Campo gravitatorio

Europa
(Satélite de Júpiter)
La hipótesis de vida en Europa no es nueva. Durante el mes de marzo de 1979, Richard C. Hoagland publicó
en la revista "Star & Sky" sus ideas sobre la posibilidad de vida en el satélite, luego de la misión del Voyager
2. Los periódicos: Cleveland Press de Ohio y The Plain Dealer reseñaron sobre el artículo publicado. Hoagland
proponía que en Europa existía un inmenso océano bajo la capa de hielo que cubría el satélite. Sus ideas
encontraron resistencia en la comunidad científica, excepto por Arthur C. Clark, inventor del satélite de
comunicaciones y famoso escritor de ciencia ficción y además por el Dr. Robert Jastrow, Director del Instituto
Goddard. Clark señaló que las ideas de Hoagland fueron utilizadas en el desarrolló de su novela " 2001:Odisea
Espacial ". Es curioso que luego de dos décadas, los hallazgos de la sonda Galileo, le den validez a las
hipótesis de Hoagland. ¿Le dará la razón también sobre la posibilidad de vida?
Larry Klaes ha propuesto el concepto de IcePick para la exploración organizada del océano de Europa. Se
rumora , que en la Universidad de Washigton (Seattle) un equipo de oceanógrafos está trabajando en un robot
a escala normal para que explore los océanos de Europa durante una misión oficial de la NASA. ¿ Se
encontrará vida? ¿Nuevas formas? El Siglo XXI, será la plataforma de las exploraciones espaciales de nuevos
mundos. Este nuevo siglo implicará grandes cambios en la mentalidad humana, dado que las nuevas misiones
enfrentarán al hombre con lo inevitable: su herencia estelar...
http://home.coqui.net/pamp/europah1.htm
Teoría
Página 1 de 33
Gravitación
GRAVITACIÓN
1.- Introducción
A) Concepto de Campo
El concepto de campo surge de la necesidad de describir las interacciones que tienen lugar
entre las partículas. Decimos que en una región del espacio existe un campo, «escalar o vectorial»,
cuando en todos y cada uno de sus puntos hay definida una determinada propiedad escalar o
vectorial.
Los campos vectoriales se representan por líneas de fuerza o líneas vectoriales, que son
líneas tangentes en cada punto a la dirección del vector estudiado en ese mismo punto.
Los campos escalares se representan por zonas equiescalares, en cuyos puntos la magnitud
escalar tiene el mismo valor.
Dentro de los campos vectoriales centraremos nuestro estudio en los campos de fuerzas.
El campo de fuerzas nace de la “ existencia “ de una fuerza en una región del espacio
debida a la presencia de un agente físico (“productor“), éste podría ser una carga o una masa.
Decimos que existe un campo de fuerzas en un lugar del espacio si, al colocar en él otro agente
físico (“testigo“ o de “prueba“), éste queda sometido a una fuerza.
Se define una intensidad del campo (función vectorial) como la fuerza por unidad de agente
testigo:

I 

F
u
B) Flujo
Dentro del estudio de los campos vectoriales hay un concepto que necesitamos conocer: el
flujo.
Definimos el flujo a través de una superficie (S) como el número de líneas vectoriales que
atraviesan a otra superficie (S’) proyección de S en la dirección perpendicular a las líneas del
campo. El número de líneas a dibujar es arbitrario, en principio, y como criterio se toma que el
número que atraviesa a la unidad de superficie normal a la dirección de las mismas, coincida con el
módulo del vector intensidad.

 I .S
Debido a que la superficie puede ser irregular y a que el vector intensidad del campo puede
variar, hemos de definir un flujo elemental:
   
d  I .d S + S .d I
Para calcular el flujo a través de una determinada superficie, y en un intervalo de tiempo,
hemos de realizar la integral:
   
 Superficie, Intervalo de tiempo  Superficie,Intervalo de tiempo I .d S + S .d I
El cálculo de este flujo es sencillo en situaciones de cierta simetría como esferas o planos.
C) CAMPOS CONSERVATIVOS
Nosotros vamos a estudiar campos de fuerzas y a partir de ahora nos vamos a referir sólo y
exclusivamente a ellos.
Decimos que un campo de fuerzas es conservativo cuando se cumple cualquiera de las tres
afirmaciones siguientes (equivalentes):
** El trabajo realizado por el campo (la fuerza) a través de una trayectoria cerrada es nulo.
Teoría
Página 2 de 33
Gravitación
** El trabajo realizado por el campo (la fuerza) depende sólo de los puntos inicial y final del
desplazamiento y no del camino seguido
** El trabajo que realiza el campo en un desplazamiento, A B, se puede calcular como la
variación de cierta magnitud entre los puntos inicial y final:
E PA  E PB ( = E P )
Tomando esta última definición 
B  
W Campo A  B   A F .d r  E P  E PB  E PA   E PA  E PB  E PA (respecto de B)
EP
recibe el nombre de energía potencial (magnitud física escalar que, como podemos
observar de su definición, se mide en Julios (J)).
Un campo de fuerzas conservativo también se puede representar mediante otra magnitud
física escalar, llamada potencial del campo, que se define como la Energía potencial por unidad de
EP
magnitud activa (agente físico colocada en ese punto)  V  u . En los campos gravitatorio y
eléctrico u es respectivamente la masa (m) y la carga eléctrica (q).
2.- LEYES DE KEPLER
El astrónomo alemán J. Kepler (1571-1630) gracias a las completísimas anotaciones de
Tycho Brahe y a sus propias observaciones modificó el modelo heliocéntrico del astrónomo polaco
Copérnico (1473-1543) enunciando tres leyes sobre el movimiento de los planetas:
1ª.- Todos los planetas describen órbitas elípticas planas alrededor del Sol situado éste en uno
de sus focos.
2ª.- La recta que une al Sol con cualquiera de los planetas barre áreas iguales en tiempos
iguales para cualquier posición del planeta (velocidad areolar constante).
3ª.- El cuadrado del período del movimiento de un planeta es directamente proporcional al
cubo de su distancia al Sol.
T2
r 3  k(constante)
Las Leyes de Kepler son válidas tanto para el movimiento de los planetas alrededor del Sol
como para el movimiento de los satélites alrededor de cualquier planeta (cambia la constante de
proporcionalidad).
3.- LEY DE NEWTON. GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Isaac Newton (1642-1727), usando las leyes de Kepler, encontró la expresión de la fuerza que
debía provocar el movimiento de los planetas. La Ley de Newton se puede enunciar como sigue:
«Dos masas puntuales separadas una distancia r se atraen, con una fuerza que es directamente
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre
ellas.»
F
Teoría
GMm
r2
Página 3 de 33
Gravitación
Teniendo en cuenta el carácter vectorial de la fuerza, que es atractiva y usando un vector
unitario, r̂,saliente de la masa “ creadora “ la fuerza toma la forma:
 GMm
F   r 2 r̂
G llamada constante de gravitación universal, siempre tiene el mismo valor y éste es
6,67.10-11 N.m²/Kg²
El valor de esta constante, muy pequeño, hace que las fuerzas gravitatorias sean pequeñas,
si las comparamos con otras fuerzas.
4.- INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO
Si la masa es el agente sensible al campo gravitatorio, definimos intensidad del campo
gravitatorio en un punto, g, como la fuerza con que una masa, M, atrae a la masa unidad colocada
en ese punto.
Matemáticamente y teniendo en cuenta que las masas son positivas y que la intensidad, g , es

un vector  g 

F
m 

g 
GM
r2
r̂
Para calcular el campo en un punto debido a una distribución de masas puntuales (se pueden
contar) utilizamos el Principio de Superposición que afirma que: «El campo que crean en un
punto varias masas puntuales es la suma vectorial de los campos que crea cada una de ellas por
separado». Esta afirmación es evidente, si aceptamos que la fuerza sobre una masa testigo es la
suma de las fuerzas ejercidas por cada una de las masas de la distribución (superposición de
fuerzas). Matemáticamente:
 n 
g  gi
i1
5.- TEOREMA DE GAUSS
El flujo del vector intensidad del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada
es igual a la masa total encerrada dentro de la superficie multiplicada por -4 G.
 
   S.cerrada g .d s  4GMencerrada
El teorema de Gauss se usa para calcular intensidades de campos gravitatorios debidos a
distribuciones de masa con simetría de manera que el cálculo de la integral sea sencillo.
Teoría
Página 4 de 33
Gravitación
6.- ENERGÍA POTENCIAL Y POTENCIAL DEL CAMPO GRAVITATORIO
 Campo con sólo dos masa puntuales: la creadora, M y la “sufridora”, m.
El campo gravitatorio es un campo conservativo debido a que la fuerza gravitatoria es central

(es del tipo F g
MECÁNICA).
 fr r ). (SI SÓLO ACTÚA ESTA FUERZA SE CONSERVA LA ENERGÍA
B

WCampo AB   A  GMm
r 2 r .d r
Teniendo en cuenta:


r  r r ; d r  dr r   dr r  rd r ;
 r . r  1 y d r . r   2 r . d r  0 )
La parte vectorial nos queda como

r .d r  dr
Si sustituimos en la integral obtenemos:
WCampo AB   A  GMm
r 2 dr 
B
GMm
rB

GMm
rA
  GMm
r 
B
A
El trabajo anterior se ha obtenido como una diferencia y éste no depende del camino seguido.
Se puede definir la energía potencial gravitatoria, de la masa m en el campo creado por M,
como sigue:
E Pg   GMm
r
Esta expresión también es la energía potencial gravitatoria de la masa M en el campo creado por m.
V g   GM
r
Y el potencial gravitatorio en el punto (función escalar de punto que sólo depende de la masa creadora):
[tomamos como referencia r = ].
.
Por lo tanto W Campo AB  E PgB  E PgA   E PgA  E PgB 
Se puede definir la deferencia de energías potenciales gravitatorias entre dos puntos (A y B),
E PgA  E PgB , como el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al desplazarse la masa m de
A a B.
 
 
GMm
GMm
Si calculamos  r F g .d r   r  GMm
dr  GMm
  r A   r A , observamos que nos sale la
r2
A
A
energía potencial gravitatoria en el punto A (referencia para r en el ) .
Así, podemos definir la energía potencial gravitatoria en un punto y para una masa m como el
trabajo que realiza la fuerza gravitatoria sobre m en el desplazamiento punto- (o el realizado por
la fuerza gravitatoria para trasladar a m desde el infinito hasta el punto cambiado de signo o el
trabajo realizado por nosotros, realizando una fuerza justo opuesta a la gravitatoria, si m se traslada
desde el infinito hasta el punto).
Por la definición, “convenio “, que hemos hecho de la E Pg , ésta es nula en puntos
infinitamente alejados de la masa creadora. Para esta Energía Potencial la referencia está en el
infinito (  ).
E Pg    GMm
 0
Teoría
Página 5 de 33
Gravitación
TODO LO DICHO PARA LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA ES VÁLIDO
PARA EL POTENCIAL GRAVITATORIO (Éste es energía potencial gravitatoria por unidad
de masa). Se mide en J/Kg.
 Campo con más de dos masas puntuales.
Si el campo gravitatorio está creado por varias masas puntuales, M i:
E P m  Gm 
Mi
r i (energía
potencial gravitatoria de m en el campo creado por todas las
masas Mi). ri es la distancia entre las masa m y Mi
U g  G 
Mi
r i (potencial
gravitatorio en un punto de un campo creado por todas las masas M i)
 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA DE UN SISTEMA DISCRETO DE
MASAS PUNTUALES.
Ésta se define como el trabajo que realizaría el campo gravitatorio, si las masas se alejaran
entre sí una distancia infinita (referencia el infinito):
E P g sistema   12 G 
ij
Para dos masas puntuales:
m i .m j
r ij
(rij es la distancia entre las masas mi y mj)
E P g m1,m2  G
m 1 .m 2
r 12
(coincide con la energía potencial gravitatoria de cualquiera de las dos masas en el campo creado por la otra)
E P g m 1,m2 ,m3   G
Para tres masas puntuales:
m 1 .m 2
r 12

m 1 .m 3
r 13

m 2 .m 3
r 23 
7.- CAMPO GRAVITATORIO EN LA TIERRA. PESO. LANZAMIENTOS VERTICALES
A) Gravedad en el interior de la Tierra. Peso

Suponemos que la masa de la Tierra está distribuida uniformemente. Para calcular g en el
interior de la Tierra usamos el teorema de Gauss:
 
   S.cerrada g .d s  4GM encerrada . Se ha de tomar como superficie de integración una
esférica, centrada en el centro y con radio r (la distancia a la que queremos calcular g). g es un
vector dirigido hacia el centro, con el mismo módulo en todos los puntos de la superficie y ds es
saliente  la integral es negativa (-g4r 2 ).
Teniendo en cuenta que
 es la densidad de la Tierra
4GM interior -g4r 2  g


GM interior
r2

G 43 r 3
r2

4Gr
3

g Está dirigido hacia el centro de la Tierra y r̂ es saliente (hacia afuera - radial). Por lo tanto:
 4Gr
GM r
 GM interior
g   r 2 r̂
g   R 3T r̂
g   3 r̂ 
Las expresiones anteriores valen para cualquier distribución esférica y homogénea de masa.
B) Gravedad en el exterior de la Tierra y en la superficie
Teoría
Página 6 de 33
Gravitación
Para puntos exteriores a la Tierra (o cualquier distribución homogénea y esférica de masa)
podemos usar la Ley de Newton, suponiendo que la gravedad es la misma que habría si toda la
masa estuviera concentrada en su centro.
 GM
g   r 2 r̂
Donde r es la distancia al centro de la Tierra (o centro de la distribución esférica).
o bien

GM
g   Rh
2 r̂
(donde R es el radio terrestre y h la altura)
Si usamos el teorema de Gauss (Como superficie de integración tomamos una esférica de
radio r, distancia en cuestión. Por simetría, en todos los puntos de esa superficie g es constante,
perpendicular y hacia el centro mientras que ds es saliente )  4GM  g4r 2 . Despejando g
y teniendo en cuenta su carácter vectorial obtenemos:
anterior.
 GM
g   r 2 r̂ .
Solución idéntica a la
Si aplicamos el teorema de Gauss, considerando a la superficie terrestre como la de
integración (radio R y masa M), o si sustituimos en la última expresión r por R, radio terrestre,
obtenemos para la gravedad en la superficie terrestre:


g 0   GM
R 2 r̂
Si sustituimos G, M y R por sus valores aproximados: G = 6,67.10-11, M = 5,98.1024 y R =
6,4.106, obtenemos para el módulo de g el valor aproximado de 9,8 m/s². (SÓLO VÁLIDO PARA
LA SUPERFICIE TERRESTRE).


En cualquier punto del campo gravitatorio terrestre el Peso es m g .
C) ¿Qué es mgh?
Como vamos a comprobar a continuación es la diferencia de energía potencial aproximada
entre dos puntos próximos (E P mayor  E P menor , separados h metros). La zona en cuestión es
la correspondiente al valor de g que se tome. Si estamos próximos a la superficie terrestre g = 9,8
m/s² y h es la diferencia en las alturas.
Recordando que
E P   GMm
r , E P mayor(arriba )  E P menor(abajo )
GMm
 GMm
Rh   R =
GMm
R

GMm
Rh

=
GMmRGMmhGMmR
;
R 2 Rh
Simplificando y despreciando Rh frente a R (para h pequeño) obtenemos:
E P mayor(arriba )  E P menor(abajo ) 
mGMh
R2
 mgh
Como fácilmente se puede comprobar mgh (diferencia de potencial) también es el trabajo
realizado por la fuerza gravitatoria, aproximado, en el desplazamiento de un punto a R+h hasta
otro a R metros del centro de la Tierra.
Teoría
Página 7 de 33
Gravitación
D) Lanzamientos verticales
a) Como la única fuerza que actúa en el ascenso es la gravitatoria, conservativa, se conserva
la Energía Mecánica.
E M R  E M Rh 
1
2
2 mv
1
2
2 mv

GMm
R
  GMm
Rh v  0; arriba
GMm
  GMm
Rh   R  
GMm
R
 GMm
Rh 
1
1
1
v 2  2GM R1  Rh
  v  2GM R  Rh 
v2
2GM

h
R 2 Rh ; Despejando h tenemos:
h
v2R2
v 2 R2GM
8.- MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
La ley de Newton (fuerza entre masas) da como solución en cuanto a órbitas: órbitas
circulares, elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Los planetas o satélites sólo están sometidos a la
fuerza gravitatoria (con los motores apagados) que es conservativa  LA ENERGÍA
MECÁNICA ES CONSTANTE. Si la energía mecánica es positiva la órbita es hiperbólica (se
escapan del campo gravitatorio), si es nula la trayectoria es una parábola (se escapan del campo
gravitatorio) y si es negativa la trayectoria puede ser circular o elíptica. En este último caso, el que
sea de una forma u otra depende del “inicio“. A veces se usa el término ligado haciendo referencia
a que un dispositivo tiene energía mecánica negativa.
En lo que sigue vamos a suponer trayectoria circular salvo que se indique lo contrario.
A) Velocidad orbital
Es la velocidad de cualquier “dispositivo“ en órbita.
Si suponemos órbita circular, v0 es constante, y teniendo en cuenta que cualquier
“dispositivo“ “ligado“ sólo está sometido a la fuerza gravitatoria, está ha ser la fuerza centrípeta o
normal.
GMm
r2

mv 2o
r

vo 
GM
r
G es la constante de gravitación universal, M es el valor de la masa creadora del campo y r la
distancia hasta el centro de la masa (o centro de la Tierra; suponemos distribuciones esféricas).
B) Período de revolución
Es el tiempo que tarda un “ dispositivo “ en órbita en dar una “vuelta” completa.
T
2r
vo

2r
GM
r

4 2 r 3
GM
T
T
;
4 2 r 3
GM
Esta última fórmula se puede obtener de la 3ª Ley de Kepler y es válida incluso para
trayectorias elípticas sustituyendo r por el valor de semieje mayor.
Teoría
Página 8 de 33
Gravitación
Una órbita es geoestacionaria si su T es de un día (86400 s). Sustituyendo este valor en la
fórmula del período se obtiene para r un valor, aproximado, de 42250 km (una altura de 35850 km).
Las órbitas geoestacionarias han de ser ecuatoriales.
C) Energía mecánica en órbita
Como la única fuerza es la gravitatoria (conservativa) ésta es constante  EM =
CONSTANTE
E M   GMm
 12 mv 2o   GMm
 12 m
r
r
GM
r
 2   GMm
 12 m GM
r
r 
E M   GMm
2r
Si la trayectoria es elíptica la expresión anterior es válida sustituyendo r por el semieje
mayor.
D) Velocidad de escape
Para que un “dispositivo“ escape, la energía mecánica mínima que ha de tener debe ser 0.
GMm
Según lo anterior  r

1
2
2 mv e
0

ve 
2GM
r
.
La expresión anterior vale para órbitas circulares o elípticas. Como podemos observar para un
ve
objeto en órbita v o  2 (trayectoria circular).
Para un “dispositivo” sobre la superficie terrestre ve = 11,2 km/s (V e 
2GM
R
)
E) Energía de puesta en órbita o de satelización ( para “dispositivos “ sobre la superficie )
Es la energía que hay que comunicarle a un “ dispositivo “ para ponerlo en órbita.
Según la definición:
E PO Energ́a mecánica arriba - Energ́a mecánica abajo
1
2
E PO   GMm
2r   2 mv 
GMm
R 
Donde v es la que tiene por girar con la Tierra o planeta (está sobre la superficie).
Si suponemos una trayectoria circular de radio r y despreciamos el término en que aparece v
GMm
GMm
GMm
GMm
GM
tenemos: E PO   2r  R  R  2r ; Teniendo en cuenta que g s  R 2
W Fext F NC  E PO  mg s R 
R2
2r 
 mg s R1 
R
2r 
9.- LEYES DE KEPLER. “Demostración“ y aplicaciones
El que las órbitas sean elípticas (la circunferencia es una elipse degenerada) fue un fenómeno
observado por Kepler pero no demostrado hasta Newton. La demostración hecha por Newton se
sale del nivel de este curso.

La conservación del momento angular o cinético ( L ) nos permite demostrar: por la
conservación de la dirección  que la órbita es plana , por la conservación del sentido  no hay
Teoría
Página 9 de 33
Gravitación
cambios de sentido en el giro y por la conservación de módulo  velocidad areolar constante
(área barrida por el radio-vector por unidad de tiempo en un instante).
La demostración de la tercera ley de Kepler es sencilla, si consideramos órbitas circulares.
Si despejamos de la expresión para el período de revolución, T 
T2
r3

4 2
GM
4 2 r 3
GM
,
T2
r3
obtenemos
constante
Se puede demostrar que es válida incluso para órbitas elípticas sustituyendo r por el semieje
PerehelioAfelio
mayor (
).
2
Podemos observar la estrecha relación entre las leyes de Kepler y la Ley de Newton de la
gravitación universal.
La expresión de la 3ª Ley de Kepler permite resolver cuestiones de gravitación. En ella nos
aparecen 4 variables y podemos calcular una, conocidas tres.
Teoría
Página 10 de 33
Gravitación
10.- Einstein y la gravitación
Las fuerzas de inercia constituyen un tipo muy especial de
fuerzas que “ aparecen “ sólo en los sistemas acelerados
(ascensor, sistemas que giran - fuerza centrífuga, móviles que
aceleran, etc.). Realmente sólo se necesita de ellas en estos
sistemas, llamados no inerciales, son opuestas a la aceleración
real y producen efectos observables: aceleración y deformaciones. El hecho de que no se precisen en los sistemas de
referencia inerciales o de Galileo (no acelerados) confiere a
este tipo de fuerzas un carácter singular. ¿Existen realmente
estas fuerzas ? Pero, ¿qué es la realidad?
Albert Einstein (1879-1955), en 1907, formuló el
principio de equivalencia, que establece que las aceleraciones
equivalen a gravitaciones, o lo que es lo mismo, las fuerzas de inercia tienen la misma naturaleza
que las fuerzas gravitatorias. Si un sistema cerrado al exterior, se desplazara acelerado por el vacío,
en su interior parecería existir una aceleración que, por qué no, podríamos llamar gravitatoria. El


principio de equivalencia establece la equivalencia entre la masa inerte ( F R  m a , m = mi , 2ª Ley
  
de la Dinámica) y la gravitatoria ( F g  P  m g , m = mg, Ley de Newton de la gravitación
universal) [mi = mg]. Esto constituyó el punto de partida de la teoría general de la relatividad.
En la teoría general de las relatividad las fuerzas gravitatorias se presentan como puras
apariencias. “Realmente”, la existencia de deformaciones del espacio-tiempo (4 dimensiones),
originadas por las masas, justifica las situaciones físicas sin necesitar ningún tipo de fuerza. Por lo
tanto, según esta teoría, las fuerzas gravitatorias son tan ficticias como las de inercia.
La teoría general de la relatividad se supone comprobada, desde el 29 de Marzo de 1919, por
Arthur Eddinton.
En esta fecha se observaron las predicciones de Einstein en cuanto a la desviación de los
rayos de luz provenientes de una estrella por el Sol. El Sol, una gran masa, curva apreciablemente el
espacio-tiempo y los rayos de luz siguen su camino natural curvo.
¿Existen “realmente“ las fuerzas gravitatorias?
Teoría
Página 11 de 33
Gravitación
GRAVITACIÓN ( Actividades resueltas )
 Razonar sobre la veracidad o falsedad de la siguiente proposición: la energía cinética
necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del origen de energía potencial.
En ese viaje podrían existir fuerzas exteriores o no conservativas que hagan que no se
conserve la energía mecánica (realmente existen, aunque casi nunca las tengamos en cuenta). Si
recordamos el teorema de conservación de la energía mecánica tenemos:
W F.extF.nc  E M  E C  E P   E P  E C 
 E Plejos  E Paqu́   E Clejos  E Caqu́ 
Despejando E C aqu́ de la anterior expresión obtenemos:
E C aqu́  W F.extF.nc  E P lejos  E P aqu́   E C lejos
“ La energía cinética de lanzamiento se invierte en W F.extF.nc , la variación de la energía
potencial, E P lejos  E P aqu́  y en un resto, posible, de energía cinética, E C lejos ”
Si observamos el segundo miembro de la ecuación enmarcada, sólo podría depender de la
referencia para la energía potencial la diferencia entre las energías potenciales.
Re f. 
 Re f.   Re f.   aqu́.  
E Plejos  E Paqu́   lejos F g .d r   aqu́ F g .d r   lejos F g .d r   Re f. F g .d r 
aqu́ 

  lejos F g .d r  E P lejos  E P aqu́
Observamos que la diferencia entre las energías potenciales se calcula como el trabajo ,
cambiado de signo, realizado por la fuerza gravitatoria en ese desplazamiento:
W F g  E P
Vemos, por lo tanto, que una diferencia de energías potenciales NUNCA DEPENDE DE
LA REFERENCIA QUE SE TOME para ellas.
Concluimos que ninguno de los tres miembros de la ecuación de arriba, enmarcada y
sombreada, depende de la referencia (origen) que se tome para la energía potencial.
FALSO
............
ANTERIOR
TODO EL RAZONAMIENTO
SE PODRÍA SIMPLIFICAR SI
W F.extF.nc (EM = CONSTANTE) Y NOS
CONSIDERAMOS COMO NULO EL
CONFORMAMOS CON UN FIN DE VIAJE TRANQUILO, v = 0 , E C lejos = 0
ES ESTE ÚLTIMO CASO:
E C aqu́  E P lejos  E P aqu́ 
Lo que damos se invierte en aumentar la energía potencial
Y, de nuevo, debido a que la diferencia de energías potenciales no depende de la referencia,
la respuesta es:
FALSO
Actividades Resueltas
Página 12 de 33
Gravitación
 Determinar la intensidad del campo gravitatorio en la Luna, sabiendo que su masa es 80
veces menor que la de la Tierra y su radio 4 veces inferior. gTierra= 9,8 m/s²
g Luna 
GM Luna
R 2Luna

G
M Tierra
80
RT 2
4

GM Tierra 16
80
R 2T
 9, 8. 16
80  1,96 m/s²
 Un cohete sale de la Tierra en dirección radial, y queremos que se aleje infinitamente de
ella. Suponiendo que la Tierra está aislada en el espacio, ¿cual sería la velocidad mínima que habría
de llevar cuando se encontrase a 10000 km sobre la superficie terrestre?
RT = 6400 Km ; MT = 6.1024 Kg ; G = 6,67.10-11 N.m²/kg²
GM
m
 Tierra
r

1
2
2 mv
0; v
2GM Tierra
r

2.6,67.10 11 .6.10 24
640010000.10 3
 6986 m/s
 Suponiendo circular la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol, sabiendo que la
distancia entre ambos es de 1,49.108 km y que su período orbital es de 3,16.107 s (1 año),
determinar la masa del Sol.
T 20 Tierra
R 3SolTierra

4. 2
GM Sol
; M Sol 
4 2 .R 3SolTierra
G.T 20 Tierra

4. 2 .1,49.10 11  3
6,67.10 11 .3,16.10 7  2
 1, 96.10 30 Kg
 Razona las respuestas a las siguientes preguntas:
a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la
superficie de la Tierra, ¿cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se
encuentra a una distancia infinita de la Tierra?
b) ¿Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? ¿Puede ser negativa
la energía potencial gravitatoria?
 
Re ferencia
Re ferencia 
a) Ep g r  r
F g .d r   GMm
r
r

Ep g    
Re ferencia
 
F g .d r  
GMm Re ferenciarR T 
r


GMm
RT
 
De otro modo EPg   EPg  E P g R T     F g .d r  
RT
GMm
RT
b) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria será negativo si hay un
desplazamiento a puntos de mayor Energía Potencial o si el desplazamiento es contrario a la
fuerza gravitatoria. (Ejemplo: ascenso de un cuerpo en la Tierra). La energía potencial
gravitatoria será negativa si el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en el desplazamiento punto-referencia es negativo (Ejemplo: energía potencial gravitatoria de un cuerpo
sometido a la acción de un campo gravitatorio si tomamos como referencia el infinito).
E Pg   0
Actividades Resueltas
Página 13 de 33
Gravitación

Supuestas tres masas de 2 kg cada una de ellas,
colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de 0,1 m de
lado, determina:
a) El campo y el potencial gravitatorio que, por la acción
exclusiva de estas tres masas, se crean en el punto de corte de las
tres alturas de dicho triángulo.
b) El trabajo que realiza el campo para traer una masa de
2 kg, desde una posición muy alejada hasta el punto citado en el
apartado anterior, punto donde se cortan las tres alturas.
3
0,05
2 kg
Sen60  2  r ; r  10.1 3
1
...........
a) El potencial es la suma de los potenciales debidos a las
tres masas
V
G.2
1
10 3

G.2
1

G.2
1
10 3
10 3
2 kg
2
0,1 m
r
60
0
t
0,05 m
2 kg
3
 3.G.2.10 3  60. 3 .G
El campo gravitatorio es la suma vectorial de los campos debidos a cada una de las tres
masas.

  
g Total  g 1  g 2  g 3  

Cos30.î  Sen30.ĵ 

10. 3

4.G
G.2
1
  G.2
ĵ


ĵ

ĵ

0
1
1
1


2
2 2
2
10. 3
G.2

G.2
1
2
10. 3
1
10. 3
2
G.2

1
10. 3
2
Cos30.î  Sen30.ĵ
ĵ  
4.G

1
10. 3
2
Sen30.ĵ 
10. 3
b) W Campo (m,  Punto  m que se desplaza .V   V Punto   2 0  60. 3 .G 
 120. 3 .G
J
 Un satélite describe una órbita circular de radio 2R
T
en torno a la Tierra.
a) Determina la velocidad orbital
b) Si el satélite pesa 5000 N en la superficie terrestre, ¿cuál será su peso en órbita? Explica
las fuerzas que actúan sobre el satélite.
RT = 6400 Km ; MT = 6.1024 Kg ; G = 6,67.10-11 N.m²/kg²
a) Debido a que la fuerza centrípeta es la fuerza gravitatoria 
GMm
r2
vo 
b)
GMm
R 2T
 5000
GM
r ;
GMm
; 2R  2
T

mv 2
r ;
6,67.10 11 .6.10 24
 5592
2. 6,4.10 6
GMm
 5000
4  1250 N
4.R 2T
Vo 

m/s
Despreciando influencias de objetos con masa lejanos, sobre el satélite en órbita sólo actúa
la fuerza gravitatoria, dirigida hacia el centro de la Tierra.
Actividades Resueltas
Página 14 de 33
Gravitación
 Un satélite de 250 kg de masa se encuentra describiendo una órbita circular en torno a
la Tierra a una altura sobre su superficie de 500 Km. Calcula:
a) Su velocidad. b) Su período de revolución. c) La energía cinética, potencial y mecánica
del satélite. d) La energía necesaria para poner al satélite en órbita.
G = 6,67.10 -11 N.m2/kg2 ; MT = 5,98.1024 Kg ; RT = 6370 Km
a) La velocidad del apartado a) es la velocidad orbital 
 GMm
r2 
mv 20
r
 ; vo 
GM
r

6,67.10 11 .5,98.10 24
6370500.10 3
 7620 m/s
 2r
v 0  1803 s
250
1
c) E c  2 mv 2  2 7620 2  7, 258.10 9 J;
b) T
6,67.10 11 .5,98.10 24 .250
 1, 4514.10 10
6370500.10 3
6,67.10 11 .5,98.10 24 .250
 7, 257.10 9 J.
26370500.10 3
E P   GMm

r
EM 
 GMm
2r

J
Como se puede comprobar la suma de Energía Cinética y E. Potencial es la E. Mecánica.
d) Si recordamos al teorema de conservación ampliado de la Energía Mecánica  “el
trabajo de las fuerzas no conservativas (exteriores) [coincide con la energía que nos piden] es igual
a la variación de la Energía Mecánica“.
Vamos a calcular la mayor Energía Cinética que podría tener el satélite sobre la Tierra
(suponiendo el lanzamiento desde el ecuador) 
3
m/d́a 2
E c( sobre superficie )  12 .250.kg. 2.6370.10
  26823851 J
86400 s/d́a
La energía potencial del satélite en el momento del lanzamiento era 
Ep   GMm

r
6,67.10 11 .5,98.10 24 .250
6370.10 3
 1, 5654.10 10 J
E Po ( de puesta en órbita ) = Energía Mecánica arriba - Energía Mecánica abajo
 7, 257.10 9  26823851  1, 5654.10 10   8, 3701.10 9 J
Si usamos la fórmula deducida en los apuntes (en ella se despreciaba la Energía Cinética por
el giro con la Tierra),
2
R
E PO  mg s R  R2r   mg s R1  2r
, obtenemos:
 250 . 9, 8 . 6370.10 3 1 
6370000
2 . 6870000 
 8, 3711.10 9 J
Observamos que usar la fórmula de teoría supone un error relativo muy pequeño. (ES UNA
BUENA APROXIMACIÓN).
Actividades Resueltas
Página 15 de 33
Gravitación
 Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una distancia del centro igual a tres veces
el radio de esta. Sabiendo que la masa de la Tierra es de 5,98.1024 Kg, a) ¿cuál es el período del
satélite?
b); ¿cuál es su velocidad orbital?; c) ¿qué energía mecánica tiene?; ¿qué le ocurrirá al satélite si se
le comunica energía repentinamente?
Radio de la Tierra = 6370 Km ; G = 6,67.10-11 N.m2/Kg2
a) T 
2r
V Orbital

2r
GM
r
4 2 r 3
GM


4. 2 3. 6370.10 3  3
6,67.10 11 .5,98.10 24
 26282 s
b) De la fórmula anterior o bien de:
6,67.10 11 .5,98.10 24
GM

r
3. 6370.10 3
6,67.10 11 .5,98.10 24 .m
 GMm


2r
2. 3. 6370.10 3
V Orbital 
c) E M

 4569 m/s
 10436054.m J
d) Al “ ganar “ energía mecánica asciende a una órbita superior (a mayor r mayor energía
mecánica). Si la energía suministrada (+) es igual o superior a la mecánica que tiene (-) el satélite
pasaría a tener energía mecánica positiva y escaparía del campo gravitatorio terrestre.
 Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un período de 27 días, a una
distancia de 3,8.108 m, calcula:
a) La masa de la Tierra.
b) ¿Qué energía mínima se necesita para alejar indefinidamente a la Luna de la Tierra?
G = 6,67.10-11 N.m2/Kg2 ; mLuna = 7,34.1022 kg
T2
a) De la 3ª Ley de Kepler: r 3
2
27. 86400
3,8.10 8  3


4 2
GM ;
4 2
6,67.10 11 .M ; Si despejamos M (masa de la Tierra) de esta igualdad obtenemos
aproximadamente: 5,97.1024 kg
b) La Energía Mecánica de la Luna es:
E M   GMm
2r  
6,67.10 11 .5,97.10 24 .7,34.10 22
2. 3,8.10 8

3, 85.10 28 J (redondeado).
Si suministráramos a la Luna esa misma energía pasaría a tener Energía Mecánica nula y
escaparía de la atracción terrestre.

Un objeto de 1 kg de masa es lanzado hacia arriba, y desde la superficie terrestre, con
una velocidad de 10 km/s.
a) ¿Hasta qué altura asciende? b) Una vez a esa altura , ¿qué energía habría que comunicarle
para ponerlo en órbita? c) Dibuja las fuerzas sobre el objeto en el ascenso y una vez en órbita. d)
Calcula el peso del objeto en órbita.
G= 6,67.10-11 N.m2/kg2 ; MTierra = 6.1024 Kg ; RTierra = 6400 km
a) Como la única fuerza que actúa en el ascenso es la gravitatoria se conserva la Energía
Mecánica.
1
2
2 mv
Actividades Resueltas
GMm
  GMm


R 
Rh
Página 16 de 33
GMm
R
 GMm
Rh 
Gravitación
1
v 2  2GM R1  Rh
;
2
v
h
2GM  R 2 Rh ; Despejando h tenemos:
10 4  2 .6,4.10 6  2
v2R2
h  v 2 R2GM  10 4  2 .6,4.10 6 2. 6,67.10 11 .6.10 24 
 25536159, 6 m
b) Una vez a esa altura toda su energía cinética se habrá convertido en diferencia de
potencial gravitatoria (sólo tendrá Energía Potencial gravitatoria) y
GMm
 GMm
2r   r   E a su min istrar
E a su min istrar  GMm 1r 
c) El esquema de fuerzas es:
1
2r 

GMm
2r

6,67.10 11 .6.10 24 .1
2.6,4.10 6 25536159,6
Subiendo
 6265625 J
En órbita
GMm
Rh 2
d) El peso en órbita se calcula de

6,67.10 11 .6.10 24 .1
6,4.10 6 25536159,6 2
 0, 39 N
 En una región del espacio existe un campo

gravitatorio uniforme de intensidad g , representado en la
figura por sus líneas de campo.
a) Razona el valor del trabajo que se realiza al trasladar
la unidad de masa desde el punto A al B y desde el B al C.
b) Analiza las analogías y diferencias entre el campo
descrito y el gravitatorio terrestre.
a) Vamos a calcular el trabajo realizado por el
campo
(no se especifica en el enunciado).
A
d
g
B
d
C
Cómo el campo gravitatorio es uniforme (campo constante y fuerza constante)  es
conservativo (El trabajo no depende del camino seguido).
Si entre A y B elegimos el camino más corto (no importa el camino) al ser perpendiculares

g y el desplazamiento no hay trabajo realizado por el campo.
Entre B y C elegimos también el camino más corto 
C 
 C  
W Campo B  C   B F g .d r   B g .d r  g.d J

g está dirigido

g y la superficie terrestre.
b) Debido al gran radio de la Tierra (“ su superficie es casi plana “) y a que
hacia su centro podemos suponer una “ casi “ perpendicularidad entre

Recordando... g   Rh 2 r̂  
GM
GM
h 2 r̂

R 2 1 R
. Podemos observar que si h (altura) es pequeña frente a
R ( radio terrestre ) la gravedad es “ casi igual “ a la gravedad en la superficie de la Tierra.
Visto lo anterior PARA “ PEQUEÑOS “ ( y no tan pequeños ) DESPLAZAMIENTOS

POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE TERRESTRE PODEMOS CONSIDERAR A g
CONSTANTE.
Actividades Resueltas
Página 17 de 33
Gravitación
 ¿ Cuánto pesaría una muchacha de masa m = 60 kg en un asteroide esférico de radio R
= 100 Km y densidad 4000 kg/m3? ¿Cuál sería la velocidad de escape sobre la superficie de ese
asteroide?
G= 6,67.10-11 N.m2/kg2
d
M
4
3
3 R
M
despejando obtenemos: R 2
Peso 
GMm
R2

4Rd
3 . Teniendo en cuenta lo anterior 
5
3
 Gm RM2  Gm. 4Rd
 6, 67.10 11 .60. 4.10 3.4.10  6, 71N
3
Si recordamos, para que un “ objeto “ escape su energía mecánica ha de ser nula 
1
2
 GMm
R  2 mv  0 ;
Si de esta fórmula despejamos la velocidad obtenemos :
V escape 
d
3M
M
4R 3  R
V escape 
2GM
R

2GM
R
4dR 2
3 . Sustituyendo en la fórmula de la velocidad de escape 
2
 2G 4dR
 2. 6, 67.10 11
3
4..4.10 3 .10 5  2
3
 149, 50 m/s
 ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar un satélite terrestre de masa m localizado en una
órbita circular de radio 2RT a otra de radio 3RT? ¿Cuánto cambia la energía cinética en ese proceso?
¿Y la energía potencial?
M es la masa creadora del campo gravitatorio.
En este ejercicio aplicamos el teorema de conservación de la energía mecánica “ ampliado “:
El trabajo de las fuerzas exteriores (no conservativas) ha de ser igual a la variación de la
energía mecánica. W F.exteriores  E M . Vista esta fórmula tenemos que restar las energías
mecánicas correspondientes a las dos órbitas. El trabajo será:
GMm
W  E M arriba  E M abajo   GMm
2r Sup   2r Inf 
GMm
W   2.3.R

T
Recordando que la velocidad orbital es:
EC  12 m
GM
3RT
 2  12 m
GM
2RT
GMm
GMm 1
2.2.R T  R T 12
GM
r tenemos 
GM
GM
1
 2  12 m 3R
 12 m 2R
  GMm
RT . 12
T
T
GMm
E P   GMm
3R T   2R T  
GMm 1
RT . 6
Observamos que si sumamos las variaciones de la energía cinética y de la potencial nos
“sale“ la variación de la energía mecánica o el trabajo que hemos calculado.
 Unos alumnos ponen a su profesor de Física en órbita alrededor de la Tierra, a una
distancia del centro de la Tierra de 10000 km, en el interior de un laboratorio sin comunicación con
el exterior. Una vez en órbita, el profesor decide conocer las condiciones del medio donde se
encuentra. Calcula: a) ¿Cuánto pesa realmente el profesor si su masa en de 60,00 kg? ¿Cuánto pesa
en su laboratorio orbital? b) Si deja caer una esfera de 50,0 g, ¿qué espacio recorrerá en 5 s
respecto a la posición del profesor? c) ¿Cuál será el período de oscilación de un péndulo de 1 m de
largo? d) ¿Cuál será la fuerza de rozamiento entre un libro y el suelo del laboratorio? e) ¿Cuál es el
período orbital del profesor? f) Si una vez en órbita el profesor, junto con su laboratorio, es
Actividades Resueltas
Página 18 de 33
Gravitación
introducido en un “ascensor “ que cae libremente, ¿cambiaría alguna de las respuestas anteriores al
iniciarse la caída?
MT = 6.1024 Kg ; G = 6,67.10-11 N.m²/kg²
6,67.10 11 .6.10 24 .60
a) Peso real ( por su situación ) = GMm

 240N
2
r
10 7  2
Peso en el laboratorio  m.g Aparente  60.0  0 N
b)
s  12 .g Aparente .t 2  12 .0.5 2  0
c)
T  2..
d)
FR  .N  .m.gAparente  .m.0  0
GMm
e) r 2

mv 2
r
 2..
L
g Aparente

m
2r 2
T
r
;
1
0
GM
r

)2 
 v 2  ( 2r
T
r3
GM  9932 s
f) Debido a que en este caso su peso aparente también sería de 0 N (gravedad aparente nula)
no cambiaría ninguna de las respuestas.
T  2
 Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de
6 veces el radio de la Tierra y pierde toda su energía cinética.
a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión ?
b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad
llega a la superficie terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida? Razone las
respuestas.
G = 6,67.10-11 N. m2.kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg
a) Peso  Rh 2  7R 2 
Energía Potencial y por lo tanto:
GMm
GMm
6,67.10 11 .6.10 24 .10 3
49.6,4.10 6  2
E M  E P   GMm

r
 200 N. Tras la colisión sólo tendrá
6,67.10 11 .6.10 24 .10 3
7.6,4.10 6
 8, 9.10 9 J
b) En la caída sólo actúa la fuerza peso (suponemos ausencia de rozamiento) por lo que se
conserva la energía mecánica. La energía mecánica del meteorito, inicialmente toda potencial y
negativa, disminuye en la caída (se hace más negativa) aumentando en este proceso la Energía
Cinética.
GMm
GMm
1
1
1
Por lo tanto: 2 mv 2   7R   R   GMm R  7R ;
6
6
v  2GM 7R
  2.6, 67.10 11 .6.10 24 7.6,4.10
6  10354 m/s
En ausencia de rozamiento, como se ha indicado , la velocidad final no dependerá de la
trayectoria como se puede observar en la forma de calcularla. (CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
MECÁNICA).
Actividades Resueltas
Página 19 de 33
Gravitación
 Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme.
a) ¿Aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido de
la fuerza ejercida por el campo? ¿Y si se moviera en una dirección perpendicular a dicha fuerza?
Razone las respuestas.
b) Escriba una expresión del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula para un
desplazamiento "d", en ambos casos. ¿En qué se invierte dicho trabajo?
a) Como la fuerza gravitatoria es conservativa aprovechamos su definición:

 AB 
F g .d r  E P  E PB  E PA   E PA  E PB
Si la partícula se mueve en la dirección y sentido del campo el trabajo realizado por la
fuerza gravitatoria ( de A a B ) es positivo  E PA  E PB > 0 . Disminuye la Energía
Potencial gravitatoria.
Si la partícula se mueve en una dirección perpendicular a la fuerza gravitatoria no hay
trabajo realizado por ella y por lo tanto no varía la Energía Potencial gravitatoria.
b) Si el campo gravitatorio es uniforme y la partícula se mueve en la misma dirección y
sentido que el campo 
trabajo es nulo.

 AB 
F g .d r  Fd. Si el movimiento es perpendicular al campo el
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria se invierte en un cambio de la energía
potencial (cambiado de signo). Si la única fuerza que hay sobre la partícula es la gravitatoria, al
conservarse la energía mecánica, una disminución de la energía potencial provoca un aumento de la
cinética (“iguales“). Podemos responder por lo tanto que la consecuencia es un aumento de la
Energía Cinética.
 Un cohete espacial se encuentra en órbita geoestacionaria en el plano del ecuador. Se
lanza un cohete que llega a la altura de la estación con una velocidad de 4000 m/s. ¿Podrá
escapar dicho cohete de la atracción gravitatoria terrestre?
G = 6,67.10-11 N. m2.kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg
En primer lugar hemos de determinar el lugar correspondiente a la órbita geoestacionaria. Se
define como órbita geoestacionaria aquella en la cual lo que esté en órbita gira con la misma
velocidad angular que la Tierra (siempre estará sobre la misma zona). Según lo anterior: (1 día =
86400 s)
w
2
86400

vo
r
GM
r

r

GM
r
r2

GM
r3

6,67.10 11 .6.10 24
r3
4 2
T2
(O bien de la 3ª Ley de Kepler: r 3  GM )
Si despejamos r obtenemos (con redondeo) 42297610 m ( 42298 km desde el centro de
la Tierra)
Para que el cohete escape del campo gravitatorio terrestre su energía mecánica ha de
ser como mínimo 0 ( o positiva ).
La velocidad de escape para esa órbita es:  12 mv 2 
; Ve 
2GM
r

2. 6,67.10 11 . 6.10 24
42297610
GMm
r
 0
 4350 m/s .
Como la velocidad del cohete (4000 m/s) es inferior, su energía mecánica será negativa
y no escapará de la Tierra.
Actividades Resueltas
Página 20 de 33
Gravitación
 Los períodos de revolución de los planetas Mercurio y Venus son respectivamente
0,741 años y 0,241 años. Calcula sus distancias medias al Sol expresadas en unidades astronómicas
(1 U.A. = distancia media Tierra-Sol). Ttierra = 1 año
4 2
T2

GM  cte.; R es la distancia media o semieje mayor (tercera ley de Kepler)
R3
Aplicamos esta ley a Mercurio, Venus y la Tierra:
T 2M
R 3M

T 2V
R 3V

T 2T
R 3T

12
13 ;
1
0,741 2
R 3M

0,241 2
R 3V
RM  0,387 U.A. ; RV  0,725 U.A.
Actividades Resueltas
Página 21 de 33
Gravitación
GRAVITACIÓN ( Actividades Propuestas )
1.- Concepto de velocidad de escape de un cuerpo respecto a la Tierra. Calculad
razonadamente su expresión general. Calculadla para un cuerpo lanzado desde la superficie terrestre
y para el mismo cuerpo lanzado desde una plataforma espacial situada a una altura sobre la Tierra
igual al radio de ésta.
2.- Comentad la frase "Cuando un meteorito cae sobre la Tierra, lo hace con aceleración
constante, realizando más o menos un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado"
3.- Elige la frase que creas que describe mejor la situación: El potencial gravitatorio creado
por la Tierra se anula en: a) Cualquier punto de su superficie. b) Cualquier punto situado a una
distancia infinita de su centro. c) Cualquier punto fijado arbitrariamente.
4.- a) Enunciad las leyes de Kepler, haciendo una breve explicación de cada una de ellas y
escribiendo sus enunciados matemáticos. b) Explicad cómo son y cuánto valen las energías
potencial, cinética y total de un planeta en su órbita respecto al Sol.
5.- Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de
distinto radio. ¿Cuál de los dos se moverá con mayor velocidad? ¿Por qué?
6.- ¿ Cuánto tendría que durar un día terrestre para que los objetos situados en el Ecuador de
la Tierra pesasen aparentemente la mitad? ¿Y para que no pesasen nada aparentemente?
Soluciones: 7164 s; 5066 s
7.- Razonad en qué lugares sobre la Tierra puede colocarse un satélite artificial de forma que
se mantenga siempre en la misma vertical. Calculad a qué altura sobre la Tierra hay que ponerlo en
órbita. (Tomar como radio de la Tierra el valor de 6370 km). Solución: 35.8 106 m
8.- Un satélite artificial de 100 kg de masa gira alrededor de la Tierra a 200 km de altura.
Hallad su velocidad, el período de rotación, su energía potencial, su energía cinética y la energía de
puesta en órbita. (MT = 5.98·1024 kg, RT =6370 km, G=6.67·10-11 en el S.I.) . Soluciones: 7.79 103
m/s; 5296 s; -6.071 109 J; 3.03 109 J
9.- Calculad la masa de un planeta sabiendo que tiene un satélite que gira en torno a él en
una órbita de 1000 km de radio, con un período de rotación de 10 días. (G=6.67·10-11 en el S.I.)
Solución: 7.9 1017 kg.
10.- Aceptando que la densidad media de la Tierra es de 5.5 g/cm3, hallad el valor de su
radio sabiendo que la gravedad media al nivel del mar vale 9.8 m/s2. Calculad el valor de la
gravedad a una altura sobre la Tierra equivalente a la longitud del radio encontrado. G=6.67·10-11
en el S.I. Soluciones: 6.38 106 m; 2.45 m/s2
11.- La masa de la Luna es de 6.5.1022 Kg, y su radio 16.105 m. La constante de gravitación
vale 6.67.10-11 en el S.I. ¿Qué distancia recorrerá un cuerpo en un segundo en caída libre hacia la
Luna, si se le abandona en un punto próximo a su superficie?. ¿Cuál será el período de oscilación en
la superficie lunar de un péndulo cuyo período en la Tierra es de un segundo? Soluciones: 0.85 m;
2.4 s
12.- Calculad con qué velocidad debe lanzarse un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la
superficie terrestre para que llegue a una altura de 10 Km sobre la misma. No debe hacerse ninguna
aproximación. ¿Cuál es el potencial gravitatorio creado por la Tierra a esa altura? Datos que pueden
Actividades Propuestas
Página 22 de 33
Gravitación
usarse: RT = 6.37.106 m, MT = 5.98.1024 Kg, G=6.67.10-11 en el S.I. Soluciones: 443 m/s; -6.25 107
J/kg
13.- Calculad el trabajo necesario para trasladar un satélite terrestre de 500 kg desde una
órbita circular de radio r0 = 2RT hasta otra de radio r1 = 3RT. (Tómese RT = 6400 km). Solución:
26.13 108 J
14.- La Luna describe un movimiento circular alrededor de la Tierra con un período de 28
días. El radio medio de la Tierra es de 6400 km, y el valor de la aceleración de la gravedad en
puntos próximos a la superficie terrestre es de 9,8 m/s2. Con esos datos exclusivamente, calculad: a)
la distancia entre los centros de gravedad de la Tierra y la Luna, b) la energía mecánica, por unidad
de masa, de la Luna. Soluciones: 3.9 108 m; -5.14 105 J/kg
15.- El período orbital de la Luna es de 28 días terrestres, y el radio de su órbita,
aproximadamente circular, es de 384.000 km. Haced una estimación de la masa terrestre, tomando
G=6.7·10-11 unidades en el S.I., y no utilizad más que los datos que figuran en el enunciado.
Solución: 5.7 1024 kg
16.- Determinad la velocidad, la aceleración, y el período de un satélite artificial que
describe una órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 300 km por encima de su
superficie. RL =1700 km. ML =7.4·1022 kg. Soluciones: 1571 m/s; 1.23 m/s2; 7999 s
17.- Los cometas Halley y Kohoutek tienen periodos de 76 años y de 106 años,
respectivamente. Suponiendo para simplificar que sus órbitas son circulares, calcúlense sus
distancias medias al Sol, así como sus velocidades medias. Sólo puede usarse el dato de que la
distancia media entre el Sol y la Tierra es de 1.5·108 km. Soluciones: 2.7 109 km, 1.5 1012 km;
7054 m/s, 298.9 m/s.
18.- Un satélite artificial de 100 kg está girando en órbita a una altura de 400 km sobre la
superficie terrestre. Se desea saber la velocidad lineal y angular del satélite, así como su período de
rotación. Determínese también el trabajo que se ha gastado para situarlo en esa órbita desde la
superficie terrestre. A continuación, se le suministra a ese satélite una energía de valor 0.2·109 J.
Cuando se estabilice la nueva órbita, calculad la altura del satélite, su velocidad y su período.
Soluciones: 7664 m/s; 1.132 10-3 rad/s; 5550 s; 3.3 109 J; 895 km; 7398.5 m/s; 6169 s.
19.- Una masa de 1000 kg se desplaza desde un punto en el que el potencial es -5 J/kg a otro
en el que es -7 J/kg. Calculad el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una
transformación espontánea. Ídem si el cuerpo se aleja desde el punto en que el potencial vale -5 J/kg
hasta otro tan lejano que en él se puede suponer nulo el potencial. Soluciones: 2000 J; -5000 J
20.- Dos satélites artificiales de masa m0 y 2m0 describen órbitas circulares del mismo radio
r = 2RT, siendo RT el radio de la Tierra. Calculad la diferencia y el cociente entre las energías
mecánicas de ambos satélites. Soluciones:-g0RTm0/4; 2.
21.- Se coloca un cuerpo en un punto situado entre la Tierra y la Luna de tal forma que las
fuerzas que sufre ese cuerpo por la atracción de ambos astros son iguales. En esas condiciones,
calculad la distancia desde ese punto hasta el centro de la Tierra y la relación existente entre las
energías potenciales que tiene el cuerpo respecto a la Tierra y respecto a la Luna. Únicos datos a
usar: la distancia Tierra-Luna es de 384 106m, y la masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna.
Soluciones: 345.6 106 m; 9
22.- Un satélite artificial de 100 kg de masa describe una órbita circular alrededor de la
Tierra con un período de un día. Calculad a qué altura está sobre la superficie terrestre. Calculad el
Actividades Propuestas
Página 23 de 33
Gravitación
valor del campo gravitatorio de la Tierra en los puntos de esa órbita. Calculad cuánta energía se
gastó para ponerlo en esa órbita. Soluciones: 35837623 m; 0.223 N/Kg; -5.7716 109 J
23.- Un satélite artificial de 1,2 T se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la Tierra
y se le da un impulso mediante cohetes propulsores para que describa una órbita circular alrededor
de la Tierra. ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar ese movimiento?
¿Cuánto vale el trabajo realizado para llevarlo desde la superficie de la Tierra hasta esa altura?
Calculad directamente la energía potencial y la cinética en la órbita, comprobando la relación
existente entre ambas. Calculad las variaciones de energía cinética y energía potencial entre el suelo
y la órbita, comparad ambas (calculando su cociente) y comentad el por qué del resultado que se
obtiene.
Soluciones: 7809.3 m/s ; -1.6 109 J ; 3.66 1010 J
24.- Un satélite de 100 kg está en órbita circular ecuatorial alrededor de la Tierra, a una
altura de 1000 km y girando en el mismo sentido que ella. Calculad su velocidad, la energía total en
la órbita y el tiempo que tarda en pasar por el mismo punto de la vertical de la Tierra, teniendo en
cuenta el movimiento de rotación diurno de la misma. (G = 6.67 10-11 S.I. ) Soluciones: 7345 m/s;
-2.69 109 J; 6798 s
Actividades Propuestas
Página 24 de 33
Gravitación
Selectividad: Interacción gravitatoria. Cuestiones
C.1 (P.I.) Como habrá visto alguna vez en TV los astronautas se encuentran en estado de ingravidez cuando
salen de la cápsula espacial. a) ¿Por qué no caen hacia la Tierra? b) ¿Es debido a que al no haber aire en
el espacio exterior no actúa sobre ellos la gravedad? Explique sus respuestas.
C.2 (S-97) a) Explicar el concepto de velocidad de escape y deducir razonadamente su expresión. b) ¿Qué
ocurriría en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la
velocidad de escape?
C.3 J-97) En una región en la que existe un campo gravitatorio
uniforme de intensidad g, representado en la figura por sus líneas de
campo. a) Razonar el valor del trabajo que se realiza al trasladar la
unidad de masa desde el punto A al B y desde B al C. b) Analizar las
analogías y diferencias entre el campo descrito y el campo gravitatorio
terrestre. EN ACTIVIDADES RESUELTAS.
C.4 (P-96/97) Se suele decir que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una
altura h viene dada por la expresión EP = mgh. a) ¿Es correcta esta afirmación? ¿Por qué? B) ¿En qué condiciones es válida dicha fórmula?
C.5 (P-96/97) a) Escribir la ley de Gravitación Universal y explicar su significado físico. b) Según la ley de
Gravitación, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste. ¿Por qué no
caen más deprisa los cuerpos con mayor masa?
C.6 (P-96/97) Sean A y B dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más
alejado del Sol que B. a) Hacer un análisis energético del movimiento del cometa y comparar los valores de
las energías cinética y potencial en A y en B. b) ¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la
velocidad? ¿Y el de la aceleración?
C.7 (J-98) Razonar las repuestas a las siguientes preguntas: a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de
una partícula de masa m si sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál es el valor de la energía potencial de la
partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra? b) ¿Puede ser negativo el trabajo
realizado por una fuerza gravitatoria?, ¿puede ser negativa la energía potencial?
EN ACTIVIDADES RESUELTAS.
C.8 (P-97/98) y (P-00/01) Analizar las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) El
trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética. b) La
energía cinética necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del origen de energía potencial.
EN ACTIVIDADES RESUELTAS el apartado b).
C.9 (P-97/98) y (P-00/01) Dos satélites idénticos A y B se encuentran en órbitas circulares de diferente radio
(RA >RB) alrededor de la Tierra. Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿cuál de los dos
tiene mayor energía cinética?; b) si los dos satélites estuvieran en la misma órbita (RA = RB) y tuviesen
distinta masa (mA< mB), ¿cuál de los dos se movería con mayor velocidad? ¿cuál de ellos tendría más
energía cinética?
C.10 (S-99) Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme. a) ¿Aumenta o disminuye su
energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido de la fuerza ejercida por el campo? ¿Y si
se moviera en una dirección perpendicular a dicha fuerza? Razone las respuestas. b) Escribir una expresión
del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula para un desplazamiento d en ambos casos.
¿En qué se invierte dicho trabajo? EN ACTIVIDADES RESUELTAS.
C.11 (S-00) Se desea colocar un satélite en una órbita circular, a una cierta altura sobre la Tierra. a)
Explicar las variaciones energéticas del satélite desde su lanzamiento hasta su situación orbital. b) ¿Influye la
masa del satélite en su velocidad orbital?
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 25 de 33
Gravitación
C.12 (P-00/01) Comente las siguientes afirmaciones: a) Un móvil mantiene constante su energía cinética
mientras actúa sobre él: i) una fuerza; ii) varias fuerzas. b) Un móvil aumenta su energía potencial mientras
actúa sobre él una fuerza.
C.13 (P-00/01) Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto
radio. a) ¿Cuál de los dos se moverá a mayor velocidad? b) ¿Cuál de los dos tendrá mayor energía
mecánica? Razone las respuestas.
C.14 (J-01) Suponga que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa. a) ¿Aumentaría la
intensidad del campo gravitatorio en su nueva superficie? b) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita
alrededor del Sol? Justifique las respuestas.
C.15 (P-01/02) a) Explique las analogías y diferencias entre las interacciones gravitatoria y electrostática.
b) ¿Qué relación existe entre el período y el radio orbital de dos satélites?
C.16 (P-01/02) Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. a) Explique qué se
entiende por velocidad orbital y deduzca razonadamente su expresión. b) Conociendo el radio de la órbita y
su período, ¿podemos determinar las masas de la Tierra y del satélite? Razone la respuesta.
C.17 (P-01/02) a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, determine la velocidad mínima que habría
que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que
saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuentre en una
órbita geoestacionaria. ¿Con qué período de revolución y a qué altura debe hacerlo?
C.18 (P-01/02) a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su
expresión. b) Si consideramos la presencia de la atmósfera, ¿qué ocurriría si lanzásemos un cohete desde
la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la velocidad de escape? Razone la respuesta.
C.19 (J-02) a) Enuncie la ley de gravitación universal y comente el significado físico de las magnitudes que
intervienen en ella. b) Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es
proporcional a la masa de éste. ¿Por qué no caen más deprisa los cuerpos con mayor masa?
C.20 (S-02) Demuestre, razonadamente, las siguientes afirmaciones: a) A una órbita de radio R de un
satélite le corresponde una velocidad orbital v característica; b) La masa M de un planeta puede calcularse a
partir de la masa m y del radio orbital R de uno de sus satélites.
C.21 (P-02/03) a) ¿Se cumple siempre que el aumento o disminución de la energía cinética de una partícula
es igual a la disminución o aumento, respectivamente, de su energía potencial? Justifique la respuesta.
b) Un satélite está en órbita circular alrededor de la Tierra. Razone si la energía potencial, la energía
cinética y la energía total del satélite son mayor, menor o igual que las de otro satélite que sigue una órbita,
también circular, pero de menor radio.
C.22 (P-02/03) Dos satélites idénticos se encuentran en órbitas circulares de distinto radio alrededor de
la Tierra. Razone las respuestas a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál de ellos tiene mayor velocidad, el de la órbita de mayor o de menor radio?
b) ¿Cuál de los dos tiene mayor energía mecánica?
C.23 (J-03) y (P-98/99) Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro
punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. a) Si el valor del
potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si la partícula se acerca o se aleja de
M. b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento indicado y escriba
su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no
rectilínea?
C.24 (P-03/04) a) Al desplazarse un cuerpo desde una posición A hasta otra B, su energía potencial
disminuye. ¿Puede asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A? Razone la respuesta.
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 26 de 33
Gravitación
b) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre la superficie
terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes:
y
 GMm
mgh
Rh
Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qué corresponden a diferentes valores (y
signo).
C.25 (P-03/04) a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro
cuerpo de masa m’ depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al
alejar los dos cuerpos? ¿Por qué? b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al
desplazarse desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.
C.26 (P-03/04) Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El peso de un cuerpo en
la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de la Tierra sería la mitad de su peso en la
superficie de la Tierra. b) El estado de “” de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando
alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula.
C.27 (P-03/04) a) El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta
tome valores negativos. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las proximidades de la
superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh? b) Discuta la siguiente afirmación: “ que el
valor de g disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con
la altura sobre el suelo”
C.28 (P-03/04) a) Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo de fuerzas puede definirse? ¿Por qué? b) ¿Un
satélite de masa m describe una órbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M. Determine la
energía mecánica del satélite explicando el razonamiento seguido.
C.29 (J-04) a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro
cuerpo de masa m' depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al
alejar los dos cuerpos? ¿Por qué? b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al
desplazarse desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.
C.30 (S-04) Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El peso de un cuerpo en la
superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de la Tierra sería la mitad de su peso en la superficie
de la Tierra. b) El estado de "ingravidez" de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando
alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula.
C.31 (P-04/05) Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las
siguientes preguntas: a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de atracción hacia la Tierra a lo largo de media
órbita? b) Si la órbita fuera elíptica, ¿cuál sería el trabajo de esa fuerza a lo largo de una órbita completa?
C.32 (J-05) Dibuje en un esquema las lineas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual
M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto mas cercano a
M. a) Si una masa, m, esta situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Por
qué? b) Si una masa, m, esta situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que
A, pero en otra línea de fuerza, aumenta o disminuye la energía potencial? Razone su respuesta.
C.33 (S-05) a) Considere un punto situado a una determinada altura sobre la superficie terrestre. ,Que
velocidad es mayor en ese punto, la orbital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de un
cuerpo a la superficie de la Tierra disminuye la fuerza con que es atraído por ella. ¿Significa eso que también
disminuye su energía potencial? Razone las respuestas.
C.34 (P-05/06) Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone
cómo se modificarían: a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie. b) Su órbita alrededor del
Sol.
C.35 (P-05/06) Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Si se redujera el radio de la órbita
lunar en torno a la Tierra, ¿aumentaría su velocidad orbital? b) ¿Dónde es mayor la velocidad de escape, en
la Tierra o en la Luna?
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 27 de 33
Gravitación
C.36 (P-05/06) a) Enuncie las leyes de Kepler. b) Razone, a partir de la segunda ley de Kepler, cómo
cambia la velocidad de un planeta a lo largo de su órbita al variar la distancia al Sol.
C.37 (J-06) Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Según la ley de la gravitación
la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa de este. Sin embargo,
dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente.
C.38 (S-06) a) Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra. ¿Que trabajo realiza la
fuerza con la que la Tierra atrae al satélite, durante una órbita? Justifique la respuesta.
C.39 (P-06/07) a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga
puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen, intensidad relativa,
dirección y sentido. b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del
segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta.
C.40 (P-06/07) a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, deduzca la expresión de la velocidad
mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M
y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta. b) Se desea que un satélite se
encuentre en una órbita geoestacionaria. Razone con qué período de revolución y a qué altura debe
hacerlo.
C.41 (S-07) a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales.
b) ¿Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las
proximidades de las dos masas se coloca una tercera masa, también puntual? Haga un esquema de
las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa.
C.42 (P-07/08) a) Principio de conservación de la energía mecánica. b) Desde el borde de un acantilado de
altura h se deja caer libremente un cuerpo. ¿Cómo cambian sus energías cinética y potencial? Justifique la
respuesta.
C.43 (P-07/08) 1. a) Explique qué se entiende por velocidad orbital de un satélite y deduzca razonadamente
su expresión para un satélite artificial que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. b) ¿Se pueden
determinar las masas de la Tierra y del satélite conociendo los datos de la órbita descrita por el satélite?
Razone la respuesta.
C.44 (S-08) a) Explique la relación entre fuerza conservativa y variación de energía potencial. b) Un
cuerpo cae libremente sobre la superficie terrestre. ¿Depende la aceleración de caída de las propiedades de dicho cuerpo? Razone la respuesta.
C.45 (P-07/08) a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales.
b) Razone por qué la energía potencial gravitatoria de un cuerpo aumenta cuando se aleja de la Tierra.
C.46 (P-07/08) Explique qué se entiende por velocidad de escape de la Tierra y deduzca razonadamente su
expresión. b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es inferior a la de escape, explique
las características del movimiento del cohete y realice un balance de energías.
C.47 (J-09)
a) Defina la velocidad de escape de un planeta y deduzca su expresión.b) Se desea
colocar un satélite en una órbita circular a una altura h sobre la Tierra. Deduzca las expresiones de
la energía cinética del satélite en órbita y de la variación de su energía potencial respecto de la
superficie de la Tierra.
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 28 de 33
Gravitación
Selectividad: Interacción gravitatoria. Problemas
P.1 (P.I.) Un satélite de 250 kg de masa se lanza desde la superficie de la Tierra hasta colocarlo en una
órbita circular a una altura de 500 km de la superficie. a) Realice un análisis energético del proceso, desde
el lanzamiento hasta que se encuentra en órbita. b) Calcule la velocidad orbital y la energía mecánica del
satélite. c) Si el radio de la órbita fuera más pequeño, explique como cambiaría la velocidad del satélite.
G = 6,67 . 10-11 N.m2.kg-2 ; MT = 6.1024 kg ; RT= 6370 km
P.2 (P.I.) Un satélite artificial de masa 400 kg gira alrededor de la Tierra con rapidez constante. a) Haga un
análisis de la(s) fuerza(s) que actúan sobre el satélite a indique las condiciones para que se mantenga en
órbita, b) Si la velocidad del satélite es de 3600 km/h ¿a qué altura de la superficie terrestre está situado? c)
Si la masa del satélite se duplicara, ¿afectaría eso a la altura a que debería ser colocado? Justifique la
respuesta.
G = 6,67 . 10-11 N.m².kg-2 ; MT = 6.1024 kg ; RT =6370 km
P.3 (P.I.) Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700 N, aterriza en el planeta Venus y mide allí su
peso, que resulta ser de 600 N. El diámetro de Venus es aproximadamente el mismo que el de la Tierra. a)
Explique por qué ocurre lo indicado. b) Calcule la relación entro las masas de Venus y de la Tierra. c) ¿Qué
relación existe entre las masas de los dos planetas y sus períodos de revolución alrededor del Sol?
P.4 (S-96) Un satélite de comunicaciones está situado en órbita geoestacionaria (T = 24 h) circular en torno
al ecuador terrestre. Calcula el radio de la trayectoria, aceleración tangencial del satélite y trabajo realizado
por la fuerza gravitatoria durante un semiperíodo. Campo gravitatorio y aceleración de la gravedad en
cualquier punto de la órbita. G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 MT = 6 .1024 kg.
P.5 (J-96) La masa del Sol es 324440 veces mayor que la de la Tierra y su radio 108 veces mayor que el
terrestre. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo en la superficie del Sol que en la Tierra? ¿Cuál sería
la máxima altura alcanzada por un proyectil que se lanzase verticalmente hacia arriba, desde la superficie
solar, con una velocidad de 720 km/h? g=10 m/s²
P.6 (J-97) Un satélite describe una órbita circular de radio 2RT en torno a la Tierra. Determinar su velocidad
orbital. Si el satélite pesa 5000 N en la superficie terrestre, ¿Cuál será su peso en la órbita? Explicar las
fuerzas que actúan sobre el satélite. G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6.1024 kg ; RT = 6400 km
P.7 (S-97) Un satélite describe una órbita en trono a la Tierra con un período de revolución igual al
terrestre. Explicar cuántas órbitas son posibles y calcular su radio. Determinar la relación entre la velocidad
de escape en un punto de la superficie terrestre y la velocidad orbital del satélite.
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; RT. = 6400 km
P.8 (P-96/97) La Luna dista de la Tierra 3,8.108 m, si con un cañón muy potente se lanzara desde la Tierra
hacia la Luna un proyectil: ¿en qué punto de su trayectoria hacia la Luna la aceleración del proyectil sería
nula? ¿qué velocidad mínima inicial debería poseer para llegar a ese punto? ¿cómo se movería a partir de
esa posición? G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6.1024 kg. ; RT = 6400 km; ML = 7.1022 kg. RL = 1600 km
P.9 (P-96/97) La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre.
Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800 N, cae desde una altura de 50 m sobre la superficie lunar.
Determinar la masa del cuerpo y su peso en la Luna. Realizar el balance de energía en el movimiento de
caída y calcular la velocidad con que el cuerpo llega a la superficie. gT = 10 m.s-2
P.10 (S-98) Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces
el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su
energía mecánica tras la colisión? Si cae a la Tierra, hacer un análisis energético del proceso de caída. ¿Con
qué velocidad llega a la superficie terrestre? Razonar las respuestas. EN ACTIVIDADES RESUELTAS.
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 MT = 6.1024 kg RT. = 6400 km
P.11 (P-97/98) a) Explicar la influencia que tiene la masa y el radio de un planeta en la aceleración de la
gravedad en su superficie y en la energía potencial de una partícula próxima a dicha superficie. b)
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 29 de 33
Gravitación
Imaginemos que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cuádruple, ¿cuál sería el nuevo valor de
g?, ¿y el nuevo período de la Luna?
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6.1024 kg ; RT = 6400 km ; ML = 7.1022 kg RL = 1600 km
P.12 (P-97/98) y (P-00/01) Un satélite artificial en órbita geoestacionaria es aquel que, al girar con la misma
velocidad angular de rotación de la Tierra, se mantiene sobre la misma vertical. Explicar las características
de esa órbita y calcular su altura respecto a la superficie de la Tierra. Razonar qué valores obtendría para la
masa y el peso de un cuerpo situado en dicho satélite sabiendo que su masa en la Tierra es de 20 kg.
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 MT = 6.1024 kg. RT = 6400 km
P.13 (P-97/98) Un satélite artificial de 1000 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 12.000
km. de radio. Explicar las variaciones de energía cinética y potencial del satélite desde su lanzamiento en la
superficie terrestre hasta que alcanzó su órbita y calcular el trabajo realizado. ¿Qué variación ha
experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en al superficie terrestre?
RT = 6400 km
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 MT = 6.1024 kg
P.14 (P-98/99) Se eleva un cuerpo de 200 kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura de 5000 km.
Explicar las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcular el trabajo mínimo necesario. Si, por
error, hubiéramos supuesto que el campo gravitatorio es uniforme y de valor igual al que tiene en la
superficie de la Tierra, razonar si el valor del trabajo sería mayor, igual o menor que el calculado en el
apartado. a) Justificar si es correcta dicha suposición.
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6.1024 kg ; RT = 6400 km
P.15 (P-98/99) Un satélite se encuentra a una altura de 600 km sobre la superficie de la Tierra,
describiendo una órbita circular. a) Calcular el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, razonando la
estrategia seguida para dicho cálculo. b) Si la velocidad orbital disminuyera, explique si el satélite se
acercaría o se alejaría de la Tierra, e indicar que variaciones experimentarían la energía potencial, la
energía cinética y la energía mecánica del satélite.
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6.1024 kg ; RT = 6400 km
P.16 (J-00) Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se deja
caer libremente. Explicar cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo
durante el descenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la velocidad del cuerpo cuando
llega a la superficie terrestre. Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo lanzamos verticalmente hacia arriba
desde la posición inicial, ¿cuál sería su velocidad de escape?
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 MT = 6.1024 kg. RT. = 6400 km.
P.17 (S-00) Dos partículas de masas m1 = 2 kg y m2 = 5 kg están situadas en los puntos P1(0,2)m y P2(1,0)
m, respectivamente. Dibujar el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto O (0,0)m
y en el punto P(1,2) m y calcular el campo gravitatorio total en el punto P. Calcular el trabajo necesario para
desplazar una partícula de 0,1 kg desde el punto O al P.


G=6,67  10-11 Nm2kg-2 ; g T  13,34  10 11 i  8,33  10 11 j m s-2 ; W = -10-11 J
P.18 (P-00/01) a) Explique la influencia que tienen la masa y el radio de un planeta en la aceleración de la
gravedad en su superficie y en la energía potencial de una partícula próxima a dicha superficie. b) Imagine
que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cuádruple, ¿cuál sería el nuevo valor de g? ¿y el
nuevo período de la Luna?
G = 6,67. 10-11 N.m2.kg-2 ; RT. = 6400 km ; MT = 6.1024 kg ; d T-L = 3,84 .105 km
P.19 (P-00/01) Un satélite artificial de 1000 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 12800
km de radio. a) Explique las variaciones de energía cinética y potencial del satélite desde su lanzamiento en
la superficie terrestre hasta que alcanzó su órbita y calcule el trabajo realizado. b) ¿Qué variación ha
experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie terrestre?
G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg
P.20 (P-00/01) a) Explique cualitativamente la variación del campo gravitatorio terrestre con la altura y
haga una representación gráfica aproximada de dicha variación. b) Calcule la velocidad mínima con la que
habrá que lanzar un cuerpo desde la superficie de la Tierra para que ascienda hasta una altura de 4000 km.
RT = 6370 km ; g = 10 ms-2
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 30 de 33
Gravitación
P.21 (P-00/01) a) Suponga que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la
Tierra y de la Luna. Explique por qué los tiempos de caída serían distintos y calcule su Relación. b) Calcule
la altura que alcanzará un cuerpo que es lanzado verticalmente en la superficie lunar con una velocidad de
40 ms-1.
MT = 81 ML ; RT = (11/3) RL ; g = 10 ms-2
P.22 (J-01) El satélite de investigación europeo (ERS-2) sobrevuela la Tierra a 800 km de altura. Suponga
su trayectoria circular y su masa de 1000 kg. a) Calcule de forma razonada la velocidad orbital del satélite.
b) Si suponemos que el satélite se encuentra sometido únicamente a la fuerza de gravitación debida a la
Tierra, ¿por qué no cae sobre la superficie terrestre? Razone la respuesta. RT = 6370 km ; g = 10 m.s-2
P.23 (S-01) Un satélite artificial de 500 kg gira alrededor de la Luna en una órbita circular situada a 120 km
sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. a) Con los datos del problema, ¿se
podría calcular la masa de la Luna? Explique cómo lo haría. b) Determine la energía potencial del satélite
cuando se encuentra en la órbita citada. RESUELTO EN LA WEB.
G = 6,67.10-11 N.m².kg-2 ; RL = 1740 km
P.24 (P-01/02) Un satélite artificial de 400 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie
terrestre. A dicha altura el valor de la gravedad es la tercera parte del valor en la superficie de la Tierra.
a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en órbita y calcule su energía mecánica.
b) Determine el período de la órbita. g = 10 ms–2 ; RT = 6,4·106 m
P.25 (P-01/02) Un satélite de 200 kg describe una órbita circular, de radio R = 4 ·106 m, en torno a Marte.
a) Calcule la velocidad orbital y el período de revolución del satélite. b) Explique cómo cambiarían las
energías cinética y potencial del satélite si el radio de la órbita fuera 2R.
G = 6,67 · 10-11 Nm2 kg–2 ; MMarte = 6,4·1023 kg
P.26 (P-01/02) Los transbordadores espaciales orbitan en torno a la Tierra a una altura aproximada de 300
km, siendo de todos conocidas las imágenes de astronautas flotando en su interior. a) Determine la
intensidad del campo gravitatorio a 300 km de altura sobre la superficie terrestre y comente la situación de
ingravidez de los astronautas. b) Calcule el período orbital del transbordador.
MT = 6·1024 kg ; G = 6,67· 10-11 N m2 kg–2 ; R T = 6,4 · 106 m
P.27 (P-01/02) La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre.
Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800 N, cae desde una altura de 50 m sobre la superficie lunar.
a) Realice el balance de energía en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuerpo llega a
la superficie. b) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna. g = 10 ms-2
P.28 (J-02) La nave espacial Apolo 11 orbitó alrededor de la Luna con un período de 119 minutos y a una
distancia media del centro de la Luna de 1,8.106 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es
una esfera uniforme: a) determine la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave; b) ¿cómo se vería
afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el doble? Razone la respuesta.
G = 6,67.10-11 N.m².kg-2
P.29 (S-02) Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le
imprime la velocidad necesaria. Se desprecia la fricción con el aire. a) Explique los cambios energéticos del
objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza una altura h y calcule su energía mecánica a una altura de
1000 m. b) ¿Qué velocidad inicial sería necesaria para que alcanzara dicha altura?
MT = 6.1024 kg ; G=6,67.10-11 N.m2.kg -2 ; RT = 6,4.106 m
P.30 (P-02/03) La velocidad de escape de un satélite, lanzado desde la superficie de la Luna, es de 2,37 ·
103 ms-1. a) Explique el significado de la velocidad de escape y calcule el radio de la Luna. b) Determine la
intensidad del campo gravitatorio lunar en un punto de su superficie.
G = 6,67·10-11 Nm2kg-2 ; ML = 7,4 ·1022 kg
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 31 de 33
Gravitación
P.31 (S-03) En dos vértices opuestos de un cuadrado, de 6 cm de lado, se colocan las masas m1 =100 g y m2
=300 g. a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa en el centro del cuadrado y
calcule la fuerza que actúa sobre una masa m =10 g situada en dicho punto. b) Calcule el trabajo realizado al
desplazar la masa de 10 g desde el centro del cuadrado hasta uno de los vértices no ocupados por las otras
dos masas. G=6,67.10-11 N.m2 .kg-2
P.32 (P-03/04) a) Determine la densidad media de la Tierra. b) ¿A qué altura sobre la superficie de la
Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte?
G = 6,67 ·10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 ms-2
P.33 (P-03/04) Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule: a) A qué altura sobre la superficie de la
Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre es de 2 m s-2. b) Con qué velocidad debe lanzarse
verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta una altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra.
G = 6,67 ·10-11 Nm2 kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 ms-2
P.34 (J-04) a) Determine la densidad media de la Tierra. b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la
intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte?
G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6370 km , g = 10 m s-2
P.35 (P-04/05) a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el
punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distancia desde el centro
de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84·108 m. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el
punto, entre la Tierra y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo?
G = 6,67·10–11 Nm2 kg–2 ; M T = 5,98·1024 kg ; M L = 7,35·1022 kg
P.36 (J-05) a) Razone cuales son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70 kg. b) Calcule la altura
que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie
de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento.
G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; ML=7,21022 kg ; RL =1,7.106 m
P.37 (S-05) La misión Cassini a Saturno-Titan comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde Cabo
Cañaveral y culmino el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con éxito la cápsula Huygens sobre la
superficie de Titán, el mayor satélite de Saturno, mas grande que nuestra Luna e incluso mas que el planeta
Mercurio. Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una órbita circular de 1,2 109
m de radio, calcule su velocidad y período orbital. ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la
superficie de Titán y en la superficie de la Tierra?
G = 6,67 10 -11 N m2 kg-2 ; MSaturno= 5,7 1026 kg ; MTitán= 1,3 1023 kg ; RTitán= 2,6 106 m ; g = 10 m.s -2
P.38 (P-05/06) Un satélite orbita a 20.000 km de altura sobre la superficie terrestre. a) Calcule su
velocidad orbital. b) Razone cómo se modificarían sus energías cinética y mecánica si su altura se redujera
a la mitad.
G = 6,67 · 10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 6·10 24 kg
P.39 (P-05/06) Dos masas, de 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m, respectivamente.
a) Calcule el campo gravitatorio en el punto (4, 3) m y represéntelo gráficamente b) Determine el trabajo
necesario para trasladar una masa de 2 kg desde el punto (4, 3) hasta el punto (0, 0) m. Explique si el valor
del trabajo obtenido depende del camino seguido.
G = 6,67 · 10-11 Nm2 kg-2
P.40 (P-05/06) a) La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su periodo de
traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. Determine razonadamente la masa de la
Tierra. b) Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital?
G = 6,67 · 10-11 Nm2kg-2
P.41 (S-06) La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su diámetro 10
veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 32 de 33
Gravitación
cual sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una
vuelta completa alrededor del Sol, expresado en años terrestres.
g = 10 m.s-2 ; radio orbital terrestre = 1,5.1011 m
P.42 (P-06/07) Un satélite artificial de 500 kg orbita alrededor de la Luna a una altura de 120 km sobre su
superficie y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. a) Calcule la masa de la Luna, razonando el
procedimiento seguido. b) Determine la diferencia de energía potencial del satélite en órbita respecto de la
que tendría en la superficie lunar.
G = 6,67 ·10-11 Nm2 kg-2 ; RLuna = 1740 km
P.43 (P-06/07) a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta
alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita. b) Justifique si es verdadera o falsa la
siguiente afirmación: “gravedad en la superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficie de la
Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor
obtenido sería el 90% del medido en la Tierra”
P.44 (P-06/07) La masa de Marte es 9 veces menor que la de la Tierra y su diámetro es 0,5 veces el
diámetro terrestre. a) Determine la velocidad de escape en Marte y explique su significado. b) ¿Cuál sería la
altura máxima alcanzada por un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte,
con una velocidad de 720 km h-1? RESUELTO EN LA WEB.
g = 10 ms-2 : RT = 6370 km
P.45 (J-07) Suponga que la masa de la Tierra se duplicara. a) Calcule razonadamente el nuevo periodo
orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante. b) Si, además de duplicarse la
masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál sería el valor de g en la superficie terrestre? RESUELTO EN
WEB. G = 6,67·10-11 Nm2 kg-2 ; MT = 6 ·1024 kg ; RT = 6370 km ; Rorbital Luna = 1,74·106 m (¡error en dato!)
P.46 (P-07/08) Los satélites meteorológicos son un medio para obtener información sobre el estado del
tiempo atmosférico. Uno de estos satélites, de 250 kg, gira alrededor de la Tierra a una altura de 1000 km
en una órbita circular. a) Calcule la energía mecánica del satélite. b) Si disminuyera el radio de la órbita,
¿aumentaría la energía potencial del satélite? Justifique la respuesta.
G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6,0·1024 kg
P.47 (P-07/08) Un satélite artificial de 1000 kg describe una órbita geoestacionaria con una velocidad de
3,1·103 ms-1. a) Explique qué significa órbita geostacionaria y determine el radio de la órbita indicada. b)
Determine el peso del satélite en dicha órbita.
G = 6,67·10-11 Nm2kg-2 ; MT = 6,0·1024 kg ; RT = 6400 km
P.48 (J-08) Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 1200 kg, se encuentra en una órbita circular
de radio 3 RT. a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la
superficie terrestre. b) Determine la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es
Geoestacionaria. G = 6,67·10-11 Nm2 kg-2 ; MT = 6,0·1024 kg ; RT = 6400 km
(P.49 (S-09) Suponga que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular, de radio 1,5.10 11 m.
a) Calcule razonadamente la velocidad de la Tierra y la masa del Sol. b) Si el radio orbital disminuyera
un 20 %, ¿cuáles serían el periodo de revolución y la velocidad orbital de la Tierra.
Atención: falta algún dato que podría ser el periodo de revolución de la Tierra en torno al Sol: 1 año
Actividades Propuestas: Selectividad
Página 33 de 33
Gravitación