∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Integración numérica: Cuadratura de gauss 2D El objetivo de este anexo es doble. Por un lado presentar el concepto de elemento isoparamétrico y por otro su aplicación en el cálculo de la integración numérica de una función continua definida sobre un elemento cuadrilátero. Supóngase que f : e   es una función continua definida sobre el cuadrilátero  e que se representa en la figura. e
ŷ
x̂
Supóngase que se desea calcular la siguiente integral: 
I
f (x)d  e 
e

f ( x, y )dxdy e
Reformulación de la integral sobre el elemento estándar 
1
1 x(ξ )  x( , )
1

e
ŷ
1
x̂
ξ ( x)
Mediante la aplicación del teorema de cambio de variable, la integral se formula, de forma equivalente, en el espacio del elemento estándar Wstd = [-1,1]´[-1,1] . I

1 1
f (x)d e 
e
J
e
f (x( , )) d d 1 1
donde J representa el jacobiano de la transformación x( , ) y  su determinante. e
 x( , ) 
 se formula como:  y ( , ) 
La transformación x( , )  
4
x( , )   N a ( , ) xae
a 1
4
y ( , )   N a ( , ) yae
a 1
 x
 
Je  
 x
 

y 
 
 y 
 
J e  det J e Como se puede observar la función de transformación x( , ) se construye utilizando las mismas funciones de forma que se utilizan para aproximar las variables del problema. Las propiedades se ilustran en la siguiente figura: 
1
1
x(ξ )  x( , )
1

e
ŷ
1
x̂
Cada una de las componentes del jacobiano vienen dadas por: 4
N
x
  a xae
 a 1 
4
N
y
  a yae
 a 1 
4
N
x
  a xae
 a 1 
4
N
y
  a yae
 a 1 
Las funciones de forma y sus derivadas vienen dadas por: 1
N a (x , h ) = (1 + xa x )(1 + ha h )
4
¶N a 1
= (1 + ha h )xa
¶x
4
¶N a 1
= (1 + xa x )ha
¶h
4
Integración numérica Antes de presentar la fórmula de integración estudiemos el orden polinómico del integrando. Las funciones de forma N a (x , h ) son de orden cuadrático. Sus derivadas son, por tanto, de orden lineal. Cualquiera de las componentes del jacobiano es de orden lineal y por tanto su determinante recobra el orden cuadrático. El orden polinómico final dependerá del orden de f . Si suponemos que f es de orden lineal entonces el orden del integrando es cúbico, tanto en x como en h . Recordando que el número de puntos de gauss requeridos viene dado por ngaus 
que necesitamos 2 puntos de gauss por cada variable. p 1
se observa 2
 ng

e
J
f
(

,

)
d

d


1 1
1 ig1 wig J (ig , ) f (ig , )  d



g ( )
1 1
I
1
e
ng
  w jg g ( jg )
jg 1
 ng

  w jg  wig J e (ig , jg ) f (ig , jg ) 
jg 1
ig 1

ng
Por tanto, la integral se calcula mediante la siguiente fórmula: ng
ng
I    w jg wig J e (ig , jg ) f (ig , jg ) jg 1 ig 1