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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DEL CURSO: 401588 – FÍSICA CUÁNTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
401588 – FÍSICA CUANTICA
ANGELO ALBANO REYES CARVAJAL
Abril 2012
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CONTENIDO DEL CURSO: 401588 – FÍSICA CUÁNTICA
COMITÉ DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Gloria Herrera
Vicerrectora Académica
Roberto Salazar Ramos
Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas
Maribel Córdoba Guerrero
Secretaria General
MÓDULO
CURSO FÍSICA CUÁNTICA
PRIMERA EDICIÓN
Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Colombia
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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo fue diseñado por Angelo Albano Reyes Carvajal, Ingeniero Físico
egresado de la Universidad del Cauca, docente de la UNAD desde el año 2011.
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ÍNDICE
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA
1.1
Capitulo 1: Radiación Cuántica
Lección 1: Física Clásica vs Física Cuántica.
Lección 2: Radiación Térmica.
Lección 3: La radiación del cuerpo negro.
Lección 4: Ley del desplazamiento de Wien.
Lección 5: Ley de Stefan-Boltzmann.
Lección 6: Ley de Rayleigh y Jeans.
Lección 7: La solución Final. Hipótesis de Planck de la
cavidad.
Lección 8: El Postulado de Planck.
1.2
Capitulo 2: Partículas y ondas
Lección 9: Emisión electrónica.
Lección 10: El efecto fotoeléctrico.
Lección 11: El efecto Compton.
Lección 12: La naturaleza dual de la radiación
electromagnética.
Lección 13: Rayos X.
Lección 14: Producción y aniquilación de pares.
1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atómico
de Bohr
Lección 15: Ondas de materia.
Lección 16: Dualidad onda – partícula.
Lección 17: Principio de incertidumbre.
Lección 18: El modelo atómico de Thomson.
Lección 19: El modelo atómico de Rutherford.
Lección 20: Espectros atómicos.
Lección 21: Modelo de Bohr
Lección 22: El principio de correspondencia.
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UNIDAD 2. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
2.1 Capitulo 4: La Ecuación de Schrödinger I
Lección 23: Introducción a la Ecuación de Schrödinger.
Lección 24: Deducción de la Ecuación de Schrödinger.
Lección 25: Densidad de Probabilidad.
Lección 26: La ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo.
Lección 27: Cuantización de la Energía en la teoría de
Schrödinger.
2.2 Capítulo 5: La Ecuación de Schrödinger II
Lección 28: El Hamiltoniano y operadores.
Lección 29: Valores Promedio o esperados.
Lección 30: El potencial cero.
Lección 31: El potencial Escalón.
Lección 32: La barrera de potencial.
2.3 Capitulo 6: Algunas
Schrödinger
aplicaciones de
la
Ecuación de
Lección 33: Potencial de pozo cuadrado.
Lección 34: Potencial de pozo cuadrado infinito.
Lección 35: El potencial del oscilador armónico simple.
Lección 36: Átomos con un electrón.
Lección 37: Ecuación de Schrödinger tridimensional.
Lección 38: Separación de variables para la ecuación de
Schrödinger tridimensional y estacionaria.
Lección 39: Solución de las ecuaciones (azimutal, polar y
radial, para átomos con un solo electrón)
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INTRODUCCIÓN
El curso de FÍSICA CUÁNTICA para los estudiantes del Programa de Química de
la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD), se encuentra justificado por
los grandes desarrollos que de manera progresiva ha tenido la Ciencia en este
campo y que se ven reflejados en aplicaciones o desarrollos tecnológicos. Cuando
se menciona Física Cuántica se puede pensar en un tema extraño, que no tiene
sentido en la vida diaria, pero este concepto es erróneo, puesto que la Física
Cuántica está en todas partes. En la actualidad, es muy común hablar de
computadoras, teléfonos, comunicación y demás aplicaciones que han facilitado
nuestro vivir, y que han sido desarrollados gracias a la invención de los diodos,
transistores, chips, nuevos materiales, y en fin, un sin número de materiales y de
dispositivos, los cuales no se podrían diseñar, explicar, ni realizar sin la FÍSICA
CUÁNTICA. Un ejemplo claro de la importancia de Física Cuántica en nuestra
vida diaria, se encuentra en uno de los medios de transporte más importantes en
nuestro mundo actual “el automóvil”, este necesita de la física del siglo XIX para el
diseño mecánico básico, incluso empleando aleaciones, plásticos y pinturas, pero
cuando, por ejemplo, nos fijamos en la tecnología para comunicarse y procesar la
información hemos sido obligados a trasladarnos a la Física Cuántica. Es tan
amplia la aplicación de la Física Cuántica, que este curso abordará los temas más
importantes para la comprensión del tema.
Para este curso, los estudiantes están familiarizados con nociones de la física
clásica (mecánica, electricidad y magnetismo), cálculo, y física moderna. Los
propósitos del curso son reconocer y aplicar los fundamentos de la Física Cuántica
en la explicación de algunos fenómenos naturales.
El módulo está dividido en dos unidades:

Fundamentos de Física Cuántica: Este capítulo es de gran importancia
puesto que permite afianzar las nociones básicas que se deben tener
durante el curso y que permitirán la comprensión de la Cuántica. Se
empezará a desarrollar temas como la radiación cuántica, seguiremos con
partículas y ondas, y por último el postulado de Louis de Broglie.

Ecuación de Schrödinger: Este capítulo dará estudio a la dinámica cuántica,
en la cual se presentará la ecuación de Schrödinger, la solución y
aplicaciones.
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Este módulo se encuentra diseñado para que el lector, se apropie en forma
sencilla de los fundamentos y métodos del campo científico que permitirán
entender muchos de los avances tecnológicos de nuestra época. Al finalizar cada
aparte, se proponen algunos problemas y bibliografía.
Es fundamental que el estudiante se apropie del uso de las Tecnologías de la
Información y Comunicación (TIC´s) como herramienta de apoyo al proceso de
aprendizaje. En este sentido, el curso de Física Cuántica articulará a su desarrollo
actividades mediadas por las TIC´s, como interactividades sincrónicas y
asincrónicas, para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño
grupo colaborativo y acceso a la información disponible en la plataforma virtual de
la Universidad.
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UNIDAD 1.
Nombre de la Unidad
Introducción
Justificación
Intencionalidades
Formativas
Denominación
capítulos
Fundamentos de física cuántica
Se estudiarán los conceptos básicos de la Física
Cuántica
Esta unidad proporciona el entendimiento de los
fenómenos físicos introductorios a la física cuántica.
Que el estudiante pueda comprender los fenómenos
físicos que dan origen a la física cuántica.
de Capítulo 1: Radiación Cuántica
Capítulo 2: Partículas y ondas
Capítulo 3: Postulado de Luis de Broglie
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA
1.1
Capitulo 1: Radiación Cuántica
Lección 1: Física Clásica vs Física Cuántica.
Lección 2: Radiación Térmica.
Lección 3: La radiación del cuerpo negro.
Lección 4: Ley del desplazamiento de Wien.
Lección 5: Ley de Stefan-Boltzmann.
Lección 6: Ley de Rayleigh y Jeans.
Lección 7: La solución Final. Hipótesis de Planck de la
cavidad.
Lección 8: El Postulado de Planck.
1.2
Capitulo 2: Partículas y ondas
Lección 9: Emisión electrónica.
Lección 10: El efecto fotoeléctrico.
Lección 11: El efecto Compton.
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Lección 12: La naturaleza dual de la radiación
electromagnética.
Lección 13: Rayos X.
Lección 14: Producción y aniquilación de pares.
1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atómico
de Bohr
Lección 15: Ondas de materia.
Lección 16: Dualidad onda – partícula.
Lección 17: Principio de incertidumbre.
Lección 18: El modelo atómico de Thomson.
Lección 19: El modelo atómico de Rutherford.
Lección 20: Espectros atómicos.
Lección 21: Modelo de Bohr
Lección 22: El principio de correspondencia.
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INTRODUCCIÓN
La Física cuántica se encuentra inmersa en varios aspectos de nuestra vida
cotidiana como computadores, teléfonos inteligentes, autos, y demás dispositivos
tecnológicos. Sin embargo, para entender estas aplicaciones es necesario conocer
algunos fenómenos físicos y nociones básicas que serán los fundamentos de la
Física cuántica, para tal fin, se iniciará con una descripción de la radiación
cuántica, seguido por algunos fenómenos enmarcados en el capítulo de partículas
y ondas, y por último comprenderemos el postulado de Louis de Broglie
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CAPÍTULO 1. RADIACIÓN CUÁNTICA
Lección 1: Física Clásica vs Física Cuántica
La Física Cuántica trata de dar explicación a todos los fenómenos no explicables
por medio de la Física clásica. Los fenómenos cuánticos frecuentemente están
enmarcados dentro del mundo microscópico, pero a continuación daremos
algunos ejemplos donde la cuántica está inmersa en el mundo macroscópico:

La superfluidez, la superconductividad, el estudio del carácter conductor o
aislante de los materiales, etc., son fenómenos macroscópicos que
solamente son entendibles utilizando métodos cuánticos.

La conductividad eléctrica puede entenderse como sistema clásico, pero
para una adecuada explicación se requieren conceptos de resistividad
eléctrica, calor específico de un sólido, etc., que hacen uso necesario de la
Física Cuántica.
Los anteriores ejemplos muestran claramente que la Física Cuántica es una
ciencia con dominio sobre todo tipo de fenómenos. Ahora, vamos a conocer el
límite clásico de lo cuántico.
Antes de ello, retomemos el curso de física moderna donde se estableció que
podemos utilizar la Física no relativista en lugar de la relativista si las velocidades
puestas en juego en el sistema son mucho menores que la velocidad de la luz en
el vacío (𝑐 = 3 × 108 𝑚⁄𝑠), es decir, la elección de la física relativista o no
relativista depende de la contante universal 𝑐.
Al igual que en el mundo clásico, existe una constante universal para el cuántico,
que se denomina constante de Planck (ℎ), cuyo valor es:
ℎ = 6.626 × 10−27 𝑒𝑟𝑔 ∙ 𝑠
Esta constante permite determinar la aplicabilidad de la Física Cuántica frente a la
Clásica, es decir, la constante de Planck, con dimensiones de acción (energía x
tiempo) permite concebir que:
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
Si las acciones del sistema son mucho mayores que ℎ, entonces para
describir ese sistema es solamente necesario la teoría de la Física clásica.

Ahora, si las acciones del sistema son comparables con ℎ, entonces, se
debe aplicar la Física Cuántica.
Un claro ejemplo de la aplicabilidad de la Física Cuántica dada por la constante de
Planck es el siguiente:
Ejemplo:
Calcule la acción de un péndulo simple formado por una masa de 1𝑔, con un
periodo de 1𝑠 y una energía de 1 𝑒𝑟𝑔.
Solución:
Entonces, su acción será:
1 𝑒𝑟𝑔 × 1𝑠 = 1𝑒𝑟𝑔 ∙ 𝑠
Y ya que ℎ = 6,626 × 10−27 𝑒𝑟𝑔 ∙ 𝑠 se tiene que:
1 𝑒𝑟𝑔 × 1𝑠
ℎ
= 1.5 × 1026 ℎ
6.626 × 10−27 𝑒𝑟𝑔 ∙ 𝑠
Es decir, se observa que el resultado es mucho mayor que la constante de Planck,
entonces podemos decir que nos encontramos frente a un problema clásico.
Lección 2: Radiación Térmica
Se conoce como radiación térmica, a la radiación que emite un cuerpo como
consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten esta clase de
radiación a su alrededor, y la absorben de él; esta radiación no es más que
radiación electromagnética (ondas electromagnéticas de espectro muy ancho). En
principio, si un cuerpo se encuentra a una temperatura mayor que su alrededor,
éste se enfriará, ya que la rapidez con la que emite energía excederá la rapidez
con la que absorbe, llegando a un equilibrio térmico (igual temperatura), es decir,
no es que dejen de radiar ondas electromagnéticas sino que la energía emitida por
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ellos es igual a la que absorben (equilibrio dinámico), tal y como lo expreso el
físico y filósofo Prévost en 1792:
Ley de Prévost: Todos los objetos están constantemente radiando y
recibiendo energía térmica del entorno, pero en el estado de equilibrio térmico, la
cantidad de energía térmica que pierde un cuerpo por unidad de tiempo es igual a
la absorbida durante el mismo intervalo en forma de radiaciones idénticas
procedentes de los otros cuerpos que lo rodean.
La materia en estado sólido o líquido (estado condensado) emite un espectro de
radiación continuo depende mas de la temperatura que de la composición del
mismo. Ahora bien, vamos a suponer que una fuente de radiación esta
caracterizada por la emitancia radiante (𝐸), que es la cantidad de energía por
unidad de tiempo que radia al espacio; aunque nos concentraremos en saber en
que longitudes de onda esta concentrada la energía que emite la fuente, es decir
la distribución espectral (𝐸𝜆 ) que indica, la energía por unidad de tiempo radiada
en un intervalo de longitudes [𝜆, 𝜆 + 𝑑𝜆] o, de manera similar podemos referirnos
a la distribución espectral (𝐸𝜈 ) referida en un intervalo de frecuencias [𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈].
Estas dos funciones están relacionadas por la ecuación:
𝐸𝜈 = 𝐸𝜆 ∙
𝑐
𝜈2
Entonces, siempre nos referiremos a 𝐸𝜈 o 𝐸𝜆 como el espectro, el cual brinda
información sobre el tipo de radiación que se esta estudiando.
Figura 1. Espectro de radiación del cuerpo negro.
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Al estudiar el espectro de diferentes sustancias a una temperatura elevada y fija,
se observa que el valor de la emisión a cada frecuencia está siempre acotado por
un valor máximo. Representando los diferentes valores de la cota 𝑆𝜈 (𝑇) se obtiene
una distribución que se puede considerar como el espectro que tendría un cuerpo
ideal capaz de irradiar lo máximo a todas las frecuencias. Por lo tanto, la curva 𝑆𝜈
es la envolvente de todos los posibles espectros de emisión a la temperatura dada
𝑇, como se observa en la figura 1. En Dicha figura, se muestra el espectro de
radiación del cuerpo negro, representado por tres diferentes temperaturas, en la
cual se aprecia que existe un máximo de longitud de onda para cada temperatura.
En el cuadro pequeño de ella, se muestra la distribución espectral de una lámpara
de mercurio de bajo rendimiento de calor, el cual, es muy diferente al espectro de
un cuerpo negro.
Lección 3: La radiación de cuerpo negro
Un cuerpo negro es aquel que se caracteriza por absorber toda la radiación
térmica que incide sobre él, es decir, un cuerpo negro no refleja radiación en
absoluto. También, es necesario dar a conocer que todos los cuerpos negros a
una misma temperatura e independientemente de su composición emiten
radiación térmica con el mismo espectro.
Ahora, definiremos la radiancia espectral 𝑅𝑇 (𝜈), la cual especifica la distribución
espectral de la radiación de un cuerpo negro, y es la rapidez con la que la
superficie radia energía por unidad de área, a la temperatura 𝑇, para frecuencias
de radiación entre 𝜈 y 𝜈 + 𝑑𝜈.
A partir de la radiancia espectral e integrándola sobre todas las frecuencias
tenemos que:
∞
𝑅𝑇 = ∫ 𝑅𝑇 (𝜈)𝑑𝜈
0
y se conoce como la radiancia 𝑅𝑇 y define la energía o potencia total radiada de
un cuerpo negro a una temperatura (𝑇) dada y sus unidades son watt sobre metro
cuadrado (𝑊/𝑚2 ). La figura 2 muestra la dependencia de la radiancia espectral
con la temperatura y la frecuencia. En esta figura se aprecia claramente que a
medida que aumenta la frecuencia existe un máximo de radiancia para cada
temperatura, es decir, el espectro se desplaza hacia frecuencias mayores a
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mediad que la temperatura aumenta, y que cuando se aumenta la temperatura, la
frecuencia donde ocurren los máximos de radiancia crecen de forma de lineal.
Figura 2. Radiancia espectral de un cuerpo negro radiante como función de la
frecuencia de radiación.
La ley de Kirchhoff, la cual indica que la envolvente de toda emisión térmica 𝑆𝑣 , es
igual a la curva de emisión espectral del cuerpo negro, es decir, esto implica que a
una temperatura y frecuencia (o longitud de onda) dadas, la emisividad espectral
de cualquier sustancia, 𝐸𝜈 (𝑇), esta acotada por el valor 𝑆𝜈 (𝑇) (véase la figura 1 y
2), de manera que el cuerpo negro constituye un sistema que radia de manera
universal, independientemente de las condiciones físicas concretas a las que
están sujetos los cuerpos negros y sustancias comunes.
Estudios experimentales (como la medición de cuerpos calientes, estrellas, etc.)
permitieron establecer que el espectro de un cuerpo negro (ver figuras 1 y 2) tiene
un máximo para una cierta longitud de onda (o frecuencia), que se puede llamar
como 𝜆𝑚𝑎𝑥 , y se sitúa de manea tal que se cumple la ley del desplazamiento de
Wien.
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Lección 4: Ley del desplazamiento de Wien
La ley del desplazamiento de Wien establece que: La longitud de onda de la
radiación en la que un cuerpo negro tiene un máximo de emisividad espectral, se
relaciona con la temperatura 𝑇, de la siguiente manera:
𝜆𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑇 = 𝑏
Donde
𝑏 = 2.898 × 10−3 𝑚 ∙ °𝐾
Y se conoce como la constante de Wien.
Ejemplo:
Determine la temperatura de la superficie de la estrella polar, si se sabe que las
estrella se comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda máxima
de 3,500 Å.
Solución:
Antes de solucionar el problema debemos recordar que:
𝑈𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑠𝑡𝑟𝑜𝑚 = 1Å = 10−10 𝑚
Por lo tanto
𝜆𝑚𝑎𝑥 = 3,500 Å
10−10 𝑚
1Å
= 3.5 × 10−7 𝑚
A partir de la ley del desplazamiento de Wien se tiene que:
𝑇=
𝑏
𝜆𝑚𝑎𝑥
=
2.898 × 10−3 𝑚 ∙ °𝐾
≅ 8,300°𝐾
3.5 × 10−7 𝑚
Entonces, a 8,280°𝐾 la estrella polar irradia a una la longitud de onda máxima de
3,500 Å.
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Lección 5: Ley de Stefan-Boltzmann
A partir de la figura 2 se aprecia que a medida que la temperatura aumenta la
radiancia espectral aumenta, esta dependencia la explica la ley de StefanBoltzmann, la cual establece que la energía o potencia total radiada de un cuerpo
negro es proporcional a la potencia cuarta de la temperatura 𝑇, es decir:
𝑅𝑇 = 𝜎𝐴𝑒𝑇 4
Donde 𝜎 = 5.67 × 10−8 𝑊⁄(𝑚2 𝐾 4 ) se conoce como la constante de StefanBoltzmann, 𝐴 es el área y 𝑒 es la emisividad de la superficie. En caso de un
cuerpo negro el valor de la emisividad es 𝑒 = 1.
Ejemplo:
Utilizando la información del ejercicio anterior, calcular la energía irradiada del
cuerpo negro (estrella polar) por 1 𝑐𝑚2 de superficie.
Solución:
Utilizando la ley de de Stefan-Boltzmann se tiene que:
𝑅𝑇 = 𝜎𝑇 4 𝐴 = 1 × 5.67 × 10−8 𝑊⁄(𝑚2 °𝐾 4 ) × (8300°𝐾)4 × 1𝑐𝑚2 ≅ 26908 𝑊⁄𝑐𝑚2
Lección 6: Ley de Rayleigh y Jeans
Antes de explicar la ley de Rayleigh y Jeans, tomaremos como ejemplo de un
cuerpo negro un objeto que contiene una cavidad y que se comunica con el
exterior por medio de un pequeño agujero tal, donde toda la radiación que ingresa
o incide en el agujero es absorbida de manera completa por las paredes internas
de la cavidad, comportándose como un cuerpo negro, tal y como se observa en la
figura 3.
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Figura 3: Representación de un cuerpo negro.
A partir de este ejemplo, se define la densidad de energía de radiación 𝜌𝑇 (𝜈),
como la energía contenida en unidad de volumen de la cavidad a temperatura 𝑇,
en el intervalo de frecuencias [𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈].
A principios del siglo XX, Rayleigh y Jeans, establecieron que la densidad de
energía de radiación 𝜌𝑇 (𝜈) en una cavidad cuerpo negro estaba dada por:
8𝜋𝜈 2
𝜌𝑇 (𝑣)𝑑𝜈 = 3 𝑘𝑇 𝑑𝜈
𝑐
donde 𝑘 = 1.38 × 10−23 𝐽 𝐾 −1 y se llama la constante de Boltzmann, 𝑐 es la
velocidad de la luz. A partir de esta definición se entro en un serio conflicto entre la
física clásica y los resultados experimentales. Es decir, esta ley se ajustaba a los
datos experimentales en la región de frecuencias muy bajas, pero a medida que
se acercaba a frecuencias altas (frecuencias de la zona ultravioleta y superiores)
la teoría tiende a infinito, en efecto la integral sobre todas las frecuencias, que da
la densidad de energía total expresada por:
𝜌𝑇 (𝜈) =
∞
8𝜋
𝑘𝑇
∫
𝜈 2 𝑑𝜈 → ∞
𝑐3
0
diverge, puesto que crece de manera indefinida, lo cual contradice los resultados
experimentales y la conservación de la energía. Este comportamiento se aprecia
en la figura 4, y a este hecho se le conoce como la “catástrofe ultravioleta”.
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Figura 4. Comparación de los resultados experimentales con teóricos para la
densidad de energía en una cavidad cuerpo negro.
A partir de la catástrofe ultravioleta y de dar solución a esta problemática empieza
el nacimiento de una nueva física, que se consideró en años mas tarde como
física cuántica.
Lección 7: La solución Final. Hipótesis de Planck de la cavidad.
Para dar solución a la problemática entre la discrepancia de los hallazgos
experimentales y teóricos, Planck consideró que era posible violar la ley de
equipartición de la energía, la cual establece que para un sistema de moléculas
de un gas, que se encuentra en equilibrio térmico a una temperatura dada, la
energía cinética promedio de una molécula por cada grado de libertad es KT/2,
donde K es la constante de Boltzmann (esta ley se cumple para cualquier sistema
clásico que contenga en equilibrio partículas de la misma clase).
La ley de Rayleigh y Jeans funciona para bajas frecuencias, es decir, que la
energía total promedio 𝐸̅ tiende a 𝑇 a medida que la frecuencia tiende a cero (
𝐸̅ → 𝑘𝑇 si 𝜈 → 0), para las frecuencias altas la discrepancia se puede resolver si
existe un corte, tal que la energía total promedio 𝐸̅ tienda a cero si la frecuencia
tiende a infinito (𝐸̅ → 0 si 𝜈 → ∞), con ello, Planck sugirió que la energía promedio
sea función de la frecuencia 𝐸̅ (𝜈), lo cual contrasta con la equipartición de la
energía que asigna un único valor a todas las frecuencias.
Planck logro el anterior corte tratando la energía 𝐸 como una variable discreta en
lugar de continua, es decir, él supuso que la energía 𝐸 podía tomar ciertos valores
discretos y que ellos estaban distribuidos de forma uniforme, es decir, tomo:
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𝐸 = 0, ∆𝐸, 2∆𝐸, 3∆𝐸, 4∆𝐸, …
como el conjuntos de valores permitidos de la energía.
Para este caso, el intervalo de los valores sucesivos es: ∆𝐸. Ahora, a partir de los
valores que puede tomar ∆𝐸, se establece que: si se presenta que ∆𝐸 ≪ 𝑘𝑇 se
obtiene que 𝐸̅ ≅ 𝑘𝑇, es decir, el resultado clásico, y si se tiene que ∆𝐸 ≫ 𝑘𝑇 se
obtiene que 𝐸̅ ≪ 𝑘𝑇. Lo anterior indica que si la diferencia entre energías
adyacentes ∆𝐸 es pequeña 𝐸̅ ≅ 𝑘𝑇 (resultado clásico) y si la diferencia es
grande 𝐸̅ ≅ 0, el primer resultado corresponde para frecuencias bajas y el
segundo corresponde para frecuencias altas.
Planck determinó que la relación entre ∆𝐸 y 𝜈 debe ser proporcional, es decir, él
supuso, que ∆𝐸 ∝ 𝜈, y escribiendo esta relación en forma de ecuación obtuvo
que:
∆𝐸 = ℎ𝜈
donde ℎ es la constante de proporcionalidad y se conoce como la constante de
Planck y tiene un valor experimental de :
ℎ = 6.63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠
A partir de los resultados anteriores Planck obtuvo que 𝐸̅ es:
𝐸̅ (𝜈) =
ℎ𝜈
𝑒 ℎ𝜈⁄𝑘𝑇
−1
Observemos que esta relación cumple con las condiciones para resolver las
ℎ𝜈
ℎ𝜈
discrepancias, si el término
→ 0 se obtiene que 𝐸̅ (𝜈) → 𝑘𝑇 y si
→ ∞ el
𝑘𝑇
término 𝑒
ℎ𝜈 ⁄𝑘𝑇
𝑘𝑇
→ ∞ y por tanto 𝐸̅ (𝜈) → 0.
Y obtuvo para la densidad de energía total en el espectro del cuerpo negro que:
𝜌𝑇 (𝑣)𝑑𝜈 =
8𝜋𝜈 2
ℎ𝜈
𝑑𝜈
3
⁄
ℎ𝑣
𝑐 𝑒 𝑘𝑇 − 1
O en términos de la longitud de onda es:
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𝜌𝑇 (𝜆)𝑑𝜆 =
8𝜋ℎ𝑐
1
𝑑𝜆
𝜆5 𝑒 ℎ𝑣⁄𝜆𝑘𝑇 − 1
Y se conoce como el espectro del cuerpo negro de Planck. Esta ecuación si
explicaba el espectro negro no solo en los casos de bajas frecuencias sino
también los de altas frecuencias. En la figura 5 se muestra el resultado
experimental en comparación con los resultados teóricos, en ella la línea continua
muestra el resultado teórico y los puntos indican los experimentales para la
densidad de un cuerpo negro a una temperatura de T=1595°K.
Figura 5. Densidad de un cuerpo negro.
Es de recordar que Planck no alteró la distribución de Boltzmann, sólo consideró a
la energía de ondas estacionarias, oscilando sinodalmente en el tiempo, como una
discreta en lugar de continua.
Lección 8: El Postulado de Planck.
El postulado de Planck se indica como: Cualquier ente físico con un grado de
libertad que realiza oscilaciones armónicas-simples sólo puede tener energías 𝐸
que satisfacen la relación:
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𝐸 = 𝑛ℎ𝜈
Con 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … y donde 𝑣 es la frecuencia de la oscilación y ℎ es una
constante universal.
Este postulado indica que si la energía de un ente cualquiera obedece este
postulado, se dice que dicha energía se encuentra cuantizada, y los niveles de
energía permitidos se llaman estados cuánticos, y 𝑛 se conoce como el número
cuántico del estado de energía permitido.
Ejemplo:
Una fuente de luz ultravioleta irradia a una longitud de onda de 400nm, calcule la
energía de los fotones en 𝑒𝑉 irradiados por la fuente.
Solución:
A partir del postulado de Planck tenemos que la energía de los fotones esta dada
por:
𝐸 = ℎ𝜈
Y ya que
𝜈=
𝑐
𝜆
se obtiene que:
𝐸 = ℎ𝜈 =
ℎ𝑐
𝜆
Remplazando la información dada se tiene:
6.63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 ∙ 3.0 × 108 𝑚⁄𝑠
𝐸=
= 4.972 × 10−19 𝐽
400 × 10−9 𝑚
Ahora convirtamos esta cantidad a electronvoltios (𝑒𝑉), sabiendo que:
1𝑒𝑉 = 1.6022 × 10−19 𝐽
Entonces,
𝐸 = 4.972 × 10−19 𝐽 ×
1 𝑒𝑉
= 3.10323 𝑒𝑉
1.6022 × 10−19 𝐽
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Y por lo tanto, la energía de los fotones irradiados a la longitud de onda dada es
de 3.10323 𝑒𝑉.
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Ejercicios
1. Determine la temperatura de la superficie del sol, si se sabe que el sol se
comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda máxima de
5,100 Å. Rta: T=5,700°K.
2. Con la temperatura del ejercicio anterior y utilizando la ley de StefanBoltzmann determine la potencia radiada RT por 1cm2 de superficie estelar.
Rta: aproximadamente 6000W/cm2.
3. Una fuente de luz irradia a una longitud de onda de 700nm, calcule la
energía de los fotones en eV irradiados por la fuente. Rta: 1.774 eV
4. Un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura de 6000°K, ¿a que
longitud de onda radiará más por unidad de longitud de onda? Rta: 4,830 Å.
5. Supongamos que la tierra es un cuerpo negro que irradia energía al espacio
en una cantidad de 355W/m2, ¿Cuál es la temperatura de la superficie de la
tierra? Rta: 281 °K.
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Capitulo 2. Partículas y ondas
Lección 9: Emisión electrónica.
La emisión electrónica es el proceso en el cual se logra la liberación de electrones
de una masa o material hacia un espacio adyacente, la extracción o liberación de
electrones se puede lograr por medio de los siguientes mecanismos:




La emisión termoiónica (Efecto Edison): el calentamiento de la superficie
de un metal causa la emisión de electrones.
La emisión secundaria: la liberación de electrones de la superficie de un
metal es causada por partículas energéticas que se inciden sobre el
material.
La emisión de campo: la extracción de electrones causado por un campo
eléctrico intenso.
El efecto fotoeléctrico: la expulsión de electrones de un metal causado por
la luz incidente sobre el material.
En 1887 Hertz cuando se encontraba investigando las ondas electromagnéticas
predichas por la teoría de Maxwell del campo electromagnético, descubrió de
manera accidental el efecto fotoeléctrico.
Lección 10: El efecto fotoeléctrico
En la figura 6 se muestra un esquema de un efecto fotoeléctrico experimental. El
estudio realizado por Philipp Lenard a este fenómeno mostro que:



Al incidir luz de frecuencia 𝜈 ≥ 105 𝐻𝑧 sobre un metal (placa M en la figura 6),
se emiten partículas cargadas negativamente y viajan hacia el electrodo
positivo (electrodo P en la figura 6).
La emisión se produce cuando el tubo es altamente evacuado (es decir, un
espacio al vacío), de tal manera, que los portadores no son iones gaseosos.
Un campo magnético aplicado entre la placa y el electrodo positivo desvía los
portadores cargados como si fuesen negativos.
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
La razón medida entre la carga y la masa para los portadores cargados es:
𝑒⁄𝑚 = 1.76 × 10−11 𝐶 ⁄𝐾𝑔 y este coincide con el valor encontrado para el
electrón.
Por lo anterior, a los portadores se les identifico como fotoelectrones.
Figura 6. Esquema experimental del efecto fotoeléctrico.
Lenard, utilizando luz monocromática de intensidad constante, obtuvo graficas
para la corriente fotoeléctrica (es decir, el número de electrones emitidos por el
metal que llegan al electrodo positivo) contra el potencial acelerador o de frenado.
Él encontró, que existía una corriente de saturación máxima para una intensidad 𝐼
de la luz incidente, y ésta se daba, cuando todos los electrones emitidos por el
material llegaban al electrodo positivo. También descubrió, que cuando el
potencial valía cero (𝑉 = 0), todavía existía una corriente eléctrica, lo que
significaba que algunos de los electrones emitidos tenían una velocidad finita.
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Además, se estableció que el potencial puede hacerse negativo (𝑉 = −𝑉0) hasta
que sólo los electrones con mayor energía puedan llegar al electrodo positivo, y
para este punto la energía cinética máxima de los electrones emitidos es:
𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉0
Donde 𝑉0 es el potencial de frenado.
Cuando se aumenta la intensidad de la luz incidente, la corriente de saturación
aumenta, es decir, se emiten más electrones, pero los electrones presentan
siempre la misma energía ya que el potencial de frenado es el mismo. El potencial
de frenado es independiente de la intensidad de la luz incidente.
Si se cambia la frecuencia de la luz incidente pero se conserva la intensidad, se
emite el mismo número de electrones, pero los electrones son más energéticos
por si la frecuencia es mayor.
En general, la corriente de saturación depende de la intensidad pero no de la
frecuencia, mientras que el potencial de frenado se hace mayor a medida que se
incrementa la frecuencia incidente.
La teoría clásica predice que cuando mayor es la intensidad de radiación de la luz
incidente se espera que los electrones emitidos sean más energéticos y también,
que si la intensidad de la radiación incidente es débil, se espera que ocurra un
tiempo prudente para que el metal almacene suficiente energía para expulsar
electrones. Sin embargo, como se ha denotado anteriormente, los experimentos
demuestran que la teoría clásica es inadecuada y se ha demostrado que la
energía cinética de los electrones no depende de la intensidad de la radiación,
sino que esa aumenta al aumentarla frecuencia incidente, y no existe un tiempo
prudente para que los electrones sean emitidos aún si la intensidad es muy débil.
Einstein en 1905 supuso que la radiación incidente consistía de paquetes o
cuantos de energía de valor 𝐸 = ℎ𝜈 que viajan a la velocidad de la luz. Cuando
estos fotones chocan con una superficie metálica pueden reflejarse o bien pueden
desaparecer cediendo su propia energía para expulsar los electrones. Ahora, se
redefine la energía cinética máxima de los electrones en términos de la frecuencia
así:
𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉0 = ℎ𝜈 − 𝜙
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Donde 𝜙 es la función de trabajo y es la cantidad mínima de energía necesaria
para extraer un electrón de la superficie de un metal y depende de las
características del metal. Cuando la energía cinética máxima es cero, la frecuencia
𝜈 es igual a 𝜈0 y se conoce como la frecuencia umbral que es la mínima frecuencia
de la luz a la cual se empiezan a emitir los electrones de la superficie del metal, y
por tanto se tiene que:
𝜙 = ℎ𝜈0
O se puede escribir en términos de la longitud de onda de corte o longitud d onda
umbral:
𝜙=
ℎ𝑐
𝜆0
entonces, rescribiendo la ecuación para la energía cinética máxima:
𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ𝜈 − ℎ𝜈0
Esto indica que para una frecuencia 𝜈 < 𝜈0 o en términos de longitud de onda
𝜆0 > 𝑐⁄𝑣0 , no hay la energía incidente suficiente para remover electrones del
metal y por tanto no ocurre el fenómeno fotoeléctrico.
A partir de lo descrito en esta lección se tiene que:
 La cantidad de electrones liberados es proporcional a la intensidad de luz
incidente.
 La máxima energía cinética con que se desprenden los electrones
depende de la frecuencia y no de la intensidad de la radiación.
 La máxima energía cinética con que se desprenden los electrones esta
relacionada la frecuencia en forma lineal, tal y como se demostró en la
última ecuación.
 El potencial de frenado 𝑉0 depende de la función de trabajo 𝜙.
 Existe una frecuencia umbral 𝑣0 por debajo de la cual no ocurre el efecto
estudiado.
 La emisión de electrones empieza sin retardo para cuando 𝜈 > 𝜈0 aún para
luz de baja intensidad.
Ejemplo:
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Sobre una superficie metálica se hace incidir luz de longitud de onda de λ = 2000Å
y para extraer un electrón de la superficie metálica se necesitan 4.2 eV. ¿Cuál es la
energía cinética máxima de los fotones emitidos? ¿Cuál es le potencial de
frenado?
Solución:
Para encontrar la energía cinética máxima tenemos que 𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ𝜈 − 𝜙, pero
antes de aplicar esta formula, debemos hacer las siguientes conversiones:
λ = 2000Å ×
10−10
1Å
= 2 × 10−7 m
Y ya que la función de trabajo es la energía mínima necesaria para extraer un
electrón se tiene que:
𝜙 = 4.2eV = 6.7284 × 10−19 J
Ahora, debemos expresar la energía máxima en términos de la longitud de onda
𝑐
utilizando la expresión 𝜈 = 𝜆, se tiene:
𝑐
𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ𝜈 − 𝜙 = ℎ − 𝜙
𝜆
Remplazando los valores se tiene la energía cinética máxima:
𝐾𝑚𝑎𝑥 = 6.626 × 10−19 𝐽𝑠
3.0 × 108 𝑚⁄𝑠
− 6.7284 × 10−19 𝐽
2 × 10−7 𝑚
K max = 3,2037 × 10−19 J
Ahora para calcular el potencial de frenado 𝑉0 se tiene que 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉0 y
despejándolo es:
𝐾𝑚𝑎𝑥 3,2037 × 10−19 J
𝑉0 =
=
= 2𝑉
𝑒
1.602 × 10−19 𝐶
Entonces se obtiene que:
𝑉0 = 2𝑉
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Lección 11: El efecto Compton
Estudios experimentales realizados a los rayos x (que son radiaciones en el
espectro electromagnético de longitudes de onda menores a 1Å) mostraron que
cuando ellos eran dispersados, los rayos x secundarios implicados eran menos
penetrantes que los rayos x primarios. Se descubrió que los rayos x secundarios
presentan las siguientes propiedades del proceso dispersor:



La radiación que se dispersa presenta dos longitudes de onda, una es la
original llamada 𝜆0 y la otra es una longitud de onda adicional 𝜆𝑠 .
𝜆𝑠 es casi del mismo valor que 𝜆0 pero es siempre mayor que la longitud de
onda original.
𝜆0 presenta dependencia del ángulo de dispersión 𝜃 y no del medio
dispersor.
Figura 7. Dispersión Compton de un fotón causado por un electrón estacionario.
Luego de este descubrimiento, Compton en el año 1923 propuso que los fotones
de los rayos x tienen momento y que el proceso dispersor es un choque elástico
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entre un fotón y un electrón. Al cambio en la longitud de onda de los fotones de
rayos x como consecuencia de la dispersión elástica con los electrones se le llamó
efecto Compton.
Entonces, Compton encontró el momento del fotón de la siguiente manera:
La energía de un fotón (partícula cuya masa es cero) es
𝐸 = 𝑝𝑐
donde 𝑝 es el momento y esta dado por 𝑝 = 𝑚v, pero la energía de un fotón
también se puede expresar en termino de la frecuencia 𝜈 como
𝐸 = ℎ𝜈 utilizando estas dos expresiones se obtiene que:
𝑝𝑐 = ℎ𝜈
Y por tanto
𝑝=
ℎ𝜈
𝑐
Ahora podemos expresar el momento en términos de la longitud de onda
𝑐
utilizando 𝜈 = 𝜆 se tiene que:
𝑝=
ℎ
𝜆
En la figura 6, se muestra la dispersión del fotón de rayos x cuando choca
elásticamente con un electrón estacionario.
Aplicando conservación del momento en el eje x para nuestra figura 6 se tiene
que:
𝑝0 = 𝑝𝑠 cos 𝜃 + 𝑝𝑒 cos 𝛾
Y para el eje y es:
𝑝𝑠 sin 𝜃 − 𝑝𝑒 sin 𝛾 = 0
Recordemos que 𝑝𝑠 es el momento del fotón dispersado, 𝑝𝑒 es el momento del
electrón dispersado y 𝑝0 es el momento del fotón inicial.
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Ahora aplicando la conservación de la energía se tiene que:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙
Entonces la energía inicial esta dada por la energía del fotón incidente (E0) mas la
masa de reposo del electrón (m0c2), y la energía final esta dada por la energía del
fotón dispersada (Es) mas la energía total del electrón dispersado que esta dada
por la masa de reposo del electrón (m0c2) mas la energía cinética de él (K), es
decir, la conservación de la energía estará dada por:
𝐸0 + 𝑚0 𝑐 2 = 𝐸𝑠 + 𝑚0 𝑐 2 + 𝐾
Ahora cancelando los términos semejantes y despejando 𝐾 se tiene:
𝐾 = 𝐸0 − 𝐸𝑠 = ℎ𝜈0 − ℎ𝜈𝑠 = ℎ(𝜈0 − 𝜈𝑠 )
Ahora, podemos escribir la ecuación
𝑝0 = 𝑝𝑠 cos 𝜃 + 𝑝𝑒 cos 𝛾
como:
𝑝0 − 𝑝𝑠 cos 𝜃 = 𝑝𝑒 cos 𝛾
Y elevando esta expresión al cuadrado se tiene:
(𝑝0 − 𝑝𝑠 cos 𝜃)2 = (𝑝𝑒 cos 𝛾)2
𝑝0 2 − 2𝑝0 𝑝𝑠 cos 𝜃 + 𝑝𝑠 2 cos2 𝜃 = 𝑝𝑒 2 cos 2 𝛾
Ahora elevemos al cuadrado la expresión
𝑝𝑠 sin 𝜃 − 𝑝𝑒 sin 𝛾 = 0
Se tiene que:
𝑝𝑠 2 sin2 𝜃 = 𝑝𝑒 2 sin2 𝛾
Sumando la expresión anterior con:
𝑝0 2 − 2𝑝0 𝑝𝑠 cos 𝜃 + 𝑝𝑠 2 cos2 𝜃 = 𝑝𝑒 2 cos 2 𝛾
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se tiene que:
𝑝0 2 − 2𝑝0 𝑝𝑠 cos 𝜃 + 𝑝𝑠 2 = 𝑝𝑒 2
Ya que 𝐸0 = ℎ𝜈0 = 𝑝0 𝑐 y 𝐸𝑠 = ℎ𝜈𝑠 = 𝑝𝑠 𝑐, entonces la ecuación
𝐾 = 𝐸0 − 𝐸𝑠 = ℎ𝜈0 − ℎ𝜈𝑠 = ℎ(𝜈0 − 𝜈𝑠 )
la podemos escribir como:
𝐾 = (𝑝0 − 𝑝𝑠 )𝑐
Ahora, recordando del curso de física moderna que la energía relativista total para
un electrón en términos del momento 𝑝 se puede expresar como:
𝐸 2 = (𝑚0 𝑐 2 )2 + 𝑝𝑒2 𝑐 2
Y ya que 𝐸 = 𝐾 + 𝑚0 𝑐 2 (Energía relativista total en términos de la energía
cinética).
Entonces, remplazando el término 𝐸 en la ecuación anterior se tiene que:
(𝐾 + 𝑚0 𝑐 2 )2 = (𝑚0 𝑐 2 )2 + 𝑝𝑒2 𝑐 2
Y resolviendo tenemos:
𝐾2
+ 2𝐾𝑚0 = 𝑝𝑒2
𝑐2
Ahora utilizando 𝐾 de la ecuación
𝐾 = (𝑝0 − 𝑝𝑠 )𝑐
y 𝑝𝑒 de la ecuación
𝐸 2 = (𝑚0 𝑐 2 )2 + 𝑝𝑒2 𝑐 2
y multiplicando todo por ℎ la ecuación
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𝐾2
+ 2𝐾𝑚0 = 𝑝𝑒2
𝑐2
queda como:
ℎ
ℎ
ℎ
− =
(1 − cos 𝜃)
𝑝𝑠 𝑝0 𝑚0 𝑐
Y finalmente podemos rescribir esta ecuación en términos de la longitud de onda
original y adicional así:
𝜆𝑠 − 𝜆0 =
ℎ
(1 − cos 𝜃)
𝑚0 𝑐
∆𝜆 = 𝜆𝑐 (1 − cos 𝜃)
ℎ
Donde 𝜆𝑐 = 𝑚
0𝑐
= 0.024Å y se define como la longitud de onda Compton para el
electrón. Al término ∆𝜆 de la última ecuación se le llama corrimiento de onda
Compton y solo depende del ángulo de dispersión 𝜃 y no de la longitud de onda
incidente. Este corrimiento varia desde cero, es decir cuando 𝜃 = 0 que significa
que corresponde a un choque rasante hasta una colisión de frente donde el fotón
incidente regresa por la misma trayectoria por donde incide y para el cual 𝜃 = 180°
y ∆𝜆 = 0.049Å.
Los diferentes experimentos realizados por esa época que fundamentan la
ecuación obtenida se describen como:


En 1923 Compton confirmo estos resultados de forma experimental.
En 1923 Bothe y Wilson observaron el electrón en retroceso y mostraron
que el fotón dispersado y el electrón aparecían simultáneamente.
Ejemplo:
Calcule el corrimiento de la longitud de onda Compton para un haz de rayos de
𝜆 = 1000Å, si la radiación dispersada por los electrones se observa a un ángulo de
𝜃 = 90°.
Solución:
Utilizando la ecuación ∆𝜆 = 𝜆𝑐 (1 − cos 𝜃) se tiene que:
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∆𝜆 =
ℎ
6.63 × 10−34 𝐽𝑠
(1 − cos 𝜃) =
× (1 − cos 90°)
𝑚0 𝑐
9.11 × 10−34 𝑘𝑔 × 3.0 × 108 𝑚⁄𝑠
∆𝜆 = 2.43 × 10−12 𝑚 = 0.0243 Å
Observe que este resultado es independiente de la radiación incidente.
Lección 12: La naturaleza dual de la radiación electromagnética
Existe la necesidad de interpretar la interacción entre la radiación y la materia
para un fotón; pero también es necesaria una teoría ondulatoria para poder
comprender el fenómeno de interferencia y difracción. Es por ello, que la radiación
no debe entenderse solamente como un fenómeno ondulatorio, ni como un chorro
de partículas, esta tiene comportamiento ondulatorio en algunas circunstancias y
corpuscular en otras.
Compton preciso este fenómeno en la que:


La medición de la longitud de los rayos x las mediciones se interpretan
mediante la teoría ondulatoria de la difracción.
Y las dispersiones afectan la longitud de onda de tal manera que sólo se
explica si se tratan los rayos x como partículas.
Entonces, es necesario considerar la dualidad en la naturaleza onda-partícula de
la radiación.
Lección 13: Rayos X.
Los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm Roentgen, y como lo nombramos en
las lecciones 11 y 12, son radiaciones en el espectro electromagnético de muy
corta longitud de onda, estos son causados cuando electrones a altas velocidades
se frenan al chocar con un blanco de metal.
Observemos este fenómeno de más cerca. Imaginemos que un electrón a alta
velocidad (presenta una energía cinética 𝐾1 inicial) es desacelerado mediante un
choque o colisión con un núcleo pesado, este choque hace que energía que
pierde el electrón (perdida de energía cinética) aparezca como en forma de
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radiación como un fotón de rayos X. Al colisionar el electrón interactúa con el
núcleo pesado mediante el campo de Coulomb y se transfiere impulso al núcleo.
Ahora considerando como 𝐾2 le energía cinética del electrón después de chocar,
por medio de la conservación de energía se establece que la energía del fotón
resultante es:
ℎ𝜈 = 𝐾1 − 𝐾2
ó
ℎ𝑐
= 𝐾1 − 𝐾2
𝜆
A partir de esta ecuación se puede determinar que la longitud de onda mínima
𝜆𝑚𝑖𝑛 a la cual se producen los fotones de rayos X es:
𝑒𝑉 =
ℎ𝑐
𝜆𝑚𝑖𝑛
𝜆𝑚𝑖𝑛 =
ℎ𝑐
𝑒𝑉
Esta ecuación muestra que si ℎ → 0 entonces 𝜆𝑚𝑖𝑛 → 0, lo cual es lo que predijo la
física clásica. Esto demuestra que la existencia de una longitud de onda mínima
es un fenómeno cuántico. La producción de fotones de rayos X da como resultado
un espectro continuo y se conoce como bremsstrahlung (es la radiación
producida cuando un electrón energético es desacelerado a medida que
interacciona con la materia para producir fotones), este proceso ocurre también
para los rayos cósmicos, los grandes aceleradores, entre otros.
Ejemplo:
La longitud de onda mínima de rayos X producida por electrones de 40 𝑒𝑉 es
3.11 × 10−11 𝑚. A partir de ello, determinar la constante de Planck.
Solución:
A partir de la ecuación
𝜆𝑚𝑖𝑛 =
se tiene que:
ℎ𝑐
𝑒𝑉
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ℎ=
𝑒𝑉𝜆𝑚𝑖𝑛
𝑐
Remplazando los valores se obtiene que:
ℎ=
1.6 × 10−19 𝐶 4.0 × 104 𝑉 3.11 × 10−11 𝑚
= 6.64 × 10−34 𝐽𝑠
3.0 × 108 𝑚⁄𝑠
Lección 14: Producción y aniquilación de pares
Además de los efectos estudiados hasta el momento, existe otro fenómeno
mediante el cual los fotones pierden su energía e interactúan con la materia, este
se llama producción de pares. Este fenómeno convierte energía radiante en
energía de masa en reposo y cinética. El fenómeno de producción de pares
consiste en que un fotón de alta energía pierde toda su energía (ℎ𝜈) al chocar con
núcleo, el producto de este choque genera un electrón y positrón (el par) y les
proporciona energía cinética. El positrón es una partícula que es idéntica en
todas las propiedades a un electrón con excepción de la carga (y en el momento
magnético) ya que su carga es positiva, es decir, un positrón es un electrón
cargado positivamente.
El fenómeno contrario al de producción de pares se conoce como aniquilación de
pares, este fenómeno consiste en que un electrón y positrón que se encuentran
inicialmente en reposo y muy cerca se unen y se aniquilan. El producto de esta
aniquilación da como resultado la creación dos fotones, estos fotones tienen como
característica principal que son opuestos en su dirección pero iguales en
magnitud.
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Ejercicios
1. Calcule la energía mínima necesaria para extraer un electrón de una
superficie metálica si se conoce que la frecuencia mínima de la luz a la
cual se empiezan a emitir electrones en la superficie del metal es de
4.39x1014/sg. Rta: 1.82eV
2. Calcule la longitud de onda de corte para la emisión fotoeléctrica del sodio
si la energía necesaria para extraer un electrón del elemento es de 2.3eV.
Rta: 5394.3 Å
3. Fotones de longitud de onda de 0,024 Å inciden sobre electrones libres. a)
encontrar la longitud de onda de un fotón que es dispersado a 30 grados de
la dirección incidente y b) calcule la energía cinética suministrada al
electrón en retroceso. Rta: a) 0.02721 Å, b)0.061 Mev.
4. Determinar el voltaje aplicado a un tubo de rayos x que dará un límite de
1.0 Å a las longitudes de onda corta. Rta: 12450V
5. Calcule la máxima frecuencia de los rayos x producidos por electrones
acelerados a través de una diferencia de potencial de 25.000V. Rta: 0.05nm
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Capitulo 3. Postulado de Louis de Broglie y el modelo atómico de
Bohr
Lección 15: Ondas de materia
Louis de Broglie en 1934 propuso que el comportamiento dual de la radiación
(onda-partícula) debería aplicarse a la materia. Él planteo que los aspectos
ondulatorios de la materia están relacionados con los aspectos corpusculares en
la misma forma cuantitativa que la radiación. Entonces, tanto para la materia
como para la radiación, le energía total 𝐸 de un ente se relaciona con la
frecuencia 𝜈 de la onda asociada a su movimiento por medio de
𝐸 = ℎ𝜈
Y el momento 𝑝 del ente se relaciona con la longitud de onda 𝜆 de la onda
asociada por
ℎ
𝑝=
𝜆
Entonces se puede observar que por medio de la constante de Planck los
conceptos corpusculares energía 𝐸, y momento 𝑝, se relacionan con los
fenómenos ondulatorios frecuencia 𝜈 y longitud de onda 𝜆.
Ahora si se despeja 𝜆 de la ecuación anterior se obtiene la relación de de Broglie:
𝜆=
ℎ
𝑝
Lo cual indica que las partículas, como los electrones, pueden poseer
características ondulatorias.
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Lección 16: Dualidad onda – partícula
En el siguiente apartado se proporciona una fuerte evidencia
electrones presentan un carácter ondulatorio y corpuscular:
de que los
Un haz de electrones que poseen una energía cinética de 𝐾 = 54 𝑒𝑉 producía un
aumento en la cantidad de electrones emitidos a un ángulo de 𝜙 = 50°. A partir de
esta información encontremos la longitud de onda de de Broglie:
ℎ
Utilizando 𝜆 = 𝑝 y sabiendo que 𝑝 = √2𝑚0 𝐾, 𝐾 = 54 𝑒𝑉 = 54 × 1.6 × 10−19 𝐽
y
𝑚0 = 9.11 × 10−31 𝐾𝑔 se tiene que:
𝜆=
ℎ
ℎ
6.63 × 10−34 𝐽𝑠
=
=
= 1.67 × 1010 𝑚
𝑝 √2𝑚0 𝐾 √(2 × 9.11 × 10−31 𝑘𝑔 × 54 × 1.6 × 10−19 𝐽)
Entonces, la longitud de onda de de Broglie asociada es:
𝜆 = 1.67 × 1010 𝑚 ×
1Å
= 1.67Å
10−10 𝑚
Ahora, utilizando una onda difractada de primer orden (𝑛 = 1) por los planos de
Bragg dentro de un cristal de níquel con una separación entre planos de 𝑑 = 0.91Å
y utilizando la relación de Bragg 𝑛𝜆 = 2𝑑 sin 𝜑 , con 𝜑 = 65° dará una longitud de
onda de:
𝜆 = 2𝑑 sin 𝜑 = 2 × 0.91Å × sin 65° = 1.67Å
Es la longitud de onda difractada, este resultado proporciona la confirmación
cuantitativa de la dualidad onda-partícula.
Existen diversos experimentos con los cuales se comprobó la naturaleza
ondulatoria de las partículas (por ejemplo Johnson en 1931 demostró los efectos
de la difracción de los haces de hidrógeno difractados por cristales).
Ya que la naturaleza ondulatoria no explicaba satisfactoriamente fenómenos como
el fotoeléctrico, el Compton y el viaje a la velocidad de la luz de los electrones,
Bohr sugirió el principio de complementariedad para resolver esas contradicciones
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de la onda-partícula. Este principio estableció que en un solo experimentos no es
posible que ni las ondas ni las partículas exhiban simultáneamente sus
características ondulatorias y corpusculares, es decir, esto indica que si un
experimento prueba el carácter ondulatorio de la radiación o la materia, entonces
va ser imposible probar la naturaleza corpuscular en el mismo experimento y
viceversa.
Lección 17: Principio de incertidumbre
El alemán Werner Heisenberg en 1927 adiciono al fenómeno onda-partícula el
principio de incertidumbre o de indeterminación, éste impone un límite a la
determinación en forma simultanea de variables como la posición y la velocidad. El
principio afirma que no es posible en forma simultanea determinar el valor exacto
de una componente del momento (por ejemplo 𝑝𝑥 o 𝑝𝑦 o 𝑝𝑧 ) de una partícula y el
valor exacto de su posición (𝑥 o 𝑦 o 𝑧). La exactitud de la medición estará limitada
por el proceso de medida en sí, de tal forma que
∆𝑝𝑥 ∆𝑥 ≥
ℏ
2
ℎ
Donde ℏ = 2𝜋. Esto indica que la incertidumbre en una de las variables 𝑝𝑥 o 𝑥 fija
un límite a la exactitud de la medida de la otra.
Como se definió anterior mente la incertidumbre entre el momento y el
desplazamiento, también se puede definir la incertidumbre entre la energía y el
tiempo de la siguiente manera:
∆𝐸∆𝑡 ≥
ℏ
2
Ejemplo:
La incertidumbre en el momento de un electrón es de 2.7 × 10−32 𝑘𝑔 𝑚⁄𝑠, ¿Cual
es la exactitud con la cual se podría medir la posición del electrón?
Solución:
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ℏ
La masa del electro es 𝑚 = 9.1 × 10−31 𝑘𝑔, entonces de la ecuación ∆𝑝∆𝑥 ≥ 2 se
tiene que:
ℏ
ℎ
6.6 × 10−34 𝐽𝑠
∆𝑥 ≥
=
=
= 2 × 10−3 𝑚
2∆𝑝 4𝜋∆𝑝 4𝜋 × 2.7 × 10−32 𝑘𝑔 𝑚⁄𝑠
Este resultado indica que podemos medir la posición del electrón con una
exactitud aproximadamente de 0,2 cm que para este caso es 107 veces el
diámetro de un átomo.
Lección 18: El modelo atómico de Thomson
Por el año de 1898 experimentos como el efecto fotoeléctrico, la dispersión de
rayos X, entre otros, evidenciaban que los átomos contenían electrones. Dichos
experimentos proporcionan una estimación del número de electrones de un átomo
(𝑍) y que es aproximadamente igual al peso atómico químico (𝐴) del átomo
𝐴
dividido entre dos, es decir, a 2 . Ya que normalmente los átomos son neutros,
estos deben contener carga positiva en la misma cantidad de la carga negativa
que proporcionan los electrones. Thomson que descubrió el electrón en esa
época, propuso un modelo físico para el átomo conocido como “pastel de pasas”,
el cual consistía en que los electrones se encontraban localizados dentro de una
distribución continua de carga positiva, como se aprecia en la figura 8:
Figura 8. Modelo atómico de Thomson.
La distribución de carga positiva que planteaba Thomson tenía forma esférica con
un radio de orden de magnitud de 10−10 𝑚 (radio de un átomo) y dentro de él se
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encontraban los electrones. Años mas tarde, Ernest Rutherford al efectuar
experimentos sobre la dispersión de partículas 𝛼 (que son un núcleo de Helio y
consiste de dos protones y dos neutrones) por una delgada hoja de oro, mostro
que el modelo de Thomson era inadecuado. Rutherford demostró que la carga
positiva no se encontraba distribuida sobre todo el átomo (propuesta de
Thomson), sino que se encontraba distribuida en una región muy pequeña
denominada núcleo del átomo. Este descubrimiento fue uno de los desarrollos
más relevantes de la física atómica y también fue el punto de partida del estudio
de la física nuclear.
Lección 19: El modelo atómico de Rutherford.
Como se menciono en la lección 18 el modelo propuesto por Rutherford expresa
que el átomo está constituido por un núcleo pequeño (núcleo de forma esférica
con radio del orden de magnitud de 10−14 𝑚 ) en el cual se encuentra toda la
carga positiva (y por ende la mayor parte de la masa), y por una nube de
electrones cargados negativamente que rodean al núcleo, tal como se aprecia en
la figura 9. A partir del tamaño del núcleo propuesto y del tamaño del átomo que
es del orden de 10−10 𝑚 se puede apreciar que la mayor parte del espacio dentro
del átomo se encuentra vacío.
Rutherford estudio el ángulo 𝜃 de dispersión de las partículas 𝛼 y comparó el
modelo de él con el de Thomson descubriendo que una partícula 𝛼 que penetre un
átomo como el modelo de Thomson experimentaba pequeñas deflexiones (una de
cada 103500 partículas 𝛼 presentaban una deflexión de ∅ ≥ 90°) debido a que el
campo eléctrico dentro del átomo era muy débil; mientras que si se utilizaba el
modelo propuesta por él, las partículas 𝛼 presentaban una desviación mayor
debido a que el campo eléctrico era mucho mayor en su modelo. Los resultados
experimentales demostraron que una de cada 8000 partículas 𝛼 se desviaban a
graves de un ángulo de ∅ ≥ 90°. Estos resultados concordaban con el modelo
propuesto por Rutherford y por ello provocaron su aceptación.
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Figura 9. Modelo atómico de Rutherford.
Luego, se demostró que el modelo propuesto por Rutherford afectaba la
estabilidad del átomo, y se empezaron a surgir dudas como por ejemplo: si se
considera el modelo como estático (es decir, todos los electrones que rodean al
núcleo están estacionarios) estos se verán atraídos hacia el núcleo debido a la
fuerza de Coulomb entre el núcleo y los electrones y pronto sufrirá un colapso,
volviendo a caer en el modelo de Thomson; Ahora si se considera dinámico, los
electrones giran alrededor del núcleo lo cual mecánicamente es estable, pero a el
problema es que: como los electrones cargados se encuentran acelerados en su
movimiento alrededor del núcleo y como todo cuerpo cargado acelerado radia
energía (en forma de radiación electromagnética), los electrones nuevamente van
a caer hacia al núcleo, debido a la perdida de energía.
El problema de la estabilidad de los átomos fue resuelto por el modelo del átomo
propuesto por Niels Bohr en 1913. Antes de conocer este modelo es importante
estudiar primero los espectros atómicos.
Lección 20: Espectros atómicos
La luz procedente de una descarga eléctrica que se hace pasar a través de una
región que contiene un gas monoatómico exhibe una serie de líneas cuando es
analiza por medio de un espectrómetro de prisma. Estas líneas características del
gas utilizado se conocen como espectro de líneas o espectro atómico. En la
descarga eléctrica que se le realiza al gas, algunos de los átomos del gas quedan
en un estado de energía mayor que el normal y al regresar al estado de energía
normal producen la liberación de energía en forma de radiación electromagnética,
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y es ésta radiación que al estudiarla por medio del instrumento anteriormente
nombrado genera el espectro atómico.
El espectro de hidrogeno es el mas sencillo de estudiar, ya que el átomo solo
presenta un electrón. La fórmula empírica que representa la longitud de onda del
espectro de líneas fue descubierta por Balmer y esta dada por:
𝜆 = 3646
𝑛2
𝑛2 − 4
donde 𝑛 = 3 para 𝐻𝛼 , 𝑛 = 4 para 𝐻𝛽 , etc.
En 1890 Rydberg encontró la fórmula empírica de la cual se puede determinar las
longitudes de onda de la serie de Balmer, la cual fue:
1
1
1
= 𝑅𝐻 ( 2 − 2 )
𝜆
2
𝑛
𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 2, 4, 5, …
Donde 𝑅𝐻 = 10967757,6𝑚 y se conoce como la constante de Rydeberg para el
hidrógeno. La tabla 1 muestra las series espectrales encontradas para el
hidrógeno en las regiones ultravioleta e infrarroja.
Tabla 1. Series espectrales para el Hidrógeno.
Nombre de la serie
(año)
Región
espectral
Lyman (1906)
Ultravioleta
Balmer(1885)
Paschen (1908)
Brackett (1922)
Visible
Infrarrojo
Infrarrojo
Ecuación de la
serie
1
1
1
= 𝑅𝐻 ( 2 − 2 )
𝜆
1
𝑛
𝑛 = 2, 3, 4, 5, 6, …
1
1
1
= 𝑅𝐻 ( 2 − 2 )
𝜆
2
𝑛
𝑛 = 3, 4, 5, 6, …
1
1
1
= 𝑅𝐻 ( 2 − 2 )
𝜆
3
𝑛
𝑛 = 4, 5, 6, …
1
1
1
= 𝑅𝐻 ( 2 − 2 )
𝜆
4
𝑛
Límite de la serie
(𝒏 = ∞), (Å)
911.27
3645.1
8201.4
14580
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Pfund (1924)
𝑛 = 5, 6, 7, …
1
1
1
= 𝑅𝐻 ( 2 − 2 )
𝜆
5
𝑛
Infrarrojo
22.782
𝑛 = 6, 7, 8, …
Lección 21: Modelo de Bohr
Como se nombro en la lección 20, el problema de la estabilidad de los átomos
presentado por el modelo atómico de Rutherford fue resuelto por Bohr. Para
corregir las fallas del modelo planetario del átomo propuesto por Rutherford, Bohr
baso su nuevo modelo atómico en los siguientes postulados:

Un electrón en un átomo gira alrededor del núcleo con movimiento circular,
debido a la atracción de Coulomb presente entre el electrón y el núcleo y en
acuerdo con las leyes de física clásica.

Un electrón solo se puede mover en una orbita para la cual el momento
angular 𝐿, es múltiplo entero de ℏ = ℎ⁄2𝜋. Los momentos angulares de las
orbitas permitidas están dados por:
ℎ
𝐿 = 𝑛ℏ = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛 2𝜋 con 𝑛 = 1, 2, 3, 4, …

Si un electrón se encuentra en una órbita permitida, el átomo no radiará
energía electromagnética.

Si existe un salto de un electrón que se encuentra en un orbital de energía
𝐸𝑖 a un orbital de energía inferior 𝐸𝑓 (𝐸𝑖 > 𝐸𝑓 ), se emite radiación
electromagnética. La frecuencia del fotón emitido será:
𝜈=
𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
ℎ
Ahora, a partir de estos postulados vamos a derivar algunas expresiones que nos
demostrarán que los radios de los orbitales, la velocidad orbital de un electrón y la
energía están cuantizada.
De la segunda ley de Newton que expresa que la 𝐹 = 𝑚𝑎 se tiene que:
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La atracción de Coulomb entre el núcleo y el electrón proporcionan que
𝐹=
1 𝑍𝑒 2
4𝜋𝜖0 𝑟 2
donde 𝑟 es el radio de la órbita, y 𝑍 es número atómico (número de electrones de
un átomo). Ahora, ya que el movimiento es circular la aceleración esta dada por la
aceleración centrípeta:
𝑣2
𝑎 = 𝑎𝑟 =
𝑟
donde 𝑣 es la velocidad del electrón en la órbita. Aplicando estos resultados a la
ley de newton
𝐹 = 𝑚𝑎
se tiene que:
1 𝑍𝑒 2
𝑣2
=
𝑚
4𝜋𝜖0 𝑟 2
𝑟
Ahora, considerando el postulado que expresa que el momento angular se
encuentra cuantizado
𝑛ℏ
𝐿 = 𝑛ℏ = 𝑚𝑣𝑟 se tiene que 𝑣 = 𝑚𝑟 y remplazando este
valor en la ecuación anterior se tiene que:
𝑛ℏ 2
(𝑚𝑟)
1 𝑍𝑒 2
𝑛 2 ℏ2
=𝑚
=
4𝜋𝜖0 𝑟 2
𝑟
𝑚𝑟
Y simplificando se tiene:
1 𝑍𝑒 2 𝑛2 ℏ2
=
4𝜋𝜖0 𝑟
𝑚
Despejando para r se tiene:
𝑟 = 4𝜋𝜖0
𝑛 2 ℏ2
𝑚𝑍𝑒 2
Con 𝑛 = 1, 2, 3, 4, … que es el número cuántico. Esto des muestra que el radio
orbital se encuentra cuantizado.
Ahora de la Ecuación
1 𝑍𝑒 2
𝑣2
=𝑚
4𝜋𝜖0 𝑟 2
𝑟
se tiene que:
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𝑣2 =
1 𝑍𝑒 2
4𝜋𝜖0 𝑚𝑟
Y tomando el resultado de 𝑟 se tiene que la anterior expresión es:
𝑣2 =
1
4𝜋𝜖0
𝑍𝑒 2
𝑛 2 ℏ2
𝑚 (4𝜋𝜖0
)
𝑚𝑍𝑒 2
Resolviendo
1
𝑍2𝑒 4
𝑣 =
16𝜋 2 𝜖02 𝑛2 ℏ2
2
Despejando para 𝑣 se obtiene la expresión que indica que la velocidad orbital del
electrón se encuentra cuantizada:
𝑣=
1 𝑍𝑒 2
4𝜋𝜖0 𝑛ℏ
Con 𝑛 = 1, 2, 3, 4, … que es el número cuántico.
La energía total del electrón esta dada por la suma de la energía cinética más la
potencial, es decir, 𝐸 = 𝐾 + 𝐸𝑃 , donde:
La energía potencial se calcula integrando el trabajo que hace la fuerza de
Coulomb que actúa desde 𝑟 hata ∞ y considerando que la energía potencial
cuando el electrón esta en el infinito es cero se tiene:
∞
𝐸𝑃 = ∫
𝑟
1 𝑍𝑒 2
1 𝑍𝑒 2
𝑑𝑟
=
−
4𝜋𝜖0 𝑟 2
4𝜋𝜖0 𝑟
Y la energía cinética se encuentra despejando primero a 𝑣 de la ecuación:
1 𝑍𝑒 2
𝑣2
=
𝑚
4𝜋𝜖0 𝑟 2
𝑟
y remplazándola en
1
𝐾 = 𝑚𝑣 2
2
se obtiene que:
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𝐾=
1 𝑍𝑒 2
8𝜋𝜖0 𝑟
Entonces la energía total del sistema
𝐸 = 𝐾 + 𝐸𝑃
Esta dada por:
1 𝑍𝑒 2
1 𝑍𝑒 2
1 𝑍𝑒 2
−
=−
8𝜋𝜖0 𝑟
4𝜋𝜖0 𝑟
8𝜋𝜖0 𝑟
Y remplazando el valor del radio orbital cuantizado obtenido anteriormente se
tiene:
𝑚𝑍 2 𝑒 4
1
𝐸=−
(4𝜋𝜖0 )2 2ℏ 𝑛2
𝐸=
Con 𝑛 = 1, 2, 3, 4, … que es el número cuántico.
Entonces se puede observar que el postulado de la cuantización del momento
angular orbital tiene como consecuencia la cuantización de la energía, es decir,
que la energía solo puede tomar valor discretos dados por el número cuántico o
expresado de otra forma el modelo de Bohr restringe los valores que puede tener
la energía del átomo, tal y como se ha deducido en la última ecuación presentada.
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Figura 10. Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno.
La cuantización de la energía se puede observar en la figura 10, que muestra los
niveles de energía para el átomo de hidrógeno, donde en la parte derecha se
muestra el número cuántico del nivel y en la parte izquierda están los niveles de
energía en forma cuantizada. Observe que el estado mas estable para el electrón
es cuando el estado de energía es la mínima y ocurre cuando el electrón se
encuentra en 𝑛 = 1. También, se observa que a medida que se aumenta en el
número cuántico, es decir, 𝑛 → ∞ la energía total se acerca a cero.
Ahora, cuando el electrón se mueve desde un estado cuántico 𝑛𝑖 a un estado
cuántico 𝑛𝑓 la frecuencia de radiación electromagnética emitida estará dada por:
𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
1 2 𝑚𝑍 2 𝑒 4 1
1
𝜈=
=
=(
)
(
−
)
ℎ
2𝜋ℏ
4ó𝜖0
4𝜋ℏ3 𝑛𝑓 2 𝑛𝑖 2
Y ya que
𝜈=
O de otra forma
𝑐
𝜆
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1 𝜈
=
𝜆 𝑐
Entonces, en términos de la longitud de onda, se puede rescribir:
1
1 2 𝑚𝑒 4 2 1
1
=(
)
𝑍
(
−
)
𝜆
4𝜋𝜖0 4𝜋ℏ3 𝑐
𝑛𝑓 2 𝑛𝑖 2
Ahora, podemos expresar esta ecuación como
1
1
1
= 𝑅∞ 𝑍 2 ( 2 − 2 )
𝜆
𝑛𝑓
𝑛𝑖
donde
1 2 𝑚𝑒 4
𝑅∞ = (
)
4𝜋𝜖0 4𝜋ℏ3 𝑐
Y nf y ni son siempre enteros. Observe que 𝑅∞ es el valor teórico de la constante
de Rydberg y remplazando o evaluando los valore numéricos Bohr encontró que
el valor es de:
𝑅∞ = 1.0974 × 107 𝑚−1
Y concordaba con el valor experimental de 𝑅𝐻 dado en la lección 20.
El modelo descrito anteriormente se conoce como la física cuántica antigua, el
cual presentaba algunas limitaciones como por ejemplo:



El modelo de Bohr solo tiene éxito para átomos monoelectrónicos, ya que
al aplicarla átomos con dos o más electrones la teoría predice resultados
erróneos. En los espectros realizados para otros átomos se observaba que
electrones de un mismo nivel energético tenían distinta energía, lo cual
predecía que habían errores en el modelo.
La teoría predice o establece la manera de calcular las energías de los
estados permitidos y lasa frecuencias de los fotones emitidos o absorbidos
cuando el sistema sufre transiciones entre estados permitidos, pero no
establece la forma de calcular las velocidades de dichas transiciones.
Los postulados de Bohr eran una mezcla de la mecánica clásica con la
cuántica lo cual los hacen incoherentes. Además, el segundo postulado es
bastante arbitrario ya que la única forma de deducir la constante de
Rydberg era introduciendoℏ.
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El modelo de Bohr fue refinado por Schrödinger quien describió un modelo
atómico que abarca no solo el átomo de hidrógeno sino muchos más átomos. A
partir de este nuevo modelo se le llama la física cuántica moderna, la cual se
estudiará en la Unidad 2.
Lección 22: El principio de correspondencia
Este principio fue enunciado por Bohr el cual dice:

En el límite cuando los estados cuánticos se hacen muy grandes el
comportamiento de la física cuántica de cualquier sistema físico debe
corresponder a la física clásica.
Esto indica que la teoría cuántica debe corresponder con la teoría clásica en el
límite en el cual todo sistema físico se comporta clásicamente.
Ejercicios
1. Calcule la longitud de onda de de Broglie para un electrón si su energía
cinética es de 120eV. Rta: 1.1x10-10m
2. Calcule el momento de un electrón que tiene una longitud de onda de 2.0 Å.
Rta: 3.3x10-24 kg m/s
3. Un electrón que se mueve en línea recta tiene una incertidumbre en la
posición de 10 Å, calcule la incertidumbre en su momento. Rta: 5.25x10-26
kg m/s.
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4. A partir de la deducción planteada por el modelo de Bohr para la energía,
calcule la energía de enlace del átomo de hidrógeno, es decir, la energía
que liga al electrón con el núcleo. Recuerde que la energía de enlace es la
energía del estado más bajo que corresponde a n=1 y utilice Z=1. Rta: 13.6eV.
5. Un electrón que se mueve en línea recta tiene una incertidumbre en su
momento de 1.05x10-25, calcule la incertidumbre en su posición. Rta: 5.0 Å.
Problemas para la autoevaluación unidad 1.
1. Determine la temperatura de la superficie de una estrella, si se sabe que las
estrella se comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda
máxima de 7100 Å. Además calcule la energía irradiada de la estrella (cuerpo
negro) por 1 𝑐𝑚2 de superficie.
2. ¿a que longitud de onda, una cavidad a 8000°K radiará mas por unidad de
longitud de onda?
3. Calcular le energía en eV de los fotones correspondientes a la luz de 850nm.
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4. Si la función de trabajo para un material es 4.3 eV. Calcule la energía cinética
máxima de los electrones expulsados de la superficie pulida del material por la
línea ultravioleta de 2537Å del material. Calcule el potencial de frenado.
5. Utilizando el postulado de de Broglie, calcule la longitud de onda para los
siguientes casos:
a) Una pelota de masa 1.5 kg que se mueve con una rapidez de v= 30 m/s
b)Un electrón que tiene una energía cinética de 98 eV.
Compare los resultados.
6. Determine el momento y la energía para un fotón de rayos X que tiene una
longitud de onda de 1 Å. Rta: 6.6x10-24 kg m /s, 1.24 x 104eV
7. A partir de la ecuación ρT (v)dν =
8πν2
hν
c3 ehv⁄kT −1
muestre el procedimiento para llegar a ρT (λ)dλ =
dν y sabiendo que ν = c⁄λ
8πhc
1
λ5
ehv⁄λkT −1
dλ.
Además, utilice esta última expresión para derivar ley de Sfefan-Boltzmann y
la ley de Wien.
UNIDAD 2
Nombre de la Unidad
Introducción
ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
En esta unidad se desarrollarán algunos conceptos
fundamentes correspondientes a la física cuántica
moderna. Se empezará desarrollando la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo en una
dimensión y estacionaria para finalmente concluir
con la ecuación tridimensional e independiente del
tiempo. En el desarrollo de esta unidad se citaran
algunos ejemplos de potenciales que servirán para la
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Justificación
Intencionalidades
Formativas
Denominación
capítulos
compresión del tema.
Esta unidad proporciona al estudiante desarrollar
habilidades en el tratamiento de la física cuántica.
Que el estudiante pueda comprender y entender el
comportamiento del modeló atómico de Schrödinger.
de Capitulo 4. La Ecuación de Schrödinger I
Capítulo 5. La Ecuación de Schrödinger II
Capitulo 6. Algunas aplicaciones de la Ecuación de
Schrödinger
UNIDAD 2. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
2.1 Capitulo 4: La Ecuación de Schrödinger I
Lección 23: Introducción a la Ecuación de Schrödinger.
Lección 24: Deducción de la Ecuación de Schrödinger.
Lección 25: Densidad de Probabilidad.
Lección 26: La ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo.
Lección 27: Cuantización de la Energía en la teoría de
Schrödinger.
2.2 Capítulo 5: La Ecuación de Schrödinger II
Lección 28: El Hamiltoniano y operadores.
Lección 29: Valores Promedio o esperados.
Lección 30: El potencial cero.
Lección 31: El potencial Escalón.
Lección 32: La barrera de potencial.
2.3 Capitulo 6: Algunas
Schrödinger
aplicaciones de
la
Ecuación de
Lección 33: Potencial de pozo cuadrado.
Lección 34: Potencial de pozo cuadrado infinito.
Lección 35: El potencial del oscilador armónico simple.
Lección 36: Átomos con un electrón.
Lección 37: Ecuación de Schrödinger tridimensional.
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Lección 38: Separación de variables para la ecuación de
Schrödinger tridimensional y estacionaria.
Lección 39: Solución de las ecuaciones (azimutal, polar y
radial, para átomos con un solo electrón)
INTRODUCCIÓN
En esta Unidad se desarrollarán los conceptos fundamentales de la física cuántica
que permiten entender el comportamiento de los sistemas físicos a nivel
microscópico. Para ello se desarrollará la Ecuación de Schrödinger cuya solución
describe el comportamiento del sistema, también se desarrollan ejemplos que a
medida que incursionamos en esta unidad pasarán de los más básicos hasta
entrar a ejemplos que describen conceptos un poco más complejos, pero cuya
única finalidad es entender el funcionamiento de las partículas.
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Capitulo 4. Ecuación de Schrödinger I
Lección 23: Introducción a la Ecuación de Schrödinger
En la unidad anterior se estudiaron varios fenómenos que demostraron que los
sistemas microscópicos presentan comportamiento como onda en ciertos
aspectos y como partícula en otros (Dualidad onda-partícula). En ella, se
estudiaron casos o modelos atómicos que solo abarcaban el átomo de hidrógeno,
es decir átomos monoelectrónicos, pero surge la pregunta ¿estos modelos (en
especial el de Bohr) funciona para átomos diferentes al de hidrógeno o para
átomos que no sean monoelectrónicos?, la respuesta es no. Es por ello que
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existió la necesidad de encontrar un modelo más general para describir el
comportamiento de las partículas de cualquier sistema microscópico. En el año de
1926 Erwing Schrödinger desarrollo una teoría que es una extensión de algunos
postulados visto en la unidad anterior, conocida como la teoría de Schrödinger de
la física cuántica que proporcionó describir el comportamiento de las partículas de
cualquier sistema microscópico. Schrödinger utilizó para su planteamiento la
ecuación que rige el comportamiento de la función de onda para cada sistema y
especificó la conexión que hay entre el comportamiento de la función de onda y
el comportamiento de la partícula.
Ante de deducir la ecuación de Schrödinger se nombrará cuatro suposiciones
claves que se deben cumplir, concernientes a las propiedades que debe tener la
Ecuación de Schrödinger, que rige el comportamiento de las partículas de un
sistema microscópico:
1. Debe coincidir con los postulados de de Broglie y Einstein, es decir:
𝜆 = ℎ⁄𝑝
y
𝜈 = 𝐸 ⁄ℎ
2. Debe coincidir con la energía total de una partícula de masa m, es decir la
ecuación:
𝐸 = 𝑝2 ⁄2𝑚 + 𝑉
El término 𝑝2 ⁄2𝑚 es la energía cinética y 𝑉 es la energía potencial.
3. La solución de la ecuación de Schrödinger que se denota por la función de
onda Ψ(𝑥, 𝑡) y que depende del tiempo y del espacio debe ser lineal. Esto
implica, que si existen dos o mas soluciones diferentes de la ecuación de
Schrödinger, una combinación de ellas también es solución de la ecuación, es
decir:
Si las funciones
Ψ1 (𝑥, 𝑡), Ψ2 (𝑥, 𝑡), Ψ3 (𝑥, 𝑡), … , Ψ𝑛 (𝑥, 𝑡)
Son soluciones de la ecuación de Schrödinger, entonces, la combinación
lineal:
Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑐1 Ψ1 (𝑥, 𝑡) + 𝑐2 Ψ2 (𝑥, 𝑡) + 𝑐3 Ψ3 (𝑥, 𝑡) + ⋯ + 𝑐𝑛 Ψ𝑛 (𝑥, 𝑡)
Es también solución de la ecuación de Schrödinger.
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CONTENIDO DEL CURSO: 401588 – FÍSICA CUÁNTICA
4. La energía potencial 𝑉 es una función del espacio y el tiempo, que se
considerará como constante, que es el caso de una partícula libre.
𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉0
Una vez traídos a colación las cuatro suposiciones anteriores, es necesario que
recordemos algunas cantidades complejas que serán de gran ayuda en la
deducción y posterior solución de la Ecuación de Schrödinger:
El número imaginario 𝑖 se define como:
𝑖 2 = −1
𝑖 = √−1
o
De aquí que:
1
𝑖 =−𝑖
o
−𝑖 =
1
𝑖
En general un número complejo por ejemplo 𝑧 se escribe de la siguiente manera:
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
Donde 𝑎 y 𝑏 son números reales. Al número 𝑎 se le llama parte real de 𝑧 y al
número 𝑏 se le llama parte imaginaria de 𝑧.
El complejo conjugado del número 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 se denota por 𝑧 ∗ y estará dado
por:
𝑧 ∗ = 𝑎 − 𝑖𝑏
A partir de esta definición se puede obtener el producto 𝑧 ∗ 𝑧 que es:
𝑧 ∗ 𝑧 = (𝑎 − 𝑖𝑏)(𝑎 + 𝑖𝑏) = 𝑎2 + 𝑖𝑎𝑏 − 𝑖𝑎𝑏 − 𝑖 2 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑖 2 𝑏 2
Y ya que 𝑖 2 = −1 se tiene que:
𝑧 ∗ 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏 2
Eso indica que el producto de un número complejo por su complejo conjugado
siempre da un número real.
Otra cantidad necesaria que se utilizará en nuestros procedimientos es el
exponencial complejo que esta dado por:
𝑒 𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃
Y su negativo como
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𝑒 −𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃
Al igual como se definió el exponencial complejo, podemos definir el coseno y
seno de un ángulo en términos de estos exponenciales complejos así:
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃
2
Y
𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
𝑠𝑖𝑛 𝜃 =
2𝑖
Lección 24: Deducción de la Ecuación de Schrödinger
Para deducir la ecuación de onda vamos primero introduciremos o recordaremos
de cursos anteriores que el número de onda k se define por:
𝑘 = 2𝜋⁄𝜆
Y la frecuencia angular ω de una onda por:
𝜔 = 2𝜋𝜈
Ahora empecemos a deducir la ecuación de Schrödinger.
Remplazando la suposición 1 que es:
𝜆 = ℎ⁄𝑝
y
𝜈 = 𝐸 ⁄ℎ
En la suposición 2 que era:
𝐸 = 𝑝2 ⁄2𝑚 + 𝑉
Se tiene que:
ℎ𝜈 = ℎ2 ⁄2𝑚 𝜆2 + 𝑉(𝑥, 𝑡)
Ahora, multiplicando y dividiendo el término de la izquierda por 2π y el primer
término de la derecha por 4π2 , se tiene que la expresión anterior es:
ℎ𝜈
2𝜋
ℎ2 4𝜋 2
=
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)
2𝜋 2𝑚𝜆2 4𝜋 2
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Utilizando la frecuencia angular y el número de onda definido anteriormente la
expresión anterior es:
ℎ𝜔
ℎ2 𝑘 2
=
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)
2𝜋 2𝑚4𝜋 2
Y ahora ya que
ℏ=
ℎ
2𝜋
Obtenemos que:
ℏ𝜔 =
ℏ2 𝑘 2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)
2𝑚
o
ℏ2 𝑘 2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡) = ℏ𝜔
2𝑚
Ahora, haciendo uso de la 3 y 4 suposición, vamos a introducir la siguiente
ecuación diferencial, que debe cumplir con las suposiciones nombradas:
𝛼
𝜕 2 Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
+
𝑉(𝑥,
𝑡)Ψ(𝑥,
𝑡)
=
𝛽
𝜕𝑥 2
𝜕𝑡
Donde las constantes 𝛼 y 𝛽 se determinarán. Recordemos que la solución de esta
ecuación diferencial es la función de onda Ψ(𝑥, 𝑡) y esta debe cumplir con las
suposiciones anteriores. Ahora, la función de onda o solución de la ecuación
diferencial que cumple con las suposiciones esta dada por:
Ψ(𝑥, 𝑡) = cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝛾 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
Donde 𝛾 es otra constante a determinar. Ahora, vamos a derivar parcialmente
esta función cuantas veces sea necesario y los resultados los remplazaremos en
la ecuación diferencial, así:
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
= −𝑘 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑘𝛾 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑥
𝜕 2 Ψ(𝑥, 𝑡)
= −𝑘 2 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝑘 2 𝛾 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑥 2
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
= 𝜔 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝜔𝛾 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
Ahora remplazando, recordando que 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉0 se tiene:
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𝛼
𝜕 2 Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
+ 𝑉0 Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝛽
2
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝛼[−𝑘 2 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝑘 2 𝛾 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] + 𝑉0 [cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝛾 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]
= 𝛽[𝜔 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝜔𝛾 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]
Ahora resolviendo los corchetes:
−𝑘 2 𝛼 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝑘 2 𝛾 𝛼 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑉0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑉0 𝛾 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
= 𝛽𝜔 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝛽𝜔𝛾 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
Agrupando términos semejantes:
[−𝑘 2 𝛼 + 𝑉0 + 𝛽𝜔𝛾] cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + [−𝑘 2 𝛾𝛼 + 𝑉0 𝛾 − 𝛽𝜔] sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 0
Ahora como la ecuación debe cumplirse se tiene:
[−𝑘 2 𝛼 + 𝑉0 + 𝛽𝜔𝛾] = 0
de lo cual:
−𝑘 2 𝛼 + 𝑉0 = −𝛽𝜔𝛾
Y
[−𝑘 2 𝛾𝛼 + 𝑉0 𝛾 − 𝛽𝜔] = 0
de lo cual:
−𝑘 2 𝛾𝛼 + 𝑉0 𝛾 = 𝛽𝜔
ó
−𝑘 2 𝛼 + 𝑉0 =
𝛽𝜔
𝛾
Restando estas dos ecuaciones tenemos:
−
−𝑘2 𝛼 + 𝑉0 = −𝛽𝜔𝛾
𝛽𝜔
−𝑘 2 𝛼 + 𝑉0 =
𝛾
0= −𝛽𝜔𝛾−
Por lo tanto
𝛾=−
1
𝛾
O
𝛾 2 = −1
Y de aquí que:
𝛾 = ±√−1 = ±𝑖
𝛽𝜔
𝛾
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Remplazando este resultado en:
−𝑘 2 𝛼 + 𝑉0 = −𝛽𝜔𝛾
Se tiene:
−𝑘 2 𝛼 + 𝑉0 = ∓𝑖𝛽𝜔
Comparando este resultado directamente con
ℏ2 𝑘 2
2𝑚
+ 𝑉(𝑥, 𝑡) = ℏ𝜔
Se deduce que:
𝛼=−
ℏ2
2𝑚
Y
∓𝑖𝛽 = ℏ
Utilizando las propiedades del imaginario y utilizando solo la parte positiva
𝛽 = 𝑖ℏ
Una vez encontradas todas nuestras constantes, las remplazamos en nuestra
ecuación diferencial
𝜕 2 Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝛼
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝛽
2
𝜕𝑥
𝜕𝑡
para obtener finalmente la ecuación:
−
ℏ2 𝜕 2 Ψ(𝑥, 𝑡)
2𝑚
𝜕𝑥 2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
Que es la ecuación diferencial que satisface las suposiciones nombradas en el
capítulo anterior, y se conoce como la ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER.
Lección 25: Densidad de Probabilidad
La densidad de probabilidad especifica la probabilidad de encontrar una partícula
en una cierta región en el eje x al tiempo t. Recordemos que el principio de
incertidumbre establece que no es posible conocer la ubicación de una partícula
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con exactitud y su momento, de aquí, que la densidad de probabilidad es una
medida estadística. Esta densidad esta dada por
𝑃(𝑥, 𝑡) = Ψ ∗ (𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡)
Donde el asterisco que aparece en la función es el complejo conjugado, que se
obtiene de la misma forma como se expreso en las cantidades complejas
estudiadas anteriormente.
Ejemplo:
Encontrar la densidad de probabilidad de la función de onda Ψ(𝑥, 𝑡) =
2
𝐴𝑒 −(√𝐶𝑚⁄2ℏ)𝑥 𝑒 −(𝑖⁄2)(√𝐶/𝑚)𝑡 , que representa la función de estado de menor energía
de un oscilador armónico simple, que tiene masa m y que es actuado por una
fuerza de restitución C lineal y constante. Para el punto de equilibrio del oscilador
la energía potencial independiente del tiempo esta dada por 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉(𝑥) =
𝐶 𝑥 2 ⁄2.
Solución:
Como tenemos que evaluar la expresión para la densidad es necesario encontrar
el conjugado de la función que esta dado por:
Ψ
∗ (𝑥,
𝑡) = 𝐴𝑒
−(√𝐶𝑚⁄2ℏ)𝑥2
𝑒
𝐶
+(𝑖⁄2)(√ )𝑡
𝑚
Entonces la densidad de probabilidad esta dada por:
𝑃(𝑥, 𝑡) = Ψ
∗ (𝑥,
𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = [𝐴𝑒
−(√𝐶𝑚⁄2ℏ)𝑥 2
𝑒
𝐶
+(𝑖⁄2)(√ )𝑡
𝑚
𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝐴2 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥
] [𝐴𝑒
−(√𝐶𝑚⁄2ℏ)𝑥 2
𝑒
𝐶
−(𝑖⁄2)(√ )𝑡
𝑚
]
2
Entonces, observe que en el resultado del ejemplo la densidad de probabilidad es
independiente del tiempo.
A partir de la densidad de probabilidad, se define la probabilidad total de encontrar
una partícula en toda la región. Ahora, suponemos que la partícula se encuentra
en algún lugar desde -∞ hasta +∞, entonces la probabilidad de encontrar la
partícula en toda la región es de 1 y estará dada por la ecuación:
∞
∞
∫ 𝑃(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = 1
−∞
−∞
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Ejemplo:
Encontrar la variable 𝐴 del ejemplo anterior utilizando el concepto de probabilidad
total. Cabe resaltar que al hecho de encontrar la constante 𝐴 se conoce como
normalizar la función de onda.
Ya que:
𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝐴2 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥
2
Entonces tenemos que la probabilidad total es:
∞
∞
2
∫ 𝑃(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐴2 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥 𝑑𝑥 = 1
−∞
−∞
Como A es una constante tenemos que:
∞
2
𝐴2 ∫ 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥 𝑑𝑥 = 1
−∞
Entonces para encontrar la integral que aparece es necesario que recordemos
algunos conceptos útiles para poder afrontarla:
Función simétrica: una función es simétrica respecto al eje y si la función es par,
es decir si se cumple que:
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)
2
Para nuestro ejemplo se puede apreciar que la función 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥 es par y la
gráfica de esta se muestra en la figura 11.
Figura 11. Simetría de la función de probabilidad.
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A partir de esta simetría podemos expresar nuestra integral como:
∞
∞
2
2
𝐴2 ∫ 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥 𝑑𝑥 = 2𝐴2 ∫ 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥 𝑑𝑥 = 1
−∞
0
Ahora, recordando de nuestro curso de cálculo integral que:
∞
2
∫ 𝑒 −𝑎𝑢 𝑑𝑢 =
0
1 𝜋
√
2 𝑎
Se tiene que:
∞
1
𝜋
2
2𝐴 ∫ 𝑒 −(√𝐶𝑚⁄ℏ)𝑥 𝑑𝑥 = 2𝐴2 √
=1
2 √𝐶𝑚⁄ℏ
0
2
Por lo tanto se obtiene que:
𝐴=
(𝐶𝑚)1⁄8
(𝜋ℏ)1⁄4
Entonces, nuestra función normalizada esta dada por:
(𝐶𝑚)1⁄8 −(√𝐶𝑚⁄2ℏ)𝑥 2 −(𝑖⁄2)(√𝐶/𝑚)𝑡
Ψ(𝑥, 𝑡) =
𝑒
𝑒
(𝜋ℏ)1⁄4
Lección 26: La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Para deducir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo vamos a partir
de la ecuación dependiente del tiempo:
−
ℏ2 𝜕 2 Ψ(𝑥, 𝑡)
2𝑚
𝜕𝑥 2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
y vamos a encontrar una función que sea solución de esta ecuación y que sea de
la forma:
Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
Podemos observar que va ser una función de onda compuesta por dos funciones
una que sea dependiente del espacio y otra que sea dependiente del tiempo. Para
dicho fin, vamos a considerar que la energía potencial de una partícula no
dependa del tiempo y por lo tanto vamos a tener:
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𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉(𝑥)
Partamos de la función solución y remplacemos la solución planteada en ella, así:
−
ℏ2 𝜕 2 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
2𝑚
𝜕𝑥 2
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
𝜕𝑡
Ahora, encontremos algunas derivadas necesarias:
Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
𝜕 2 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
𝜕 2 𝜓(𝑥)
= 𝜑(𝑡)
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 2
𝜕𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
𝜕𝜑(𝑡)
= 𝜓(𝑥)
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Y ya que la funciones solo dependen de la variable independiente podemos hacer:
𝜕 2 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
𝑑 2 𝜓(𝑥)
= 𝜑(𝑡)
𝜕𝑥 2
𝑑𝑥 2
𝜕𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
𝑑𝜑(𝑡)
= 𝜓(𝑥)
𝜕𝑡
𝑑𝑡
Ahora remplazando estos últimos valores en la ecuación:
−
ℏ2 𝜕 2 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
2𝑚
𝜕𝑥 2
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
𝜕𝑡
Tenemos que:
ℏ2
𝑑2 𝜓(𝑥)
𝑑𝜑(𝑡)
−
𝜑(𝑡)
+
𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
=
𝑖
ℏ
𝜓(𝑥)
2𝑚
𝑑𝑥 2
𝑑𝑡
Ahora dividiendo el resultado anterior entre 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
1
ℏ2
(− 2𝑚 𝜑(𝑡)
𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
Tenemos que:
𝑑2 𝜓(𝑥)
𝑑𝑥 2
)+
1
𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
(𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)) =
1
𝜓(𝑥)𝜑(𝑡)
(𝑖ℏ𝜓(𝑥)
𝑑𝜑(𝑡)
𝑑𝑡
)
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1
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
𝑖ℏ 𝑑𝜑(𝑡)
[−
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)] =
2
𝜓(𝑥) 2𝑚 𝑑𝑥
𝜑(𝑡) 𝑑𝑡
Hemos llegado a una ecuación diferencial independiente del tiempo en el lado
izquierdo de la igual y en lado derecho tenemos una ecuación diferencial
independiente del espacio. Ahora vamos a separar estas dos ecuaciones y las
vamos igualar cada una a un valor común:
1
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
[−
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)] = 𝐷
𝜓(𝑥) 2𝑚 𝑑𝑥 2
Y
𝑖ℏ 𝑑𝜑(𝑡)
=𝐷
𝜑(𝑡) 𝑑𝑡
Esta última ecuación es una ecuación diferencial de variables separables de
grado 1 y la podemos resolver haciendo uso de nuestro curso de Ecuaciones
Diferenciales así:
𝑖ℏ 𝑑𝜑(𝑡)
=𝐷
𝜑(𝑡) 𝑑𝑡
Separando las variables tenemos:
𝑑𝜑(𝑡)
𝑖𝐷
= − 𝑑𝑡
𝜑(𝑡)
ℏ
Ahora para solucionar integramos a ambos lados:
∫
𝑑𝜑(𝑡)
𝑖𝐷
= ∫ − 𝑑𝑡
𝜑(𝑡)
ℏ
ln 𝜑(𝑡) = −
𝑖𝐷
ℏ
𝑡
Aplicando Euler a cada lado de nuestra igualdad tenemos y la propiedad 𝑒 ln 𝑢 = 𝑢:
𝑖𝐷
𝑒 ln 𝜑(𝑡) = 𝑒 − ℏ 𝑡
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𝑖𝐷
𝜑(𝑡) = 𝑒 − ℏ 𝑡
Entonces, la solución a la ecuación diferencial es la anterior expresión y haciendo
uso de las cantidades complejas estudiadas en las lecciones anteriores la
podemos rescribir como:
𝑖𝐷
𝐷
𝐷
𝜑(𝑡) = 𝑒 − ℏ 𝑡 = cos( 𝑡) − 𝑖 sin( 𝑡)
ℎ
ℎ
Podemos mirar que esta función es oscilante en el tiempo cuya frecuencia es
𝜈=
𝐷
ℎ
Y ya recordando de los postulados de de Broglie que la frecuencia es:
𝜈=
𝐸
ℎ
Tenemos que
𝐷
ℎ
=
𝐸
ℎ
De lo que se tiene el valor de nuestra constante:
𝐷=𝐸
Y ahora remplazando este valor en la ecuación diferencial:
1
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
[−
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)] = 𝐷
𝜓(𝑥) 2𝑚 𝑑𝑥 2
Se tiene que:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Que se conoce como LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL
TIEMPO.
Recordemos que nuestra solución planteada de la ecuación de Schrödinger
dependiente del tiempo queda como:
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𝑖𝐸
Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑒 − ℏ 𝑡
Lección 27: Cuantización de la Energía en la teoría de Schrödinger
En los capítulos siguientes se demostrará que para una partícula que es actuada
por un potencial que es independiente del tiempo, la solución de la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo tiene soluciones si solamente la energía de
la partícula se encuentra cuantizada, esto es, que la energía pueda tomar valores
E1, E2, E3,…, En y a cada valor de la energía le corresponderá una solución
independiente del tiempo 𝜓1 (𝑥), 𝜓2 (𝑥), 𝜓3 (𝑥), … , 𝜓𝑛 (𝑥) y para cada función habrá
una función de onda correspondiente Ψ1 (𝑥), Ψ2 (𝑥), Ψ3 (𝑥), … , Ψ𝑛 (𝑥).
Ejercicios
1. Si se conoce que las funciones de onda Ψ1 (𝑥, 𝑡), Ψ2 (𝑥, 𝑡), Ψ3 (𝑥, 𝑡) son
soluciones de la ecuación de Schrödinger para un potencial particular
𝑉(𝑥, 𝑡), compruebe que una combinación lineal de la forma Ψ(𝑥, 𝑡) =
c1 Ψ1 (𝑥, 𝑡) + c2 Ψ2 (𝑥, 𝑡) + c3 Ψ3 (𝑥, 𝑡) es también solución de la ecuación de
Schrödinger.
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2. Utilice la condición de normalización para encontrar el valor de la constante
𝑛𝜋𝑥
B si la función de onda 𝜓(𝑥) = 𝐵 sin (
𝐿
) 𝑒 −𝑖𝐸0 𝑡⁄ℏ se define en el intervalo
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿.
3. Para el ejercicio anterior determine la probabilidad de encontrar la partícula
en la región de 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿⁄4 para n=0, 2, 4, 6, 8, …
Capítulo 5. La ecuación de Schrödinger II
Lección 28: El Hamiltoniano y operadores.
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Ahora podemos representar la energía del sistema haciendo uso del Hamiltoniano
o también conocido como el operador de energía, entonces, se puede expresar la
energía (E) como:
𝐻(𝑝, 𝑥) = 𝑝2 ⁄2𝑚 + 𝑉 = 𝐸
Donde 𝐻(𝑝, 𝑥) se conoce como el Hamiltoniano.
Esta función nos servirá para escribir la ecuación de Schrödinger de forma
abreviada, para ello es necesario establecer algunos operadores.
Operadores: un operador es una expresión que como su nombre lo indica opera
sobre una función, por ejemplo podemos considerar el número 5 como operador,
puesto que éste puede operar como multiplicador a una función cualquiera
haciendo que los valores del dominio de la función sean 5 veces ese valor en el
rango.
Vamos a definir algunos operadores, por ejemplo, consideremos la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Esta la podemos escribir como:
(−
ℏ2 𝑑 2
2𝑚 𝑑𝑥 2
+ 𝑉(𝑥)) 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Y a la expresión entre paréntesis se le llama el operador Hamiltoniano y se denota
como:
ℏ2 𝑑 2
|H = −
+ 𝑉(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
Entonces podemos utilizar éste operador para abreviar la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo como:
|H𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
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Cabe destacar que no debemos cancelar la función 𝜓(𝑥) de nuestra función,
puesto que el operador Hamiltoniano no es un multiplicador escalar simple, esta
se debe leer como:
el operador |H que actua sobre la función 𝜓(𝑥) = Energía total que multiplica a 𝜓(𝑥)
No solamente podemos definir ese operador, sino que va de ser gran utilidad
definir otros operadores como los siguientes:
El operador momento esta dado por:
𝜕
|P = −𝑖ℏ
𝜕𝑥
El operador energía como:
|E = 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
Utilizando los anteriores operadores ahora podemos escribir la ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo
−
ℏ2 𝜕 2 Ψ(𝑥, 𝑡)
2𝑚
𝜕𝑥 2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
Como
|𝐻𝛹(𝑥, 𝑡) = |𝐸𝛹(𝑥, 𝑡)
Recuerden que no podemos cancelar la función, puesto que estamos utilizando
operadores y no simples multiplicadores.
Lección 29: Valores Promedio o esperados.
Hasta el momento hemos mirado que la densidad de probabilidad nos permite
conocer la posición y el momento más probables de una partícula en un tiempo
dado. Ahora vamos a calcular valores probables de otras cantidades dinámicas
observables con las que a menudo nos enfrentamos.
Para calcular los valores esperados de cualquier función o cantidad dinámica
utilizamos la siguiente formula siempre:
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∞
⟨𝑓(𝑥, 𝑝, 𝑡)⟩ = 𝑓(𝑥, 𝑝, 𝑡) = ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡) |𝑓(𝑥, 𝑝, 𝑡) Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥
−∞
Donde |𝑓(𝑥, 𝑝, 𝑡) es una cantidad dinámica u operador arbitrario que puede
depender del espacio, momento o tiempo.
Miremos algunos ejemplos del valor promedio o esperado de algunas funciones:
El valor esperado de la posición de una partícula esta dado por:
∞
𝑥 = ∫ Ψ∗ (𝑥, 𝑡) 𝑥 Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥
−∞
Y se define como el promedio de los valores observados para especificar la
posición de una partícula asociada con la función de onda.
El valor esperado del momento de una partícula esta dado por:
∞
∞
𝑝 = ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡) |P Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡) (−𝑖ℏ
−∞
−∞
∞
𝑝 = −𝑖ℏ ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡)
−∞
𝜕
) Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥
𝜕𝑥
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝑑𝑥
𝜕𝑥
El valor esperado de la energía la podemos escribir como:
∞
∞
𝐸 = ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡) |E Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = ∫ Ψ∗ (𝑥, 𝑡) (𝑖ℏ
−∞
−∞
∞
𝐸 = 𝑖ℏ ∫ Ψ∗ (𝑥, 𝑡)
−∞
𝜕
) Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥
𝜕𝑡
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝑑𝑥
𝜕𝑥
O en términos del momento y el potencial como:
∞
𝐸=∫ 𝛹
∞
∗ (𝑥,
𝑡) |𝐻 𝛹(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = ∫ 𝛹
−∞
−∞
∗ (𝑥,
𝑡) (−
ℏ2 𝜕 2
2𝑚 𝜕𝑥 2
+ 𝑉(𝑥)) 𝛹(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥
Y finalmente el valor esperado de la energía potencial la podemos expresar como:
∞
𝑉(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑉(𝑥, 𝑦)Ψ∗ (𝑥, 𝑡) Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥
−∞
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Ya que el potencial es una cantidad algebraica.
Analicemos el siguiente ejemplo donde se verificará que la energía cinética se
encuentra cuantizada.
Ejemplo:
Una partícula se encuentra encerrada en una caja de longitud L, calcular el valor
esperado de su energía cinética K si su función de onda es:
2
𝑛𝜋𝑥
𝜓𝑛 (𝑥) = 𝑖 √ sin (
)
𝐿
𝐿
Solución:
Ya que la energía cinética de la partícula la podemos escribir en función del
momento tenemos que:
𝐾=
𝑝2
2𝑚
Entonces el valor esperado de la energía cinética es:
𝐿
𝐾=∫ 𝜓
∗ (𝑥)
0
(
𝑝2
) 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥
2𝑚
Ahora analicemos que el factor 2m lo podemos sacar de nuestra integral
quedando:
𝐾=
1
2𝑚
𝐿
∫ 𝜓𝑛∗ (𝑥) (𝑝2 ) 𝜓𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥
0
Y sabemos que el memento tiene expresado como operador es:
|P = −𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑥
Pero como lo tenemos elevada al cuadrado se tiene:
(|P)2 = (−𝑖ℏ
𝜕 2
𝜕2
) = −ℏ2 2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Por lo tanto remplazando este último se obtiene:
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𝐾=
𝐿
1
2𝑚
𝐾=−
∫ 𝜓𝑛∗ (𝑥) (−ℏ2
0
𝜕2
) 𝜓𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜕𝑥 2
𝐿
𝜕2
∫ 𝜓𝑛∗ (𝑥) ( 2 ) 𝜓𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥
2𝑚 0
𝜕𝑥
ℏ2
Ahora encontremos el complejo conjugado de la función que es:
2
𝑛𝜋𝑥
𝜓𝑛∗ (𝑥) = −𝑖√ sin (
)
𝐿
𝐿
Remplazado finalmente el complejo conjugado de la función y la función se tiene:
𝐾=−
𝐿
2
𝑛𝜋𝑥
𝜕2
2
𝑛𝜋𝑥
∫ (−𝑖 √ sin (
))
(𝑖 √ sin (
)) 𝑑𝑥
2
2𝑚 0
𝐿
𝐿
𝜕𝑥
𝐿
𝐿
ℏ2
Derivando la función
𝜕2
2
𝑛𝜋𝑥
2 𝑛2 𝜋 2
𝑛𝜋𝑥
√
√
(𝑖
sin
(
))
=
−𝑖
sin (
)
2
2
𝜕𝑥
𝐿
𝐿
𝐿 𝐿
𝐿
Remplazando
ℏ2
𝐿
2
𝑛𝜋𝑥
2 𝑛2 𝜋 2
𝑛𝜋𝑥
√
√
𝐾=−
∫ (−𝑖
sin (
)) (−𝑖
sin (
)) 𝑑𝑥
2
2𝑚 0
𝐿
𝐿
𝐿 𝐿
𝐿
Y operando tenemos:
𝐾=
𝑛2 𝜋 2 ℏ2 𝐿 2 𝑛𝜋𝑥
∫ sin (
) 𝑑𝑥
𝑚𝐿3
𝐿
0
e integrando:
𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 1
𝐿
𝑛𝜋𝑥 𝐿
𝐾=
[ 𝑥−
sin (
)]
𝑚𝐿3 2
4𝑛𝜋
𝐿 0
Y finalmente evaluando se tiene que:
𝐾=
𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 1
[ 𝐿]
𝑚𝐿3 2
Por lo tanto el valor esperado de la energía cinética es de:
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𝐾=
𝑛 2 𝜋 2 ℏ2
2𝑚𝐿2
Se puede apreciar que la energía cinética depende de n y que solo puede tomar
valores de n=1,2,3,4…, por lo tanto se observa que la energía cinética se
encuentra cuantizada en valores discretos.
Para finalizar este capítulo vamos a estudiar el comportamiento de sistemas
microscópicos, considerando potenciales de forma sencilla cuya característica
principal es que no pueden ligar a una partícula, estos servirán como introducción
a los potenciales enlazantes.
Lección 30: El potencial cero
Vamos a considerar el caso más elemental de la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo, y es para cual la partícula se mueve libremente, es
decir, que la fuerza que actúa sobre ella es cero. Entonces, encontraremos el
comportamiento de la partícula libre predicha por la física cuántica, para ello es
necesario resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo haciendo
el potencial como cero.
Consideremos la ecuación haciendo 𝑉(𝑥) = 0
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
= 𝐸𝜓(𝑥)
Cuya solución esta dada por la combinación lineal:
𝜓(𝑥) = A𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘𝑥
Donde
𝑘=
√2𝑚𝐸
ℏ
y las constantes arbitrarias A y B. Analicemos con más detalle este resultado. La
combinación lineal presenta dos casos, uno para el cual el exponentes es positivo,
lo que indica que la onda viaja en la dirección en que x crece y el segundo es para
el cuál el exponente es negativo que indicara que la onda viaja en el sentido en
que x decrece. Entonces, para el caso en que la onda viaja en dirección en la que
crece x, se tiene que la función es:
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𝜓(𝑥) = A𝑒 𝑖𝑘𝑥
Y la respectiva función de onda será:
𝑖𝐸
Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑒 − ℏ 𝑡 = A𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = A𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)
Lo cual nos indicará que si un la partícula tiene o presenta movimiento dado por
las ecuaciones anteriores, entonces, esa partícula viajará en la que x crece.
Calculemos el valor esperado de la partícula:
∞
𝑝 = ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡) |P Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = +√2𝑚𝐸
−∞
Este resultado es el valor esperado del momento de una partícula cuyo
movimiento es en la dirección en que x crece con energía total E en una región
donde la energía potencial es cero.
Para el segundo caso en el cuál el exponente es negativo que indicara que la
onda viaja en el sentido en que x decrece se tiene que:
𝜓(𝑥) = A𝑒 −𝑖𝑘𝑥
Y la respectiva función de onda será:
𝑖𝐸
Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑒 − ℏ 𝑡 = A𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = A𝑒𝑖(−𝑘𝑥−𝜔𝑡)
Y obteniendo el valor esperado del momento de la partícula se tiene:
∞
𝑝 = ∫ Ψ ∗ (𝑥, 𝑡) |P Ψ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 = −√2𝑚𝐸
−∞
Lo cual indica el movimiento de la partícula que se dirige en la dirección en que x
decrece. Recuerde que los resultados anteriores son los valores del momento
esperado de la partícula y tenga claro que la posición exacta se desconoce.
Lección 31: El potencial Escalón.
Vamos a considerar dos casos para este tipo de potencial. Observe la figura 12.
la cual nos permitirá apreciar el potencial escalón (figura (a)) y los dos casos a
tratar (figuras (b) y (c)).
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En ella se observa que se tratarán casos en los cuales la energía potencial
presenta o tiene valores distintos para los diferentes intervalos de x. En la
naturaleza no existen este tipo de potenciales, pero son muy útiles puesto que
muchos fenómenos naturales se pueden idealizar de esta forma para ser
tratados. La parte (a) de la figura 12 describe el potencial de una partícula que a
medida que se aproxima a la posición x=0 el potencial cambia de cero a un
potencial V0 de una forma abrupta, más adelante miraremos que esta clase de
potenciales son muy parecidos a la energía potencial de un electrón que se
encuentra cerca de la superficie de un metal.
Figura 12. (a) potencial escalón, el potencial cambia bruscamente cuando x=0. (b)
potencial escalón donde la energía E es menor que el potencial V 0. (c) potencial
escalón donde la energía E es mayor que el potencial V0.
Caso I: EL potencial escalón para el cual la energía es menor que el potencial V 0:
Vamos a considerar el caso en que la partícula se mueve libremente de izquierda
a derecha, este movimiento viene dado por la solución de la Ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo, es decir, la función de onda. En la figura
siguiente vamos a observar el caso a tratar.
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Figura 13. Partícula que se mueve de izquierda a derecha, incidente en un
potencial escalón, con energía total menor que la altura del escalón.
Como se aprecia en la figura 13, la energía de la partícula puede tomar cualquier
valor (es un parámetro más), pero recuerde que esta relacionada con el momento
y masa. Según nuestra gráfica, se aprecia que el eje x se divide en dos regiones
una para x<0 y la otra para x>0, entonces como se divide en dos regiones es
necesario conocer el comportamiento de la partícula para cada una de ellas y por
tanto se deben encontrar dos funciones de onda o lo que es lo mismo dos
soluciones de la Ecuación de Schrödinger para cada región. Las ecuaciones a
resolver son las siguientes:
Para el caso donde x<0 se tiene:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
= 𝐸𝜓(𝑥)
Y para el caso donde x>0 se tiene que:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
+ 𝑉0 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Entremos a resolverlas. Observe que para el caso donde x<0 se presenta el
mismo caso estudiado en la sección anterior (potencial cero), para lo cual nos
arrojó que la solución de esta ecuación es:
𝜓(𝑥) = A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥
Donde
𝑘1 =
√2𝑚𝐸
ℏ
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Para cuando x>0 tenemos la ecuación:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
+ 𝑉0 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Rescribiendo esta ecuación tenemos una ecuación diferencial de segundo orden
lineal y de coeficientes constantes:
𝑑2 𝜓(𝑥) 2𝑚
− 2 (𝑉0 − 𝐸)𝜓(𝑥) = 0
𝑑𝑥 2
ℏ
Desarrollando esta ecuación, tenemos que la solución esta dada por:
𝜓(𝑥) = C𝑒 𝑘2 𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑘2 𝑥
Donde
𝑘2 =
√2𝑚(𝑉0 − 𝐸)
ℏ
Recuerde que el valor de K2 es positivo puesto hemos considerado que el
potencial V0 es mayor que la energía E, para el caso que x>0. Ahora, como
hemos encontrado las soluciones de las Ecuaciones de Schrödinger para las dos
regiones es necesario que establezcamos algunas condiciones de frontera que
nos permita encontrar las constantes A, B, C, D. Es necesario que dichos valores
de las constantes deban satisfacer los siguientes criterios para las funciones o
soluciones:




Las funciones deben estar definidas, es decir, finitas.
Las funciones deben ser continuas en todas las regiones.
La segunda derivada de la función debe estar definida y continua, es decir,
debe existir.
La derivada temporal debe existir.
Para cumplir las condiciones anteriores analicemos lo siguiente: cuando x tiende a
infinito para la región x>0 la función obtenida también crece hacia el infinito,
entonces, para que la función sea finita la constante C que acompaña el término
que produce dicha irregularidad debe ser cero. La función que se tendrá es:
𝜓(𝑥) = 𝐷𝑒 −𝑘2 𝑥
para x>0
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Ahora, como la función en toda región debe ser continua, las dos funciones en el
punto x=0 se deben unir, da tal manera que se cumplan las condiciones
anteriores, es decir, que la función y su primera derivada sean continuas.
Entonces para satisfacer la continuidad de la función se debe satisfacer que las
dos funciones en ese punto deben ser iguales:
𝜓(𝑥)|𝑥=0 (para x > 0) = 𝜓(𝑥)|𝑥=0 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0)
Entonces se tiene la relación:
𝐷𝑒 −𝑘2 𝑥 |𝑥=0 = A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0
Evaluando tenemos:
𝐷 =𝐴+𝐵
Ahora, miremos la continuidad de la derivada de las dos funciones, para ello es
necesario que encontremos las dos derivadas:
Para el caso cuando x<0 tenemos:
𝑑𝜓(𝑥) 𝑑(A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥 )
=
= 𝑖𝑘1 A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 − 𝑖𝑘1 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Y para cuando x>0:
𝑑𝜓(𝑥) 𝑑(𝐷𝑒 −𝑘2 𝑥 )
=
= −𝑘2 𝐷𝑒 −𝑘2 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Entonces, estas derivadas deben ser continuas en el punto x=0, por lo tanto,
deben ser iguales en ese punto, así:
𝑑𝜓(𝑥)
𝑑𝜓(𝑥)
|𝑥=0 =
|
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑥=0
−𝑘2 𝐷𝑒 −𝑘2𝑥 |𝑥=0 = 𝑖𝑘1 A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0 − 𝑖𝑘1 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0
Evaluando:
−𝑘2 𝐷 = 𝑖𝑘1 𝐴 − 𝑖𝑘1 𝐵 = 𝑖𝑘1 (𝐴 − 𝐵)
Por lo tanto
𝑖𝑘2
𝐷 =𝐴−𝐵
𝑘1
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Para encontrar el valor de A y B vamos a sumar las ecuaciones encontradas:
𝐷 =𝐴+𝐵
𝑖𝑘2
𝐷 =𝐴−𝐵
𝑘1
𝑖𝑘
(1 + 2 ) 𝐷 = 2𝐴
𝑘1
De ahí que
𝐴=
𝐷
𝑖𝑘2
(1 +
)
2
𝑘1
Ahora, para el valor de B, restamos las dos ecuaciones:
𝐷 =𝐴+𝐵
𝑖𝑘2
𝐷 =𝐴−𝐵
𝑘1
𝑖𝑘
(1 − 2 ) 𝐷 = 2𝐵
𝑘1
De ahí que
𝐵=
𝐷
𝑖𝑘2
(1 −
)
2
𝑘1
Entonces, la función para toda la región o lo que es lo mismo para nuestro
potencial donde la energía es menor que el potencial, la podemos expresar en
términos de D:
𝐷
𝑖𝑘2 𝑖𝑘 𝑥 𝐷
𝑖𝑘2 −𝑖𝑘 𝑥
(1 +
) 𝑒 1 + (1 −
)𝑒 1
𝜓(𝑥) = { 2
𝑘1
2
𝑘1
𝐷𝑒 −𝑘2 𝑥
𝑥≤0
𝑥≥0
Observe, que la constante D va a determinar la amplitud de la función. Entonces
ahora podemos expresar la función de onda de nuestro potencial como:
𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = (A𝑒𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘1 𝑥 )𝑒 −
Ψ(𝑥, 𝑡) = {
𝑖𝐸
𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = (𝐷𝑒−𝑘2 𝑥 )𝑒 − ℏ 𝑡
𝑖𝐸
ℏ
𝑡
= 𝐴𝑒
𝑖(𝑘1 𝑥−
𝑖𝐸
ℏ
𝑡)
+ 𝐵𝑒
𝑖(−𝑘1 𝑥−
𝑖𝐸
ℏ
𝑡)
𝑥≤0
𝑥≥0
Observe que para cuando x<0 la función de onda presenta dos términos, el
primero de ellos indica es una onda que viaja propagándose en la dirección en que
x crece y describe a una partícula viajando en esa dirección; el segundo también
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es una onda viajera pero se propaga en la dirección en que x decrece y describe
una partícula moviendo en esa dirección. Lo anterior nos indica que podemos
asociar el primer término con la incidencia de la partícula con el potencial escalón,
y el segundo con la reflexión de la partícula con el mismo. A partir de ello,
podemos calcular el coeficiente de reflexión R que nos indicará la amplitud de la
parte reflejada de la función de onda incidente y estará dada por:
𝑣1 𝐵 ∗ 𝐵
𝑅=
𝑣1 𝐴∗ 𝐴
Donde 𝑣1 es la velocidad de la partícula en la región. Ahora remplazando los
términos encontrados anteriormente se tiene que el coeficiente de reflexión es:
𝑖𝑘
𝑖𝑘
𝑘1
𝑘1
2
2
𝐵 ∗ 𝐵 (1 + 𝑘1 ) (1 − 𝑘1 )
𝑅= ∗ =
=1
𝐴 𝐴 (1 − 𝑖𝑘2 ) (1 + 𝑖𝑘2 )
Los que nos arrojó que el coeficiente de reflexión para la función de onda sea 1, y
lo que indica es que una partícula al chocar contra este potencial escalón siempre
se va a reflejar, lo cual es cierto o concuerda con la física clásica.
Analicemos estos resultados de otro punto de vista. Podemos expresar la función
para el pozo de potencial en términos de:
𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 = cos(𝑘1 𝑥) + 𝑖 sin(𝑘1 𝑥)
Entonces quedaría de la forma
𝑘2
𝐷 cos(𝑘1 𝑥) − 𝐷 sin(𝑘1 𝑥)
𝜓(𝑥) = {
𝑘1
−𝑘2 𝑥
𝐷𝑒
𝑥≤0
𝑥≥0
Si ahora, encontramos la función de onda asociada y la graficamos para cuando
x<0, tenemos lo siguiente (ver figura 14):
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Figura 14. Representación de la función de onda para cuando x<0.
La figura 14 nos muestra el comportamiento de la función de onda y por tanto el
movimiento de la partícula para la región cuando x<0, en la parte superior de ella
se encuentra la onda incidente en el punto x=0 del potencial, en la parte media se
encuentra la onda reflejada después del choque con la barrera de potencial y
finalmente en la parte inferior se muestra la suma de las dos ondas anteriores que
producen o dan como resultado una onda estacionaria. Para el caso cuando x>0
la figura 15 muestra el comportamiento:
Figura 15. Gráfica de la función para el potencial escalón.
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En esta se a graficado solamente la función que es real si se toma la constante D
como real, ahora encontremos la densidad de probabilidad para la función de onda
encontrada para la región donde x>0:
𝑖𝐸
Ψ ∗ (𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = (𝐷∗ 𝑒−𝑘2 𝑥 𝑒 ℏ 𝑡 ) (𝐷𝑒−𝑘2 𝑥 𝑒 −
𝑖𝐸
ℏ
𝑡
) = 𝐷∗ 𝐷𝑒−2𝑘2 𝑥
La gráfica de la densidad de probabilidad se muestra en la figura 16, en la cual se
puede apreciar que a partir del punto x=0, la función de onda empieza a decrecer
y por lo tanto existe una probabilidad finita en la cual se puede encontrar a la
partícula en la región de x>0. Analizando este resultado de forma clásica es
imposible que ocurra, ya que la energía total de la partícula es menor que la
energía potencial o lo que es lo mismo, si una partícula cuya energía es menor
que la energía de un potencial repulsivo siempre va a rebotar contra la barrera de
potencial que se le imponga. Ahora, cuánticamente existe la probabilidad de la
partícula que tiene menor energía que el potencial pueda atravesarlo, a este
fenómeno se le conoce como penetración de potencial. Dicha penetración puede
ser calculada mediante la fórmula:
∆𝑥 =
ℏ
√2𝑚(𝑉0 − 𝐸)
Donde a la variación de x se le conoce como la distancia de penetración.
Figura 16. Densidad de probabilidad para el potencial escalón.
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Caso II: EL potencial escalón para el cual la energía es mayor que el potencial V0:
ahora vamos a considerar el caso mostrado en la parte (c) de la figura 12. La
partícula se moverá con una energía E mayor (este valor es arbitrario) que la del
potencial tal y como se muestra en la figura 17.
Figura 17. Partícula que se mueve de izquierda a derecha, incidente en un
potencial escalón, con energía total mayor que la altura del escalón.
Clásicamente se tendría que la partícula sigue el trayecto de la línea punteada,
puesto que la energía total de ella es mayor que el potencial y por tanto no se
verá afectada. Vamos a mirar o a demostrar que cuánticamente existe la
probabilidad de que la partícula se devuelva cuando se encuentre en el punto
x=0. Al igual que en el potencial anterior vamos a tener dos regiones una para
x>0 y otra para x<0, entonces tenemos una ecuación de Schrödinger para cada
región:
Para el caso donde x<0 se tiene:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
= 𝐸𝜓(𝑥)
Y para el caso donde x>0 ahora la energía E>V0 se tiene que:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
+ 𝑉0 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Entonces, para el caso donde x<0 tenemos nuevamente una partícula libre y la
solución de la ecuación es:
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𝜓(𝑥) = A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥
Donde
𝑘1 =
√2𝑚𝐸 𝑝1
=
ℏ
ℏ
Para la segunda región, es decir, x>0 tenemos que la ecuación la podemos
escribir como:
𝑑2 𝜓(𝑥) 2𝑚
+ 2 (𝐸 − 𝑉0 )𝜓(𝑥) = 0
𝑑𝑥 2
ℏ
Desarrollando la ecuación se tiene:
𝜓(𝑥) = C𝑒 𝑖𝑘2 𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑖𝑘2 𝑥
Donde
𝑘2 =
√2𝑚(𝐸 − 𝑉0 ) 𝑝2
=
ℏ
ℏ
Recuerde que el valor de K2 aquí también es positivo puesto hemos considerado
que la energía E es mayor que el potencial V0, para el caso que x>0. Ahora,
nuevamente debemos encontrar las constantes A, B, C, D, de tal manera que las
soluciones cumplas las mismas condiciones que en el caso anterior.
Entonces, analicemos que el segundo término de la última solución describe una
onda que viaja en la dirección en que x decrece para la región x>0, lo cual indica
que debe haber un punto más allá del punto x=0 que cause dicha reflexión de la
onda, pero como en realidad no existe entonces se debe hacer a D=0 y por lo
tanto tenemos que la solución para esta región es:
𝜓(𝑥) = C𝑒 𝑖𝑘2 𝑥
Ahora debe cumplirse que en el punto x=0 las funciones y sus derivadas deben
ser continuas, por lo tanto y siguiendo el mismo procedimiento para el potencial
escalón anterior se tiene que satisfacer que:
𝜓(𝑥)|𝑥=0 (para x > 0) = 𝜓(𝑥)|𝑥=0 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0)
Entonces se tiene la relación:
𝐶𝑒 𝑖𝑘2 𝑥 |𝑥=0 = A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0
Evaluando
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𝐴+𝐵 =𝐶
Para el caso de las derivadas se debe cumplir que:
𝑑𝜓(𝑥)
𝑑𝜓(𝑥)
|𝑥=0 =
|
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑥=0
Entonces
𝑖𝑘1 A𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0 − 𝑖𝑘1 𝐵𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥 |𝑥=0 = 𝑖𝑘2 𝐶𝑒 𝑖𝑘2 𝑥 |𝑥=0
Evaluando:
𝑖𝑘1 𝐴 − 𝑖𝑘1 𝐵 = 𝑖𝑘1 (𝐴 − 𝐵) = 𝑖𝑘2 𝐶
𝑘1 (𝐴 − 𝐵) = 𝑘2 𝐶
Por lo tanto
𝐴−𝐵 =
𝑘2
𝐶
𝑘1
Sumando y restando los resultados podemos llegar a encontrar a B y C en
términos de A, así:
𝐵=
𝑘1 − 𝑘2
𝐴
𝑘1 + 𝑘2
𝐶=
2𝑘1
𝐴
𝑘1 + 𝑘2
Y
Entonces, la función para toda la región la podemos expresar en términos de A:
𝐴𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 +
𝜓(𝑥) =
𝑘1 − 𝑘2 −𝑖𝑘 𝑥
𝐴𝑒 1
𝑘1 + 𝑘2
𝑥≤0
2𝑘1
𝐴𝑒 −𝑖𝑘2 𝑥
{𝑘1 + 𝑘2
𝑥≥0
La función de onda de nuestro potencial es:
𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = (A𝑒𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘1 𝑥 )𝑒 −
Ψ(𝑥, 𝑡) = {
𝑖𝐸
𝜓(𝑥)𝜑(𝑡) = (𝐶𝑒−𝑖𝑘2 𝑥 )𝑒 − ℏ 𝑡
𝑖𝐸
ℏ
𝑡
= 𝐴𝑒
𝑖(𝑘1 𝑥−
𝑖𝐸
ℏ
𝑡)
+ 𝐵𝑒
𝑖(−𝑘1 𝑥−
𝑖𝐸
ℏ
𝑡)
𝑥≤0
𝑥≥0
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Se observa que para la región x<0, el primer término corresponde a la onda
viajera incidente y el segundo término representa la onda reflejada en el punto
x=0, lo cual nos indica que cuánticamente existe la posibilidad de que la onda se
refleje a pesar de que la energía E sea mayor que el potencial V 0. El segundo
término nos indica la onda transmitida desde la región x<0 hacia la región x>0.
La probabilidad de que la partícula sea reflejada por el potencial escalón esta dada
por el coeficiente de reflexión:
𝑣1 𝐵 ∗ 𝐵
𝑅=
𝑣1 𝐴∗ 𝐴
Recuerde que E>V0, remplazando tenemos que:
𝐵∗𝐵
𝑘1 − 𝑘2 2
𝑅= ∗ =(
)
𝐴𝐴
𝑘1 + 𝑘2
De aquí se tiene que el coeficiente de reflexión es menor que 1 cuando la energía
E es mayor que el potencial, lo cual nos indica tal y como se nombró
anteriormente, existe la probabilidad de que la onda será reflejada, esto visto de
una forma clásica es imposible que suceda ya que no existe ninguna barrera que
cause dicho efecto. Ahora miremos que ocurre con la onda transmitida y para ello
es necesario que analicemos el coeficiente de transmisión que indica la
probabilidad de que la partícula sea transmitida desde la región x<0 hasta la
región x>0, el cual esta dado por:
𝑣2 𝐶 ∗ 𝐶 𝑣2 2𝑘1 2
𝑇=
= (
)
𝑣1 𝐴∗ 𝐴 𝑣1 𝑘1 + 𝑘2
Donde ahora 𝑣2 es la velocidad de la partícula en la región donde x>0. Entonces,
escribiendo a las velocidades en términos de los números de onda:
𝑣1 =
𝑝1 ℏ𝑘1
=
𝑚
𝑚
𝑣2 =
𝑝2 ℏ𝑘2
=
𝑚
𝑚
Y
Remplazando en el coeficiente de transmisión:
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𝑇=
𝑣2 𝐶 ∗ 𝐶 𝑣2 2𝑘1 2
4 𝑘1 𝑘2
= (
) =
∗
( 𝑘1 + 𝑘2 ) 2
𝑣1 𝐴 𝐴 𝑣1 𝑘1 + 𝑘2
Ahora tomando el resultado del coeficiente de reflexión y transmisión se tiene que:
𝑅+𝑇 =1
Ahora, ya que vimos que el coeficiente de reflexión es menor que 1 o lo que es lo
mismos mayor que cero, entonces el coeficiente de transmisión es menor que uno,
lo que nos indica que existe la probabilidad de que la onda sea reflejada o de que
no penetre la región x>0.
Cabe resaltar que si tenemos potenciales escalón en el sentido contrario de la
figura 12, los resultados expuestos en esta lección son los mismos.
Lección 32: La barrera de potencial
Ahora vamos a considerar una barrera de potencial tal y como se muestra en la
siguiente figura 18.
Figura 18. Barrera de potencial.
De la figura se observa que vamos a tener tres regiones para la cual el potencial
estará entre 0 y V0, así:
0
𝑉(𝑥) = { 𝑉0
0
𝑥<0
0<𝑥<𝐿
𝑥>𝐿
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Clásicamente la partícula que se mueve de la región 1 hacia la región 2 al chocar
con el potencial no tiene la probabilidad de atravesarla, es decir, la partícula no se
puede encontrar en la región 2 o 3, claro esta, esto ocurre si la energía total de la
partícula es menor que el potencial (V0>E). En caso contrario cuando la energía
de la partícula es mayor que el potencial (E >V0), la física clásica nos predice que
la partícula cruzará el potencial y se encontrará en la región 3.
Cuánticamente vamos a mirar que lo pronosticado por la física clásica no es el
comportamiento de la partícula. La cuántica predice que si la energía de partícula
es menor que el potencial (V0>E) existe la probabilidad de encontrar a la partícula
en la región 3, es decir, que la partícula puede atravesar la región 2, a esto se le
conoce como tunelamiento. También se demostrará que cuando le energía es
mayor que el potencial (E >V0) existe la probabilidad de que la partícula sea
reflejada.
Al igual que en las lecciones anteriores vamos a escribir las funciones o
soluciones a las ecuaciones de Schrödinger de las tres regiones y según la
gráfica 19:
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Figura 19. A) Energía total de la partícula menor que el potencial. B) Energía total
de la partícula mayor que el potencial.
Observe la figura anterior, la región 1 y la región 3 para los dos esquemas
representan una partícula moviéndose libremente y por lo tanto la función para
estas dos regiones
o las soluciones de las ecuaciones de Schrödinger
independiente del tiempo son:
𝑖𝑘𝛪 𝑥
−𝑖𝑘𝛪 𝑥
𝜓(𝑥) = {𝐴𝑒 𝑖𝑘𝛪𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘𝛪𝑥
𝐶𝑒
+ 𝐷𝑒
𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑠𝑖 𝑥 > 𝐿
Analicemos este resultado un poco, recuerde que estamos considerando una
partícula que se mueve de izquierda a derecha, entonces para la región 3 el
segundo término de la función nos expresa una onda que es reflejada, pero
realmente no existe nada que provoque que la onda se refleje, por lo tanto es
necesario que la constante D sea cero, por lo tanto tenemos:
𝐷=0
Y las funciones serán:
𝑖𝑘𝛪 𝑥
−𝑖𝑘𝛪 𝑥
𝜓(𝑥) = { 𝐴𝑒𝑖𝑘𝛪𝑥 + 𝐵𝑒
𝐶𝑒
𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑠𝑖 𝑥 > 𝐿
Donde
𝑘𝛪 =
√2𝑚𝐸
ℏ
Ahora analicemos la región 2: observe que vamos a tener dos casos tal y como lo
muestra la figura anterior, el primero será cuando la energía de la partícula sea
menor que el potencial, y el otro caso será cuando la energía sea mayor que el
potencial, entonces para cada caso habrá una solución de la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo de la siguiente forma:
Caso I: E<V0
La función esta dada por:
𝜓(𝑥) = 𝐹𝑒𝑘𝛪𝛪𝑥 + 𝐺𝑒−𝑘𝛪𝛪𝑥
Donde:
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𝑘𝛪𝛪 =
√2𝑚(𝑉0 − 𝐸)
ℏ
Caso II: E>V0 (Figura 19. Parte B)
La función esta dada por:
𝜓(𝑥) = 𝐹𝑒𝑘𝛪𝛪𝛪 𝑥 + 𝐺𝑒−𝑘𝛪𝛪𝛪 𝑥
Donde:
𝑘𝛪𝛪𝛪 =
√2𝑚(𝐸 − 𝑉0 )
ℏ
Analicemos lo obtenido hasta ahora, es necesario que lo hagamos para cada
caso:
Caso I: E<V0 (Figura 19. Parte A)
La función para este caso será:
AeikΙ x + Be−ikΙ x
si x < 0
ψ(x) = {𝐹𝑒𝑘ΙΙ 𝑥 + 𝐺𝑒−𝑘ΙΙ𝑥
𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝐿
CeikΙ x
si x > L
Como en las lecciones anteriores la función y su derivada deben ser continuas
para los puntos x=0 y x=L, evaluando estas condiciones se pueden obtener las
constantes en términos de A. La figura 20 muestra la densidad de probabilidad
para este caso, la cual nos indicará que existe la probabilidad de encontrar a la
partícula en la región 3.
Figura 20. Densidad de probabilidad para el caso de penetración de barrera.
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Para la región 1 la función de onda es estacionaria pero tiene una componente
viajera debido a la reflexión de la onda con amplitud menor que la incidente, es por
ello que la densidad de probabilidad en la región oscila. Para la región 2, la función
de onda es una exponencial decreciente tal y como se observa en la figura o en la
densidad de probabilidad. Para la región 3, la función de onda es netamente
viajera y por tanto la densidad de probabilidad es una constante.
La probabilidad de penetrar una barrera de potencial de longitud L por parte de
una partícula de masa m y energía E menor que el potencial V0 esta dada por el
coeficiente de transmisión T. Este fenómeno se le conoce como penetración de
barrera y comúnmente se expresa, que la partícula realizo un túnel a través de la
berrera del potencial.
El coeficiente de transmisión que determina la probabilidad de que la partícula
atraviese el potencial esta dada por:
−1
∗
𝑇=
𝑘ΙΙ 𝐿
−𝑘ΙΙ 𝐿 )2
(𝑒 − 𝑒
𝜐1 𝐶 𝐶
=
[1
+
]
𝐸
𝐸
𝜐1 𝐴∗ 𝐴
16 𝑉 (1 − 𝑉 )
0
0
−1
2
= [1 +
sinh 𝑘ΙΙ 𝐿
]
𝐸
𝐸
4 𝑉 (1 − 𝑉 )
0
0
Donde
𝑘ΙΙ 𝐿 =
𝐿√2𝑚(𝑉0 − 𝐸)
ℏ
Ahora si los exponentes son demasiado grandes, entonces podemos expresar el
coeficiente de transmisión como:
𝑇 ≅ 16
2𝐿
𝐸
𝐸
𝐸
𝐸
(𝑉
(1 − ) 𝑒−2𝑘ΙΙ𝐿 ≅ 16 (1 − ) 𝑒−( ℏ )√2𝑚 0 −𝐸)
𝑉0
𝑉0
𝑉0
𝑉0
Donde L es el espesor físico de la barrera y recuerde que la energía es menor que el
potencial.
Caso II: E<V0 (Figura 19. Parte B)
La función para este caso será:
AeikΙ x + Be−ikΙ x
ψ(x) = {𝐹𝑒
+ 𝐺𝑒
ikΙ x
Ce
𝑘ΙΙΙ 𝑥
−𝑘ΙΙΙ 𝑥
si x < 0
𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝐿
si x > L
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Recuerde nuevamente que la función y su primera derivada debe ser continuas
para los puntos x=0 y x=L, se pueden evaluar las condiciones y encontrar las
constantes en términos de A, esto nos permite graficar la densidad de
probabilidad, la cual se muestra en la figura 21. En esta se aprecia que para la
primera región la densidad de probabilidad es oscilatoria debido a que la función
de onda es estacionaria pero con una componente viajera debido al reflexión
producida en el punto x=0, tal y como se expreso en la lección anterior. Para la
región 2 la función de onda es estacionaria y con una componente viajera debido a
la reflexión de la onda en el punto x=L y por lo tanto la densidad de probabilidad
tiene nuevamente comportamiento ondulatorio. Y Finalmente, en la región tres la
densidad de probabilidad es constante debido a que la función de onda es viajera
pura.
Figura 21. Densidad de probabilidad para cuando la E>V0
Para el caso estudiado el coeficiente de transmisión estará dada por:
−1
𝑇=
(𝑒𝑖𝑘ΙΙI 𝐿 − 𝑒−𝑖𝑘ΙIΙ 𝐿 )2
𝜐1 𝐶 ∗ 𝐶
=
[1
−
]
𝐸 𝐸
𝜐1 𝐴∗ 𝐴
16 𝑉 (𝑉 − 1)
0
0
−1
= [1 +
sin2 𝑘ΙIΙ 𝐿
]
𝐸 𝐸
4 𝑉 (𝑉 − 1)
0
0
Donde
𝑘ΙΙΙ =
√2𝑚(𝐸 − 𝑉0 )
ℏ
Y recuerde que la energía de la partícula es mayor que el potencial.
Ejemplo:
Si un electrón de 2eV penetra una barrera de potencial de 3eV que tiene un ancho
de 3 Å, calcule la probabilidad de que electrón atraviese la barrera del potencial.
Solución:
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Observe que la energía del electrón es mayor que la del potencial por lo tanto nos
encontramos en el caso I estudiado, por lo tanto el coeficiente de transmisión esta
dado por:
2𝐿
𝐸
𝐸
(𝑉
𝑇 ≅ 16 (1 − ) 𝑒−( ℏ )√2𝑚 0 −𝐸)
𝑉0
𝑉0
Remplazando nuestras cantidades y teniendo en cuenta las correspondientes
unidades, se tiene que:
−10
2∗3×10
𝑚
−31
𝐾𝑔)(3−2)(1.6×10−19 𝐽)
2𝑒𝑉
2𝑒𝑉 −(1.05×10
−34 )√2∗(9.1×10
𝐽𝑠
𝑇 ≅ 16 (
) (1 −
)𝑒
3𝑒𝑉
3𝑒𝑉
𝑇 ≅ 0.163
Este resultado nos indica que aproximadamente 16 electrones de 2eV de cada
100 penetran la barrera de potencial.
Ejercicios
1. Demuestre que el valor esperado del momento es cero para una partícula
que se halla dentro de una caja de longitud L, si su función de onda es:
2
𝑛𝜋𝑥
𝜓(𝑥) = 𝑖√𝐿 𝑠𝑖𝑛 (
𝐿
)
2. Encuentre el coeficiente de transmisión para un electrón de energía 2 eV
que incide sobre una barrera de potencial de altura 4eV y de ancho de 1 Å.
Rta: 93.38%
3. Para el ejercicio anterior realice el mismo cálculo pero si ahora el ancho de
la barrera es de 10-9m.
4. Calcule la probabilidad de que un deuterón cruce con éxito una barrera de
potencial de 10MeV y de ancho de 10-14m si el deuterón tiene una energía
de 3MeV. Rta: 2.32x10-7
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Capitulo 6. Algunas aplicaciones de la Ecuación de Schrödinger
Lección 33: Potencial de pozo cuadrado
El potencial de pozo cuadrado tiene como principal característica ligar electrones
y es uno de los potenciales más simples de estudiar. Cabe recordar que hasta el
momento no se han tratado esta clase de potenciales capaces de ligar electrones.
La figura 21 muestra el potencial de pozo cuadrado a estudiar.
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Figura 21. Pozo de potencial y sus regiones de interés.
De la figura anterior se observa que vamos a tener tres regiones de interés, la
primera es la región 1 donde x<-L/2, la región 2 es para cuando x se encuentra
entre –L/2<x<L/2 y la tercera para cuando x>L/2. El potencial en el pozo esta
dado por:
𝑉0
𝑉(𝑥) = { 0
𝑉0
si 𝑥 < −𝐿/2
si − 𝐿/2 < 𝑥 < 𝐿/2
si 𝑥 > 𝐿/2
Cuando la E<V0 la física clásica establece que la partícula solo puede estar
confinada dentro del pozo, es decir, solo se encuentra dentro de la región 2, esto
significará que la partícula esta ligada a esta región, y su movimiento será
producto de los choques elásticos entre las paredes. También, establece que la
partícula puede tener cualquier valor de energía E>0. Vamos a observar que la
cuántica estable que la partícula solo podrá tener ciertos valores permitidos de
energía E.
Establezcamos las soluciones de la Ecuación de Schrödinger para cada una de
las regiones considerando que la energía de la partícula es menor que el potencial
V0>E, ya que una energía mayor que el potencial establecería que existe cualquier
valor de energía permitido, entonces se establece de la siguiente manera:
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Para cuando la partícula se encuentra confinada o dentro de la región –L/2<x<L/2
el potencial es cero y por lo tanto al igual que de nuestras lecciones anteriores la
función es:
𝜓(𝑥) = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝛪𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘𝛪𝑥
donde
𝑘𝛪 =
√2𝑚𝐸
ℏ
Utilizando los números complejos vistos a principios de la segunda unidad
podemos rescribir la ecuación anterior:
𝜓(𝑥) = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝛪𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝑘𝛪𝑥
𝜓(𝑥) = 𝐴(cos 𝑘𝛪 𝑥 + 𝑖 sin 𝑘𝛪 𝑥) + 𝐵(cos 𝑘𝛪 𝑥 − 𝑖 sin 𝑘𝛪 𝑥)
𝜓(𝑥) = 𝐴 cos 𝑘𝛪 𝑥 + 𝐴𝑖 sin 𝑘𝛪 𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝛪 𝑥 − 𝐵𝑖 sin 𝑘𝛪 𝑥
Factorizando
𝜓(𝑥) = (𝐴 − 𝐵)𝑖 sin 𝑘𝛪 𝑥 + (𝐴 + 𝐵) cos 𝑘𝛪 𝑥
La cual la podemos escribir como:
𝜓(𝑥) = 𝐴′ sin 𝑘𝛪 𝑥 + 𝐵 ′ cos 𝑘𝛪 𝑥
Donde
𝐴′ = (𝐴 − 𝐵)𝑖
𝐵 ′ = (𝐴 + 𝐵)
𝑘𝛪 =
√2𝑚𝐸
ℏ
Para cuando –L/2<x<L/2. Para le región 1 la solución esta dada por:
𝜓(𝑥) = 𝐶𝑒 𝑘𝛪𝛪 𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑘𝛪𝛪𝑥
Y para le región 3 será:
𝜓(𝑥) = 𝐹𝑒 𝑘𝛪𝛪𝑥 + 𝐺𝑒 −𝑘𝛪𝛪𝑥
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Donde KII para las dos regiones es:
𝑘𝛪𝛪 =
√2𝑚(𝑉0 − 𝐸)
ℏ
Como en los casos anteriores las funciones y sus derivadas deben ser continuas e
todas las regiones, entonces observe que cuando:
𝑥 → +∞
La función de la región 3
𝜓(𝑥 → +∞) = 𝐹𝑒 𝑘𝛪𝛪𝑥 + 𝐺𝑒 −𝑘𝛪𝛪𝑥 → ∞
Para que no ocurra esto es necesario que F=0 que es el que introduce la
discontinuidad. Ocurre algo muy similar en la región 1 cuando:
𝑥 → −∞
La función de la región 1
𝜓(𝑥 → −∞) = 𝐶𝑒 𝑘𝛪𝛪𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑘𝛪𝛪𝑥 → ∞
Nuevamente para evitar la discontinuidad es necesario que D=0. Las funciones
para estas dos regiones serían:
𝜓(𝑥) = {
𝐶𝑒 𝑘𝛪𝛪𝑥
𝐺𝑒 −𝑘𝛪𝛪𝑥
𝑠𝑖 𝑥 < −𝐿/2
𝑠𝑖 𝑥 > 𝐿/2
Un desarrollo más exhaustivo que no se desarrollará en esta lección nos
demostrará que la energía de la partícula se encuentra cuantizada, es decir, que
solo puede tomar algunos valores, un ejemplo típico se presenta en la figura 22, la
cual nos muestra los valores permitidos E1, E2, E3 de la energía de partícula que
se encuentra dentro del pozo.
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Figura 22. Valores permitidos de la energía para el pozo de potencial.
Lección 34: Potencial de pozo cuadrado infinito
Ahora vamos a considerar otro ejemplo sencillo de la ecuación de Schrödinger de
estado estacionario (ecuación independiente del tiempo), este será el pozo de
potencial infinito tal y como se observa en la figura 23. La partícula se encontrará
confinada dentro del pozo o comúnmente llamada caja moviéndose a lo largo del
eje x y chocando con las paredes de forma elástica.
Figura 23. Partícula moviéndose en pozo de potencial de paredes de potencial
infinito.
Como se observa en la figura 23 tendremos nuevamente tres regiones, entonces
establezcamos el potencial para ellas:
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∞
𝑉(𝑥) = { 0
∞
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝐿
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝐿
Debido a que la partícula se encuentra dentro del pozo y ya que no existe
posibilidad de que este fuera de él, entonces podemos establecer para función o
solución de la ecuación de Schrödinger las condiciones:
𝑥≤0
𝜓(𝑥) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 {
𝑥≥𝐿
Y la probabilidad de encontrar la partícula dentro de la región 2 será:
𝐿
∫ 𝜓 ∗ 𝜓 𝑑𝑥 = 1
0
Para la región donde se encuentra la partícula (V0=0) la solución de la ecuación
de Schrödinger esta dada por:
𝜓(𝑥) = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥
Donde
𝑘=
√2𝑚𝐸
ℏ
Recuerde que la función anterior nos representa una onda estacionaria. Ahora
utilicemos las condiciones de frontera para encontrar las constantes A y B así:
En las fronteras del pozo tenemos que
𝜓(𝑥) = 0
Para
𝑥=0
y
𝑥=𝐿
Evaluamos la función en las condiciones de fronteras anteriores tenemos que :
Para x=0
𝜓(𝑥 = 0) = 𝐴 sin 0 + 𝐵 cos 0 = 0
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De lo cual tenemos que
𝐵=0
Entonces la función la podemos escribir como:
𝜓(𝑥) = 𝐴 sin 𝑘𝑥
Para la segunda condición de frontera x=L y sabemos que B=0, se tiene que:
𝜓(𝑥 = 𝐿) = 𝐴 sin 𝑘𝐿 = 0
De aquí podemos deducir lo siguiente: como A es diferente de cero entonces
tenemos que:
sin 𝑘𝐿 = 0
Para que se cumpla esta igualdad debemos hacer
𝑘𝐿 = 𝑛𝜋
𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1,2,3,4 …
De lo cual tenemos que
𝑘=
𝑛𝜋
𝐿
Con este resultado y a partir de la ecuación
𝑘=
√2𝑚𝐸
ℏ
Se obtiene que
𝑛𝜋 √2𝑚𝐸
=
𝐿
ℏ
Y despejando E tenemos:
𝑛 2 𝜋 2 ℏ2
𝐸𝑛 =
2𝑚𝐿2
𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1, 2, 3, …
Lo cual nos indica que la energía de la partícula se encuentra cuantizada en
ciertos valores de forma discreta y la partícula puede estar en algún de estos
valores, la figura 24 muestra algunos valores de la energía de un pozo de
potencial cuadrado infinito, en ella se muestra un ejemplo de una partícula que
se encuentra en el nivel de energía E3
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Figura 24. Algunos de los valores permitidos para la energía de la partícula de un
pozo de potencial cuadrado infinito.
Finalmente podemos expresar la función en términos de L, así:
𝑛𝜋
𝑥)
𝐿
𝜓(𝑥) = 𝐴 sin (
Es de resaltar, que si la partícula se encuentra en el nivel de energía E 3 como lo
vemos en la figura 24 (ejemplo particular), para que esta pase a un nivel superior o
inferior se debe recibir o perder energía y esta energía debe ser la suficiente para
que pueda ocurrir dicho suceso. Además debemos resaltar que la partícula no
pude tomar el nivel igual a cero, por lo tanto el mínimo nivel debe ser E 1. A este
valor de mínima energía que puede tomar la partícula se le conoce como energía
del punto cero.
Ahora, miremos que el momento de la partícula también se encuentra cuantizado.
De lecciones anteriores teníamos que la energía la podemos expresar como:
𝑝𝑛2
𝐸𝑛 =
2𝑚
Igualando esta ecuación con el resultado anterior y despejando el momento
tenemos:
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𝑝𝑛2
𝑛 2 𝜋 2 ℏ2
=
2𝑚
2𝑚𝐿2
𝑝𝑛 =
𝑛𝜋ℏ
𝐿
𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1, 2, 3, ….
Lo que demuestra que tanto la energía como el momento de una partícula se
encuentran cuantizada.
Otro dato importante que podemos calcular es la densidad de probabilidad de la
partícula y para ello es necesario que recordemos que la densidad esta dada por:
𝜓 ∗ (𝑥)𝜓(𝑥)
Entonces tenemos que la función es:
𝑛𝜋
𝑥)
𝐿
𝜓(𝑥) = 𝐴 sin (
Y su conjugado esta dado por:
𝑛𝜋
𝑥)
𝐿
𝜓 ∗ (𝑥) = 𝐴 sin (
Entonces la densidad de probabilidad es:
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑥)] [𝐴 sin ( 𝑥)]
𝐿
𝐿
𝜓 ∗ (𝑥)𝜓(𝑥) = [𝐴 sin (
𝑛𝜋
𝑥)
𝐿
𝜓 ∗ (𝑥)𝜓(𝑥) = 𝐴2 sin2 (
Ahora normalizando, es decir que
𝐿
∫ 𝜓 ∗ 𝜓 𝑑𝑥 = 1
0
Se tiene que:
𝐿
𝐿
𝐿
𝑛𝜋
𝑛𝜋
2
∫ 𝜓 𝜓 𝑑𝑥 = ∫ 𝐴 sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐴 ∫ sin2 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 1
𝐿
𝐿
0
0
0
∗
2
2
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Resolviendo esta integral tenemos que:
𝐿
𝑥
𝐿
2𝑛𝜋
𝐴2 [ −
sin (
𝑥)] = 1
2 4𝑛𝜋
𝐿
0
Y evaluando
𝐴2 𝐿
=1
2
De lo cual
𝐴=√
2
𝐿
Entonces la ecuación o la solución de la ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo normalizada para nuestro pozo de potencial cuadrado infinito esta
dada por:
2
𝑛𝜋
𝜓(𝑥) = √ sin ( 𝑥)
𝐿
𝐿
Finalmente podemos utilizar el resultado anterior para calcular la probabilidad de
encontrar a una partícula dentro de un intervalo x=a y x=b que se encuentre
dentro del pozo de potencial infinito como:
𝑏
𝑏
∫ 𝜓 ∗ 𝜓 𝑑𝑥 = ∫
𝑎
𝑎
2 2 𝑛𝜋
sin ( 𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
Lección 35: El potencial del oscilador armónico simple
Ahora consideraremos el potencial del oscilador armónico simple ya que es una
muy buena aproximación a cualquier sistema oscilatorio. Este tiene muchas
aplicaciones como por ejemplo en el estudio de vibraciones de átomos en
moléculas diatómicas, en las propiedades magnéticas de los sólidos, en las
propiedades acústicas y térmicas de sólidos, entre otras aplicaciones. En general
este se aplica a cualquier sistema donde hallan procesos de vibraciones
alrededor de un punto de equilibrio.
De la física clásica recordemos que un oscilador armónico simple se puede
representar por una partícula que bajo la influencia de una fuerza restauradora
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presenta un movimiento armónico simple cuando esta se desplaza fuera de la
posición de equilibrio ocasionado por la fuerza. Clásicamente la fuerza esta dada
por la ley de Hooke:
𝐹 = −𝑘𝐹 𝑥
Y las oscilaciones presentes sobre el punto de equilibrio presentan una frecuencia
de la forma:
𝜈=
1 𝑘𝐹
√
2𝜋 𝑚
Donde m es la masa y kF es la constante de fuerza. La energía potencial del
oscilador esta dado por:
1
𝑉 = 𝑘𝐹 𝑥 2
2
Y la energía cinética es
1
𝐾 = 𝑚𝑣 2
2
Cuánticamente vamos a imponer que el potencial del oscilador armónico simple
esta dado por:
1
𝑉(𝑥) = 𝑘𝐹 𝑥 2
2
Este potencial se encuentra representado en la figura 25. Entonces el problema
es encontrar soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
que describan el movimiento de la partícula y las posibles energías que pueda
tomar. Entonces, para nuestro potencial la ecuación de Schrödinger a resolver
será:
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓(𝑥 )
2𝑚 𝑑𝑥 2
𝑘𝐹 𝑥 2
+(
) 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
2
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Figura 25. Potencial del oscilador armónico simple.
La solución de esta ecuación se presenta en el apéndice A, para que el
estudiante indague un poco sobre ella. Solo vamos a presentar los resultados, los
cuales establecen que la energía para el oscilador de esta clase se encuentra
cuantizada, es decir, que los valores permitidos para la energía están dados por:
𝐸𝑛 = (𝑛 + 1⁄2)ℎ𝜈
𝑐𝑜𝑛
𝑛 = 0, 1, 2, 3, …
Donde 𝜈 es la frecuencia de oscilación de la partícula. En la figura 26 se muestran
los algunos estados de energía permitidos.
Figura 26. Primeros 4 estados de energía permitidos para el potencial.
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Observe que para este caso la energía mínima que puede tener el sistema, o
expresado de otra manera, la energía mínima posible para una partícula ligada al
potencial es cuando n=0 y equivale a
𝐸0 =
1
ℎ𝜈
2
que se conoce como la energía del punto cero para el potencial. Este resultado
indica que la partícula no puede tener energía igual a cero.
En la figura 27 se muestra la probabilidad por unidad de longitud de encontrar la
partícula en una región cualquiera en el eje x, además, se muestran algunos
niveles de energía permitidos que fueron mostrados en la figura 26.
Figura 27. Densidad de probabilidad asociada a cada nivel de energía permitido.
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Observe que en la figura 27, existe la probabilidad de encontrar la partícula mas
allá o por fuera de la curva del potencial del oscilador armónico, algo que a nivel
de la física clásica sería imposible de ocurrir.
Lección 36: Átomos con un electrón
A partir de este momento y en las lecciones siguientes vamos a estudiar átomos
con un electrón, para este caso vamos a tener sistemas con dos partículas, cabe
resaltar que hasta el momento solo hemos tratado sistemas con una sola
partícula, para poder tratar esta clase de sistemas debemos considerar el átomo
real como un sistema modelado en el cual el núcleo ahora pasa a tener masa
infinita y su electrón tendrá una masa reducida (ver figura 27) establecida por:
𝜇=(
𝑀
)𝑚
𝑚+𝑀
Donde m y M son las masas reales del electrón y del núcleo respectivamente.
Dentro del sistema modelado se considerará al núcleo del átomo como
estacionario y el único movimiento presente será el del electrón de masa
reducida, esto conduce a la simplificación de nuestro trabajo puesto que nos
consideramos dos partículas en movimiento sino solamente una. Ahora el primer
paso será conocer la ecuación de Schrödinger tridimensional.
Figura 27. A) Átomo real con un solo electrón de masa m y núcleo de masa M. B)
Átomo sistema equivalente, la partícula de masa reducida 𝜇 se mueve alrededor
del núcleo que se encuentra estacionario.
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Lección 37: Ecuación de Schrödinger tridimensional.
Utilizando conceptos anteriormente visto como los operadores, habíamos
establecido que la ecuación de Schrödinger se expresaba en términos del
operador Hamiltoniano como:
|H𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Ahora, si establecemos el operador Hamiltoniano pero tridimensional como:
|H = −
ℏ2
𝜕2
𝜕2
𝜕2
( 2 + 2 + 2 ) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑚 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Entonces este operador actuando sobre la función de onda que depende de las
coordenadas x, y, z, nos da como resultado:
|H𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Entonces
ℏ2
𝜕2
𝜕2
𝜕2
−
(
+
+
) 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
Lo cual obtendríamos
−
ℏ2
𝜕 2 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕 2 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕 2 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
(
+
+
) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑚
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
Que es la ecuación de Schrödinger tridimensional independiente del tiempo.
Ahora si introducimos el operador Laplaciano que esta dado por:
𝜕2
𝜕2
𝜕2
∇ = 2+ 2+ 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
2
Entonces podemos finalmente escribir nuestra ecuación de Schrödinger
estacionaria como:
−
ℏ2
2𝑚
∇2 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
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Esta ecuación es general, ahora vamos a considerarla para nuestro sistema
equivalente, para ello el electrón de masa reducida se encuentra bajo el potencial
de Coulomb dado por:
𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
−𝑍𝑒 2
4𝜋𝜖0 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
Observe que este potencial se encuentra en tres dimensiones x, y, z, y donde e
es la carga del electrón. El término de la raíz que aparece en el denominador es
el radio de separación que hay entre el electrón y el núcleo y Z es él número
atómico. Ahora como la masa es reducida nuestra ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo la podemos escribir en términos de esta nueva masa
así:
−
ℏ2
2𝜇
∇2 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Observe que el único cambio que hicimos fue:
𝑚=𝜇
Y por lo tanto encontramos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
en términos de la masa reducida y las coordenadas rectangulares x, y, z. Para
resolver esta ecuación es necesario transformar las coordenadas rectangulares a
coordenadas esféricas, este cambio nos permite separar la ecuación de
Schrödinger en tres ecuaciones de variables independientes que a usa vez va a
facilitar los cálculos para resolver la ecuación para átomos con un solo electrón,
es decir, dos partículas.
Lección 38: Separación de variables para la ecuación de Schrödinger
tridimensional y estacionaria.
Recordemos que el modelo atómico de Bohr no dio explicación satisfactoria a
acontecimientos como: - transiciones entre ciertos valores de energía permitidos,
- la no radiación electromagnética del electrón cuando cae hacia el núcleo por la
perdida de energía, y – el origen de los espectros atómicos del helio y el litio. El
modelo de Schrödinger si satisface o da explicación a tales fenómenos.
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Retomemos el potencial de la lección anterior y para hacer el cambio de
coordenadas debemos expresarlo en términos del radio, así:
𝑉(𝑟) =
−𝑍𝑒 2
4𝜋𝜖0 𝑟
Donde 𝜖0 es la permitividad del vacío cuyo valor es 8.85X10 -12C2/Nm2. Ahora
vamos hacer le cambio de coordenadas rectangulares a esféricas (La figura 28
muestra la representación del sistema equivalente en coordenadas esféricas y
rectangulares).
Figura 28. Representación del sistema equivalente para un punto P cualquiera de
las coordenadas esféricas y rectangulares.
Las coordenadas esféricas son:
𝑟, radio del vector.
𝜃, el ángulo polar.
𝜙, el ángulo azimutal.
Y están relacionadas por medio de las ecuaciones
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𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃
A partir de estas ecuaciones y de la utilización de algunas técnicas matemáticas
se puede escribir la ecuación de Schrödinger de la forma:
−
ℏ2
2𝜇
∇2 𝜓(𝑟, 𝜃, ∅) + 𝑉(𝑟)𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝐸𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜙)
Donde el Laplaciano es:
∇2 =
1 𝜕 2 𝜕
1
𝜕
𝜕
1
𝜕2
(𝑟
)
+
(sin
𝜃
)
+
𝑟 2 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝑟 2 sin2 𝜃 𝜕𝜙 2
Observe que se encuentra en coordenadas esféricas, entonces la ecuación de
Schrödinger es:
ℏ2 1 𝜕
𝜕𝜓
1
𝜕
𝜕𝜓
1
𝜕 2𝜓
− [ 2 (𝑟
)+ 2
(sin 𝜃 ) + 2 2
] + 𝑉(𝑟)𝜓 = 𝐸𝜓
2𝜇 𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 2
2
Donde
𝜓 = 𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜙)
A partir de la transformación anterior la ecuación tendrá soluciones
productos de funciones de las tres coordenadas, así:
𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑅(𝑟)Θ(𝜃)Φ(𝜙) = 𝑅ΘΦ
Utilizando la expresión anterior y multiplicando por
−
La ecuación la podemos escribir como:
2𝜇𝑟 2
ℏ2
que son
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𝜕
𝜕(𝑅ΘΦ)
1 𝜕
𝜕(𝑅ΘΦ)
1 𝜕 2 (𝑅ΘΦ)
2𝜇𝑟 2
[ (𝑟 2
)+
(sin 𝜃
)+ 2
]
−
𝑉(𝑟)𝑅ΘΦ
𝜕𝑟
𝜕𝑟
sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
sin 𝜃 𝜕𝜙 2
ℏ2
2𝜇𝑟 2
= − 2 𝐸𝑅ΘΦ
ℏ
Y realizando las derivadas parciales tenemos:
𝑑 2 𝑑𝑅
RΦ 𝑑
𝑑Θ
𝑅Θ 𝑑 2 Φ
2𝜇𝑟 2
2𝜇𝑟 2
[ΘΦ (𝑟
)+
(sin 𝜃 ) + 2
] − 2 𝑉(𝑟)𝑅ΘΦ = − 2 𝐸𝑅ΘΦ
𝑑𝑟
𝑑𝑟
sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝜃
sin 𝜃 𝑑𝜙 2
ℏ
ℏ
Ahora si multiplicamos toda la ecuación por
sin2 𝜃
𝑅ΘΦ
Reorganizando tenemos:
sin2 𝜃 𝑑 2 𝑑𝑅
sin 𝜃 𝑑
𝑑Θ
1 𝑑2Φ
2𝜇𝑟 2 2
[
(𝑟
)+
(sin 𝜃 ) +
] + 2 sin 𝜃 [𝐸 − 𝑉(𝑟)] = 0
𝑅 𝑑𝑟
𝑑𝑟
Θ 𝑑𝜃
𝑑𝜃
Φ 𝑑𝜙 2
ℏ
Y reordenándola se tiene:
1 𝑑2Φ
sin2 𝜃 𝑑 2 𝑑𝑅
sin 𝜃 𝑑
𝑑Θ
2𝜇𝑟 2 2
=
−
(𝑟
)
−
(sin
𝜃
)
−
sin 𝜃 [𝐸 − 𝑉(𝑟)]
Φ 𝑑𝜙 2
𝑅 𝑑𝑟
𝑑𝑟
Θ 𝑑𝜃
𝑑𝜃
ℏ2
Observe que hemos podido dividir esta ecuación en dos partes, el primer termino
del lado izquierdo que solamente depende del ángulo azimutal y el segundo
término que solamente depende del radio y del ángulo polar. Ahora, por
conveniencia establecemos que podemos asegurar que ambos miembros de la
igual son iguales a una constante
−𝑚𝑙2
de lo cual tenemos dos ecuaciones:
1 𝑑2Φ
+ 𝑚𝑙2 = 0
Φ 𝑑𝜙 2
Y
sin2 𝜃 𝑑 2 𝑑𝑅
sin 𝜃 𝑑
𝑑Θ
2𝜇𝑟 2 2
−
(𝑟
)−
(sin 𝜃 ) − 2 sin 𝜃 [𝐸 − 𝑉(𝑟)] = −𝑚𝑙2
𝑅 𝑑𝑟
𝑑𝑟
Θ 𝑑𝜃
𝑑𝜃
ℏ
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A esta última ecuación las podemos separar nuevamente de forma tal que cada
término dependa solamente del radio y del ángulo polar, para ello dividimos toda la
ecuación por el factor:
sin2 𝜃
obteniendo
−
1 𝑑 2 𝑑𝑅
1
𝑑
𝑑Θ
2𝜇𝑟 2
𝑚𝑙2
(𝑟
)−
(sin 𝜃 ) − 2 [𝐸 − 𝑉(𝑟)] = − 2
𝑅 𝑑𝑟
𝑑𝑟
Θ sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝜃
sin 𝜃
ℏ
Ahora reorganizando
𝑚𝑙2
1
𝑑
𝑑Θ
1 𝑑 2 𝑑𝑅
2𝜇𝑟 2
[𝐸 − 𝑉(𝑟)]
−
(sin
𝜃
)
=
(𝑟
)
+
sin2 𝜃 Θ sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑅 𝑑𝑟
𝑑𝑟
ℏ2
Observe nuevamente que hemos logrado que la parte izquierda de la igualdad sea
dependiente solamente del ángulo polar y la parte derecha del radio, esto nos
lleva nuevamente a que ambos miembros sean iguales a una constante, la cual
será:
𝑙(𝑙 + 1)
Entonces tenemos que
1 𝑑 2 𝑑𝑅
2𝜇𝑟 2
(𝑟
) + 2 [𝐸 − 𝑉(𝑟)] = 𝑙(𝑙 + 1)
𝑅 𝑑𝑟
𝑑𝑟
ℏ
Y
𝑚𝑙2
1
𝑑
𝑑Θ
−
(sin
𝜃
) = 𝑙(𝑙 + 1)
sin2 𝜃 Θ sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝜃
Observe que finalmente la ecuación de onda de Schrödinger independiente del
tiempo para átomos con un solo electrón se ha separado en tres ecuaciones, las
cuales son:
Ecuación 1, conocida como la ecuación azimutal:
1 𝑑2Φ
+ 𝑚𝑙2 = 0
Φ 𝑑𝜙 2
Ecuación 2, conocida como la ecuación polar:
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𝑚𝑙2
1
𝑑
𝑑Θ
−
(sin 𝜃 ) = 𝑙(𝑙 + 1)
2
sin 𝜃 Θ sin 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝜃
Y la Ecuación 3, conocida como la ecuación radial:
1 𝑑 2 𝑑𝑅
2𝜇𝑟 2
(𝑟
) + 2 [𝐸 − 𝑉(𝑟)] = 𝑙(𝑙 + 1)
𝑅 𝑑𝑟
𝑑𝑟
ℏ
Lección 39: Solución de las ecuaciones (azimutal, polar y radial, para átomos
con un solo electrón)
La ecuación Azimutal: esta describe el comportamiento del sistema equivalente, a
medida que el electrón de masa reducida gira entorno al ele z y las soluciones de
dicha ecuación están dadas por:
Φ𝑚𝑙 (𝜙) = 𝑒 𝑖𝑚𝑙𝜙
Donde
𝑚𝑙 = ±0, ±1, ±2, ±3, …
Donde a la constante 𝑚𝑙 se le conoce como número cuántico magnético.
La ecuación polar: las soluciones aceptables de esta ecuación están dadas por:
Θ𝑙𝑚𝑙 = sin 𝜃 |𝑚𝑙| 𝐹𝑙|𝑚𝑙 | (cos 𝜃)
Donde los números cuánticos orbital y magnético están dados respectivamente
por
𝑙 = 0, 1, 2, 3, ..
𝑚𝑙 = ±0, ±1, ±2, ±3, …
Y
𝐹𝑙|𝑚𝑙| (cos 𝜃)
Son polinomios en términos del coseno, y dependen del valor del número cuántico
orbital 𝑙.
La ecuación Radial: la solución va a estar dada por:
𝑅𝑛𝑙 = 𝑒 −𝑛𝑟 𝑟 𝑙 𝐿𝑛,𝑙 (𝑟)
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Donde
𝐿𝑛,𝑙 (𝑟)
Es un polinomio de Laguerre y el número cuántico total esta dado por:
𝑛 = (𝑙 + 1), (𝑙 + 2), (𝑙 + 3), ..
Observe que a partir de estas tres soluciones se han encontrado tres números
cuánticos, el total, el orbital y el magnético.
Finalmente uno de los resultados más importantes obtenidos por Schrödinger para
átomos con un electrón es que cuando el electrón se encuentra ligado, es decir,
que la energía total sea menor que el potencial, los valores permitidos de la
energía están dados por:
𝐸𝑛 =
−𝜇𝑍 2 𝑒 4
1
= −13,6 2 𝑒𝑉
2
2
2
(4𝜋𝜖0 ) 2ℏ 𝑛
𝑛
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑛 = 1,2,3,4 …
Observe y compare con los resultados del modelo de Bohr se podrá dar cuenta
que este resultado se encuentra de acuerdo con lo predicho de por Bohr.
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Ejercicios
1. Estime la energía del punto cero para un electrón que se encuentra en un
pozo cuadrado infinito de ancho L=2 Å.
2. Para el ejercicio anterior calcule la diferencia de energía ∆𝐸 = 𝐸2 − 𝐸1
3. Encuentre la energía del punto cero para un gramo de arena con masa de
1x10-7 Kg que se encuentra en un pozo cuadrado infinito cuya dimensión
es de 0.001m.
4. Demuestre que el valor esperado de la energía cinética del oscilador
armónico cuántico para el estado n=0 es:
ℎ𝜈
̅=
𝐾
4
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Problemas para la autoevaluación.
1. El potencial de un oscilador armónico simple de masa m esta dado por la
función
𝑥2
𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉(𝑥) = 𝐶
2
Donde C es la constate de fuerza. Demuestre que la función
Ψ(𝑥, 𝑡) =
𝐶
√𝐶𝑚 2 −(𝑖⁄2)(√ )𝑡
−(
)𝑥
𝑚
2ℏ
𝐴𝑒
𝑒
es solución de la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, donde A
pude tomar cualquier valor.
2. Una partícula de masa de 3.8X10-14Kg se mueve (de izquierda a derecha) a
una velocidad de 1.2X10-2m/s chocando contra un potencial escalón de altura
igual al doble de la energía cinética de la partícula, entonces calcule la
penetración de dicha partícula en el potencial.
3. Suponga que un electrón se encuentra confinado en un potencial de pozo
cuadrado infinito que tiene una longitud de 20X10-10m, Calcule los dos primeros
niveles de energía mínimos posibles.
4. Para el ejercicio anterior calcule el momento del electrón para cada nivel
encontrado.
5. Dada la función
2𝑛𝜋𝑥
)
𝐿
Si esta sólo esta definida de 0 a L, es decir que 0<x<L, entonces utilice o
normalice para encontrar el valor de 𝐵𝑛 .
𝜓(𝑥) = 𝐵𝑛 sin(
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DOCUMENTOS IMPRESOS:

MILLER, David. Quantum Mechanics for Scientists and Engineers. Cambridge.
Stanford 2007.

McMAHON, David. Quantum Mechanics. McGraw Hill. USA 2006.

LEVI, A. Applied Quantum Mechanics. Cambridge 2006.

BOEYENS, Jan. Chemistry from First Principles. Springer 2008.

AULETTA, Gennaro. FORTUNATO, Mauro. PARISI, Mauro. Quantum
Mechanics into a Modern Perspective. Cambridge University Press 2009.

FELIX, Julián. Notas para una introducción a La Teoría Cuántica. El cid.
Argentina 2005.

GILLESPIE, D. introducción a La Mecánica Cuántica. Reverté S. A. Barcelona
2002.

ACOSTA, Virgilio. COWAN, Clyde. GRAM, B. Curso de Física Moderna.
Oxford.
DIRECCIONES DE SITIOS WEB:

http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/radiacion/radiacion.htm

http://www.ugr.es/~bosca/WebFCenRed/indexFC.htm

http://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/cuantica/

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica
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

http://www.mecanicacuantica.com/introduction.htm
http://es.scribd.com/doc/25134188/CURSO-FISICA-CUANTICA

http://www.nucleares.unam.mx/~vieyra/cuant1.html
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APÉNDICE A
En este apéndice se obtendrá la solución de la ecuación de Schrödinger para el
oscilador armónico simple. La primera consideración a tener en cuenta es que el
potencial oscilador armónico simple es de la forma:
1
𝑉(𝑥) = 2 𝑘𝑥 2
A-1
A partir de este potencial podemos establecer la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo que describe el movimiento de la partícula y las posibles
energías que ella puede tomar. El problema entonces se reduce a encontrar la
solución de la siguiente ecuación:
ℏ2 𝑑2 𝜓(𝑥)
− 2𝑚
𝑑𝑥 2
𝑘𝑥 2
+(
2
) 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)
Ahora rescribamos la ecuación anterior:
𝑑2𝜓
2𝑚𝐸 𝑚𝑘
+ ( 2 − 2 𝑥2) 𝜓 = 0
2
𝑑𝑥
ℏ
ℏ
Ahora, utilicemos las siguientes cantidades para facilitar los cálculos:
𝛽=
2𝐸
ℏ𝜔
Donde
𝑘
𝜔=√
𝑚
y
𝛼2 =
𝑚𝑘 𝑚2 𝜔2
=
ℏ
ℏ
Donde
𝛽𝛼 =
2𝑚𝐸
ℏ2
De esta forma la ecuación queda de la siguiente manera:
A-2
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𝑑2 𝜓
𝑑𝑥 2
+ (𝛽𝛼 − 𝛼 2 𝑥 2 )𝜓 = 0
A-3
Ahora es necesario hacer un cambio de variables de la siguiente manera:
𝛾 = √𝛼 𝑥
Haciendo uso de la regla de la cadena obtenemos que:
𝑑𝜓 𝑑𝜓 𝑑𝛾
𝑑𝛾
=
= √𝛼
𝑑𝑥 𝑑𝛾 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑2𝜓
𝑑 𝑑𝜓 𝑑𝛾
𝑑
𝑑𝛾 𝑑𝛾
𝑑2𝜓
=
(
)
=
(
𝛼
)
=
𝛼
√
𝑑𝑥 2 𝑑𝛾 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝛾
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝛾 2
Entonces la ecuación A-3 queda de la forma:
𝛼
𝑑2𝜓
+ (𝛽𝛼 − 𝛼𝛾 2 )𝜓 = 0
𝑑𝛾 2
Y realizando la cancelación de términos tenemos que:
𝑑2 𝜓
𝑑𝛾2
+ (𝛽 − 𝛾 2 )𝜓 = 0
A-4
Para resolver esta ecuación diferencial es necesario utilizar el método de
expansión asíntota, es decir, vamos a observar el comportamiento de la función 𝜓
para valores de 𝛾 que tienden al finito tanto para positivos como negativos.
Observe, que si tomamos valores grandes para 𝛾 y como 𝛽 solo depende de E,
entonces podemos despreciar a 𝛽, quedando la ecuación de la forma:
𝑑2 𝜓∞
𝑑𝛾2
− 𝛾 2 𝜓∞ = 0
La solución de esta ecuación es de la forma:
𝜓∞ = 𝑒 𝜎𝛾
2
Ahora, obteniendo la primera derivada obtenemos que:
A-5
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𝑑𝜓
2
= 2𝛾𝜎𝑒 𝜎𝛾
𝑑𝛾
Y la segunda derivada es:
𝑑2 𝜓
2
= (2𝜎 + 4𝜎 2 𝛾 2 )𝑒 𝜎𝛾
2
𝑑𝛾
Ahora sustituyendo este resultado en la ecuación A-5 tenemos que:
2
2
(2𝜎 + 4𝜎 2 𝛾 2 )𝑒 𝜎𝛾 − 𝛾 2 𝑒 𝜎𝛾 = 0
Cancelando los términos homogéneos y despreciando el primer término entre los
paréntesis tenemos:
𝜎2𝛾2 ≈ 𝛾2
De lo que se tiene que:
𝜎=±
1
2
Por lo tanto podemos escribir la solución como:
𝜓∞ = 𝐴𝑒
−
𝛾2
2
+
𝛾2
𝐵𝑒 2
Ahora observe que al evaluar 𝛾 cuando tiende a → ±∞ el segundo término tiende
al infinito por lo tato es necesario despreciarlo. La ecuación ahora toma la forma
de:
𝜓∞ = 𝐴𝑒
−
𝛾2
2
Donde A es una constante arbitraria y por conveniencia la podemos hacer tomar el
valor de 1. A partir de ello el comportamiento asintótico de 𝜓 esta dado por:
𝜓∞ = 𝑒
−
𝛾2
2
A-6
Recuerde que hasta el momento se han tenido en cuenta los valores grandes que
puede tomar 𝛾. Es necesario observar el comportamiento para los valores
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pequeños que puede tomar 𝛾 tanto positivos como negativos. Para ello vamos a
asociar a nuestra función asintótica con una nueva función que tiene como
característica describir el comportamiento adecuado en las regiones cercanas y
regular el comportamiento de la función en las regiones lejanas. Entonces se
propone la función:
𝜓 = 𝜓∞ 𝐻(𝛾) = 𝑒
−
𝛾2
2
𝐻(𝛾)
A-7
Ahora obteniendo la primera y segunda derivada de la ecuación anterior y
escribiendo a 𝐻(𝛾) simplemente como H tenemos que:
𝛾2
𝑑𝜓
𝑑𝐻
−
=[
− 𝛾𝐻] 𝑒 2
𝑑𝛾
𝑑𝛾
Y
𝛾2
𝑑2𝜓
𝑑2 𝐻
𝑑𝐻
−
2
= [ 2 − 2𝛾
+ 𝛾 𝐻 − 𝐻] 𝑒 2
𝑑𝛾 2
𝑑𝛾
𝑑𝛾
Ahora, si sustituimos estos dos resultados en la ecuación A-4 tenemos:
[
𝛾2
𝛾2
𝛾2
𝑑2𝐻
𝑑𝐻
−
−
−
2
2 + 𝛽𝐻𝑒 2 − 𝛾 2 𝐻𝑒 2 = 0
−
2𝛾
+
𝛾
𝐻
−
𝐻]
𝑒
𝑑𝛾 2
𝑑𝛾
Simplificando llegamos a:
𝑑2 𝐻
𝑑𝛾2
𝑑𝐻
− 2𝛾 𝑑𝛾 + (𝛽 − 1)𝐻 = 0
A-8
A este resultado obtenido o a esta ecuación se le conoce como la ecuación
diferencial de Hermite. Ahora utilicemos series de potencia para resolverla así:
∞
𝐻 = ∑ 𝑐𝑚 𝛾 𝑚 = 𝑐0 + 𝑐1 𝛾 + 𝑐2 𝛾 2 + ⋯
𝑚=0
Ahora obteniendo las derivadas tenemos que:
∞
𝑑𝐻
= ∑ 𝑚𝑐𝑚 𝛾 𝑚−1
𝑑𝛾
𝑚=0
𝐴−9
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Y ya que en la ecuación de Hermite tenemos el valor de −2𝛾 multiplica la primera
derivada entonces:
∞
𝑑𝐻
−2𝛾
= ∑ −2𝑚𝑐𝑚 𝛾 𝑚 = 0 − 2𝑐1 𝛾 − 4𝑐2 𝛾 2 − ⋯
𝑑𝛾
𝑚=0
La segunda derivada es:
∞
𝑑2 𝐻
= ∑ (𝑚 + 1)(𝑚 + 2)𝑐𝑚+2 𝛾 𝑚 = 2𝑐2 + 6𝑐3 𝛾 + ⋯
𝑑𝛾 2
𝑚=0
Y finalmente el último término de la ecuación de Hermite es:
∞
(𝛽 − 1)𝐻 = ∑ (𝛽 − 1)𝑐𝑚 𝛾 𝑚 = 𝑐0 + 𝑐1 𝛾 + 𝑐2 𝛾 2 + ⋯
𝑚=0
Ahora, remplazando todos estos resultados en la ecuación de Hermite se tiene:
∞
∞
∞
𝑚
( ∑ (𝑚 + 1)(𝑚 + 2)𝑐𝑚+2 𝛾 ) + ( ∑ −2𝑚𝑐𝑚 𝛾 ) + ( ∑ (𝛽 − 1)𝑐𝑚 𝛾 𝑚 ) = 0
𝑚=0
𝑚
𝑚=0
𝑚=0
Reordenando este resultado:
∞
∑ {(𝑚 + 1)(𝑚 + 2)𝑐𝑚+2 + [(𝛽 − 1) − 2𝑚]𝑐𝑚 } 𝛾 𝑚 = 0
𝑚=0
Ahora, es necesario que el coeficiente de cada potencia de 𝛾 sea cero para que la
ecuación anterior tienda a cero para cualquier valor de 𝛾, de esta forma se hace
que H sea solución de la ecuación de Hermite. A partir de lo anterior se obtiene la
siguiente relación:
2𝑚+1−𝛽
𝑐𝑚+2 = (𝑚+1)(𝑚+2) 𝑐𝑚
A-10
A partir de la ecuación o serie anterior es necesario imponerle ciertos límites ya
que no se debe permitir que la serie sea divergente y para ello es necesario
establecer una cierta potencia máxima dada por:
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𝑚𝑚𝑎𝑥 =
𝛽−1
=𝑛
2
De lo cual
𝛽 = 2𝑛 + 1 =
2𝐸𝑛
ℏ𝜔
Y como
𝜔 = 2𝜋𝜈
Tenemos que:
𝛽 = 2𝑛 + 1 =
2𝐸𝑛
ℎ𝜈
Y despejando 𝐸𝑛 encontramos los valores permitidos de la energía total dados por:
1
𝐸𝑛 = (𝑛 + ) ℎ𝜈
2
𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 0, 1, 2, 3, …
Observe que existe una energía base o energía de punto cero para el potencial
oscilador armónico y esto ocurre cuando n=0. Este resultado nos indica que la
partícula no puede tener una energía igual a cero.