MODELOS PROBABILISTICOS

2. MODELOS PROBABILISTICOS
2.1
2.1.1
Funciones de Probabilidad
Variable Discreta
Un modelo probabilístico de un experimento requiere asociar un valor de
probabilidad a cada punto del espacio muestral. En el caso de las variables aleatorias
discretas, la función que asocia una probabilidad a la variable se denomina función de
probabilidad de masa (fpm), y se designa por px(x0) . Esta función representa la
probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor x0 en la realización del experimento.
Usualmente, la función de probabilidad de masa se representa por un gráfico de barras para
cada valor de la variable aleatoria.
Cualquier función matemática es una posible función probabilidad de masa siempre
que cumpla las siguientes dos propiedades que se derivan directamente de los axiomas de
probabilidad. En primer lugar, su valor debe estar comprendida entre 0 y 1 ya que
representa una probabilidad, y en segundo término la sumatoria para todos los posibles
valores de x debe ser unitaria, ya que representa la probabilidad del evento universal.
El concepto de función probabilidad de masa puede extenderse al caso de varias
variables. En especial, para dos variables, se define la función de probabilidad de masa
compuesta, como la probabilidad que los valores experimentales de la variable aleatoria X
e Y, al realizar un experimento sean iguales a x0 e y0 respectivamente y se designa por
pXY (x0, y0).
Análogamente al caso anterior, esta función tiene las siguientes propiedades :
∑∑ p
∀x ∀y
∑p
∀x
XY
XY
( x 0 , y0 ) = 1
( x0 , y0 ) = pY ( y0 )
∑p
∀y
XY
( x0 , y0 ) = p X ( x0 )
Las funciones pX(x0) y pY(y0) se denominan funciones de probabilidad de masa
marginales.
Dos conceptos adicionales de gran utilidad son la función de probabilidad
acumulada o función distribución acumulada (FDA) y la noción del valor esperado. Se
define función distribución acumulada (FDA) a la función que establece la probabilidad
que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a un valor dado en la
realización del experimento.
Prob( X ≤ x0 ) = PX ( x0 ) = ∑ p X ( x0 )
∀x
Esta función es siempre positiva, está comprendida entre 0 y 1 y es creciente,
debido a los axiomas de probabilidad y a las propiedades de la función probabilidad de
masa.
El valor esperado de una función bi-unívoca de una variable aleatoria X es la
sumatoria para todos los posibles valores de X del producto de la función por la fpm
evaluada en el mismo punto que la función.
E {g( x )} = ∑ g( x0 ) ⋅ p X ( x0 )
∀x
En particular, son importantes algunos casos especiales de la función g(x) como ser
el valor esperado de potencias enteras de x, los cuales se denominan momentos de x. Se
puede definir también, la potencia centrada con respecto al valor esperado o momento
central n-ésimo de x. El primer momento de x se conoce también como valor esperado o
promedio de x (E(x)) y el segundo momento central se conoce como varianza de x (sx2) :
E ( x n ) = ∑ x n ⋅ p X ( x0 )
∀x
E ( x ) = ∑ x0 ⋅ p X ( x0 )
∀x
sx2 = {E ( x − E ( x )) 2 } = ∑ ( x0 − E ( x)) 2 ⋅ p X ( x0 )
∀x
2.1.2
Variable Continua
La probabilidad asociada a una variable continua, está representada por la función
densidad de probabilidades (fdp). Si X es una variable aleatoria continua en el rango -∞ a
+ ∞ se define :
b
Prob(a ≤ x ≤ b) =
∫f
a
X
( x )dx
Siendo fX(x) = la función densidad de probabilidades.
La integral representa el área marcada (Figura 2.1), la cual es igual a la
probabilidad que el valor de la variable aleatoria x esté comprendido en el intervalo a, b.
Esta función tiene la propiedad de ser positiva y de encerrar un área unitaria bajo ella al
ser integrada para todo el rango de la variable aleatoria. Es decir, se cumple que :
+∞
0 < fX(x) < + ∞
∫
y
f X (x) dx = 1
−∞
f x (x)
x
a
b
Ilustración 2.1.2.1: Área que representa la Prob (a ≤ x ≤ b).
Es importante recalcar que en este caso la probabilidad de un evento, está asociada
al área bajo la curva de la función densidad de probabilidades y no al valor de la función,
lo cual implica que siendo X una variable continua, la probabilidad asociada a un valor
específico es nula y sólo se puede hablar de probabilidad asociada a un intervalo de la
variable.
Se define función de distribución acumulada (FDA) de la variable X a la
probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un valor dado:
xo
Prob(x < x0) = FX (x0) =
∫
−∞
f x (x) dx
La función distribución acumulada mide la probabilidad que en una realización
cualquiera de un experimento el valor de la variable sea menor o igual al valor x0 y tiene
las siguientes propiedades:
Fx (+∞) = 1
Fx (-∞) = 0
Prob(a < x < b) = Fx (b) - Fx (a)
Fx (b) > Fx (a) para b > a
dFX ( x )
= f X ( x)
dx
Si un experimento queda definido por varias variables aleatorias, entonces las
probabilidades se determinan mediante una función densidad de probabilidades
compuesta.
Los valores esperados y los momentos se calculan mediante la integración del
producto de la función densidad de probabilidades por la función para todo el rango de la
variable aleatoria.
+∞
E(g(x)) =
∫
-∞
g(x) fX(x) dx
o bien en el caso de dos variables :
E(g (x,y)) =
+∞
+∞
-∞
-∞
∫ ∫
g (x, y) f(x,y) dx dy
En la Tabla 2.1 se resumen las expresiones para las funciones densidad de
probabilidades y funciones de distribución acumulada para los modelos de uso habitual en
los estudios hidrológicos.
Tabla 2.1.2.1: Funciones densidad y probabilidad acumulada
Función densidad de
probabilidades f (x )
o Función distribución acumulada
F (x)
Distribución
 −  xα− β  
F (x ) = exp− e   


Valores extremos
tipo I
(Gumbel o EV1)
Valores extremos
generalizados
(GEV)
1
 
 x − u 
F (x ) = exp− 1 − k 

 α 
 
Rangos de variable
aleatoria y parámetros
−∞ ≤ x ≤ ∞
α >0
k



α >0
α
u + ≤ x ≤ ∞ Si k < 0
k
α
−∞ < x ≤u+
Si k >0
k
β −1
 x −γ 


a 
 x −γ 

f (x ) =
exp−

a Γ(β )
a 

Pcarson Tipo III
Si α > 0
x≤γ
Si α < 0
β −1
(
x / a)
 x
f (x ) =
exp − 
α Γ(β )
 a
Gama:
Pearson Tipo III
con γ = 0
Exponencial:
Pearson Tipo III
con β = 1
Lognormal-2
(LN2)
x≥γ
f (x ) =
f (x ) =
1
 x −γ 
exp −

a
a 

 1  log x − α  2 
1
 
exp− 
β
2πβx
 
 2 
γ ≤x
0< x
Función densidad de
probabilidades f (x )
o Función distribución acumulada
F (x)
Distribución
Lognormal-3
(LN3)
Valores extremos
de dos
componentes
(TCEV)
Wakeby (WAK)
2.2
f (x ) =
Rangos de variable
aleatoria y parámetros
 1  log(x − γ ) − α 
1

exp− 
β
2πβ .(x − γ )
 2 
 γ <x
(
F (x ) = exp A1e − x / θ 1 − A2 e − x / θ 2
[
] [
x>0
θ1 > 0
)
θ2 > 0
x = m + a 1 − (1 − F (x )) − c 1 − (1 − F (x ))
b
−d
]
Estimación de Parámetros
Los modelos probabilísticos constituyen herramientas matemáticas para manejar
variables aleatorias y para asociar probabilidades a los distintos valores de ellas. El hidrólogo
al trabajar con registros observados requiere elegir el modelo más adecuado para representar
la muestra y además estimar los parámetros del modelo seleccionado. Una vez elegido el tipo
de modelo a emplear, se debe estimar, utilizando los registros observados, los parámetros del
modelo, para lo cual existen diversos procedimientos. Las metodologías usuales para ello son
el método de máxima verosimilitud, el método de los momentos, y el método de momentos
ponderados por probabilidad
2.2.1
Método de máxima verosimilitud
Se define como función de verosimilitud de n variables aleatorias x1, x2, x3,.........xn a
la función densidad de probabilidad conjunta de las n variables, g(x1, x2, x3,........xn, Q). En
particular, si x1, x2,......., xn es una muestra aleatoria de la función densidad f(x,Q) entonces,
la función verosimilitud es:
L(Q) = g(x1, x2,..., xn, Q) = f(x1,Q) f(x2, Q) ...... f(xn,Q)
La función de verosimilitud da entonces la probabilidad que las variables aleatorias
tomen valores particulares x1, x2,....... xn.
Si Θ es el valor de Q que maximiza L(Q) entonces, se dice que Θ es el estimador de
máxima verosimilitud de Q.
El estimador de máxima verosimilitud es la solución de la ecuación que anula la
primera derivada de la función de verosimilitud con respecto al parámetro. Para facilitar la
búsqueda del parámetro, se aprovecha la condición que las funciones L(Q) y su logaritmo
tienen sus máximos para el mismo valor de Q, ya que en algunos casos es más simple
encontrar el máximo del logaritmo de la función. El procedimiento de máxima verosimilitud
tiene ventajas teóricas para la estimación de los parámetros de un modelo, cuando las
muestras son de tamaño grande, pues entrega estimadores no sesgados, lineales y de mínima
varianza.
El cálculo de los parámetros de los distintos modelos por este procedimiento es más
complejo que por otros métodos, pues generalmente se debe resolver la ecuación resultante
por métodos iterativos, para encontrar el valor de los parámetros que maximizan la función
logarítmica presentada. Este cálculo requiere resolver el sistema de ecuaciones que se
forma al igualar a cero la primera derivada de la función de verosimilitud o del logaritmo
de dicha función, con respecto a cada uno de los parámetros. En la Tabla 2.2 siguiente se
muestran las expresiones para el logaritmo de la función de verosimilitud de varios
modelos probabilísticos.
Tabla 2.2.1.1:Logaritmo de las funciones de verosimilituD
Modelo
Logaritmo natural de la función
1 n  ln xi − α 

− n ln 2π − n ln β − ∑ ln xi − ∑ 
2 i =1 
β
i =1

Log-normal-3
1  ln (xi − γ ) − α 

− n ln 2π − n ln β − ∑ ln(xi − γ ) − ∑ 
2 
β

n
Valores Extremos I
Valores Extremos
Generalizada
  k (xi − u ) 

n ln α − ∑ exp ln1 −
α
i =1
 

1/ k

 k (xi − u ) 

− (1 − k )∑ exp − ln1 −
α

i =1


n
Gama-2
1/ k
n
n
i =1
i =1
− n ln Γ(α ) − nα ln β + (α − 1)∑ ln xi − ∑
n
Pearson Tipo III
2
n
(x − β )
1 n xi − β
−∑
− ∑e − i
α i =1 α
α
i =1
n ln
n
xi
β
− n ln Γ(α ) − nα ln β + (α − 1)∑ ln (xi − γ ) − ∑
i =1
2.2.2
2
Log-normal-2
xi − γ
β
Método de los momentos
Este método se apoya en un teorema fundamental de la teoría de muestreo que
expresa que los momentos de la muestra son buenos estimadores de los momentos de la
población o universo. En consecuencia, este método establece que dado un conjunto de
observaciones x1, x2, .... xn de la variable aleatoria x, un buen estimador del promedio del
universo es el promedio de la muestra:
xbar =
1 n
∑x
n i =1 i
mientras que el estimador de la varianza σ2 es la varianza de la muestra S2.
S2 =
1 n
∑ ( x − xbar ) 2
n i =1 i
o bien, un estimador no sesgado es :
1 n
S =
( xi − xbar ) 2
∑
n − 1 i =1
2
Se pueden encontrar ecuaciones similares para los momentos de orden superior,
siendo los dos primeros momentos suficientes para las distribuciones de dos parámetros. No
siempre los parámetros de una distribución son exactamente iguales a los dos primeros
momentos. Sin embargo, los parámetros son funciones de los momentos y puede resolverse
el sistema de ecuaciones resultante para encontrar los parámetros.
En general la estimación de los parámetros de una muestra utilizando el
procedimiento de los momentos es el más sencillo, pues requiere obtener de la muestra los
estimadores de tantos momentos como parámetros tenga el modelo de distribución. En
seguida se forma un sistema de ecuaciones igualando los estimadores calculados de la
muestra con los correspondientes momentos del universo o población. Así se forma un
sistema de tantas ecuaciones como parámetros hay que estimar. En la Tabla 2.3 se
muestran las expresiones para calcular los parámetros de varios modelos probabilísticos
usando el método de los momentos. Las expresiones están en función del promedio de la
muestra (xbar) , la desviación estándar (S), el coeficiente de variación (Cv) y el coeficiente
de asimetría (g1).
El promedio y la varianza de la muestra son a su vez, variables aleatorias, y como tal,
puede estudiarse su valor medio, su varianza y su distribución. En especial, es importante la
relación entre ellos y el valor esperado de la variable x. Se puede demostrar, utilizando el
teorema del Límite Central, que el valor esperado del promedio de la muestra es igual al
promedio de la variable aleatoria x y que la varianza del promedio o error medio cuadrático
es σ2/n. Una estimación puntual de un parámetro es a veces poco conveniente, ya que rara
vez coincide con el parámetro. Por esta razón, se prefiere a veces, realizar una estimación
mediante un intervalo (I, S) en el cual I es el límite inferior y S es el límite superior del
intervalo. Este intervalo se denomina intervalo de confianza o de significación del
estimador.
Tabla 2.2.2.1:Parametros de los modelos de distribucion
Modelos
Parámetro α
Parámetro β
xbar
S
Normal
Log-normal-2
σ  1
ln  − ln 1 + C v2
z 2
(
)
Parámetro γ
ln(1 + C v2 )
xbar (1 − C v / z )
Lognor
mal-3
Valores
Extremos I
Gama-2
Pearson III
2.2.3
σ
ln
z
(
 1
2
 − ln 1 + C v
 2
)
ln(1 + C v2 )
1,2825 / σ
xbar − 0,45005σ
xbar S 2
S 2 xbar
S
(2 g1 )2
β
2
1
z = 1 − w 3  / w 3


w = 1 * − g + g2 + 4
2
(
)
xbar − S β
Método de Momentos Ponderados por Probabilidad
Greenwood y otros autores (1979) recomendaron estimar los parámetros de diversas
distribuciones mediante el método de momentos ponderados por probabilidad (MPP), ya que
este procedimiento tiene características preferibles al de máxima verosimilitud o de
momentos convencionales, cuando el tamaño de la muestra es limitado. Los momentos
ponderados por probabilidad se definen como el valor esperado del producto de tres
términos: la variable aleatoria (x), la función de distribución acumulada (F(x)) y el
complemento de esta función. De esta forma el MPP de orden l, j, k se calcula mediante la
siguiente expresión:
l
M i , j ,k = E ( x i F j (1 − F ) k ) = ∫ x i F j (1 − F ) k dF
0
Los momentos convencionales son un caso especial de los MPP, ya que en ellos el
exponente i es unitario y los otros dos exponentes son nulos.
Para facilitar el cálculo de los MPP se usan valores particulares para los exponentes.
Por ejemplo, para la distribución Wakeby se recomienda usar un valor unitario para el
exponente i y nulo para el exponente j. En este caso se denomina M1.0.k al MPP de orden k, y
se designa simplemente por Mk (Greenwood et al., 1979). Para las distribuciones de valores
extremos generalizados y tipo I se recomienda un exponente unitario para i y nulo para k,
obteniéndose los momentos Mj.
Landwehr y otros autores (1979a) recomiendan calcular estimadores de los MPP a
partir de la muestra, utilizando la siguiente expresión, que entrega MPP sesgados para k
positivo, en función del tamaño de la muestra (n), de los valores de caudales ordenados en
forma creciente (xi) y del número de orden (i) de cada valor en la lista:
Mk =
1 n
∑ x ((n − i + 0,35) / n) k
n i =1 i
Los autores nombrados también exploraron el empleo de estimadores sin sesgo para
los MPP, pero reportan que los estimadores moderadamente sesgados proporcionan mejores
resultados, particularmente al estimar los valores de los cuantiles superiores, lo cual es
especialmente relevante en el contexto del análisis de frecuencia de crecidas.
Para encontrar estimadores con este método, se debe establecer una igualdad entre
los momentos ponderados del modelo y los correspondientes de la muestra, formándose un
sistema de ecuaciones con tantas ecuaciones como parámetros hay que estimar.
Los momentos de la muestra se calculan ponderando cada valor por la probabilidad
Fi :
Fi =
i − 0,35
N
El índice i representa el número de orden de cada valor de la muestra ordenada en
valores crecientes, es decir, i vale uno para el valor más pequeño. Los momentos se
estiman por las expresiones siguientes (Hosking et al., 1985) :
1
M$ j =
N
N
∑F
i =1
i
j
xi
o bien
1 N
$
M K = ∑ (1 − Fi ) k xi
N i =1
Los momentos ponderados del universo o población dependen del modelo
probabilístico que se emplee. A continuación se incluyen las expresiones para diferentes
modelos.
Tabla 2.2.3.1 :Momentos ponderados por probabilidad
Distribución
EV1
Distribución inversa y fórmula de MPP
x = β + α (− In − InF ),
M1 j0 =
GEV
Wakeby
{
}
(
[
[
] )
] [
x = m + a 1 − (1 − F ) − c 1 − (1 − F )
M 10 k =
2.3
β
α {1n(1 + j ) + 0,57721}
+
1+ j
1+ j
α
k
1 − (− ln F )
k
1
−k
=
u + α 1 − ( j + 1) Γ(1 + k ) / k
1+ j
x=u+
M 1 jo
F=Prob ( X ≤ x )
b
−d
],
m
a−c
a
c
+
−
+
1+ k 1+ k 1+ k + b 1+ k − d
Selección de Modelos
El único procedimiento para verificar el comportamiento de un modelo matemático,
ya sea probabilístico o determinístico, es comparar las predicciones efectuadas por el modelo
con observaciones de la realidad. Si el modelo es determinístico, y no existe error
experimental, entonces la comparación con los valores observados es simple y concluyente.
Sin embargo, en el caso de modelos probabilísticos, debido a la naturaleza misma del
modelo, las observaciones son sólo una muestra de la realidad, y en consecuencia una
repetición del ensayo puede dar un resultado diferente. Resulta, pues, poco probable
encontrar una correspondencia exacta entre modelo y realidad, aún cuando las hipótesis sean
válidas. Por ello, es necesario definir la magnitud de la discrepancia que puede obtenerse sin
que sea necesario desechar la hipótesis estudiada. Al ser la variable observada una variable
aleatoria, pueden producirse grandes diferencias, aun cuando ello sea poco probable. Por
otro lado, una correspondencia entre la predicción y la observación tampoco es suficiente
para garantizar que la hipótesis sea cierta.
En la elección de un modelo probabilístico, es conveniente considerar todo el
conocimiento que se tenga sobre la variable. Por ejemplo, puede haber ciertas limitantes
físicas que hagan imposible la existencia de valores negativos, valores límites, etc. Si el
modelo no concuerda con estas limitantes, cabe entonces, preguntarse si esas discrepancias
son o no importantes, al adoptar un determinado modelo. Otra medida cualitativa sobre la
bondad del modelo, es su facilidad de tratamiento matemático u operativo, la cual también
conviene considerar.
Fuera de estas nociones cualitativas deben considerarse ciertos aspectos cuantitativos.
A saber, pueden calcularse los momentos de orden superior de la distribución y compararlos
con los valores calculados a partir de la muestra. Sin embargo, es preciso tener presente que
el error medio cuadrático cometido en la estimación de dichos momentos, aumenta al
incrementar el orden de momento y por ello disminuye la precisión en los estimadores.
También se recomienda comparar las probabilidades observadas con las calculadas con el
modelo, lo cual puede realizarse gráficamente o analíticamente.
2.3.1
Métodos gráficos
Para verificar el modelo propuesto, se recurre usualmente a comparaciones gráficas
entre el modelo y los datos, ya sea utilizando la función densidad de probabilidad, o bien, la
distribución acumulada. En ambos casos, la comparación gráfica permite una visualización
rápida del ajuste del modelo e indica las zonas en las cuales el ajuste es deficiente. Ello
permite decidir sobre la bondad del ajuste, estimar los distintos percentiles de la distribución
y los parámetros del modelo.
Una etapa útil en el análisis es dibujar los datos en forma de un gráfico de barras. Al
graficar las frecuencias observadas para cada intervalo del variable se obtiene un histograma,
en el cual la altura de cada barra es proporcional al número de observaciones en ese
intervalo. Este gráfico entrega al ingeniero un cuadro inmediato de las frecuencias
observadas en cada intervalo y su comparación con el modelo propuesto.
Para estudiar el ajuste de los datos al modelo, se procede a graficar la curva de
distribución acumulada. Para facilitar la decisión se acostumbra a usar un papel especial de
modo que el modelo probabilístico se representa en él por una recta. Para ello, se deforma la
escala de las abscisas de modo de estirar los extremos de la distribución.
Para preparar un gráfico de probabilidades para un conjunto de valores se sigue el
siguiente procedimiento :
i) Se obtiene un papel especial, llamado papel de probabilidades, diseñado para el
modelo en estudio. Existen papeles para la distribución normal, log-normal y valores
extremos tipo I.
ii) Se ordenan las observaciones en orden creciente en magnitud.
iii) Se grafican las observaciones en el papel de probabilidades, asignándoles a cada
una, una probabilidad o posición de ploteo. Existen varias posiciones de ploteo y en la
actualidad una de las preferidas es la propuesta por Weibull, que entrega un estimador no
sesgado de probabilidad. En este caso la probabilidad se calcula con la siguiente expresión:
Prob( x ≤ X ) =
m
n +1
siendo
m = número de orden
n = número de datos.
Se utiliza también el concepto de período de retorno que se define como el tiempo
para el cual en promedio se produce un evento igual o superior al considerado.
Es decir,
Tr =
1
1 − Prob( x ≤ X )
o bien,
Tr =
iv)
n +1
n−m
Si los puntos graficados se ajustan a una recta, entonces el modelo elegido
representa un buen ajuste y se traza la recta en forma visual. Si los puntos no
representan una tendencia lineal, entonces el modelo elegido no es adecuado.
2.3.2
Métodos cuantitativos
Los métodos anteriores permiten juzgar en forma gráfica la bondad del ajuste de los
datos a un determinado modelo probabilístico. Sin embargo, en ciertas ocasiones es
preferible contar con procedimientos cuantitativos, que permitan una decisión objetiva sobre
el ajuste. A continuación se describen dos procedimientos cuantitativos: el test chi-cuadrado
y el test Kolmogosov-Smirnov.
Los tests de hipótesis sobre modelos de distribución cuentan con las siguientes etapas
generales: Primero, se calcula un estadígrafo a partir de los datos observados. Luego, se
calcula la probabilidad de obtener el estadígrafo calculado, en el supuesto que el modelo sea
correcto. Esto se realiza refiriéndose a una tabla probabilística que entregue los percentiles
del modelo de distribución del estadígrafo. Finalmente, si la probabilidad de obtener el valor
del estadígrafo calculado es baja, se concluye que el modelo supuesto no provee una
adecuada representación de la muestra. Debe hacerse notar que este procedimiento permite
rechazar un modelo por no ser adecuado, pero no permite probar que el modelo
probabilístico elegido sea el correcto.
(a) Test Chi-Cuadrado
Es el test más usado para medir la bondad de ajuste de un modelo y es aplicable
estrictamente a cualquier tipo de distribución siempre que los parámetros de ella, hayan sido
estimados mediante el método de máxima verosimilitud. El test consiste en comparar, en
intervalos previamente definidos de la variable aleatoria, el número de casos observados en
ese intervalo con el teórico, el cual es función del modelo probabilístico en estudio.
Si O1, O2,.........Ok son las frecuencias absolutas observadas y E1, E2,...... Ek son las
frecuencias teóricas, en cada una de las clases, se define un estadígrafo.
(Oi − Ei ) 2
Χ =∑
Ei
i =1
k
2
La variable X2 tiende a tener una distribución chi-cuadrado con K-S-1 grados de
libertad, siendo K el número de clases o intervalos definidos y S el número de parámetros
estimados en el modelo.
Para que el ajuste de la distribución a la muestra sea aceptable, se requiere que el
valor chi-cuadrado sea menor o a lo sumo, igual al valor teórico que toma la distribución chicuadrado para un cierto nivel de significación (normalmente 5%). Las tablas de la
distribución chi-cuadrado permiten conocer el valor teórico de chi en función de los grados
de libertad y del nivel de probabilidad deseado.
Se recomienda elegir un número reducido de clases de modo que el valor teórico de
casos observados en cada clase sea por lo menos igual a 5 y usar clases equiprobables.
(b) Test de Kolmogorov-Smirnov
El test se basa en calcular el estadígrafo D definido como el valor máximo de la
diferencia absoluta entre la función distribución acumulada empírica (Gn(a)) y la función
distribución del modelo calculada para cada punto de la muestra (Fn(a)). En general, el
estadígrafo se calcula usando las distribuciones empíricas de las muestras, de la siguiente
manera :
D = max {Fn (a) − Gn (a) }
−∞ < a < ∞
La dócima es rechazar la hipótesis nula si D es mayor o igual que un valor crítico
que depende del tamaño de la muestra y del nivel de significancia. La Tabla 2.5 presenta
los valores límites para esta dócima en función del tamaño de la muestra y del nivel de
significancia..
Tabla 2.3.2.1: Valores críticos para el test de kolmogorov-smirnov
Tamaño
muestra
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
35
40
45
50
n>50
2.3.3
Nivel de significancia
0,20
0,90
0,68
0,57
0,49
0,45
0,41
0,38
0,36
0,34
0,32
0,31
0,30
0,28
0,27
0,27
0,26
0,25
0,24
0,24
0,23
0,21
0,19
0,18
0,17
0,16
0,15
1,07/√n
0,15
0,93
0,73
0,60
0,53
0,47
0,44
0,41
0,38
0,36
0,34
0,33
0,31
0,30
0,29
0,28
0,27
0,27
0,26
0,25
0,25
0,22
0,20
0,19
0,18
0,17
0,16
1,14/√n
0,10
0,95
0,78
0,64
0,56
0,51
0,47
0,44
0,41
0,39
0,37
0,35
0,34
0,33
0,31
0,30
0,30
0,29
0,28
0,27
0,26
0,24
0,22
0,21
0,19
0,18
0,17
1,22/√n
0,05
0,98
0,84
0,71
0,62
0,56
0,52
0,49
0,46
0,43
0,41
0,39
0,38
0,36
0,35
0,34
0,33
0,32
0,31
0,30
0,29
0,26
0,24
0,23
0,21
0,20
0,19
1,36/√n
0,01
0,99
0,93
0,83
0,73
0,67
0,62
0,58
0,54
0,51
0,49
0,47
0,45
0,43
0,42
0,40
0,39
0,38
0,37
0,36
0,35
0,32
0,29
0,27
0,25
0,24
0,23
1,63/√n
Consideraciones adicionales
No existe ninguna justificación teórica absoluta que apoye la elección de un
determinado modelo probabilístico o de un determinado método de estimación de
parámetros. El hidrólogo deberá en cada caso seleccionar la mejor alternativa apoyado en
argumentos de diversa índole. En relación con la estimación de parámetros de los modelos,
el método de máxima verosimilitud, tiene ventajas teóricas que se alcanzan en forma
asintótica al aumentar el tamaño de la muestra. Sin embargo, se ha demostrado en
experimentos de simulación con muestras pequeñas que otros procedimientos tienen
mejores propiedades en estos casos.
No obstante lo anterior, existen algunos elementos que ayudan a seleccionar los
modelos más adecuados en un caso particular. Los argumentos se basan en la naturaleza de
los datos, en los resultados de tests estadísticos, en representaciones gráficas de la
distribución de frecuencia acumulada y en la comparación de los histogramas.
Adicionalmente en ciertos casos existen situaciones especiales que hacen que
determinados modelos no sean aplicables, por producirse contradicciones entre la muestra
y los algoritmos de cálculo o la esencia del modelo de distribución. Algunos de estos casos
son, por ejemplo, no usar transformaciones o modelos de tipo logarítmico cuando la
muestra tiene valores nulos. En consecuencia, en estos casos se desaconseja el uso de los
modelos log-normal, gama, gumbel, valores extremos generalizados y log-Pearson tipo III.
Si el estimador del coeficiente de asimetría es superior a 2 en valor absoluto, no se pueden
calcular los parámetros de la distribución log-normal-3 y Pearson tipo III por el método de
máxima verosimilitud.
Por otra parte, se aconseja usar:
•
•
•
•
la distribución normal cuando las razones entre el coeficiente de asimetría y su error
estándar, y cuando la razón entre el coeficiente de kurtosis menos tres y su error
estándar son inferiores a 2 en valor absoluto, ya que en el 98% de los casos se debe
cumplir esta condición si las variables son normales. Sin embargo, esta situación puede
no ser muy decisiva si las muestras son pequeñas
los modelos log-normal, de dos y tres parámetros cuando se cumple la condición
anterior aplicada a los logaritmos de los valores.
distribuciones de valores extremos tipo I y/o valores extremos generalizados, cuando
se estudian valores máximos anuales o valores superiores a un umbral o un cierto
números de máximos en cada año, siempre que se trate de muestras con coeficiente de
asimetría positivo.
distribución gama o Pearson tipo III cuando el coeficiente de asimetría es positivo.