2140 - amontes

Ejercicio 109 Construcciones de triángulos
Applet CabriJava
(2140-405)
Construir un triángulo conociendo la altura desde un vértice A y los radios de las circunferencias inscrita
y exinscrita, relativa al vértice A.
SOLUCIÓN:
La circunferencia exinscrita Ia (ra ) a un triángulo ABC es homotética a la inscrita I(r), mediante la homotecia de
centro A y razón ra /r. Si consideramos los puntos de tangencia E = I(r) ∩ BC y F = Ia (ra ) ∩ BC y el punto D
diametralmente opuesto a E en I(r), se tiene que
ra
AF
=
.
r
AD
Como los triángulos AHa F y DEF (Ha pie de la altura desde A) son semejantes, resulta que
DF
2r
=
.
AF
ha
Se sigue que
ra
AF
=
=
r
AF − DF
1
ha
=
.
DF
ha − 2r
1−
AF
Luego, tenemos la siguiente expresión para el radio ra de la circunferencia exinscrita Ia (ra ):
ra =
rha
.
ha − 2r
Luego los datos dados deben cumplir esta relación, en caso contrario no hay solución.
Trazado un segmento AHa de longitud ha (dada), que es la altura desde el vértice A del triángulo ABC a construir,
se traza las perpendiculares ` a él por su extremo Ha (donde va estar el lado BC) y por el punto que dista r (radio dado
de la circunferencia inscrita I(r), 2r < ha ) de Ha . El centro I de I(r) ha de estar en esta última paralela. Tomamos
un I arbritario y trazamos la circunferencia I(r), sea E el punto de tangencia con ` y D su punto diametralmente
opuesto. La recta AD corta a ` en F , que es el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita Ia (ra ), relativa al
vértice A.
Las tangentes desde A a I(r) cortan a ` en los vértices B y C del triángulo buscado: HAY INFINIDAD DE
SOLUCIONES.
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/trresolu.pdf
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejct2140.pdf
La Laguna, Jueves 24 de Abril del 2008
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Angel Montesdeoca