Instituto Tecnológico Autónomo de México. 1 TRANSPUESTA DE

Instituto Tecnológico Autónomo de México.
1
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ.
DEFINICION 1: Transpuesta
Sea A = (aij ) una matriz de mxn. Entonces la
transpuesta de A, que se escribe At , es la matriz de nxm obtenida al intercambiar los renglones por las columnas de A. De manera breve, se puede escribir
At = (aij ). En otras palabras,




a11 a12 . . . a1n
a11 a21 . . . am1
 a21 a22 . . . a2n 
 a12 a22 . . . am2 




si A =  .
, entonces At =  .

..
.. 
.
.
.. 
 ..
 ..
.
. 
..
am1
am2
...
amn
a1n
a2n
...
amn
t
Simplemente se coloca el renglón i de A como la columna i de A y la columna
j de A como el renglón j de At
Teorema 1: Propiedades en matrices transpuestas
matriz de mxp. Entonces
Suponga que A = aij es una
i (At )t = A
ii (A B)t = B t At
iii Si A y B son de nxm, entonces (A + B)t = At + B t
iv Si A es invertible, entonces At es invertible y (At )−1 = (A−1 )t
La matriz (cuadrada) A de nxn, se llama
DEFINICION 2: Matriz simétrica
simétrica si At = A. Es decir, las columnas de A son también los renglones de A.
MATRICES ELEMENTALES Y MATRICES INVERSAS.
Operaciones Elementales:
i Multiplicar el renglón i por un número c diferente de cero. Ri → c Ri
ii Sumar un múltiplo del renglón i al renglón i al renglón j. Rj → Rj + c Ri
iii Permutar (intercambiar) los renglones i y j. Ri *
) Rj
Dr.Mauricio Garcı́a Esteban
Algebra Lineal/2001.
Instituto Tecnológico Autónomo de México.
2
DEFINICION 3: matriz elemental
Una matriz (cuadrada) E de nxn se llama una
matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad, In , de nxn
mediante una sola operación elemental con renglones.
Ejemplo 1: Tres matrices elementales
Obtenga tres matrices elementales de 3x3




1 0 0
1 0 0
i.  0 1 0  →R2 →5 R2  0 5 0  = 5 R2
0 0 1
0 0 1




1 0 0
1 0 0
ii.  0 1 0  →R3 →R3 −3 R1  0 1 0  = R3 − 3 R1
0 0 1
−3 0 1




1 0 0
1 0 0
*
iii.  0 1 0  →R2 )R3  0 0 1  = P23
0 1 0
0 0 1
Teorema 2: Operación elemental
Para realizar una operación elemental en una
matriz A, se multiplica A por la izquierda por la matriz elemental adecuada.
Teorema 3: Toda matriz elemental es invertible
mental es una matriz del mismo tipo.
El inverso de una matriz ele-
Teorema 4: Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si, es el producto de
matrices elementales.
Teorema 5: Teorema de resumen
Sea A una matriz de nxn. Entonces las siguientes
siete afirmaciones son equivalentes. Esto es, cada una implica a las otras seis
(de manera que si una afirmación es cierta, todas son ciertas, y si una es falsa,
todas son falsas).
i. A es invertible
ii. La única solución al sistema homogéneo Ax = 0, es la solución trivial (x=0).
iii. El sistema A x = 0 tiene una solución única para cada n−vector b.
iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad de nxn, In ; es decir,
la la forma escalonada reducida por renglones de A es In
v. A se puede escribir como el producto de matrices elementales
vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii. det A 6= 0 (por ahora, det A esta definido sólo si A es una matriz de 2x2).
Dr.Mauricio Garcı́a Esteban
Algebra Lineal/2001.
Instituto Tecnológico Autónomo de México.
3
DEFINICION 4: Matriz triangular superior y matriz triangular inferior
Una
matriz cuadrada se llama triangular superior (inferior) si todas sus componentes
abajo (arriba) de la diagonal principal son cero.
Teorema 6: Factorización
Sea A una matriz cuadrada. Entonces A se puede escribir
como un producto de matrices elementales y una matriz triangular superior U .
En el producto, las matrices elementales están a la izquierda y la matriz triangular superior a la derecha.
Esto es:
U = Em Em−1 . . . E2 E1 A
y
−1
−1
Em
U
A = E1−1 E2−1 . . . Em−1
FACTORIZACIONES LU DE UNA MATRIZ
Ejemplo 2: Encuentre una factorización
LU de unamatriz A.

2
3
2
4

 4
10
0
−4

renglones la matriz A = 
 −3 −2 −5 −2 
−2 4
4 −7
Solución:



1
0
0
2 3 2
4
 0 4 −8 −8 
 2
1
0
 y L= 3
U =
5
 0 0 3
 −
9 
−
1
2
8
20
7
0 0 0 −49
−1
4
3
Reduzca por

0
0 

0 
1
Teorema 7: Caracterı́stica Matriz Triangular
El producto de las matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal es una matriz triangular inferior
con unos en la diagonal. Más aún, el producto de dos matrices triangulares
superiores es una matriz triangular superior.
Sea A una matriz cuadrada (nxn)
Teorema 8: Teorema de Factorización LU
y suponga que A se puede reducir por renglones a una matriz triangular U sin
hacer ninguna permutación entre sus renglones. Entonces existe una matriz
trinagular inferior L invertible con unos en una diagonal tal que A = LU . Si,
además, U tiene pivotes (es decir, A es invertible), entonces esta factorización
es única.
Dr.Mauricio Garcı́a Esteban
Algebra Lineal/2001.
Instituto Tecnológico Autónomo de México.
4
Uso de la factorización LU para resolver un sistema de ecuaciones.
Sistema: Sea el sistema Ax = b, donde A es invertible.
Por el teorema Factorización (LU), se puede escribir LU x = b, entonces se
puede redefinir como la siguiente secuencia: Ly = b ; U x = y
Aprovechando las caracterı́sticas operacionales de las matrices triangulares,
y por sustitución se resuelve hacia adelante Ly = b y hacia atrás U x = y.
Ejemplo 3: Uso de Factorización LU, para resolución de un sistema.
el sistema Ax = b, donde:




4
2
3
2
4
 4


10 −4 0 

 −8 
A=
 −3 −2 −5 −2  y b =  −4 
−2 4
4 −7
−1
Solución:




2 3 2
4
1
0
0 0
 0 4 −8 −8 
 2
1
0 0 



L=
 −3 −5 1 0  y U =  0 0 3
9 
2
8
20
7
0 0 0 −49
1
−1
4
3
Sea
 Ly
4
 −8

y=
−4
−1
Resuelva
=
hacia adelante
 b, obteniendose la siguiente solución, sustituyendo

−1



, realizando ahora U x = y, se obtiene x =  0 
 1 

1
Suponga que con el fin de reducir A a una matriz triangular se requiere alguna permutación.
Teorema 9: Factorización PA=LU
Sea una matriz A invertible de nxn. Entonces
existe una matriz de permutaciones P tal que
P A = LU
donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior. Para cada P (puede haber más de una), las matrices L y U son
únicas.
Ejemplo 4: Factorización
 PA=LU
0 2 3
Sea A =  2 −4 7 
1 −2 5
Dr.Mauricio Garcı́a Esteban
Algebra Lineal/2001.
Instituto Tecnológico Autónomo de México.
5
Ejemplo 5: Camino sencillo para obtener la factorización LU
 


2
2
3
2
4
1 0 0 0
 4
 a 1 0 0  0
10 −4 0 





A=
=
−3 −2 −5 −2   b c 1 0   0
0
4 −7
d e f 1
−2 4
Componente (2,1)
4 = 2a
Componente (2,2)
10 = 6 + u
Componente (2,3)
−4 = 4 + v
Componente (2,4)
0=8+w
Componente (3,1)
−3 = 2b
Componente (3,2)
−2 = − 92 + 4c
Componente (3,3)
−5 = −3 − 5 + x
Componente (3,4)
−2 = −6 − 5 + y
Componente (4,1)
−2 = 2d
Componente (4,2)
4 = −3 + 4e
Componente (4,3)
4 = −2 − 14 + 3f
Componente (4,4)
−7 = −4 − 14 + 60 + z

2
3
 4
10
A=
 −3 −2
−2 4
2
−4
−5
4
 
1
4
  2
0 
=
−2   − 23
−7
−1
Dr.Mauricio Garcı́a Esteban
0
1
− 58
7
4
0
0
1
20
3

3 2 4
u v w 
 = LU
0 x y 
0 0 z

0
2 3
 0 4
0 

0  0 0
0 0
1
2
−8
3
0

4
−8 
 = LU
9 
−49
Algebra Lineal/2001.
Instituto Tecnológico Autónomo de México.
Factorización

1
A= 2
3

1
B =  −1
2
LU para matrices
 
2 3
1 0
−1 4  =  2 1
1 7
3 1
6
singulares

0
1 2
0   0 −5
1
0 0

3
−2  = LU
0


 
1 2 3
3
1 0 0
−3  =  −1 1 0   0 0 0  = L0 U 0
2 0 1
0 0 0
6
2
−2
4
Factorización LU para matrices no cuadradas.
Sea A una matriz
Teorema 10: Factorización LU para matrices no cuadradas
de mxn. Suponga que A se puede reducir a su forma escalonada por renglones
sin realizar permutaciones. Entonces existe una matriz L triangular inferior de
mxn con unos en la diagonal y una matriz U de mxn con uij = 0 si i > j tales
que A = LU .
Ejemplo 6: Factorización LU de una matriz de 4x3
 

1
2
3
1 0 0
 −1 −4
  a 1 0
5

=
A=
6 −3
2   b c 1
4
1 −12
d e f

1
 −1
L=
 6
4
0
1
− 15
2
7
2
0
0
1
13
19

0
0 

0 
1
Dr.Mauricio Garcı́a Esteban
y


0
1
 0
0 

0  0
1
0
1
 0

U =
0
0
2
−2
0
0

2 3
u v 
 = LU
0 w 
0 0

3
8 

−76 
0
Algebra Lineal/2001.
Instituto Tecnológico Autónomo de México.
7
Teorı́a de Gráficas: Una Aplicación de matrices.
DETERMINANTES.
Recordemos el cálculo del determinanate de una matriz de 2x2, sea
’
“
a11 a12
A=
a21 a22
defiendo el determinante por
Œ
Πa
det A = ŒŒ 11
a21
DEFINICION 5: Determinante 3x3
Œ
Πa
det A = |A| = a11 ŒŒ 22
a32
Œ
a12 ŒŒ
= a11 a22 − a12
a22 Œ

a11 a12
Sea A =  a21 a22
a31 a32
Œ
Œ
Œ
a23 ŒŒ
Πa21
−
a
12 Œ
Œ
a33
a31
a21

a13
a23 . Entonces
a33
Œ
Œ
Œ
a23 ŒŒ
Πa21
a
+
13 Œ
Œ
a33
a31
Œ
a22 ŒŒ
a32 Œ
(1)
Observe el signo menos del segundo término del lado derecho de (1)
Expresado el cálculo del determinante, mediante el cofactor ij:
det A = |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
donde:
Aij : se llama cofactor, de dimensión (n − 1)x(n − 1), obtenida de la matriz
A, de dimensión nxn, al eliminar el renglón i y la columna j, Mij , con el signo
determinado por (−1)i+j . Esto es:
Aij = (−1)i+j |Mij |
observe que:
i+j
(−1)
š
1
−1
si i + j es par
si i + j es impar
DEFINICION 6: Determinante nxn
Sea A una matriz de nxn. Entonces el
determinanate de A, denotado por det A o |A|, está dado por
det A = |A| = a11 A11 + a11 A11 + a11 A11 + . . . + a11 A11 =
Dr.Mauricio Garcı́a Esteban
n
X
a1k A1k
k=1
Algebra Lineal/2001.