límite de funciones

ANALISIS
LÍMITE DE FUNCIONES
Vamos a dar dos ideas intuitivas de límite:


Decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a “p” es L cuando a medida que le damos a la
x una serie de valores que se aproximan hacia “p” las imágenes de estos valores se van
aproximando a L.
Esta definición, no es rigurosa, paro basta con introducir el concepto de límite de sucesión,
ya dado, para que la definición sea totalmente rigurosa.
El límite de f (x) cuando tiende a “p” es L, cuando al darle a la x una sucesión de valores que
tienen como límite “p” las imágenes de estos valores forman una sucesión que tienen
como límite L.
Hemos cambiado “p” por “a” en las definiciones que siguen a continuación.
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺ ∀𝜀 > 0 ∃𝛿𝜀 / ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∗ (𝑎, 𝛿) ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿, 𝜀)
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺ ∀𝜀 > 0 ∃𝛿𝜀 / ∀𝑥 / |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 𝑥 ≠ 𝑎 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
𝑥→𝑎
Δ Limites laterales
Por la derecha:
lim 𝑓(𝑥) =
𝑥⟶𝑎 +
Análisis
lim
𝑥⟶𝑎 + ;𝑥>𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿2 ⟺ ∀𝜀 > 0 ∃𝛿𝜀 / ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑎 + 𝛿) ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿2 , 𝜀)
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ANALISIS
Por la izquierda:
lim 𝑓(𝑥) =
𝑥⟶𝑎 −
lim
𝑥⟶𝑎− ;𝑥<𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 ⟺ ∀𝜀 > 0 ∃𝛿𝜀 / ∀𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿1 , 𝜀)
Si observamos estas definiciones es evidente que si una función tiene límite en un punto existen los
limites laterales y coinciden.
𝐸 ∗ (𝑎, 𝛿) = (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) sin 𝑒𝑙 𝑎
Δ
Asíntotas, limites en el infinito
Decimos que una recta es asíntota de una función cuando es tangente en el infinito a la gráfica
de dicha función.
Existen tres tipos de asíntotas, la horizontal, la vertical y la inclinada. La asíntota horizontal y
oblicua no se pueden dar a la vez en una misma función.
lim 𝑓(𝑥) = ±∞
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) = ± ∞ ⟺ ∀𝑝 ∈ ℝ ∃𝛿𝑝 / ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∗ (𝑎, 𝛿) ⇒ |𝑓(𝑥)| > 𝑝
𝑥→𝑎
En este caso diremos que la recta x = 2 es …
ASINTOTA VERTICAL
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→∞
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺ ∀𝜀 ∈ ℝ ∃> 0 ∃𝑚𝜀 / ∀𝑥 > 𝑚 ⇒ |𝑓(𝑥)| ∈ 𝐸(𝐿, 𝜀)
𝑥→∞
En este caso diremos que
la recta y = 1 es …
ASINTOTA HORIZONTAL
Análisis
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ANALISIS
Principales propiedades de los límites:
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

El límite si existe es único.
Si una función tiene límite finito en un punto existe un entrono reducido de ese punto en el que
la función está acotada. Como consecuencia si una función tiene límite distinto de cero en un
punto existe un entorno reducido de ese punto en el que la función mantiene el signo
Los límites conservan las operaciones.
PRINCIPALES TIPOS DE INDETERMINACIONES
Indeterminación del tipo K / 0
Si al calcular el límite de una función obtenemos una indeterminación del tipo k/0,
tendremos que calcular los límites laterales, si éstos existen y son iguales, la función
tiene límite y éste coincide con el valor de los límites laterales. En caso contrario, no
existe dicho límite.
Indeterminación del tipo  / 
Suponemos esta indeterminación asociada a un cociente de funciones polinómicas ( si no es
así es muy probable que necesitemos la Regla de L’ Hôpital)
Se resuelve esta indeterminación, dividiendo numerador y denominador por la variable
elevada al mayor exponente.
Podemos llegar a la siguientes conclusiones:
Si el grado del N > grado del D el límite será 
Si el grado del N < grado del D el límite 0
Si el grado del N = grado del D el límite será el cociente entre los coeficientes de los términos
de mayor grado.
Análisis
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ANALISIS
Indeterminación del tipo 0 / 0
Cuando esta indeterminación viene asociada a un cociente de funciones polinómicas, se
produce porque el valor al que tiende el límite es raíz del N y del D. Para resolverla
descompondremos el N y D en factores (sólo hace falta sacar la raíz que provoca la
indeterminación ) y se simplifica.
Cuando esta indeterminación se da asociada a raíces, se resuelve multiplicando dividiendo por
la expresión conjugada
Indeterminación del tipo  - 
A veces esta indeterminación viene asociada a una diferencia de funciones polinómicas
y operando llegamos a otra indeterminación del tipo 0 / 0 ó  /  que resolveremos
como ya se ha visto.
Si esta indeterminación viene asociada a raíces, la resolveremos multiplicando y dividiendo por
la expresión conjugada.
Análisis
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ANALISIS
Indeterminación del tipo 0.
Si al calcular el límite de una función aparece la indeterminación del tipo 0. ó .0,
para resolverla tendremos que transfórmala en otra de los tipos 0/0 ó / y resolver
estas nuevas indeterminaciones tal y como se explicó anteriormente.
Indeterminación del tipo 1
Son las indeterminaciones asociadas al número e ( base de los logaritmos neperianos )
Podemos resolverla operando y aplicando las propiedades de los límites
fundamentalmente la propiedad que dice que los límites conservan las operaciones.
También se puede resolver aplicando una expresión que previamente debemos
demostrar
Análisis
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ANALISIS
Indeterminación del tipo 00 0
Estas indeterminaciones se resuelven tomando primero Ln.
Mas adelante veremos la Regla de L’ Hôpital que nos ayudará mucho en los cálculos de
los límites de muchas funciones y será imprescindible para el cálculo de los límites de
otras muchas funciones.
Análisis
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