Estimación de parámetros

Estimación de parámetros
1. Verificar que la media aritmética es un estimador consistente del parámetro µ de
una distribución N (µ, σ).
2. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una variable con E(X) = µ y var(X) = σ 2 ,
verificar los siguientes resultados
E(X̄n ) = µ , E(S 2 ) =
n−1 2
σ
n
3. Probar que en muestras de tamaño 2 de una N (0, σ)
1
2
2
3
U1 = X12 + X22 y U2 = X12 + X22
3
3
5
5
son estimadores insesgados de σ 2 y comparar su eficiencia.
Nota:
R∞
2
4 −u
du =
−∞ u e
√
3 π
.
4
4. Hallar la varianza mı́nima de un estimador centrado para el parámetro λ de una
distribución Poisson y verificar si la media aritmética la alcanza.
5. Para estimar la media de una población se considera el estimador a · X̄. Determinar
el valor de a que minimiza el error cuadrático medio de la estimación.
6. Comprobar que T = ni=1 Xi es un estadı́stico suficiente para p a partir de una
muestra aleatoria de una distribución B(1, p).
P
7. Dada una muesta aleatoria de una N (µ, 2), comprobar que la media muestral es un
estadı́stico suficiente para µ.
8. Comprobar que T1 = ni=1 Xi y T2 =
cientes para µ y σ en una N (µ, σ).
P
Pn
i=1
Xi2 son estadı́sticos conjuntamente sufi-
9. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribución N (µ, σ). Hallar las estimaciones por momentos de µ y de σ.
10. Hallar los estimadores máximo verosı́miles para:
a) El parámetro p de una distribución de Bernouilli.
b) Los parámetros µ y σ de una distribución Normal.
c) El parámetro α de una distribución exponencial.
11. En una gran piscifactorı́a hay una proporciónn desconocida de peces de una especie
A. Para obtener información sobre esa proporción vamos a ir sacando peces al azar.
a) Si la proporción de peces de la especie A es p, ¿cuál es la probabilidad de que
el primer pez de la especie A sea el décimo que extraemos?.
b) Tres personas realizan, independientemente unas de otras, el proceso de sacar
peces al azar hasta encontrarse con el primero de tipo A:
La 1a persona obtiene el primer pez de tipo A en la décima extracción.
1
La 2a persona obtiene el primer pez de tipo A en la décimoquinta extracción.
La 3a persona obtiene el primer pez de tipo A en la décimoctava extracción.
Obtener la estimación de máxima verosimilitud de p.
12. El número de defectos congénitos de un individuo de una cierta población sigue la
distribución de Poisson de parámetro λ. De una muestra de 50 individuos con algún
defecto congénito, se observaron los siguientes datos
nº defectos 1 2 3 4
frecuencia 31 15 4 0
Hallar la estimación máximo verosı́mil de λ.
13. Para determinar la vida media de unos componentes se selecciona al azar una muestra de 10 unidades, con los resultados siguientes: 20, 50, 80, 40, 25, 85. El ensayo se
detiene al cabo de 85 horas y, para entonces, 4 unidades seguı́an en funcionamiento.
Admitiendo que la distribución de vida es exponencial, estimar la vida media de
estos componentes.
14. Hallar un estadı́stico suficiente para θ y el estimador máximo verosı́mil de θ.
fθ (x) = θxθ−1 0 < x < 1 , θ > 0
15. Hallar el estimador máximo verosı́mil del parámetro θ a partir de una muestra
aleatoria extraı́da de una población con función de densidad
fθ (x) = θ(1 − x)θ−1 0 < x < 1
16. Hallar el estimador por momentos y el máximo verosı́mil del parámetro θ a partir
de una muestra aleatoria extraı́da de una población con función de densidad
fθ (x) = θx (1 − θ)1−x x = 0 o x = 1 , 0 < θ ≤ 1/2
17. Estimar el parámetro θ de la función de densidad
fθ (x) =
1
0 ≤ x ≤ θ ,θ > 0
θ
utilizando tanto el método de los momentos como el máximo verosı́mil. ¿Cuál de los
dos estimadores es preferible?
18. Sean X y Y dos variables aleatorias con distribuciones N (µ1 , σ) y N (µ2 , σ), respectivamente.
a) Hallar la estimación máximo verosı́mil de la varianza comun σ 2 .
b) ¿Es un estimador insesgado? En caso negativo hallar uno que lo sea.
2
19. Estimar por el método de Bayes el parámetro a de la función de densidad
(
f (x) =
2x
a2
0<x<a
en caso contrario
0
Sabemos que el parámetro está entre 2 y 6 y disponemos de una muestra de tamaño
n=10. X = (2.83 , 2.35 , 4.88 , 4.39 , 3.18 , 4.13 , 2.23 , 4.32 , 2.58 , 2.36 ).
Hallar también el estimador por momentos y el máximo verosı́mil.
20. La proporción de piezas defectuosas que produce una máquina en un dı́a determinado
es p. Aunque p permanece constante a lo largo de un dı́a, varı́a de un dı́a a otro
según una cierta ley de probabilidad. Si en un dı́a se han examinado n piezas con
reemplazamiento de las cuales k resultaron defectuosas, estimar p si la distribución
a priori de p es
f (p) = 3p2 0 < p < 1
y la función de pérdida és L = (p̂ − p)2 .
Nota:
R1 n
x (1 − x)m dx
0
=
n!m!
.
(n+m+1)!
21. Asumiendo el siguiente modelo lineal de regresión:
yi = α + βxi + i
con i ∼ N (0, σ)
Comprobar que la estimación mı́nimo cuadrática y máximo verosı́mil de los parámetros de la recta coinciden.
22. En un ensayo clı́nico controlado los participantes fueron asignados aleatoriamente a
dos grupos: Aspirina y Placebo. Al final del estudio de cinco años se anotó el número
de individuos que habı́an padecido un infarto de miocardio. Los resultados son
Infarto
Aspirina
104
Placebo
189
No infarto total
10933
11037
10845
11034
La estimación del riesgo relativo (RR) es el cociente entre las proporciones de casos
en los dos grupos
104/11037
RR =
= 0, 55
189/11034
Interpretando que el riesgo de infarto es 1/0,55 = 1,82 veces superior en el grupo
Placeo que en el que tomó aspirina. Utilizar bootstrap para determinar el error
standard de RR.
3
Soluciones
1.
2.
3. Var(U1 ) =
4. CCR =
5. a =
λ
n
10 4
σ
9
, Var(U2 ) =
26 4
σ
25
< Var(U1 )
= Var(X)
1
1+
σ2
nµ2
6.
7.
8.
9. µ̂ = X , σ̂ = S
10.
a) p̂ =
k
n
K = #1
b) µ̂ = X , σ̂ = S
c) α̂ = X
11.
a) (1 − p)9 p
b) p̂ = 0,0698
12. Resolución numérica de −50λ + 73 − 73e−λ = 0,
λ = 0,8114352
13. α̂ = 106, 67
14. Estadı́stico suficiente
P
ln xi . θ̂ = P−n
ln xi
−n
15. θ̂ = P ln(1−x
i)
16. Momentos θ̂ = X. MLE θ̂ = mı́n{X, 1/2}
17. Momentos θˆ1 = 2X. MLE θˆ2 = máx{X1 , . . . , Xn } Var(θˆ1 ) =
nθ2
(n+2)(n+1)2
18.
a) σˆ2 =
n1 S12 +n2 S22
n1 +n2
b) Insesgado Ŝ =
n1 S12 +n2 S22
n1 +n2 −2
19. Bayes â = 5, 12698, Momentos â = 4, 9875, EMV â = 4, 88
20. p̂ =
k+3
n+4
4
θ2
3n
, Var(θˆ2 ) =