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Y
Centro de gravedad de un triángulo rectángulo de masa
M, base B y altura H
⎛ BH ⎞
La masa del triángulo es M = σA = σ ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Consideramos que el rectángulo está situado en el plano XY,
coincidiendo sus aristas con los ejes OX y OY.
X
1º Método. Integración
La coordenada x del centro de gravedad es
Y
∫∫ xdm .
xG =
M
Para calcularla, consideramos un elemento diferencial
de masa a una distancia x de la arista vertical de
forma que dm = σydx y la coordenada del centro de
gravedad es xG =
y
x
∫∫ xdm = ∫∫ xσydx
M
M
La relación entre x e y se obtiene por semejanza de
dx
1
de donde xG =
M
X
triángulos
H
y
H
de donde
( B − x) = y
=
B B−x
B
H
σH
B
2
∫∫ xσ B ( B − x)dx = MB ∫0 Bx − x dx = 3
B
(
)
Para calcular la coordenada y del centro de gravedad,
Y
consideramos un elemento diferencial de masa a una
distancia y de la base de forma que dm = σxdy , y la
coordenada
x
dy
yG =
X
M
de
gravedad
es
M
B
x
B
=
de donde
( H − y) = x ,
H H−y
H
por lo que
∫∫ yσ
centro
∫∫ ydm = ∫∫ yσxdy ;
triángulos
1
M
del
La relación entre x e y se obtiene por semejanza de
y
yG =
y
B
σB
( H − y )dy =
H
MH
H
∫ (Hy − y )dy = 3
H
2
0
2º Método. Aplicación del teorema de Guldin
Cuando el triángulo gira en torno a un eje vertical genera un cono de altura H y radio B, cuyo
1
volumen es V = πB 2 H , y el centro de gravedad describe una circunferencia de longitud
3
Lcircunferencia = 2πxG , de donde
xG =
1 2
⎛ BH ⎞
πB H = 2πxG ⎜
⎟ , y en consecuencia la coordenada es
3
⎝ 2 ⎠
B
3
Cuando el triángulo gira en torno a un eje que pasa por su base genera un cono de altura B y
1
radio H, cuyo volumen es V = πH 2 B , y el centro de gravedad describe una circunferencia
3
de longitud Lcircunferencia = 2πy G , de donde
coordenada es y G =
1
⎛ BH ⎞
πH 2 B = 2πy G ⎜
⎟ , y en consecuencia la
3
⎝ 2 ⎠
H
3
1