INTERES COMPUESTO El dinero y el tiempo son dos factores que

INTERES COMPUESTO
El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de
las personas y de los negocios, cuando se generan excedentes de efectivo se ahorra durante
un periodo determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible en
otras ocasiones en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se
debe pagar un interés por su pago. En periodos cortos por lo general se utiliza como ya se vio
el interés simple. En periodos largos sin embargo se utilizará casi exclusivamente el interés
compuesto.
El interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin
variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto en
cambio los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y a
su vez van a generar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso.
En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación de
interés compuesto. En estas operaciones el capital no es constante a través del tiempo pues
aumenta al final de cada periodo por la adición de los intereses ganados de acuerdo con la tasa
convenida.
Un depósito de $100000.00 a 5 años, la tasa de interés es la misma en ambos casos 20%
anual. En el interés simple este no se capitaliza en tato que el interés compuesto lo hace cada
año.
año
0
1
2
3
4
5
Monto a interés simple
M = C (1 + i)
100000
120000
140000
160000
180000
200000
Monto a interés compuesto
M = C (1 + i)n
100000
120000
144000
172800
207360
248832
M = C + it; It = (Ci)t
M = C (1 + i) + (1 + i)
M = C (1 + i)n esta fórmula se conoce como fórmula del monto a interés compuesto.
Se depositan $50,000.00 en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable
mensualmente ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años?
i = .18/12 = 0.015
n = 2 (12) = 24 numero de capitalizaciones.
M = 50000 (1 + .015)24
M = 71475.14
En dos años la inversión de 50000 se transformara en un monto de $71475.14 por la
generación de un interés compuesto de $21475.14
Se depositan en una caja de ahorros $100000.00 a una tasa de interés de 4.8% capitalizable
mensualmente.
a) ¿Cuál será el monto acumulado a interés compuesto en un periodo de nueve meses?
M = 100000 (1 + .004)9
M = 103658.10
b) Suponiendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con un tasa de interés de
30% anual capitalizable mensualmente ¿Cuál sería el pago que se debe efectuar al
cabo de los mismos 9 meses?
M = 100000 (1 + 0.025)9
M = 124886.30
MONTO COMPUESTO CON PERIODO DE INTERES FRACCIONARIO
Se obtiene un presta bancario de $1500000.00 a un plazo de un año y con interés de 12%
convertible trimestralmente, y se decide liquidar en el transcurso de 7 meses y medio ¿Cuál es
la cantidad que debe pagarse?
7.5/3 meses = 2.5 trimestres
M = 1500000 (1 + .03)2.5
M = 1615043.86
Se contrata un préstamo bancario de habilitación por 150000. El plazo de pago es de 3 años. La
tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente. ¿Cuál es la cantidad que deberá
liquidarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los 15 meses?
15/6 meses = 2.5 semestres
M = 150000 (1 + .10)2.5
M = 190358.8059
TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASA EQUIVALENTE.
Cuando se realiza una operación financiera se pactan a una tasa de interés anual que rige
durante el lapso que dure la operación que se denomina tasa nominal de interés, sin embargo
si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual la cantidad efectivamente
pagada o ganada es mayor que se compone en forma anual. Cuando esto sucede se puede
determinar una tasa efectiva anual. Dos tasa de interés anuales con diferentes periodos de
capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.
¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un deposito bancario de $1000 pactado a
18% de interés anual convertible mensualmente?
M = 1000 (1 + .015)12
M = 1195.62
I=M–C
I = 1195.62 – 1000
I = 195.62
i = I/C
i = 195.62/1000 = 0.1956
La tasa efectiva de interés es de 19.56%
La tasa equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente es de 19.56%, se
prueba a través de la siguiente formula.
i = (1 + j/ m)m – 1
i = (1 + .18/12)12 – 1
i = 19.56%
¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un presta bancario de $250000.00 que se pacto a 16%
de interés anual convertible trimestralmente?
i = (1 + j/ m)m – 1
i = (1 + .16/4)4 – 1
i = 16.98%
¿Cuál es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14%
convertible trimestralmente?
a) Una tasa nominal j convertible mensualmente es igual a una tasa efectiva.
i = (1 + j/ 12)12
b) Una tasa nominal de 14% convertible trimestralmente es igual a una tasa anual
efectiva.
i = (1 + .14/ 4)4
Igualando ambas tasa efectivas se tiene.
(1 + j/ 12)12 = (1 + .14/ 4)4
(1 + j/ 12)12/12 = (1 + .14/ 4)4/12
(1 + j/ 12) = (1 + .035)1/3
j = 12 {(1 + .035)1/3 – 1}
j = 12 {(1.011533) – 1}
j = 0.138398
Por lo tanto una tasa nominal de 13.84% convertible mensualmente es equivalente a una tasa
nominal de 14% convertible trimestralmente.
VALOR ACTUAL O PRESENTE
En ocasiones se conoce cuál es el monto que debe pagarse o que s desea reunir, y se quiere
determinar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de interés
determinada, para llegar a tener dicho monto se está entonces en presencia de un problema
denominado de valor actual o valor presente. El valor actual, como su nombre lo indica, cual es
valor en momento determinado de una cantidad que se recibirá o pagara en un tiempo
posterior.
M
C=
(1 + i)n
¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50000 dentro de 3 años
y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente?
50000
C=
(1 + .10)6
50000
C=
1.771561
C = 28223.70
Deben depositarse $28223.70 a fin de contar con $50000 en un plazo de 3 años si la tasa de
interés es de 20% convertible semestralmente.
Juan Pérez desea adquirir una casa con valor de $850000. Le pidieron que entregue 50% de
anticipo y 50% en un plazo de un año y medio, al término de construcción y entrega del
inmueble ¿Cuánto dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garantizar
la liquidación de su adeudo, si la tasa de interés vigente es de 6% anual capitalizable
mensualmente?
Juan Pérez paga en este momento $425000 (50% de la operación) y debe pagar otro tanto en
un plazo de año y medio.
C = M (1 + i)-n
C = 425000 (1.005)-18
C = 425000 (0.914136)
C = 388507.87
Al fin de garantizar el pago de su adeudo, Juan debe depositar $388507.87 los cuales con la
reinversión de los intereses se incrementaran hasta formar el monto de $425000 en un plazo
de año y medio.