EJERCICIOS

1
FUERZAS E INTERACCIÓN.
Ejercicios de la unidad 13
Estática.
1.-
JJG
G
G
JJG
G G
a) Suma vectorialmente las siguientes fuerzas: F1 = 5 i + 2 j N y F2 = 2 i − 4 j N ;
(
)
(
)
b) Representa el vector suma gráficamente usando la regla del paralelogramo. ⌦
2.-
a) ¿Cuánto valdrá el módulo de la fuerza resultante de dos fuerzas cuyos módulos
son 10 N y 15 N y que forman un ángulo de 30 º entre sí? b) ¿Qué ángulo formará la
fuerza resultante con la fuerza de 15 N? ⌦
3.-
a) Define Momento de una fuerza con respecto a un punto; b) ¿En qué unidades se
mide? ⌦
4.-
Explica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Una fuerza puede
trasladarse paralelamente a sí misma y provoca el mismo efecto; b) La constante
elástica de un muelle no tiene unidades; c) Si la resultante de dos o más fuerzas que
actúan sobre un cuerpo es nula, éste se encontrará en equilibrio estático. ⌦
5.-
De un muelle de 15 cm de longitud con una constante de 25 N/m colgamos una masa
de 50 g a) ¿Cuál será la nueva longitud del muelle?; b) Representa gráficamente la
longitud del muelle frente a la fuerza aplicada sobre él; c) ¿Qué fuerza habremos de
aplicar para que el muelle se estire hasta 1 metro de longitud? ⌦
6.-
Aplicamos una fuerza de 200 N a 80 cm del eje de una puerta con un ángulo de 60º
con respecto a la puerta hacia afuera. a) ¿Qué fuerza habrá que aplicar por el otro
lado a 60 cm del eje perpendicularmente para mantener el equilibrio? b) ¿Qué fuerza
tendrá que realizar el eje sobre la puerta para que no se salga de la bisagras? ⌦
7.-
Colgamos un objeto de masa igual a 80 kg de dos cuerdas que forman un ángulo de
60º y 135º a) ¿Qué tensión (módulo) soportará cada cuerda? ⌦
8.-
Una viga de 8 metros de larga hace de carril aéreo por la que
se desliza un colgador en el que colocamos una carga de
2000 kg. Calcula la tensión del cable de soporte (módulo) y la
fuerza que aplica la pared sobre la viga cuando la carga está a
6 m de la pared. (Desprecia la masa de la viga). ⌦
9.-
60º
¿Cuanto valdrán las componentes tangencial y normal del peso
correspondientes a una masa de 800 g situado en un plano con
un 20 % de inclinación? ⌦
Interacciones gravitatoria y eléctrica.
10.- a) ¿Una nave espacial de dos toneladas que se dirige hacia la Luna se encuentra a
60000 km de ésta. ¿Cuál será la expresión vectorial del campo gravitatorio? b) ¿Cuál
será el módulo de la fuerza global que sufrirá la nave en dicho punto?
(G = 6,67 · 10–11 N·m2·kg–2; MT = 5,98·1024 kg. ML = 0,012 MT: dT-L = 384000 km).
⌦
2
11.- a) Calcula la masa de un planeta si se sabe que a 15000 kms del centro del mismo el
valor de la gravedad es de 7 N×kg–1. b ¿Con qué fuerza será atraído un objeto de
5000 kg situado en ese punto? ⌦
12.- a) ¿Cuánto valdrá el campo gravitatorio en una nave espacial situada a 250000 km de
la Tierra y 200000 km de la Luna y en una dirección que forma 30º con la línea que
une la Tierra y la Luna? b) ¿Con qué fuerza (módulo y dirección) será atraído un
objeto de 5000 kg situado en ese punto? ⌦
13.- ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto donde el campo
gravitatorio resultante de la Tierra y la Luna es nulo? Datos: ML = 0,012 MT: dT-L =
384000 km. ⌦
14.- ¿Cuál será el valor de la gravedad en la superficie marciana sabiendo que la masa de
Marte es 0,108 MT y su radio es 0,532 RT? ⌦
15.- a) ¿Cuánto valdrá el campo eléctrico en el punto (2,1) si colocamos cargas de 1, 2 y
3 μC en (0,0), (0,4) y (5,1) respectivamente (las distancias están tomadas en metros)?
b) ¿Cuál será la fuerza que moverá una carga de –2 μC situada en dicho punto? ⌦
SOLUCIONES (Fuerzas e Interacción).
1.-
JJG JJG
G
G
G G
⌫ a) F1 + F2 = 5 i + 2 j N + 2 i − 4 j N
(
)
(
)
b)
G
G
G G
= ⎡⎣ (5 + 2) i + (2 − 4) j ⎤⎦ N = 7 i - 2 j N
(
2.-
5
JJG
G
G
G
G
⌫ a) F1 = F1x i + F1 y j = 10 × cos 30º i + 10 × sen 30º j N
(
Fy F1
30º
F2
b)
3.-
)
FR
Fx
α = arctg
α
)
JJG JJG JJG
G G
FR = F1 + F2 = ⎡⎣( 8, 66 + 15 ) i × 5 j ⎤⎦ N
F1
5
Fx
FR
JJG
G
G
G
G
F2 = F2 x i + F2 y j = 15 × cos 0º i + 15 × sen 0º j N
(
Fy
Fy
)
F2
JJG
FR = 23, 662 + 52 N = 24,18 N
5
= 11, 93º
23, 66
⌫ a) Es un vector cuyo módulo es el producto del módulo de la fuerza por la distancia más
corta que hay de la recta dirección de la fuerza y el punto (perpendicular).
Su dirección es perpendicular al plano que forman recto y punto pasando por el punto.
Su sentido viene dado por la regla del tornillo obtenido al girar del vector posición del punto de
aplicación de la fuerza a la fuerza por el camino más corto.
b) Se mide en N × m.
4.-
⌫ a) “Una fuerza puede trasladarse paralelamente a sí misma y provoca el mismo efecto”
FALSO. Las fuerzas sólo pueden deslizarse a lo largo de la línea de su dirección pues son
vectores deslizantes. Si retrasladan paralelamente producen efecto de giro distintos sobre los
cuerpos sobre los que actúan.
b) “La constante elástica de un muelle no tiene unidades”. FALSO. Se mide en N × m–1.
3
c) “Si la resultante de dos o más fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula éste se
encontrará en equilibrio estático”. FALSO. Es necesario que también la suma de los
momentos sea nula.
5.-
F
⌫ a) Δl = =
k
0, 050 kg × 9,8
25
N
m
m
s 2 = 0, 0196 m = 1,96 cm
F(N) 0 2,5 5 7,5 10
l(cm) 15 25 35 45 55
b)
l (cm)
40
⇒ l f = l0 + Δl = 15 cm + 1,96 cm = 16, 96 cm
c) F = k × Δl = 25
6.-
20
N
× (1 − 0,15) m = 21, 25 N
m
F(N)
⌫ a)
F1
60º
O
60 cm
JG
10
5
80 cm
F2
200 N × 0,8 m × sen 60º − F2 × 0, 6 m = 0
F2 =
200 N × 0,8 m × sen 60º
= 230, 9 N
0, 6 m
G
G
G
G
= ⎡⎣ 200 × cos 60º i + ( 200 × sen 60º −230,9 ) j ⎤⎦ N = 100 i − 57, 7 j N
JJJG
G
G
Luego la fuerza que tendrá que aplicar el eje será justo la opuesta: Feje = −100 i + 57, 7 j N
JG JG JJG JG
JG JG JJG JG
⌫ a)
∑ F = T1 + T2 + P = 0 ∑ F = T1 + T2 + P = 0
b)
JJG JJG
(
∑F = F +F
1
2
)
(
7.-
JG
G
G
G
G
T1 = T1x i + T1 y j = ⎡ T1 × cos 60º i + T1 × sen 60º j ⎤ N
⎣
⎦
JJG
G
G
G
G
T2 = T2 x i + T2 y j = ⎡ T2 × cos 135º i + T2 × sen135º j ⎤ N
⎣
⎦
JG
G
G
P = −80 kg × 9,8 m × s −2 j = −784 N j
(
)
(
T2135º T1
60º
Tiene que cumplirse que
P
)
)
∑F
x
= 0 y también
∑F
y
=0
T1 × cos 60º +T2 × cos 135º = 0
T1 × sen 60º +T2 × sen 135º −784 N = 0
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: T1 = 573,9 N ; T2 = 405,9 N
8.-
⌫ a)
60º
T
Ty
Ty = T × sen 150º = 0, 5 T ; P = 2000 kg × 9,8 m × s −2 = 19600 N
JJG
∑ M = 0 ⇒ 0, 5 T × 8 m = 19600 N × 6 m ⇒ T = 29400 N
Tx = T × cos 150º = 29400 N × ( −0,866) = −25461N
Tiene que cumplirse que
P
∑F
x
= 0 y también
Fx + Tx = 0 ⇒ Fx = −Tx = 25461N
∑F
y
=0
4
Fy + Ty + Py = 0 ⇒ Fy = −Ty − Py = −0,5 × 29400 N + 19600 N = 4900 N
JJG
G
G
G
G
F1 = Fx i + F y j = 25461 i + 4900 j N
(
9.-
)
⌫ PT = P × sen 20º = 0, 8kg × 9, 8m × s −2 × 0,342 = 2, 68N
PN = P × cos 20º = 0, 8kg × 9, 8m × s −2 × 0, 940 = 7, 37 N
10.- ⌫ a)
uT
uL
JJG
JJG
JG JJG JJG
⎛ M JJG M JJG ⎞
g = gT + g L = −G ⎜ 2T uT + 2L uL ⎟ Como u L = −uT queda la expresión:
dL
⎝ dT
⎠
⎛
⎞
24
JG JJG JJG
7,18 ×1022 kg ⎟ JJG
N JJG
2
−11
−2 ⎜ 5,98 × 10 kg
−
g = gT + g L = −6,67 × 10 N × m × kg
uT = 2, 47 ×10−3
uT
2
2
7
⎜ ( 3, 24 × 108 m )
⎟
kg
6
10
m
×
(
)
⎝
⎠
JG
JG
b) F = m × g = 2000kg × 2, 46 × 10−3 N = 4, 92×10−3 N
kg
−1
7
2
11.- ⌫ a) g = G ⎛ M ⎞ ⇒ M = g × d = 7 N × kg × (1,5 × 10 m ) = 2, 36×1025 kg
⎜ 2⎟
G
6,67 ×10−11 N × m 2 × kg −2
⎝d ⎠
2
b) F = m × g = 5000kg × 7
N
= 35000 N
kg
12.- ⌫ a)
gT gL
b
30º
j
dL α
30º
a
i
En este caso, al no estar la nave espacial en la dirección Tierra-Luna, hay que descomponer los
campos gravitatorios creados por cada cuerpo celeste en sus componentes cartesianas para
poder sumarlos vectorialmente. Para ello, debemos calcular el valor de α y dL.
cos30º =
a
⇒ a = 216500 km
250000 km
α = arctg
125000 km
= 143,3º
−167500 km
⎛M
gT = G ⎜ 2T
⎝ dT
sen 30º =
dL =
b
⇒ b = 125000 km
250000 km
(125000 km ) + (167500 km )
2
24
⎞
N
−11
−2 5,98 × 10 kg
2
6,67
10
N
m
kg
=
×
×
×
= 6,38 × 10−3
⎟
2
kg
⎠
( 2,5 ×108 m )
⎛M ⎞
7,18 ×1022 kg
N
g L = G ⎜ 2L ⎟ = 6,67 × 10−11 N × m 2 × kg −2
= 1,10 × 10−4
2
kg
⎝ dL ⎠
( 2, 09 ×108 m )
2
= 209000 km
5
JJG
G
G N
G
G N
gT = ⎡⎣( 6,38 × 10−3 × cos 210º ) i + ( 6,38 × 10−3 × sen 210º ) j ⎤⎦
= −5,53× 10−3 i − 3,19 × 10−3 j
kg
kg
JJG
G
G
G
G
N
N
g L = ⎣⎡(1,1×10−4 × cos 323,3º ) i + (1,1× 10−4 sen 323,3º ) j ⎤⎦
= +8,82 × 10−5 i − 6,57 × 10−5 j
kg
kg
JG JJG JJG
G
G
N
g = gT + g L = ⎡⎣( −5,53 × 10−3 + 8,82 × 10−5 ) i + ( −3,19 × 10−3 − 6,57 × 10−5 ) j ⎤⎦
kg
JG JJG JJG
G
G
N
g = gT + g L = −5, 44×10−3 i − 3, 26×10−3 j
kg
(
)
(
(
)
)
G
G
JG
JG
G N
b) F = m × g = 5000 kg × −5, 44 × 10−3 − 3, 26 × 10−3 j
= −27, 2 i − 16,3 j N
kg
JG
2
2
−16,3N
F = ( −27, 2 N ) + ( −16,3 N ) = 31, 7 N
β = arctg
= 30, 9º
−27, 2 N
(
)
(
)
13.- ⌫ a) Para que sea nulo el campo gravitatorio es necesario que los campos gravitatorios
terrestre y lunar sean iguales y de sentido contrario la gravedad. Esto sólo ocurre en un punto
que éste situado entre la Tierra y la Luna y en la línea que une ambos. Por ello, bastará con
calcular las gravedades gT y gL e igualarlas,
gT gL
x
gT = G
MT
x2
gL = G
ML
( dTL − x )
2
=G
0, 012 × M T
( 3,84 ×10 m − x )
8
2
Igualando ambas expresiones y eliminando G y MT nos queda:
1
0, 012
=
2
2
x
( 3,84 ×108 m − x )
Resolviendo la ecuación de segundo grado queda que: x = 3, 46 ×108 m = 346000 km
14.- ⌫ g M = G
MM
0, 018 × M T
M
0, 018
m
m
=G
= G 2T ×
= 9,8 2 × 0, 382 = 3, 74 2
2
2
2
dM
s
dT 0,532
s
( 0,532 × dT )
2μC
15.- ⌫
a)
β
u2
JG JJG JJG JJG
⎛ q JG q JJG q JJG ⎞
E = E1 + E2 + E3 = K ⎜ 12 u1 + 22 u2 + 32 u3 ⎟
d2
d3 ⎠
⎝ d1
m 2 ⎛ 10−6 C JG 2 × 10−6 C JJG 3 × 10−6 C JJG ⎞
= 9 × 10 N 2 × ⎜
u1 +
u2 +
u3 ⎟
C ⎝ 5 m2
13 m 2
9 m2
⎠
9
γ
E3
u1
α
E1
E2
3μC
u3
JG
JJG
JJG N
= 1800 u1 + 1383 u2 + 3000 u3
C
(
)
1μC
G G
Para poder sumar vectorialmente hay poner los vectores unitarios en función de i y j
6
1
= 26, 6º
2
α = arctg
β = arctg
;
−3
= −56,3º
2
;
γ = arctg
0
= 180º
−3
JJG
G
G
G G
G
JG
G
G
G
G
u1 = cos 26, 6º i + sen 26, 6º j = 0,894 i + 0, 447 j
u3 = cos 180º i + sen 180º j = −1i + 0 j = − i
JJG
G
G
G
G
u2 = cos ( −56,3º ) i + sen ( −56,3º ) j = 0,555 i − 0,832 j
JG
G
G
G
G
G N
G
G N
E = ⎡1800 × 0,894 i + 0, 447 j + 1383 × 0,555 i − 0,832 j + 3000 × − i ⎤ = −623 i − 346 j
⎣
⎦C
C
JG
JG
G
G N
G
G
b) F = q × E = −2 × 10−6 C × −623 i − 346 j
= 1, 25 × 10-3 i + 6, 92 × 10-4 j N
C
(
)
(
(
)
)
( )
(
(
)
)
Soluciones a los ejercicios de los apuntes:
A) ⌫
d = G×
mT × mS
N × m 2 5,97 kg × 10 24 × 1,99 × 1030 kg
= 6,67 × 10 −11
×
= 1,49 x 1011 m
2
22
3,54 × 10 N
F
kg
B) ⌫
gT = G ×
gL = G ×
2
mT
5,97 × 1024 kg
m
−11 N × m
=
6,67
×
10
×
= 0,00481 2
2
2
2
RT
kg
s
⎛3
⎞
8
⎜ 4 × 3,84 × 10 m ⎟
⎝
⎠
2
mL
7,47 × 1022 kg
m
−11 N × m
=
6,67
×
10
×
= 0,00054 2
2
2
2
RL
kg
s
⎛1
⎞
8
⎜ 4 × 3,84 × 10 m ⎟
⎝
⎠
g = gT − g L = 0,00481
m
m
m
− 0,00054 2 = 0,00427 2
2
s
s
s
F = m × g = 80000kg × 0,00427
m
= 341,6 N
s2
C) ⌫
F =K×
q1 × q2
d2
= 9 × 109
N × m 2 2 × 10 −6 C × 5 × 10 −6 C
×
F = 36 N
2
C2
( 0,05 m )
2
q1 × q2
3 × 10 −6 C × 6 × 10 −6 C
9 N×m
= 9 × 10
= 0,23 m
×
D) ⌫ d = K ×
F
C2
3N