Anexo 1 - Cenidet

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO
cenidet
DISEÑO DE ELEMENTOS MAGNÉTICOS EN
ALTA FRECUENCIA
T
E
PARA
S
OBTENER
MAESTRO
I
EL
EN
S
GRADO
DE
CIENCIAS
EN
INGENIERÍA
ELECTRÓNICA
P
R
E
E
S
N
T
A
ING. ROGER EFRAÍN CARRILLO
DÍAZ
DIRECTOR DE TESIS:
DR. MARIO PONCE SILVA
CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
DICIEMBRE 2004
Dedicatoria
A Dios
Por concederme esta vida llena de grandes satisfacciones y por
permitirme lograr mis mas grandes anhelos.
A mis Padres Róger y Magaly
Que con su apoyo incondicional han sido el pilar de mi
formación en la vida.
A mi abuela Pilar
Mujer incomparable que me alienta en todo momento. Te amo
Abuela.
A mis hermanos José, Zazil, Leny
Con su amor fraternal y cariño son mi sostén en tierras lejanas.
A Irene
Mi compañera de todo momento en esta aventura. Te amo.
Agradecimientos
A Mario Ponce, por tener la paciencia de aguantar todos estos años bajo
su tutela y al invaluable conocimiento que me ha otorgado.
A mis revisores, Dr. Jaime Arau, Dr. Rodolfo Echevarria y Dr. Elías
Rodríguez por todo el apoyo recibido.
Al Dr. Carlos Aguilar y Graciela por la amistad que me han brindado.
Gracias.
Al Departamento de Electrónica, a todos los Doctores que he tenido el
placer de conocer. A Mayra y Don Román muchas gracias.
Al Cenidet, institución que cambio mi vida por completo.
A mi familia adoptiva San Martin: Hermano Noé, Hermana Maura, Aurora,
Violeta, Marina, Marta, Orquídea, Gadi, Itzamara y Elisa.
A todos mis amigos y compañeros del Cenidet, a la Generación 19992001, gracias por su amistad.
A Daniel Melchor, por su amistad y por impulsarme a emprender este
proyecto.
A mis amigos, hermanos de toda la vida, Fernando Ayil y Edson Cano.
A Ileana, mi mejor amiga.
Al CONACYT por brindarme el apoyo económico durante mi estancia en el
Cenidet.
Resumen
El desarrollo de los sistemas electrónicos en la vida diaria ha sido enorme en los
últimos años debido a las grandes ventajas que presentan, desde sistemas de
alimentación conmutados, balastros electrónicos, filtros activos, etc.. En la actualidad,
existe la tendencia a disminuir el costo y el tamaño de estos sistemas electrónicos, como
consecuencia del acelerado desarrollo de la tecnología para la fabricación de dispositivos
semiconductores y circuitos integrados. Sin embargo, los elementos magnéticos que se
utilizan en estos sistemas son muy específicos, particulares a la aplicación, voluminosos y
de costo relativamente alto, por lo que sobre ellos se enfoca gran parte del esfuerzo para
reducirlos.
Una de las estrategias propuestas para disminuir las dimensiones de estos
elementos magnéticos consiste en elevar la frecuencia de operación. Sin embargo, esto
ocasiona nuevos problemas en el diseño, ya que aparecen fenómenos que deben de ser
tomados en cuenta en el diseño, como el efecto piel, proximidad, dispersión en el
entrehierro, etc.
En este trabajo se estudiaron los fenómenos que aparecen al elevar la frecuencia en
estos elementos magnéticos, los criterios, métodos y técnicas utilizados en su diseño,
teniendo como resultado el presentar una metodología de diseño practico y efectivo.
Existen innumerables artículos, en donde presentan varias propuestas de análisis de
los efectos en alta frecuencia, la mayoría basado en la propuesta hecha por Dowell. Estos
análisis se han ido complicando a la par con los programas de computadores por lo que
ahora de una solución en 1D, se tienen versiones en 2D y 3D, además se extienden los
resultados a formas de onda de corriente arbitrarias.
Sin embargo, debido a la complejidad de los análisis algunos autores vuelven a las
soluciones 1D complementando y ajustando los factores involucrados para permitir
resultados comparativamente satisfactorios a los obtenidos en 2D y 3D en ciertos limites
de operación y presentan simplificaciones a los métodos de análisis de formas de
corriente arbitraria, basados en análisis de fourier. Esto permite ahorrar tiempo y dinero
en un diseño magnético, dejando los análisis mas complejos por computadora a diseños
en donde realmente sean necesarios.
De la extensa bibliografía se seleccionaron los análisis mas sencillos posibles pero
con un buen grado de exactitud comparado con versiones mas complejas, se propusieron
nuevos factores de ajuste para lograr una mejor solución, permitiendo una fácil
implementación en paquetes matemáticos de bajo costo.
Abstract
The development of the electronic systems in the daily life has been enormous in
the last years due to the big advantages that present, from switche power supplies
sytems, electronic balast, active filters, etc.. at the present time, the tendency exists to
diminish the cost and the size of these electronic systems, as consequence of the quick
development of the technology for the production of devices semiconductors and
integrated circuits. However, the magnetic elements that are used in these systems are
very specific, particular to the application, voluminous and relatively high cost, because of
that the effforts is focused to reduce them.
One of the strategies proposed to diminish the dimensions of these magnetic
elements consists on elevating the operation frequency. However, this causes new
problems in the design, since they appear phenomenons that should be taken into
account in the design, as the skin effect, proximity effect, dispersion in the gap…
In this work the phenomenons were studied that appear when elevating the
frequency in these magnetic elements, the approaches, methods and techniques used in
their design, having as a result presenting a design methodology, practices and effective.
Innumerable articles exist where present several proposals of analysis of the effects
in high frequency, most based on the proposal made by Dowell. These analyses have
gone making difficult at the same time with the computer programs because of that now
from a solution in 1D, it is had versions in 2D and 3D, the results also extend to arbitrar
current waveform.
However, due to the complexity of the analyses some authors return to the
solutions 1D supplementing and adjusting the factors involved to allow comparatively
satisfactory results to those obtained in 2D and 3D in certain limits of operation and they
present simplifications to the methods of analysis in arbitrary current waveform, based on
fourier analysis. This allows to save time and money in a magnetic design, leaving the
analyses but complex for computer to designs where are really necessary.
From the extensive bibliography the analyses were selected more simple possible
but with a good degree of accuracy compared with more complex versions, new
adjustment factors were proposed to achieve a better solution, allowing an easy
implementation in mathematical packages of low cost.
Tabla de contenido
Simbología
VII
Nomenclatura
XIII
Capítulo 1.
1
Introducción
1.1.-
Antecedentes
1
1.2.-
Objetivos
2
1.2.1.-
Objetivo general
2
1.2.2.-
Objetivos particulares
2
1.2.3.-
Metas
2
1.3.-
Marco conceptual y estado del arte
2
1.4.-
Metodología desarrollada
7
1.5.-
Aportación o contribución del trabajo
8
1.6.-
Referencias
8
I
Capítulo 2.
2.1.-
Conceptos básicos
Introducción
2.1.1.-
Principios de la teoría electromagnética
2.2.1.2.3.-
Elementos magnéticos: bobinas
12
14
17
17
17
2.3.1.2.- Efecto de un entrehierro
20
2.3.1.3.- Bobinas con núcleos abiertos
23
2.3.1.4.- Energía almacenada en una bobina
24
Elementos magnéticos: transformadores
25
2.3.2.1.- El transformador ideal
26
2.3.2.2.- Inductancia magnetizante
28
2.3.2.3.- La inductancia de dispersión
29
Magnetización, permeabilidad relativa y susceptibilidad
magnética
2.5.-
11
2.3.1.1.- Inductancia
2.3.2.-
2.4.-
Circuitos magnéticos
Parámetros eléctricos en los elementos magnéticos
2.3.1.-
11
Elementos magnéticos en convertidores electrónicos
de potencia
2.2.-
11
31
Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y
ferromagnéticos
32
2.6.-
Dominios magnéticos
33
2.7.-
Referencias
34
Capítulo 3.
3.1.-
Alta frecuencia
37
37
3.1.1.-
Introducción
37
3.1.2.-
Corrientes de Eddy en el conductor
37
3.1.2.1.- Efecto piel
38
3.1.2.2.- Efecto proximidad
41
3.1.2.3.- Análisis de corrientes de Eddy en 1D
42
3.1.2.4.- Conductor aislado tipo lamina
42
3.1.3.-
II
Efectos a frecuencias mayores
a 1 kHz
Distribución de campo
44
3.1.3.1.- Distribución de campo en baja frecuencia
46
3.1.3.2.- Distribución de campo en alta frecuencia
46
3.1.3.3.- Aplicación del análisis en 1D
48
3.1.4.-
Histéresis
3.1.4.1.- La curva dinámica de Histéresis
3.1.5.3.2.-
Efecto del entrehierro
Referencias
Capítulo 4.
4.1.-
Análisis comparativo de
métodos de diseño.
Núcleos convencionales
Diseño de componentes magnéticos
50
51
52
55
57
57
4.1.1.-
Introducción
57
4.1.2.-
Tipos de dispositivos magnéticos
58
4.1.2.1.- Inductor de filtrado en convertidores en modo
de conducción continua (MCC)
4.2.4.3.-
58
4.1.2.2.- Inductor operado en modo de corriente discontinuo
59
4.1.2.3.- Inductor de CA
60
4.1.2.4.- Transformador
61
4.1.2.5.- Inductor acoplado
62
Consideraciones generales para el diseño de un
elemento magnético
63
Métodos de diseño
69
4.3.1.-
Producto de áreas
69
4.3.2.-
Constante geométrica Kg
77
4.3.3.-
Diseño de un transformador utilizando la constante
geométrica Kgfe
80
4.3.4.-
Método del volumen mínimo
83
4.3.5.-
Comparación de métodos de diseño
88
4.4.-
Referencias
89
III
Capítulo 5.
5.1.5.2.-
Método de diseño propuesto
en alta frecuencia
91
Diseño magnético en alta frecuencia con núcleos
convencionales
91
Selección del núcleo
93
5.2.1.-
Restricciones de diseño
93
5.2.2.-
Selección de tamaño aproximado del núcleo
94
5.2.3.-
Numero de vueltas
97
5.2.4.-
Entrehierro
97
5.2.5.-
Factor de dispersión
97
5.2.6.-
Reajuste de vueltas
98
5.2.7.-
Selección del tamaño del conductor
98
5.2.8.-
Devanado
98
5.2.9.-
Resistencia en CD
99
5.2.10.- Resistencia en CA
99
5.2.11.- Optimización del devanado
100
5.2.12.- Conductores multi-hilos, hilo trenzado
101
5.2.13.- Manufactura final. Prueba del elemento magnético
101
5.2.14.- Hoja de cálculo para resolver el diseño de un elemento
magnético
5.3.-
101
Tabla de la metodología propuesta para el diseño
de un elemento magnético en alta frecuencia
101
5.4.-
Prototipos
104
5.5.-
Referencias
106
Capítulo 6.
Conclusiones
109
6.1.-
Conclusiones
109
6.2.-
Trabajos futuros
110
6.3.-
Referencias
111
IV
Anexo 1
113
Tablas de la guía de selección de productos 2004 FERROXCUBE
Tabla 1. Materiales de polvo férrico.
Tabla 2. Matriz de aplicación.
Tabla 3. Matriz de aplicación.
Tabla 4. Materiales y aplicaciones.
Anexo 2
119
Cálculo y optimización de la resistencia de CA para inductores
con núcleo y entrehierro central y exterior para formas de onda
de corriente arbitraria
Anexo 3
129
Formulas para el óptimo grosor de un devanado para varias
formas de onda, ψ = (5p2-1)/15, p = Número de capas
Anexo 4
131
Formas geométricas comerciales
Definición de índices sobre sus dimensiones
Anexo 5
135
Programa en Maple: Procedimiento de diseño de un inductor analizando
los limites de operación de los diferentes tipos de núcleos.
Bibliografía
147
V
VI
Simbología
Ab
Área del conductor desnudo
Ac
Área transversal del núcleo
Acon
Área del conductor
Acu
Área del cobre utilizada
Ad
Área disponible para el conductor
AL
Factor de reluctancia
Ap
Producto de áreas
At
Área total
Aw
Área de la ventana
Aδ
Área sin utilizar
B
Densidad de flujo
BAC
Densidad de flujo alterna
Bmax
Densidad de flujo máxima
Br
Flujo remanente
Brs
Retentividad
Bs
Punto de saturación
Bsat
Flujo de saturación
VII
B0
Densidad de flujo magnético en un toroide
d
Ancho del devanado
D
Diámetro
e
Fuerza electromotriz (f.e.m.)
f
Frecuencia
F
Fuerza magnetomotriz (f.m.m.)
F1
Factor multiplicativo del efecto piel
F2
Factor multiplicativo del efecto proximidad
Fd
Factor de dispersión
FR
Rac/Rdc
g
Entrehierro
h
Grosor del conductor
H
Intensidad de campo magnético
Hb
Altura de la bobina seleccionada
Hc
Fuerza coercitiva
Hc(t)
Campo magnético variante en el templo
Hm
Valor del campo magnético a través de la capa m
Hx
Intensidad de campo magnético
i1
Corriente del primario
i2
Corriente del secundario
im
Corriente magnetizante
imp
Corriente magnetizante en el primario
I
Corriente
I0
Corriente de salida
Iac
Componente de corriente de CA
Idc
Componente de corriente de CD
Im
Imanación
Imax
Corriente máxima
J
Densidad de corriente
Jp
Densidad de corriente producida por el efecto proximidad
Js
Densidad de corriente producida por el efecto piel
VIII
Jz
Densidad de corriente sobre el plano z
k
Relación entre la corriente de DC y la corriente RMS
Ke
constante determinada por las condiciones de operación eléctrica y
magnética
Kf
Coeficiente constante que depende de la forma de onda
KFG
Constante de forma geométrica del núcleo
Kg
Constante geométrica del transformador
Kj
Constante relacionada al crecimiento de temperatura
Km
Constante del núcleo, pérdidas por unidad de volumen
Ku
Factor de utilización de la ventana o factor de llenado (fill factor)
Kv
Constante relacionada a la configuración del núcleo
Kw
Coeficiente de utilización de la ventana
l
Longitud del elemento considerado
lg
Longitud del entrehierro
lm
Ruta magnética del núcleo
lw
Ancho de la ventana del núcleo
L
Inductancia
Ld
Inductancia de dispersión
Lm
Inductancia magnetizante
Lmp
Inductancia magnetizante en el primario
mcap
Número de capas
M
Campo producido por el material magnético
MLT
Longitud promedio por vuelta del embobinado
N
Número de vueltas
Nc
Número de vueltas corregido
Ncap
Conductores por capa
P
Pérdidas
PDEV
Pérdidas en el devanado
Pin
Potencia de entrada
Pm
Perdida por capa
PNU
Pérdidas en el núcleo
Po
Potencia de salida
IX
Pp
Pérdidas por el efecto proximidad
Ps
Pérdidas por el efecto piel
Pt
Capacidad de potencia aparente
PTOT
Pérdidas totales
rc
Radio del conductor
rδ
Radio del área sin utilizar
R
Reluctancia
Rac
Resistencia en ac
Rac_m
Resistencia equivalente de CA por capa
Rdc
Resistencia en dc
Rc
Reluctancia del núcleo
Reff
Resistencia efectiva
Rg
Reluctancia del entrehierro
Rl
Reluctancia debida a la dispersión
v
Tensión
V
Volumen en el cual existe un campo magnético
Vc
Volumen del núcleo donde se encierra todo el flujo
Vg
Volumen del entrehierro donde se encierra todo el flujo
w
Ancho de la ventana conductor tipo lamina
wg
Densidad de energía en el entrehierro
W
Energía almacenada en una bobina
Wc
Energía almacenada en el núcleo
Wg
Energía almacenada en el entrehierro
Wt
Peso del transformador
Xm
Susceptibilidad magnética
α
Regulación
δ
Profundidad piel
δ0
Profundidad piel a la frecuencia fundamental
∆
h/δ0
∆i
Rizo de corriente
Φ
Flujo magnético
Φg
Flujo magnético en el entrehierro
X
Φl
Flujo magnético en la ruta magnética del núcleo
ηi
Porosidad
λ
Flujo magnético total o de enlace
µ
Permeabilidad
µ0
Permeabilidad del vacío
µc
Permeabilidad del núcleo
µr
Permeabilidad relativa
ρ
Resistividad
ρcu
Resistividad del cobre
σ
Conductividad
σw
Conductividad de lamina equivalente
ω
Frecuencia angular
XI
XII
Nomenclatura
1D
Primera dimensión
2D
Segunda dimensión
3D
Tercera dimensión
CA
Corriente alterna
CD
Corriente directa
XIII
XIV
Capítulo 1
Introducción
1.1.-
Antecedentes
El desarrollo de los sistemas electrónicos ha sido enorme en los últimos años debido
a las grandes ventajas que presentan en áreas como sistemas de alimentación
conmutados, balastros electrónicos, filtros activos, etc. En la actualidad, existe la
tendencia a disminuir el costo y tamaño de estos sistemas, como consecuencia del
acelerado desarrollo de la tecnología para la fabricación de dispositivos semiconductores y
circuitos integrados. Sin embargo, los elementos magnéticos que se utilizan en estos
sistemas son muy específicos, voluminosos y de costo relativamente alto, por lo que
sobre ellos se enfoca gran parte del esfuerzo en reducción de costo y tamaño.
Una de las estrategias propuestas para disminuir las dimensiones de los elementos
magnéticos consiste en elevar la frecuencia de operación. Esto, ocasiona nuevos
problemas en el diseño, ya que aparecen fenómenos que deben ser tomados en cuenta
como el efecto piel, proximidad, distribución del campo magnético, entre otros.
Otras estrategias involucran el estudio de nuevos materiales, una nueva geometría
del núcleo y el empleo de devanados no convencionales (transformadores planos,
devanados dentro del circuito impreso).
Teniendo en cuenta que los sistemas electrónicos operan cada vez a frecuencias
más altas, por lo que los fenómenos que surgen por este incremento hacen que el diseño
de los elementos magnéticos se vuelva muy crítico. A esto hay que sumarle dichos
elementos deben ser construidos en forma muy especifica según las características de la
aplicación. En este trabajo se estudiaron los fenómenos mas importantes derivados de la
operación de los elementos magnéticos en alta frecuencia más importantes; los criterios,
los métodos y las técnicas utilizadas que los incluyen en el diseño magnético, teniendo
como resultado final, una metodología de diseño práctica y efectiva en alta frecuencia.
1
1.2.-
Objetivos
1.2.1.-
Objetivo general
Estudio del comportamiento de elementos magnéticos en alta frecuencia enfocado al
diseño de dispositivos magnéticos.
1.2.2.•
Objetivos particulares
Estudio de los fenómenos en alta frecuencia: efecto piel, efecto proximidad,
parásitos, entre otros.
Estudio de los diversos métodos y técnicas de diseño magnético en alta frecuencia.
Selección de un método, práctico y efectivo, bajo los siguientes criterios: exactitud
y precisión del método, mínimas pérdidas, menor tamaño y facilidad de devanado.
Selección de un método práctico, para implementarse en los diseños que se
realizan en el área de Electrónica de Potencia del Departamento de Ingeniería
Electrónica.
•
•
•
1.2.3.•
•
•
•
•
•
1.3.-
Metas
Dominio de los fenómenos en alta frecuencia.
Comprender los análisis propuestos en 1D para evaluar e incluir los efectos en alta
frecuencia en el diseño de un elemento magnético.
Establecer criterios de diseño que tomen en cuenta los efectos en alta frecuencia,
haciendo énfasis en la aplicación particular.
Establecer ecuaciones de la literatura para evaluar los efectos de alta frecuencia,
sencillos y prácticos, que no involucren tiempo y uso de equipo o software
especializado, con la suficiente precisión para su uso efectivo.
Obtención de un método de diseño en alta frecuencia efectivo (núcleos
convencionales).
Establecer algún método de optimización del diseño final, para reducir las perdidas
de CA, especialmente para conductor de hilo redondo, el mas utilizado.
Marco conceptual y estado del arte
Existen muchos trabajos sobre el diseño magnético en alta frecuencia; cada uno se
enfoca en algún problema en particular: forma de los devanados, corrientes parásitas,
resistencia de CA, etc.; pero no existe uno que abarque todos estos fenómenos, esto
debido principalmente a que depende fuertemente de las características de la aplicación.
Se han dedicado esfuerzos para analizar los fenómenos de alta frecuencia con el fin de
comprenderlos e incluirlos en el diseño magnético. Aquí se presentarán algunos de los
métodos y técnicas existentes en la literatura que buscan solucionar algunos de los
problemas que surgen en alta frecuencia.
2
Colonel Wm. T. MacLyman. Transformer and Inductor Design Handbook.
Método del producto de áreas. [1]
Este método tiene por objetivo estimar el tamaño del núcleo necesario para la
aplicación considerada, en función del parámetro conocido como producto de áreas, este
parámetro consiste en el producto del área efectiva por el área de ventana del núcleo
magnético a utilizar (Ap = Aw x Ac). El parámetro parte de relaciones empíricas (únicas)
del producto de áreas con el volumen, el área de superficie, densidad de corriente y peso
para los diferentes tipos de núcleos. Toda la información la proporciona el fabricante.
La premisa básica de la cual parte este método indica que: para máxima eficiencia
las pérdidas del núcleo son iguales a las del devanado.
Básicamente el método consiste en lo siguiente:
•
•
•
•
•
Especificar un incremento de temperatura aceptable y los parámetros de la
aplicación (L, Imax, Iac, Ief) se obtiene un valor de Ap.
Seleccionar por medio de una tabla el núcleo adecuado.
Calcular el número de vueltas, utilizando las relaciones de Ap, utilizando como
criterio el límite de saturación o las pérdidas.
Calcular el diámetro del hilo, en función del número de vueltas y el área de
ventana.
Calcular el entrehierro.
Las desventajas de este método son:
•
•
•
•
No es fácil especificar un incremento de temperatura aceptable.
No existen criterios suficientes para especificar una densidad de flujo máxima Bac.
Para máxima eficiencia se suponen pérdidas en el núcleo iguala las del devanado,
pero no se cumple cuando el límite de diseño es la saturación, es decir, podría
operar por encima de Bsat.
No se toman en cuenta los fenómenos de alta frecuencia.
A
B
E FH
AC
AW
D
(a)
(b)
Figura 1-1. Producto de áreas para el núcleo tipo Pot:
(a) Vista superior y (b) corte transversal.
3
Juan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: “Elementos magnéticos en alta
frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño”. Departamento de
Ingeniería Eléctrica, Electrónica, de Computadores y de Sistemas de la
Universidad de Oviedo, España. Diciembre de 1993. [2]
En su trabajo doctoral, J. Lopera hace una mejora al producto de áreas y agrega
algunos criterios para la selección del hilo y técnicas de devanado. Básicamente es el
mismo método de producto de áreas.
Método de valoración de pérdidas:
•
•
•
•
•
•
•
•
Se obtiene el tamaño del núcleo a partir de la especificación de las máximas
pérdidas aceptables (producto de áreas).
Se obtiene una nueva relación con el volumen del núcleo.
Se estima el volumen mínimo necesario en función de constantes de los materiales
y de las pérdidas aceptables.
Se evita que el núcleo trabaje por encima de Bsat.
Se selecciona el núcleo de los cálculos anteriores.
Se obtiene el volumen mínimo del núcleo.
Se calcula el número de vueltas y el diámetro del hilo.
Se calcula el entrehierro.
Lopera agrega algunos criterios de selección del hilo óptimo:
Hilo redondo y tipo laminar.
•
Por medio de un proceso iterativo es posible obtener las dimensiones del hilo
óptimo, considerando el efecto piel en alta frecuencia y realizando un análisis de
pérdidas en los devanados.
Hilo de Litz.
Se caracteriza por tres parámetros: diámetro exterior, diámetro del hilo base y
número de hilos base. El diseño se realiza con base en:
•
•
•
Selección de un diámetro exterior de forma que se llene completamente el área de
ventana.
Elegir diámetro de hilo base menor que la profundidad piel, para evitar efectos en
alta frecuencia.
Desventaja: difícil de conseguir y costoso.
Igualmente Lopera presenta un proceso de selección del devanado óptimo:
dependiendo de la dimensión del hilo óptimo propone dos métodos para encontrar el
devanado óptimo para minimizar las pérdidas.
Las conclusiones de Lopera, en cuanto al diseño magnético en alta frecuencia son:
No es posible desarrollar un método completo de diseño de elementos magnéticos que
permitan la selección del núcleo necesario.
Recomienda el uso del hilo redondo, por fácil de devanar y económico.
4
Ashkan Rahimi-Kian, Ali Keyhani, Jeffrey M Powell. “Minimum Loss Design of a
100 kHz Inductor with Litz Wire”. IEE PESC 1997.[3]
Los autores presentan un método iterativo para obtener pérdidas mínimas en el
núcleo y utilizan el método del producto de áreas para determinar los datos del núcleo y
el tipo de hilo.
Con los datos anteriores determina lo siguiente:
•
•
•
•
•
Área de ventana.
Sección transversal.
Densidad de flujo.
Número de vueltas.
Dimensión del entrehierro de aire.
En este punto realizan un nuevo cálculo de la densidad de flujo y además:
•
•
•
Se determinan las pérdidas en el núcleo y del devanado.
Se determina la resistencia de CA del hilo Litz.
Determinación del factor de utilización de la ventana Kw.
Se comprueba si las pérdidas del núcleo son iguales a las pérdidas del devanado. Si es
cierto, se utiliza otro núcleo y se repiten los pasos anteriores. Si no es cierto se escoge
otro tamaño de hilo y se repiten los pasos anteriores. Se comparan los resultados para
varios núcleos y se escoge el mejor caso.
D. K. W. Cheng, K. L. Ng. “ A new approach in switching mode transformer
design with distributive configuration ”. Politécnico de Hong Kong. IEEE PESC
1992. Pags 1387-1392. [4]
Los autores ofrecen un nuevo método de diseño utilizando una configuración
distributiva:
Figura 1-2. Configuración distributiva.
La configuración se construye con núcleos planares tipo E. Las ventajas que
presentan son:
5
•
•
•
El tamaño del transformador puede ser reducido.
Distribución térmica.
La capacitancia y el coeficiente de acoplamiento pueden ser controlados.
Desventaja:
•
Incremento de las pérdidas del cobre debido al efecto piel y pérdidas del núcleo.
Jiankun Hu, Charles R. Sullivan. “Analytical Method for Generalization of
numerically Optimized Inductor Winding Shapes”. IEEE PESC 1999. Pags 568573. [5]
Los autores presentan un método simple para optimizar la forma de embobinado de
inductores, para cualquier diseño con el mismo núcleo, sin repetir las operaciones del
cálculo. Esto permite reducir las pérdidas de embobinado en alta frecuencia, debido al
efecto proximidad y al entrehierro presente.
10 KHz
30 KHz
50 KHz
Figura 1-3. Ejemplo de optimización del embobinado de un inductor.
W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Brelin. “Optimizing the AC resistance of multilayer
transformer windings with arbitrary wave forms”. IEEE PESC 1999.[6]
Los autores presentan una nueva fórmula para optimizar la dimensión de las capas
de transformadores multicapa, utilizando únicamente los valores eficaces de corriente y
voltaje; aplicable a cualquier forma de onda. Esto evita el utilizar los coeficientes de
Fourier de hasta 30 armónicos y obtener hasta 10 valores diferentes de capa hasta
encontrar el óptimo.
Resumen
Como se puede observar en los artículos anteriores:
•
•
6
No existen criterios universales de diseño en alta frecuencia.
Los fenómenos atribuidos a la alta frecuencia en los elementos magnéticos, como
el efecto piel o proximidad, deben ser incluidos al realizar el diseño.
•
•
1.4.-
El método base para cualquier diseño es el producto de áreas, a pesar de que no
es recomendable para alta frecuencia.
La mayoría de los autores presentan técnicas para optimizar el diseño de los
elementos magnéticos una vez determinado los datos por medio del producto de
áreas. Estas técnicas son muy variadas y algunas son específicas a cierta(s)
aplicación(es).
Metodología desarrollada
Dado que el problema fue el estudio de los fenómenos en el diseño magnéticos en
alta frecuencia, se siguió la siguiente metodología a fin de comprenderlos mejor y
estudiar las soluciones propuestas en la bibliografía para tomarlos en cuenta en el diseño
y optimizarlos.
•
ESTUDIO DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA. Revisión general de la teoría
electromagnética:
1. Campo Magnético
-
Ley de Ampere
Ley de Biot - Savart
Fuerza de Lorentz
Ley de Faraday
Ejemplo de campo magnético de un hilo, espira, solenoide y toroide.
Flujo magnético y densidad de flujo
Ley de Gauss para campos magnéticos
Intensidad de campo magnético H
Fuerza magnetomotriz
Autoinducción
Energía almacenada en una bobina
Energía almacenada en un campo magnético
El potencial vector magnético.
Ley de la divergencia
2. Materiales magnéticos
-
Fuentes de campo magnético
Relación entre B, H y M (imanación)
Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos
Formación de dominios en los materiales ferromagnéticos
3. Magnetismo
-
Energía perdida en un ciclo de histéresis
Perdidas por corrientes de Foucault
Circuito magnético
Transformador, autoinducción e inducción mutua
7
4. Ecuaciones de Maxwell.
-
Ley de Faraday, Ampere, y de Gauss como ecuaciones de Maxwell
Flujo magnético cuarta ecuación de Maxwell
Potenciales para campos variables con el tiempo
Aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell, ondas electromagnéticas
propagación de energía.
y
•
ESTUDIO DE LOS FENÓMENOS EN ALTA FRECUENCIA. Efecto piel,
proximidad, pérdidas en los devanados etc. y los problemas que ocasionan en el
diseño de elementos magnéticos en alta frecuencia. Aplicaciones de las leyes de
Maxwell a las estructuras de los elementos magnéticos (conductores, devanados,
núcleo) para obtener las ecuaciones (Ecuación de Dowell) que predicen las
pérdidas ocasionadas al incrementar la frecuencia, y la consiguiente optimización
de dichas pérdidas en el diseño de los elementos magnéticos.
•
ESTUDIO DE LOS MÉTODOS Y TÉCNICAS DE DISEÑO DE ELEMENTOS
MAGNÉTICOS EN ALTA FRECUENCIA.
•
VALIDACIÓN DE LOS MÉTODOS OBTENIDOS. Evaluación de las ecuaciones
simplificadas obtenidas para determinar el incremento de resistencia en CA al
elevar la frecuencia. Construcción de un prototipo experimental utilizando núcleo
convencional, verificando que el método propuesto sea práctico, de fácil
implementación y que no involucre rediseños innecesarios.
1.5.-
Aportación o contribución del trabajo
Esta tesis proporcionará bases sólidas para el diseño de elementos magnéticos en
alta frecuencia. Se propondrá un método adecuado según los criterios establecidos y
alguna(s) técnica(s) de optimización. Con este trabajo se espera enriquecer el área de
Sistemas de Alimentación Conmutados.
1.6.-
Referencias
[1]
Colonel Wm. T. MacLyman. “Transformer and Inductor Design Handbook”. Editorial
Board, 1988.
[2]
Juan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: “Elementos magnéticos en alta
frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño”. Universidad de Oviedo,
España. Diciembre de 1993. Gijon, España.
[3]
Jiankun Hu, Charles R. Sullivan. “Analitical Method for Generalization of numerical
Optimizad Inductor Windings Shapes”. PESC 1999. Pags. 568-573.
[4]
Ashkan Rahimi-kian, Ali keyhani, Jeffrey M Powell. “Minimum Loss Design of a 100
kHz Inductor with Litz wire”. IEEE Annual Meeting, New Orleans, LA., Octubre 5-9,
1997.
8
[5]
K.W.E. Chang. P.D. Evans. “Optimization of high frequency inducor design of serie
resonant converter”. PESC 1992. Pags 1416-1422.
[6]
W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. “Optimizing the AC resistance of multilayer
transformer windings with arbitrary wave forms”. IEEE PESC 1999.
[8]
D.K.W Cheng, K.L. Ng. “A new approach in switching mode transformer design with
distributive configuration”. PESC 1992. Pags. 1387-1392.
[9]
Magnetics Inc. Tecnicals Bolletin and Catalogs.
[10] Unitrode. Power Supply Design Seminar 1993.
[11] I. Sasada, T. Yamaguchi y K. Harada. “Methods for loss reduction in planar
inductors”. PESC 1992. Pags 1410-1415.
9
10
Capítulo 2
Conceptos Básicos
2.1.-
Introducción
Dentro del conjunto de dispositivos que constituyen un circuito eléctrico, los
elementos magnéticos presentan una particularidad importante que los diferencia del
resto, y es que, mientras que los demás componentes se adquieren ya fabricados, los
elementos magnéticos en la mayor parte de los casos deben ser diseñados y construidos
para cada aplicación específica.
Este hecho trae consigo la necesidad imperiosa de disponer de modelos que
permitan conocer los parámetros eléctricos de los dispositivos magnéticos, así como de
criterios de diseño que faciliten al mismo.
Dichos criterios de diseño serán diferentes en función de que en el elemento
magnético aparezcan o no ciertos efectos de redistribución del campo electromagnético.
Ello dependerá tanto de la frecuencia de trabajo como de las dimensiones del elemento a
diseñar (conductores y núcleo).
2.1.1.- Elementos magnéticos en convertidores electrónicos de
potencia
Los elementos magnéticos se dividen de forma general en dos grandes grupos
según la función que realizan:
- Inductores
El objetivo de los sistemas de potencia es extraer energía de una fuente primaria
para suministrarla a una determinada carga de forma controlada. En los sistemas
electrónicos de potencia esta energía inicial proviene de un campo eléctrico. Para
11
controlar el flujo de energía hacia la carga será necesario almacenar parte de la energía
en algunos instantes de tiempo. Para ello existen dos formas clásicas: almacenar la
energía en forma de campo eléctrico (condensadores) o almacenarla en forma de campo
magnético (inductores).
Así pues un inductor es un dispositivo que almacena energía procedente de una
corriente eléctrica.
- Transformadores
Al igual que los inductores, los transformadores convierten la energía de un campo
eléctrico en un campo magnético, pero no con la misión de almacenarla, sino para volver
a convertirla en un nuevo campo eléctrico, y conseguir así modificar las propiedades
(tensión – corriente) del campo inicial, además de proporcionar aislamiento galvánico.
Esta división general de los elementos magnéticos en transformadores e inductores
es muy simple, ya que las misiones específicas de los componentes magnéticos son muy
variadas. En un circuito electrónico podemos encontrar elementos tan diversos como:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Transformadores de alterna, de baja frecuencia.
Inductores para filtros de entrada, de corrientes bajas.
Transformadores de potencia de alta frecuencia.
Inductores para filtros de salida, de corrientes altas.
Transformadores de impulsos.
Inductores auxiliares para circuitos resonantes.
Amplificadores magnéticos.
Inductores para filtros.
Transformadores de corriente y señal.
2.2.-
Principios de la teoría electromagnética
A continuación se citarán las leyes básicas que describen el comportamiento
electromagnético.
* Ley de Bio-Savart [4]
Esta ley permite obtener el valor de la densidad de flujo magnético en un punto del
espacio, considerando campo cercano, debido a un elemento diferencial de corriente. La
expresión matemática resulta ser:
donde:
µ
es
I
Es
r
Es
dl
Es
G
dl
G
r
12
JJG G
JG µ ⋅ I dl × r
dB =
dl
4π r 2
la
la
la
la
(2.1)
permeabilidad del medio.
corriente por el conductor.
distancia entre el punto considerado y el elemento de corriente.
longitud del elemento considerado.
Es un vector unitario tangente al elemento de corriente y con sentido el de dicha
intensidad
Es un vector unitario en la dirección de la recta que va del punto al elemento de
corriente y que apunta a P.
I
dH
dl
r
r
P
Figura 2-1. Campo creado por un elemento de corriente.
La figura 2-1 ilustra las magnitudes anteriormente consideradas.
* Ley de Ampere
Esta ley establece que la integral de línea del vector intensidad de campo magnético
H a lo largo de una trayectoria sencilla cerrada, es igual a la corriente total (o fuerza
magnetomotriz) encerrada por dicha trayectoria. La expresión matemática
correspondiente será por lo tanto:
JJGJJG
F = v∫ H dl = ∑ i
(2.2)
siendo:
F
H
dl
la fuerza magnetomotriz (A)
el vector intensidad de campo (A/m)
elemento diferencial de longitud del contorno cerrado (m)
* Ley de Faraday de la inducción electromagnética
La f.e.m. inducida en un circuito eléctrico es igual a la rapidez de disminución de
flujo magnético de enlace sobre el circuito.
e=−
dλ
dt
(2.3)
13
donde:
e
λ
es la fuerza electromotriz
es el flujo magnético de enlace o total, si se dispone de una bobina con N vueltas,
con un flujo por vuelta Φ, el flujo magnético de enlace responde a la expresión:
λ = N ⋅Φ
(2.4)
La polaridad de la f.e.m. inducida viene dada por la ley de Lenz que afirma que la
corriente inducida va en una dirección tal que se opone al cambio del flujo que la originó.
* Energía en el campo magnético
Crear un campo magnético requiere un “gasto” de energía para el que establece
dicho campo: la densidad de energía en cualquier punto del campo viene dado por la
expresión:
JJG JG
w = ∫ H ⋅dB
(2.5)
donde:
w
B
H
es la densidad de energía expresada en julios/m3
es el vector densidad de flujo (en Teslas)
es el vector intensidad de campo magnético (en A/m)
En un medio isotrópico se verifica que:
JG
JJG
B = µH
(2.6)
siendo la µ la permeabilidad magnética del medio, (para el vacío µo=4π⋅10-7 H/m), con lo
cual:
1
1 B2
2
w = µH =
2
2 µ
(2.7)
* Ley de la divergencia
Las líneas de campo magnético son continuas, forman trayectorias cerradas sin
fuentes ni sumideros. Se dice que la densidad de flujo B tiene carácter solenoidal.
JG
div B = 0
2.2.1.-
(2.8)
Circuitos magnéticos
Como se acaba de indicar, las líneas de flujo magnético forman curvas cerradas. Si
todo el flujo magnético (o una gran parte del mismo) asociado con una determinada
distribución de corrientes, se confina en una serie de trayectorias bastante bien definidas,
entonces podemos hablar de un circuito magnético. Esa “buena definición” de las
trayectorias va a servir para determinar los flujos magnéticos en las mismas, y ahí va a
residir su interés. En la figura 2-2 se muestra un circuito de estas características en un
anillo de material ferromagnético sobre el que se arrolla un devanado toroidal.
14
d
r
I
I
Figura 2-2. Devanado toroidal.
En un circuito magnético, la ley de Ampère describe la relación que existe entre la
corriente eléctrica que genera un campo magnético y el propio campo. En el caso
expuesto en la figura 2-2, con un total de N vueltas se cumple:
JJG JJG
(2.9)
v∫ H ⋅ dl = N ⋅ i
e
El sentido del vector de intensidad de campo H respecto a la intensidad i viene dado
por la regla de mano derecha.
La anterior expresión se puede escribir también en la forma:
Φ ⋅ dl
v∫ µ ⋅ A = N ⋅ i
(2.10)
Siendo A el área de la sección transversal del circuito en el punto considerado.
En un circuito magnético como éste, se espera que Φ sea constante en todos los
puntos, con lo cual:
Φ ⋅ v∫
dl
= N ⋅i
µ⋅A
(2.11)
Se define la reluctancia del circuito magnético de la siguiente forma:
R = v∫
dl
µ⋅A
(2.12)
se expresa en A/Wb y es un parámetro que depende de las características del medio y de
la geometría del circuito magnético. Si el flujo no fuera idéntico para todos los tramos de
un determinado circuito magnético, se define la reluctancia para cada uno de los tramos
en donde sí cumple la constancia del flujo.
A partir de la anterior definición, se puede rescribir la ley de Ampere en la forma:
F = N ⋅ i = R ⋅Φ
(2.13)
15
Ecuación que presenta una clara analogía con la expresión correspondiente a un
circuito eléctrico (ley de Ohm)
e = r ⋅i
(2.14)
La analogía existente, se centra en magnitudes tales como:
e (f.e.m.)
r (resistencia)
i (intensidad)
-
F (f.m.m.)
R (reluctancia)
Φ (flujo magnético)
La reluctancia es, por tanto, una medida de la “resistencia” que presenta el circuito
magnético o parte del mismo a la “circulación” de un flujo de campo magnético. La
analogía con el circuito eléctrico puede emplearse para el análisis de circuitos magnéticos
complejos, siendo posible la combinación de reluctancias en serie y en paralelo de la
misma forma que era posible la asociación de resistencia, la figura 2-3 sugiere dos
disposiciones, serie y paralelo respectivamente, para dos circuitos magnéticos diferentes
así como sus dos circuitos eléctricos análogos.
g
Rc
R1
Ni
+
_
Rg
Ni
R2
R3
+
_
Figura 2-3. Asociaciones serie y paralelo en circuitos magnéticos.
16
2.3.-
Parámetros eléctricos en los elementos magnéticos
2.3.1.-
Elementos magnéticos: bobinas
Tal como se ha expuesto al principio, bobinas y transformadores están presentes en
la mayoría de los circuitos electrónicos de potencia. De modo amplio, se puede decir que
las bobinas son dispositivos almacenadores de energía y como tales son empleados para
conseguir el filtrado de formas de onda conmutadas, la generación de corrientes o
tensiones senoidales en circuitos resonantes, la limitación en la velocidad de variación en
las corrientes o circuitos de protección, corrientes de arranque o transiciones limitadas,
etc.
El parámetro fundamental que define una bobina es su inductancia, cuyo significado
físico y valoración será establecido a continuación.
2.3.1.1.- Inductancia
El flujo magnético que atraviesa un circuito eléctrico aislado es función de la forma
geométrica del circuito, y dependiente de la intensidad de corriente en el propio circuito.
Por tanto, para un circuito estacionario rígido, los cambios de flujo resultan de cambios en
la corriente. Lo anterior se puede expresar como:
d λ d λ di
=
⋅
dt
di dt
(2.15)
Donde λ es el flujo de enlace total. Ver ecuación (2.4)
Se define la inductancia o coeficiente de autoinducción (L) como la relación:
L=
dλ
di
(2.16)
Esta magnitud se mide en Henrios siendo:
1 Henrio = 1 Weber/1 Amperio
Si la relación entre λ y la corriente que causa el campo magnético es lineal, la
inductancia es una constante:
L=
λ N ⋅Φ
=
i
i
(2.17)
De la anterior expresión y de la ley de Faraday (2.2) se puede obtener:
e = −L
di
dt
(2.18)
que resulta ser una expresión de importancia práctica considerable.
17
Según se había expuesto con anterioridad, una bobina es un elemento de circuito
que almacena energía en forma de campo magnético, siento la inductancia una medida
de esa capacidad de almacenamiento de “energía magnética”:
I
W = ∫ L ⋅ i ⋅ di =
0
1
L⋅I2
2
(2.19)
De la expresión anterior, se deduce que para una misma evolución de la corriente, a
mayor inductancia, mayor cantidad de energía almacenada.
De la expresión (2.17) también se deduce que para la obtención de la inductancia
de una bobina u otro circuito cualquiera, se hace necesario determinar el flujo total de
enlace generado por una determinada corriente que circula por el propio circuito, para
posteriormente, dividir ese valor por el de la corriente.
En los casos prácticos, para obtener la inductancia, no se
de manera exacta el campo magnético generado, sino que
suficiente precisión, que el campo sigue unos caminos dados,
transversales determinadas, sobre las cuales el campo es
determinados tramos del circuito magnético total.
hace necesario determinar
se puede suponer con la
que presentan unas áreas
uniforme, es decir unos
De las ecuaciones (2.13) y (2.17) también se puede obtener una relación de
interés:
N2
R
L=
(2.20)
R es la reluctancia del circuito magnético de la bobina y se puede decir que depende
de manera exclusiva de la geometría y de las propiedades magnéticas del material sobre
el que se establece el circuito magnético según se puede apreciar en la expresión (2.12).
El término N2 resulta ser un factor de escala para la inductancia.
Por tanto, la reluctancia y su inversa, denominada permeancia (P) resultan de gran
utilidad en el análisis de estructuras magnéticas complejas:
P=
1
R
(2.21)
En el caso de que en el circuito magnético se mantengan constantes las dimensiones
geométricas y el material:
P=
µ⋅A
l
(2.22)
Según se había expuesto con anterioridad al hablar de los circuitos
electromagnéticos, la analogía va a permitir determinar la inductancia cuando se emplean
formas magnéticas variadas y complejas si se establecen las reluctancias de las
trayectorias”preferidas” por las líneas de campo. El flujo seguirá los caminos de baja
reluctancia ofrecidos por los materiales de alta permeabilidad antes que los caminos de
alta reluctancia que brinda el aire, de manera análoga a la circulación de corriente a
través de los cables conductores y no por el aire circundante de un circuito eléctrico.
18
Sin embargo, existe una diferencia fundamental entre el comportamiento de un
circuito eléctrico y el de uno magnético: un circuito eléctrico se realiza con hilos de cobre
u otros materiales conductores cuyas conductividades son mayores en unos doce órdenes
de magnitud que el aislante o el aire que lo rodea, mientras que un circuito magnético
está hecho con materiales cuyas permeancias son sólo unos pocos órdenes de magnitud
superiores a la del aire del entorno, de hecho el aire forma parte frecuentemente del
circuito magnético. Por tanto, una cierta cantidad de flujo circula fuera del camino
magnético definido por el material y se cierra sobre sí mismo a través de trayectorias
alternativas por el aire. Este flujo se conoce como flujo de dispersión fuera del circuito
magnético y en una primera aproximación se puede suponer despreciable.
A partir del circuito magnético, resulta posible obtener la inductancia de una bobina
realizada a partir de un determinado núcleo, como el que muestra la figura 2-4.
Se asume, en primer lugar que la permeabilidad del material del núcleo es mucho
mayor que las del espacio libre con lo cual todo el campo magnético se supone encerrado
en el núcleo. Éste constituirá por tanto el circuito magnético que puede dividirse en tres
partes: la columna central, la rama derecha que consta de dos segmentos horizontales y
uno vertical y la rama izquierda que es simétrica a la anterior. Los dos circuitos
magnéticos por los que se cierra el flujo están definidos de manera clara y se puede
establecer la analogía eléctrica según se muestra en la figura 2-4. La permeancia o
reluctancia de cada rama depende sólo, según se viene insistiendo, de la geometría y de
las propiedades del material del núcleo. Por lo tanto como aproximación se pueden
obtener:
P1 =
µc ⋅ A1
l1
(2.23)
P2 =
µc ⋅ A2
l1 + 2l2
(2.24)
l2
l2
R1 =
A2
R2
.i
A2
+
_
l1
µc A1
R2
Ni
l1
A1
(a)
(b)
Figura 2-4. Circuito magnético y su analogía eléctrica:
(a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equivalente.
19
Resolviendo el circuito eléctrico análogo, y de (2.13) y (2.21) se obtiene:
Φ1 =
2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ µc
N ⋅i
N ⋅i
=
=
N ⋅i
R2 2 A2 ⋅ l1 + A1 (l1 + 2l2 )
R
R1 +
2
(2.25)
Y de (2.17)
L1 =
N ⋅ Φ1
2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ µc ⋅ N 2
=
i
2 A2 ⋅ l1 + A1 (l1 + 2l2 )
(2.26)
Para simplificar la determinación de la inductancia de una bobina dada, sin tener
que calcular la reluctancia (tal como se ha indicado en el ejemplo anterior) para cada una
de las formas geométricas posibles de núcleos magnéticos empleados, los fabricantes de
núcleos, suministran para cada caso un parámetro denominado factor de reluctancia
(AL) que corresponde a la inductancia referida a una vuelta para el núcleo y material
especificado. Por tanto, el factor de inductancia coincide con la permeancia puesto que
L = AL ⋅ N 2
(2.27)
La inductancia obtenida en el ejemplo anterior es linealmente dependiente de la
permeabilidad del núcleo que se ha supuesto constante. Sin embargo, esta es una
aproximación que puede ser errónea si se tiene en cuenta que esa permeabilidad
depende del valor del flujo magnético. Para independizar ese valor de la inductancia de
las variaciones de µc, se incluye en ocasiones un entrehierro en el circuito magnético
según se describe a continuación.
2.3.1.2.- Efecto de un entrehierro
La presencia de un entrehierro en un circuito magnético hace menos dependiente a
la inductancia del nivel del flujo y aumenta la densidad de energía almacenada en la
estructura según se puede observar con el siguiente ejemplo.
Supóngase ahora una bobina en un núcleo con entrehierro como el que aparece en
la figura 2-5.
La reluctancia de los tramos de núcleo y entrehierro serán respectivamente:
Rc =
Rg =
lc
(2.28)
g
µ0 A
(2.29)
µc A
La inductancia será por tanto:
 1
L = N2 
 Rc + Rg

20

µo AN 2
=

 ( µ0 µc )lc + g
(2.30)
.i
A
Φ
Φ
N
Rc
+
_
lg
Ni
Rg
lm
(a)
(b)
Figura 2-5. Bobina en núcleo con entrehierro:
(a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equivalente.
si se verifica
lg µ0
l
µc m
(2.31)
lo cual puede darse de manera habitual puesto que µe >> µ0, entonces la inductancia no
depende de las propiedades magnéticas del material y por lo tanto:
µ0 ⋅ A ⋅ N 2
L=
lg
(2.32)
Es frecuente intercalar un entrehierro para hacer que la inductancia sea predecible y
estable ante variaciones de la temperatura, nivel del flujo o modificaciones en la
fabricación que afectan a las propiedades del material magnético, aun a costa de
disminuir la inductancia del conjunto.
Los cálculos realizados hasta ahora, con o sin entrehierro, se efectuaron asumiendo
que todo el flujo que atraviesa el devanado está circulando a través del núcleo o del
volumen definido por el mismo. Sin embargo, tal y como se ha comentado, debido a los
pocos órdenes de magnitud de diferencia existentes entre el entorno y el núcleo, aparece
siempre un flujo de dispersión. Además, la existencia de un entrehierro hace que el flujo
a través del mismo incluya una componente adicional por la existencia de un
“abombamiento” que extiende y amplia la sección efectiva atravesada por el flujo en esa
zona. Ambos efectos incrementan el valor calculado para la inductancia en el supuesto de
que todo el flujo esté contenido en el núcleo y que el flujo en el entrehierro es
perpendicular a las caras que lo limitan.
21
Φc
Φ
Rc
.i
Φl
Φg
Φl
+
_
Ni
Rl
Φg
Rg
N
(a)
(b)
Figura 2-6. Flujo de dispersión y en el entrehierro:
(a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equivalente.
La figura 2-6(a) ilustra esa situación, apareciendo un flujo de dispersión Φl respecto
al circuito magnético y un flujo en el entrehierro Φg que no se ajusta a la sección principal
del circuito magnético.
El circuito eléctrico que aparece por analogía se representa en la figura 2.6(b). La
reluctancia del entrehierro es ahora Rg, menor que la correspondiente al ejemplo anterior,
debido a la nueva distribución del flujo en el espacio del entrehierro. El flujo de dispersión
“circula” a través de la rama Rl en paralelo con la fuente.
La inductancia de una bobina realizada sobre este núcleo será pues:
1
1
L = N2  +
R R +R
c
g
 l



(2.33)
El valor de esta inductancia resulta ser mayor que el obtenido en la expresión del
ejemplo, (2.32).
La importancia de esta modificación depende de las dimensiones relativas del núcleo
y del entrehierro, si éste es mucho menor que las dimensiones de los lados de la sección
transversal, la modificación resultará mucho menos significativa. En otros casos en los
que se necesite una mayor precisión, se debería valorar el flujo en cada punto mediante
un análisis numérico, de elementos finitos por ejemplo.
En ciertas formas geométricas y para determinados núcleos, los fabricantes ya
tienen prevista la necesaria inclusión y ajuste de un entrehierro.
Núcleos como el mostrado en la figura 2-7, del tipo denominado RM, disponen de
una holgura (S) en el montaje de las dos partes que constituyen el conjunto que
representa el entrehierro máximo posible. Sobre un hueco central vertical existente,
puede entrar un tornillo con recubrimiento plástico e interior de material magnético de
manera que se permite efectuar el ajuste del entrehierro en función de la mayor o menor
introducción en el hueco y por tanto de la ocupación con material magnético del
entrehierro inicial.
22
(a)
(b)
Figura 2-7. Núcleo RM con entrehierro ajustable1:
(a) Vista superior, corte transversal y (b) accesorios.
La modificación del valor de la inductancia, también se puede suministrar por medio
de unas curvas las cuales se grafican en función del número de vueltas dadas al tornillo
de ajuste, la variación porcentual de la inductancia referida al valor mínimo
correspondiente al entrehierro máximo.
2.3.1.3.- Bobinas con núcleos abiertos
En ciertas aplicaciones, como en el caso de las bobinas de las fuentes de
alimentación que trabajan con un nivel de continua elevado, para evitar la saturación del
núcleo magnético, se hace necesario el empleo de bobinas con núcleos abiertos, es decir
bobinas en las cuales el “recorrido” del flujo magnético se verifique en gran medida por el
aire como ilustra la figura 2-8.
N
l
R
Líneas
de
flujo
I
N vueltas
I
Figura 2-8. Bobina con núcleo abierto.
1
Cortesía de Ferroxcube
23
La determinación de la densidad de flujo magnético en el interior de la bobina se
puede determinar a partir de la ley de Bio-Savart (2.2), extendiendo la integración a toda
la bobina.
Procediendo de ese modo, se obtiene en el centro de la bobina una densidad de
flujo:
B=
µ⋅N ⋅I
4R + l
2
(2.34)
2
mientras que en un extremo de la bobina se tiene, por el mismo método:
B=
µ⋅N ⋅I
2 R +l
2
(2.35)
2
Esta reducción se debe a la fuga de flujo cerca de los extremos del solenoide, de
manera que si l es lo suficientemente grande, se puede considerar B como constante e
igual al valor en el centro del solenoide.
Por tanto, la inductancia correspondiente será:
L=
N ⋅ B ⋅ A µ ⋅ N 2 ⋅π ⋅ R2
=
I
4R2 + l 2
(2.36)
y en el caso habitual de que l >> R entonces se puede tomar como aproximación:
L=
µ ⋅ N 2 ⋅π ⋅ R2
l
(2.37)
Si en el centro del solenoide no existiera un núcleo magnético sino un “núcleo de
aire” todas las trayectorias de campo se describirían por el aire y se debería de sustituir
en la anterior expresión la permeabilidad µ por la correspondiente al vacío µ0.
2.3.1.4.- Energía almacenada en una bobina
La expresión (2.38) permite determinar la energía magnética almacenada en una
bobina en términos del campo magnético existente en la misma, de manera que se
cumple:
W=
1
B ⋅ H ⋅ dV
2 ∫V
(2.38)
siendo V el volumen en el cual existe campo magnético. Si se dispone de un núcleo sin
entrehierro y se supone la permeabilidad constante y uniforme, se verifica además:
B 2Vc
W=
2µ
donde Vc, es el volumen del núcleo en el que se supone se encierra todo el flujo.
24
(2.39)
Si el núcleo dispone de entrehierro, el volumen de integración deberá incluirlo.
Debido a la ley de divergencia, el valor de la densidad de flujo B, deberá de mantenerse a
lo largo de las líneas de campo aunque se produzcan variaciones en la permeabilidad µ.
Se puede expresar por tanto, la energía total almacenada como suma de la energía
almacenada en el núcleo y la energía almacenada en el entrehierro:
2
B 2Vc B Vg
+
W=
2µc
2µ0
(2.40)
Admitiendo como aproximación que las secciones transversales atravesadas por el
flujo en el núcleo y el entrehierro son iguales, la relación entre energías almacenadas en
uno y otro resulta ser:
Wg
Wc
=
µc g
µ0lc
(2.41)
Para un núcleo magnético se verifica de manera habitual:
µ c > 104 µ0
(2.42)
con lo cual la relación (2.41) resulta ser mucho mayor que uno, es decir la gran mayoría
de la energía almacenada en la bobina se encuentra en el entrehierro hasta el punto de
poder considerar:
W=
B 2Vg
2µ0
(2.43)
La densidad de energía en el entrehierro por el volumen del mismo nos proporciona
una buena aproximación de la energía total almacenada en una determinada inductancia.
Si el núcleo fuera de hierro, que suele presentar una densidad de flujo máximo de
1.4 Teslas, la densidad de energía máxima en el entrehierro sería:
(1.4) 2
wg =
= 1 J / cm3
2µ0
(2.44)
Sin embargo, si el núcleo es de ferrita, la densidad de flujo máxima es típicamente
de 0.3 Teslas, la densidad de energía máxima sería sólo de 0.05 J/cm3.
Cuando se diseña una bobina, los valores de la corriente y la inductancia de la
misma, determinan la energía total almacenada y conocida la densidad máxima en el
entrehierro, resulta inmediata la determinación del volumen necesario de éste.
2.3.2.-
Elementos magnéticos: transformadores
En una primera aproximación, se puede decir que un transformador es un conjunto
de dos o más bobinas acopladas entre sí a través de un circuito magnético común, es
decir dos o más devanados enlazados por un flujo común. La figura 2-9 muestra por
tanto un transformador de dos devanados.
25
+
A1
-
. .i
µ
c
2
.l
c
N2
N1
.+
.i 1
A2
-
Figura 2-9. Transformador de dos devanados.
El núcleo del transformador es el que suministra el circuito magnético de baja
reluctancia a través del cual “circula” la gran parte del flujo generado por los devanados.
Los transformadores, dentro de los circuitos electrónicos de potencia, se emplean
con muy diversos cometidos y características. En baja frecuencia (50 Hz, 60 Hz o 400
Hz) los transformadores de potencia se realizan con núcleos de chapas de acero laminado
y su finalidad es elevar o reducir la tensión de línea, conseguir aislamiento eléctrico o
lograr desplazamientos de fase en sistemas polifásicos. En alta frecuencia, el
transformador hace posible el aislamiento y la modificación de tensiones. En las
aplicaciones de alta frecuencia los fabricantes emplean mezclas de polvo de hierro o
ferritas con la finalidad de reducir las pérdidas en el núcleo.
En otras ocasiones, es preciso emplear transformadores para efectuar el mando en
la compuerta o en la base de los dispositivos de control de potencia. También son usados
en ciertos casos como sensores de tensión o corriente en sistemas realimentados.
2.3.2.1.- El transformador ideal
Se dice que los devanados de un transformador de dos bobinas están perfectamente
acoplados si ambos se encuentran atravesados por el mismo flujo de enlace y éste es el
único que los atraviesa. En ese caso, la tensión inducida por vuelta es la misma, siendo
además la tensión en cada devanado directamente proporcional a su número de espiras.
v1 N1
=
v2 N 2
26
(2.45)
El origen del campo magnético en el transformador es la suma algebraica de las
f.m.m. producidas por cada uno de los devanados. Se emplea el convenio de puntos para
indicar la polaridad de los devanados, de manera que si las corrientes son entrantes por
los puntos señalados (terminales correspondientes), los flujos generados por ambos se
suman, tómese como ejemplo el transformador de la figura 2-10 en la cual, la aplicación
de la regla de la mano derecha nos indica cuáles son las terminales correspondientes.
La intensidad del campo magnético se puede obtener a partir de la ley de Ampère
(2.2):
H=
N1ii + N 2i2
lc
(2.46)
Si la permeabilidad del núcleo fuese infinita, H debería ser cero para evitar que la
densidad de flujo magnético B fuese infinita. Pero la condición de nulidad de H se verifica
si la suma de f.m.m. es cero, es decir:
i1
N
=− 2
i2
N1
(2.47)
Los sentidos de las corrientes son opuestos: uno entrante y otro saliente de
“terminal con punto”.
La impedancia “vista” desde las terminales de entrada (correspondientes al
devanado 1) supuesta una señal senoidal en los mismos, corresponde a la relación entre
su tensión y su corriente, por tanto a partir de las expresiones (2.45) y (2.47):
2
2
v N  v N 
Z1 = 1 =  1  2 =  1  Z 2
i1  N 2  i2  N 2 
(2.48)
En la figura 2-10 se ilustra el caso de una impedancia de carga de valor Z2 situada
en el secundario que podría reemplazarse a efectos del primario por una impedancia
equivalente Z1 del valor indicado por (2.48).
N1:N2
+
V1
_
I1
+
I2
Z2
I1
V1
Z1
_
Figura 2-10. Impedancia referida al primario.
27
Las ecuaciones (2.45) a (2.48) describen el comportamiento de un transformador ideal.
Un transformador real difiere del ideal en tres aspectos fundamentales:
1.-
Las tensiones no responden exactamente a la relación (2.45) puesto que no todo el
flujo que atraviesa uno de los devanados cruza el otro, debido a la existencia de un
flujo de dispersión.
2.-
la permeabilidad es finita con lo que la relación (2.47) tampoco es totalmente cierta.
Es necesaria una f.m.m. total no nula para crear un flujo en el núcleo, la corriente
necesaria para crear ese campo se denomina corriente magnetizante.
3.-
Las relaciones (2.45) y (2.47) expuestas no dependen de la frecuencia pudiendo
trabajar en continua, pero este no es el caso de un transformador real.
A pesar de estas diferencias, la aproximación del transformador ideal resulta muy
útil en el modelado de los transformadores reales.
2.3.2.2.- Inductancia magnetizante
Tal y como se ha dicho, para que dos devanados se encuentren acoplados
magnéticamente deberá de existir un flujo que los atraviese a ambos, normalmente uno
de ellos genera una densidad de campo B que enlaza al otro devanado. Sólo en el caso
hipotético de permeabilidad infinita puede existir densidad de flujo B sin intensidad de
campo H (2.6) y por tanto con f.m.m. total nula. La mayor aproximación se obtendrá
empleando un núcleo sin entrehierro y alta permeabilidad. En ese caso, lo que se tiene
desde uno de los devanados, si el otro se encuentra en circuito abierto, es simplemente
una inductancia de valor muy elevado (pero finito) denominada inductancia
magnetizante. En función de cuál sea el devanado desde el que se mide la inductancia
magnetizante, ésta puede tomar dos valores distintos que estarán relacionados entre sí
por el cuadrado de la relación de espiras.
La figura 2-11 muestra un transformador con acoplamiento perfecto pero con una
inductancia magnetizante finita Lm que se sitúa en paralelo con el transformador ideal
correspondiente.
i1
i2
im
+
V1
Lm
N1
N2
_
Figura 2-11. Modelo con inductancia magnetizante.
28
La inductancia magnetizante podría situarse en cualquiera de los dos lados del
transformador ideal. La corriente que circula a través de esa inductancia (im), se
denomina corriente magnetizante y es la causante de que la expresión (2.47) no sea
exacta debido a la necesidad de que la f.m.m. total generada por los dos devanados sea
no nula.
El cálculo de la inductancia magnetizante de un transformador se obtiene por el
mismo procedimiento de cálculo de inductancias visto con anterioridad, si se considera
únicamente el devanado primario o el secundario y se mantiene el otro en circuito
abierto.
2.3.2.3.- La inductancia de dispersión
Como ya se había comentado a la hora de hablar de los circuitos magnéticos, existe
la posibilidad de que no todo el flujo generado por uno de los devanados circule por el
circuito magnético y atraviese el otro devanado. Existe una porción de flujo que atraviesa
el aire y no enlaza los dos devanados, lo que provoca un acoplamiento imperfecto entre
devanados.
A la hora de incluir esta circunstancia en el modelo de un transformador real, se
incorporan unas inductancias de dispersión en serie con las terminales de entrada y de
salida tales como Ld1 y Ld2 en la figura 2-12.
Por tanto, la relación de tensiones primario/secundario difiere de la dada por la
expresión (2.45) debido a las “caídas de tensión” existentes en las dos inductancias de
dispersión.
La dispersión del flujo fuera del circuito magnético presenta un efecto más
importante en los transformadores que en las bobinas. En éstas últimas, el único
efecto es el aumento en el valor previsto, mientras que en el otro caso, se interfiere el
funcionamiento básico del transformador. Por tanto será necesario conocer el motivo de
la dispersión del flujo en un transformador para realizar un diseño más efectivo. En la
mayoría de las ocasiones se pretenderá minimizar ese parámetro, puesto que aparte de
la discrepancia con la expresión (2.45) la inductancia de dispersión puede provocar la
aparición de sobretensiones indeseadas en los dispositivos de conmutación al intentar
cortar de manera brusca la corriente que circula a través de ellos.
i1
Ld1
Ld2
N1:N2
i2
im
V1
Lm
N1
N2
V2
Figura 2-12. Modelo con inductancias de dispersión.
29
Ese sería el caso del convertidor CD/CD mostrado en la figura 2-13, donde la
inductancia de dispersión se sitúa de manera directa en serie con el interruptor.
En caso como el de los convertidores resonantes, puede ser oportuno tener ajustado
ese valor con la finalidad de incluir la inductancia de dispersión en la inductancia
resonante (figura 2-14).
En cualquier caso, resulta evidente que en todas las aplicaciones se necesita tener
controlado éste parámetro.
La determinación de la inductancia de dispersión puede efectuarse por un
procedimiento de medida, si se dispone ya del transformador, o por un procedimiento
analítico a partir del detalle constructivo y disposición de los devanados. Este
procedimiento será de mayor interés si se pretende realizar el ajuste de manera previa a
la materialización del transformador, como ocurre en la mayoría de los casos.
N1:N2
Ld2
Lm
Ld1
Figura 2-13. Convertidor PWM de topología flyback.
N1:N2
Ld
_
Lm
+
L´r
~ Lr
Cr
Figura 2-14. Convertidor de interruptor resonante.
30
2.4.-
Magnetización, permeabilidad relativa y susceptibilidad
magnética
Si se considera el toroide de la figura 2-15(a), aplicando las leyes y ecuaciones
mostradas anteriormente la densidad de flujo magnético B en el toroide será:
B0 = µ 0
NI
l
(2.49)
Sin embargo, si se mide en el toroide de la figura 2-16(b), se obtiene una densidad
de flujo mayor de la esperada.
Debe existir por tanto otra fuente de flujo magnético en el material que provoque
dicho aumento. Dado que, para el caso del aire la fuente del campo magnético era una
corriente, este flujo total B, puede expresarse en la forma:
B = µ0
N
 NI NI m 
( I + I m ) = µ0 
+
 = µ0 ( H + M )
l
l 
 l
(2.50)
donde H es el campo producido por la corriente exterior I, M es el campo producido por el
propio material magnético. Im representa al campo adicional M, conocido como
magnetización o imanación.
Aire
Núcleo
(a)
(b)
Figura 2-15. Devanado toroidal: (a) con núcleo de aire y (b) con núcleo magnético.
31
Por analogía con el caso de núcleo de aire, donde:
B = µ0 H
(2.51)
para el caso de materiales magnéticos, en los que:
 M
B = µ0 ( H + M ) = µ0 1 +
 H

H

(2.52)
se define la permeabilidad como:
 M
µ = µ0 1 + 
 H
(2.53)
y la permeabilidad relativa como:
µr =
M
µ
= 1+
H
µ0
(2.54)
La relación adimensional M/H se conoce como susceptibilidad magnética Xm, y da
una medida del grado de imanación de un material por efecto de H. Es decir:
2.5.-
M = X mH
(2.55)
µr = 1 + X m
(2.56)
Materiales
diamagnéticos,
ferromagnéticos
paramagnéticos
y
Si se introducen como núcleo, en el toroide de la figura 2-16, varios materiales, se
observan tres distintos efectos:
a) Para unos materiales la B obtenida es ligeramente menor a la obtenida con núcleo
de aire. Su susceptibilidad magnética será por tanto negativa. A estos modelos se
les denomina diamagnéticos.
b) En otros materiales la B observada es ligeramente superior que en caso de núcleo
de aire. Su susceptibilidad magnética es positiva. Dichos materiales se denominan
paramagnéticos.
c) Por último, para algunos materiales la B obtenida es muy superior a Bo. Estos
materiales, que se denominan ferromagnéticos, presentan además la
peculiaridad de que dicho efecto (B>>Bo) desaparece a partir de una temperatura
denominada temperatura de Curie Te*.
32
Tabla 2-1. Clasificación de materiales con su respectiva susceptibilidad magnética.
Material
Susceptibilidad
PARAMAGNÉTICO
Mg
Al
Pt
aire
O2
1.2 × 10-5
2.2 × 10-5
3.6 × 10-4
3.6 × 10-7
2.1 10-6
DIAMAGNÉTICO
Na
Cu
diamante
Hg
H2O
-0.24 × 10-5
-1.0 × 10-5
-2.2 × 10-5
-3.2 × 10-5
0.9 10-5
Fe
Si-Fe
Si-Fe
µ-metal
(cristales) 1.4 × 106
hojas para transformador 7 × 104
cristales 3.8 × 106
105
FERROMAGNÉTICO
Temperatura de Curie
La permeabilidad de los materiales usados para diseño de elementos magnéticos,
como las ferritas, varían con la temperatura generalmente hasta un valor máximo y
decae rápidamente hasta un valor de 1. La temperatura a las cual ocurre esto se llama
temperatura de Curie. Es decir, en la temperatura Curie, el material del núcleo pierde sus
características magnéticas
2.6.-
Dominios magnéticos
Por debajo de la temperatura de Curie, los momentos dipolares magnéticos de los
átomos de materiales ferromagnéticos tienden a alinearse por sí mismos en una dirección
paralela en pequeñas regiones llamadas dominios magnéticos. Cuando un material
ferromagnético es desimanado por enfriamiento lento desde encima de su temperatura de
Curie, los dominios magnéticos se alinean aleatoriamente de forma que no hay ningún
momento magnético neto para una muestra del material (figura 2-16). Los dipolos están
alineados en cada dominio, pero los dominios están alineados aleatoriamente, por lo que
la magnetización neta es cero.
Figura 2-16. Dominios magnéticos en un material ferromagnético.
33
Figura 2-17. Crecimiento y rotación de dominios de un material
ferromagnético al aplicarse una intensidad de campo H.
Cuando se aplica un campo magnético externo a un material ferromagnético
desimanado, los dominios magnéticos cuyos momentos están inicialmente paralelos al
campo magnético aplicado crecen a expensas de los dominios menos favorablemente
orientados (fig. 2-17). El crecimiento del dominio tiene lugar por el movimiento de las
paredes del dominio, como se indica en la figura 2-17.
Cuando el crecimiento del dominio termina, si el campo aplicado material
ferromagnético desimanado al imanarlo hasta la saturación mediante un campo
magnético aumenta sustancialmente, ocurre la rotación del dominio. La rotación del
dominio necesita considerablemente más energía que el crecimiento del dominio, y la
pendiente de la curva B o M frente a H decrece para campos altos para la rotación del
dominio (fig. 2-17). Cuando se elimina el campo aplicado, la muestra permanece
imanada, aunque se pierde algo de imanación debido a la tendencia de los dominios a
rotar a su alineación original.
2.7.-
Referencias
[1]
Colonel Wm. T. MacLyman. “Transformer and Inductor Design Handbook”. Editorial
Board, 1988.
[2]
Juan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: “Elementos magnéticos en alta
frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño”. Universidad de Oviedo,
España. Diciembre de 1993. Gijón, España.
[3]
Electromagnetics 1. “6_M_field.pdf”. CN Kuo, Fall 2003.
[4]
M.A. Plonus. “Electromagnetismo aplicado”. Editorial Reverté. 1992.
[5]
Fundamentals of Power Electronics. Robert Erickson. Segunda Edición. Universidad
de Colorado. 2003
34
[6]
Fundamentals of Tape Wound Core Design Magnetics. Magnetics Corporation.
[7]
Lloyd H. Dixon. “Magnetics desing for switching Power supplies”. Section 1 to
section 5.
[8]
Lloyd H. Dixon. “Magnetic core properties”. Unitrode Power Supply Seminar, 1990.
[9]
Magnetics Inc. Tecnicals Bolletin and Catalogs.
[10] Peter Signell. “SELF-INDUCTANCE AND INDUCTORS”. Michigan State University.
M144.pdf.
[11] R. Street. “Magnetism and Magnetic Materials”. Dept. of Physics. The University of
Western Australia. April 2002. Magnetism.pdf.
[12] Reitz and Milford. “Fundamentos de teoría electromagnética”. Editorial UTEHA.
1969.
[13] Reuben Lee, Leo Wilson and Charles E. Carter. “Electronic transformers and
circuits”. Editorial Wiley. Tercera Edición. 1988.
[14] Salvador Martínez García. “Prontuario para en diseño eléctrico y electrónico”.
Marcombo Boixareu Editores. 1989.
[15] Soft Ferrites and Accessories. Soft Ferrites. 2002 Feb 01. H2002.pdf.
[16] Thompson. “Inductance calculations techniques. Part 1. Clasical methods”. Power
control and intelligent Motion. Vol 25, no 12. December 1999, pp 40-45.
Ind_pt_1.pdf.
35
36
Capítulo 3
Efectos a frecuencias mayores a 1 kHz
3.1.-
Alta frecuencia
3.1.1.- Introducción
Los fenómenos que contribuyen en mayor medida a elevar las pérdidas como resultado
de incrementar la frecuencia son: efecto piel, efecto proximidad, dispersión en el
entrehierro y perdidas por histéresis en el núcleo. Estos fenómenos empiezan a ser
significativos a frecuencias mayores a 1 Khz.
En general los efecto piel y proximidad son los responsables de las mayores
pérdidas de CA en los devanados, y sobre ellos se enfocan los esfuerzos por minimizarlos,
sin embargo, cualquiera de estos fenómenos puede ser el predominante, ya que también
dependen de la técnica de embobinado y terminado del elemento magnético.
En general las soluciones en 1D, es una de las aproximaciones mas usadas para
calcular las pérdidas en alta frecuencia, siendo suficiente para embobinados sencillos. Sin
embargo, en situaciones de muy altas frecuencias y corrientes de excitación, es necesario
tomar en cuenta los efectos en 2D, incluso 3D; requiriendo de software especializado
(basado en Análisis de Elementos Finitos) para obtener resultados mas precisos.
3.1.2.- Corrientes de Eddy en el conductor
Los dispositivos magnéticos que operan en altas frecuencias incrementan
sustancialmente las pérdidas en los conductores de los devanados y en el material
magnético utilizado debido a los efectos de las corrientes de Eddy (corrientes inducidas).
Los mecanismos que provocan corrientes de Eddy específicamente en conductores son
llamados efecto piel y efecto proximidad. Estos efectos alteran la distribución de corriente
y campo magnético entre los devanados lo cual resulta en un incremento en la resistencia
de CA en función de la frecuencia.
37
El análisis de las pérdidas en conductores operando en alta frecuencia no es una
tarea sencilla. Cuando el embobinado es simple, una aproximación en 1D es suficiente
para evaluar las pérdidas en los conductores del devanado. Sin embargo, para estrategias
de embobinados difíciles de analizar o el uso de frecuencias muy elevadas obligan a
tomar en cuenta los efectos en 2D para predecir los efectos sobre las pérdidas. Se han
propuesto factores de corrección a las soluciones en 1D, para tomar en cuenta estos
efectos. Cuando la complejidad es aun mayor, el análisis basado en elementos finitos a
resultado ser una buena herramienta auxiliar.
3.1.2.1.- Efecto piel
El efecto piel es la tendencia de la corriente a fluir en una capa cercana a la
superficie del conductor al incrementar la frecuencia. En bajas frecuencias este efecto es
prácticamente despreciable, pero al elevar la frecuencia, esta redistribución de la
corriente provoca que no se utilice toda el área disponible del conductor, incrementando
su resistencia, y por lo tanto, las pérdidas asociadas.
En la figura 3-1 se muestra el efecto sobre la distribución de la corriente debido al
efecto piel en un conductor aislado. Donde DS es la distancia desde la superficie del
conductor hasta el punto donde se mide la densidad de corriente y DW es el diámetro el
conductor.
Esta distribución de corriente es producida en el conductor al circular una corriente
i(t) variable en el tiempo la cual genera un campo magnético H(t) circular, tanto en el
exterior del conductor como en el interior del mismo (figura 3-2). Este campo alterno
(variable en el tiempo), de acuerdo a la Ley de Lenz, genera una corriente (corriente de
Eddy) que trata de oponerse a la corriente que generó el campo original. Esto provoca
que las corrientes tiendan a cancelarse al centro, disminuyendo la densidad y el campo
magnético y se suman en las capas cercanas a la superficie, aumentando la densidad y el
campo magnético. El resultado conjunto es una distribución de la densidad de corriente y
campo magnético no lineal y variable con el tiempo. La corriente instantánea en el
conductor no cambia, pero si su distribución sobre la sección del conductor; esto provoca
que no se utilice la totalidad del área, incrementando las pérdidas en el conductor (pobre
utilización de cobre). Como las corrientes inducidas son proporcionales a las variaciones
de la corriente principal, el fenómeno de redistribución de corriente incrementa
sustancialmente con la frecuencia. En la figura 3-11 se muestra una comparación del
campo magnético en baja y alta frecuencia y su efecto en la distribución de corriente en
un devanado.
Dw
Ds
Flujo de corriente
Densidad de corriente
Baja
Alta
Figura 3-1. Distribución de corriente debido al efecto piel.
38
Densidad de corriente
Conductor
Flujo
Corriente
de Eddy
i(t)
Figura 3-2. Corrientes de Eddy en el conductor: distribución del campo.
Se define como profundidad piel (δ), a la distancia medida desde la superficie del
conductor hasta el punto en que la densidad de corriente decae hasta 1/e (.367) de su
valor.
Para régimen sinusoidal la profundidad piel es :
δ=
µ es la permeabilidad ( µ =
1
σµπ f
µ0 µ r )
=
ρ
µπ f
(3.1)
, f es la frecuencia de la corriente sinusoidal y σ la
conductividad, que también puede expresarse como
σ = 1ρ .
Para el caso de un conductor de cobre, la resistividad en función de la temperatura es:
ρ cu = 1.724 [1 + .0042(T − 20) ] • 10−8 Ω − mm
(3.2)
Donde T es la temperatura del cobre:
La permeabilidad relativa del cobre es µ r = 1
Sustituyendo en (3.1), la profundidad piel del cobre es:
δ = 318 •
.0394796 + .00018102 • T
f
en mm
(3.1a)
A una temperatura de 100°C la profundidad piel es:
δ=
76
f
en mm
(3.1b)
39
rc
δ
rδ
.i
Figura 3-3. Corte del conductor mostrando al área utilizada del conductor debido al efecto piel.
A pesar que la densidad de corriente decae exponencialmente desde la superficie
del conductor, la resistencia en alta frecuencia (y las pérdidas) para un conductor aislado
pueden considerarse las mismas que para un conductor donde la densidad de corriente es
constante desde la superficie hasta la profundidad piel, y cero en el resto del conductor
(figura 3-3). El área sombreada muestra la densidad de corriente constante hasta la
profundidad piel. Rc es el radio del conductor, rδ es el radio hasta la profundidad piel y δ
es la profundidad piel.
El área utilizada en alta frecuencia, incluyendo el efecto piel, se calcula
considerando el concepto anterior, de la siguiente manera:
Área del conductor: Ac = π • rc
2
Área sin utilizar: Aδ = π • rδ
2
Área cobre utilizada: Acu = Ac − Aδ = π • ( rc − rδ ) = 2πδ • ( rc − δ )
2
2
Donde rc es el radio del conductor, δ la profundidad piel y rδ = rc − δ , el radio del área sin
utilizar.
La resistencia del conductor es:
Rdc = ρ
l
l
=ρ
2πδ (rc − δ )
Acu
(3.3)
ρ es la resistividad, l la longitud y Acu el área de cobre utilizada a la frecuencia de la
corriente que circula a través del conductor. Claramente se observa en esta última
ecuación la dependencia de la resistencia y de las pérdidas, de la frecuencia de trabajo,
en el término δ. La gráfica de la figura 3-4 muestra esta variación en un conductor en
función de su radio y de la frecuencia considerando la ecuación anterior.
Figura 3-4. Gráfica de la variación de la resistencia del conductor en
función del radio y de la frecuencia.
40
3.1.2.2.- Efecto proximidad
Al colocar un conductor aislado sin corriente neta circulando a través de él, en una
región donde existe un campo magnético externo, variable en el tiempo, se inducen
corrientes similares que producen el efecto piel como se observa en la figura3-5.
Corte
Flujo
H(t) inducido
Corrientes
inducidas
H(t) exterior
Corriente
neta
x
x
Conductor
x
x
x
x
H(t) exterior
x
x
x
Co
ind rrien
uc tes
ida
s
Corte
a)
b)
Figura 3-5. Corriente inducida en un conductor aislado:
(a) Conductor inmerso en una región donde existe un campo H(t) y
(b) corte transversal del conductor, mostrando las corrientes inducidas.
En este caso las líneas de campo variables que atraviesan la sección del inductor
inducen unas corrientes en el mismo, las cuales producen un campo que trata de
oponerse al campo exterior. En la figura se muestra el efecto causado en un conductor
circular, y las corrientes inducidas. Estas corrientes producen pérdidas aún si el conductor
no llevara corriente propia circulando a través de él.
Para el caso de que el conductor llevara una corriente neta, este efecto produce
también una re-distribución de corriente, incrementando las pérdidas con la frecuencia y
reduciendo el área transversal del conductor (figura 3-6).
Conductor 1
Conductor 2
Flujo
Corriente
de Eddy
i(t)
Densidad
de corriente
(a)
(b)
Figura 3-6. Efecto proximidad en conductores cercanos:
(a) Corrientes inducidas y (b) re – distribución de corriente.
41
Este efecto, llamado proximidad, se produce en los conductores que lleven corriente
variable en el tiempo, sujetos a campos externos variables en el tiempo, como es el caso
de los conductores en los devanados de un dispositivo magnético y ocurre de manera
simultánea con el efecto piel, ambos causan un re-distribución de corriente,
disminuyendo el área transversal del conductor, aumentando la resistencia, por lo que
las pérdidas aumentan con la frecuencia.
3.1.2.3.- Análisis de las corrientes de Eddy en una dimensión (1D)
El análisis en 1D es una técnica de gran ayuda para entender la distribución de
campo en los componentes magnéticos, además de que permite obtener aproximaciones
muy útiles de sus efectos en las pérdidas en alta frecuencia.
En el análisis aproximado en 1D se asume que una dirección principal donde el
campo cambia y las componentes en las otras dos direcciones son constantes o nulas.
A continuación se presenta el análisis para el caso de un conductor aislado tipo
lámina, para después extender el resultado a un embobinado con múltiples capas de
conductor. Al final se presentan los resultados obtenidos para el caso de conductores
circulares aislados, y en devanados en transformadores e inductores.
3.1.2.4.- Conductor aislado tipo lámina
Consideremos la sección transversal de un conductor aislado tipo lámina como se
muestra en la figura 3-7. Se asume que el conductor lleva una corriente pico I fluyendo
en la dirección Z (densidad Jz), y que tiene un grosor h mucho más pequeño que su
ancho w (h<<w). El conductor es parte de una espira infinita por lo que su curvatura en el
eje z es despreciable y los efectos de terminado pueden ser ignorados. Esto implica que el
campo magnético es siempre perpendicular al flujo de corriente y paralelo a la superficie
plana del conductor (Hx).
y
h/2
x
Jz
-h/2
Hx
W
Figura 3-7. Sección transversal de un conductor aislado tipo lámina. Hx es la componente sobre el
eje x de la intensidad de campo H, h es el grosor del conductor y w el ancho.
Dado que la corriente es en la dirección Z, la ecuación de intensidad de campo
magnético puede ser escrita como:
∇ 2 H = jωσµ H x = j
Donde
ω = 2π f
conductividad ( 1
δ2
Hx = α 2Hx
(3.4)
es la frecuencia en radianes de la corriente sinusoidal, σ es la
ρ)
del conductor, µ es la permeabilidad, j
piel, y α se define como:
42
2
− 1 , δ es la profundidad
α=
1+ j
(3.5)
δ
La solución general de la ecuación (3.4) tiene la forma:
H x = H1eα y + H 2 e −α y
(3.6)
Donde H1 y H2 son constantes que pueden ser encontradas por las condiciones de
frontera:
(3.7)
I
H x ( h ) = − H x (− h ) = −
2
2
2w
Por tanto la solución para el campo magnético, usando funciones hiperbólicas:
Hx = −
I sinh(α y )
2w sinh(α • h )
2
(3.8)
La densidad de corriente puede ser hallada usando la ecuación de Maxwell,
Jz = −
α I cosh(α y )
d
Hx = −
dy
2w sinh(α • h )
2
(3.9)
Las pérdidas por unidad de longitud, debido al efecto piel Ps, se calcula como:
Ps =
w
2σ
h
2
∫
I2
sinh ∆ + sin ∆
•
4 wσδ cosh ∆ − cos ∆
J z2 dy =
h
−
2
(3.10)
Donde ∆ es la dimensión definida como:
∆=
h
(3.11)
δ
Para el caso de que el conductor no llevara una corriente neta, pero estuviera en
una región donde existe un campo magnético H e cos(ω t ) , la intensidad de campo
magnético y la densidad de corriente son:
H x = He
cosh(α y )
cosh(α • h )
2
J z = α He
sinh(α y )
cosh(α • h )
2
(3.12)
(3.13)
En este caso el efecto piel no esta presente, así que las pérdidas por unidad de
longitud debido al efecto proximidad Pp es:
w
Pp =
2σ
h
2
∫
−
h
2
J z2 dy =
wH e2
σδ
•
sinh ∆ − sin ∆
cosh ∆ + cos ∆
(3.14)
43
Las pérdidas por efecto piel y proximidad están desacopladas debido a la inherente
ortogonalidad reconocida por Ferreira [14]. Por tanto para un conductor tipo lámina
conduciendo una corriente y en una región con campo magnético perpendicular a la
corriente, las pérdidas por conducción por unidad de longitud son:
P=
I
2σ
∫(J
s
2
i Rdc + F2 • w2 i H e2 i Rdc
• J s* + J p • J *p )dA = F1 • I rms
(3.15)
A
F1 =
∆ sinh ∆ + sin ∆
•
2 cosh ∆ − cos ∆
(3.16)
sinh ∆ − sin ∆
cosh ∆ + cos ∆
(3.17)
F2 = ∆ •
Js y Jp son las densidades de corriente producidas por los efectos piel y proximidad y
*
*
Js y Jp son los conjugados respectivos. Rdc es la resistencia por unidad de longitud, Irms
es el valor RMS de la corriente que fluye en el conductor, F1 es el factor multiplicativo del
efecto piel y F2 del efecto proximidad. Las graficas de la figura 3-8 muestran el valor de
estos factores en función de ∆ (variable con la frecuencia) ∆ representa la relación del
grosor del conductor con respecto a la profundidad piel (3.11). Las pérdidas aumentan
conforme ∆ aumenta, ya sea al variar el grosor del conductor y mantener la profundidad
piel fija (frecuencia fija) o al mantener un grosor de conductor fijo y variar la profundidad
piel (variar la frecuencia). Se observa que las pérdidas por efecto proximidad (F2) son
más significativas para valores más altos de ∆, y al depender del cuadrado de la
intensidad de campo magnético H, son las más significativas en regiones de campos
intensos como ocurre en los devanados de los elementos magnéticos. Más adelante se
extenderá el resultado para conductores tipo redondo y devanados de varias capas.
F2
F1
∆
∆
Figura 3-8. Grafica de los factores F1 y F2 en función de ∆.
3.1.3.- Distribución de campo
Los efectos anteriormente descritos fue para el caso de un conductor aislado. Como
vimos ambos se producen simultáneamente en los devanados de los dispositivos
magnéticos, por lo que ahora describiremos sus efectos en los mismos. Para este caso, se
considerara que el campo es unidimensional (1D), como se muestra en la figura 3-9.
44
NÚCLEO
-l
-l
-l
m=2
m=1
l
m=3
l
m=3
l
m=2
h
m=1
w
Arrollamiento del primario
Arrollamiento del secundario
MMF
3l
2l
l
posicion
Figura 3-9. Estructura 1D de un transformador, tres capas en el primario y tres capas en el
secundario con su distribución de campo entre los devanados.
Para simplificar el estudio, se consideraran devanados de tipo lámina, similar al caso
del conductor aislado anterior, que se extienden en toda la altura de la ventana, se
desprecia la curvatura del embobinado. Para este caso h=d. Y Para la conversión de
conductor cuadrado a lámina:
∆=
h
η=
δ
d
δ
η
(3.18)
1
σ
2
σ
σw
W
η
Wf
η
N
D
d=
π
D
4
d
η1 =
d
Nd
w
η2 =
d
wf
w
σ w = η iσ
Figura 3-10. Conversión de conductor redondo a lámina equivalente. d es el ancho del conductor
tipo lámina y σ su conductividad .
Donde D es el diámetro del conductor redondo y w la altura del devanado de N
conductores. σw es la conductividad del conductor tipo lámina de altura wf. η es el factor
de porosidad.
45
Para el caso de devanados con conductores redondos, se realiza una conversión
lámina equivalente. Primero se convierten los conductores redondos a por conductores
cuadrados con la misma área transversal. Estos conductores se unen posteriormente en
una única lámina conduciendo la suma de las corrientes por cada uno de ellos y por
ultimo se extiende esta lámina a toda la altura de la ventana (figura 3-10).
∆=
d
δ
η=
.886 D
δ
(3.19)
η
3.1.3.1.- Distribución de campo en baja frecuencia
Para el caso de baja frecuencia, considerando la estructura anterior, se obtiene la
distribución de campo de la figura 3-11(a), la cual corresponde a un transformador con 3
capas de primario y tres capas de secundario. El campo es despreciable en el material
magnético debido a su alta permeabilidad. La densidad de corriente es constante en toda
la sección de los conductores por lo que el campo varia linealmente dentro de los
devanados y permanece constante en el espacio entre ello. El efecto pelicular y
proximidad prácticamente son despreciables.
3.1.3.2.- Distribución de campo en alta frecuencia
Considerando la misma estructura, la distribución de campo en alta frecuencia se
anula en el interior de los conductores, debido a los efectos piel y proximidad y decae a
cero en las proximidades del conductor. Para que esto sea posible, una corriente de la
misma magnitud es inducida en el devanado siguiente, lo que provoca la anulación entre
las capas (figura 3-11b).
ns.i
ns.i
m=1
m=3
ns.i
m=2
np.i
Capas del secundario
m=3
np.i
m=2
N= nF
.i
np.i
m=1
Capas del primario
p
M
3
2
1
0
posicion
(a)
N= F
n .i
p
(b)
posicion
Figura 3-11. Distribución de campo: (a) Baja frecuencia y (b) alta frecuencia.
46
Analicemos las pérdidas en los devanados. En la figura 3-12 tenemos un
transformador con tres capas de primario y tres de secundario, conduciendo una corriente
I. Los devanados son de tipo lámina (similar al caso de un conductor aislado). En cada
capa circula una corriente neta I. Distribución de corriente debido al efecto proximidad.
Φ
-2l 3l
-3l 2l
-2l l
-l
m=1
-l 2l
m=2
2Φ
m=3
3Φ
m=3
m=1
l
2Φ
m=2
Φ
Figura 3-12. Transformador con 3 capas de primario y 3 de secundario.
Siguiendo la figura 3-12, empecemos con el primer devanado del primario. Las
pérdidas en CA de la capa uno, considerando que tiene una resistencia Rac, que incluye
los efectos debido a la frecuencia y es del mismo valor para cada capa, son:
P1 = I 2 Rac
(3.20)
Para la segunda capa, debido al efecto proximidad, se induce una corriente, en
sentido contrario, en la parte izquierda del devanado, de valor -I. Como la corriente neta
no cambia ya que es el mismo devanado, una corriente de magnitud 2I es inducida en la
zona derecha del devanado para mantener el valor de corriente I. Por tanto las pérdidas
totales son:
P2 = ( − I ) 2 Rac + (2 I ) 2 Rac = 5 I 2 Rac = 5 P1
(3.21)
Para la tercera capa se induce una corriente de valor –2I por la parte izquierda.
Para mantener la corriente neta I, una corriente de 3I es inducida en la parte derecha.
Las pérdidas son:
P3 = (−2 I ) 2 Rac + (3I ) 2 Rac = 13I 2 Rac = 13P1
(3.22)
Las pérdidas totales en el devanado, sumando las capas individuales, son:
PT = P1 + P2 + P3 = 19 P1
(3.23)
Las pérdidas totales, sin considerar los efectos proximidad son: PT = 3P1
considerando que las pérdidas son iguales en cada capa. Como se observa el aumento es
considerable, de casi 6 veces el valor si no se consideran estos efectos.
Si se considera además la reducción del área efectiva, el aumento de resistencia
puede llegar a ser enorme.
Por esta razón el diseño de devanados en alta frecuencia es crítico y debe de
tomarse en cuenta estos efectos a la hora de seleccionar el tamaño y tipo de conductor
así como la colocación de los devanados.
47
3.1.3.3.- Aplicación del análisis en 1D. Resultado obtenido para el caso de un
conductor aislado, aplicado a los devanados del transformador.
Para obtener el valor promedio del campo H a través de las capa m utilizamos la
ecuación:
Hm =
( 2m − 1) • I
2
(3.24)
w
Donde w es el ancho de la ventana.
Sustituyendo en la ecuación (3.15) tenemos:
2
∆ sinh ∆ + sin ∆
sinh ∆ − sin ∆
 2m − 1 
Pm = •
• Rdc I 2 + 
• Rdc I 2
 •∆•
4 cosh ∆ − cos ∆
cosh ∆ + cos ∆
 2 
(3.25)
por tanto la resistencia equivalente en ac es:
Rac _ m =
sinh ∆ − sin ∆ 
∆  sinh ∆ + sin ∆
2
+ ( 2m − 1) •
• Rdc

4  cosh ∆ − cos ∆
cosh ∆ + cos ∆ 
(3.26)
Para simplificar considerando que ∆>>1, la ecuación se reduce a:
2
Pm =
∆
 2m − 1 
2
• Rdc I 2 + 
 • ∆ • Rdc I
4
 2 
(3.27)
Aplicando a cada capa del devanado:
∆
• Rdc I 2
2
(3.28)
5∆
• Rdc I 2 = 5 P1
2
(3.29)
13∆
• Rdc I 2 = 13P1
2
(3.30)
P1 =
P2 =
P3 =
Valores que concuerdan con el análisis anterior.
El concepto de expresar las pérdidas en alterna Rac en función de las pérdidas Rdc
fue introducido por Dowell [22].
El mismo procedimiento se ha aplicado a bobinas con núcleo que presentan
entrehierro en la pierna central Perry [20].
 2m 2 + 1

4 ( m 2 − 1)
Rac
= ∆
F1 (∆ ) −
F2 (∆ ) 
Rdc
3
 3

y para pierna central y exterior por Vandelagc y Ziogas [15]
48
(3.31)
1 2

 2 1
m − 
m +1



Rac
4
F1 (∆ ) − 
F2 (∆ ) 
= ∆2
Rdc
3
 3



(3.32)
En ambos casos m es el número de capas, y las funciones F1 y F2 son:
 sinh 2∆ + sin 2∆ 
F1 = ∆ 
 cosh 2∆ − cos 2∆ 
(3.33)
 sinh ∆ cos ∆ + cosh ∆ sin ∆ 
F2 = ∆ 

cosh 2∆ − cos 2∆

(3.34)
La solución propuesta por Dowell considera corrientes sinusoidales. Para el caso de
formas de onda arbitraria se aplica descomposición en series de fourier, calculando para
cada armónico la contribución en el incremento de la resistencia en Rdc y sumando el
resultado para todos los armónicos considerados.
Hurley [24], utiliza expansión de series de las funciones trigonométricas e
hiperbólicas para simplificar el cálculo, incluyendo formas de onda de corriente arbitrarias
con lo que obtiene para el cálculo del incremento de resistencia en AC, para el caso de un
transformador:
Rac
Ψ
= 1 + ∆4
Rdc
3
Ψ=
5m − 1
15
(3.35)
(3.36)
m es el número de capas, ∆ es el factor definido anteriormente tanto para
conductor tipo lámina como la conversión para conductor hilo redondo.
Para el caso de formas de onda de corriente arbitraria:
Reff
Rdc
= 1+
'

Ψ 4  I rms
∆ 

3
 ω I rms 
(3.37)
'
donde Irms es el valor rms de la corriente y I rms es el valor rms de la derivada de la
forma de onda de corriente. Este resultado es el mismo para un inductor con entrehierro
en la pierna central.
El mismo procedimiento, aplicado a los trabajos obtenidos para inductores con
entrehierro en la pierna central y exterior:
Rac 3 Ψ 4
= + ∆
Rdc 4 3
(3.38)
49
Ψ=
2
20mcap
+ 19
(3.39)
120
Para forma de onda de do corriente arbitraria:
'

k 2 + 3 Ψ 4  I rms
=
+ ∆ 

Rdc
4
3
 ω I rms 
Reff
Ψ=
20mcap + 19
120
I
k = dc
I rms
2
(3.40)
(3.41)
(3.42)
'
Donde Irms es el valor rms de la corriente y I rms es el valor rms de la derivada de la
forma de onda de corriente
3.1.4.- Histéresis
Cuando el material magnético ha realizado un ciclo completo de magnetización y
desmagnetización, el resultado se muestra en la figura 3-13. Comenzando con un
material magnético neutral, recorriendo la curva B-H que empieza en el punto X. Mientras
H se incrementa, la densidad de flujo B aumenta a lo largo de la línea combinada al punto
de saturación BS. Ahora, cuando H se decrementa y B es trazado, la curva B-H recorre la
trayectoria de Br donde H es cero el núcleo aun esta magnetizado. El flujo aquí es llamado
flujo remanente y tiene una densidad de flujo Br.
La fuerza de magnetización H ahora se invierte en polaridad para dar un valor
negativo. La fuerza de magnetización requerida para reducir el flujo Br es llamada fuerza
coercitiva (Hc). Cuando el núcleo es forzado hacia saturación, la retentividad (Brs) es el
flujo restante después de la saturación y la coercitividad (Hcs) es la fuerza requerida para
restablecer a cero. A lo largo de la curva de magnetización inicial (X, la línea combinada
de la figura 3-13), B aumenta de la no linealidad original con H hasta que el material se
satura. En la practica la magnetización de un núcleo en un transformador excitado nunca
sigue esta curva, porque el núcleo nunca esta totalmente desmagnetizado cuando la
fuerza magnetizante es aplicada por primera vez.
La curva de histéresis representa la energía perdida en el núcleo. El mejor camino
para visualizar la curva de histéresis es usar corriente de cd, porque la intensidad de la
fuerza de magnetización puede ser cambiada muy lentamente de manera que no sean
generadas corrientes de Eddy en el material. Solo bajo esta condición esta el área dentro
de la curva cerrada B-H indicativa de perdidas de histéresis. El área encerrada es una
medida de perdida de energía en el material del núcleo durante ese ciclo. En aplicaciones
de ca, este proceso se repite continuamente y la perdida total de histéresis es
dependientes de la frecuencia.
50
B (Tesla)
Bs
Br
Hc
H
H2
X
H1
( A Turns
)
cm
-B s
Figura 3-13. Curva de Histéresis.
3.1.4.1.- La curva dinámica de Histéresis
La perdida por histéresis, sin embargo, solo es parte de las perdidas de energía
encontradas en el núcleo del material sometido a un campo alternante. El flujo cambiante
también induce dentro del material del núcleo mismo pequeñas corrientes conocidas
como corrientes de Eddy. La magnitud de esas corrientes depende de la frecuencia y de
la densidad de flujo impuesta por la aplicación y de la resistividad especifica y el espesor
del material del núcleo.
Incrementado la frecuencia o velocidad del ciclo, entre +H y –H, se puede observar
que la curva B-H se ensancha como se muestra en la figura 3-14. El ensanchado de la
curva B-H es causado por las corrientes de Eddy, principalmente las cuales son generadas
por el flujo magnético cuando penetra las laminaciones. El flujo magnético induce un
voltaje y causa una corriente que fluye alrededor de la línea de flujo.
Ya que la corrientes de Eddy con proporcionales al voltaje inducido en el material
del núcleo, las perdidas por corrientes de Eddy pueden disminuirse cuando el voltaje es
disminuido. El máximo voltaje que puede ser inducido en el material del núcleo es igual a
los volts por vuelta del núcleo bobinado. La cantidad de corriente esta en función del
voltaje inducido y de la resistividad del material magnético. Las corrientes de Eddy
pueden ser reducidas usando laminaciones más delgadas y/o material magnético con
resistividad mas alta. Con laminados que son de la mitad de espesor, el flujo en cada
laminado y el voltaje máximo que genera corrientes de Eddy en cada laminado se reduce
a un medio de su valor.
Las pérdidas totales en el núcleo es la suma de las pérdidas de histéresis y las
perdidas por corrientes de Eddy. Usualmente esto se expresa en Watts por Kilogramo de
un material de espesor definido para un núcleo operando a una densidad de flujo y
frecuencia dados.
51
B (Tesla)
CD
H (A/cm)
400 Hz
5000 Hz
Figura 3-14. Curva B-H operando a varias frecuencias.
3.1.5.- Efecto del entrehierro
En la mayoría de los dispositivos magnéticos es necesario utilizar entrehierro en las
piernas del núcleo, para estabilizar el valor de la inductancia (depende únicamente de las
dimensiones del entrehierro) así como para almacenar energía.
En bajas frecuencias, y entrehierros pequeños el espacio utilizado para almacenar
energía es el volumen dado por Ac × lg, siendo Ac el área transversal del núcleo.
Sin embargo al incrementar la longitud del entrehierro, las líneas de campo en las
proximidades del entrehierro se dispersan ocupando un volumen mayor. Estas líneas de
dispersión provocan un aumento del valor de la inductancia, y si llegan a cortar a los
conductores situados en la vecindad, inducen corrientes, al igual que en el efecto piel y
proximidad, aumentando la resistencia, y con ello las pérdidas (figura 3-15).
Por tanto, es necesario ajustar el numero de vueltas, considerando el incremento
del área del entrehierro. Comúnmente se considera que el entrehierro se dispersa una
distancia de la pierna en una longitud igual al largo del entrehierro, es decir, para un área
transversal cuadrada o circular tenemos, según la figura 3-16.
lg
½ lg
Figura 3-15. Dispersión en el entrehierro.
52
b+lg
b
a
a+lg
Ac=ab
Ac=(a+lg)(b+lg)
D+lg
D
Ag= π
4
2
Ag= π(D+lg)
4
2
Figura 3-16. Incremento del área transversal debido
a la dispersión del entrehierro.
Es posible calcular el factor de incremento del área transversal, Fd llamado
comúnmente factor de dispersión, para sección rectangular:
Fd =
Ag ( a + lg )( b + lg )
=
Ac
a•b
(3.43)
y para sección circular:
Fd =
Ag  D + lg 
=

Ac  D 
2
(3.44)
Algunos autores como McLyman, utilizan la ecuación, obtenida de manera empírica,
por Stephen:
Fd = 1 +
 2 • lw 
ln 

Ac  lg 
lg
(3.45)
donde lw es el ancho de la ventana del núcleo.
El número de vueltas corregido es:
Nc =
N
Fd
(3.46)
Los resultados con el calculo del factor de dispersión son aproximados cuando el
valor de corrección es menor al 20%, y varia de acuerdo a la forma geométrica del núcleo
utilizada.
Cuando es necesario utilizar valores de entrehierros mas grandes, como por
ejemplo en un inductor resonante en un balastro que utiliza la misma frecuencia para el
encendido y para el estado estable de la lámpara, la ecuación (3.45) ya no es de mucha
utilidad ya que introduce desviaciones de mas de 5% sobre el valor de la inductancia.
La siguiente ecuación presenta una mejor aproximación, permitiendo valores con
desviaciones menores al 5% de la inductancia, tolerancia usada comúnmente en el
proceso de manufactura.
53
Fd = 1 + 1.618
Ac
( lg + F )( lg + C )
Simplificando,
Fd = 1 + 1.618 ×
(.618 × l3lg + 1.618 × ( l2g F + l2g C )
(3.47)
Ac lg
(.618 × llg2 + 1.618 × ( lg F + lg C )
Ac × ( lg + F )( lg + C )
(3.48)
Ac, F, C en metros.
Fd = 1 + 161.8 ×
(.618 × llg2 + .01618 × ( lg F + lg C )
Ac × ( lg + .01F )( lg + .01C )
(3.49)
Ac, F, C en cm.
Donde Fd es el factor de corrección, lg es el valor del entrehierro, C y E son datos de la
forma geométrica del área transversal del núcleo.
Esta ecuación se obtiene de manera empírica, es válida para núcleos tipo EE. El
concepto utilizado es muy simple:
No conocemos la geometría de la dispersión del entrehierro, pero podemos suponer
que tiene cierta forma, la cual es alterada por un factor que depende de su geometría y
que la modifica conforme aumenta el entrehierro. La geometría considerada es la que se
presenta en la figura 3-15; en los extremos rectos se supone una dispersión con
geometría de medio cilindro. El radio del cilindro es de valor ½ lg.
De los dos lados rectos iguales, sumados obtenemos un volumen de dispersión de
forma de un cilindro de radio igual a lg y de largo el lado recto de núcleo. En las esquinas
se supone una geometría en forma de circunferencia, que abarca un cuarto de volumen
del mismo. Las cuatro esquinas, permiten suponer un volumen de una esfera de diámetro
lg. Cada volumen es multiplicado a si mismo por un factor que ajusta el valor de
dispersión real del entrehierro a varios valores del mismo.
Para núcleos con áreas transversales circulares, puede suponerse una geometría de
cilindro de radio lg y de largo πrn, donde rn es el radio del área transversal.
Es muy recomendable, obtener ecuaciones similares para las diferentes formas
geométricas de los núcleos. Esto implica realizar algunos diseños con valores de
entrehierro del orden de 10 mils, 50 mils, 100mils, 150 mils, 200 mils con una
inductancia que llene la totalidad del área de la ventana. Con los datos obtenidos, de
manera empírica puede obtenerse los coeficientes para ajustar la ecuación anterior a
valores que permitan una aproximación más exacta del valor de inductancia.
54
3.2.-
Referencias
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EEAB. IEEE Benelux Chapter Meeting. Eindhoven, October 1, 2003.
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[8]
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Society. Annual Meeting Phoenix, AZ, 3-9 October, 1999. Thayer School of
Engineering 8000 Cummings Hall, Dartmouth College, Hanover, NH 03755-8000.
http://engineering.dartmouth.edu/inductor. arbarb.pdf.
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Hanover, NH, USA, http://engineering.dartmouth.edu/inductor. Cooscost.pdf.
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College, Hanover, NH, USA, http://engineering.dartmouth.edu/inductor. Toru
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55
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wire windings”. IEE Procedings-B. Vol. 139, No. 1, 1992.
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Transformer Copper Losses". IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 3, No. 3, pp.
266-276, July 1988.
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numerical Optimizad Inductor Windings Shapes”. Thayer School of Engineering
Dartmouth College, Hanover, NH 03755-8000. PESC 1999. Pags. 568-573.
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España. Diciembre de 1993. Gijón, España.
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[20] M.P. Perry. “Multiple layer series connected winding desing for minimum losses”.
IEEE Trans. on Power Apparatus ans Systems. Vol. 98, No. 1, 1979.
[21] Miro Zunek, Franc Jakl and Igor Tlcar. “Skin effect impact on current density
distribution in OPGW cables”. ILES-Elektro Slovenija, 2000 Maribor, Vetrinjska 2,
Slovenija.
[22] P. L. Dowell, "Effects of Eddy Currents in Transformer Windings". IEE Proc., Vol 113
No. 8, pp. 1387-1394, August 1966.
[23] Remus Teodorescu, Stig Munk-Nielsen, Michael M. Bech and John K. Pedersen.
“Practical considerations regarding the design of a high-power low-loss resonant
inductor”. Aalborg University. Institute of Energy Technolog. Department of power
electronics and drives. Pontoppidanstraede 101, 9220 Aalborg East. optim02.pdf.
[24] W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. “Optimizing the AC resistance of multilayer
transformer windings with arbitrary wave forms”. IEEE PESC 1999.
[25] W.G.Hurley, W.H. Wölfle and J.G. Breslin. “Optimized transformer desing: inclusive
of high frequency effects”. IEEE PESC 1999.
[26] Intusoft. Magnetics Designer. Personal Computer. Circuit Design. Tools. file_134.pdf
56
Capítulo 4
Análisis comparativo de métodos de diseño.
Núcleos convencionales
4.1.-
Diseño componentes magnéticos
4.1.1.-
Introducción
Una variedad de factores están involucrados en el diseño de un elemento
magnético. Selección del material, el tamaño y forma geométrica del núcleo, selección de
la densidad de flujo magnético apropiada para no saturar al núcleo y mantener las
pérdidas asociadas lo más bajo posible. El diámetro del conductor debe ser lo
suficientemente pequeño para llenar el área de la ventana, pero lo suficientemente
grande para reducir las pérdidas óhmicas. Si el conductor es muy grueso, los efectos piel
y proximidad incrementan sustancialmente las pérdidas en el devanado. Si se almacena
energía es necesario utilizar entrehierro; sin embargo, no es recomendable en
transformadores. Según la aplicación, algún o algunos de estos factores son
predominantes mientras que algunos otros son prácticamente despreciables.
El objetivo de este capítulo es presentar los métodos propuestos para el diseño de
elementos magnéticos. Primero se describen los diferentes tipos de elementos
magnéticos que podemos encontrar comúnmente en los circuitos electrónicos
identificando las formas de onda características de corriente que manejan y su impacto
en la curva B-H para que con base a su funcionamiento se puedan establecer algunos
criterios de diseño que nos ayudaran a seleccionar la forma geométrica, el material,
densidad de flujo de operación, y los factores predominantes que deben de ser tomados
en consideración a la hora de realizar el diseño. Por ultimo se presentan los
procedimientos propuestos para el diseño de un elemento magnético.
57
4.1.2.-
Tipos de dispositivos magnéticos
4.1.2.1.- Inductor de filtrado en convertidores en modo de conducción
continua (MCC)
En la figura 4.1(a) tenemos un ejemplo de un inductor de filtrado empleado en un
convertidor reductor operado MCC. El inductor se escoge de tal manera que el valor del
rizo de la corriente ∆i sea una fracción de la componente en CD I, a carga máxima como
se muestra en la figura 4-1(b).
i(t)
L
∆ .iL
I
i(t)
+
t
0
(a)
DT
Ts
(b)
Figura 4-1. Inductor de filtrado usado en un Convertidor Reductor Operado en MCC:
a) Circuito esquemático. b) Forma de onda de corriente en el inductor.
Para este caso es necesario utilizar entrehierro en el núcleo para evitar que la
corriente I+∆i sature al núcleo.
La intensidad del campo magnético Hc(t) se relaciona con la corriente del
embobinado i(t) de acuerdo a:
ni (t ) Rc
lc Rc + Rg
l
Rc = ,m
µc Ac
H c (t ) =
Rg =
lg
(4.1)
(4.2)
(4.3)
µ0 Ac
n es el número de vueltas, lm es la ruta magnética del núcleo y Rc y Rg son las
reluctancias del núcleo y del entrehierro, lg es la longitud del entrehierro.
Como Hc(t) es proporcional a i(t) entonces puede ser expresada en dos
componentes, una componente grande Hc(t) mas una componente de rizado pequeño
∆Hc(t):
H c (t ) =
∆H c (t ) =
58
nI Rc
lm Rc + Rg
n∆I Rc
lm Rc + Rg
(4.4)
(4.5)
La curva B-H de esta aplicación se muestra en la figura 4-2. Este dispositivo opera
en la curva menor B-H indicada en la figura. El área de esta curva y sus pérdidas
correspondientes dependen del valor del rizo de corriente ∆i. Las pérdidas del cobre
dependen del valor eficaz de la corriente, el cual es básicamente el valor de la
componente en CD I.
Las pérdidas en el núcleo y pérdidas por proximidad pueden ser ignoradas, ya que
∆i, de la cual dependen, generalmente es una pequeña porción de I, centrándose el
diseño en las pérdidas en el cobre del devanado. La máxima densidad de flujo es limitada
por la saturación del núcleo y la frecuencia de operación.
B
B sat
Curva menor
B-H del inductor
de filtrado
∆Hc
Hc
Hc 0
Curva B-H de
exitación larga
Figura 4-2. Curva B-H del dispositivo magnético.
4.1.2.2.- Inductor operado en modo de corriente discontinuo
Transformador Flyback
El transformador Flyback es un inductor con dos devanados. El devanado primario
es usado durante la conducción del transistor y el secundario durante la conducción del
diodo, como se ilustra en la figura 4-3.
i1(t)
iI,pk
N1:N2
i1
Vg
+
-
i2
imp
Lmp
+
v
t
i2(t)
-
t
imp(t)
iI,pk
t
(a)
(b)
Figura 4-3. Convertidor Flyback: (a) Circuito esquemático y (b) formas de onda
de corriente en el primario, secundario y de entrada.
59
Como el transformador flyback almacena energía es necesario utilizar entrehierro.
Las pérdidas del núcleo dependen de la componente de CA de la corriente de
magnetización. La curva B-H se ilustra en la figura 4-4, el área menor representan las
pérdidas en el núcleo, por lo que son significativas. Es necesario seleccionar una
densidad de flujo de operación que mantenga las pérdidas en un nivel aceptable según la
frecuencia de operación. Las pérdidas por proximidad y efecto piel son significativas
debido a la excursión de la corriente y a la frecuencia de operación, por lo que es
necesario tomarlas en cuenta.
B
Curva B-H
para flyback
n1.i1,pk
Rc
l m Rc + R g
Hc
Curva B-H
del núcleo
Figura 4-4. Curva B-H del convertidor Flyback.
4.1.2.3.- Inductor de CA
En la figura se muestra un inductor usado en circuitos resonantes. En este caso, la
variación de la corrientes en alta frecuencia son grandes, por tanto, la curva B-H del
dispositivo es grande como se muestra en la figura 4-5.
B
L
i(t)
Curva B-H
para un inductor
de ac
(a)
B sat
i(t)
−∆Hc
∆t
∆ Hc
Hc
t
∆t
Curva B-H
del núcleo
(b)
(c)
Figura 4-5. Inductor resonante: a) Circuito eléctrico, b) forma de onda de corriente y
c) curva B-H.
Las pérdidas en el núcleo por efecto proximidad y efecto piel son significativas por lo
que deben de tomarse en cuenta en el diseño. La máxima densidad del flujo de operación
está determinada por las pérdidas en el núcleo o por la saturación del mismo y la
60
frecuencia de operación. Es necesario utilizar material magnético en el núcleo para alta
frecuencia como las ferritas.
4.1.2.4.- Transformador
La figura 4-6 ilustra un transformador convencional empleado en un convertidor
conmutado. La magnetización del núcleo se modela con la inductancia magnetizante Lmp.
La corriente de magnetización se relaciona con el campo magnético H(t) en el núcleo de
acuerdo a la ley de Ampere:
H (t ) =
nimp (t )
(4.6)
lm
n es el número de vueltas y lm es la ruta magnética del núcleo.
i1(t)
i2(t)
N1:N2
v2(t)
+
imp(t)
+
v1(t)
Lmp
v2(t)
área λ1
t
-
imp(t)
∆ imp
-
t
(a)
(b)
Figura 4-6. Transformador convencional: (a) forma de onda de tensión y
(b) forma de onda de corriente magnetizante.
Sin embargo, la corriente magnetizante im(t) no es una función directa de las
corrientes de embobinado i1(t) e i2(t). Depende de la forma de onda de voltaje aplicado al
embobinado v1(t). Específicamente, la máxima densidad de flujo aplicado es directamente
proporcional a los volts-segundo λ1 aplicados. La figura 4-7 muestra la curva B-H para
esta aplicación.
B
Curva B-H de
operación de un
transformador
convensional
λ1
2n 1 Ac
−∆ Hc
n1∆.ipm
lm
Hc
Curva B-H
del núcleo
Figura 4-7. Curva B-H de un transformador convencional.
61
En esta aplicación, las pérdidas en el núcleo y las pérdidas por el efecto piel y
proximidad son significativas y deben ser tomadas en cuenta en el diseño. La máxima
densidad de flujo es limitada por las pérdidas en el núcleo y la frecuencia de operación o
por saturación.
4.1.2.5.- Inductor acoplado
Un inductor acoplado es un inductor de filtrado con múltiples embobinados. La
figura ilustra un inductor acoplado en un convertidor Forward con dos salidas, así como
las formas de onda de corriente.
n1
Vg
i1
+
v1
+
-
-
i2
i2
n2
vueltas
+
v2
-
(a)
i1(t)
∆ i1
I1
t
i2(t)
∆ i2
I2
t
(b)
Figura 4-8. Convertidor Forward con dos salidas: a) circuito esquemático y
b) forma de onda de corriente.
Los inductores pueden ser embobinados en el mismo núcleo, debido a que las
formas de tensión son proporcionales en los embobinados. Los inductores de
convertidores Cuk y Sepic, así como convertidores reductores con múltiples salidas y
otros similares pueden ser acoplados. El rizado de la corriente del inductor puede ser
controlado por medio de la inductancia de dispersión del embobinado. Una corriente de
CD fluye en cada embobinado, la magnetización neta del núcleo es proporcional a la suma
de los ampere-vuelta del embobinado:
H c (t ) =
62
n1i1 (t ) + n2i2 (t ) Rc
lm
Rc + Rg
(4.7)
Como en el caso de un inductor de filtrado de un solo embobinado, el tamaño de la
curva menor B-H es proporcional al rizo total de corriente (figura 4-9). Pequeño rizo de
corriente implica pequeñas pérdidas en el núcleo, así como pequeñas pérdidas por efecto
proximidad. Es necesario utilizar entrehierro, y la máxima densidad de flujo de operación
es limitada por a saturación y la frecuencia de operación.
B
B sat
Curva menor
B-H de inductor
acoplado
∆Hc
H c0
Hc
Curva B-H de
exitación larga
Figura 4-9. Curva B-H de un inductor acoplado.
4.2.-
Consideraciones generales para el diseño de un elemento
magnético
Considerando los diferentes tipos de funcionamiento de un elemento magnético
vistos anteriormente podemos obtener los siguientes datos iniciales usados de manera
general en los procedimientos de diseño y que nos permitirá tener un mejor conocimiento
para establecer los primeros criterios a considerar en el diseño. Es muy importante,
entender el funcionamiento del elemento magnético en cada aplicación en particular, más
conocimiento mejor diseño.
Datos iniciales
Según la aplicación primero se determina los datos iniciales, las formas de onda y
funcionamiento del elemento magnético, su posible impacto en la curva B-H, y
determinar los datos analizados en el apartado anterior. Estos datos son comunes a
cualquier método de diseño.
Valor de inductancia deseada, L para el caso de un inductor
Depende de los parámetros de la aplicación.
'
Valor de corriente Irms y Ipico, I rms
Para el caso de un transformador, los valores con respecto a la corriente de entrada
y la salida a máxima carga o potencia de salida. Para el caso de un inductor, la corriente
de operación.
63
Es muy importante determinar la forma de onda de corriente, el valor rms y en caso
de no ser sinusoidal, su descomposición en análisis de fourier. Para simplificación de
cálculo de resistencia en alta frecuencia del devanado, se usará el valor de la derivada de
'
la corriente rms I rms . En el anexo 4 se presentan algunas formas de onda y los valores de
corriente pico, rms y derivada rms necesarios.
Densidad de corriente J de operación
Generalmente se utiliza una densidad de corriente de 4.5 A/mm2. Esta densidad
produce un incremento de temperatura en el devanado de aproximadamente 25°C a
temperatura ambiente. Dado que la densidad de corriente no solo se relaciona con la
temperatura de operación del devanado, sino también con el grosor del conductor a
seleccionar y por tanto el número de vueltas que puede ocupar la ventana con cierto
conductor a una corriente dada. Se cumplen las siguientes relaciones:
J=
I
NI
=
Ab Aw Ku
(4.8)
Seleccionar una densidad de corriente mas baja reduce la temperatura del
devanado, al utilizar un conductor mas grande. Sin embargo, debido al efecto piel y
proximidad, según la frecuencia de operación, el área efectiva del conductor pudiera no
incrementarse, resultando en un incremento en las pérdidas en CA.
La densidad de corriente puede variar entre 3 A/mm2 y 6 A/mm2 de forma segura
para el tipo de aislamiento estándar del conductor. El valor óptimo dependerá de las
características de la aplicación en particular, después de realizar una evaluación con
varios diseños (esto debido a que es necesario tener algunas pruebas térmicas antes
determinar el valor final); depende de la temperatura ambiente de trabajo en el circuito y
su disposición con respecto a otros elementos que disipativos. El valor de 4.5A/mm2 es un
buen punto para empezar.
Factor de utilización de la ventana, Ku
Depende del tipo de conductor a utilizar. Para conductor alambre magneto redondo,
considerando aislamiento entre capas, se utiliza comúnmente Ku=0.4.
En caso de utilizar alambre trenzado, para evitar el efecto piel y proximidad:
Ku=0.2.
Para el caso de hilo de litz: Ku=0.16.
Para un transformador con múltiples salidas, cada embobinado ocupa la parte
proporcional del área de ventana.
El valor de Ku también depende de la técnica de embobinado o manufactura final del
devanado. Sin embargo los valores anteriores son una buena aproximación.
Curva B-H
Aunque todavía no tenemos los datos finales de funcionamiento, se puede
bosquejar la curva B-H de funcionamiento, según la forma de corriente que maneja el
64
elemento magnético, como se vio al inicio del capítulo 4. Esto permitirá establecer por un
lado si es necesario tomar en cuenta las pérdidas en el núcleo y el posible valor inicial de
la densidad de flujo. Depende también de la frecuencia de operación.
Frecuencia de operación, f
Depende de las características de la aplicación. Sin embargo, a la hora de
seleccionar la frecuencia de trabajo, es recomendable verificar la curva fxB de los
materiales, ya sea para seleccionar el mejor material disponible a la frecuencia de
operación seleccionada o cambiar la frecuencia de operación de la aplicación a un valor
que permita la máxima utilización del núcleo según el material disponible.
Impedancia del inductor, XL
Con el valor de inductancia y la frecuencia de operación se obtiene:
X L = 2π fL
(4.9)
Tensión en el elemento magnético
Para un transformador, la tensión de entrada Vin y de la salida Vo.
Para el caso de un inductor, con el valor de corriente y la impedancia del inductor se
obtiene:
(4.10)
VL = X L I rms
Energía almacenada en el inductor o potencia aparente que maneja, E o Pt
Para un transformador, la potencia total que maneja o aparente, es decir. La suma
de la potencia de entrada y de salida.
Pt = Pin + Po
Con el valor de la inductancia, la corriente y la frecuencia de operación se obtiene la
energía que almacena el inductor o la potencia aparente:
E=
1 2 ,
LI rms
2
para el caso de corriente con componente de CD, I rms = I dc + I ac
2
2
Pt = VL I rms = X L I rms
2
2
(4.11)
65
Selección del material del núcleo
Para seleccionar el material adecuado se necesita como dato de entrada la
frecuencia de operación del elemento magnético. El fabricante proporciona tablas de
sugerencia de material magnético en función de la aplicación y de la frecuencia de
trabajo. También son útiles las gráficas del factor de desempeño, que nos permiten
escoger el mejor material de acuerdo a la frecuencia manteniendo constante las pérdidas
en el núcleo en un nivel aceptable. Para un cierto diseño, mejorar el funcionamiento
reduciendo las pérdidas del núcleo implica seleccionar un mejor material del núcleo.
También pudiera ser necesario, según el material disponible, cambiar la frecuencia de
operación del circuito a un valor que permita maximizar la utilización del núcleo, según su
curva de desempeño.
Selección de la forma geométrica
La forma geométrica depende de las características de la aplicación, disposición
física del elemento magnético, necesidad de aislamiento magnético, temperatura del
medio y ventilación del embobinado. El fabricante presenta una serie de recomendaciones
en cuanto a la forma geométrica según la aplicación de que se trate.
Selección de la densidad de flujo de trabajo
El fabricante, por medio del factor de desempeño del material del núcleo, permite
establecer de manera gráfica el punto de partida para escoger una densidad de flujo de
operación de tal manera que las pérdidas en el núcleo se mantengan en un nivel
constante y aceptable, tomando como variable la frecuencia de operación.
Por ejemplo, las compañía como FERROXCUBE, define el factor de desempeño (
fxBmax) como la medida de potencia que el núcleo puede manejar a cierto nivel de
pérdidas aceptables. En la gráfica de la figura 4-9 es claro que para bajas frecuencias no
hay mucha diferencia entre los materiales, dado que el límite de diseño es la saturación
del núcleo Bsat. A frecuencias más altas la diferencia se incrementa. Existe una frecuencia
óptima de trabajo para cada material del núcleo. Es evidente que para aumentar el
manejo de potencia o la densidad de operación en alta frecuencia es necesario seleccionar
un mejor material. En este caso el límite de diseño es un valor muy por debajo de la
saturación Bmax.
Sin embargo, dada la cantidad de aplicaciones, la experiencia es la mejor forma
para establecer un valor aceptable final, ya que depende de criterios muy particulares de
diseño relacionados con la aplicación así como la prueba final del elemento en el circuito.
Seleccionar una densidad de flujo alta (límite densidad de saturación Bsat) permite
reducir el tamaño del núcleo, disminuye el número de vueltas, reduce las pérdidas del
cobre en el devanado, reduce el efecto del entrehierro. Sin embargo aumenta la pérdidas
en el núcleo, incrementa la temperatura de operación. Por otro lado trabajar con una Bmax
por debajo de saturación aumenta el tamaño del núcleo pero disminuye las pérdidas.
Incrementa el número de vueltas, aumenta la resistencia del cobre del devanado.
Incrementa el entrehierro, así como su efecto en las inmediaciones del núcleo.
66
Figura 4-10. Factor de desempeño (fxBmax) pérdidas por volumen de 500mw/cm3
en función de la frecuencia de operación (Cortesía de FERROXCUBE).
Un caso particular muy interesante es el inductor resonante utilizado en aplicaciones
de balastros. En estado estable, la corriente es prácticamente sinusoidal, por lo que seria
óptimo utilizar un valor de densidad de flujo cercano a la saturación para maximizar la
utilización del núcleo y reducir su tamaño.
Sin embargo, la frecuencia de operación obliga a seleccionar una densidad de flujo
mas baja para evitar altas pérdidas en el núcleo. Además, es común utilizar la misma
frecuencia de resonancia durante el encendido para encender la lámpara. Como en
algunos casos es necesario una tensión de hasta 3 o 4 kV para lograr el encendido,
durante la resonancia circulan corrientes pico muy altas en el inductor. Por tanto, es
necesario utilizar una densidad de flujo todavía mas pequeña, aumentando el entrehierro,
para evitar que se sature el núcleo durante la ignición y permita el encendido adecuado.
Esto incrementa el tamaño del núcleo, así como las pérdidas del devanado, ya que
aumenta el número de vueltas así como el efecto del entrehierro. La diferencia de
funcionamiento durante el estado estable y durante el encendido puede llegar a ser muy
grande: en estado estable el inductor maneja una corriente de 1 a 2 amperes. Durante el
encendido la corriente puede llegar a ser de hasta 20 A pico para lograr la tensión
adecuada. Por tanto, seleccionar la densidad de flujo se vuelve muy crítico para lograr un
buen compromiso entre estos dos estados, y probablemente sea necesario ensayar con
varios prototipos midiendo el la tensión de encendido hasta lograr el valor requerido. Si a
esto le añadimos que se espera tener bajas pérdidas en el devanado para tener un cierto
valor de eficiencia esperado, así como un tamaño lo mas pequeño posible y de bajo costo,
la situación se complica.
En este caso tal vez sea necesario evaluar opciones de encendido con dos
frecuencias, que permiten con menos corriente durante la ignición, alcanzar la tensión
67
pico de encendido o el uso de ignitores, si es que el tamaño es un criterio de diseño
importante o si las pérdidas en estado estable no son las esperadas.
En resumen, la densidad de flujo de partida se toma del fabricante del material y la
frecuencia de operación según la tabla fxB. Los requerimientos particulares de la
aplicación y los criterios principales del diseño, alteran el valor final según sea necesario.
La experiencia y el mayor conocimiento posible del funcionamiento del elemento
magnético en la aplicación evita tener que realizar varios diseños, ensayando con varios
valores de densidad de flujo, y seleccionar el mejor después de probar su funcionamiento.
Tabla de resumen de datos generales de diseño de un elemento
magnético
Tabla 4-1. Resumen de datos para diseño de un elemento magnético.
Dato
1
2
Símbolo
Ecuación
Inductancia
L
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación.
Corriente nominal en valores
Irms
eficaz, pico y eficaz de la
Para un inductor con componente de DC:
Ipico
derivada de la corriente.
Irms’
I2 = I2 + I2
rms
corriente
de
ac
Para el caso de un transformador con
respecto a la corriente de entrada.
Depende de la aplicación. Valor general
usado entre 3 A/mm2 y 6 A/mm2
Depende de la aplicación
3
Densidad de
operación.
4
5
Frecuencia de operación
Impedancia
F
XL
6
Tensión
del
magnético
VL
Inductor: VL=XLIrms
Transformador: Tensión de entrada
7
Energía
almacenada
Potencia aparente
P
Depende de la aplicación.
elemento
o
J
dc
X L = 2π fL
Inductor:
Unidades
Henrios
Amperes
E=
1 2
2
LI rms , Pt = XL I rms
2
A/mm2
Hertz
Ohms
Volts
Joules
o Watts
Para un transformador: potencia de
entrada mas potencia de salida. Pt = Pin +
Po
8
Material del núcleo
9
Forma
núcleo.
10 Densidad
operación
68
geométrica
de
flujo
del
de
B
Depende de la aplicación.
Información del fabricante.
Depende de la aplicación.
Información del fabricante.
Depende de la aplicación.
Información del fabricante.
Tesla
4.3.-
Métodos de diseño
El principal problema de un diseño es poder seleccionar el núcleo adecuado a la
aplicación. A continuación se presentaran los métodos más comunes que permiten
establecer relaciones entre las dimensiones físicas del núcleo con parámetros importantes
del diseño para poder realizar una selección adecuadas. Una vez seleccionado el núcleo,
los datos físicos obtenidos, área de ventana Aw, área transversal Ac y (MLT) permiten
resolver las ecuaciones para determinar el número de vueltas y el entrehierro en caso de
un inductor.
4.3.1.-
Producto de áreas
[1] Colonel W. T. McLyman, “Transformer and Inductor Design Handbook”, Ed. Marcel
Dekker, Inc., 1988.
McLyman establece las relaciones que existe del producto de áreas (área de ventana
por área efectiva del núcleo) con diferentes variables del diseño en particular. Esto
permite escoger un núcleo en base a las propiedades de los materiales, las características
de potencia requeridas y las especificaciones del diseño; utilizando la información
otorgada por los fabricantes del núcleo.
El método se basa en suponer que las pérdidas del devanado son iguales a las
pérdidas del núcleo para máxima eficiencia.
Una primera aproximación para las pérdidas en el núcleo se obtiene con:
(4.12)
w = kf m Bn
Donde k, m, n son coeficientes derivados de gráficas y de la forma geométrica del núcleo.
Ap = Aw • Ac
(4.13)
Las ecuaciones que obtiene McLyman, se basa en suponer relaciones proporcionales
entre las variables, como ejemplo (caso de diseño de un transformador) entre el producto
de áreas y el volumen:
A
B
E FH
AC
AW
D
(a)
(b)
Figura 4-11. Definición del producto de áreas para un núcleo tipo Pot:
(a) Vista superior y (b) corte transversal.
69
El volumen varía de acuerdo con el cubo de una dimensión lineal “l”, y el producto
de áreas varia con la cuarta potencia. Por tanto se puede establecer:
(4.14)
Volumen = K1l 3
(4.15)
Ap = K 2 l 4
Despejando de la ecuación (4.15):
l4 =
Así mismo de (4.16):
 Ap 
→l =

k2
 K2 
Ap
0.25
(4.16)
3
0.75
 Ap 0.25 
 Ap 
3
l = 
  →

 K 2  
 K2 
(4.17)
de (4.17) y de (4.14), se obtiene:
Se define
 Ap 
Volumen = k1 
 K2 
KV =
0.75
k1
k 20.75
(4.18)
(4.19)
La relación del producto de áreas con el volumen es finalmente:
Volumen = KV Ap0.75
(4.20)
Donde KV es una constante relacionada a la configuración del núcleo, la cual se
obtiene para varios tipos de núcleos graficando el producto de áreas contra el volumen y
promediando el resultado por medio de una curva.
Ejemplo para un núcleo C:
Figura 4-12. Volumen de un núcleo tipo C.
70
V
o
l
u
m
e
n
cm4
0
Producto de áreas Ap (cm 4 )
Figura 4-13. Volumen contra producto de áreas para el núcleo tipo C.
Siguiendo el mismo procedimiento, obtiene las siguientes relaciones del producto de
áreas con:
Peso del transformador.
Wt = K w Ap0.75
(4.21)
At = K s Ap0.5
(4.22)
Área de superficie del transformador.
Densidad de corriente del transformador.
(4.23)
J = K j Ap−0.125
que se generaliza para cualquier núcleo como:
(4.24)
J = K j Apy
El factor y depende la geometría del núcleo.
De la misma manera, obtiene relaciones con la constante geométrica del
transformador Kg; otro parámetro que usa el fabricante para indicar el manejo de
potencia y características de sus núcleos.
(4.25)
Ap = K p K g0.8
McLyman propone un método utilizando la capacidad de potencia aparente,
relacionada con el producto de áreas. La capacidad de potencia aparente se define como:
Pt = Pin + Po
Pin =
Po
η
watts
(4.26)
(4.27)
71
Y la relación del producto de áreas con la capacidad de potencia aparente es:
Ap =
Introduciendo el factor
Pt × 10 4
K u K f Bm fJ
cm4
(4.28)
J = K j Apy
Donde el exponente depende de la geometría del núcleo.
Por tanto (4.32) queda como:

Pt × 10 4
Ap = 
 K u K f K j Bm f

Ku
Kf
Kj
x
f
Bm
es
es
es
es
es
es



( x)
cm4
(4.29)
el factor de utilización de la ventana.
un coeficiente constante que depende de la forma de onda.
una constante que esta relacionada al crecimiento de temperatura.
un factor que depende de la geometría del núcleo.
la frecuencia de operación, Hz.
el flujo máximo, tesla.
Para el caso de un inductor, el producto de áreas se relaciona con la capacidad de
manejo de energía por la ecuación:
 2 ( Energia ) ×104 
Ap = 


Bm Ku K j


( x)
(4.30)
Donde la energía esta dada en watts segundo
Ku
Kj
x
Bm
es
es
es
es
el coeficiente de utilización de ventana.
una constante que esta relacionada al crecimiento de temperatura.
un factor que depende de la geometría del núcleo.
el flujo máximo, tesla.
La constante geométrica del núcleo se relaciona con la capacidad de manejo de
potencia por la ecuación:
Kg =
( energia )
donde la energía esta dada en watts segundo
α
Ke
2
(4.31)
α Ke
es la regulación
es una constante que se determina por las condiciones de operación eléctrica y
magnética:
2
K e = 0.145 Po Bmax
× 10 −4
Po
es la potencia de salida y
Bmax = Bdc +
72
Bac
2
(4.32)
Tabla de diseño de un transformador. Producto de áreas
Tabla 4-2. Procedimiento de diseño para un transformador por el método de producto de áreas.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Dato
Voltaje de entrada
Voltaje de salida
Corriente de salida
Frecuencia de operación
Eficiencia
Crecimiento de temperatura
Densidad de flujo
Material del núcleo
Factor de forma
Símbolo
Vin
Vo
Io
F
η
T
Bm
Kf
Ecuación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
4 para onda cuadrada
4.44 para onda sinusoidal
Depende de la aplicación
10 Forma geométrica
11 Potencia de salida
Po
Po = Vo I o
12 Potencia aparente
Pt
1 
Pt = Po  + 1
η 
Unidades
Volts
Volts
Amperes
Hertz
°C
Tesla
Watts
Watts
transformador circuito
puente onda completa.
1

Pt = Po  + 2  Transformador con
η

derivación central en el secundario
circuito puente onda completa
 2

Pt = Po 
+ 2  Transformador con
 η

derivación central en primario y
secundario circuito Push-Pull puente onda
completa
13 Utilización de la ventana
14 Producto de Áreas
15 Selección de núcleo con
producto de áreas mayor
que el calculado
16 Producto de
áreas del
núcleo
Ku
Ap
Ku=0.4
 Pt × 104
Ap = 
 K u K f K j Bm f




cm4
( x)
el
factor
x
depende de la forma geométrica. Kj según
forma geométrica y temperatura
Tomar datos del núcleo
Ap
Según tamaño de núcleo seleccionado
cm4
73
17
18
19
20
Longitud de vuelta promedio
Área transversal
Área de ventana
Área disponible para
embobinado
21 Área total
22 Peso del núcleo
23 Número de vueltas primario
MLT
Ac
Aw
Wa
Dato
Dato
Dato
Dato
At
Wtfe
Np
Dato del núcleo
Dato del núcleo
24 Corriente de entrada
Iin
25 Densidad de corriente
J
del
del
del
del
núcleo
núcleo
núcleo
carrete del núcleo
cm2
Kg
Vin ×104
Np =
K f Bm fAc
I in =
cm
cm2
cm2
cm2
a
Amperes
Po
Vinη
J = K j Apy
y
depende
de
la
forma
A/cm2
geométrica
26 Área del conductor desnudo
AwB
AwB
I
= in
J
para
configuración
con
cm2
derivación central multiplicar por 0.707 el
resultado
27 Seleccionar tamaño de
conductor de la tabla AWG
28 Resistencia por unidad de
longitud
29 Resistencia del primario
30 Pérdidas por el cobre del
primario
31 Número de vueltas del
secundario
32 Área del
secundario
conductor
del
AWG
Rl
Según conductor seleccionado
Rp
R p = ( MLT )( Rl )
Pp
Pp = I in2 R p
Ns
AWB
Ns =
AwB
Ω/cm
Ω
watts
N pVo
Vin
I
= o
J
para
configuración
con
cm2
derivación central multiplicar por 0.707 el
resultado
33 Seleccionar el tamaño del
conductor de la tabla AWG
34 Resistencia por unidad de
longitud
AWG
Rl
Según conductor
35 Resistencia del secundario
Rs
Rs = ( MLT )( Rl )
36 Pérdidas
del
cobre
del
secundario
37 Pérdidas de la ferrita por
kilogramo
Ps
Ps = I o2 Rs
38 Pérdidas del núcleo
74
W/kg
Ω/cm
Ω
watts
W / kg = Kf m Bmn
de
las
curvas
de
W/kg
pérdidas del núcleo otorgadas por el
fabricante
Pfe
(
Pfe = (W / kg ) Wt fe
)
watts
Tabla de diseño de un inductor. Producto de áreas
Tabla 4-3. Procedimiento de diseño para un inductor por el método de producto de áreas.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dato
Inductancia deseada
Corriente de operación
Corriente de CA, rizado
Corriente total
Símbolo
L
Io
∆I
I
Frecuencia de operación
Crecimiento de temperatura
Densidad de flujo
Material del núcleo
Forma geométrica
Energía
11 Utilización de la ventana
12 Producto de Áreas
F
T
Bm
E
Ku
Ap
13 Selección de núcleo con
producto de áreas mayor que
el calculado.
14 Producto de áreas del núcleo
15 Longitud de vuelta promedio
16 Área transversal
17 Área de ventana
18 Área
disponible
para
embobinado
19 Área total
20 Peso del núcleo
21 Densidad de corriente
Ecuación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
I= Io + ∆I
Depende
Depende
Depende
Depende
Depende
E=
de
de
de
de
de
la
la
la
la
la
aplicación
aplicación
aplicación
aplicación
aplicación
Unidades
H
Amperes
Amperes
Amperes
Hertz
°C
Tesla
Watt-s
1 2
LI
2
Ku=0.4
 2 E × 104 
Ap = 
 K u K j Bm 


cm4
( x)
el factor x depende
de la forma geométrica. Kj según forma
geométrica y temperatura
Tomar datos del núcleo
Ap
MLT
Ac
Aw
Wa
Según tamaño de núcleo seleccionado
Dato del núcleo
Dato del núcleo
Dato del núcleo
Dato del carrete del núcleo
At
Wtfe
J
Dato del núcleo
Dato del núcleo
J = K j Apy
y depende de la forma
cm4
cm
cm2
cm2
cm2
cm2
Kg
A/cm2
geométrica
22 Área del conductor desnudo
AwB
23 Seleccionar
tamaño
de
conductor de la tabla AWG
24 Resistencia por unidad
longitud
25 Área efectiva de ventana
de
26 Numero
de
secundario
del
vueltas
Rl
Waeff
N
AwB =
cm2
I
J
Tomar nota de área de conductor Awb
AWG
Según conductor seleccionado
Ω/cm
Waeff = (0.75)xWa, Wa es el área de
ventana
N=
cm2
Waef (0.6)
Awb
75
27 Entrehierro
lg
28 Flujo de dispersión
F
lg =
cm
0.4π N 2 Ac × 10−08
L
F = 1+
 2D 
ln 
,
Ac  lg 
lg
D
es
la
dimensión según la figura 4.11
29 Recalcular numero de vueltas
Ncl
30 Resistencia del embobinado
R
31 Pérdidas del cobre
32 Pérdidas de
kilogramo
la
R = ( MLT )( Rl )
Pcu
ferrita
por
N
F
Nc =
watts
Pcu = I 2 R
W/kg
W / kg = Kf m Bmn
de
las
curvas
de
W/kg
pérdidas del núcleo otorgadas por el
fabricante.
33 calcular la densidad de flujo
total
Bm
34 Calcular la densidad de CA
Bca
Bm =
W/kg
0.4π
∆I
×10−04
2
lg
W
= Kf m Bmn ,
Kg
Pfe
37 Pérdidas totales
PN
Teslas
los valores de m y n
dependen
del
geométrica
36 Calcular pérdidas del núcleo
Teslas
0.4π I × 10−04
lg
Bmac =
35 Calcular pérdidas Watts/Kg
Ω
material
y
W 
Pfe = 
 Wtfe
 Kg 
PN = Pcu + Pfe
W/Kg
forma
Watts
Watts
Diseño de un inductor con núcleo toroidal con corriente CD
El diseño sigue los pasos descritos anteriormente hasta el paso 25.
Calculo de la permeabilidad del núcleo requerido
µr =
L × MPL ×108
0.4π N 2 Ac
(4.33)
Selección de un núcleo con la permeabilidad mas cercana.
Calcular el número de vueltas requeridos
 L 
N = 1000 

 L1000 
76
(4.34)
4.3.2.- Constante geométrica Kg. Procedimiento de diseño de un
inductor.
[3] Robert Erickson. “Fundamentals of Power Electronics”. . Dragan Maksinovic.
Universidad de Colorado. Segunda Edición. 2001.
Máxima densidad de flujo
Dado un pico de corriente de embobinado Imax, operar el núcleo a una densidad de
flujo a un valor pico Bmax escogido de tal manera que sea menor que el peor caso de
saturación de densidad de flujo del material:
De la ley de ampere, resolviendo el circuito magnético
(4.35)
ni = BAC RG
Haciendo I=Imax y B=Bmax
nI max = Bmax AC RG = Bmax
lg
µ0
(4.36)
Limitaciones: El número de vueltas n y el entrehierro lg son desconocidos.
Inductancia
L=
n 2 µ 0 AC n 2
=
Rg
lg
(4.37)
Limitaciones: El número de vueltas n, el área del núcleo Ac, y el entrehierro lg son
desconocidos.
Área de embobinado
Área total del cobre en la ventana:
(4.38)
nAW
Área disponible para embobinado de conductores:
KU W A
(4.39)
Limitación de diseño: K U W A ≥ nAW
Ku
es la fracción de la ventana que puede ser llenada por el embobinado.
Valores típicos de Ku:
0.5 para un inductor simple de bajo voltaje
Resistencia de embobinado
R=ρ
lm
Ab
(4.40)
77
donde ρ es la resistividad del material conductor, lm es el largo del alambre, y Ab es el
área del alambre desnudo.
El largo lb puede ser expresado como:
lm = N ( MLT )
(4.41)
donde MLT es largo promedio por vuelta del embobinado, y es función de la geometría del
núcleo. Por tanto:
Rdc = ρ
N ( MLT )
Ab
(4.42)
con las anteriores ecuaciones, combinándolas, se obtiene:
2
AC2 Aw
ρ L2 I max
≥ 2
( MLT ) Bmax Rdc KU
(4.43)
El lado derecho son especificaciones o cantidades conocidas.
El lado izquierdo es función de la geometría del núcleo.
La constante geométrica del núcleo se define como:
AC2 Aw
Kg =
( MLT )
(4.44)
La Kg describe el tamaño efectivo eléctrico del núcleo magnético, en aplicaciones
donde las siguientes cantidades son especificadas:
• Pérdidas del núcleo.
• Máxima densidad de flujo.
Las especificaciones afectan al núcleo de tal manera:
Un núcleo pequeño puede ser usado incrementando:
Bmax, usando materiales que tengan altos Bsat
Rdc, permitiendo mayores pérdidas de cobre.
La geometría del núcleo afecta las capacidades eléctricas:
Una Kg grande puede ser obtenida si se incrementa:
AC, mas material de núcleo, o
Aw, mayor área de ventana o más cobre.
Tamaño del núcleo
Kg ≥
78
2
ρ L2 I max
10 8
2
Bmax
Rdc K U
(cm5)
(4.45)
Se escoge un núcleo cuyas dimensiones satisfagan la inecuación. Se anotan los
valores de Ac, Aw, y MLT.
Entrehierro
lg =
2
µ 0 LI max
10 4
2
Bmax AC
µ 0 = 4π 10 −7
(m)
(4.46)
H/m
Este valor es aproximado y desprecia pérdidas del flujo y otras no idealidades.
Número de vueltas
N=
LI max
10 4
Bmax AC
(4.47)
Dimensiones del alambre
Ab =
K U Aw
N
(cm2)
(4.48)
Diseño de un inductor utilizando el factor geométrico Kg
Partiendo de los parámetros conocidos:
ρ
Resistividad del alambre (Ω-cm).
Imax
L
R
Ku
Bmax
corriente pico del embobinado (A).
Inductancia (H).
Resistencia del embobinado (Ω).
factor de utilización de ventana.
densidad de flujo máxima del núcleo (T).
Tabla 4-4. Procedimiento de diseño para un inductor utilizando el factor geométrico Kg.
1
2
3
4
Dato
Utilización de la ventana
Material del núcleo
Forma geométrica
Factor geométrico
5
Selección del núcleo
6
7
Tomar datos del núcleos
Numero de vueltas
Símbolo
Ecuación
Ku
Ku=0.4
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación
Kg
L2 I 2 ρ
Kg ≥
max
2
Bmax
Rdc Ku
8
10
Unidades
cm5
Núcleo con factor Kg que cumpla con la
relación anterior
Dimensiones del núcleo, Ac, Aw, MLT
N
N=
LI max
104
Bmax AC
79
8
Entrehierro
lg
9
Tamaño del conductor
Ab
4.3.3.- Diseño de un
geométrica Kgfe
lg =
cm
2
µ0 LI max
104
2
Bmax AC
cm2
K A
Ab = U w
N
transformador
utilizando
la
constante
Para el caso de un transformador se utilizan las siguientes relaciones:
Pérdidas en el núcleo:
Pfe = K fe ( ∆B ) Aclm
β
(4.49)
Kfe es una constante del material, β tiene valores típicos de 2.6 o 2.7 para ferritas y ∆B es
el valor pico de la componente CA de B(t). Incrementando el valor de ∆B causa que las
pérdidas del núcleo se incrementen con rapidez.
Volts segundo aplicados.
v (t)
1
área λ 1
t2
t1
t
Figura 4-14. Voltaje aplicado al devanado. El área representa los volts-segundo.
La ley de Faraday permite calcular los volts-segundos aplicados al primario durante
la porción positiva de v1(t):
t2
λ1 = ∫ v1 (t )dt
(4.50)
t1
El valor pico de la componente de CA de la densidad de flujo es:
∆B =
λ1
2n1 Ac
n1 es el número de vueltas del primario. Ac el área transversal del núcleo.
80
(4.51a)
Despejando n1:
n1 =
λ1
2∆BAc
(4.5b)
Pérdidas del cobre:
ρ ( MLT )n12 I tot2
Pcu =
WA Ku
(4.52)
donde ρ es la resistividad del cobre, WA es el área de ventana, Ku factor de
utilización de ventana.
I tot = ∑ j =1
k
nj
n1
Ij
(4.53)
Sustituyendo (4.52) en (4.53):
Pcu =
ρλ12 I tot ( MLT )  1 


4 Ku WA Ac  ∆B 
2
(4.54)
Se observa como las pérdidas en el cobre disminuyen con el aumento de ∆B
Las pérdidas totales son Pt = Pfe + Pcu. El valor óptimo ocurre cuando:
dPfe
dPtot
dPcu
=
+
=0
d ( ∆B ) d ( ∆B ) d ( ∆ B )
(4.55)
Por tanto:
dPfe
d ( ∆B )
= β K fe ( ∆B ) ( β −1) Ac lm
ρλ 2 I ( MLT )
dPcu
−3
= −2 1 tot
( ∆B )
4 K u WA Ac
d (∆B)
(4.56)
(4.57)
Sustituyendo (4.57) y (4.58) en (4.56) y despejando ∆B:
 ρλ12 I tot ( MLT ) 1   1 
∆B = 


3
 2 Ku WA Ac β K fe   β + 2 
(4.58)
Sustituyendo ∆B en la ecuación de pérdidas de cobre y de núcleo, las pérdidas
totales son:
Ptot =  Ac lm K fe 
 2 


 β +2 
 β 
 β 
 β 


 
−
 ρλ12 I tot ( MLT )   β + 2   β   β + 2   β  β + 2  
+ 

2 
 2 

2
 2 Ku WA Ac 


(4.59)
81
Arreglando la ecuación anterior:
WA ( Ac )
  β −1  
 2
 
  β 
( β)
2
( MLT )lm

 β 
 2 

 β 
−

 β +2 
β
+ 
2
 β 


 β +2 




 β +2 
−

 β 
(2 )
=
ρλtot2 I tot2 K fe β
4 K u ( Ptot )
(
β +2
β
)
(4.60)
El término del lado izquierdo depende de la geometría del núcleo. El lado derecho de
las especificaciones de la aplicación.
Definiendo la constante Kgfe como:
K gfe =
WA ( Ac )
  β −1  
 2
 
  β 
( 2β)
( MLT )lm
 β 
 β 

−



β
+
2



β
β
  β +2  
 
+ 
 2 

2


 β +2 
−

 β 
(4.61)
El procedimiento de diseño permite seleccionar un núcleo que satisfaga la ecuación:
(2 )
K gfe =
ρλtot2 I tot2 K fe β
4 Ku ( Ptot
( β +2 )
) β
(4.62)
Procedimiento de diseño para un transformador usando la constante Kgfe
Tabla 4-5. Procedimiento de diseño para un inductor utilizando Kgfe.
1
2
3
4
5
Dato
Símbolo
Ecuación
Utilización de la ventana
Ku
Ku=0.4
Material del núcleo
Depende de la aplicación
Forma geométrica
Depende de la aplicación
Resistividad del cobre
ρ
Corriente eficaz total del
Itot
k nj
embobinado,
referido
al
I tot = j =1 I j
n1
primario
∑
6
Relación de vueltas deseada
7
Volts segundo aplicados al
primario
Unidades
Ω-cm
Amperes
n2 n3
, , etc
n1 n1
λ1
t2
λ1 = ∫ v1 (t )dt
V-seg
t1
8
9
Perdidas totales
Exponente de pérdidas del
núcleo
10 Coeficiente de pérdidas del
núcleo
82
Ptot
β
Kfe
Dependen de la aplicación
Depende del fabricante y del material
del núcleo.
Depende del fabricante y el material del
núcleo.
W
(W/cm3Tβ)
11 Factor geométrico
(2 )
Kgfe
K gfe =
ρλtot2 I tot2 K fe β
4 K u ( Ptot )
12 Selección del núcleo
Núcleo con factor Kgfe que cumpla con la
relación anterior
Dimensiones del núcleo, Ac, Aw, MLT
13 Tomar datos del núcleos
14 Determinar ∆B
∆B
15 Verificar que la densidad no
supere la saturación.
16 Numero
primario
de
vueltas
del

ρλ 2 I ( MLT ) 1   1
∆B = 108 1 tot

2 K u WA Ac3 β K fe   β + 2

Tesla
Especificar un valor menor a saturación
o utilizar un núcleo con pérdidas mas
grandes.
n1
17 Calcular
vueltas
de
secundarios según relación
de vueltas
n2, n3
18 Fraccionar
el
área
de
ventana para cada devanado
αn
19 Tamaño del conductor
Abn
n1 =
λ1
104
2∆BAC
n 
n2 = n1  2  , etc.
 n1 
nI
nI
α1 = 1 1 , α 2 = 2 2
n1 I tot
n1 I tot
, etc
αKW
α KW
Ab1 = 1 u A , Ab 2 = 2 u A , etc
n1
n2
20 Seleccionar conductor
4.3.4.-
( β +2 β )
cm2
De la tabla de AWG
Método del volumen mínimo
[6] J. Manuel Lopera. “Elementos Magnéticos en Alta Frecuencia: Estudio, Modelado y
Criterios de Diseño”, Universidad de Oviedo, España. Tesis Doctorado 1993.
Lopera desarrolla una ecuación para determinar el volumen mínimo de acuerdo a:
Las pérdidas en el núcleo son proporcionales al volumen del mismo y al cuadrado de
la densidad de flujo alterno con la que trabaja (baja frecuencia).
Pérdidas del núcleo.
PNU = K M VBac2 = K M V
2
L2 I AC
AC2 N 2
(4.63)
Nφ
→ si la relación entre el flujo total (Λ=Nφ) y la corriente que causa el campo
I
magnético es lineal.
L=
B AC =
Λ
→ Λ = Nφ
AC
(4.64)
83
Pérdidas en el devanado.
PDEV = ρ
l
ACon
NI Ef2 = ρ
l
N 2 I Ef2
K u AW
(4.65)
Las pérdidas totales son:
PTOT = K M V
2
L2 I AC
l
1
N 2 I Ef2 → PTOT = K1 2 + K 2 N 2
+ρ
2
2
AC N
K u AW
N
(4.66)
Derivando las pérdidas totales con respecto a N e igualando a cero, se obtiene el
número de vueltas que minimiza las pérdidas totales:
dPTOT
→ N OP =
dN
4
2
K M K u L2 I AC
AW V
2
2
ρ I Ef l AC
(4.67)
Donde
ACon
AC
AW
Ku
KM
es
es
es
es
es
K W AW
el área efectiva del conductor ACon =
N
el área efectiva del núcleo
el área de ventana
el coeficiente de utilización de la ventana
una constante del núcleo pérdidas por unidad de volumen
Por tanto las pérdidas totales son:
PTOT = PNU + PDEV = ρ
KM
Vl
K
Vl
+ ρ M L2 Iac2 Ief2
L2 Iac2 Ief2
2
Ku
Aw Ac
Ku
Aw Ac2
(4.68)
Lopera comprueba que para el caso de tomar el límite de diseño la Bac se cumple
que las pérdidas en el núcleo son iguales al devanado. El factor
que
l
K
, donde KFG
= FG
2
Aw Ac V 5 3
es la constante de forma
Vl
se puede asumir
Aw Ac2
geométrica del núcleo. La
ecuación queda:
PTOT = 2 ρ
K M K FG 2 2 2 1
L I ac I ef 2
Ku
V 3
(4.69)
despejando V se obtiene:
3
 K M K FG  2 3 3 3
ρ
 L I ac I ef
Ku 
3 
V =2
3
PTOTOPT
84
(4.70)
De esta manera se puede seleccionar el volumen mínimo necesario en función de
constantes de los materiales, de la aplicación y de las pérdidas aceptables.
Trabajando ahora con un BSat se obtiene, suponiendo que:
Bac =
PTOT = K M VB
2
max
I ac
Bm ax
I max
(4.71)
2 2 2
2
I AC
K FG L I Ef I max 1
+ρ
5
2
2
I max
Ku
Bmax
V 3
(4.72)
donde se podría obtener el volumen necesario aunque no de manera implícita.
Tabla para el diseño de un inductor, volumen mínimo
Tabla 4-6. Procedimiento de diseño para un inductor por el método del volumen mínimo.
1
2
3
4
5
6
7
Dato
Símbolo
Ecuación
Utilización de la ventana
Ku
Ku=0.4
Material del núcleo
Depende de la aplicación
Forma geométrica
KFG
Depende de la aplicación
Resistividad del cobre
ρ
Corriente eficaz
Ief
Depende de la aplicación
Corriente alterna CA
Iac
Depende de la aplicación
Factor de pérdidas del
KM
Depende del fabricante y del material
núcleo
del núcleo
8 Pérdidas aceptables
9 Inductancia deseada
10 Calcular el volumen mínimo
11 Número de vueltas
12 Calcular diámetro del hilo
13 Selección del hilo
14 Entrehierro
PTOTOPT
L
V
N
dc
AWG
lg
Dependen de la aplicación
Depende de la aplicación
3
 K M K FG  2 3 3 3
ρ
 L I ac I ef
Ku 
3 
V =2
3
PTOTOPT
N=
4
Unidades
Ω-cm
Amperes
Amperes
W
H
cm3
2
K M K u L2 I AC
AW V
2
2
ρ I Ef l AC
 4 K u AW 
dc = 

π N 
cm2
De la tabla de AWG
AWG
cm
lg =
µ0 AC N
l
− e
L
µr
2
Devanado óptimo para conductores hilo redondo
De los trabajos de Perry [16], Vandelac y Ziogas [17] se obtienen las ecuaciones
que permiten calcular las pérdidas del devanado, incluyendo los efectos piel y proximidad.
85
Para el caso de un inductor con entrehierro central, las pérdidas totales son,
aplicado a hilo redondo:
l h 2
0.886 Dn r
1
P =  m w3 I efec
r
0.886 Dn
m
 σδ
  2m 2 + 1 
0.886 Dn r
F1  Dn
 
m
  3

 4(m2 − 1) 
0.886 Dn r
F2  Dn
 −
3
m



 
 
(4.79)
donde
Dn =
r=
D
δ
, D es el diámetro del hilo redondo.
N
δ N es el número de vueltas.
hw
El diseño óptimo es el par (Dn, m) que minimiza las funciones F1() y F2() en (4.79)
para una cierta aplicación r:
Dn max
Dado r, se varia el número de capas m, y para cada capa se varía Dn desde 0 hasta
Dicho máximo esta dado por:
Dn max =
m
r
(4.80)
de las gráficas obtenidas se obtiene el valor óptimo.
Considerando corriente con componente en CD y CA, definiendo:
k=
I dc
 I ac 


 2
(4.81)
Las pérdidas totales son:
0.886 Dn r
1
 l h 2  π 2 r
P =  m w3 I efec
r
  k 2 +
m
 σδ
  4 Dn 0.886 Dn
 2m 2 + 1 
0.886 Dn r
F =
F1  Dn
m

 3

 ( F )

 4(m 2 − 1) 
0.886 Dn r
F2  Dn
 −
m
3


Obteniendo gráficas para varios valores de k, se obtiene el valor óptimo.
Para bobina con entrehierro en la pierna central y exterior:
86
(4.82)

 
 
(4.83)
0.886 Dn r
1
 l h 2  π 2 r
P =  m w3 I efec
r
  k 2 +
m
 σδ
  4 Dn 0.886 Dn
1 2
 2 m +1 
0.886 Dn r
F =
F1  Dn
m

 3


 ( F )

1
2
 (m − 4 ) 
0.886 Dn r
F2  Dn
 −
3
m


(4.84)


 


(4.85)
En las gráficas obtenidas se obtiene el valor óptimo (Dn, r )para minimizar las pérdidas.
Para el caso de un transformador se reduce al diseño de un inductor.
1.
2.
3.
Se utiliza como inductancia L el de la bobina magnetizante (LM) deseada.
Se utiliza como factor de utilización de ventana la mitad que en el caso de las
bobinas.
Todas las corrientes serán del primario excepto Iac, que se tomará como la parte
alterna de la corriente magnetizante, ya que es la responsable de las pérdidas.
Para obtener el devanado optimo, intercalando primario y secundario para disminuir
el efecto proximidad, propone dos métodos:
Método 1.
Se aplica cuando:
1
k A
4 2 w w
⟨⟨δ
π N
1)
2)
3)
4)
(4.86)
Se asigna la mitad del área total para el primario y la otra para el secundario.
Dado el número de vueltas del primario, se selecciona un tamaño de hilo que llene
su mitad del área total. Se obtendrá así el número de capas del primario mp.
El secundario debe tener mp-1 capas. Conocido este número, el número de vueltas
del secundario y su área total de l otra mitad de la ventana, se obtiene el tamaño
del hilo del secundario.
Si el número de vueltas del secundario es menor que el número de capas de
secundario necesarios, o tan bajo que no llena la altura de la ventana, se utilizarán
tantos hilos en paralelo como sean posibles para llenar dicha área.
Método 2.
Se aplica cuando:
1
k A
4 2 w w
⟩⟩δ
π N
1)
2)
3)
(4.87)
Dividir el área de ventana en n franjas de una profundidad piel.
Se rellenan las franjas impares con el primario, paralelizando tantos hilos como
sean necesarios.
Se rellenan las franjas pares con el secundario, paralelizando igualmente si resulta
necesario.
87
4.3.5.-
Comparación de métodos de diseño
Ahora se compararán los métodos expuestos anteriormente, tratando de establecer
las ventajas y desventajas que presentan. Esto tomando en cuenta el criterio con que
basan el método de diseño, facilidad de diseño, la precisión de los resultados obtenidos,
es decir que involucre menos rediseños, la inclusión de efectos en alta frecuencia.
Tabla 4-7. Tabla comparativa de métodos de diseño magnético.
Ventajas
Desventajas
Producto de áreas
Constante geométrica
Es un método utilizado
Permite controlar el
comúnmente para seleccionar diseño cuando el criterio
el tamaño del núcleo.
son las pérdidas del
devanado con valores de
corriente de rizado de CA
Existe suficiente información
pequeños.
por parte de los fabricantes
de núcleos
Recientemente incluye
análisis de las pérdidas
en alta frecuencia
Esta basado en datos
obtenidos en baja frecuencia.
Las relaciones encontradas
son empíricas.
No incluye los efectos de alta
frecuencia.
Solo es valido para formas de
onda sinusoidales.
Incluye el aumento de
las pérdidas por efecto
de la frecuencia.
Establece criterios para
seleccionar el
devanado óptimo que
minimice las pérdidas
en alta frecuencia.
Poco conocido.
El criterio se basa en
establecer la densidad de El criterio utilizado se
flujo óptima, la cual
complica cuando se
podría ser de un valor
tienen componente de
mayor a la de saturación. CD con un rizo de CA.
Es necesario generar
Al no incluir los efectos de varias gráficas para
establecer el devanado
alta frecuencia, no es
posible garantizar un valor óptimo.
de resistencia en el
devanado (y de pérdidas) Para formas de onda
como lo establece el
no sinusoidales es
método.
necesario descomponer
en fourier, lo cual
No extiende los resultados implica tiempo en el
diseño.
para formas de onda
arbitrarias.
Las pérdidas en alta
frecuencia y su
optimización son a través
de graficas, los cuales
implican mas tiempo de
diseño.
88
Volumen mínimo
Establece el mínimo del
volumen requerido
para cumplir con el
criterio de pérdidas del
cobre iguales a las del
núcleo
Conclusiones
Los tres métodos anteriormente descritos, producto de áreas, constante geométrica
y volumen mínimo establecen como criterio principal de diseño que las pérdidas del
núcleo son iguales a las pérdidas del cobre. Sin embargo tanto el método de constante
geométrica como el de Lopera aclaran que para los casos donde se opere con corrientes
con componentes de CD y de rizado de CA, el método podría utilizar valores de densidad
de flujo por encima de saturación. Además, cuando el valor del rizado es muy pequeño en
comparación a la componente de CD las pérdidas por proximidad y por efecto piel son
prácticamente despreciables, por lo que el criterio de igualar pérdidas de cobre con las del
núcleo no es el óptimo.
El producto de áreas de McLyman, es el más ampliamente utilizado, cuando menos
para seleccionar un núcleo aproximado. Algunos autores complementan este método
realizando un análisis de los efectos de alta frecuencia, optimizando el devanado para
varios núcleos similares y seleccionar el óptimo según los resultados obtenidos.
Lopera retoma el método de diseño producto de áreas, y propone una ecuación que
determina el volumen que minimiza las pérdidas, para el caso de límite por Bac, y a su vez
demuestra que las pérdidas en el cobre son iguales a las del núcleo para un determinado
valor de vueltas; sin embargo, esto solo es válido para aplicaciones muy particulares.
Para el caso de diseño limitado por Bsat. no puede derivar una ecuación para determinar el
volumen mínimo. Completa su método de diseño con criterios adicionales como selección
del tipo de hilo, tamaño del núcleo y devanado en donde incluyen los efectos en alta
frecuencia. Sin embargo, es poco conocido y utilizado este método, además de que el
análisis de los efectos en alta frecuencia consumen tiempo durante el diseño.
En conclusión, los métodos proporcionan una herramienta que permiten seleccionar
de manera aproximada un núcleo que cumpla con las especificaciones de manejo de
potencia. Sin embargo, el diseño final dependerá de las características particulares de la
aplicación en base a la experiencia que se tenga sobre el funcionamiento del elemento en
el mismo para determinar las factores que son necesarios optimizar, y establecer los
criterios pertinentes para lograrlo.
En la actualidad, existen muy buenas aproximaciones de los análisis de efecto piel y
proximidad, además de que se pueden aplicar a formas de onda arbitrarias. Esto permite
con menos tiempo y recursos, realizar tanto el diseño de un elemento magnético, como el
análisis de las pérdidas en alta frecuencia y su optimización. Esto es uno de los objetivos
de esta Tesis, establecer las mejores aproximaciones para el diseño, de tal manera que
sea práctico, sencillo y lo mas preciso posible.
4.4.-
Referencias
[1]
Colonel Wm. T. MacLyman. “Transformer and Inductor Design Handbook”. Editorial
Board, 1988.
[2]
ECEN 4517. Filter Inductor Design. Inductor.pdf.
[3]
Robert Erickson. “Fundamentals of Power Electronics”. . Dragan Maksinovic.
Universidad de Colorado. Segunda Edición. 2001.
[4]
Fundamentals of Tape Wound Core Design Magnetics. Twc-s1.pdf.
89
[5]
Intusoft. Magnetics Designer. Personal Computer. Circuit Design.
[6]
Juan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: “Elementos magnéticos en alta
frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño”. Universidad de Oviedo,
España. Diciembre de 1993. Gijón, España.
[7]
Lloyd H. Dixon. “Magnetics desing for switching Power supplies”. Section 1 to
section 5.
[8]
Lloyd H. Dixon and R. Mammano. “Desing of flyback transformer and filter
inductors”. Unitrode Power Supply Seminar, 1990.
[9]
Lloyd H. Dixon and R. Mammano. “Power transformer desing for switching power
supplies”. Unitrode Power Supply Seminar, 1990.
[10] P. S. Bodger, M.C. Liew and P.T. Johnstone. “A COMPARISON OF CONVENTIONAL
AND REVERSE TRANSFORMER DESIGN”. Department of Electrical and Electronic
Engineering. University of Canterbury..
[11] Salvador Martínez García. “Prontuario para en diseño eléctrico y electrónico”.
Marcombo Boixareu Editores. 1989.
[12] Soft Ferrites and Accessories. Soft Ferrites. 2002 Feb 01. H2002.pdf.
[13] TOPICS COVERED. Introduction To Flyback Transformer Design Wire Table. Power
Supply Design Criteria Required References. Transformer Design Process.
Transformer Component Sources. Transformer Construction Core Types. 1)
INTRODUCTION TO FLYBACK TRANSFORMER DESIGN. an-1024.pdf.
[14] Unitrode. Power Supply Design Seminar 1993:
[15] William P. Robbins. “Design of Magnetic Components”. Dept. of Electrical and
Computer Engineering. University of Minnesota. A) Inductor/Transformer Design
Relationships. B) Magnetic Cores and Materials. C) Power Dissipation in Copper
Windings. D) Thermal Considerations. E) Analysis of Specific Inductor Design. F)
Inductor Design Procedures. G) Analysis of Specific Transformer Design. H) Eddy
Currents. J) Transformer Leakage Inductance. K) Transformer Design Procedures.
Megneticdesign.pdf
[16] M.P. Perry. “Multiple layer series connected winding desing for minimum losses”.
IEEE Trans. on Power Applaratus ans Systems. Vol. 98, No. 1, 1979.
[17] P. Vandelac and P.D. Ziogas. "A Novel Approach for Minimizing High Frequency
Transformer Copper Losses". IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 3, No. 3, pp.
266-276, July 1988.
90
Capítulo 5
Método de diseño propuesto
en alta frecuencia
5.1.-
Diseño magnético
convencionales
en
alta
frecuencia
con
núcleos
El problema básico para el diseño de un elemento magnético -con núcleo- puede
dividirse en dos partes:
•
•
•
•
Obtención de los datos requeridos para el diseño (conocimiento de la aplicación).
Selección del núcleo: material y forma geométrica.
Selección de los devanados (tamaño y disposición).
Criterios de optimización.
Es muy importante entender el funcionamiento exacto del elemento magnético en la
aplicación, ya que permite establecer criterios específicos que facilitan tomar las
decisiones adecuadas durante el desarrollo del diseño. Inclusive lo recomendable es
manejar la como variable de diseño la frecuencia final de operación, encontrando el valor
ya sea por recomendación del fabricante.
Los primeros dos puntos se discutieron en el capitulo 4, donde se obtienen los datos
iniciales generales para cualquier diseño.
Se analizaron los métodos producto de áreas, constante geométrica y método de
Lopera los cuales permiten establecer parámetros para la selección mas adecuada del
núcleo. Como Lopera menciona, el producto de áreas funciona en baja frecuencia, pero
en altas frecuencias (mayores a 100 kHz) ya no funciona correctamente, en parte debido
a los fenómenos que aparecen, como el efecto piel, proximidad, del entrehierro, etc. Y
por otra los datos que proporciona el fabricante, como el cálculo de pérdidas en el núcleo,
91
son determinadas en baja frecuencia, los cuales pueden quedar alejadas de los valores
que se obtienen en alta frecuencia.
El método de producto de áreas, relaciona las dimensiones físicas del núcleo (área
de ventana por área transversal) con los parámetros del diseño en particular. Su principal
problema es determinar la densidad de flujo y el crecimiento de temperatura aceptable
que minimice las pérdidas tanto en el núcleo como en el cobre. (como se ha demostrado,
las pérdidas mínimas se obtienen cuando las pérdidas del cobre son iguales al del núcleo.
Y que no se consideran los efectos que surgen en alta frecuencia.
Con el método de la constante geométrica, se introduce una dimensión mas del
núcleo, la longitud de vuelta promedio, relacionada con la resistencia del cobre y con las
pérdidas del mismo. El diseño es parecido al de producto de áreas, la diferencia es que es
necesario determinar la resistencia y la densidad de flujo máxima (y con ello las pérdidas)
que se esperan en el elemento magnético. Al igual que en el producto de áreas, depende
de valores proporcionados por el fabricante, que como se mencionó, son obtenidos en
baja frecuencia y no son completamente utilizables al incrementar la frecuencia. Sin
embargo, al introducir una dimensión mas, la selección del núcleo es un tanto más
cercana a las necesidades del diseño.
El método de Lopera es por demás interesante. Encuentra el número de vueltas que
minimizan las pérdidas totales, y demuestra que se cumple, cuando se utiliza como
límite Bsat, que las pérdidas del cobre son iguales a las del núcleo. Con las vueltas
mínimas, determina el volumen mínimo que se necesita para las vueltas que minimizan
las pérdidas. Para lograr esto, establece una constante geométrica, del volumen con el
área de ventana, área transversal y longitud de vuelta promedio, la cual es constante (o
puede considerarse como tal) para una forma geométrica determinada, sin importar el
tamaño. El diseño, por tanto se basa en proponer la forma geométrica, las pérdidas
aceptables, determinar la constante asociada y hallar el volumen mínimo según los
parámetros de diseño, que minimizan las pérdidas. Cuando se utiliza como limite Bmax
(con componente CD, entrehierro), se sigue un proceso similar aunque el resultado no es
tan evidente, ya que no se puede establecer la relación entre la constante propuesta con
anterioridad para hallar el volumen mínimo en forma explicita, pero puede determinarse
en forma gráfica.
Una vez seleccionado el núcleo, conociendo las dimensiones físicas, el diseño se
basa en ecuaciones generales, que se aplican en cualquiera de los métodos antes
mencionados (excepto en el de Lopera, ya que encuentra la ecuación que establece el
valor de vueltas mínimas que optimiza las pérdidas.)
Sin embargo, a pesar de que los métodos antes mencionados tratan de proporcionar
un camino de selección del núcleo, en alta frecuencia no son aplicables satisfactoriamente
porque las pérdidas del cobre en continua no coinciden con las pérdidas en alterna,
además de que no se incluyen los efectos proximidad, piel, corrientes de Eddy, que
surgen al incrementar la frecuencia, de los cuales solo Lopera incluye la manera de
obtener el diámetro óptimo de devanado.
Entonces, ¿cómo escoger el núcleo operando en alta frecuencia? Se presentará a
continuación el procedimiento paso a paso para el diseño de un elemento magnético.
92
5.2.-
Selección del núcleo
Los datos que ofrece el fabricante sobre los materiales y núcleos que ofrece son el
mejor aliado, ya que permiten seleccionar de manera práctica, con graficas y tablas, el
material y la forma geométrica, de acuerdo a los parámetros de la aplicación.
Ahora empieza el verdadero trabajo de diseño, seleccionar el tamaño adecuado del
núcleo de tal manera que tengamos las mejores prestaciones. Pero, ¿Cuales son las
mejores prestaciones?, o dicho de otra manera ¿Cual es el criterio o criterios a seguir
para obtener el diseño optimo?.
Aquí se hace necesario empezar a tomar ciertas consideraciones prácticas para
establecer los criterios que permitirán optimizar el diseño del elemento magnético.
¿Que es lo que más importante en este diseño?, ¿Reducción de tamaño?,
¿Reducción de pérdidas? En este punto entran en juego los datos obtenidos
anteriormente ya que escoger una densidad de flujo adecuada permite por un lado
reducir el tamaño del núcleo, sin embargo como todavía no hemos seleccionado el núcleo
no podemos evaluar el resultado final.
Empecemos estableciendo algunas restricciones y criterios de diseño:
5.2.1.a)
b)
c)
d)
Restricciones de diseño
Como generalmente se busca como uno de los criterios principales el
tamaño del núcleo, se puede empezar primero por determinar las
restricciones físicas que se tienen en el circuito. El espacio y disposición que
va a ocupar en el circuito nos permite establecer el volumen o peso
máximo, la altura y el ancho máximo del elemento.
Núcleos disponibles. En algunos casos solo se cuenta con tamaños
específicos que deber ser usados, ya sea por costo o por tiempo de
manufactura por ejemplo.
Situación térmica. Determinar el medio ambiente en el que va a operar el
elemento, problemas térmicos derivados por la cercanía de otro elementos
disipativos como MOSFET´s u otros elementos magnéticos. Esto puede
ayudar a determinar a establecer como criterio principal de diseño la
reducción de pérdidas tanto en el núcleo como en el devanado para evitar
temperaturas excesivas durante la operación. (Aunque será necesario
tomar registro de las temperaturas del núcleo, devanado y medio ambiente
durante el funcionamiento en estado estable del elemento en el circuito
para decidir si cumple con el requisito, en caso contrario será necesario
rediseñar y evaluar de nuevo)
En caso de ser un diseño sin restricciones de tamaño, entonces con los
datos obtenidos hasta el momento se procederá a determinar el tamaño del
núcleo.
93
5.2.2.-
Selección de tamaño aproximado del núcleo
Con los datos obtenidos de la aplicación, el método mas sencillo para obtener un
valor aproximado de tamaño de núcleo es utilizar el producto de áreas. Los métodos de
constante geométrica, y Lopera requieren mas experiencia para determinar de manera
satisfactoria las pérdidas que se consideran aceptables para la aplicación. Sin embargo,
hay que tener en cuenta que estos métodos solo son una aproximación, que no incluyen
los efectos de alta frecuencia en el método de selección, y que se basan de suponer las
pérdidas del núcleo iguales a las del cobre,
para un transformador o inductor resonante:
 P t × 104
Ap = 
 K B fK K
 f m u j



( x)
para un inductor con componente de CD, I = I 0 +
donde EL =
 2 ( EL ) × 104 
Ap = 
 B K K 
 m u j 
1 2
LI
2
(5.1)
∆I
:
2
( x)
(5.2)
Con el dato de producto de áreas, se selecciona el núcleo con el valor inmediato
mayor en los datos del fabricante del núcleo, y se anotan los datos de las dimensiones
físicas: Área transversal Ac, área de ventana Aw, Peso, Volumen, largo de vuelta promedio
MLT, y los valores de dimensión física del núcleo de acuerdo a la figura 5-1.
A
B
C
B
L
E F
A
F E
M
G
D
(a)
D
(b)
Figura 5-1. Datos del núcleo: a) tipo POT y b) tipo EE.
Los cuales permitirán calcular los valores restantes del diseño, como el número de
vueltas, entrehierro, conductor, etc.
Una manera práctica y sencilla de seleccionar el núcleo es determinar el máximo
número de vueltas posible de varios núcleos en función de los datos de la aplicación;
corriente máxima de funcionamiento, densidad de corriente (se puede empezar con un
valor de 4.5A/mm2), densidad de flujo máxima, factor de utilización de la ventana y
determinar con ello la máxima inductancia máxima posible sobre los núcleos. Se utilizan
las siguientes ecuaciones:
94
Área de conductor posible, según la densidad de corriente propuesta:
Ab =
I rms
J
(5.3)
Numero de conductores que llenan la ventana:
N max =
Inductancia máxima:
Lmax =
Aw Ku Aw Ku J
=
Ab
I rms
(5.4)
N max B∂ Ac N max B∂ Ac
=
I max
2 I rms
(5.5)
Para el caso de corriente sinusoidal, a una densidad de flujo propuesta, teniendo
como límite máximo el valor de saturación, comúnmente .390 T para ferrita o un valor
recomendado por el fabricante en sus tablas de operación.
La ventaja de utilizar estos datos en forma de tabla, es que se pueden variar los
datos de diseño de manera rápida y práctica, según los parámetros de la aplicación, y
permite realizar una evaluación rápida para seleccionar un núcleo adecuado, basta con
observar en la columna de inductancia máxima y escoger el núcleo pertinente. La tabla se
puede complementar con el valor de entrehierro necesario máximo, número de capas del
devanado, resistencia del cobre en CD y CA a vueltas máximas. Con estos datos podemos
tener una idea mucho mejor del posible resultado final del elemento magnético y escoger
el mas adecuado para su posible optimización.
Utilizando una gráfica en el programa Excell, podemos obtener los siguientes datos
para la familia del núcleo EE, de FERROXCUBE:
Tabla 5-1. Tabla de datos para un núcleo EE.
Ac
Ap
E5.3/2.7/2 0.2 0.38 0.14 0.38 1.26 0.045600
Nucleo
C
D
E
F
MLT
Aw
0.028
0.001277
1
0.4 450 8.208
0.14
2.275163
E6.3/2.9/2 0.2 0.36 0.14 0.37 1.28 0.040700
0.028
0.00114
1
0.4 450 7.326
0.14
2.030683
E8.8/4.1/2 0.2 0.52 0.19 0.41
0.038
0.002546
1
0.4 450 12.06
0.14
4.536107
E13/6/2
0.3 0.95 0.32 0.82
0.258300 0.1018 0.026285
1
0.4 450 46.49
0.14
46.83723
E13/6/6
0.6 0.95 0.32 0.82 3.2
0.258300 0.2048
1
0.4 450 46.49
0.14
94.26361
E13/7/4
0.4 0.89 0.37 0.9
2.6
0.234000 0.1369 0.032035
1
0.4 450 42.12
0.14
57.08329
E16/8/5
0.5 1.13 0.47 1.14 3.3
0.376200 0.2209 0.083103
1
0.4 450 67.72
0.14
148.0827
0.5 1.2
0.820000
1
0.4 450 147.6
0.14
283.4688
E16/12/5
0.066990
Irms Ku Jd Nmax Bmax Lmax(uH)
0.4 2.05
0.194
0.0529
0.15908
E19/8/5
0.5 1.43 0.47 1.14 3.79 0.547200 0.2209 0.120876
1
0.4 450
0.14
215.393
E19/8/9
0.9 1.43 0.48 1.14 4.52 0.545102 0.4137 0.225522
1
0.4 450 98.12
0.14
401.8641
E20/10/5
0.5 1.28 0.52 1.26 3.87 0.478800 0.2756 0.131957
1
0.4 450 86.18
0.14
235.1381
E20/10/6
0.6 1.41 0.59 1.4
3.9
0.574000 0.3481 0.199809
1
0.4 450 103.3
0.14
356.0456
E20/14/5
0.5 1.43 0.46 2.23 3.9
1.087125 0.2275 0.247321
1
0.4 450 195.7
0.14
440.7077
0.487500
1
0.4 450 87.75
0.14
694.9512
0.6 1.93 0.64 1.3 4.91 0.841750 0.4001 0.336742
1
0.4 450 151.5
0.14
600.0495
E25/10/6
0.6 1.88 0.64 1.28 4.91 0.796800 0.4032
E25/13/7
0.8 1.75 0.75 1.74 4.9
E22/16/10
E25/9/6
1
1.3
0.8 1.95
E25/13/11 1.1 1.75 0.75 1.74
0.8
0.39
1
0.4 450 143.4
0.14
572.5145
0.870000 0.5625 0.489375
1
0.4 450 156.6
0.14
872.0301
0.870000
1
0.4 450 156.6
0.14
1278.978
0.825
0.32129
98.5
0.71775
95
E30/15/7
0.7 1.95 0.72 1.94 5.6
1.193100 0.5256 0.627093
1
0.4 450 214.8
0.14
1117.434
E31/13/9
0.9 2.19 0.94 1.72
1.075000 0.8836
1
0.4 450 193.5
0.14
1692.598
1
0.4 450 266.1
0.14
2377.546
E32/16/9
E34/14/9
E35/18/10
1
2.27 0.95 2.24
6
0.9 2.55 0.93 1.96 6.7
1
2.45
1
2.5
E36/21/12 1.2 2.45 1.02 3.15
0.94987
1.478400 0.9025 1.334256
1.587600 0.8649 1.373115
1
0.4 450 285.8
0.14
2446.79
1.812500
1
1.8125
1
0.4 450 326.3
0.14
3229.741
2.252250
1.224
2.756754
1
0.4 450 405.4
0.14
4912.332
E41/17/12 1.2 2.86 1.25 2.08 7.96 1.679600 1.5438 2.592966
1
0.4 450 302.3
0.14
4620.475
E42/21/15 1.5 2.95 1.22 2.96 9.3
2.560400 1.8544 4.748006
1
0.4 450 460.9
0.14
8460.596
E42/21/20
2
2.95 1.22 2.96
2.560400
2.44
6.247376
1
0.4 450 460.9
0.14
11132.36
E42/33/20
2
2.95 1.22 5.2
4.498000
2.44
10
10.97512
1
0.4 450 809.6
0.14
19556.85
2.032800 2.4336 4.947022
1
0.4 450 365.9
0.14
8815.228
E50/27/15 1.5 3.41 1.46 3.72 9.33 3.627000 2.1316 7.731313
1
0.4 450 652.9
0.14
13776.63
24171.59
E47/20/16 1.6 3.24 1.56 2.42
E55/28/21 2.1 3.75 1.72 3.7 11.6 3.755500
3.612
13.56487
1
0.4 450
676
0.14
4.3
16.14865
1
0.4 450
676
0.14
28775.7
E56/24/19 1.9 3.81 1.88 2.92 11.2 2.817800 3.5344 9.959232
1
0.4 450 507.2
0.14
17746.62
0.14
52461.25
0.14
71429.87
E55/28/25 2.5 3.75 1.72 3.7
E65/32/27 2.7 4.42
E71/33/32 3.2 4.8
2
4.44
2.2 4.38
3.755500
15
5.372400
5.48
29.44075
1
0.4 450
5.694000
7.04
40.08576
1
0.4 450 1025
967
La desventaja es que se necesita introducir todos los datos para la familia del
núcleo. Sin embargo, una vez realizado este trabajo su utilización para futuros trabajos
es realmente de enorme ayuda.
Con el tiempo, y la experiencia que se obtiene de realizar varios diseños, será
mucho mas fácil seleccionar de la tabla anterior núcleos de manera rápida, que cumpla
con las características más importantes de nuestro interés en las muchas aplicaciones de
los elementos magnéticos. A si mismo permitirá ir desarrollando el conocimiento que
permita establecer que criterios de diseño son realmente necesarios de tomar en cuenta y
que parámetros son necesarios de variar para lograr el objetivo final: Un diseño confiable
y optimizado.
Para el caso de un transformador, se calcula el número de vueltas máximo de la
ecuación:
V
K f Bm Ac f
N=
(5.6)
Una vez seleccionado el tamaño del núcleo ya sea por medio del producto de áreas,
constante geométrica, Lopera, por recomendación del fabricante o de la tabla tratada con
anterioridad, es fácil encontrar los datos faltantes. Del núcleo se toma nota de las
dimensiones físicas del núcleo necesario, para el caso del tipo E:
C
B
L
A
F E
M
D
Figura 5-2. Dimensiones físicas del núcleo tipo E.
96
Área transversal,
Ac = F × C
(5.7)
Área de ventana,
Volumen y peso.
E−F 
Aw = (2 D)( M ) = 
 = D( E − F )
 2 
(5.8)
En el anexo 4 se presentan los diversas formas geométricas de núcleo, con los
índices respectivos.
5.2.3.-
Número de vueltas
Con los datos del núcleo tomados con anterioridad, densidad de flujo seleccionada,
inductancia deseada y corriente de trabajo se calcula el número de vueltas con la
siguiente ecuación:
N=
L Im ax
Ac Bmax
(5.9)
Donde Imax es el valor máximo que alcanza la forma de onda de corriente. Para
forma de corriente sinusoidal I m ax = I pico =
2 I rms en amperios; Bmax es el valor máximo de
densidad de flujo de trabajo, tomando como límite Bsat del material del núcleo, en teslas.
Ac tiene unidades en m2.
5.2.4.-
Entrehierro
Para el caso de necesitar entrehierro, se calcula su dimensión física con la siguiente
ecuación:
µ 0 N 2 Ac , en m
lg =
L
Ac en m2, L en Henrios, µ 0 = 4π × 10
−07
.
µ 0 N 2 Ac
2
× 10−04 , para Ac en cm
lg =
L
5.2.5.-
(5.10).
(5.11)
Factor de dispersión
Una vez calculado el número de vueltas y el valor del entrehierro es necesario
calcular el factor de dispersión para reajustar el número de vueltas.
97
Fd = 1 + 161.8 ×
(.618 × llg2 + .01618 × lg F + .01618 × lg C )
Ac
( ( 2 l + .01F )( 2 l + .01C ) )
g
(5.12)
g
F, C, Ac en cm.
donde F y C son dimensiones físicas del núcleo, en cm. Como se mencionó antes esta
ecuación permite una mayor precisión que el factor usado por McLyman; y es particular
para núcleos tipo E. Aunque se puede utilizar en forma general para cualquier tamaño,
como se ha mencionado, es recomendable realizar algún ajuste a los factores
multiplicativos para un tamaño en particular.
5.2.6.-
Reajuste de vueltas
Con el factor de dispersión, se recalcula el número de vueltas.
Nc =
5.2.7.-
N
Fd
(5.13)
Selección del tamaño del conductor
El tamaño del conductor resulta de dividir la corriente entre la densidad de corriente
seleccionada.
Acon =
I rms
, con la densidad de corriente en A/cm2 o A/mm2. Por medio de la tabla de
J
conductores AWG, se selecciona el conductor mas cercano al valor anterior, se anotan los
valores de resistencia por km,(o por metro, cm o mm) y diámetro.
5.2.8.-
Devanado
Conociendo el diámetro del conductor, el número de vueltas y las dimensiones de la
bobina, el área de embobinado se obtiene el número de conductores que llenan la altura
de la ventana y las capas del devanado.
Conductores por capa:
N cap =
Hb
Acon
(5.14)
donde Hb es la altura de la bobina seleccionada, que también puede utilizarse como
aproximación:
Hb = 2 D × 0.81
(5.15)
donde D es la altura del núcleo, y el número de capas:
mcap =
98
N
N cap
(5.16)
5.2.9.-
Resistencia en CD
Con el numero de vueltas, la longitud media MLT y la resistencia por kilómetro (Rkm)
se obtiene el valor de la resistencia, en CD del devanado:
Rdc = ( N )( MLT )( Rkm ) , MLT en km
(5.17)
5.2.10.- Resistencia en CA
Con los datos de construcción del devanado, número de capas y dimensiones del
conductor se calcula el incremento de pérdidas debido a los efectos piel y ecuaciones, es
decir, la resistencia en CA.
Para valores prácticos se puede utilizar las siguientes ecuaciones:
Para el caso de formas de onda sinusoidales,
Para un transformador, sin entrehierro, de la solución propuesta por Dowell [17],
simplificada Hurley en [20], y para un inductor con entrehierro en la pierna central, de
Perry [16]:
Rac
Ψ
= 1 + ∆4
3
Rdc
5m − 1
Ψ = cap
15
mcap es el número de capas.
(5.18)
(5.19)
Para un inductor con entrehierro en la pierna central y exterior, Vandelac [10]:
Rac 3 Ψ 4
= + ∆
Rdc 4 3
Ψ=
(5.20)
2
20mcap
+ 19
(5.21)
120
Para el caso de formas de onda de corriente arbitraria, Hurley [20]:
Para un transformador, sin entrehierro, y para el caso de un inductor con
entrehierro en la pierna central:
Reff
Rdc
= 1+
Ψ=
'

Ψ 4  I rms
∆ 

3
 ω I rms 
(5.22)
5mcap − 1
(5.23)
15
Para el caso de un inductor con entrehierro en la pierna central y exterior:
Reff
Rdc
'

k 2 + 3 Ψ 4  I rms
=
+ ∆ 

4
3
 ω I rms 
2
(5.24)
99
Ψ=
20mcap + 19
(5.25)
120
I
k = dc
I rms
(5.26)
'
donde I rms es el valor rms de la forma de onda de corriente, I rms es el valor rms de la
derivada de la forma de onda de corriente. k es la razón entre la componente de CD y el
valor rms de la forma de onda de corriente.
∆=
d
π
Dcon = .886 Dcon ,
η , d es la altura del conductor, para conductor redondo d =
δ0
4
Dcon es el diámetro del conductor redondo. η es el factor de porosidad y δ0 es la
profundidad piel a frecuencia fundamental; definidos en el capitulo 3.
5.2.11.- Optimización del devanado
Conociendo el numero de vueltas y las capas es posible optimizar el devanado para
reducir las pérdidas en CA. Del trabajo de Hurley [20] obtenemos el valor óptimo ∆opt:
∆ opt =
4
Ψ=
1
Ψ
ω I rms
'
I rms
5mcap − 1
(5.27)
(5.28)
15
de donde obtenemos el valor óptimo de grosor de la capa d:
d opt = ∆ optδ 0
(5.29)
Aplicando la conversión de hilo redondo equivalente podemos obtener el diámetro
del conductor de hilo redondo. Este resultado es válido para inductores con entrehierro en
la pierna central.
Para el caso de inductor con entrehierro en la pierna central y exterior:
∆ opt =
4
Ψ=
k 2 + 3 ω I rms
'
4Ψ
I rms
(5.30)
20mcap + 19
(5.31)
120
I
k = dc
I rms
(5.32)
El resultado final de la optimización de devanado es que para un determinado
número de vueltas y capas de devanado existe un tamaño óptimo de conductor.
Dependiendo el grado de optimización que se desee, o cual sea el (o los) objetivo(s)
mas importantes de diseño, podría ser necesario ensayar para diferentes número de
capas, considerando un valor de numero de vueltas fijo, para encontrar el mejor diseño.
100
Incluso podría ser necesario considerar 2 o 3 núcleos diferentes para compararlos y
seleccionar el mas adecuado.
5.2.12.- Conductores multi-hilos, hilo trenzado
Es muy conveniente utilizar hilo trenzado para reducir todavía mas las pérdidas en
alta frecuencia. Utilizando un diámetro de hilo menor a 2δ0, y trenzar tantos hilos fueran
necesarios para obtener la corriente deseada, a una cierta densidad de corriente. La
desventaja es que el factor de utilización de ventana Ku se reduce de un valor de 0.4
para hilo redondo hasta valores de ku de 0.16-0.2 dependiendo del aislamiento y la
manufactura del embobinado. Puede utilizarse hilo de litz, sin embargo el costo es
comparativamente bastante alto, menos utilización de la ventana y manufactura más
difícil.
5.2.13.- Manufactura final. Prueba del elemento magnético
Con los datos obtenidos, solo resta realizar la manufactura del elemento magnético
medición de parámetros como son la inductancia, resistencia en CD y resistencia en CA,
para varias frecuencias, y puesta en funcionamiento para su valoración en el circuito
electrónico donde se requiere y verificar que cumpla con los requerimientos.
5.2.14.- Hoja de cálculo para resolver el diseño de un elemento
magnético
Para mayor facilidad, las ecuaciones de diseño mostradas con anterioridad pueden
introducirse en una hoja de cálculo, como Excel, para realizar un proceso iterativo rápido
y que permita, tanto ensayar para varios núcleos, como poder variar los parámetros
involucrados y seleccionar lo mas conveniente. Así mismo pueden utilizarse programas
como MAPLE o MATEMÁTICA para facilitar resolver las diversas ecuaciones y presentar los
resultados de forma gráfica o tabular para una mejor visualización de los resultados. Aquí
se presenta un ejemplo de hoja de Excel y uno con el paquete MAPLE como ejemplos de
ayuda para el diseño magnético, basado en el diagrama de flujo mostrado a continuación.
5.3.-
Tabla de la metodología propuesta para el diseño de un
elemento magnético en alta frecuencia
Con los pasos mencionados de diseño puede construirse la siguiente tabla como
metodología a seguir para el diseño de un inductor.
Tabla 5-2. Tabla de metodología para el diseño de un elemento magnético en alta frecuencia.
1
2
Dato
Inductancia
Corriente
eficaz de
operación
Valor eficaz
de la
Símbolo
Ecuación
L
Depende de la aplicación
Depende de la aplicación y de la forma de onda
Irms
Unidades
H
Amperes
'
I rms
Imax
101
3
4
5
6
7
derivada de
la corriente
de
operación.
Corriente
pico
Frecuencia
de
Operación
Material del
núcleo
Forma
geométrica
Densidad de
flujo de
operación
Factor de
utilización
de la
ventana
8
Densidad de
corriente de
operación
9 Impedancia
del inductor
10 Tensión en
el inductor
11 Energía
almacenada
en el
inductor
12 Selección
del núcleo
f
Hertz
Depende de la frecuencia de operación. Hoja de datos de
fabricante.
Depende de la aplicación. Hoja de datos del fabricante.
Bmax
Ku
J
Depende de la aplicación, según lo discutido en el capitulo
4. Curva fxB del fabricante del núcleo.
J = 450 A/cm2
XL=2πfL
VL
VL=XLIrms
E
E=
A/cm2
Ω
Volts
Wattssegundo
1 2
I L
2
Por medio de hoja de datos del fabricante, producto de
áreas o por medio de la tabla de núcleos, llenando con los
datos de la aplicación y seleccionando el mas o mas
convenientes.
Tomar nota de las dimensiones del núcleo.
14 Calcular el
número de
vueltas
N
15 Calcular el
entrehierro
lg
16 Factor de
dispersión
en el
entrehierro
Fd
17 Re-ajuste de
vueltas
Nc
18 Tamaño del
conductor
Acon
19 Selección
AWG
Tesla
Ku = 0.4 para hilo redondo
Ku = 0.2 Para hilo trenzado o Litz
XL
13 Datos del
núcleo
102
Depende de la aplicación
N=
LI max
B max Ac
M
µ 0 N 2 Ac
lg =
L
Fd
( 0.618 × l
= 1 + 161.8 ×
2
g
(
+ .01618 × lg F + .01618 × lg C )
Ac ( lg + 0.01F )( lg + 0.01C )
Nc =
Acon
m, m2
)
N
Fd
I
= rms
J
De la tabla de AWG, para un solo hilo redondo. Tomar nota
Á
cm2
cm
del
conductor
20 Resistencia
por Km
del Área del diámetro del conductor AD
Rkm
De la tabla de AWG
21 Resistencia
de CD del
devanado
22 Altura
disponible
para
acomodar
los
conductores
Rdc
R dc = (MLT )(N )(R km ) , MLT en kilómetros, tomado de los
23 Numero de
conductores
por capa
Ncap
24 Número de
capas del
devanado
mcap
25 Profundidad
piel
δ0
26 Relación del
diámetro del
conductor
con respecto
a la
profundidad
piel
∆
27 Relación
entre
Resistencia
de CA y CD
28 Para el caso
de forma de
corriente no
sinusoidal
relación de
resistencia
efectiva y
CD
29 Optimización
del
devanado
30 Valor del
diámetro
óptimo de
conductor
31 Repetir
pasos
Ω/cm
Ω
datos del núcleo o bobina a utilizar.
Hb
De los datos de la bobina o
Hb = 2 D × 0.81
N cap =
Hb
AD
m cap =
N
N cap
δ0 =
1
σπωf
∆=
cm
D es dimensión del núcleo
, tomar entero inmediato
d
η
δ0
d = .886 AD
Nd
η=
Hb
R ac
R dc
Reff
R dc
Con entrehierro en la pierna central, aplicar (5.18 y 5.19)
Con entrehierro en pierna central y exterior aplicar
(5.20 y 5.21)
Con entrehierro en la pierna central, aplicar (5.22 y 5.23)
Con entrehierro en pierna central y exterior aplicar
(5.24 , 5.25 y 5.26)
∆ opt
Con entrehierro en la pierna central, aplicar (5.27 y 5.28)
Con entrehierro en pierna central y exterior aplicar
(5.30 , 5.31 y 5.32)
dopt
d opt = ∆ opt δ 0
AD =
d
0.886
Repetir el procedimientos para varios núcleos o para varios
numero de vueltas y capas para obtener el adecuado a la
aplicación
103
5.4.-
Prototipos
El método propuesto anteriormente se implementó en un programa en MAPLE para
su solución. Se aplicó al diseño de un balastro electrónico. (Desarrollo completo en el
anexo 2).
Las simplificación para el calculo de resistencia de CA se verificó con dos inductores
realizados. La resistencia fue media con un equipo HP 4284A.
Los datos obtenidos fueron:
Prototipo 1
Con valor de Inductancia de 2.1 mH, entrehierro pierna central 80 mils, diámetro
del conductor AWG #25, AD=0.45 mm, 108 ohms/km. Núcleo EE25. MLT 52mm. Rdc =
1.1232 ohms.
Tabla 5-3. Tabla de resultados para el prototipo 1.
F
500
1000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
L (mH)
2.07
2.07
2.07
2.07
2.07
2.07
2.08
2.08
Rac (Ω)
1.3
1.3
1.84
3.41
6.02
9.62
14.18
19.66
Calculado
1.124
1.128
1.638
3.185
5.764
9.374
14.015
19.6883
Realizando la optimización, para onda sinusoidal, resulta en un valor de:
Tabla 5-4. Tabla de resultados optimizados para el prototipo 1.
F
500
1000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
D
2.08
1.47
0.4651
0.3289
0.2685
0.2325
0.2080
0.189
Seleccionar un diámetro de conductor para 60 kHz, el cual corresponde a AWG #33,
diámetro de 0.19 y 605 ohms/km. Realizando los cálculos con este conductor:
104
Tabla 5-5. Tabla de resultados derivada de la optimización del prototipo 1.
F
500
1000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
L (mH)
2.07
2.07
2.07
2.07
2.07
2.07
2.08
2.08
Rac (Ω)
1.3
1.3
1.84
3.41
6.02
9.62
14.18
19.66
Calculado
6.292
6.292
6.308
6.357
6.439
6.553
6.700
6.880
Se observa que para 60KHz hubo una reducción de 3 veces el valor de la
resistencia.
Prototipo 2
Con valor de Inductancia de 2.1mH, entrehierro pierna central 80 mils, diámetro del
conductor AWG #25, AD=0.45mm, 108 ohms/km. Núcleo EE25. MLT 52mm
Rdc =1.1232 ohms, entrehierro pierna central y exterior.
Tabla 5-6. Tabla de resultados para el prototipo 2.
F
500
1000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
L (mH)
2.02
2.02
2.02
2.02
2.02
2.02
2.02
2.02
Rac (Ω)
1.23
1.24
1.56
2.34
3.59
5.28
7.4
10.04
Calculado
0.843
0.845
1.106
1.898
3.217
5.065
7.440
10.34
Como se observa, el calculo obtenido para la resistencia de CA, y las pérdidas
asociadas son muy aproximados, las ecuaciones son sencillas de aplicar y fácil de
implementar n hojas de datos o programas matemáticos. En este caso se utilizó una hoja
de Excel para realizar los cálculos a las diferentes frecuencias de operación.
Otro punto importante es que los resultados muestran que es mejor utilizar
entrehierro en la pierna central y exterior, a comparación de utilizar únicamente en la
pierna central. Usar entrehierro distribuidos permite reducir enormemente las pérdidas en
alta frecuencia.
105
5.5.-
Referencias
[1]
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EEAB. IEEE Benelux Chapter Meeting. Eindhoven, October 1, 2003.
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1997.
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Frequency Power Conversion Conference Proceedings, CA, May 1986.
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[8]
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Losses”.
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wire windings”. IEE Procedings-B. Vol. 139, No. 1, 1992.
[10] J. P. Vandelac and P.D. Ziogas. "A Novel Approach for Minimizing High Frequency
Transformer Copper Losses". IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 3, No. 3, pp.
266-276, July 1988.
[11] Jennifer D. Pollock, Tarek Abdallah and Charles R. Sullivan. “Easy-To-Use CAD Tools
for Litz-Wire Winding Optimization”.. 8000 Cummings Hall, Dartmouth College,
Hanover,
NH
03755,
USA.
http://engineering.dartmouth.edu/inductor
weblitzopt.pdf.
[12] Jiankun Hu and Charles R. Sullivan. “Optimization of Shapes for Round-Wire HighFrequency Gapped-Inductor Windings”. IEEE Industry Applications Society Annual
Meeting. St. Louis, MO, 12-16 October, 1998. Thayer School of Engineering,
Dartmouth College, Hanover, NH 03755, USA. Phone: (603)643-2851 Fax:
http://thayer.dartmouth.edu/inductor. Optshape.pdf.
106
[13] Jieli Li, Tarek Abdallah, and Charles R. Sullivan. “Improved Calculation of Core Loss
with Nonsinusoidal Waveforms”. Thayer School of Engineering Dartmouth College,
Hanover, NH, 03755, USA, http://engineering.dartmouth.edu/inductor. Pse.pdf.
[14] Juan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: “Elementos magnéticos en alta
frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño”. Universidad de Oviedo,
España. Diciembre de 1993. Gijón, España.
[15] K.W.E. Chang. P.D. Evans. “Optimization of high frequency inducor design of serie
resonant converter”. PESC 1992. Pags 1416-1422.
[16] M.P. Perry. “Multiple layer series connected winding desing for minimum losses”.
IEEE Trans. on Power Applaratus ans Systems. Vol. 98, No. 1, 1979.
[17] P. L. Dowell, "Effects of Eddy Currents in Transformer Windings". IEE Proc., Vol 113
No. 8, pp. 1387-1394, August 1966.
[18] Robert A. Jensen and Charles R. Sullivan. “Optimal Core Dimensional Ratios for
Minimizing Winding Loss in High-Frequency Gapped-Inductor Windings”. 8000
Cummings
Hall,
Dartmouth
College,
Hanover,
NH
03755,
USA.
http://engineering.dartmouth.edu/inductor aspectratio.pdf.
[19] Soft Ferrites and Accessories. Soft Ferrites. 2002 Feb 01. H2002.pdf.
[20] W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. “Optimizing the AC resistance of multilayer
transformer windings with arbitrary wave forms”. IEEE PESC 1999.
[21] W.G.Hurley, W.H. Wölfle and J.G. Breslin. “Optimized transformer desing: inclusive
of high frequency effects”. IEEE PESC 1999.
[22] Xi Nan and Charles R. Sullivan. “An Improved Calculation of Proximity-Effect Loss in
High-Frequency Windings of Round Conductors”. 8000 Cummings Hall, Dartmouth
College, Hanover, NH 03755, USA, Tel. +1-603-646-2851 Fax +1-603-646-3856.
http://engineering.dartmouth.edu/inductor. newcalc.pdf.
[23] Xu Tang and Charles R. Sullivan. “Stranded Wire With Uninsulated Strands as a
Low-Cost Alternative to Litz Wire”. PESC 2003 1. Dartmouth College, Hanover.
107
108
Capítulo 6
Conclusiones
6.1.-
Conclusiones
Uno de los objetivos mas importantes en esta tesis es presentar una metodología
que simplifique el diseño de un elemento magnético, incluyendo los efectos que aparecen
al incrementar la frecuencia. Existen innumerables artículos, en donde presentan varias
propuestas de análisis de los efectos en alta frecuencia, la mayoría basado en la
propuesta hecha por Dowell [1]. Estos análisis se han ido complicando a la par con los
programas de computadores por lo que ahora de la propuesta basado en una solución 1D,
ahora se tienen versiones en 2D y 3D, además se extienden los resultados a formas de
onda de corriente arbitrarias.
Sin embargo, algunos autores vuelven a las soluciones 1D complementando y
ajustando los factores involucrados para permitir resultados comparativamente
satisfactorios a los obtenidos en 2D y 3D en ciertos limites de operación y presentan
simplificaciones a los métodos de análisis de formas de corriente arbitraria, basados en
análisis de fourier. Esto permite ahorrar tiempo y dinero en un diseño magnético, dejando
los análisis mas complejos por computadora a diseños en donde realmente sean
necesarios.
Después de revisar la bibliografía sobre los métodos de diseño utilizados
actualmente, siendo el basado en el producto de áreas el mas común, y las propuestas
para incluir los efectos en alta frecuencia, se optó por utilizar los mas sencillos o
simplificados que permitan obtener resultados satisfactorios de manera práctica y con la
suficiente aproximación a resultados obtenidos con sistemas mas complejos, y
extendiendo a formas de corriente arbitraria, cada vez mas comunes en los sistemas
electrónicos actuales.
109
Por lo que en esta tesis se presenta como parte de la metodología de diseño:
•
Una ecuación sencilla, que permite realizar ajustes debido a la dispersión del
entrehierro con mas precisión que el tradicional de Stephens [2].
•
Se obtuvieron expresiones simples para predecir la resistencia de CA en
transformadores e Inductores con entrehierro central y central y exterior. Esto
permite evaluar las pérdidas en alta frecuencia.
•
Se obtuvieron expresiones de fácil aplicación para encontrar el tamaño óptimo del
conductor para reducir las pérdidas de CA en alta frecuencia considerando formas
de corrientes no sinusoidales, aplicado a transformadores e inductores con
entrehierro central y central y exterior. Esto evita que se utilice el tradicional
análisis de fourier, que involucra el cálculo de cuando menos 30 armónicos para la
forma de onda.
•
No es sencillo establecer un método general que englobe todas las características
óptimas de funcionamiento en el diseño de un elemento magnético en alta
frecuencia dada la diversidad de aplicaciones y criterios involucrados en su
funcionamiento.
•
La base del diseño en alta frecuencia se centra en el análisis del elemento
magnético en la aplicación, las características particulares permiten establecer los
criterios necesarios para su optimización (experiencia). Mientras mayor
conocimiento se tenga de la aplicación, y el funcionamiento exacto del elemento
magnético involucrado, es mas fácil seleccionar los parámetros adecuados
involucrados en el diseño que permitan su optimización. La optimización involucra
posibles cambios en el circuito para mejorar el desempeño mutuo (evaluación
general del funcionamiento de la aplicación).
6.2.-
Trabajos futuros
Entendiendo los efectos en alta frecuencia, la manera en que se analiza e involucra
en las diversas aplicaciones, el siguiente paso es incrementar la complejidad de estos
análisis para obtener resultados cada vez mas próximos a la realidad.
Existen varios programas de software en el mercado como el Pmag de Ansotf
Corporation que permiten realizar análisis cada vez mas complejos, tan complejos que
muchas veces los resultados son difíciles de interpretar. Sin embargo, el avance en
programación ya permite obtener como resultado final, utilizando salidas visuales y
gráficas, directamente la construcción final del elemento magnético – optimizado - que
permiten establecer la manera exacta de construirlo. El problema sigue siendo el costo de
estos programas.
Una posible solución es empezar a involucrarse con la implementación de
programas que realicen estos análisis para poder reducir los costos, además de poder
simplificarlo para usuarios que no cuenten con la suficiente experiencia en el diseño.
110
6.3.-
Referencias
[1]
P. L. Dowell, "Effects of Eddy Currents in Transformer Windings". IEE Proc., Vol 113
No. 8, pp. 1387-1394, August 1966.
[2]
Intusoft. Magnetics Designer. Personal Computer. Circuit Design. Tools. file_134.pdf
111
112
Anexo 1
Tablas de la guía de selección de productos 2004 FERROXCUBE
Tabla 1. Materiales de polvo férrico.
Cortesía de FerroxCube.
113
114
Tabla 2. Matriz de aplicación. Cortesía de FerroxCube.
115
116
Tabla 3. Matriz de aplicación. Cortesía de FerroxCube.
117
118
Tabla 4. Materiales y aplicaciones. Cortesía de FerroxCube.
Anexo 2
Cálculo y optimización de la resistencia de CA para inductores con
núcleo y entrehierro central y exterior para formas de onda de
corriente arbitraria
Resumen
Elevar la frecuencia de operación en circuitos conmutados permite reducir
considerablemente el tamaño de los componentes magnéticos y de las fuentes de
alimentación. Las formas de onda no sinusoidales y los efectos proximidad y piel en alta
frecuencia contribuyen a las pérdidas en los componentes magnéticos utilizados. Los
cálculos tradicionales de las pérdidas de CA se basan en suponer corrientes y voltajes
sinusoidales. En este trabajo se utilizan herramientas sencillas para el cálculo de las
pérdidas de CA en inductores, tomando en cuenta las formas de onda arbitrarias, y la
obtención de una fórmula para optimizar el grosor del embobinado.
NOMENCLATURA
d
Espesor de la lámina o capa
D
Ciclo de trabajo
f
Frecuencia en Hz
Idc
Valor promedio de la corriente
In
Valor rms de la corriente n-armónica
Irms
Valor rms de la corriente
I’rms
Valor rms de la derivada de la corriente
119
k
Relación entre la corriente de dc y la corriente rms de la forma de onda
Kpn
Relación de la resistencia de CA a la resistencia de dc a la n-frecuencia armónica
m
Número de capas
N
Número de vueltas por capa
n
Número de armónico
Rac
Resistencia de CA del embobinado con excitación sinusoidal
Rdc
Resistencia de dc del embobinado
Ref
Resistencia efectiva del embobinado, con forma de onda de corriente arbitraria
Rδ
Resistencia de dc del embobinado de espesor
tr
Tiempo de subida (0-100%)
T
Período de la forma de onda de corriente
δ0
δ0
2
ωµ 0σ
δn
profundidad piel a frecuencia fundamental
Profundidad piel a frecuencia n-armónica
∆∆
d
δ0
η
relación del espesor de capa con la profundidad piel
Factor de porosidad
I.-
Introducción
Los sistemas de alimentación conmutados son operados en altas frecuencias para
minimizar las dimensiones de los componentes magnéticos. Los circuitos resonantes
permiten incrementar la eficiencia de las fuentes de alimentación. Estas fuentes de
alimentación tienen formas de onda de corriente y voltaje no sinusoidales por lo que
incrementan adicionalmente las pérdidas de CA debido a los armónicos [1]. Para el caso
de transformadores, Dowell [2] obtiene una expresión para el cálculo de la resistencia de
CA, la cual ha sido utilizada en muchas aplicaciones como en transformadores matriciales
por Williams [3], entrehierros distribuidos por Evans [4], inductores toroidales por Cheng
[5].
Los efectos debidos a las formas de onda no sinusoidales han sido tratados por
Venkatraman [6], Carsten [7], Vandelac [8] y Hurley [9]. Las corrientes se descomponen
en sus componentes armónicos, estos componentes armónicos son ortogonales [10] por
lo que las pérdidas totales es igual a la suma de las pérdidas debidas a cada armónico. El
proceso es bastante largo; para optimizar el embobinado es necesario:
•
•
•
120
Calcular los coeficientes de fourier
Calcular las pérdidas a cada frecuencia armónica
Calcular las pérdidas totales para cada grosor de capa del embobinado en un
cierto rango
•
Obtener el embobinado optimo de una grafica de la resistencia CA versus grosor
de capa
Típicamente es necesario calcular las pérdidas para mas de 30 armónicos y para
cuando menos 10 grosores diferentes de capa.
En [1], Hurley introduce una nueva fórmula aproximada para el calculo de la
resistencia de CA para cualquier forma de onda de corriente, la cual solo requiere de los
valores rms de la corriente y su derivada. Basa su trabajo en las ecuaciones de Dowell,
pero las simplifica convirtiendo las funciones trigonométricas e hiperbólicas por medio de
expansión de series; las pérdidas las calcula utilizando la representación por medio de
series de fourier de la corriente así como de su derivada. Al final obtiene una ecuación
para calcular el tamaño óptimo de manera sencilla, sin necesidad de graficas.
Así el proceso de selección del embobinado óptimo se simplifica enormemente y con
muy poco porcentaje de error.
II.- Resistencia de CA para Bobinas con entrehierro central y exterior, de m
capas iguales en serie
Vandelac y Ziogas [8] resuelven las ecuaciones de Maxwell, considerando corrientes
sinusoidales, para el caso de una bobina con entrehierro central y exterior, de m capas
iguales en serie (figura 1), y obtienen una expresión para calcular el factor de resistencia
de CA y con ello las pérdidas en los devanados:
RAC
RDC
1
1 2

m2 −
 2 m +1
4 F (∆ ) 
F1 (∆ ) −
= ∆

2
3
 3



(1)
donde las funciones F1 y F2 son:
F1 (∆) =
F2 (∆) =
sinh(2∆) + sin(2∆)
cosh(2∆) − cos(2∆)
sinh(∆) cos(∆) + cosh(∆)sin(∆)
cosh(2∆) − cos(2∆)
(2)
(3)
Donde ∆ es la relación entre el espesor de la capa d con respecto a la profundidad piel δ0.
Esta es una buena aproximación a la solución cilíndrica original, si el grosor de la
capa es menor al 10 % del radio de curvatura.
Para embobinados que consisten en conductores redondos, o láminas que no
ocupan el ancho total de la ventana, pueden ser tratados como láminas equivalentes de
ancho d y conductividad efectiva σW = ση [2][8], tal y como se muestra en la figura 2.
121
hw
d
Capa
m
mH
2
−
Capa
i
mH
2
Figura 1. Bobina con entrehierro central y exterior.
1
2
σ
w
σ
σw
wf
η
η
N
D
d=
π
D
4
d
η1 =
d
d
Nd
w
η2 =
wf
w
σ w = η iσ
Figura 2. Conversión de conductor redondo a lámina equivalente.
Las funciones trigonométricas e hiperbólicas en (1) pueden expresarse en por medio
de expansión de series como:
F1 (∆) =
sinh(2∆) + sin(2∆)
cosh(2∆) − cos(2∆)
=
1
∆
+
4
1 7
3
11
∆ −
∆ + O(∆ )
45
4725
(4)
y
F2 (∆) =
122
sinh(∆) cos(∆) + cosh(∆) sin(∆)
cosh(2∆) − cos(2∆)
=
1
2∆
−
7
3 127 7
11
∆ +
∆ + O(∆ )
180
75600
(5)
3
Utilizando únicamente términos de orden ∆ , los errores incurridos son menores al 9
% en el peor de los casos, por tanto (1) se reduce a:
Rac 3 Ψ 4
= + ∆
Rdc 8 3
(6)
donde
Ψ=
20m2 + 19
240
(7)
Un corriente arbitraria puede ser representada por su serie de Fourier como:
∞
i ( t ) = I dc + ∑ CnCos (nwt + ϕ n )
(8)
n =1
Donde Idc es el valor dc de i(t) y Cn es la amplitud del n-armónico con la correspondiente
fase
ϕ n . El valor rms del n-armónico es
In =
Cn
.
2
Las pérdidas totales debidas a todos los armónicos es:
∞
P = Rdc I dc2 + Rdc ∑ K pn I n2
(9)
n =1
donde Kpn es el factor de resistencia de CA a la frecuencia del armónico n. Puede ser
calculado a partir de (1), y utilizando la aproximación de (6) como:
K pn =
3 Ψ 4 2
+ ∆ n
8 3
(10)
Ref es la resistencia efectiva debida a la corriente i(t) por lo que
2
,
P = Ref I rms
(11)
Irms es el valor rms de la corriente i(t). De (9) y (11):
∞
Ref
Rdc
=
I dc2 + ∑ K pn I n2
n =1
2
rms
(12)
I
Sustituyendo (10) en (12):
Ref
Rdc
=
I dc2 +
3 ∞ 2 Ψ 4 ∞ 2 2
n In
∑ In + 3 ∆ ∑
8 n =1
n =1
2
I rms
(13)
el valor rms de i(t) en términos de armónicos es:
∞
2
I rms
= I dc2 + ∑ I n2
(14)
n =1
La derivada de i(t) en (8) es:
123
∞
di
= −ω ∑ nCn sin( nω t + ϕ n )
dt
n =1
(15)
el valor rms de la expresión anterior es:
I ´'
2
rms
n 2Cn2
=ω ∑
= ω 2 ∑ n 2 In 2
2
n =1
2
∞
(16)
Sustituyendo (14) y (16) en (13):
∞
I '2
5 2 3 2
Ψ
I dc + I rms + ∆ 4 ∑ rms
2
Ref 8
8
3
n =1 ω
=
2
Rdc
I rms
(17)
Definiendo:
k=
I dc
I rms
(18)
∞
I '2
Ψ
5 2 2
3 2
k I rms + I rms
+ ∆ 4 ∑ rms
2
Ref
8
8
3
n =1 ω
=
2
Rdc
I rms
(19)
Por lo que:
'

5k 2 + 3 Ψ 4  I rms
=
+ ∆ 

8
3
Rdc
 ω I rms 
Ref
2
(20)
Esta es una expresión directa que permite encontrar la resistencia efectiva del
embobinado, considerando una forma de onda de corriente arbitraria, sin necesidad de
conocer los coeficientes de Fourier.
III.- Diámetro óptimo de capa
Para encontrar el diámetro optimo de embobinado definamos Rδ como la resistencia de
una lámina de grosor δ0 [3] de tal manera que:
Rδ
d
=
=∆
Rdc δ 0
(21)
el cual implica que
Ref
Rdc
124
=∆
Ref
Rδ
(22)
de (22) utilizando (20)
'

5k 2 + 3 Ψ 3  I rms
=
+ ∆ 

8∆
3
Rδ
 ω I rms 
Ref
2
(23)
Derivando la expresión anterior e igualando a cero para encontrar el valor óptimo de
∆opt:
'
d  Ref 
5k 2 + 3
2  I rms 
+ Ψ∆ 

=−

8∆ 2
d ∆  Rδ 
 ω I rms 
2
(24)
el valor optimo de ∆opt es:
∆ opt =
4
5k 2 + 3 ω I rms
'
8Ψ
I rms
(25)
El valor correspondiente d óptimo es
d opt = ∆ opt δ 0
(26)
Sustituyendo (25) en (20), el valor óptimo de la resistencia efectiva es:
 Ref 
5k 2 + 3  4 
=


8  3 
 Rdc  opt
(27)
Escribiendo (20) en término de ∆opt:
Ref
Rdc
5k 2 + 3 1  ∆
=
+ 
8
3  ∆ opt



4
(28)
Ahora contamos con ecuaciones sencillas para encontrar el valor óptimo de lámina o
grosor de capa de un embobinado y su resistencia efectiva, basado únicamente en los
valores rms de la corriente y su derivada y de la constante k.
IV.- Validación
Para la forma de onda mostrada en la figura 3, se representa en series de fourier como:
i(t ) =
I0 D
nπ D
4I
+ ∑ 2 20 Sin2 (
)Cos(nωt )
π nD
2
2
(29)
125
i(t)
I0
t
DT T
Figura 3. Corriente en un convertidor Flyback MDC.
los valores rms y de su derivada son:
D
3
(30)
2I0
DT
(31)
I0 D
2
(32)
I rms = I 0
'
I rms
=
I dc =
I0 D
3D
k= 2 =
2
D
I0
3
(33)
El valor óptimo encontrado con la fórmula propuesta (25) es:
∆ opt =
5k + 3
8Ψ
2
4
ω I0
D
3 =
2I0
DT
4
(5k 2 + 3)π 2 D 2
24 Ψ
(34)
para un valor de D=0.5, m=6 los valores son:
Ψ=
126
(6) 2 + 1
= 6.5
12
(35)
k = 0.61237
(36)
∆ opt = 0.52695
(37)
Utilizando la serie de Fourier de la corriente, encontramos el valor óptimo, utilizando
(12) y (10) para al menos 19 armónicos, para 20 valores de ∆, el valor óptimo resulta ser
de 0.540.
V.-
Referencias
[1]
W.G.Hurley, W.H. Wölfle and J.G. Breslin. “Optimized transformer desing: inclusive
of high frequency effects”. IEEE PESC 1999.
[2]
P. L. Dowell, "Effects of Eddy Currents in Transformer Windings". IEE Proc., Vol 113
No. 8, pp. 1387-1394, August 1966.
[3]
R. Williams, D.A. Grant, J. Gowar, “Multielement Transformers for Switched-Mode
Power-Supplies: Toroidal Designs”, IEE Proceedings, Pt. B, vol. 140, no. 2, pp. 152160, March 1993.
[4]
P.D. Evans, W.M. Chew, “Reduction of Proximity Losses in Coupled Inductors”, IEE
Proc. Pt. B, vol. 138, no. 2, pp. 51-58, March 1991.
[5]
K.W.E. Cheng, P.D. Evans, “Calculation of Winding Losses in High-Frequency
Toroidal Inductors Using Multistrand Conductors”, IEE Proc.- Electr. Power Appl.,
vol. 142, no. 5, pp. 313-322, September 1995.
[6]
P.S. Venkatraman, “Winding Eddy Current Losses in Switch Mode Power
Transformers Due to Rectangular Wave Currents”, Proc. of Powercon 11, section A1, pp. 1-11, 1984.
[7]
Bruce Carsten. "High Frequency Conductor Losses in Switchmode Magnetics". High
Frequency Power Conversion Conference Proceedings, CA, May 1986.
[8]
J. P. Vandelac and P.D. Ziogas. "A Novel Approach for Minimizing High Frequency
Transformer Copper Losses". IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 3, No. 3, pp.
266-276, July 1988.
[9]
W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. “Optimizing the AC resistance of multilayer
transformer windings with arbitrary wave forms”. IEEE PESC 1999.
[10] J.A. Ferreira, “Improved Analytical Modelling of Conductive Losses in Magnetic
Components”, IEEE Trans. Power Electron., vol. 9, no. 1, pp. 127-31, January 1994.
127
128
Anexo 3
Formulas para el óptimo grosor de un devanado para varias formas
de onda, ψ = (5p2-1)/15, p = Numero de capas
♦
En la forma de onda 2 para n = k = ½ D ∈ N (el conjunto de los números
naturales), y en la forma de onda 3 para n = k = 1 D ∈ N la expresión encerrada en
{} es reemplazada por π2/16.
A continuación se presentan una tabla1 con las formas de onda y fórmulas para el
grosor de un devanado.
1
W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. “Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with
arbitrary wave forms”. IEEE PESC 1999.
129
Tabla 1. Formulas y formas de onda para el grosor óptimo de un devanado.
Forma de onda
de corriente
Irms e Irms´
1.
I0
t
2.
I0
i
DT
T
t
3.
I0
i
T
DT T
2 2
t
4.
I0
D
2
I rms′ = I 0
2π
DT
I rms = I 0
D
2
I rms′ = I 0
2π
DT
I rms = I 0 1 −
DT T
I rms′ = I 0
t
tr
i
t
tr
6.
i
tr
T
t
7.
∞
4 DI 0
π
n =1, odd
∑
D
2
8tr
3T
I rms′ = I 0
I rms′ = I 0
I0
DT
2
T
2
T
t
8.
I rms′ =
DT
T
t
9.
I rms′ =
DT T
2 2
130
T
t
I rms′ =
∞
I 0 ( 2 D − 1) + ∑
n =1
4I0
Sen ( nπ D )
nπ
4tr
3T
t  ∞ 2I
t
 

I 0  D − r  + ∑ 0 Sen  nπ  D − r
T  n =1 nπ
T



8tr
3T
4
trT
8tr
3T
4
1
Ψ
∆ opt =
4
4D2
Ψ
∆ opt =
4
D2
Ψ
∆ opt



 8tr  2 tr
1 − 3T  π T
= 
Ψ
4
4tr  2 tr

 D − 3T  2π T
Ψ
∆ opt =
4
∆ opt =
4
∆ opt =
4
I0 D ∞ 4I0
 nπ D 
+ ∑ 2 2 Sen 2 
 Cos ( nω t )
2
 2 
n =1 π n D
∆ opt =
4
π 2D
3Ψ
16 I 0
 nπ D 
Sen 2 
 Cos ( nω t )
2 2
π
n
D
 4 
n =1,odd
∆ opt =
4
π 2D
12Ψ
 t
× Senc  nπ r
 T
2
trT
∆ opt =

 Cos ( nω t )

  D t 
4I0
Sen  nπ  − r  
nπ
  2 T 
t


× Senc  nπ r  Cos ( nω t )
 T
∞
∑
n =1,odd
2 I 0 Sen ( nπ D )
∞
∑π
n =1
2
n 2 D (1 − D )
Sen ( nω t )
8t  t

D − r π 2 r
3T  T

Ψ
π 2 D (1 − D )
3Ψ
T D (1 − D )
D
3
2I0
DT
I rms = I 0
i
 Cos ( nπ D / 2 ) 

 Cos ( nω t )
2 2
 (1 − n D ) 
∆opt
2I0
I rms = I 0
i
 Cos ( nπ D ) 

 Cos ( nω t )
1 − 4n 2 D 2 ) 
 (
 2t 
× Senc  nπ r  Cos ( nω t )
T 

4
trT
I rms = I 0 D −
i
I0
D
2
I rms = I 0 D −
DT T
2 2
I0
2 DI 0 ∞ 4 DI 0
+∑
π
π
n =1
I rms = I 0 D −
DT T
I0
I rms = I 0
i
5.
I0
Sen (ω t )
I0
2
′ = 2π I
rms
0
T 2
I rms =
i
Series de Fourier, i(t)
D
3
4I0
DT
∞
∑
Anexo 4
Formas geométricas comerciales. Definición de índices sobre sus
dimensiones
A
C
A
A
B
B
A
E
GB
E
2E
H
H
balun1
E
bead1
B
E
F E
drumcore
D
D
e_core1
2E
2E
B
D
F E
A
F E
M
D
e_core2
C
L
L
A
F
cutecore
C
M
H
F
D
B
L
A
F
F
cutccore
C
B
A
GB
M
D
e_core3
131
B
B
C
A
A
F E
A
efd_cor1
K
C
B
C
F E
K
K
ep_core1
F E
A
B
B
F E
D
D
ep_core3
B
C
A
K
B
K
D
efd_cor4
F E
D
C
K
A
ep_core2
C
B
M
C
F E
D
F E
efd_cor3
B
A
A
D
efd_cor2
C
L
M
D
K
B
F E
M
D
A
C
L
F E
M
A
B
C
L
L
T
S
er_core1
C
A
F GE
D
D
er_core2
B
er_core3
C
B
i_core1
B
C
C
A
F E
A
A
C
F E
A
M
M
D
D
planar_1
A
planar_2
A
B
planar_3
A
B
E F
G
potcore1
A
C
A
E F H
potcore5
D
G
potcore3
C
B
G E F H
A
potcore6
C
D
B
F GE
A
G E F
potcore7
D
potcore4
B
D
D
B
C E F H
D
potcore2
B
A
C E F H
E F H
D
planar_4
B
G
G
132
B
L
L
S
pq_core1
D
C
E
B
B
E
J F H
F GE
A
A
G
A
D
rm_core1
E
G
C
D
B
D
A
A
C
rm_core4
E
B
J
C
J
A
C
D
D
rm_core7
B A
B A
F
G
D
C
rm_core8
G
B
F
G
A
C
rm_core6
E
B
J F H
F
G
D
rm_core5
E
B
J
G
D
rm_core3
E
J F H
G
C
rm_core2
E
B
J F H
A
A
F
D
pq_core2
A
G
C
B
J
J F H
C
S
E
B
D
rm_core9
B
C
C
toroid_1
C
B
toroid_2
C
L
B A
A
E
A
E
T
C
D
toroid_3
u_core1
D
S
u_core2
133
134
Anexo 5
Programa en Maple V: Procedimiento de diseño de un inductor
analizando los limites de operación de los diferentes tipos de
núcleos.
Datos de entrada:
Corriente rms de operacion: Irms
Corriente Pico de trabajo: Ipico
Densidad de corriente: Jd
Inductancia deseada: L
Factor de utilizacion de la ventana: Kv
> restart;
Datos de entrada
Corriente de trabajo en estado estable, en amperes.
> Irms:=.55;
Irms := .55
Para forma de onda sinusoidal, este dato varia de acuerdo a la forma de onda de
corriente de trabajo.
> Ipico:=evalf(Irms*sqrt(2));
135
Ipico := .7778174591
Inductancia deseada en mcrohenrios
> L:=2100;
L := 2100
Frecuencia de operacion, estado estable.
> Fop:=60000;
Fop := 60000
Datos del Nucleo
C
B
L
A
F E
M
D
> Nucleo:=usuario;
Nucleo := usuario
> read "TablaNucleos.txt";
> Ac:=E[Nucleo][C1]*E[Nucleo][F1]*1e-02;
Ac := .406316
> Aw:=(E[Nucleo][E1]-E[Nucleo][F1])*E[Nucleo][D1]*1e-02;
Aw := .86595
> Ap:=Ac*Aw;
Ap := .3518493402
> Vol:=E[Nucleo][Ve];
136
-5
Vol := .1930 10
Material del núcleo.
> read "MaterialNucleo.txt";
> Material:="3C81";
Material := "3C81"
Densidad de flujo maxima del material del nucleo. En Teslas.
> Bmax:=MN[Material][Bmax1];
Bmax := .33
Densidad de flujo de operación en estado estable propuesto.
> Bopp:=.14;
Bopp := .14
Constante de pérdidas por volumen (100°C).
> Kv:=MN[Material][k];
-13
Kv := .9436089960 10
Perdidas en el nucleo, en función de la densidad de flujo y la frecuencia de operacion, en
watts sobre metro cubico (100°C)
> Const:=evalf((sqrt(5)+1)/2);
Const := 1.618033989
> Pv:=evalf((Kv*(Fop^(Const))*((Bopp*1000)^(Const+1))*(100))*1000);
Pv := 211173.4633
Pérdidas en watts del núcleo seleccionado (a 100°C):
> PN:=Pv*E[Nucleo][Ve];
PN := .4075647842
Limites de diseño
Factor de utilizacion de ventana, Kv. Depende del tipo de conductor a utilizar, el carrete,
tecnica de embobinado. Para conductor circular de un solo hilo se utiliza 0.4. Para
137
multihilos un valor aprox. de 0.2 (Dependiendo del numero de hilos, el aislamiento y el
diametro del hilo)
> Kv:=0.4;
Kv := .4
Densidad de corriente de trabajo en amperes por cm2. Un valor aceptable es de
450A/cm2. El rango aceptable a utilizar es de 300 a 600 A/cm2. Este valor depende de la
caracteristicas de temperatura deseada (asi mismo de la ventilacion del elemento, y de la
situacion dentro del prototipo y caja)
> Jd:=450;
Jd := 450
Maximo posible de numero de vueltas que puede ocupar el area de ventana,
considerando un solo conductor circular.
> Nmax:=Aw*((Kv*Jd)/Irms);
Nmax := 283.4018182
Factor de corrección debido al entrehierro, para el valor máximo de vueltas (fisico).
>Fxc=1+((sqrt(5)+1)/2)*(sqrt((Ac*1e-04)/((2*lg+E[Nucleo][F1]*1e03)*(2*lg+E[Nucleo][C1]*1e-03))))*(((sqrt(5)1)/2)*lg*lg*lg+((sqrt(5)+1)/2)*(lg*lg*E[Nucleo][C1]*1e03+lg*lg*E[Nucleo][F1]*1e-03))/(Ac*lg*1e-04);
/
Fxc = 1 + 78.44008255 |(sqrt(5) + 1)
\
1
sqrt(-------------------------------)
(2 lg + .00628) (2 lg + .00647)
3
2\
(1/2 (sqrt(5) - 1) lg + .006375000000 (sqrt(5) + 1) lg )|/lg
/
>lg1:=solve(Fxc=1+78.44008255*(sqrt(5)+1)*sqrt(1/((2*lg+.628e2)*(2*lg+.647e-2)))*(1/2*(sqrt(5)-1)*lg^3+.6375000000e2*(sqrt(5)+1)*lg^2)/lg,lg);
4
lg1 := RootOf(78756435845770425632000000 _Z + (
3012433671100718780424000 + 1004144557033572926808000 sqrt(5)
3
2
) _Z + (-12800000000000000000000 Fxc
138
+ 25600000000000000000000 Fxc
+ 19204264653267082225203 sqrt(5) + 32009950857623191858807)
2
_Z + (-81600000000000000000 + 163200000000000000000 Fxc
2
- 81600000000000000000 Fxc ) _Z - 130021120000000000
2
- 130021120000000000 Fxc + 260042240000000000 Fxc)
Solición bajo las condiciones:
> Nmaxd:=Nmax*sqrt(Fxc);
Nmaxd := 283.4018182 sqrt(Fxc)
> lgm:=evalf(((4*Pi*1e-07)*Nmaxd*Nmaxd*(Ac*1e-04))/(L*1e-06));
lgm := .001952808956 Fxc
>solve({RootOf(78756435845770425632000000*_Z^4+(30124336711007187
80424000+1004144557033572926808000*sqrt(5))*_Z^3+(12800000000000000000000*Fxc^2+32009950857623191858807+192042646
53267082225203*sqrt(5)+25600000000000000000000*Fxc)*_Z^2+(81600000000000000000+163200000000000000000*Fxc81600000000000000000*Fxc^2)*_Z-130021120000000000130021120000000000*Fxc^2+260042240000000000*Fxc)=.1098455037e2*Fxc,Fxc>1},Fxc);
{Fxc = 2.216689188}
> Fxc:=2.216689188;
Fxc := 2.216689188
Número de vueltas máximo, considerando el factor de corrección debido a la dispersión
en el entrehierro.
> Nmaxd:=Nmax*(sqrt(Fxc));
Nmaxd := 421.9442118
Entrehierro máximo para lograr el valor de inductor con los datos de vueltas máximo.
> lgM := .1098455037e-2*Fxc;
lgM := .002434933404
en mils:
139
> lgMm := (.1098455037e-2*Fxc/(2.54*1e-05));
lgMm := 95.86351985
Densidad de flujo minima que puede utilizarse en el nucleo, considerando el numero de
vueltas maximo y la inductancia deseada, y el valor pico de corriente (en Teslas).
> Bmin:=evalf(L*1e-06*Ipico)/(Ac*1e-04*Nmaxd);
Bmin := .09527479519
Numero de vueltas minimo para evitar la saturacion. Utilizando la densidad de flujo
maxima del nucleo a utilizar (la parte mas lineal) y el pico de la corriente.
> Nmin:=evalf((L*1e-06*Ipico)/(Bmax*Ac*1e-04));
Nmin := 121.8201466
Entrehierro minimo.
> lgmin:=evalf(((4*Pi*1e-07)*Nmin*Nmin*(Ac*1e-04))/(L*1e-06));
lgmin := .0003608217674
En mils:
> lgminm:=lgmin/(2.54*1e-05);
lgminm := 14.20558139
>Fxmin:=evalf(1+((sqrt(5)+1)/2)*(sqrt((Ac*1e04)/((2*lgmin+E[Nucleo][F1]*1e-03)*(2*lgmin+E[Nucleo][C1]*1e03))))*(((sqrt(5)1)/2)*lgmin*lgmin*lgmin+((sqrt(5)+1)/2)*(lgmin*lgmin*E[Nucleo][C1]*1e03+lgmin*lgmin*E[Nucleo][F1]*1e-03))/(Ac*lgmin*1e-04));
Fxmin := 1.269154404
Numero de vueltas minimas, considerando la dispersion en el entrehierro.
> Nminc:=Nmin/sqrt(Fxmin);
Nminc := 108.1339051
Inductancia máxima en el núcleo, en microhenrios, con la corriente especificada, evitando
la saturación.
> Lmax:=evalf(((Nmax*sqrt(Fxcm)*Bmax*Ac*1e-04)/Ipico)/1e-06);
Lmax := 4885.430162 sqrt(Fxcm)
> Nmaxdm:=Nmax*(sqrt(Fxcm));
140
Nmaxdm := 283.4018182 sqrt(Fxcm)
> lgm:=evalf(((4*Pi*1e-07)*Nmaxdm*Nmaxdm*(Ac*1e-04))/(Lmax*1e-06));
lgm := .0008394140683 sqrt(Fxcm)
>solve({RootOf(78756435845770425632000000*_Z^4+(30124336711007187
80424000+1004144557033572926808000*sqrt(5))*_Z^3+(12800000000000000000000*Fxcm^2+32009950857623191858807+19204264
653267082225203*sqrt(5)+25600000000000000000000*Fxcm)*_Z^2+(81600000000000000000+163200000000000000000*Fxcm81600000000000000000*Fxcm^2)*_Z-130021120000000000130021120000000000*Fxcm^2+260042240000000000*Fxcm)=.6295605510e3*sqrt(Fxcm),Fxcm>1},Fxcm);
{Fxcm = 1.525464231}
> Fxcm:=1.525464231;
Fxcm := 1.525464231
> Lmax:=evalf(((Nmax*sqrt(Fxcm)*Bmax*Ac*1e-04)/Ipico)/1e-06);
Lmax := 6033.979409
Energia máxima que maneja el núcleo, en microjoules. De la inductancia máxima, y el
factor de crecimiento del área transversal debido a la dispersión del entrehierro.
> LI2:=evalf((Aw*Kv*Jd*Bmax*Ac*sqrt(Fxcm)*1e-04)/(2*sqrt(2))*1000000);
LI2 := 912.6393849
Calculo del Inductor. Valores Seleccionados.
> N:=evalf(((L*1e-06)*Ipico)/(Bopp*Ac*1e-04));
N := 287.1474884
Longitud del GAP en mm:
> lg:=evalf(((4*Pi*1e-07)*N*N*(Ac*1e-04))/(L*1e-06));
lg := .002004769921
En mils:
> Lg:=(lg*1e05/(2.54));
Lg := 78.92794965
> lg:=lg+2.5e-06;
141
lg := .002007269921
>Fx:=evalf(1+((sqrt(5)+1)/2)*(sqrt((Ac*1e-04)/((2*lg+E[Nucleo][F1]*1e03)*(2*lg+E[Nucleo][C1]*1e-03))))*(((sqrt(5)1)/2)*lg*lg*lg+((sqrt(5)+1)/2)*(lg*lg*E[Nucleo][C1]*1e03+lg*lg*E[Nucleo][F1]*1e-03))/(Ac*lg*1e-04));
Fx := 2.072610142
Vueltas corregidas:
> Nc:=evalf(sqrt((lg*L*1e-06)/(4*Pi*1e-07*Ac*1e-04*Fx)));
Nc := 199.5799144
Conductor. Un solo hilo.
Area del conductor, segun la densidad de corriente seleccionada, en mm2.
> read "AWG.txt";
> read "AWG2.txt";
> Carea:=(Irms/Jd)*100;
Carea := .1222222222
> Sel:=0;
Sel := 0
> for i from 1 by 1 while i < 28 do if (AWG2[i][Area]>Carea) then Sel:=i ;i:=28
fi
> od;
Conductor seleccionado, en AWG.
> Cal:=AWG2[Sel][AWG1];
Cal := 26
Corriente que maneja el conductor seleccionado, a la densidad de corriente propuesta.
> Icond:=AWG2[Sel][Area]*Jd/100;
Icond := .5850000000
Numero de conductores:
> if Irms<Icond then N:=1 else Ncond:=ceil(Irms/Icond) fi;
N := 1
142
Conductor. Multihilos.
Resistividad del cobre.
> pcu:=1.724*(1+.0042*(T-20))*1e-08;
-7
pcu := .15791840 10
-10
+ .72408 10
T
Temperatura.
> T:=100;pcu:=1.724*(1+.0042*(T-20))*1e-08:
T := 100
Permeabilidad en el vacio.
> mu:=4*Pi*1e-07;
-6
mu := .4 10
Pi
Profundidad Piel a la frecuencia de operacion. En mm.
> dp:=evalf(sqrt(pcu/(mu*Pi*Fop)))*1000;
dp := .3118289025
Diametro del conductor minimo a seleccionar, según la profundidad piel.
> read "AWG.txt";
> read "AWG2.txt";
> Sel:=0;
Sel := 0
> for i from 1 by 1 while i < 28 do if (AWG2[i][Dia]>2*dp) then Sel:=i ;i:=28 fi
> od;
Conductor seleccionado, en AWG.
> Cal2:=AWG2[Sel][AWG1];
Cal2 := 22
Corriente que maneja el conductor seleccionado, a la densidad de corriente propuesta.
> Icond:=AWG2[Sel][Area]*Jd/100;
Icond := 1.485000000
143
Numero de conductores, en caso de que conductor seleccionado no pueda manejar la
corriente total.
> if Icond<Irms then Ncond:=ceil(Irms/Icond) else Ncond:=1 fi;
Ncond := 1
Pérdidas en el cobre del Inductor.
Longitud de vuelta promedio del inductor.
> Lvp:=52e-03;
Lvp := .052
Longitud total del inductor. En metros.
> Lt:=Lvp*ceil(Nc);
Lt := 10.400
Resistencia por metro del conductor.
> Cal:=25;
Cal := 25
> Rm1:=AWG[Cal][Rm];
Rm1 := .108
Resistencia en CD total, en ohms.
> Rdc:=Rm1*Lt;
Rdc := 1.123200
Numero de conductores que caben en la altura de la ventana.
> NVcon:=trunc(.9*2*E[Nucleo][D1]/(AWG[Cal][Dia]));
NVcon := 27
Numero de capas del devanado.
> Mdev:=trunc((Nc/NVcon));
Mdev := 7
Relacion del diametro del conductor. Conversion hilo redondo a cuadrado.
> d:=0.866*AWG[Cal][Dia];
144
d := .38970
Porosidad.
> n:=(NVcon*d)/(.9*2*E[Nucleo][D1]);
n := .8471739128
Relacion entre el diametro del conductor y la profundidad piel.
> D0:=(AWG[Cal][Dia]/(dp))*sqrt(n);
D0 := 1.328257983
Resistencia de CA. Aplicado a pierna central.
> Psi1:=(5*Mdev*Mdev-1)/(15);
244
Psi1 := --15
> Rac:=convert(expand((1+(Psi1/3)*D0^4)),polynom);
Rac := 17.87745861
Resistencia de CA
> Rca:=Rac*Rdc;
Rca := 20.07996151
Pérdidas en watts en el conductor:
> P:=Irms*Irms*Rca*Rdc;
P := 6.822528363
Conductor optimo en profundidades piel.
> D0op:=evalf(1/(sqrt((sqrt(Psi1)))));
D0op := .4979381004
Diametro optimo del conductor.
> dopt:=D0op*dp;
dopt := .1552714914
Convertir en Area de conductor circular.
145
> Diaop:=dopt/.866;
Diaop := .1792973342
Calibre en AWG.
> Sel:=0;
Sel := 0
> for i from 1 by 1 while i < 28 do if (AWG2[i][Dia]>Diaop) then Sel:=i ;i:=28 fi
> od;
Conductor seleccionado, en AWG.
> Cal2:=AWG2[Sel][AWG1];
Cal2 := 33
Numero de conductores necesarios para manejar la corriente de operación.
> Ncop:=ceil(Irms*100/(AWG[Cal2][Area]*Jd));
Ncop := 5
146
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