JUN 02 A4

MADRID / JUNIO 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A /
EJERCICIO 4
Se considera la función real de variable real definida por:
1
f (x ) = 2
x +3
a) (1 punto) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de
inflexión de abscisa positiva de la gráfica de f.
b) (2 puntos) Calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de f, la recta
anterior y el eje x = 0.
Solución:
a) Se hace la derivada segunda:
f (x ) =
1
− 2x
6x 2 − 6
⇒
f
´(
x
)
=
⇒
f
´´(
x
)
=
x2 +3
( x 2 + 3) 2
( x 2 + 3) 3
f´´(x) = 0 ⇒ x = −1 o x = 1.
Puntos de inflexión: (−1, 1/4), (1, 1/4). Este último es el punto de inflexión de abscisa positiva.
Tangente en (1, 1/4):
y − f ( a) = f ´(a )( x − a) → y −
1
1
1
3
= − ( x − 1) ⇒ y = − x +
4
8
8
8
b) En el intervalo [0, 1], que es el de integración, la recta tangente va por encima de la curva;
en consecuencia, el área pedida vale:
1
3
1 
 1 2 3
1
x 
 1
A = − x + − 2
arctag
 =
dx =  − x + x −
0
8
8 x + 3
8
3
3  0
 16
1 3 1
1
5
1 π
=− + −
arctag
=
−
16 8
3
3 16
3 6
∫
1
La situación gráfica es la indicada a continuación.
A
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