T-1) EL MUÑECO SALTARÍN (10 puntos)

T-1) EL MUÑECO SALTARÍN (10 puntos)
Un muñeco saltarín se puede aproximar
mediante un muelle de longitud l0 = 5,0
cm de masa despreciable, unido a un disco
de masa m = 40 g, y el conjunto está
ensartado en un largo eje vertical fijo al
suelo. El juguete se deja caer desde una
altura h0 = 25 cm (ver figura, arriba).
Después de tocar el suelo, el muelle se
comprime hasta una longitud l = 2,0 cm
(abajo).
l0
h0
Se desprecian todos los rozamientos.
1. Describir el movimiento del disco,
mediante:
l
a) Una explicación cualitativa
analizando el balance energético.
(1,5 puntos)
b) Una representación gráfica de su altura h en función del tiempo t. (1,5 puntos)
c) Las ecuaciones del movimiento, indicando el significado de los términos
incluidos en ellas.
(2 puntos)
2. Calcular:
a) La constante elástica del muelle.
(2 puntos)
b) La máxima energía potencial almacenada en el muelle.
(1 punto)
c) El periodo del movimiento.
(2 puntos)
XIV OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA
Cuenca, abril de 2003
T-1) El muñeco saltarín (solución)
1.a) El movimiento es periódico no amortiguado, ya que todas las fuerzas son conservativas y la
energía total permanece constante. Inicialmente cae convirtiendo energía potencial gravitatoria
en cinética. Tras hacer contacto con el muelle, sigue descendiendo, transformando ahora energía
cinética y potencial gravitatoria en potencial elástica. Después de alcanzar la máxima
compresión del muelle, con energía cinética nula, recupera invirtiéndose el movimiento. El ciclo
de este movimiento consta de dos partes: mientras el muelle está apoyado en la mesa es
armónico simple (sistema muelle-masa); cuando no lo está, es uniformemente acelerado
(descenso y ascenso en el campo gravitatorio terrestre).
h
h0
0
l0
l
h(t) =h0 −12 gt2
h (t ) = ∆ l sin ω t
∆l
Tarm
Tcaíd
t
arm
1.b) Sea h la coordenada posición. Suponiendo que en t = 0 se suelta el muñeco en la posición
h = h0 (figura), la gráfica es un arco de parábola hasta que el muelle hace contacto con el
suelo. En ese momento (posición h = l0) se inicia un movimiento de tipo armónico simple,
primero comprimiéndose el muelle hasta la posición h = l, y después elevándose hasta
despegar del suelo en la misma posición en que hizo contacto, h = l0. Se describe así medio
ciclo (aproximadamente) del M.A.S 1. A continuación se realiza el movimiento de subida
hasta la altura inicial h = h0, repitiéndose el ciclo.
1.c)2 Movimiento armónico simple: h(t ) = A sin ωt , amplitud A = l0 − l = ∆l, y frecuencia
angular ω.
Caida libre: h(t ) = h0 − 12 gt 2 , h0 altura inicial y g aceleración de la gravedad.
2.a) De la conservación de la energía en un descenso completo,
mgh0 = mgl +12 k∆l 2 ,
⇒
k=
2mg (h0 − l )
= 2,0·102 N m−1
∆l 2
2.b) E max =12 k∆l 2 = 90·10−3 J.
2(h0 − l0 )
2.c) T = Tarm + Tcaida =12  2π m  + 2
= 4,5·10−1 s.
k


g
1
El análisis riguroso es algo más complicado, difícilmente realizable por los alumnos de la
olimpiada: el centro de oscilación está debajo del punto h = l 0, a una distancia del mismo δl = mg/k =
1,93 mm (deformación estática del muelle). Por tanto, la parte armónica del ciclo total dura más de medio
periodo del M.A.S.
2
No se espera que los alumnos establezcan las constantes iniciales y los intervalos de validez de
cada expresión analítica.