APUNTES DEL CURSO OSCILACIONES Y ONDAS Luis

APUNTES DEL CURSO
OSCILACIONES Y ONDAS
Luis Joaquin Mendoza Herrera
19 de octubre de 2010
ÍNDICE GENERAL
1 Movimiento Oscilatorio
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ecuación del movimiento de una partı́cula oscilante . . . . .
1.3 Analogı́a con el movimiento circular . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Cinemática del movimiento armónico simple . . . . . . . . .
1.5 Ejemplos de movimientos armónicos simples . . . . . . . . .
1.5.1 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.1 Expresión general del periodo de un péndulo
1.5.2 Péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Péndulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Combinación de movimientos armónicos . . . . . . . . . . .
1.6.1 Combinación de dos movimientos perpendiculares . .
1.7 Movimiento Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie . .
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2 Movimiento Ondulatorio
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Descripción matemática de la propagación
2.3 Ondas de presión en una columna de gas .
2.4 Ondas longitudinales en una barra . . . .
2.5 Ondas transversales en una barra . . . . .
2.6 Ondas longitudinales en un resorte . . . .
2.7 Ondas transversales en una cuerda . . . .
2.8 Ondas Superficiales en un liquido . . . . .
2.9 Potencia de una onda . . . . . . . . . . . .
2.10 Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . .
2.11 Ondas en una membrana tensa . . . . . .
2.12 Ondas esféricas en un fluido . . . . . . . .
2.13 velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL
3 Ondas Electromagnéticas
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Condiciones de frontera para el campo eléctrico .
3.3.2 Condiciones de frontera para el campo magnético
3.4 Ecuaciones de Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . .
3.5 Energı́a y momentum de una onda electromagnética . . .
3.6 Presión de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Ecuación de onda con fuentes . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Radiación de un dipolo eléctrico oscilante . . . . . . . . .
3.9 Radiación de un dipolo magnético oscilante . . . . . . . .
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4 Reflexión Refracción
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Teorema de malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Reflexión y transmisión de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Reflexión y transmisión de ondas planas utilizando el teorema de
Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Reflexión y transmisión de ondas planas utilizando el teorema de
Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Refracción atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Coeficientes de reflexion y transmisión para ondas en cuerdas . . . . . .
4.7 Coeficientes de reflexion y transmisión para ondas electromagnéticas . .
4.7.1 Polarización paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Polarización perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Angulo de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Reflexion y transmisión en superficies metálicas . . . . . . . . . . . . .
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5 Óptica Geométrica
95
5.1 Formación de imágenes por reflexión en una superficie plana (espejo plano) 95
5.2 Formación de imágenes por transmisión en una superficie plana . . . . 96
5.3 Formación de imágenes por reflexión en una superfice esférica (espejo
esférico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Formación de imágenes por transmisión en una superfice esférica . . . . 99
5.5 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 Aumento ó Amplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 Distancia focal y trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7.1 Distancia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7.2 Trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7.2.1 Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7.2.2 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ii
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL
6 Espectro visible, ondas de Sonido y efecto Doppler
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Ondas de radio . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Infrarrojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Espectro visible . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5 Rayos ultravioleta . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.6 Rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.7 Rayos Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Ondas de Sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Aplicaciones del ultrasonido . . . . . . . . . .
6.5.1.1 Guiado y sondeo . . . . . . . . . . .
6.5.1.2 Medicina y biologı́a . . . . . . . . . .
6.5.1.3 Aplicaciones fı́sicas . . . . . . . . . .
6.6 Infrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Ondas de Choque y número de Mach . . . . . . . . .
6.8 La audición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Instrumentos ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.1 Microscopio simple o lupa . . . . . . . . . . .
6.11.2 Microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . .
6.11.3 Telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.3.1 Telescopios de reflexión . . . . . . .
6.11.4 El proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.5 El prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.12 Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13 Efecto Doppler de las ondas electromagnéticas . . . .
6.13.1 Transformación de Lorentz . . . . . . . . . . .
6.13.2 Transformación de las frecuencias . . . . . . .
7 Interferencia
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas .
7.3 Experimento de la doble rendija de Young . . . . .
7.4 Biprisma de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Interferencia por reflexión en laminas delgadas . . .
7.6 Anillos de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Interferencia de ondas producidas por varias fuentes
7.8 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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sincronicas
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142
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL
7.8.1 Ondas estacionarias en una cuerda . . . . .
7.8.2 Ondas estacionarias en una columna de aire
7.8.3 Ondas estacionarias electromagnéticas . . .
7.9 Ondas estacionarias en dos dimensiones . . . . . . .
7.10 Ondas estacionarias en tres dimensiones . . . . . .
7.11 Guı́as de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11.1 Ondas electromagnéticas en guı́as de ondas .
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8 Difracción y Polarización
8.1 Difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular . . . . .
8.2 Doble rendija de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Redes de difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Difracción en una abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 La elipse de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2.1 Polarización por reflexión . . . . . . . . . . . .
8.5.2.2 Polarización por transmisión . . . . . . . . . . .
8.5.2.3 Polarización por doble transmisión . . . . . . .
8.5.2.4 Polarización por absorción selectiva o dicroı́smo
8.5.2.5 Actividad óptica . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 Grado de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
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162
162
163
163
164
164
165
165
ÍNDICE DE FIGURAS
1.1
1.2
Partı́cula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios
Analogı́a entre el movimiento de una partı́cula en un resorte y el
movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representación geométrica del ángulo φ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
3
5
Movimiento armónico producido por una partı́cula que se mueve en un plano inclinado 6
Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes . . . . . . . . . . . . . . .
12
Esquema de un pendulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Esquema de un péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Esquema del péndulo de torsión con un bloque rectangular . . . . . . . 16
Construcción de una curva cicloide positiva . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Esquema de un péndulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Diagrama de fasores para la combinación de movimientos armónicos de
igual dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Combinación de movimientos armónicos de frecuencias diferentes cuando: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2 , (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2 . . . . . . . . . . 20
Diagrama de fasores para la combinación de dos movimientos armónicos
de igual frecuancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos
movimientos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Construcción de una figura de Lissajous cuando ω1 = 34 ω2 , φ1 = 0,
φ2 = π/6, A = 1 y B = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α . . . . . . 24
Amplitud de una oscilación subamortiguada en función del tiempo . . . 25
Representación geométrica del ángulo α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Movimiento de una pesa por un niño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Circuito RLC en serie con fuente de tensión de alterna . . . . . . . . . 32
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Ondas de presión en una columna de gas . . .
Ondas longitudinales en una barra . . . . . .
Ondas Transversales en una barra . . . . . . .
Ondas de torsión en una barra . . . . . . . . .
Diagrama de cuerpo libre de la sección cortada
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
v
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38
41
43
44
46
ÍNDICE DE FIGURAS
ÍNDICE DE FIGURAS
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Momentos polares de inercia para una sección circular . . . . . . . . . .
Ondas Transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondas superficiales en un liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemento diferencial de volumen entre dos superficies . . . . . . . . . .
Interface entre los dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial de superficie . . . . . .
En la figura (a) se muestra una onda propagándose en la dirección X
y en la figura (b) se muestra una onda propagándose en una dirección
arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
48
49
52
53
55
4.1
4.2
78
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6.1
6.2
6.3
6.5
6.4
6.6
Construcción de la propagación de una onda . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexion y transmisión de ondas entre dos medios, donde la linea AB en
azul representa el frente de ondas incidente, la linea verde A0 B 0 representa
el frente de ondas reflejado y la linea roja A00 B 00 representa el frente de
ondas transmitido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexion y transmisión de ondas entre dos medios . . . . . . . . . . . .
Transmisión por una bloque de ancho a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tiempo transcurrido para pasar por la esquina de un bloque . . . . . . . . . . .
Esquema del ejemplo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Refracción en la atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espejismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Configuración para la reflexión y transmisión de una onda electromagnética
Configuración de polarización paralela para la reflexión y transmisión de
una onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Configuración de polarización perpendicular para la reflexión y transmisión de una onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angulo Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Incidencia de una onda electromagnética sobre una lámina . . . . . . .
60
61
79
81
82
82
83
84
84
87
88
90
90
91
Imegenes formadas por reflexión en un espejo plano . . . . . . . . . . .
Configuración para la formación de una imagen por transmisión en una
superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica
Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica
por transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Configuración para la formación de una imagen en una lente formada
por dos superficies esfericas S1 y S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
Espectro electromagnético . . . . . . . . . .
Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . .
Estructura general del oı́do humano . . . . .
Corte lateral de la retina y sus componentes.
Estructura general del ojo humano . . . . .
Esquema general de una lupa. . . . . . . . .
105
110
114
115
115
117
vi
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95
96
97
99
ÍNDICE DE FIGURAS
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
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Ángulo mı́nimo que en un prisma el rayo emerja del otro lado .
Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . .
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119
120
121
121
122
122
123
123
124
127
7.1
7.2
Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . .
Gráficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young . . . . . . . .
Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel . . . .
Esquema de interferencia producida por una lámina delgada . . . . . .
Esquema de interferencia para producir anillos de Newton . . . . . . .
Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas . . . . .
Fasores correspondientes a cada una de las fuentes . . . . . . . . . . . .
Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de
N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de
N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentes
sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema para la interferencia de dos ondas . . . . . . . . . . . . . . . .
Modos de vibración para las ondas estacionarias en una cuerda de longitud L y fija a ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modos de vibración para las ondas estacionarias en una columna de aire
de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto . . . . .
Ondas estacionarias electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondas estacionarias electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y
n2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y
n2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema de una guı́a de ondas rectangular, en la cual las ondas se propagan en la dirección z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
8.1
8.2
8.3
8.4
Esquema general
Esquema general
Esquema general
Esquema general
Esquema general
Esquema general
Esquema general
Configuración de
ÍNDICE DE FIGURAS
de un microscopio compuesto.
de un telescopio astronomico. .
de un telescopio terrestre. . . .
de un telescopio Galileo. . . .
de un telescopio de Newton. .
de un telescopio de Cassegrain.
de un proyector. . . . . . . . .
un prisma . . . . . . . . . . .
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Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular
Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular
Gráfica de la intensidad producida por una abertura rectangular . . .
Esquema para la difracción en dos aberturas rectangulares . . . . . .
vii
.
.
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132
134
136
137
138
140
140
141
141
142
143
145
147
147
148
150
151
153
157
157
158
159
ÍNDICE DE FIGURAS
ÍNDICE DE FIGURAS
8.5
Gráfica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la
difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Esquema para el estudio de la difracción en una red de difracción . . .
8.7 Polarización por reflexión en una superficie (ángulo de Brewster) . . . .
8.8 Polarización por transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Polarización por doble transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10 Dicroı́smo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11 Esquema para el estudio de la actividad óptica . . . . . . . . . . . . . .
viii
160
160
163
163
164
164
165
Capı́tulo 1
Movimiento Oscilatorio
1.1.
Introducción
Cuando un objeto se desplaza a uno y otro lado de una posición fija siguiendo una
ley cualquiera, se dice que está en movimiento vibratorio u oscilatorio. Por ejemplo el
émbolo de una locomotora. Entre todos los movimientos oscilatorios que existen en la
naturaleza el más importante es el movimiento armónico simple(M.A.S), en el cual es
un movimiento periódico porque se reproduce exactamente cada vez que transcurre
un tiempo determinado, llamado perı́odo. Perı́odo es el tiempo que tarda el objeto en
dar una oscilación completa. El M.A.S describe con una buena aproximación la mayor
parte de las oscilaciones de la naturaleza.
Los sistemas oscilatorios, como el péndulo de reloj, una lancha subiendo y bajando
sobre las olas, o una partı́cula en el extremo de un resorte, tienen una propiedad en
común: cada sistema tiene un estado de equilibrio estable. En el equilibrio la fuerza y
el torque netos que actúan sobre cada parte del sistema son iguales a cero. El equilibrio
es estable si un pequeño desplazamiento origina una fuerza neta que tiende a regresar
al sistema hacia el estado de equilibrio. Estás fuerzas de restauración constituyen una
segunda caracterı́stica de los sistemas oscilatorios.
1.2.
Ecuación del movimiento de una partı́cula oscilante
Para describir el movimiento de una partı́cula oscilante, se expresa la posición de
la partı́cula como una función del tiempo. Iniciando con la segunda ley de Newton
que relaciona la fuerza de restauración con la aceleración de la partı́cula. como primer
ejemplo consideremos el caso de una partı́cula en el extremo de un resorte, en este
caso la fuerza de restauración y el desplazamiento se ubican en una sola dirección que
podemos definir como x. si tomamos el origen coincidente con la posición de equilibrio
de la partı́cula (Fig 1.2), la posición de la partı́cula x(t) coincide con el estiramiento
1
Oscilaciones y Ondas
del resorte, donde la fuerza de restauración es −kx(t). En el caso del movimiento sin
fricción, de acuerdo con la segunda ley de Newton:
max = Fx = −kx(t)
(1.1)
La aceleración es la segunda derivada de la posición en función del tiempo, de este
modo:
d2 x
k
d2 x
(1.2)
=
−kx
ó
+ x=0
2
2
dt
dt
m
En este caso lo que se desea es la posición de la partı́cula como una función del
tiempo, este es un problema matemático que puede ser resuelto utilizando la analogı́a
del M.A.S con el movimiento circular.
m
Figura 1.1: Partı́cula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios
1.3.
Analogı́a con el movimiento circular
Las oscilaciones se relacionan de una manera muy estrecha con el movimiento circular, cuando una partı́cula se mueve en un movimiento circular con una velocidad lineal
constante v, la cual se relaciona con la velocidad angular ω = v/r, donde r es el radio
del circulo, el cambio de dirección es originado por una aceleración hacia el centro del
circulo:
a = −ω 2 r
(1.3)
Donde las componentes en x de está ecuación son:
d2 x
+ ω 2 x = 0,
(1.4)
2
dt
ecuación que es similar a la ecuación 1.2 para las oscilaciones cuando se define la
frecuencia angular
ax = −ω 2 x ó
2
Oscilaciones y Ondas
s
k
,
m
donde el periodo de las oscilaciones se obtiene como:
ω=
r
P = 2π
m
,
k
(1.5)
(1.6)
Figura 1.2: Analogı́a entre el movimiento de una partı́cula en un resorte y
el movimiento circular
La posición de la partı́cula es definida por el ángulo θ, donde A es la máxima amplitud de la partı́cula, la amplitud de la partı́cula en función del tiempo está determinada
por la componente en x = A cos θ. La distancia angular φ0 define la posición inicial de
la partı́cula y es conocida como fase inicial, es decir la posición inicial de la partı́cula
es A cos φ0 , en este caso ωt es la distancia angular recorrida por la partı́cula, luego
entonces la distancia angular θ es igual a la distancia angular recorrida más la distancia
angular inicial:
θ = ωt + φ0
(1.7)
Obteniendose la posición de la partı́cula en función del tiempo como
x(t) = A cos (ωt + φ0 )
3
(1.8)
Oscilaciones y Ondas
Es importante aclarar que la posición de la partı́cula en función del tiempo también
puede ser expresada en función del sen en este caso solo cambiaria la fase inicial, por
ejemplo cos (ωt + π/3) = sen (ωt + 5π/6), las funciones seno y cose se diferencian en
π/2, en este documento utilizaremos la función seno para referirnos a la posición de la
partı́cula esto es:
x(t) = Asen (ωt + φ0 )
1.4.
(1.9)
Cinemática del movimiento armónico simple
La velocidad y la aceleración de un movimiento armónico simple pueden ser expresadas a partir de la ecuación 1.9, como:
√
v(t) = Aω cos (ωt + φ0 ) = ω A2 − x2
(1.10)
a(t) = −Aω 2 sen (ωt + φ0 ) = −ω 2 x
(1.11)
La fuerza que debe actuar sobre un cuerpo de masa m, para que oscile con movimiento armónico simple es:
F = ma = −mω 2 x = −kx
(1.12)
es decir, que para producir un M.A.S se requiere una fuerza proporcional a la elongación y dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, como lo indica el signo menos.
La energı́a cinética está definida por:
1
1
1
Ec = mv 2 = mA2 cos2 (ωt + φ0 ) = mω 2 A2 − x2
(1.13)
2
2
2
Para la energı́a potencial se utiliza la definición de la fuerza en términos de la energı́a
p
potencial F = − ∂E
:
∂x
Z Ep
Z x
1
−kxdx ⇒ Ep = kx2
(1.14)
2
0
0
Con las definiciones de energı́a cinética y potencial se puede obtener la energı́a total
del sistema, en la forma
dEp = −
1
1
1 1
1
E = Ec + Ep = mω 2 A2 − x2 + kx2 = k A2 − x2 + kx2 = kA2
2
2
2
2
2
(1.15)
Ejemplo 1 Una partı́cula cuya mas es de 1 Kg se mueve con movimiento armónico simple. Su periodo es de 0.1s y la amplitud de su movimiento es de 10cm. Calcular la aceleración, la
fuerza, la energı́a potencial y la energı́a cinética, cuando se encuentra a 4cm de la posición de equilibrio.
Solución: Con la ayuda de la ecuación (1.4) a = −ω 2 x y ω = 2π/T = 2π/0,1 = 20π, tenemos que
la aceleración es a = −400π 2 0,04 = −157,9m/s2 .
4
Oscilaciones y Ondas
La fuerza se puede obtener de F = ma = −157,9N, la energı́a potencial es Ep = 21 kx2 , que con
la ecuación (1.5) se convierte en Ep = 21 mω 2 x2 = 0,5 · 1 · 400π 2 0,042 = 3,16J, para el calculo de la
energı́a cinetica se debe calcular la energı́a total E = 12 mω 2 A2 = 0,5 · 1 · 400π 2 0,12 = 19,74J, luego la
energı́a cinética es Ec = (19,74 − 3,16) J = 16,58J.
Ejemplo 2 Una partı́cula que se mueve con movimiento armónico simple, con una frecuencia
f , fue lanzada con una velocidad inicial v0 , desde una posición que se encuentra a x0 de la posición
de equilibrio, determinar la posición de la partı́cula como una función del tiempo.
Solución: En este caso la posición debe presentarse en términos de la información suministrada
por el proble las cuales son la frecuencia f , que no debe confundirse con la frecuencia angular ω, la
posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 . La ecuación que determina la posición de la partı́cula como
una función del tiempo es x = Asen (ωt + φ), donde ω = 2πf . A continuación se deben determinar A
y φ, de las condiciones iniciales.
x0 = Asenφ
v0 = Aωcosφ
Al dividir estas ecuación se obtiene la fase del movimiento como tanφ =
representación gráfica de φ, se puede obtener la amplitud:
(1.16)
ωx0
v0
y con la ayuda de la
Figura 1.3: Representación geométrica del ángulo φ
√ 2 2 2
√ 2 2 2 2
x0 ω +v0
x0 4π f +v0
luego entonces remplazando senφ o cosφ, se obtiene la amplitud A =
=
,
ω
2πf
con estos resultados la posición como una función del tiempo se convierte en:
p
x20 4π 2 f 2 + v02
x0 2πf
sen 2πf t + tan−1
(1.17)
x (t) =
2πf
v0
Ejemplo 3 Un tronco cilı́ndrico de longitud L y radio R, tiene un contrapeso de plomo, con la
finalidad de mantenerlo en forma vertical. La masa del tronco y el plomo juntos es M . Si el tronco se
empuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento armónico simple y
determine su frecuencia. Calcule su frecuencia para M = 60Kg y R = 10cm
Solución: El tronco flota a causa de la fuerza que el agua ejerce hacia arriba por el principio de
arquı́medes. Primero debe determinarse la posición de equilibrio, para esta posición el peso del tronco
y el empuje del agua deben ser iguales.
M g = ρagua πR2 Dg
(1.18)
donde D es la longitud de la porción sumergida del tronco, de esta ecuación D = πR2M
ρagua . Cuando
el tronco se empuja hacia abajo una pequeña distancia z, la fuerza del empuje es mayor que el peso del
tronco y lo impulsa hacia arriba, cuando el peso del tronco y el plomo superan la fuerza del empuje, el
5
Oscilaciones y Ondas
tronco es impulsado hacia abajo, resultando con esto un movimiento armónico simple. para determinar
la frecuencia de este movimiento, cuando se desplaza una pequeña distancia z hacia abajo la fuerza
resultante es M g − πR2 (D + z)ρagua g = −πR2 ρagua gz, y la ecuación del movimiento para el tronco
es:
d2 z
+ πR2 ρagua g = 0
(1.19)
dt2
q
pg
πR2 ρagua g
de donde la frecuencia de oscilación esta dada por ω =
= D
. En el caso M = 60Kg
M
y R = 10cm, D = 1,91m y ω = 2,27rad/s.
Ejemplo 4 Una partı́cula se desliza hacia adelante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin
fricción. Encontrar el periodo de oscilación del movimiento si h es la altura inicial.
M
Figura 1.4: Movimiento armónico producido por una partı́cula que se mueve en un plano inclinado
Solución: Para calcular el periodo de oscilación en primera medida calculamos la aceleración del
sistema, esta aceleración se obtiene de la segunda ley de newton
F = mgsenα = ma,
luego la aceleración es
a = gsenα.
La distancia que debe bajar la partı́cula es
h
senα ,
1
h
= gsenαt2
senα
2
el tiempo que tarda en bajar se puede calcular como:
s
2h 1
ó
t=
,
g senα
de donde el periodo de oscilación es cuatro veces el tiempo calculado
s
2h 1
P =4
g senα
(1.20)
EjemploTomemos el caso en el cual una partı́cula de masa m se encuentra sobre una mesa, unida
a un punto fijo de ésta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un resorte de constante
k. En el instante t = 0 se encuentra en la posición ~r0 = x0 âx + y0 ây y se le proporcio0na una velocidad
~v0 = v0x âx + v0y ây .
La ecuación que define un oscilador armónico, en general, es la ecuación de movimiento vectorial
d2~r
= −k~r
(1.21)
dt2
En este problema tenemos una partı́cula situada en un plano. Su posición inicial está a una cierta
distancia del punto fijo. Por tanto, necesariamente su movimiento será bidimensional. Para la partı́cula
situada sobre la mesa, su movimiento será bidimensional y podrá describirse un sistema de coordenadas
cartesiano
m
~r = xâx + yây
En este mismo sistema, la velocidad y la aceleración se escribirán
6
Oscilaciones y Ondas
d~r
dy
d~v
d2 y
dx
d2 x
î +
ĵ,
~a =
=
= 2 î + 2 ĵ
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Sustituyendo en la ecuación de movimiento y recordando que dos vectores son iguales si lo son
cada una de sus componentes, la ecuación vectorial se convierte en dos ecuaciones escalares
~v =
d2 y
= −ky
dt2
d2 x
= −kx,
dt2
Cuyas soluciones son de la forma::
x = Ax sen (ωt + φx ) ,
y = Ay sen (ωt + φy )
que utilizando las condiciones iniciales llegamos a
x0 = Ax sen (φx ) ,
y0 = Ay sen (φy )
v0x = Ax ω cos (φx ) ,
v0y = Ay ω cos (φy )
de donde
tanφx =
x0 ω
,
v0x
tanφy =
y0 ω
v0y
y
r
Ax =
s
v2
x20 + 0x
,
ω2
Ay =
y02 +
2
v0y
ω2
Con estos resultados las expresiones para las elongaciones en x y y son respectivamente
v0y
v0x
senωt + x0 cos ωt,
y=
senωt + y0 cos ωt
ω
ω
Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la trayectoria seguida por el cuerpo
x=
2
v~0
x2 + y 2 = senωt + r~0 cos ωt
ω
1.5.
1.5.1.
(1.22)
Ejemplos de movimientos armónicos simples
Péndulo simple
Un péndulo simple consiste en una partı́cula de masa m, colgada de un hilo de longitud l y masa despreciable. La partı́cula oscila sin ficción entre un punto de suspensión.
Cuando el hilo forma un ángulo θ, con la vertical la fuerza restauradora está determinada por:
FR = −mgsenθ = m
d2 s
d2 θ
=
ml
,
dt2
dt2
(1.23)
o sea
d2 θ
g
=
−
senθ
dt2
l
7
(1.24)
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.5: Esquema de un pendulo simple
Esta ecuación no tiene la forma normal 1.2 y no tiene soluciones sencillas. sin embargo cuando la amplitud es pequeña es decir θ es pequeño, podemos aplicar la aproximación senθ ≈ θ. En este caso:
d2 θ g
+ θ=0
(1.25)
dt2
l
que es la ecuación para el movimiento
armónico simple, donde θ es el desplazamiento
q
q
y la frecuencia angular es ω = g/l, es decir el periodo de oscilación es P = 2π l/g.
Asi:
θ (t) = θmax cos
q
g/lt + φ0 .
(1.26)
Las expresiones para la velocidad y la aceleración angular están dadas por:
q
Ω (t) = θmax g/lsen
q
g/lt + φ0 .
q
g
α (t) = −θmax cos
g/lt + φ0 .
l
La energı́a potencial en el péndulo simple está determinada por:
Ep = mgh = mg(l − l cos θ) = mgl (1 − cos θ)
8
(1.27)
(1.28)
(1.29)
Oscilaciones y Ondas
Utilizando la identidad trigonometrica sen2 A = 21 (1 − cos 2A), con 2A = θ
θ
2
(1.30)
θ0
2
(1.31)
Ep = 2mglsen2
Utilizando está definición la energı́a total e:
E = 2mglsen2
pg l t . Encuentre la
tensión en la cuerda de este péndulo para θ pequeño. La masa de la partı́cula suspendida m, en que
tiempo la tensión es máxima y cual es el valor de la tensión máxima.
Ejemplo 5 El movimiento de un péndulo simple está dado por θ = Acos
Solución: La energı́a en el punto de máxima amplitud es solo potencial y es mgH = mg (l − lcosA)
y la energı́a en cualquier otro punto es la suma de la energı́a potencial mgh = mg (l − lcosθ) y la energı́a
cinética 12 mv 2 , de acuerdo con el principio de conservación de energı́a estás dos energias son iguales es
decir
Figura 1.6: Esquema de un pendulo simple
1
mgl (1 − cosA) = mgl (1 − cosθ) + mv 2
2
La suma de las fuerzas normales es igual a
T = mgcosθ + m
v 2 = 2gl (cosθ − cosA)
v2
= mgcosθ + 2mg (cosθ − cosA) = 3mgcosθ − 2mgcosA
l
La serie para el cosB = 1 − 21 B 2 + · · ·,
r 1 2
1 2
3 2
g
2
2
T = 3mg 1 − θ − 2mg 1 − A = mg 1 + A − A sen
t
2
2
2
l
(1.32)
(1.33)
(1.34)
Para obtener el valor máximo de la tensión se debe derivar la tensión esto es
r
r r r 3
g
g
g
g
g
2sen
t cos
t = −mg A2
sen 2
t =0
l
l
l
2
l
l
q
p
de donde 2 gl t = π o t = π2 gl , de donde el valor máximo de la tensión es:
dT
3
= −mg A2
dt
2
r
9
(1.35)
Oscilaciones y Ondas
1 2
T = mg 1 − A
2
(1.36)
Ejemplo 6 Un péndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g = 9,8m/s2 , si la longitud
aumenta en 1mm ¿Cuanto se habrá atrasado el reloj en 24 horas?.
Solución: Utilizando el periodo del péndulo cuando la gravedad es g = 9,8m/s2 , se puede calcular
la longitud normal del péndulo.
s
l
T = 2s = 2π
l = 0,9929m
(1.37)
9,8
La nueva longitud es ln = 0,9929m+1mm=0,9939m
p
Con esta nueva longitud el periodo para la nueva longitud es Tn = 2π 0,9939/9,8 = 2,001s,
luego el péndulo se retrasa 1,0068 × 10−3 s, cada 2 segundos, debido a que en 24 horas existen 86400
segundos el reloj se retrasa 86400 · 1,0068 × 10−3 = 87s.
Ejemplo 7 Un péndulo cuya longitud es 2m se encuentra en un lugar donde g = 9,8m/s2 . El
péndulo oscila con una amplitud de 2o . Expresar en función del tiempo, su desplazamiento angular,
su velocidad angular, su aceleración angular, su velocidad lineal, su aceleración centrı́peta y la tensión
en la cuerda si la masa en su extremo es de 1Kg.
pg
Solución: El desplazamiento angular del péndulo esta definido como θ = θ0 sen
l t + φ , la
pg
pg
g
velocidad angular Ω = θ0 l cos
l t + φ , la aceleración angular α = − l θ, la velocidad lineal
2
v = Ω · l, la aceleración centripeta ac = mvl y la tensión como T = mg (3cosθ − 2cosθ0 ), donde se
deben determinar los valores de θ0 y φ, para esto se remplazan las condiciones iniciales para el ángulo
y la velocidad
r
9,8m/s2
o
2 = θ0 senφ
0 = θ0
cosφ
(1.38)
2m
de donde φ = (π/2)rad, θ0 = 2o , lo que produce
θ = 2sen (2,21t + π/2) o
(1.39)
Ω = 4,42cos (2,21t + π/2) o /s
(1.40)
α = −9,8sen (2,21t + π/2) o /s2
(1.41)
v = 0,3cos (2,21t + π/2) m/s
(1.42)
No debe olvidar cambiar los grados a radianes para que las unidades de la velocidad se conviertan
en m/s
ac = 0,047cos2 (2,21t + π/2) m/s2
(1.43)
T = 9,8 (3cos (2o sen (2,21t + π/2)) − 2cos2o ) N
(1.44)
10
Oscilaciones y Ondas
1.5.1.1.
Expresión general del periodo de un péndulo simple
La energı́a total es en este caso la suma de la energı́a cinética y la energı́a potencial,
esto es:
1
1
E = mv 2 + Ep =
2
2
dx
dt
!2
+ Ep ,
(1.45)
despejando la velocidad obtenemos
1/2
2
dx
=
(E − Ep )
dt
m
integrando sobre una oscilación completa obtenemos
Z P
dt = 4
Z x
0
x0
(1.46)
ldθ
n
(1.47)
o1/2
2
m
(E − Ep )
en términos del ángulo θ se tiene:
P =4
Z θ0
0
ldθ
n
2
m
q
θ0
2
sen2
2mglsen2
P = 2 l/g
Z π/2 (1.48)
o1/2
θ
2
dθ
r
Si tomamos el cambio de variables sen
periodo del péndulo se convierte en:
P = 4 l/g
− 2mglsen2
Z θ0
0
q
1
θ
2
1 − sen
2
0
θ0
2
−
sen2
= sen
1
θ
2 0
senΨ, la ecuación para el
−1/2
1
θ0 sen2 Ψ
2
Utilizando
la serie (1 + x)n = 1 + nx + n(n−1)
x2 +
2!
−sen2 21 θ0 sen2 Ψ y n = − 12 e integrando llegamos a:
(1.49)
θ
2
dΨ
n(n−1)(n−2) 3
x
3!
(1.50)
+ · · ·, donde x =
1
1
9
1
P = 2π l/g 1 + sen2
θ0 + sen4
θ0 + · · ·
(1.51)
4
2
64
2
Donde puede observarse
que para θ pequeño se obtiene nuevamente el periq
odo como P = 2π l/g, en el caso de 21 θ pequeño, se obtiene el periodo como
q
q
P = 2π l/g 1 +
1 2
θ
16 0
.
Ejemplo 8 Una partı́cula de masa m situada en una mesa horizontal lisa está sostenida por
dos resortes de constante elástica k y longitud normal l0 , cuyos extremos están fijos en P1 y P2 . Si
la partı́cula se desplaza lateralmente una cantidad x0 pequeña comparada con la longitud normal de
los resortes, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia de
oscilación y escribir la ecuación de su movimiento.
11
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.7: Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes
Solución: Para calcular el periodo de oscilación utilizamos la p
ecuación (1.46), para lo cual necesitamos la energı́a
potencial
E
,
la
longitud
del
resorte
estirado
es
x2 + l02 , la longitud que se estiro
p
p
2
2
el resorte es x + l0 − l0 , la energı́a potencial es
q
1
Ep = k
2
l02
x2 +
2
1
= kl02
2
− l0
x2
1+ 2
l0
!2
1/2
−1
luego la energı́a total se presenta cuando está totalmente estirado es decir x = x0 es decir
1
E= k
2
q
x20
+
l02
2
− l0
1
= kl02
2
x2
1 + 20
l0
!2
1/2
−1
Debido a que l0 >> x, x0 /l0 y x/l0 son pequeños y valores pequeños utilizando el desarrollo
n
binomial, se puede realizar la aproximación (1 + y) ∼
= 1 + ny
convirtiendo estas energı́as en:
1 2
kl0 1 +
2
1
Ep = kl02 1 +
2
Ep =
2
x2
1
x4
x4
−
1
= kl02 4 = k 2
2
2l0
2
4l0
8l0
2
x20
1 2 x40
x40
kl
−
1
=
=
k
2l02
2 0 4l04
8l02
(1.52)
(1.53)
El periodo se calcula entonces como:
P ∼
=4
Z
0
x0
Z
dx
n
2
m
x4
k 8l02
0
−k
x4
8l02
o1/2 = 4
0
x0
dx
n
k
4ml02
(x40 − x4 )
r
o1/2 = 8l0
m
k
Z
0
x0
dx
p
4
x0 − x4
Si tomamos u = x/x0 , tenemos
r
r Z
r
8l0 m 1
dx
8l0 m π
4πl
m
√
√ =√ 0
P ∼
=
=
4
x0
k 0
x0
k 2 3
3x0 k
1−u
Luego debido a que ω =
2π
P
tenemos
√
3x0
ω=
2l0
12
r
k
m
(1.54)
Oscilaciones y Ondas
p
x2 + l02 − l0 , la
√ 2 2 2k
x +l −l0 x
√ 2 02
componente de esta fuerza que produce el movimiento oscilatorio es FR = 2F senφ = −
,
Para la ecuación del movimiento la fuerza de cada uno de los resortes es F = −k
x +l0
si factorizamos l0 en el numerador y en el denominador obtenemos.
FR = −2k
x2
1+ 2
l0
2 1/2 ! −1/2
x
x2
x2
kx3
kx5
∼
1+ 2
1− 2 x=− 2 + 4
= −2k
2
l0
2l0
2l0
l0
2l0
Finalmente la ecuación del movimiento es
m
1.5.2.
kx3
kx5
d2 x
=− 2 + 4
2
dt
l0
2l0
ó
d2 x kx3
kx5
+
−
=0
2
2
dt
ml0
2ml04
(1.55)
Péndulo compuesto
Cuando un cuerpo rı́gido(como una barra) se balancea, en torno de un punto por
lo general el borde, se obtiene un péndulo conocido como péndulo fı́sico o compuesto;
donde el periodo del mismo se relaciona con su tamaño y forma.
Figura 1.8: Esquema de un pendulo compuesto
En la figura 1.5.2 se muestra el diagrama de un péndulo compuesto. este péndulo
compuesto posee un momento de inercia I, con respecto al punto de giro O, y su centro
de masa se encuentra a una distancia d del punto de balanceo O. El peso actúa en el
centro de masa y ejerce un torque con respecto al punto de giro dado por:
τ = −mgdsenθ
(1.56)
donde utilizando la ecuación del movimiento de rotación tenemos:
Iα = −mgdsenθ
13
(1.57)
Oscilaciones y Ondas
2
donde α = d2 θ es la aceleración angular del movimiento de rotación. Con la aproximación de un ángulo pequeño senθθ, la ecuación del movimiento se convierte en:
d2 θ
mgd
θ=0
(1.58)
I
Ecuación que muestra el comportamiento de un movimiento armónico simple con
frecuencia angular:
2
+
s
mgd
(1.59)
I
Es importante notar que un péndulo simple es un caso particular de un péndulo
compuesto en el cual el momento de inercia es el de la masa colgando I = ml2 y el
centro de masa se encuentra sobre la masa esto es d = l
ω=
Ejemplo 9 Un disco solido de radio R puede colgarse de un extremo horizontal a una distancia
h de su centro. Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente y la posición del eje para la cual
el periodo es un mı́nimo.
Solución: Para determinar la longitud del péndulo simple equivalente debemos calcular el periodo
del péndulo e igualarlo al periodo de un péndulo simple para determinar la longitud de este péndulo
simple que tiene el mismo periodo que el compuesto
Para determinar el period del péndulo compuesto primero el momento de inercia del disco con
2
respecto al centro de masa el cual es Ic = m R2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que
el disco no gira en su centro de masa si no a una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema
de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en
sumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de
masa al punto de giro, esto es
R2
+ mh2
(1.60)
2
Luego se debe determinar d que es la distancia del centro de masa al punto de giro, la cual en este
caso es h, de donde el periodo del péndulo compuesto es:
s
2
m R2 + h2
T = 2π
(1.61)
mgh
I=m
periodo que se debe igualar al periodo de un péndulo simple
s
s
R2
2
l
2 +h
2π
= 2π
gh
g
de donde l =
R2
2h
(1.62)
+ h, para determinar el valor máximo del periodo, lo derivamos con respecto a h
dT
2π
2gh2 − gR2 /2 − gh2
= r
=0
R2
dh
g 2 h2
2
2 +h
2
gh
√
El valor de h para le cual el periodo es un mı́nimo es h = R/ 2
14
(1.63)
Oscilaciones y Ondas
1.5.3.
Péndulo de torsión
Otro ejemplo de movimiento oscilatorio es el péndulo de torsión, el cual consiste
en un objeto de momento de inercia I, con respecto a su centro de masa, este objeto
esta colgado por su centro de masa por un alambre, al girar este cuerpo un ángulo θ, el
sistema ejerce un torque que tiende a regresar el sistema a su estado de equilibrio, este
torque es proporcional al ángulo θ τ = −ktor θ, donde ktor es la constante de torsión del
alambre que soporta el cuerpo. La ecuación del movimiento del cuerpo es entonces:
Figura 1.9: Esquema de un péndulo de torsión
d2 θ
d2 θ ktor
=
−k
θ
ó
+
θ
(1.64)
tor
dt2
dt2
I
que
q es la ecuación de un qmovimiento armónico simple con frecuencia angular
ω = ktor /I y periodo P = 2π I/ktor
I
Ejemplo 10 Un péndulo de torsión consiste en bloque rectangular de madera de
8cm×12cm×3cm con una masa de 0,3Kg suspendido por medio de un alambre que pasa a
través de su centro y de modo que el lado más corto es vertical. El periodo de oscilación es 2,4s .
¿Cual es la constante de torsión ktor del alambre?.
2
2
+0,12
Solución: El momento de inercial del bloque rectangular es I = 0,3Kg 0,08 12
m2 = 5,2 ×
−4
2
10 Kg m , por tanto el periodo de oscilación del péndulo es
s
5,2 × 10−4 Kgm2
2,4s = 2π
ktor = 3,56 × 10−3 N m/rad
(1.65)
ktor
15
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.10: Esquema del péndulo de torsión con un bloque rectangular
1.5.4.
Péndulo cicloidal
Dentro de los modelos de péndulo existe un péndulo en el cual su periodo no depende
de la amplitud, el cual es conocido como péndulo cicloidal, uno de los modelos de
péndulo cicloidal consiste de dos curvas cicloides entre las cuales se coloca un péndulo
simple, para construir
una curva cicloidal se toma un punto en un borde de un circulo
4
y se rueda la curva
3.5 resultante es una cicloide figura
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
Figura
1.11:
Construcción
de
cicloide
-2
-1
0
1
2
3 una
4 curva
5
6
7 positiva
las ecuaciones de está curva son x = a (φ − senφ), y = a (1 − cosφ), en el caso del
péndulo cicloidal como el de la figura 1.5.4 está curva es hacia abajo por lo tanto estás
ecuaciones se modifican en:
x = a (φ − senφ)
y = a (cosφ − 1)
(1.66)
Para obtener el periodo de oscilación de este pendulo utilizaremos el enfoque de las
energı́as el cual parte del hecho de que la energı́a total es constante. La energı́a total
de la partı́cula es la suma de su energı́a potencial y su energı́a cinética, esto es:
16
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.12: Esquema de un péndulo cicloidal

1
dx
E = Ec + Ep = m 
2
dt
!2
dy
+
dt
!2 
 + mgy
(1.67)
donde utilizando la definición de la curva cicloide 1.67, obtenemos la energı́a total
como:

dφ
E = ma (1 − cosφ) 
dt
!2

a − g
(1.68)
pero en este caso la oscilación es armónica simple pero en la longitud, por
lo r
tanto debemos expresar está ecuación en términos de la longitud s (φ) =
Rφ
0
dx
dφ0
2
+
dy 2
dφ0 ,
0
dφ
llegando a:
dφ
(1.69)
dt
al remplazar este valor en la energı́a obtenemos la energı́a como una función de la
longitud de la curva:
s (φ) = 2asen (φ/2)
!2
ds
mgs2
1
+
E= m
(1.70)
2
dt
8a
Recordando que la energı́a es una constante, su derivada es igual a cero llegando a:
dE
ds d2 s mg ds
d2 s
g
=m
+
s
=
0
ó
+ s=0
(1.71)
2
2
dt
dt dt
4a dt
dt
4a
La cual esquna ecuación que describe un movimiento
q armónico simple de frecuencia
angular ω = g/4a, o periodo de oscilación P = 2π 4a/g
17
Oscilaciones y Ondas
1.6.
Combinación de movimientos armónicos
A menudo se combinan movimientos armónicos simples en igual dirección como
en dirección perpendicular. El movimiento resultante es la suma de las oscilaciones
independientes, en primera medida consideremos el caso en el cual los dos movimientos
tienen igual dirección, y denotaremos esta dirección como x, la ecuación 1.9 describe
una oscilación armónica luego las ecuaciones
x1 (t) = A1 sen (w1 t + φ1 )
x2 (t) = A2 sen (w2 t + φ2 ) ,
(1.72)
describen dos movimientos armónicos simples en la misma dirección en este caso x,
por lo tanto el movimiento resultante de la combinación de estos dos movimientos es la
suma
x (t) = x1 (t) + x2 (t) = A1 sen (w1 t + φ1 ) + A2 sen (w2 t + φ2 )
(1.73)
para obtener la suma de estos dos movimientos, se pueden utilizar dos métodos
el analı́tico y el gráfico, el analı́tico está basado en las identidades trigonométricas
y el método gráfico está basado en la analogı́a entre el movimiento oscilatorio y el
movimiento circular, lo cual es conocido como técnica de fasores, en nuestro desarrollo
utilizaremos el método gráfico
De la figura 1.6 y utilizando el teorema del coseno se obtienen la amplitud del
movimiento resultante de los dos movimientos.
A=
q
A21 + A22 + 2A1 A2 cos [(w2 − w1 ) t + (φ2 − φ1 )]
(1.74)
Existe un caso especial en el cual φ1 = φ2 , la amplitud se reduce a:
A=
q
A21 + A22 + 2A1 A2 cos [(w2 − w1 ) t]
(1.75)
En este caso la amplitud cambia entre los valores A1 +A2 y A2 −A1 , dependiendo de
los valores de las frecuencias, para el caso en el cual (w2 − w1 ) t = 2nπ, las amplitudes
se suman, y en el caso en el cual (w2 − w1 ) t = (2n + 1) π se restan, como la amplitud
cambia con la frecuencia se dice que la amplitud se encuentra modulada, estos cambios
en la amplitud producen como consecuencia fluctuaciones en la intensidad de un sonido
llamadas pulsaciones. La frecuencia con la cual cambia la amplitud esta dada por:
fp = (w2 − w1 ) /2π
(1.76)
y es la frecuencia es la frecuencia de pulsación, para el caso especial en el cual las
amplitudes de los movimientos son iguales esto es A1 = A2 , llegamos a
18
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.13: Diagrama de fasores para la combinación de movimientos
armónicos de igual dirección
1
+
cos [(w2 − w1 ) t] = A1 2 (1 + cos [(w2 − w1 ) t)] = 2A1 cos (w2 − w1 ) t
A=
2
(1.77)
Sumando los movimientos armónicos de las ecuaciones 1.73, cuando tienen la misma
frecuencia y utilizando la identidad trigonométrica sen(A) + sen(B) = 2 cos 12 (A −
B)sen 12 (A + B), llegamos a:
q
2A21
q
2A21
1
1
(w2 − w1 ) t sen (w2 + w1 ) t
(1.78)
2
2
La gráfica de x en función del tiempo para los casos en los cuales las amplitudes
son diferentes siendo mayor la amplitud de la de x1 , amplitudes iguales y amplitudes
diferentes siendo mayor la amplitud de x2 , se muestran en la figura 1.6 , en la cual
se puede observar que cuando la amplitud de x2 es mayor que la amplitud de x1 , se
produce un solapamiento. Es importante aclarar que se ha supuesto que la frecuencia
de x2 es mayor que la frecuencia de x1
Cuando las frecuencias de los dos movimientos son iguales la amplitud del movimiento resultante descrita por la ecuación 1.75, se puede escribir como:
x = 2A1 cos
A=
q
A21 + A22 + 2A1 A2 cos (φ2 − φ1 )
(1.79)
para obtener la fase del movimiento resultante se debe recordar que este es la suma
de los movimientos x1 y x2 , pòr lo tanto la suma de las componentes en x0 y y 0 de estos
19
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.14: Combinación de movimientos armónicos de frecuencias diferentes cuando: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2 , (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2 .
dos movimientos debe ser igual a las componentes en x0 y y 0 de movimiento resultante
donde x0 y y 0 , se ilustran en la figura 1.6,de acuerdo con esto se tiene:
Asenφ = A1 senφ1 + A2 senφ2
A cos φ = A1 cos φ1 + A2 cos φ2 ,
(1.80)
resultando con esto que:
tan φ =
A1 senφ1 + A2 senφ2
A1 cos φ1 + A2 cos φ2
(1.81)
La ecuación que describe el comportamiento del movimiento resultante esta dada
por:
x = Asen (ωt + φ) ,
donde A y φ están descritos por las ecuaciones 1.79 y 1.81.
20
(1.82)
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.15: Diagrama de fasores para la combinación de dos movimientos
armónicos de igual frecuancia
1.6.1.
Combinación de dos movimientos perpendiculares
Analizaremos a continuación el caso en el cual los dos movimientos implicados son
perpendiculares entre, que un movimiento se encuentra en la dirección x y el otro se
encuentra en la dirección y, en este caso lo interesante es determinar la trayectoria del
movimiento resultante, en primera instancia analizaremos cuando los dos movimientos
tienen la misma frecuencia, las ecuaciones que describen cada uno de los movimientos
son:
x = Asen (ωt + φ1 )
y = Bsen (ωt + φ2 )
(1.83)
Si despejamos ωt de la primera ecuación y la remplazamos en la segunda ecuación
obtenemos:
x
+ (φ2 − φ1 )
(1.84)
y = Bsen sen
A
Desarrollando es con ayuda de la identidad trigonométrica sen(A + B) =
sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A), se obtiene:
−1
y
x
x
= cos(δ) + cos sen−1
B
A
A
21
sen (δ)
(1.85)
Oscilaciones y Ondas
donde δ = φ2 − φ1 , pero cos(M ) =
q
1 − sen2 (M ), llegando finalmente a:
y 2 2xy cos δ
x 2
+
−
= sen2 δ
(1.86)
A
B
AB
lo cual corresponde a una elipse que hace un ángulo con los ejes como la ilustrada
en la figura 1.6.1
x 2/9+y 2/1-2 cos( /6) x y/3-(sin( /6))2 = 0
Figura 1.16: Trayectoria del movimiento resultante de la combinación de
dos movimientos perpendiculares
En el caso en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales A = B, la trayectoria de los movimientos es un circulo, cuando las fases iniciales de los dos movimientos
x, en el caso en el cual la
son iguales φ1 = φ2 , se obtiene una lı́nea recta dada por y = B
A
diferencia entre las fases iniciales es π, la trayectoria resultante es una recta y = − B
x,
A
los dos casos correspondientes a lı́neas
rectas
son
movimientos
armónicos
simples,
con
√
frecuencia angular ω y amplitud A2 + B 2 . para obtener la dirección del movimiento
se deben derivar las posiciones en x y y para obtener la componentes de la velocidad,
con estas componentes de la velocidad se evalúa en cualquier punto de la trayectoria
para ası́ determinar la dirección del movimiento.
En el caso de tener frecuencias diferentes se obtienen unas figuras conocidas como
figuras del Lissajous, para ilustrar la construcción de las mismas utilizaremos la técnica
de fasores, las ecuaciones para dos movimientos armónicos simples perpendiculares de
diferentes frecuencias son:
x = Asen (ω1 t + φ1 )
y = Bsen (ω2 t + φ2 )
(1.87)
Tomemos como ejemplo el caso en el cual ω1 = 43 ω2 , φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1
y B = 2 la relación entre las fases describe por ejemplo que cuando x recorre 3o , y
recorre 4o , donde la construcción se muestra en la figura 1.6.1
Ejemplo 11 Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos armónicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senωt y y = 3sen (ωt + α), cuando
22
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.17: Construcción de una figura de Lissajous cuando ω1 =
φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2
3
ω,
4 2
α = 0, π/2 y π. Hacer un gráfico de la trayectoria de la partı́cula en cada caso y señalar el sentido en
el cual viaja la partı́cula.
Solución: despejando de la primera de estas ecuaciones tenemos senωt = x/4, que al remplazarlo
en la segunda de las ecuaciones tenemos
r
y
x
x2
= cosα + 1 − senα
(1.88)
3
4
16
para α = 0 y =
2
x
16
2
3
4 x,
lo cual corresponde a una lı́nea recta de pendiente positiva, para α = π/2
y
9
+
= 1, que representa una elipse, y para α = π y = − 34 x, que corresponde a una lı́nea de
pendiente negativa.
Para la dirección de la trayectoria de la combinación de los movimientos, se deben obtener las
componentes de las velocidades, es decir vx = 4ωcosωt y vy = 3ωcos (ωt + φ), para x = 0 se tiene que
ωt = 0, en este caso:
vx = 4ω

 α = 0 vy = 3ω
α = π/2 vy = 0 (1.90)
vy = 3ωcosα

α = π vy = −3ω
23
(1.89)
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.18: Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α
1.7.
Movimiento Amortiguado
Todos los sistemas oscilantes descritos, poseen perdida de energı́a a causa de la fricción; por ejemplo
un péndulo simple después de algunas oscilaciones disminuye la amplitud de sus oscilaciones, este tipo
de movimiento en el cual se considera la disminución de la amplitud Fig. es el movimiento oscilatorio
amortiguado. En los fluidos como el aire, la fuerza de amortiguamiento a bajas velocidades se considera
proporcional a la velocidad del objeto −λv, donde λ es una constante que depende de la viscosidad
del medio y de la forma del objeto, por ejemplo para un objeto esferico de radio R, esta dada por
λ = 6πηR, donde η es la viscosidad del medio. Para el caso de medias y altas velocidades, esta fuerza
en el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad.
Para ilustrar el movimiento oscilatorio amortiguado, consideremos un cuerpo unido a un resorte
que se mueve en un fluido, en este caso las fuerzas que actuan sobre el cuerpo son la de restauración
del resorte y la de amortiguamiento; la ecuación del movimiento del cuerpo es:
m
d2 x
= −λv − kx,
dt2
(1.91)
que puede ser escrita como:
d2 x
k
λ dx
+
+ x=0
(1.92)
2
dt
m dt
m
La energı́a que se disipa debido a la fuerza de amortiguamiento se puede calcular multiplicando
2
la fuerza por la velocidad esto es dE
dt = −λvv = −λv , lo cual quiere decir que está energı́a es
máxima cuando la velocidad es máxima. La solución de esta ecuación resultante puede ser obtenida
de dos formas una es notando la forma de exponencial decreciente en la amplitud de las oscilaciones
amortiguadas, tomando en este caso la solución en la forma:
x (t) = Ae−γt sen (ωA t + φ)
(1.93)
Donde se deben determinara la constante de amortiguamiento γ y la frecuencia de oscilación con
amortiguamiento, calculando la primera y segunda derivadas de (1.93) y remplazando en (1.92), se
obtiene:
dx
dt
= −Aγe−γt sen (ωA t + φ) + ωA Ae−γt cos (ωA t + φ)
24
(1.94)
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.19: Amplitud de una oscilación subamortiguada en función del tiempo
d2 x
dt2
= Aγ 2 e−γt sen (ωA t + φ) − 2AγωA e−γt cos (ωA t + φ)
2
−ωA
Ae−γt sen (ωA t + φ)
2
γ 2 − ωA
−
k
λγ
+
m
m
λ
Ae−γt sen (ωA t + φ) + −2γωA + ωA
Ae−γt cos (ωA t + φ) = 0
m
(1.95)
Donde surgen las condiciones:
k
λγ
+
m
m
λ
−2γωA + ωA
m
2
γ 2 − ωA
−
=
0
=
0
(1.96)
De donde se obtienen los valores de γ y ωA :
γ
ωA
λ
2m
r
q
k
λ2
=
−
=
ω02 − γ 2
m 4m2
=
(1.97)
Otro método para la solución de la ecuación diferencial (1.92) es el método para la solución de
ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, el cual consiste en tomar una
solución de la forma est y remplazarla en la ecuación con sus respectivas derivadas, lo que convierte la
ecuación (1.92) en:
s2 +
λ
k
s+
=0
m
m
(1.98)
cuya solución para s es:
s=−
λ
±
2m
q
25
γ 2 − ω02
(1.99)
Oscilaciones y Ondas
Con estos valores de s se pueden obtener tres solución, las cuales tienen significados fı́sicos diferentes, para el caso en el cual ω0 > γ, el
p movimiento oscilatorio de denomina subamortiguado y en
este caso los valores de s son s = −γ ± i ω02 − γ 2 , donde las soluciones complejas producen funciones
sinusoidales de la forma (1.95). Cuando γ = ω0 , las oscilaciones se llaman crı́ticamente amortiguadas
y en este caso las soluciones para s son s = −γ y la solución de la amplitud de las oscilaciones es:
x (t) = (At + B) e−γt
(1.100)
Para el caso en el cual γ > ω0 , las soluciones son reales y no se producen oscilaciones, en este caso
cuando se pone a oscilar la amplitud decaerá rápidamente sin producir oscilaciones, los valores de s,
están dados por (1.99) y x (t) como:
√
√
−γ− γ 2 −ω02 t
−γ+ γ 2 −ω02 t
+ Be
(1.101)
x (t) = Ae
Ejemplo 12 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación sub amortiguada cuyas
posición y velocidad inicial son x0 y v0 .
Solución: Las ecuaciones de la posición y velocidad en este caso son:
x = Ae−γt sen (ωt + φ)
v = −A−γt sen (ωt + φ) + A−γt cos (ωt + φ)
Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:
x0 = Asenφ
v0 = −Aγsenφ + Aωcosφ,
remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuación obtenemos
ωx0 cosφ
senφ
x0 ω
tanφ =
,
v0 + γx0
v0 = −γx0 +
lo
q cual corresponde a un ángulo con lados opuesto y adyacente x0 ω y v0 + γx0 e hipotenusa
2
x20 ω 2 + (v0 + γx0 ) , de esta forma la amplitud se convierte en
q
2
x20 ω 2 + (v0 + γx0 )
x0
A=
=
senφ
ω
Obteniendose finalmente la ecuación del movimiento como:
q
2
x20 ω 2 + (v0 + γx0 ) −γt
x0 ω
x (t) =
e sen ωt + tan−1
ω
v0 + γx0
(1.102)
Ejemplo 13 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación criticamente amortiguado cuyas posición y velocidad inicial son x0 y v0 .
Solución: Las ecuaciones de la posición y velocidad en este caso son:
x = (At + B) e−γt
v = Ae−γt − γ (At + B) e−γt = (A − γB − γAt) e−γt
Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:
26
Oscilaciones y Ondas
x0 = B
v0 = (A − γB) ,
remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuación obtenemos
A = γx0 + v0
Obteniendose finalmente la ecuación del movimiento como:
x (t) = ((γx0 + v0 ) t + x0 ) e−γt
Ejemplo 14 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación sobre amortiguado
cuyas posición y velocidad inicial son x0 y v0 .
Solución: Las ecuaciones de la posición y velocidad en este caso son:
√
√
−γ− γ 2 +ω02 t
−γ+ γ 2 +ω02 t
+ Be
x = Ae
q
q
√
−γ+ γ 2 +ω02 t
2
2
2
2
v = A −γ + γ + ω0 e
+ B −γ − γ + ω0 e
√
−γ−
γ 2 +ω02 t
Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:
x0 = A + B
q
q
v0 = A −γ + γ 2 + ω02 + B −γ − γ 2 + ω02 ,
remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuación obtenemos
p
v0 − x0 γ + x0 γ 2 + ω02
p
A=
2 γ 2 + ω02
y
p
= v0 + x0 γ + x0 γ 2 + ω02
p
B=
2 γ 2 + ω02
Obteniendose finalmente la ecuación del movimiento como:
p
v0 − x0 γ + x0 γ 2 + ω02
p
e
x (t) =
2 γ 2 + ω02
1.8.
√
−γ+
γ 2 +ω02 t
p
v0 + x0 γ + x0 γ 2 + ω02
p
e
+
2 γ 2 + ω02
−γ−
√
γ 2 +ω02 t
Oscilaciones Forzadas
Las oscilaciones forzadas son otro tipo de oscilaciones, en las cuales una fuerza
externa, que genera las oscilaciones, supongamos nuevamente el caso de un resorte al
cual se le aplica una fuerza externa Fe = F0 cosωf t, en este caso la ecuación 1.92 se
modifica en:
d2 x
λ dx
k
F0
+
+ x=
cosωf t
2
dt
m dt
m
m
27
(1.107)
Oscilaciones y Ondas
En este caso las oscilaciones son producidas por la acción de la fuerza externa por
tal motivo el movimiento armónico simple con frecuencia ωf , es decir:
x (t) = Asen (ωf t + α) ,
(1.108)
donde en este caso se deben determinar la amplitud A y la fase α del movimiento,
con esta solución la ecuación (1.108), se convierte en:
− Aωf2 sen (ωf t + α) +
kA
F0
Aωf λ
cos (ωf t + α) +
sen (ωf t + α) =
cos (ωf t) (1.109)
m
m
m
Con la ayuda de las identidades trigonométricas sen (ωf t + α) = sen (ωf t) cos (α) +
cos (ωf t) sen (α) y cos (ωf t + α) = cos (ωf t) cos (α) + sen (ωf t) sen (α), esta ecuación
puede ser escrita como:
Aωf λ
senα +
−
m
Aωf λ
−Aωf2 senα +
cosα +
m
−Aωf2 cosα
!
kA
cosα senωf t +
m
!
kA
F0
senα −
cosωf t = 0,
m
m
(1.110)
de donde se obtienen las dos condiciones:
Aωf λ
kA
senα +
cosα = 0
m
m
kA
F0
Aωf λ
cosα +
senα −
= 0
−Aωf2 senα +
m
m
m
− Aωf2 cosα −
(1.111)
De la primera de las ecuaciones (1.112), se tiene:
m
tanα =
λωf
k
− ωf2
m
!
=
ω02 − ωf2
2γωf
(1.112)
Esta expresión para la tanα, puede ser representada mediante un triángulo como el
de la figura1.20, a partir de la cual se pueden obtener las expresiones para el senα y el
cosα
La segunda expresión de (1.112), se convierte en:
ω02 − ωf2
r
ω02
−
ωf2
2
+
4γ 2 ωf2
2γωf
ω02 − ωf2 A + r
ω02
−
ωf2
2
A2γωf =
+
4γ 2 ωf2
F0
m
(1.113)
de donde
A = r
F0 /m
ω02 − ωf2
28
2
+ 4γ 2 ωf2
(1.114)
Oscilaciones y Ondas
Figura 1.20: Representación geométrica del ángulo α
De esta expresión, se puede observar que la amplitud tiene una dependencia de ωf ,
además esta amplitud es máxima cuando el denominador de (1.114) es mı́nimo, lo cual
ocurre cuando ω0 = ωf , es decir que la frecuencia forzada es igual a la frecuencia propia
del sistema, en este caso se dice que el sistema se encuentra en resonancia y la frecuencia
a la cual s presenta este fenómeno de denomina frecuencia de resonancia, un ejemplo
simple de resonancia se presenta cuando se columpia un niño, el sistema puede ser
considerado como un péndulo el cual posee una frecuencia propia del sistema, en este
caso la fuerza externa es la proporcionada por la persona que impulsa el niño, cuando
la frecuencia de la fuerza impulsadora coincide con la frecuencia propia del sistema la
amplitud del niño es mayor.
La velocidad con la cual se mueve el objeto al cual se le aplica la fuerza externa es:
v = Aωf cos (ωf t + α)
(1.115)
La velocidad máxima es:
v = Aωf = r
F0 ωf /m
ω02 − ωf2
2
=q
+ 4γ 2 ωf2
F0
λ2 + (mωf − k/ωf )2
(1.116)
El valor más alto de esta velocidad máxima, ocurre cuando ω0 = ωf , es decir cuando
el sistema se encuentra en resonancia, en este caso la energı́a cinética presenta su máximo valor, lo que demuestra que en resonancia la transferencia de energı́a es máxima.
El cociente de la velocidad máxima es la impedancia Z, es decir;
Z=
q
λ2 + (mωf − k/ωf )2 ,
(1.117)
impedancia que a su vez esta compuesta de la resistencia R = λ y la reactancia
X = mωf − k/ωf , por tanto tanα = X/R. En el caso en el cual se encuentra en
resonancia X = 0, lo que implica que α = 0, en este caso el factor Q = cos2 α = 1,
el cual se denomina factor de calidad y su valor es máximo cuando se encuentra en
resonancia es decir se produce la mayor transferencia de energı́a. La velocidad puede
ser escrita como:
v=
F0
cos (ωf t + α)
Z
29
(1.118)
Oscilaciones y Ondas
La potencia que es la energı́a transferida por unidad de tiempo, que también es
máxima en resonancia está dada por:
F02 2
F02
cos (ωf t + α) cosωf t =
cos ωf tcosα − senωf tcosωf tsenα (1.119)
P = Fv =
Z
Z
La potencia promedio es entonces
P̄ =
F02
cosα
Z
(1.120)
Ejemplo 15 Un niño juega con un resorte de constante k = 20 N/m, longitud natural l0 = 5
cm y fricción despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorte
entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El niño agita la mano arriba y abajo, con una
amplitud A = 2 cm y una frecuencia ω. Determine la posición de la pesa, si esta oscila con la misma
frecuencia que la mano. ¿En qué condiciones la pesa llegará a golpearle la mano?
El movimiento de la pesa es vertical,
de forma que podemos usar una sola dimensión. Sea Y la dirección vertical y hacia abajo, medida desde la posición central de la mano, de forma que ésta ocupa
la posición
y1 = c cos(ωt),
Obsérvese que ω es una frecuencia arbitraria (la que quiera darle el niño al
mover su mano) y no tiene por qué coincidir con la que tendrı́a el resorte si oscilara libremente (frecuencia natural)
r
ω 6= ω0 =
rad
k
= 10
m
s
La pesa está sometida a la acción de
dos fuerzas: su propio peso y la fuerza
elástica ejercida por el resorte.
Figura 1.21: Movimiento de una pesa por un niño
F = mg − k(y − y1 − l0 ),
siendo l0 la longitud natural del resorte (que aquı́ debemos tener en cuenta porque queremos ver en
qué caso el resorte se encoge del todo). La cantidad y1 aparece porque la ley de Hooke es dependiente
del estiramiento total del resorte, y éste depende tanto de la posición inicial como de la final.La ecuación
de movimiento para la pesa es entonces
d2 y
= mg − k(y − y1 − l0 )
dt2
Sustituyendo y1 nos queda la ecuación de movimiento
m
m
d2 y
+ ky = mg + kl0 + kc cos(ωt)
dt2
30
Oscilaciones y Ondas
Sabemos que la pesa oscila con la misma frecuencia que la mano del niño. Estas oscilaciones las
hará en torno a una cierta posición de equilibrio, ası́ que la solución la podemos escribir en la forma
y = y0 + Asen(ωt + φ),
donde y0 (la posición central de las oscilaciones), A es la amplitud que hay que determinar.Sustituyendo en la ecuación de movimiento y nos queda
−Amω 2 senωt cos φ − Amω 2 cos ωtsenφ + ky0 + kAsenωt cos φ + kA cos ωtsenφ − mg − kl0 = kc cos(ωt)
Si está ecuación debe cumplirse en todo instante, el coeficiente del coseno, el del seno, y el del
término independiente deben ser iguales a un lado y a otro de la igualdad. Esto nos da tres ecuaciones:
mg
+ l0 ,
k
r
k
2
−Amω cos φ + kA cos φ = 0 ⇒ ω =
,
m
ky0 − mg − kl0 = 0 ⇒ y0 =
−Amω 2 senφ + kAsenφ = kc ⇒ A =
cω02
ω02 − ω 2
El desfase φ, depende de si la frecuencia es menor o mayor que la frecuencia natura. Si ω < ω0
implica que φ = π/2, y la pesa oscila en fase con la mano, cuando la mano sube, la pesa sube, y si
baja, la pesa baja. Si ω > ω0 implica que φ = −π/2, y la pesa oscila en contrafase con la mano: cuando
la mano sube, la pesa baja, y viceversa.
Con lo que la solución para la posición de la pesa es
mg
cω 2 π
y0 =
+ l0 + 2 0 2 sen(ωt ± )
k
ω0 − ω
2
Resulta que la posición central es la misma que si no hubiera oscilaciones de la mano
mg
+ l0 = 14,8cm
k
Esta amplitud tiene un máximo (teóricamente infinito), justo a la frecuencia natural.A muy bajas
frecuencias la amplitud coincide con al de oscialción de la mano (ya que ésta se mueve tan despacio
que la pesa simplemente la sigue arriba y abajo). A altas frecuencias, la vibración de la mano es tan
rápida que la pesa no es capaz de seguirla y su amplitud de oscilación tiende a 0.
La pesa chocará con la mano cuando la posición de la pesa y la posición de la mano coincidan,
esto es
cω02 sen(ωt ± π ) = c cos(ωt)
y = y1 ⇒ y0 + 2
2
ω0 − ω 2
y0 =
Para que este choque se produzca, la amplitud de oscilación debe ser lo suficientemente grande,
lo cual solo ocurre cerca de la frecuencia propia (o frecuencia de resonancia). Habrá entonces una
frecuencia mı́nima a la cual se producirá este choque, y también una frecuencia máxima.
Si la frecuencia es menor que la frecuencia propia, la pesa oscila en fase con la mano, esto es, que
si la mano sube la pesa también, y lo mismo si baja. Pero, dependiendo de la frecuencia, la amplitud
de estas oscilaciones irá aumentando, y la frecuencia mı́nima se alcanzará cuando la pesa toque una
sola vez a la mano.
Esta colisión, de producirse, ocurrirá cuando la mano esté en su punto más alto, momento en que
la pesa también estará en su punto superior. Esto ocurre para t = nT + T /2.
y0 −
kc
= −c
k − mω 2
31
Oscilaciones y Ondas
y obtenemos la frecuencia lı́mite
s
r
kc
k
y0
ωmin =
−
= ω0
= 9,39rad/s
m m(y0 + c)
y0 + c
Según hemos dicho cuando la frecuencia es mayor que la frecuencia natural, la pesa oscila al revés
que la mano, si una sube, la otra baja. A frecuencias altas , la pesa nunca llega a la altura de la mano.
La posición extrema en que se produce la colisión es aquella en que la mano está en su punto más
bajo, y la pesa en su punto más alto. Esto ocurre en t = nT
y0 +
kc
=c
k − mω 2
lo que nos da la frecuencia
s
ωmax =
1.8.1.
k
kc
+
= ω0
m m(y0 − c)
r
y0
= 10,75rad/s
y0 − c
Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie
Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una inductancia L,
conectadas en serie y alimentados por una fuente de tensión de corriente alterna V0 cosωt,
como el de la figura , la diferencia de potencial para la resistencia, el condensador y el
inductor en función de la carga Q y la corriente I son:
Figura 1.22: Circuito RLC en serie con fuente de tensión de alterna
VL = L dI
,
dt
VC =
Q
,
C
VR = IR
De acuerdo con la ley de Ohm la suma de los potenciales en un lazo cerrado debe
ser cero, esto es:
L
dI
Q
+ RI + = V0 cos(ωf t)
dt
C
donde la relación entre la carga y la corriente es I =
(1.121) se convierte en:
L
(1.121)
dQ
,
dt
d2 Q
dQ Q
+R
+ = V0 cos(ωf t)
2
dt
dt
C
32
con lo que la ecuación
(1.122)
Oscilaciones y Ondas
esta ecuación es similar a la ecuación (), realizando una analogı́a tenemos que m es
análogo a L, R es análogo a λ, k es análogo a 1/C y V0 es análogo a F0 . La solución en
este caso es de la forma:
Q (t) = Asen (ωf t + α)
(1.123)
donde
tanα =
ω02 − ωf2
2Rωf
(1.124)
donde
s
ω0 =
1
LC
(1.125)
de igual forma:
A = r
V0 /L
ω02
−
ωf2
2
+
(1.126)
4R2 ωf2
Para el caso de no existir fuente de potencial
el sistema se comporta como un
q
R
2
oscilador amortiguado, donde γ = 2L y ωA = ω0 − γ 2 . Cuando R = 0, el sistema se
un oscilador de frecuencia ω0 .
Para buscar la expresión de la energı́a que se conserva en el caso del circuito, comparamos las ecuaciones del oscilador mecánico y del circuito. Si recordamos que en el
oscilador mecánico la energı́a potencial elástica es
1
Ep = kx2
2
la analogı́a nos lleva a identificar la energı́a
(1.127)
Q2
(1.128)
2C
Esta es la energı́a potencial electrostática. Está asociada a la carga eléctrica almacenada en las placas del condensador. Para buscar el análogo a la energı́a cinética,
establecemos la analogı́a entre la velocidad y la intensidad de corriente. Ası́ pues, por
analogı́a con la energı́a cinética llegamos a la energı́a
Ee =
1
Em = LI 2
(1.129)
2
Esta es la energı́a magnética. Está asociada al campo magnético producido por
la corriente eléctrica. En el oscilador mecánico, la energı́a mecánica es la suma de la
potencial elástica y la cinética. En el circuito, definimos una energı́a total como la suma
de la energı́a potencial electrostática y la magnética
33
Oscilaciones y Ondas
Q2 1 2
+ LI
(1.130)
2C 2
Al igual que en el caso mecánico, esta energı́a se conserva. El comportamiento del
circuito puede entenderse como un intercambio entre la energı́a eléctrica y la magnética.
E = Ee + Em =
34
Capı́tulo 2
Movimiento Ondulatorio
2.1.
Introducción
Si en un punto de un medio material cualquiera (sólido, lı́quido o gas), se
produce una perturbación, que desplaza de su posición de equilibrio la partı́cula
situada en el mismo, como por ejemplo cuando se deja caer un objeto en el agua,
la perturbación no permanece localizada en el lugar que se produjo la perturbación,
sino que después de cierto tiempo este se transmite a las partı́culas circundantes.
El proceso descrito anteriormente recibe el nombre de propagación de una perturbación.
El lugar en el cual se produce la perturbación se conoce como foco de la perturbación, en el caso de la perturbación sobre la superficie del agua, esta perturbación
produce ondas circulares con centro en el foco de la perturbación.
Cuando una perturbación se propaga en una superficie o en el espacio, como por
ejemplo el sonido, la intensidad disminuye rápidamente al aumentar la distancia entre
el punto del espacio y el foco de la perturbación, es decir con amortiguamiento, este
no es el caso de una pulsación sobre una cuerda tensa, sobre la cual la perturbación
avanza una gran distancia sin experimentar una disminución sensible en su intensidad.
Cuando la partı́cula sobre la que se produce la perturbación, se desplaza de su
posición de equilibrio, comienza a vibrar, produciéndose nuevas perturbaciones, las
cuales en la mayorı́a de los casos se amortiguan rápidamente, de modo que al cabo de
cierto tiempo el movimiento de la partı́cula sobre la que se produjo la perturbación
cesa prácticamente, cabe aclarar que en la propagación de una perturbación no son las
partı́culas del medio las que se propagan desplazándose de un lugar a otro. En este
caso lo que se propaga es la energı́a del foco de vibración, conservándose en este caso
las posiciones medias de las partı́culas. Esta situación pude ser observada, cuando se
tiene un corcho flotando en el agua, en este caso las ondas pasan haciendo subir y
bajar el corcho pero sin arrastrarlo con ellas, confirmando que las moléculas de agua
no avanzan con las ondas.
35
Oscilaciones y Ondas
En el caso en el cual el foco y las partı́culas circundantes vibran con movimiento
armónico simple, el movimiento se conoce como ondulatorio y es el caso mas simple.
2.2.
Descripción matemática de la propagación
Consideremos una función ψ (x), la cual describe una perturbación inicial, en caso
de cambiar la posición x, por la posición x − x0 , se obtienen la función ψ (x − x0 ),
función que representa la misma función de perturbación, pero en este caso la función
ha sido desplazada hacia la derecha en caso de ser x0 positivo, de forma similar en el
caso ψ (x + x0 ), se obtiene un desplazamiento hacia la izquierda.
Si la posición x0 = vt, donde t es el tiempo y v es la velocidad de las ondas, la cual
es conocida como velocidad de fase, se tiene dos ondas una onda que viaja hacia la
derecha y otra que viaja hacia la izquierda, de donde se concluye que una función de la
forma
ψ (x ± vt)
(2.1)
describe una onda que ”viaja.o ”se propaga”sin deformación en la dirección X, la
función ψ, puede representar diferentes cantidades fı́sicas, como por ejemplo, la deformación de un solido, la deformación de un resorte, la presión de un gas, un campo
eléctrico, un campo magnético, etc.
Un caso muy común y especialmente interesante es aquel en el cual la función ψ (x, t),
es una función sinusoidal o armónica tal como:
ψ (x, t) = ψ0 sen (kx − ωt)
(2.2)
donde k es el número de onda, que es el numero de longitudes de ondas que están
contenidas en una distancia de 2π, λ, es la longitud de onda, es decir el periodo espacial,
esto es la distancia a la cual la onda se repite a si misma, por lo tanto k = 2π/λ, ω es
la frecuencia angular o cı́clica de la onda, la cual se define como ω = 2πf , donde f es
la frecuencia de la onda, que define cuantas veces se repite la onda en un segundo, un
término similar es el periodo T , el cual es el inverso de la frecuencia, T = 1/f , el cual
es el tiempo en el cual se repite a si misma la onda, no se debe confundir el periodo
espacial λ y el periodo temporal T los cuales son diferentes fı́sicamente.
Debido a que los campos asociados a un proceso fı́sico están gobernados por leyes
dinámicas, las cuales pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, estamos
en la necesidad de encontrar una ecuación diferencial que sea aplicable a todo tipo de
movimiento ondulatorio, por ende al investigar las derivadas, de la función de onda, se
obtendrá esta ecuación denominada ecuación de onda, si en la ecuación (2.1) realizamos
el cambio de variables u = x ± vt, y utilizando la regla de la cadena obtenemos.
∂ψ
∂ψ ∂u
∂ψ
=
=
(2.3)
∂x
∂u ∂x
∂u
de forma similar la segunda derivada espacial pude ser obtenida en la forma
36
Oscilaciones y Ondas
2
∂
∂ψ
∂x
∂
∂ψ
∂x
∂ ψ
∂u
∂ 2ψ
=
=
=
(2.4)
∂x2
∂x
∂u ∂x
∂u2
donde la derivada parcial ∂u
= 1, de forma similar se obtiene la derivada temporal
∂x
= ±v, con esto (±v)2 = v 2 , se
con una pequeña diferencia en la derivada parcial ∂u
∂t
obtiene la segunda derivada parcial temporal en la forma
∂ 2ψ
∂ 2ψ 2
=
v
(2.5)
∂t2
∂u2
remplazando (2.4), en (2.5) se obtiene la ecuación diferencial de ondas como
2
∂ 2ψ
2∂ ψ
=
v
∂t2
∂x2
2.3.
(2.6)
Ondas de presión en una columna de gas
Consideremos una onda que se propaga a través de un gas, por ejemplo una onda
sonora, en este caso existen regiones en las cuales la presión del gas es ligeramente
menor que la presión media del gas y regiones donde la presión del gas el ligeramente
mayor que la presión media del gas, supongamos que P0 y ρ0 , la presión y densidad
del gas en condiciones de equilibrio, las cuales en esta condición se mantienen en en
todo el volumen del gas, para simplificar el análisis del problema, consideremos que el
gas se encuentra encerrado en un tubo cilı́ndrico figura1.5, en el caso de la propagación
de una onda la diferencia de presiones un pequeño volumen de espesor dx, se pone en
movimiento figura1.5, de modo que el nuevo espesor del pequeño volumen es dx + dψ,
debido al cambio que ocurre en el volumen la densidad del gas es modificada, pero por
el principio de conservación de la masa la masa antes ρ0 Adx y después ρA (dx + dψ)de
la deformación deben ser iguales, de esta igualdad y despejando ρ, se obtiene:
ρ=
ρ0
1 + ∂ψ/∂x
(2.7)
Realizando la división (desarrollo binomial) obtenemos:
h
ρ = ρ0 1 − ∂ψ/∂x − (∂ψ/∂x)2 + (∂ψ/∂x)3 − · · ·
i
(2.8)
en caso de la deformación ser pequeña, se pueden despreciar los términos de orden
superior quedando la expresión para la densidad finalmente como:
ρ = ρ0 [1 − ∂ψ/∂x]
(2.9)
Debido a que la presión P en un gas está determinada por la ecuación de estado, la
cual para un gas ideal es de la forma P V = N RT , lo cual indica que la presión es una
función del volumen y por ende de la densidad ρ, lo cual se puede escribir en general de
la forma P = f (ρ). Utilizando el desarrollo de Taylor para está función de la presión
se tiene
37
Oscilaciones y Ondas
Figura 2.1: Ondas de presión en una columna de gas
dP
P = P0 + (ρ − ρ0 )
dρ
!
1
d2 P
+ (ρ − ρ0 )2
2
dρ2
0
!
+ ···
(2.10)
0
Para pequeñas variaciones de la densidad, se pueden despreciar los términos de
orden superior y escribir
dP
P = P0 + (ρ − ρ0 )
dρ
!
(2.11)
0
, se conoce como modulo de elasticidad de volumen, el cual
El término G = ρ0 dP
dρ 0
al ser remplazado, en la ecuación anterior se obtiene la ley de Hooke para los fluidos
ρ − ρ0
P = P0 + G
ρ0
!
(2.12)
Remplazando la ecuación (1.45) en (1.47), tenemos
∂ψ
(2.13)
∂x
Debido a que existe movimiento de un pequeño volumen, se debe obtener la ecuación
del movimiento del mismo esto es:
P = P0 − G
∂ 2ψ
(P − P ) A = −AdP = dm 2
(2.14)
∂t
pero el diferencial de masa es dm = ρ0 Adx, la cual al ser remplazada se tiene
0
− AdP = ρ0 Adx
∂ 2ψ
∂t2
38
ó
∂P
∂ 2ψ
= −ρ0 2
∂x
∂t
(2.15)
Oscilaciones y Ondas
Remplazando la ecuación (1.49) en la ecuación (1.51)
∂
∂ψ
P0 − G
∂x
∂x
!
= −ρ0
∂ 2ψ
∂t2
ó
∂ 2ψ
G ∂ 2ψ
=
∂t2
ρ0 ∂x2
(2.16)
Donde hemos llegado a una ecuación similar a la ecuación de ondas (1.6), concluyendo que la expresión para la velocidad de las ondas en una columna de gas es
v=
q
G/ρ0
(2.17)
De la ecuación (1.49), se puede notar que
∂ 2P
∂ 3ψ
=
−G
∂t2
∂x∂t2
(2.18)
1 ∂ 2P
∂ 3ψ
=
−
∂x∂t2
ρ0 ∂x2
(2.19)
y de (1.51)
Combinando (1.54) con (1.55), se obtiene la ecuación de ondas para la presión
∂ 2P
G ∂ 2P
=
(2.20)
∂t2
ρ0 ∂x2
Lo cual explica porque a este tipo de ondas se les llama ondas de presión, de forma
similar se llega a una ecuación de ondas para la densidad, en la forma
G ∂ 2ρ
∂ 2ρ
=
(2.21)
∂t2
ρ0 ∂x2
Cuando se tiene el movimiento ondulatorio en un gas este proceso es adiabático,
en un proceso adiabático se cumple P = Cργ , donde γ, es una cantidad conocida
como coeficiente
politropico del gas, si remplazamos está expresión en la ecuación para
γ−1
G = ρ0 dP
=
ρ
, pero C = P ρ−γ , obteniéndose
0 γCρ
dρ
G = γP0
(2.22)
Encontrando que la velocidad del sonido en un gas es
v=
q
γP/ρ
(2.23)
para un gas ideal P V = N RT , lo cual es similar a P m/ρ = N RT , con esto la
velocidad del sonido en un gas en función de la temperatura toma la forma
v=
q
γN RT /m =
q
γRT /M
(2.24)
donde M = m/N , es la masa de un mol del gas
Ejemplo:Calcular la velocidad de propagación del sonido en el hidrógeno(H),
nitrógeno(N) y oxı́geno(O) a 0o C, Tomar γ = 1,4, compararlos con los valores
experimentales vH = 1269,5m/s, vN = 339,3m/s, vO = 317,2m/s
39
Oscilaciones y Ondas
La masa molecular de los elementos se puede extraer de la tabla periódica como
MH = 1g/mol, MN = 14g/mol y MO = 16g/mol, la temperatura es T = 273,15o K y la
constante de los gases es R = 8,3143J o /o Kmol, con esto los valores para las velocidades
teóricas son
vH = 1260,8m/s, vN = 337m/s, vO = 315,2m/s, valores muy cercanos a los valores
experimentales, se debe tener en cuenta que estas moléculas son diátomicas
Ejemplo: La temperatura de la atmósfera en sus capas bajas decrece con la altura
como T = T0 − kz T0 = 20o C, k = 6o C/km. Un avión rompe la barrera del sonido
cuando se encuentra a 8 km de altura. ¿Cuánto tarda el sonido en llegar al suelo?
Se puede hacer una estimación del resultado, para ver si el efecto de la variación
térmica es apreciable.
La temperatura en el camino del sonido varı́a desde 20 o C al nivel del suelo hasta
(20 - 6·8) o C=-28 o C a la altura del avión h = 8 km. La velocidad del sonido a estas
dos alturas es:
m
m
= 343
s
s
m
m
= 314,2
v(−28 o C) = (331 − 0,6 · 28)
s
s
El tiempo que tarda el sonido en llegar al suelo estará entre los correspondientes a
estas dos velocidades
v(20 o C) = (331 + 0,6 · 20)
t(20 o C) =
(−28 o C) =
h
= 23,3 s
v(20 o C)
h
= 25,5 s
v(−28 o C)
Para obtener el valor exacto se tiene que:
v=
dz
dz
ó v0 + 0,6 · T = 331 + 0,6 (20 − 0,006z) = 343 − 0,0036z =
dt
dt
de donde
t=−
2.4.
ln (343 − 0,0036z) 8000
= 24,36s
0,0036
0
Ondas longitudinales en una barra
Cuando se produce una perturbación, está perturbación se propaga a través de la
barra y se siente en otros lugares de la barra, en esté caso se dice que se ha propagado
una onda elástica a lo largo de la barra, a medida que se propaga la perturbación, los
elementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan.
40
Oscilaciones y Ondas
Figura 2.2: Ondas longitudinales en una barra
Para analizar la propagación de estas ondas en la barra, consideremos una barra
cilı́ndrica de sección transversal A, de esta barra cilı́ndrica tomamos un elemento diferencial de volumen de ancho dx, a causa de la perturbación este elemento diferencial se
deforma una cantidad dψ, de tal forma que el nuevo ancho del elemento diferencial es
dx + dψ, la deformación unitaria o deformación por unidad de longitud esta definida
como la razón entre la deformación y el elemento de longitud deformado
∂ψ
(2.25)
∂x
Una relación entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria se establece por la
ley de Hooeke, la cual define que el esfuerzo normal es proporcional a la deformación
unitaria
=
∂ψ
(2.26)
∂x
donde la constante Y , es el modulo de elasticidad de Young del material de la barra,
las unidades del modulo de Young son N/m2 , pero el esfuerzo normal se define como
la fuerza por unidad de area es decir
σn = Y = Y
σn = F/A
(2.27)
con la utilización de estas ultimas ecuaciones se puede escribir la fuerza como
∂ψ
(2.28)
∂x
El movimiento del elemento de barra está determinado por las fuerzas que actúan
sobre él, y que ”tratan”de llevarlo a la posición de equilibrio. Las fuerzas que actúan
son la fuerza F que ejerce la parte de la barra que se encuentra a la izquierda del
F = σn A = Y A = Y A
41
Oscilaciones y Ondas
elemento y la fuerza F 0 que ejerce la parte de la derecha de la barra, como se muestra
en la figura 1.6.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, tenemos:
∂F
∂x
0
F − F = dF =
!
dx = dm
∂ 2ψ
∂t2
(2.29)
el elemento diferencial de masa puede ser escrito en la forma dm = ρdV , donde
dV = Adx, de donde dm = ρAdx, que al ser remplazado en la ecuación anterior se
convierte en
∂F
∂x
!
= ρA
∂ 2ψ
∂t2
(2.30)
Introduciendo F , de la ecuación (1.64) en la ecuación (1.66) se llega a
∂ 2ψ
YA
∂x2
!
∂ 2ψ
= ρA 2
∂t
ó
∂ 2ψ
∂t2
!
=
Y ∂ 2ψ
ρ ∂x2
(2.31)
Esta ecuación, la cual es la ecuación de ondas para la deformación en una barra, de
la cual se puede concluir que estas ondas se propagan a lo largo de la barra con una
velocidad
q
v=
Y /ρ
(2.32)
Si ahora se toma la ecuación (1.66) y se deriva respecto de x
∂ 2F
∂x2
!
∂2
= ρA 2
∂t
∂ψ
∂x
!
(2.33)
y de (1.64) ∂ψ/∂x = F/Y A, remplazando en la ecuación anterior
∂ 2F
∂t2
!
=
Y ∂ 2F
ρ ∂x2
(2.34)
ecuación a partir de la cual se puede notar que el campo de fuerzas se propaga a lo
largo de la barra con la misma velocidad que el campo de desplazamientos
EjemploUn alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de
0,5mmcuelga del techo. Si un cuerpo de 100kg de masa se suspende del extremo libre hallar la elongación del alambre y la velocidad de las ondas longitudinales que se
propagan a lo largo del alambre.
La fuerza que actúa sobre el alambre es el peso el cual es F = mg = 100kg ∗ 9,8m/s2 =
980N , el modulo de Young para el acero es Y = 2,0 × 1011 N/m2 , con esto
F = Y A ⇒ 980N = 2,0 × 1011 N/m2 ∗ π ∗ (0,5×−3 )2 , de donde
= 6,238×−3 , de lo cual, la deformación es 1,24cm
La velocidad
de las ondas longitudinales es
q
q
v = Y /ρ = 2,0 × 1011 N/m2 /7,8 × 103 N/m3 = 5063,7m/s
42
Oscilaciones y Ondas
2.5.
Ondas transversales en una barra
El análisis de este tipo de ondas es similar al realizado en las ondas longitudinales
en una barra, consideremos una barra, la cual en estado sin deformar esta dada por la
linea punteada de la figura1.7
Figura 2.3: Ondas Transversales en una barra
Si en algún momento se hace vibrar la barra golpeándola transversalmente, en este
caso se deforma la barra tomando la forma de la linea curva continua, donde se puede
suponer que las deformaciones de la misma son en forma vertical mas no en forma
horizontal.
Si tomamos ψ, como el desplazamiento transversal de una pequeña sección dx en un
instante de tiempo, este desplazamiento es una función de la posición por cuanto cada
uno de los puntos de la barra sufre un desplazamiento diferente, en este caso la deformación unitaria es transversal y por tal motivo recibe el nombre de deformación unitaria
, y la ley de Hooke en este caso es
transversal, δ = ∂ψ
∂x
∂ψ
(2.35)
∂x
donde σc , es el esfuerzo cortante y M es el modulo de torsión del material, la fuerza
es entonces
σc = M δ = M
∂ψ
(2.36)
∂x
donde A es el area de transversal de la barra, la ecuación del movimiento de la barra,
de acuerdo con la segunda ley de Newton es
F = AM δ = AM
F 0 − F = dF =
∂ 2ψ
∂F
dx = dm 2
∂x
∂t
(2.37)
donde dm = ρdV = ρAdx, con esto
∂F
∂ 2ψ
dx = ρAdx 2
∂x
∂t
43
(2.38)
Oscilaciones y Ondas
remplazando la expresión para la fuerza ecuación(1.72), en esta ultima ecuación se
llega a
AM
∂ 2ψ
∂ 2ψ
dx
=
ρAdx
∂x2
∂t2
ó
∂ 2ψ
M ∂ 2ψ
=
∂t2
ρ ∂x2
(2.39)
De forma similar se puede obtener la ecuación de ondas para el campo de fuerzas,
derivando (1.74), con respecto a x y remplazando la ecuación (1.72), llegando a
M ∂ 2F
∂ 2F
=
∂t2
ρ ∂x2
(2.40)
de donde, la velocidad con la que se propagan tanto el campo de desplazamientos
como el campo de fuerzas
s
v=
M
ρ
(2.41)
Figura 2.4: Ondas de torsión en una barra
Otro ejemplo de este tipo de ondas son las ondas de torsión, en las cuales se supone
una barra a la que se le aplica un momento torsionante τ a los extremos de la barra,
la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una
hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo θ respecto de la sección
en A.
Consideremos una fibra cualquiera a una distancia r del eje de la barra, el eje de esta
fibra gira el mismo ángulo θ, produciéndose una deformación tangencial δs igual a DE.
La longitud de esta deformación es el arco de circulo de radio r y el ángulo viene dada
por:
44
Oscilaciones y Ondas
δs = DE = rθ
(2.42)
La deformación angular media o distorsión γ, se obtiene dividiendo la deformación
tangencial, entre la longitud total de la barra
rθ
L
y el esfuerzo cortante según la ley de Hooke de la forma:
γ=
(2.43)
rθ
(2.44)
L
Si dividimos en dos la barra de la figura1.8, se traza el diagrama de cuerpo libre
correspondiente a una de las partes figura1.9.
Un elemento diferencial de área de esta sección estará sometido a una fuerza resistente
dP = τ dA, debido a que por ser diferencial se puede asumir que el esfuerzo es constante
dentro del elemento.
Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, apliquemos la condición
P
M = 0, es decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torcionante
aplicado. El par resistente Tr es la suma de los momentos respecto al centro de todas
las fuerzas diferenciales dP :
σc = M γ = M
Z
T = Tr =
rdP =
Z
rσc dA
(2.45)
Sustituyendo σc , por su valor, ecuación(1.80)
Mθ Z 2
r dA
L
R
Ahora bien, J = r2 dA, es el momento polar de inercia de la sección
T =
T =
(2.46)
Mθ
J
L
(2.47)
Tr
J
(2.48)
Combinando (1.80) y (1.83) se obtiene
σc =
de donde el esfuerzo máximo cortante es
TR
(2.49)
J
Para secciones circulares el momento dipolar de inercia se muestra en la ficura1.10.
En el caso de un eje circular macizo el momento polar de inercia es
σc =
J=
πR4
2
y en el caso de un eje circular hueco
45
(2.50)
Oscilaciones y Ondas
Figura 2.5: Diagrama de cuerpo libre de la sección cortada
Figura 2.6: Momentos polares de inercia para una sección circular
J=
2.6.
π (R4 − R04 )
2
(2.51)
Ondas longitudinales en un resorte
Cuando se produce una perturbación en un resorte estirado y el desplazamiento
esperimentado por la sección del mismo es ψ, la fuerza de esta sección es
∂ψ
(2.52)
∂x
donde K, es el modulo de elasticidad del resorte, el cual es diferente de la constante
de elasticidad del resorte, para obtener la relación entre el modulo de elasticidad del
resorte y la constante de elaticidad del mismo, supongamos que l longitud del resorte sin
estirar es L y que cuando se le aplica una fuerza F , se estira una distancia l, quedando
con esto la deformación unitaria como ∂ψ/∂x = l/L, de donde
F =K
F =K
46
l
L
(2.53)
Oscilaciones y Ondas
utilizando la ley de Hooke se tiene que F = kl, de lu cual K = kL, utilizando la
segunda ley de Newton:
∂F
∂ 2ψ
dx = dm 2
∂x
∂t
Remplazando la fuerza de la ecuación (1.88) en (1.90), obteniéndose
dF =
K ∂ 2ψ
∂ 2F
=
∂t2
µ ∂x2
(2.54)
(2.55)
donde la velocidad de las ondas longitudinales en un resorte dada por
s
v=
K
=
µ
s
kl
µ
(2.56)
donde µ = dm/dx = m/L es la densidad de masa lineal
2.7.
Ondas transversales en una cuerda
Consideremos una cuerda sujeto por sus dos extremos de tal forma que se produzca
una tensión T sobre la cuerda, en estado de equilibrio la cuerda permanece tensa a lo
largo del eje de las x, consideremos un elemento diferencial desplazado del equilibrio
debido a la presencia de una onda es decir una perturbación. Sus elementos vecinos
ejercen fuerzas F~1 y F~2 en los extremos del elemento considerado, se puede suponer
que el efecto de la onda es tan pequeño como para que la tensión de la cuerda sea casi
uniforme, lo que significa que F~1 = F~2 = T . Por otra parte se puede suponer que la
tensión de la cuerda es tan grande como para despreciar el efecto del peso, en este caso
la sumatoria de las fuerzas en y es:
X
Fy = Fy1 = Fy2 = T senθ2 − T senθ1 = T (senθ2 − senθ1 )
(2.57)
Se supone que los ángulos θ1 y θ2 , son pequeños, de modo que se puede realizar la
aproximación senθ1 ≈ senθ2 , debido a que la pendiente de una curva en un punto es
igual a la tangente del ángulo entre la curva y el eje x en dicho punto, tan θ = ∂ψ/∂x.
Por lo tanto
senθ ≈ tan θ = ∂ψ/∂x
(2.58)
de donde se obtiene
X
∂
∆ (∂ψ/∂x)
∆x = T
Fy = T [(∂ψ/∂x)2 − (∂ψ/∂x)1 ] = T ∆ (∂ψ/∂x) = T
∆x
∂x
Utilizando la segunda ley de Newton
47
!
∂ψ
∆x
∂x
(2.59)
Oscilaciones y Ondas
Figura 2.7: Ondas Transversales en una cuerda
X
∂
∂ 2ψ
Fy = dm 2 = T
∂t
∂x
!
∂ψ
∆x
∂x
(2.60)
ecuación que se puede escribir como:
∂ 2ψ
T ∂ 2ψ
=
∂t2
µ ∂x2
de donde la velocidad de las ondas transversales en una cuerda
s
v=
2.8.
T
µ
(2.61)
(2.62)
Ondas Superficiales en un liquido
Lejos de las paredes del recipiente que lo contiene, la superficie libre de un lı́quido
en equilibrio sometido a la gravedad y a las fuerzas de tensión superficial es plana y
horizontal. Si por efecto de una perturbación la superficie se aparta de esa posición en
algún punto, ocurre un movimiento en el lı́quido tendiente a restituir el equilibrio. Este
movimiento se propaga sobre la superficie en forma de ondas, llamadas ondas superficiales. Esas ondas afectan también el interior del fluido, pero con menos intensidad a
mayores profundidades.
Los efectos de la tensión superficial son importantes cuando la longitud de las ondas
es muy corta, pues entonces la principal fuerza de restitución es la capilaridad. Estas
ondas se denominan entonces ondas capilares. Pero cuando las longitudes de onda son
grandes, la fuerza de restitución se debe sólo a la gravedad y tenemos entonces ondas
de gravedad.
Las ondas de superficie en el agua son sin duda el fenómeno ondulatorio más fácil de
observar, y no han cesado de fascinar al observador curioso. Se trata, además de un
48
Oscilaciones y Ondas
fenómeno de enorme importancia práctica y de gran relevancia para las ciencias del
ambiente terrestre. Presentan una fenomenologı́a asombrosamente variada y han dado
lugar, y siguen dando hoy, a numerosas investigaciones sea teóricas que experimentales.
Ondas superficiales de gravedad
Consideraremos ahora ondas de gravedad de pequeña amplitud, en las cuales la
velocidad del fluido es pequeña. La ecuación que gobierna el movimiento de un fluido
es la ecuación de Navier-Stokes
1
d~u
= ~g − ∇P + η∇2~u
dt
ρ
(2.63)
donde η es la viscosidad cinemática, en caso de tener un fluido ideal η = 0 y se
obtienen las ecuaciones de Euler, debido a que el flujo es incompresible e irrotacional,
se puede suponer ~u = ∇φ, donde φ, es el potencial de velocidades, si suponemos que
el eje z es vertical y hacia arriba y que la superficie libre en equilibrio del liquido es el
plano z = 0
Figura 2.8: Ondas superficiales en un liquido
En este caso la ecuación de Navier Stokes toma la forma
∂ 2φ
1 ∂P
= −gz −
∂z∂t
ρ ∂z
(2.64)
Lo cual pude ser escrito como
∂φ
1
= −gz − P
∂t
ρ
(2.65)
Tomando con ψ (x, y, t) la coordenada z de un punto de la superficie perturbada.
En el equilibrio ψ = 0, de modo que ψ representa el desplazamiento vertical de la
superficie debido a las oscilaciones. Supongamos que sobre la superficie libre se ejerce
49
Oscilaciones y Ondas
una presión constante P0 (la presión atmosférica). Entonces por la (2.65) se debe cumplir
la condición de contorno
∂φ
P0 = −ρgψ −
∂t
!
(2.66)
z=ψ
donde se puede emplear la nueva variable ψ 0 = ψ + Pρ0 t, la ecuación (2.66), se puede
escribir en la forma
∂φ0
0 = ρgψ +
∂t
!
(2.67)
z=ψ
donde se nota claramente que ∇ψ = ∇ψ 0 , de esta forma se obtiene ~u = ∇ψ 0 , lo cual
puede ser prescrito en la forma
uz (x, y, ψ, t) =
∂φ0
∂z
!
(2.68)
z=ψ
Pero por otro lado
∂ψ
∂t
Combinando las ecuaciones (2.68) y (2.69), se obtiene
uz (x, y, ψ, t) =
∂φ0
∂z
!
=
z=ψ
∂ψ
∂t
(2.69)
(2.70)
Remplazando este resultado en la ecuación (2.67), se obtiene
∂φ0 1 ∂ 2 φ0
+
∂z
g ∂t2
!
(2.71)
z=ψ
Debido a que las oscilaciones son pequeñas, podemos evaluar la cantidad entre
paréntesis en z = 0 en lugar de z = ψ , con lo que finalmente el problema se reduce a
las siguientes ecuaciones
∇2 φ0 = 0,
∂φ0 1 ∂ 2 φ0
+
∂z
g ∂t2
!
(2.72)
z=0
Gracias a la aproximación de suponer perturbaciones de pequeña amplitud, se ha
llegado a un problema lineal que se expresa en las (1.16). En virtud de la linealidad,
tiene sentido buscar soluciones en la forma de perturbaciones sinusoidales de la superficie
libre, de longitud de onda λ y periodo T , dado que mediante oportunas superposiciones
de perturbaciones de este tipo podemos encontrar la solución de cualquier problema
de condiciones iniciales. Vamos a suponer que la superficie del liquido es ilimitada y
su profundidad h es muy grande, de modo que h >> λ , donde λ es la longitud de
onda de la perturbación, cuyo periodo es T . Por lo tanto tendremos lo que se denomina
una onda de gravedad en aguas extensas y profundas. En este problema, entonces, no
50
Oscilaciones y Ondas
hay condiciones de contorno en los bordes ni en el fondo. Supongamos que la onda se
propaga a lo largo del eje x, de modo que todas las magnitudes que la describen son
independientes de y. Tendremos entonces
φ0 = f (z) sen (kx − ωt)
(2.73)
Sustituyendo phi0 , en la ecuación de Laplace se llega a la ecuación diferencial lineal
con coeficientes constantes
f 00 − k 2 f = 0
(2.74)
f (z) = Aekz + Be−kz
(2.75)
cuya solución es de la forma
donde tenemos la condición f (h → ∞) = 0, lo que produce A = 0, quedando con
esto
φ0 = Be−kz sen (kx − ωt)
(2.76)
Este comportamiento exponencialmente decreciente en la dirección normal a la superficie es caracterı́stico de las ondas superficiales, que se suelen también denominar
evanescentes dado que no se propagan en esa dirección.
Si remplazamos (1.20) en (1.16) se puede obtiene
φ0 = −kBe−kz sen (kx − ωt) +
Obteniéndose la relación ω =
√
ω 2 −kz
Be sen (kx − ωt)
g
(2.77)
gk, pero utilizando la ecuación v = ω/k, de donde
v=
q
g/k =
q
gλ/2π
(2.78)
La ecuación (1.22) nos muestra que v depende de la longitud de onda. En este caso
la velocidad de fase es proporcional a la raı́z cuadrada de la longitud de onda. Debido
a esto, una superposición de ondas elementales de diferente longitud de onda cambia
de forma mientras se propaga, y un paquete de ondas localizado se dispersa. Por este
motivo, las ondas que tienen esta propiedad se dicen dispersivas.
Hasta ahora, en nuestro estudio de las ondas superficiales no hemos tenido en cuenta
las fuerzas de tension superficial. Veremos que la capilaridad tiene un efecto importante
sobre las ondas de gravedad de longitud de onda pequeña. Como antes vamos a suponer
que la amplitud de las oscilaciones es pequeña en comparación con la longitud de onda
(a << λ). El planteo del problema se puede hacer del mismo modo que antes y se obtiene
que el potencial de velocidad satisface como antes la ecuación de Laplace (la primera
de las ecuaciones(1.16). La diferencia con el caso anterior aparece en la condición de
contorno sobre la superficie, pues ahora debido a la curvatura de la superficie cuando
esta es perturbada, hay una diferencia de presión entre ambos lados de la misma, para
empezar explicaremos el concepto de tensión superficial.
51
Oscilaciones y Ondas
Todo el mundo ha observado alguna vez gotas lı́quidas en un medio gaseoso y ha
visto la forma curva que asume la superficie libre de un lı́quido en reposo cerca de
las paredes del recipiente que lo contiene. Tales observaciones no se pueden explicar
mediante la condición de equilibrio hidrostático, pues es evidente que las superficies
de igual presión y densidad (que deben ser paralelas a la interfaz en su entorno) son
siempre perpendiculares a la dirección de la gravedad.
Es fácil mostrar que si la presión fuese la única fuerza de superficie presente, no sólo
toda interfase deberı́a ser plana, sino que tampoco podrı́an ocurrir saltos de presión a
través de una interfase, contrariamente a lo que muestra el conocido fenómeno de la
capilaridad.
Para ello, consideremos un elemento de volumen atravesado por la interfaz entre dos
fluidos en reposo (Fig. 1.2). El espesor del elemento es δh y sus caras 1 y 2 tienen un
area δl2 . Supongamos que exista una salto de presión P2 − P1 a través de la interfaz.
Debido a esa diferencia de presión habrá una fuerza neta debida a los esfuerzos sobre
las caras 1 y 2, cuya magnitud es
(P2 − P1 ) δl2
(2.79)
Figura 2.9: Elemento diferencial de volumen entre dos superficies
y por lo tanto es proporcional a δl2 y no a δh. Por otra parte, la fuerza neta sobre
la superficie lateral debida a la presión debe ser proporcional a la superficie lateral, que
escala como δhδl.
Por consiguiente, prescindiendo de toda consideración acerca de la dirección de estas
fuerzas, esta claro que son de orden distinto y no se pueden compensar entre si. Es
evidente que tampoco ninguna fuerza de volumen (que es proporcional a δV = δhδl2
) puede compensar la fuerza dada por la ecuación (1.22). Luego, si no existieran otras
fuerzas de superficie que las debidas a la presión, deberı́amos tener P2 = P1 , de modo
que la presión seria continua a través de la interfaz.
Por otra parte, en la union de los dos fluidos (recordemos que están en reposo) no
pueden aparecer otras fuerzas que no sean las debidas a la presión. Luego una diferencia
de presión, si es que existe, tiene que se compensada por otras fuerzas, que hasta ahora
no habı́amos considerado. El asiento de esas nuevas fuerzas no puede ser otro que la
52
Oscilaciones y Ondas
interfaz misma, o sea la abrupta transición entre dos fluidos de distintas propiedades.
Por lo tanto se deben ejercer sobre la superficie lateral, que es la única atravesada
por la interfaz, mas precisamente sobre la curva C que resulta de la intersección de la
superficie lateral con la interfaz. La fuerza que se ejerce sobre un elemento de linea dl
de C debe ser normal a la superficie lateral, es decir debe estar en el plano tangente a
la interfaz, y ser ortogonal a dl (esto ultimo es necesario por la condición de reposo).
Deben cumplir, además, las siguientes condiciones:
Su resultante sobre un elemento extremadamente chato atravesado por la interfaz
debe ser proporcional al area frontal δl2 del elemento, es decir, no debe tender a
cero con δh.
Su resultante sobre el mismo elemento debe tener dirección opuesta a la resultante
(1.23). Esta segunda exigencia, junto con la condición que las fuerzas deben ser
paralelas a la interfaz, implica que solo puede darse P21 si hay curvatura de la
superficie.
Todo esto equivale a suponer que la interfaz entre dos medios se comporta como una
membrana de espesor infinitesimal, sede de fuerzas finitas, tangentes a su superficie.
Por lo tanto la interfaz posee un tension superficial cuya magnitud esta determinada
por un coeficiente =, de modo que la fuerza dt es tangente a la interfaz y normal a dl,
y se expresa como
dt = =dln
(2.80)
donde n es normal a dl y paralela a la interfaz, y su sentido va desde la porción
sobre la cual es ejercida la fuerza hacia la porción que la ejerce. El factor = que aparece
en la ecuación (1.24) se denomina coeficiente de tension superficial.
Figura 2.10: Interface entre los dos fluidos
Vamos a suponer que = es uniforme sobre la interfaz. En primer termino,
mostraremos que una superficie curva en estado de tension ejerce un esfuerzo normal.
Para ello consideramos el entorno de un punto O de la interfaz (Fig. 1.3). Elegimos
53
Oscilaciones y Ondas
O como origen de un sistema de coordenadas cuyo eje z es normal a la interfaz. Sea
z = ψ(x, y) la ecuación de la interfaz; entonces ψ(0, 0) = 0 y
∂ψ
∂x
!
=
x=0
∂ψ
∂y
!
=0
(2.81)
y=0
puesto que la interfaz es tangente al plano z = 0. Supondremos que en el entorno de
O, la interfaz se puede aproximar por una superficie de segundo orden; geométricamente,
esto significa que en O, la superficie está caracterizada por dos radios de curvatura, Rx ,
Ry , correspondientes cada uno a las curvas que resultan de intersecar la superficie con
dos planos ortogonales que contienen al eje z, y que podemos considerar como los planos
(x, z) e (y, z). Es un resultado bien conocido del análisis matemático que el radio de
curvatura de una curva plana y = y(x), está dado por
1
=
R
y 00
1 + (y 0 )2
(2.82)
3
2
donde las primas indican derivación respecto de x. Como en nuestro caso las primeras
derivadas son nulas, los radios de curvatura en los planos ((x, z) e (y, z) son, respectivamente
∂ 2ψ
1
=
Rx
∂x2
∂ 2ψ
1
=
Ry
∂y 2
(2.83)
Evaluemos ahora la resultante dF’ de las fuerzas ejercidas por la tension superficial
sobre dos elementos de linea dy paralelos al eje y, colocados a una distancia dx/2 de
O (Fig. 1.4). Las componentes x se compensan entre si, pero quedan las componentes
según z que se suman dando
∂ 2ψ
(2.84)
∂x2
donde se ha utilizado, sen(θ) ≈ θ ≈ dx/2Rx , análogamente se encuentra el valor
de las fuerzas resultantes dF” ejercidas por la tension sobre dos elementos de linea dx,
paralelos al eje x, y colocados a dy/2 de O.
Por lo tanto, la resultante de las fuerzas de tensión superficial que se ejercen sobre el
elemento de superficie dxdy de la interfaz, equivale a un esfuerzo normal a la interfaz
(o lo que es lo mismo, a una presión) dado por:
dFz0 = 2dy=sen(θ) = =dxdy/Rx = =dxdy
dF 0 + dF 00
∂ 2ψ ∂ 2ψ
Ps =
==
+ 2
dxdy
∂x2
∂y
!
1
1
==
+
Rx Ry
!
(2.85)
En el caso de nuestro estudio de las ondas esta ecuación es recomendable escribirla
en la forma
∂ 2ψ ∂ 2ψ
δP = =
+ 2
∂x2
∂y
54
!
(2.86)
Oscilaciones y Ondas
Figura 2.11: Fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial de superficie
Luego la presión cerca de la superficie es
∂ 2ψ ∂ 2ψ
P = P0 + =
+ 2
∂x2
∂y
!
(2.87)
donde P0 es la presión externa. Por lo tanto la condición de contorno sobre la
superficie se escribe ahora
∂φ
ρgψ + ρ
∂t
∂ 2ψ ∂ 2ψ
−=
+ 2
∂x2
∂y
z=ψ
!
!
=0
(2.88)
Remplazando nuevamente (1.14), se obtiene finalmente la condición
∂φ 1 ∂ 2 φ
= ∂
+
−
2
∂z g ∂t
ρg ∂z
∂ 2φ ∂ 2φ
+
∂x2 ∂y 2
!!
=0
(2.89)
z=0
Sustituyendo la solución (1.20) en la ecuación (1.33), se obtiene
ω2
= −k +
− k k 2 Be−kz sen (kx − ωt)z=0 = 0
g
ρg
!
(2.90)
de donde se obtiene
s
ω=
gk +
=k 3
ρ
de donde se obtiene la velocidad de propagación en este caso como
55
(2.91)
Oscilaciones y Ondas
s
ω=
gλ 2π=
+
2π
ρλ
(2.92)
El cociente entre el término de gravedad y el término de tensión superficial del
radicando de la (1.35) está determinado por el número puro
ρg
(2.93)
=k 2
que se denomina número de Bond (o también número de Eötvös). Cuando B >> 1
los efectos de la tensión superficial son despreciables y estamos en el caso de las ondas
de gravedad puras que acabamos de estudiar. Si, viceversa, B << 1, la dinámica de
las oscilaciones está determinada por la tensión superficial y tenemos ondas capilares
puras. En los casos intermedios ambos efectos se deben tener en cuenta y tenemos las
ondas de gravedad capilares.
Veamos como se modifican los presentes resultados cuando la profundidad h de la
capa lı́quida es finita. Lo único que cambia respecto del tratamiento anterior es que
debemos agregar la condición de contorno en el fondo
B=
(uz )x=−h =
∂φ
∂z
!
=0
(2.94)
x=−h
Con esta ecuación aplicada a la ecuación (1.19), se llega a la ecuación auxiliar
Akekh − Bke−kh = 0
(2.95)
Remplazando este resultado en la ecuación (1.19)
φ0 = Ae−kh Aekz−kh + Ae−(kz−kh) cos (kx − ωt) = A0 cosh k(z − h) cos (kx − ωt)
(2.96)
donde A0 = 2Ae−kh , a partir de la (1.40) es sencillo verificar que las trayectorias
de las parcelas del fluido son ahora elipses achatadas. El achatamiento es tanto mayor
cuanto menor es h/λ , y además crece con la profundidad, hasta que el semieje vertical
se hace nulo en z = −h (es decir uz = 0), de modo que en el fondo el movimiento del
fluido es puramente horizontal. Introduciendo la (1.40) en la condición de contorno en
la superficie (1.33) resulta la siguiente relación de dispersion general:
ω=
v
u
u
t
!
=k 3
gk +
tanh (kh)
ρ
(2.97)
de donde la velocidad de propagación de las ondas es en general
v=
v
u
u
t
!
gλ 2π=
2πh
+
tanh
2π
ρλ
λ
56
!
(2.98)
Oscilaciones y Ondas
2.9.
Potencia de una onda
Cuando una onda se propaga transporta energı́a en la dirección en que viaja. Para
determinar la rapidez con la que se propaga está energı́a, es decir, la potencia de la
onda, en primer lugar se debe encontrar la densidad de energı́a de la onda, por ejemplo
en el caso de una onda propagándose en una barra la potencia se puede calcular como:
∂ψ
(2.99)
∂t
donde se puede considerar ψ = ψ0 sen (kx − ωt), y de acuerdo con la ley de Hooke
P = −F
F =YA
Tomando la derivada
pero v =
q
∂ψ
∂t
∂ψ
= Y Akψ0 cos (kx − ωt)
∂x
(2.100)
= −kψ0 ω cos (kx − ωt)
P = Y Aωkψ02 cos2 (kx − ωt)
(2.101)
P = Y Aωkψ02 cos2 (kx − ωt) = vAρω 2 ψ02 cos2 (kx − ωt)
(2.102)
Y /ρ
La potencia media de la onda es
P̄ = vAρω 2 ψ02
1
1
= vA ρω 2 ψ02
2
2
(2.103)
¯ − ωt) = 1
donde se tomo cos2 (kx
2
El término 12 ρω 2 ψ02 , es conocido como energı́a por unidad de volumen o densidad
de energı́a en la barra
1
E = ρω 2 ψ02
2
(2.104)
P = vAE
(2.105)
de donde
El promedio del flujo de energı́a por unidad de área y de tiempo, o intensidad de la
onda, expresado en W/m2 , es
P
= vE
(2.106)
A
La sensibilidad del oı́do humano es tal que para cada frecuencia hay una intensidad
mı́nima o umbral de audición, por debajo de la cual el sonido no es audible y una
intensidad máxima o umbral de dolor, la intensidad también puede ser expresada en
otra unidad llamada decibel, según la definición
I=
57
Oscilaciones y Ondas
I
(2.107)
I0
Donde I0 es una intensidad de referencia. Para el caso del sonido en ele aire el nivel
de referencia tomado arbitrariamente es I0 = 10−12 W/m2
Tambien se puede obtener la potencia de una onda en una cuerda, la energı́a cinética
del elemento diferencial figura1.11 es:
B = 10 log
∂ψ
1
∆K = (µ∆x)
2
∂t
la distancia ∆l =
∆l − ∆x =
q
!2
(2.108)
q
(∆x)2 + (∆y)2 , y la distancia que se deforma la cuerda es
(∆x)2 + (∆y)2 − ∆x, que puede ser escrito en la forma
∆l − ∆x =
v
u
u
t
 1+
∆ψ
∆x

!2
− 1
 ∆x =
v
u
u
t
 1+
∂ψ
∂x

!2
− 1
 ∆x
(2.109)
Que con la utilización del teorema del binomio:
(1 + x)n = 1 + nx +
Para el caso anterior x =
n (n − 1) 2 n (n − 1) (n − 2) 3
x +
x + ···
2!
3!
∂ψ 2
∂x

(2.110)
y n = 1/2, de lo que nos queda
1 ∂ψ
∆l − ∆x = 1 +
2 ∂x
!2
1
−
4
∂ψ
∂x
!4
+ · · · − 1 ]∆x(2.111)
si la variación de ∂ψ
es pequeña, se pueden eliminar los términos de orden superior,
∂x
llegando a:
2
∆x. La energı́a potencial ∆U del elemento, debida a la onda es
∆l − ∆x = 12 ∂ψ
∂x
el trabajo que realiza T al deformar dicho elemento:
∆U = T
1 ∂ψ
∆x
2 ∂x
(2.112)
La suma de estas energı́as es
1
∂ψ
∆K + ∆U = (µ∆x)
2
∂t
!2
1
+T
2
∂ψ
∂x
!2
∆x
(2.113)
Luego la potencia de la onda está definida como

∆K + ∆U
1
∂ψ
P =
= v µ
∆t
2
∂t
Y recordando que ψ = ψ0 sen (kx − ωt)
58
!2
+T
∂ψ
∂x
!2 

(2.114)
Oscilaciones y Ondas
1 h
P = v µω 2 + T k 2 ]ψ02 cos2 (kx − ωt) (2.115)
2
2
Tambien, v = T /µ = ω 2 /k 2 , llegando a
P = vµω 2 ψ02 cos2 (kx − ωt)
(2.116)
1
P = vµω 2 ψ02
2
(2.117)
La potencia promedio es
2.10.
Ondas en dos y tres dimensiones
En tres dimensiones la onda ψ = ψ0 senkx − ωt, describe una onda como la
mostrada en la figura1.1, la cual se está propagando en la dirección x, en general
ψ = f (x − vt), describe una onda plana que se propaga en la dirección x, como se
muestra en la figura1.12.
Lo que caracteriza una onda plana propagándose es la dirección de propagación,
la cual está definida por un vector u, perpendicular al plano de la onda, en general
la dirección de propagación puede ser cualquiera no solo la dirección x, en general la
posición en tres dimensiones puede ser expresada en la forma r = u · r, con lo cual la
función se puede escribir ψ = f (r · u − vt), para el caso de una onda plana armónica o
sinusoidal propagándose en la dirección u
ψ = ψ0 sen (ku · r − ωt) = ψ0 sen (k · r − ωt)
(2.118)
donde se ha definido el vector de propagación k = ku = kx î + ky ĵ + kz k̂, este vector
posee una magnitud k = 2π/λ = ω/v y apunta en la dirección de propagación.
Cuando la propagación ocurre en un lugar en el espacio tridimensional, lo cual es la
situación más común, la ecuación de ondas se convierte en
2
∂ 2ψ ∂ 2ψ
∂ 2ψ
2 ∂ ψ
=
v
+
+ 2
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z
!
= v 2 ∇2 ψ
(2.119)
donde en operador ∇ nabbla, es un operador vectorial dado por
∇=
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(2.120)
La ecuación(1.112), a pesar de de estar en tres dimensiones es monodimensional, es
decir su propagación es una dirección especifica y la situación fı́sica es la misma en todos
los planos perpendiculares a la dirección de propagación, pero en la naturaleza existen
otras formas de propagación, en las cuales las ondas se propagan en varias direcciones,
entre las cuales las más comunes son las cilı́ndricas y las esféricas.
En la figura1.13 se muestra el comportamiento de los frentes de onda de las ondas
59
Oscilaciones y Ondas
planas cilı́ndricas y esféricas, las ondas cilı́ndricas se producen cuando se colocan un
conjunto de fuentes uniformemente distribuidas a lo largo de un eje por ejemplo el eje
z.
Figura 2.12: En la figura (a) se muestra una onda propagándose en la dirección X y en
la figura (b) se muestra una onda propagándose en una dirección arbitraria
Las ondas esféricas se producen por ejemplo cuando se origina una perturbación
en un gas y está se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad, en este
caso se dice que el medio es isotropico, en el caso de la velocidad de las ondas no ser la
misma en todas las direcciones el medio se denomina anisotropico, y en este caso las
ondas resultantes no son esféricas.
2.11.
Ondas en una membrana tensa
Consideremos una membrana delgada y tensa, la membrana está sobre un marco el
cual ejerce una tensión por unidad de longitud T , si tomamos un pequeño diferencial
de area sobre la membrana, este diferencial experimentara una deformación ψ, la cual
depende de x y de y, para obtener la ecuación diferencial, se calcula la fuerza sobre
cada una de las caras del diferencial de area.
De los cuatro lados que posee el diferencial de area dos de ellos son paralelos al eje
x y los otros dos son paralelos al eje y, para los que son paralelos al eje x, la fuerza neta
que actúa en la dirección z es
∂ tan θ
∂ 2ψ
(tan θ0 − tan θ)
T dy (tan θ − tan θ) = T dy
dx = T dy
dx = T 2 dxdy
dx
∂x
∂x
0
(2.121)
de manera similar para los lados paralelos al eje y, obtenemos
∂ 2ψ
dxdy
∂y 2
Luego la fuerza neta en la dirección z
T
60
(2.122)
Oscilaciones y Ondas
Figura 2.13: Membrana tensa
∂ 2ψ
∂ 2ψ
dxdy
+
T
dxdy
(2.123)
∂x2
∂y 2
Definimos la densidad de masa superficial o masa por unidad de area como σ =
m/A = dm/dxdy, de donde dm = σdxdy, luego la ecuación del movimiento de esta
porción de la membrana es
Fz = T
∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂ 2ψ
σdxdy 2 = T 2 dxdy + T 2 dxdy
∂t
∂x
∂y
ó
∂ 2ψ
T
=
2
∂t
σ
∂ 2ψ ∂ 2ψ
+ 2
∂x2
∂y
!
(2.124)
Con esto la velocidad de las ondas sobre una membrana tensa están dadas por
v=
2.12.
q
T /σ
(2.125)
Ondas esféricas en un fluido
Un ejemplo de ondas esféricas son las ondas en un fluido, para tal fin consideremos
una onda de presión en un fluido homogéneo e isotropico, en este caso la ecuación de
ondas debe escribirse en función de las variables r, θ, φ, pero si la onda tiene la misma
amplitud en todas las direcciones, la única variable sobre la que queda dependencia es
r, ene este caso el laplaciano en coordenadas esféricas manteniendo solo la dependencia
de r es
1 ∂
∂ψ
∇ψ= 2
r2
r ∂r
∂r
2
61
!
(2.126)
Oscilaciones y Ondas
Lo cual convierte la ecuación de onda(1.119) en
∂ 2ψ
∂ψ
1 ∂
r2
= v2 2
2
∂t
r ∂r
∂r
!
(2.127)
La solución de está ecuación se puede obtener realizando la sustitución ψ = φ/r
∂ 2 (φ/r)
∂ (φ/r)
v2 ∂
r2
=
2
2
∂t
r ∂r
∂r
!
∂φ
v2 ∂
2 r ∂r − φ
= 2
r
r ∂r
r2
!
v2 ∂
∂φ
= 2
r
−ψ
r ∂r
∂r
1 ∂ 2φ
∂ 2 φ ∂φ ∂φ
v2
r
−
=
+
r ∂t2
r2
∂r2
∂r
∂r
!
(2.128)
!
(2.129)
Llegando a una ecuación similar a la ecuación(1.6)
2
∂ 2φ
2∂ φ
=v
(2.130)
∂t2
∂r2
cuya solución es de la forma φ = φ0 sen (kr − ωt), luego la solución de(1.127) es
ψ=
2.13.
ψ0 sen (kr − ωt)
r
(2.131)
velocidad de grupo
la velocidad v = ω/k, para una onda armónica se llama velocidad de fase, sin embargo está velocidad no es necesariamente la que se observa cuando se analiza el movimiento
ondulatorio, debido a que cuando se tiene una señal esta contiene en realidad varias frecuencias y varias longitudes de onda lo que implica que existirán diferentes velocidades,
donde la onda o pulso resultante es una suma de las ondas de diferentes componentes,
esto es conocido como análisis de Fourier, para simplificar el análisis consideremos que
la onda esta compuesta por dos frecuencias ω y ω 0 muy similares, de tal forma que
ω 0 − ω sea muy pequeña, se supondrá que las amplitudes de estas son iguales, luego
tenemos
ψ = ψ0 sen (kx − ωt) + ψ0 sen (k 0 x − ω 0 t)
(2.132)
donde utilizando la identidad senA + senB = 2 cos 21 (B − A) sen 12 (B + A)
ψ = ψ0 cos
1 0
1
[(k − k) x − (ω 0 − ω) t] sen [(k 0 + k) x − (ω 0 + ω) t]
2
2
(2.133)
debido a que k y k 0 son lo mismo, y además ω y ω 0 también se obtiene
ψ = ψ0 cos
1 0
[(k − k) x − (ω 0 − ω) t] sen (kx − ωt)
2
62
(2.134)
Oscilaciones y Ondas
La ecuación anterior representa un movimiento ondulatorio de amplitud modulada
donde la amplitud modulada es
1 0
[(k − k) x − (ω 0 − ω) t]
(2.135)
2
donde está amplitud corresponde en sı́ a un movimiento que se propaga con velocidad
ψ0 cos
ω0 − ω
dω
=
(2.136)
0
k −k
dk
velocidad que es llamada velocidad de grupo, y recordando que ω = vk, se tiene
vg =
d (vk)
dv
=v+k
(2.137)
dk
dk
donde se puede observar que si la velocidad de fase es independiente de la longitud
de onda la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase.
vg =
Ejemplo: Calcular la velocidad de grupo para una onda en un liquido
La velocidad de fase de las ondas en un liquido están dadas por la ecuación (1.41)
si derivamos está ecuación con respecto a k llegamos a
vg = v + k
− kg2 +
=
ρ
tanh (kh) +
r
2
g
k
+
=k
ρ
g
k
+
=k
ρ
sech2 (kh) h
(2.138)
tanh (kh)
ó
vg = v +
− kg +
=k
ρ
tanh (kh) + g +
2v
63
=k2
ρ
sech2 (kh) h
(2.139)
Capı́tulo 3
Ondas Electromagnéticas
3.1.
Introducción
Las ecuaciones de Maxwell en su forma integral o diferencial nos resumen en una
forma matemática simple los fenómenos electromagnéticos. A partir de estas ecuaciones
se obtiene la ecuación de onda, obteniéndose como resultado que los campos eléctricos
y magnéticos transportan energı́a electromagnética en forma ondulatoria.
3.2.
Ecuaciones de Maxwell
Fue James Clerk Maxwell, quien resumió en un conjunto de ecuaciones la generalización de los experimentos electromagnéticos observados y que son: Ley de Gauss de la
electricidad (de la cual se deriva la Ley de Coulomb), Ley de Gauss del magnetismo, Ley
de Ampere (modificada posteriormente por Maxwell) y la Ley de Faraday, las cuales se
representan matemáticamente en forma integral por:
1 Z
ρdV
0
I
~ =
~ · dS
E
I
~ = 0
~ · dS
B
~ = µ0 i + µ0 0 ∂φE
~ · dl
B
∂t
I
∂φ
B
~ = −
~ · dl
E
∂t
I
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
~ es el campo eléctrico, B
~ es el campo magnético, i es la corriente, φE es
donde E
el flujo eléctrico, φB es el flujo magnético, 0 es la constante de permitividad, µ0 es la
~ y dS,
~ son los
constante de permeabilidad, ρ es la densidad de carga volumetrica, dl
diferenciales de longitud y superficie respectivamente.
Los flujos eléctrico y magnético están definidos respectivamente como:
64
Oscilaciones y Ondas
φE =
φB =
I
~
~ · dS
E
(3.5)
I
~
~ · dS
B
(3.6)
Las ecuaciones de Maxwell se pueden representar en forma diferencial aplicando el
teorema de la divergencia o el teorema de Stokes, el teorema de la divergencia establece
que:
I
Z
~ =
F~ · dS
∇ · F~ dV
(3.7)
~
∇ × F~ · dS
(3.8)
V
y el teorema de Stokes:
I
~ =
F~ · dl
Z
V
Con la utilización de estos teoremas las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial
son:
~ = ρ/0
∇·E
(3.9)
~ =0
∇·B
(3.10)
~
~ = µ0 J~ + 0 µ0 ∂ E
(3.11)
∇×B
∂t
~
~ = − ∂B
∇×E
(3.12)
∂t
~ ecuación conocida como
donde J~ es la densidad de corriente definida como J~ = σ E,
H
~
la Ley de Ohm, esta densidad se relaciona con la corriente como i = J~ · dS
3.3.
Condiciones de Frontera
Al pasar una onda electromagnética de un medio a otro medio, en la frontera existente entre dos medios se produce un cambio en los campos eléctrico y magnético,
los campos en en ambos lados de la frontera deben satisfacer ciertas condiciones de
frontera.
3.3.1.
Condiciones de frontera para el campo eléctrico
~1 y E
~ 2 los campos eléctricos en las dos regiones, además sean 1 y 2 las
Sean E
permitividades de los medios. Los campos eléctricos poseen componentes que son perpendiculares y paralelas a la superficie que separa los dos medios estas componentes
son llamadas componente normal y tangencial del campo eléctrico respectivamente, esto
quiere decir que el campo eléctrico puede ser escrito como la suma de sus componentes
normal y tangencial.
65
Oscilaciones y Ondas
~1 = E
~ 1t + E
~ 1n
E
~2 = E
~ 2t + E
~ 2n
E
(3.13)
Las condiciones que deben satisfacer estas condiciones en la frontera de los dos
medios son:
~ 1t = E
~ 2t
E
~ 1n = 2 E
~ 2n
1 E
(3.14)
Ejemplo Para E~ 1 = 10âx − 6ây + 12âz V /m en la figura. Calcular E~ 2 y el ángulo que E~ 2 forma
con el eje de las y
Solución La componente normal de E~ 1 esta definida como E~ 1n = −6ây V /m y la componente
~ 1t = 10âx + 12âz V /m, de esta forma y con las condiciones representadas en la ecuación
tangencial E
(3.14)
~ 2t = E
~ 1t = 10âx + 12âz V /m
E
y
~ 2n ,
30 (−6ây V /m) = 4,50 E
de donde
~ 2n = −4ây V /m,
E
con esto el campo en el medio 2 es finalmente
~ 2 = 10âx − 4ây + 12âz V /m
E
~ 2 , tenemos que ây · E
~ 2 = |ây | E
~ 2 cosθ2y , obteniendose
Para calcular el ángulo del campo E
4=
3.3.2.
√
260 · 1cosθ2y
θ2y = 75,63o
Condiciones de frontera para el campo magnético
De igual forma que para los campos eléctricos para los campos magnéticos existen
ciertas condiciones de frontera que se deben satisfacer:
~ 1t
~ 2t
B
B
=
µ1
µ2
~ 1n = B
~ 2n
B
(3.15)
~ 1 = 25âx −
Ejemplo La interface 4x − 5z = 0, es la interface entre dos medios magnéticos. Si H
~ 2 en la región 4x − 5z ≥ 0, donde
30ây + 45âz A/m en la región 4x − 5z ≤ 0, donde µ1 = 4µ0 , calcule H
µ2 = 10µ0 .
Solución La recta que delimita la frontera entre los dos medios es 4x − 5z = 0, luego el vector
∇f
normal se puede calcular tomando f = 5z − 4x, de donde ân = |∇f
| , obteniendose:
ân =
−4âx + 5âz
√
,
41
para el medio 1 tenemos
~ 1 = µ1 H
~ 1 = 5µ0 H
~ 1 = 94,2âx − 188,5ây − 282,7âz µW b/m2 ,
B
~ 1 es entonces
la magnitud de la componente normal de B
66
Oscilaciones y Ondas
2
B1n = 94,2âx − 188,5ây − 282,7âz µW b/m
·
−4âx + 5âz
√
41
= 161,9µW b/m2 ,
~ 1 es:
el vector que corresponde a la componente normal de B
x + 5âz
~ 1n = 161,9µW b/m2 −4â√
B
= −101,1âx + 126,4âz µW b/m2
41
La componente tangencial es
~ 1t = B
~1 − B
~ 1n = 195,3âx − 188,5ây − 409,1âz µW b/m2
B
De acuerdo con las condiciones de frontera
~ 2n = B
~ 1n = −101,1âx + 126,4âz µW b/m2
B
y
~ 2t
B
195,3âx − 188,5ây − 409,1âz µW b/m2
=
,
10µ0
5µ0
de donde
~ 2t = 97,7âx − 94,3ây − 204,5âz µW b/m2 ,
B
la expresión para el campo en el medio 2 es entonces.
~ 2 = −3,4âx − 94,3ây − 78,1âz µW b/m2 .
B
3.4.
Ecuaciones de Ondas Electromagnéticas
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones de Maxwell es la
derivación de las ecuaciones de las ondas electromagnéticas, en las cuales se demuestra
que los campos eléctrico y magnético pueden propagarse en el espacio, en forma de
ondas electromagnéticas.
Las ecuaciones de onda electromagnéticas se pueden obtener de la siguiente forma:
Tomando el rotacional de la ecuación (3.12)
~
~ =−∂ ∇×B
∇×∇×E
∂t
(3.16)
~ por su equivalente de la ecuación(3.11)
Sustituyendo ∇ × B,
~
∂ J~
∂ 2E
− µ0 0 2
(3.17)
∂t
∂t
La ecuación anterior
se puede simplificar utilizando la identidad vectorial ∇ × ∇ ×
2~
~
~
E = −∇ E + ∇ ∇ · E , llegando a
~ = −µ0
∇×∇×E
2~
~
~ +∇ ∇·E
~ = −µ0 σ ∂ E − µ0 0 ∂ E
− ∇2 E
∂t
∂t2
De forma similar si tomamos el rotacional de (3.11)
67
(3.18)
Oscilaciones y Ondas
~ = µ0 σ∇ × E
~ + µ0 0 ∂ ∇ × E
~
∇×∇×B
∂t
Remplazando (3.12), se llega a
∂ 2B
∂B
+ 0 2
∂t
∂t
Tomando (3.9 y 3.10) y considerando el espacio de carga libre se tiene
~ +∇ ∇·B
~ = −µ0 σ
− ∇2 B
~
~
∂ 2B
∂B
=0
−
µ
σ
0
∂t2
∂t
2~
~
~ − 0 µ0 ∂ E − µ0 σ ∂ E = 0
∇2 E
∂t2
∂t
~ − 0 µ0
∇2 B
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
Las ecuaciones de onda deducidas antes rigen el campo electromagnético en un medio
lineal homogéneo en el que la densidad de carga es cero, si este medio es conductor
o no conductor. Sin embargo, no es suficiente que estas ecuaciones se satisfagan; las
ecuaciones de Maxwell también deben ser satisfechas.
En caso del medio ser no conductor, las ecuaciones anteriores se reducen a:
~
∂ 2B
∂t2
2~
~ = 0 µ0 ∂ E
∇2 E
∂t2
~ = 0 µ0
∇2 B
(3.23)
(3.24)
donde comparando con la ecuación de ondas previamente vista la velocidad de propagación de está onda electromagnética es
1
v=√
µ0 0
(3.25)
En el caso particular de tener ondas armónicas, viajando en la dirección X, de
frecuencia f = ω/2π y longitud de onda λ = 2π/k, las soluciones para los campos
eléctrico y magnético son:
E = E0 sen (kx − ωt)
B = B0 sen (kx − ωt)
(3.26)
(3.27)
Para obtener una relación entre las amplitudes de los campos supongamos que el
campo eléctrico se encuentra paralelo al eje Y , entonces utilizando (3.12), se tiene
~
∂B
=
∂t
âx
∂
− ∂x
0
âz ây
∂
∂y
∂
∂z
E0 sen (kx − ωt)
68
0
= kE0 cos (kx − ωt)
Oscilaciones y Ondas
Integrando con respecto al tiempo obtenemos el campo magnético como
~ = k/ωE0 sen (kx − ωt) âz = B0 sen (kx − ωt) âz
B
(3.28)
de donde B0 = E0 /c, la dirección del campo magnético es es en Z y la dirección del
campo eléctrico es en Y , es decir tanto el campo magnético como el campo eléctrico son
perpendiculares a la dirección de propagación ası́ como entre ellos, es decir que para
calcular la dirección de propagación de una onda electromagnética se debe realizar el
producto cruz entre las direcciones del campo eléctrico y el campo magnético.
Para el caso del campo eléctrico y magnético descritos anteriormente corresponde a una
onda plana polarizada linealmente.
Otra solución en forma de onda es aquella en la cual los campos eléctrico y magnético
tienen una magnitud constante pero rotan alrededor de la dirección de polarización,
dando como resultado una onda polarizada circularmente, por ejemplo supongamos
que el campo eléctrico esta dado por:
~ = E0 sen (kx − ωt) ây + E0 sen (kx − ωt) âz
E
(3.29)
con esto utilizando nuevamente la ecuación (1.13), se obtiene el campo magnético
como:
~ = −B0 cos (kx − ωt) ây + B0 sen (kx − ωt) âz
B
(3.30)
En el caso en el que las componentes ortogonales posean amplitudes diferentes se
obtiene una polarización elı́ptica
3.5.
Energı́a y momentum de una onda electromagnética
La energı́a asociada al campo eléctrico de una onda electromagnética es
1
(3.31)
EnE = 0 E 2
2
De forma similar la densidad de energı́a magnética asociada a una onda electromagnética es
1 2
B
(3.32)
2µ0
La densidad total asociada a una onda electromagnética es la suma de las densidades
de energı́a eléctrica y magnética, esto es
EnB =
1
1 2
En = 0 E 2 +
B = 0 E 2
(3.33)
2
2µ0
Utilizando la definición de intensidad, se puede obtener la intensidad de una onda
electromagnética en la forma
69
Oscilaciones y Ondas
I = vEn = cEn = c0 E 2
(3.34)
La intensidad media de una onda electromagnética, se obtiene de la forma
1
(3.35)
I¯ = c0 E02
2
Si calculamos el modulo del producto cruz entre el campo eléctrico y el campo
magnético llegamos a
2
~ = EB = E
×B
(3.36)
c
Si comparamos está ecuación con la ecuación (3.35) para la intensidad de una onda
electromagnética se puede concluir que
~
E
~
~ I = c2 0 E
×B
(3.37)
El vector asociado a está cantidad se conoce como vector de Poynting, definido en
la forma
~ = c2 0 E
~ ×B
~
S
(3.38)
Existe una relación entre la energı́a y el momentum (mirar presentación sobre la
relatividad y el electromagnétismo), on esto el momentum lineal por unidad de volumen
es:
vEn
En
0 E 2
~
~ =
=
=
E
×
B
(3.39)
0
c2
c
c
La forma vectorial del momentum lineal por unidad de volumen se escribe en la
forma
p=
~ ×B
~
p~ = 0 E
(3.40)
Debido a que la onda electromagnética tiene momentum lineal también tendrá momentum angular, el momentum angular por unidad de volumen e:
~ = ~r × p~ = 0~r × E
~ ×B
~
L
3.6.
(3.41)
Presión de Radiación
Las ondas electromagnéticas se propagan en el espacio libre, pero tambien pueden
chocar con un objeto material. Por ejemplo se puede investigar qué sucede cuando
la radiación electromagnética se absorbe en la superficie de un objeto, de donde se
introduce el concepto de presión de radiación, en primera medida supongamos que
una onda electromagnética incide perpendicularmente sobre la superficie perfectamente
absorbente, el momentum por unidad de volumen es p, luego el momentum total se
70
Oscilaciones y Ondas
obtiene al multiplicar el momentum por unidad de volumen por el volumen, el cual
es δxA, luego el momentum total es p∆xA y el momentum por unidad de tiempo es
p∆xA/∆t = pcA, este momentum por unidad de tiempo, es también el momentum
absorbido por la superficie A debido a que es perfectamente absorbente,lo cual es la
fuerza que actúa sobre la superficie, de donde se obtiene la presión debida a la radiación
como:
Prad = cp = En = 0 E 2
(3.42)
En caso de tener una superficie perfectamente reflectora, la radiación reflejada posee
un momentum igual al momentum incidente pero en dirección opuesta, por tanto la
variación del momentum es 2p, con esto la presión de radiación en este caso es
Prad = c2p = 2En = 20 E 2
(3.43)
Cuando la radiación no es perpendicular sino oblicua, las presiones de radiación para
el caso de un absorbente perfecto y un reflector perfecto son respectivamente cp cos θ y
y 2En
2cp cos θ, ecuaciones que se pueden convertir en En
3
3
3.7.
Ecuación de onda con fuentes
Hasta el momento hemos considerado ondas sin considerar como se producen. El
problema ahora es considerar las distribuciones de carga y corriente prescritas, ρ (r, t)
y J (r, t), y hallar los campos producidas por ellas. Existen diferentes formas de enfocar
el problema pero, utilizaremos
el enfoque del potencial. Debido a que la divergencia de
~ = 0, de la ecuación (3.10), se puede escribir:
un rotacional es cero ∇ · ∇ × A
~ =∇×A
~
B
(3.44)
~ es conocido como potencial vectorial, remplazando está definición en la
donde A,
ecuación(3.12), se llega a
~=0
~ + ∂ ∇×A
∇×E
∂t
Si existe continuidad de los campos se puede escribir
(3.45)
!
~+ ∂A
~ =0
∇× E
∂t
(3.46)
Recurriendo al calculo vectorial el rotacional de un gradiente es cero, ∇ × (∇ϕ) = 0,
luego de la ecuación(3.46), se tiene
~+ ∂A
~ = −∇ϕ ó E
~ =−∂A
~ − ∇ϕ
E
(3.47)
∂t
∂t
donde ϕ, se llama potencial escalar, las ecuaciones (1.42) y (1.45), permiten obtener
los campos eléctrico y magnético en función de los potenciales escalar y vectorial. Estos
71
Oscilaciones y Ondas
potenciales satisfacen ecuaciones de onda similares a las satisfechas por los campos. Para
obtener la ecuación de ondas satisfecha por el potencial vectorial vecA, se sustituyen
las ecuaciones (3.44) y (3.47) en la ecuación(3.11) obteniendo


~
~ + 0 µ0 ∂ ∇ϕ + ∂ A  = µ0 J~
∇×∇×A
∂t
∂t
(3.48)
~ = −∇2 A
~ + ∇ · ∇A,
~ llegando a:
Sustituyendo la identidad vectorial ∇ × ∇ × A


~
~ + ∇ · ∇A
~ + 0 µ0 ∂ ∇ϕ + ∂ A  = µ0 J~
−∇ A
∂t
∂t
2
(3.49)
~ conocida como
Existe una condición sobre la divergencia del campo vectorial A,
condición de Lorentz, la cual es
~ + 0 µ0 ∂ϕ = 0
∇·A
(3.50)
∂t
Si se satisface está condición, la ecuación de onda para el potencial vectorial es
~
∂ 2A
= −µ0 J~
∂t2
Sustituyendo(3.47) en la ecuación (3.9), se llega a
~−
∇2 A

(3.51)

~
∂A
ρ
=−
∇ · ∇ϕ +
∂t
0
(3.52)
Utilizando(3.50) se obtiene la ecuación de onda para el potencial escalar
ρ
∂ 2ϕ
=−
(3.53)
2
∂t
0
La solución de la ecuación de ondas inhomogéneas, consiste en una solución particular de la solución inhomogénea y una solución de la ecuación homogénea, la ecuación
escalar inhomogénea (3.53), puede resolverse más fácilmente hallando la solución para
una carga puntual y luego sumando sobre todos los elementos de carga ρ∆v en la distribución de la carga adecuada. La situación más conveniente para la carga puntual es
en el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación
∇2 ϕ −
∂ 2ϕ
∇ ϕ− 2 =0
(3.54)
∂t
debe satisfacerse en todo punto menos en el origen, mientras que en un pequeño
volumen, ∆v, que rodea al origen,
2
Z
∆v
"
∂ 2ϕ
q(t)
∇ ϕ − 2 dv = −
∂t
0
#
2
72
(3.55)
Oscilaciones y Ondas
debe satisfacerse. Debido a la simetrı́a de la distribución de carga, la dependencia
espacial de ϕ es solo de r, en este caso la ecuación(3.54) tiene la forma
∂ 2ϕ
1 ∂
2 ∂ϕ
r
−
=0
r2 ∂r
∂r
∂t2
!
(3.56)
La solución de está ecuación se analizo cuando se estudiaron las ondas esféricas en
un fluido, y es de la forma
f (r − vt)
(3.57)
r
√
donde la velocidad de las ondas electromagnéticas es v = 1/ µ0 0 , es decir la
solución anterior se puede escribir en la forma
ϕ=
ϕ=
√
f r − t/ µ0 0
(3.58)
r
está solución contiene una función arbitraria que puede elegirse de modo que la
ecuación(3.55) tambien se satisfaga. La elección adecuada se obtiene observando que
para una carga estática el potencial compatible con las ecuaciones (3.54) y (3.55) es
ϕ=
q
4π0 r
(3.59)
Las funciones (3.58) y (3.59) pueden coincidir eligiendo
√
q r − t µ0 0
√
f (r − t/ µ0 0 ) =
4π0
(3.60)
La solución de las ecuaciones (3.54) y (3.55) es entonces
ϕ (r, t) =
√
q r − t 0 µ0
4π0 r
(3.61)
Luego la solución de la ecuación (3.53) está dada por
h
i
√
1 Z ρ r’, t − 0 µ0 |r − r’|
ϕ (r, t) =
dv 0
4π0 V
|r − r’|
(3.62)
que es conocida como el potencial escalar retardado.
La solución de la ecuación (3.51) puede construirse en la misma forma. Los vectores
~
~ pueden primero descomponerse en sus componentes rectangulares, obteniéndose
A y J,
tres ecuaciones análogas a la ecuación (1.51), siendo la ecuación en x, por ejemplo
∂ 2 Ax
= −µ0 Jx
∂t2
Cada una de estas ecuaciones puede resolverse, dando, por ejemplo
∇2 Ax −
73
(3.63)
Oscilaciones y Ondas
Ax (r, t) =
µ0
4π
i
√
0 µ0 |r − r’|
h
Z
Jx r’, t −
|r − r’|
V
dv 0
(3.64)
Estas componentes se combinan entonces para dar
~ (r, t) = µ0
A
4π
√
J~ r’, t − 0 µ0 |r − r’|
h
Z
i
|r − r’|
V
dv 0
(3.65)
que es el potencial vectorial retardado.
3.8.
Radiación de un dipolo eléctrico oscilante
Este es un ejemplo de radiación es una distribución de carga-corriente prescrita
dependiente del tiempo. el dipolo se supondrá, que consiste de dos esferas situadas en
z = ±l/2 conectadas por un alambre de capacidad despreciable. La carga de la esfera
superior es q y la de la esfera inferior es −q.
El potencial vectorial debido a la distribución de corriente especificada es
Az (r, t) =
µ0 Z l/2
4π
I (z 0 , t) −
√
µ0 0 |r − z 0 k| dz 0
|r − z 0 k|
−l/2
(3.66)
La cantidad |r − z 0 k|, puede ser escrita como
|r − z 0 k| = r2 − 2z 0 k · r + z 02
1/2
(3.67)
Si l es pequeña comparada con r, esto es, si consideramos el campo sólo a grandes
distancias del dipolo, este termino puede desarrollarse en la forma
|r − z 0 k| = r − z 0 cos θ
(3.68)
donde θ es el ángulo que forma r con el eje z. La cantidad |r − z 0 k| está contenida
tanto en el denominador como en el termino de retardación en el denominador puede
simplemente despreciarse si r es suficientemente grande. Sin embargo en el termino de
√
retardación, z 0 cos θ puede despreciarse sólo si z 0 cos θ µ0 0 es despreciable comparada
con el tiempo durante el cual la corriente cambia significativamente, es decir, comparada
con el perı́odo de las corrientes que varı́an armónicamente. Como v =
l
<< vT = λ
(3.69)
2
Por tanto, si el dipolo es pequeño comparado con una longitud de onda, y el punto
~ está dado por
de observación está alejado, comparado con l, del dipolo, entonces A
µ0 1
r
Az (r, t) =
lI t −
4π r
v
74
(3.70)
Oscilaciones y Ondas
El potencial vectorial ϕ puede hallarse con la condición de Lorentz(3.50), la diver~ es definida en la forma
gencia de A,
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az
∇·A
∂x
∂y
∂z
(3.71)
de donde
~ = µl ∂
∇·A
4π ∂z
1
r
I t−
r
v
=−
r
µl z
r
z
I t−
+ 2 I0 t −
3
4π r
v
r v
v
(3.72)
donde I 0 representa la derivada de I con respecto a su argumento. Está ecuación se
integra observando que I = q 0 y, por lo tanto
 l z q t −
ϕ=
4π0 r2
r
r
v
+
I t−
r
v

(3.73)

v
La distribución armónica de la carga-corriente es de la forma:
r
r
q t−
= q0 cos ω t −
v
v
r
r
r
I t−
= −ωq0 sen ω t −
= I0 sen ω t −
v
v
v
(3.74)
(3.75)
~ en coordenadas esféricas es:
El vector A,
~ = µ0 lI0 senω t − r k̂ = µ0 lI0 senω t − r (cos θâr − senθâθ )
A
4πr
v
4πr
v
(3.76)
~ se obtiene el campo magnético
Calculando el rotacional de A,
"
~ =∇×A
~=
B
#
"
#
1
∂
∂Aθ
1
1 ∂Ar ∂ (rAφ )
(Aφ senθ) −
âr +
−
â(3.77)
θ
rsenθ ∂θ
∂φ
r senθ ∂φ
∂r
"
#
1 ∂ (rAθ ) ∂Ar
+
−
âφ
r
∂r
∂θ
~ = µ0 lI0 senθ ω cos ω t − r + 1 sen ω t − r
B
4πr
v
v
r
v
El calculo del campo eléctrico se puede realizar con la ayuda de (3.47)

sen ω t −
~ = 2lI0 cos θ 
E
4π0
r2 v
lI0 sen θ
4π0
r
v
−
cos ω t −
ωr3
r
v

 âr
−
(3.79)
1
ω
r
1
r
− 2 cos ω t −
− 2 sen ω t −
3
ωr
rv
v
r v
v
75
(3.78)
âθ
Oscilaciones y Ondas
El valor del vector de Poynting dado por (3.34)
~= 1E
~ ×B
~ = 1 Eθ Bφ
S
µ0
µ0
(3.80)
Para grandes distancias de la fuente se pueden conservar solo los términos que
dependen de 1/r, lo que produce,
2
2
~ = (ωI0 l) sen θ cos2 ω t − r
S
v
(4π)2 0 r2 v 3
2
=
r
(ω 2 q0 l) sen2 θ
2
cos
ω
t
−
2
v
(4π) 0 r2 v 3
(3.81)
La energı́a total radiada por unidad de tiempo es
q 2 l2 ω 4
dEn Z
I (θ) dA = 0 3 cos2 (ωt − kr)
=
dt
6π0 c
esf era
La potencia media radiada se calcula como:
q 2 l2 ω 4
2π
P̄ =
I (θ) dA = 0
=
12π0 c3
3
esf era
Z
s
µ0
0
l
λ
!2
(3.82)
I02
2
(3.83)
Una resistencia R por la que pasa una corriente I0 cos ωt disipa energı́a a una velocidad promedio de P̄ = RI02 /2, comparando con la ecuación(3.83), se puede definir la
resistencia de radiación de un dipolo por
2π
Rr =
3
3.9.
s
µ0
0
l
λ
!2
(3.84)
Radiación de un dipolo magnético oscilante
Otra fuente de las ondas electromagnéticas es el dipolo magnético oscilante, este
estudio es un poco más complicado que el de un dipolo eléctrico, por este motivo no se
realizara la deducción de los campos pero el análisis se puede realizar con la ayuda del
análisis de la radiación de un dipolo eléctrico, intercambiando los papeles de los campos
eléctricos y magnéticos, teniendo en cuenta que el momento inicial del dipolo eléctrico
es Π0 = q0 l, donde q0 = −I0 /ω, este se puede intercambiar por el momento inicial
del dipolo magnético M0 y la constante de proporcionalidad eléctrica 1/4π0 , por la
constante de proporcionalidad magnética µ0 /4π, obteniéndose los campos magnéticos

~ = 2M0 µ0 cos θ −
B
4π
M0 µ0 sen θ
4π
"
ω sen ω t −
r
v
r2 v
+
cos ω t −
r3
r
v

 âr
−
1
r
ω
r
ω2
− 3 cos ω t −
+ 2 sen ω t −
2
rv
r
v
r v
v
!
76
(3.85)
#
âθ
Capı́tulo 4
Reflexión Refracción
4.1.
Introducción
Cuando una onda pasa de un medio a otro, debido a que la velocidad de las ondas en un medio cualquiera dependen de las propiedades fı́sicas de este, ocurren dos
fenómenos conocidos como refracción y refracción de estas ondas, los cuales consisten
respectivamente, en que una parte de la onda que llega a la unión de estos dos medios
pasa de un medio al otro y la otra parte se regresa hacia el medio de donde viene, por
ejemplo para las ondas en una barra la velocidad depende del modulo de elasticidad y la
densidad de la barra, es decir que si tenemos dos barras de diferente material unidas, la
velocidad de las ondas en las dos barras son diferentes lo que da lugar a los fenómenos
de refracción y reflexión.
4.2.
Principio de Huygens
Si en un instante dado tomamos todos los puntos alcanzados por el movimiento
ondulatorio y los unimos la superficie que se obtiene es lo que se conoce como superficie
o frente de ondas, por ejemplo supongamos que se tiene una fuente puntual y que el
movimiento ondulatorio se propaga en todas las direcciones de igual forma es decir la
velocidad es la misma en todas las direcciónes, en un instante de tiempo cualquiera
todos los puntos del movimiento ondulatorio están a la misma distancia de la fuente
puntual, es decir que si unimos todos estos puntos se forma una esfera, en este caso se
puede decir que el frente de ondas es una esfera, esta esfera ira creciendo a medida que
transcurra el tiempo.
Basandonos en la explicación anterior se puede explicar el principio de Huygens, el cual
es una construcción geométrica, donde se utiliza la construcción de un frente de ondas,
en la construcción de los siguientes frentes de onda. En la construcción de Huygens
todos los puntos en un frente de ondas dado se toman como nuevas fuentes puntuales,
las cuales producen ondas esféricas, que se llaman secundarias.
77
Oscilaciones y Ondas
Figura 4.1: Construcción de la propagación de una onda
4.3.
Teorema de malus
Otro instrumento importante para seguir la propagación de una onda, a través de
un medio, es el teorema de Malus. Refiriendonos de nuevo a la fig.4.1 observamos que
podemos trazar una serie de lı́neas perpendiculares a las sucesivas superficies de onda
(indicadas con lı́neas de trazos con flechas). Estas lı́neas se llama rayos y corresponden
a lı́neas de propagación de la onda. Debemos observar que la relación entre rayos y
superficies de onda es similar a la relación entre lı́neas de fuerza y superficies equipotenciales. Puntos de diferentes superficies de onda unidos por un rayo dado, tal como de
la fig.4.1, se llaman puntos correspondientes. Evidentemente el tiempo requerido para
que la onda vaya desde S a S“ debe ser el mismo cualquiera sea el rayo según el cual se
mida. Podemos de este modo establecer que el tiempo que sera puntos correspondientes
de dos superficies de onda es el mismo para todos los pares de puntos correspondientes.
De aquı́ concluimos que las distancias recorridas de un frente de onda a otro frente de
ondas, deben depender de la velocidad del movimiento ondulatorio en cada punto. En
un medio isótropo y homogéneo, donde la velocidad es la misma en todos los puntos y
en todas las direcciones, la separación entre dos superficies de onda debe ser la misma
para todos los puntos correspondientes. Otro hecho importante que debemos aceptar
4.4.
Principio de Fermat
El principio de Fermat establece que cuando una onda se propaga de un punto A
a un punto B la hace de tal forma que la trayectoria que sigue durante su recorrido
le genere el menor tiempo posible. Dependiendo de la forma del frente de ondas es el
tipo de onda que se propaga; en general los tres tipos de ondas más importantes son
las ondas planas, cilı́ndricas y esféricas, que corresponden a frentes de ondas planos
cilı́ndricos y esféricos respectivamente.
78
Oscilaciones y Ondas
4.5.
Reflexión y transmisión de ondas planas
Cuando una onda plana se propaga en un medio en el cual la velocidad es v1 y pasa
a un medio en el cual su velocidad es v2 , una parte de la onda incidente regresa al
medio 1 y otra parte de la onda pasa al medio 2, las direcciones que poseen las ondas
reflejada (onda que regresa al medio) y transmitida (onda que pasa al otro medio), con
respecto a la onda incidente cambian, estas direcciones pueden ser obtenidas utilizando
los teoremas de Malus y Fermat.
4.5.1.
Reflexión y transmisión de ondas planas utilizando el
teorema de Malus
Consideremos dos rayos R1 y R2 , los cuales son parte de una onda cuyo frente de
ondas es plano, cuando el rayo 1 se encuentra en el punto A, el rayo 2, se encuentra en
el punto B.
Figura 4.2: Reflexion y transmisión de ondas entre dos medios, donde la linea AB en
azul representa el frente de ondas incidente, la linea verde A0 B 0 representa el frente de
ondas reflejado y la linea roja A00 B 00 representa el frente de ondas transmitido
Para la onda reflejada cuando el rayo 1 viaja del punto A al punto A0 ; el rayo 2
viaja del punto B al punto B 0 . Las distancias recorridas por estos rayos se obtienen de
multiplicar la distancia recorrida por el tiempo empleado en recorrer estas distancias.
Debido a que ambos rayos se encuentran en el medio 1, sus velocidades son v1 , de esta
forma:
AA0 = v1 t
y
BB 0 = v1 t,
(4.1)
0
0
donde t es el tiempo empleado en recorrer la distancia AA y BB , utilizando la
construcción geométrica de la figura se puede observar que
senθi =
BB 0
AB 0
y
79
senθr =
AA0
AB 0
(4.2)
Oscilaciones y Ondas
Remplazando (4.1) en (4.2), obtenemos:
v1 t
AB 0
Combinando las ecuaciones (4.3)
senθi =
y
senθr =
senθi = senθr
y
v1 t
AB 0
θi = θr
(4.3)
(4.4)
Para el caso de la onda transmitida cuando el rayo 1 viaja del punto A al punto A00 ,
el rayo 2 viaja del punto B al punto B 00 , donde estas respectivas distancias son:
AA00 = v2 t
BB 00 = v1 t,
y
(4.5)
Utilizando nuevamente la construcción geométrica
v2 t
BB 00
=
y
0
AB
AB 0
Combinando las ecuaciones (4.6) llegamos a:
senθi =
senθt =
v2 senθi = v1 senθt
AA00
v1 t
=
0
AB
AB 0
(4.6)
(4.7)
Si denotamos c como la velocidad de la luz en el vacı́o, que se define como c =
√
1/ 0 µ0 , el cociente entre la velocidad de la luz en el vacı́o y la velocidad de la luz en
otro medio es conocido como el ı́ndice de refracción del medio
c
(4.8)
n= ,
v
√
donde v es la velocidad de la luz en el medio, definida como v = 1/ µ, donde
= r 0 y µ = µr µ0 , donde r y µr , son la permitividad y permeabilidad relativas del
medio, de esta forma el ı́ndice de refracción de un medio se puede escribir como:
n=
√
r µr ,
(4.9)
Con la definición del ı́ndice de refracción la ecuación (4.7), puede ser escrita como:
n1 senθi = n2 senθt
(4.10)
Al conjunto de ecuaciones (4.4)y (4.32) y el hecho de que los rayos incidente reflejado
y transmitido deben ser coplanares, es decir se deben encontrar en el mismo plano
constituyen la ley de Snell
4.5.2.
Reflexión y transmisión de ondas planas utilizando el
teorema de Fermat
Consideremos nuevamente un rayo que pertenece a una onda plana, que incide en
la frontera entre dos medios, la geométria del rayo incidente, reflejado y transmitido se
ilustran en la figura 4.3
80
Oscilaciones y Ondas
Figura 4.3: Reflexion y transmisión de ondas entre dos medios
Los tiempos correspondientes a cada uno de los rayos se pueden calcular como:
√
x 2 + a2
,
t1 =
v1
q
t2 =
q
(d1 − x)2 + a2
,
v1
t3 =
(d − x)2 + b2
.
v2
(4.11)
El tiempo correspondiente a la onda reflejada
q
√
(d1 − x)2 + a2
x2 + a2
tr =
+
,
v1
v1
y el tiempo de la la onda transmitida
(4.12)
q
√
(d − x)2 + b2
x2 + a2
tt =
+
.
v1
v2
Para que los tiempos sean mı́nimos debemos derivar tr y tt
(4.13)
dtr
2x
−2 (d1 − x)
q
√
=
+
= 0,
2
2
dx
2v1 x + a
2v1 (d1 − x)2 + a2
(4.14)
dtt
2x
−2 (d − x)
q
√
+
= 0.
=
dx
2v1 x2 + a2 2v2 (d − x)2 + b2
(4.15)
y
Las ecuaciones (4.36) y (4.37), se convierten en:
senθi senθr
−
=0
v1
v1
senθi senθt
−
=0
v1
v2
ó
ó
81
θi = θr
(4.16)
v2 senθi = v1 senθt
(4.17)
Oscilaciones y Ondas
Ecuación que puede ser escrita como la ecuación 4.32. Existe un ángulo para el cual
no existe onda transmitida, este ángulo se llama ángulo crı́tico, el cual se puede calcular
suponiendo θt = 90o , obteniendose
senθc =
n2
v1
=
v2
n1
(4.18)
Ejemplo 1 Caundo la luz que se ilustra en la figura 4.4 pasa por el bloque de vidrio, se desplaza
lateralmente una distancia d. Tomando n = 1,5, encuentre el valor correspondiente a d.
Al aplicar la ley de Snell a la primera
superficie obtenemos θt .
1,0sen30o = 1,5senθt
lo cual implica que θt = 19,47o .
Utilizando este ángulo podemos calcular m.
cosθt =
2cm
⇒ m = 1,12cm
m
Con este valor de m podemos calcular el valor de las desviación del rayo incidente d.
Figura 4.4: Transmisión por una bloque de ancho a
sen (30o − 19,47o ) =
d
m
⇒ d = 0,388cm = 3,88mm
Ejemplo 2 Un rayo de luz entra a un bloque rectangular de plástico a un ángulo θ1 = 45o y
emerge a un ángulo θ2 = 76o , como se ilustra en la figura 4.5. (a) Determine el ı́ndice de refracción del
plástico. (b) Si L = 50cm ¿Cuanto tarda en pasar el plástico?
(a) Al aplicar la ley de Snell del aire
al plástico
1,0sen45o = nsenθt
Al aplicar nuevamente la ley de Snell
pero en este caso del plástico al aire
nsen (90o − θt ) = 1,0sen76o
n (sen90o cosθt − cos90o senθt ) = 0,97
ó
ncosθt = 0,97
Figura 4.5: Tiempo transcurrido para pasar por la esquina
de un bloque
Dividiento esta ecuación entre la primera de las ecuaciones obtenemos
82
Oscilaciones y Ondas
tanθt = 0,728
θt = 36,08o
ó
de donde n = 1,2
(b)Para calcular el tiempo necesitamos la velocidad y la distancia para la velocidad tenemos:
n = 1,2 =
c
⇒ v = 2,5 × 108 m/s
v
para la distancia
tanθt =
L
0,5m
=
⇒ S = 0,687m,
S
S
luego la distancia recorrida es
x=
p
S 2 + L2 = 0,85m
y el tiempo es
t=
x
= 3,4ns
v
Ejemplo 3 Un plato profundo de vidrio mide 4cm de ancho en el fondo cuando la vista se coloca
como en la figura
Cuando el plato está vacı́o.
4cm
h
Cuando el plato está lleno de agua
tanθi =
2cm
h
Utilizando la ley de Snell
tanθt =
1,0senθi = 1,33senθt
Figura 4.6: Esquema del ejemplo3
Pero además tanθi = 2 tan θt obteniendose
√
senθt
senθi
= 2√
2
1 − sen θi
1 − sen2 θt
remplazando llegamos a:
1,33senθt
p
1 − 1,7689sen2 θt
= 2√
senθt
1 − sen2 θt
ó
1,7689 1 − sen2 θt = 4 1 − 1,7689sen2 θt
Lo que implica que
θt = 40,42o
Resultado con el cual se calcula h
h = 2,35cm
83
Oscilaciones y Ondas
4.5.3.
Refracción atmosférica
La temperatura y la densidad del aire cambian con la altura, por este hecho el ı́ndice
de refracción del aire cambia con la altura, al aumentar la altura disminuye el ı́ndice
de refracción.
Debido a este fenómeno los rayos procedentes de una
estrella o un astro E1 que llegan a la atmósfera oblicuamente sufran una serie continua de refracciones de modo
que cuando llegan a la superficie terrestre en el punto A
son tangentes a la dirección AE10 , con lo cual la posición
aparente de la estrella o astro es E10 , un poco más alto de
la posición posición verdadera la cual es E1 . El único caso en el cual la posición que se observa es la verdadera es
cuando la estrella se encuentra en la posición zenit E, en
este caso los rayos no experimentan desviación por cuanto
inciden en forma normal sobre las capas de la atmósfera.
Esto justifica el porque si una estrella se encuentra E2
que se encuentre bajo el horizonte puede aparecer visible
Figura 4.7: Refracción en la a un observador, por esta misma razón la luz del sol se
atmosfera
observa unos segundos después de la puesta del mismo.
Un fenómeno interesante que se puede describir de
forma similar es el espejismo, el cual se produce porque el
aire que se encuentra más cerca de la superficie terrestre
es ligeramente más caliente que el que se encuentra a
más altura, por este motivo los rayos procedentes de un
objeto de altura AB, experimentan una serie continua
de refracciones, haciéndose cada vez más oblicuos, hasta
que en un punto C experimentan reflexión total, de
modo que un observador que se encuentre en la posición
O percibirá la imagen invertida AB 0 . El espejismo solo
Figura 4.8: Espejismo
puede ser observado en regiones planas de gran extensión
como los desiertos.
La ley de Snell relaciona las direcciones de las ondas incidente, reflejada y transmitida, pero para conocer completamente el comportamiento de las ondas se deben calcular
las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida en función de la amplitud de la onda
incidente.
4.6.
Coeficientes de reflexion y transmisión para ondas en cuerdas
La velocidad de las ondas en una cuerda dependen de la densidad de masa lineal,
cuando se tienen cuerdas de diferente densidad, las velocidades en estas cuerdas son
84
Oscilaciones y Ondas
diferentes.
La ecuación para la onda incidente es:
ψi = ψ0i sen (ωt − k1 x)
(4.19)
donde v1 = ω/k1 es la velocidad en la cuerda 1, de igual forma la ecuación para la
onda reflejada es:
ψr = ψ0r sen (ωt + k1 x)
(4.20)
La ecuación para la onda transmitida es:
ψt = ψ0t sen (ωt − k2 x)
(4.21)
donde v2 = ω/k2 es la velocidad en la cuerda 2, por otra parte la componente de la
fuerza en y, de acuerdo con las ecuaciones (2.57) y (2.58) es:
∂ψ
(4.22)
Fy = T senα ∼
= T tanα = T
∂t
Esta componente de la fuerza para la cuerda 1 en la cual se encuentran la onda
incidente y la onda reflejada es:
Fy1 = T
∂ψi ∂ψr
+
∂t
∂t
!
= T k1 [−ψ0i cos (ωt − k1 x) + ψ0r cos (ωt + k1 x)] ,
(4.23)
y para la cuerda 2 en la cual se encuentra la onda transmitida es
∂ψt
= −T k2 ψ0t cos (ωt − k2 x)
(4.24)
∂t
En la unión de las dos cuerdas las dos fuerzas deben ser iguales por cuanto nos
referimos al mismo punto, esto es
Fy2 = T
− T k1 ψ0i cos (ωt) + T k1 ψ0r cos (ωt) = −T k2 ψ0t cos (ωt)
(4.25)
que puede ser escrito en la forma:
− k1 ψ0i + k1 ψ0r = −k2 ψ0t
(4.26)
Además de esta condición las amplitudes del medio 1 y el medio 2 deben ser iguales
en la unión, esto es
ψ0i + ψ0r = ψ0t
(4.27)
Una combinación de las ecuaciones (4.48) y (4.48), nos permite obtener las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida en función de la amplitud de la onda
incidente
85
Oscilaciones y Ondas
ψ0r =
k1 − k2
ψ0i = Rψ0i
k1 + k2
ψ0t =
2k1
ψ0i = T ψ0i
k1 + k2
(4.28)
2
y T = k12k+k1 2 , son los coeficientes de reflexión y transmisión, los
donde R = kk11 −k
+k2
cuales nos proporcionan los porcentajes de transmisión y transmisión, con respecto a
la onda incidente, estos coeficientes se pueden escribir como:
√
√
µ1 − µ2
ψ0r
k1 − k2
v2 − v1
R=
=
=
=√
(4.29)
√
ψ0i
k1 + k2
v2 + v1
µ1 + µ2
√
2 µ1
ψ0t
2k1
2v2
T =
=
=
=√
(4.30)
√
ψ0i
k1 + k2
v2 + v1
µ1 + µ2
Ejemplo 4 Dos alambre, uno de cobre y otro de acero, del mismo radio, se unen formando una
alambre más largo. Encontrar T y R en el punto de unión para ondas que se propaguen del cobre
al acero a o largo del alambre. Sea 1mm el radio común. Suponiendo que la frecuencia de la onda
incidente es 10Hz, que su amplitud es 2cm y que la tensión es 50N, escribir las ecuaciones de las ondas
incidente, reflejada y transmitida (La densidad del cobre es ρcobre = 8,89 × 103 Kg/m3 y la del acero
es ρacero = 7,80 × 103 Kg/m3 ).
m
lA
La densidad de masa lineal se define como µ = ml y la densidad de masa volumétrica ρ =
µ
=A
, ó µ = ρA, en este caso A = πR2 , luego entonces
m
V
=
µcobre = 8,89 × 103 · π(1 × 10−3 )2 = 2,79 × 10−2 Kg/m
y
µacero = 7,80 × 103 · π(1 × 10−3 )2 = 2,45 × 10−2 Kg/m,
con lo cual los coeficientes de reflexión y transmisión son:
p
p
2,79 × 10−2 − 2,45 × 10−2
p
R= p
= 0,032
2,79 × 10−2 + 2,45 × 10−2
y
p
2,79 × 10−2
p
= 1,032,
T =p
2,79 × 10−2 + 2,45 × 10−2
2
utilizando los coeficientes de reflexión y transmisión calculados, podemos obtener las amplitudes
de las ondas incidente, reflejada y transmitida
ψ0i = 2cm
ψ0r = 0,032 · 2cm = 0,064cm
ψ0r = 1,032 · 2cm = 2,064cm
La frecuencia se determina como ω = 2πf = 20π y con está frecuencia, las velocidades en los dos
medios son:
r
50
v1 =
= 42,33m/s
2,79 × 10−2
y
r
50
v2 =
= 45,17m/s
2,45 × 10−2
86
Oscilaciones y Ondas
Con los valores de las amplitudes, las velocidades y la frecuencia se pueden escribir las expresiones
para las ondas incidente, reflejada y transmitida.
ψ0i = 2sen20π (t − x/42,33) cm
ψ0r = 0,064sen20π (t + x/42,33) cm
ψ0t = 2,064sen20π (t − x/45,17) cm
4.7.
Coeficientes de reflexion y transmisión para ondas electromagnéticas
Consideremos una onda electromagnética que se propaga en el medio 1 y que incide
con un ángulo θi , el vector de propagación de la onda incidente es ~ki , los vectores de
onda de las ondas reflejada y transmitida son ~kr y ~kt respectivamente
Figura 4.9: Configuración para la reflexión y transmisión de una onda electromagnética
Para la configuración ilustrada en la figura 4.9, correspondiente a la onda incidente
existen dos posibilidades de para el campo eléctrico, que este se encuentre en el plano de
incidencia es decir en el plano XZ, en este caso se dice que la onda posee polarización
paralela, o que se encuentre perpendicular al plano de incidencia es decir en la dirección
Y en cuyo caso se dice que la onda se encuentra polarizada perpendicularmente, para
cada uno de estos tipos de polarización existen coeficientes de reflexión y transmisión.
4.7.1.
Polarización paralela
Con la utilización de la configuración mostrada en la figura 4.11, se pueden escribir
las expresiones para los campos incidente, reflejado y transmitido
~ i = E0i (cosθi âx − senθi âz ) cos (k1 senθi x + k1 cosθi z − ωt)
E
87
(4.31)
Oscilaciones y Ondas
Figura 4.10: Configuración de polarización paralela para la reflexión y transmisión de
una onda electromagnética
~ r = E0r (cosθr âx + senθr âz ) cos (k1 senθr x − k1 cosθr z − ωt)
E
(4.32)
~ t = E0t (cosθt âx − senθt âz ) cos (k2 senθt x + k2 cosθt z − ωt)
E
(4.33)
Las expresiones para los campos magnéticos se pueden obtener de las ecuaciones de
Maxwell como:
~ i = E0i cos (k1 senθi x + k1 cosθi z − ωt) ây
B
v1
(4.34)
~ r = − E0r cos (k1 senθr x − k1 cosθr z − ωt) ây
B
v1
(4.35)
~ t = E0t cos (k2 senθt x + k2 cosθt z − ωt) ây
B
v2
(4.36)
En la frontera entre los dos medios, en (z = 0), las condiciones para los campos
eléctricos y magnéticos son E1t = E2t y Bµ1t1 = Bµ2t2 , esto es:
E0i cosθi + E0r cosθr = E0t cosθt
(4.37)
E0i
E0r
E0t
−
=
µ1 v1 µ1 v1
µ2 v2
(4.38)
88
Oscilaciones y Ondas
Combinando las ecuaciones (4.37) y (4.38) se pueden combinar para obtener los
coeficientes de reflexión y transmisión para una polarización paralela
R|| =
E0r
µ2 v2 cosθt − µ1 v1 cosθi
µ2 n1 cosθt − µ1 n2 cosθi
=
=
E0i
µ2 v2 cosθt + µ1 v1 cosθi
µ2 n1 cosθt + µ1 n2 cosθi
(4.39)
T|| =
2µ2 v2 cosθi
2µ2 n1 cosθi
E0t
=
=
,
E0i
µ2 v2 cosθt + µ1 v1 cosθi
µ2 n1 cosθt + µ1 n2 cosθi
(4.40)
donde ||, significa que la polarización es paralela; para medios no magnéticos µ1 =
µ2 = µ0 , estos coeficientes se convierten en
4.7.2.
R|| =
n1 cosθt − n2 cosθi
n1 cosθt + n2 cosθi
(4.41)
T|| =
2n1 cosθi
,
n1 cosθt + n2 cosθi
(4.42)
Polarización perpendicular
Cuando el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia es decir la onda
posee polarización perpendicular, los coeficientes de reflexión y transmisión son
R⊥ =
E0r
µ2 v2 cosθi − µ1 v1 cosθt
µ2 n1 cosθi − µ1 n2 cosθt
=
=
E0i
µ2 v2 cosθi + µ1 v1 cosθt
µ2 n1 cosθi + µ1 n2 cosθt
(4.43)
T⊥ =
E0t
2µ2 v2 cosθt
2µ2 n1 cosθt
=
=
,
E0i
µ2 v2 cosθi + µ1 v1 cosθt
µ2 n1 cosθi + µ1 n2 cosθt
(4.44)
Para medios no magnéticos estos coeficientes se convierten en
4.7.3.
R⊥ =
n1 cosθi − n2 cosθt
n1 cosθi + n2 cosθt
(4.45)
T⊥ =
2n1 cosθt
.
n1 cosθi + n2 cosθt
(4.46)
Angulo de Brewster
Cuando no existe onda reflejada, se dice que estamos en presencia de una transmisión
total y el ángulo al cual se produce este fenómeno se le conoce como ángulo de Brewster
o ángulo de polarización. Para obtener este ángulo de polarización se debe tomar R|| = 0
y R⊥ = 0, para el primero de estos casos
µ2 v2 cosθt − µ1 v1 cosθB|| = 0,
que puede ser escrita en la forma
89
(4.47)
Oscilaciones y Ondas
Figura 4.11: Configuración de polarización perpendicular para la reflexión y transmisión
de una onda electromagnética
µ22 v22 1 − sen2 θt = µ21 v12 1 − sen2 θB||
(4.48)
Utilizando la ley de Snell descrita por la ecuación 4.32
sen2 θB|| =
1 − µ2 1 /µ1 2
1 − (1 /2 )2
(4.49)
Para el caso de medios no magnéticos; esto es µ1 = µ2 = µ0 ,
la ecuación 4.49 se convierte en:
2
sen θB||
1 − 1 /2
=
1 − (1 /2 )2
s
ó senθB|| =
2
1 + 2
(4.50)
donde utilizando la descripción de la figura 4.12, se puede
escribir como:
s
tanθB|| =
2
n2
=
1
n1
Figura 4.12: Angulo
Brewster
(4.51)
Analizando la ecuación (4.51), se puede observar que para todos los valores de 1
y 2 existe un ángulo de Brewster. Procediendo de igual forma que para θB|| , para θ⊥
tenemos
sen2 θB⊥ =
1 − µ1 2 /µ2 1
1 − (µ1 /µ2 )2
(4.52)
Para medios no magnéticos sen2 θB⊥ → ∞, lo que implica que no existe θB⊥ , mientras que para el caso de µ1 6= µ2 y 1 = 2 , se tiene que:
90
Oscilaciones y Ondas
s
senθB⊥ =
µ2
µ1 + µ2
ó tanθB⊥ =
√
µ2 µ1
(4.53)
Ejemplo 5 Una onda plana uniforme en el aire con E~ = 8cos (4x + 3z − ωt) ây V/m, incide en
una lámina dielectrica (z ≥ 0)donde µr = 1,0 y r = 2,5. Hallar los campos eléctrico y magnético,
incidente, reflejado y transmitido.
Figura 4.13: Incidencia de una onda electromagnética sobre una lámina
Un gráfico de la situación se ilustra en la figura donde ~ki = 4âx + 3âz ,cuya magnitud es ki = 5, el
ángulo de incidencia de la onda electromagnética se puede calcular como:
4
⇒ θi = 53,13o
3
Utilizando la ley de Snell podemos calcular los ángulos reflejado y transmitido, como
tanθi =
θr = 53,13o
n1
senθt =
senθi
n2
donde
n1
n2
=
√1 ,
2,5
obteniendose
θt = 30,39o
El valor de kr = ki = 5 y el valor de
las componentes de los vectores de onda.
n1
n2
=
krx = 5cos53,13o = 4,
ktx = 7,906cos30,39o = 4,
kt
ki ,
ó kt = 7,906, con este resultado se puede calcular
krz = −5sen53,13o = −3
ktz = 7,906sen30,39o = 6,819
Debido a que el campo eléctrico se encuentra en la dirección Y , la polarización es perpendicular,
con lo cual
√
1 · cos53,13o − 2,5cos30,39o
√
R⊥ =
= −0,389
1 · cos53,13o + 2,5cos30,39o
91
Oscilaciones y Ondas
T⊥ =
2 · cos53,13o
√
= 0,611
1 · cos53,13o + 2,5cos30,39o
Utilizando los coeficientes calculados, las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida son
Er0 = −0,389 · 8 = −3,112
Et0 = 0,611 · 8 = 4,888
Para calcular la frecuencia llegamos a
ω
⇒ ω = 5c = 15 × 108 rad/s
k
Las expresiones para los campos eléctricos reflejados y transmitidos son
c=
~ r = −3,112cos 4x − 3z − 15 × 108 t ây V /m
E
~ t = 4,888cos 4x + 6,819z − 15 × 108 t ây V /m
E
~ i, B
~r y B
~ t , tenemos que
Para calcular B
âx
∂
~
∇ × Ei = ∂x
0
ây
∂
∂y
8cos (4x + 3z − ωt)
âz ∂ ∂z 0 ~
~ i = 24sen 4x + 3z − 15 × 108 t âx − 32sen 4x + 3z − 15 × 108 t âz = ∂ Bi
∇×E
∂t
~ i = −16cos 4x + 3z − 15 × 108 t âx + 21,3cos 4x + 3z − 15 × 108 t âz [nT ]
B
de forma similar al calculo para el campo magnético incidente, tenemos los campos magnéticos
reflejado y transmitido
~ r = −6,22cos 4x − 3z − 15 × 108 t âx − 8,3cos 4x − 3z − 15 × 108 t âz [nT ]
B
y
~ t = −2,22cos 4x + 6,819z − 15 × 108 t âx + 13cos 4x + 6,819z − 15 × 108 t âz [nT ]
B
4.8.
Reflexion y transmisión en superficies metálicas
Cuando una onda se propaga en un medio conductor, es decir σ 6= 0; debido a que el
campo eléctrico cambia con el tiempo el campo dentro del conductor no es cero; como
si sucede cuando el campo eléctrico no depende del tiempo. La ecuación que describe
la propagación en un medio conductor es la ecuación (3.22)
~
~
~
∂ 2E
∂ 2E
∂E
− µ 2 − µσ
=0
(4.54)
∂t
∂t
∂t
La ecuación (4.54) es similar a la ecuación para un movimiento amortiguado, por lo
tanto la solución tiene la forma:
~ =E
~ 0 e−αx cos (ωt − kx)
E
92
(4.55)
Oscilaciones y Ondas
Derivando la ecuación (4.55) y remplazando en la ecuación (4.54)
~ 0 kω + α2 + µω 2 e−αx cos (ωt − kx) + E
~ 0 (−2αk + µσω) e−αx sen (ωt − kx) = 0
E
(4.56)
Para que se cumpla la igualdad (4.56)
kω + α2 + µω 2 = 0
y
−2αk + µσω = 0
Despejando α y k de este conjunto de ecuaciones tenemos
α=
v
"
u
u µ
t
1+
ω
k=
v
"
u
u µ
t
ω
1+
2
2
σ
ω
2
σ
ω
2
#
−1
(4.57)
#
+1
(4.58)
Cuando σ >> ω que quiere decir que el material es un muy buen conductor (4.57)
y (4.58) se convierten en
µσω
(4.59)
2
Para obtener la expresión del campo magnético utilizamos la ley de Faraday en
~ = − ∂ B~
forma diferencial ∇ × E
∂t
k=α∼
=
~ =
∇×E
âx
∂
∂x
0
r
ây
âz
∂
∂y
∂
∂y
0
E0 e−αx cos (ωt − kx)
~ = −αE0 e−αx cos (ωt − kx) + kE0 e−αx sen (ωt − kx) ây
∇×E
de donde
!
~ = E0 ωe−αx − α cos (ωt − kx) + k sen (ωt − kx) ây
B
ω
ω
s
~ =
B
α2
ω2
+
k2
ω2
E0 ωe−αx
− ωα cos (ωt − kx) + ωk sen (ωt − kx)
q
α2
ω2
+
k2
ω2
ây
(4.60)
donde
s
"
α2
k2
σ
√
+
= µ 1 +
2
2
ω
ω
ω
93
2 #1/4
(4.61)
Oscilaciones y Ondas
Finalmente utilizando la identidad trigonometrica cos (A − B) = cosAcosB +
senAsenB, donde A = ωt − kx y senB = √ h α/ω 2 i1/4 y cosB = √ h k/ω 2 i1/4
σ
σ
µ 1+( ω
µ 1+( ω
)
)
obtenemos
~ =
B
√
"
σ
µ 1 +
ω
2 #1/4
E0 ωe−αx cos (ωt − kx − B) ây ,
(4.62)
donde
σ
α
ó
tan2B =
k
ω
Para conductores muy buenos α = k, luego entonces tanB = 1 ó B = 45o .
tanB =
94
(4.63)
Capı́tulo 5
Óptica Geométrica
Cuando se observa un cuarto o un paisaje, la luz que llega a nuestros ojos proviene de
diferentes fuentes como objetos luminosos (bombillas, televisores, estrellas, etc) o la luz
reflejada por diferentes superficies (mesas, árboles, sillas y otros objetos). Nuestros ojos
pueden enfocar un haz de estos rayos y luego el cerebro interpretarlos como una fuente
puntual de luz (imagen). Ası́ como la luz puede llegar directamente del objeto a nuestros
ojos puede efectuarlo a través de los anteojos en este caso los anteojos modifican los
rayos de luz y los hacen parecer que provienen de un punto distinto.
5.1.
Formación de imágenes por reflexión en una
superficie plana (espejo plano)
La imagen que se observa al maquillarse o al afeitarse, se observa como si fuesemos
nosotros realmente y se encuentra a la misma distancia atrás del espejo que se encuentra
usted delante de el.
Todos los rayos que salen del punto O, correspondiente al objeto se reflejan en el espejo con el
mismo ángulo con el que inciden sobre el espejo, de
esta forma todos estos rayos reflejado parecen salir
del punto I, es decir divergen del punto I, correspondiente a la imagen.
En óptica geométrica siempre necesitamos las
relaciones entre los objetos y las imágenes; por tal
motivo debemos conocer las posiciones so y si del
objeto y la imagen con respecto a un punto de referencia (El espejo).
Para el rayo que incide en el punto A, se tiene
la relación
Figura 5.1: Imegenes formadas
por reflexión en un espejo plano
tanθi =
95
AB
AB
=
so
−si
ó
so = −si
(5.1)
Oscilaciones y Ondas
Donde se ha considerado positivo a la izquierda
del espejo es decir del lado del objeto, el signo negativo indica que la imagen se forma
detrás del espejo, debido a que los rayos reales regresan al medio en el cual se encuentra
el objeto la imagen es vitual debido a que en realidad los rayos no se cortan solo parecen
cortarse.
5.2.
Formación de imágenes por transmisión en una
superficie plana
Cuando los rayos provenientes de un objeto pasan de un medio a otro, las imágenes
formadas son el resultado de la transmisión, un ejemplo sencillo se ilustra cuando se
observa una moneda en el fondo de un tanque lleno de agua, en este caso los rayos
provenientes de la moneda pasan del agua al aire
Figura 5.2: Configuración para la formación de una imagen por transmisión en una
superficie plana
El rayo proveniente del objeto que incide en forma perpendicular de transmite en
forma perpendicular, pero el que incide con un ángulo pequeño θi , se transmite formando
un ángulo θt , estos rayos que se transmiten al aire parecen salir de un punto que se
encuentra a una distancia menor Si , la cual corresponde a la ubicación de la imagen.
Utilizando la ley de Snell
n2 senθi = n1 senθt
(5.2)
Para ángulos pequeños senθi ∼
= tanθi = m/so y senθt ∼
= tanθt = m/si , con lo cual
96
Oscilaciones y Ondas
m
m
n2
n1
= n1
ó
=
(5.3)
so
si
so
si
En este caso la imagen se forma del mismo lado que el objeto, debido que los rayos
pasan al aire, cuando la imagen se forma por transmisión una imagen virtual es aquella
que se forma en el mismo medio que el objeto, es decir la imagen positiva corresponde
a una imagen virtual.
n2
5.3.
Formación de imágenes por reflexión en una
superfice esférica (espejo esférico)
Los espejos esféricos poseen muchas aplicaciones en telescopios, espejos retrovisores,
luces de automoviles. Para estudiar la formación de imágenes en espejos esféricos, se
utiliza la ley de refracción de Snell, para este efecto consideremos un rayo de los muchos
que produce un objeto O.
Figura 5.3: Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica
Debemos obtener la relación entre las posiciones del objeto y la imagen, para tal
fin, aplicamos el teorema del seno a los triángulos OAC y CAI, para obtener
OA
OC
=
sen(π − β)
senθi
y
IA
IC
=
senβ
senθi
(5.4)
Como sen(π − β) = senπcosβ − cosπsenβ; OC = so − R; IC = R − si llegamos a:
so − R
senθi
=
senβ
OA
y
Combinando las ecuaciones (5.5), se llega a:
97
senθi
R − si
=
senβ
IA
(5.5)
Oscilaciones y Ondas
so − R
R − si
=
(5.6)
OA
IA
Para valores pequeños de h tenemos que OA = so y IA = si , lo que convierte (5.6)
en
so − R
R − si
1
1
2
=
ó
+ =
(5.7)
so
si
so si
R
Para obtener una expresión para valores de h, mayores, por ejemplo que en lugar
de ser h pequeño sea pequeño h/2 (mayor abertura), aplicamos el teorema del coseno
a los triángulos OAC y CAI, para obtener
OA2 = R2 + (so − R)2 + 2R (so − R) cosβ
OA2 = s2o − 2R (so − R) + 2R (so − R) cosβ
OA2 = s2o − 2R (so − R) (1 − cosβ)
1
1
1
2
2
2
sen2 β
OA = so − 4R so
−
R so
2
Para valores de h/2 pequeños sen2 21 β ∼
=
"
2
OA =
s2o
1
β
2
h2
1−
so
2
=
h
2R
1
1
−
R so
2
=
h2
,
4R2
lo que implica que
#
de donde se puede escribir
h2
so
= 1−
OA
so
"
1
1
−
R so
#−1/2
Utilizando la aproximación binomial (1 − x)−1/2 ∼
= 1 + 21 x tenemos
so
h2
=1+
OA
2so
1
1
−
R so
(5.8)
De igual forma se obtiene:
si
h2 1
1
=1+
−
IA
2si R si
Remplazando (5.8) y (5.9) en (5.6) obtenemos
1
1
2
h2 1
+ = +
so si
R
2 so
"
1
1
−
R so
2
(5.9)
1
+
si
1
1
−
R si
2 #
(5.10)
Debido a que el segundo término del lado derecho de la ecuación (5.10) es un termino
correctivo, se puede utilizar la ecuación (5.7) para escribir
1
1
2
h2
+ = +
so si
R
R
98
1
1
−
R so
2
(5.11)
Oscilaciones y Ondas
Un espejo plano se puede considerar como un espejo esférico de radio infinito, esto
es R → ∞, lo cual convierte la ecuación (5.7) en la ecuación (5.1)
5.4.
Formación de imágenes por transmisión en una
superfice esférica
Cuando la luz entra al ojo se transmite en una serie de superficies curvas que lo
conforman para formar una imagen real en la retina, otros dispositivos ópticos como las
camaras también utilizan este principio. Para analizar este principio se debe primero
analizar la formación de una imagen por transmisión.
Figura 5.4: Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica
por transmisión
Aplicando el teorema del seno a los triángulos ABC y ADC podemos escribir.
senθi
sen (π − β)
=
y
AB
so − R
Pero además n1 senθi = n2 senθt llegando a
sen (π − β)
senθt
=
AD
si − R
(5.12)
so 1
1
si
1
1
−
= n2
−
(5.13)
AB R so
AD R si
Para ángulos pequeños AB ∼
= so y AD ∼
= si entonces (5.13) se convierte en
n1
n1 n2
n2 − n1
(5.14)
−
=
so
si
R
Para obtener una expresión para ángulos más grandes aplicamos el teorema del
coseno a los triángulos, obteniendose
so ∼
h2
=1+
AB
2so
99
1
1
−
R so
(5.15)
Oscilaciones y Ondas
si ∼
h2 1
1
1
+
−
=
AD
2si R si
Remplazando (5.15) y (5.16) en (5.13) y utilizando (5.14) obtenemos
n1 n2
n1 − n2 h2 n1 − n2 n21 n1 (n1 + n2 )
−
=
+
−
so
si
R
2
n22
R
so
"
#
1
1
−
R so
(5.16)
2
(5.17)
Recordando que para el radio infinito la superficie esférica se convierte en una superficie plana se obtiene la ecuación (5.3) a partir de la ecuación (5.14).
5.5.
Lentes
Hasta el momento realizamos una descripción de las imágenes formadas por superficies simples, pero en general un sistema óptico está formado por una combinación de
dos o más superficies un ejemplo es la lente qué se compone de dos superficies refractoras, sin embargo por muy complicado que sea, el sistema óptico, se descompone en
sistemas simples y calcular susecivamente el efecto de cada elemento.
En la figura se ilustra una lente formada por dos superficies curvas S1 y S2 , hechos
de un material de ı́ndice de refracción n.
c
Figura 5.5: Configuración para la formación de una imagen en una lente formada por
dos superficies esfericas S1 y S2
Los rayos que salen del objeto O inciden primero en la superficie S1 , formando la
imagen I10 en la posoción si1 , posición que se puede calcular en la forma
nA
n
nA − n
R1 nso
−
=
ó
si1 =
(5.18)
so
si1
R1
nso − (so − R1 ) nA
donde nA es el ı́ndice de refracción del ambiente en el cual se encuentra la lente
en el caso en el cual nso > (so − R1 ) nA , si1 > 0, lo que implica que la imagen es
virtual por encontrarse del mismo lado del objeto, por otra parte la imagen es real si
nso < (so − R1 ) nA . la imagen I10 representa un objeto virtual para la segunda superficie.
La posición del objeto virtual con respecto a la superficie S2 es:
100
Oscilaciones y Ondas
so2 = (si1 − l)
(5.19)
Para la transmisión en la segunda superficie obtenemos
nA
n − nA
n
−
=
si1 − l
si
R2
ó
si1 =
R2 nsi
+l
nsi + (R2 − si ) nA
(5.20)
Igualando las ecuaciones (5.18) y (5.20), llegamos a
R1 nso
R2 nsi
=
+l
nso − (so − R1 ) nA
nsi + (R2 − si ) nA
Que puede ser escrito en la forma:
1
1
n − nA
− =
so si
nA
1
nA n − nA 1
1
1
−
l
−
+
R2 R1
n
nA R2 si
n − nA 1
1
+
nA R1 so
(5.21)
(5.22)
En el caso de lentes delgadas l <<, se obtiene
1
n − nA
1
− =
so si
nA
5.6.
1
1
−
R2 R1
(5.23)
Aumento ó Amplificación
La imagen de un objeto puede ser producida por reflexión, transmisión, por varias
reflexiones, por varias transmisiones o por una combinación entre reflexiones y transmisiones, en general la imagen obtenida no posee el mismo tamaño del objeto, es decir
esta imagen puede ser más grande o más pequeña que el objeto. la relación entre los
tamaños de la imagen y el objeto s denomina aumento o amplificación de la imagen,
cuando el aumento es mayor que 1 la imagen es más grande que el objeto, si por el
contrario el aumento es menor que 1 la imagen es más pequeña que el objeto.
La amplificación para una imagen formada por reflexión es:
si
(5.24)
so
Cuando la imagen formada es en un espejo plano si = −so , el valor de Ar = 1, lo
que quiere decir que la imagen tiene el mismo tamaño que el objeto y el signo positivo
del aumento indica que la imagen es derecha.
La amplificación para una imagen formada por transmisión es:
Ar = −
n1 si
(5.25)
n2 so
Cuando el sistema óptico considerado es una lente delgada el aumento esta determinado por:
At = −
Al =
si
so
101
(5.26)
Oscilaciones y Ondas
5.7.
5.7.1.
Distancia focal y trazado de rayos
Distancia focal
Al observar la ecuación para una imagen por reflexión, se puede notar que para
rayos que inciden paralelos, los cuales son equivalentes a colocar el objeto muy lejos (el
infinito), la imagen se forma en R/2, es decir que todo rayo paralelo se refleja pasando
por R/2, que es llamado foco fr = R/2. Para las imágenes formadas por transmisión
existen dos focos un foco objeto fto y foco imagen fti . El foco objeto corresponde a la
posición del objeto tal que los rayos refractados son paralelos si = ∞.
n1
R
(5.27)
n1 − n2
El foco imagen corresponde a la posición de la imagen cuando los rayos provenientes
del objeto son paralelos so = ∞.
fto =
n2
R
n1 − n2
Para el caso de una lente tambien existen dos focos
fti = −
n − nA
1
=
flo
nA
1
n − nA
=−
fli
nA
1
1
−
R2 R1
(5.28)
(5.29)
y
1
1
,
−
R2 R1
(5.30)
lo que quiere decir que en una lente los focos son simétricos a ambos lados de la
lente.
5.7.2.
Trazado de rayos
Los dibujos de rayos de un sistema óptico proporciona información acerca del tamaño
y la ubicación de la imagen producida; para tal fin existen reglas para realizar este
trazado de rayos.
5.7.2.1.
Espejos
1. Un rayo que pasa por el centro de curvatura se refleja y regresa a lo largo de la
misma trayectoria.
2. Un rayo paralelo al eje óptico se refleja a través del foco.
3. Un rayo que pasa por el foco se refleja paralelo al eje óptico.
102
Oscilaciones y Ondas
5.7.2.2.
Lentes
1. Un rayo que pasa por el centro de una lente delgada continua en lı́nea recta.
2. Un rayo paralelo al eje óptico se transmite hacia el foco imagen.
3. Un rayo que pasa por el foco objeto se transmite paralelo al eje óptico.
103
Capı́tulo 6
Espectro visible, ondas de Sonido y
efecto Doppler
6.1.
Introducción
Existen diferentes tipos de ondas que se diferencian entre si por sus respectivas
freceuencias, dentro de los tipos de ondas existentes dos tipo de special interés las
ondas visibles y las ondas de sonido.
Las ondas mecánicas con frecuencias comprendidas entre 20Hz y 20kHz, son importantes de una manera especial, debido a que estás son las causantes del fenómeno
de audición, es por este motivo que se denominan ondas sonoras. La mayor parte de
los sonidos que escuchamos se propagan en el aire, pero el sonido puede propagarse
también en lı́quidos y solidos
Las ondas que se encuentran en el rango de longitudes de onda de 400 a 700nm es
el espectro de ondas que percibe el ojo humano aunque algunas personas pueden ser
capaces de percibir longitudes de onda desde 380 a 780 nm.
6.2.
Espectro electromagnético
Las ondas electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz en el medio en el cual viajan, se caracterizan por su frecuencia y su longitud de onda, y se clasifican en diferentes
tipos según los valores de las mismas . toda la gama de frecuencias conocidas constituye
el espectro electromagnético y este espectro se divide en diferentes zonas, tal como
se ilustra en la Figura 6.1, considerando las caracterı́sticas comunes en las radiaciones
emitidas por las mismas. por orden de longitud de onda decreciente estas o frecuencia
creciente, estás zonas son:
6.2.1.
Ondas de radio
Las ondas de radio son aquellas cuyas frecuencias van desde unos pocos Hz hasta
109 Hz, o cuyas longitudes de onda van desde los kilometros hasta 30 cm; y comprenden
104
Oscilaciones y Ondas
Figura 6.1: Espectro electromagnético
el llamado espectro radioeléctrico. La energı́a de los fotones en está región es muy
pequeña, alcanzando el lı́mite alto de las frecuencias de este rango 4×10−6 eV. La forma
más comun de producir estás ondas es mediante la utilización de circuitos oscilantes,
de hecho las corrientes de alterna de las lı́nes aléctricas las producen. Heinrich Herzt
consiguió generar y detectar ondas de radio con longitudes de onda cercanas al metro por
primera vez en 1887, confirmando con esto la teorı́a de la radiación electromagnética
desarrollada por Maxwell años antes, estás ondas son utilizadas en transmisiones de
radio y televisión.
6.2.2.
Microondas
El intervalo de frecuencias de esta radiación va desde 109 Hz hasta 3 × 1011 Hz,
y las correspondientes longitudes de onda desde 30 cm hasta 1 mm. Un amplio rango
de estas ondas atraviesan la atmósfera sin problemas, por lo que las microondas se
utilizan en sistemas de comunicación como el radar y en la radioastronomı́a. Los átomos
de hidrógeno emiten microondas de 21 cm (1420 MHz), y la emisión proveniente del
espacio permite cartografiar la distribución de hidrogeno en el Universo. Los hornos
de microondas también utilizan la radiación de este tipo, con la cual calientan los
alimentos, en este caso la longitud de onda es de 12.2 cm y la frecuencia es (2450 MHz).
La energı́a de los fotones de microondas va desde 4 × 10−5 eV hasta 10−3 eV.
6.2.3.
Infrarrojo
La sección correspondiente al infrarrojo, o IR va desde aproximadamente 3 × 1011
Hz hasta alrededor de 4 × 1014 Hz o en longitudes que van desde 1mm hasta 0.78 µm.
Esta region se subdivide a su vez en tres regiones, el infrarrojo cercano(0.78-2.5 µm),
el infrarrojo medio(2.5-50 µm) y el infrarrojo lejano(50-1000 µm), donde el infrarrojo
cercano es el que se encuentra mas cercano al espectro visible. La radiación infrarroja fue descubierta por por William Herschel en 1800 al estudiar el poder calorı́fico de
las diferentes componentes de la luz visible y comprobar, que más allá del rojo existı́a
una radiación no apreciable al ojo humano que producı́a también aumento de temperatura, por esto la radiación infrarroja es aquella que producen los cuerpos cuando
105
Oscilaciones y Ondas
no poseen suficiente temperatura como para irradiar en el visible. El cuerpo humano
es un claro ejemplo el cual irradia con una longitud de onda alrededor de 10µm. Las
cámaras de infrarrojo se utilizan para captar las diferencias de temperatura de los objetos fotografiados. Lo mismo ocurre con los satélites de infrarrojo, que proporcionan
información valiosa para estudiar el clima terrestre. el control remoto del televisor y los
lectores de códigos de barras funcionan también en el infrarrojo. Los rangos de energı́a
del infrarrojo van desde 10−3 eV hasta 1.7 eV .
6.2.4.
Espectro visible
Esta compuesto por la radiación que detectan nuestros ojos y está comprendida por
el espectro electromagnético que va desde 3,84×1014 Hz hasta 7,69×1014 Hz de frecuencia
o desde 780 nm hasta 390 nm de longitud de onda, está franja se subdivide en rangos
que corresponden a los colores que percibimos, estos rangos se ilustran en la Tabla.
la luz blanca es la mezcla de todos los colores que aparecen en la tabla. Los ejemplos
más comunes de objetos que producen este tipo de ondas son el sol, las estrellas y los
bombillos, está luz producida se refleja y se refracta en los objetos lo que percibimos
en nuestros ojos es la luz que se refleja, por tal motivo un objeto negro absorbe toda
la luz y un objeto blanco refleja toda la luz. La enrgı́a de los fotones en este rango del
espectro van desde 1.7 eV hasta 3.2 eV.
Color
f(10−12 Hz) λ(nm)
Rojo
384-482
780-622
Naranja
482-503
622-597
Amarillo
503-520
597-577
Verde
520-610
577-492
Azul
610-659
492-455
Violeta
659-769
455-390
Cuadro 6.1: Intervalos de frecuencia y longitud de onda para los colores del espectro
visible
6.2.5.
Rayos ultravioleta
Cubren el intervalo que va desde 7,65 × 1014 Hz hasta 3 × 1016 Hz, que equivale al
intervalo de longitudes de onda comprendido entre 390 nm y 10 nm. La zona ultravioleta o UV, se subdivide a su vez en tres regiones ultravioleta cercano(390-200 nm),
ultravioleta lejano (200-100nm) y ultravioleta extremo o vació(100-10nm), o basado
en su infuencia sobre la salud humana, rayos UV-A(390-315 nm), rayos UV-B(315-280
nm) y ratos UV-C(280-10 nm). Está radiación fúe descubierta por Johann W. Ritter
en el año 1801 al observar el ennegrecimiento del cloruro de plata bajo el efecto de una
componente no visible de la luz de frecuencia superior a la del violeta. la energı́a de
los rayos ultravioleta va aproximadamente desde 3.2 eV hasta 120 eV, y es lo suficientemente elevada como para producir reacciones quı́micas. Los rayos UV-A los menos
106
Oscilaciones y Ondas
energéticos son los culpables del bronceado de la piel y activan la sı́ntesis de la vitamina
D en el interior de la misma. Los rayos más energéticos UV-A y UV-C son dañinos ya
que pueden romper enlaces de ADN en la piel y producir ası́ mutaciones cancerı́genas.
Afortunadamente el ozono absorben la mayor parte de las radiaciones provenientes del
Sol. Los rayos ultravioleta ionizan los átomos presentes en la alta atmósfera generando
una capa repleta de iones existente por encima de los 80 km denominada ionosfera.
Esta capa actúa como una una pared conductora sobre la que se reflejan las ondas electromagnéticas, lo cual es utilizado por ejemplo, para transmitir ondas a larga distancia
sobre la tierra
6.2.6.
Rayos X
Se encuentra entre 3 × 1016 Hz hasta 5 × 1019 Hz o longitudes de onda desde 10
nm hasta 0.006 nm, rango que a su vez se divide en rayos X blandos (10-0.1 nm) y
rayos X duros (0.1-0.006nm). los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm K roentgen
en 1895 a raı́z de sus experimentos con tubos de rayos catódicos, los llamo rayos X
porque no pudo identificarlos. De hecho hasta Max Von Laue en 1982 no se confirmo
que eran ondas electromagnéticas, el cual produjo patrones d interferencia al hacerlos
coincidir sobre estructuras cristalinas, lo que dio lugar al nacimiento de la cristalografı́a
de rayos X. estos rayos se producen por radiación de frenado en choques de electrones
muy energéticos en superficies metálicas. La diferente capacidad de absorción de rayos
X que tienen los tejidos del cuerpo humano, especialmente los huesos, que son los que
más absorben estos rayos, permiten realizar las muy conocidas radiografı́as. La energı́a
de estos rayos va desde 0.12 keV hasta 240 keV, que son energı́a lo bastante altas como
para provocar daños en los seres humanos, por esto la sobreexposición a este tipo de
rayos puede ser peligrosa , de igual forma con las debidas precauciones se utiliza para
destruir tejidos cancerı́genos.
6.2.7.
Rayos Gamma
Estás ondas electromagnéticas son las que poseen mayor frecuencia por tal motivo
son las que poseen mayor energı́a. su intervalo de frecuencias va desde 3 × 1018 Hz
hasta 3 × 1022 Hz, con lo cual las longitudes de onda van desde 10−10 hasta 10−14 m,
este intervalo se superpone con el de los rayos X. Los rayos X y los rayos gamma se
distinguen por su forma de generación mas no por su frecuencia. los rayos gamma son
producidos por sustancias radiactivas y ası́ fueron descubiertos. Fueron detectados por
primera vez por Paul Villard en 1900, debido a su elevada energı́a causan graves daños,
por tal motivo tambien se utilizan en radioterapia.
107
Oscilaciones y Ondas
6.3.
6.3.1.
Ondas de Sonido
Cualidades del sonido
El oı́do es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las
diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres
cualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre.
Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes
propiedades de las ondas sonoras.
Intensidad
La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como
fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es una magnitud que
da idea de la cantidad de energı́a que está fluyendo por el medio como consecuencia de
la propagación de la onda.
Se define como la energı́a que atraviesa por segundo una superficie unidad dispuesta
perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a una potencia por unidad
de superficie y se expresa en W/m2 . La intensidad de una onda sonora es proporcional
al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitud y disminuye con la distancia
al foco.
La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad acústica, pero
también depende de la sensibilidad del oı́do. El intervalo de intensidades acústicas que
va desde el umbral de audibilidad, o valor mı́nimo perceptible, hasta el umbral del dolor.
La intensidad fisiológica o sensación sonora de un sonido se mide en decibelios
(dB). Por ejemplo, el umbral de la audición está en 0 dB, la intensidad fisiológica de
un susurro corresponde a unos 10 dB y el ruido de las olas en la costa a unos 40 dB.
La escala de sensación sonora es logarı́tmica, lo que significa que un aumento de 10
dB corresponde a una intensidad 10 veces mayor por ejemplo, el ruido de las olas en la
costa es 1.000 veces más intenso que un susurro, lo que equivale a un aumento de 30 dB.
Debido a la extensión de este intervalo de audibilidad, para expresar intensidades
sonoras se emplea una escala cuyas divisiones son potencias de diez y cuya unidad de
medida es el decibelio (dB).
La conversión entre intensidad y decibelios sigue esta ecuación:
β = 10 log10
I
I0
(6.1)
donde I0 = 10 ×−12 W/m2 y corresponde a un nivel de 0 decibelios por tanto,
108
Oscilaciones y Ondas
ademas de ser el umbral de audición a 1kHz. El umbral del dolor corresponde a una
intensidad de 1W/m2 o 120 dB.
Ello significa que una intensidad acústica de 10 decibelios corresponde a una
energı́a diez veces mayor que una intensidad de cero decibelios; una intensidad de 20
dB representa una energı́a 100 veces mayor que la que corresponde a 0 decibelios y
ası́ sucesivamente.
La intensidad debida a un número de fuentes de sonido independientes es la suma
de las intensidades individuales
Tono
El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oı́do le asigna un lugar en
la escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos.
La magnitud fı́sica que está asociada al tono es la frecuencia. Los sonidos percibidos
como graves corresponden a frecuencias bajas, mientras que los agudos son debidos a
frecuencias altas. Ası́ el sonido más grave de una guitarra corresponde a una frecuencia
de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 Hz.
No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oı́do humano, el cual es
sensible únicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20Hz y los
20kHz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda que van
desde 16 metros hasta 1,6 centı́metros respectivamente.En general se trata de ondas
de pequeña amplitud.
Timbre
El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes
de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a
esta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta
caracterı́stica de cada individuo.
Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones
generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados
por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a
un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja
puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una
frecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se considerara
separadamente, darı́a lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es
caracterı́stica de cada instrumento y define su timbre.
109
Oscilaciones y Ondas
6.4.
Efecto Doppler
Cuando una fuente de ondas y el observador de estas ondas, se encuentran en
movimiento con respecto a un medio, las frecuencias de las ondas de la fuente y las
ondas observadas son diferentes a este fenómeno se le llama efecto doppler, supongamos
que existe una fuente de ondas en el punto A y un observador de estas ondas en
el punto B, estos puntos se encuentran inicialmente a una distancia d, el problema
consiste en obtener la relación entre las frecuencias emitida por la fuente y percibida
por el observador.
En el tiempo t = 0, cuando la distancia entre la fuente y el observador es d, la
fuente emite una onda la cual le llega al observador en un tiempo t, luego de un tiempo
τ la fuente emite otra onda la cual le llega al observador en un tiempo t0 , donde los
tiempos t y t0 , son medidos con respecto al mismo origen de tiempos, en palabras mas
simples, son medidos desde la misma hora de inicio, con esto el tiempo, que tardan en
emitirse las ondas es τ − 0 = τ , mientras que el tiempo que tardan es percibirse las
ondas es t0 − t = τ 0 , la primera onda emitida tarda un tiempo t viajando, mientras que
la segunda onda emitida tarda un tiempo t0 − t viajando.
Figura 6.2: Efecto Doppler
la distancia que recorre la primera onda antes de llegar al observador es d más lo que
recorrió es observador, si tomamos v0 , como la velocidad del observador, está distancia
es
d + v0 t
(6.2)
distancia que es igual a la distancia recorrida por la onda vt, donde v es la velocidad
de la onda, obteniéndose
d + v0 t = vt
ó
110
t=
d
v − v0
(6.3)
Oscilaciones y Ondas
la distancia que recorre la segunda onda es d − vs t + v0 t0 , distancia que es igual
v (t − t), legándose a
0
d + vt − vs t
(6.4)
v − v0
con lo anterior el tiempo entre las dos ondas percibidas por el observador es
d − vs t + v0 t0 = v (t0 − t)
ó
t0 =
d + vt − vs t
d
vt − vs t
−
=
(6.5)
v − v0
v − v0
v − v0
Debido a que la frecuencia es el inverso del periodo y t = τ está expresión se puede
escribir en la forma:
τ 0 = t0 − t =
v − v0
(6.6)
v − vs
El efecto Doppler posee muchas aplicaciones. Este fenómeno se emplea en los
radarares que se utilizan para medir la velocidad de los automóviles y de las pelotas en
varios deportes.
Tambien en la astronomı́a utilizan el efecto Doppler de la luz de galaxias distantes
para medir su velocidad y deducir su distancia.
Los médicos usan fuentes de ultrasonido para detectar las palpitaciones del corazón
de un feto; los murciélagos lo emplean para detectar y cazar a un insecto en pleno vuelo.
Cuando el insecto se mueve más rápidamente que el murciélago, la frecuencia reflejada
es menor, pero si el murciélago se está acercando al insecto, la frecuencia reflejada es
mayor.
f0 = f
6.5.
Ultrasonido
El ultrasonido es un tipo de onda acústica que tiene una frecuencia de onda mucho
mayor a la que podemos percibir (aproximadamente 20.000 Hz). Algunos animales como
los delfines lo utilizan para comunicarse y en el caso de los murciélagos, lo emplean para
orientarse a través del efecto Doppler. A este fenómeno se le denomina ecolocalización.
Esto funciona gracias a que las ondas tienen una frecuencia tan alta que rebotan” en los
objetos y regresan a ellos prácticamente sin perder calidad, de forma que son capaces
de calcular la distancia de los obstáculos por medio del tiempo que tarda la onda en
regresar.
6.5.1.
Aplicaciones del ultrasonido
Los ultrasonidos se aprovechan para varios propositos dentro de los distintos campos
de la ciencia:
111
Oscilaciones y Ondas
6.5.1.1.
Guiado y sondeo
Una de las principales aplicaciones de los ultrasonidos es la que tiene que ver con
los sensores para guiado y sondeo. Aquı́ es donde entra en juego el tema de acústica
submarina, aplicado en el sondeo del fondo del mar, navegación de submarinos, detección de bancos de pescado, etc. Tambien es utilizado en los sensores de aparcamiento
que traen muchos de los coches recientes para evitar golpes contra otro coche o contra
una farola, por ejemplo.
El funcionamiento genérico es bastante simple: se trata de emitir pulsos ultrasónicos
y contar el tiempo que tardan en regresar. De este modo, conociendo la velocidad
de propagación, se puede estimar la distancia recorrida por la onda (ida y vuelta al
obstáculo).
6.5.1.2.
Medicina y biologı́a
La técnica más conocida, sin ninguna duda, es la ecografı́a. La idea, una vez más, es
inyectar ultrasonidos a través de la piel en el organismo del paciente (baja intensidad,
en torno a unos pocos miliwatios). Estos se reflejan a medida que vayan pasando de
unos medios a otros y los ecos son procesados para mostrarlos finalmente por pantalla.
Todos hemos visto cómo los médicos aplican un gel sobre la piel antes de producir los
ultrasonidos, pues bien, este gel no es más que un material que sirve a modo de acoplo
de impedancias para evitar la reflexión excesiva del ultrasonido en la propia superficie
de la piel.
6.5.1.3.
Aplicaciones fı́sicas
Las aplicaciones fı́sicas de los ultrasonidos se centran, esencialmente en la medida
de las propiedades elásticas y las condiciones de propagación en los sólidos. La idea
aquı́ es, simplemente, el estudio de la propagación de un ultrasonido en el material. Otras
aplicaciones se centran en el estudio de explosiones, determinación de las propiedades
fı́sicas de lı́quidos y gases, localización de baches de aire (fundamental para la navegación
aérea), etc.
6.6.
Infrasonido
El infrasonido es justo lo contrario al ultrasonido, es otro tipo de onda acústica que
posee una frecuencia menor a la que el oido humano es incapaz de percibir (inferor
a los 20 Hz). El infrasonido es utilizado por animales grandes como el elefante para
comunicarse en amplias distancias sin problema alguno. Los desastres naturales como
erupciones volcánicas, terremotos y tornados producen sonidos de una intensidad comparable con el sonido que hace una bomba atómica en su explosión, con la diferencia de
que al estar por debajo de los 20 Hz son inaudibles al oı́do humano; lo que ha permitido
iniciar investigaciones vulcanológicas y meteorológicas, para evitar futuros desastres.
112
Oscilaciones y Ondas
La principal aplicación de los infrasonidos es la detección de objetos. Esto se hace
debido a la escasa absorción de estas ondas en el medio, a diferencia de los ultrasonidos.
El inconveniente es que los objetos a detectar deben ser bastante grandes ya que, a
tales frecuencias, la longitud de la onda es muy grande lo cual limita el mı́nimo diámetro
del objeto. Como ejemplo diremos que un infrasonido de 10 Hz tiene una longitud de
onda de 34 m en el aire, luego los objetos a detectar deben tener un tamaño del orden
de 20 m en el aire y 100 m en el agua.
6.7.
Ondas de Choque y número de Mach
Una onda de choque es una onda producida por un objeto que viaja más rápido
que la velocidad del sonido en dicho medio, que a través de diversos fenómenos produce
diferencias de presión extremas y aumento de la temperatura (si bien la temperatura de
remanso permanece constante de acuerdo con los modelos más simplificados). La onda
de presión se desplaza como una onda de frente por el medio.
Una de sus caracterı́sticas es que el aumento de presión en el medio se percibe como
explosiones.
También se aplica el término para designar a cualquier tipo de propagación ondulatoria, y que transporta, por tanto energı́a a través de un medio continuo o el vacı́o, de tal
manera que su frente de onda comportamiento un cambio abrupto de las propiedades
del medio.
Un caso de este efecto lo podemos ver cuando un avión supera la barrera del sonido.
Estos provocan ondas de choque al volar por encima de régimen transónico (M ach >
0, 8) pues aparecen zonas donde el aire supera la velocidad del sonido localmente, por
ejemplo sobre el perfil del ala, aunque el propio avión no viaje a M ach > 1.
Para medir la velocidad relacionada con las ondas de choque se emplea el Número
de M ach.
Es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad
de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Dicha
relación puede expresarse según la ecuación
V
,
Vs
donde V es la velocidad del objeto y Vs es la velocidad del sonido en el medio, es un
número adimensional tı́picamente usado para describir la velocidad de los aviones. Normalmente, las velocidades de vuelo se clasifican según su número de Mach en: Subsónico
M < 0,7, Transónico 0,7 < M < 1,2, Supersónico 1,2 < M < 5 y Hipersónico M > 5.
M=
6.8.
La audición
En la sección anterior estudiamos como se produce el sonido, en está sección
analizaremos como se percibe este sonido en el oido. El oı́do es un órgano conformado
de tres partes: El oı́do externo, el oı́do medio y el oı́do interno
113
Oscilaciones y Ondas
Las dos primeras partes el oı́do externo y
el oı́do medio; son las encargadas de recoger
las ondas sonoras para conducirlas al oı́do interno y excitar una vez aquı́ a los receptores
de origen del nervio auditivo.
El oı́do externo comprende dos partes: el
pabellón y el conducto auditivo externo. Por
su parte, el oı́do medio está formado por un
conjunto de cavidades llenas de aire, en las
que se considera tres importantes porciones: la
Figura 6.3: Estructura general del oı́do caja del tı́mpano conformada por tres huesecillos; el martillo, el yunque y el estribo y la
humano
trompa de Eustaquio ı́ntimamente relacionada
con las vı́as aéreas superiores (rinofaringe).
El oı́do interno también tiene su complejidad y está comprendido por el laberinto
óseo y membranoso. De este último nacen las vı́as nerviosas acústicas y vestibulares. El
laberinto, cuya función principal es la de mantener la orientación espacial y el equilibrio
estático y dinámico del individuo, consta de tres partes: el vestı́bulo, los conductos
semicirculares y el caracol. Una imagen general del oı́do se ilustra en la figura 6.3
El proceso de audición demora segundos desde que se genera el sonido hasta llegar
al cerebro de la siguiente manera:
En primer lugar, las ondas sonoras son recogidas por el pabellón auricular. Luego
esas ondas son transmitidas a través del conducto auditivo externo hasta la membrana
timpánica, la cual separa al oı́do externo del oı́do medio.
La membrana timpánica vibra en respuesta a los cambios de presión del aire. Esta
vibración la pone en contacto con los huesecillos martillo, yunque y estribo. Los huesecillos trasladan esta señal hasta la cóclea o caracol en el oı́do interno y en la cóclea, las
células auditivas las convierten en impulsos nerviosos que van al cerebro por el nervio
auditivo.
Finalmente, los impulsos nerviosos son interpretados en el centro auditivo del cerebro.
6.9.
Ondas de luz
las ondas electromagnéticas, que pueden ser detectadas por el ojo humano constituyen el espectro visible, este espectro va desde el rojo (λ ≈ 780nm) hasta el violeta
(λ ≈ 384nm)
6.10.
El ojo humano
El ojo humano está constituido por varios componentes básicos que se ilustran en
la figura 6.4
114
Oscilaciones y Ondas
Figura 6.5: Corte lateral de la retina y sus componentes.
La luz entra al ojo a través de la córnea,
que es la estructura transparente del ojo,
por detras de la cual existe un lı́quido acuoso llamado humor acuoso. La cantidad
de luz que entra al ojo se controla con la
pupila, cuyo tamaño se puede variar por
contracción o expansión de una membrana
denominada iris, el tamaño de la pupila
puede variar entre 2 mm (para iluminación
intensa) y 8 mm (para situaciones de poca
Figura 6.4: Estructura general del ojo hu- iluminación).Los músculos ciliares controlan la curvatura del cristalino. La retimano
na(fotosensible) está constituida por receptores, denominados conos y bastones.
La retina que está formada por tres capas de células nerviosas, traduce la señal luminosa en señales nerviosas, las células fotosensibles (conocidas como conos y bastones)
forman la parte trasera de la retina (es decir: La más alejada de la apertura del ojo).
Por eso, la luz debe atravesar antes las otras dos capas de células para estimular los
conos y los bastones.
La capa media de la retina contiene tres tipos de células nerviosas: Bipolares, horizontales y amacrinas. La conexión de los conos y bastones con estos tres conjuntos de
células es complejo, pero las señales terminan por llegar a la zona frontal de la retina,
para abandonar el ojo a través del nervio óptico. Este diseño inverso de la retina hace
que el nervio óptico tenga que atravesarla, lo que da como resultado el llamado punto
ciego o disco óptico.
En la retina solo se encuentran tres tipos de conos sensibles al colo, los azules,
115
Oscilaciones y Ondas
los verdes y los rojos, los cuales se estimulan por la luz, los televisores utilizan este
principio, para colocar solo puntos rojos verdes y azules, por ejemplo el color amarillo
es realmente una combinación entre rojo y verde
Una caracterı́stica fundamental de este sistema es que la potencia de la lente es
variable, cosa que el ojo lleva a cabo cambiando la curvatura del cristalino, mediante
los músculos ciliares. Cuando el ojo está en reposo (es decir, cuando el cristalino no
está acomodando, está en posición de reposo), la potencia de la lente es la adecuada para
que sobre la retina se forme una imagen enfocada de los objetos situados en el infinito.
La potencia del ojo en esta situación de reposo es de aproximadamente, 58 dioptrı́as.
Cuando el cristalino acomoda al máximo, es decir, cuando su potencia es máxima, se
forma una imagen enfocada de la retina de objetos situados a, aproximadamente, 25
cm (esta distancia depende de la edad). Es decir, el ojo puede incrementar su potencia
hasta llegar a 62 dioptrı́as (amplitud de acomodación).
Ası́ pues, el ojo humano puede ver enfocadas imágenes de objetos situados entre un
punto alejado (punto remoto) y un punto cercano (punto próximo). Un ojo es emétrope
cuando el punto remoto está en el infinito y el punto cercano está a 25 cm.
Un ojo amétrope, que es aquel en el que se presentan defectos en la visión, defectos
que pueden ser causados por diferentes causas, dentro de los defectos más comunes del
ojo se encuentran la miopı́a, la hipermetropı́a, la presbicia y el astigmatismo.
La distancia a la que se encuentra el punto próximo depende fuertemente de la edad:
en los niños es menor y con la edad va aumentando debido a la pérdida de flexibilidad
del cristalino. A partir de los 35 o 40 años el punto próximo se aleja de forma sensible
(es decir, la amplitud de acomodación disminuye. A este fenómeno se le conoce como
presbicia (popularmente vista cansada”). Nótese que la presbicia afecta únicamente
a la localización del punto próximo (o a la amplitud de acomodación) pero no a la
localización del punto remoto).
Un ojo miope es aquél en el que el punto remoto no se encuentra en el infinito,
sino a una distancia finita. Como la amplitud de acomodación no varı́a respecto al ojo
emétrope (salvo que también haya presbicia), el punto próximo se encuentra, para un
miope, más cercano al ojo que en el caso de un emétrope. En resumen, lo que ocurre
en un ojo miope es que hay un exceso de potencia. El miope tiene una visión muy
defectuosa de lejos pero su visión es buena de cerca.
La forma de corregir este defecto es añadiendo lentes divergentes (de potencia negativa) que disminuyan la potencia del sistema. De esta forma, se alejan del ojo tanto el
punto remoto (hasta el infinito) como el punto próximo.
La hipermetropı́a es justamente lo contrario que la miopı́a: el ojo hipermétrope no
tiene suficiente potencia. Esto se traduce en un alejamiento de los puntos remoto y
próximo. Ası́, el punto próximo pasa a estar más alejado que en el emétrope y el punto
remoto pasa a ser virtual (situado detrás del ojo. Ası́, el ojo hipermétrope tiene buena
visión de lejos pero mala visión de cerca. Nótese que los sı́ntomas son parecido a los de
la presbicia pero no es lo mismo ya que la amplitud de acomodación de un hipermétrope
es normal, algo que no ocurre en el ojo présbita.
La forma de corregir un ojo hipermétrope es añadiendo lentes convergentes (de
potencia positiva) de manera que se acercan tanto el punto remoto como el próximo.
116
Oscilaciones y Ondas
Un ojo astigmático es aquél que no tiene simetrı́a de revolución, es decir, es un ojo
que no tiene la misma potencia para la dirección horizontal que para la vertical. El
astigmatismo puede ser miópico (exceso de potencia en una dirección) o hipermetrópico (lo contrario). Se corrige añadiendo lentes cilı́ndricas que devuelvan la simetrı́a de
revolución.
6.11.
Instrumentos ópticos
Existen instrumentos que ayudan a ver objetos pequeños (de visión cercana) e instrumentos que ayudan a ver objetos grandes pero lejanos (de visión lejana), dentro
de los instrumentos de visión cercana más comunes se encuentran el microscopio simple o lupa y el microscopio compuesto y dentro de los objetos lejanos más comunes se
encuentran los telescopios, que pueden ser de reflexión y de refracción o anteojos.
6.11.1.
Microscopio simple o lupa
Es una lente convergente.(figura 6.6). Se usa de forma que la imagen esté sin invertir
y para ello es necesario que la imagen sea virtual, lo que se consigue situando el objeto
entre el foco objeto de la lente y la lente misma (en caso contrario, esto es si el objeto
está más alejado de la lente que su foco objeto, la imagen es real e invertida).
Figura 6.6: Esquema general de una lupa.
Para calcular el aumento angular de la lupa, hay que definir claramente las condiciones de observación. Para ello, supondremos inicialmente el objeto situado en el punto
117
Oscilaciones y Ondas
próximo del ojo desnudo (a 25 cm, distancia que representaremos por a0 ). En este caso,
el ángulo subtendido por el objeto (supongamos que de altura h) es
h
h
= 0
(6.7)
25cm
a
Ahora se sitúa la lupa de forma que la imagen virtual proporcionada por ésta este
justamente sobre el punto próximo, para lo que hay que modificar la distancia objeto,
que ahora tomará el valor de a (ver figura 10.5) y supongamos que el ojo está pegado
a la lupa. Ahora, el ángulo subtendido por la imagen es:
tanϕ =
h
h0
(6.8)
=
0
a
a
Por tanto, el aumento angular (se debe comparar el ángulo subtendido por el objeto
cuando está situado en el punto próximo con el subtendido por la imagen cuando
está situada también en ese punto):
tanϕ0 =
tanϕ0
a0
=
tanϕ
a
donde a se puede calcular de la ecuación para una lente como
A=
1
1
a0 f
1
− 0 = ⇒a= 0
a a
f
a +f
donde finalmente el aumento es
a0 + f
a0
=1+
f
f
para valores pequeños de f este aumento se convierte en
A=
a0
A=
f
6.11.2.
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
Microscopio compuesto
Es un instrumento que produce una imagen virtual y amplificada de un objeto
pequeño y consta de dos lentes convergentes, el objetivo y el ocular. El objetivo es de
corta distancia focal, el ocular posee una distancia focal mayor que la del objetivo. La
distancia entre ambos es mucho mayor que los centros ópticos y por lo general es fija. El
objeto se coloca a una distancia mayor a la distancia focal, para producir una imagen
real e invertida I1 , el ocular que actúa como una lupa simple, produce la imagen I2 ,
que es una imagen virtual y amplificada de I1 . El valor de so1 es muy cercano al valor
de fob y el valor de si1 es muy cercano a L, por lo tanto el aumento del objetivo es:
Aob =
De igual forma el aumento del ocular es:
118
L
fob
(6.13)
Oscilaciones y Ondas
Figura 6.7: Esquema general de un microscopio compuesto.
Aoc =
25cm
,
foc
(6.14)
de está forma el aumento total del sistema es
A = Aob Aoc =
25cmL
fob foc
(6.15)
Existe una distancia mı́nima entre los puntos del objetivo que se pueden distinguir,
esto constituye el poder resolvente que el máximo aumento útil pues para un mayor
aumento no se puede distinguir la imagen, este poder de resolución es:
λ
,
(6.16)
2nsenθ
donde λ es la longitud de onda y n es el ı́ndice de refracción del medio en el cual
se encuentra el objeto y θ es el ángulo qué un rayo marginal forma con el eje del
microscopio para el caso del ojo el poder resolvente es de alrededor de 10−2 cm.
Los objetivos de un microscopio nunca constan de un solo lente, como se supuso en
el análisis anterior, por el contrario está formado por un sistema de lentes de vidrios
diseñados para eliminar laa aberraciones y obtener una imagen lo más semejante posible
al objeto. Con la finalidad de lograr un mayor aumento se deja un pequeño espacio
entre la primera lente del objetivo y el objeto en el cual se dispone un liquido que por
lo general es aceite de cedro y algunas veces agua. cuando no se utiliza ningún liquido se
dice seco a este tipo de objetivo se le llama de inmersión. los oculares de un microscopio
tampoco constan de una sola lente por lo general constan de dos lentes que pueden ser
R=
119
Oscilaciones y Ondas
de varios tipos la mas común es la de tipo ocular negativo de Huygens constituido por
dos lentes plano-convexas con sus caras planas hacia el ojo del observador.
6.11.3.
Telescopio
Los telescopios se emplean para formar imágenes cercanas de objetos que se encuentra lejos
6.11.3.1.
Telescopios de reflexión
Dentro de los telescopios de este tipo se encuentran el telescopio astronómico, el
telescopio terrestre y el telescopio de Galileo, los cuales se ilustran en la figura . El
telescopio astronómico consta de un objetivo formado por una lente convergente(plano
convexa ) de gran distancia focal fob , y de un objetivo que es un sistema convergente de
distancia focal foc ; debido a que el objeto AB se encuentra a una distancia muy grande,
comparada con la distancia focal, la imagen A0 B 0 se ubica casi sobre el foco de este. esta
imagen es real, invertida y muy pequeña, y funciona como objeto para el ocular que
produce la imagen A00 B 00 , que es virtual y mayor. La posición ocular es variable para
que el observador pueda situarlo de tal forma que la imagen definitiva se encuentre a
la mı́nima distancia de visión a, lo que se conoce como enfocado del instrumento
Figura 6.8: Esquema general de un telescopio astronomico.
El aumento de un telescopio se define como la relación entre el diámetro aparente β
del objeto visto a través del instrumento y su diámetro aparente α cuando se le observa
a simple vista y puede calcularse por la expresión
A=
fob
foc
120
(6.17)
Oscilaciones y Ondas
El telescopio utilizado para observaciones terrestres, por tal motivo es conveniente
que la imagen sea derecha, por tal motivo a estos se les coloca un sistema de lentes
entre el objetivo y el ocular para enderezar la imagen, este sistema es llamado inversor.
el tipo más usual de sistema inversor está constituido por dos lentes L1 y L2 ambas
convergentes de la misma distancia focal, ubicadas de tal forma que el centro óptico O2
de L2 se ubique en el foco de la imagen de L1
Figura 6.9: Esquema general de un telescopio terrestre.
Otro tipo de telescopio de refracción es el de Galileo es cual está conformado por
una lente convergente de distancia focal grande como objetivo y el ocular es una lente
divergente de distancia focal pequeña comparada con la del objetivo.
v
v
Figura 6.10: Esquema general de un telescopio Galileo.
En este caso la imagen A0 B 0 producida por el objetivo es real pequeña e invertida
121
Oscilaciones y Ondas
y situada en el foco del mismo, está imagen funciona como objeto virtual para el ocular que produce la imagen final A00 B 00 , que resulta ser virtual derecha y cercana, este
telescopio es muy útil por cuanto no es muy largo, estos se construyen formando una
combinación de dos llamada binocular.
Los telescopios de reflexión se construyen utilizando un espejo parabólico el cual
concentra todos los rayos en el punto focal, antes de que los rayos lleguen al foco se les
coloca un espejo que refleja los rayos para su posterior observación, las dos variantes
que se ilustran en la Figura 6.11 y 6.12 corresponden a telescopios de reflexión. En el
telescopio de Newton es espejo que refleja los rayos que viajan al foco es plano, que
forma un ángulo de 45o y el ocular se encuentra en un lado del telescopio.
Figura 6.11: Esquema general de un telescopio de Newton.
En el telescopio de Cassegrain el espejo reflector corresponde a un espejo esferico
convexo y el ocular se encuentra en el extremo final del telescopio.
Figura 6.12: Esquema general de un telescopio de Cassegrain.
6.11.4.
El proyector
Un proyector es un instrumento que se utiliza para producir una imagen aumentada
y real de un objeto pequeño, transparente u opaco. Un proyector está compuesto por
un sistema de iluminación, por un espejo curvo que se encarga de reflejar la luz emitida, de un condensador formado por dos lentes convergentes, lo que ocasiona una luz
intensa sobre el objeto AB, el cual se coloca invertido para producir una imagen real y
amplificada A0 B 0 , por la lente objetivo.
Cuando la pantalla se encuentra a una distancia fija se debe mover el objetivo, a
esta operación se le llama enfocado.
122
Oscilaciones y Ondas
Figura 6.13: Esquema general de un proyector.
6.11.5.
El prisma
Un prisma es un medio transparente limitado por dos caras planas que se cortan en
una arista formando un ángulo 2A, como el que se ilustra en la figura 6.14
En la figura 6.14 se muestra la trayectoria seguida por dos rayos a través del prisma,
entre los cuales se encuentra el rayo OCDE, en este caso se ha considerado el ı́ndice de
refracción del prisma mayor al medio que lo rodea, el cual en el caso de ser el aire es
1, esto es (n > 1). El rayo en consideración sufre dos refracciones sucesivas en C y D,
resultando el rayo emergente DE desviado hacia la base.
Figura 6.14: Configuración de un prisma
Si el ı́ndice de refracción del prisma es menor que el del medio que lo rodea, el rayo
emergente se desvı́a hacia el vértice. Se llama desviación d al ángulo HGE, que forma
123
Oscilaciones y Ondas
el rayo incidente OC y el emergente DE.
Cuando la luz proveniente del objeto O, el haz emergente parece provenir de un
punto I, que es la imagen virtual de O. Aplicando la ley de refracción a la cara de
entrada, con θi el ángulo de incidencia y θt el ángulo de transmisión.
senθi = nsenθt
(6.18)
Sumando los ángulos del triángulo CDF , obtenemos
2A = θt + θi0
(6.19)
Aplicando la ley de refracción a la cara de salida, con θi0 como el ángulo de incidencia
y θt0 como el ángulo de transmisión
nsenθi0 = senθt0
(6.20)
Sumando los ángulos referentes al triángulo CDG, obtenemos
d = θi + θt0 − 2A
(6.21)
Para cada ángulo de incidencia existe una desviación d del mismo, para calcular la
mı́nima desviación se toma la derivada dd/dθi = 0. en este caso se debe cumplir que
θi = θt0 y θi0 = θt , con lo cual el valor minimo de la desviación es
dmin
+A
(6.22)
2
de lo cual utilizando la ecuación (6.18), donde θt = A, se puede calcular el indice de
refracción del prisma midiendo la desviación minima.
dmin = 2θi − 2A
ó
θi =
!
dmin
+ A = nsenA
sen
2
ó
n=
sen
dmin
2
+A
(6.23)
senA
Ejemplo 6 Un prisma triangular de vidrio con ángulo en el vértice 2A = 60o tiene un ı́ndice
de refracción de n = 1,5 ¿Cual es el mı́nimo ángulo de incidencia θ1 en el que un rayo de luz puede
emerger desde el otro lado?.
Para que no exista rayo de luz al otro lado, el rayo que va
del prisma al aire debe sufrir una reflexión total, luego entonces
utilizando la ley de Snell
senθ1
−1
senθ1 = nsenθ2 ⇒ θ2 = sen
n
Además de la construcción geométrica
θ3 = 2A − θ2 = 2A − sen−1
Figura 6.15: Ángulo mı́nimo
que en un prisma el rayo emerja del otro lado
senθ1
n
Para la reflexión interna total
senθ1
−1
nsenθ3 = 1 ⇒ nsen 2A − sen
=1
n
124
Oscilaciones y Ondas
o
−1
60 − sen
6.12.
senθ1
1,5
−1
= sen
1
1,5
⇒ θ1 = 27,9o
Dispersión
La dispersión es un fenómeno en el cual la luz blanca se descompone en varios
colores al refractarse, este fenómeno fue descubierto por Newton, por ejemplo al hacer
incidir un rayo de luz blanca sobre un prisma, por el otro lado se obtiene el espectro
visible, este fenómeno es causado porque el ı́ndice de refracción de un material depende
de la longitud de onda de la luz que se propaga, es decir que cada color que compone(longitud de onda) la luz blanca tiene su propio ı́ndice de refracción. Para conocer
la dependencia del ı́ndice de refracción con la longitud de onda o la frecuencia se debe
recordar que:
√
r µr
(6.24)
r = 1 + χe ,
(6.25)
n=
Para medios no magnéticos µr = 1, pero
donde χe es la susceptibilidad eléctrica que describe la respuesta de un medio a
la acción de un campo eléctrico externo, la cual está relacionada con las propiedades
de los átomos y moléculas en el medio y además dependen de si las moléculas de una
sustancia tienen o no momento dipolar magnético permanente, si no lo poseen
χe =
N e 2 X Fi
0 me i ωi2
(6.26)
donde ωi , representa cualquier frecuencia del espectro electromagnético y la suma
se extiende a todas las frecuencias,N es el numero de átomos por unidad de volumen,
e es la constante del electrón, me es la masa del electrón y las cantidades Fi son las
intensidades de oscilación del átomo, cuando se toma en cuenta el amortiguamiento
está susceptibilidad se convierte en:
χe =
N e 2 X Fi
0 me i ωi2 − ω
(6.27)
donde ω es la frecuencia con la cual oscila el campo oscilatorio, de donde
n=
v
u
u
t1 +
N e2 X Fi
0 me i ωi2 − ω
(6.28)
Suponiendo que solo existe una frecuencia atómica ωo se tiene
n=1+
N e2
1
2
20 me ωi − ω
125
(6.29)
Oscilaciones y Ondas
Si ω << ωo llegamos a
N e2
ω2
1
+
n=1+
20 me ωo2
ωo2
!
(6.30)
que puede ser escrito como:
n=A+
donde
B
λ2
(6.31)
N e2
2π 2 c2 N e2
A=1+
y B=
20 me ωo2
0 me ωo4
La dispersión se define como la variación del ángulo d que se desvı́a el rayo con
respecto a su longitud de onda, esto es
D=
dd dn
dd
=
dλ
dn dλ
(6.32)
Para el caso del prisma
D=
2senA
cos
1
d
2 mmin
(6.33)
+A
La luz blanca se debe a la superposición en la retina de las radiaciones de diversos
colores (o longitudes de onda), de modo que el ojo humano tiene el poder de sı́ntesis de colores, este poder permite reconocer los colores intermedios, esta sensación de
cualquier color se puede producirse por la superposición de tres colores primarios Rojo(R), Verde(V) y Azul(A), de modo que cualquier color puede simbolizarse por la
expresión
C = xR + yV + zA
donde x, y y z simbolizan las intensidades de cada color.
6.13.
Efecto Doppler
magnéticas
de
las
ondas
electro-
El efecto Doppler de ondas electromagnéticas es diferente debido a que las ondas
electromagnéticas no implican movimiento de materia, además, su velocidad de
propagación es c para todos los observadores, independientemente de sus movimiento
relativos.
Para estudiar el efecto Doppler de las ondas electromagnéticas se debe realizar un
pequeño estudio de las transformaciones de Lorentz por tal motivo, estudiaremos las
transformaciones de Lorentz
126
Oscilaciones y Ondas
6.13.1.
Transformación de Lorentz
Figura 6.16: Transformaciones de Lorentz
Considere que para t = 0, ocurre un destello de luz en un lugar del espacio, las distancias que recorre este destello de luz para los dos observadores es, donde se considera
que la velocidad de la luz para ambos observadores es la misma, esto se conoce como
invarianza de la velocidad de la luz, además r = ct y r0 = ct0 , donde t y t0 , son los
tiempos que tarda la luz en llegar a los dos observadores
r2 = x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
(6.34)
r02 = x02 + y 02 + z 02 = c2 t02
(6.35)
donde c, es la velocidad de la luz, en el caso de ser x0 = 0, entonces x = vt,
lo que implica que x0 es proporcional a x − vt, lo cual se puede escribir como x0 =
k (x − vt), comparando con está ecuación, se puede tomar la transformación de los
tiempos como t0 = a (t − bx), para las otras coordenadas permanecen invariables, el
conjunto de transformaciones, conocidas como transformaciones de Lorentz es:
y0 = y
z0 = z
x0 = k (x − vt)
t0 = a (t − bx)
(6.36)
Remplazando (1.9) en (1.8) y agrupando los términos semejantes tenemos
k 2 − b2 a2 c2 x2 − 2 k 2 v − ba2 c2 xt + y 2 + z 2 = a2 − k 2 v 2 /c2 c2 t2
127
(6.37)
Oscilaciones y Ondas
Comparando la ecuación (1.10) con (1.7) se obtiene el sistema de ecuaciones
k 2 − b 2 a2 c 2 = 1
k 2 v − ba2 c2 = 0
a2 − k 2 v 2 /c2 = 1
(6.38)
(6.39)
La solución de este sistema de ecuaciones es
k=a= q
1
1−
v 2 /c2
y
b = v/c2
(6.40)
Remplazando estas soluciones en el conjunto de transformaciones (1.9), la transformación de Lorentz, compatible con la invarianza a la velocidad de la luz es
x − vt
x0 = q
1 − v 2 /c2
y0 = y
z0 = z
t − vx/c2
t0 = q
1 − v 2 /c2
(6.41)
Para obtener las transformaciones de las velocidades se derivan estas ultimas
obteniéndose la transformación de velocidades como
Vx00 =
Vx − v
1 − vVx /c2
q
Vy00 =
Vy 1 − v 2 /c2
1 − vVx /c2
(6.42)
q
Vz00 =
Vz 1 − v 2 /c2
1 − vVx /c2
Otro parámetro de gran importancia es el momentum de una partı́cula, el cual se
define como:
p~ = m~v
(6.43)
donde m, es la masa la cual depende de la velocidad con la cual se mueva la partı́cula,
en la forma
m0
m= q
(6.44)
1 − v 2 /c2
128
Oscilaciones y Ondas
La fuerza, es la variación del momentum con respecto al tiempo esto es
d (m~v )
d~p
=
F~ =
dt
dt
De donde la energı́a cinética se puede definir como
Ek
Z v
Z v
d (m~v )
=
F ds =
ds =
vd (m~v )
dt
0
0
0
Z v
Z v
m0 v 2
m0 vdv
q
mv 2 −
mvdv = q
−
0
0
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
Z v
m0 v 2
q
(6.45)
(6.46)
q
1 − v 2 /c2
+ m0 c2 1 − v 2 /c2 − m0 c2 = mc2 − m20
La energı́a total es la suma de la energı́a cinética y la energı́a en reposo
E = Ek + m0 c2 = mc2
(6.47)
Con esto y la definición de p = mv, se tiene
~v =
de donde
c2 p~
E
q
E = c m20 c2 + p2
(6.48)
(6.49)
De la definición anterior de energı́a
p2 − E 2 /c2 = −m20 c2
(6.50)
planteando las ecuaciones para los dos observadores tenemos:
p2x + p2y + p2z − E 2 /c2 = −m20 c2
02
02
02 2
p02
= −m20 c2
x0 + py 0 + pz 0 − E /c
(6.51)
Igualando estas ecuaciones, se tiene
02 2
02
02
p2x + p2y + p2z − E 2 /c2 = p02
x0 + py 0 + pz 0 − E /c
(6.52)
Las ecuaciones anteriores son similares a las ecuaciones (1.7) y (1.8), realizando las
comparaciones adecuadas se llega a las transformaciones para el momentum
px − vE/c2
p0x0 = q
1 − v 2 /c2
p0y = py
p0z = pz
E − vpx
E0 = q
1 − v 2 /c2
129
(6.53)
Oscilaciones y Ondas
de las transformaciones para el momentum se pueden obtener las transformaciones
para la fuerza como:
Fx0 0 =
dp0x0
dp0x0 dt
dpx
= Fx
=
=
dt0
dt dt0
dt
(6.54)
Realizando los mismos cálculos para las otras fuerzas se tiene
Fx0 0 = Fx
Fy0 0 = q
Fz00 = q
6.13.2.
1
1 − v 2 /c2
1
1 − v 2 /c2
Fy
(6.55)
Fz
Transformación de las frecuencias
Para un observador en un sistema inercial de referencia, una onda electromagnética
plana y armónica puede describirse por la función ψ0 sen (kx − ωt). Para otro observador
las coordenadas x y t, deben cambiarse por x0 y t0 dadas por la ecuación (1.3), en este
caso la onda plana armónica es ψ00 sen (k 0 x0 − ω 0 t0 ).
El principio de relatividad exige que kx−ωt sea invariante cuando pase de un observador
inercial a otro, con lo que se tiene la igualdad
kx − ωt = k 0 x0 − ω 0 t0
(6.56)
Remplazando (1.3) se llega a
kx − ωt = k 0 q
t − vx/c2
k 0 − ω 0 v/c2
k0v + ω0
− ω0 q
=q
x− q
t
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
x − vt
(6.57)
comparando y recordando que k = ω/cse obtiene
1 − v/c
ω0 = ω q
1 − v 2 /c2
(6.58)
Expresión que relación la frecuencia medida por el observador y la frecuencia emitida
por la fuente.
130
Capı́tulo 7
Interferencia
7.1.
Introducción
Cuando tenemos dos movimientos ondulatorios que coinciden en el tiempo y el espacio, estos movimientos ondulatorios se suman(superponen), produciendo el fenómeno
de la interferencia; que puede ser constructiva o destructiva. Es importante mencionar
que las fuentes que los producen deben ser coherentes, es decir mantienen una fase
constante, una con respecto a la otra y además ser monocromáticas, es decir poseer una
sola frecuencia.
Un ejemplo de fuentes coherentes son los altavoces de un equipo de sonido puesto
que son alimentados por el mismo amplificador, un ejemplo de fuentes coherentes son
dos bombillas.
7.2.
Interferencia producida por dos fuentes sincronicas
Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 , como las ilustradas en la figura 7.1,
que oscilan con la misma frecuencia
ψ1 = ψ01 sen (ωt − kr1 + φ1 )
(7.1)
ψ2 = ψ02 sen (ωt − kr2 + φ2 )
(7.2)
donde r1 y r2 son las distancias desde cualquier punto P hasta las fuentes S1 y S2 .
La amplitud producida por las fuentes depende de r1 y r2 . En el punto P la amplitud
resultante es la suma de los dos movimientos ondulatorios los cuales consideraremos
escalares.
ψ = ψ1 + ψ2 = ψ01 sen (ωt − kr1 + φ1 ) + ψ02 sen (ω = t − kr2 + φ2 ) = ψ0 sen (ω = t + φ)
(7.3)
131
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.1: Interferencia producida por dos fuentes sincronicas
Cuyas gráficas fasoriales se ilustran en la figura 7.2
En este caso la amplitud resultante se puede calcular aplicando el teorema del coseno
como:
ψ0 =
q
2
2
ψ01
+ ψ02
+ 2ψ01 ψ02 cos δ
(7.4)
Figura 7.2: Gráficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sincronicas
donde δ = k (r1 − r2 ) + (φ1 − φ2 )
tanφ =
ψ01 sen (−kr1 + φ1 ) + ψ02 sen (−kr2 + φ2 )
ψ01 cos (−kr1 + φ1 ) + ψ02 cos (−kr2 + φ2 )
(7.5)
Observando la ecuación (7.3), se puede notar que cuando δ = 2nπ el cos 2nπ = 1,
lo que convierte la amplitud del movimiento resultante en:
132
Oscilaciones y Ondas
ψ0 = ψ01 + ψ02
(7.6)
es decir que en este caso las amplitudes se suman, por lo tanto la interferencia es
constructiva, por otra parte cuando δ = (2n + 1)π, el cos(2n + 1)π = −1 y la amplitud
del movimiento resultante se convierte en
ψ0 = φ01 − ψ02
(7.7)
es decir que en este caso las amplitudes se restan, generando una interferencia destructiva, para cada uno de los casos anteriores n = 0, ±1, , ±2, ±3, · · ·, recordando que
2π
, δ se convierte en:
k=
λ
2π
(r1 − r2 ) + (φ1 − φ2 ) =
λ
(
2πn
Interferencia Constructiva
, (7.8)
(2n + 1) π Interferencia Destructiva
que puede ser escrito en la forma
(
r1 − r2 =
λ
nλ − 2π
(φ2 − φ1 )
Interferencia Constructiva
(7.9)
λ
(φ2 − φ1 ) Interferencia Destructiva
(2n + 1) λ2 − 2π
Cuando las fuentes se encuentran en fase, es decir φ1 = φ2 , esta condición para la
interferencia constructiva y destructiva se convierte en:
(
r1 − r2 =
7.3.
nλ
Interferencia Constructiva
, (7.10)
λ
(2n + 1) 2 Interferencia Destructiva
Experimento de la doble rendija de Young
Una forma de producir dos fuentes, las cuales producen interferencia entre ellas es
el experimento de la doble rendija de Young. este experimento realizado por Thomas
Young y consiste en dos pequeños agujeros separados una distancia d, y una pantalla
colocada a una distancia L de los agujeros.
Los agujeros son iluminados por por una fuente puntual S, donde los agujeros S1 y
S2 se comportan como fuentes puntuales secundarias, las cuales interfieren en el espacio
para producir interferencia constructiva en algunos puntos y destructiva en otros. Para
estudiar lo que sucede con la interferencia de estas fuentes en un punto P , del espacio
debemos calcular r1 − r2 y utilizar los criterios descritos por la ecuación (7.9).
Consideremos un punto P , que se encuentra sobre la pantalla de observación y
además la lı́nea que une el centro de los dos agujeros forma con el punto P forma un
ángulo θ con la horizontal. Luego entonces de la simetrı́a descrita en la figura tenemos
r1 − r2 = d senθ
ó
δ=
133
2π
d senθ + (φ1 − φ2 )
λ
(7.11)
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.3: Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young
En este caso las fuentes se encuentran en fase (φ1 = φ2 ), obtenemos las condiciones
para la interferencia constructiva (puntos brillantes) y para la interferencia destructiva
(puntos oscuros)
(
d senθ =
nλ
Puntos Brillantes
(7.12)
(2n + 1) λ2 Puntos Oscuros,
de la ecuación (7.12), se pueden obtener los ángulos para los cuales se obtinen puntos
brillantes y puntos oscuros en la pantalla como:
θ=






sen





sen−1
!
nλ
Puntos Brillantes
d
!
(7.13)
(2n + 1) λ
Puntos Oscuros,
2d
−1
para calcular la distancia desde el centro para la cual se forman los puntos brillantes
y oscuros tenemos que y = Ltanθ, que se convierte en:






y=




!!
−1
Ltan sen
Ltan sen−1
nλ
Puntos Brillantes
d
!!
(7.14)
(2n + 1) λ
Puntos Oscuros,
2d
para ángulos pequeños senθ ∼
= tanθ, lo que conyeva a
134
Oscilaciones y Ondas
nλ
Puntos Brillantes
d
y=
(7.15)
(2n + 1) λ


 L
Puntos Oscuros.
2d
La amplitud de los puntos en la pantalla se puede calcular utilizando la ecuación
(7.4), tomando ψ01 = ψ02 tenemos:




L
q
1
2
2
2ψ01
+ 2ψ01
cos δ = ψ01 2 (1 + cos δ) = 2ψ01 cos δ,
2
2πd senθ
donde δ = λ , con lo cual la amplitud es:
ψ0 =
q
(7.16)
!
πd senθ
ψ0 = 2ψ01 cos
,
λ
(7.17)
La intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de la amplitud, es decir
!
I α
2
4ψ01
πd senθ
,
λ
2
cos
(7.18)
ó
!
2
I = I0 cos
7.4.
πd senθ
,
λ
(7.19)
Biprisma de Fresnel
Otra forma de producir dos fuentes coherentes en este caso virtuales es utilizando
el biprisma de Fresnel ilustrado en la figura 7.4, el cual esta compuesto por dos prismas
P1 y P2 . la luz proveniente de la fuente S, se refracta en cada prisma lo que genera dos
haces coherentes, S1 y S2 , separados una distancia a. la distancia de estas fuentes hasta
la pantalla de observación es D, de donde las distancias r1 y r2 son:
r12 = D2 + y −
a
2
2
,
(7.20)
y
a 2
=D + y+
.
2
Combinando las ecuaciones (7.20 y 7.21) tenemos que:
r22
2
r12 − r22 = (r1 + r2 ) (r1 − r2 ) = 2ya
(7.21)
(7.22)
En general la distancia y es mucho más pequeña que r1 , r2 y D, por lo tanto
r1 + r2 ∼
= 2r1 ∼
= 2D, luego entonces:
135
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.4: Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel
2ya
(7.23)
D
Remplazando este resultado en la ecuación (7.10), obtenemos la condición par la
interferencia tanto constructiva como destructiva en un biprisma de fresnel
r1 − r2 =
nDλ
Interferencia Constructiva
2ya
2a
, (7.24)
=
(2n + 1) Dλ

D


Interferencia Destructiva
4a




7.5.
Interferencia por reflexión en laminas delgadas
Otro ejemplo del fenómeno de interferencia es el observado en láminas delgadas,
un ejemplo de este es cuando observamos colores sobre una mancha de aceite sobre un
charco de agua, para estudiar este tipo de interferencia consideremos la lámina delgada
ilustrada en la figura 7.5.
El rayo AB se refleja y se transmite en B el rayo transmitido es el rayo BC, el
cual a su vez se refleja en el punto C produciendo el rayo CD, este rayo disminuye
su amplitud y se encuentra en el punto D, con el rayo F D e interfieren debido a la
diferencia entre los tiempos de los rayos, estos rayos se encuentran inicialmente en B
y F 0 respectivamente, el segundo rayo recorre la distancia F 0 D, que de acuerdo con el
esquema es
F 0 D = BDsenθi ,
y
tanθt =
BD/2
d
(7.25)
llegando a
F 0 D = 2dsenθi tanθt
136
(7.26)
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.5: Esquema de interferencia producida por una lámina delgada
Utilizando la ley de Snell senθi = nsenθt , la distancia recorrida por el rayo F 0 D se
convierte en:
F 0 D = 2dnsenθt tanθt
(7.27)
El tiempo que tarda en ir el rayo F 0 D, desde el punto F 0 , hasta el punto D, se obtiene
dividiendo la distancia entre la velocidad, que en este caso es igual a la velocidad de la
luz en el vació c:
2dnsen2 θt
F 0D
=
(7.28)
c
cos θt
La distancia recorrida por el otro rayo es el doble de la distancia BC, ya que el
ángulo con el cual se refleja un rayo es igual al incidente generando con esto que la
distancia BC sea igual a la distancia CD
t1 =
s
d
BD 2 q 2
+
BC =
= d + d2 tan2 θ =
,
2
cos θ
con este resultado el tiempo para ir desde el punto B al punto D es:
d2
(7.29)
d
t2 = 2 cos θ
(7.30)
v
donde v es la velocidad en el medio, que puede ser expresada en términos del ı́ndice
de refracción como: v = c/n, que danto con esto el tiempo del rayo
2dn
c cos θ
La diferencia de tiempos entre los rayos al llegar al punto D es:
t2 =
t2 − t1 =
2dn
2dnsen2 θt
2dn
−
=
cos θ
c cos θ
cos θt
c
137
(7.31)
(7.32)
Oscilaciones y Ondas
Para obtener las condiciones de interferencia debemos tener la diferencia de fase
δ = ω∆t entre los dos rayos
2dn
4πdn cos θt
cos θ =
(7.33)
c
λ
Se le debe añadir un desface de π causado por la reflexión en la superficie, para el
caso de n > 1 existe un cambio de fase en π para el rayo F D al reflejarse en el punto
D, mientras que para n < 1 existe un desface de π para el rayo BC cuando se refleja
en C; por lo tanto
δ=ω
4πdn cos θt
+π
(7.34)
λ
Los puntos de interferencia constructiva ó máximos ocurren cuando δ = 2N π y
los puntos de interferencia destructiva ó mı́nimos ocurren cuando δ = (2N + 1) π,
obteniendose
δ=
(
2dn cos θt =
7.6.
1
2
(2N − 1) λ Reflexión máxima, Transmisión mı́nima
(7.35)
Nλ
Reflexión máxima, Transmisión mı́nima
Anillos de Newton
El fenómeno de interferencia en láminas delgadas es de frecuente observación en
la vida cotidiana; los brillantes colores de una burbuja son otro ejemplo, pero realizar
mediciones en la mayor parte de los casos presenta dificultades que se pueden solucionar
con un experimento de anillos de Newton en el cual el espesor de la lámina puede
determinarse matemáticamente, este experimento consiste en colocar una lente plano
convexa sobre una lámina plana, en este caso la lámina a estudiar es de aire o de
cualquier otro medio que se coloque entre la superficie esférica y la superficie plana de
la lámina.
Figura 7.6: Esquema de interferencia para producir anillos de Newton
138
Oscilaciones y Ondas
En este caso el espesor de la lámina aumenta al aumentar el radio r, para calcular
el espesor notemos que:
√
R2 − r 2 = R − e
ó
e2 − 2Re + r2 = 0
(7.36)
Para valores pequeños de e, que es la mayor parte de los casos tenemos que e2 <<,
obteniendose
r2
(7.37)
2R
Los valores que poseen el mismo valor de r también poseen el mismo valor de e,
estos valores generan cı́rculos. Por lo tanto las franjas de interferencia son cı́rculos ya
que la interferencia depende del espesor de la lámina.
Las ondas 1 y 2 reflejadas en A y en B interfieren. Las condiciones de interferencia
dependen del espesor de la lámina donde se reflejan las ondas. Estás ondas experimentan un desface de π por causas explicadas en la sección anterior y las condiciones de
interferencia dadas por la ecuación (7.85), que nos produce
e=
(
2en cos θt =
1
2
(2N − 1) λ Interferencia constructiva
(7.38)
Nλ
Interferencia destructiva
Para este caso la incidencia es prácticamente normal obteniendose
λ
(2N − 1) Interferencia constructiva
(7.39)
e =  4n
λ


N
Interferencia destructiva
2n
Con estas condiciones para la interferencia constructiva y destructiva, las condiciones
para los cı́rculos brillantes y los cı́rculos oscuros son:




r=
 s


2 λ


(2N

s R 4n


2 λ


N

R 2n
7.7.
− 1) Cı́rculos brillantes
(7.40)
Cı́rculos oscuros
Interferencia de ondas producidas por varias
fuentes sincronicas
Consideremos ahora el caso de N fuentes sincronicas separadas entre si una distancia
d, las cuales producen interferencia y para simplificar el análisis supongamos que los
puntos en los cuales se produce la interferencia se encuentran a distancias grandes de
las fuentes; las amplitudes para cada una de las ondas son:
139
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.7: Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas
ψ1 = ψ01 sen (ωt − kr1 + φ1 )
ψ2 = ψ02 sen (ωt − kr2 + φ2 )
..
.
(7.41)
ψN = ψ0N sen (ωt − krN + φN )
La diferencia de fase entre dos ondas consecutivas suponiendo que se encuentren en
fase es decir φ1 = φ2 = · · · = φN es:
2πd
senθ
(7.42)
λ
Para obtener la amplitud en un punto determinado debemos sumar las ondas,
está suma se puede interpretar como una suma de N fasores, los cuales se ilustran
en la figura 7.8.
δ=
Figura 7.8: Fasores correspondientes a cada una de las fuentes
Primero estudiemos la suma gráfica de los dos primeros fasores, obteniendose la
figura 7.9
Uniendo estos fasores con el tercer fasor tenemos la figura 7.10
En resumen para la suma de los N fasores obtenemos la figura 7.11, donde se ha
tomado β = ωt − kr1 + φ1 .
La suma de las N ondas, considerando que las amplitudes de las ondas son iguales,
se puede expresar como
140
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.9: Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de N
fuentes sincronicas
Figura 7.10: Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de
N fuentes sincronicas
ψ = ψ01 senβ + ψ01 sen (β + δ) + ψ01 sen (β + (N − 1) δ) = ψ01
N
−1
X
sen (β + iδ) (7.43)
i=0
Utilizando la identidad trigonométrica sen (β + iδ) = senβ cos iδ + cos βseniδ, esta
suma se puede escribir como:
"
ψ = ψ01 senβ
N
−1
X
cos iδ + cos β
i=0
N
−1
X
#
seniδ
(7.44)
i=0
Se puede demostrar que:
N
−1
X
N
−1
X
sen 21 N δ
1
cos (N − 1) δ
cos iδ =
1
2
sen 2 δ
sen 21 N δ
1
y
seniδ =
sen (N − 1) δ
1
2
sen 2 δ
i=0
i=0
(7.45)
Remplazando este resultado en la ecuación (7.94) obtenemos la ecuación resultante
de suma de las N ondas
sen 21 N δ
1
1
ψ = ψ01
senβ cos (N − 1) δ + cos βsen (N − 1) δ
1
2
2
sen 2 δ
Obteniendose finalmente
141
(7.46)
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.11: Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentes
sincronicas
sen 21 N δ
1
ψ = ψ01
sen β + (N − 1) δ
1
2
sen 2 δ
(7.47)
La amplitud en este caso es:
sen 12 N δ
ψ0 = ψ01
sen 21 δ
(7.48)
y la fase es:
1
(N − 1) δ
(7.49)
2
Recordando que la intensidad es proporcional es proporcional al cuadrado de la
amplitud, la intensidad se convierte en
φ = φ0 +

I = I0
! 2
N πdsenθ
!2
 sen
1

sen 2 N δ
λ
!
= I0 

1
sen 2 δ
πdsenθ

sen
λ





(7.50)
‘
7.8.
Ondas estacionarias
La ecuación de ondas describe los movimientos ondulatorios de las ondas en una
cuerda, una barra, etc. esta ecuación es:
2
∂ 2ψ
2∂ ψ
=
v
(7.51)
∂t2
∂x2
Cuando se soluciona está ecuación se obtienen dos soluciones f1 (x + vt) y
f2 (x − vt), que representan dos ondas una que se propaga en la dirección positiva de
142
Oscilaciones y Ondas
las x y otra que se propaga en la dirección negativa de las x. La solución de la ecuación
de ondas es la suma de estás soluciones
Figura 7.12: Esquema para la interferencia de dos ondas
ψ = f1 (x + vt) + f2 (x − vt)
(7.52)
Hasta el momento hemos considerado una de las dos en la solución de la ecuación
de ondas; pero en el caso en el cual la onda se refleja en un punto se encuentran las
dos una correspondiente a la onda incidente y otra correspondiente a la onda reflejada,
en cuyo caso se deben considerar las dos ondas. Cuando estas dos ondas se encuentran
se superponen produciendo una interferencia que produce ondas conocidas como ondas
estacionarias.
La solución de la ecuación de ondas posee dependencia del tiempo y del espacio;
por tal motivo se puede estudiar la solución de la ecuación de ondas como el producto
de dos funciones una que depende del espacio y otra que depende del tiempo; pero la
parte que depende del tiempo es armónica es decir tiene la forma senωt. Por lo tanto
la solución de la ecuación de ondas es:
ψ = f (x)sen(ωt)
(7.53)
donde se debe calcular la función f (x). Si calculamos las derivadas de (7.3) y las
remplazamos en (7.2) obtenemos
∂ 2ψ
d2 f (x)
=
senωt
∂t2
dx2
∂ 2ψ
= −ω 2 f (x)senωt;
∂t2
v2
d2 f (x)
senωt + ω 2 f (x)senωt = 0
dx2
d2 f (x) ω 2
+ 2 f (x) = 0
dx2
v
(7.54)
(7.55)
Recordando que k = ω/v, esta ecuación se puede escribir como:
d2 f (x)
+ k 2 f (x) = 0
dx2
143
(7.56)
Oscilaciones y Ondas
Esta ecuación es similar a la ecuación de un movimiento oscilatorio pero en lugar de
ω tenemos k y en lugar del tiempo tenemos x, la solución para el movimiento oscilatorio
es ψ = Asen (ωt + φ), luego entonces por analogı́a la solución en este caso debe ser:
f (x) = Asen (kx + φ)
(7.57)
Luego entonces la solución general para la ecuación de ondas (7.51) descrita por la
ecuación (7.53) se convierte en:
ψ = Asen (kx + φ) sen (ωt)
(7.58)
En este caso A y φ dependen de las condiciones del problema
7.8.1.
Ondas estacionarias en una cuerda
Consideremos el caso de una onda que se propaga por una cuerda de longitud L y
densidad lineal de masa µ, esta cuerda puede encontrarse fija a un extremo o a ambos
extremos. En el caso en el cual se encuentra fija a un extremo por ejemplo el extremo
x = 0 se tiene la condición φ(x = 0) = 0, ya que este punto se encuentra fijo es decir su
amplitud siempre es cero. remplazando está condición en la ecuación (7.58) obtenemos:
ψ = Asen (φ) sen (ωt) ,
(7.59)
de donde se obtiene que senφ = 0 ó φ = 0 llegando a
ψ = Asen (kx) sen (ωt)
(7.60)
donde el termino Asen (kx), representa la amplitud de las ondas como una función
de la posición x, está función posee puntos en los cuales la amplitud es máxima y puntos
en los cuales la amplitud es cero. los puntos en los cuales la amplitud es máxima se
llaman antinodos y los puntos en los cuales la amplitud es cero se llaman nodos.
Los nodos se pueden calcular tomando
Asen (kx) = 0
(7.61)
La única forma para la cual se cumple la condición (7.61) es
nλ
2πx
= nπ
ó
x=
n = 0, 1, 2, · · ·
λ
2
y los antinodos corresponden a los puntos de máxima amplitud es decir
kx = nπ
dAsen (kx)
= 0 = kA cos kx
dx
La única forma para la cual se cumple la condición (7.63) es
kx = (2n + 1)
π
2
2πx
π
= (2n + 1)
λ
2
ó x =
144
λ
(2n + 1)
4
n = 0, 1, 2, · · ·
(7.62)
(7.63)
(7.64)
Oscilaciones y Ondas
Para una cuerda fija por ambos extremos se tiene que el extremo que corresponde a
x = L, debe tener amplitud cero siempre, debido a que se encuentra fijo, esto quiere
decir que este punto es un nodo, por lo tanto debe cumplirse que φ(x = L) = 0, lo que
implica según la ecuación (7.62), que:
2L
nλ
ó
λ=
n = 0, 1, 2, · · ·
(7.65)
2
n
La ecuación (7.65), representa que para una cuerda de longitud L se producen ciertas
longitudes de onda, estas longitudes de onda son
L=
2 L
λ = 2L, L, L, , · · ·
(7.66)
3 2
Pero recordandoqque la velocidad con la cual se propagan las ondas en una cuerda
esta dada por v = t/µ y además que en general v = λf se tiene que
n√
Tµ
n = 1, 2, 3, · · ·
(7.67)
2L
Lo que muestra que en una cuerda fija √
por ambos extremos solo se tienen ciertas
1
frecuencias las cuales son multiplos de f1 2L T µ, la cual es llamada frecuencia fundamental y los múltiplos de esta frecuencia se llaman armónicos. Por ejemplo para una
cuerda de acero cuya densidad es ρ = 7,86×103 kg/m3 , el radio es r = 0,5mm, la tensión
de la cuerda es T = 762N y la longitud de la cuerda es L = 40cm.
f=
Figura 7.13: Modos de vibración para las ondas estacionarias en una cuerda de longitud
L y fija a ambos extremos
Si calculamos la frecuencia fundamental en este caso es decir para n = 1, produce f1 = 440Hz, pero además de está frecuencia fundamental produce los múltiplos
(armónicos) de la misma es decir 880Hz, 1320Hz, etc. La frecuencia 440Hz corresponde
a la nota Do de la escala musical. si se varia la tensión, la longitud o la densidad de masa
lineal varia la frecuencia fundamental emitida por la cuerda de esta forma funcionan
los instrumentos de cuerda como la guitarra.
145
Oscilaciones y Ondas
7.8.2.
Ondas estacionarias en una columna de aire
Otro ejemplo de ondas estacionarias en una dimensión corresponde a las ondas en
una columna de aire, las cuales se obtienen cuando se tiene un tubo de longitud L, el
cual puede estar abierto por ambos lados o por un solo lado. En el caso del tubo abierto
por ambos lados, las condiciones son que ambos extremos tienen amplitud máxima, esto
∂ψ
∂ψ
(x = 0) = 0 y
(x = L) = 0, por lo tanto de acuerdo con la primera condición
es
∂x
∂x
y la ecuación (7.58), tenemos:
kA cos (kx + φ) senωt = 0,
(7.68)
π
,
2
(7.69)
esto solo se cumple si
cos φ = 0
ó
φ=
por lo tanto
π
ψ = Asen kx +
senωt = A cos kx senωt
2
Utilizando la segunda condición se tiene que
− kA cos kL senωt = 0,
(7.70)
(7.71)
esto solo se cumple si
2L
(7.72)
n
√
Recordando que la velocidad del sonido en una columna de aire es v = 20,055 T ,
tenemos que las frecuencias producidas en una columna de aire son:
senkL = 0
ó
kL = nπ
λ=
√
n
(7.73)
20,055 T
2L
Para el caso en el cual el tubo se encuentra cerrado por el extremo opuesto al lado
de la boquilla es decir en x = L, el extremo cerrado corresponde a un nodo es decir
ψ(x = L) = 0 y el punto x = 0, corresponde a un antinodo, con la condición para
x = 0, se obtiene nuevamente la ecuación (7.70) y remplazando la condición para x = L
tenemos
f=
A cos kLsenωt = 0
(7.74)
Está condición solo se cumple si
π
kL = (2n + 1) ,
2
de donde la frecuencia se puede escribir como:
cos kL = 0
ó
f = (2n + 1)
146
v
,
4L
(7.75)
(7.76)
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.14: Modos de vibración para las ondas estacionarias en una columna de aire
de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto
donde v es la velocidad del sonido, los instrumentos de viento como la flauta, la
trompeta, etc. utilizan este principio, para producir las notas musicales, y al igual que
en el caso de la cuerda existe una frecuencia fundamental y otras que son múltiplos
(armónicos) de estas.
7.8.3.
Ondas estacionarias electromagnéticas
Consideremos una onda electromagnética que se propaga en la dirección z, para este
efecto consideraremos el campo eléctrico paralelo a la dirección x, por lo cual el campo
magnético debe estar en la dirección y.
Figura 7.15: Ondas estacionarias electromagnéticas
Supongamos que el plano xy,en z = 0 se encuentra una placa conductora, la onda
electromagnética choca contra la placa conductora, en la cual se refleja y se transmite, las ondas incidente y reflejada interfieren, en cuyo caso la solución para el campo
eléctrico tiene la forma descrita por la ecuación (7.58)
147
Oscilaciones y Ondas
~ =E
~ 0 sen (kz + φ) sen (ωt)
E
(7.77)
El campo eléctrico dentro de un conductor debe ser normal a la superficie del conductor, es decir no debe existir componente tangencial del campo eléctrico en el conductor,
por tal motivo en z = 0, el campo eléctrico incidente y el reflejado deben ser iguales
pero de direcciones opuestas, en conclusión el campo eléctrico en z = 0, debe ser cero.
Remplazando está condición en la ecuación (7.77) tenemos que:
~ 0 sen (φ) sen (ωt)
0=E
(7.78)
de donde se tiene φ = 0, lo que convierte el campo eléctrico en:
~ =E
~ 0 sen (kz) sen (ωt)
E
(7.79)
Este campo eléctrico posee puntos en los cuales es cero y puntos en los cuales es
máximo lo cual corresponde a nodos y antinodos del campo eléctrico. Para kz = nπ
se tienen los nodos del campo eléctrico y para kz = (2n + 1) π2 ó z = (2n+1)λ
se
ó z = nλ
2
4
tienen los antinodos del campo eléctrico. para estudiar el comportamiento del campo
magnético se puede calcular a partir de la ley de Faraday.
Figura 7.16: Ondas estacionarias electromagnéticas
~ =
∇×E
âx
∂
∂x
E0 sen (kz) sen (ωt)
ây âz ∂
∂y
∂
∂z
0
0
= E0 k cos (kz) sen (ωt) ây = −
~
∂B
∂t
(7.80)
de donde
~ = E0 k cos (kz) cos (ωt) ây = B
~ 0 cos (kz) cos (ωt)
B
ω
(7.81)
~ 0 = E0 k ây = E0 ây . Luego entonces para el campo magnético z = (2n+1)λ
donde B
ω
c
4
y los antinodos corresponden a z = nλ
, lo que implica que las variaciones del campo
2
eléctrico y el campo magnético se encuentran desfasadas en
148
Oscilaciones y Ondas
(2n + 1)λ nλ
∆λ = 2
−
4
2
!
λ
2
=
(7.82)
Para el caso del tiempo , el campo eléctrico es cero cuando ωt = nπ ó t = nP
,
2
donde P es el periodo temporal; y el campo magnético es cero cuando ωt = (2n + 1) π2
ó t = (2n+1)P
, obteniendose un desfase de P2 entre las variaciones del campo eléctrico y
4
el campo magnético
7.9.
Ondas estacionarias en dos dimensiones
Cuando se tienen ondas en dos dimensiones como las que se producen en una membrana vibrante ejemplo la de un tambor, las ondas se producen en todas las direcciones,
las cuales al llegar al borde se reflejan, las ondas reflejadas interfieren con las incidentes
produciendo ondas estacionarias en dos dimensiones. La ecuación de onda en dos dimensiones está dada por:
1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ ∂ 2ψ
+ 2 = 2 2
∂x2
∂y
v ∂t
donde la solución para las ondas estacionarias deben tener la forma:
ψ = f (x, y)senωt
(7.83)
(7.84)
Ecuación que derivada y remplazada en la ecuación (7.83) se obtiene
∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y)
+
+ k 2 f (x, y) = 0
(7.85)
2
2
∂x
∂y
Comparando la ecuación (7.83), con la ecuación (7.56) y su respectiva solución
(7.57), la solución de (7.83) es:
f (x, y) = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy )
(7.86)
donde la solución para la ecuación de ondas, para producir ondas estacionarias es:
ψ = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy ) sen (ωt)
(7.87)
Si remplazamos la ecuación (7.86), en la (7.85) se tiene
− kx2 − ky2 + k 2 = 0
ó
k=
q
kx2 + ky2
(7.88)
Si consideramos una membrana rectangular como la que se muestra en la figura en
la cual los bordes se encuentran fijos, las condiciones son:
ψ(x, 0) = 0
ψ(0, y) = 0
ψ(x, b) = 0
ψ(a, y) = 0
remplazando las dos primeras condiciones en (7.86), obtenemos las fases iniciales de
las ecuaciones como φx = φy = 0, con lo cual (7.86), se convierte en
149
Oscilaciones y Ondas
ψ = Asen (kx x) sen (ky y) sen (ωt)
(7.89)
, donde m, es un entero m = 1, 2, 3, · · ·,
de la tercera condición ky b = mπ, ó ky = mπ
b
de igual forma de la cuarta condición kx a = nπ, ó kx = nπ
, donde n, es un entero
a
n = 1, 2, 3, · · ·, donde se puede notar que todos los valores de kx y ky , no son aceptados,
solo se admiten los multiplos de π/a y π/b respectivamente, con estos valores de kx y
ky , obtenemos los valores de k
s
k=
nπ
a
2
mπ
+
b
2
(7.90)
Recordando que ω = vk = 2πf y ademas para una membrana v =
es la tensión de la membrana y σ es la densidad superficial de masa
s
s
q
T /σ, donde T
n 2
m 2
1 T
+
(7.91)
f=
2 σ
a
b
Lo cual quiere decir que en una membrana tensa rectangular solo se admiten ciertos
valores de frecuencia los cuales son múltiplos de un frecuencia fundamental f0 , para la
cual n = m = 1, en este caso
1
f0 =
2
s
T
σ
s
2
1
a
2
+
1
b
(7.92)
Figura 7.17: Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y
n2 = 1
en el caso en el cual la membrana es cuadrada es decir a = b, está frecuencia
fundamental es:
1
f0 =
a
s
150
T
2σ
(7.93)
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.18: Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y
n2 = 2
7.10.
Ondas estacionarias en tres dimensiones
Cuando se tienen ondas en dos dimensiones como las que se producen en una cavidad
resonante, por ejemplo cuando usted canta en el baño, las ondas se producen en todas
las direcciones, las cuales al llegar al borde se reflejan, las ondas reflejadas interfieren
con las incidentes produciendo ondas estacionarias en tres dimensiones. La ecuación de
onda en tres dimensiones está dada por:
1 ∂ 2ψ
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
+
=
∂x2
∂y 2
∂z 2
v 2 ∂t2
donde la solución para las ondas estacionarias deben tener la forma:
ψ = f (x, y, z)senωt
(7.94)
(7.95)
Ecuación que derivada y remplazada en la ecuación (7.94) se obtiene
∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y)
+
+
+ k 2 f (x, y) = 0
∂x2
∂y 2
∂z 2
(7.96)
Comparando la ecuación (7.94), con la ecuación (7.56) y su respectiva solución
(7.57), la solución de (7.94) es:
f (x, y, z) = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy ) sen (kz z + φz )
(7.97)
donde la solución para la ecuación de ondas, para producir ondas estacionarias es:
ψ = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy ) sen (kz z + φz ) sen (ωt)
(7.98)
Si remplazamos la ecuación (7.97), en la (7.96) se tiene
− kx2 − ky2 − kz2 + k 2 = 0
ó
k=
q
kx2 + ky2 + kz2
(7.99)
Si consideramos una cavidad rectangular como la que se muestra en la figura en la
cual los bordes se poseen amplitudes iguales a cero, las condiciones son:
151
Oscilaciones y Ondas
ψ(x, y, 0) = 0 ψ(x, 0, z) = 0 ψ(0, 0, z) = 0 ψ(a, y, z) = 0 ψ(x, b, z) = 0 ψ(x, y, c) = 0
remplazando las tres primeras condiciones en (7.97), obtenemos las fases iniciales
de las ecuaciones como φx = φy = φz = 0, con lo cual (7.97), se convierte en
ψ = Asen (kx x) sen (ky y) sen (kz z) sen (ωt)
(7.100)
de la cuarta condición kx a = nπ, ó kx = nπ
, donde n, es un entero n = 1, 2, 3, · · ·,
a
, donde m, es un entero
de igual forma de la quinta condición ky b = mπ, ó ky = mπ
b
m = 1, 2, 3, · · ·, finalmente de la sexta condición kz c = lπ, ó kz = lπc , donde l, es un
entero l = 1, 2, 3, · · ·, donde se puede notar que todos los valores de kx , ky y kz , no son
aceptados, solo se admiten los múltiplos de π/a, π/b y π/c respectivamente, con estos
valores de kx , ky y kz , obtenemos los valores de k
k=
v
u
u nπ 2
t
a
mπ
+
b
2
lπ
+
c
!2
(7.101)
Recordando que ω = vk = 2πf
f=
v
u 2
vu
t n
2
a
m
+
b
2
l
+
c
!2
(7.102)
Lo cual quiere decir que en un cavidad rectangular solo se admiten ciertos valores
de frecuencia los cuales son múltiplos de un frecuencia fundamental f0 , para la cual
n = m = 1, en este caso
s
v
1 2
1 2
1 2
f0 =
+
+
(7.103)
2
a
b
c
en el caso en el cual la cavidad es cubica, es decir a = b = c, está frecuencia
fundamental es:
f0 =
7.11.
v√
3
2a
(7.104)
Guı́as de Onda
Las guı́as de onda son elementos que se utilizan para la transmisión de ondas, por
lo general electromagnéticas desde un punto (el generador) hasta otro punto (la carga);
las guı́as de onda más usuales son la rectangulares y las cilı́ndricas.
Las guı́as de onda están formadas por un medio dieléctrico sin perdidas (σ = 0) y
las paredes son perfectamente conductoras σp = ∞. La onda resultante en este caso
resulta de la superposición de las ondas que se reflejan en las paredes de la guı́a, la
152
Oscilaciones y Ondas
Figura 7.19: Esquema de una guı́a de ondas rectangular, en la cual las ondas se propagan
en la dirección z
ecuación que describe la onda que se propaga a lo largo de la guı́a en la dirección z
está dada por:
ψ = 4ψ0 sen(kx x + φx )sen(ky y + φy )sen(ωt − kz z)
(7.105)
En las paredes de la guı́a de ondas las amplitudes deben ser cero, es decir se tienen
las condiciones de fronteras
ψ (x = 0) = 0,
ψ (y = 0) = 0,
ψ (x = a) = 0,
ψ (y = b) = 0,
(7.106)
Si remplazamos las dos primeras condiciones obtenemos φx = φy = 0, remplazando
las dos ultimas condiciones se tiene kx a = nπ y ky b = mπ, con lo cual la ecuación para
las ondas que se propagan en la dirección z, se convierte en:
ψ = 4ψ0 sen
mπ
nπ
x sen
y sen(ωt − kz z)
a
b
(7.107)
q
Para calcular kz , se puede observar que k = kx2 + ky2 + kz2 , de donde
kx a = nπ y ky b = mπ, con lo cual la ecuación para las ondas que se propagan en la
dirección z, se convierte en:
s
kz =
k2
nπ
−
a
2
mπ
−
b
2
(7.108)
Recordando que k = ω/v y además de la ecuación (7.108), tenemos que
s
ω 2 n2 π 2 m2 π 2
n2 π 2 m2 π 2
≥ 2 + 2
ó
ω≥v
+ 2 ,
(7.109)
v
a
b
a2
b
lo que significa que solo las ondas que poseen una frecuencia superior a este valor se
propagan en la guı́a por este motivo se pueden utilizar las guı́as de onda como filtros, en
este caso a las frecuencia lı́mite se le llama frecuencia de corte. La velocidad de grupo
de las ondas que se propagan a lo largo de la guı́a de ondas está dada por
153
Oscilaciones y Ondas
vg =
dω
dkz
(7.110)
pero
2ω
dkz
k
2
= v =
dω
2kz
kz v
(7.111)
de donde
vg =
kz
v,
k
donde vp =
ω
k
= v
kz
kz
(7.112)
llegando a
vg vp = v 2
7.11.1.
(7.113)
Ondas electromagnéticas en guı́as de ondas
Cuando se propagan ondas electromagnéticas en una guı́a de ondas, estás viajan a
la velocidad de la luz v = c, por lo cual vg vp = c2 , en este caso la onda que viaja esta
compuesta por un campo magnético y un campo eléctrico; existen dos configuraciones
para las ondas que se propagan estás configuraciones dependen de si el campo eléctrico
es perpendicular a la dirección de propagación (TE)o si el campo magnético es perpendicular a la dirección de propagación (TM), para el caso (TE), el campo eléctrico no
posee componente en la dirección de propagación que en este caso es z, por lo tanto las
componentes del campo eléctrico se pueden escribir de la forma
mπ
nπ
x sen
y sen (ωt − kz z)
Ex = E0 cos
a
b
(7.114)
mπ
nπ
x cos
y sen (ωt − kz z)
Ey = E0 sen
a
b
(7.115)
Ez = 0
(7.116)
Utilizando la ley de Faraday podemos calcular el campo magnético como:
kz
nπ
mπ
Bx = −E0 sen
x cos
y sen (ωt − kz z)
ω
a
b
(7.117)
kz
nπ
mπ
cos
x sen
y sen (ωt − kz z)
ω
a
b
(7.118)
By = −E0
E0 nπ mπ
nπ
mπ
Bz =
−
cos
x cos
y cos (ωt − kz z)
(7.119)
ω
a
b
a
b
Para el caso de (TM), es decir cuando el campo magnético es perpendicular a la
dirección de propagación, en cuyo caso el campo magnético en la dirección z es cero.
154
Oscilaciones y Ondas
nπ
mπ
Bx = B0 sen
x cos
y sen (ωt − kz z)
a
b
(7.120)
mπ
nπ
x sen
y sen (ωt − kz z)
By = B0 cos
a
b
(7.121)
Bz = 0
(7.122)
en este caso el campo magnético se puede obtener utilizando la ley de ampere
Maxwell, utilizando σ = 0, obteniendose
kz
nπ
mπ
Ex = B0
cos
x sen
y sen (ωt − kz z)
µω
a
b
By = −B0
B0
Bz =
µω
nπ
mπ
kz
sen
x cos
y sen (ωt − kz z)
µω
a
b
mπ
nπ mπ
nπ
−
x sen
y cos (ωt − kz z)
sen
a
b
a
b
(7.123)
(7.124)
(7.125)
Cuando se poseen altas frecuencias superiores a los 100 MHz, los circuitos RLC
funcionan en condiciones indeseables, en cuyo caso se utilizan las guı́as de onda en
forma de resonadores para almacenar energı́a.
155
Capı́tulo 8
Difracción y Polarización
Cuando se coloca un cabello delgado en un rayo de luz, se produce una sombra, pero
el centro de la sombra no se encuentra totalmente oscuro y además aparecen bandas
oscuras en la zona iluminada a ambos lados de la sombra. Este patrón de difracción
es el resultado de la interferencia de las ondas interrumpidas por el cabello.
En general la difracción describe el comportamiento de los frentes de onda cuando
se encuentran con un obstáculo y se propagan rebasandolos, el obstáculo puede ser
un objeto delgado, una abertura, o un conjunto de objetos pequeños. La difracción de
acuerdo con el principio de Huygens es una forma especial de interferencia.
Otro ejemplo de difracción se produce cuando la luz atraviesa una abertura cuadrada, el observador del patrón de difracción puede encontrarse cerca o lejos de la abertura,
cuando se encuentra cerca la figura observada es bastante complicada y se llama difracción de Fresnel , cuando el observador se encuentra lejos, las ondas poseen igual amplitud y se forma un conjunto ordenado de franjas brillantes y oscuras que corresponden
a la difracción de Fraunhofer
8.1.
Difracción de Fraunhofer por una abertura
rectangular
En primera instancia analizaremos la difracción de Fraunhofer la cual corresponde
a un observador que se encuentra a una distancia muy grande en comparación con el
ancho de la abertura rectangular. Consideremos una abertura de ancho a, la cual se
puede dividir en una gran cantidad de rendijas elementales de ancho dw. En este caso
tenemos la interferencia de varias fuentes.
Si dividimos la abertura en dos rendijas de ancho a/2, se produce interferencia
destructiva entre las ondas provenientes de la parte inferior con las ondas provenientes
de la parte superior cuando
λ
a
senθ = ±
2
2
ó
156
senθ = ±
λ
a
(8.1)
Oscilaciones y Ondas
Figura 8.1: Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular
Si ahora dividimos la abertura en cuatro partes se tienen las condiciones para interferencia destructiva como:
λ
2λ
a
senθ = ±
ó
senθ = ±
(8.2)
4
2
a
De igual forma podemos dividir la abertura en seis ocho, etc. partes obteniendo en
general para la interferncia destructiva
λ
a
senθ = ±
2m
2
ó
senθ = ±
mλ
a
(8.3)
Figura 8.2: Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular
Recordando que una onda está dada por
E = E(x)sen (ωt + φ)
(8.4)
donde en este caso φ se debe a que cada una de las ondas que surge de una rendija
llega a la pantalla con fase distinta, es decir que φ, es la diferencia de fase entre una
onda que sale de y = 0 y otra onda que sale de y = y, la diferencia de distancias entre
157
Oscilaciones y Ondas
las dos ondas es ysenθ, para obtener la diferencia de fase correspondiente a la diferencia
de distancia tenemos que:
2π
ysenθ
λ
Con esto el campo producido por cada una de las rendijas está dado por:
φ → 2π
ysenθ → λ
φ=
(8.5)
dy
sen (ωt + φ)
(8.6)
a
Para obtener el campo producido por todas las rendijas se deben sumar cada una
λ
de las contribuciones, teniendo en cuenta que dy = 2πsenθ
dφ; esto es:
dE = E0
πasenθ
Z
λ
λ
sen (ωt + φ) dφ
πasenθ
2πasenθ − λ
El resultado de está suma es:
E = E0
E = E0
πasenθ
λ
πasenθ
λ
sen
(8.7)
sen (ωt)
(8.8)
La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico
I = I0
πasenθ
λ
2
πasenθ
λ
sen2
(8.9)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Figura 8.3: Gráfica de la intensidad producida por una abertura rectangular
De está ecuación se pueden obtener los puntosde máxima
y mı́nima intensidad, se
πasenθ
obtienen puntos de máxima intensidad cuando sen
= ±1 y los punto de mı́nima
λ
intensidad cuando sen
πasenθ
λ
= 0, en resumen
nλ
(2n + 1)
Máximos
2a
senθ =
(8.10)
nλ



Mı́nimos,
a




158
Oscilaciones y Ondas
8.2.
Doble rendija de Young
Cuando estudiamos la interferencia producida por dos rendijas obtuvimos la amplitud en la pantalla como:
Figura 8.4: Esquema para la difracción en dos aberturas rectangulares
!
πd senθ
ψ0 = 2ψ01 cos
,
λ
(8.11)
donde ψ01 es la amplitud de una de las dos rendijas consideradas, pero en este caso
esa amplitud está dada por la ecuación (8.8), obteniendose la amplitud para la doble
rendija de Young como
πasenθ
sen
λ
ψ0 = 2E0
πasenθ
!
λ
!
πd senθ
cos
,
λ
(8.12)
En este caso se ha considerado la difracción por cada una de las aberturas, donde
a es el ancho de la abertura y d es la distancia entre las dos aberturas consideradas.
Recordando que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, está intensidad es:
sen
2
I = I0 πasenθ
λ
πasenθ
!
2
!
2
cos
πd senθ
,
λ
(8.13)
λ
En la figura 8.5, se muestra el patrón de intensidad, en lı́nea punteada se muestra
el patrón de difracción y en lı́nea continua se muestra con el patrón de interferencia
159
Oscilaciones y Ondas
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura 8.5: Gráfica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la difracción
8.3.
Redes de difracción
Cuando tenemos N aberturas de ancho a y separación entre las aberturas d, en
este caso la amplitud de N aberturas sin considerar la difracción en cada una de las
aberturas es:
ψ0 =
N πd
senθ
λ
ψ01
sen πd
senθ
λ
sen
(8.14)
Figura 8.6: Esquema para el estudio de la difracción en una red de difracción
donde la amplitud está determinada por la ecuación (8.8); cuando se considera la
difracción se obtiene una red de difracción en la cual la amplitud está determinanda
por
160
Oscilaciones y Ondas
ψ0 = E 0
πasenθ
λ
πasenθ
λ
sen
N πd
senθ
λ
senθ
sen πd
λ
sen
(8.15)
donde nuevamente la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud
I = I0
πasenθ
λ
2
πasenθ
λ
sen2
N πd
senθ
λ
senθ
sen2 πd
λ
sen2
(8.16)
Los puntos máximos se obtienen cuando
πasenθ
= nπ
(8.17)
λ
donde dependiendo del valor de n se obtiene un máximo que se denomina orden de
difracción ası́ para n = 1, se tiene el primer orden de difracción, para n se tiene el nesı́mo orden de difracción. Cuando se ilumina una red de difracción con luz blanca cada
uno de los colores que componen está luz poseen un ángulo de difracción excepto para
el orden cero en el cual se obtiene nuevamente la luz blanca, en los demás ordenes se
obtiene el espectro de visible, esto se puede notar en la ecuación (8.17); además cuando
aumenta la longitud de onda aumenta la desviación, que es lo contrario a lo ocurrido a
la dispersión en un prisma. la dispersión en la red se puede calcular como:
dθ
n
=
(8.18)
dλ
a cos θ
de donde se puede notar que cuanto mayor es el orden de difracción, mayor es la
dispersión
D=
8.4.
Difracción en una abertura circular
La difracción en una abertura circular es un poco más compleja que la abertura
rectangular por cuanto en este caso la geometrı́a se encuentra en coordenadas polares,
generando soluciones un poco más complejas, en este caso se obtienen franjas en forma
de cı́rculos unas brillantes y otras oscuras, donde el punto central es un máximo, la
posición del primer mı́nimo en este caso se puede obtener de:
senθ = 0,61λ/R
(8.19)
donde R es el radio de la abertura circular.
La difracción establece un lı́mite a nuestra capacidad de distinguir dos fuentes distintas de ondas. cuando dos fuentes se encuentran cercanas se combinan y es difı́cil
distinguirlas. La separación mı́nima que se puede distinguir depende de la tecnica utilizada, un programa de computador o nuestros ojos. Un criterio que se utiliza es el
criterio de Rayleigh (1842-1919), que dice que se pueden diferenciar dos fuentes siempre que su separación ángular sea mayor o igual a la que tienen el máximo central y el
primer mı́nimo es decir siempre que
161
Oscilaciones y Ondas
∆θ ≥ 0,61λ/R
8.5.
8.5.1.
(8.20)
Polarización
La elipse de polarización
Consideremos la curva que se genera en z = 0, a partir de la composición de dos
campos eléctricos de la misma frecuencia y que vibran con un cierto desfase entre ellos,
que viajan en la misma dirección en este caso z y cuyas direcciones de vibración son
ortogonales, es decir:
Ex = E0x cos(ωt + φ1 )
Ey = E0y cos(ωt + φ2 )
(8.21)
al eliminar el parámetro t de ecuaciones anteriores, obtenemos la ecuación cartesiana
siguiente
Ey2
Ex Ey
Ex2
cos(δ) = sen2 (δ)
+
−2
2
2
E0x E0y
E0x E0y
(8.22)
donde δ = φ1 − φ2 . La ecuación cartesiana corresponde a una elipse con centro en
su origen de coordenadas, pero con el eje mayor formando un cierto ángulo ϑ con el eje
x. Este ángulo se puede encontrar a partir de la expresión
tan(2ϑ) =
2E0x E0y cos(δ)
2
2
E0x
− E0y
(8.23)
En este caso se dice que la onda posee polarización eliptica, lo que quiere decir
que el vector campo eléctrico cambia de dirección en función del tiempo y la figura
que genera el extremo de este vector se describe por la ecuación (8.22). Considerando
los diferentes valores que puede tomar δ, obtenemos los diferentes casos de polarización.
Algunos casos de especial interés son :
1. Luz polarizada lineal: δ = 0 o bien δ = π.
2. Ejes de la elipse coincidentes con los ejes de coordenadas: δ = π/2 o bien δ = 3π/2.
La luz será polarizada circular si además, E0x = E0y
3. El sentido de giro de la elipse será dextrógiro si 0 < δ < π, mientras que el sentido
de giro será levógiro: si π < δ < 2π.
8.5.2.
Polarizadores
Para la luz natural (monocromática), todos los valores de δ, E0x y E0y son igualmente probables. Los polarizadores son dispositivos que permiten obtener luz polarizada
linealmente a partir de luz natural. Los polarizadores se caracterizan por la presencia
162
Oscilaciones y Ondas
de un eje de polarización, que indica la dirección en que la luz sale linealmente polarizada. Si enviamos luz polarizada linealmente tal que el vector campo eléctrico vibre
en una dirección que forme un ángulo α con el eje de polarización, la intensidad que se
detectará a la salida será I = I0 cos2 (α), resultado conocido como la ley de Malus.
Existen otras formas de polarizar la luz no polarizada, dentro de los cuales se encuentran la polarización por reflexión, por refracción, por doble refracción y por absorción
selectiva o dicroı́smo
8.5.2.1.
Polarización por reflexión
Consideremos una lámina no metálica L,
sobre la que incide un rayo de luz natural A,
para cierto valor del ángulo de incidencia la luz
se encuentra totalmente polarizada, vibrando
en una dirección perpendicular al plano de incidencia. El ángulo de incidencia para el cual
la luz se encuentra totalmente polarizada es el
ángulo de Brewster .
Se debe recordar que existen diferentes
ángulos de Brewster uno para cuando el camFigura 8.7: Polarización por reflexión po eléctrico se encuentra perpendicular y otro
en una superficie (ángulo de Brewster) para cuando el campo eléctrico se encuentra
paralelo al plano de incidencia.
8.5.2.2.
Polarización por transmisión
Figura 8.8: Polarización por transmisión
do paralelamente al plano de incidencia.
163
Si el rayo reflejado está polarizado perpendicularmente al plano de incidencia, el rayo transmitido debe estar
enriquecido en vibraciones paralelas al
plano de incidencia. Por consiguiente si
un rayo de luz natural A atraviesa varias
láminas de vidrio experimentando una
serie de transmisiones el rayo emergente
B está prácticamente polarizado vibran-
Oscilaciones y Ondas
8.5.2.3.
Polarización por doble transmisión
La doble transmisión es la propiedad de algunas
substancias, llamadas birrefringentes, a un rayo AB,
corresponden dos rayos transmitidos BC y BD. La
doble transmisión se debe a que en las substancias
birefringentes hay dos velocidades de propagación
de la luz para cada dirección. Si se observa un cuerpo
a través de una substancia birrefringente se ven dos
imágenes ligeramente desplazadas y debidas a los
dos rayos de transmitidos.
Entre las substancias birrefringentes se encuentran la calcita (CO3 Ca), el cuarzo, el hielo, etc..
El eje óptico de un cristal es la dirección a la cual
corresponde una sola velocidad de propagación. Los
cristales pueden ser uniáxicos o biáxicos según tenFigura 8.9: Polarización por doble gas uno o dos ejes ópticos. En los cristales uniáxicos
uno de los rayos llamado rayo ordinario, cumple con
transmisión
las leyes de la transmisión y le otro llamado rayo extraordinario, no las cumple.
Cuando en un cristal birrefringente incide un rayo I de luz natural, el rayo ordinario
O y rayo extraordinario E están polarizados en planos perpendiculares.
8.5.2.4.
Polarización por absorción selectiva o dicroı́smo
Figura 8.10: Dicroı́smo
El dicroı́smo es la propiedad que poseen algunas substancias birrefringentes absorben
un rayo más que el otro; un ejemplo es la turmalina (borosilicato de aluminio) que
absorbe prácticamente todo el rayo ordinario en solo unos milı́metros, de modo que
solo emerge el rayo extraordinario que esta polarizado.
164
Oscilaciones y Ondas
Figura 8.11: Esquema para el estudio de la actividad óptica
8.5.2.5.
Actividad óptica
La actividad óptica o poder rotatorio es la propiedad que tienen algunas substancias
de hacer girar el plano de vibración cuando son atravesadas por la luz polarizada. Estas
substancias se llaman ópticamente activas.
Por ejemplo si un tubo T , con sus extremos transparentes se dispone entre dos
polaroides cruzados P y Q, el observados tendrá oscuridad porque P polariza la luz
en forma horizontal EE, mientras que Q solo transmite la luz en la dirección vertical
E 0 E 0 . Pero si llenamos el tubo con solución muy concentrada de azúcar en agua, O
obtendrá iluminación siendo necesario girar el polaroide Q para obtener nuevamente
oscuridad; lo cual indica que el agua azucarada ha hecho girar el plano de vibración un
ángulo θ que es igual al ángulo que se debe girar el polaroide Q para obtener oscuridad
nuevamente.
Las substancias que hacen girar el plano de vibración hacia la derecha se llaman
dextrogiras y las que lo hacen girar a la izquierda se llaman levogiras. Entre las substancias dextrogiras está la sacarosa y el alcanfor, y entre las levogiras la levulosa y la
trementina. La actividad óptica o poder de rotatorio α, se define como en ángulo en
grados θ dividido entre el espesor l en decimetros
θ o
α=
l dm
8.5.3.
(8.24)
Grado de polarización
Cuando un polarizador no es perfecto o ideal al otro lado no solo se obtiene la
componente de polarización deseada sino tambien su perpendicular, suponiendo que el
analizador si es ideal, este medirá una intensidad I|| cuando los ejes de transmisión son
paralelos, y este medidor cuando los ejes son perpendiculares mide una intensidad I⊥ ,
el grado de polarización se define como:
165
Oscilaciones y Ondas
P =
I|| − I⊥
I|| + I⊥
(8.25)
en el caso de tener un polarizador ideal, es decir que polariza por completo I⊥ = 0,
obteniendose P = 1, en el caso de tener luz no polarizada I⊥ = I|| , en cuyo caso P = 0,
por tal motivo el grado de polarización cambia entre 0 y 1
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