0 A B × = × - matematicas con damaso rojas

 CÁLCULO VECTORIAL I PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. El producto vectorial de dos vectores A y B , y escribimos A × B , es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A y B son (LI), entonces el vector A × B se caracteriza por: Módulo: A × B = A B sen ( A, B )
Dirección: Perpendicular a ambos: ( A × B ) ⊥ A y ( A × B ) ⊥ B Sentido: Depende del ángulo que forman los vectores A , B a) Si ( A , B ) < 180º hacia arriba. b) Si ( A , B ) > 180º hacia abajo. (Recordemos que la medida del ángulo es en sentido positivo). Si A , B son (LD), o sea alguno de ellos es el vector 0 o tienen la misma dirección, entonces el vector A × B es el vector cero, es decir. A × B = 0 EXPRESIÓN ANALÍTICA DE A × B El producto vectorial de dos vectores A y B , denotado por A × B , se define como sigue: Si A = a1 , a2 , a3 y B = b1 , b2 , b3 son dos vectores de V3 , entonces: A × B = a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b3 , a1b2 − a2b1 Para ayudarnos a recordar la fórmula para el producto cruz, tengamos presente un tema, a saber, los determinantes. En primer lugar, el valor de un determinante 2 x 2 es: a b
c d
= ad − bc Entonces, el valor de un determinante 3 x 3, tomando en cuenta los vectores A y B es: iˆ
ˆj kˆ
A × B = a1 a 2 a 3 = iˆ
b1 b2 b3
a 2 a3
b2 b3
− ˆj
a1 a 3
a a
+ kˆ 1 2 (Nemotécnica) b1 b3
b1 b2
Observe que los componentes del vector A de la izquierda aparecen en el segundo renglón, mientras que los del vector B de la derecha están en el tercer renglón. Esto es importante, pues si intercambiamos las posiciones de A y B , estamos cambiando el segundo y tercer renglones del determinante, lo cual cambia el signo de su valor. 68 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. PROPIEDADES ALGEBRAICAS Las reglas para el cálculo del producto cruz se resumen en los siguientes teoremas. Si A , B y C son vectores en el espacio tridimensional y k es un escalar, entonces: 1) A × B = − ( B × A) Son dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos opuestos. 2) A × ( B + C ) = ( A × B) + ( A × C ) (Propiedad distributiva) 3) k ( A × B ) = ( kA) × B = A × ( kB )
4) A × 0 = 0 × A = 0, A × A = 0
5)( A × B ) •C = A • ( B ×C )
6) A × ( B × C ) = ( A • C ) B − ( A • B )C
7) El módulo del vector A × B es igual al área del paralelogramo definido por los vectores A y B Área paralelogramo es igual a: A × B (coloreado amarillo) (área paralelogramo = base por altura) (
) (No asociativa). 9) A • ( A × B ) = 0 = B • ( A × B ) esto indica que A × B es perpendicular tanto a A como a B 8) ( A × B ) × C ≠
A× B×C
10) A × B = A B senθ Los productos vectoriales de los vectores unitarios iˆ, ˆj , kˆ son los siguientes: ˆj × ˆj = 0; kˆ × kˆ = 0
iˆ × iˆ = 0;
iˆ × ˆj = kˆ;
ˆj × kˆ = iˆ;
kˆ × iˆ = ˆj ˆj × iˆ = − kˆ; kˆ × ˆj = − iˆ; iˆ × kˆ = − ˆj
Para recordar los productos cruz de los vectores unitarios, primero observe que el producto cruz de cualquiera de los vectores unitarios iˆ, ˆj , kˆ consigo mismo tiene como resultado el vector cero. Los otros seis productos cruz pueden obtenerse de la siguiente manera: el producto cruz de dos vectores consecutivos, en el sentido del giro de las manecillas del reloj, es el siguiente vector; y el producto cruz de dos vectores consecutivos, en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj es el negativo del siguiente vector. Los vectores son paralelos si y sólo si el ángulo entre ellos es 0 ∨ 180 . Dos vectores A y B en el espacio tridimensional son paralelos si y solo si A × B = 0 69 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I Nota: Si A y B son dos vectores de tres dimensiones, entonces el vector A × B es ortogonal tanto a A como a B De acuerdo a esto, se puede concluir que si las representaciones de los vectores A , B y A × B tienen el mismo punto inicial, entonces la representación de A × B es perpendicular al plano formado por las representaciones de A y B PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. PROPIEDADES. Se define el producto mixto de tres vectores A , B, C al número que se obtiene al operarlos del siguiente modo: A • ( B ×C ) En las aplicaciones de vectores se presentan dos triples productos: 1) El producto A • ( B ×C ) , denominado triple producto escalar de los vectores A , B y C . De hecho, los paréntesis no son necesarios ya que A • B ×C puede interpretarse sólo en una manera puesto que A • B es un escalar. 2) El triple producto A × ( B ×C ) se denomina triple producto vectorial. Recuerde: si A , B y C son tres vectores cualesquiera en R 3 , entonces A • B ×C = A × B • C A × ( B × C ) = ( A • C ) B − ( A • B)C Nota: El producto mixto de tres vectores se obtiene como el valor del determinante de las coordenadas de los vectores. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO MIXTO. A • ( B ×C ) Es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores A , B, C . Efectivamente si llamamos α al ángulo que forman los vectores: A y ( B ×C ) entonces se tiene que: A • ( B × C ) = A ( B × C ) cos(α ) = ( B × C ) A cos(α )
( B ×C ) = ( área base del paralelepípedo ) ; A cos(α ) = ( altura del paralelepípedo )
V = ( volumen del paralelepípedo )
V = ( B ×C ) A cos(α )
70 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES. El área de la base de un paralelepípedo es A × B unidades cuadradas. Si h unidades es la longitud de la altura del paralelepípedo, y si V unidades cúbicas es el volumen de este paralelepípedo, entonces v = A × B h , en consecuencia, el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores A , B y C es: ( A × B) • C o − ( A × B) • C es decir: (
)
a1 a1 a1
v = A • B × C = b1 b2 b3 v = A × B • C c1 c1 c1
Recordemos que el módulo del producto vectorial de dos vectores, nos da el área del paralelogramo determinado por ellos, y también, que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo determinado por ellos. Pues bien, a partir de estos resultados tenemos que: ÁREA DE UN TRIÁNGULO DEL QUE SE CONOCEN LOS TRES VÉRTICES. El área del triángulo de vértices A, B, C se obtiene como la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores: A = AC y B = AB Es decir: Area ( ABC ) =
A× B
2
VOLUMEN DE UN TETRAEDRO DE VÉRTICES CONOCIDOS. El volumen del tetraedro de vértices: A, B, C, D (sombreado en verde) es una sexta parte →
→
→
del volumen del paralelepípedo determinado por los vectores AB, AC , AD Efectivamente, ese paralelepípedo se descompone en seis tetraedros iguales. Fíjate en la figura: El plano BCFE lo divide en dos prismas triangulares iguales. Cada uno de estos dos prismas triangulares se descompone en tres tetraedros iguales, así por ejemplo el prisma ABCDEF se descompone en tres tetraedros que son: 1) ABCD; 2) BCDE; 3) DFEC. Por tanto tenemos: Volúmen tetraedro =
1⎛ → → → ⎞
⎜ AB, AC , AD ⎟ 6⎝
⎠
71 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Sean A = −3, 2, −2 ; B = −1, 2, −4 ; C = 7, 3, −4 Determine lo siguiente: a) A × B ; b) A × ( B + C ) ; c) A × ( B × C )
2) Si A = 3,3,1 , B = −2, −1, 0 y C = −2, −3, −1 , Determine lo siguiente: (
(
)
a) A × B ; b) A × B + C ; c) A • B × C
) 3) Determine todos los vectores perpendiculares a los dos vectores A = iˆ + 2 ˆj + 3kˆ 4) Determine todos los vectores perpendiculares a los dos vectores A = −2iˆ + 5 ˆj − 2kˆ y B = 3iˆ − 2 ˆj + 4kˆ . Encuentre en los ejercicios del 5 al 8 el producto cruz A × B y compruebe que es ortogonal a A y B . 5) A = 6, 0, −2 , B = 0,8, 0
6) A = iˆ + 3 ˆj − 2kˆ, B = −iˆ + 5kˆ
1
1
7) A = iˆ − ˆj − kˆ; B = iˆ + ˆj + kˆ
8) A = ( t , t 2 , t 3 ) , B = (1, 2t ,3t 2 )
2
2
Encuentre el vector, no con determinantes, sino usando propiedades de productos cruz. (
)
9) iˆ × ˆj × kˆ
(
) (
)
10) ˆj − kˆ × kˆ − iˆ
11) Si A = 1, 2,1 y B = 0,1,3 , encuentre A × B y B × A . 12) Diga si cada expresión es significativa. Si no, explique porque. En caso afirmativo, diga si es un vector o un escalar. (
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
a) A • B × C ; b) A × B • C ; c) A × B × C ; d) A • B × C ; e) A • B × C • D (
f) A × B
) (C × D) •
(
) ( ) ( ) 14) Demostrar que A × ( B × C ) + B × ( C × A) + C × ( A × B ) = 0 13) Demuestre que: A − B × A + B = 2 A × B
15) Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a 1, −1,1 y 0, 4, 4
16) Muestre que 0 × A = 0 = A × 0 para cualquier vector A en V3 . (
) (
) (
)
17) Demuestre que A × B + C = A × B + A × C (
) (
) (
)
18) Demuestre la ley distributiva por la izquierda U × V + W = U × V + U × W 19) Use el problema 18 y la ley anti conmutativa para demostrar la ley distributiva por la derecha. 20) Si U × V = 0 y U i V = 0 , ¿qué puede concluir acerca de U y V ? 72 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 21) Calcule el área del paralelogramo con A = −iˆ + ˆj − 3kˆ y B = 4iˆ + 2 ˆj − 4kˆ como lados adyacentes. 22) Calcule el área del paralelogramo con A = 2iˆ + 2 ˆj − kˆ y B = −iˆ + ˆj − 4kˆ como lados adyacentes. 23) Calcule el área del triángulo con ( 3, 2,1) , ( 2, 4, 6 ) y ( −1, 2,5) como vértices. 24) Calcule el área del triángulo con (1, 2,3) , ( 3,1,5 ) y ( 4,5, 6 ) como vértices. 25) Calcule el volumen del paralelepípedo con aristas 2, 3, 4 , 0, 4, −1 y 5,1,3 26) Calcule el volumen del paralelepípedo con aristas 3iˆ − 4 ˆj + 2kˆ, −iˆ + 2 ˆj + kˆ y 3iˆ − 2 ˆj + 5kˆ . 27) Sea K el paralelepípedo determinado por U = 3,1, 2 , V = 1,1, 2 y W = 1,3,3 . a) Calcule el volumen de K . b) Calcule el área de la cara determinada por u y v . c) Calcule el ángulo entre u y el plano que contiene a la cara determinada por v y w . 28) La fórmula para el volumen de un paralelepípedo deducida no debe depender de la forma en que nombramos a los vectores como A, B o C . Use este resultado para (
)
(
)
(
)
explicar por qué A i B × C = B i A × C = C i A × B . 29) ¿Cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido? )
(
f) ( A + B ) × ( C + D ) ; g) (U × V ) × W ; h) ( KU ) × V (
)
(
)
(
)
(
)
a) U i V × W ; b) U + V × W ; c) A i B × C ; d) A × B + K ; e) A i B + K 1
30) Se sabe que el volumen de un tetraedro está dado (área de la base) (altura). Con 3
base en esto, demuestre que el volumen del tetraedro con aristas a, b y c es 1
Ai B × C 6
31) Calcule el volumen del tetraedro con vértices ( −1, 2,3) , ( 4, −1, 2 ) , ( 5, 6,3) y (1,1, −2 ) (
)
32) Demuestre la identidad de Lagrange U × V
2
= U
2
V
2
(
− U iV
) 2
33) Desarrollar una fórmula para el área del triángulo con vértices P ( a, 0, 0 ) , Q ( 0, b, 0 ) y R ( 0, 0, c ) 34) Demuestre que el triángulo con vértices ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) y ( x3 , y3 ) tiene área igual a la mitad del valor absoluto del determinante x1
x2
x3
y1 1
y2 1 y3 1
73 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 35) Un Teorema de Pitágoras en el espacio tridimensional, sean P, Q, R y O los vértices de un tetraedro (con un ángulo recto) y sean A, B, C y D las áreas de las caras opuestas, respectivamente. Muestre que A2 + B 2 + C 2 = D 2 . 36) Sean A , B y C vectores con su punto inicial común, de modo que determinen un tetraedro; sean M , N , P y Q vectores perpendiculares a las cuatro caras, apuntando hacia fuera y cuya longitud es igual al área de la cara correspondiente. Muestre que M + N + P + Q = 0 . 37) Sean A, B y A − B las tres aristas de un triángulo con longitudes a, b y c , 2
2
2
respectivamente. Use la identidad de Lagrange y la fórmula 2 Ai B = A + B − A − B para demostrar la fórmula de Herón para el área A de un triángulo, ( a + b + c ) . A = s ( s − a )( s − b )( s − c ) Donde s es el semiperímetro 2
38) Demostrar directamente que sí u = u1iˆ + u2 ˆj + u3 kˆ y v = v1iˆ + v2 ˆj + v3 kˆ , entonces U × V = ( u v − u v ) iˆ + ( u v − u v ) ˆj + ( u v − u v ) kˆ 2 3
3 2
3 1
1 3
1 2
2 1
39) Encuentre U ×V y determine si U ×V está dirigido hacia la página o hacia afuera de esta. 40) Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los valores A, B y C . A = 6,3, −1 ; B = 0,1, 2 ; C = 4, −2,5 41) Halle el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes PQ, PR y PS . P ( 2,0, −1) , Q ( 4,1, 0 ) , R ( 3, −1,1) , S ( 2, −2, 2 )
42) Suponga que A ≠ 0 . a) Si A i B = A iC , ¿se deduce que B = C ? b) Si A × B = A × C , ¿se deduce que B = C ? c) Si A i B = A i C y A × B = A × C , ¿se deduce que B = C ? 74 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 43) Un pedal de bicicleta es empujado por un pie con una fuerza de 60 N como se ilustra. El eje del pedal es de 18 cm de largo. Encuentre la magnitud del par de torsión respecto a P . 44) Una llave de 30 cm de largo yace a lo largo del eje y positivo y sujeta un perno en el origen. Se aplica una fuerza en la dirección ( 0,3, −4 ) y al final de la llave. Encuentre la magnitud de la fuerza necesaria para suministrar 100 Nm de par de torsión al perno. 45) a) Sea P un punto fuera de la línea L que pasa por los puntos Q y R . Muestre que la distancia d desde el punto P a la línea L es d =
A× B
A
donde A = QR y B = QP . b) Use la fórmula del inciso a) para hallar la distancia del punto P (1,1,1) a la línea que pasa por Q ( 0, 6,8) y R ( −1, 4, 7 ) 46) Encuentre el área del paralelogramo con vértices A ( −2,1) ; B ( 0, 4 ) ; C ( 4, 2 ) ; D ( 2, −1) 47) Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los tres puntos (1,3,5) , ( 3, −1, 2 ) y ( 4, 0,1) . 48) Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los tres puntos ( −1,3, 0 ) , ( 5,1, 2 ) y ( 4, −3, −1) . 49) Sean A y B vectores no paralelos y sea C un vector cualquiera no nulo. Demuestre (
)
que A × B × C es un vector paralelo en el plano de A y B . 50) Muestre que si A, B, C y D están todos en el mismo plano, entonces ( A × B ) × ( C × D ) = 0 . ( A × B ) × ( C × D ) = 0 51) Use el producto escalar triple para verificar que los vectores u = iˆ + 5 ˆj − 2kˆ, v = 3iˆ − ˆj y w = 5iˆ + 9 ˆj − 4kˆ son coplanares. Encuentre un vector ortogonal no cero al plano que pasa por los puntos P, Q y R , y b) Determine el área del triángulo PQR . 52) P (1, 0, 0 ) , Q ( 0, 2, 0 ) , R ( 0, 0,3)
53) P ( 0, −2, 0 ) , Q ( 4,1, −2 ) , R ( 5,3,1)
54) Para todos los vectores U y V , U × V = V × U . 55) Si U es un múltiplo escalar de V , entonces U ×V = 0 . 56) El producto cruz de dos vectores unitarios es un vector unitario. 75 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 57) Para cualesquiera vectores no nulos y no perpendiculares U y V con ángulo θ U ×V
entre ellos = tan θ . U iV
(
)
58) Si U i V = 0 y U ×V = 0 , entonces U o V es 0. 59) El volumen del paralelepípedo determinado por 2iˆ, 2 ˆj y ˆj × iˆ es 4. (
) (
)
60) Para todos los vectores U , V y W , U × V × W = U × V × W 61) Determina un vector de módulo 9 perpendicular a los vectores: u = 3, 2, −2 ; v = −1,1, 4 62) Calcula el área del triángulo definido por los vectores: u = 3, −5,1 ; v = 4, 7, 6 ;0 63) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por: u = 1, 2,3 ; v = −2,1, 0 ; w = u × v Justifica porque el resultado es: u × v 2
64) Determina el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por: u = 3, −5,1 ; v = 2,1, −1 ; w = 1, 4, k sea 11 u 3 65) Calcula el volumen del tetraedro de vértices: A(3,5,7 ); B(1,0,−1); C (7,−1,4 ); D(11,4,−6 ) 66) Calcula el área del triángulo de vértices: A(− 5,2,1); B (1,7,5); C (− 1,0,4 ) 76 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected]