completitud de la m´etrica de hausdorff en espacios m´etricos

COMPLETITUD DE LA
MÉTRICA DE
HAUSDORFF EN
ESPACIOS MÉTRICOS
COMPACTOS
Jesús Andrés Romero Dávila
UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C.
02 Agosto 2016
2
COMPLETITUD DE LA
MÉTRICA DE
HAUSDORFF EN
ESPACIOS MÉTRICOS
COMPACTOS
Jesús Andrés Romero Dávila
Director:
M.Sc. Carlos Orlando Ochoa Castillo.
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C.
02 Agosto 2016
3
Dedicado a:
Luz Dary Dávila mi madre, mi esposa e hijo.
4
Contenido
Agradecimientos
0.1 Planteamiento del Problema
0.2 Justificación . . . . . . . . .
0.3 Objetivos . . . . . . . . . .
0.3.1 Objetivo General . .
0.3.2 Objetivos Especı́ficos
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7
9
9
10
10
10
1 Preliminares
11
1.1 Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Convergencia en espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Topologı́a de espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Métrica de Hausdorff
2.1 Definiciones de la distancia de Hausdorff . . . . . . . . .
2.2 La Distancia de Hausdorff es una Métrica . . . . . . . .
2.3 El espacio inducido de Hausdorff es totalmente acotado
2.4 Completitud de la métrica de Hausdorff . . . . . . . . .
Bibliografı́a
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23
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5
Agradecimientos
Agradezco en primera instancia al Profesor Carlos Orlando Ochoa por depositar
su confianza en mı́ y guiarme en este gran proyecto de mi vida profesional, de
su parte recibı́ sugerencias y apoyo incondicional.
A lo largo de la carrera tuve la oportunidad de compartir con grandes amigos,
a todos ellos les debo el haberme permitido disfrutar momentos maravillosos.
De forma especial agradezco a Miguel Rojas Raúl Galeano y Cristóbal Molina.
A mi madre le debo todo lo que soy y éste logro es un reconocimiento a todo
lo que me ha brindado en la vida, a mi esposa e hijo quienes a lo largo de estos
años dejaron de compartir tiempo valioso de familia todo en pro de este gran
proyecto.
8
CONTENIDO
Introducción
El propósito de esta monografı́a es reconstruir parte de la teorı́a del artı́culo
Completeness and Total Boundedness of the Hausdorff Metric de Jeff Henrikson
para lo cual se define y desarrolla la métrica de Hausdorff en el espacio de los
subconjuntos no vacı́os, cerrados y acotados de un espacio métrico compacto,
dando origen al espacio métrico inducido de Hausdorff. Para ello se revisan
algunos conceptos topológicos como completitud, total acotación, compacidad
entre otros. También se muestra que las propiedades del espacio métrico dado,
son inducidas al espacio métrico subyacente donde está definida la métrica de
Hausdorff. Se exponen los argumentos que llevan a seleccionar los conjuntos no
vacı́os, cerrados y acotados como los indicados para definir en ellos la métrica
de Hausdorff.
Se indaga por las propiedades que hereda el espacio métrico subyacente a la
métrica de Hausdorff respecto al espacio métrico inicial.
El presente trabajo se divide en dos capı́tulos; en el primero se presentan algunos
conceptos del análisis y la topologı́a que el lector debe conocer de antemano, en
el segundo capı́tulo se presenta la métrica de Hausdorff y se desarrollan algunas
de las propiedades más interesantes e importantes de la métrica de Hausdorff,
total acotación y completitud de dicho espacio métrico.
0.1
Planteamiento del Problema
La métrica de Hausdorff generaliza y ajusta el concepto de distancia entre dos
conjuntos, en tal caso, se seleccionan por lo general los subconjuntos compactos
de un espacio métrico; por el contrario (ver[1]) en el presente trabajo se seleccionan los subconjuntos cerrados y acotados de un espacio métrico compacto. El
principal interés es entender la definición de la métrica de Hausdorff, estudiar
e ilustrar el concepto de total acotación, de tal forma que lo anterior permita
demostrar que el espacio inducido de Hausdorff es completo.
0.2
Justificación
El concepto de distancia fue introducido por Maurice René Frechét en el año
1906, en Sur quelques points de calcul fonctionnel y posteriormene desarrollado
9
10
CONTENIDO
por el gran topólogo Felix Hausdorff en su trabajo Grundzüge der Mengenlehre.
Éste tema se estudia con profundidad en la teorı́a de los espacios métricos, por
tanto cuando se quiere hablar de distancia entre conjuntos, se debe dar todo
el rigor propio de la teorı́a dada, para lo cual se presentan algunos resultados
básicos e importantes de dicha teorı́a.
0.3
0.3.1
Objetivos
Objetivo General
Reconstruir parte la teorı́a del artı́culo Completeness and Total Boundedness of
the Hausdorff Metric [2]
0.3.2
Objetivos Especı́ficos
1.) Presentar dos versiones de la métrica de Hausdorff.
2.) Mostrar la equivalencia de las dos versiones de la métrica de Hausdorff.
3.) Mostrar la total acotación del espacio métrico de Hausdorff donde se
definió la métrica de Hausdorff.
4.) Demostrar que el espacio métrico inducido de Hausdorff es completo.
Capı́tulo 1
Preliminares
En este capı́tulo se presentan las diferentes temáticas necesarias para la comprensión del artı́culo Completeness and Total Boundedness of the Hausdorff
Metric para obtener la debida reconstrucción parcial; se dan algunos ejemplos
pretendiendo ası́ una comprensión puntual de cada una de las definiciones propuestas. La teorı́a en general puede ser consultada en la bibliografı́a relacionada.
El concepto topológico sobre el cual gira el presente artı́culo es el de espacio
métrico, dicha teorı́a ha permitido unificar diversas teorı́as de la matemática
que en principio se pensaba eran totalmente independientes. La importancia
atribuida inicialmente se debió a la generalización de los espacios normados y
su aplicación al análisis funcional, uno de los principales objetivos de la teorı́a
de los espacios métricos era encontrar condiciones necesarias y suficientes para
que un espacio topológico fuera metrizable. Para abordar un estudio riguroso
del análisis se hace necesario un estudio completo de la teorı́a de los espacios
métricos, es por tal motivo que a continuación se define este concepto junto
a algunas definiciones y resultados que se hacen necesarios para un correcto y
pleno entendimiento del presente trabajo.
1.1
Espacios métricos
Definición 1
Un espacio métrico [3], es un par (S, d), donde S es un conjunto y d es una
métrica sobre S, esto es, una función a valor real sobre S × S que satisface,
D1) d es a valor real, finita y no negativa.
D2) d(a, b) = 0 ⇔ a = b.
D3) d(a, b) = d(b, a).
(Simetrı́a.)
D4) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).
(Desigualdad Triangular.)
11
12
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Figura 1.1: Desigualdad triangular en el plano.
A partir de esta definición se dan algunas apreciaciones. S comúnmente se
llama el conjunto subyacente de (S, d). A sus elementos se les denomina puntos
del espacio métrico. Para x, y fijos, el número d(x, y) no negativo se llama
distancia desde x hasta y. Las propiedades (D1) a (D4) son los axiomas de
una métrica. En (D4) el nombre “desigualdad triangular” es motivado por la
geometrı́a elemental, como puede ilustrarse en la figura [1.1].
1.1. ESPACIOS MÉTRICOS
13
Ejemplo 1 La recta real R, es el conjunto de todos los números reales, es un
espacio métrico dotado de la métrica usual definida por
d(x, y) = |x − y| .
Ejemplo 2 Sea S cualquier conjunto no vacı́o, la siguiente función
(
0 si x = y
d(x, y) =
1 si x 6= y,
se conoce como la métrica discreta.
(1.1)
(1.2)
14
1.2
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Convergencia en espacios métricos
El concepto de convergencia es una idea central dentro de la topologı́a, sobre ella
se apoya el análisis matemático, para un desarrollo riguroso se hace necesario
presentar algunas definiciones y resultados. A continuación se define el concepto
de sucesión en los espacios métricos
Definición 2 (Sucesión)
Una sucesión en un espacio métrico (S, d) [6] es una función f del conjunto de
los números N en el espacio métrico (S, d).
En otras palabras, una sucesión asigna a cada elemento n ∈ N un único elemento de S. Es usual denotar la sucesión por los sı́mbolos {xn }, {xn }n≥1 o por
{x1 , x2 , . . . , xn , . . .}
La siguiente definición generaliza el concepto de lı́mite desde el punto de
vista de la teorı́a de los espacios métricos.
Definición 3 (Lı́mite de una sucesión)
Sea d una métrica en un conjunto S y {xn } una sucesión en el conjunto S. Un
elemento x ∈ S se dice el lı́mite de {xn } [5] si para todo > 0, existe un entero
natural n0 tal que
d(xn , x) < siempre que n ≥ n0 .
(1.3)
En este caso, se dice que {xn } converge a x, y en sı́mbolos se escribe como
xn → x.
Ejemplo 3 Sea S = R con d(x, y) = |x − y| , x, y ∈ R. {xn } una sucesión de
números reales, se dirá que ella converge a x ∈ R en el espacio métrico (R, d)
si y sólo si
lim |xn − x| = 0
(1.4)
n→+∞
Luego la convergencia en R con la métrica usual resulta ser la convergencia de
sucesiones en el sentido del cálculo elemental.
De gran importancia en Análisis real es el criterio de Cauchy para convergencia de sucesiones, a continuación se expone dicho concepto en el ambiente
de los espacios métricos.
Definición 4 (Sucesión de Cauchy)
Sea (S, d) un espacio métrico y (xn ) una sucesión de puntos en S. Si para todo
> 0, existe un entero N ∈ N tal que d(xn , xm ) < para todo n, m ≥ N ; se dice
que (xn ) es una sucesión de Cauchy [4] (S, d) es un espacio métrico completo si
toda sucesión de Cauchy converge en (S, d).
1.3. TOPOLOGÍA DE ESPACIOS MÉTRICOS
15
Ejemplo 4 La sucesión {xn }n≥1 , donde xn = 1 + 1/2 + . . . + 1/n, no satisface
el criterio de la convergencia de Cauchy. En efecto
1
1
+ ... +
(1.5)
n+1
2n
1
1
1
1
|x2n − xn | ≥
+
+ ... +
=
(1.6)
2n 2n
2n
2
Luego no es el caso que |xn − xm | → 0 para m, n suficientemente grandes
|x2n − xn | =
Un resultado que se desprende de la teorı́a anterior es que toda sucesión
convergente es de Cauchy.
Teorema 1 Toda sucesión convergente en un espacio métrico (S, d) es de Cauchy
[4].
Demostración. Si xn → x, entonces para todo > 0 existe un entero N = N()
tal que
d(xn , x) <
para todo n > N.
(1.7)
2
A partir de la desigualdad triangular, para m, n > N
(1.8)
d(xm , xn ) ≤ d(xm , x) + d(x, xn ) < + = .
2 2
Esto muestra que (xn ) es una sucesión de Cauchy.
1.3
Topologı́a de espacios métricos
Las propiedades topológicas de un espacio métrico están ı́ntimamente relacionadas con los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, bola abierta,
bola cerrada entre otros, los cuales se presentan a continuación.
Hay dos tipos de conjuntos que juegan un papel destacado en el análisis, el
de conjunto abierto y conjunto cerrado, y de gran importancia el concepto de
una vecindad en espacios métricos.
Definición 5 (Bola abierta)
Sea (S, d) un espacio métrico. El conjunto
B(x0 , r) = {x ∈ S | d(x0 , x) < r},
(1.9)
donde r > 0 y x0 ∈ S, se denomina la bola abierta de radio r y centro x0 . [5]
Una bola abierta B(x0 , ) de radio a menudo se llama una −vecindad de
x0 . Luego por una vecindad de x0 se entenderá cualquier subconjunto de S
que contiene una −vecindad de x0 .
A partir de la definición se observa que toda vecindad de x0 contiene a x0 ,
en otras palabras x0 es un punto de cada una de sus vecindades. Si N es una
vecindad de x0 y N ⊂ M, entonces M es también una vecindad de x0 .
16
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Figura 1.2: Bola abierta con centro en la función seno y radio 1 .
Ejemplo 5 Considérese la bola B(sen(x), 1) definida en el espacio métrico
(C[0, 2π], d∞ )donde el conjunto está conformado por todas las funciones continuas definidas en el intervalo dado, tales funciones se encuentran comprendidas entre el eje Y, la recta x = 2π y las gráficas de las funciones sen(x) − 1 y
sen(x) + 1.
Definición 6 (Bola cerrada)
Sea (S, d) un espacio métrico. El conjunto
B(x0 , r) = {x ∈ S | d(x0 , x) ≤ r},
donde r > 0 y x0 ∈ S, se denomina la bola cerrada de radio r y centro x0 [5].
Definición 7 (Conjunto abierto)
Un subconjunto C de un espacio métrico (S, d) se dice abierto, si dado cualquier
punto x ∈ C, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ C [5].
Proposición 1 En todo espacio métrico (S, d), toda bola abierta es un conjunto
abierto [5].
Demostración. Primero se debe observar que B(x, r) es no vacı́o, ya que x ∈
0
B(x, r), Sea y ∈ B(x, r), ası́ que d(y, x) < r, y sea r = r − d(y, x) > 0. Se debe
0
mostrar que B(y, r ) ⊆ B(x, r), como se ilustra en la figura [1.4] Considérese
0
cualquier z ∈ B(y, r ), entonces se tiene que
0
d(z, x) ≤ (x, y) + d(y, x) < r + d(y, x) = r
(1.10)
lo que significa que z ∈ B(x, r). Esto es, para cada y ∈ B(x, r), existe una bola
0
abierta B(y, r ) ⊆ B(x, r). Por lo tanto B(x, r) es un subconjunto abierto de S.
1.3. TOPOLOGÍA DE ESPACIOS MÉTRICOS
17
Definición 8 (Punto lı́mite)
Sea (S, d) un espacio métrico y sea C un subconjunto de S. Un punto x ∈ S se
dice punto lı́mite de C [5] si cada bola abierta con centro en x contiene por lo
menos un punto de C diferente de x, es decir
{B(x, r) − {x}} ∩ C 6= ∅.
El conjunto de todos los puntos limites se llama el conjunto derivado de C y se
0
nota C .
Ejemplo 6 El subconjunto F = {1, 1/2, 1/3, . . .} de la recta real tiene a 0 como
un punto lı́mite, en efecto 0 es su único punto lı́mite. Esto es el conjunto
0
derivado de F is {0}, es decir F = {0}.
Definición 9 (Conjunto cerrado)
Un subconjunto C de un espacio métrico (S, d) se dice cerrado [5] si contiene
0
todos sus puntos limites, es decir, C ⊆ C.
Definición 10 (Conjunto acotado)
Sea (S, d) un espacio métrico y sea C un subconjunto no vacı́o de S. Se dice que
C es acotado [5] si existe M > 0 tal que
d(x, y) ≤ M para todo x, y ∈ C.
Definición 11 (Distancia a un conjunto)
La distancia m(e, C) de un punto e ∈ S a un subconjunto no vacı́o C de (S, d)
[2] es:
m(e, C)
=
inf d(e, x).
x∈C
(1.11)
18
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definición 12 (-expansión)
Dado A ∈ S, la unión de todas las bolas abiertas de radio con centro en los
puntos de A se denomina una -expansión de A. [4]
Definición 13 (Conjunto totalmente acotado)
Un conjunto A en un espacio métrico (S, d) es totalmente acotado [2] si para
todo número real > 0, existe un conjunto finito de puntos
x1 , x2 , · · · , xn ∈ A
(1.12)
tales que
A⊂
[
B(x, ).
(1.13)
x∈A
Lo anterior permite ver que si (S, d) es totalmente acotado, entonces (S, d)
es acotado. En algunos textos el concepto de conjunto totalmente acotado se
denomina conjunto precompacto.
Es inmediato observar que todo conjunto finito A es totalmente acotado, basta
considerar la unión de las bolas de radio con centro en cada uno de sus puntos.
El recı́proco del resultado anterior en general no es cierto, basta considerar
un conjunto infinito A con la métrica discreta, ya que toda bola de radio < 1
sólo posee un punto y ası́ de ésta manera, A no puede cubrirse con un número
finito de bolas.
Definición 14 (Conjunto Secuencialmente Compacto)
Un espacio métrico (S, d) es secuencialmente compacto [5], si toda sucesión en
(S, d) tiene una subsucesión convergente.
Definición 15 (Cubrimiento Abierto)
Sea (S, d) un espacio métrico y Y ⊆ S. Sea % una colección de conjuntos abiertos
en S con la propiedad que Y ⊆ ∪{G : G ∈ %}; equivalentemente, para cada
x ∈ Y, existe un G ∈ % tal que x ∈ G. Entonces % se denomina “cubrimiento
abierto” de Y [4]. Una subcolección finita de % que es en sı́ mismo un cubrimiento
se llama un subcubrimiento finito de Y.
Definición 16 (Espacio Compacto)
Un espacio (S, d) se dice compacto [4] si todo cubrimiento abierto A de (S, d)
contiene una subcolección finita que también cubre a (S, d) .
Es decir dado un cubrimiento para (S, d), éste posee un subcubrimiento finito
para (S, d).
De las definiciones anteriores se desprende el siguiente resultado, cuya demostración puede consultarse en [7], página 143.
1.3. TOPOLOGÍA DE ESPACIOS MÉTRICOS
19
Teorema 2 Un espacio métrico (S, d) es compacto si y sólo si es secuencialmente compacto.
Proposición 2 Sea (S, d) un espacio métrico compacto. Entonces (S, d) es
totalmente acotado [4].
Demostración. Para cualquier > 0, la colección de todas las bolas B(x, )
con x ∈ S, es un cubrimiento abierto de S. La compacidad de S implica que
éste cubrimiento abierto tiene un recubrimiento finito. Por tanto, para > 0,
S es cubierto por un número finito de bolas abiertas de radio , es decir, los
centros de las bolas en el recubrimiento finito, forman una −expansión para S.
Ası́, S es totalmente acotado.
Proposición 3 Sea (S, d) un espacio métrico compacto. Entonces (S, d) es
completo [4].
Demostración. Supóngase que (S, d) es un espacio métrico compacto que no
es completo. Entonces existe una sucesión de Cauchy {xn }n≥1 en (S, d) que no
converge en S. Sea y ∈ S, donde {xn }n≥1 no converge a y, entonces existe un
0 > 0 tal que
d(xn , y) ≥ 20 ,
(1.14)
para infinitos valores de n. Ya que la sucesión {xn }n≥1 es de Cauchy, existe un
entero n0 tal que si m, n ≥ n0 implica que
d(xn , xm ) < 0 .
(1.15)
Elijase k > n0 para que d(xk , y) ≥ 20 (esto es posible ya que la desigualdad
(1.14) se satisface para infinitos valores de n). Entonces
d(xk , y) ≤ d(xk , xm ) + d(xm , y),
lo cual implica que
d(xm , y) ≥
>
d(xk , y) − d(xk , xm )
20 − 0 = 0 ,
para todo m ≥ n0 . Ası́ la bola abierta B(y, 0 ) contiene a xn para finitos valores
de n. De ésta forma, se puede asociar a cada y ∈ S una bola B(y, 0 (y)), donde
0 (y) es un número positivo que depende de y, y la bola B(y, 0 (y)) contiene a
xn sólo para un número finito de valores de n. Nótese que
[
S = {B(y, 0 (y)) : y ∈ S},
que significa que {B(y, 0 (y) : y ∈ S} es un cubrimiento de S. Como S es
compacto, existe un recubrimiento finito B(yi , 0 (yi )), i = 1, 2, · · · , n, de S. Ası́
S=
n
[
i=1
B(yi , 0 (yi )).
20
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Ya que cada bola contiene a xn para sólo un número finito de valores de
n, entonces las bolas del recubrimiento finito y por lo tanto, también S, deben
contener a xn para sólo un número finito de valores de n. Esto, sin embargo es
una contradicción . Por lo tanto (S, d) es completo.
Proposición 4 Sea (S, d) un espacio métrico completo y totalmente acotado.
Entonces (S, d) es compacto [4].
Demostración. Supongamos, que (S, d) es totalmente acotado y completo,
pero no es compacto. Entonces existe un cubrimiento abierto {Gλ }λ∈Λ de S
que no admite un recubrimiento finito.
Puesto que (S, d) es totalmente acotado, está acotado; por lo tanto, para
algún número real r > 0 y algún x0 ∈ S, se tiene que S ⊆ B(x0 , r). Obsérvese
que S ⊆ B(x0 , r) implica que S = B(x0 , r).
r
Sea n = n .
2
Ya que S, es totalmente acotado, éste puede ser cubierto por un número
finito de bolas de radio 1 . Por hipótesis, al menos una de estas bolas, dı́gase
B(x1 , 1 ), no puede ser cubierta por un número finito de conjuntos Gλ (porque
si cada uno tiene un recubrimiento finito, lo mismo serı́a cierto para S). Debido
a que B(x1 , 1 ) es en sı́ totalmente acotado (cualquier subconjunto no vacı́o de
un conjunto totalmente acotado está totalmente acotado), se puede encontrar
un x2 ∈ B(x1 , 1 ), tal que B(x2 , 2 ) no puede ser cubierto por un número finito
de conjuntos Gλ . De este modo, una sucesión {xn }n≥1 puede ser definida a
partir de la propiedad que para cada n, B(xn , n ) no puede ser cubierta por un
número finito de conjuntos
C = Gλ ,
(1.16)
y xn+1 ∈ B(xn , n ).
A continuación se muestra que la sucesión {xn }n≥1 es convergente. Como
xn+1 ∈ B(xn , n ), se deduce que d(xn , xn+1 ) < n y, por tanto,
d(xn , xn+p ) ≤
<
<
d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d(xn+p−1 , xn+p )
n + n+1 + . . . + n+p−1
r
.
n−1
2
Ası́ {xn }n≥1 es una sucesión de Cauchy en S, y dado que S es completo,
converge a y ∈ S, por ejemplo. Puesto que y ∈ S, existe λ0 ∈ Λ tal que y ∈ Gλ0 .
Debido a que Gλ0 es abierto, este contiene la bola B(y, δ) para algún δ > 0.
Elijase n lo suficientemente grande tal que d(xn , y) < 2δ y n < 2δ . Entonces,
para cualquier x ∈ S tal que d(x, xn ) < n , se deduce que
d(x, y) ≤
<
d(x, xn ) + d(xn , y)
1
1
δ + δ = δ,
2
2
1.3. TOPOLOGÍA DE ESPACIOS MÉTRICOS
21
por lo que B(xn , n ) ⊆ B(y, δ). Por lo tanto, B(xn , n ) admite un recubrimiento
finito, nombrado por el conjunto Gλ0 . Dado que esto contradice (1.16), la
demostración está completa.
Los resultados anteriormente expuestos en éste capı́tulo son la demostración
del siguiente teorema, resultado de suma importancia en el presente trabajo.
Teorema 3 Un espacio métrico (S, d) es compacto si, y sólo si, es completo y
está totalmente acotado.
El resultado siguiente asegura la existencia de sucesiones de Cauchy en espacios totalmente acotados, éste se usa en la demostración sobre la completitud
del espacio inducido de Hausdorff.
Teorema 4 Si E es un espacio métrico totalmente acotado, entonces toda sucesión
en E tiene una subsucesión de Cauchy [8].
Demostración. Sea (xn ) una sucesión en E. Dado que E puede ser cubierto
por un número finito de bolas abiertas de radio 1, existe una bola abierta U1 de
radio 1 tal que tal que E ∩ U1 contiene infinitos términos de la sucesión (xn ).
Sea E0 := E, n0 = 1 y E1 := E0 ∩ U1 . Entonces existe n1 ∈ N tal que n1 > n0
y xn1 ∈ E1 . Como E1 es un conjunto de E, E1 es totalmente acotado. Dado
que E1 puede ser cubierto por un número finito de bolas abiertas de radio 1/2,
luego existe una bola abierta U2 de radio 1/2 tal que E1 ∩ U2 contiene infinitos
términos de la sucesión (xn ). Sea E2 := E1 ∩ U2 . Entonces existe n2 ∈ N tal
que n2 > n1 y xn2 ∈ E2 . continuando de esta forma, para cada k ∈ N, existe
una bola abierta Uk de radio 1/k y nk ∈ N tal que nk > nk−1 y xnk , donde
Ek := Ek−1 ∩Uk . Por lo tanto (xnk ) es una subsucesión de Cauchy de la sucesión
2
(xn ) ya que d(xni , xnj ) < para todo i, j ≥ k. lo que termina la prueba
k
22
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Capı́tulo 2
Métrica de Hausdorff
En el desarrollo de este capı́tulo, se dan las definiciones y resultados básicos del
artı́culo Completeness and total boundedness of the Hausdorff metric del profesor Henrikson; que permiten hacer la reconstrucción del artı́culo y desarrollo
del presente trabajo, acá se define la métrica de Hausdorff sobre el espacio de
subconjuntos no vacı́os, cerrados y acotados de un espacio métrico compacto
dado. Se consideran dos propiedades topológicas asociadas a un conjunto: el
ser completo y totalmente acotado, propiedades definidas con anterioridad.
Se empieza presentando distancia de Hausdorff sobre conjuntos no vacı́os a
partir de dos definiciones; luego, se muestra que las definiciones son equivalentes,
y se aclara la razón del porqué es suficiente seleccionar los subconjuntos cerrados
y acotados de tal forma que la distancia de Hausdorff satisface. (1).
2.1
Definiciones de la distancia de Hausdorff
Dado un espacio métrico compacto S, se considera la colección X de subconjuntos no vacı́os cerrados y acotados de S como:
X = {A ⊂ S | A es no vacı́o, cerrado y acotado}.
El conjunto anterior es donde se define la distancia de Hausdorff.
Definición 17 (Distancia de Hausdorff )
La siguiente función se define sobre pares de elementos en X de la siguiente
manera:
dH (A, B) = max{sup m(e, B), sup m(e, A)},
(2.1)
e∈A
e∈B
donde m(e, C) : S × X → R está dado por
m(e, C) = inf d(e, c).
c∈C
23
24
CAPÍTULO 2. MÉTRICA DE HAUSDORFF
Figura 2.1: Descripción de las dos definiciones: A la izquierda, la más grande
m(a, B). A la derecha, la más pequeña −expansión de B que cubre A.
La función m representa la “mı́nima distancia” desde un punto e ∈ S a
un punto C en X. Ésta definición de distancia de Hausdorff, es en ocaciones
útil por la manipulación simbólica, aunque tiene una reformulación que es más
atractiva visualmente.
Dado A ∈ X, sea la −expansión de A la unión de todas las bolas abiertas
de radio alrededor de los puntos de A. Denótese ésta por E (A), esto es,
[
E (A) =
B(x, ).
x∈A
Entonces dH (A, B) se define como el más “ pequeño” que permite que la
expansión de A cubra a B y viceversa, esto es,
dH (A, B) = inf{ > 0 | B ⊂ E (A) y A ⊂ E (B)}.
(2.2)
Proposición 5 Las dos definiciones dadas anteriormente de la distancia de
Hausdorff son equivalentes
Como aporte personal a este trabajo, presento la demostración de las dos
definiciones para la distancia de Hausdorff.
Demostración. A partir de la ecuación (2.2), se expande la expresión para
deducir la ecuación (2.1). Primero, de la ecuación (2.2) se tiene que la distancia
de A a B es la más grande de los ı́nfimos, es decir,
dH (A, B) = max{inf{ > 0 | A ⊂ E (B)}, inf{ > 0 | B ⊂ E (A)}}.
La condición A ⊂ E (B), se refiere a
2.1. DEFINICIONES DE LA DISTANCIA DE HAUSDORFF
A⊂
[
25
{x; d(x, b) < }.
b∈B
Preguntarse si un conjunto A satisface la contenencia, es cuestionarse si para
todo a ∈ A, se tenga un b ∈ B menor que la distancia. De la misma manera,
se puede preguntar si, para todo a, el ı́nfimo de distancias de b ∈ B es pequeño.
Sustituyendo para A ⊂ E (B) y su contrapartida simétrica se tiene
dH (A, B)
=
max{inf{ > 0 | ∀a ∈ A, inf d(a, b) < }, inf { > 0 | ∀b ∈ B, inf d(a, b) < }}
=
max{sup inf d(a, b), sup inf d(a, b)}
=
max{sup m(a, B), sup m(b, A)},
a∈A
b∈B
a∈A b∈B
a∈A
b∈B a∈A
b∈B
que es justamente la parte derecha de la ecuación (2.1).
Se ilustra la distancia de Hausdorff sobre dos conjuntos cerrados y acotados
de R2
Ejemplo 7 Dado el espacio métrico (R2 , du ) sean los siguientes conjuntos A =
[0, 1] × [0, 1], B = [1, 7] × [0, 8], a partir de la definición de la métrica de Hausdorff se tiene:
dH (A, B) = ([1, 7] × [0, 8]), ([0, 1] × [0, 1]).
√
dH (A, B) = max{1, 85}.
dH (A, B) =
√
85
Figura 2.2: Distancia de Hausdorff.
26
CAPÍTULO 2. MÉTRICA DE HAUSDORFF
2.2
La Distancia de Hausdorff es una Métrica
Proposición 6
La función dH (A, B) de X ×X → [0, +∞) es una métrica y cumple las siguientes
propiedades: para ello se va a usar la definición 2.1
• dH (A, B) = 0 si y sólo si A = B
• dH (A, B) = dH (B, A)
• dH (A, B) ≤ dH (A, D) + dH (D, B)
Demostración.
• Sean A, B ∈ X, Supóngase que A = B luego A ⊂ B y defı́nase
e B) = sup { inf d(a, b)}
d(A,
a∈A b∈B
e B) = { inf d(a, b)
d(A,
b∈B
para algún a0 ∈ A ⊂ B}
(2.3)
(2.4)
e B) = { inf d(a0 , b)}
d(A,
(2.5)
inf d(a0 , b) = 0
(2.6)
b∈B
Pero a0 ∈ B, luego
b∈B
e B) = 0. Ya que B ⊂ A, por el mismo razonpor tanto se tiene que d(A,
e A) = 0. Por lo tanto dH (A, B) = 0.
amiento d(B,
Recı́procamente si dH (A, B) = 0, entonces ambos términos dentro de la
expresión del máximo de la definición de la métrica de Hausdorff son cero,
luego
inf D(a, B) = 0
(2.7)
a∈B
para todo a. Todo punto a es un punto de acumulación de B ya que toda
vecindad de a debe contener un punto de B si
inf d(a, b) = 0.
b∈B
(2.8)
Ası́ a ∈ B porque B es por definición cerrado. El punto a ∈ A y se
seleccionó de manera arbitraria luego A ⊂ B.
Debido a la simetrı́a de la definición de la métrica de Hausdorff B ⊂ A
también, por lo tanto A = B. La no negatividad de dH (A, B) se debe a
que d(a, b) es no negativa por ser una métrica.
• La definición de la distancia de Hausdorff es simétrica por tanto,
dH (A, B) = dH (B, A).
2.3. EL ESPACIO INDUCIDO DE HAUSDORFF ES TOTALMENTE ACOTADO27
• Sea
ρ(A, B) = sup dist(x, B).
(2.9)
x∈A
Lo cual permite reformular la distancia de Hausdorff de la siguiente manera.
dH (A, B) = max{ρ(A, B), ρ(B, A)}.
(2.10)
Si A ⊂ E (D) y D ⊂ Eη (B) entonces se sigue de la desigualdad triangular
que:
A ⊂ E+η (B). Por consiguiente se obtiene.
ρ(A, B) ≤ ρ(A, D) + ρ(D, B)
(2.11)
dH (A, B) = max{ρ(A, B), ρ(B, A)}
(2.12)
≤ max{ρ(A, D) + ρ(D, B), ρ(B, D) + ρ(D, A)}
(2.13)
= d(A, D) + d(D, B).
(2.14)
esto es
Nótese que la topologı́a en X derivada a partir de la distancia de Hausdorff
dH no está determinada por la topologı́a de el espacio métrico (S, d). Dos met0
ricas d y d que definen la misma topologı́a en S no necesariamente inducen la
misma topologı́a en X con la métrica de Hausdorff.
2.3
El espacio inducido de Hausdorff es totalmente acotado
Una de las propiedades que hereda el espacio inducido de Hausdorff (X, dH ) es
la total acotación bajo el supuesto que el espacio (S, d) es totalmente acotado,
recuérdese que lo es por el hecho de ser compacto.
Teorema 5 Si (S, d) es totalmente acotado, entonces el espacio X con la métrica
inducida de Hausdorff es totalmente acotado [6].
Demostración. Ya que S es totalmente acotado se puede tomar un cubrimiento
finito a partir de una -expansión. En efecto, dado un > 0, sean s1 , s2 , ..., sn ,
los centros de las bolas de radio en el cubrimiento para S.
Sea A ∈ X e I = {i/B(si , ) ∩ A 6= ∅}. Entonces el conjunto D = {si /i ∈ I}
tiene la propiedad dH (A, D) 6 . Como el conjunto potencia de {s1 , s2 , ..., sn , }
es finito, esto prueba que X es totalmente acotado.
28
CAPÍTULO 2. MÉTRICA DE HAUSDORFF
2.4
Completitud de la métrica de Hausdorff
La condición para que un espacio métrico sea completo es que toda sucesión de
Cauchy converge en dicho espacio, en este caso el espacio métrico (X, dH ) es
totalmente acotado, ya que (S, d), es compacto ver(3) Dado que ya se tiene que
todo espacio métrico totalmente acotado admite una sucesión de Cauchy , en
particular para el espacio (X, dH ). Ya una vez verificado este hecho sólo resta
mostrar la completitud.
El siguiente teorema es el objetivo principal del presente trabajo en él se demuestra la completitud del espacio inducido de Hausdorff, su demostración está
inspirada por [9], y se incluyen algunos detalles omitidos en dicha demostración.
Teorema 6 (Completitud De La Métrica De Hausdorff ) Si (S, d) es un
espacio métrico completo, entonces (X, dH ) es completo.
Demostración. El espacio métrico (S, d) en el presente trabajo se definió compacto, ası́ por el teorema (3),(S, d) es totalmente acotado, y el (4) garantiza la
existencia de una sucesión de Cauchy (An ) en (X, dH ), por tanto sólo resta
mostrar que ella converge en (X, dH ).
Sea A la siguiente colección de puntos.
A = {x : xk ∈ Ak , xk → x}.
(2.15)
Como (An ) es una sucesión de Cauchy, para todo > 0 existe N ∈ N tal
que si n, m ≥ N implica dH (An , Am ) < .
2
Si x ∈ A, entonces existe una sucesión (xk ) con xk ∈ Ak y xk → x. Para un k
lo suficientemente grande, se tiene que d(xk , x) < .
2
Como dH (Ak , An ) < , si k ≥ N, entonces, existe y ∈ An tal que d(xk , y) < ,
2
2
por tanto
d(y, x) ≤ d(y, xk ) + d(xk , x) < .
(2.16)
Esto muestra que A ⊂ B (An ).
Ahora supóngase que y ∈ An . Seleccionando enteros k1 < k2 < . . . de tal forma
que k1 = n y dH (Akj , Am ) < 2−j para todo m ≥ kj . A continuación se define
la sucesión (yk ) con yk ∈ Ak como sigue: Para k < n, seleccionar yk ∈ Ak arbitrario. Tómese yn = n. Si ykj ha sido seleccionado, y kj < k < kj+1 , seleccionar
yk ∈ Ak con d(ykj , yk )2−j . Entonces yk es una sucesión de Cauchy, y ésta converge. Sea x su lı́mite, ası́ x ∈ A. Se tiene que d(y, x) = limk d(y, yk ) < . Luego
y ∈ N (A). Esto muestra que An ⊂ E (A). Nótese que, seleccionado = 1 en el
anterior argumento, también se ha demostrado que A 6= φ.
Entonces se tiene dH (A, An ) ≤ . Esto concluye la prueba que (An ) converge a
2.4. COMPLETITUD DE LA MÉTRICA DE HAUSDORFF
29
A.
Ahora se demuestra que A es “ totalmente acotado”: esto es, para todo > 0
existe una −expansión finita en A. Se elige n de tal forma que dH (An , A) < .
3
Dado que S es compacto existe la ( )−expansión finita para An , expresada
3
{y1 , y2 , . . . , ym }. Ahora para cada yi , existe xi ∈ A con d(xi , yi ) < . El con3
junto finito {x1 , x2 , . . . , xm } es una −expansión para A.
Ahora se demuestra que A es un subconjunto cerrado de S. Sea x que
pertenece a la clausura de A, notada A. Entonces existe una sucesión (yn ) en A
con d(zn , yn ) < dH (An , A) + 2−n . Ahora
d(zn , x) ≤ (zn , yn ) + d(yn , x) < dH (An , A) + 2−n + 2−n .
(2.17)
Ésta converge a 0, ası́ zn → x. Esto es x ∈ A. Luego esto muestra que A es
cerrado.
Dado que un conjunto cerrado contiene todos sus puntos lı́mites, A ∈ X
luego (X, dH ) es completo.
30
CAPÍTULO 2. MÉTRICA DE HAUSDORFF
Conclusiones
En el presente trabajo se presentó la métrica de Hausdorff sobre los subconjuntos cerrados y acotados de un espacio métrico compacto.
Se mostró la equivalencia de las dos definiciones de la métrica de Hausdorff
a partir de propiedades del ı́nfimo, supremo y definición de −expansión.
En un futuro trabajo es de interés estudiar otras propiedades topológicas
tales como compacidad y separabilidad del espacio inducido de Hausdorff.
31
32
CAPÍTULO 2. MÉTRICA DE HAUSDORFF
Bibliografı́a
[1] Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, second edition, Morgan Kaufmann, San Francisco, 1993.
[2] Jeff Henrikson, Completeness and Total Boundedness of the Hausdorff
Metric, MIT Undergraduate Journal of Mathematics, 1999.
[3] Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis With Applications,
John Wiley, New York, 1978.
[4] James R. Munkres, Topologı́a General, segunda edición, Pearson Educación, Madrid 2012.
[5] Satish Shirali and Harkrishan L. Vasudeva Metric Spaces, Springer-Verlag,
London 2006.
[6] E.T Cobson Metric Spaces, Cambridge University Press Bentley House-,
New York 1988.
[7] Wilson A. Sutherland Introduction to metric and topological spaces, second
edition. Oxford University Press, New York 2009.
[8] Balmohan V. Limaye Linear Functional Analysis for Scientists and Engineers, first edition. Springer, Singapore, 2016.
[9] Gerald Edgar Measure, Topology, and Fractal Geometry, Second Edition.
Springer, New York, 2008.
33