PDF (Sección 9. Axioma del producto cartesiano)

- 29
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SECCIÓN
9
AXIOMA DEL PRODUCTO CARTESIANO.
9. 1
P a r ordenado formado por dos objetos.
Sean x, y dos objetos ó e l e m e n t o s . S a b e m o s por el axionna de a g r u pación que p o d e m o s g a r a n t i z a r l a e x i s t e n c i a de un conjunto;
Xx, yy = •iz / z = X ó z = yJ. A d e m á s s a b e m o s que e s t e conjunto es igual
al conjunto j y , x l es d e c i r , es indiferente el o r d e n en que se t o m e n sus
e l e m e n t o s al a g r u p a r l o s . Se t r a t a a h o r a de p r o d u c i r xm nuevo conjunto en
el cual i n t e r e s e el o r d e n en que a p a r e c e n sus e l e m e n t o s , y a d e m á s , e s t e
conjunto dependa de e s t o s e l e m e n t o s .
A e s t e nuevo conjíunto se le l l a m a p a r o r d e n a d o y la definición se h a c e de
t a l modo que r e s u l t e quo el p a r o r d e n a d o x, y s e a diferente del p a r or denado y, x.
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. ^ . - ^ j ' CJ : Í . .n.
Í \ VV .
Definición 1,
•"
,.
'
. -:^.vy a X A ^ íy , /.
Dados dos objetos x, y s e l l a m a p a r o r d e n a d o x, y; denotado p o r (x, y)
a l conjunto definido por;
(X, y) = {[x} . (x, y}}
al p r i m e r e l e m e n t o x se le designa " p r i m e r a c o o r d e n a d a " y al segundo,
y, s e l e l l a m a "segunda c o o r d e n a d a " .
Ejemplo;
En el plano c a r t e s i a n o , e l p a r (4, 5) es tm punto diferente del
punto r e p r e s e n t a d o por el p a r (5, 4).
Observación;
1)
(X. y) ^ { x , y} -
2)
(x, y) ^
(y, X) 4 = ^ x
k.^%.^'^^
^ y
^
.
(^
,
Definición 2.
••* Á - ^ ^
Dos p a r e s ordenados son iguales s i y solo s i t i e n e n l a s p r i m e r a s c o m p o n e n t e s iguales y a d e m á s l a s segundas c o o r d e n a d a s t a m b i é n i g u a l e s . E s decir:
(a. b) = (c. d) < = ^ a = c A b = d
'^
Nota:
E n una c o n s t r u c c i ó n m á s r i g u r o s a de la t e o r i a de conjuntos e s t a
p r o p i e d a d se puede d e m o s t r a r .
I
30^
Ejemplo;
9. 2
Se dice que la p a r e j a ( ( x - 1), (y - 2)) e s igual a la pareja.
(O, 0) si y solo si X = 1 A y = 2,
Axioma del producto c a r t e s i a n o .
Sean A, B conjuntos. E x i s t e un único conjunto C, cuyos e l e m e n t o s son par e j a s ordenadas t a l e s que; la p r i m e r a componente de cada p a r e j a p e r t e n e ce a A y la segunda coordenada p e r t e n e c e al conjunto B . E s d e c i r ; si
z e C quiere decir que z = (a, b) donde a e A A b 6 B . El conjunto C
se le l l a m a "producto c a r t e s i a n o de A p o r B " y se le e s c r i b e A x B .
Entonces:
A x B = 4 z / z = (x, y) A X .
A A y C BV
o más simplemente;
A x B = X (x, y ) / x £ A A y e
ilota;
B J
(x, y) 6 A X B <
>x & A A y € B
(x, y) ^ A X B ^
yy ^ A ó y ^ B
Ejemplos:
Sea
A = l o , 1, 2J'
B ={5, 6}
AxB
=^(0,5).
(0,6).
(1,5),
( 1 . 6 ) , (2. 5 ) ,
(2.6)}
Nótese que A x B t i e n e m x n e l e m e n t o s , siendo m el n ú i n e r o de e l e m e n t o s de A y n el n ú m e r o de e l e m e n t o s de B .
EJERCICIOS.
'
'
1)
A X 0 = 0
2)
A ^ 0
3)
A = B^==$^AxB = B x A
4)
A X (B X C) 7^ (A X B) X C,
A B
^ , . ..,
.
^
0 s A ^
.,
(£..-;•
B •—^A x B 7¿ B X A
. ^ . - . . . . . ^ „..
si A ^
^ >v B ^ fí
A
C ,9^= |í
^ ^^ •
" E s d e c i r , el p r o d u c t o c a r t e s i a n o no e s a s o c i a t i v o .
5)
(A U B) X C = (A X C) U (B X C)
! !
• y y.':y
I
i
6)
(A n
7)
(A - B) X C = (A X C) - ( B X C)
8)
Si A C E
_.
- 3i -
B) X C = (A X C) O (B X C)
A B C E se t i e n e e n t o n c e s que;
CEXEAXB
= ( CEAXCES)U
( C E A X B ) U ( A X CEB)
A m a n e r a de ejemplo se d e m o s t r a r á l a p r o p i e d a d enunciada en el e j e r c i cio 6. D e m o s t r a r e m o s que:
(A O B) X C = (A X C) O (B X C)
dm:
i)
V e a m o s que (A O B) x C O
(A x C) f l (B x C)
(x, y) e (A n B) X C
Sea
"p X e A f l B A y S c
d > x S A A x € B
: » (x e A A
A y € C
y £ C) A (x c B A y e C)
=^ (x, y) S A X C A ( x , y) S B X C
=^ (X, y) G (A X C) O (B X C)
ii)
V e a m o s que
(A x C) Q <B x C) CU (A O B) x C
(x, y) e (A X C) n (B X C)
Sea
=> (x, y) G A X C A (x, y) e
=> (x € A A
B x C
y e C) -A (x C B A y € C)
i ^ (x e A A X e B) A y e c
i ^ x e A t l B
9
-'.; >
^
(x, y) €
A y € C
(A O B) X C,
V a m o s a h o r a a " i l u s t r a r " p o r m e d i o de e j e m p l o s unos p r o d u c t o s c a r t e sianos s o b r e los que v o l v e r e m o s en a d e l a n t e con m á s d e t a l l e s :
32a)
Sea
el conjunto de los n ú m e r o s n a t u r a l e s .
el conjunto [|4xu>
Según hemos v i s t o ,
IW x Q\) = -[(x, y ) / x e t í O
Consideremos ahora
A yClMy
P o d e m o s r e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e dicho conjunto c o m o s e ve e n s e guida:
5
Como e r a de e s p e r a r s e , e s t a m o s
en la imposibilidad de r e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e la totalidad del
conjunto (N x iM- . E n todo c a s o
l o s e l e m e n t o s de (H x | | ^ e s t á n
r e p r e s e n t a d o s aquf por " p u n t o s " .
Nótese a d e m á s que a cada ele m e n t ó d e l conjunto IN x [jy podem o s a s i g n a r l e un "punto" en
nuestra gráfica.
4
3
Z
1
Nota;
NxlN
E l conjunto
puede r e p r e s e n t a r s e por extensión, aunque de nnanera inconnpleta, asf; /A ~"i ••i'.' sti *^—;«_i.
(O, 0) ,
(O, 1) ,
(O, 2)
(O, n)
(1, 0 ) ,
(1, 1 ) ,
( 1 , 2),, , . . , - . , , .
(1, n)
(2, 0 ) ,
(2, 1 ) ,
(2.2)
(2, n) . . . .
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Consideremos ahora el conjunto ^ ^ x " ^ ; siendo ^y como de cos
tumbre el conjunto de los números enteros.
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Tal como vimos: " ^ x " ^ = J (x, y) / x á " 2 A y € ^ J
•.. -cíi
33
-i.
T r a t e m o s a h o r a de r e p r e s e n t a r , aunque solo s e a en p a r t e , el con
junto ~2. x ~ 2 -
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De nuevo, como en el p r i m e r c a s o , los " p u n t o s " de la figura r e p r e sentan el conjunto ^ ^ x ^ . P o d e m o s t a m b i é n o b s e r v a r que dado
un e l e m e n t o c u a l q u i e r a del conjunto ^ L x ""JZ.. e s posible " d i b u j a r " un
punto en el plano que lo r e p r e s e n t e .
íí
c)
T o m e m o s a h o r a el conjunto de los n ú m e r o s r e a l e s que d e n o t a r e m o s
por (f^ (no se a s u s t e e l l e c t o r con é s t o , pues c o m o ya a d v e r t i m o s , e s t a s p r o p i e d a d e s s e r á n d i s c u t i d a s m á s adelante con todo r i g o r ) .
E l conjunto: R x R
=J(x. y)/xGll
representarse gráficamente.
A YeRj
puede t a m b i é n
La r e p r e s e n t a c i ó n gráfica de ÍR, x iR puede v e r s e en la figura como s i fuera "todo el p l a n o " y é s t e e s el sentido que t i e n e .
34 -
iBxd^
MU
,.V.U;:t.-,;••
IB
Efectivamente, el conjunto
UVXUN "agota" los puntos
del plano, en el sentido que,
si quisiéramos representarlo
como en los ejemplos anterior e s , tendríamos que semeternos a no dejar pantos sin "pintar". '
Podemos asf apreciar que,
como en los ejemplos anterior e s , a cada punto del conjunto TR x i< le podemos "asignar" vm punto del plano. Además, como R^ x IR "agota" los puntos del
plano, podemos también pensar que a cada "punto" del plano podemos a s i g nar un elemento del conjunto K x |S
^;
•- . Esta 4ltima idea es de particular importancia en lo que al objeto de este cur/ ' so se refiere y como ya dijimos volverenaoa con nnenos premura aobre e s te aspecto.
t
..
9. 3 Se ha estudiado como se constituyen relaciones a partir de "objetos" que se
designan por l e t r a s , ligando éstas por medio de signos relaciónales. Hemos
dicho entonces que una relación es un enunciado bien escrito en la matemáti• ca, y que dada una relación
, cuando estamos interesados en la figuración del objeto x, escribimos Rfx) . En forma análoga, pódennos escribir
R^x, y I cuando estamos interesados en la figuración de los objetos x y y.
„
Ejemplos:
,1)
X + y = 10 A x ^ M A y € ft^
-_ 2)
x2 + y2 = 25^ xeíH A ycíR/
^3)
(x, y) A X 6 A A y e B
4)
"x paralelo a y" (x // y) ;
x J» y
• i^i.:
}'TÍÍ->
'.'ty.í j y •-
-.=<iq~!nrff ^.t^j
X S y(n)
Veamos ahora como podemos formular el concepto de relación en el lenguaje de la teorfa de conjuntos;
Sea E un conjunto, sea x € E , sea y e E ; es decir; x y y son e l e m e n tos de E . Sea R xma. relación entre los elementos de E .
35
Sabemos que el conjunto:
{ ( x . y) G E X E / R f x, y | }
existe y es único (axioma de especificación).
Denotemos este conjunto por la letra R, Entonces, este conjunto R es un
subconjunto de E x E; es decir, c;stá formado por parejas ordenadas (x, y)
para las cuales la p r i m e r a coordenada x está "ligada" a la segunda coordenada y, en la forma que R lo especifique.
Ejemplo:
Dados:
0N|,xerN,y6m
R \ x , y^ ;
X+ y = 3
En este caso:
R = í (x. y ) G l W x l ¡ h i / x + y = 3V
O sea que:
R = ^ ( 0 , 3), (3, 0 ) , (2. 1). (1. 2)]. C
CIN>ÍTW
IM X iSi
Toda relación determina de manera única al conjunto de aquellas parejas
ordenadas en las cuales la p r i m e r a coordenada nnantiene la relación R con
la seguada. Es decir, si conocen-.os la relación, conocemos el conjunto; y
si conocemos el conjunto, sabemos cual es la relación. Por lo anterior,
al conjunto -í (x, y) £ E x E / R \ X , y ^ J se le denota por R.
En base a lo dicho algunos autores también definen relación asf:
Definición.
Sea E un conjunto. Un subconjunto de E x E es una relación R. Entonces, cada elemento de R es una pareja ordenada. Esto significa que si
z £ R, entonces existen x y y en E tales que z = (x, y). Ahora bien, si
R es tina relación entonces (x, y ) £ R. Esto se expresa asf: x R y que
se lee; "x está en relación R con y".
Nota;
(1)
Z e R .c=nar>z = (x, y)
(2)
(x. y) € R « = » X R y
Ejemplo:
Dados:
I R . XG¡R.
C {X. yJ
Entonces:
, yclR
-
: x^ + y2 = 25
C = •[ (x, y j s R x ^ / x ^ + y^ = 25 1
También:
x C y 4 = = ^ ( x , y) £ C
. . » . ; ''.J.C
(x. y ) £ C « = » x 2 + y2 = 25 . ,, , ^
í'''-- Z • .
•. I
Es decir; Si el punto (x, y) de IK x iK pertenece a la circunferencia de radio 5 se cumple la relación x^ + y^ = 25 y si el par (x, y)e IR,x]R.
cumple la relación x^ + y'^ = 25,, (x, y) pertenece a la circunferencia de
radio 5.
Dada una condición, expresada rpediante una relación R C J R x J ¡ ^ , un punto satisface la relación si y solo si el punto pertenece al lugar geométrico
asociado a la condición dada.
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