Centro de gravedad de una semiesfera
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Centro de gravedad de una semiesfera de radio R y masa M 2 La semiesfera de radio R tiene una masa M = ρ πR 3 y su centro de gravedad debido a la 3 simetría, está sobre el eje OZ, siendo la coordenada z zG = 1 M r ∫∫∫ zdm dz V z Para ello consideramos un elemento diferencial de volumen a una distancia z, cuya masa es dm = ρπr 2 dz ya que dicho volumen corresponde al de un cilindro de radio r y altura dz; por tanto 1 zG = M ∫∫∫ zρπr dz . 2 r dz Cuando V el elemento diferencial de volumen se elige a una distancia z muy pequeña, el radio del cilindro es grande y viceversa, verificándose la relación r 2 + z 2 = R 2 por lo que la coordenada solicitada es 1 zG = M ρπ R 2 2 ρπ ⎡ R 2 z 2 R z4 ⎤ R 4 3R ρπ z r dz z R z dz ( ) = ρπ = = − = − ⎥ ⎢ ∫∫∫ M ∫0 M ⎣ 2 4 ⎦0 ⎛ 2 8 3⎞ 4 V ⎜ ρπR ⎟ ⎠ ⎝3 2
