Sobre ondas esféricas - U

Ondas Esféricas
Un campo que describe a una onda en 3D debe satisfacer la ecuación de
ondas:
1 ∂2ψ
∇2 ψ = 2 2
v ∂t
En general este campo tiene una dependencia ψ = ψ(~r, t). Pero si el campo
posee simetrı́a esférica (lo que se espera de una onda esférica) la dependencia
pasa a ser ψ = ψ(r, t) donde r ≡ k~rk. Al sustituir este nuevo campo en la
ecuación de ondas podemos “echarnos” la parte angular del Laplaciano (escrito
en coordenadas esféricas) y mantener sólo las derivadas parciales con respecto
a r, obteniendo la ecuación:
1 ∂2ψ
1 ∂2
(rψ)
=
r ∂r2
v 2 ∂t2
Multiplicando toda la ecuación por r:
1 ∂2
∂2
(rψ)
=
(rψ)
∂r2
v 2 ∂t2
y definiendo u(r, t) = rψ(r, t) la ecuación que nos queda es:
∂2u
1 ∂2u
= 2 2
2
∂r
v ∂t
la tı́pica ecuación de ondas unidimensional. La gracia es que conocemos su solución:
u(r, t) = Aei(kr−ωt)
2πv
donde k = 2π
λ , ω = λ y A es la amplitud. Deshaciendo la definición de u(r, t)
obtenemos lo buscado:
ei(kr−ωt)
ψ(r, t) = A
r
La interpretación que le damos a este campo es una perturbación que se
desplaza radialmente desde el origen r = 0. En otras palabras la fuente se
encuentra en el origen. Si por algún motivo la fuente se ubica en la posición ~r0 ,
simplemente desplazamos la solución:
ψ(~r, t) = A
ei(kk~r−~r0 k−ωt)
k~r − ~r0 k
y el campo ahora describe una perturbación que se propaga radialmente desde
~r0 .
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