Apuntes Matemáticas Financieras

Matemáticas
Financieras
L.C. y Mtro. Francisco Javier
Cruz Ariza
Universidad Nacional
Autónoma de México
Facultad de Contaduría y
Administración
TEMA 4: MATEMÁTICAS FINANCIERAS
OBJETIVO GENERAL:
Al término de la presente unidad, el alumno comprenderá la importancia del valor del
dinero a través del tiempo y su repercusión en las distintas operaciones crediticias y de
inversión. Asimismo, aplicará conceptos tales como, Valor Presente, Valor Futuro, Interés
Compuesto Anualidades y Amortización a procesos de capitalización y valuación de
inversiones.
OBJETIVOS PARTICULARES:
Explicará los factores que determinan el valor del dinero a través del tiempo y su
correspondiente análisis.
Elaborará análisis cuantitativos relativos a operaciones crediticias y de ahorro bajo
el esquema del interés compuesto.
Desarrollará modelos de valuación de inversiones basados en ecuaciones de valor
equivalentes.
Diseñará Tablas de Amortización de deudas a corto, mediano y largo plazo a partir
de situaciones realistas bajo las condiciones crediticias vigentes.
Elaborará Tablas de Fondo de Amortización comparativas que le servirán para
comparar distintos instrumentos de ahorro e inversión a determinado plazo y de
acuerdo a las tasas de interés vigentes.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:
Consulta de libros de texto, manuales y portales especializados en internet.
Participación activa en foros de discusión dentro del portal del profesor.
Resolución de prácticas y casos de estudio sobre tópicos de matemáticas
financieras mediante el uso de Excel.
Elaboración de tablas de amortización crediticias y valuación de inversiones.
RECURSOS DIDÁCTICOS:
Pizarrón
Lap top
Presentaciones electrónicas
Documentos electrónicos
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Página 1
Hoja de cálculo (Excel)
Internet
Libros y revistas
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
1. Diaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez, Victor Manuel, Matemáticas Financieras, 3°
ed., México, Mc Graw Hill Interamericana, 2000. 467 pp.
2. Zbigniew, kozikowski, Matematicas Financieras: El Valor Del Dinero en el Tiempo,
México, Mc Graw Hill Interamericana, 2007, 800 pp.
3. Vidaurri Aguirre, Héctor, Matemáticas Financieras, 4° ed., México, Cengage
Learning Editores, 2008, 560 pp.
4. Diaz Mata, Alfredo, Matemáticas Financieras, México, Mc Graw Hill
Interamericana, 2007, 440 pp.
5. Villalobos, José Luis, Matemáticas Financieras, 3° ed., México, Pearson
Educación, 2007, 608 pp.
6. Flores Uribe, Juan Antonio, Matemáticas Financieras Empresariales, Colombia,
ECOE Ediciones, 2008, 240 pp.
7. Toledano y Castillo, Mario A., Matemáticas Financieras, México, CECSA, 1981,
272 pp.
8. Aching Guzmán, César, Guía rápida de aplicaciones financieras en Excel,
accesible en texto completo en http://www.eumed.net/cursecon/libreria/
9. Aching Guzmán, César, Matemáticas Financieras para toma de decisiones ,
accesible en texto completo en http://www.eumed.net/cursecon/libreria/
10. Cruz Ariza, Francisco Javier, El valor del dinero a través del tiempo, accesible en
texto completo en http://www.franciscojaviercruzariza.com
11. Cruz Ariza, Francisco Javier, Valor Presente Neto y Tasa Interna de Retorno,
accesible en texto completo en http://www.franciscojaviercruzariza.com
12. Cruz Ariza, Francisco Javier, ¿Qué es un Fondo de Inversión y cómo se determina
su
renimiento?,
accesible
en
texto
completo
en
http://www.franciscojaviercruzariza.com
REFERENCIAS ELECTRÓNICAS:
http://www.franciscojaviercruzariza.com (casos de estudio y plantillas electrónicas).
http://www.matematicas-financieras.com (material de apoyo en línea).
http://condusef.gob.mx/Sitio_Ed_Fin/index.html (microportal de educación financiera).
http://condusef.gob.mx/index.php/material-educativo
(material
educativo
en
microfinanzas).
http://portalif.condusef.gob.mx/condusef/home.html (simuladores de ahorro e inversión).
http://e-portalif.condusef.gob.mx/tarjetas/ (simulador de créditos y tarjetas de crédito).
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http://www.nafin.com/portalnf/content/herramientas-de-negocio/calculadora-derendimientos/calculadora-de-rendimientos.do (calculadora de rendimientos para ahorro e
inversión).
http://www.nafin.com/portalnf/content/herramientas-de-negocio/calculadora-derendimientos/calculadora-de-rendimientos.do (Simulador de créditos que determina el
costo del dinero y arma tablas de amortización).
INTRODUCCIÓN
El campo de actuación de las Matemáticas Financieras tiene que ver con el análisis del
valor del dinero a través del tiempo; con los fenómenos relacionados con la depreciación
del poder adquisitivo del mismo debido a variables macroeconómicas tales como la
inflación o el deslizamiento de las tasas de interés.
Sin lugar a dudas, todos conocemos el dinero, y sabemos que por sí mismo, no significa
nada, pero que está representado por monedas y billetes que nos sirven para
intercambiar por productos y servicios, lo cual, representa una excelente alternativa para
poder lograr muchas de nuestras metas y proyectos, y mejor aún, cubrir las necesidades
básicas (y las no tan básicas también).
Para poder preservarlo, primero tenemos que aprender qué sucede con el dinero a
través del tiempo, y explicar algunos conceptos importantes.
En primera instancia, vamos a comentar que podemos diferenciar a un billete (o moneda)
de otro por su valor nominal; es decir, el valor que aparece impreso o grabado dentro del
mismo billete y que nos indica con qué cantidad de dinero disponemos para efectuar
nuestros diversos gastos. En México, a partir de los años 90’s el Banco de México ha
adoptado la política de emitir los billetes en diversos tamaños, colores y materiales de
acuerdo a su propio valor nominal, para con ello, facilitar su rápida identificación y su
curso legal, logrando disminuir significativamente los errores; ¿quién no se ha equivocado
al dar un billete de $500 por uno de $100 alguna vez?
Ahora consideremos que tenemos un billete nuevo de $500. Está tan bonito que lo
guardamos en un cofre durante 5 años olvidándonos de él. Cuando abramos el cofre y
saquemos nuestro billete, nos daremos cuenta de que éste se habrá conservado intacto,
que seguirá luciendo su valor nominal y que orgulloso portará la leyenda “páguese $500 al
portador”. Sin embargo, sabemos que esos $500 que guardamos hace tiempo rendían
más; podíamos comprar más cosas de las que se adquirirían pasados 5 años; es decir, el
dinero ha perdido parte de su poder adquisitivo.
El fenómeno anteriormente descrito, se debe a que todos los bienes de consumo y
servicios que necesitas en tu vida cotidiana, sufren de un incremento paulatino y
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generalizado en sus precios por diversas razones, entre las cuales podemos señalar al
menos las siguientes:
•
Incremento en los insumos que utilizan los fabricantes para la elaboración de los
diversos artículos.
•
Devaluaciones abruptas de la moneda con respecto a otras divisas, como el dólar.
•
El afán excesivo y desmedido de los comerciantes por el lucro, que puede ser una
verdadera ambición por generar más ingresos al re etiquetar indiscriminadamente las
mercancías en forma arbitraria.
•
Incremento en el precio de los combustibles, lo cual origina que todas las
mercancías, paulatinamente, vayan incrementando su valor.
A este fenómeno de alza de precios, le llamamos inflación1.
La medición se hace sobre una serie de bienes y servicios que conforman la llamada
canasta básica que se constituye por los productos que en promedio consumen las
familias mexicanas a lo largo y ancho del territorio nacional. El resultado de esa medición
(incrementos o disminuciones en precios) se ve reflejado en el Índice Nacional de Precios
al Consumidor (INPC) que es publicado quincenalmente por el propio Banco de México.
A lo largo de la historia, nuestro país ha atravesado por distintos escenarios
macroeconómicos; algunos de ellos nada favorables, en donde la inflación ha alcanzado
cifras de más del 50% (1995) o incluso cercana al 150% (1987). Durante estos periodos
críticos de hiperinflación, el dinero perdió significativamente su poder adquisitivo, ya que
los precios se incrementaban constantemente, lo cual conllevó a que los gobiernos de
aquél entonces decidieran adoptar medidas que seguramente no fueron las más
apropiadas como el control y congelamiento de precios o los incrementos salariales.
Dichas medidas derivaron en una espiral inflacionaria, fenómeno que se origina a partir de
la “competencia” entre precios de bienes de consumo y sueldos (ambos a la alza), que a
su vez recrudecieron las crisis económicas durante 1987 y 1995 respectivamente.
Para evitar que se repita este fenómeno, el Sistema Financiero Mexicano2 puso, a partir
de entonces, a nuestra disposición distintos instrumentos de ahorro y de inversión que
nos ayuden a lograr dos objetivos fundamentales:
1.
Que el dinero no pierda paulatinamente su poder adquisitivo debido a la inflación.
1
Para mayor información, consultar el Portal Especializado en Inflación, dentro de:
http://www.banxico.org.mx
2
Para conocer las distintas alternativas que ofrece el Sistema Financiero Mexicano y su funcionamiento, se
recomienda visitar: http://www.banxico.org.mx/sistemafinanciero/index.html
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2.
Obtener una ganancia o premio económico por ahorrar, por no haber dispuesto de
nuestro dinero y gastarlo.
Sin embargo, debemos tener mucho cuidado al elegir entre las diversas
alternativas que se anuncien en el mercado, para escoger las que nos ofrezcan un
rendimiento que se encuentre por arriba de la inflación, ya que siempre que vayamos a
invertir nuestro dinero en algún instrumento de ahorro, debemos contemplar que la tasa
de interés:
a)
Sea mayor a la inflación.
Si la inflación es, del 5% y el banco nos ofrece una tasa del 3.5%, ¡definitivamente
estamos perdiendo tiempo y dinero! Nuestro dinero, en vez de generar una
ganancia, se está consumiendo.
Si el banco nos llegar a ofrecer una tasa de interés del 5%, es decir que fuera igual
a la inflación, aparentemente estaríamos conservando nuestro dinero, sin
embargo, hay que considerar que los bancos cobran comisiones que en ocasiones
pueden llegar a ser elevadas, lo cual implicaría nuevamente que estaríamos
perdiendo poder adquisitivo.
Finalmente, si logramos conseguir una tasa superior a la inflación, estaríamos
logrando nuestro objetivo. Aquí cabe señalar que, para que esto sea posible, la
mayoría de los bancos piden montos considerables de dinero o nos castigan la
disponibilidad del mismo a plazos preestablecidos.
b)
Implique una sobre tasa o premio financiero atractivo.
Si logramos que nuestro dinero preserve su valor y no sea erosionado por la inflación,
habremos logrado algo importante, pero también tenemos que tener en cuenta que
merecemos un premio económico que sea satisfactorio y que compense el hecho de que
no estamos gastando ese dinero en alguna otra cosa. En consecuencia, debemos estar
perfectamente bien informados respecto a qué alternativa es la más conveniente para
nosotros, ya que también hay que considerar que los bancos ofrecen un premio
económico o interés.
Derivado de estas necesidades, surgen las Matemáticas Financieras, como
respuesta inmediata a la necesidad de evaluar las distintas alternativas, a efecto de
escoger entre las diversas opciones de crédito y/o inversión, acordes a las necesidades
particulares de las entidades económicas.
Las Matemáticas Financieras son una derivación de la matemática aplicada que estudia el
valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un
rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones
de inversión.
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4.1 INTERÉS COMPUESTO
El interés es el premio económico que recibe una persona, dueña de un capital, por el
alquiler del dinero durante un cierto periodo de tiempo, como el dueño de una propiedad,
la alquila, sabe que mes con mes, tiene asegurada una renta mensual que le dará su
inquilino, pero también sabe que esa propiedad puede estar en riesgo por no recibir
puntualmente las rentas, al igual, si se alquila el dinero a alguna institución financiera, se
corre cierto riesgo, el cual disminuye y prácticamente se nulifica si se elige una institución
financiera debidamente avalada y supervisada por la Comisión Nacional Bancaria y de
Valores.
Al cabo de un año $100 invertido al 9% anual, es $109. Entonces decimos: el valor futuro
de $100 dentro de un año, al 9% anual, es $109. En otras palabras: el valor presente o
actual de $109 dentro de un año, al 9% anual, es $100.
Así:
a. Siempre se establece como un porcentaje a calcular sobre un determinado capital.
b. Todos los instrumentos financieros que generan una ganancia a través de una tasa de
interés, tienen previamente establecidos los vencimientos, que son las fechas en las que
se abonarán los intereses correspondientes.
VF = VP + premio económico (tasa de interés o rendimiento)
Donde:
VF = Suma futura poseída al final de n períodos, Valor Futuro.
VP = Suma de dinero colocado en el período 0, Valor Presente o Actual.
El valor presente (VP) es equivalente a mayor cantidad en fecha futura (VF), siempre y
cuando la tasa de interés sea mayor a cero.
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Diagrama de equivalencia de capitales:
Al cabo de un año $100 invertido al 9% anual, es $109. Entonces decimos: el valor futuro
de $100 dentro de un año, al 9% anual, es $109. o bien: el valor presente o actual de
$109 dentro de un año, al 9% anual, es $100.
Es decir; $100 es equivalente a $109 dentro de un año a partir de hoy si consideramos la
tasa de interés es el 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, $100 hoy no es
equivalente a $109 dentro de un año.
La principal característica del interés compuesto, es que los intereses siempre se
capitalizan; es decir, se pagan intereses sobre intereses.
“…En el interés compuesto, el capital aumenta por la adjudicación de los intereses
vencidos al final de cada uno de los periodos de tiempo a que se refiere la tasa de interés.
Esto se debe a que, en el interés compuesto, los intereses tienden a generar más
intereses, ya que éstos se capitalizan. Se comprende que cuando empieza a correr el
segundo periodo de tiempo, el capital será mayor de lo que era al principio del primer
periodo y en consecuencia, el interés se incrementará.”3
3
Oaxaca, Juan Alfonso y Sánchez Julio, Matemáticas Aplicadas a los Negocios, 3ª. ed., México, FES-C UNAM,
2006, Pag. 109.
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A manera de ilustración de este tema, y como ejemplo de la estrategia que hemos
sugerido, de comenzar destinando inicialmente el 10% de los ingresos al ahorro, y
aumentarlo paulatinamente, mostramos el siguiente ejemplo. El objetivo es que
reflexionemos acerca de las bondades del interés compuesto durante un horizonte de 15
años:
Nombre: Juan Pérez
Edad: 30 años
Ingreso mensual: $25,000.
Consideraciones:
El ingreso anual de Juan asciende a $180,000
Destinando inicialmente el 10% de su ingreso al ahorro, el podría canalizar
$18,000 durante los 5 primeros años; el 15% ($27,000) del 6° al 10° año, hasta
llegar al 20% en lo últimos 5 años ($36,000).

Al cabo de 10 años, el monto del ahorro –sin considerar intereses- sería de $96,000
 Ahora supongamos que durante los siguientes 5 años, el ingreso mensual de esta
misma persona, subió a $12,000:

Al año habría obtenido un ingreso de $144,000 ($12,000 x12 meses)

El monto destinado al ahorro en un año sería de $14,400 (el 10%)
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 Al finalizar este último periodo de 5 años, el monto del ahorro –sin considerar
intereses- sería de $72,000
 Por consiguiente, podríamos concluir que la persona habría logrado reunir en total
$168,000 ($96,000 + $72,000) sin considerar ningún tipo de rendimiento
En la siguiente tabla, se muestra el rendimiento que esa misma inversión hubiese
generado al cabo de 15 años considerando distintas tasas de interés (3, 4 y 5%):
Aportación
(10%
ingreso)
1
9,600
2
9,600
3
9,600
4
9,600
5
9,600
6
9,600
7
9,600
8
9,600
9
9,600
10
9,600
11
14,400
12
14,400
13
14,400
14
14,400
15
14,400
Total
168,000
Año
3%
4%
5%
9,888
20,073
30,563
41,368
52,497
63,960
75,766
87,927
100,453
113,355
131,587
150,367
169,710
189,633
210,154
210,154
9,984
20,367
31,166
42,397
54,077
66,224
78,857
91,995
105,659
119,869
139,640
160,201
181,585
203,825
226,954
226,954
10,080
20,664
31,777
43,446
55,698
68,563
82,071
96,255
111,148
126,785
148,244
170,777
194,435
219,277
245,361
245,361
Fórmula para obtener el Valor Futuro de una inversión mediante el uso de interés compuesto
(Tasa efectiva)
VF  VP(1  i) n
En donde:
VF = Valor Futuro, Monto o Saldo Final.
VP = Valor Presente, Capital o Inversión.
i = Tasa efectiva de interés compuesto.
n = Tiempo.
La tasa de interés efectiva es aquella que se paga sobre el capital durante un periodo de
tiempo específico y en una sola exhibición (con un periodo de capitalización).
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Ejemplo:
Calcular el monto que se obtendrá de invertir $15,000 durante 3 años a una tasa
efectiva anual del 3% de interés compuesto.
Sustituimos valores en la fórmula original:
VP = $15,000
i = 3% efectiva anual  0.03
n = 3 años
VF  VP(1  i) n
VF  15,000(1  0.03)3
Sumamos las cantidades del paréntesis:
VF  15,000(1.03)3
Finalmente, y de acuerdo a la fórmula, multiplicamos este resultado por el Valor
Presente:
VF  15,000(1.092727)
VF  16,390.90
Como podemos apreciar, si invertimos $15,000 durante 3 años a una tasa efectiva
de interés compuesto del 3% anual, obtendremos un saldo de $16,390.90. Por
consiguiente, se habrán generado $1,390.90 de intereses.
Fórmula para obtener el Valor Futuro de una inversión mediante el uso de interés
compuesto (Tasa nominal)
j

VF  VP1  
 m
n
En donde:
j = Tasa nominal (puede aparecer como “convertible” o “capitalizable”)
m = Número de periodos de conversión por año.
Ejemplo:
Calcular el interés compuesto que generará un capital de $22,000 durante 4 meses al
24% convertible mensualmente.
Sustituimos valores en la fórmula original:
VP = $22,000
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j = 24% convertible (capitalizable) mensualmente  0.24
m = 12 esto es debido a que existen 12 periodos de conversión o de capitalización
al año, que corresponde al número de meses por año. Esto significa que el banco no
me va a pagar el 24% cada mes; sino que éste se irá acumulando a lo largo de 12
periodos, o sea que cada mes me va a pagar el 2% (24%/12 meses = 2% mensual).
n = 4 meses
j

VF  VP1  
 m
n
 .24 
VF  22,0001 

 12 
4
Efectuamos la división del paréntesis:
0.24
 0.02
12
VF  22,000(1  .02)4
Sumamos las cantidades del paréntesis:
VF  22,000(1.02) 4
Finalmente, y de acuerdo a la fórmula, multiplicamos este resultado por el Valor
Presente:
VF  22,000(1.0824321)
VF  23,813.51
Como podemos apreciar, si invertimos $22,000 durante 4 meses a una tasa
nominal de interés compuesto del 24% capitalizable mensualmente, obtendremos
un saldo de $23,813.51. Por consiguiente, se habrán generado $1,813.51 de
intereses.
Fórmula para obtener el Valor Presente de una inversión mediante el uso de interés
compuesto (Tasa nominal)
VP 
VF
j

1  
 m
n
Ejemplo:
Determinar qué cantidad es necesario abonar a una cuenta que paga el 16% capitalizable
trimestralmente durante un trimestre para obtener $30,000.
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Sustituimos valores en la fórmula original:
VF = $30,000
j = 16% convertible (capitalizable) trimestralmente  0.16
m = 4 esto es debido a que existen 4 periodos de conversión o de capitalización al
año, que corresponde al número de trimestres que tiene un año. Esto significa que el
banco no me va a pagar el 16% cada mes; sino que éste se irá acumulando a lo largo
de 4 periodos, o sea que cada trimestre me va a pagar el 4% (16%/4 trimestres = 4%
Trimestralmente).
n = 1 trimestre
NOTA* Se tiene que tener especial cuidado en que siempre, la tasa de interés tiene
que estar expresada siempre en la misma unidad que el tiempo. En este caso
concretamente, la tasa la tengo en trimestres, por lo que el tiempo también deberá
estar expresado en trimestres.
VP 
VF
j

1  
 m
VP 
n
30,000
1
 0.16 
1 

4 

Efectuamos la división del paréntesis:
0.16
 0.04
4
Tasa efectiva por trimestre
VF 
30,000
(1  .04)1
Sumamos las cantidades del paréntesis:
VF 
30,000
(1.04)1
Finalmente, dividimos el monto ($30,000) entre 1.04 para obtener el resultado que
necesitamos:
VP  28,846.15
Como podemos apreciar, necesitamos depositar $28,846.15 en la cuenta para que
dentro de un trimestre podamos retirar $30,000 considerando una tasa nominal del
$16% capitalizable trimestralmente.
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Fórmula para obtener la Tasa de Interés de una Inversión
 VF

J   n
 1  * m
 VP

Ejemplo:
Un capital de $18,000 ha estado invertido durante 3 años, luego de los cuales se
obtuvo un monto de $26,000. Determinar la tasa de interés generada.
VF = $26,000
VP = $18,000
m=1
 26,000 
J   n
 1  *1
18
,
000


J = 0.130404  13.04%
Fórmula para calcular el Tiempo o Plazo de una Inversión a Interés Compuesto
VF
VP
n
j
log(1  )
m
log
Ejemplo:
¿Cuánto tiempo se requiere para que una inversión de $25,600, invertida al 2.5%
capitalizable trimestralmente arroje un monto de $31,970,89?
VF = $31,970.89
VP = $25,600
m=4
j= 0.025
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31,970.89
25,600
n
.025
log(1 
)
4
log
n = 9  Se necesitan 9 trimestres.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Determinar el monto compuesto de $100 durante 10 años:
a. Al 5% efectivo anual.
b. Al 5% capitalizable mensualmente.
c. Al 5% capitalizable trimestralmente.
d. Al 5% capitalizable semestralmente.
2. Una persona deposita $3,000 el 22 de abril de 2003 en una caja de ahorro que
paga el 6% capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de
cada año. ¿Cuánto podrá retirar el 14 de noviembre de 2010?
3. Un banco pagaba el 5% e interés compuesto capitalizable trimestralmente. El 1°
de enero de 2005 modificó la tasa, elevándola al 7% capitalizable semestralmente.
Calcular el monto compuesto que tendrá el 1° de enero de 2013 un depósito de
$10,000 efectuado el 1° de abril de 2003.
4. Un señor muere el 20 de marzo de 1998, dejando a su hijo $100,000 para que le
sean entregados al cumplir 18 años. La herencia es colocada en una cuenta que
gana el 6% anual. El 22 de septiembre de ese año, elijo cumplió 10 años. Calcular
la cantidad que recibió al cumplir 18 años.
5. ¿Qué monto se recibirá el día de hoy por una inversión que se hizo hace 18 meses
a una tasa capitalizable mensualmente del 28% de un capital de $850.00?
6. ¿Qué monto se recibirá el día de hoy por una inversión que se hizo hace 24
meses a una taza capitalizable mensualmente del 18% de un capital de $12,950
7. La Señorita Jiménez recibió un préstamo hipotecario de $1250.00 y lo liquidará
en 8 meses. Si la tasa de interés que tiene que pagar es de 15% convertible
mensualmente ¿cuánto dinero tiene que pagar en total?
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4.2 ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES.
En las operaciones financieras encontramos el problema básico de las inversiones
equivalentes, de manera que en valor y en tiempo produzcan el mismo resultado
económico. Esto es lo que se expresa en ecuaciones de valor. Un mismo valor situado en
fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto. No se debe
olvidar que solo se pueden sumar, restar o igualar dinero ubicado en una misma fecha,
llamada fecha focal.
Ejemplo 1:
Una empresa debe pagar $1’000.000 dentro de seis meses, $1’500.000 dentro de doce
meses y $2’000.000 dentro de 18 meses. Debido a ciertos problemas de liquidez, solicita
el siguiente sistema de pagos: $1’200.000 hoy, $1’200.000 dentro de 10 meses y el resto
dentro de 20 meses. Calcular el último pago que deberá hacer dentro de 20 meses,
considerando una tasa de interés del 1.5% efectivo mensualmente. Considerar como
fecha focal el día de hoy.
Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo (fecha focal) el
valor de todos los pagos, de tal manera que la suma de las deudas sea igual a la suma de
todos los pagos. Planteemos como fecha focal el instante cero:
Tendremos que llevar tanto las deudas como los pagos a la fecha focal. Para ello,
calculamos su Valor Presente:
DEUDAS = PAGOS
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12
18
1’000,000/1.015 + 1’500,000/1.015 + 2’000,000/1.015 = 1’200,000 + 1’200,000/1.015
20
X/1.015
10
+
20
3’698,946.50 = 2’234,000.68 + X / 1.015
X= $1’973,069.61 Valor del último pago que extinguiría la deuda.
En realidad, cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultado es el
mismo.
Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuación de valor es la
siguiente:
Tendremos que llevar tanto las deudas como los pagos a la fecha focal. Para ello,
calculamos el Valor Presente de las deudas y los pagos que están después de la
fecha focal (mes 12), y el Valor Futuro de las deudas y pagos cuyo vencimiento es
anterior a dicha fecha:
6
6
12
2
1’000,000*1.015 + 1’500,000 + 2’000,000/1.015 = 1’200,000 x 1.015 + 1’200,000*1.015 +
8
X/1.015
8
4’422,527.65 = 2’671,011.81 + X/1.015
4
X=$1’973,069.61 Valor del último pago en la nueva fecha focal .
4
Nótese que el resultado es igual al del primer ejemplo, en donde la fecha focal fue el mes cero.
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Ejemplo 2:
Una persona debe pagar $1’000,000 dentro de tres meses, $1’500,000 dentro de diez
meses y $2’000,000 dentro de un año. La persona desea efectuar un solo pago de
$4’500,000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual
capitalizable mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.
Consideremos como fecha focal, el mes cero, nuevamente:
Tendremos que llevar tanto las deudas como los pagos a la fecha focal. Para ello,
calculamos su Valor Presente:
3
10
12
1’000,000/1.015 +1’500,000/1.015 +2'000,000/1,.015
n
= 4'500,000 / 1.015
n
3’921,592.69 = 4’500,000 / 1.015
n
1.015 = 4’500,000 / 3’921,592.69
n
1.015 = 1,14749296
log(1.015)n = 1.14749296
n x log 1.015 = log(1.14749296)
n = 9.240587619
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Dentro de 9.24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si
reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0.24 x
30 = 7.2 días; es decir, el pago de los $4’500,000 debe hacerse dentro de
nueve meses y siete días.
4.3 Anualidades Simples
Una anualidad es un flujo de caja con montos de dinero uniformes, es decir, todos los
flujos son iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La
circulación monetaria es a través de pagos de la anualidad.
No necesariamente se refiere a periodos anuales, se ha conservado el nombre de
anualidad por costumbre en dichas operaciones.
Con este grupo de factores calculamos con rapidez el factor de acumulación de los
intereses de pagos periódicos iguales, así como el monto acumulado a pagar al final de
un período determinado. Estos cálculos pueden hacerse considerando pagos periódicos
al vencimiento pospagable o por adelantado prepagables.
También calculamos el factor de actualización de los intereses de pagos periódicos
iguales, así como el valor actual a pagar de un período específico dentro de un tiempo
establecido.
Las anualidades no siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de
las anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.
Algunos ejemplos de anualidades son:
Los pagos mensuales por renta.
El cobro quincenal o semanal de sueldos.
Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (C) u otro y
el plazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el
periodo final de pago. Renta es el pago (C) periódico.
Los principales elementos que conforman la anualidad son:
R Renta o Pago Periódico, llamado también término. Es el importe cobrado o pagado,
según sea el caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad.
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VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (R), capitalizados al
final del enésimo período.
VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (R), descontados o
actualizados a una tasa de interés.
i, es la tasa de interés por período, tiene la característica de ser simultáneamente
nominal y efectiva.
También representa la tasa anual de efectivo (TEA).
n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de
capitalización de los intereses (n=t*m).
Las anualidades cumplen con las siguientes condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos son a iguales intervalos.
3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.
4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos.
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Clasificación:
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ANUALIDADES VENCIDAS CIERTAS:
Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al finalizar cada
periodo, y dicho periodo coincide con el de capitalización de los intereses. Un diagrama
de flujo de cada de dicha anualidades se muestra a continuación:
La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado
(R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo
(n) es:
La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor presente, con el pago
anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos
de tiempo (n) es:
Ejemplo 1:
Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al FINAL de cada mes; si dicha
cuenta paga 1.3% de interés mensual capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al
cabo de un año?
Los datos son:
R = $250;
n = 12,
i = 1.3% mensual capitalizable al mes
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Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo cual la
sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:
Ejemplo 2:
Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para lo cual desea hacer 12
Depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe
ser el valor de los depósitos si el primer pago se hace dentro de un bimestre?
Los datos son:
n = 12
i = 0.042 bimestral
M = $90,000
R=?
ANUALIDADES ANTICIPADAS CIERTAS:
Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de tiempo, y dicho periodo
coincide con el de capitalización de los intereses. El diagrama de flujo de cada de estas
anualidades es el siguiente:
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Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son los periodos de
tiempo transcurridos.
La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado
(R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo
(n) es:
Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:
Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas, solo que se le añade un
periodo (1+i) ya que el monto total se capitaliza un periodo más.
En el caso del capital la ecuación queda:
Ejemplo 1:
Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $2,750 de renta por
anticipado. Como desearía liberarse del compromiso mensual, decide proponer una renta
anual anticipada. Si los intereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente
¿Cuánto debería ser la renta anual anticipada?
Los datos son:
C=?
R=$2,750
i = 15.6% anual capitalizable al mes
n = 12 meses
Ejemplo 2:
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Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para lo cual desea hacer 12
depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe
ser el valor de los depósitos si hoy realiza el primero?
Los datos son:
n = 12
i = 0.042 bimestral
M = $90,000
R=?
4.4 Anualidades Generales
Como comentamos anteriormente, son aquellas en las que el periodo de pago no coincide
con el de capitalización.
Las anualidades generales se dividen en dos tipos:
1. Aquellas cuyos pagos se realizan con menor frecuencia que la capitalización de
intereses. Por ejemplo, se realizan 4 pagos anuales de $ 55,000.00 cada uno y los
intereses se capitalizan cada semestre.
2. Los pagos se realizan con mayor frecuencia que la capitalización de intereses. Por
ejemplo, se realizan 6 pagos mensuales de $ 2,500.00 cada uno y los intereses se
capitalizan cada trimestre.
Para resolver un problema de anualidad general es necesario modificarlo de tal
manera que los periodos de pago y los periodos de capitalización coincidan. Es decir, es
necesario modificar la anualidad general en una anualidad simple equivalente.
Existen, básicamente, dos formas de convertir anualidades generales en anualidades
simples:
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1. Se reemplazan los pagos originales por pagos equivalentes que coincidan con las
fechas de capitalización de intereses.
2. Se cambia la tasa de interés dada por una tasa equivalente en la cual el nuevo periodo
de capitalización coincida con el periodo de pago.
Ejemplo:
¿Qué renta semestral anticipada sustituye los pagos mensuales anticipados de $500 con
intereses del 30% anual capitalizable mensualmente?
Dado que la renta semestral anticipada ocurre de inmediato, los pagos mensuales
de 6 meses deben ser iguales a un solo pago semestral anticipado (que ocurre de
inmediato).
El pago semestral anticipado es equivalente entonces al presente de los pagos
mensuales anticipados.
Entonces los datos son:
R= $500 pago mensual anticipado
i = 0.3 anual capitalizable al mes
n = 6 periodos mensuales (dado que 1 semestre = 6 meses)
Se requieren pagos semestrales anticipados de $2,822.91 para sustituir los pagos
mensuales anticipados de $500 bajo una tasa del 30% anual capitalizable
mensualmente.
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4.5 Tablas y Fondos de Amortización
El término amortización significa saldar una deuda gradualmente por medio de pagos
periódicos, generalmente iguales, y que se realizan mediante intervalos de tiempo iguales.
AMORTIZACIÓN: Se refiere a la extinción mediante pagos periódicos de una
deuda actual (valor presente o capital)
FONDOS DE AMORTIZACIÓN: Son acumulaciones de pagos periódicos para
liquidar una deuda futura (pudiera ser un ahorro),
Tablas de Amortización:
La tabla de amortización queda con los siguientes encabezados:
Ejemplo:
Calcular el valor de los pagos y la tabla de amortización para saldar una deuda de $4,000
contratado a 42% anual convertible bimestralmente; si la deuda debe saldarse en un año
haciendo pagos bimestrales y el primero de ellos se realiza dentro de 1 bimestre.
Despejando R:
RESPUESTA: $839.18
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PERIODO
PAGO
0
1
2
3
4
5
6
839.18
839.18
839.18
839.18
839.18
839.18
INTERESES
280.00
240.86
198.97
154.16
106.21
54.90
AMORTIZACIÓN
DE CAPITAL
559.18
598.32
640.21
685.02
732.97
784.28
SALDO
4,000.00
3,440.82
2,842.50
2,202.29
1,517.27
784.30
0.02
Fondo de Amortización:
Como se vio en la introducción, el caso de fondos de amortización se distingue porque
aquí la deuda que se va amortizar se plantea a futuro, y lo que se hace es constituir un
fondo de reserva, asignando determinadas cantidades de dinero, (generalmente iguales y
periódicas), en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular el monto que
permita pagar la deuda a su vencimiento.
Ejemplo.
Una empresa debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $ 2’000,000. Para asegurar
el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo
mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga el 60% convertible mensualmente.
¿De cuánto deben ser los depósitos? ¿Cómo se estructuraría la tabla de fondo de
amortización?
En este caso los $ 2’000,000 son un monto, ya que su valor es a futuro por lo que:
M = 2’000,000
R =?
i
= 0.060/12 =0.05
n =6
[
]
R = $294,034.94
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La Tabla de Fondo de Amortización, quedaría de la siguiente forma:
PERIODO
1
2
3
4
5
6
DEPÓSITO
ACUMULACIÓN
INTERESES
SALDO
MENSUAL
AL FONDO
294,034.94
294,034.94
294,034.94
294,034.94
14,701.75
308,736.69
602,771.63
294,034.94
30,138.58
324,173.52
926,945.15
294,034.94
46,347.26
340,382.20 1,267,327.35
294,034.94
63,366.37
357,401.31 1,624,728.65
294,034.94
81,236.43
375,271.37 2,000,000.03
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