Cálculo I - Departamento de Matemática Aplicada II

Cálculo I
Curso 2013/14
Universidade de Vigo
Departamento de Matemática Aplicada II
E.T.S.I. Minas
Boletı́n no 4
1. Estudiar la existencia de los siguientes lı́mites usando la regla de L’Hôpital:
(a)
(c)
(e)
sen(πx)
x−1
(b)
lı́m (x − ln(x))
(d)
lı́m
x→1
x→∞
2x
lı́m 2
x→∞ x
lı́m (x + 1)1/x
x→0
lı́m xe1/x
x→0
(f)
lı́m
x→2
1
1
−
ln(x − 1) x − 2
2. Sea f una función 3 veces diferenciable en un punto a ∈ R. Probar que se verifica la
siguiente igualdad:
f (a + h) − f (a − h) − 2hf 0 (a)
.
h→0
h3
f 000 (a) = 3 lı́m
3. El desplazamiento de un muelle en un instante t viene dado por la función
h(t) =
sen(αt) − sen(t)
,
α2 − 1
donde α es un parámetro real.
Calcular el desplazamiento en el instante t = π/4 cuando α tiende a 1.
4. Se considera la función
f (x) =
x
e|x−1|
.
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f .
b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus extremos locales.
c) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de f y sus puntos de inflexión.
d ) Determinar las ası́ntotas verticales y horizontales de la gráfica de f y representar
de forma aproximada dicha gráfica.
e) Calcular, si existen, el mı́nimo y el máximo globales de f .
5. Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo [−1, 1]:
a) f (x) = ex − 2x
b) g(x) = e|x| − 2|x|
6. Encontrar el punto sobre la hipérbola xy = 8 más cercano a (3, 0).
7. Probar que el polinomio p(x) = x3 + 3x + 1 una única raı́z real y acotarla en un
intervalo de longitud uno.
8. Probar que la ecuación ex −x = 2 tiene exactamente dos soluciones reales y acotarlas
en intervalos de longitud uno.
9. Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de la función g(x) = e−x sen(x) centrado
en x0 = 0. Utilizarlo para aproximar el valor de g(1).
√
10. Sea f : [0, 1] → R la función dada por f (x) = + x + 1. Calcular el polinomio de
Taylor de grado 2 de f centrado en x0 = 0 y utilizarlo para aproximar el valor de
√
2.
11. Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la función f (x) = sen(x) centrado en
0 y utilizarlo para aproximar el valor de la integral
Z 1
sen(x)
dx .
x
0
12. En cada uno de los casos siguientes indicar si f tiene un máximo, un mı́nimo, un
punto de inflexión o ninguna de las tres cosas en x = 0.
a) f (x) = ex
3
2
b) f (x) = 1 + x + x2 − ex .