Comparación de variables “continuas” Familias

Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Familias param. y no-param.
• Familias paramétricas: Funciones de distribución
caracterizadas por pocos parámetros
• Familias no paramétricas: Funciones de distribución
que no se pueden caracterizar con pocos parámetros
Comparación de variables
“continuas”
• Métodos paramétricos: Métodos estadísticos válidos
para la familia de las distribuciones normales
• Métodos no paramétricos: Métodos estadísticos
válidos para una familia de distribuciones no
paramétricas. También se les llama métodos
estadísticos de distribución libre puesto que sus
propiedades estadísticas no dependen de la
distribución de la población que se estudia
2
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Métodos No Paramétricos
Ventajas
• Requieren pocas asunciones (normalidad)
• El cálculo manual es más rápido en muestras pequeñas
Ventajas
• Son a menudo más fáciles de entender
• Son relativamente insensibles a valores extremos
Desventajas
3
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
4
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Ventajas
Desventajas
• Son aplicables en muchas situaciones donde los métodos paramétricos
no lo son. Muchos métodos no paramétricos precisan sólo los rangos
de las observaciones, en vez de la magnitud.
• Los métodos jacknife y boostrap permiten una aproximación en
situaciones muy complicadas.
• El desarrollo de programas informáticos ha facilitado un rápido
cálculo del p-valor en los métodos no paramétricos condicionados. Por
eso, en principio, siempre es posible el cálculo exacto del p-valor.
5
• Cuando las variables son normales (en cuyo caso ambos métodos son
válidos) son menos eficientes (potentes).
– En este caso el p-valor excede al obtenido por métodos
paramétricos. Así es más difícil encontrar un resultado
significativo con una prueba no paramétrica. Aunque la diferencia
no es muy grande
• El cálculo manual con muestras grandes es tedioso y largo
• Permiten menos refinamientos en el análisis posterior, más detallado,
de los datos.
6
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Tamaño de la muestra
Rangos  Puntuaciones
• Un factor que limita la aplicabilidad de los métodos
paramétricos es el tamaño de la muestra disponible para el
análisis.
• Las pruebas no paramétricas usan el orden de los
datos para su análisis
• Podemos asumir que la distribución de la muestra es normal
aunque no estemos seguros si la variable en la población es
normal, siempre que nuestra muestra sea suficientemente
grande (p.e. 30 o 100 observaciones o más).
• Rango: El orden de cada uno de los datos
• Puntuación (“score”): Se transforma el rango en
una puntuación para realizar la prueba estadística
• Si nuestra muestra es pequeña, entonces estos métodos pueden
ser usados solamente si estamos seguros de que la variable se
distribuye normalmente y no hay manera de comprobar esta
asunción si la muestra es pequeña.
• Los empates pueden tratarse de diferente
manera
7
8
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Rangos  Puntuaciones
Comprobación Normalidad
• Ejemplo
Datos Wilcoxon Median
VW
Savage
1
1
2
3
2
0
-0,90846 -0,78889
3,5
0
-0,47667 -0,59246
3
3,5
0
-0,47667 -0,59246
4
5
5
0
-0,11419 -0,35437
6,5
1
5
6
6,5
7
8
0
-1,33518 -0,90000
Siegel-Tukey Ansari-Bradley
Klotz
Mood
1
1,78271 20,25
4
2
0,82530 12,25
6,5
3,5
0,22721
6,5
3,5
0,22721
4
10
5
0,01304
0,25
0,23147 -0,02937
8,5
4,5
0,05358
1
1
0,23147 -0,02937
8,5
4,5
0,05358
1
8
1
0,60459 0,42897
5
3
0,36553 6,25
9
1
0,90846 0,92897
3
2
0,82530 12,25
10
1
1,33518
2
1
1,78271 20,25
1,92897
1
4
• Prueba de Kolmogorov-Smirnov
– SAS también realiza los estadísticos de
Anderson-Darling y Cramer-von Mises
– Se basan en las diferencias entre la
distribución observada y la esperada
• Estadístico de Shapiro-Wilks
– El SPSS versión 8 lo calcula para muestras
 50 observaciones
– El SAS lo calcula para muestras  2000
observaciones
9
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
10
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Comprobación Normalidad
Preguntas comunes
• Hay que tener en cuenta que la capacidad de una prueba de
rechazar la hipótesis nula (potencia) aumenta con el tamaño de
la muestra
• Si las pruebas no paramétricas con
válidas para los datos con o sin
distribución normal, ¿porqué no
usarlos siempre?
– Con tamaños de muestra grandes se pueden detectar
desviaciones pequeñas de la normalidad
– Puesto que pequeñas desviaciones no afectan gravemente a la
validez de las pruebas estadísticas es importante examinar
otras pruebas y los gráficos
11
12
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Preguntas comunes
Preguntas comunes
– Se prefieren las pruebas paramétricas porque:
• Raramente estamos interesados sólo en la
significación estadística; muchas veces queremos
conocer aspectos de la población original, y esto
se consigue con estimadores e intervalos de
confianza
• ¿Las pruebas no paramétricas
comparan medianas?
• Es difícil hacer un modelo flexible con las
pruebas no paramétricas, por ejemplo para
factores de confusión en regresión múltiple
13
14
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Preguntas comunes
Elección de la prueba
Datos independientes
– Es una creencia común que la prueba de MannWhitney es, de hecho, una prueba para diferencias
entre medianas.
• Sin embargo, dos grupos podrían tener la misma
mediana y tener una prueba significativa.
• Considerar los siguientes datos de dos grupos
con 100 observaciones.
– Grupo 1: 98 (0), 1, 2.
– Grupo 2: 51 (0), 1, 48 (2).
– La mediana en ambos casos es 0.
– Prueba de Mann-Whitney: p<0.0001
Nominal
Variable
Inicial
2
Nominal
 o Fisher
Categórica
(>2 categorías)
2
Variable Resultado
Ordinal
Cuantitativa
Discreta
2
 -tendencia Manno Mann-W.
Whitney
KruskalKruskalWallis
Wallis
Spearman
Spearman
Cuantitativa
No-Normal
Mann-Whitney
o log-rank (1)
Kruskal-Wallis
2
2
(2)
Cuantitativa
Discreta
Cuantitativa
No-Normal
2 -tendencia o
Mann-Whitney
Regresión
Logística
Regresión
Logística
(2)
(2)
Spearman
Spearman
(2)
(2)
(2)
Gráfico datos
y Pearson o
Spearman
Cuantitativa
Normal
Regresión
Logística
(2)
(2)
(2)
Regresión
lineal
Categórica
(>2 cat.)
Ordinal
Spearman
Análisis de la
varianza
Spearman o
regresión lineal
Spearman o
regresión lineal
Gráfico datos y
Pearson o
Spearman y
regresión lineal
Pearson y
regresión lineal
P.e. ensayo clínico: Var.de entrada=Tipo de tratamiento (nominal). Var.resultado=Colesterol (cuant.normal).  t-Student
P.e. Var.de entrada=Puntuación clínica (cuantitativa). Var.resultado=Curación (nominal).  Regresión logística
(1)
(2)
15
Si los datos son censurados
Hay muchas técnicas avanzadas. Sin embargo, requieren ciertas asunciones y a menudo es más fácil dicotomizar la variable
resultado o tratarla como continua
16
Métodos Paramétricos vs No Paramétricos
Introducción
Elección de la prueba
Datos apareados
Variable
Nom inal
O rdinal (Categorías ordenadas)
Cuantitativa (Discreta o No-Normal)
Cuantitativa (Norm al)
Cuantitativa
Normal
t-Student
Prueba
M cNemar
W ilcoxon
W ilcoxon
t-test para datos apareados
17
Estimación y análisis
Supón que todos los datos numéricos de tu muestra son
cuantitativos y procede en consecuencia. Puede que el
ordenador te calcule la media de la situación civil
RESULTADOS
Situación civil 3,4
Sexo 2,3
Conduce 1,3
No compruebes si tus datos siguen una ley normal. Las
pruebas no paramétricas no son tan divertidas.
19
20
K-S de 1 muestra / Normal
H0: NORMALIDAD
H1: NO NORMALIDAD
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
SEXO
hombre
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
mujer
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
PESO
INICIAL
(kg)
23
89.57
3.47
.115
.075
-.115
.552
.921
27
80.22
5.37
.179
.179
-.105
.931
.352
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
21
K-S de 1 muestra / Normal
H0: NORMALIDAD
p  0.05
22
K-S de 1 muestra / Normal
H1: NO NORMALIDAD
H0: NORMALIDAD
p  0.05
p < 0.05
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
SEXO
hombre
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
mujer
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
p < 0.05
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
PESO
INICIAL
(kg)
23
89.57
3.47
.115
.075
-.115
.552
.921
27
80.22
5.37
.179
.179
-.105
.931
.352
SEXO
hombre
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
mujer
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
H1: NO NORMALIDAD
PESO
INICIAL
(kg)
23
89.57
3.47
.115
.075
-.115
.552
.921
27
80.22
5.37
.179
.179
-.105
.931
.352
a. La distribución de contraste es la Normal.
23
b. Se han calculado a partir de los datos.
24
Pueden haber muchas formas...
...y NO hay normalidad
• Transformar la variable
(A)
(B)
0
50
100
150
x
0
1
2
3
4
5
x^0,25
80
x
(C)
60
(D)
0
20
40
¿Raíz cuarta de ‘algo’?
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
x^0.25
25
26
No pasa nada, hay otras técnicas
• Técnicas basadas en
–Rangos
–Puntuaciones
–Signos
¿Son independientes las variables?
27
Métodos
28
Ejemplo de los gemelos
Clark y cols. realizaron
diferentes pruebas
psicológicas en gemelos
bicigóticos (p.e. no
idénticos) para comprobar
si había relación entre
entre ellas.
• Métodos paramétricos
– Coef. de correlación de Pearson
• Métodos no paramétricos
– Coef. de correlación de Spearman
– Kendall tau
29
Pareja
Gemelo 1
Gemelo 2
1
277
256
2
169
118
3
157
137
4
139
144
5
108
146
6
213
221
7
232
184
8
229
188
9
114
97
10
232
231
11
161
114
12
149
187
13
128
230
30
Si lo graficamos...
300
250
200
150
100
50
50
100
150
200
250
300
31
32
Coef. de correlación de Pearson
Correlations
GEMELO1
GEMELO2
Pearson Correlation
Sig. (2-tailed)
N
Pearson Correlation
Sig. (2-tailed)
N
GEMELO1 GEMELO2
1,000
,649*
,
,016
13
13
,649*
1,000
,016
,
13
13
*. Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).
Se interpreta en términos de variabilidad explicada
33
34
Kendall tau
GEMELO1 GEMELO2
Coef. de correlación de Spearman
GEMELO1 Correlation Coefficient
Sig. (2-tailed)
GEMELO1 GEMELO2
GEMELO1 Correlation Coefficient
Sig. (2-tailed)
N
GEMELO2 Correlation Coefficient
Sig. (2-tailed)
N
1.000
0.514
,
0.072
13
13
0.514
1.000
0.072
,
13
13
N
GEMELO2 Correlation Coefficient
Sig. (2-tailed)
N
1,000
0,348
,
0,099
13
13
0,348
1,000
0,099
,
13
13
Es similar a Spearman en términos. Sin embargo son muy diferentes en cuanto a la
magnitud puesto que los cálculos son muy diferentes (Spearman: rangos; Kendall:
signos).
Al igual que el coef. de correlación de Pearson se interpreta
en términos de variabilidad explicada. La diferencia es que
el coef. de Spearman se calcula con rangos.
Se interpreta como la diferencia entre la probabilidad que en los datos observados las
dos variables estén en el mismo orden versus la probabilidad que las dos variables
estén en diferente orden.
35
36
Métodos
• U de Mann Whitney
- Independencia observaciones
- Distribución de Probabilidad contínua
Este test fue
desarrollado en 1945
por
Wilcoxon y después
ampliado por Mann y
Whitney en 1947. De
ahí
que en algunos libros
se
denomine test de
Wilcoxon y en otros la
prueba U de MannWhitney.
INDEPENDIENTES
38
Que en términos de eficiencia...
Características
El test U de Mann-Whitney,
también denominado test de
Wilconxon-Mann-Whitney, o
test de la suma de rangos de
Wilcoxon, evalúa los rangos de
las puntuaciones combinadas
de dos grupos independientes.
En 
Es el test no
paramétrico
con más
potencia
estadística.
N Paramétrico
N No _ Paramétrico
Siendo n el tamaño muestral necesario para conseguir
Una determinada potencia del test.
Para el caso de la U de Mann-Whitney E=95, es decir, si para el
test paramétrico se necesita n=100, para el homólogo no paramétrico
es suficiente con 95
39
40
¿Pero qué supone el Test?
¿Cómo trabaja?
•
• Supone que la forma de las muestras
a comparar son la misma, sin tener en
cuenta dicha forma
Este test examina la siguiente hipótesis nula:
- “La probabilidad de que una observación obtenida
al azar de la primera población supere una
observación aleatoria de la segunda población es
igual a 1/2”.
• El test es sensible a diferencias de medianas
• Poco sensible a diferencias de asimetría
• Insensible a diferencias de varianzas
• Resistente a los “outliers”
41
42
V. CUANTITATIVA .vs. V. CUALITATIVA (2 grupos)
Ejemplo
V. CUANTITATIVA NORMALEN AMBOS GRUPOS
Grupos independientes
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras independientes
V. CUANTITATIVA NO NORMAL EN ALGUN GRUPO
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras independientes /
U de Mann-Whitney
COMPARACIÓN
DE MEDIAS
V. DIFERENCIA NORMAL
Grupos apareados
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras relacionadas
V. DIFERENCIA NO NORMAL
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras relacionadas /
Wilcoxon
NORMALIDAD?
43
Estadísticos / Pruebas no paramétricas /
K-S de 1 muestra / Normal
44
V. CUANTITATIVA .vs. V. CUALITATIVA (2 grupos)
V. CUANTITATIVA NORMAL
EN AMBOS GRUPOS
Grupos independientes
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras independientes
V. CUANTITATIVA NO NORMAL
EN ALGUN GRUPO
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras independientes /
U de Mann-Whitney
COMPARACIÓN
DE MEDIAS
V. DIFERENCIA NORMAL
Grupos apareados
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras relacionadas
V. DIFERENCIA NO NORMAL
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras relacionadas /
Wilcoxon
NORMALIDAD?
Estadísticos / Pruebas no paramétricas /
K-S de 1 muestra / Normal
45
46
47
48
K-S de 1 muestra / Normal
K-S de 1 muestra / Normal
H0: NORMALIDAD
H0: NORMALIDAD
H1: NO NORMALIDAD
p  0.05
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
SEXO
hombre
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
mujer
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
p < 0.05
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
PESO
INICIAL
(kg)
23
89.57
3.47
.115
.075
-.115
.552
.921
27
80.22
5.37
.179
.179
-.105
.931
.352
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
H1: NO NORMALIDAD
SEXO
hombre
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
mujer
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
PESO
INICIAL
(kg)
23
89.57
3.47
.115
.075
-.115
.552
.921
27
80.22
5.37
.179
.179
-.105
.931
.352
a. La distribución de contraste es la Normal.
49
b. Se han calculado a partir de los datos.
50
K-S de 1 muestra / Normal
H0: NORMALIDAD
H1: NO NORMALIDAD
p  0.05
p < 0.05
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
SEXO
hombre
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
mujer
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
N
Parámetros normales a,b
Diferencias más
extremas
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Media
Desviación típica
Absoluta
Positiva
Negativa
Z de Kolmogorov-Smirnov
Sig. asintót. (bilateral)
PESO
INICIAL
(kg)
23
89.57
3.47
.115
.075
-.115
.552
.921
27
80.22
5.37
.179
.179
-.105
.931
.352
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
51
52
53
54
V. CUANTITATIVA .vs. V. CUALITATIVA (2 grupos)
V. CUANTITATIVA NORMAL
EN AMBOS GRUPOS
Grupos independientes
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras independientes
V. CUANTITATIVA NO NORMAL
EN ALGUN GRUPO
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras independientes /
U de Mann-Whitney
COMPARACIÓN
DE MEDIAS
V. DIFERENCIA NORMAL
Grupos apareados
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras relacionadas
V. DIFERENCIA NO NORMAL
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras relacionadas /
Wilcoxon
NORMALIDAD?
Estadísticos / Pruebas no paramétricas /
K-S de 1 muestra / Normal
Prueba T para muestras independientes
H0:
H1:
55
Prueba T para muestras independientes
H0:
56
Prueba T para muestras independientes
H1:
H0:
Estadísticos del grupo
PESO INICIAL (kg)
SEXO
hombre
mujer
N
23
27
Media
89.57
80.22
H1:
Estadísticos del grupo
Error típ.
de la
media
.72
1.03
Desviación
típ.
3.47
5.37
PESO INICIAL (kg)
SEXO
hombre
mujer
N
Media
89.57
80.22
23
27
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
F
PESO INICIAL (kg) Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
3.896
Sig.
.054
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
Prueba T para la igualdad de medias
t
Sig.
(bilateral)
gl
Error típ.
de la
media
.72
1.03
Desviación
típ.
3.47
5.37
Diferencia
de medias
Error típ de
la
diferencia
Intervalo de confianza
para la diferencia
Inferior
Superior
7.163
48
.000
9.34
1.30
6.72
11.97
7.406
45.009
.000
9.34
1.26
6.80
11.88
F
PESO INICIAL (kg) Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
3.896
Sig.
.054
Prueba T para la igualdad de medias
Intervalo de confianza
para la diferencia
Inferior
Superior
Diferencia
de medias
Error típ de
la
diferencia
7.163
48
.000
9.34
1.30
6.72
11.97
7.406
45.009
.000
9.34
1.26
6.80
11.88
t
Sig.
(bilateral)
gl
H0:
p  0.05
p < 0.05
57
Prueba T para muestras independientes
H0:
58
Prueba T para muestras independientes
H1:
H0:
H1:
p  0.05
Estadísticos del grupo
PESO INICIAL (kg)
SEXO
hombre
mujer
N
23
27
Media
89.57
80.22
p < 0.05
Estadísticos del grupo
Error típ.
de la
media
.72
1.03
Desviación
típ.
3.47
5.37
PESO INICIAL (kg)
SEXO
hombre
mujer
N
23
27
Media
89.57
80.22
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
F
PESO INICIAL (kg) Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
3.896
Sig.
.054
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
Prueba T para la igualdad de medias
t
Sig.
(bilateral)
gl
Error típ.
de la
media
.72
1.03
Desviación
típ.
3.47
5.37
Diferencia
de medias
Error típ de
la
diferencia
Intervalo de confianza
para la diferencia
Inferior
Superior
7.163
48
.000
9.34
1.30
6.72
11.97
7.406
45.009
.000
9.34
1.26
6.80
11.88
F
PESO INICIAL (kg) Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
H0:
3.896
Sig.
.054
Prueba T para la igualdad de medias
Intervalo de confianza
para la diferencia
Inferior
Superior
Diferencia
de medias
Error típ de
la
diferencia
7.163
48
.000
9.34
1.30
6.72
11.97
7.406
45.009
.000
9.34
1.26
6.80
11.88
t
Sig.
(bilateral)
gl
H0:
59
60
V. CUANTITATIVA .vs. V. CUALITATIVA (2 grupos)
V. CUANTITATIVA NORMAL
EN AMBOS GRUPOS
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras independientes
Grupos independientes
V. CUANTITATIVA NO NORMAL
EN ALGUN GRUPO
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras independientes /
U de Mann-Whitney
COMPARACIÓN
DE MEDIAS
V. DIFERENCIA NORMAL
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras relacionadas
Grupos apareados
V. DIFERENCIA NO NORMAL
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras relacionadas /
Wilcoxon
Estadísticos / Pruebas no paramétricas /
K-S de 1 muestra / Normal
NORMALIDAD?
61
62
Pruebas no paramétricas / 2 muestras independientes / U de Mann-Whitney
H1: U
H0: U= N1*N2
 
N1*N2
 
63
Pruebas no paramétricas / 2 muestras independientes / U de Mann-Whitney
23*27
H0: U= N1*N2 =
= 310.5

2
H1: U 
64
Pruebas no paramétricas / 2 muestras independientes / U de Mann-Whitney
23*27
H0: U= N1*N2 =
= 310.5
 
2
N1*N2  310.5
2
H1: U 
p  0.05
N1*N2  310.5
2
p < 0.05
Rangos
SEXO
PESO INICIAL (kg) hombre
mujer
Total
N
23
27
50
Rango
promedio
36.65
16.00
Rangos
Suma de
rangos
843.00
432.00
SEXO
PESO INICIAL (kg) hombre
mujer
Total
N
23
27
50
Rango
promedio
36.65
16.00
Suma de
rangos
843.00
432.00
Estadísticos de contrastea
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Estadísticos de contrastea
PESO
INICIAL
(kg)
54.000
432.000
-5.003
.000
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
a. Variable de agrupación: SEXO
65
PESO
INICIAL
(kg)
54.000
432.000
-5.003
.000
a. Variable de agrupación: SEXO
66
V. CUANTITATIVA .vs. V. CUALITATIVA (2 grupos)
V. CUANTITATIVA NORMAL
EN AMBOS GRUPOS
Grupos independientes
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras independientes
V. CUANTITATIVA NO NORMAL
EN ALGUN GRUPO
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras independientes /
U de Mann-Whitney
COMPARACIÓN
DE MEDIAS
V. DIFERENCIA NORMAL
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras relacionadas
Grupos apareados
V. DIFERENCIA NO NORMAL
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras relacionadas /
Wilcoxon
NORMALIDAD?
Estadísticos / Pruebas no paramétricas /
K-S de 1 muestra / Normal
67
68
69
70
V. CUANTITATIVA .vs. V. CUALITATIVA (2 grupos)
V. CUANTITATIVA NORMAL
EN AMBOS GRUPOS
Grupos independientes
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras independientes
V. CUANTITATIVA NO NORMAL
EN ALGUN GRUPO
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras independientes /
U de Mann-Whitney
COMPARACIÓN
DE MEDIAS
V. DIFERENCIA NORMAL
Grupos apareados
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras relacionadas
V. DIFERENCIA NO NORMAL
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras relacionadas /
Wilcoxon
NORMALIDAD?
Estadísticos / Pruebas no paramétricas /
K-S de 1 muestra / Normal
Prueba T para muestras relacionadas
H0:d
71
H1:d
72
Prueba T para muestras relacionadas
H0:d
Prueba T para muestras relacionadas
H0:d
H1:d
PESO INICIAL (kg)
PESO FINAL (kg)
Media
84.52
79.68
N
50
50
Desviación
típ.
6.54
7.38
Error típ.
de la
media
.93
1.04
Par
1
Correlaciones de muestras relacionadas
N
Par 1
PESO INICIAL (kg) y
PESO FINAL (kg)
PESO INICIAL (kg)
PESO FINAL (kg)
Media
84.52
79.68
N
50
50
Sig.
.571
N
Par 1
.000
PESO INICIAL (kg) y
PESO FINAL (kg)
Media
4.84
Desviación
típ.
Error típ.
de la
media
6.49
.92
Sig.
.571
.000
Prueba de muestras relacionadas
Diferencias relacionadas
PESO INICIAL (kg) PESO FINAL (kg)
Error típ.
de la
media
.93
1.04
Correlación
50
Prueba de muestras relacionadas
Par 1
Desviación
típ.
6.54
7.38
Correlaciones de muestras relacionadas
Correlación
50
p < 0.05
Estadísticos de muestras relacionadas
Estadísticos de muestras relacionadas
Par
1
H1:d
p  0.05
Diferencias relacionadas
Intervalo de confianza
para la diferencia
Inferior
Superior
3.00
6.68
t
5.272
Sig.
(bilateral)
gl
49
Media
Par 1
.000
PESO INICIAL (kg) PESO FINAL (kg)
4.84
Desviación
típ.
Error típ.
de la
media
6.49
Intervalo de confianza
para la diferencia
Inferior
Superior
.92
3.00
6.68
t
5.272
Sig.
(bilateral)
gl
49
.000
73
74
75
76
V. CUANTITATIVA .vs. V. CUALITATIVA (2 grupos)
V. CUANTITATIVA NORMAL
EN AMBOS GRUPOS
Grupos independientes
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras independientes
V. CUANTITATIVA NO NORMAL
EN ALGUN GRUPO
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras independientes /
U de Mann-Whitney
COMPARACIÓN
DE MEDIAS
V. DIFERENCIA NORMAL
Grupos apareados
Estadística /
Comparar medias /
Prueba T para muestras relacionadas
V. DIFERENCIA NO NORMAL
Estadística /
Pruebas no paramétricas /
2 muestras relacionadas /
Wilcoxon
NORMALIDAD?
Estadísticos / Pruebas no paramétricas /
K-S de 1 muestra / Normal
Pruebas no paramétricas / 2 muestras relacionadas / Wilcoxon
H0: T= n (n+1)

77
H1: T 
n (n+1)

78
Pruebas no paramétricas / 2 muestras relacionadas / Wilcoxon
H1: T 
H0: T= n (n+1) = 49*50 = 612.5

4
Pruebas no paramétricas / 2 muestras relacionadas / Wilcoxon
n (n+1) 
612.5

H0: T= n (n+1) = 49*50 = 612.5

4
Rangos negativos
Rangos positivos
Empates
Total
38a
11b
1c
50
Rango
promedio
27.68
15.73
Suma de
rangos
1052.00
173.00
N
PESO FINAL (kg) - PESO
INICIAL (kg)
Rangos negativos
Rangos positivos
Empates
Total
a. PESO FINAL (kg) < PESO INICIAL (kg)
a. PESO FINAL (kg) < PESO INICIAL (kg)
b. PESO FINAL (kg) > PESO INICIAL (kg)
b. PESO FINAL (kg) > PESO INICIAL (kg)
c. PESO INICIAL (kg) = PESO FINAL (kg)
c. PESO INICIAL (kg) = PESO FINAL (kg)
contrasteb
Z
Sig. asintót. (bilateral)
p < 0.05
Rangos
N
Estadísticos de
n (n+1) 
612.5

p  0.05
Rangos
PESO FINAL (kg) - PESO
INICIAL (kg)
H1: T 
38a
11b
1c
50
Rango
promedio
27.68
15.73
Suma de
rangos
1052.00
173.00
Estadísticos de contrasteb
PESO
FINAL (kg)
- PESO
INICIAL
(kg)
-4.379a
.000
Z
Sig. asintót. (bilateral)
a. Basado en los rangos positivos.
PESO
FINAL (kg)
- PESO
INICIAL
(kg)
-4.379a
.000
a. Basado en los rangos positivos.
b. Prueba de los rangos con signo de Wilcoxon
b. Prueba de los rangos con signo de Wilcoxon
79
Comparación de dos medianas
80
Trabajo previo
Determinar la mediana combinada de las observaciones
de las Muestras n1 + n2
•
Sirve para comprobar si dos muestras aleatorias
independientes y cuyos datos se miden por lo menos en una
escala ordinal proceden de poblaciones con la misma mediana.
Contar cuántas observaciones en cada grupo caen por
encima y por debajo de la mediana combinada (Tabla
de contingencia 2 x 2)
• Es una forma alternativa de testar la hipótesis nula 1=2
Realizar un contraste de hipótesis tipo Ji al cuadrado o
prueba Exacta de Fisher (según frecuencia esperada)
• Si ambas muestras proceden de poblaciones con la misma
mediana, cabe esperar bajo H0 que la mitad de valores de una
muestra y la mitad de la otra han de ser superiores a la
mediana de la población.
• ATENCIÓN: sólo un 64% de eficiencia respecto a una T de
Student.
81
La tabla en cuestión...
Muestra 1
Muestra 2
Total
Valores superiores a
la mediana
A
B
A+B
Valores inferiores a
la mediana
C
D
C+D
A+C
B+D
N1+N2
82
...y las consideraciones del tamaño
• Si n1+n2 > 40
2 con corrección de
Yates
• Si 20 < n1+n2 >40
2 con Yates, si no
hay freq. Esperadas
<5, en tal caso Fisher
• Si n1+n2 < 20
83
• Prueba exacta de
Fisher
84
Un ejemplo
Trat Control
80
96
77
79
76
74
82
82
83
69
84
72
75
94
69
77
97
77
71
97
85
75
74
69
98
95
88
78
96
73
72
83
75
70
94
.
Los cálculos
Trat
Mediana Tratamiento
Mediana Control
81
77
Mediana combinada
78
<Me
>Me
Total
Obtenidas
Control
8
10
18
Trat
<Me
>Me
Total
Total
10
7
17
Esperadas
Control
9.257
8.743
18
Estadístico 2= 0.7237
18
17
35
Total
8.743
8.257
17
18
17
35
Valor de p= 0.3949
85
86
Independientes
87
Test H de Kruskal-Wallis
Aplicación
El punto de partida del test H de Kruskal Wallis es el mismo que para la U
Se ordenan las n observaciones de las k muestras en una única serie
creciente y se les asigna números de rango (desde 1 hasta n)
Sea Ri la suma de rangos de la muestra i-ésima
Si se cumple la hipótesis nula, y para valores de n suficientemente
grandes (en la práctica ni 5 y k 4), el estadístico
Que sigue una distribución 2 con k-1 grados de libertad
89
90
Interpretación de los
primeros resultados
Solución elegante
• Queda claro que las muestras son
diferentes pero cuáles son distintas
entre sí.
• Realización de un ANOVA con rangos
– El SAS lo hace previo cambio de los
datos a rangos (Proc Rank)
– Permite la interpretación de los
resultados vía la típica tabla de
Análisis de la Varianza
•Se ordenan las sumas de rangos de las k muestras
•de mayor a menor como en las comparaciones paramétricas de
Tukey)
•Se empieza comparando la suma de rangos mayor con la menor
•Se divide la diferencia de rangos por el error estándar apropiado par
obtener un estadístico de distribución conocida. En esta caso Q.
91
92
Comparación de más de 2 muestras relacionadas.
Test de Friedman
Ejemplo:
• Comparación de la eficacia de k=4 muestras de penicilina por el método
de la difusión en placas.
• La experiencia se realiza con n=3 placas de agar de 9 cm de diámetro
cada una en las que se cultiva B. Subtilis (bacilo de heno).
• En cada una de las placas se deposita una cantidad fija de penicilina y se
extiene provocando la inhibición de crecimiento de la B.subtilis. El
diámetro de la zona de inhibición es proporcional a la concentración de
penicilina. Se pregunta si los diámetros de las zonas de inhibición
presentan alguna diferencia.
Dependientes
94
Comparación de más de 2 muestras relacionadas.
Test de Friedman
Comparación de más de 2 muestras relacionadas.
Test de Friedman
• H0: el diámetro de las zonas de inhibición son las
mismas en todas las disoluciones de penicilina
• Análisis de la variancia de un diseño experimental
de bloques con una observación por celda.
Placa nº
1
2
3
Placa nº
1
2
3
Suma de rangos
1
27
27
25
Disoluciones de penicilina
2
3
23
26
23
25
21
26
4
21
21
20
1
4
4
3
Disoluciones de penicilina
2
3
2
3
2
3
2
4
4
1
1
1
11
6
10
b= nº de bloques
a=nº de tratamientos
3
95
96
Comparación de más de 2 muestras relacionadas.
Test de Friedman
Resultados iniciales con SPSS
Estadísticos descriptivos
• El test de Friedman se puede considerar que se aproxima a
una distribución ji cuadrado con a-1 grados de libertas
N
Disolució
Disolució
Disolució
Disolució
3
3
3
3
Media
6.3333
2.3333
5.6667
0.6667
Percentiles
Desviación
típica MínimoMáximo 25 0 (Mediana 75
1.1547 25.00 27.00 5.0000 27.0000 7.0000
1.1547 21.00 23.00 1.0000 23.0000 3.0000
.5774 25.00 26.00 5.0000 26.0000 6.0000
.5774 20.00 21.00 0.0000 21.0000 1.0000
Rangos
Disolución 1
Disolución 2
Disolución 3
Disolución 4
• Se rechaza la hipótesis nula de igualdad de las cuatro
soluciones
97
Muestras relacionadas:COCHRAN
Prueba 1
0
1
1
1
1
1
1
1
Prueba 2
1
0
0
0
0
1
0
0
Prueba 3
0
1
1
0
0
1
0
0
Prueba 4
0
0
0
0
0
0
0
0
Frecuencias
Valor
0
P1
P2
P3
P4
1
1
6
5
8
7
2
3
0
Estadísticos de contraste
Variables
binarias
N
Q de Cochran
gl
Sig. asintót.
Sig. exacta
Probabilidad en el punto
8
12.000a
3
.007
.006
.004
a. 0 se trata como un éxito.
99
Rango
promedio
3.67
2.00
3.33
1.00
Estadísticos de contrastea
N
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
Sig. exacta
Probabilidad en el punto
a. Prueba de Friedman
3
8.200
3
.042
.017
.016
98