Ejercicio de estimación de máxima verosimilitud

Ejercicio de estimación de máxima verosimilitud
El tiempo de realización en minutos de una determinada tarea dentro de un
proceso industrial es una variable aleatoria con función de densidad
f (x) =
x −x/θ
e
θ2
si x > 0
donde θ > 0.
a) Calcular el estimador máximo-verosı́mil de θ para una muestra aleatoria
simple de tamaño n.
1. Escribir la verosimilitud:
L(θ)
ind.
L(x1 , . . . , xn ; θ) =
=
n
Y
i.d.
fXi (xi ) =
i=1
n Y
xi
=
θ2
i=1
ea ·eb =ea+b
=
1
θ2
n
e
−xi /θ
1
= 2
θ
n Y
n
n
1X
exp −
xi
θ i=1
(
)
e−xi /θ
i=1
n
Y
n
Y
fX (xi )
i=1
n
Y
xi
i=1
xi ;
x1 , . . . , x n > 0
i=1
2. Escribir el logaritmo de la verosimilitud:
`(θ)
ln L(θ) = ln
=
ln(a·b)=ln a+ln b
=
ln
1
θ2
n 1
θ2
n
n
n
Y
1X
xi
xi
exp −
θ i=1
i=1
(
)
n
1X
xi
+ ln exp −
θ i=1
(
=
n
n
Y
1X
ln (θ−2n ) −
xi + ln
xi
θ i=1
i=1
=
n
n
Y
1X
−2n ln θ −
xi + ln
xi ;
θ i=1
i=1
)!
+ ln
!
n
Y
!
xi
i=1
!
!
3. Obtener el θ tal que
∂
`(θ)
∂θj
= 0.
n
n
Y
∂
∂
1X
`(θ) =
−2n ln θ −
xi + ln
xi
∂θ
∂θ
θ i=1
i=1
∂
∂
=
(−2n ln θ) −
∂θ
∂θ
n
−2n
xi
=
− − i=12
θ
θ
Pn
−2n
xi
=
+ i=12
θ
θ
P
Estadı́stica I 08/09
x1 , . . . , x n > 0
!!
n
n
Y
1X
∂
xi +
ln
xi
θ i=1
∂θ
i=1
!
!!
!
+0
A. Arribas Gil
Por lo tanto:
n
n
xi
−2n
xi
∂
2n
`(θ) = 0 ⇔
+ i=12
= 0 ⇔ i=12
=
∂θ
θ
θ
θ
θ
Pn
Pn
xi
×θ
i=1 xi
= 2n ⇔ θ = i=1
⇔
θ
2n
P
Pn
i=1
El candidato a EMV es θ̂M V =
P
xi
.
2n
4. Comprobar que realmente es un máximo, es decir, que
∂2
∂
`(θ) =
2
∂θ
∂θ
−2n
+
θ
= (−2n)
Pn
i=1
θ2
xi
∂2
`(θ)|θ=θ̂M V
∂θ2
!
n
−2
−1 X
+
x
i
θ2
θ3
i=1
n
n
2n
2
2 X
1X
=
x
=
xi
−
n
−
i
θ2
θ3 i=1
θ2
θ i=1
Pn
i=1
Si ahora lo evaluamos en el candidato θ̂M V =
2
∂
`(θ)|θ=θ̂M V
∂θ2
=
=
2
2
θ̂M
V
2
2
θ̂M
V
n−
< 0.
1
θ̂M V
n
X
!
xi =
i=1
(n − 2n) =
2n
2
2
θ̂M
V
xi
!
, tenemos:

2 
1
n − Pn
2
θ̂M
V
i=1
2n
n
X
xi

xi 
i=1
(−n) < 0
obtenemos que la segunda derivada de `(θ) es negativa en θ̂M V y por tanto es un
máximo.
X
El estimador máximo verósimil de θ es θ̂M V = . Para una muestra particular, la
2
x
estimación máximo verosı́mil será θ̂M V = .
2
b) Calcular el estimador máximo-verosı́mil de E[X] para una muestra aleatoria
simple de tamaño n.
Lo
primero es calcular E[X]. Como X es una v.a. continua, sabemos que E[X] =
R∞
−∞ x f (x)dx. Pero como X sólo toma valores positivos:
E[X] =
Z ∞
0
Estadı́stica I 08/09
x f (x) dx =
Z ∞
0
Z ∞ 2
x −x/θ
1 Z ∞ 2 −1 −x/θ
x −x/θ
x
x 2e
dx =
e
dx = −
e
dx
θ
θ2
θ 0
θ
0
A. Arribas Gil
integr. por
partes1
1 h 2 −x/θ i∞ Z ∞ −x/θ

du = 2x dx 
−
e
2x dx
x e
 u = x2
=−
0
θ
0
dv = −1
e−x/θ dx v = e−x/θ
θ
i∞
1Z ∞
1h
1Z ∞
1
− x2 e−x/θ +
2x e−x/θ dx = −
lim x2 e−x/θ − lim x2 e−x/θ +
2x e−x/θ dx
0
x→0
θ
θ 0
θ x→∞
θ 0


integr. por
partes1
Z ∞
Z ∞ −1 −x/θ
1
1

du = dx 
− (0 − 0) +
2x e−x/θ dx = −2
x
e
dx =  u = x

θ
θ 0
θ
0
−1 −x/θ
−x/θ
dv = θ e
dx v = e

=
=
=2
=
=
−2

h
−2θ
−x/θ
xe
i∞
0
−
Z ∞
e
−x/θ
h
dx = 2 − 2 0 − −θe−x/θ
0
i∞ 0
lim e−x/θ − lim e−x/θ = −2θ(0 − 1) = 2θ
x→∞
x→0
Tenemos que E[X] = 2θ. Por el principio de invarianza del EMV, sabemos que si θ̂M V
es el estimador máximo verosı́mil de θ, el estimador máximo verosı́mil de cualquier
función h(θ) es h(θ̂M V ).
Por tanto, el EMV de E[X] será:
d
E[X]
M V = 2 θ̂M V = 2
X
= X.
2
c) Mediante un muestreo aleatorio simple se han recogido los siguientes 15
tiempos de realización de la tarea:
5.56 2.23 0.58 1.37 0.21 1.98 2.44 2.71
10.12 4.69 3.47 1.73 3.51 1.19 0.97
Obtener la estimación máximo-verosı́mil del tiempo medio de realización
del proceso.
15
1 X
xi = 2.8507, por tanto, la estimación máximo
15 i=1
verosı́mil para el tiempo medio será:
Para esta muestra se tiene que x =
d
E[X]
M V = x = 2.8507 minutos.
1
Z
Integración por partes:
[u · v]ba −
Z b
u · dv = u · v −
Z
v · du. Si la integral es definida, entonces
Z b
u · dv =
a
v · du.
a
La exponencial negativa decrece mucho más rápido hacia cero que lo que x2 crece hacia infinito.
En general, cuando tenemos una indeterminación en la que aparece una exponencial y cualquier
función polinomial, siempre “gana” la exponencial. De forma rigurosa, tenemos:
2
x2 L’Hôpital
(x2 )0
2x L’Hôpital
2
=
lim
= lim x/θ
=
lim x/θ 2 = 0
x→∞ ex/θ
x→∞ (ex/θ )0
x→∞ e
x→∞
/θ
e /θ
lim x2 e−x/θ = lim
x→∞
Estadı́stica I 08/09
A. Arribas Gil
d) Para la muestra del apartado anterior, dar una aproximación de la varianza
asintótica del estimador de máxima verosimilitud de θ.
Sabemos que el EMV es asintóticamente normal, y que su varianza asintótica es aprox1
. En nuestro caso, en el apartado a) (paso 4) hemos
imadamente − ∂ 2
`(θ)|
2
θ=
θ̂
∂θ
MV
obtenido que
∂2
−2n
`(θ)|θ=θ̂M V = 2
2
∂θ
θ̂M V
por tanto, la aproximación de la varianza asintótica de θ̂M V para esta muestra particular será:
h
V ar θ̂M V
i
A
≈ −
=
Estadı́stica I 08/09
2
1
1
θ̂M
V
=
−
=
∂2
−2n
2n
`(θ)|θ=θ̂M V
∂θ2
2
θ̂M
V
(x/2)2 c) 2.85072
=
= 0.0677
2n
8 · 15
A. Arribas Gil