(Limites (Teoria Indeterminaciones))

INDETERMINACIONES
Tipos de indeterminaciones.Al estudiar los limites en R (R ampliada) había casos en los que no era posible saber cual era el
limite de la suma, producto, cociente, etc.
Estos casos son:
*  - ,
*0*
*0/0
*/
* 1 , 00, 0
(Las dos ultimas se estudiaran en cursos superiores mediante la regla de L`Hopital).
Estas formas se llaman indeterminaciones.
a n x n  a n1 x n1  ....  a0  0 
Pn ( x)
* Forma 0/0: Si lim f(x) lim
 lim
   el teorema del resto
m 1
x a
x  a Q ( x)
x a b x m  b
 ....  b0  0 
m
m
m 1 x
nos asegura que por anularse para x=a, ambos polinomios son divisibles por (x-a). Simplificando
desaparece la indeterminación.
Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a  la resolución es trivial.
* Forma  / :
(Nota . Es ya sabido que el limite de las funciones de la forma (k/xn) es 0).
La indeterminación de la forma  /  procede del cociente de dos polinomios cuando x tiende a .
"La indeterminación se elimina dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x que
aparezca en el numerador o en el denominador."
REGLA PRACTICA
 si n  m

a n x  a n 1 x  ....  a 0  a n
Pn ( x)
lim f(x) lim
 lim

si n  m
m 1
x 
x  Q ( x)
x  b x m  b
 ....  b0  b m
m
m
m 1 x
0
si n  m
Nota: La misma regla sirve para exponente fraccionario, es decir, para el caso de tener raíces.
n
n 1
Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a un numero real “a” la resolución es trivial.
LIMITE DE FUNCIONES IRRACIONALES
* Forma 0/0: Suele desaparecer la indeterminación, multiplicando numerador y denominador por el
conjugado del que tenga la raíz.
* Forma  / : Para resolver la indeterminación basta observar los grados “reales” de las expresiones
polinomicas y no polinomicas del numerador y el denominador. Una vez observado aplicar el mismo
resultado de la forma  / .
* Forma  - 
La forma indeterminada  -  procede del limite de una suma de funciones en las que una de
ellas tiene por limite + y otra - . El caso es trivial a menos que una de ellas sea irracional.
"La indeterminación se elimina multiplicando y dividiendo el binomio por el binomio conjugado de
la diferencia dada."
* Forma 0  
Estos limites se transforman en 0/0 ó  /  mediante operaciones sencillas, al menos en los casos
que estudiaremos en el presente curso.
* El numero "e". Forma 1
Como ya se vio en el álgebra de limites el limite lim f(x)
g ( x)
x a
 L1 2 . Sin embargo hay ocasiones en
L
que esta potencia no tiene ningún sentido: 1 , 00, 0. Se trata, pues, de casos de indeterminación, que
se resuelven con ayuda del llamado “numero e”.
El numero irracional "e" aparece en matemáticas cuando se calcula el limite cuando x tiende a  de la
x
 1
función f ( x)  1  
x

Utilidad
- Permite resolver la indeterminación del tipo 1.
- Como base de un sistema de logaritmos (ya estudiado).
x
 1
Calculo aproximado e = lim 1   = 2,71828182845……..
x 
x

x
 1
1  
x

1
2
2
2,25
3
4
1000
10.000
2.716924
2.718146
100.000
1.000.000
x
2.3703370 2.441406
2.718255 2.7182805
Otras expresiones del numero "e"
1.- lim (1+1/x)x+p = e
2.- lim (1+1/x)xp = ep
3.- lim (1+p/x)x = ep
p=cte
p=cte
p=cte
Limites del tipo "e"
Teorema 1: Sea f una función tal que lim f(x) =  con aR o a=, entonces se tiene que
x a
f ( x)

1 
 = e.
lim 1 
x a
f ( x) 

Teorema 2: Sean f y g dos funciones tales que lim f(x) =1 y lim g(x) =  (a cualquiera) entonces
x a
x a
lim f(x)
g ( x)
x a
e
l im ( f ( x ) 1) g ( x )
x a