GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

Geometría en el espacio
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
1. ESPACIOS VECTORIALES
VECTOR FIJO
Segmento orientado. Queda determinado por  Origen A(a1, a2, a3); extremo B(b1, b2, b3)

Módulo: Longitud del 
AB = (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a2 ) 2 + (b3 − a3 ) 2
segmento AB
Características:
Dirección: Es la recta sobre la que está y todas las paralelas.
Sentido: Forma de recorrer el segmento. Cada dirección tiene dos
sentidos.
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

Mediante coordenadas cartesianas: v = (v1 , v2 , v3 )
Coordenadas cartesianas
A(a1 , a2 , a3 )  
Mediante un origen A y
 → AB =( b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 )
un extremo B
B (b1 , b2 , b3 ) 
OPERACOINES CON VECTORES
 
u + v = ( u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 )
Suma
 
u − v = ( u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 )
Resta

k ⋅ v = k ⋅ (v1 , v2 , v3 ) = (kv1 , kv2 , kv3 )
Producto por un escalar
Propiedades de las operaciones.
Aplicaciones de los vectores:
- Punto medio
- Puntos alineados
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Varios vectores se llaman L.D. si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los
demás. Cuando no es así, se llaman L.I.




v = λ1 ⋅ u1 + λ2 ⋅ u2 + ... + λn ⋅ un con λ1 , λ2 ,..., λn ∈ 
Combinación lineal
Linealmente dependientes
Linealmente dependiente
u1
v1
w1
u2
v2
w2
u3
u1
v3 = 0 → L.D. v1
w3
w1
u2
v2
w2
u3
v3 ≠ 0 → L.I .
w3
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
En un E.V. un conjunto de vectores forman una base si:
1) Son linealmente independientes.
2) Cualquier vector del E.V. se puede expresar como C.L. de los vectores de la base.
• Todas las bases tienen el mismo número de vectores.  Ese número se llama dimensión del
E.V.


 i (1, 0, 0) → i =
1

Tres vectores
   

=
B i, j , k  j=
(0,1, 0) → j 1
perpendiculares
y
Base canónica


unitarios
k (0, 0,1) → k =
1

{
}
1
Geometría en el espacio
2. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.


 
Se llama producto escalar de dos vectores u y v , y se escribe u ⋅ v , al
número real que resulta al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo
que forman.
   
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α

v
Interpretación
Geométrica
 
u ⋅v =
 
u ⋅v =


u ⋅ Proyu v


v ⋅ Proyv u
Proyección de v sobre u
Proyección de u sobre v
α

u

Proyu v
Expresión
analítica
 
u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3
Propiedades del producto escalar
Recuerda:
0º
sin(α )
0
cos(α )
1
tan(α )
0
30º
1
2
3
2
3
3
45º
60º
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
90º
1
0
∞
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
 
   
u ⋅v
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α → cos α =  
u⋅v
cos α =
u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3
u12 + u22 + u32 ⋅ v12 + v22 + v32



 u 2 + u 2 + u 2 ⋅ v2 + v2 + v2 
2
3
1
2
3 
 1
α = ar cos 
u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3
3. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
 
 
El producto vectorial de dos vectores u y v es otro vector u × v .
   
u × v = u ⋅ v ⋅ sin α
Módulo:
Elementos
Dirección:
Sentido:
 
Perpendicular a los vectores u y v
El del avance de un sacacorchos que gira en sentido
 
positivo de u y v
2
Geometría en el espacio
 
área del paralelogramo
u×v =
Interpretación
geométrica
 
B = i, j , k : base canónica




=
u (u1 , u2 , u3 ) → u1 ⋅ i + u2 ⋅ j + u3 ⋅ k 




=
v (v1 , v2 , v3 ) → v1 ⋅ i + v2 ⋅ j + v3 ⋅ k 
{
Expresión
analítica
 
i
j
 
u×v =
u1 u2
v1 v2
}

k
u3
v3
Propiedades del producto vectorial
APLICACIONES
 
u×v
Área triángulo
A=
2
 
A= u × v
Área paralelogramo
4. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.
  
El producto mixto de tres vectores u , v y w es un número real
Interpretación geométrica
Expresión analítica
     
 u , v, w  = u ⋅ v × w


(
)
  
u , v, w = volumen del paralelípedo


 
B = i, j , k : base canónica




=
u (u1 , u2 , u3 ) → u1 ⋅ i + u2 ⋅ j + u3 ⋅ k 



 
=
v (v1 , v2 , v3 ) → v1 ⋅ i + v2 ⋅ j + v3 ⋅ k 




=
w ( w1 , w2 , w3 ) → w1 ⋅ i + w2 ⋅ j + w3 ⋅ k 
{
}
u1
  
u , v, w = v1


w1
u2
v2
w2
u3
v3
w3
Propiedades del producto mixto
APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO
Volumen del paralelepípedo
  
Volumen=  AB, AD, AE 
Volumen del tetraedro
  
 AB, AC , AD 


Volumen=
6
3
Geometría en el espacio
5. ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO.
ECUACIONES DE LA RECTA
• Un punto de la recta: P ( p1 , p2 , p3 )

Dados:
• Vector director de la recta: v = (v1 , v2 , v3 ) ^
• Cualquier número real: λ ∈ 
=
( x, y, z ) ( p1 , p2 , p3 ) + t ⋅ (v1 , v2 , v3 )
Ecuación vectorial
x p1 + λ v1 
=

r :=
y p2 + λ v2 
z p3 + λ v3 
=
x − p1 y − p2 z − p3
= =
v1
v2
v3
Ecuación paramétrica
Ecuación continua
Ecuación general, implícita o
cartesiana
Ax + By + Cz + D =
0

Intersección de

dos planos
A' x + B ' y + C ' z + D ' =
0
Pasar de ecuación general a paramétrica
r:
ECUACIONES DEL PLANO
Dados:
• Un punto del plano: P( p1 , p2 , p3 )


• Vectores directores del plano: u = ( u1 , u2 , u3 ) v = (v1 , v2 , v3 ) ^
•
Ecuación vectorial
Ecuación paramétrica
Cualquier número real: λ , µ ∈ 
π :=
( x, y, z ) ( p1 , p2 , p3 ) + λ ⋅ (u1 , u2 , u3 ) + µ ⋅ (v1 , v2 , v3 )
Ecuación general o implícita
 x = p1 + λ ⋅ u1 + µ ⋅ v1

π :  y = p2 + λ ⋅ u2 + µ ⋅ v2
 z = p + λ ⋅u + µ ⋅v
3
3
3

u1 v1 x − p1
Desarrollando
u2 v2 y − p2 =
0 
→ Ax + By + Cz + D =
0
u3 v3 z − p3

n = ( A, B, C ) vector perpendicular (normal) al plano
Pasar de ecuación general a paramétrica
4
Geometría en el espacio
6. POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS.
POSICIONES DE DOS RECTAS
Opción
A
B
Rango
M M* M M*
COINCIDENTES
1
1
2
2
OPCIÓN A
x= q1 + µ v1 
x p1 + λu1 
=


y q2 + µ v2 
r :=
y p2 + λu2  s : =
=
z q3 + µ v3 
z p3 + λu3 
=
SCI
 u1 v1 q1 − p1 
 u1 v1 




M =  u2=
v2  M *  u2 v2 q2 − p2 
u v q − p 
u v 
3
3
 3 3
 3 3
*También ecuación vectorial o continua
PARALELAS
1
2
2
SI
OPCIÓN B
SECANTES
 A1 B1 C1 


0
A '1 B '1 C '1 
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 =

M=
r:
 A2 B2 C2 
0
 A '1 x + B '1 y + C '1 z + D '1 =


 A2 B '2 C '2 
 A1 B1 C1 D1 


0
A '1 B '1 C '1 D '1 
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 =

M* =
s:
 A2 B2 C2 D2 
0
 A '2 x + B '2 y + C '2 z + D '2 =


 A '2 B '2 C '2 D '2 
(se cortan)
2
3
SI
2
SCD
3
3
SCD
SE CRUZAN
Otra forma de estudiar la posición de las rectas (Opción A)
   COINCIDENTES
u1 u2 u3
Si: =
=
⇒ u v
PARALELAS
v1 v2 v3

 
u1 u2 u3
Si no: =
=
⇒ uv
v1 v2 v3

SCI
2
3
3
SI
SI
P∈r → P∈s
P∈r → P∉s
SE CORTAN
M* =0
SE CRUZAN
M* ≠0
4
5
Geometría en el espacio
POSICIONES DE RECTA Y PLANO
 u1
x p1 + λu1 
=


M *  u2
r :=
y p2 + λu2  =
u
z p3 + λu3 
=
 3
x =q1 + µ v1 + α w1 

π : y =q2 + µ v2 + α w2 
z =q3 + µ v3 + α w3 
v1
v2
v3
w1 q1 − p1 

w2 q2 − p2 
w3 q3 − p3 
Rango
RECTA
CONTENIDA
EN EL PLANO
M M*
2
2
SCI
RECTA Y
PLANO
PARALELOS
2
3
SI
0
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 =
r:
0
 A '1 x + B '1 y + C '1 z + D '1 =
0
π : Ax + By + Cz + D =
Otra forma:
=
x p1 + λu1 

r :=
y p2 + λu2 
=
z p3 + λu3 
 A1

M * =  A '1
 A

B1 C1 D1 

B '1 C '1 D '1 
B
C D 
RECTA CORTA
AL PLANO
3
3
SCD
0
π : Ax + By + Cz + D =
Se sustituyen las coordenadas del punto genérico de la recta en la ecuación del plano:
A ( p1 + λu1 ) + B ( p2 + λu2 ) + C ( p3 + λu3 ) + D =0 ⇒ aλ =b


aλ= b → 


a ≠ 0 → SCD → Solución única
=
a 0, b ≠ 0 → SI → ∃ solución
a=
0, b =
0 → SCI → Infinitas soluciones
SE CORTAN
PARALELAS
CONTENIDA
POSICIONES DE DOS PLANOS
Rango M M* Otra forma
1
π : Ax + By + Cz + D =
0
PLANOS COINCIDENTES 1
A B
Si = =
SCI
π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' =
0
A' B '
1
2
PLANOS PARALELOS
A B
Si = =
SI
A B C
A' B '
M =

2
2
PLANOS
SECANTES
A
'
B
'
C
'


A
Si NO =
 A B C D
SCD
M* = 
A'

 A' B ' C ' D '
C
=
C'
C
≠
C'
D
D'
D
D'
B C
=
B' C'
6
Geometría en el espacio
POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Rango
M M*
1
1
SCI
1
2
0
α : A' x + B ' y + C ' z + D ' =
0
β : A '' x + B '' y + C '' z + D '' =
 A B C D


M * =  A' B ' C ' D ' 
 A '' B '' C '' D '' 


2
2
SCI
2
3
TRES PLANOS SE CORTAN
EN UNA RECTA
DOS PLANOS
COINDICENTES CORTAN A
UN TERCERO
TRES PLANOS SE CORTAN
DOS A DOS
DOS PLANOS PARALELOS
CORTADOS POR UN
TERCERO
SI
3
TRES PLANOS PARALELOS
DOS PLANOS
COINCIDENTES Y
PARALELOS A UN
TERCERO
SI
π : Ax + By + Cz + D =
0
TRES PLANOS
COINCIDENTES
3
SCD
TRES PLANOS SE CORTAN
EN UN PUNTO
Cuando al estudiar los rangos nos encontramos con dos posibles posiciones de los planos,
tenemos que estudiar las posiciones de los planos dos a dos para comprobar cuál de las dos
opciones se está dando.
7
Geometría en el espacio
7. PROYECCIONES ORTOGONALES EN EL ESPACIO.
PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA
Para obtener la proyección ortogonal de Q
en la recta r.
Q(q1 , q2 , q3 )
=
x p1 + u1λ 

r :=
y p2 + u2 λ 
=
z p3 + u3λ 
 
1º Hallamos la ecuación del plano u= n= (u , u , u )  π : u x + u y + u z + D =
0
1
2
3
1
2
3
perpendicular a la recta r que pasa por el
Para calcular D  π : u1q1 + u2 q2 + u3 q3 + D =
0
punto (Q) que queremos proyectar.
Tenemos, entonces  π : Ax + By + Cz + D =
0
2º Calculamos el punto de corte de la π : A ( p1 + u1λ ) + B ( p2 + u2 λ ) + C ( p3 + u3λ ) + D =
0
recta con el plano que hemos hallado, y
Calculamos λ y sustituimos en r para obtener el punto
ese punto será la proyección ortogonal.
de corte.
PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO
Para obtener la proyección ortogonal de Q
en el plano π
Q(q1 , q2 , q3 )
0
π : Ax + By + Cz + D =
1º Hallamos la ecuación de la recta Tenemos, π : Ax + By + Cz + D =
0
perpendicular al plano π que pasa por el
x= q1 + Aλ 
punto (Q) que queremos proyectar.

r:=
y q2 + Bλ 
=
z q3 + C λ 
2º Calculamos el punto de corte del plano π : A ( q1 + Aλ ) + B ( q2 + Bλ ) + C ( q3 + C λ ) + D =
0
con la recta que hemos hallado, y ese punto
Calculamos λ y sustituimos en r para obtener el
será la proyección ortogonal.
punto de corte.
PROYECCIÓN DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO
=
x p1 + u1λ 

r :=
y p2 + u2 λ 
=
z p3 + u3λ 
π : Ax + By + Cz + D =
0


1º Hallamos el vector director de la recta, el vector normal al n = ( A, B, C ) ; u = (u , u , u ) ;
1
2
3
plano y un punto de la recta.
P( p1 , p2 , p3 )
2º Calculamos el plano π ' que pasa por el punto P y tienen x − p1 y − p2 z − p3
como vectores directores el vector director de la recta y el
u1
u2
u3 = 0
vector normal del plano π .
p1
p2
p3
Obtenemos:
π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' =
0
3º Hallamos el corte de los dos planos, π y π ' , que es la recta s, proyección ortogonal de r sobre π
Para obtener la proyección ortogonal de la recta r en el plano
π
También se pueden buscar dos punto de r; obtener su proyección en π y obtener la recta a partir
de estos dos nuevos puntos.
8
Geometría en el espacio
8. DISTANCIAS EN EL ESPACIO.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
P( p1 , p2 , p3 )
Q(q1 , q2 , q3 )
d ( P, Q ) =
( q1 − p1 ) + ( q2 − p2 ) + ( q3 − p3 )
2
2
2
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
1º Buscamos la proyección ortogonal (P’) de P en r.
I
2º d ( P, r ) = d ( P, P ')
x= q1 + u1λ 

 
r:=
y q2 + u2 λ 
QP × u
d ( P, r ) =

II
z q3 + u3λ 
=
u
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
P( p1 , p2 , p3 )
Ap1 + Bp2 + Cp3 + D
d ( P, π ) =
π : Ax + By + Cz + D =
0
A2 + B 2 + C 2
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
I
II
0
π : Ax + By + Cz + D =
Si se cortan: d (π , π ') = 0
Si se coinciden: d (π , π ') = 0
π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' =
0
III
Si son paralelos: d (π , π ') =
D − D'
A2 + B 2 + C 2
DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO
Si la recta y el plano se cortan: d (r , π ) = 0
I
x= q1 + u1λ 

r:=
y q2 + u2 λ 
Si la recta está en el plano: d (r , π ) = 0
II

z q3 + u3λ 
=
Si la recta y el plano son paralelos:
π : Ax + By + Cz + D =
0
III
d (r , π ) = d (Q, π ) con Q ∈ r
9
Geometría en el espacio
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
d (r , s) = 0
I Si se cortan
d ( r , s ) d ( P, s ) / P ∈ r
II Si son paralelas=
III Si se cruzan
  
OPCIÓN A
u , v, PQ 


d (r , s) =
 
u×v
OPCIÓN B
OPCIÓN C
OPCIÓN D
Hallamos el plano π que contiene a r y es paralelo a s.
d (r , s ) = d (Q, π )

d (r , s ) = RS ; donde:
=
x p1 + u1λ 

r :=
y p2 + u2 λ 
=
z p3 + u3λ 
x= q1 + v1µ 

s:=
y q2 + v2 µ 
z q3 + v3 µ 
=


π : ( x, y, z ) =P + λ u + µ v
R ∈ r → ( p1 + u1λ , p2 + u2 λ , p3 + u3λ ) 
S ∈ s → (q1 + v1µ , q2 + v2 µ , q3 + v3 µ ) 

 
 Resolvemos el sistema
RS ⊥ r ⇒ RS ⋅ u =
0


 

RS ⊥ s ⇒ RS ⋅ v =
0


d (r , s ) = RS ; donde:
   
Hallo w / w= u × v
 
Hallo el plano α determinado por u , w, P
 
Hallo el plano β determinado por v, w, Q
Hallo la recta t, intersección de α y β
R punto de intersección entre α y t
S punto de intersección entre β y t
9. ÁNGULOS.
ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS
Ángulo
Perpendicularidad
Paralelos
 
 
 
rs⇒uv
r ⊥ s ⇒ u ⋅v =
0
u ⋅v
cos α =  
u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3 =
0 u1 u2 u3
u⋅v
= =
v
v2 v3
1
 
 u ⋅v 
α = ar cos    
u⋅v 


=
x p1 + u1λ 

r :=
y p2 + u2 λ 
z p3 + u3λ 
=
x= q1 + v1µ 

s:=
y q2 + v2 µ 
z q3 + v3 µ 
=
ÁNGULOS QUE FORMAN UNA RECTA Y UN PLANO
Ángulo
Perpendicularidad
Paralelos
 
 
 
x p1 + u1λ 
=
r ⊥π ⇒un
r  π ⇒ u ⋅v =
0
u⋅n

cos α =  
u1 u2 u3
u1 ⋅ A + u2 ⋅ B + u3 ⋅ C =
0 r :=
y p2 + u2 λ 
u⋅n
= =
A B C
z p3 + u3λ 
=
 
 u⋅n 
π : Ax + By + Cz + D =
0
=
α 90º −ar cos    

u⋅n
n = ( A, B, C )


10
Geometría en el espacio
ÁNGULO QUE FORMAN DOS PLANOS
Ángulo
Perpendicularidad
Paralelismo
 
 
 
π ⊥ π ' ⇒ n⋅n' =
0
π π ' ⇒ n  n'
n1 ⋅ n2
cos α =  
A ⋅ A '+ B ⋅ B '+ C ⋅ C ' =
0
A B C
n1 ⋅ n2
= =
A
' B' C'
 
 n1 ⋅ n2 
α = ar cos    
 n1 ⋅ n2 


π : Ax + By + Cz + D =
0

n = ( A, B, C )
π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' =
0

n ' = ( A ', B ', C ')
10. OTROS CONCEPTOS IMPORTANTES
Punto medio
Dados dos puntos:
P( p1 , p2 , p3 ) y Q(q1 , q2 , q3 )
 p1 + q1 p2 + q2 p3 + q3 
,
,


2
2 
 2
Punto simétrico
El simétrico de P( p1 , p2 , p3 ) respecto de
Q(q1 , q2 , q3 )
( 2q1 − p1 , 2q2 − p2 , 2q3 − p3 )
Obtención de un vector perpendicular …

…a uno dado
u = ( u1 , u2 , u3 ) Obtenemos
 
…a otros dos
Dados u y v Obtenemos
  

w/u ⊥ w→
= w ( −u2 , u1 , 0 )
   
w / w= u × v
Obtener vector director de una recta en forma implícita

Ax + By + Cz + D =
0

=
u ( A, B, C ) × ( A ', B ', C ')
r:

A' x + B ' y + C ' z + D ' =
0
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