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GUÍA REFORZAMIENTO 3° MEDIO
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Y ECUACIÓN DE LA RECTA
SISTEMA CARTESIANO BIDIMENSIONAL
Un sistema o plano cartesiano consta de dos rectas
perpendiculares, el eje X y el eje Y, que se intersectan
en el origen (el 0 de cada recta). Los ejes dividen al
plano en cuatro regiones llamadas “cuadrantes”,
numeradas en sentido antihorario.
Ejercicios:
Determine la distancia entre los siguientes pares de
puntos:
a) (2 , 5) y (3 , 4)
b) (-4 , 3) y (-2 , -5)
c) (9 , 3) y (6 , -1)
d) (-7 , 5) y (5 , 0)
PENDIENTE DE UN TRAZO
Y +
II
La pendiente de un trazo, y por ende de una recta,
representa la inclinación de ella. Se simboliza,
generalmente por la letra “m” y se define por la
siguiente expresión:
I
-
+
X
III
y − y1
m= 2
x 2 − x1
IV
-
Dado un punto P en el plano, si dibujamos por P las
rectas paralelas a los ejes, en la intersección de la
paralela al eje Y con el eje X se determina el nº real “a”
que se denomina abscisa del punto P y en la
intersección de la paralela al eje X con el eje Y se
determina el nº real “b” que se denomina ordenada del
punto P. La abscisa y la ordenada son las coordenadas
del punto P y se escribe como un par ordenado con la
abscisa como primer componente (a,b).
Y
b
Ejemplo: Sean P1(3,-1) y P2(5,1), entonces la pendiente
del trazo que une a P1 y P2 es:
m=
1 - (-1) 2
= =1
5-3
2
ECUACIÓN DE LA RECTA
La ecuación de la recta es una ecuación de la forma:
“y = mx + n”; en donde “m” es la pendiente y “n” es el
punto donde tal recta intersecta al eje Y y se denomina
“coeficiente de posición”.
Una ecuación de la forma antes mencionada se
denomina “Ecuación Principal de la Recta”
P(a,b)
a
X
Ejercicios:
Ubique en el plano cartesiano los siguientes
puntos:
a) P1(2,4)
b) P2(-1,5)
c) P3(3,-3)
d) P4(0,6)
e) P5(4,-2)
f) P6(-2,0)
y = mx + n: Ecuación Principal de la Recta
m : Pendiente
n : Coeficiente de posición.
Ejemplo:
La ecuación de la recta con pendiente 3 y coeficiente
de posición -2 es:
y = 3x - 2
y su gráfico es:
y
4
3
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos en el plano, P1(x1,y1) y P2(x2,y2),
podemos encontrar la distancia entre ellos mediante la
expresión:
d = (x 2 − x 1 ) + (y 2 − y 1 )2
2
1
2
Ejemplo:
Sean P1(2,-5) y P2(-4,3), la distancia entre ellos es:
d=
(− 4 − 2)2 + ( 3 − ( −5))
2
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
=
(− 6)2 + (8)
2
−4
36 + 64
= 100
d=
= 10
1
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación de la forma:
ax + by +c = 0
en donde a, b y c son números reales se denomina
Ecuación General de la Recta.
Es posible pasar de la forma general a la forma principal
mediante un ordenamiento de los términos, asi, la
ecuación:
y = mx + n,
escrita en la forma general queda
mx – y + n = 0
mientras que la ecuación:
ax + by + c = 0
escrita en la forma principal queda:
y=
-a
c
x- ;
b
b
de donde se concluye que:
a
b
c
n= −
b
m= −
OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN
TRAZO
Dados dos puntos en el plano cartesiano, P1(x1,y1) y
P2(x2,y2), el punto medio entre estos puntos es el punto:
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
,
P⎜ 1
⎟
⎝
2
2
⎠
ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS EN EL PLANO
PERÍMETRO:
Para calcular el perímetro de figuras geométricas en el
plano cartesiano, determinadas por puntos del plano, se
debe calcular la distancia entre todas las parejas de
puntos, previa ubicación de ellos en el plano, para luego
sumar dichas distancias.
ÁREA:
Una forma de hacerlo es encerrar los puntos,
previamente ubicados en el plano, en un rectángulo para
luego determinar el área mediante diferencias, sin
embargo existe un método más sencillo y que consiste en
escribir los puntos mediante un ordenamiento matricial,
repitiendo al final el primer punto, como sigue:
Ejemplo: dados los puntos: (2,4); (-3,5) y (5,7)
determinar el área del triángulo establecido por ellos.
i) Ecuación punto pendiente:
2
Es la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(x0,y0)
y tiene una pendiente dada:
−3 5
5 7
y – y0 = m(x – x0)
ii) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1,y1)
y P2(x2,y2):
y − y1
y - y1 = 2
( x - x1 )
x 2 − x1
iii) Ecuación de Segmentos:
Es la ecuación de la recta determinada por los puntos de
intersección con los ejes X y Y
x y
+ =1
a b
a: intersección con el eje X
b: intersección con el eje Y
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si y solo sí sus pendientes son
iguales y no tienen puntos en común.
Si L1: y = m1x + n1 y L2: y = m2x + n2 son las ecuaciones
de las rectas L1 y L2, entonces:
4
2
A=
4
2 · 5 + - 3 · 7 + 5 · 4 - (-3 · 4 + 5 · 5 + 2 · 7)
2
10 - 21 + 20 - (-12 + 25 + 14)
2
Las dos líneas verticales
9 - 27
A=
paralelas significan valor
2
absoluto y es un número
- 18
A=
positivo
2
A=9
A=
EJERCICIOS
1. Calcule el perímetro y el área de las figuras
geométricas determinadas por los puntos:
a) (3,7); (-1,4) y (5,-4)
b) (2,-3); (4,0); (-3,-2) y (-2,-5)
2. Encuentre las coordenadas del punto medio del trazo
(4,-7) y (-12,5)
L1 // L2 ⇔ m1 = m2
3. Encuentre la ecuación de la recta cuya pendiente es -3
y el coeficiente de posición es 2/3
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si y solo sí el producto de
sus pendientes es -1.
Si L1: y = m1x + n1 y L2: y = m2x + n2 son las ecuaciones
de las rectas L1 y L2, entonces:
L1 ⊥ L2 ⇔ m1 · m2 = -1
4. Encuentre la ecuación de la recta cuya pendiente es 5
y pasa por el punto (5,-2). Exprésela en la forma general
y principal.
2
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. Si un punto A tiene coordenadas (1,2) y un punto B
tiene coordenadas (9,8), ¿Cuál es la distancia entre
ellos?
A) 10
D) 7
B) 9
E) 6
C) 8
2. La distancia entre los puntos A(-5,4) y B(7,-1) es:
A) 5
D) 18
B) 17
E) 6 10
C) 13
3. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo cuyos vértices
son (1,4); (1,7) y (4,4)
4.
A)
3+
B)
C)
3 2
6
2
D) 6 + 3 2
E) 9 + 3 2
Si A(0,a), B(0,-4); C(2,-1) y D(2,2) son los vértices
de un paralelogramo, entonces a =
D) -2
A) -8
E) -1
B) -7
C) -6
5. El cuadrilátero ABCD es un trapecio isósceles con
AD / /BC y vértices A(3,0), B(2,3) y C(-2,3). Las
coordenadas del vértice D son:
D) (-4,0)
A) (-1,0)
B) (-2,0)
E) (7,0)
C) (-3,0)
6. Tres de los 4 vértices de un paralelogramo tienen
coordenadas: (0,-2), (-1,0) y (-2,-2). Las coordenadas
del cuarto vértice pueden ser:
I. (-3,0)
II. (1,0)
III. (-1,-4)
De estas afirmaciones es(son) verdadera(s):
D) solo I y II
A) solo I
E) Todas
B) solo II
C) solo III
7. El triángulo que tiene vértices en los puntos A(0,3),
B(7,6) y C(2,8) es:
D) equilátero
A) escaleno
E) obtusángulo
B) rectángulo isósceles
C) rectángulo escaleno
8. Las coordenadas del punto medio del trazo que tiene
por extremos los puntos P(1,3 ; 2,4) y Q(2,5 ; 1,6)
son:
D) (1,9 ; 4,0)
A) (3,8 ; 4,0)
E) (1,8 ; 2,5)
B) (1,9 ; 2,0)
C) (3,8 ; 2,0)
9. Si M(3,0) es el punto medio del trazo AB , con
A(4,6), entonces las coordenadas de B son:
D) (1/2,3)
A) (-10,-6)
E) (-5,-3)
B) (3/2,3)
C) (11,12)
10. Si el punto medio del segmento que tiene por
extremos los puntos P(m,2) y Q(3m,-4) tiene
coordenadas (-6,-1), entonces m =
D) -3/2
A) -4
B) -3
E) 2
C) -2
11. La distancia entre los puntos P(a,b) y Q(b,a) es
A) 0
D) (b – a)
B) a + b
C) 2a + 2b
E) (b – a)
2
2
12. En la figura, el área del ∆ ABC es 24, ¿Cuáles son las
coordenadas del punto B?
A) (10,-2)
C(2,4)
B) (10,2)
C) (2,6)
D) (8,-2)
E) Falta información
A(2,-2)
B
13. La ecuación que representa a la recta de la figura es:
A) -3x + 2y = 0
B) 3x – 2y + 2 = 0
C) 2x – 3y + 2 = 0
D) -2x + 3y + 6 = 0
2
E) 2x – 3y + 6 = 0
-3
14. La pendiente de la recta de ecuación 3x – 9y – 4 = 0 es:
1
D)
A) 3
3
4
B) -3
E) −
9
1
C) −
3
15. La pendiente de la recta de ecuación x = 4y – 8 es:
1
A)
D) 8
4
E) 2
B) 4
C) 1
16. Para que la recta de ecuación 3kx + y – 10 = 0 tenga
pendiente 6, el valor de k debe ser:
A) 2
D) -3
E) 6
B) -2
C) 3
17. Una recta paralela a la recta de ecuación 5y=12x+20
es:
12
A) y = 12x + 1
D) 5y =
x–1
5
E) 10y = 24x
B) y = 5x – 2
C) y = 4x + 8
18. La ecuación que representa a la recta de la figura es:
A) 2x + 3y – 6a = 0
B) 3x + 2y – 6a = 0
C) 3x – 2y -- 6a = 0
D) 3x + 2y + 6a = 0
E) 3x – 2y + 6a = 0
2a
3a
19. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-5,2)
y Q(2, -1) es:
A) 3x + 7y + 1 = 0
B) x + 2y = 0
C) 3x + 8y – 1 = 0
D) 4x + 7y – 1 = 0
E) 2x + 5y = 0
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