Relación de selectividad 2011.

Departamento de Matemáticas
2º Bachillerato.
RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I
1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los
catetos del de área máxima.
Solución:
Función a maximizar A = (x)(y)
Relación entre las variables x2 + y2 = 52, de donde y = +√(25 – x2),
tomamos sólo la solución positiva porque es una longitud.
Función a maximizar A(x) = (x).( √(25 – x2))
Las medidas de los catetos son x = √(25/2) m. e y = (√(25 – ((√(25/2)2))
= √(25/2) m., es decir es un triángulo isósceles rectángulo.
2.- Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f(x) = ln(x2 +3x), donde ln denota el
logaritmo neperiano.
(a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente
a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y +1 = 0.
(b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el
punto de abscisa x=3.
Solución:
(a) las pendientes han de ser iguales.
La recta es y = (x+1)/2, y sy pendiente es y’ = 1/2
f’(x) = (2x+3)/(x2+3x). Igualando pendientes tenemos:
(2x+3)/(x2+3x) = 1/2, El único punto de la recta que cumple la condición
pedida es (3, ln(18)).
(b) Recta tangente en 3 es y – ln(18) = (1/2)(x-3)
Recta normal en 3 es y – ln(18) = -2(x-3)
3.- Sea f la función definida como f(x) = (ax2 + b) / (a – x) para x ≠ a.
(a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2,3) y tenga una
asíntota oblicua con pendiente - 4.
(b) Para el caso de a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica
de f en el punto de abscisa x = 1
Solución:
(a)
Como f tiene una asíntota oblicua (y = mx + n) con pendiente – 4, a = 4.
De f(2) = 3 tenemos b = -10.
(b)
Si a = 2 y b = 3, tenemos f(x) = (2x2 + 3) / (2 – x) para x ≠ 2.
La recta tangente en x = 1 es y – f(1) = f ‘(1)(x – 1)
y – 5 = 9(x – 1).
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4.- Calcula lim
x→0
[ (ex – esen x) /(x2) ]
Solución:
lim x→0 [ex – esen x) /(x2) ] = 0
5.- Sea la función f : R → R dada por f(x) =
Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a
la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.
Solución:
Como me dicen que f es derivable en R, y sabemos que si es derivable
también es continua, por tanto f es continua y derivable en R en especial
en x = 0, con lo que obtenemos c = 0.
Como f es derivable en x = 0 tenemos que: f’(0 -) = f’(0 +) con lo que a = 0.
Sabemos que la pendiente de la recta tangente en x = 1 es f’(1), y me
dicen que vale 3, por tanto, tenemos b = 4.
6.- Sea f : R → R la función definida como f(x) = (x + 1).3√( 3 – x). Halla las
ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = −5 y en el punto de abscisa x = 2.
Solución:
La recta tangente de f(x) en x = -5 es " y – f(-5) = f’(-5).(x + 5)", es decir
" y – (-8) = (7/3)(x+5)
La recta normal de f(x) en x = -5 es " y – f(-5) = (-1/f’(-5)).(x + 5)", es
decir " y – (-8) = (-3/7)(x+5)
La recta tangente de f(x) en x = 2 es " y – f(2) = f’(2).(x – 2)", es decir " y
– (3) = 0.(x–2) = 0, la recta y = 3
La recta normal de f(x) en x = 2, podemos pensar que es la recta vertical x
= 2, al ser la recta tangente la recta horizontal y = 3.
7.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor
de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener
los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo?
(Recuerda que el volumen del cono es V = (1/3)πr2h).
Solución:
Relación entre las variables x2 + y2 = 902, de donde y = +√(8100 – x2),
tomamos sólo la solución positiva porque es una longitud.
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Función a maximizar V(x) = (π/3) x2.√(8100 – x2)
x = 30√(6) es un máximo.
8.- Sea f la función definida como f(x) = x3/(x2 – 1) para x ≠ -1 y x ≠ 1.
(a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f
(b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
(c) Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f .
Solución:
(a)
La recta x = 1 es una A.V. de f(x).
La recta x = -1 es una A.V. de f(x).
La A.O. de f(x) es y = x en ± ∞ .
No hay asíntotas horizontales (A.H.)
(b)
f(x) es estrictamente decreciente en (- √(3) < x < 0) – {-1}.
f(x) es estrictamente decreciente en (0 < x < √(3) – {1}.
f(x) es estrictamente creciente en x > + √(3).
Por definición en x = - √(3) hay un máximo relativo que vale f((- √(3)) = 3√(3) /2
Por definición en x = + √(3) hay un máximo relativo que vale f((+ √(3)) =
+ 3√(3) /2
En x = 0 la función decrece y se podría ver que es un punto de inflexión.
(c)
Un esbozo de la gráfica es
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9.- Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los márgenes superior e
inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones
de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.
Solución:
Relación entre las variables x.y = 18, de donde y = 18/x, tomamos sólo la
solución positiva porque es una longitud.
Función a maximizar A(x) = (x + 2)((18/x) + 4)
Las medidas del papel son ancho = x + 2 = 5 cm
+ 4 = 10 cm.
y
alto = y + 4 = 18/3
x = 3 es un mínimo.
10.- Considera la función f:[0,4] → R definida por f(x) =
(a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4),
determina los valores de a, b y c.
(b) Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f ( abscisas donde se
obtienen y valores que se alcanzan).
Solución:
(a) b = 4.
c = 1.
a = -3.
(b) f alcanza su máximo absoluto en x = 0 y x = 4 y vale 4. Y f alcanza su
mínimo absoluto en x = 3/2 = 1’5 y vale 1’75.
11.- Dada la función f : R → R definida como f(x) = a.sen(x)+ bx2 + cx + d,
determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene
tangente horizontal en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f’’(x) =
3.sen(x) − 10.
Solución:
d = 4.
a = -3 y b = -5.
c = 3.
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12.- Considera la función f : R → R definida por f(x) =
Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f.
Solución:
f no es continua en x = 1 y por tanto tampoco es derivable en x = 1.
La función no es derivable en x = 0
Representa las siguientes funciones:
a) f(x)= x3 – 12x
b) f(x)=
c) f(x)= x+√
d) f(x)=x
e) f(x)=
f) f(x)= sen 2x