S16 - UAM

2.10 Integración numérica
2.10.
Integración numérica
2.10.1.
Cuadratura de Gauss
La integración de una función  mediante el método de integración de Gauss para 1, 2 y 3 es,
respectivamente:
Z
1
−1
Z
Z
1
−1
Z
1
−1
Z
Z
1
 ()  =
−1
1
 ( )  =
−1

X
 
=1
 X

X
( )
   (   )
=1 =1
1
 (  )  =
−1
 X

 X
X
    (     )
=1 =1 =1
donde  son las funciones de peso para los  puntos. En la siguiente tabla se tiene la ubicación
y las funciones de peso para  puntos.
Puntos
Ubicación
Peso



1
0
2
2
± √13
1
00
p
± 35
89
3
4
59
±086113 63115 94053
034785 48451 47454
±033998 10435 84856
065214 51548 62546
El método integra en forma exacta polinomios de orden :
 = 2 − 1
2.10.2.
(2.161)
Ejemplo
Determine la integral de la siguiente función:
Z
1
 () 
(2.162)
−1
3
donde  () = 4 − 32
Solución exacta
La integral es:
c
°GJL,
UAM
92
2.10 Integración numérica
Z
1
−1
¡
Solución numérica
¯1
¢
43 − 32  = 4 − 3 ¯−1 = −2
El orden de la función de la ec. (2.162) es  = 3. Los puntos de integración se determina con la
ec. (2.161):
3 = 2 − 1 →  = 2
Integrando la función de la ec. (2.162) con el método de Gauss:
Z
1
¡ 3
¢
4 − 32  = 1 ·  (1 ) + 2 ·  (2 )
−1
à µ
à µ
¶
¶ !
¶
¶ !
µ
µ
1 3
1 2
1 2
1 3
= 1 4 √
−3 √
− 3 −√
+ 1 4 −√
3
3
3
3
= −2
Tarea
Determine por el método de integración de Gauss la integral de la matriz de rigideces y de las
fuerzas de cuerpo de el elemento 1D cuadrático isoparamétrico.
 =
2 

Z1
−1
 =  

2
⎢
⎢
⎣
Z1
−1
c
°GJL,
UAM
⎡
⎡
⎢
⎢
⎣
1
2
1
2
(2 − 1)
⎤
⎥h
1
(2 + 1) ⎥
⎦ 2 (2 − 1)
−2
⎤
1
(
−
1)

2
⎥
1
⎥ 
2 ( + 1)  ⎦
1
2
(2 + 1) −2
i

1 − 2
93