Apunte teórico de mediciones e indeterminaciones

Colegio Marín ESB
9º año A/B/C/D
Mediciones e Indeterminaciones
Introducción
Todas las medidas vienen condicionadas por posibles errores o indeterminaciones
experimentales (accidentales y sistemáticas) y por la sensibilidad del aparato. Es imposible
conocer el "valor verdadero" (x) de una magnitud. La teoría de errores acota los límites entre los
que debe estar dicho valor, x.
La indeterminación o error en la medida es inherente a todo proceso de medición y y
no significa de ninguna manera "equivocación".
Conceptos previos
Magnitud es todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un
número y que puede ser estudiado en las ciencias experimentales (que observan, miden,
representan....).
Ejemplos de magnitudes: velocidad, fuerza, temperatura, energía física (no la energía
espiritual ¿?), etc.
Para obtener el número que representa a la magnitud debemos medirla. Al medir
surgen errores.
Para medir debemos diseñar el instrumento de medida y escoger una cantidad de esa
magnitud que tomamos como unidad.
Para medir la masa, por ejemplo, tomamos (arbitrariamente) como unidad una
cantidad materia a la que llamamos kg.
La Medida es el resultado de medir, es decir, de comparar la cantidad de magnitud
que queremos medir con la unidad de esa magnitud. Este resultado se expresará mediante un
número seguido de la unidad que hemos utilizado: 4m, 200 Km , 5 Kg ...
Las unidades deben ser:
Reproducibles por cualquiera y no manipulables por el poder (que nadie varíe de manera
localista lo que corresponde a un mismo nombre: kilogramo de Roma y kilogramo de Buenos
Aires).
La idea de como deben ser las unidades, surge como una consecuencia de la Revolución
Francesa.
Universales y contrastables: utilizadas por todos los países y accesibles para el que quiera calibrar
con ellas otros patrones de medida.
Inalterables por las condiciones atmosféricas, el uso, etc.
Para que se puedan basar unas en o otras y tener múltiplos y submúltiplos en un sistema
coherente surge el S.I.
El Sistema Internacional de unidades (S.I. ) establece siete unidades básicas con sus
múltiplos y submúltiplos (Sistema Internacional ampliado) correspondientes a siete magnitudes
fundamentales.
Además, en la XI conferencia Internacional de Pesos y Medidas celebrada en París en
1960 , por sugerencia de Alemania, se establece un tercer grupo de unidades complementarias
(radián y estereorradián).
A las unidades fundamentales le corresponden las Magnitudes fundamentales
siguientes:
Longitud, Masa, Tiempo, Intensidad de corriente eléctrica, Temperatura absoluta,
Intensidad luminosa y Cantidad de materia
Para cada magnitud se define una unidad fundamental.
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Longitud: metro; Masa: kg ; etc,
Las demás magnitudes que se relacionan con las fundamentales mediante fórmulas
matemáticas reciben el nombre de Magnitudes derivadas.
Cada uno de los países desarrollados ha establecido, por ley, un sistema de unidades
coherente, basado en el S.I. , de uso obligatorio en la industria y en el comercio. En nuestro país se
denomina SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino)
Tabla 1. Unidades de base SI
Magnitud de base
longitud
masa
tiempo
corriente eléctrica
temperatura termodinámica
cantidad de materia
intensidad luminosa
Unidad de base SI
Nombre
metro
kilogramo
segundo
ampere
kelvin
mol
candela
Símbolo
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tabla 2. Ejemplos de algunas unidades SI derivadas expresadas en términos de las unidades de
base
Unidad derivada SI
Magnitud derivada
Nombre
Símbolo
superficie
metro cuadrado
m2
volumen
metro cúbico
m3
velocidad
metro por segundo
m/s
aceleración
metro por segundo cuadrado
m/s2
Tabla 3. Ejemplos de algunas unidades del SI derivadas con nombres y símbolos especiales
unidad derivada SI
magnitud derivada
fuerza
presión, tensión
energía, trabajo, cantidad de calor
potencia, flujo energético
carga eléctrica, cantidad de
electricidad
fuerza electromotriz
temperatura Celsius
newton
pascal
joule
watt
coulomb
expresada en Expresada en
término
de término
de
símbolo
otra unidad SI unidades SI de
base
N
m.kg.s-2
2
Pa
N/m
m-1.kg.s-2
J
N.m
m2.kg.s-2
W
J/s
m2.kg.s-3
C
s.A
volt
grado Celsius(d)
V
ºC
nombre
W/A
m2.kg.s-3.A-1
K
Tabla 4. Unidades no pertenecientes al SI, aceptadas para el uso con el Sistema Internacional
nombre
símbolo
valor en unidades SI
minuto
min
1 min = 60s
hora
h
1h = 60 min = 3 600 s
día
d
1d = 24 h = 86 400 s
grado
º
1º = (p/180) rad
minuto
´
1´= (1/60)º = (p/10 800) rad
segundo
“
1” = (1/60)´= (p/648 000) rad
litro
l,L
1l = 1dm3 = 10-3 m3
tonelada
t
1t = 103 kg
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Los instrumentos de medida
Los instrumentos de medida son los aparatos que se utilizan para medir. Deben tener
las siguientes características:
Sensibilidad
Es tanto más sensible cuanto más pequeña sea la cantidad que puede medir. Una
balanza que aprecia mg es más sensible que otra que aprecia gramos.
El umbral de sensibilidad es la menor división de la escala del aparato de medida
La sensibilidad con que se fabrican los aparatos de medida depende de los fines a los
que se destina. No tendría sentido fabricar una balanza que aprecie mg para usarla como
balanza de un panadero.
Fidelidad
Un aparato es fiel si reproduce siempre el mismo valor, o valores muy próximos, cuando
medimos la misma cantidad de una magnitud en las mismas condiciones.
Precisión
Un aparato es preciso si las indeterminaciones absolutas (desviación de lo que mide
del "valor verdadero") que se producen al usarlo son mínimos. El valor que da en cada medida se
desvía poco del "valor verdadero".
Un aparato es preciso si es muy sensible y además es fiel.
La precisión de un instrumento la indica el fabricante para cada rango de medida.
Si medimos el tiempo que tarda en completarse una oscilación de un péndulo con un
reloj que mide centésimas de segundo, obtenemos distintos valores cada vez. Aquí la sensibilidad
del aparato aumenta y su fidelidad disminuye los errores accidentales que afectan a cada
medida.
Un aparato muy fiel es, casi siempre, poco sensible
El "valor real" de la magnitud nunca se puede conocer con total precisión o
certidumbre. Si realizamos la medida con técnicas e instrumentos cada vez más precisos, los
resultados tienden gradual y asintóticamente a un valor que denominaremos "valor verdadero".
Proceso de medida.
El proceso de medida casi siempre perturba lo que vamos a medir y en consecuencia
obtenemos un valor real alterado.
Por ejemplo: al colocar un termómetro más frío que la muestra, ésta se enfría por
efecto del termómetro y lo que leemos es el resultado de la interrelación muestra/ termómetro, y
no sólo de la temperatura de la muestra que queríamos medir.
Al intercalar un instrumento de medida en un circuito eléctrico introducimos un
componente que no tenía y el resultado de la medida reflejará la alteración.
Como deben realizarse las medidas
• Comprobar la calibración del aparato.
• Cumplir las normas de utilización del fabricante del aparato en cuanto a conservación y
condiciones de uso.
• Conocer y valorar la sensibilidad del aparato para dar los resultados con la correspondiente
imprecisión.
• Anotar cuidadosamente los valores obtenidos.
• Hallar el valor representativo, su indeterminación absoluta y su indeterminación relativa.
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Mediciones directas e indirectas
Una medición directa es aquella que se realiza utilizando un instrumento para medir una
magnitud, por ejemplo, medir una longitud con una cinta métrica o el tiempo que tarda un objeto
en caer y por lo tanto se lee directamente del instrumento el valor representativo de la medición.
En las mediciones indirectas se calcula el valor representativo de la magnitud que se
desea medir, mediante una fórmula (expresión matemática), previa medición de las magnitudes
que intervienen en la fórmula por medidas directas. Un ejemplo sería obtener el volumen de una
habitación a partir de la medición del largo, el ancho y la altura de la misma.
Resultado de una medición directa
Queda claro que es imposible medir exactamente, dado que estamos limitados por el instrumento
de medición utilizado, por nuestra capacidad de observación, etc. Si embargo debemos siempre
intentar medir con la mayor precisión posible, teniendo en cuenta que nuestras mediciones
siempre acarrean un cierta "indeterminación".
Por esta razón, cuando saquemos conclusiones de nuestras mediciones, es importante tener
en cuenta estas indeterminaciones.
Por lo tanto LA EXPRESIÓN DE UNA MEDIDA SIEMPRE DEBE ESTAR ACOMPAÑADA DE SU
INDETERMINACIÓN.
Como criterio, para una medición directa, se toma como indeterminación la menor
división del instrumento de medida. Supongamos que medimos la longitud de un lápiz con una
regla milimetrada. El resultado de la medición se expresa de la siguiente forma:
X= 12,8cm ± 0,1cm
Esto significa que el valor verdadero de la longitud del lápiz se encuentra entre la
“Cota mínima” Xmin=12,7cm y la “Cota máxima” Xmax=12,9cm.
Al primer término de esta expresión se lo denomina valor representativo de la medición
y se lo indica así:
X0=12,8cm
Al segundo término se lo denomina indeterminación absoluta o error absoluto y se lo
indica:
δX=0.1cm
Por lo tanto, el resultado de la una medición de longitud se expresa:
X=X0 ± δX
Lo mismo se hace cuando se mide cualquier otra magnitud: tiempo, temperatura,
presión, etc.
Al cociente entre la indeterminación absoluta y el valor representativo se lo llama
indeterminación relativa “ ε ”:
εL =
δX
0,1 cm
=
= 0,008
X 0 12,8cm
Si se multiplica la indeterminación relativa por cien se obtiene la indeterminación
porcentual:
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ε% X = εX × 100 = 0, 008 × 100 = 0, 8%
Conocer esta indeterminación es muy importante ya que significa que de cada cien
unidades medidas me estoy equivocando a lo sumo en 0,8.
Cálculo de una medición indirecta
Como dijimos, una medición indirecta se obtiene de un cálculo realizado a partir de
mediciones directas. Este cálculo siempre implica operaciones matemáticas.
El resultado de estas mediciones también debe ser expresado por un valor
representativo y su indeterminación absoluta.
Para obtener el valor representativo, simplemente se realiza la operación matemática
necesaria entre los valores representativos de la mediciones directas, por ejemplo:
Se desea medir la superficie de una chapa rectangular y para ello se miden su largo y
su ancho obteniéndose los siguientes resultados:
L = 25,4 cm ± 0,1 cm
a = 16,8 cm ± 0,1 cm
Como la superficie del rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho, el
valor representativo de la superficie será:
S0 = L 0 . a 0 = 25,4 cm . 16,8 cm = 426,72 cm 2
Para obtener la indeterminación porcentual de una medición indirecta aplicaremos el siguiente
criterio: se suman las indeterminaciones porcentuales cada una de las mediciones directas
involucradas en el cálculo.
Para nuestro ejemplo, calculamos primero la indeterminación porcentual de cada medición:
ε %L =
ε %a =
δL
L0
δa
a0
×100 =
0,1 cm
× 100 = 0,3937 ≈ 0, 4%
25, 4 cm
×100 =
0,1 cm
× 100 = 0,5952 ≈ 0, 6%
16,8 cm
Obsérvese que se redondearon los porcentajes en la primera cifra que no sea cero. Éste será
nuestro criterio siempre.
Ahora sumaremos estas indeterminaciones y obtendremos la indeterminación porcentual de la
superficie.
ε % S = ε % L + ε % a = 0, 4% + 0, 6% = 1, 0%
Esto significa que cada cien unidades de superficie tengo una indeterminación de una unidad.
Una vez hallada la indeterminación porcentual, por simple regla de tras simple hallamos la
indeterminación absoluta de la superficie:
Por lo tanto:
100
⎯ 1
2
426,72 cm ⎯ δS
δS =
1% × 426, 72cm 2
= 4, 2672cm 2 ≈ 5cm 2
100%
Nuevamente aproximamos la indeterminación absoluta hacia el número superior en la primera
cifra que no sea cero.
El resultado de la medición es entonces:
S = 427cm 2 ± 5cm 2
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