Cátedra I Estadística II Autor I Nidia Blanch 151

Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
8.1. Introducción
Hasta aquí hemos aprendido a efectuar inferencias respecto a las medias y varianzas
de una o dos poblaciones. Deseamos saber ahora si existe una metodología mediante
la cual se puedan comparar en una sola prueba los parámetros de tres o más
poblaciones, simultáneamente. Como es obvio, este procedimiento resultará de suma
importancia en el análisis estadístico, pues a menudo surgen situaciones en las que el
investigador puede estar interesado en efectuar un experimento cuyo objetivo es
estudiar el efecto de diferentes sustancias químicas en la reacción de una pasta,
distintas técnicas de manipulación de archivos de datos, la efectividad de varios
procedimientos para la reducción de accidentes, la calidad de los productos de varios
proveedores, el estudio de diferentes procedimientos para el control de errores
administrativos, etc.
El investigador podría decidir la comparación de estas muestras mediante alguno de
los procedimientos vistos anteriormente, tomando las medias de a pares. Pero este
procedimiento es ineficiente y antieconómico.
Se necesita, una metodología que investigue simultáneamente las diferencias
existentes entre medias de varias poblaciones y esa metodología se denomina
Análisis de la Varianza (ANAVA).
El nombre de Análisis de la Varianza deriva del hecho de que el análisis se basa en la
comparación de las varianzas estimadas a partir de diversas fuentes.
Una forma sencilla de entender el ANAVA es considerarlo como un procedimiento para
comprobar si dos o más medias muestrales pueden haberse obtenido de poblaciones
con la misma media paramétrica, respecto a una variable dada, o lo que es lo mismo,
si el tratamiento aplicado a las unidades experimentales ha modificado a la población
de la cual se extrajo la muestra, de tal manera que ahora, ya no se tiene una sino
varias poblaciones.
Abordaremos entonces el estudio del Análisis de la Varianza y sus aplicaciones como el
procedimiento correcto para resolver esta situación, mediante el desarrollo del caso
más simple: el Análisis de la Varianza de un solo factor.
8.2. Análisis de la varianza de un factor
A menudo resulta de interés comparar diferencias en los resultados de varios grupos.
Muchas situaciones prácticas implican experimentos en los que se toman en cuenta
solamente los grupos o niveles pertenecientes a un factor de interés, como la
temperatura de horneado de un producto o el nivel de ocupación. Un factor como la
temperatura de horneado puede tener varios niveles numéricos (por ejemplo, 300º,
350º, 400º, 450º) o un factor como el nivel de ocupación con varios niveles
categóricos (operario, administrativo, gerente). Tales experimentos, en los cuales los
sujetos o unidades experimentales son asignados aleatoriamente a grupos o niveles de
un solo factor, se conocen como; modelos completamente aleatorizados de un
solo factor.
Se tratará de clarificar este concepto mediante la consideración del siguiente
problema:
Supongamos que una empresa manufacturera debe comprar una nueva máquina.
Existen en el mercado tres marcas diferentes y el gerente de compras debe decidir
cual le conviene comprar. Supongamos que el costo de las tres es similar y que la
decisión se tomará eligiendo aquella que sea más rápida para la produc-
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ción del bien que realiza la empresa.
El gerente de compras observa los volúmenes de producción de cinco horas de
trabajo seleccionadas en forma aleatoria para cada una de las máquinas. Los
resultados obtenidos se informan en la siguiente tabla:
Volumen de producción horario de tres máquinas para cinco horas
Muestra
1
2
3
4
5
Total
Media
Varianza
Rango
C.V. %
Máquina
I
25
30
36
38
31
160
32
26.5
13.0
16.1
II
31
39
38
42
35
185
37
17.5
11.0
11.3
III
24
30
28
25
28
135
27
6.0
6.0
9.1
En este ejemplo la variable principal de interés es el factor máquinas, los niveles
del factor son las tres máquinas (I, II y III) y la variable de respuesta elegida para
medir su efecto es el volumen de producción (en unidades producidas).
Cuando el investigador analiza un solo factor a distintos niveles y diseña su
experiencia de la manera explicada, se dice que está diseñando un experimento
completamente aleatorizado.
El siguiente gráfico muestra la dispersión del volumen de producción de las tres
máquinas. Cada punto representa el volumen de producción observado para cada
máquina y la línea central indica el promedio general de las 15 producciones.
Producción
Dispersión del volumen de producción de las tres máquinas
50
40
x
30
20
10
I
II
III
Máquina
A partir de este gráfico de dispersión (scatter-plot) se puede observar que los
volúmenes de producción medios son diferentes, que la tercera máquina es más
homogénea, que con la segunda máquina hay un volumen de producción superior
al resto y que la primera máquina tiene volúmenes de producción más variables
que las otras dos.
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La pregunta que nos hacemos a esta altura es: ¿cuál de las tres máquinas debe
comprar el gerente de producción?
Para contestar a esta pregunta comenzaremos a desarrollar el procedimiento de
análisis de la varianza.
En primer lugar, se definen las hipótesis de interés.
El supuesto que se realiza es que los c niveles del factor o c grupos que se desean
estudiar (máquinas, en este caso) corresponden a poblaciones normales, con
iguales varianzas. Además se supone que las mediciones fueron obtenidas de
manera aleatoria e independiente. En esta situación, la hipótesis nula establece
que no existen diferencias entre los promedios poblacionales.
Esto es:
H0 : µ1 = µ 2 = ... = µc
contra la alternativa de que no todos los promedios poblacionales son iguales.
Esto es:
H1 : No todas las µ j son iguales
(j = 1, 2, ..., c)
Volviendo al ejemplo planteado, la hipótesis nula establece que no hay diferencia
en el volumen de producción promedio de las tres máquinas, es decir:
H0 : µI = µII = µIII
La hipótesis alternativa establece que existe un efecto de tratamiento o efecto de
máquina que hace que los volúmenes de producción medios de las tres máquinas
no sean iguales.
H1 : No todos los promedios son iguales
9.1. Variación entre y dentro de grupos
Para llevar a cabo una prueba ANAVA de igualdad de medias poblacionales, se
subdivide a la variación total de las mediciones obtenidas en el experimento en dos
partes, una correspondiente a la variación entre grupos (entre máquinas) y la otra
correspondiente a la variación dentro de grupos (variación de las mediciones de
cada máquina). Justamente, la denominación análisis de la varianza proviene de
descomponer la variabilidad total de los datos en sus partes componentes.
Veremos esta descomposición en fórmulas:
Variación total18/ =
c nj
2
∑ ∑ ( xij − x )
j =1 i =1
18/
Para entender el doble sumatorio observe la tabla que se presenta en la página
siguiente, el primer sumatorio indica la variación en las columnas y el segundo, en las
filas. En este caso, se mantiene fijo el subíndice del sumatorio exterior y se hace variar
el interior (j = 1, i = 1 a nj); una vez agotado n1 seguimos con j = 2 y nuevamente i = 1
a n2 y así sucesivamente.
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Donde c representa el número de grupos o niveles del factor en el experimento, n j la
cantidad de observaciones por grupo o tamaño de la muestra en cada grupo, x ij indica
la i-ésima medición obtenida en el grupo j y x el promedio general.
Esta expresión corresponde al numerador de la varianza de todos los datos del
experimento y luego recibe el nombre de Suma de cuadrados total (SCT).
Variación entre grupos19/ =
c
∑ n j (x j − x )
2
j =1
La variación entre grupos se conoce como Suma de cuadrados entre grupos (SCE) y
mide la suma de las diferencias al cuadrado entre la media de cada grupo y la media
general, ponderadas por el tamaño de cada grupo.
c nj
Variación dentro de grupo =
2
∑ ∑ ( xij − x j )
j =1 i =1
La variación dentro del grupo, conocida como suma de cuadrados dentro de los grupos
(SCD) mide la diferencia entre cada observación y la media de su propio grupo elevada
al cuadrado y sumada sobre todos los grupos.
Obtendremos ahora estas tres sumas de cuadrados con los datos del ejemplo.
Emplearemos las fórmulas de cálculo simplificadas, tomando la información de la
siguiente tabla de cálculos auxiliares.
Cálculos auxiliares
Cálculos auxiliares
Muestra
1
2
3
4
5
Total
c nj
Siendo:
∑ ∑ xij
2
xi1
xi21
xi2
xi22
x i3
x i23
25
30
36
38
31
625
900
1296
1444
961
31
39
38
42
35
961
1521
1444
1764
1225
24
30
28
25
28
576
900
784
625
784
160
5226
185
6915
135
3669
= 5226 + 6915 + 3669 = 15810
j =1 i =1
2
y
19/
 c nj 
2
2
∑ xij  = (160 + 185 + 135) = 480 = 230400
∑
=
=
j
1
i
1


En este caso, los términos de la suma no están afectados por el subíndice i, por lo que el
segundo sumatorio se convierte en nj veces cada diferencia.
154
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Luego:
Suma de cuadrados total =
=
 c nj 
∑ xij 
∑
c nj
j =1 i =1
2


∑ ∑ xij −
j =1 i =1
cn
2
( 480 ) 2
= 15810 – 15360 = 450
15
15810 −
c
(Siendo cn el total de datos =
∑ nj
)
j =1
 nj 
∑  ∑ xij 
j =1  i =1

nj
c
Suma de cuadrados entre grupos =
=
2
 c nj 
∑ xij 
∑
j =1 i =1


−
cn
2
(160 ) 2 (185 ) 2 (135 ) 2
(480) 2
+
+
−
5
5
5
15
= 15610 – 15360 = 250
 nj 
∑
 ∑ xij 
c nj
j =1  i =1
2

∑ ∑ xij −
j =1 i =1
nj
c
Suma de cuadrados dentro de grupos =
2
= 15810 - 15610 = 200
Podremos verificar una importante propiedad de las sumas de cuadrados que dice
que a pesar de que estas sumas se obtienen independientemente una de otra, la
suma de las mismas reproduce la suma de cuadrados total. Es decir, las sumas de
cuadrados son aditivas.
Luego:
SCT = SCE + SCD
Con los resultados del ejemplo:
450 = 250 + 200
De esta manera hemos verificado la aditividad de las sumas de cuadrados.
Resulta sencillo demostrar cómo esta propiedad aditiva se cumple para todos los
casos, si tenemos en cuenta que:
c nj
SCT=
2
∑ ∑ ( xij − x )
Sumando y restando la media de cada grupo, se puede escribir:
j =1 i =1
c nj
c nj
j =1 i =1
j =1 i =1
2
2
∑ ∑ ( xij −x ) = ∑ ∑ (( xij − x j )+ ( x j − x ))
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Desarrollando el cuadrado del Segundo miembro e introduciendo los sumatorios20/:
c nj
c nj
c
c nj
j =1 i =1
j =1 i =1
j =1
j =1 i =1
2
2
2
∑ ∑ ( xij −x ) = ∑ ∑ ( xij −x j ) + ∑ n j ( x j − x ) +2 ∑ ∑ ( xij −x j )( x j − x )
En el ultimo término, se trata de sumas de productos de desvíos con respecto a la
media; al introducir los sumatorios, ambos factores se anula. Por lo tanto este término
es nulo y resulta:
c nj
∑ ∑ ( xij −x )
j =1 i =1
2
c nj
=∑
∑ ( xij −x j )
2
j =1 i =1
c
+∑
j =1
n j ( x j − x )2
Con lo cual hemos demostrado la aditividad de las sumas de cuadrados, tal como lo
hemos verificado en el ejemplo numérico.
Como existen c niveles del factor siendo comparados, existen c–1 grados de libertad
asociados con la suma de cuadrados entre grupos. Además, como cada uno de los c
niveles contribuye con
n j −1
grados de libertad y;
c
∑ (n j − 1)
=n–c
j =1
existen (n – c) grados de libertad asociados con la suma de cuadrados dentro de
grupos. Por otro lado, existen (n – 1) grados de libertad asociados con la suma de
cuadrados total, porque cada observación x ij se compara con la media general
basándose en el total de observaciones;
c
∑ nj = n
j =1
Es posible observar que los grados de libertad asociados a las sumas de cuadrados
también son aditivos.
n - 1 = (c - 1) + (n - c)
Por otro lado, si cada suma de cuadrados se divide por sus respectivos grados de
libertad asociados, se obtienen tres varianzas o términos cuadráticos medios.
Es decir:
Cuadrado medio total (CMT) =
SCT
=
n −1
1 c nj
2
∑ ∑ ( xij −x )
n − 1 j =1 i =1
Cuadrado medio entre grupos (CME) =
SCE
=
c −1
1 c
2
∑ nj (xj − x )
c − 1 j =1
Cuadrado medio dentro de grupo (CMD) =
SCD
=
n−c
1 c nj
2
∑ ∑ ( xij −x j )
n − c j =1 i =1
Los cuadrados medios no son aditivos.
20/
Al introducir los sumatorios, se producen algunos cambios según cómo los términos
contienen o no los subíndices i y j. El segundo término no contiene a i, por lo tanto en
lugar del sumatorio con respecto a i se debe colocar nj.
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Calculemos ahora los cuadrados medios con los datos del ejemplo.
CME = 250 / 2 = 125
CMD = 200 / 12 = 16,67
Ahora bien, el cuadrado medio entre grupos y el cuadrado medio dentro de grupos
representan dos estimaciones independientes de la varianza poblacional, por lo
tanto nos interesa saber si ambas estiman al mismo parámetro.
Esto ocurre cuando las medias de todos los grupos son iguales (H0 verdadera), si
esto no ocurre se concluye que la H0 es falsa.
Para probar esta hipótesis se necesita una prueba estadística que evalúe la
probabilidad de que dos varianzas muestrales estimen la misma varianza
poblacional. Esta prueba es la prueba F que ya hemos visto.
El estadístico de prueba es el cociente de las varianzas calculadas con los datos
muestrales, es decir;
F0 =
125,00
= 7,50
16,67
La varianza del numerador tiene c - 1 = 2 grados de libertad y la del denominador
n - c = 12 grados de libertad. Luego, la estadística F0 sigue una distribución F con
2 y 12 grados de libertad. Si fijamos un nivel de significación α = 0,05, el valor
crítico será:
F0,95, 2, 12 = 3,89
Y la regla de decisión consistirá en rechazar H0 si F0 > 3,89.
En nuestro ejemplo, 7,50 > 3,89 por lo cual se toma la decisión de rechazar H0 .
El resultado obtenido parece indicar que la variabilidad entre los grupos no es
igual a la variabilidad intrínseca del material experimental, y por lo tanto, la
conclusión es que las dos varianzas muestrales no estiman a la misma varianza
poblacional, o sea que debe ser rechazada la igualdad de medias.
9.2. Tabla de ANAVA
Los resultados del análisis de la varianza se presentan generalmente en una tabla
resumen llamada tabla ANAVA cuyo formato se presenta en la tabla siguiente.
En la primera columna se informan las fuentes de variación (entre grupos, dentro de
grupos y total) seguida por las respectivas sumas de cuadrados, grados de libertad,
cuadrados medios y valor de la estadística F calculada. En la última columna se
informa la significación de la prueba (conocida como valor de p) que indica la
probabilidad de obtener una estadística F mayor o igual a la alcanzada, cuando la
hipótesis nula es verdadera. Esto nos permite llegar directamente a una conclusión
respecto a la hipótesis nula o problema planteado sin tener que referirnos a una tabla
de la distribución F. De esta manera, cuando el valor de p es menor que el nivel de
significación α elegido, la hipótesis nula es rechazada.
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Tabla resumen del análisis de la varianza (ANAVA)
Origen de las
variaciones
Sumas de
cuadrados
c
Entre grupos
∑ n j (x j − x )
Dentro de grupos
∑ ∑ ( xij −x j )
Total
2
∑ ∑ ( xij −x )
2
j =1
c nj
2
j =1 i =1
Grados
de
libertad
Cuadrados
medios
c-1
CME =
SCE
c −1
n-c
CMD =
SCD
n−c
valor
de p
F0
F=
CME
CMD
p
c nj
j =1 i =1
n-1
A continuación se muestra la tabla de ANAVA correspondiente al procesamiento de
los datos del ejemplo.
ANAVA para volumen de producción de tres máquinas
Fuente de
variación
Máquina
Suma de
cuadrados
250,00
Grados de
libertad
2
Cuadrado
medio
125,00
Error
200,00
12
16,67
Total
450,00
14
F
Valor p
7,50
0,0077
Es posible observar que los resultados coinciden con los obtenidos en forma
manual. La única diferencia se encuentra en la última columna que contiene el
valor p exacto para el valor calculado de la estadística F0 (p = 0,0077). Este valor
de p indica la probabilidad de obtener una estadística F0 de 7,50 o mayor cuando
la hipótesis nula es verdadera. Puesto que p = 0,0077 es menor al valor
especificado de α ( α = 0,05) la hipótesis nula es rechazada.
De acuerdo con estos resultados, el gerente de producción encuentra evidencia
suficiente para llegar a la conclusión de que existe un efecto significativo en los
niveles del factor de interés, es decir, las tres máquinas. Se concluye, por lo tanto,
que existe una diferencia significativa en el volumen promedio de produc- ción de
las tres máquinas.
Aclaración:
Si quisiéramos realizar este análisis con el programa Excel, los datos deberían
acomodarse de la siguiente manera:
Maquina I
25
30
36
38
31
Máquina II
31
39
38
42
35
Máquina III
24
30
28
25
28
Posteriormente empleando el procesamiento Análisis de datos -Análisis de
varianza de un factor, datos en columnas- se obtiene la siguiente salida:
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Análisis de varianza de un factor
RESUMEN
Grupos
Cuenta
5
5
5
Máquina I
Máquina II
Máquina III
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de las variaciones
Dentro de los grupos
SC
250,0
0
200,0
0
Total
450,0
0
Entre grupos
Suma
160
185
135
Promedi
o
32
37
27
Varianza
26,5
17,5
6
g.l.
CM
F
Valor p
F crítica
2
125,00
7,50
0,0077
3,89
12
16,67
14
9.3. Modelo estadístico y supuestos del ANAVA
En el ANAVA, como en cualquier otra metodología de análisis de datos, es importante
conocer el procedimiento que sigue el método para llegar a un resultado, pero no es
menos importante conocer la fundamentación teórica subyacente. Se hace
imprescindible, en el momento de elegir entre varias alternativas de procesamiento de
datos, conocer cuáles son las características teóricas que hacen que un modelo de
análisis sea mejor que otro.
Por este motivo pasaremos ahora a desarrollar las características teóricas del modelo
de ANAVA con un criterio de clasificación y efectos fijos.
Modelo de ANAVA
Podemos preguntarnos: ¿qué representa cada medición efectuada sobre una unidad
experimental?
Consideremos una observación cualquiera, x ij , por ejemplo (i-ésima observación
correspondiente al j-ésimo grupo). Partiendo de la identidad:
x ij = x ij
es posible reconstruir sus componentes más importantes.
En efecto, sumando y restando convenientemente, tenemos:
x ij = x ij + (µ − µ) + (µ j − µ j )
= µ + (µ j − µ) + (x ij − µ j )
x ij = µ + t j + e ij
(i =1, 2, ..., n j
y j = 1, 2, .., c)
Luego, podemos decir que en el ANAVA a un criterio de clasificación, cualquier
observación puede descomponerse en estas tres componentes, donde:
µ es la media poblacional de todas las observaciones.
(µ j − µ) = t j es el efecto del j-ésimo tratamiento sobre la media µ .
(x ij − µ j ) = eij es una componente aleatoria que refleja aquellos errores que no son
atribuibles al tratamiento (o a sus diferentes niveles), sino a la fuente de error que
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llamamos error experimental o error residual. Esto es así, por cuanto tales diferencias
se calculan dentro de cada nivel de tratamiento.
El término µ es constante para todas las mediciones en todos los tratamientos. El
efecto t j es constante para todas las mediciones dentro de la población j. El error
experimental eij es único para cada una de las observaciones en el experimento.
Además, se supone que el efecto t j es independiente de eij .
Dado que µ y t j son constantes para todas las mediciones dentro de la población j, la
única fuente de variación para estas mediciones es la debida al error experimental.
Ahora bien, si las unidades experimentales (productos producidos, individuos, etc.)
son asignadas aleatoriamente a cada nivel del tratamiento, tendremos cierta seguridad
de que el error experimental será independiente del efecto del tratamiento. De aquí
surge la importancia de la aleatorización en el diseño de la investigación.
El error experimental mide todos los efectos no controlados que no están relacionados
con el tratamiento en sí mismo. Por lo tanto el error experimental es un efecto
combinado de varias variables aleatorias que son independientes del efecto del
tratamiento. En estas condiciones, es razonable suponer que la distribución de los
errores dentro de la población j será aproximadamente normal con media 0 y varianza
σ 2j . Si las fuentes del error experimental son comparables en cada uno de los
tratamientos, es posible establecer que:
σ12 = σ 22 = ... = σ c2 = σ 2
9.4. Supuestos del modelo
De acuerdo con lo ya establecido, los supuestos subyacentes al modelo de análisis de
la varianza a un criterio de clasificación, implican errores normalmente distribuidos e
independientes y con varianzas homogéneas para todas las observaciones.
La pregunta es ahora: ¿cómo podemos verificar el cumplimiento de estos
supuestos?
Dado que la única componente aleatoria del modelo es el error experimental, el
análisis de los supuestos está referido al estudio de la distribución de estos errores.
En la práctica dicho estudio se conoce como análisis de los residuales, dado que al
error experimental también se lo denomina error residual.
El análisis de la distribución de los residuales eij es de suma importancia, por cuanto a
través de este estudio se pueden descubrir tanto una inadecuada formulación del
modelo como violaciones a los supuestos del modelo establecido.
El análisis de los residuales debe convertirse en una tarea rutinaria antes de
aplicar cualquier procedimiento de análisis de los datos utilizando la
metodología del análisis de la varianza.
Veremos ahora como podemos verificar los supuestos de normalidad, independencia y
varianza constante a partir del análisis de los residuales, eij .
El cálculo de los residuales es muy sencillo de realizar. En un modelo de ANAVA de un
solo factor, los residuales se obtienen restando a cada observación el valor predicho
por el modelo que coincide con la media de su grupo.
160
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eij = x ij − x j
9.4.1. Supuesto de normalidad de errores
La comprobación del supuesto que establece que los residuales deben estar
normalmente distribuidos con media 0, puede efectuarse construyendo un histograma
de frecuencias para los eij .
Algunas veces, cuando la muestra es chica, se presenta el problema de la verificación
de este supuesto. En estos casos, suele ocurrir que se producen alejamientos de la
simetría por contar con muy pocos datos más que por un real alejamiento de la
normalidad.
En general, desviaciones moderadas de la normalidad no afectan al análisis de la
varianza. Por ello se dice que el análisis de la varianza es un procedimiento robusto o
consistente ante el supuesto de normalidad, debido a que la prueba F se ve muy poco
afectada en este caso.
También se puede probar este supuesto mediante el gráfico Q-Q (plot-normal). En el
caso en que aparezca un residuo mayor que otros, esto puede distorsionar seriamente al análisis de los datos. Frecuentemente la causa de un residuo distanciado es
un error de cálculo o de carga de datos. Si esta no es la causa, se debe investigar
cuidadosamente las circunstancias experimentales con respecto a esta medición. Si la
respuesta distanciada es un valor particular observado de la variable (alta resistencia,
bajo costo, etc.) este residuo distanciado puede proporcionar más información que el
resto de los datos. Hay que ser muy cuidadoso para no descartar o rechazar una
observación distanciada, a menos que exista una base no estadística razonable para
hacerlo. En el peor de los casos se pueden hacer dos análisis, uno con la observación
atípica y otro sin ella.
Un procedimiento para detectar residuos atípicos o inusitados es tomando los residuales estandarizados.
rij =
eij
CMD
Entonces, si los errores eij se distribuyen de manera normal, los residuos estandarizados deben ser aproximadamente normales con media cero y varianza uno. Luego,
aproximadamente el 68% de los residuos estandarizados debe encontrarse entre los
límites de ± 1, aproximadamente el 95% entre ± 2 y prácticamente todos deben
estar entre ± 3.
Sin embargo, la forma más apropiada de probar el supuesto de normalidad de los
errores es mediante una prueba de hipótesis. La estadística de la prueba difiere de un
programa de estadística a otro, pero en general las más empleadas son las de
Kolmogorov-Smirnov (esta prueba se estudiará en el Capítulo VI) y de Shapiro-Wilks
(ver Anexo al final del presente Capítulo). En esta oportunidad nos detendremos sólo
en su interpretación).
Veremos ahora el cumplimiento de este supuesto para el ejemplo considerado.
En primer lugar, se presenta la tabla con los valores observados, el cálculo de los
valores predichos (promedios de cada máquina), residuales (diferencia entre
observado y predicho) y residuales estandarizados (cociente entre residual y
desviación estándar del modelo).
161
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Valores observados, predichos y residuales para las tres máquinas
Máquina
Valor
observado
Valor
predicho
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
25
30
36
38
31
31
39
38
42
35
24
30
28
25
28
32
32
32
32
32
37
37
37
37
37
27
27
27
27
27
Residual
- 7,0
- 2,0
4,0
6,0
- 1,0
- 6,0
2,0
1,0
5,0
- 2,0
- 3,0
3,0
1,0
- 2,0
1,0
Residual
estandarizado
- 1,71
- 0,49
0,98
1,47
- 0,24
- 1,47
0,49
0,24
1,22
- 0,49
- 0,73
0,73
0,24
- 0,49
0,24
Para verificar la normalidad de los residuales, construimos un histograma de
frecuencias. Aunque el número de observaciones es reducido, es posible observar
que no se encuentran alejamientos “sospechosos” de la normalidad.
Frecuencia absoluta
Histograma de residuales
7
6
5
4
3
2
Std. Dev = ,93
1
Mean = 0,00
N = 15,00
0
-2,50
-1,50
-,50
,50
1,50
2,50
Residuales
El reducido número de intervalos se debe a que se cuenta con pocos datos. Sin
embargo, la distribución de los residuos es bastante simétrica.
162
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
Valor normal esperado
Gráfico Q-Q o normal-plot
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,0
-1,5
-1,0
-,5
0,0
,5
1,0
1,5
2,0
Residual
De acuerdo con este gráfico podemos decir que para nuestro ejemplo, los
residuales se distribuyen de manera normal puesto que todos los puntos se
ubican próximos a la línea imaginaria de 45o. No se observan valores atípicos.
Para complementar los análisis gráficos, se pueden efectuar algunas pruebas de
hipótesis (donde H0 representa la normalidad de los residuales). Este recurso no
siempre está disponible en todos los programas y sólo suele ser de utilidad
cuando se sospechan alejamientos importantes de la normalidad.
Prueba de normalidad
Variable
dependiente
RESIDUAL
MAQUINA
I
II
III
Kolmogorov-Smirnov
Estadística
g.l.
Sig. (p)
,181
5
,200*
,194
5
,200*
,258
5
,200*
Shapiro-Wilk
Estadística
g.l.
Sig. (p)
,934
5
,556
,969
5
,820
,894
5
,392
*. Límite inferior de significatividad
Ambas pruebas de normalidad indican que los residuos para cada máquina se
comportan de manera aproximadamente normal puesto que no se rechaza la
hipótesis de normalidad en ningún caso a pesar del reducido tamaño de las
muestras.
Las consecuencias de la no-normalidad de los residuos no son demasiado graves.
Únicamente una distribución muy asimétrica tendría un efecto marcado sobre el nivel
de significación del test F o sobre la eficiencia del diseño.
Cuando el supuesto de normalidad no puede ser mantenido, es posible recurrir a algún
procedimiento no paramétrico o realizar una transformación adecuada a los datos para
que se distribuyan normalmente.
9.4.2. Supuesto de independencia de errores
La violación del supuesto de independencia de errores provoca un cambio en la
varianza de error a través del tiempo en que dura la experiencia. Cuando la varianza
no es constante produce un serio problema indicando que han variado las condiciones
experimentales.
163
Cátedra I Estadística II
Autor I Hebe Goldenhersch
Ya hemos dicho que la aleatorización generalmente protege ante la correlación de
errores. Sin embargo, si quedan dudas acerca del cumplimiento de este supuesto,
puede efectuarse un gráfico en cuya abcisa se ubica el orden o momento en que se
tomaron las observaciones y en la ordenada los respectivos residuales
De esta forma, si se ordenan los datos dentro de cualquier grupo en un orden lógico
independiente de su magnitud (ese orden puede ser, por ejemplo, en el que se obtuvieron los datos) esperaríamos que los eij se sucedan uno a otro en una secuencia
aleatoria.
Residual
Observaciones ordenadas vs. Residuales
2
1
0
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Orden de medición
En él gráfico se presenta la distribución aleatoria de los residuales considerando el
orden de las observaciones. Esto se visualiza por cuanto los residuales
correspondientes a cada valor de la variable se ubican en el gráfico por encima y por
debajo del valor 0, en una forma aleatoria.
Si por el contrario en el gráfico se observara una sucesión de valores por debajo del 0
seguida por otra sucesión por encima del 0, en una forma no aleatoria, ello indicaría la
presencia de errores sistemáticos.
9.4.3. Independencia entre residuos y variable de respuesta
Otro supuesto importante de independencia es el referido a la independencia entre los
residuos y la variable de respuesta. Si el modelo es correcto y las suposiciones se
satisfacen, los residuos no deben tener ningún patrón ni deben estar relacionados con
otra variable.
La única manera de probar que esto realmente es así, es mediante el estudio de la
independencia entre errores y la variable de respuesta.
Este supuesto puede ser verificado por medio de un gráfico adecuado. En la abcisa se
ubican los valores estimados de las observaciones y en la ordenada los residuales
correspondientes.
Residuales vs. valores predichos
164
Residuales
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
-,5
MAQUINA
-1,0
III
-1,5
II
-2,0
I
26
28
30
32
34
36
38
Valores predichos
Como muestra la figura anterior, los valores estimados (predichos) corresponden a las
medias de grupos. Lo que interesa observar es luego, que los residuales se ubiquen
en forma aleatoria por encima y por debajo del valor 0 (promedio de residuales).
9.4.4. Supuesto de varianza constante para todos los grupos
La figura de Residuos vs. Valores predichos, también nos permite verificar el supuesto
de varianza constante.
Si el gráfico presenta un dibujo semejante a un embudo (en forma de V corta), esto
indicará que a medida que aumentan los valores de la variable, aumenta la varianza.
Esto sucede cuando el error es proporcional a la magnitud de las observaciones
(comúnmente esto sucede con muchos instrumentos de medición, el error es
proporcional a la escala de lectura). La varianza variable también ocurre cuando los
datos no tienen distribución normal, porque en las distribuciones asimétricas la
varianza tiende a ser función de la media.
La igualdad de varianzas en un grupo de muestras es una importante precondición
para muchas pruebas estadísticas. Sinónimos de esta condición son homogeneidad de
varianzas u homoscedasticidad. La condición inversa, desigualdad de varianzas entre
muestras, se denomina heteroscedasticidad.
Aunque dijimos que el supuesto de igualdad de varianzas puede ser visualizado por
medio de un gráfico, también existen diferentes pruebas estadísticas que verifican la
hipótesis de homoscedasticidad. Una de las más empleadas es la prueba de Hartley.
La prueba de Hartley es el procedimiento más simple para probar la hipótesis de
igualdad de varianzas poblacionales, pero requiere del supuesto de normalidad de los
datos. La estadística de prueba es:
Fmáx =
2
s máx
2
smín
que tiene distribución Fmax de Hartley con c y ( n − 1 ) grados de libertad.
Donde:
2
smáx
= mayor varianza muestral
165
Cátedra I Estadística II
Autor I Hebe Goldenhersch
2
smín
= menor varianza muestral
c
n=
∑ nj
j =1
c
=
n
c
(sólo se utiliza la porción entera de este valor)
Las hipótesis que se someten a prueba son:
H0 : σ12 = σ 22 = ... = σ c2
H1 : no todas las varianzas son iguales.
Con los datos de nuestro ejemplo tenemos:
s12 = 26.5
Fmáx =
s 22 = 17.5
2
s máx
2
smín
=
s 32 = 6.0
26.5
= 4.42
6.0
Si se selecciona un nivel de significación de 0,05, la regla de decisión será
rechazar H0 si Fmáx > Fmáx[3,4] = 15,5 (ver tablas de Hartley en las tablas en
estadísticas). Por lo tanto, en nuestro caso no se rechaza la hipótesis nula y se
concluye que no existe evidencia de una diferencia en la varianza de las tres
máquinas.
Cuáles pueden ser las razones de esta heterogeneidad?
En un ANAVA que represente los resultados de una experiencia, puede ocurrir que una
muestra se haya obtenido en condiciones menos normalizadas que otras y, por lo
tanto, tengan una varianza mayor. Existen también muchos casos en que la
heterogeneidad de varianzas es consecuencia de haber elegido mal la escala de
medición.
Estas desviaciones de la hipótesis de igualdad de varianzas pueden, a menudo,
corregirse empleando una adecuada transformación de los datos.
9.5. Comparaciones múltiples
Cuando el cociente calculado para F en la tabla ANAVA es mayor que el
correspondiente valor crítico de tabla, la hipótesis nula:
H0 : µ1 = µ 2 = ... = µ c
se rechaza, aceptándose en consecuencia la H1 de que no todas las medias son
iguales, es decir que una o tal vez todas son diferentes.
De esta manera la prueba F nos revela la existencia de diferencias entre las medias,
pero no nos dice nada acerca de la localización de tales diferencias.
Existen diferentes procedimientos o pruebas para la comparación de medias de grupos que reciben el nombre de comparaciones múltiples. Entre ellas las más conocidas
son: la prueba de mínima diferencia significativa o prueba LSD (least significant
defference), la prueba de Tukey, Scheffé, Duncan, Dunett, Student-Newman-Keuls,
etc.
166
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
Presentamos aquí una prueba para la comparación entre las medias de grupos, la
prueba de Tukey-Kramer, comentando sus ventajas y desventajas. Tukey y Kramer
desarrollaron un procedimiento de comparaciones múltiples basado en el recorrido o
rango studentizado que tiene un error de tipo I ( α ), constante para todas las
comparaciones de medias de a pares.
Este procedimiento requiere el uso de un valor QU = qα (c, g.l. error) para determinar el
valor crítico de todas las comparaciones independientemente de cuantas medias tenga
el experimento. Es decir, la prueba de Tukey–Kramer determina que dos medias son
significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede
a:
CMD  1
1 
+

2  n j n j' 
Tα = q α (c, g.l. error)
siendo q una variable aleatoria que corresponde al rango studentizado.
Los parámetros de esta variable q son; c = cantidad de grupos o niveles del tratamiento y g.l. error = grados de libertad del error. Los valores de q se encuentran
tabulados en una tabla de rangos studentizados (ver bibliografía de referencia).
Luego se compara este valor crítico con el de las diferencias entre las medias de
grupos.
En general, la prueba de Tukey–Kramer es más exigente o “más difícil” para establecer
que dos medias son significativamente diferentes respecto a otras pruebas de
comparaciones múltiples. Sin embargo, esta prueba suele ser empleada cuando se
necesita tener una gran certeza de que, si se verifica una diferencia entre medias de
dos grupos, esta diferencia realmente exista.
Para emplear el procedimiento de Tukey-Kramer, simplemente se comparan las
diferencias observadas entre cada par de promedios con el valor correspondiente de la
estadística Tα .
Si
x j − x j' > Tα se concluye que las medias poblacionales µ j y µ j' son diferentes.
Para ilustrar este procedimiento emplearemos los datos de nuestro ejemplo.
Supongamos un error de tipo I del 0,05, luego:
T0,05 = q 0,05 (3, 12)
16.67
2
1 1
 5 + 5  = 3,77 x 1,826 = 6,88


Entonces, un par de medias difiere significativamente si el valor absoluto de su
diferencia es mayor a 6,88.
En nuestro ejemplo los promedios de volumen de producción de las tres máquinas
son los siguientes:
x1 = 32
x 2 = 37
167
y
x 3 = 27
Cátedra I Estadística II
Autor I Hebe Goldenhersch
y las diferencias de promedios son:
x1 − x 2 = 32 − 37 = 5
< 6,88
no significativa
x1 − x 3 = 32 − 27 = 5
< 6,88
no significativa
x 2 − x 3 = 37 − 27 = 10 *
> 6,88
significativa
Luego, es posible observar que los volúmenes de producción de las tres máquinas
no son todos iguales. En particular, la máquina III tiene el menor volumen de
producción horario, seguida por la máquina I y luego por la máquina II. La
máquina II tiene un volumen de producción horaria significativamente superior al
de la máquina III.
Finalmente es posible concluir que el gerente de producción debería comprar la
máquina II. Sin embargo si sus costos no fueran iguales, debería decidir sabiendo
que entre las máquinas I y II no hay diferencias como tampoco entre la máquina I
y la III.
Actividad 28:
Se ha realizado un experimento para determinar si cuatro temperaturas
específicas de horneado afectan la densidad de un cierto tipo de producto.
El experimento se realizó considerando 4 temperaturas diferentes. Los resultados obtenidos se muestran a continuación:
Temperatura
Densidad
100
21.8
21.9
21.7
21.6
125
21.7
21.4
21.5
21.4
150
21.9
21.8
21.8
21.6
175
21.9
21.7
21.8
21.4
a) ¿Afecta la temperatura de horneado a la densidad del producto?
b) Realice un gráfico de promedios para temperaturas.
c) Obtenga todas las conclusiones posibles.
Actividad 29:
El gerente de compras de una empresa que fabrica videocasetes tiene la
opción de comprar componentes de cinco proveedores. Para determinar cual
es el mejor proveedor, le compra a cada uno ocho lotes con la misma cantidad
de productos y cuenta el número de componentes defectuosos por lote.
Para tomar su decisión, utilizó un ANAVA obteniendo los siguientes resultados:
Fuente de
variación
Proveedor
Error
Suma de
cuadrados
496.54
Grados de
libertad
Cuadrado
medio
F
Sig.
333.20
Total
a)
b)
c)
d)
e)
Determine las hipótesis nula y alternativa.
Complete la tabla de ANAVA.
Determine las reglas de decisión para un nivel de significación del 0,01.
¿Cuál será la conclusión del gerente de compras?
¿Puede determinar el gerente cuál es el mejor proveedor con los resultados
del ANAVA?
f) ¿Cómo debería hacer para saberlo?
Actividad 30:
Un economista agrario debe efectuar un estudio económico relacionado con los
168
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
rendimientos de diferentes cultivares de maíz. Para ello, realiza un experimento empleando un diseño completamente aleatorizado con 10 repeticiones
o parcelas por cultivo. La variable que estudia o variable de respuesta es el
rendimiento en Kgs/Ha. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Cultivar 1
Cultivar 2
Cultivar 3
Cultivar 4
115.77
106.78
112.24
77.13
90.16
115.19
147.12
126.61
110.01
68.00
60.47
76.93
66.40
81.59
73.51
76.01
62.93
77.32
97.14
94.49
137.95
111.32
147.07
91.44
159.20
166.68
90.52
119.41
85.51
91.47
104.88
164.70
73.54
102.49
114.99
110.91
90.64
127.51
78.56
86.14
Determinar las hipótesis nula y alternativa.
Calcular los residuales y residuales estandarizados para cada observación.
Verificar los supuestos de normalidad, aleatoriedad y varianzas iguales.
Construir la tabla de ANAVA. Trabajar con α = 0,10.
¿Son los cuatro cultivares igualmente rendidores?
Obtener todas las conclusiones posibles.
Actividad 31:
En la cátedra de Estadística se asignaron en forma aleatoria 26 alumnos a tres
modalidades de examen final: oral, escrito con desarrollos y escrito con
alternativas. El objetivo es definir la mejor forma de evaluación, en función de
la nota final obtenida por los alumnos, a fin de implementarla en los años
siguientes. Las notas obtenidas por este grupo de alumnos fueron:
Oral
8
6
7
7
10
4
4
5
6
4
Escrito
(con desarrollos)
7
7
3
6
5
2
7
Escrito
(con alternativas)
3
2
7
2
7
6
5
4
6
A partir de estos datos, ¿se puede recomendar, con un riesgo del 5%, alguna
técnica de examen en particular? ¿Qué supuestos debería corroborar para que
su conclusión sea válida, y cómo lo haría?
Actividad 32:
La siguiente tabla muestra información sobre el tiempo (en min.) requerido por
una línea de transporte para realizar su trayecto, teniendo en cuenta cuatro
recorridos distintos. Dicho trayecto fue efectuado en 7 oportunidades utilizando
los distintos recorridos, y una vez procesada la información se obtuvieron los
resultados que muestra la salida siguiente.
¿Es el “recorrido” un factor que influya en el tiempo que se tarda para realizar el
trayecto? En caso afirmativo, ¿qué trayecto recomendaría a la empresa de
transporte teniendo en cuenta que los pasajeros valoran mucho la rapidez de un
169
Cátedra I Estadística II
Autor I Hebe Goldenhersch
sistema de transporte? ¿Se cumplen los supuestos que requiere la aplicación del
test F?
Recorrido
1
65
87
73
79
81
69
76
Recorrido
2
59
78
67
62
83
76
71
Recorrido
3
94
89
80
88
83
80
86
Recorrido
4
75
69
83
81
72
79
90
Análisis de la varianza
Variable
tiempo
N
28
R²
0,39
R²Aj
0,32
CV
9,30
Cuadro de Análisis de la Varianza
F.V.
Modelo
Recorrido
Error
Total
SC
808,68
808,68
1253,43
2062,11
gl
3
3
24
27
CM
269,56
269,56
52,23
F
5,16
5,16
Valor p
0,0068
0,0068
Test: Tukey Alfa: 0,05 DMS: 10,65543
Error: 52,2262 gl: 24
recorrido
Medias n
2
70,86 7
A
1
75,71 7
A
4
78,43 7
A
3
85,71 7
B
B
B
Q-Q plot
13,71
Diagrama de dispersión
n= 28 r= 0,991
13,34
6,85
6,74
RDUO_tiempo
Cuantiles observados(RDUO_tiempo)
Letras distintas indican diferencias significativas(p<=0,05)
0,00
-6,85
-13,71
-13,71
-6,85
0,00
6,85
0,14
-6,46
13,71
Cuantiles de una Normal(-2,0321E-16,46,423)
-13,06
70,11
74,20
RDUO_tiempo
Shapiro-Wilks (modificado)
Variable
n
78,29
82,37
PRED_tiempo
Media D.E.
170
W*
p (una cola)
86,46
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
RDUO_tiempo 28
0,00
6,81
0,94
0,3233
Actividad 33:
En base a los datos de la EPH de Córdoba correspondiente a Octubre 2001 se ha
procesado la siguiente información.
Indique claramente cuál ha sido la hipótesis de trabajo, qué refleja cada tabla y
cuál será la conclusión final a partir del análisis de las mismas.
Descriptives
Ingreso de la ocupación ppal.
asalariado
otros
cuentapropista
patrón
Total
N
610
10
240
27
887
Mean
467,06
437,00
387,52
932,59
459,37
Std.
Deviation
360,60
198,83
365,12
511,47
376,42
95% Confidence
Interval for Mean
Lower
Upper
Bound
Bound
438,39
495,73
294,76
579,24
341,09
433,95
730,26
1134,92
434,56
484,18
Std.
Error
14,60
62,88
23,57
98,43
12,64
Min.
20
200
15
300
15
Max.
3500
800
2500
3000
3500
Test of Homogeneity of Variances
Ingreso de la ocupación ppal.
Levene
Statistic
,790
df1
df2
3
Sig.
,500
883
ANOVA
Ingreso de la ocupación ppal.
Between Groups
Within Groups
Total
Sum of
Squares
7326390
1,18E+08
1,26E+08
df
3
883
886
Mean Square
2442130,140
133873,364
F
18,242
Sig.
,000
Ingreso de la ocupación ppal.
Tukey HSD
a,b
Categoría ocupacional
cuentapropista
otros
asalariado
patrón
Sig.
N
240
10
610
27
Means for groups in homogeneous subsets are displayed.
a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 28,003.
b. The group sizes are unequal. The harmonic mean of
the group sizes is used. Type I error levels are not
guaranteed.
171
Subset for alpha = .05
1
2
387,52
437,00
467,06
932,59
,848
1,000
Cátedra I Estadística II
Autor I Hebe Goldenhersch
Multiple Comparisons
Dependent Variable: Ingreso de la ocupación ppal.
Tukey HSD
(I) Categoría ocupacional
asalariado
otros
cuentapropista
patrón
(J) Categoría
ocupacional
otros
cuentapropista
patrón
asalariado
cuentapropista
patrón
asalariado
otros
patrón
asalariado
otros
cuentapropista
Mean
Difference
(I-J)
30,06
79,54*
-465,53*
-30,06
49,48
-495,59*
-79,54*
-49,48
-545,07*
465,53*
495,59*
545,07*
Std. Error
116,65
27,88
71,96
116,65
118,09
135,45
27,88
118,09
74,27
71,96
135,45
74,27
Sig.
,994
,022
,000
,994
,975
,001
,022
,975
,000
,000
,001
,000
95% Confidence
Interval
Lower
Upper
Bound
Bound
-269,61
329,73
7,91
151,16
-650,39
-280,67
-329,73
269,61
-253,90
352,86
-843,56
-147,63
-151,16
-7,91
-352,86
253,90
-735,87
-354,27
280,67
650,39
147,63
843,56
354,27
735,87
*. The mean difference is significant at the .05 level.
Actividad 34:
Los siguientes datos corresponden a las ventas (en miles de $) computadas
durante 7 meses, según la localización de una determinada marca de aceite a
lo largo de un pasillo, en un hipermercado local. Las localizaciones estudiadas
fueron: al comienzo, a la mitad y al final del pasillo.
Comienzo
Mitad
Final
31
29
30
36
35
34
37
41
38
42
35
36
35
39
35
34
36
39
40
38
39
n1 = 7
n2 = 7
n3 = 7
x1 = 33
x2 = 38
x3 = 37
s = 20
s = 18
s32 = 13
2
1
2
2
Plantee las hipótesis que correspondan a fin de determinar si la localización del
producto influye en el monto de ventas mensuales. Utilice un nivel de
significación de 0,10.
Completamos aquí el Capítulo III. En el próximo encararemos uno de los
temas más interesantes y que genera gran cantidad de aplicaciones en
diversas áreas. Hasta aquí hemos trabajado con una variable en una, dos o
más poblaciones. Comenzaremos a estudiar “Relaciones entre variables”; en
primer lugar lo haremos con el Análisis de Regresión y Correlación.
172
Cátedra I Estadística II
Autor I Nidia Blanch
Anexo
Uno de los supuestos que se establecen al realizar una prueba de hipótesis es que la
variable se distribuye normalmente. Cuando se realizan pruebas con respecto al
parámetro media poblacional, el teorema central del límite apoya la distribución
normal de la variable media muestral, pero no ocurre lo mismo cuando se realizan
pruebas con respecto al parámetro varianza poblacional. Por ello, una práctica común
consiste en realizar una prueba de hipótesis de la normalidad de la variable en estudio.
Existen varias pruebas para decidir si se cumple la siguiente hipótesis nula:
H0) La distribución poblacional de la variable es normal
Contra la alternativa:
H1) La distribución poblacional de la variable no es normal
Estas pruebas pertenecen a la categoría c), que dimos oportunamente. Estudian la
forma de la distribución de una variable y entran en la categoría de pruebas no
paramétricas; las cuales se estudiarán en el Capítulo VI. No obstante, dado que en
este Capítulo se han realizado algunas pruebas de normalidad, incluimos en este
anexo, la prueba de Shapiro-Wilks21/.
Veamos un ejemplo de aplicación del test. Este ejemplo pertenece al libro de Daniel
Peña: “Fundamentos de Estadística”.
H0) la distribución de la variable en la población es normal
H1) la distribución de la variable en la población no es normal
Supongamos que se tiene una muestra de tamaño 7:
x1 = 20
x2 = 22
x3 = 24
x4 = 30
x5 = 31
x6 = 32
x7 = 38
Con estos datos calculamos la media y la desviación estándar:
x = 28.14
s = 6.39
La prueba de Shapiro-Wilks considera el ajuste a una recta de la muestra representada en papel probabilístico normal. Se rechaza la normalidad cuando este ajuste
es malo, que se dá cuando se obtienen valores pequeños del estadístico.
El estadístico es el siguiente:
w=
donde
1
ns 2
2
A2
h

a
(
x
−
x
=
∑
 j =1 j.n ( n − j +1) ( j ) 
ns 2
ns 2 = ∑( xi − x ) 2 , h = n/2 si n es par e igual a (n-1)/2 si n es impar.
Los coeficientes aj.n están tabulados en una tabla especial y x(j) es el valor ordenado
de la muestra que ocupa el lugar j. La distribución de w también esta tabulada y se
rechaza la normalidad cuando el valor calculado es menor que el valor crítico
proporcionado por dicha tabla. La razón de esto es que w mide el ajuste a la recta y
no la discrepancia con la hipótesis nula planteada.
Esta breve explicación de la prueba de normalidad de Shapiro-Wilks es únicamente para que se interprete la salida de un programa estadístico y no para que se
calcule el estadístico w.
21/
En el Capitulo IV se presentan otras pruebas de bondad de ajuste para la normal, entre
ellas la de Kolmogorov-Smirnov.
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Cátedra I Estadística II
Autor I Hebe Goldenhersch
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