre y dado que las dimensiones de los espacios vectoriales son distintas f no puede ser
biyectiva luego no puede ser inyectiva y por tanto f es epimorfismo.
c) N( f ) = {(x,y)/ 2 x − y = 0; 2 y − x = 0; 2 x + 2 y = 0 }={(0,0)} luego f es inyectiva
y como las dimensiones de los espacios vectoriales son distintas f no puede ser biyectiva ,
por tanto f no es sobre y como consecuencia f es monomorfismo.
NOTA: Si f :U → V es una aplicación lineal (entre espacios vectoriales de dimensión
finita) sabemos que dimU = dim Im(f) + dim N(f). Así pues en el caso en que dimU > dimV , f no
puede ser inyectiva (ya que en cualquier caso dim Im(f) ≤ dimV < dimU con lo que dim N(f) ≠ 0 y
G
entonces N(f) ≠ { 0 }).
Por otro lado si dimU < dimV, f no puede ser sobreyectiva (ya que dim Im(f) ≤ dimU <
dimV ).
≈≈≈≈≈≈≈
4. Dado el endomorfismo f: P2 (R) → P2 (R) / f(p(x)) = xp’(x) – p(x) , se pide que :
a) Halle una base y unas ecuaciones implícitas del núcleo y de la imagen de
f.
b) Determine, de forma razonada, si existe f -1.
c) Compruebe si N(f) e Im(f) son suma directa.
SOLUCIÓN:
Dado que P2( R ) es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que dos con indeterminada en x y a coeficientes reales, f queda definida por:
f(ax2 +bx+c) = ax2 – c
así pues,
a) Im( f ) = x 2 ,1 = { ax2 +bx+c / b = 0} (f no es sobre).
N( f ) = { ax2 +bx+c / f(ax2 +bx+c) = 0 (PIN)} = { ax2 +bx+c / ax2 – c = 0
(P.I.N)}= { ax2 +bx+c / a = 0, c = 0} = x (f no es inyectiva).
Una base de Im( f ) es { x2 , 1} y una ecuación implícita es b = 0.
Una base de N( f ) es {x} y unas ecuaciones implícitas son a = 0 y c = 0.
b) Puesto que f no es biyectiva , es claro que f no es inversible.
c) De las estructuras de Im( f ) y de N( f ) es obvio que P2( R )= Im( f ) ⊕ N( f ).
≈≈≈≈≈≈≈
13
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
5. Consideremos los endomorfismos f y g sobre el espacio vectorial U(K)
cumpliendo las siguientes condiciones :
a) f = i – g ( i = aplicación identidad).
G G
G G G
b) g (u ) = u ⇔ u = 0; ∀u ∈ U.
c) g es nilpotente de orden n.
Se pide que:
.
SOLUCIÓN:
a. Demuestre que existe f −1 .
b. Halle f −1 en función de g.
1. Para que f sea inversible basta ver que es inyectiva pues al ser endomorfismo si
es inyectivo es automorfismo.
Veamos pues la inyectividad de f:
G
Sea u ∈ U(K) ;
G
G G
G
G G
G G G
G G
u ∈ N(f) ⇔ f( u )= 0 ⇔ (por i.) i( u )-g( u )= 0 ⇔ u -g( u )= 0 ⇔ g( u )= u ⇔
G G
⇔ (por ii.) u = 0
G
luego N(f) ={ 0 } (es decir, f es inyectiva).
2. Sea f D (i + g + g2 + … + gn ) = ( i – g ) D ( i + g + g2 + … + gn ) = i – g n +1 = i ,
pues g es nilpotente de orden n, es decir , g n + 1 = 0 (A.I.N.) , de donde podemos concluir
que :
f -1 = i + g + g2 + … + gn
n)
siendo g = g D g D ... D g con n ∈ N .
n
NOTA: Las siglas A.I.N. significan aplicación idénticamente nula.
≈≈≈≈≈≈≈
6. Determine la aplicación lineal f: P2 (R) → R 3 (R) tal que :
f(1 – x)
= (2, 0 ,0)
2
f(x + 2x – 1) = (0, 1, -1)
f(2x2 – 1)
= (1, -2, 0)
y calcule f(x2 + 4x + 4).
14
Ejercicios resueltos
SOLUCIÓN:
Puesto que una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita
queda unívocamente determinada conociendo las imágenes de una base, utilizaremos este
extremo para contestar a la primera pregunta.
⎧⎪
⎫⎪
2
El sistema ⎨1N
− x,
x 2
+
2x − 1, 2x
−
1
⎬ es una base de P2 (R) (compruébese) , es
G
G
⎪⎩ uG1
u2
u3
⎭⎪
decir, si p(x) ∈ P2 (R) , entonces existen tres escalares, α , β , γ ∈ R , tales que,
!
G
G
G
p(x) = α u1 + β u2 + γ u3
G
G
G
luego f(p(x)) = α f( u1 )+ β f( u2 )+ γ f( u3 ) y en el caso que nos ocupa:
22 G 17 G 7 G
22 G 17 G 7 G
u1 + u2 - u3 ⇒ f(x 2 +4x +4) =
f( u1 )+ f( u2 )- f( u3 )=
3
3
3
3
3
3
⎛ 37 31 −17 ⎞
=⎜ , ,
⎟ (haga el lector las pertinentes verificaciones).
⎝ 3 3 3 ⎠
x 2 +4x +4 =
NOTA: El signo de exclamación ! indica la unicidad de la expresión a la que se refiere.
≈≈≈≈≈≈≈
7. Sea f el endomorfismo de R 3 (R) , con f(x1,x2,x3) = (y1,y2,y3) de forma que :
y1 = x1 – x2 + x3
y2 = x1 + x2
y3 = x2
que son las ecuaciones del mismo.
Si U1 = {(x1,x2,x3)/ x1 + x2 = 0} y U2 = = {(x1,x2,x3)/ x3 = 0}, calcule:
G
a) f −1 (0) .
b) f −1 (1,2,1) sin resolver ningún sistema de ecuaciones, sabiendo que
f(1,1,1)=(1,2,1).
c) f(U1) y f(U2).
SOLUCIÓN:
G
a) f −1 (0) = N(f) = {( x1 , x 2 , x 3 ) / f( x1 , x 2 , x 3 ) = (0,0,0)} y resolviendo el sistema:
15
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
x1 − x 2 + x 3 = 0
x1 +x 2 = 0
x2 = 0
G
cuya única solución es la trivial , con lo que N(f) = { 0 }.
b) Dado que f es monomorfismo, la imagen recíproca de cualquier vector del
espacio vectorial Im(f ) consta de un solo vector, luego f −1 (1,2,1) = (1,1,1).
c) Puesto que
U1 = {( x1 , x 2 , x 3 )/ x1 +x 2 = 0 }={( x1 , − x1 , x 3 )/ x1 ,x 3 ∈ R } = <(1,-1,0),(0,0,1)>
S1 = {(1,-1,0),(0,0,1)} es un sistema generador de U1 , por tanto f(S1) es un s.g. de
f(U1) y como f(S1) = {(2,0,-1),(1,0,0)} , resulta que :
f(U1)=<(2,0,-1),(1,0,0)>.
De la misma forma
U2 = {( x1 , x 2 , x 3 )/ x 3 = 0 }={( x1 , x 2 , 0 )/ x1 ,x 2 ∈ R } = <(1,0,0),(0,1,0)>
S2 = {(1,0,0),(0,1,0)} es un sistema generador de U2 , por tanto f(S1) es un s.g. de
f(U2) y como f(S2) = {(1,1,0),(-1,1,1)} , resulta que :
f(U2)=<(1,1,0),(-1,1,1)>.
≈≈≈≈≈≈≈
y ⎞
⎛x
8. Dada la aplicación f : R 3 (R) → M 2 (R) / f(x,y,z) = ⎜
⎟ . Estudie si f es
⎝0 x +z ⎠
lineal y, en este caso, halle la matriz asociada a dicha aplicación lineal en las bases
canónicas.
SOLUCIÓN:
∀λ , µ ∈ R y ∀(x1 ,y1 ,z1 ),(x 2 ,y 2 ,z 2 ) ∈ R 3 (R ) se tiene que
f( λ (x1 ,y1 ,z1 )+µ (x 2 ,y 2 ,z 2 ) )=f( λ x1 +µ x 2 ,λ y1 +µ y 2 ,λ z1 +µ z 2 )=
⎛ λx + µx2
=⎜ 1
⎝0
λ y1 + µ y 2
⎞
⎛ x y1
⎞
⎛x
=λ⎜ 1
+µ⎜ 2
⎟
⎟
(λ x1 + µ x 2 ) + (λ z1 + µ z 2 ) ⎠
⎝ 0 x1 + z1 ⎠
⎝0
y2
⎞
=
x 2 + z 2 ⎟⎠
= λ f (x1 ,y1 ,z1 )+µ f(x 2 ,y 2 ,z 2 ) ) lo que prueba que f es una aplicación lineal.
16
Ejercicios resueltos
Para hallar la matriz asociada a f en las respectivas bases canónicas procederemos
calculando los transformados de la base canónica de R 3 (R) y expresarlos en función de
los vectores de la base canónica de M 2 (R) .
⎛1
f(1,0,0)= ⎜
⎝0
⎛0
f(0,1,0)= ⎜
⎝0
⎛0
f(0,0,1)= ⎜
⎝0
0 ⎞ ⎛1
⎟ = 1⎜
1 ⎠ ⎝0
1⎞
⎛1
⎟ = 0⎜
0⎠
⎝0
0⎞
⎛1
⎟ = 0⎜
1⎠
⎝0
0⎞ ⎛0
⎟ + 0⎜
0⎠ ⎝0
0⎞ ⎛ 0
⎟ + 1⎜
0⎠ ⎝ 0
0⎞ ⎛0
⎟ + 0⎜
0⎠ ⎝0
1 ⎞ ⎛0
⎟ + 0⎜
0 ⎠ ⎝1
1 ⎞ ⎛0
⎟ + 0⎜
0 ⎠ ⎝1
1 ⎞ ⎛0
⎟ + 0⎜
0 ⎠ ⎝1
0⎞ ⎛ 0
⎟ + 1⎜
0⎠ ⎝ 0
0⎞ ⎛ 0
⎟ + 0⎜
0⎠ ⎝ 0
0⎞ ⎛ 0
⎟ + 1⎜
0⎠ ⎝ 0
0⎞
⎟
1⎠
0⎞
⎟
1⎠
0⎞
⎟
1⎠
Las columnas de la matriz asociada a f son las constituidas por los coeficientes de
las expresiones anteriores (coordenadas de los transformados de los vectores de la base
canónica de R 3 (R) en la base canónica de M 2 (R) ), es decir,
f C3 CM
2 (\)
⎛1
⎜
0
=⎜
⎜0
⎜⎜
⎝1
0
1
0
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1 ⎟⎠
≈≈≈≈≈≈≈
9. Sean las bases B = {(1,1), (1,0)} y B’ = {((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} de R 2 (R) y
R 3 (R) respectivamente.
Consideremos el homomorfismo f : R2 ( R) → R3 ( R) definido por:
f (x , y ) = ( y , x , x − y )
Halle la expresión matricial de f en las bases B y B’.
SOLUCIÓN:
Los transformados de los vectores de la base B
f (1,1) = (1,1, 0) = α11 (1,1,1) + α12 (1,1, 0) + α13 (1, 0, 0)
f (1, 0) = (0,1,1) = α 21 (1,1,1) + α 22 (1,1, 0) + α 23 (1, 0, 0)
expresados en función de los vectores de la base B’ nos conducen a dos sistemas de tres
ecuaciones con tres incógnitas (ambos compatibles determinados) cuyas únicas soluciones
son, respectivamente, (α11 , α12 , α13 ) = (0,1, 0); (α 21 , α 22 , α 23 ) = (1, 0, −1) y conforman las
columnas de la matriz buscada.
17
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
f BB '
⎛ α11 α 21 ⎞ ⎛ 0 1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ α12 α 22 ⎟ = ⎜ 1 0 ⎟
⎜α
⎟ ⎜
⎟
⎝ 13 α 23 ⎠ ⎝ 0 −1⎠
Método 2:
Si notamos con C2 y C3 las respectivas bases canónicas de R 2 (R) y de R 3 (R) y
tenemos en cuenta que la definición de f nos da los transformados de C2 en función de
los vectores de C3
f (1, 0) = (0,1,1)
f (0,1) = (1, 0, -1)
entonces la expresión matricial de f en las bases canónicas es
fC2C3
⎛ 0 1⎞
⎜
⎟
= ⎜ 1 0⎟
⎜ 1 −1 ⎟
⎝
⎠
por otro lado sean
P = [ B :C2] (matriz de cambio de base de B a C2) y
Q = [ B’:C3] (matriz de cambio de base de B’ a C3)
con lo que la relación entre matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas
bases ( B , B’ y C2 , C3 ) es
f BB ' = Q −1 ⋅ f C2C3 ⋅ P
⎛1 1 1 ⎞
⎛1 1 ⎞
⎜
⎟
y dado que de forma obvia P = ⎜
⎟ y Q = ⎜1 1 0 ⎟ , basta hallar
1
0
⎝
⎠
⎜1 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 0 0 1⎞
⎜
⎟
Q = ⎜ 0 1 −1 ⎟
⎜ 1 −1 0 ⎟
⎝
⎠
−1
y entonces
18
Ejercicios resueltos
f BB '
⎛ 0 0 1⎞ ⎛ 0 1⎞
⎛ 0 1⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎛ 1 1⎞ ⎜
⎟
= ⎜ 0 1 −1⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜
= ⎜ 1 0⎟
⎟
⎜ 1 − 1 0 ⎟ ⎜ 1 −1 ⎟ ⎝ 1 0 ⎠ ⎜ 0 −1 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
NOTA: La forma de obtener las matrices P y Q es muy sencilla dado que se trata de
expresar los vectores de la base B y B’ en función de los vectores de las bases C2 y C3 respectivamente
y como los vectores de las bases B y B’ están referidos a las bases canónicas respectivas , las
columnas de las matrices de cambio de base están constituidas por las coordenadas, en las bases
canónicas, de dichos vectores. Recuerde también el lector que P y Q son matrices regulares.
≈≈≈≈≈≈≈
10. Sea f : R 2 (R) → R 4 (R) la aplicación lineal definida por
f(2,1) = (1,0,-1,3) y f(4,1) = (2,-2,3,1)
Calcule la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas.
SOLUCIÓN:
Método 1:
⎧f(2,1)=(1,0,-1,3)
El hecho de que ⎨
⎩f(4,1)=(2,-2,3,1)
se puede traducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas considerando
G G
C2 = {u1 , u 2 }
base canónica de \ 2 ( \ )
G G G G
C4 = {e1 , e2 , e3 , e4 } base canónica de \ 4 ( \ )
El sistema queda :
G G
G
G G
f(2u1 +u 2 ) = e1 − e3 + 3e4
G
G
G G
G G
f(4u1 +u 2 ) = 2e1 − 2e2 + 3e3 + e4
y aplicando la linealidad de f, se obtiene el sistema
G G
G
G
G
2f(u1 )+f(u 2 ) = e1 − e3 + 3e4
G
G
G G
G
G
4f(u1 )+f(u 2 ) = 2e1 − 2e2 + 3e3 + e4
que es compatible determinado, siendo la solución (a través de sus coordenadas)
19
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
G G
G
1G G
f(u1 ) = e1 − e2 + 2e3 − e4
2
G
G
G
G
G
f(u 2 ) = 0e1 + 2e2 − 5e3 + 5e4
con lo que
f C2 C4
⎛ 1
⎞
0⎟
⎜ 2
⎜
⎟
= ⎜ −1 2 ⎟
⎜ 2 −5 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
−
1
5
⎝
⎠
Método 2:
Puesto que B2 = {(2,1),(4,1)} es base de \ 2 ( \ ) y {(1,0,-1,3 ),(2,-2,3,1)} es
linealmente independiente, podemos completar este último sistema hasta obtener una base
de \ 4 ( \ ) . Sea B4 = {(1,0,-1,3 ),(2,-2,3,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} dicha base completada.
Por otro lado sean
P = [B2:C2] (matriz de cambio de base de B2 a C2) y
Q = [B4:C4] (matriz de cambio de base de B4 a C4)
con lo que la relación entre matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas
bases ( B2 , B4 y C2 , C4 ) es
f B2B4 = Q −1 ⋅ f C2C4 ⋅ P ⇒ f C2C4 = Q ⋅ f B2 B4 ⋅ P −1
siendo
f B2 B4
⎛1
⎜
0
⎜
=
⎜0
⎜⎜
⎝0
0⎞
⎛ 1 2 0
⎟
⎜
1⎟
0 −2 0
⎛ 2 4⎞
1 ⎛ −1 4 ⎞
−1
⎜
;P = ⎜
;Q =
⇒P = ⎜
⎟
⎟
⎜ −1 3 1
0⎟
2 ⎝ 1 −2 ⎠
⎝ 1 1⎠
⎟⎟
⎜⎜
0⎠
1 0
⎝ 3
y finalmente
f C2 C4
⎛ 1 2 0
⎜
0 −2 0
⎜
=
⎜ −1 3 1
⎜⎜
1 0
⎝ 3
0 ⎞⎛ 1
⎟⎜
0 ⎟⎜ 0
0 ⎟⎜ 0
⎟⎜
1⎟⎜
⎠⎝ 0
0⎞⎛ 1
⎟ −
1⎟ ⎜ 2
⎜
0⎟⎜ 1
⎟⎜
0 ⎟⎠ ⎝ 2
≈≈≈≈≈≈≈
20
⎛ 1
⎞
0⎟
⎞ ⎜ 2
2⎟ ⎜
⎟
⎟ = ⎜ −1 2 ⎟
−1⎟⎟ ⎜ 2 −5 ⎟
⎟⎟
⎠ ⎜⎜
⎝ −1 5 ⎠
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1⎟⎠
Ejercicios resueltos
11. Determine la expresión matricial de la aplicación lineal g D f,en las bases
canónicas de R 3 (R) y R 4 (R) , sabiendo que:
f: R 3 (R) → R 2 (R) /f(x,y,z) = (x+y, y+z).
g: R 2 (R) → R 4 (R) /g(x,y) = (x, 2x – y, y – x, y).
SOLUCIÓN:
Método 1: Por composición directa
Dado que (g D f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) y utilizando las definiciones de f y g resulta que:
(g D f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x+y, y+z) = [(x+y), 2(x+y)-(y+z), (y+z) – (x+y), (y+z)} =
= (x + y , 2x + y – z , z – x , y + z ).
Con lo que de forma clara * se tiene :
(g D f)C3C4
⎛ 1
⎜
2
=⎜
⎜ −1
⎜⎜
⎝ 0
1 0⎞
⎟
1 −1 ⎟
0 1⎟
⎟
1 1⎟⎠
* NOTA: La primera columna está constituida por los coeficientes de x en las ecuaciones
coordenadas de (g D f), la segunda por los coeficientes de y, y la tercera por los de z. Esto se debe a la
obtención de esta matriz respecto de las bases canónicas, en las cuales están dadas las ecuaciones de
la composición. Este procedimiento equivale a hallar las coordenadas de los transformados, mediante
g D f, de los vectores de la base canónica C3, en la canónica C4.
Método 2: Matricialmente
La definición de f nos ofrece de manera directa la matriz asociada a f en la bases
C3 C2 :
⎛ 1 1 0⎞
f C3 C2 = ⎜
⎟
⎝ 0 1 1⎠
por otro lado la definición de g también nos da trivialmente la matriz asociada a C2 C4 :
g C2 C4
⎛ 1 0⎞
⎜
⎟
2 −1⎟
⎜
=
⎜ −1 1 ⎟
⎜⎜ 0 1⎟⎟
⎝
⎠
21
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
Entonces la matriz asociada a la composición (g D f) en las bases C3 C4 viene dada
por el siguiente producto matricial:
⎛ 1 0⎞
⎛ 1
⎜
⎟
⎜
2 −1 ⎟ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎜ 2
⎜
=
(g D f)C3C4 =(g C2C4 ) × (f C3C2 ) =
⎜ −1 1⎟ ⎜⎝ 0 1 1⎟⎠ ⎜ −1
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 0 1⎠
⎝ 0
1 0⎞
⎟
1 −1 ⎟
0 1⎟
⎟
1 1⎟⎠
≈≈≈≈≈≈≈
12. Dado el homomorfismo f: R 2 (R) → R 3 (R) /f(x,y) = (-y, 2x, y) calcule la
expresión matricial de f respecto de las bases B = {(1,0), (1,-1)} y B’ = {(1,1,1),
(1,1,0), (1,0,-1)} de R 2 (R) y R 3 (R) respectivamente.
SOLUCIÓN:
Método 1:
Siguiendo el mismo procedimiento del ejercicio 9, hallamos los transformados de
los vectores de la base B y los expresamos en función de los vectores de la base B’.
f (1, 0) = (0, 2, 0) = α11 (1,1,1) + α12 (1,1, 0) + α13 (1, 0, −1) = −2(1,1,1) + 4(1,1, 0) − 2(1,0, −1)
f (1, −1) = (1, 2, −1) = α 21 (1,1,1) + α 22 (1,1, 0) + α 23 (1, 0, −1) = −2(1,1,1) + 4(1,1,0) − 1(1, 0, −1)
obteniendo
f BB'
⎛ −2 −2 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 4 4⎟
⎜ −2 −1 ⎟
⎝
⎠
Método 2:
Siguiendo los mismos pasos del ejercicio 9 llegamos a que la expresión matricial de
f en las bases canónicas es
f C 2 C3
⎛ 0 −1⎞
⎜
⎟
= ⎜ 2 0⎟
⎜ 0 1⎟
⎝
⎠
por otro lado sean
P = [B:C2] (matriz de cambio de base de B a C2) y
Q = [B’:C3] (matriz de cambio de base de B’ a C3)
22
Ejercicios resueltos
con lo que la relación entre matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas
bases ( B , B’ y C2 , C3 ) es
f BB' = Q-1 ⋅ f C2C3 ⋅ P
⎛1 1 1 ⎞
⎛1 1 ⎞
⎜
⎟
y dado que de forma obvia P = ⎜
⎟ y Q = ⎜1 1 0 ⎟ , basta hallar
⎝ 0 −1 ⎠
⎜ 1 0 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
Q−1 = ⎜ −1 2 −1⎟
⎜ 1 −1 0 ⎟
⎝
⎠
y entonces
f BB'
⎛ 1 −1 1⎞⎛ 0 −1⎞
⎛ −2 −2 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎛ 1 1⎞ ⎜
⎟
= ⎜ −1 2 −1⎟⎜ 2 0 ⎟ ⎜
= ⎜ 4 4⎟
⎟
⎜ 1 −1 0 ⎟⎜ 0 1⎟ ⎝ 0 −1⎠ ⎜ −2 −1⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
≈≈≈≈≈≈≈
13. Sea f: R 2 (R) → R 3 (R) una aplicación lineal y B, B’ las respectivas bases del
ejercicio anterior, siendo la matriz asociada a f en estas bases:
⎛ 0 -1 ⎞
⎜
⎟
fBB’ = ⎜ 1 1 ⎟
⎜2 3 ⎟
⎝
⎠
Calcule la nueva matriz de la aplicación respecto a las bases
B ={(3,2), (4,3)} y B′ ={(2,1,1), (3,3,1), (2,1,2)}.
Halle también la representación matricial de f respecto a las bases canónicas.
SOLUCIÓN:
Este ejercicio es una aplicación directa de la equivalencia de matrices asociadas a
una misma A.L. en distintas bases, cuya relación es:
f BB' = Q-1 ⋅ f BB' ⋅ P
donde P = ⎡⎣ B:B⎤⎦ y Q = ⎡⎣ B':B'⎤⎦ son las respectivas matrices de cambio de base.
23
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
La obtención de P pasa por expresar los vectores de la base B en función de los
de la base B.
(3, 2) = α11 (1, 0) + α12 (1, −1) = 5(1, 0) − 2(1, −1)
⎛ 5 7⎞
⇒ P=⎜
⎟
(4,3) = α 21 (1,0) + α 22 (1, −1) = 7(1, 0) − 3(1, −1)
⎝ −2 −3 ⎠
La obtención de Q -1 = ⎡⎣ B':B'⎤⎦ requiere la expresión de B' en función de B'
−2
1
2
(1,1,1) = β11 (2,1,1) + β12 (3,3,1) + β13 (2,1, 2) =
(2,1,1) + (3,3,1) + (2,1, 2)
3
3
3
−1
1
1
(1,1, 0) = β 21 (2,1,1) + β 22 (3,3,1) + β 23 (2,1, 2) = (2,1,1) + (3,3,1) + (2,1, 2) ⇒
3
3
3
−5
−1
8
(1, 0, −1) = β31 (2,1,1) + β32 (3,3,1) + β33 (2,1, 2) = (2,1,1) + (3, 3,1) + (2,1, 2)
3
3
3
⎛ −2 1 8 ⎞
1⎜
⎟
Q = ⎜ 1 1 −1 ⎟
3⎜
⎟
⎝ 2 −1 5 ⎠
-1
y aplicando la relación de equivalencia mencionada
⎛ −2 1 8 ⎞⎛ 0 −1⎞
⎛ 31 38 ⎞
1⎜
⎟⎜
⎟⎛ 5 7⎞ 1 ⎜
⎟
= ⎜ 1 2⎟
f BB' = ⎜ 1 1 −1⎟⎜ 1 1⎟ ⎜
⎟
3⎜
⎟⎜
⎟ ⎝ −2 −3 ⎠ 3 ⎜ 21 27 ⎟
⎝ 2 −1 5 ⎠⎝ 2 3 ⎠
⎝
⎠
Para hallar la matriz de f en las bases canónicas utilizamos la relación de
equivalencia de matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas bases.
f BB' = Q-1 ⋅ f C2C3 ⋅ P ⇒ f C2C3 = Q ⋅ f BB' ⋅ P -1
⎛ 1 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
⎜
⎟
P =⎜
⎟ y Q = [ B':C3 ] = ⎜1 1 0 ⎟ son las
⎝ 0 −1 ⎠
⎜1 0 −1⎟
⎝
⎠
respectivas matrices de cambio de base.
⎛ 1 1⎞
donde P = [ B:C 2 ] = ⎜
⎟⇒
⎝ 0 −1 ⎠
-1
Y aplicando la relación dada:
f C 2 C3
⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 0 −1⎞
⎛ 3 0⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎛ 1 1⎞ ⎜
⎟
= ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 1 1⎟ ⎜
= ⎜ 1 1⎟
⎟
⎜ 1 0 −1⎟ ⎜ 2 3 ⎟ ⎝ 0 −1⎠ ⎜ −2 2 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
≈≈≈≈≈≈≈
24
Ejercicios resueltos
14. La matriz de un endomorfismo f de R 3 (R) , dada respecto a la base canónica
es
⎛ 1 -1 0 ⎞
⎜
⎟
fC = ⎜-2 2 0 ⎟ .
⎜ 0 3 -3 ⎟
⎝
⎠
Halle una base del núcleo y de la imagen de f.
Si U1 = {(x1,x2,x3)/ x1 = x2 = x3} es un subespacio vectorial de R 3 (R) , obtenga una
base de la imagen de U1 .
SOLUCIÓN:
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
El N(f) = {(x,y,z)/ f(x,y,z) = (0,0,0)} = {(x,y,z)/ ⎜ −2 2 0 ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ } =
⎜ 0 3 −3 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= {(x,y,z)/x = y , y = z (ecs. Implícitas)} = {(x,y,z)/x = y = z} = <(1,1,1)> y una base de
N(f) es {(1,1,1)}.
Puesto que
⎛ 1 −1 0 ⎞
⎜
⎟
dim Im(f) = rg ⎜ −2 2 0 ⎟ = 2,
⎜ 0 3 −3 ⎟
⎝
⎠
para generar Im(f) basta tomar el sistema formado por las columnas (no filas) de la matriz
fC y dado que el sistema no es L.I. se obtiene una base de Im(f) cogiendo un sistema
mínimo de generadores a partir del dado.
Así pues Im(f) = <(1,-2,0),(0,0,-3)> y una base es {(1,-2,0),(0,0,-3)}
G
Por otro lado resulta evidente que U1 = N(f) y por tanto f(U1) = { 0 } luego f(U1)
G
no tiene base (por ser el subespacio impropio { 0 }).
≈≈≈≈≈≈≈
15. Sea f: R 4 (R) → R 4 (R) un endomorfismo del que se tiene la siguiente
información:
f(1,1,0,0) = (0,1,0,-1)
f(1,0,1,0) = (1,1,1,0)
.
25
Capítulo 1. Aplicaciones lineales
Halle la matriz asociada a f en la base canónica en cada uno de los siguientes
supuestos:
i)
ii)
iii)
iv)
f es involutiva.
f es idempotente.
f es nilpotente de orden 2.
Im(f) = N(f).
SOLUCIÓN:
Se trata en cada caso de obtener las cuatro condiciones necesarias para la
determinación de la matriz asociada a f en las bases canónicas. Estas cuatro condiciones se
traducen en un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que son los transformados de los
vectores de la base canónica C4.
G G G G
Sea C4 ={ e1 , e2 , e3 , e4 } la base canónica de \ 4 ( \ ) .
i) f involutiva (f D f = i , i = identidad).
Conocemos f(1,1,0,0) = (0,1,0,-1) → f(f(1,1,0,0)) = i(1,1,0,0) → f(0,1,0,-1) = (1,1,0,0)
y también f(1,0,1,0) = (1,1,1,0) → f(f(1,0,1,0)) = i(1,0,1,0) → f(1,1,1,0) =(1,0,1,0)
Las condiciones obtenidas son:
f(1,1,0,0) = (0,1,0,-1)
f(1,0,1,0) = (1,1,1,0)
f(0,1,0,-1)= (1,1,0,0)
f(1,1,1,0) =(1,0,1,0)
G
G
G
G
G
G
G
→ 1f( e1 )+1f( e2 )+0f( e3 )+0f( e4 ) = 0 e1 +1 e2 +0 e3 -1
G
G
G
G
G
G
G
→ 1f( e1 )+0f( e2 )+1f( e3 )+0f( e4 ) = 1 e1 +1 e2 +1 e3 +0
G
G
G
G
G
G
G
→ 0f( e1 )+1f( e2 )+0f( e3 ) -1f( e4 ) = 1 e1 +1 e2 +0 e3 +0
G
G
G
G
G
G
G
→ 1f( e1 )+1f( e2 )+1f( e3 )+0f( e4 ) = 1 e1 +0 e2 +1 e3 +0
Resolviendo el sistema resulta:
G
G
G
G
G
f( e1 ) = 0 e1 +2 e2 +0 e3 -1 e4
G
G G
G
G
f( e2 ) = 0 e1 -1 e2 +0 e3 +0 e4
G
G G
G
G
f( e3 ) = 1 e1 -1 e2 +1 e3 +1 e4
G
G G
G
G
f( e4 ) =-1 e1 -2 e2 +0 e3 +0 e4
y la matriz buscada es la siguiente:
f C4 C4
26
⎛ 0 0 1 −1⎞
⎜
⎟
2 −1 −1 −2 ⎟
⎜
=
⎜ 0 0 1 0⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 0 1 0 ⎠
G
e4
G
e4
G
e4
G
e4
Ejercicios resueltos
ii) f es idempotente ( f D f =f ).
f(f(1,1,0,0)) = f(1,1,0,0) → f(0,1,0,-1) = f(1,1,0,0) → f(0,1,0,-1) = (0,1,0,-1)
f(f(1,0,1,0)) = f(1,0,1,0) → f(1,1,1,0) = f(1,0,1,0) → f(1,1,1,0) = (1,1,1,0)
Las condiciones obtenidas más las iniciales son:
f(1,1,0,0) = (0,1,0,-1)
f(1,0,1,0) = (1,1,1,0)
f(0,1,0,-1) = (0,1,0,-1)
f(1,1,1,0) = (1,1,1,0)
y procediendo como en i) obtenemos:
f C4 C4
⎛ 0
⎜
1
=⎜
⎜ 0
⎜⎜
⎝ −1
0
0
0
0
1 0⎞
⎟
0 −1 ⎟
1 0⎟
⎟
1 1⎟⎠
iii) f es nilpotente de orden 2 (f D f = 0, 0 = aplicación idénticamente nula).
f(f(1,1,0,0)) = (0,0,0,0) → f(0,1,0,-1) = (0,0,0,0)
f(f(1,0,1,0)) = (0,0,0,0) → f(1,1,1,0) = (0,0,0,0)
con lo que llegamos a las condiciones:
f(1,1,0,0) = (0,1,0,-1)
f(1,0,1,0) = (1,1,1,0)
f(0,1,0,-1) = (0,0,0,0)
f(1,1,1,0) = (0,0,0,0)
y tras la resolución del correspondiente sistema :
f C4 C4
⎛ 1 −1 0 −1 ⎞
⎜
⎟
2 −1 −1 −1 ⎟
=⎜
⎜ 1 −1 0 −1 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 0 1 0 ⎠
iv) Si Im(f) = N(f) entonces f(0,1,0,-1) = (0,0,0,0) y f(1,1,1,0) = (0,0,0,0) y se repite
la situación del apartado iii).
≈≈≈≈≈≈≈
27
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dados los espacios vectoriales U y V, estudie si las siguientes aplicaciones
f : U ⎯→V son lineales:
a) U = V = R3 ( R) / f (x , y , z ) = (x − y , y − z , z − x ) .
b) U = R3 ( R);V = R2 ( R) / f (x , y , z ) = (x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ) .
c) U = V = Mn ( R) / f (A ) = (At − A )t .
2. Determine los subespacios Im(f) y N(f) de las siguientes aplicaciones lineales:
a) f : R3 ( R) ⎯→ R3 ( R) / f (x , y , z ) = (2 y , x + y , x − 2 y + z ) .
b) f : P1 ( R) ⎯→ P1 ( R) / f ( p (x )) = p (x ) − p ′(x ) .
3. Clasifique las siguientes aplicaciones lineales:
a) f : Mn ( R) ⎯→ Mn ( R) / f (A ) = At .
b) f : R3 ( R) ⎯→ R2 ( R) / f (x , y , z ) = (3 x + 2 y ,3 y − 2 z ) .
c) f : R2 ( R) ⎯→ R3 ( R) / f (x , y ) = (x , x + y , x + y + z ) .
4. Dada la aplicación f : P1 ( R) ⎯→ P1 ( R) / f ( p (x )) = xp ′(x ) − x1
∫
x
0
p (t )dt , se pide que:
a) Pruebe que es lineal.
b) Halle una base del núcleo y de la imagen de f.
c) Compruebe si N(f) e Im(f) son subespcios suplementarios.
5. Consideremos el endomorfismo f sobre el espacio vectorial U n (K) cumpliendo las
siguientes condiciones:
i)
2 (rg f ) = n (n par).
ii) f es nilpotente de orden 2.
Pruebe que el núcleo de f coincide con su imagen.
6. Determine la aplicación lineal f : R3 ( R) ⎯→ P2 ( R) tal que :
f (1 , 0 , 0 ) = 1 + x 2
f (0 , 1 , −1 ) = x − x 2
f (1 , −1 , 0 ) = 1 + x − x 2
Y calcule f (1 , −1 , 2 ) .
28
Ejercicios propuestos
7. Sea f el endomorfismo de R3 ( R) / f (x1 , x2 , x3 ) = (y1 , y2 , y3 ) de forma que:
y 1 = x1 − x 2 + x 3
y 2 = x1 + x 2 + x 3
y 3 = x1 + x 3
que son las ecuaciones del mismo.
Si U1 = {(x1 , x2 , x3 ) / x1 − 2 x3 = 0}}y U2 = {(x1 , x2 , x3 ) / 2 x2 + x3 = 0}}
Calcule:
JG
a) El conjunto de antiimágenes del 0 .
b) La imagen recíproca del vector (1,2,1) sin resolver ningún sistema de
ecuaciones, sabiendo que f(7,5,6) = (2,-1,4).
c) f(U1 + U2 ) y f(U1 ∩ U2 ).
8. Dada la aplicación
⎛z
f : R3 ( R) ⎯→ M2 ( R) / f (x , y , z ) = ⎜
⎝y
y⎞
x + z ⎟⎠
Estudie si f es lineal y, en este caso, halle la matriz asociada a dicha aplicación
lineal en las bases canónicas.
9. Sean B = {(2 , −1 ), (1 , 4 )} y B ′ = {(2 , 1 , 1 ),(1 , 2 , 0 ), (1 , 0 , 2 )}
bases de R2 ( R) y
R3 ( R) respectivamente.
Consideremos el homomorfismo
f : R2 ( R) ⎯→ R3 ( R) / f (x , y ) = (x + y , y , y − x )
Halle la expresión matricial de f en las bases B y B ′ .
10. Consideremos la familia de endomorfismos f k , cuya matriz en la base canónica
de R3 ( R) es la siguiente:
⎛0
⎜
⎜k
⎜2
⎝
k 2⎞
⎟
2 k⎟
k 2 ⎟⎠
Estudie, según los valores reales de k, el núcleo y la imagen de fk y clasifique los
endomorfismos a tenor de los resultados obtenidos.
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Capítulo 1. Aplicaciones lineales
11. Determine la representación matricial de la aplicación lineal g D f , sabiendo
que:
f : R3 ( R) ⎯→ R2 ( R) / f (x , y , z ) = (x − 2 y , x + y + z )
g : R2 ( R) ⎯→ R 4 ( R) / g (x , y ) = (y , x + y , 2 x , 3 x + y )
Calcule además los siguientes subespacios:
N( g D f ) ; Im(f) ; N(g) ; N(g) ∩ Im(f) ; f −1 (N(g) ∩ Im(f)).
¿Cuáles de estos subespacios vectoriales coinciden? ¿Coinciden en este caso
concreto o coincidirán en cualquier caso?
12. Dado el homomorfismo f : R3 ( R) ⎯→ R2 ( R) f (x , y ) = ( −y , 2 x , y ) calcule la
expresión matricial de f respecto a las bases B = {(2 , −2 ), ( −4 , 1 )}
de R2 ( R)
y B ′ = {(2 , 1 , 1 ), (1 , 2 ,0 ),(1 , 0 , 2 )} de R3 ( R) . Halle también la matriz de f respecto a
las bases canónicas C 2 y C 4 .
13. Sea
f : R2 ( R) ⎯→ R3 ( R)
una aplicación lineal y
B3 = {(1 , 2 , 3 ),(2 , 3 , 1 ),(2 , 1 , 3 )} las respectivas bases, siendo:
fB 2 B 3
⎛ 3
⎜
= ⎜ −1
⎜ 2
⎝
B2 = {(2 , 2 ), (1 , −1 )} ,
4⎞
⎟
2⎟
3 ⎟⎠
Calcule la nueva matriz de la aplicación respecto a las bases B2′ = {(1 , 2 ), (4 , 2 )} ,
B3′ = {( −1 , 1 , −1 ), (1 , 1 , 1 ),( −1 , 1 , 1 )} . Halle también la representación matricial de f
respecto a las bases canónicas.
14. La matriz de un endomorfismo f de R3 ( R) , dada respecto a la base canónica es
⎛ 2
⎜
⎜ −1
⎜ 3
⎝
−3
2
1
1⎞
⎟
4⎟
−2 ⎟⎠
Halle una base del núcleo y de la imagen de f. Si U1 = {(x1 , x2 , x3 ) / x1 = x2 }} y
U2 = {(x1 , x2 , x3 ) / x1 + x2 + x3 = 0}}son subespacios vectoriales de R3 ( R) , halla una
base de la imagen de U1 ∩ U2 .
15. Sea el endomorfismo f : R3 ( R) ⎯→ R3 ( R) / f (x , y , z ) = (x + y , z − x , x − y + z )
Encuentre, si existe, un subespacio vectorial de R3 ( R) que sea invariante para f.
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