TALLER DE MATEM´ATICAS GEOMETRÍA. CIRCUNFERENCIAS

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GEOMETRÍA. CIRCUNFERENCIAS
NOTAS
En los problemas en los que intervienen circunferencias conviene tener presentes las siguientes propiedades:
(i) La mediatriz de una cuerda de una circunferencia pasa por su centro. Como un caso
lı́mite de esta propiedad se tiene que la recta tangente y el radio trazados por un punto
de la circunferencia son perpendiculares.
Se deduce de lo anterior que tres puntos no colineales determinan una única circunferencia cuyo centro se obtiene intersecando las mediatrices de los segmentos que unen
dichos puntos. En particular, las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes
(se cortan justamente en el centro de la circunferencia circunscrita, punto que se llama el
circuncentro del triángulo.)
(ii) En todo triángulo se puede inscribir una circunferencia. (Se parte de una circunferencia
en el interior del triángulo que sea tangente a dos de los lados y se hace aumentar su
radio progresivamente manteniendo siempre las tangencias a los dos lados. En algún
momento la circunferencia toca al tercer lado y por lo tanto es tangente a los tres lados
a la vez.) Hay una relación muy sencilla entre el radio de esta circunferencia y el área
del triángulo: el área es el producto del radio por el perı́metro del triángulo dividido por
dos (la demostración es muy simple, basta dividir el triángulo en otros tres triángulos
desde el centro de la circunferencia).
Por cuestiones de simetrı́a, es fácil ver que las bisectrices de los ángulos de un triángulo
pasan por el centro de la circunferencia inscrita, por lo tanto las tres bisectrices de un
triángulo se cortan en dicho punto (se llama el incentro del triángulo).
La última propiedad es extremadamente útil cuando hay que manejar circunferencias
y ángulos.
(iii) Si A, B y C son tres puntos en una circunferencia de centro O, el ángulo que forman
las cuerdas AB y AC es la mitad del ángulo BOC (en realidad hay dos posibles formas
de medir el ángulo BOC que corresponden con los dos arcos en que queda dividida la
circunferencia por los puntos B y C. Debe tomarse el ángulo que corresponde al arco
que no contiene a A, es decir, el ángulo del arco subtendido por AB y AC).
PROBLEMAS
1. Los segmentos AX y BX son perpendiculares. Desde A parten dos semirrectas cuya
bisectriz es AX y, similarmente, desde B parten otras dos semirrectas con bisectriz BX.
Además, los ángulos que forman estas semirrectas son el mismo. Demostrar que los cuatro
puntos de corte de las semirrectas están sobre una circunferencia.
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2. Hallar la longitud de una diagonal de un pentágono regular en el que todos los lados
miden 1. (Ayuda. Si A, B, C y D son cuatro vértices consecutivos, dibujar las diagonales
AC y BD.)
3. Sea M un punto interior del segmento AB. Se construyen cuadrados AM CD y BEHM
en el mismo lado de AB. Si N es el segundo punto de intersección de las circunferencias
circunscritas a dichos cuadrados, probar que:
(i) Los puntos B, N y C están alineados.
(ii) El punto H es el ortocentro del triángulo ABC.
(Fase local, 2005)
4. Se consideran tres circunferencias C1 , C2 y C3 tangentes a una misma recta y tangentes
entre sı́ dos a dos. Hallar el radio de C3 sabiendo que el de C1 es 36 cm. y el de C2 es 9
cm. (Fase local, 1999.)
Un problema del mismo estilo pero más complicado es el siguiente.
5∗ . Se tienen dos semicircunferencias iguales y tangentes S1 y S2 de modo que sus
diámetros se encuentran en una misma recta. Trazamos la recta tangente común a ambas r y dibujamos una circunferencia C1 tangente a r, S1 y S2 . Luego trazamos otra
circunferencia C2 tangente a C1 , S1 y S2 . Ası́ sucesivamente obtenemos una familia de
circunferencias C1 , C2 , . . . , Cn , . . .
(i) Calcular el radio rn de Cn en función de n y el radio R de S1 y S2 .
(ii) Utilizar la construcción del problema para comprobar que
1
1
1
+
+ ··· +
1·2 2·3
n · (n + 1)
tiende a 1 cuando n tiende a infinito. (Fase local, 1991.)
6. En el triángulo ABC, rectángulo en A, se traza la altura AD (D pertenece a BC).
Sean M (sobre AB) y N (sobre AC) los pies de las bisectrices interiores de los ángulos
C y B, respectivamente. Sea P el punto de intersección de AD y M N . Demostrar que
AP = r, el radio de la circunferencia inscrita en ABC. (Fase local, 1995.)
7∗ . El baricentro del triángulo ABC es G. Denotamos por ga , gb y gc las distancias desde
G a los lados a, b y c, respectivamente. Sea r el radio de la circunferencia inscrita. Probar
que:
(i) ga ≥ 2r/3, gb ≥ 2r/3, gc ≥ 2r/3.
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(ii) (ga + gb + gc )/r ≥ 3. (Fase nacional, 1999.)
8. Dos circunferencias secantes C1 y C2 de radios r1 y r2 se cortan en los puntos A y
B. Por B se traza una recta variable que corta de nuevo a C1 y C2 en dos puntos que
llamaremos Pr y Qr , respectivamente. Demuestra la siguiente propiedad: Existe un punto
M , que depende sólo de C1 y C2 , tal que la mediatriz del segmento Pr Qr pasa por M .
(Fase nacional, 2000.)
9. Se considera en el plano una circunferencia de centro O y radio r y un punto A exterior
a ella. Sea M un punto de la circunferencia y N el punto diametralmente opuesto a M .
Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por A, M y N
al variar M . (Olimpiada Iberoamericana, 2004.)
10∗ . Un triángulo acutángulo se inscribe en una circunferencia. Cada uno de los tres arcos
en que la circunferencia queda dividida se refleja respecto del correspondiente lado del
_
triángulo (el arco AB respecto del lado AB, etc.). Demostrar que los tres arcos reflejados
son concurrentes.
11∗ . Una cuerda de longitud constante se desliza sobre una semicircunferencia. El punto
medio de la cuerda y las proyecciones de sus extremos sobre el diámetro de la semicircunferencia forman los vértices de un triángulo. Demostrar que el triángulo es isósceles y que
nunca cambia de forma.
12∗ . Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de
sus lados es igual a la longitud del tercer lado. Sea ABC . . . XY Z un polı́gono regular de
n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n − 3 diagonales que salen del vértice A
dividen al triángulo ZAB en n − 2 triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos
triángulos es multiplicativo. (Fase nacional, 2005)
13. Demostrar que, en un trińgulo, la distancia de un vértice cualquiera al ortocentro es
el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a ese vértice. (Fase local, 2007)
14. Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de A corta al lado
opuesto en P . Probar que se cumple:
AP 2 + OA2 − OP 2 = bc.
(Fase nacional, 2007)
15. Dada una semicircunferencia de diámetro AB = 2R, se considera una cuerda CD
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de longitud fija c. Sea E la interseccin de AC con BD y F la intersección de AD con
BC. Probar que el segmento EF tiene longitud constante y dirección constante al variar
la cuerda CD sobre la semicircunferencia. (Fase nacional, 2007)
16. Sea P una familia de puntos en el plano tales que por cada cuatro puntos de P pasa
una circunferencia. Se puede afirmar que necesariamente todos los puntos de P están en
la misma circunferencia? Justifica la respuesta. (Fase local, 2008)
17. Dada una circunferencia y dos puntos P y Q en su interior, inscribir un triángulo
rectángulo cuyos catetos pasen por P y Q. ¿Para qué posiciones de P y Q el problema no
tiene solución? (Fase local, 2008)
18. Dada una circunferencia y en ella dos puntos fijos A, B y otro variable P y una recta
r; se trazan las rectas P A, P B que cortan a r en C y D, respectivamente. Determinar dos
puntos fijos de r, M y N , tales que el producto CM · DN sea constante al variar P . (Fase
nacional, 2008)
19. Dado un tringulo acutángulo ABC, determinar para qué puntos de su interior se
verifican las siguientes desigualdades:
1≤
6
6
AP B
≤ 2, 1 ≤
ACB
6
6
BP C
≤ 2, 1 ≤
BAC
6
6
CP A
≤ 2.
CBA
(Fase local, 2009)
* Hay ayudas en la página web.
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