Matemáticas II: Segundo del Grado en Ingeniería Aeroespacial

Matemáticas II: Segundo del Grado en
Ingeniería Aeroespacial
Sergio Blanes
http://personales.upv.es/ serblaza
Instituto de Matemtica Multidisciplinar
Universidad Politécnica de Valencia
Edificio 8-G, entrada A, piso 2
Capítulo 2
Ecuaciones diferenciales de orden superior
1
2
Introducción
Ecuaciones incompletas
Ecuaciones donde falta la y
Ecuaciones donde falta la x
3
Ecuaciones lineales de orden n
4
Ecuaciones lineal homogénea
5
Ecuaciones lineal no homogénea
6
Métodos de Lagrange o variación de constantes
7
Ecuación de Euler
8
Reducción de orden
Introducción
Ecuación diferenciales de orden n
Es una ecuación de la forma
g(x, y , y 0 , . . . , y (n) ) = 0
o escrito en forma normal
y (n) = f (x, y , y 0 , . . . , y (n−1) ).
La solución general dependerá de n constantes independientes
F (x, y , C1 , . . . , Cn ) = 0.
(1)
Para obtener la ED a partir de la familia de curvas (1) hay que
derivar n veces respecto de x y eliminar las constantes
C1 , . . . , Cn del sistema de n + 1 ecuaciones.
Ecuaciones incompletas
Falta la y
g(x, y 0 , . . . , y (n) ) = 0.
Cambio y 0 = p y la ED se reduce en un orden. Si en la ED
faltan y , y 0 entonces el cambio es y 00 = p y se reduce en dos
órdenes, y así en sucesivamente. Una vez obtenido p, la
solución se obtiene integrando.
Ejemplo:
1
1
y 00 − y 0 = x cos(x) ⇒ (p = y 0 ) ⇒ z 0 − z = x cos(x)
x
x
Sol.:
Z
Cx 2
z = x(C + sin(x)) ⇒ y = z(x)dx =
− x cos(x) + sin(x)
2
Ecuaciones incompletas
Falta la x
g(y , y 0 , . . . , y (n) ) = 0
El cambio es y 0 = p(y ), y la ED se reduce en un orden con
y 0 = p,
y 00 =
dp dy
= p p0 , . . .
dy dx
dando
G(y , p, . . . , p(n−1) ) = 0
⇒
F (y , p, C1 , . . . , Cn−1 ) = 0
Considerando ahora que p = y 0 , hay que resolver la ED
F (y , y 0 , C1 , . . . , Cn−1 ) = 0, de donde sale la constante que falta.
Ejemplo: y y 00 − y 02 = 0 ⇒ (p = y 0 ) ⇒ y
dp
−p =0
dy
Sol.: p = C1 y ⇒ y 0 = C1 y ⇒ y = C2 eC1 x
Ecuaciones lineales de orden n
Son aquellas ED que se pueden escribir de la siguiente forma
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = f (x)
Diremos que la ED es homogénea si f = 0.
d
Operador derivada D ≡ dx
. Actúa sobre una función para dar
k
(k
)
0
otra función: D y = y , D y = y . Este operador permite
escribir las ecuaciones de forma más compacta
A(D)y ≡ (an (x)D n + · · · + a1 (x)D + a0 (x)) y = f (x).
Ec. lineal homogénea con coeficientes constantes
El operador A(D) es lineal, esto es, dadas las constantes α, β y
las funciones f (x), g(x) se tiene que
A(D)(αf (x) + βg(x)) = αA(D)f (x) + βA(D)g(x).
Si y1 , . . . , yn son soluciones particulares de la ED
(A(D)yi = 0, i = 1, . . . , n), entonces
y = C1 y1 + . . . + Cn yn
es la solución general de la ED (con n constantes) si las
soluciones particulares y1 , . . . , yn son independientes.
Teorema
Dada la ED A(D)y = 0 con ai (x), i = 0, . . . , n continuas y
an 6= 0 en x ∈ (a, b), entonces las soluciones particulares,
y1 , . . . , yn , definidas en x ∈ (a, b) son linealmente
independientes (LI) si y sólo si
y1
...
yn y10
...
yn0 W (y1 , . . . , yn ; x) = ..
..
6= 0
..
.
.
.
(n−1)
(n−1) y
... y
1
n
Ejemplo. y1 = ex , y2 = e−x son soluciones de y 00 − y = 0
x
e
e−x x
−x
W (e , e ; x) = x
= −2 6= 0
e −e−x Teorema
Dado el polinomio de coeficientes constante, P(D) y r ∈ R
entonces
P(D)erx = erx P(r )
Si ri es solución de la ecuación polinómica, P(r ) = 0, entonces
yi = eri x será una solución particular de la ED, P(D)yi = 0 (se
escribe indistintamente P(D) y A(D)).
Al polinomio P(r ) se le llama polinomio característico, y a la
ecuación P(r ) = 0, ecuación característica.
Teorema
Si P(r ) = 0 admite n raíces distintas, r1 , . . . , rn (reales o
imaginarias) entonces {er1 x , . . . , ern x } es un sistema
fundamental de soluciones (n soluciones LI).
Teorema
Si la ecuación P(r ) = 0 tiene una solución con multiplicidad m
(por ejemplo r1 = . . . = rm = R) entonces las correspondientes
m soluciones LI a tomar serán {eRx , xeRx , . . . , x m−1 eRx }.
Demostración. Las funciones son LI y sólo hay que
comprobar que son solución de la ED. Por ser r = R solución
de multiplicidad m se tiene que
P(R) = P 0 (R) = · · · = P (m−1) (R) = 0 luego
d
d Rx
e ) = dR
P(D)eRx =
P(D)(xeRx ) = P(D)( dR
0
Rx
= (R P(R) + P (R))e = 0.
d
Rx
dR (P(R)e )
por lo que yp = xeRx es una solución particular. Igualmente se
prueba para el resto de funciones.
NOTA
Si r = α + βi es una raíz compleja, entonces su conjugado,
r ∗ = α − βi, también es raíz de la ecuación. Las funciones
complejas {e(α+βi)x , e(α−βi)x } estarán multiplicadas por
constantes complejas de manera que el resultado final sean
funciones reales.
Ce(α+βi)x + C ∗ e(α−βi)x = eαx (A cos βx + B sin βx)
C, C ∗ complejos conjugados y A, Breales.
Las funciones reales equivalentes que se utilizan en la práctica
son {eαx cos βx, eαx sin βx}. Si la raíz compleja tiene
multiplicidad m, entonces las 2m funciones a utilizar serán
{eαx cos βx, . . . , x m−1 eαx cos βx, eαx sin βx, . . . , x m−1 eαx sin βx}
Ecuación lineal no homogénea con coeficientes
constantes
A(D)y = f (x)
Si yH es solución de la ED homogénea
A(D)yH = 0
y yp es una solución particular de la no homogénea
A(D)yp = f (x)
entonces
y = yH + yp
es la solución general de (2) (es solución de la ED y tiene n
constantes independientes).
(2)
Método de los coeficientes indeterminados
I. Si f (x) = Pm (x) (polinomio de grado m)
Es r = 0 raíz de P(r ) = 0 de multiplicidad k ?
NO :
yp = A0 + A1 x + . . . + Am x m
SI :
yp = (A0 + A1 x + . . . + Am x m )x k
Ejemplo: (D 4 + 3D 3 − 10D 2 )y = 8x 2 + 3
Sol.: r 4 + 3r 3 − 10r 2 = 0 ⇒ r = 0 (doble), r = 2, r = −5
yH = C1 + C2 x + C3 e2x + C4 e−5x
yp = (A0 + A1 x + A2 x 2 )x 2
Método de los coeficientes indeterminados
II. Si f (x) = Pm (x)eαx
Es r = α raíz de P(r ) = 0 de multiplicidad k ?
NO :
yp = (A0 + A1 x + . . . + Am x m )eαx
SI :
yp = (A0 + A1 x + . . . + Am x m )eαx x k
Ejemplo: (D 3 − 2D 2 − 3D)y = 5xe3x
Sol.: r 3 − 2r 2 − 3r = 0 ⇒ r = 0, r = 3, r = −1
yH = C1 + C2 e3x + C3 e−x
yp = (A0 + A1 x)x e3x
Método de los coeficientes indeterminados
III. Si f (x) = Ps (x) sin(βx) + Pc (x) cos(βx)
Ps (x), Pc polinomios de grados s, c, y m = max{s, c}
Es r = β i raíz de P(r ) = 0 de multiplicidad k ?
NO :
yp = P1,m (x) sin(βx) + P2,m (x) cos(βx)
SI :
yp = (P1,m (x) sin(βx) + P2,m (x) cos(βx))x k
Ejemplo: (2D 2 − D − 1)y = x sin(3x) + 2 cos(3x)
Sol.: 2r 2 − r − 1 = 0 ⇒ r = 1, r = − 21
(
1
yH = C 1 e x + C 2 e − 2 x
yp = (A0 + A1 x) sin(3x) + (B0 + B1 x) cos(3x)
Método de los coeficientes indeterminados
IV. Si f (x) = (Ps (x) sin(βx) + Pc (x) cos(βx)) eαx
Ps (x), Pc polinomios de grados s, c, y m = max{s, c}
Es r = α + β i raíz de P(r ) = 0 de multiplicidad k ?
NO :
yp = P1,m (x) sin(βx) + P2,m (x) cos(βx) eαx
SI :
yp = P1,m (x) sin(βx) + P2,m (x) cos(βx) eαx x k
Ejemplo: (D 2 − 1)y = e−x sin(3x)
Sol.: r 2 − 1 = 0 ⇒ r = 1, r = −1
yH = C1 ex + C2 e−x
yp = (A sin(3x) + B cos(3x))e−x
Método de Lagrange o Variación de constantes
Si f (x) no es de las formas anteriores? Sea
yH = C1 y1 + · · · + Cn yn la solución de la ED homogénea, con
C1 , . . . , Cn constantes.
La función
yp = C1 (x)y1 + · · · + Cn (x)yn .
(Ci (x) son ahora funciones de x) es la solución general si

C10 y1
+ ··· +
Cn0 yn
=
0 


C10 y10
+ ··· +
Cn0 yn0
=
0 


..
..
.. 
..
.
.
.
.

(n−2)
(n−2)

C10 y1
+ · · · + Cn0 yn
=
0 


(n−1)
(n−1)
f (x) 

0
0
C y
+ ··· + C y
=
1 1
n n
an (x)
C10 y1
C10 y10
..
.
+ ···
+ ···
..
.
(n−2)
C10 y1
+ ···
(n−1)
0
C1 y1
+ ···
Cn0 yn
Cn0 yn0
..
.
=
=
0
0
..
.








+ Cn0 yn
=
(n−1)
0
+ Cn yn
=
0







+
+
(n−2)
f (x)
an (x)
Resolviendo el sistema se obtienen las ecuaciones
R
Ci0 (x) = φi (x), e integrando se tiene Ci (x) = Ci + φi (x)dx.
Por tanto, la solución general de la ED será
y = yH + yp =
n X
i=1
con Ci constantes arbitrarias.
Z
Ci +
φi (x)dx yi
Ecuación de Euler
an (ax + b)n y (n) + · · · + a1 (ax + b)y 0 + a0 y = f (x)
(3)
con a, b, ai ∈ R, a 6= 0. Cambio a realizar
ax + b = et
y consideramos y como una función de t. Hay que cambiar las
derivadas respecto de x por las correspondientes respecto de t
d
)
teniendo en cuenta (ahora denotamos D ≡ dt
dy
a
=
Dy ,
dx
ax + b
d 2y
a2
=
D(D − 1)y , . . .
dx 2
(ax + b)2
Con este cambio, la ec. (3) se convierte en una ecuación lineal
con coeficientes constantes que ya sabemos resolver. Se
obtiene y (t) y después hay que deshacer el cambio.
Reducción de orden
Dada la ED
A(D)y = f (x)
si yp es una solución de la ecuación homogénea (A(D)yp = 0)
entonces podemos aprovechar esta información para
transformar la ED (20) en una ecuación de un orden inferior. El
cambio es y (x) = yp (x) z(x). Se obtiene una ED lineal para z
incompleta donde falta z, y se aplica lo estudiado en la sección
2.2.1.