UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 1 1 ( ) 3 1 4 5 2 4 x

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÀLCULO DIFERENCIAL
FUNCIONES
COMPETENCIA
Analizar las diferentes clases de
funciones,
la interpretación
de
gráficas y su aplicación el área de
desempeño.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
 Analiza función real de una variable, sus comportamientos y
discrepancias mediante procedimientos analíticos y gráficos.
 Obtiene nuevas funciones a partir de otras funciones dadas.
 Utiliza las funciones para resolver problemas de aplicación en
diferentes contextos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos
desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente.
ACTIVIDAD 1: Analice y determine si cada una de las curvas que se muestran a continuación pertenecen a una
función de x. (Justifique su respuesta)
ACTIVIDAD 2: En cada una de las siguientes funciones: halle el dominio, el rango y las intersecciones con los
ejes, además trace sus gráficas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
ACTIVIDAD 3: Trace las gráficas de las siguientes funciones y a partir de ella obtenga el dominio, rango y las
intersecciones con los ejes.
 x 2 si 1  x  1

a. h( x)  3x si 1  x  4
5  2 x si x  4


 x si 2  x  1
 2
c. f ( x)   x si 1  x  2
 1

si x  2
 x 1
 x2  1 si 1  x  1

b. g ( x)   x  2 si 1  x  3

 x  1 si x  3
2
ACTIVIDAD 4: A partir de la función f(x)=x , realice movimientos en el plano para obtener la gráfica de:
a.
f ( x)  ( x  4)2
Dpto. Ciencias Básicas 2014
b.
g ( x)  x2  3
c.
h( x)  4  x2
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ACTIVIDAD 5: Dada la función f(x), relacione el número de la gráfica con la expresión correspondiente.
1
y = f(x-4) ________
y = f(x)+3 _________
y=
1
f(x) _________
3
y = - f(x+4) __________
y = 2f(x+6) _________
ACTIVIDAD 6: Teniendo en cuenta los conceptos de función par e impar responda:
a. Sea f (x) una función impar, cuyo dominio es: [-5,5]. Complete su gráfica, teniendo en cuenta la gráfica de que
se muestra a continuación.
b. Sea f (x) una función par, cuyo dominio es: [-5,5]. Complete su gráfica, teniendo en cuenta la gráfica de que se
muestra a continuación.
ACTIVIDAD 7: Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos.
1
STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.
Dpto. Ciencias Básicas 2014
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ACTIVIDAD 8: Señale cuál de las siguientes gráficas representa una función impar. (justifique la respuesta)
f  g , f  g , f  g , f  g y determine sus dominios.
1
f ( x)  2 x 2  3x  4, g ( x) 
x
x 1
f ( x) 
, g ( x)  x  2
x
1
f ( x) 
, g ( x)  x 2
3 x
ACTIVIDAD 9: Encuentre
a.
b.
c.
ACTIVIDAD 10: Dadas las funciones f ( x)  x  16 , g ( x) 
respuesta encerrando en un círculo la correspondiente letra).
2
a) ( f g )( x)  x  16
b) ( f g )( x)  x  16
y Dom( f g )  
y Dom( f g )  [0, )
c) ( f g )( x)  x 2  4 y
Dom( f g )  
d ) ( f g )( x)  x  4
Dom( f g )  [4, )
y
ACTIVIDAD 11: Encuentre la función inversa
f ( x)  7 x  3
a.
ACTIVIDAD 12: Pruebe si la función
acerca de
f 1
y
1
f
x es correcto afirmar que: (Marque su única
?
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f 1
b.
en su forma explícita.
f ( x) 
1
x
c.
f ( x)  3x  2 es inyectiva. Halle f 1
2x  1
2 x
1
y la función
. Qué puede concluir
f
f ( x) 
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
ACTIVIDAD 13: Aparee las funciones de la columna de la izquierda con sus inversas de la derecha, colocando el
número correspondiente.
1. f ( x) 
1
x
____ m( x)  x 2 , x  0
2. g ( x)  ln( x  5)
3. h( x)  x3
x 1
x2
5. k ( x)  x
4. j ( x) 
1  2x
x 1
1
____ t ( x) 
x
____ r ( x) 
____ s( x)  e x  5
____ n( x)  3 x
ACTIVIDAD 14: Sea y  x  2  3 halle su dominio, compruebe que es uno a uno, halle su inversa y el dominio
de la inversa, obtenga la gráfica de la función y de su inversa en el mismo plano coordenado.
ACTIVIDAD 15: Resuelva las siguientes situaciones de aplicación.
1. La gráfica da el peso de una persona como función de su edad. Describa con palabras la forma en que el
peso de está ha variado a lo largo del tiempo. ¿Qué piensa que ocurrió cuando esta persona tenía 30
2
años?
2. El costo de una llamada telefónica diurna en el país es de $150 pesos el minuto, durante los primeros
cinco minutos, y $100 para cada minuto adicional (o fracción de minuto).
a) Trace la gráfica del costo C (en pesos) de la llamada telefónica como una función del tiempo
(en minutos). Halle el dominio y rango de la función.
b) Otro operador decide usar la tarifa de $110 pesos el minuto (o fracción). Trace la gráfica del
costo C (en pesos) de la llamada telefónica como una función del tiempo (en minutos). Halle
el dominio y rango de la función.
c) Halle el costo de la llamada para 12 minutos con los dos operadores.
d) ¿Con qué cantidad de minutos se registra el mismo costo para los dos operadores?
e) ¿Si deseamos ahorrar cuál operador debemos elegir?
2
STEWART, James. Precálculo, Thomson, México, tercera edición, 2005.
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3. Una compañía de marketing estima que (x) meses después de la introducción de un nuevo producto al
mercado,
a)
b)
c)
d)
miles de familias lo usarán, donde
, el número de meses está estimado en el intervalo
.
¿Cuántas familias usarán el producto en Enero y en Octubre?
Realice la gráfica del nuevo producto.
Describa el comportamiento que se estima para este producto a medida que pasa el tiempo.
¿Cuál es la cantidad máxima de familias que usarán el producto que han sido estipuladas por la
compañía? ¿En qué mes se dará? Use la gráfica.
4. El cargo mensual por televisión (en cientos) y C(x) se da en miles de pesos. Encuentre el cargo mensual
para:
a)
b)
c)
d)
500 usuarios.
2000 usuarios
Trace la gráfica de la función, el dominio y el rango de la función que representa.
Interprete la gráfica realizada.
5. Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a US $2 cada una. Si x es el número de cajas
producidas a la semana en miles de unidades, entonces, los costos de producción están dados por
2
C=1000+1300x+100x en dólares. Determine el nivel de producción en que la compañía tiene punto de
equilibrio.
6. La demanda mensual de un artículo es de 4000 unidades, si los costos fijos mensuales para producirlo,
son de $5000000, el precio de venta del artículo es de $6250 y el costo variable es el 60% del precio de
venta.
a) Calcule la utilidad.
b) Si el productor aspira a obtener una utilidad mínima del 20% sobre los costos totales. ¿Se justifica
producir?
7. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda: 25 p  x  269 y
5 p  2x  1
a. Identifique: ¿Cuál corresponde a la oferta? ¿Cuál es la demanda?
b. Halle el punto de equilibrio y represente en un mismo plano las dos ecuaciones.
c. Si p=7 ¿Qué ocurre?
2
8. Una empresa tiene para escoger 2 alternativas de equipo para fabricar un producto. Un equipo
automatizado cuesta U$ 200.000 y fabrica artículos con un costo de U$ 4 la unidad. Otro equipo
semiautomatizado cuesta U$ 125.000 y fabrica artículos con un costo de U$ 5.25 unidad.
a) ¿Qué Volumen de producción hace que los 2 equipos cuesten lo mismo?
b) Si se debe fabricar 80.000 unidades. ¿Cuál es el equipo menos costoso?
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
EVALUACIÓN
1. En la siguiente función determine: su dominio, rango, las intersecciones con los ejes, la respectiva gráfica, si es
par, impar o ninguna.
 1  x2

f ( x)  2
x  3

1  x  1
si
1 x  2
si
2 x3
si
2. Dadas las funciones
A.
1
2
1
1
2
, g ( x)  x  1 entonces g ( f (
)) es:
x
2
1
1
B.
C. 2
2
f ( x) 
D. 1
3. Después de estar en el negocio durante t años, la Siemens, fabricante de equipos Electromédicos, está
haciendo
, unidades por año. El precio de venta en dólares, por unidad se ha elevado de
acuerdo con la fórmula
. Hallar:
a) El ingreso después de t años.
b) Obtenga la función de costo.
c) Obtenga el ingreso, costo y la utilidad a los dos años.
d) Realice la gráfica de la función de costo, ingreso y utilidad en los primeros 10 años.
e) Describa el comportamiento de las utilidades durante los primeros diez años de vida.







BIBLIOGRAFÍA
Apuntes docentes Cálculo Diferencial Uts, 2014.
LARSON /HOSTETLER, Algebra, México, Mc Graw Hill, 1999.
da
ZILL, Dennis G. Algebra y trigonometría, México, Mc. Graw Hill, 2 Edición, 1996
ta
STEWART, James. Cálculo Conceptos y Aplicaciones, México, Thomson, 6 Edición, 2008.
na
PURCELL, Edwin J. Cálculo con Geometría Analítica, México, Pearson- Prentice Hall, 9 Edición, 2007.
LARSON, Ron. Cálculo, México, MC Graw Hill.
ra
STEWART, James. Precálculo, México, Thomson, 3 Edición, 2001.
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GUÍA DE ESTUDIO No. 2
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÀLCULO DIFERENCIAL
LÍMITES Y CONTINUIDAD
COMPETENCIA
Deducir
resultados
mediante
procesos de aproximación sucesiva,
rangos de variación y límites en
situaciones de medición.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
 Interpreta el concepto de límite de una sucesión numérica.
 Calcula el límite para las diferentes clases de funciones.
 Interpreta el límite de una función en un contexto determinado.
 Determina la continuidad de funciones mediante los criterios de
continuidad.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos
desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente.
ACTIVIDAD 1: En el siguiente ejercicio, completar la tabla y el utilizar el resultado para estimar el límite
a.
X
lim
x2
x2
x x2
2
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
-1,1
-1,01
-1,001
-0.999
-0.99
-0.9
f(x)
b.
X
f(x)
ACTIVIDAD 2: Calcular los siguientes límites algebraicos:
p)
lim
x 1
x3  4 x  1
x 2 x
ACTIVIDAD 3: Dada la función
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hallar
lim
x 0
f ( x  h)  f ( x )
h
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GUÍA DE ESTUDIO No. 2
ACTIVIDAD 4: Calcule los límites al infinito que se muestran a continuación.
a.
lim
2 x3  7
x3  x 2  x  7
b.
lim
23 x
2 x
e.
x
d.
x
7 x3  2 x  1
4 x 4  3x 2  6 x
lim
x
c.
 x 2  1 x 2  10 
lím 


x   x  2
x 1 
lim
x3  2 x 2
5 x 2  x3  4
lim
9 x 2  3x  2 x
3x  5
x 
f.
x
ACTIVIDAD 5: Calcule los límites infinitos que se muestran a continuación.
1
lim
a.
x
1
2
x
b.
1
2
1
2x
lim
x 0
ACTIVIDAD 6: Halle las asíntotas de cada una de las funciones que se presenten.
a.
f ( x) 
e.
x2
b.
x 1
f ( x) 
3x
f.
x2  4
f ( x)  2
x  4x  5
x2
f ( x)  2
x 4
ACTIVIDAD 7: Determine funciones f y
c.
 x  1
f ( x) 
3
 x  1
g.
f ( x)  1 
2
x2
1
x
g tales que el lím  f ( x)  g ( x)  exista, pero que el lím f ( x) y
x0
x 0
lím g ( x) no existan.
x 0
ACTIVIDAD 8: ¿Es posible que
lím  f ( x)  g ( x) 
x 0
y el
lím f ( x) existan, pero que lím g ( x) no exista? Si
x 0
x 0
es posible, de un ejemplo; en caso contrario, ¿explique por qué?
ACTIVIDAD 9: Observa la gráfica de esta función f(x) y calcula los límites
lím
f ( x) 
lím
f ( x) 
x
x 1
Dpto. Ciencias Básicas 2014
lím f ( x) 
x 1
lím
x
f ( x) 
lím
x 1
f ( x) 
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 2
ACTIVIDAD 10: Observa la gráfica de esta función f(x) y calcula los límites
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
ACTIVIDAD 11: En los siguientes problemas, establezca si la función indicada es continua, si no lo es, explique
porqué y diga la clase de discontinuidad que presenta:
a.
y  x3  2
b.
d.
c.
e.
f.
x  1 si x  3

f ( x )  x 2
si 3  x < 4
0
si x  4

ACTIVIDAD 12: Trace la gráfica de una función y= f(x) que satisfaga las condiciones dadas (no es necesario que
incluya formulas, solamente marque los ejes coordenados y trace una gráfica apropiada)
f (0)  0,
f (1)  2,
f (1)  2,
ACTIVIDAD 13: Encuentre el valor de
hx  3 si x  1
f ( x)  
3  hx si x  1
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lim f ( x)  1
x 
h de modo que la función dada sea continua en x  1 , donde:
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EVALUACIÓN
1. ¿Qué relación existe entre el límite de una función matemática para un determinado valor y la continuidad de
esa función en ese mismo punto? ¿Esa relación se cumple en todos los casos? ¿por qué?
2. Resuelva el siguiente límite
a.
lim
h 0
( x  h)3  x3
h

3. Sea la función g ( x)  

a.
b.
3
x
si
x
si
x  0

 0 
hallar:
f(0)
lim g ( x)
b . x0
c. La continuidad de la función en x=0, de forma gráfica y analítica.
BIBLIOGRAFÍA







Apuntes docentes Cálculo Diferencial Uts, 2014.
LARSON /HOSTETLER, Algebra, México, Mc Graw Hill, 1999.
da
ZILL, Dennis G. Algebra y trigonometría, México, Mc. Graw Hill, 2 Edición, 1996
ta
STEWART, James. Cálculo Conceptos y Aplicaciones, México, Thomson, 6 Edición, 2008.
na
PURCELL, Edwin J. Cálculo con Geometría Analítica, México, Pearson- Prentice Hall, 9 Edición, 2007.
LARSON, Ron. Cálculo, México, MC Graw Hill.
ra
STEWART, James. Precálculo, México, Thomson, 3 Edición, 2001.
Dpto. Ciencias Básicas 2014
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GUÍA DE ESTUDIO No. 3
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÀLCULO DIFERENCIAL
DERIVADAS Y APLICACIONES
COMPETENCIA
Interpretar la noción de derivada
como razón de cambio y desarrollar
métodos para hallarla en las
relaciones y funciones, así como
también,
resolver
situaciones
problémicas en diferentes áreas del
conocimiento usando el concepto de
derivación.
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
 Calcula la derivada de una función real derivable mediante las reglas de
derivación.
 Calcula derivadas de orden superior aplicándolas a diferentes
disciplinas.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos
desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente.
ACTIVIDAD No 1: Resuelva los siguientes ejercicios de incrementos.
1.
Determine para los intervalos dados: Los incrementos de las funciones y La razón de cambio promedio.
a.
2.
3.
y  3x2  5x 12 ; x 1  4, x 2  4.8
b.
y  6x5 12x  7 ;
x  4, x  0.5
La función de ingreso para el producto de un fabricante es I ( x) = 2x3  90x2 +1,200x 0  x  50 , siendo x
el número de unidades vendidas e I el ingreso en miles de pesos. El fabricante actualmente vende 20 unidades
por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 24 unidades. Calcule el incremento en el
ingreso. Determine la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades extra vendidas.
Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por C( x) = 10x3  60x2 +90x+1,200 ,
calcule el incremento en los costos, si la producción x cambia de 5 a 7 unidades diarias. Determine la tasa de
cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.
4. Usa la gráfica de la función f(x) para encontrar cada uno de los siguiente valores.
a) f(l)
b) f(3)
c) f(5) - f(1)
d) La razón de cambio promedio de f(x) cuando x cambia de 1 a 5.
e) La razón de cambio promedio de f(x) cuando x cambia de 3 a 5.
Dpto. Ciencias Básicas 2014
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 3
5. La gráfica muestra las ventas totales en miles de dólares por la distribución de x miles de catálogos. Encuentra e
interprete la razón de cambio promedio de ventas con respecto al número de catálogos distribuidos para los
siguientes cambios en x.
a) l0 a 20.
b) 20 a 30.
c) 30 a 40.
d) ¿Qué le está pasando a la razón de cambio promedio de ventas cuando el número de catálogos distribuidos
crece?
ACTIVIDAD No 2 Usando reglas de derivación obtenga la primera derivada de las siguientes funciones.
a.
y  2x 2  2x
d.
y  2x( x  1)
x2  6
e. y 
x 1
g.
y  1 x 4  3 x3  2 x 2  6 x  5
3
h.
2
b.
y  x 3  2x
y  Ln ex
c.
y  (5x2  3x)(3x  2)
f.
y  3 x x2  1
i.
y  (2x2  x  3)(3x  1)
3

ACTIVIDAD No 3 Calcule las siguientes derivadas usando regla de la cadena.
Dpto. Ciencias Básicas 2014

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GUÍA DE ESTUDIO No. 3
ACTIVIDAD No 4 Derivando implícitamente, calcular
2x y2  x3  3 y  5
a.
d.
y2  y  Ln x
x  y  k , k cte
b.
e.
dy
para cada una de las siguientes funciones.
dx
c.
x3  3xy  y3  1
x 2  y 2  4 e x y
EVALUACIÓN
1. La gráfica muestra las ventas anuales (en unidades apropiadas) de un juego de computadora.
Encuentra la razón de cambio anual promedio en ventas para los siguientes cambios en años.
a) 1 a 4 .
b)
4 a 7.
c)
7 a 9.
2. Usando reglas de derivación obtenga la primera derivada de las siguientes funciones.
a)







b)
c)
BIBLIOGRAFÍA
Apuntes docentes Cálculo Diferencial Uts, 2014.
LARSON /HOSTETLER, Algebra, México, Mc Graw Hill, 1999.
da
ZILL, Dennis G. Algebra y trigonometría, México, Mc. Graw Hill, 2 Edición, 1996
ta
STEWART, James. Cálculo Conceptos y Aplicaciones, México, Thomson, 6 Edición, 2008.
na
PURCELL, Edwin J. Cálculo con Geometría Analítica, México, Pearson- Prentice Hall, 9 Edición, 2007.
LARSON, Ron. Cálculo, México, MC Graw Hill.
ra
STEWART, James. Precálculo, México, Thomson, 3 Edición, 2001.
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GUÍA DE ESTUDIO No. 4
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÀLCULO DIFERENCIAL
DERIVADAS Y APLICACIONES
COMPETENCIA
Interpretar la noción de derivada
como razón de cambio y desarrollar
métodos para hallarla en las
relaciones y funciones, así como
también,
resolver
situaciones
problémicas en diferentes áreas del
conocimiento usando el concepto de
derivación
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
 Deduce la ecuación de la recta tangente según la información
presentada.
 Calcula derivadas de orden superior aplicándolas a diferentes
disciplinas.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos
desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente.
ACTIVIDAD No 1 Utilice la regla de L’Hôpital para calcular los siguientes límites.
x3  2 x 2  x  2
x1
x3  7 x  6
e x 1
e. lim
x 0 x
a.
ln x
x x
e x  e x
f. lim
x 0 ln(1  x)
lim
b.
lim
c.
lim xe x
d.
x
g.
lim
x 2
lim
x 
ex
x2
ln( x  2)
ln(e x  e2 )
ACTIVIDAD No 2 Mediante el análisis marginal resuelva los siguientes problemas.

3
1. La productividad física de cierta empresa está dada por p( x)  500 x  4 2  4000 , donde x es
el
número de máquinas en funcionamiento. Determine la productividad física marginal cuando 5 máquinas
están en funcionamiento.
b. 2.
La cantidad de relojes de pulso demandada por mes de cierta empresa se relaciona con el precio unitario
mediante la relación:
P
50
,
0.01x 2  1
0  x  20 , donde p se mide en dólares y x en miles de unidades.
a. Halle la función de ingreso marginal.
b. Calcule I '(6) e interprete el resultado.
3.
El costo total diario de producción de televisores Sony de 20 pulgadas está dado por:
C( x)  0.0001x3  0.08x2  40x  5000 en dólares, donde x representa el número de televisores
producidos.
a. Hallar la función de costo promedio marginal.
b. Calcular el costo promedio marginal para x= 500 e interprete el resultado.
4. Un fabricante encuentra que en la producción diaria de x unidades se involucran tres tipos de costos:
1. Un costo fijo de 1200 dólares en salarios.
2. Un costo de producción de 1.2 dólares por cada unidad fabricada.
3. un costo de solicitud de
100
dólares.
x2
Determine: a. el costo total marginal.
b. calcule el costo marginal para un nivel de producción de 10 unidades.
Dpto. Ciencias Básicas 2014
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GUÍA DE ESTUDIO No. 4
5. Determine el ingreso marginal cuando x=300 unidades, si la ecuación de demanda es
x  1000 100 p .
6. La función de demanda de cierto artículo es p  0.1x  80 y la función de costo es c( x)  5000  20 x .
Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades. Interprete los resultados.
ACTIVIDAD No 3 En los siguientes problemas C(x) es el costo total de producción de x unidades de cierto bien y
p(x) es el precio al cual se venderán todas las x unidades. Suponga que p(x) y C(x) están en dólares.
a.
b.
c.
d.
e.
Determine el costo marginal y el ingreso marginal.
Utilice el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad.
Encuentre el costo real de producir la cuarta unidad.
Utilice el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido por la venta de la cuarta unidad.
determine el ingreso real obtenido de la venta de la cuarta unidad.
1 2
1
x  4 x  57; p( x)   36  x 
5
4
5 2
2
2. C ( x)  x  5 x  73; p( x)   x  2 x  33
9
1 2
3  2x
3. C ( x)  x  43; p( x) 
4
1 x
1.
C ( x) 
ACTIVIDAD No 4 Resuelve los siguientes ejercicios de razones relacionadas.
1.
Una empresa determina que en la producción de x artículos la ecuación de la oferta está dada por
px  10 p  2 x  120  0 . ¿Con qué rapidez está cambiando el precio si las unidades están aumentando a
razón de 3 unid/día y el precio actual es de 10 dólares para un nivel de producción de 10 unidades?
2. La función de costo de un fabricante es
C( x)  2000  10 x  0.1x 2  0.002 x 3 y la función de ingreso
está dada por R( x)  65 x  0.005 x . Si el nivel de producción actual es x= 100 y está creciendo a
una tasa de 2 al mes, calcule la tasa en que la utilidad está creciendo.
2
3. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, el fabricante ofrece x cientos de unidades, donde
3 p 2  x 2  12 ¿Con qué rapidez cambia la oferta x cuando el precio es de 4 pesos por unidad y se
incrementa a la tasa de 87 centavos por mes?
4. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran x cientos de unidades,
donde
x  3 px  p  79 ¿Con qué rapidez cambia la demanda x, con respecto al tiempo, cuando el
precio es de 5 pesos por unidad y la tasa es de 30 centavos por mes?
2
2
5. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran x cientos de
unidades,
donde x  40 p  p 12 ¿Con qué rapidez cambia la demanda x, con respecto al tiempo, cuando el precio
es de 5 dólares por unidad y el precio está aumentando a razón de 0.30 dólares por mes?
2
6. En cierto mercado, p dólares es el precio de una caja de naranjas, x es el número de miles de cajas de
naranjas que se surten a la semana, y la ecuación de la oferta es x  4 p  p 12 . ¿Con qué rapidez cambia
la oferta x cuando el precio es de 3 dólares y la tasa está aumentando a razón de 0.5 dólares por semana?
2
7. La ecuación de oferta de cierta mercancía es x  3 p  20 p  6 , donde cada mes se surten x unidades
cuando el precio por unidad es p dólares. Calcule la rapidez de cambio de la oferta x si el precio actual es de
20 dólares y el precio está aumentando a razón de 0.80 dólares por mes.
2
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ACTIVIDAD No 5 Resuelve los siguientes ejercicios de elasticidad de la demanda.
Prueba que la elasticidad puntual de la demanda, es la que se expresa a la derecha de cada una de las siguientes
ecuaciones, donde p denota precio por unidad para x unidades:
3.
p  12  0.03x ,
1000
p 2 ,
x
x  100  p ,
4.
x  4000 10 p ,
5.
p  15e
1.
2.

para x = 300 unidades
para x = 156 unidades
Rta:

para p = $50/unidad
Rta:

para p = $1600/unidad
x
3
→
Rta:

  0.3333
  0.5
  1
 1  1.5

Rta:
3
x
6. Si la función de demanda de un producto se expresa como
evalúa para

Rta:
p  15  0.1x0.6  0.3x0.3 , donde 0  x  1700 ,
x  1,050 unidades:
a. La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta:   1.316 , demanda elástica.
b. El cambio aproximado en el precio, si la demanda aumenta 12%. Rta: El precio disminuye 9.12%.
c. Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece, decrece o permanece constante?
Rta: El ingreso crece 1.8%
1000
, evalúa para p = 16:
5 p+ 20
a. La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta:   0.8 , demanda inelástica.
7. Si la función de demanda de un producto se expresa como
x=
b. El cambio aproximado en el precio, si la demanda disminuye 10%. Rta: El precio aumenta 12.5%.
c. Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece ó permanece constante? Rta: El ingreso crece
1.25%.
8. La demanda de bebidas destiladas está dada por x   0.00375 p  7.87 , donde p es el precio en dólares de
una caja de licor y x es el número promedio de cajas compradas en un año por un consumidor.
a. Calcule e interprete la elasticidad cuando p1 = $118/caja y cuando p2 = $1200/caja. Rta:  1  0.0596
Demanda inelástica y
 2  1.3353 demanda elástica.
b. Determina el precio por caja para el que la demanda tendrá elasticidad unitaria.
Rta: $1,0490.33/unidad. A este precio el fabricante percibe el mayor ingreso posible.
9. Hace algunos años, las investigaciones indicaban que la demanda de heroína
estaba dada por
x  100 p  0.17 .
a) Calcula la elasticidad de la demanda.Rta:    0.17
b) ¿Es la demanda de heroína elástica o inelástica? Rta:  Inelástica.
ACTIVIDAD No 6 Grafique y obtenga: Puntos máximos, puntos mínimos, puntos de inflexión, intervalos de
crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, etc.
1.
f ( x)  4x3  7 x  2
4.
y  x3 12x
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2.
5.
f ( x)  2x3  7 x2  4x 1
x2
f ( x) 
x 1
3.
6.
f ( x)  x2  x
1
f ( x) 
x
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ACTIVIDAD No 7 Resuelve los siguientes problemas de optimización.
1. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p = 72 – 0.04q, y la función de costos es C
= 500 + 30q.
a. ¿a qué nivel de producción se maximiza la utilidad?
b. ¿A qué precio ocurre esta y cuál es la utilidad correspondiente?
2. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio C por unidad, está dado por C =
2
2q – 36q +210 a.
donde 2 ≤ q ≤ 10.
¿A qué nivel dentro del intervalo [2 ; 10] debe fijarse la producción para minimizar el costo total?
b. Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [5; 10], ¿Qué valor minimiza el costo
total?
3. La demanda de un mercado monopolizado sigue la ley p = 100 – 3x, y el monopolista produce x unidades
2
a un costo total de C = x - 3x + 1500. Determinar el precio del artículo y la cantidad que debe producirse
para obtener la máxima utilidad.
EVALUACIÓN
1. Si la ecuación de demanda de cierto artículo es 10 p  x  0.01x
a. Calcule el ingreso marginal cuando el precio es de 10 dólares.
b. Si la función de costo es
2
 700
C( x)  1000  0.1x2 , evalúe la función de utilidad marginal si:
 x=100 unidades.
 p=10 dólares.
2. Si la función de demanda de un producto se expresa como
p  40  1 x , donde 0  x  4900 , evalúa para
2
x = 3600.
a. La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta:   0.667 , demanda
inelástica.
b. El cambio aproximado en el precio, si la demanda aumenta 10%. Rta: El precio disminuye 15%.
c. Con el cambio del inciso anterior, ¿el ingreso total crece, decrece o permanece constante?
Rta: El ingreso decrece 6.5%
3. Para un monopolista, el costo por unidad de producir un artículo es de $ 3.00, y la ecuación de demanda es
p=







. ¿Cuál es el precio que dará la utilidad máxima?
BIBLIOGRAFÍA
Apuntes docentes Cálculo Diferencial Uts, 2014.
LARSON /HOSTETLER, Algebra, México, Mc Graw Hill, 1999.
da
ZILL, Dennis G. Algebra y trigonometría, México, Mc. Graw Hill, 2 Edición, 1996
ta
STEWART, James. Cálculo Conceptos y Aplicaciones, México, Thomson, 6 Edición, 2008.
na
PURCELL, Edwin J. Cálculo con Geometría Analítica, México, Pearson- Prentice Hall, 9 Edición, 2007.
LARSON, Ron. Cálculo, México, MC Graw Hill.
ra
STEWART, James. Precálculo, México, Thomson, 3 Edición, 2001.
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