Curvaturas de Gauss y media en superficies

C URVAS Y SUPERFICIES . R ELACI ÓN 3
C URVATURAS DE SUPERFICIES
Curso 2015-16
1. Sea S una superficie orientable con aplicación de Gauss N : S → S2 . Demostrar que N es
un difeomorfismo local si y sólo si K(p) 6= 0 para cada p ∈ S. ¿Es cierto el resultado si se
sustituye K(p) por H(p)?
2. Probar que si una superficie orientable y conexa S es a la vez llana y minimal, entonces
es un abierto de un plano afı́n. Deducir que los planos afines son las únicas superficies
orientables, conexas y cerradas (como subconjuntos de R3 ) llanas y minimales.
3. Demostrar que si una superficie orientable S y un plano afı́n P se cortan de forma tangente
a lo largo de la traza de una curva regular α, entonces K se anula sobre la traza de α.
4. Sea S una superficie orientable con aplicación de Gauss N : S → S2 . Una curva regular
α : I → S es una lı́nea de curvatura de S si α0 (t) es una dirección principal de S en α(t)
para cada t ∈ I. Demostrar el teorema de Olinde-Rodrigues: la curva α es lı́nea de curvatura
si y sólo si existe λ : I → R diferenciable tal que (N ◦ α)0 (t) = λ(t) α0 (t) para cada t ∈ I.
5. Sea S una superficie orientable y P un plano afı́n. Probar que si S y P se cortan a lo largo
de una curva regular α con un ángulo constante, entonces α es lı́nea de curvatura de S.
6. Demostrar que si S es una superficie reglada (véase el ejercicio 6 de la relación 2) entonces
la curvatura de Gauss K de S cumple K ≤ 0 en S.
7. En cada uno de los siguientes casos calcular una base ortonormal de direcciones principales, la curvatura de Gauss y la curvatura media de la superficie S en el punto p indicado:
ii) S = {(x, y, z) ∈ R3 / cos(x) + cos(y) + cos(z) = 0}, p = (0, π, π/2).
iii) S = {(x, y, z) ∈ R3 / z = x y}, p = (0, 0, 0).
8. Se considera el hiperboloide de una hoja S = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 − z2 = 1}. Demostrar
que, para cada p = (x, y, z) ∈ S, los vectores e1 = (−y, x, 0) y e2 = (x z, y z, 1 + z2 ) forman
una base ortogonal de direcciones principales de S en p. Calcular K(p) y H(p).
9. Sea S una superficie orientable con aplicación de Gauss N : S → S2 . Sea φ : R3 → R3 la
homotecia dada por φ(p) = λp con λ > 0. Denotemos S0 = φ(S). Demostrar que la aplicación N 0 : S0 → S2 dada por N 0 (φ(p)) = N(p) es una aplicación de Gauss en S0 . Estudiar
cómo se relacionan las segundas formas fundamentales y las curvaturas de S y S0 .
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Relación 3. Curvaturas de superficies
10. Sea S una superficie orientable con aplicación de Gauss N : S → S2 . Para cada r ∈ R, se
define la aplicación diferenciable Fr : S → R3 dada por:
Fr (p) = p + r N(p).
Supongamos que Sr = Fr (S) es una superficie (la llamada superficie paralela a distancia
orientada r) y que Fr : S → Sr es un difeomorfismo. Probar que Sr es orientable y encontrar
una aplicación de Gauss Nr : Sr → S2 tal que Nr ◦ Fr = N. Calcular las curvaturas de Sr y
relacionarlas con las de S.
11. Sea φ : R3 − {0} → R3 − {0} la inversión centrada en el origen, dada por:
φ(p) =
p
.
|p|2
i) Probar que φ es un difeomorfismo con φ−1 = φ, y que la diferencial de φ en cada
punto p ∈ R3 − {0} está dada por:
2 p, v p
v
, ∀v ∈ R3 .
(dφ) p (v) = 2 −
|p|
|p|4
Deducir que (dφ) p conserva los ángulos entre vectores.
ii) Sea S ⊂ R3 − {0} una superficie orientable con aplicación de Gauss N : S → S2 .
Denotemos S0 = φ(S). Definimos una aplicación N 0 : S0 → S2 como:
2 p, N(p) p
0
N (φ(p)) = N(p) −
.
|p|2
Demostrar que N 0 es una aplicación de Gauss en S0 .
iii) Probar que las curvaturas de Gauss y media de las superficies S y S0 están relacionadas
por medio de las siguientes igualdades:
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K 0 (φ(p)) = |p|4 K(p) + 4 |p|2 p, N(p) H(p) + 4 p, N(p) ,
H 0 (φ(p)) = |p|2 H(p) + 2 p, N(p) .
Concluir que si p ∈ S es umbilical entonces φ(p) ∈ S0 también lo es.
12. Sea S una superficie orientable y p ∈ S. Se llama indicatriz de Dupin de S en p al conjunto:
D p = {v ∈ Tp S / σ p (v, v) = ±1}.
i) Demostrar que D p es la unión de dos cónicas en Tp S.
ii) Describir D p en función de si p es elı́ptico, hiperbólico, parabólico o plano.
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Relación 3. Curvaturas de superficies
Se puede probar (página 169 del libro de do Carmo) que si p ∈ S es un punto no plano y Pt
es la unión de los dos planos a distancia t del plano afı́n tangente p + Tp S, entonces Pt ∩ S
es semejante, tras despreciar términos infinitesimales a p + D p cuando t → 0. Esto justifica
la terminologı́a empleada para clasificar los puntos de una superficie.
13. Un ovaloide es una superficie compacta y conexa con curvatura de Gauss positiva en cada
punto (en particular, sabemos que S es orientable). Demostrar que si S es un ovaloide y
N : S → S2 es una aplicación de Gauss de S, entonces N es sobreyectiva.
14. Sea S una superficie conexa y no llana con aplicación de Gauss N : S → S2 . Demostrar que
son equivalentes las siguientes afirmaciones:
i) S es un abierto de una esfera centrada en un punto p0 ∈ R3 .
ii) Existe p0 ∈ R3 tal que la función f (p) = p − p0 , N(p) es constante sobre S.
15. Sea α : I → R3 una curva regular y embebida con α(I) ⊂ {z = 0}. Sea S el cilindro recto
sobre α descrito en el ejercicio 5 de la relación 2. Demostrar que S es una superficie llana.
¿De qué depende que un punto de S sea parabólico o plano?
16. Clasificar según el valor de K(p) y H(p) el punto p = (0, 0, 0) del grafo:
Sn = {(x, y, z) ∈ R3 / z = xn + yn },
n ∈ N.
i) ¿Cuál es la posición local entre Sn y el plano afı́n tangente en p?
ii) ¿Cuáles son los puntos umbilicales del grafo S2 ?
iii) Clasificar todos los puntos de S3 .
17. (Curvaturas de Gauss y media de una superficie de revolución). Sea α : I → R3 una curva
regular y embebida con α(I) ⊂ P+ = {y = 0, x > 0}. Pongamos α(t) = (x(t), 0, z(t)) con
x, z : I → R diferenciables y x(t) > 0 para cada t ∈ I. Sea Sα la superficie de revolución
generada por α mediante rotaciones alrededor del eje z.
i) Calcular K y H sobre Sα en función de las componentes de α. Deducir que K y H
son constantes a lo largo de cada paralelo de Sα .
ii) Caracterizar geométricamente los paralelos de Sα en los que K se anula.
iii) Probar que si α está p.p.a. y x(s) representa la distancia de α(s) al eje z, entonces el
valor de K sobre el paralelo generado por α(s) es −x00 (s)/x(s).
18. Sea f : I → R una función diferenciable y positiva. Se considera el grafo α : I → P+ dado
por α(t) = ( f (t), 0,t). Sea S f la superficie de revolución generada por α.
i) Calcular K y H sobre S f .
ii) Clasificar los puntos de S f en función de la curvatura del grafo generatriz. ¿Puede
tener puntos planos una superficie S f ?
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Relación 3. Curvaturas de superficies
iii) Utilizar el apartado i) para probar que si f (t) = (1/λ) cosh(λt + µ), entonces S f es
una superficie minimal. ¿Tiene esta superficie S f puntos umbilicales?
iv) Probar que si S f es cerrada y llana, entonces I = R y S f es un cilindro circular vertical.
19. Clasificar, en función de K y H los puntos de las siguientes superficies:
i) El toro de revolución definido en el ejercicio 3 de la relación 2.
ii) El catenoide definido en el ejercicio 2 de la relación 2.
iii) La superficie de revolución con generatriz α(t) = (t 3 + 1, 0,t), donde t ∈ (−1, +∞).
Discutir además la posición local respecto del plano afı́n tangente en cada caso.
20. Utilizar las expresiones para K y H de los ejercicios 17 y 18 para construir:
i) Una superficie de revolución con un único paralelo de puntos planos.
ii) Una superficie S con K = −1 en S.
21. Describir todas las superficies de revolución llanas.
22. Describir todas las superficies de revolución minimales cuya curva generatriz es un grafo
sobre el eje de giro.
23. Demostrar que el helicoide Sλ definido en el ejercicio 4 de la relación 2 es una superficie minimal. Calcular la curvatura de Gauss de Sλ en cada punto. Sea N : Sλ → S2 una
aplicación de Gauss de S. ¿Es N un difeomorfismo?
24. Sea S una superficie orientable y p ∈ S con K(p) = 5 y H(p) = 3. ¿Es posible encontrar
una sección normal de S en p que tenga curvatura 1/2 en p? ¿Y que tenga curvatura 4?
25. Sea S una superficie orientable, conexa y cerrada con curvaturas principales ki , i = 1, 2. Se
define la norma al cuadrado de la segunda forma fundamental de S en p como:
|σ|2 (p) = k1 (p)2 + k2 (p)2 .
Probar que |σ|2 (p) ≥ 2 H(p)2 , y que se da la igualdad para cada p ∈ S si y sólo si S es un
plano o una esfera.
26. Demostrar que si S es un ovaloide y la función 2H + K es una constante c ≥ 0, entonces S
es una esfera. ¿Puede ocurrir que c = 0?
27. Supongamos que las curvaturas principales de un ovaloide S satisfacen k2 = f (k1 ), donde
f : R → R es una función decreciente. Probar que S es una esfera. Deducir que:
i) Un ovaloide con la propiedad de que H/K es constante es necesariamente una esfera.
ii) Un ovaloide con una de sus curvaturas principales constante es una esfera.
28. Demostrar que si una superficie orientable y conexa S tiene sus curvaturas principales
constantes y al menos un punto elı́ptico, entonces S es un abierto de una esfera. ¿Es cierto
el resultado si K ≤ 0 en S?