Unidad 4: Campo gravitatorio
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Unidad 4: Campo gravitatorio I Evolución histórica Desde el origen de los tiempos el hombre ha especulado sobre la disposición de los astros en el firmamento. El porqué de esta fascinación es evidente. Los astros proporcionaban un método excelente para la medida del tiempo y las estaciones (tiempos de plantación, crecimiento y cosecha). Durante muchos siglos, las estrellas han servido como método de orientación para los navíos. Los primeros en intentar explicar matemáticamente la estructura del universo fue la escuela pitagórica, que situaba al sol en el centro del Universo (el Uno, el Origen) Más adelante, Aristóteles influyó decisivamente en la concepción del Universo. Aunque algunas de sus observaciones fueron acertadas (para mantener o producir un movimiento se necesita una fuerza) otras en cambio resultaron erróneas (los cuerpos ligeros suben, los pesados bajan o la tierra es el centro del Universo) debido a una observación simplista de la naturaleza. La idea geocéntrica de Aristóteles fue recogida por Ptolomeo (s II dC) que creó un modelo matemático. Sin embargo, necesitó considerar excentricidad en las trayectorias y además, para explicar el movimiento retrógrado de los planetas (algunos parecían volver atrás en sus órbitas), introdujo los Epiciclos. En resumen, el modelo se volvió excesivamente complejo. A pesar de ello se mantuvo vigente durante catorce siglos. Copérnico, a finales del siglo XV, propuso que el sol, por su tamaño, debería tener un papel predominante en el modelo de Universo, la tierra y los demás planetas girarían a su alrededor y además recibirían su luz. El modelo creado resultó explicar fácilmente el movimiento retrógrado de los planetas. Su obra, tal vez por ser médico de profesión, no interesó a los astrónomos de la época. Galileo Galilei, un siglo después mejoró el proceso de fabricación de lentes y construyó un anteojo astronómico que le permitió observar las fases de Venus. Esto le hizo defender a ultranza el sistema Copernicano. En 1610 descubrió los satélites de Júpiter, confirmando que la tierra no era el centro de todo. En 1632 publicó su obra y un año después fue procesado por la Inquisición ante la que tubo que retractarse de la misma bajo amenaza de muerte. (La leyenda dice que tras hacerlo murmuró en voz baja, Eppur si muove, sin embargo se mueve, refiriéndose a la Tierra). Fue confinado en su casa hasta su muerte. Ticho Brahe, fue uno de los mejores observadores alemanes a finales del siglo XVI. Sus datos eran de una precisión increíble para la época. Sin embargo, consciente del poder de la iglesia, construyó un modelo de compromiso: todos los planetas giran alrededor del sol, que a su vez gira alrededor de la tierra. A su muerte, llamó a su discípulo Kepler, al que le cedió todas sus observaciones (“que no digan que he vivido en vano”, cuentan que le dijo) A diferencia de su maestro, Kepler era un firme defensor de la teoría de Copérnico. Le parecía que si algo debía moverse en el universo debía ser en círculos, de geometría perfecta. Durante muchos años, intentó ajustar las órbitas de los planetas, según los datos de Brahe, a estas creencias. Sin embargo, llegó a la conclusión de que todas las órbitas se salían 8' de esquema circular de Copérnico. Tras abandonar sus esquemas mentales (el Universo dejaba de ser perfecto) , un día probó la primera órbita elíptica y los datos comenzaron a encajar. Su legado son las tres leyes que todavía permiten describir el movimiento de los planetas: 1 - Primera ley de Kepler Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol que se sitúa en uno de los focos de la elipse 2 - Segunda ley de Kepler El radio vector Sol-Planeta barre áreas iguales en tiempos iguales 3 - Tercera ley de Kepler El cociente del cuadrado del periodo y el cubo del radio-vector medio es constante para todos los objetos que giran alrededor del Sol. T2 =K R3 4 - Ley de Gravitación Universal La aportación de Newton el el s. XVII zanjó el problema de la estructura del Universo hasta el siglo xx (Relatividad General – Einstein) Unificó dos mundos aparentemente alejados. Consideró que la fuerza que la tierra ejerce sobre la luna es la misma que la que hace caer los objetos sobre la tierra. (La leyenda dice que se le ocurrió cuando le cayó una manzana a la cabeza). Extendió esta fuerza a todos los cuerpos del universo. La formulación actual de la ley de gravitación es: Todos los cuerpos del Universo, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. F =G M⋅m 2 R con G=6,67⋅10−11 N m2 /Kg que en forma vectorial queda como =G⋅M ⋅m r F 3 r En la ley de Newton, las masas de los planetas se consideran concentradas en el centro de masas. Esta ley permitió explicar bastantes fenómenos para los que no se encontraba explicación: el achatamiento de algunos planetas, las mareas, las trayectorias de los planetas, la variación de la gravedad con la altura, … Sin embargo su mayor éxito fue explicar teóricamente la tercera ley de Kepler que tan buenos resultados estaba dando. II Justificación de las leyes de Kepler 1.1) Primera Ley Como el sistema solar se puede considerar un sistema de partículas aislado, se conserva el momento angular L =cte . ∑ M =0 , por tanto Si L es constante, hay un sentido de giro constante y las órbitas deben permanecer siempre planas (perpendiculares a L ) 1.2) Segunda Ley Por otra parte, el módulo del producto vectorial de dos vectores representa el área del paralelogramo que forman, por tanto: ∣r ∧ r ∣=2 S m t Multiplicando los dos miembros por ∣ r r ∧ si ∣ m m → =2 S t t L es constante ∣ r ∧m S =cte t r S → =2 m t t ∣ ∣r ∧v∣=2 m S → t t ∣L∣=2 m S y si consideramos tiempos iguales S =cte . 1.3) Tercera ley Al girar alrededor del Sol, la fuerza que actúa como centrípeta es la gravitatoria. F g =F c → G Mm v2 =m 2 R R → v= G M R si la órbita es casi circular v= 2 r sustituyendo y despejando T T 2 4 2 = 3 R G⋅M como se ve la constante de proporcionalidad sólo depende del objeto alrededor del que se gira, en este caso el Sol. III El campo gravitatorio La ley de Newton funciona perfectamente para predecir las órbitas de los planetas, pero tiene un problema en la interacción a distancia. ¿Cómo es posible que la interacción gravitatoria se transmita entre la tierra y el sol de manera instantánea si la distancia entre ambos es enorme? Para evitarlo, se introdujo el concepto de campo gravitatorio. Cuando una partícula se sitúa en un punto del espacio, deforma el espacio que la rodea, de manera que sobre cualquier otra que se sitúe en sus inmediaciones aparece instantáneamente una fuerza. La magnitud que produce la deformación espacial se conoce como magnitud activa del campo. La magnitud activa del campo gravitatorio es la masa. El concepto de campo, que inicialmente era un artificio matemático, ha resultado con el tiempo uno de los más fructíferos de la física. Una forma muy sencilla de ver el campo gravitatorio es como la fuerza que una masa M crea sobre una partícula de 1 Kg. de masa. De esta manera el vector campo gravitatorio es: g =G M r r3 medido en N/Kg Tanto sobre el campo como sobre la fuerza gravitatoria, se aplican los principios de independencia y superposición de Galileo, vistos en unidades anteriores. Cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas/campos gravitatorios, el efecto resultante total es la suma de los efectos individuales de cada fuerza. 1 - Representación del campo Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo. Estas líneas nos dan una idea de cómo es el campo en una región del espacio. En el campo gravitatorio, las líneas de fuerza no salen de ningún punto (provienen de infinito), pero acaban todas entrando en un cuerpo con masa (sumidero de campo). Para hacer una representación de campo tendremos en cuenta que: El módulo de campo se indica por la densidad de campo. Más líneas, más valor de campo. Dirección del campo, siempre tangente a las líneas en cualquier punto El sentido se indica mediante unas flechas pintadas sobre las líneas. Estas flechas indican hacia dónde se movería una masa situada sobre esa línea. 2 - Campo gravitatorio terrestre En todo lo dicho hasta ahora, se ha considerado las masas como puntuales. El campo sobre un objeto situado en órbita alrededor de la tierra, teniendo en cuenta el radio de la tierra R, será: g =G MT 2 Rh ur donde ur es un vector unitario dirigido hacia el centro del planeta. g es Cuando nos encontramos cerca de la superficie de la tierra h≪ R , el valor de prácticamente constante. g =G MT R 2 =9,8 N / Kg=9,8 m/ s 2 Para cualquier otro objeto celeste, se puede calcula la gravedad en superficie de forma similar. La fuerza gravitatoria sobre cualquier objeto situado cerca de la superficie, se conoce como Peso, y se calcula como P =m⋅g Newtons IV Energía del campo gravitatorio 1 - Campo de fuerzas conservativo Cuando una partícula en un campo de fuerzas se mueve, el trabajo que realizan las fuerzas de campo se calcula como r W = F⋅ r = F⋅d El trabajo total es la suma de los trabajos en cada uno de los tramos. Si los tramos son infinitesimales: B ⋅d r W =∫ F A El valor obtenido a veces depende de la trayectoria seguida, en otros casos, no depende. Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo necesario para mover una partícula de A a B es independiente del camino seguido. Las fuerzas ejercidas por campos conservativos se llaman fuerzas conservativas. 2 - Energía potencial En este tipo de campos de fuerzas, el valor del trabajo realizado para ir de A a B, se puede expresar como la variación del valor de una nueva función entre los dos puntos llamada Energía Potencial. B ⋅d r =E p A−E p B=− E p W =∫ F A Se trata de una magnitud escalar que se mide en Julios (igual que el trabajo) y que es función de la posición que ocupa el cuerpo. 2.1) Conservación de la energía mecánica De una parte, sabemos por el teorema de las fuerzas vivas (o de la Energía Cinética) que W = E c por otra parte, acabamos de definir W =− E p Se puede deducir entonces que E c =− E p → E c E p =0 → E c E p =0 concluimos entonces que E c E p=cte En un campo de fuerzas conservativo, la suma de la energía cinética y la potencial para un cuerpo se conserva. Si el campo de fuerzas no es conservativo intervienen otras fuerzas (como el rozamiento) que disipan energía mecánica generalmente en forma de calor. 2.2) Expresión de la energía potencial gravitatoria Para obtenerla, sustituimos la ecuación de la fuerza gravitatoria en la definición de energía potencial: B B B ∣ M ⋅m M⋅m M⋅m ⋅d r =∫ G M ⋅m W =∫ F dr=−G =−G − −G 2 r A rB rA r A A si comparamos con W =E p A−E p B podemos obtener la expresión de la energía potencial en cualquier punto: E p =−G M⋅m r Julios Como nosotros sólo podemos medir diferencias de energía potencial, se suele considerar el origen de potenciales en infinito, de manera que E p B=0 . De esta manera, La energía potencial en el punto A es el trabajo necesario para traer una masa m desde el infinito al punto A. La energía potencial gravitatoria es negativa, por tanto, a pesar de ser inversamente proporcional a r aumenta con la distancia. Esto resulta más evidente si hablamos de altura sobre la superficie de un planeta. A mayor altura, mayor energía potencial. Cerca de la superficie de la tierra, la energía potencial viene dada por: M⋅m E p =−G r RT h ∣ RT =−G RT M⋅m M⋅m h − −G =GMm =g⋅m ⋅h≈m g h RT h RT RT RT h RT h Expresión ya conocida para la energía potencial cerca de la superficie de la tierra. 2.3) Potencial gravitatorio Se puede definir una magnitud similar a la energía potencial gravitatoria, pero que sólo depende del cuerpo M que crea el campo gravitatorio y no del m que se coloca con objeto de estudiarlo. A esta nueva magnitud la llamaremos potencial gravitatorio. U =−G M r Representa la energía potencial por unidad de masa en ese punto. Se puede establecer también una diferencia de este potencial entre dos puntos: U =U A – U B=−G M M G rA rB En cualquier caso, E p =m U 3 - Partículas en órbita La energía potencial gravitatoria es siempre negativa, sin embargo la energía cinética que un objeto lleva en movimiento es siempre positiva. La energía total define entonces la forma de la trayectoria del satélite. Cuando un cuerpo de masa m gira alrededor de otro (M) en órbita que supondremos circular la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. De manera que: F g =F c → G Mm v2 M 2 M =m → v =G → v= G 2 R R R R Resultado conocido como velocidad orbital. Por otra parte: 1 1 M 2 E c = m v = mG 2 2 R E o= E c E p =G La energía orbital total se obtiene como Mm Mm Mm −G =−G 2R R 2R Se puede observar que la energía en órbita de un satélite en trayectoria circular es de 1 E o= E p 2 Se puede a partir de esto deducir la forma de la trayectoria del satélite: a) Si E total =E o (negativa) la trayectoria es circular b) Si E total E o (y negativa) la trayectoria es una elipse c) Si E total =0 es porque E c =E p el satélite puede escapar del campo siguiendo una parábola. d) Si E total 0 es porque E c E p y el satélite escapa siguiendo una hipérbola 3.1) Energía de satelización Un satélite nunca se lanza desde el centro de un planeta sino desde su superficie. Se conoce como energía de satelización a la energía cinética necesaria para ponerlo en órbita (r) desde ésta (R) . Dado que en la superficie el satélite ya posee energía potencial E total =E o → E C0 E P0=E o → E C0 – G Mm Mm =−G → R 2r E C0 =G M m [ 1 1 – R 2r ] 3.2) Velocidad de escape Es la velocidad necesaria para que al lanzar un satélite desde la superficie de un planeta, éste escape al campo gravitatorio. E C0 =E C → G M m [ ] 1 1 1 – = m v2 → v = 2 G M 1 – 1 R 2r 2 R 2r [ El satélite escapará cuando r → ∞ ve= 2G M =2 g R R ] V Ejercicios I Las leyes de Kepler 1. Demuestra que si la única fuerza que actúa sobre un planeta es la atracción gravitatoria, su trayectoria ha de ser plana. 2. Un planeta está en órbita circular alrededor de una estrella. ¿Es su momento lineal constante? ¿Y su momento angular? Justifica las respuestas. 3. Calcula el momento angular con respecto al centro de la Tierra de un satélite artificial de 850 kg de masa que se mueve en una órbita circular de 9500 km de radio a una velocidad de 6480 m/s Solución: 5,23 ·1013 kg · m2/s 4. La Luna describe alrededor de la Tierra una órbita que se puede considerar circular. Calcula la velocidad de la Luna en su movimiento de traslación alrededor de la Tierra considerando que la distancia media es 384 400 km y que su período es de 28 días. Solución: 998 m/s 5. Un satélite artificial tiene una órbita elíptica de manera que cuando está en el perigeo a 10 500 km de distancia del centro de la Tierra su velocidad es de 7580 m/s. ¿Cuál será la velocidad cuando esté en el apogeo a 15 000 km de la Tierra? Solución: 5306 m/s 6. Un cometa que tiene una órbita muy elíptica alrededor del Sol se mueve a 25 km/s en el perihelio, a una distancia igual a 3 UA. Cuando se encuentra a 6,2 UA se mueve a 15 km/s. ¿Qué ángulo forma entonces la tangente a su trayectoria con el radio vector del cometa? Solución: 54° 7. Neptuno y la Tierra describen órbitas en torno al Sol, siendo el radio medio de la primera órbita treinta veces mayor que el de la segunda. ¿Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita? Solución: 164,32 años 8. Determina la masa del planeta Júpiter sabiendo que el radio de la órbita de su satélite lo es de 421 600 km y que su período de revolución es de 1,769 días. Dato. G = 6,67·10-11 Nm2kg2 Solución: M = 1,90 ·1021 kg 9. Con los datos y la solución del problema anterior, calcula el radio de la órbita del satélite de Júpiter, Callisto, sabiendo que su período de revolución es de 16 689 días terrestres Solución: 1,88 ·109 m 10. Júpiter tiene, al menos, 62 satélites girando a su alrededor. El más próximo, Metis, a 128000 km del centro del planeta. Con los datos de Júpiter dados en la tabla (en unidades del SI), calcula su período de revolución. Radio Masa Distancia media al Sol Período 6,98 · 107 1,90 · 1027 7,78 · 1011 3,74 · 108 Solución: T = 7h 4m 11. Calcula la constante de la tercera ley de Kepler para Júpiter y para la Tierra y relaciónalas con sus masas respectivas. Datos. M t= 5,98•1024 kg; Mj = 1,9•1027 kg Solución: K, = 3,12 • 10-16 s2 m-3 KT = 9,90 •10-14 s2m-3 12. Se llama velocidad areolar al cociente entre la superficie comprendida por la trayectoria y dos radios vectores de un planeta y el tiempo transcurrido: v A= dA dt 13. Esta velocidad es, según la segunda ley de Kepler, constante. Calcula la velocidad areolar de la Tierra en cualquier momento sabiendo que en el perihelio está a 1,475•1011 m y que su velocidad es entonces de 30244 m/s. Solución: 2,230•1015 m/s 14. Con los datos del problema anterior, calcula la velocidad del movimiento de traslación de la Tierra en el afelio cuando está a 1,526 • 10 11 m y compárala con la velocidad correspondiente a una órbita circular. Solución: va = 29 233 m/s vcircular = 29 800 m/s 15. Considera la Tierra y Marte en oposición, es decir, alineados con el Sol y situados de forma que la Tierra esté entre el Sol y Marte. Calcula el ángulo que formarán los radios vectores de la Tierra y Marte al cabo de un año terrestre. Solución: 191,5º 16. Partiendo de la posición inicial del problema anterior calcula el tiempo que transcurrirá hasta que los planetas estén en conjunción, alineados y con el Sol entre ambos planetas. Solución: 1,068 años 17. En un periódico de información general dan los datos de la órbita de un satélite artificial que está girando alrededor de la Tierra. En él se dice que cuando está en el perigeo a "7000 km de la Tierra" su velocidad es de 8500 m/s y cuando está en el apogeo a "17 000 km de distancia" su velocidad es de 4860 m/s 1. Cuando hablan de distancia a la Tierra, ¿a qué distancia se refieren? ¿A la superficie terrestre o al centro de la Tierra? 2. ¿Son correctos los datos dados? ¿Por qué? 18. Con los datos del ejercicio anterior, indica cuál debería ser la velocidad en el perigeo si se estuvieran refiriendo a distancias al centro de la Tierra Solución: 11 803 m/s Radio Masa Radio de su órbita Período Tierra 6,37· 106 5,98· 1024 1,5.1011 3,16· 107 Luna 1,74· 106 7,35· 1022 3,84· 108 2,36· 106 19. Como consecuencia de las reacciones nucleares que ocurren en el interior del Sol se produce una pérdida de masa. Cada segundo, 7 · 10 11 kg de hidrógeno se transforman en 6,5·1011 kg de helio y el resto, 5·10 10 kg se transforman en energía. ¿Cómo evolucionarán el radio de la órbita terrestre y el período de su movimiento? Si se mantiene el ritmo de pérdida de masa y el radio de la órbita terrestre, calcula cuál será la duración del año terrestre dentro de un millón de años. Solución: 1,0000004 años actuales 20. Si se extraen logaritmos de la tercera ley de Kepler resulta que: 2 log T = log K + 3 log r Realiza una tabla con los valores de los logaritmos de los períodos y distancias al Sol de los planetas y después representa los valores en una gráfica log T - log r. Comprueba que se trata de una recta de pendiente 3/2 y ordenada en el origen -9,26. Cuerpo T(s) log T r(m) log r Mercurio 7,6· 106 6,88 5,79· 1010 10,76 Venus 1,9· 107 1,08· 1011 Tierra 3,2· 107 1,50· 1011 Marte 5,9· 107 2,28· 1011 Júpiter 3,7· 108 7,78· 1011 II Ley de Gravitación Universal 1. Calcula la fuerza con la que se atraen la tierra y la luna y comprueba que esta fuerza, actuando como centrípeta, hace que la luna gire alrededor de la tierra en un movimiento circular uniforme cuyo periodo es aproximadamente 28 días. Solución: 1,98 · 1020 N 2. Calcula el valor con el que la tierra atrae a un cuerpo de un kilogramo de masa. Interpreta el resultado obtenido. 3. Antes de que Cavendish determinara el valor de la constante de gravitación universal, se pudo calcular la masa relativa (con respecto a la Tierra) del Sol, Marte, Júpiter y Saturno, planetas conocidos que disponían de satélites naturales observables desde la Tierra con los telescopios de la época. Atendiendo a esas consideraciones, calcula la masa relativa de Marte con respecto a la Tierra, sabiendo que la distancia Tierra-Luna es d TL = 3,84 · 108 m y el período lunar es T L = 2,36 · 106 s, y que Phobos, uno de los satélites marcianos, tiene un período de 7 horas, 39 minutos y 30 segundos, y una órbita de 9380 km de radio 4. La masa de la Luna es de 7,35 · 10 22 kg y la de la Tierra de 5,98 · 10 24 kg. La distancia media de la Tierra a la Luna es de 3,84 · 10 8 m. Calcula: a) El período de giro de la Luna alrededor de la Tierra. b) La energía cinética de la Luna. c) A qué distancia de la Tierra se cancela la fuerza neta ejercida por la Luna y la Tierra sobre un cuerpo allí situado. Dato. G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2 5. Tres masas puntuales, m1 = 1 kg, m2 = 2 kg y m3 = 3 kg, están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado m, en una región del espacio en la que no hay ninguna otra masa. Considerando el carácter vectorial de la fuerza de atracción entre las masas, calcula el módulo de la fuerza de atracción gravitatoria que experimente la masa m1. Dato. G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2 6. Calcula la fuerza con que se atraen dos esferas de plomo de 1 m de diámetro si están en contacto. Dato. Densidad del plomo = 11 400 kg m –3 7. Dos estrellas gemelas de masa igual a 10 veces la masa de nuestro Sol y distantes una de otra 8 · 1012 m se encuentran girando alrededor del centro de masas del sistema formado por ambas. Calcula el período de su movimiento de giro. Dato: masa del Sol = 1,98 · 1030 kg 8. Calcula la fuerza con que una persona de 70 kg de masa colocada sobre la superficie terrestre atrae a la Tierra 9. Dos esferas de una tonelada de masa están en contacto. Si la atracción gravitatoria entre ellas es 0,0001 N, ¿cuál es su densidad, considerada uniforme? 10. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de 2 m, según indica la figura. Una tercera masa, m’ = 0,2 kg, se suelta desde el reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las une (AB = 1 m). Si no actúan más que la acciones gravitatorias entre estas masas, determina: a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m’ en la posición A. b) Las aceleraciones de la masa m’ en las posiciones A y B. 11. Dibuja en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcula el valor de la fuerza resultante sabiendo que la distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84 · 108 m. Datos. G = 6,67 · 10 –11 N m2 kg –2; MT = 5,98 · 1024 kg; ML = 7,35 · 1022 kg III Campo Gravitatorio. Campo Gravitatorio Terrestre 1. En los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de altura, se encuentran tres masas puntuales de 200, 400 y 200 kg, respectivamente. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en el baricentro del triángulo. 2. En los puntos (0, 2), (0, –2) y (–2, 0) existen tres masas iguales de 100 kg cada una. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en el origen de coordenadas. 3. Si se pudiera perforar un pozo de 100 km de profundidad, ¿cuánto valdría la intensidad del campo gravitatorio terrestre en su interior? 4. Calcula a qué profundidad de la superficie terrestre el campo gravitatorio es igual al existente a una altura igual al radio terrestre. 5. Una masa puntual de 250 kg está situada en el origen de un sistema de coordenadas. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en el punto P(3, 5, –4). 6. De un campo gravitatorio se sabe que lo ha creado una masa puntual situada en uno de los ejes de coordenadas y que en el punto P(0, 8) el vector g =(−9 ⃗ i – 16 ⃗ j)⋅10−10 N/kg. Calcula la posición y el valor de la masa que lo ⃗ genera. 7. Dos masas puntuales e iguales se encuentran en vértices opuestos, A y C, de un cuadrado de 2 m de lado. Calcula el valor del campo en los otros vértices del cuadrado. 8. Calcula el campo gravitatorio creado por el Sol en los puntos de la órbita terrestre. 9. Calcula la altura, expresada en función del radio terrestre, en la que la gravedad se reduce a la mitad. 10. Calcula la profundidad, expresándola en función del radio terrestre y suponiendo que la Tierra es una esfera homogénea, a la que la gravedad se reduce a la mitad. 11. El peso de una nave espacial en un punto A del campo gravitatorio terrestre es 10 veces mayor que en otro B. ¿Cual es la relación de sus distancias al centro de la Tierra? 12. Una masa cae desde 600 m de altura y con una aceleración de 5,85 m s –2 sobre la superficie de un planeta que tiene un radio R P = 0,27 RT. Calcula la masa del planeta en relación con la de la Tierra. IV Campo Conservativo. Energía Potencial. Potencial Gravitatorio 1. En una zona del espacio donde está establecido el campo de fuerzas uniforme con ⃗=3 ⃗ F i + 9⃗ j , se mueve una partícula desde el punto A(2, 3) al punto B(6, 2). Calcula la diferencia de energía potencial que experimenta en el traslado. 2. Si el origen de energía potencial del ejercicio anterior se sitúa en el punto (0, 0), calcula las energías potenciales en A y en B. 3. En los vértices A, B y C de un cuadrado de 10 m de lado, existen masas de 10, 20 y 30 kg, respectivamente. Calcula el trabajo que hay que hacer para desplazar una masa de 0,1 kg desde el centro del cuadrado al vértice D. 4. Resuelve el ejercicio anterior empleando ahora el concepto de potencial gravitatorio. 5. Sabiendo que la distancia media de la Tierra a la Luna es de 3,84 · 10 8 m, calcula el potencial gravitatorio en el punto situado entre la Tierra y la Luna en el que g ⃗=0 . 6. El campo gravitatorio, en ausencia de rozamiento, es conservativo. Calcula el trabajo necesario para subir 12 m una carga de 200 kg con una grúa que la iza verticalmente o deslizándose por un plano inclinado de 20º. 7. Una caja cúbica de 2 m de arista está situada en un campo de fuerzas ⃗=2 ⃗ F i+ 3⃗ j−4 ⃗ k N en el sistema de coordenadas definido por sus aristas. Comprueba que el campo es conservativo calculando el trabajo que se realiza para llevar la partícula desde el origen (0, 0, 0) a la esquina opuesta (2, 2, 2) directamente y siguiendo las aristas. 8. En un campo conservativo creado por una fuerza constante de módulo 20 N, el trabajo realizado para ir desde el punto (2, 3, 4) al punto (6, 3, 1) es 80 J. Calcula el ángulo que forma la trayectoria con la fuerza. 9. Calcula el trabajo necesario para llevar una partícula de 2 kg de masa desde el punto (3, 2, 5) al punto (2, –5, 3) en el campo gravitatorio creado por una esfera de 5000 kg que ocupa el origen de coordenadas. 10. Calcula la energía potencial de una masa de 5 kg que se encuentra en el centro de un cuadrado de 3 m de lado cuyos vértices están ocupados por masas de 100, 200, 300 y 400 kg. 11. 4.29 Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado están ocupados por masas de 100 kg. Calcula el trabajo necesario para alejar sucesivamente las masas desde los puntos que ocupan hasta el infinito. 12. ¿Desde qué altura hay que soltar un cuerpo sobre la superficie lunar para que llegue a ella con la misma velocidad que llega a la Tierra cuando se suelta desde 200 m? 13. En la representación gráfica del campo gravitatorio creado por una masa puntual, la línea de VG = –6 · 107 J kg–1 es una circunferencia de 8 cm de radio. Calcula el radio y dibuja las líneas correspondientes a los potenciales: VG = (–2, –4, –8, –10, –12) · 10 7 J kg–1 14. Un planeta de las mismas dimensiones que la Tierra tiene una densidad media el doble que la de la tierra. Calcula: a) ¿A qué distancia de su centro el campo gravitatorio es igual al de la superficie terrestre? b) ¿A qué altura sobre su superficie el potencial gravitatorio es igual al de la superficie terrestre? 15. Un cuerpo se lanza desde la Tierra con una velocidad igual a la mitad de la velocidad de escape. a) ¿Hasta qué altura subirá? b) Si lo que se pretende es ponerlo en órbita circular, ¿cuál será el radio de la misma? 16. Calcula el potencial gravitatorio en un punto situado a 390 km de altura sobre la superficie terrestre. 17. Se quiere lanzar una sonda de 900 kg de masa que llegue hasta los 200 km de altura para realizar algunos experimentos en microgravedad durante su caída. Calcula la velocidad inicial que hay que darle y la energía necesaria. 18. Calcula la diferencia de potencial gravitatorio entre la superficie terrestre y un punto a 350 m de altura sobre la Tierra. V Satélites Artificiales 1. Calcula si una nave espacial lanzada desde la Luna con la velocidad de escape lunar escaparía de la atracción de la Tierra. 2. La masa del sistema solar está prácticamente concentrada en el Sol. Calcula la velocidad con la que hay que lanzar una nave desde la Tierra para que escape del sistema solar. 3. Indica el tipo de trayectoria que describe una nave espacial de 100 kg de masa situada a 15 000 km del centro de la Tierra y cuya velocidad es de 7293 m s –1. Dato. MT = 5,98 · 1024 kg 4. Un satélite artificial de 800 kg de masa describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra que ocupa uno de sus focos. En el perigeo, a 630 km de altura, su velocidad es de 9,24 · 10 3 m s–1. Calcula la velocidad cuando esté en un punto a una distancia de 17 630 km de la superficie terrestre. 5. La densidad media de Júpiter es d J = 1,33 · 103 kg m–3, y su radio medio, RJ = 7,15 · 107 m. Calcula: a) La aceleración de la gravedad en su superficie. b) La velocidad de escape. 6. Una nave espacial en órbita alrededor de la Luna lanza en sentido contrario a su marcha y con la misma velocidad una sonda de 90 kg, con el fin de que choque contra la superficie lunar. Si la nave está a 200 km de altura, ¿con qué velocidad llegará la sonda al suelo lunar? 7. Se llama agujero negro a los cuerpos celestes en cuya superficie la velocidad de escape es igual o superior a la velocidad de la luz. Calcula la densidad que debe tener un cuerpo celeste de 10 km de diámetro para que sea considerado un agujero negro. 8. La nave espacial Discovery describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una velocidad de 7,62 · 103 m s–1. Calcula el radio y el período de su órbita. 9. El primer satélite artificial, Sputnik I, tenía un período de 5770 segundos. Calcula el radio de su órbita utilizando únicamente los valores de g 0 = 9,81 N kg–1 y RT = 6,36 · 106 m. 10. Un planeta de radio RP = 5000 km tiene a 200 000 km de distancia un satélite que gira a su alrededor con un período de 15 días y 7,17 horas. Calcula la velocidad de escape desde su superficie. 11. Un satélite de 200 kg está en órbita a 500 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad lineal con la que se mueve. b) La energía necesaria para ponerlo en órbita. 12. Un sistema meteorológico consta de 24 satélites que orbitan la Tierra a 1000 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcula la velocidad y el período de estos satélites. 13. Se llama primera velocidad cósmica a la velocidad necesaria para mantener un satélite en órbita rasante sobre la superficie del planeta. Calcula la primera velocidad cósmica de la Tierra. 14. ¿Es posible poner una nave espacial en órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 8,5 km s–1? 15. Un satélite artificial de 520 kg de masa está en órbita terrestre a 600 km de altura. Calcula, utilizando solamente los valores g 0 = 9,81 N kg–1 y RT = 6,36 · 106 m, su energía mecánica y su momento angular con respecto al centro de la Tierra. 16. Calcula el radio y la masa de un asteroide esférico de densidad similar a la de la Tierra, 5500 kg m–3, para que un hombre pueda poner en órbita circular a su alrededor una piedra de 100 g, lanzándola horizontalmente con la mano a 40 m s –1 17. Demuestra que la energía que hay que comunicar a un satélite de masa m que se encuentra en una órbita de radio Rórb 1 para colocarlo en otra de radio Rórb 2 es: E= GMT m 1 1 – 2 Rórb1 Rórb2 ( ) 18. Para hacer descender una nave espacial cuando está en órbita a 50 000 km del centro de la Tierra, se le hace perder, mediante retrocohetes, la mitad de su energía cinética. Calcula el radio de la nueva órbita. 19. ¿A qué distancia de la Tierra la velocidad orbital es igual a la mitad de la velocidad de escape en su superficie? 20. A un satélite que está en órbita circular de radio Rórb 1 se le aumenta, mediante los cohetes propulsores, la velocidad en un 10%, y después, mediante cohetes de maniobra que no modifican su energía cinética, se corrige su trayectoria para colocarlo en otra órbita de radio Rórb 2. Calcula la relación entre ambos radios 21. Repite el problema anterior para un aumento de la velocidad del 41,42%. 22. Una empresa de telecomunicaciones quiere poner una serie de satélites en órbita con un período de 6 horas. Para ello, puede colocarlos directamente en órbita desde la Tierra o bien transportarlos en el transbordador espacial hasta la Estación Espacial Internacional (ISS), a 390 km de altura, como paso intermedio, y lanzarlos desde allí. Calcula la energía de satelización necesaria en ambos casos si la masa del satélite es de 650 kg. 23. Repite el ejercicio anterior pero ahora considerando que el satélite, cuando se lanza desde la Tierra, lleva, como elementos de protección y propulsión, una masa adicional de 2200 kg, que no lleva cuando viaja en las bodegas del transbordador. 24. Dos trozos de chatarra espacial chocan a 100 km de altura sobre la superficie terrestre. Como consecuencia del choque quedan instantáneamente en reposo. Calcula la velocidad con la que llegarían a la Tierra si la atmósfera no los frenara. VI Forma y Energía de las trayectorias 1. Una nave espacial de 900 kg de masa se encuentra en órbita elíptica alrededor de la Tierra de manera que en el apogeo tiene una velocidad v a = 7,28 · 103 m s–1 y que es igual a 0,8 v 0, siendo v0 la velocidad correspondiente a una órbita circular. Calcula la energía mecánica de la nave en el apogeo. 2. El módulo lunar despegó de la Luna para acoplarse a la nave Apolo XI que orbitaba a 110 km de su superficie. Determina su velocidad de satelización 3. Los cometas tienen alrededor del Sol órbitas elípticas muy excéntricas. Un cuerpo celeste que se mueve en las proximidades del Sol tiene, cuando está a 2 UA, una velocidad de 3,5 · 104 m s–1. ¿Es un cometa? Dato. 1 UA = 1,50 · 1011 m 4. Phobos, satélite de Marte, tiene un período T = 27 600 s y un radio orbital de 9400 km. Sabiendo que el diámetro de Marte es 6780 km, calcula la densidad de Marte. 5. Un trozo de chatarra espacial, inicialmente en reposo y muy alejado de la Tierra, es atraído por el campo gravitatorio terrestre. a) ¿Qué velocidad llevará en el punto A de coordenadas (3, 3, –3) · 10 7 m con respecto al centro de la Tierra? b) Posteriormente pasó por B, de coordenadas (1, –1, 5) · 10 7 m. ¿Qué velocidad llevaba entonces? c) La trayectoria entre A y B, ¿a qué cónica pertenece? VII Problemas De Síntesis 1. En una región del espacio suficientemente alejada para que se pueda considerar que el campo gravitatorio externo es nulo, se fijan dos masas puntuales MA y MB de 4000 y 9000 kg, respectivamente, separadas por una distancia de 25 m. Otra masa m de 0,1 kg se encuentra libre y en reposo en un punto P del campo creado por ambas. a) ¿Por qué han de estar fijas MA y MB? b) ¿Dónde se encuentra el punto P? c) ¿Cuánto vale el potencial gravitatorio en P y la energía potencial de la masa en ese punto? d) Si mediante un pequeño impulso se empuja m hacia la masa MB, ¿qué aceleración tiene y qué velocidad lleva cuando esté a 5 m de ella? e) ¿Cuánto vale la suma de todas las fuerzas que actúan sobre las tres partículas? 2. La estrella S tiene, en una órbita elíptica de eje mayor igual a dos veces el eje menor, al planeta P. En el perigeo, la distancia de P a S es 1 UA y la velocidad es v OP =√ 1,2 v O , en la que vO es la velocidad orbital correspondiente a una órbita circular a esa distancia. Calcula: a) La distancia a S en el apogeo. b) La velocidad vOA de P en el apogeo. c) La velocidad vOM de P en los puntos M en los que la trayectoria corta al eje menor de la órbita.
