μ μ μ σ ε σ ε σ ε

3 Resolución numérica de las ecuaciones de Maxwell
3.1 Método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo (Finite
Difference, Time Domain (FD-TD) method)
Las ecuaciones de Maxwell se aplican a un sin numero de problemas
electromagnéticos para determinar la solución de los campos involucrados en una
geometría particular. Cuando la geometría del sistema es simple, entonces pueden
obtenerse soluciones en forma analítica, pero en presencia de estructuras mas
complicadas, dicha solución es de difícil obtención. Para proveer solución a este tipo
de problemas electromagnéticos de estructuras complejas, han surgido varios
métodos de resolución numérica. Uno de los métodos planteados se conoce como el
método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo, y posee una vinculación
muy fuerte con las características físicas del problema a resolver.
Las ecuaciones de Maxwell para un medio isotrópico adoptan la forma:
B
E  t
D
xH =
J
t
(3.1)
(3.2)
D  E
(3.3)
B  H
(3.4)
Descomponiendo estas ecuaciones de naturaleza
cartesianas, se derivan las siguientes ecuaciones:
H x 1  E y E z 

 

t
  z
y 
H y 1  E z E x 
 


t
  x
z 
H z 1  E x E y 
 


t
  y
x 

E x 1  H z H y
 

 E x 
t
  y
z

E y 1  H x H z

 

 E y 
t
  z
x


E z 1  H y H x
 

 E z 
t
  x
y

vectorial
en
coordenadas
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
En estas ecuaciones se debe tener en cuenta que cada componente es una función
del tiempo y del espacio, así entonces por ejemplo E x  E x ( x , y , z ,t ) . Cada una de
estas componentes esta derivada parcialmente respecto de alguna de las cuatro
variables espacio temporales. En esta derivación parcial de una función f ( z )
respecto a z por ejemplo, el método de las diferencias finitas aproxima dicha
derivación asumiendo que en la definición de la derivada reemplazada en un punto
z  z0 :
45
df ( z0 )
f ( z0  z / 2 )  f ( z0  z / 2 ) f ( z0  z / 2 )  f ( z0  z / 2 )
(3.11)
 lim

z 0
dz
z
z
La operación de tendencia al límite del intervalo z  0 se realiza definiendo una
región de operación cuyas dimensiones son pequeñas, de forma que la derivación
pasa a ser calculada como una diferencia entre las componentes involucradas.
El método define una grilla espacial discretizada donde las variables x , y , z ,t son
reemplazadas por índices discretos i , j ,k ,n   ix , jy ,kz ,nt  . De esta manera, y
por ejemplo para la componente E x , la derivada respecto de z se calcula como:
dE x ( ix , jy ,kz ,nt ) E x ( ix , jy ,( k  1 / 2 )z ,nt )  E x ( ix , jy ,( k  1 / 2 )z ,nt )

dz
z
(3.12)
De la misma forma la derivación respecto al tiempo se obtiene haciendo:
dE x ( ix , jy ,kz ,nt ) E x ( ix , jy ,kz ,( n  1 / 2 )t )  E x ( ix , jy ,kz ,( n  1 / 2 )t )

dt
z
(3.13)
De la misma manera pueden determinarse las derivaciones de las otras
componentes. En este esquema la notación es tal que la variable tiempo en forma
discreta se identifica a través de un superíndice, mientras que las variables
discretizadas respecto a la posición se identifican como argumentos de la
componente, así por ejemplo:
E n ( i , j ,k )  E ix , jy ,kz ,nt 
(3.14)
de forma que por ejemplo:
dE xn ( i , j ,k ) E xn ( i , j ,k  1 / 2 )  E xn ( i , j ,k  1 / 2 )

dz
z
(3.15)
dE xn ( i , j ,k ) E xn 1 / 2 ( i , j ,k )  E xn 1 / 2 ( i , j ,k )

dt
t
(3.16)
46
Ey
Hz
Ex
Ex
Ez
Ey
Ez
Hx
z
Hy
Ez
y
Ez
Hy
Hx
Ey
x
Hz
Ex
Ex
Ey
Para resolver las ecuaciones en forma de diferencias finitas se define una grilla
espacial donde las componentes se identifican en función de los índices discretos
i , j ,k ,n   ix , jy ,kz ,nt  .
La ecuación (3.5) entonces adopta la forma:
H x 1  E y E z 

 

t
  z
y 
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )

t
n
n
1  E y ( i , j  1 / 2 ,k  1 )  E y ( i , j  1 / 2 ,k ) E zn ( i , j  1,k  1 / 2 )  E zn ( i , j ,k  1 / 2 ) 




z
y

Expresión que permite describir a la componente
función de las componentes del campo eléctrico:
(3.17)
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 ) en
H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 ) 
 E yn ( i , j  1 / 2 ,k  1 )  E yn ( i , j  1 / 2 ,k ) E zn ( i , j  1,k  1 / 2 )  E zn ( i , j ,k  1 / 2 ) 
t



( i , j  1 / 2,k  1 / 2 ) 
z
y

(3.18)
47
E zn ( i , j  1 / 2 ,k  1 )
k 1
z
y
x
E zn ( i , j  1,k  1 / 2 )
E zn ( i . j .k  1 / 2 )
k 1/ 2
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
i
k
E yn ( i , j  1 / 2 ,k )
i  1/ 2
i 1
j
j  1/ 2
j1
En la ecuación (3.18) la constante de permeabilidad magnética puede ser descripta
en función de una determinada distribución espacial, generalizando así las
ecuaciones a medios no homogéneos.
La ecuación (3.6) entonces adopta la forma:
H y
t

1  E z E x 



  x
z 
H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )

t
1  E zn ( i  1, j ,k  1 / 2 )  E zn ( i , j ,k  1 / 2 ) E xn ( i  1 / 2 , j ,k  1 )  E xn ( i  1 / 2 , j ,k ) 


 
x
z

Expresión que permite describir a la componente
(3.19)
H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 ) en
función de las componentes del campo eléctrico:
H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 ) 
 E zn ( i  1, j ,k  1 / 2 )  E zn ( i , j ,k  1 / 2 ) E xn ( i  1 / 2 , j ,k  1 )  E xn ( i  1 / 2 , j ,k ) 
t


( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 ) 
x
z

(3.20)
48
z
y
x
k 1
E xn ( i  1 / 2 , j ,k  1 )
E zn ( i . j .k  1 / 2 )
k 1/ 2
H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )
E zn ( i  1, j ,k  1 / 2 )
i
k
i  1/ 2
i 1
E xn ( i  1 / 2 , j ,k )
j
j  1/ 2
j1
La ecuación (3.7) entonces adopta la forma:
H z 1  E x E y 
 


t
  y
x 
dH zn ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k ) H xn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )


dt
t
n
n
1  E xn ( i  1 / 2 , j  1,k )  E xn ( i  1 / 2 , j ,k ) E y ( i  1, j  1 / 2 ,k )  E y ( i , j  1 / 2 ,k ) 




y
x

(3.21)
Que permite describir a la componente H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k ) en función de las
componentes del campo eléctrico:
H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k ) 
 E xn ( i  1 / 2 , j  1,k )  E xn ( i  1 / 2 , j ,k ) E yn ( i  1, j  1 / 2 ,k )  E yn ( i , j  1 / 2 ,k ) 
t



( i  1 / 2 , j  1 / 2,k ) 
y
x

(3.22)
49
k 1
z
y
x
k 1/ 2
H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
i
E yn ( i , j  1 / 2 ,k )
k
n
x
E ( i  1 / 2 , j  1,k )
i  1/ 2
E xn ( i  1 / 2 , j ,k )
i 1
E yn ( i  1, j  1 / 2 ,k )
j
j 1/ 2
j1
Las siguientes ecuaciones permiten determinar el campo eléctrico en función de las
componentes del campo magnético.
La ecuación (3.8) adopta la forma:

E x 1  H z H y
 

 E x 
t
  y
z

E xn 1 ( i  1 / 2 , j ,k )  E xn ( i  1 / 2 , j ,k ) 1  H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
 

t

y
H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )
z

E xn ( i  1 / 2 , j ,k )
(3.23)
Que permite describir a la componente
componentes del campo magnético:
E xn 1 ( i  1 / 2 , j , k ) en función de las
50
  ( i  1 / 2 , j ,k )t  n
E xn 1 ( i  1 / 2 , j ,k )  1 
E x ( i  1 / 2 , j ,k ) 
 ( i  1 / 2 , j ,k ) 

 H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
t

 ( i  1 / 2 , j ,k ) 
y
(3.24)
H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 ) 

z

k 1
z
y
x
H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )
k 1/ 2
H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
i
k
H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
i  1/ 2
i 1
E xn1 ( i  1 / 2 , j ,k )
j1
j  1/ 2
j
j  1/ 2
k  1/ 2
H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )
El sistema de la grilla inicial es completado con un intervalo espacial adicional para
visualizar las componentes involucradas en el cálculo.
La ecuación (3.9) adopta la forma:
E y
t

1  H x H z


 E y 

  z
x

E yn 1 ( i , j  1 / 2 ,k )  E xn ( i , j  1 / 2 ,k )
t

1  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )

 
z
H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
 E yn ( i , j  1 / 2 ,k )
x
Que permite describir a la componente
E
n 1
y
(3.25)
( i , j  1 / 2 ,k ) en función de las
componentes del campo magnético:
51
  ( i , j  1 / 2 ,k )t  n
E yn 1 ( i , j  1 / 2 ,k )  1 
E y ( i , j  1 / 2 ,k ) 
 ( i , j  1 / 2 ,k ) 

 H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
t

 ( i , j  1 / 2 ,k ) 
z
(3.26)
H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k ) 

x

k 1
z
y
H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
k 1/ 2
x
H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
i 1/ 2
i
k
H
i  1/ 2
n1 / 2
z
( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
E xn 1 ( i , j  1 / 2 ,k )
i 1
k  1/ 2
H
j
n1 / 2
y
( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
j  1/ 2
j1
La ecuación (3.10) adopta la forma:

E z 1  H y H x
 

 E z 
t
  x
y

n1 / 2
n 1 / 2
E zn 1 ( i , j ,k  1 / 2 )  E zn ( i , j ,k  1 / 2 ) 1  H y ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H y ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )
 

t

x
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
 E zn ( i , j ,k  1 / 2 )
y
(3.27)
52
Que permite describir a la componente
componentes del campo magnético:
E zn 1 ( i , j ,k  1 / 2 ) en función de las
  ( i , j ,k  1 / 1 )t  n
E zn 1 ( i , j ,k  1 / 2 )  1 
E zx ( i , j ,k  1 / 2 ) 
 ( i , j ,k  1 / 2 ) 

 H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )
t


 ( i , j ,k  1 / 2 ) 
x
(3.28)
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 ) 

y

k 1
H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j , k  1 / 2 )
E zn 1 ( i , j ,k  1 / 2 )
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
k 1/ 2
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
H
n 1 / 2
y
( i  1 / 2, j , k  1 / 2 )
i 1/ 2
k
i
i  1/ 2
i 1
z
y
x
j 1/ 2
j
j  1/ 2
j1
Con el sistema de ecuaciones
H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 ) 
 E yn ( i , j  1 / 2 ,k  1 )  E yn ( i , j  1 / 2 ,k ) E zn ( i , j  1,k  1 / 2 )  E zn ( i , j ,k  1 / 2 ) 
t



 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 ) 
z
y

H yn1 / 2 ( i  1 / 2, j ,k  1 / 2 )  H ny 1 / 2 ( i  1 / 2, j ,k  1 / 2 ) 
 E zn ( i  1, j ,k  1 / 2 )  E zn ( i , j ,k  1 / 2 ) E xn ( i  1 / 2, j ,k  1 )  E xn ( i  1 / 2, j ,k ) 
t


( i  1 / 2, j ,k  1 / 2 ) 
x
z

53
H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k ) 
 E xn ( i  1 / 2 , j  1,k )  E xn ( i  1 / 2 , j ,k ) E yn ( i  1, j  1 / 2 ,k )  E yn ( i , j  1 / 2 ,k ) 
t



( i  1 / 2, j  1 / 2,k ) 
y
x

  ( i  1 / 2 , j ,k )t  n
E xn 1 ( i  1 / 2 , j ,k )  1 
E x ( i  1 / 2 , j ,k ) 
 ( i  1 / 2 , j ,k ) 

 H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )
t

 ( i  1 / 2 , j ,k ) 
y
H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 ) 

z

  ( i , j  1 / 2 ,k )t  n
E yn 1 ( i , j  1 / 2 ,k )  1 
E y ( i , j  1 / 2 ,k ) 
 ( i , j  1 / 2 ,k ) 

 H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )
t

 ( i , j  1 / 2 ,k ) 
z
H zn1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k )  H zn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j  1 / 2 ,k ) 

x

  ( i , j ,k  1 / 1 )t  n
E zn 1 ( i , j ,k  1 / 2 )  1 
E z ( i , j ,k  1 / 2 ) 
 ( i , j ,k  1 / 2 ) 

 H yn1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )  H yn 1 / 2 ( i  1 / 2 , j ,k  1 / 2 )
t


 ( i , j ,k  1 / 2 ) 
x
H xn1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 )  H xn 1 / 2 ( i , j  1 / 2 ,k  1 / 2 ) 

y

Se tienen todas las componentes de cada campo en su valor actual, para cada
punto del grillado espacial, como función del valor previo de esa componente en
ese punto y los valores previos de todos los campos en puntos adyacentes de la
grilla.
Los parámetros de la discretizacion del problema x , y , z , y t deben ser elegidos
para conservar la estabilidad de la solución numérica. Para asegurar exactitud en
los resultados, x ,y ,z , deben ser elegidos de dimensión pequeña en comparación
con la mínima longitud de onda esperada en la solución del problema. Para
asegurar la estabilidad del algoritmo de escalonamiento en el tiempo, t debe
cumplir con la condición:
 1
1
1
v max t  


2
2
y  z 2
 x 



1 / 2
(3.29)
donde v max es la velocidad de fase máxima esperada en el sistema.
54