Geometr´ıa Anal´ıtica I 1 Teorema de Tales

Geometrı́a Analı́tica I
Lectura 4
Ayudante: Guilmer González
1
Dia 13 de septiembre, 2012
Teorema de Tales
El teorema que nos interesa se enuncia de la siguiente forma: Consideremos tres rectas paralelas y dos trasnversales a éstas en los puntos A, B, C
yA0 , B 0 , C 0 como se muestra en la figura de abajo
entonces se cumple que
AB
A0 B 0
= 0 0
BC
BC
Su demostración la veremos de una manera analı́tica muy interesante, y
claro sus implicaciones. Primero hagamos un caso: cuando lo segmentos
de la transversal es partido por la paralela en partes iguales. Es un caso
menos improbable, pero partamos del caso cuando las rectas paralelas están
separadas a igual distancia.
Resultado Veamos que: si se tienen tres o más rectas paralelas que determinan segmentos iguales por una transversal (observe la figura de abajo),
entonces, cualquier otra transversal también determina segmentos iguales.
1
.
Sean A, B, C y D las intersecciones de las paralelas con la transversal,
de manera que AB = BC = CD. Sean A0 , B 0 , C 0 y D 0 las intersecciones de
la otra transversal con las paralelas. Debemos ver que A0 B 0 = B 0 C 0 = C 0 D0 .
Tracemos segmentos paralelos a A0 D0 en los puntos A, B y C. Observe
que se forman tres triángulos, 4ABP , 4BCQ y CDR. Observe que por
construcción son congruentes (criterio ALA). Esto implica que AP = BQ =
CR.
Por otra parte, los cuadriláteros AA0 B 0 P , BB 0 C 0 Q y CC 0 D0 R son paralelogramos (ası́ los constuimos) y recuerde que en un paralelogramo sus
lados opuestos son iguales, por lo que se concluye que: A0 B 0 = B 0 C 0 = C 0 D0 .
Ahora bien, consideremos tres paralelas cualesquiera y dos transversales
siguiendo la figura anterior, debe cumplirse que
AB
A0 B 0
= 0 0
BC
BC
el teorema de Thales nos habla de una proporción entre segmentos.
Caso 2: Vamos a hacer una prueba interesante, vamos a partir los segmentos
AB y BC y respectivamente A0 B 0 y B 0 C 0 por paralelas. Consideremos el
segundo caso en que AB puede ser partido igualmente por m lı́neas y n
lı́neas para el segundo.
2
.
Al hacerlo, tenemos que AB/BC = m/n
y si aplicamos el primer caso para las paralelas correspondientes, tenemos
A0 B 0
m
=
B0 C 0
n
Observación Un detalle de ésta prueba es que estamos pidiendo partir AB
en m partes y BC en n, con la misma unidad de medida. Generalicemos la
idea.
Consideremos una unidad de medida u, y dividamos el segmentos AB en
m partes, BC no tiene por qué ser dividida por un número entero de partes
(de la misma unidad u elegida), pero sı́ podemos elegir un punto C1 entre
BC de manera que acepte un número entero de partes iguales y que C1 C
sea menor a la unidad u elegida.
Ahora bien,Por C1 vamos a trazar una recta paralela a AA0 . La intersección con la segunda transversal es C10 . Al hacer esto, estamos en el primer
caso en que lo segmentos se dividen por enteros y ocurre que
AB
A0 B 0
= 0 0
BC1
B C1
Ahora bien, tomemos un refinamiento de ésta unidad, digamos la mitad
u1 = u/2(o un cuarto, un octavo..., no perderemos generalidad) y dividamos
3
ahora AB por esa nueva unidad u1 , el número de partes es 2m y BC1 quedará
dividido por 2n partes.
Sin perder generalidad, podemos suponer que con ésta nueva unidad
de medida, es más pequeña que el segmento C1 C, por que que tomemos un
punto C2 de manera que BC2 tiene 2n + 1 partes iguales (observe que vamos
a tomar un cachito más). Por C2 tracemos una recta paralela a AA0 , que
cortará a la transversal A0 C 0 en C20 . De nueva cuenta que el caso primero,
tendremos que
AB
A0 B 0
= 0 0
BC2
B C2
Ahora repitamos éste procedimiento k veces, obtendremos una colección
de puntos C2 , C3 , . . . , Ck del segmentos BC y los correspondientes puntos
C20 , C30 , . . . , Ck0 para el segmento B 0 Ck0 , de manera que
AB
A0 B 0
= 0 0
BCk
B Ck
Observe que la longitud de Ck C tiende a ser cero, y de igual manera lo hace
Ck0 C 0 , por lo que el la longitud del segmento BCk tiende a ser la longitud
de BC; y de igual manera, la longitud del segmento B 0 Ck0 tiende a ser la
longitud de B 0 C 0 . Con ello concluimos que
AB
A0 B 0
= 0 0
BC
BC
4
En algunos libros se muestra una versión sencilla: En un triángulo ABC,
sean D yE los puntos entre AB yAC respectivamente, tals que DE es paralela a BC. Entonces
AB
AC
=
AD
AE
la prueba se sigue de lo inmediato anterior.
2
Sobre las medianas
Partamos de conceptos e ideas.
Llamaremos mediana al segmento que parte de un vértice de un triángulo
hacia el punto medio del lado opuesto.
Resultado Un resultado es el siguiente, si consideramos las medianas de
un triángulo, estás son concurrentes; es decir, se intersectan en un sólo
punto, que muchas veces se le conoce como baricentro, o centroide, o
gravicentro.
Demostración Consideremos el triángulo ABC, tracemos las medianas por
A y por C. Al punto de intersección lo llamamos G (por qué se cortan?).
Ahora bien, sea P la mitad del segmento AG, y Q la mitad del segmento
CG, como se muestra en la figura de abajo
5
.
Observe que M N y QR son paralelos e iguales entre sı́ por ser paralelos a
AC e iguales a su mitad. Puede aplicar Thales a alguna versión sencilla
(revise el libro de Geometrı́a de la biliografı́a, o algun otro). Con esto, el
cuadrilátero M N QR es un paralelogramo, de donde G es el punto medio de
las diagonales. Observe que AR = RG = GN , y que CG = QG = GM ; es
decir, tenemos una proporción 2:1 con AG/GN , y CG/GM .
Procedemos de manera análoga. Tracemos las medianas AN y BP , las
cuales se cortan en G0 , es un punto.
Sea R0 el punto medio entre AG0 y S el punto medio entre B y G0 .
Nuevamente observamos que N P y R0 S son paralelos a AB y miden la
midad de el. Nuevamente, N P R0 S es un paralelogramo con G0 punto medio
de las diagonales. Con ésto, se cumple que AR0 = R0 G0 = G0 N y que
BS = SG0 = G0 P .
6
Lo interesante de esta prueba es observar la relación en que G parte a la
mediana.
Preguntas:
1. ¿Puede coincidir una de las medianas del triángulo con un lado?
2. ¿Se puede afirmar que el baricentro de un triángulo es un punto interior
de dicho triángulo?
3. ¿Puede coincidir el baricentro de un triángulo con alguno de sus vértices?
3
Sobre las bisectrices
La bisectriz entre dos rectas, está caracterizado por los puntos que se encuentran a la misma distancia de esas rectas.
Hemos de notar que cuando trazamos el segmento de menor distancia
entre un punto y una recta, éste es perpendicular a la recta.
Un resultado inmediato está al considerar las bisectrices de un triángulo,
es que éstas son concurrentes, el punto de concurrencia es el incentro del
triángulo, esto es, se forma dentro del triángulo un cı́rculo cuyo centro es
ése punto y tangente a los lados.
Preguntas:
1. ¿Puede el incentro encontrarse en el exterior del triángulo?
7
Ahora bien, un detalle interesante, es que podemos considerar las bisectrices exteriores de las rectas que se forman al prolongar los segmentos de
los triángulos.
Si a un triángulo 4ABC, trazamos la bisectriz interior y exterior a C,
la primera corta al segmento AB en P y la segunda en Q (observe la figura
de abajo)
Se cumple que AP/P B = CA/CB y que AQ/QB = CA/CB. De ambas
relaciones tenemos que
AP
AQ
=
PB
BQ
Veamos la primera parte. Observe que área(AP C)/área(P BC) = AP/P B,
pues la altura de ambos triángulos coinciden. Ahora bien, basta observar
que él área de esos triángulos se pueden escribir sobre el segmento CA y
CB respectivamente. Ahora bien, cuál es la altura? La altura está sobre la
bisectriz CP , en P claro. Con esto, tenemos que área(AP C)/área(P BC) =
CA/CB. Ası́, hemos probado que
AP
CA
=
PB
CB
Un razonamiento análogo para los triángulos CAQ y CBQ nos conduce a
que
AQ
CA
=
QB
CB
y con ello, mostramos que
AP
AQ
=
PB
BQ
8
Lo interesante de ésto, es la proporción en que las bisectrices parten a AB.
En general, si dos puntos P, Q, parten a un segmento AB en la razón
AP
AQ
=
PB
BQ
se dicen que son armónicos conjugados.
4
Sobre la mediatriz
La mediatriz de un segmento, es el conjunto de puntos que se encuentran a
la misma distancia de los extremos del segmento.
Observe que la mediatriz es una recta perpendicular al segmento y que
pasa por el punto medio de éste.
Al considerar las mediatrices de un triángulo, observamos que son concurrentes, el punto de concurrencia se conoce como circuncentro del triángulo,
el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo.
Esbozar la prueba, hacer comentarios claves.
Preguntas:
1. ¿Puede el circuncentro encontrarse en el exterior del triángulo?
2. ¿En qué tipo de triángulos se encuentra dentro y en cuáles fuera?
5
Sobre las alturas
La altura de un triángulo es básico para encontrar el área. Al menos eso
siempre lo hemos considerado al transformar nuestro problema a uno conocido, un triángulo rectángulo.
Consideremos un triángulos y las álturas de éste. Observamos un resultado interesante: las alturas son concurrentes, ese punto se le conoce como
el ortocentro.
Esbozar la prueba, hacer comentarios claves.
Preguntas:
9
1. ¿Puede el ortocentro encontrarse en el exterior del triángulo?
2. ¿En qué tipo de triángulos se encuentra dentro y en cuáles fuera?
3. ¿Qué ocurre en un triángulo rectángulo?
10