La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO
FACULTAD DE CIENCIAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICAS
TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE
MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
ALUMNA: DANIELA BONILLA BARRAZA
PROFESORA GUÍA: MARCELA PARRAGUEZ G
2012
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Agradecimientos a :
PROGRAMA DE FORMACIÓN DE CAPITAL HUMANO AVANZADO – CONICYT
Por financiar estudios de postgrado con el objetivo de obtener el grado
Académico de Magíster en didáctica de la Matemática.
AÑO ACADÉMICO 2011- 2012
2
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
AGRADECIMIENTOS:
A mi profesora guía, Marcela Parraguez G, por su entrega y
disposición al trabajo realizado, por confiar siempre en mis
capacidades y guiar mis ideas. Gracias a su constante apoyo
puedo decir que he finalizado con éxito esta etapa.
Infinitas gracias
A mi familia Mamá, Papá y Hermanas por el cariño que me
entregan día a día y por apoyarme siempre en cada una de
mis metas.
A mis estudiantes, por motivarme a aprender más y por
permitirme aportar desde la matemática en el desarrollo
de su pensamiento.
A ti DM por tu paciencia, comprensión y cariño.
A Dios, por guiar con sabiduría cada uno de mis pasos.
3
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
INDICE GENERAL
RESUMEN ............................................................................................................................. 7
ABSTRACT ........................................................................................................................... 8
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 9
CAPÍTULO I: ....................................................................................................................... 15
ANTECEDENTES, PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN ........... 15
ANTECEDENTES DE INVESTIGACIÓN .................................................................... 16
DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA ................................................................... 23
OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN ............................................................................... 25
CAPÍTULO II: ...................................................................................................................... 26
ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICOS, MATEMÁTICOS Y DIDÁCTICOS ........................ 26
EPISTEMOLOGÍA DE LA ELIPSE ................................................................................ 27
GEOMETRÍA EUCLIDIANA O SINTÉTICA ............................................................ 27
GEOMETRÍA ANALÍTICA......................................................................................... 32
LA ELIPSE EN LA MATEMÁTICA .............................................................................. 37
LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ........................................................ 37
CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE ............................................................ 38
CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ................ 42
INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA ..... 52
CAPÍTULO III: ................................................................................................................... 53
MARCO TEÓRICO: LOS MODOS DE PENSAMIENTO. ............................................ 53
JUSTIFICACIÓN DEL MARCO TEÓRICO .................................................................. 54
DESCRIPCIÓN DEL MARCO TEÓRICO ..................................................................... 54
EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TEÓRICO ................................................. 57
CAPÍTULO IV: .................................................................................................................... 62
REFERENTES METODOLÓGICOS ................................................................................. 62
MARCO METODOLÓGICO ........................................................................................... 63
ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................... 64
PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: CUESTIONARIO EXPLORATORIO .... 65
EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................................................................... 65
4
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO ........................................... 65
SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: ANALISIS DOCUMENTAL .................. 65
TERCERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO ELIPSE. .............................. 66
OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO ......................................................................... 66
DESCRIPCIÓN Y FUNDAMENTACIÓN DEL CUESTIONARIO .......................... 66
LOS CASOS EN ESTUDIO ......................................................................................... 67
CAPÍTULO V: ..................................................................................................................... 69
ANÁLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DE CUESTIONARIO EXPLORATORIO .. 69
ANÁLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO ............................................................... 70
IMPLEMENTACIÓN DE LA SITUACIÓN ................................................................... 73
ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................... 73
CONCLUSIONES EN RELACIÓN AL PRIMER OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN
.......................................................................................................................................... 81
CAPÍTULO VI: .................................................................................................................... 82
INTENCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE. ..... 82
INDICADORES A PRIORI DE TRÁNSITO ENTRE LOS MODOS DE
COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO ................................................ 83
DESCRIPCIÓN GENERAL E INTENSIÓN DE LAS ACTIVIDADES ........................ 84
ANÁLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO ................... 85
ACTIVIDAD 1:............................................................................................................ 86
ACTIVIDAD 2 ............................................................................................................. 91
ACTIVIDAD 3 .............................................................................................................. 95
MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE
DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE .................................................................. 99
CAPÍTULO VII: ................................................................................................................. 103
APLICACIÓN Y ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE
............................................................................................................................................ 103
APLICACIÓN DEL DISEÑO ........................................................................................ 104
ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO ................................................... 104
CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4° AÑO MEDIO)
..................................................................................................................................... 104
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CONCLUSIONES DEL CASO 1 .............................................................................. 137
CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2° MEDIO) .......... 138
CONCLUSIONES DEL CASO 2 ............................................................................... 163
CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AÑO
MEDIO) . .................................................................................................................... 164
CONCLUSIONES DEL CASO 3 ............................................................................... 185
CAPÍTULO VIII: ............................................................................................................... 186
CONCLUSIONES .............................................................................................................. 186
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS .................................................................................... 187
CONCLUSIONES TEÓRICAS Y REFLEXIONES FINALES ................................... 189
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 191
ANEXOS ............................................................................................................................ 193
ANEXO 1: DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN
LIBROS DE CÁLCULO UTILIZADOS EN EDUCACIÓN SUPERIOR .................... 194
ANEXO 2: CUESTIONARIO EXPLORATORIO ........................................................ 198
ANEXO 3: ...................................................................................................................... 201
SECUENCIA DE APRENDIZAJE ................................................................................ 201
CUESTIONARIO: CASO 1........................................................................................ 202
CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3 .............................................................................. 210
ANEXO 4: .......................................................................................................................... 218
PONENCIAS ...................................................................................................................... 218
PARTICIPACIÓN EN RELME 26............................................................................. 219
PARTICIPACIÓN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR ........................... 220
PARTICIPACIÓN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIÓN
MATEMÁTICA .......................................................................................................... 221
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
RESUMEN
La investigación que reportamos, da cuenta de un estudio sobre la comprensión del
concepto Elipse en estudiantes entre 16 y 18 años, bajo un enfoque cognitivo, donde se
utiliza los modos de pensamiento de Anna Sierpinska como marco teórico y, estudio de
casos como diseño metodológico. La elipse forma parte de los contenidos propuestos en los
programas oficiales de nuestro país, con un marcado énfasis en las técnicas analíticas.
Nuestra problemática de investigación se sitúa al abordar la elipse solamente a través de
las ecuaciones cartesianas, afirmamos que estas técnicas no son suficientes para lograr
una comprensión profunda del concepto, cuando decimos comprensión profunda, estamos
pensando en que el estudiante pueda comprender la elipse en los modos: SintéticoGeométrico (como sección cónica en el espacio/curva que la representa en el plano),
Analítico-Aritmético (como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse) y
Analítico - Estructural (como lugar geométrico). A lo largo de la investigación hemos
evidenciado que los estudiantes desde el enfoque tradicional priorizan un modo de
pensamiento analítico-aritmético, presentando grandes dificultades para comprender la
elipse en otros modos. Desde la teoría de los modos de pensamiento y utilizando
antecedentes epistemológicos, diseñamos actividades de aprendizaje, las cuales fueron
aplicadas a distintos grupos de estudiantes, evidenciando que los estudiantes logran una
mayor comprensión del concepto elipse cuando se enfrentan a situaciones donde
interactúan los tres modos de pensar.
Palabras claves: La teoría de los modos de pensamiento, La elipse, Lugar geométrico,
Ecuaciones cartesianas, sección cónica.
7
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ABSTRACT
The research we report, reports a study on understanding the concept Ellipse in students
between 16 and 18 years under a cognitive approach, which uses the modes of thought of
Anna Sierpinska theoretical framework and study cases as methodological design. The
ellipse is part of the content offered in the official programs of our country, with a strong
emphasis on analytical techniques. Our research problem lies in addressing the ellipse only
through Cartesian equations, we affirm that these techniques are not sufficient to achieve a
deep understanding of the concept, when we say deep understanding, we are thinking that
the student can understand the ellipse in the modes: Synthetic-Geometric (as conic section
in space / curve that represents it on the plane), Analytical Arithmetic (as ordered pairs that
satisfy the equation of the ellipse) and Analytical - Structural (and locus). Throughout the
investigation we have shown that students from the traditional approach a way to prioritize
analytic-arithmetic thinking, presenting great difficulty understanding the ellipse in other
ways. from the theory of modes of thinking and using epistemological background, design
learning activities, which were applied to different groups of students, showing that
students achieve a greater understanding of ellipse when faced with situations where the
three thinking modes interact.
Keywords: theory of the modes of thought, the ellipse, Locus, Equations Cartesian conic
section.
8
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
INTRODUCCIÓN
La enseñanza de la matemática1 en nuestro país en la formación general (doce años de
escolaridad obligatoria) se organiza en torno a cuatro ejes temáticos: Números, Algebra,
Geometría y Datos y Azar. Donde los contenidos mínimos obligatorios de enseñanza
media son en su mayoría pertenecientes al eje de álgebra e incluso ciertos contenidos de
geometría presentan un enfoque algebraico, esto lo podemos evidenciar a través de los
ejercicios presentados en textos escolares propuestos por el ministerio de educación y en
preguntas de la prueba de selección Universitaria (PSU). A continuación mostramos
ejemplos de preguntas donde se prioriza un enfoque algebraico:
Ejemplo 1
En el estudio de los teoremas relativos a la proporcionalidad de trazos en la circunferencia
en el Texto de estudiante: Matematica 2° medio, Autor : Eduardo Cid Figueroa Editorial
: Cal y Canto (2008) se presenta el siguiente ejercicio:
a) Utilizando los teoremas vistos en esta sección , determine el valor de x en los
siguientes problemas
Figura 1 : Ejemplo de texto del estudiante, teorema de las secantes
Las actividades que predominan en el texto, requieren del uso del teorema de las secantes
para plantear una ecuación y posteriormente determinar el valor de la incógnita, por lo
tanto , un problema geométrico se reduce en un ejercicio netamente algebraico y el teorema
se transforma en una fórmula necesaria para resolver la ecuación.
1
“La enseñanza de la Matemática se concibe como un proceso de diseño e implementación de un conjunto de
actividades que mediaticen la relación entre los estudiantes y los contenidos del curriculum de matemática,
el proceso de mediatización incluye espacios guiados deconstrucción de los conceptos, procedimientos y
estrategias de razonamiento y resolución de problemas”. Fundamentos del ajuste curricular(2009)
9
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Ejemplo 2
Respecto al contenido ángulos en la circunferencia correspondiente a Segundo Año
Medio,en un modelo de prueba PSU , Proceso de Admision 2009 ,Universidad de Chile se
plantea el siguiente ejercicio:
Figura 2: Ejercicio PSU , Teorema del ángulo inscrito en la circunferencia
Ejemplo 3
En relación al Teorema de Thales , contenido del segundo año medio. en un Modelo de
prueba PSU, Proceso de Admision 2008 ,Universidad de Chile aparece el siguiente
ejercicio:
Figura 3:Ejercicio PSU , Teorema de thales
En general podemos darnos cuenta que algunos teoremas y contenidos de enseñanza media
en geometría ,como : ángulos en la circunferencia , Teorema de Thales, Teorema de
Pitágoras y teoremas relativos a proporcionalidad en la circunferencia , se convierten en
fórmulas que se utilizan para resolver ecuaciones.
La geometría es sin duda unos de los contenidos que presenta mayores dificultades en su
aprendizaje, esto se evidencia en las mediciones PSU en relación a ello el DEMRE2
Publicaciones PSU N° 13 ,proceso de admisión 2012, señala “de los cuatro Ejes Temáticos
2
El DEMRE es el organismo técnico de la Universidad de Chile responsable del desarrollo y construcción de
instrumentos de evaluación y medición de las capacidades y habilidades de los egresados de la enseñanza
media
10
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
en la PSU de Matemática , Geometria es el que presenta , año a año , el menor porcentaje
medio de respuestas correctas y el mayor porcentaje de respuestas omitidas , en especial en
los contenidos de tercer y cuarto año medio”.
Si bien la enseñanza de la geometría3 en el curriculum oficial trata temas relativos a la
geometría euclidiana o sintética, geometría analítica y geometría vectorial a lo largo de los
12 años de escolaridad, no podemos dejar de mencionar que el sistema escolar carece de
una real conexión entre los enfoques sintético y analítico de la geometría. En la enseñanza
básica se trabajan algunos elementos de la geometría sintética, es decir, la geometría
basada en axiomas y teoremas para la construcción de formas y lugares geométricos, como
son las construcciones de triángulos, propiedades relativas a polígonos, entre otros. Para
luego dar paso en la enseñanza media donde principalmente se enfoca en el estudio de la
geometría analítica, la geometría de las gráficas de coordenadas, las cuales usan ecuaciones
algebraicas para representar figuras geométricas. no se evidencian en el curriculum
elementos que permiten la transición entre ambos enfoques , a pesar de que la
epistemología se encarga de recordarnos “que son precisamente las limitaciones de la
técnicas sintéticas las que dan sentido a las técnicas analíticas” (Gascón, 2003) , por lo
tanto , una es el complemento de la otra, ya que “ las técnicas analíticas requieren en
muchas ocasiones, de manera casi imprescindible , el uso previo de ciertas técnicas
sintéticas que son las que sugieren el diseño de la estrategia que se llevara a cabo con la
técnica analítica “ (Gascón, 2003).
Esta falta de complementariedad entre técnicas sintéticas y analíticas se ve claramente
reflejada en la presentación del objeto matemático, las secciones cónicas en la asignatura
de Algebra y modelos analíticos de tercer año medio del plan diferenciado.
Elegimos para nuestro estudio la asignatura Algebra y modelos analíticos regida por los
programas de estudios
del ministerio de educación , la
importancia radica
fundamentalmente en que dicha asignatura tiene por objetivo principal preparar a los
alumnos(as) en los contenidos mínimos que se necesitan para enfrentar con éxito los
primeros cursos de las carreras científicas en la educación superior.
Sobre las cónicas podemos decir que no son un tópico propio de la enseñanza media ,
sino que también es abordado en cursos de cálculo u otros equivalentes en la educación
superior cuando se tratan sólidos en revolución , ejemplos típicos podemos encontrar en
Leithold(1998),El Cálculo.
3
se refiere a la comprensión de formas, la posición y transformaciones, mediciones, estimación y
comparación e magnitudes. Mapa de Progreso (2009)
11
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Ejemplo 1
“En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada
al girar la curva plana alrededor del eje indicado, dibuje la superficie
” (Leithold, El Cálculo, p.879)
Ejemplo 2
“Describa como dibujaría la superficie cilíndrica generada al girar la curva
del
plano xy alrededor del eje y .En su descripción invente un ejemplo de una curva particular
e incluya la ecuación de la superficie cilíndrica obtenida. “ (Leithold, El
Cálculo, p.879)
En los ejemplos 1 y 2, observamos que se requiere de la interacción de técnicas analíticas y
sintéticas para abordar los problemas.
En base a lo anterior descrito, nuestra investigación la centraremos en el objeto matemático:
La elipse, una de las secciones cónicas tratada en la asignatura de Álgebra y Modelos
analíticos del plan científico de tercer año medio.
Desde la teoría de los modos de pensamiento, indagaremos en la forma en que los
estudiantes comprenden el objeto matemático y si estas nociones permiten movilizar la
elipse entre los diversos enfoques (analíticos, sintéticos y estructurales), indagaremos
también en los elementos que facilitan la conexión entre las distintas definiciones de la
elipse, para así lograr una mayor comprensión de ella. Con nuestra investigación buscamos
aportar evidencias con sustento teórico, en la enseñanza del concepto elipse.
Organizamos nuestro trabajo en nueve capítulos como se describe a continuación:
CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA,
ANTECEDENTES
OBJETIVOS
DE
INVESTIGACIÓN
Y
En este capítulo mostramos los enfoques predominantes en la enseñanza del concepto
elipse, ya sea, en el programa de estudio y en los textos utilizados por los docentes como
apoyo a la asignatura, a partir de estos antecedentes damos cuenta de nuestra problemática
nos planteamos preguntas y definimos objetivos que guiaran nuestra investigación.
12
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO II:
DIDÁCTICOS
ANTECEDENTES
EPISTEMOLÓGICOS,
MATEMÁTICOS
Y
En busca de los elementos que permitan conectar las distintas definiciones de la elipse,
efectuamos las siguientes indagaciones:


Realizamos un estudio epistemológico de las secciones cónicas, enfocándonos en
aquellas etapas de la historia donde se presentan los distintos modos de pensar la
elipse.
Realizamos indagaciones de la presentación del objeto elipse en distintos libros,
para documentar matemáticamente las conexiones entre las definiciones de elipse.
Además presentamos una mirada general de los trabajos existentes desde la didáctica de la
matemática, que se relacionan con nuestro objeto de estudio.
CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO
En este capítulo, justificamos la elección del marco teórico que guiará nuestra
investigación, describimos los elementos más importantes de la teoría de los modos de
pensamiento (Sierpinska 2000) y presentamos ejemplos que ilustran la teoría.
CAPÍTULO IV: REFERENTES METODOLÓGICOS
En esta sección damos cuenta del diseño metodológico de estudio de caso, que dan sustento
empírico a nuestra investigación. Fundamentando, el diseño de los instrumentos y la
elección de las unidades de análisis.
CAPÍTULO V: ANÁLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
EXPLORATORIO
En este capítulo, evidenciamos a través del estudio de un caso, los modos de pensamiento
que priorizan los estudiantes que han trabajado la elipse desde el enfoque tradicional
cuando se enfrentan a tareas planteadas en los distintos modos de pensar la elipse en el
plano cartesiano. Estableciendo conclusiones en relación al primero objetivo específico de
investigación.
CAPÍTULO VI: INTENCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE
APRENDIZAJE
En este capítulo realizamos un análisis a priori del conjunto de actividades que
construimos a partir de nuestros hallazgos (capítulo II) y desde la teoría de los modos de
pensamiento para el aprendizaje del concepto elipse.
13
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO VII: APLICACIÓN Y ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE
APRENDIZAJE
En este capítulo obtenemos las evidencias empíricas las cuales se analizan a partir del
análisis a priori. Evidenciamos la forma en que los estudiantes de distintos casos,
relacionados con los conocimientos matemáticos de la formación dependiendo del nivel
donde se encuentren, comprenden la elipse cuando se da fuerza al tránsito SG- AE. Estos
resultados son fundamentales para establecer las conclusiones de nuestra investigación.
CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES
Finalmente establecemos las conclusiones del objetivo general a partir de la evidencia
empírica con sustento teórico obtenido en el capítulo anterior. Presentamos conclusiones
teóricas y reflexiones didácticas, en relación al aporte de nuestra investigación para
investigaciones posteriores.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO I:
ANTECEDENTES,
PROBLEMÁTICA Y
OBJETIVOS DE
INVESTIGACIÓN
15
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANTECEDENTES DE INVESTIGACIÓN
En esta sección daremos cuenta de elementos presentes en el “saber enseñar” del objeto
matemático la elipse. Se describirá la presentación de dicho objeto, programa de estudio,
libros de Geometría analítica y textos de los estudiantes, utilizados en nuestro país, con el
propósito de evidenciar los enfoques predominantes en la enseñanza.
A continuación se describe la presentación del objeto elipse en:



El programa de estudio 4de la asignatura de tercer año medio del plan científico
álgebra y Modelos analíticos del ministerio de educación de Chile.
(1999) Matemática Algebra y Modelos Analíticos Programa de Estudio Tercer Año
Medio de Ministerio de Educación. Chile
Único Libro de geometría analítica, Geometría Analítica (1987) de Lehman,C
editorial: Itesa, México, que aparece como referencias bibliográfica en el
programa de estudio de álgebra y Modelos analíticos, nos parece interesante
analizar los elementos matemáticos que se consideran para hacer la transposición
didáctica en el currículo oficial.
Textos de apoyo para el estudiante Matemática, plan electivo III y IV medio
(1995) de Blanco, S; Delas Heras, R; Fuenzalida, G; Riveros, J. editorial:
Santillana, chile. donde se tratan temas de los cursos del plan científico para
tercero y cuarto medio.
DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN PROGRAMA
DE ESTUDIO
La presentación de La elipse en el programa de estudio (Ministerio de Educación, 2001)
es en la unidad II: Lugares geométricos, la cual, tiene por objetivos uno de los principios
fundamentales de la geometría analítica: reconocer que los lugares geométricos se pueden
describir mediante ecuaciones cartesianas. (Ministerio de Educación, 2001)(p.41)
En las actividades planteadas se pide caracterizar la elipse como un lugar geométrico y
establecer su correspondiente ecuación analítica y a través de la ecuación dada, determinar
el lugar geométrico.
Ejemplo de actividades propuestas
1) “¿Qué lugar geométrico en el plano representa la siguiente ecuación?
4
Los programas de estudio ofrecen una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año
escolar. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el
desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el marco curricular .
16
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
2) ¿Cuáles son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo?
Figura 4: distintas elipse en el plano
(Ministerio de Educación, 2001) (p.49)
3)
Figura 5: ejemplos de actividades del programa
Las actividades propuestas priorizan la obtención de la ecuación
de la elipse a
partir de los elementos: focos, centro, parámetros a y b. o bien a partir de la ecuación
determinar el lugar geométrico que representan.
Entre las sugerencias al docente se destaca que:

Los alumnos asocien los puntos de intersección con los ejes del sistema de
coordenadas con los parámetros a y b de la ecuación de la elipse.
17
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012


Los alumnos puedan relacionar la elipse con la sección cónica (cortes del cono).
los alumnos realicen alguna construcción concreta de la elipse para que la frase “
la suma de las distancias a los focos es constante’ cobre sentido y sea comprendida
por ellos(as).
En el Programa de estudio predomina un enfoque analítico, lo podemos deducir a partir del
objetivo planteado respecto a la elipse. Si bien en las sugerencias al docente hay intención
de desarrollar otras técnicas para la comprensión de la elipse, no se dan ejemplos o ideas
de cómo abordar las situaciones propuestas, parecen ser solo actividades anexas a las
técnicas analíticas que se desarrollan.
DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN LIBRO DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
El libro de Geometría Analítica de Lehman C (1987) trata el tema de elipse en dos
capítulos (VII y IX).
En el Capítulo VII, llamado La elipse (pág173 a 186) , se estructura de la siguiente forma
: definiciones , ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes
de la elipse , ecuación de la elipse de centro (h.k) y ejes paralelos a los coordenados ,
propiedades de la elipse.
A continuación serán descritos solo aquellos temas que tengan directa relación con nuestro
objeto de estudio.
En primer lugar define la elipse como: “el lugar geométrico de un punto que se mueve en
un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es
siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos” (p.173)
La definición es apoyada por una imagen (sin sistema de coordenadas) donde se muestran
los elementos de la elipse: focos, vértices, eje mayor, eje focal, eje menor y lado recto.
Luego exprese la condición geométrica” la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a una constante” en forma analítica y utilizando
un
procedimiento algebraico obtiene la ecuación de la elipse con centro en el origen con eje
focal el eje x:
=1 .
De la misma forma se busca la ecuación de la elipse con eje focal, eje y:
=1
con respecto a los elementos de la elipse , los relaciona de manera que si se conoce la
ecuación de la elipse se puede determinar su gráfica.
A partir de relaciones algebraicas obtiene la fórmula
para determinar la longitud del
lado recto .
18
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
expone sobre la excentricidad : “ un elemento importante de una elipse es su excentricidad
que se define como la razón y se representa usualmente por la letra e , como c<a la
excentricidad es menor a la unidad “(p.176). No se realiza mayor explicación sobre en que
radica su importancia y ni de los relaciones que la definen.
a partir de lo anterior , enuncia el siguiente teorema:
“La ecuacion de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje x , distancia focal
igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:
=1 . si el eje focal coincide con
el eje y , de manera que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0,-c) , la ecuación de
la elipse es
=1 .
Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, a, b y c
están ligados por la relación
también para cada elipse la longitud del
lado recto
y la excentricidad está dado por la fórmula
√
”
(p.177)
Luego se presenta un ejemplo:
“Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje Y. Si uno
de los focos es el punto (0, 3) y la excentricidad es igual a . Hallar las coordenadas
del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la
longitud de cada uno de sus lados rectos”
En el ejemplo anterior, se muestra la obtención de la ecuación a partir de las fórmulas
obtenidas para la excentricidad, lado recto y la relación
de los parámetros
. Se complementa con una figura que representa el lugar geométrico.
Luego se presentan una serie de ejercicios donde se da prioridad a situaciones como:
determinar la ecuación de la elipse conociendo algunos elementos de ella o bien a partir de
la ecuación determinar los elementos de la elipse (se pide realizar un dibujo para cada uno
de los ejercicios).
También se presentan algunos ejercicios donde se pide demostrar relaciones que se
pueden deducir a partir de las fórmulas obtenidas anteriormente como por ejemplo:
“Demostrar que la longitud del eje menor de una elipse es media proporcional entre las
longitudes de su eje mayor y su lado recto.” (p.179)
Además se proponen 2 situaciones donde se solicita demostrar procedimientos para:
obtener puntos de una elipse, dado algunos elementos de ella (focos, longitud de su eje
mayor y menor) utilizando escuadra y compás.
19
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Posteriormente se determinan las ecuaciones para una elipse con centro
paralelos a los ejes coordenados a partir de la ecuación
ecuación ordinaria
y ejes
obteniendo la
=1 (eje focal paralelo al eje x) y como consecuencia
de procedimientos algebraicos de la ecuación anterior se obtiene una ecuación de segundo
grado, enunciando el siguiente teorema:
“Si los coeficientes
son del mismo signo, la ecuación
representa una elipse de ejes paralelos a los ejes
coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.” (p.173)
y seguidamente se proponen ejercicios de los temas tratados y como último tema del
capítulo se dan a conocer propiedades relativas a la elipse , entre ellas: tangentes a la elipse
y propiedades de reflexión .
En el capítulo IX, titulado Ecuación general de segundo grado (páginas 212-233) se dan
a conocer temas como: transformación de la ecuación general por rotación de los ejes
coordenados, el indicador
definición general de cónica, tangente a la cónica
general, sistemas de cónicas y secciones planas de un cono circular recto.
Se presentan la ecuación general de segundo grado
Como la definición analítica de las cónicas,
teniendo en cuenta que cada ecuación representa una cónica o bien una cónica degenerada,
se analizan las características que deben tener los parámetros de la ecuación para
representar una parábola, elipse o hipérbola.
Luego se da a conocer una definición geométrica de las secciones cónicas, que incluye a la
elipse, parábola e hipérbola.
“Dada una recta fija y un punto fijo
no contenido en esa recta, se llama cónica al
lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de
de tal manera que
la razón de su distancia de
a su distancia de es siempre igual a una constante
positiva “
La recta
se llama directriz el punto fijo , foco y la constante positiva, a la que
designamos por , excentricidad de la cónica. “(p. 220)
A partir de la definición dada y utilizando procedimientos algebraicos obtiene la ecuación
para las cónicas.
Lo anterior se resume en el siguiente teorema:
“Una cónica es una parábola, una elipse o una hipérbola, según que su excentricidad
sea igual a, menor que, o mayor que la unidad.” (p.222)
20
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Explica también sobre el origen del nombre de secciones cónicas con que se designa a la
parábola , elipse e hipérbola se origina a partir del hecho de que estas curvas se obtuvieron
por primera vez como secciones planas de un cono circular recto.
Propone una demostración para fundamentar que la intersección de un plano y un cono es
una sección cónica , se apoya en la figura adjunta y a través de propiedades geométricas
determinadas por triángulos rectángulos y razones trigonométricas relacionando los
ángulos
, obtiene la definición geométrica de las secciones cónicas
.
Figura 6: la elipse en el espacio
De la demostración concluye las siguientes relaciones entre los ángulos y las compara con
los valores de la excentricidad.
El ángulo
es una constante para un cono dado,
varía dependiendo de las posiciones
del plano secante.
Si
, entonces
, la sección es una parábola, el plano es paralelo a una generatriz
del cono.
Si
, entonces
, la sección es una elipse, el plano corta a todas las generatrices
del cono.
Si
, entonces
, la sección es una hipérbola, el plano corta a las dos hojas o
ramas de la superficie cónica.
Los procedimientos utilizados en la presentación de objeto elipse en libro analizado ,
privilegian un enfoque analítico, se define la elipse como un lugar geométrico para obtener
la ecuaciones que las describen, en el capítulo VII, los ejercicios propuestos varían entre
obtener la ecuación a partir de los elementos conocidos o bien dada una ecuación
determinar los elementos de una elipse. Si bien se presenta otra propuesta (capítulo IX)
donde se combinan técnicas sintéticas y analíticas, la transposición didáctica realizada por
el programa de estudio se enfoca únicamente en elementos propios de la geometría analítica
presentes en el capítulo VII del libro.
21
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN TEXTO DEL
ESTUDIANTE PLAN ELECTIVO III Y IV MEDIO
El libro (Blanco Molleda , De las Heras Karl, Fuenzalida Correa, & Riveros Rojas , 1995)
está diseñado como un complemento para el trabajo del estudiante en los cursos de tercer
y cuarto año medio del Plan electivo de Matemática, la elipse se sitúa en el capítulo III,
llamado Geometría analítica del plano el cual se organiza de la siguiente forma: La línea
recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola, definición general de cónicas.
El objetivo que plantea el capítulo, respecto a nuestro objeto de estudio es: “Reconocer la
ecuación de una elipse y determinar sus elementos “(p.90)
Para introducir el concepto de la elipse, define una sección cónica como una curva que se
obtiene al intersectar un plano y un cono de revolución, según la inclinación del plano
respecto al eje del cono se obtiene una circunferencia, elipse, parábola o hipérbola.
Aparecen figuras que muestran las secciones cónicas.
Luego define la elipse como “el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya
ubicación en el plano es tal , que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es
constante.” (p.114), también describe sus elementos: focos, recta focal, recta secundaria,
centro, vértices, eje mayor, eje menor, distancia focal, lado recto. Se agregan dos
observaciones: la primera de ellas es sobre las leyes de Kepler descubiertas en 1610 que
entregan información sobre las trayectorias elípticas de los planetas que giran alrededor del
sol, donde el sol uno de los focos. La segunda observación propone el “método del
jardinero” para trazar elipses.
A continuación se verifica a partir de distancias el valor de la constante, la relación de los
parámetros que determinan el semieje mayor, semieje mayor, semieje focal.
Sobre la excentricidad de elipse, expone: “A toda elipse se le asocia un número real que
llamamos excentricidad, designado por la letra
cuyo valor es
“(p.115), explica
también que dependiendo del valor de su excentricidad se tienen elipse “más, o menos
achatadas”.
Posteriormente a partir de la definición de elipse, por medio de un tratamiento algebraico
determina la ecuación canónica
de la misma forma se busca la ecuación canónica
con el eje y. reemplazando en la ecuación obtiene la fórmula
,
, cuando el eje focal coincide
para el lado recto.
22
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Luego se dan a conocer la ecuación principal con Centro (h,k)
ecuación general
métodos algebraicos pero no se desarrolla.
+
y la
. Se explica que se obtiene por
En seguida, se proponen ejemplos y ejercicios donde los enunciados son los siguientes: i)
determina los elementos de las elipses, ii) determina la ecuación de la elipse, con los
elementos dados en cada caso.
Después de tratar todas las secciones cónicas de forma similar a la descrita anteriormente,
propone una definición general de las cónicas, a partir de los valores de la excentricidad,
como se describe a continuación: “es el lugar geométrico de todos los puntos del plano,
cuyas distancias a un punto (Foco) y a una recta (Directriz) fijos están en una razón
constante (excentricidad)”. (p.129)
Realizando procedimientos algebraicos se obtiene una ecuación principal de una cónica
En particular la elipse se determina cuando la excentricidad es menor a 1.
A través de la definición dada y utilizando un desarrollo algebraico determina las
relaciones entre los elementos de la elipse.
En el texto del estudiante, los objetivos del texto son coherentes con los objetivos
enunciados en el programa de estudio, es decir, se centran en las ecuaciones cartesianas que
la describen. Además, existen propiedades geométricas como la excentricidad y lado recto
que se convierten en fórmulas para determinar ecuaciones de las elipses correspondientes.
DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA
Nuestra problemática de investigación se sitúa al abordar la elipse puramente a través de
las ecuaciones cartesianas como se muestran en programa de estudio (Ministerio de
Educación, 2001), consideramos que estas técnicas no son suficientes para lograr una
comprensión profunda del concepto, cuando decimos comprensión profunda , estamos
pensando en que el estudiante pueda relacionar las distintas definiciones de elipse , ya
sea , la elipse como una sección cónica, elipse como lugar geométrico y la elipse a partir
de las ecuaciones que la describen.
A partir de nuestra problemática nos planteamos las siguientes preguntas, que guiarán la
investigación:

La noción de elipse que construyen los estudiantes del plan científico tercer año
medio de la asignatura algebra y modelos analíticos ¿permite movilizar la elipse
23
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012

entre las definiciones como: sección cónica, lugar geométrico y ecuaciones
cartesianas?
¿Qué elementos de la Matemática están presentes en noción del concepto elipse
que presentan estos estudiantes?
Con intenciones de lograr una comprensión profunda entre los aprendices del concepto
elipse, nos planteamos abordar las siguientes interrogantes


¿Cuáles son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que
promueve alcanzar una comprensión profunda de este?
¿Qué elementos de la Matemática están presentes en la comprensión profunda del
concepto elipse? ¿Estos elementos tienen características geométricas, analíticas
u obedecen a estructuras matemáticas?
Apoyándonos en las preguntas anteriores daremos a conocer el siguiente supuesto de
investigación “el estudiante logra una comprensión profunda del concepto elipse cuando
logra transitar entre los modos de pensamiento analítico- aritmético, sintéticogeométrico y analítico- estructural”. (Ver figura 7)
Figura 7: Modos de pensar la elipse.
24
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN
A partir de las interrogantes planteadas y la problemática descrita, se determinan los
siguientes objetivos de investigación:
Objetivo general

Ofrecer un conjunto de sugerencias didácticas basada en nuestra investigación para
la enseñanza del concepto elipse.
Objetivos específicos:
1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes
que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento
educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus
distintas definiciones en el plano cartesiano.
2. Indagar en los elementos de la matemática5 que propician el tránsito entre las
definiciones de elipse como: sección cónica en el espacio/curva que la representa en
el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse y como lugar
geométrico.
3. Diseñar y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el tránsito entre los
modos de pensamiento (Sintético-Geométrico, Analítico-Aritmético, AnalíticoEstructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de álgebra y modelos
analíticos de un establecimiento educacional chileno.
5
Conceptos matemáticos, nociones, propiedades.
25
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO II:
ANÁLISIS
EPISTEMOLÓGICOS,
MATEMÁTICOS Y
DIDÁCTICOS
26
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
EPISTEMOLOGÍA DE LA ELIPSE
En relación a nuestro segundo objetivo específico de investigación, describiremos de
manera general la epistemología de las secciones cónicas, centrándonos en épocas donde
aparecen con mayor fuerza y enfocándonos particularmente en aspectos de la elipse que
consideramos importantes, como el surgimiento de enfoques analíticos, sintéticos y
estructurales a través de la historia y en los elementos que permiten su interacción.
GEOMETRÍA EUCLIDIANA O SINTÉTICA
Las secciones cónicas surgen en el periodo del Helenismo en Grecia
“El helenismo significa, tanto en política como en filosofía, una auténtica
fragmentación. En política, el imperio de Alejandro se fragmenta en reinos más o
menos pequeños que compiten en ser dignos herederos de la tradición del siglo de
oro helénico. En filosofía se produce también una fragmentación del saber
unificado al que Platón y Aristóteles, siguiendo el trazo de la corriente pitagórica,
aspiraron. El saber orientado hacia el hombre, con sus hondas conexiones con la
estética, ética, religión, política,... cede el paso al saber especializado que en
matemáticas viene a ser representado por Euclides, Arquímedes y Apolonio”
(Tapia, 2002 ,p.19 ).
En este periodo los avances en matemática se basan en “un pensamiento hipotético –
deductivo, en métodos racionales de demostración y en la utilización de técnicas
sintéticas en los razonamiento geométricos” (Gonzales , Paniagua , & Patiño, 2008)
Bajo este enfoque nacen las secciones cónicas, como se detalla a continuación:
Las secciones cónicas fueron inicialmente tratada por autores como: Menecmo,
Arquímedes Aristeo y Euclides. Su descubrimiento se atribuye a Menecmo (350 a.c)
mientras se ocupa del problema clásico de la duplicación del cubo, obtiene las curvas que
hoy conocemos como elipse, hipérbola y parábola determinándolas por secciones de un
plano perpendicular a una generatriz de conos rectos de tres tipos, dependiendo del ángulo
del vértice (agudo, obtuso o recto).
A finales de siglo IV ya se conocían dos obras sobre las cónicas, La primera es de Aristeo,
“el Libro de los lugares sólidos” y la segunda de Euclides (4 libros), si bien no hay
evidencias de ellas, estas obras fueron los pilares fundamentales para las famosas cónicas
de Apolonio.
Se cree que fue Arquímedes quien dio el nombre elipse a las “secciones de cono
acutángulo “(como se conocían anteriormente). La palabra elipse fue utilizada por el
27
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
famoso Matemático Pitágoras, “en las soluciones de ecuaciones cuadráticas por el método
de duplicación de áreas, Ellipsis, significa una deficiencia, se utilizaba cuando un
rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado”
(Boyer,1986. pág. 195).
El gran geómetra griego Apolonio de Perga (262 - 190a.c) educado en Alejandría con
discípulos de Euclides, fue quien en el siglo III a.c dio “el rigor la consistencia y
sistematización a las secciones cónicas” (Ruiz, p 80) demostrando que las propiedades
de las curvas son las mismas si se obtienen como cortes de conos oblicuos o de conos
rectos. Es Apolonio quien define una superficie cónica:
“Si una línea recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se
hace mover sobre la circunferencia que no está en el mismo plano que el punto dado,
de tal manera que pase sucesivamente por todos los puntos de dicha circunferencia ,
entonces la recta describirá la superficie de un cono doble “ (Gonzales , Paniagua , &
Patiño, 2008)
Figura 8: superficie cónica de Apolonio
Apolonio sustituye el cono de una sola hoja por el cono de dos hojas (par de conos
orientados en sentido opuesto con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta) con lo
cual cambia las 2 hipérbolas, como las llama Euclides, por una hipérbola de dos hojas.
28
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 9: cono de una y dos hojas
Apolonio define las secciones cónicas, como, una curva obtenida cortando una superficie
cónica con un plano, según la inclinación del plano se puede formar una parábola, una
elipse o una hipérbola.
Figura 10: secciones cónicas de Apolonio
Sobre las secciones cónicas escribe 8 libros, donde se dan a conocer modos de obtención y
propiedades fundamentales de las cónicas, propiedades de sus elementos (diámetros, ejes,
focos), teoremas relativos a diámetros conjugados, entre otros.
Entre las propiedades destacamos: la suma de las distancias de un punto de la elipse a dos
puntos fijos (focos) es constante (proposición 52 del libro III) la cual es utilizada en la
actualidad como una de las definiciones de la elipse como lugar geométrico.
La construcción de la elipse está fundamentada en los métodos predominantes de la época
nos referimos, al razonamiento deductivo a partir de proposiciones y teoremas
demostrados utilizando técnicas geométricas sintéticas.
29
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
A continuación se describe el enfoque de la elipse como fue trabajada en la antigüedad,
Apolonio define “La elipse como una sección de un cono por un plano no perpendicular a
su eje” (Grégoire , 1992) a partir de la definición dada, razona de la siguiente forma:
Sean C y C’ dos puntos cualesquiera de la elipse y KCL y K’C’L’ dos secciones
circulares del cono perpendiculares al eje. (Figura 11)
Figura 11: secciones cónicas de Grégoire
Dados los triángulos rectángulos KCL y K’C’L’,
Se tendrá:
Además los triángulos GMK y GM’K’ son semejantes,
Se deduce que:
los triángulos AML y AM’L’ también son semejantes,
Por lo que
Por tanto al multiplicar miembro a miembro
, por el teorema de la altura (
Es decir la relación
)
, se obtiene
es constante para todo punto c de la elipse
(Grégoire , 1992)
Apolonio determina una propiedad geométrica para todo punto que pertenece a la elipse, lo
que es equivalente a pensar la elipse como un lugar geométrico que cumple una cierta
propiedad geométrica.
30
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Es importante destacar que Apolonio descubre un sin número de propiedades para las
cónicas, muchas de ellas son el inicio de grandes descubrimientos en otras áreas como la
física, la óptica, astronomía entre otras.
Entre los numerosos geómetras que siguieron los pasos de Apolonio destacamos a Pappus
(Siglo IV d c) quien escribió La Colección Matemática, obra donde realiza una
recopilación de una cantidad indeterminada de teoremas y problemas propuestos por sus
antecesores, además agrega proposiciones nuevas e incluso problemas que se trataran de
resolver siglos después. En relación a las secciones cónicas propone un teorema (libro VII
n° 238) que permite definir las tres cónicas como lugares geométricos a través de la
relación de distancias de un punto al foco y a una recta (directriz) como se detalla a
continuación:
“El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un punto dado (Foco) y a una
recta dada (Directriz) están en una razón constante es una sección cónica: Una
parábola si la razón es la unidad, una elipse si es más pequeña que la unidad y una
hipérbola si es más grande que la unidad “ (Española, 2000)
El teorema de Pappus permite definir una sección cónica como el lugar geométrico de los
puntos talque
, donde
.
Según el valor de la constante
se clasifican en:
.
.
.
Figura 12: clasificación de las secciones cónicas, según el valor de e.
31
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
La constante
determinada por Pappus posteriormente es conocida con el
nombre de excentricidad de una cónica.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Hasta el siglo XVI el enfoque de las secciones cónicas fue basado en las cónicas de
Apolonio, el gran geómetra de la Antigüedad donde se destaca la elegancia que utiliza
para describir las cónicas a través de relaciones de áreas y longitudes que caracterizan a
cada una de las curvas, en su estudio además considera sistemas de referencia (diámetros
conjugados) a posteriori de la construcción de la curva para el estudio de las propiedades.
Podemos decir que Apolonio es uno de los primeros en utilizar el análisis en la geometría,
“el lenguaje de Apolonio es sintético, utilizando con una pericia increíble la técnica
pitagórica de la Aplicación de las Áreas, pero sus "métodos de coordenadas" guardan una
gran similitud con los de la Geometría Analítica” (González Urbaneja , Raices histórica y
trascendencia de la Geometría Analítica , 2007).
En los siglos XVI y XVII durante la Revolución científica , época en que se nacen
nuevas ideas y conocimientos en distintas áreas como : Química , Biología, Astronomía ,
Física y Matemática, ideas que posteriormente se convertirán en la base de las ciencias
modernas.
Es durante esta época que surge la geometría analítica, es decir, "la aplicación del
Álgebra simbólica al estudio de problemas geométricos mediante la asociación de curvas y
ecuaciones en un sistema de coordenadas". (González Urbaneja , Raices histórica y
trascendencia de la Geometría Analítica , 2007)
Sobre la geometría Analítica destacamos :
“Fermat y Descartes son los verdaderos artífices de la Geometría Analítica. Descartes
publica en 1637 La Geometría junto con La Dióptrica y Los Meteoros como
apéndices de su Discurso del Método o éste como prólogo de aquellos opúsculos. El
mismo año, Fermat envía al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629
contenidas en la memoria Introducción a los Lugares Planos y Sólidos. Las obras
citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de la llamada más tarde
Geometría Analítica. Estos matemáticos encontraron un terreno muy abonado por el
Análisis Algebraico en el que Vieta había transformado el Análisis Geométrico de los
griegos con la intervención de su incipiente Álgebra simbólica. (González Urbaneja ,
Raices histórica y trascendencia de la Geometría Analítica , 2007)”
Los aspectos novedosos de la geometría analítica son : la introducción de coordenadas ,
el trazado de curvas construyendo ordenadas a partir de abscisas dadas y conectando con
32
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
puntos finales , la aplicación del álgebra simbólica a los problemas geométricos, la
derivacion de ecuación a los lugares geométricos y la construcción geometrica de las
soluciones de las ecuaciones , estudio de las propiedades de las curvas dadas por las
ecuaciones y representacion grafica de una curva dada por la expresion analitica funcional.
Este nuevo método permite resolver problemas geometricos de la antigüedad y avanzar en
terrenos inexplorados de la matematica en ese momento.
En relación a las secciones cónicas, destacamos los avances de Descartes, Fermat, Witt,
Wiles y Euler.
René Descartes, matemático francés (1596-1650) el segundo libro de la Geómetrie de
Descartes, “De la Naturaleza de las curvas”, da a conocer métodos para encontrar líneas
rectas que corten las curvas o a sus tangentes, en particular las secciones cónicas se pueden
representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. lo cual, conlleva a la
posterior aparición de la ecuación de la elipse como se muestra a continuación:
Descartes calcula la normal a una curva en un punto de la figura siguiente:
Llama
=
Figura 13: normal a una curva
Todo punto P perteneciente a la recta AG, verifica las dos relaciones siguientes
√
;
√
Para calcular la ecuación de la elipse (figura 3), descartes utiliza la definición de
Apolonio
, donde q es la longitud del lado AG
Con las notaciones elegidas por Descartes, la ecuación de la elipse es:
33
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
, utilizando la relación
√
, se obtiene la
ecuación fundamental de la elipse
Figura 14: Normal de una curva, Descartes
Para obtener la ecuación canónica, se considera la elipse referida a su centro O.
Obteniendo la siguiente ecuación:
, siendo
Si se toman
, se obtiene así la ecuación de la
elipse de Descartes. (Grégoire , 1992)
Pierre de Fermat, matemático francés ( 1601-1665), crea una reformulación de la obra
Las Cónicas de Apolonio con los instrumentos del Álgebra, demuestra en su obra Ad
locos planos et solidos isagoge (introducción a los lugares geométricos planos y sólidos)
que las ecuaciones de primer grado representan rectas y las de segundo grado determinan
cónicas o rectas.
Durante los periodos siguientes, mitad del siglo XVII y comienzo del siglo XVIII se
difundieron los métodos analíticos propuestos por Descartes y Fermat, en relación a las
cónicas, matemáticos de la época como Witt y Wallis completaron y perfeccionaron sus
obras. Wallis en su Tractatus de sectionibus conicis deduce todas las propiedades
conocidas de las cónicas a partir de las ecuaciones obtenidas de las relaciones de Apolonio
y considera estas ecuaciones como la definición de la sección, por su parte Jan de Wittt en
la primera parte de su obra Elementa curvarum linearum, introduce la definición de cónicas
utilizando la razón de las distancias al foco y a la directriz, propiedad descubierta por
Pappus.
34
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Posteriormente Desargues realiza también estudios sobre las cónicas y los puntos del
infinito y Pascal también escribe sobre las cónicas (Essay pour las coniques ) estos
estudios son los cimientos para la geometría proyectiva.
Leonhard Paul Euler, Matemático Suizo (1707-1783) señala que las propiedades de las
cónicas no pueden derivarse de un único principio; a veces se obtienen de la ecuación de las
curvas, otras de su generación por la sección de un cono (como habían hecho los grandes
geómetras griegos) y otras se obtienen de la forma como han sido descritas mediante
construcción geométrica” (González Urbaneja , Euler y la Geometría Analítica , 2008 ).
Euler escribe un primer volumen de introducción una teoria general de curvas , basada en
ideas de función , en el que deriva las propiedades de las cónicas del cono o de la
construcción geométrica, luego en un volumen posterior realiza un tratamiento analítico
general, obtiene las propiedades de las cónicas mediante la informacion entregada solo por
la ecuacion sin recurrir a otros medio , escribe una ecuación cuadrática general con seis
términos para las secciones cónicas :
y expresa la ecuación en términos de
en terminos de
(González Urbaneja , Euler y la Geometría Analítica , 2008 )
Euler determina la ecuación central de las cónicas a partir de la cual realiza la clasificación
de cada una de ellas mediante el valor del discriminante, encontrando así de manera
sencilla puntos, líneas y rectas, razones asociada a cada curva, completando el trabajo
iniciado por Witt y Wallis.
A partir de la ecuación
, con A, B, C, D, E, F
reales y A, B y C no todos nulos. Podemos clasificar las cónicas dependiendo del valor del
discriminante
.
Si
Se trata de una Elipse
Si
Se trata de una Parábola
Si
Se trata de una Hipérbola
35
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Sobre las propiedades determinadas por Apolonio y Pappus en la antigüedad y trabajadas
en forma analítica por Descartes, Fermat, Witt , Willes y Euler. El matemático Belga
Germinal Pierre Dandelin (1794 – 1847) propone en 1822 el siguiente teorema,
demuestra que si un cono es cortado por un plano en una cónica, los focos de dicha cónica
son los puntos donde éste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.
Figura 15: Esferas de Dandelin
A partir del teorema propuesto por Dandelin, se puede probar con herramientas sintéticas
las propiedades que definen a la elipse:

La suma de las distancias de un punto de la elipse a dos puntos
de su eje principal es constante.

La razón entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los
focos y a la distancia de la directriz correspondiente, es un valor constante
menor a 1.
fijos
36
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
LA ELIPSE EN LA MATEMÁTICA
En busca de los elementos de la matemática que conecten las distintas definiciones de
elipse, como: sección cónica, lugar geométrico y a través de las ecuaciones algebraicas.,
realizamos una indagación en libros de Geometría plana y del espacio, Cálculo, geometría
analítica y trigonometría. A partir del análisis de los textos (Ver anexo 1) y el análisis
epistemológico (antes descrito), elaboramos esta sección, donde conectamos las distintas
definiciones de elipse. Centrándonos mayoritariamente en aquellas que utilizaremos para
nuestra investigación.
A continuación se enuncian los textos utilizados:
Cálculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edición (2008) - James Stewart
editorial: Cengage Learning Editores.
Leithold, l (1998) el cálculo 7ª edición .México: Orfoxd university press-harla.
Masjuan,G;Arenas,F;Villanueva,F.(2001). Trigonometría y geometría analítica. Santiago:
ediciones universidad católica de chile.
Para las definiciones y en busca de elementos distintos a los presentados en los libros
anteriores utilizamos:
Wentworth, d; Smith, d (2001) geometría plana y del espacio. México: Porrúa.
Romero, A (2005) Estudio sobre las cónicas, Caracas: Innovación tecnológica.
LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE
A continuación se presentan las definiciones de elipse, como: sección cónica, lugar
geométrico y a través de las ecuaciones algebraicas, previo a ello se definen conceptos
matemáticos que se utilizan en la interacción entre los enfoques del concepto elipse.
Posteriormente se describen relaciones entre las definiciones de una elipse a partir de
elementos de la matemática6 que permiten una movilidad entre los distintos enfoques del
concepto. (Figura 16: distintas definiciones de Elipse)
6
Conceptos, propiedades o teoremas.
37
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 16: distintas definiciones de Elipse
CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE
1.- Superficie cónica: superficie engendrada por una recta que se mueve de tal modo que
siempre corta una curva plana fija y que pasa por un punto exterior al plano de esa curva.
La curva fija se llama directriz y el punto fijo se llama vértice
2.- Generatriz de una superficie cónica: recta que engendra la superficie y también toda
recta que representa una de las posiciones por las que pasa aquella, es decir, toda recta que
va desde el vértice a la directriz.
3.- Cono: sólido limitado por una superficie cónica y por un plano que corta a todas las
generatrices.
4.- Cono circular: cono que tiene un círculo de base. Llamase eje del cono a la recta que va
del vértice al centro de la base.
5.-Cono circular recto: cono circular cuyo eje es perpendicular al plano de la base.
6.-Esfera: sólido limitado por una superficie todos cuyos puntos equidistan de un punto
interior.
7.- Sección cónica
Definición geométrica:

Es la intersección de un plano cualquiera y una superficie cónica.
i)
Si el plano no es paralelo a las generatrices es una elipse.
ii)
Si el plano es paralelo estrictamente a dos generatrices es una hipérbola.
iii)
Si el plano es paralelo a una sola generatriz. La sección obtenida se
llama parábola
38
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 17: Secciones cónicas
Si el plano intersecta al vértice se forma cónicas degeneradas, es decir, un punto, una recta
o par de rectas concurrentes.
Definición a partir de propiedades:

Es una sección cónica puede definirse como el conjunto de los puntos P del plano
tales que la razón de la distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no
dirigida de P a una recta fija, la cual no contiene al punto fijo, es una constante
positiva . (Figura 18 : la secciones cónicas, según el valor de la excentricidad)
i)
Si
la cónica es una parábola
ii)
Si
es una elipse
iii)
Si
es una hipérbola.
Figura 18 : la secciones cónicas, según el valor de la excentricidad
39
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Definición Analítica:

Una sección cónica está definida por una ecuación general de segundo grado ,
Con
y
no
todos nulos.
La grafica de la ecuación es una cónica, o bien, una cónica degenerada.
Los parámetros A, B y C permiten identificar el tipo de cónica analizando el
discriminante
como sigue:
i)
Si
se trata de una parábola ( o como caso
degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes )
ii)
Si
, se trata de una elipse ( o como caso
degenerado un punto )
iii)
Si
, se trata de una hipérbola ( o como caso
degenerado un par de rectas que se cortan )
A continuación se define la elipse como una sección cónica, luego se presentan dos
alternativas para tratar la elipse como lugar geométrico7 y a partir de las definiciones se
obtienen ecuaciones (cartesianas – polares) que describen una elipse.
Como sección cónica:
Es una sección cónica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna
generatriz.
Figura 19: La elipse como sección cónica
7
conjunto de puntos que cumple una propiedad geométrica.
40
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Como lugar geométrico:
1.- Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos (focos) es siempre una constante positiva (mayor que la distancia entre
los focos).
Figura 20: la elipse como lugar geométrico
2.- Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tal que la razón de la
distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la
cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1.
A través de las ecuaciones algebraicas:
1.
Si
y si
, entonces su ecuación de la elipse es:
Donde la excentricidad:
ecuación de la Directriz
F
3.
(–
es la constante en la definición, si los focos se encuentran en
es
)
=1
√
,
, la
y los focos son :
)
Una elipse se describe a partir de la ecuación general de segundo grado ,
Con
y
todos nulos. Donde Si
no
41
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE
DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS
A continuación se presentan dos descripciones del concepto elipse como se muestra a
continuación:
La primera de ellas parte de la elipse como sección cónica, luego utilizando el teorema de
las esferas de Dandelin permite determinar la elipse como lugar geométrico donde la suma
de las distancias de los puntos de la elipse a los focos es constante, posteriormente a través
de las herramientas algebraicas dadas por el concepto de distancia entre dos puntos del
plano se determinan las ecuaciones cartesianas y los elementos principales de la elipse en el
plano.
La segunda alternativa parte de la definición de elipse como sección cónica, y a través del
teorema de Dandelin permite encontrar el lugar geométrico que describe la elipse a partir de
la excentricidad (razón entre la distancia de un punto al foco y la distancia del punto a la
directriz), luego a través de elementos trigonométricos y algebraicos permiten determinar
las ecuaciones polares y cartesiana de la elipse.
DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 1
La elipse, es una sección cónica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a
ninguna generatriz.
A partir de esta definición utilizando el Teorema de Dandelin8, se puede construir la
definición 1 de elipse como lugar geométrico.
Figura 21: Teorema de Dandelin
8
Si un cono es cortado por un plano en una cónica, los focos de dicha cónica son los
puntos donde éste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.
42
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al plano secante
ambas esferas
. La esfera
es tangente al cono a lo largo de las
circunferencias
, y es tangente al plano cortante en el punto
. La esfera
es
tangente al cono a lo largo de las circunferencias
, y es tangente al plano cortante en el
punto
. Los planos de la circunferencia
son paralelos. Se demostrara que
son los focos de la elipse al probar que si P es un punto de la elipse, entonces
|̅̅̅̅̅| ̅̅̅̅̅̅̅
|
| es una constante.
La generatriz del cono que pasa por un punto cualquiera P de la elipse sección corta a las
circunferencias tangentes a la esfera
en los puntos
, como todas las
tangentes que puedan trazarse desde un punto a una esfera tienen la misma longitud, se
tiene ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅
Las circunferencias de tangencia
cortan segmentos iguales de igual longitud en
todas las generatrices del cono, como consecuencia todos los puntos de una elipse tienen las
propiedades “La suma de las distancias a dos puntos fijos
de su eje principal es
constante”.
Considerando la definición de elipse: “La elipse es el conjunto de puntos de un plano tales
que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante e igual
. Cada punto
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
| | |
|
fijo se llama foco”.
(Figura 20: la elipse como lugar geométrico)
Obtenemos las ecuaciones cartesianas que la describen.
|̅̅̅̅|
√
√
, |̅̅̅̅̅|
√
+√
√
Como
43
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Si
es la constante en la definición, si los focos se encuentran en
y si
, entonces su ecuación de la elipse es:
Elementos de una elipse
1.-Los puntos A, A’, B, B’ se llaman vértices de la elipse.
2.- El valor de se conoce como semieje mayor, se llama semieje menor y como semi
distancia focal.
3.-las cuerdas focales perpendiculares al eje focal de esta elipse se conocen como lado recto
(latus rectum) de la elipse y su longitud es igual a
.
DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 2
En figura adjunta, el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al
plano secante ambas esferas tienen su centro
sobre el cono y son tangentes a
este a lo largo de las circunferencias
situadas en planos normales al eje del cono.
Figura 22: Teorema de las esferas de Dandelin
se puede deducir otra propiedad: el plano de la elipse
corta a los planos de las
circunferencias
de las dos esferas de Dandelin según rectas
directrices )
si los puntos
y el vértice principal de la elipse
giran alrededor del eje del
cono hasta situarles paralelamente al plano de proyección , como son los segmentos
se tiene
=
para la distancia espacial
del punto a la directriz , que se proyecta en su verdadera magnitud , en virtud de la
semejanza de triángulos, se tiene:
44
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
La razón entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los focos y a la
distancia de la directriz correspondiente, es igual a la razón entre 2e de los focos y la
longitud 2a del eje mayor. La relación e: a es lo que se denomina excentricidad de la elipse
A partir de la definición:
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tal que la razón de la
distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la
cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1. Se generan las
ecuaciones polares y cartesianas que la describen como se explica a continuación.
Primero se obtendrá una ecuación polar del conjunto de los puntos descritos. Considere
que denota el punto fijo y representa la recta fija. Se toma como polo a
y el eje
polar y su prolongación a .
Se considerara el caso en que la recta esta a la izquierda del punto . Sean D el punto
de intersección de con la prolongación del eje polar y, la distancia no dirigida de a .
Sea
cualquier punto del conjunto a la derecha de y en el lado terminal del ángulo
( Figura 23: eje polar)
Figura 23: eje polar
El punto P está en el conjunto descrito si y solo si:
|̅̅̅̅|
Como P está a la derecha de
̅̅̅̅
;
|̅̅̅̅|
además ̅̅̅̅
porque
̅̅̅̅
Sin embargo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , y como ̅̅̅̅
esta expresión para ̅̅̅̅ , se obtiene:
̅̅̅̅ +̅̅̅̅ , se tiene ̅̅̅̅
, al sustituir
45
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
), Despejando
Obteniendo la ecuación Polar de la elipse el caso en que la recta esta a la izquierda del
punto
(1)
Con el fin de determinar una ecuación cartesiana de la elipse a partir de la ecuación Polar
(1) se reemplaza el
por así:
√
Ahora al sustituir
, resulta √
Elevando al cuadrado
Como
Para completar cuadrados se agregan
en los dos
miembros de la ecuación anterior
(
)
Se divide por
Donde
(
Ahora considere
)
(
)
donde a>0 ,
Entonces la ecuación de la elipse se puede expresar:
46
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Si
entonces
y puede considerarse
donde
.
La ecuación de la elipse que tiene su eje principal sobre el eje x y su centro en (h, 0) donde
h>0 es:
Ecuación cartesiana de una cónica central que tiene su eje principal sobre el eje x y su
centro en el origen
,
Donde
, los focos son F
, las ecuaciones de la directriz:
.
Figura 24: ecuación de la elipse, a partir del valor de e
47
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA A PARTIR DE SU ECUACIÓN
A partir de la ecuación:
, se deduce despejando y
√
Podemos decir:
a) la
curva
consta
de
√
dos
ramas
dadas
por
las
funciones
√
b) la curva está definida solamente para valores de x comprendidos en el intervalo
c) la curva está definida solamente para valores de y comprendidos en el intervalo
d) Intersección con los ejes: cuando
se obtiene los puntos de intersección de la
curva con el eje y,
. cuando
se obtiene los puntos de
intersección de la curva con el eje x ,
.
e) Simetría: comparamos
;
y la ecuación no varia, entonces, la curva
es simétrica respecto a los ejes y al origen.
f) Tabla de valores : obteniendo las simetrías es suficientes dar valores a x entre
Teniendo en cuenta, que una ecuación de un lugar geométrico plano es una
ecuación de la forma
cuyas soluciones reales para valores
correspondientes de
son todas coordenadas de puntos que satisfacen la
condición geométrica dadas que definen el lugar geométrico.
De esta forma se puede obtener la curva representada por la ecuación
, donde el conjunto solución es
Figura 25: elipse en el plano cartesiano
48
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
DADO LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO HALLAR EL CONO DE
REVOLUCIÓN
A partir de la definición de elipse como, un conjunto de puntos de un plano tales que la
suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo se llama foco.
(ver Figura 25: elipse en el plano cartesiano)
Usando el teorema de Dandelin: “Todo plano tangente a una esfera inscrita en un cono
circular recto, determina en este una cónica, cuyo foco es el punto de tangencia y cuya
directriz es la intersección del plano tangente con el plano que contiene a la circunferencia
de contacto entre el cono y la esfera.”, podemos encontrar un cono circunscrito a una
esfera tangente en unos de sus focos.
Figura 26: La elipse en el espacio
Existen infinitos conos de revolución que contiene una elipse, dependiendo de las esferas
que se elijan, estas no puede tener radio cero, ni crecer indefinidamente.
En los conos de revolución que contienen una elipse dada, el lugar geométrico de sus
vértices es una hipérbola situada en un plano perpendicular al plano de la cónica que
contiene al eje y tiene por vértices los focos de la elipse y por focos los vértices de la elipse
.
49
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
LA ELIPSE DESDE EL ESPACIO AL PLANO
A continuación presentaremos algunos casos particulares de la elipse como sección
cónica, a partir de las ecuaciones de cono circular centrado en el origen del espacio, y un
plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices, con el fin de mostrar, la obtención
de la ecuación de la elipse a través de herramientas algebraicas y luego graficar la curva
representada por la ecuación.
La elipse como sección cónica se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna
generatriz.
La ecuación de una de las superficies cónicas en el espacio (ver Figura 27: superficie cónica),
es
en sistema tridimensional.
Figura 27: superficie cónica
La ecuación de un plano no paralelo a ninguna de las rectas generatrices es:
, La elipse se determina al intersectar el cono circular recto con el plano,
para obtener la ecuación resolvemos el siguiente sistema de ecuación.
⌋
Como
y
son mayores a cero la ecuación corresponde a una Elipse
50
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Ejemplo: Ecuación del cono:
cono :
, Ecuación de un plano que intersecta al
En forma gráfica
Figura 28: la elipse como una sección cónica
de forma analitica
Sistema de ecuaciones:
⌋
Ecuación de la elipse en el plano:
( Figura 29)
Figura 29: representación de la elipse en el plano
51
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
También se reportarán investigaciones en Didáctica de la Matemática que tengan relación
con nuestro objeto de investigación, ya sea, en el tema a estudiar o bien en que los
resultados obtenidos entregan información relevante para sustentar nuestra problemática.
A continuación se reportan dos investigaciones en Didáctica de la Matemática
relacionadas con nuestra problemática sobre el concepto elipse. Se describe la naturaleza
de la investigación, sus objetivos y resultados.
Contreras, Contreras & García (2002) realizan un estudio sintético – analítico de las
construcciones de la elipse , ofreciendo una propuesta integradora donde es posible
abordar la elipse desde una doble perspectiva. Su interés se produce al observar que en la
mayoría de los textos de Bachillerato se da, casi exclusivamente, un enfoque analítico a las
secciones cónicas. Si bien la propuesta está basada en el plano cartesiano, consideramos
que entrega referentes para la comprensión de la elipse como lugar geométrico
Del castillo (2004), propone un estudio de la elipse a través de distintas representaciones,
utilizando la teoría de Duval, aprovechando los ambientes de la calculadora simbólica
Voyage 200 de Texas instruments(Figura 30). Como recurso didáctico, partiendo del hecho
que la visualización dinámica puede favorecer los procesos de abstracción y
generalización.
Figura 30: la elipse, Texas instruments
Destacamos de la investigación, las formas que se proponen para construir la elipse como
lugar geométrico, donde la suma de los puntos de ella a dos puntos fijos (focos) es
constante, lo cual se puede evidenciar fácilmente utilizando software de geometría
dinámica.
52
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO III:
MARCO TEÓRICO:
LOS MODOS DE
PENSAMIENTO.
53
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
JUSTIFICACIÓN DEL MARCO TEÓRICO
Desde nuestros objetivos de investigación, realizamos la elección del marco teórico: los
modos de pensamiento propuestos por Anna Sierpinska (2000), porque nos provee de
elementos teóricos para describir la forma en que los estudiantes comprenden los objetos
matemáticos, en este caso, la elipse. También permite explicitar los enfoques (analíticos,
geométricos o estructurales) que priorizan los estudiantes al momento de desarrollar
distintas tareas y cuáles son las conexiones que logran establecer entre ellos. Aunque este
marco teórico nace y se desarrolla para dar respuestas a problemáticas propias del ámbito
del álgebra lineal, con nuestra investigación pretendemos abrir una vía de acceso de la
teoría al estudio de objetos de otros ámbitos de la matemática
DESCRIPCIÓN DEL MARCO TEÓRICO
Sierpinska (2000) distingue tres modos de pensamiento: uno que tiene que ver con el
pensamiento práctico (sintético-geométrico) y otros dos que tienen que ver con el
pensamiento teórico (analítico-aritmético y analítico-estructural). Según Sierpinska (2000)
el modo sintético-geométrico surge primero y de manera subsiguiente el analíticoaritmético y el analítico-estructural. “Se podría decir que el desarrollo del álgebra lineal es
en cierto sentido el resultado de una tensión entre los modos de razonamiento. Para la
enseñanza, la pregunta no es cuál modo de razonamiento vale más para fomentar en el
estudiante, sino cómo llevar a los estudiantes al uso flexible y consciente de ellos. Más que
ver los modos de razonamiento en el álgebra lineal como niveles en el desarrollo del
pensamiento algebraico, es preferible verlos como modos de pensamiento igualmente útiles
cada uno en su propio contexto y para propósitos específicos, principalmente cuando ellos
interactúan” (Sierpinska, 2000).
En relación a la elipse, consideramos que se puede abordar desde los tres modos de
pensamiento, propuesto por Sierpinska, aunque estos en la historia no aparecen en forma
secuencial, como sucede con el álgebra lineal.
Se origina en primer lugar un modo sintético geométrico, con la aparición de las
secciones cónicas, luego el modo analítico estructural con el desarrollo de propiedades,
que hoy permiten definirlas como un lugar geométrico, posteriormente a partir de ellas se
obtiene las ecuaciones que la definen. (Ver epistemología de la elipse)
En resumen en nuestro objeto de estudio surgen los modos SG-AE-AA, aunque uno no
reemplaza a los otros, si no son igualmente útiles al momento de comprender el objeto
matemático.
54
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Anna Sierpinska (2000) señala que los objetos matemáticos adquieren diferentes
significados al ser trabajados en diferentes modos de pensamiento, y al encontrarse
interactuando estos modos permite la comprensión de objeto.
Sierpinska, distingue tres modos de pensamiento:
Pensamiento Sintético-geométrico (SG): los objetos son descritos directamente por la
mente, la visualización matemática (en el sentido de Zimmermann y Cunningham, 1991)
que tenga el sujeto del objeto toma un rol fundamental en el entendimiento de dicho objeto.
Utiliza el lenguaje de las figuras geométricas, planos y líneas, intersecciones, así como sus
representaciones gráficas convencionales.
Ejemplo: En este modo, podemos pensar la elipse como una figura ovalada, simétrica,
plana o bien como la intersección de un cono y un plano (Figura 31)
Figura 31: SG de la elipse en el plano y el espacio
Modo Analítico-Aritmético (AA): los objetos se dan indirectamente, ellos se construyen
por la definición de sus elementos. Las figuras se entienden como conjuntos de n-adas de
números que satisfacen ciertas condiciones.
Ejemplo: En este modo, pensamos la elipse como:
“Conjunto de pares ordenados que satisfacen una ecuación”
Ecuación cartesiana de la elipse, con centro en el origen.
=1
donde
55
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Modo analítico-estructural (AE): sintetiza los elementos algebraicos de las
representaciones analíticas dentro de conjuntos estructurales. Es decir, son definidos por
una propiedad.
Ejemplo: En este modo pensamos la elipse como un lugar geométrico de todos los puntos
del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre
constante positiva (mayor que la distancia entre los focos). (Figura 32)
Figura 32: AE de la elipse en el plano
Respecto a la diferencia entre los modos de pensamiento analítico-aritmético y analíticoestructural, es que en el primero un objeto es definido por una fórmula que permite
calcularlo, en este caso la ecuación por otro lado, en el pensamiento analítico-estructural,
un objeto es mejor definido por un grupo de determinadas propiedades.
Consideramos, igualmente útiles estos tres modos de pensar la elipse (Figura 33) para
alcanzar la comprensión del objeto, principalmente cuando se complemente e interactúan.
Muchas veces necesitamos de técnicas sintéticas para resolver problemas analíticos. O bien
técnicas analíticas para dar respuesta a problemas geométricos, o de la definición de la
elipse para resolver problemas geométricos o analíticos. Aunque consideramos los 3
modos igualmente útiles para la comprensión del objeto, creemos que el modo AE de la
elipse es fundamental para el desarrollo de distintas tareas en otros ámbitos de la
matemática, como por ejemplo, cuando trabajamos con otras métricas.
Figura 33: Modos de pensar la elipse.
56
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TEÓRICO
1.- Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x)
igual a 10 unidades, donde uno de los focos de la elipse es el punto F’ (3,0). Determine
si el punto M (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta
Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede ubicar los puntos
dados en el plano cartesiano y establecer si la figura que se forma al unir los puntos tiene
una forma similar a la elipse que él conoce. También puede pensar en la opción en que
existan otras elipses con las mismas condiciones (coordenadas de los focos y longitud del
eje mayor) que pasen por otros puntos distintos a M en el eje y (ver Figura 34 y Figura 35)
Figura 34: elipse que pasa por el punto M
Figura 35: figura que no pasa por M
Los argumentos posibles desde el modo SG no son suficientes para responder
correctamente a la pregunta planteada.
Un estudiante que se sitúa en un modo Analítico –Aritmético puede responder en forma
correcta, utilizando argumentos como:
57
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Argumento 1: Puede recurrir a la relación algebraica
, donde a es la
longitud del semieje mayor, c es la semi distancia focal y b es la longitud del semieje
menor. Conociendo c = 3 y a = 5 reemplaza
, entonces b=4. Por lo tanto
concluirá que M (0,4) es un punto de la elipse, ya que, coincide con unos de los vértices.
Argumento 2: puede responder pensando en que si el punto M (0,4) pertenece a la elipse
debe satisfacer la ecuación
. Para ello determinaría los valores de a, b y c a
través del argumento anterior y reemplazando en la ecuación de la elipse con centro en el
origen y eje mayor sobre el eje x,
, una vez encontrada la ecuación puede
evaluar el punto M en ella, obteniendo la siguiente igualdad
.
- Un estudiante que coordine un modo SG con el modo AA puede graficar la elipse en el
plano y mostrar que el punto pertenece a la elipse, basándose en los cálculos de los
argumentos 1 y 2(ver Figura 36)
Figura 36: modo AA de la elipse
Un alumno desde un modo Analítico – Estructural piensa la elipse como un lugar
geométrico de los puntos del plano tales la suma de sus distancias a los focos es siempre
constante.
Coordinando el modo AE con el modo SG de la elipse, puede ubicar los elementos dados
en el plano cartesiano, para determinar la longitud de MF y MF’, para ello puede utilizar el
teorema de Pitágoras o bien la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. Obteniendo
MF + M F’=10. Luego puede determinar la distancia de unos de los puntos de los extremos
del eje mayor (ver Figura 37 ) a F y luego a F’ y sumarlas, como AF= 2 y AF’= 8, la suma
será 10 unidades. Por lo tanto puede concluir que el punto M pertenece a la elipse ya que
58
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
la suma de las distancias del punto a los focos es constante (igual a la longitud del eje
mayor).
Figura 37: modo AE de la elipse
2. Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ ( Figura 38 )
Figura 38: elipse en otras posiciones en el plano
Un estudiante desde un modo analítico – estructural, puede determinar el valor de la
constante de la elipse ( √ ) eligiendo un punto de coordenadas exactas y luego plantear la
59
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ecuación para un punto cualquiera de la elipse, utilizando la definición como lugar
geométrico a través de las distancia entre un punto P(x,y ) y los focos de coordenadas
(10,3) y (9,4) . Resultando una ecuación de la siguiente forma:
√
√
√
Un estudiante que está en vías de comprender el AE de la elipse, puede determinar el valor
de la suma de las distancias a los focos (constante) y tratar de determinar la ecuación solo
para casos particulares (coordenadas exactas). O bien tratar de establecer la ecuación
utilizando el valor de la constante y recurriendo a las ecuaciones que conoce. En este caso
muestra argumentos de los modos AA y AE pero no logra interacción entre ellos, ya que,
las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar respuesta al problema.
Un estudiante que se sitúa únicamente en un modo analítico aritmético, tratará de
establecer los valores de a, b y c para reemplazarlo en las ecuaciones que él conoce.
3.-Determine si la ecuación
corresponde a una elipse en el plano
cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos.
Los estudiantes que logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y luego
argumentar desde la propiedad que define la elipse como lugar geométrico, muestran
evidencias de tránsitos entre los modos AA- SG- AE de la elipse.
Ellos pueden graficar la elipse en el plano, utilizando técnicas analíticas para determinar los
puntos. Podrían justificar que la figura obtenida es una elipse, ya que, la suma de las
distancia a los focos es siempre 20 unidades (Figura 39)
Figura 39: la elipse en los modos AA-SG-AE
60
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Si los estudiantes grafican la elipse en el plano y justifican en base a la figura obtenida
logran transitar de un modo AA a un modo SG. Para la realización de la gráfica pueden
utilizar técnicas analíticas como: buscar pares ordenados que cumplan con la ecuación o
bien determinar los valores de los vértices de la elipse a partir de la relación pitagórica entre
los elementos a, b y c.
Los estudiantes que determina que la ecuación representa a una elipse argumentando a
partir de la forma de la ecuación se sitúan en un modo AA y no logran establecer
conexiones con los otros modos.
61
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO IV:
REFERENTES
METODOLÓGICOS
62
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
MARCO METODOLÓGICO
A partir de los objetivos específicos de investigación
1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes
que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento
educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus
distintas definiciones en el plano cartesiano.
2. Indagar en los elementos de la matemática9 que propician el tránsito entre las
definiciones de elipse como: sección cónica en el espacio/curva que la representa en
el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse y como lugar
geométrico.
3. Diseñar y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el tránsito entre los
modos de pensamiento (Sintético-Geométrico, Analítico-Aritmético, AnalíticoEstructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de álgebra y modelos
analíticos de un establecimiento educacional chileno.
Hemos considerado pertinente para los objetivos 1 y 3 utilizar un diseño metodológico
cualitativo de, estudio de caso, estos “son particularmente apropiados para estudiar una
situación en intensidad en un período de tiempo”, (Arnal, Del Rincón y Latorre, 1992). Los
estudios de caso no pretende establecer leyes generales, si no se centra en realidades
particulares de los sujetos, donde “el mundo personal de los sujetos no observable
directamente ni susceptible de experimentación… [Son estudiados] en su globalidad sin
fragmentarla y contextualizándola” (Arnal, Del Rincón y Latorre, 1992).
El tipo de conocimiento que deriva de esta estrategia metodológica, es de un tipo de
conocimiento conceptual, que sirve para comprender realidades concretas, dentro de un
contexto global. Estos estudios permiten aproximarse a la complejidad de los múltiples y
diferentes procesos que se desencadenan en el transcurso de una situación particular en
estudio. Enfatiza tanto en aquellos elementos comunes de los casos, como en aquellos
elementos diferenciadores que complejizan, diversifican y especifican cada una de las
diferentes experiencias estudiadas. Entendemos que “La investigación de estudio de caso
no es una investigación de muestras. No estudiamos un caso fundamentalmente para
comprender otros casos. Nuestra primera obligación es comprender el caso concreto”
(Stake 1995, pág. 4), pero si destacamos que estos son claves en la toma de decisiones.
Los estudios de casos utilizan técnicas cualitativas en la recolección de datos como:
Entrevista, observación, Cuestionarios, Análisis de documentos. Nos preocupamos, como
señala Stake (1995), de seleccionar aquel caso que ofrezca las mejores y mayores
oportunidades de aprendizaje con respecto a la problemática («issue») objeto de estudio
9
Conceptos matemáticos, nociones, propiedades.
63
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN
A continuación presentamos las etapas de investigación (tabla 1)
Etapa 1 : Estudio exploratorio
Diseño metodológico
Instrumento
Población
Estudio de caso
Cuestionario
10 estudiantes que aprobaron el
curso de álgebra y modelos
analíticos.
Etapa 2 : Análisis epistemológico y Matemático de la elipse
Revisión documental
Antecedentes epistemológicos y
Matemáticos
(revisión Bibliográfica )
Etapa 3 : diseño y aplicación de las actividades de aprendizaje del concepto elipse
Diseño Metodológico
Instrumento
Población
Estudio de caso
Cuestionario
Caso 1: 19 estudiantes que
conocen la elipse (4° Año
Medio )
Caso 2: 10 estudiantes que
desconocen la elipse (2°
Año Medio )
Caso 2: 11 estudiantes que
desconocen la elipse (3°
Año Medio )
Tabla 1: Etapas de Investigación
64
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: CUESTIONARIO
EXPLORATORIO
En relación al primer objetivo de investigación, realizaremos un estudio de caso, de tipo
exploratorio, estos nos permiten aproximarnos a fenómenos desconocidos, contribuyendo
con ideas que puedan documentar la problemática planteada. Con el fin de indagar en los
modos de pensamiento que privilegian estos estudiantes.
EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO
El cuestionario exploratorio se diseñó con el fin de indagar en los modos de comprender la
elipse que prevalecen en los estudiantes que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos
analíticos de un establecimiento educacional chileno, y explorar si estos modos permiten
movilizar la elipse en sus distintas definiciones en el plano cartesiano. Además nos permite
documentar nuestra problemática de investigación.
El instrumento (ver anexo 1) consta de cinco preguntas abiertas. Las dos primeras
preguntas del cuestionario se crearon con el objetivo de verificar si los estudiantes
reconocen la ecuación que define a la elipse, que es el objetivo que propone el programa de
estudio.
Las siguientes tres preguntas del cuestionario dan evidencias sobre la forma en que los
informantes comprenden la elipse.
LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO
Unidad de análisis: Grupo de 10 estudiantes de buen rendimiento10 de un establecimiento
educacional de dependencia compartida (particular subvencionado). Ellos aprobaron la
asignatura de álgebra y modelos analíticos (donde se trata la elipse). Actualmente (2012)
cursan cuarto año de enseñanza Media.
Este grupo de informantes pertenecen a un establecimiento educacional de la comuna de
Ovalle, dónde actualmente tiene acceso uno de los investigadores. Ellos accedieron
voluntariamente a ser partícipes de esta investigación.
SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: ANÁLISIS
DOCUMENTAL
En relación al segundo objetivo de investigación, indagamos de los elementos de la
matemática que permiten conectar las distintas definiciones de elipse y además ayudan
en su comprensión (ver capitulo II). Para ello realizaremos una revisión documental,
entendida como: “el proceso dinámico que consiste esencialmente en la recogida,
clasificación, recuperación y distribución de la información” Latorre, Rincón y Arnal
(2003, pág. 58). A partir del análisis realizado documentamos las posibles conexiones
entre las distintas definiciones de elipse (ver capitulo II, conexiones entre las distintas
definiciones de elipse).
10
Promedio sobre 5,0 de una escala de 1,0 a 7,0.
65
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
TERCERA ETAPA DE
INVESTIGACIÓN: DISEÑO
DE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL
CONCEPTO ELIPSE.
Para el tercer objetivo específico, diseñamos un conjunto de actividades con el fin de
documentar las articulaciones entre los tres modos SG–AA–AE de la elipse. Estas
actividades fueron construidas desde la teoría de los modos de pensamiento y utilizando
elementos encontrados en las indagaciones epistemológicas, matemáticas (Referidas al
segundo objetivo de investigación).
OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO

Indagar en los elementos11 que propician el tránsito entre los distintos modos de
comprender la elipse, y evidenciar la naturaleza de ellos, es decir, sus
características geométricas, analíticas o estructurales (si es pertinente).

Obtener evidencia empírica con sustento teórico para dar respuesta al objetivo
general de investigación.
DESCRIPCIÓN Y FUNDAMENTACIÓN DEL CUESTIONARIO
Esta secuencia de actividades(Ver anexo 3 ) presentadas en 18 preguntas fue diseñada
para aplicarlas tanto a estudiantes que han visto la elipse en cursos anteriores al año
2012, es decir, estudiantes que cumplen con el objetivo que propone el programa, este es,
identificar las ecuaciones que describen la elipse, y también para aquellos que se
introducen por primera vez en el estudio de este concepto. Se consideró pertinente
realizar modificaciones en algunas de las preguntas del cuestionario diseñado para el
primer caso, debido a que los conocimientos previos de los grupos son distintos. Estas
modificaciones se explican al finalizar el análisis a priori del guión del cuestionario inicial.
(Ver capítulo 6)
Las actividades diseñadas a lo largo de todo el cuestionario son en su mayoría distintas a
las presentadas en el programa de estudio y libros de geometría analítica, ya que buscamos
generar conflicto en los estudiantes en base a los conocimientos ya enseñados, para ver de
qué forma se enfrenta a las actividades y que conocimientos pone en juego a la hora de
responder. Es importante destacar que el tipo de actividades en este caso, “mostrar
ejemplos”, “mostrar definiciones”, “mostrar justificaciones” son situaciones que exhiben el
11
pueden ser: nociones, conceptos matemáticos, propiedades de los conceptos.
66
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
estado de comprensión del estudiante en torno al concepto elipse a medida que avanza en el
desarrollo del cuestionario.
La intención del cuestionario es indagar en las conexiones entre los modos de pensar la
elipse en el plano: sintético - geométrico, analítico- aritmético y analítico- estructural y
los modos sintético - geométrico y analítico estructural en el espacio que presentan los
estudiantes en distintos niveles (segundo, tercer y cuarto año de enseñanza media)
Para ello los estudiantes serán enfrentados a diversas situaciones que fueron diseñadas en
su totalidad para documentar las articulaciones entre los tres modos SG–AA–AE de la
elipse, que muestran a través de su argumentación a las distintas preguntas, y por sobre
todo indagar en el modo en que sitúa y como a partir de este va articulando con otros.
Consideramos importante dar prioridad al tránsito entre SG- AE de la elipse, debido a que
investigaciones anteriores han evidenciado que los estudiantes que logran establecer
mejores conexiones entre los modos de pensamiento son aquellos que presentan una
mayor comprensión de la definición formal de los conceptos. Entre relación a ellos Bozt y
Parraguez (2011) concluyen para sus objetos matemáticos de estudio “Cada vez que los
estudiantes lograron transitar entre los modos de pensamiento el argumento que se puede
observar tenía que ver con la definición formal del concepto tanto de dependencia e
independencia lineal de vectores como de solución de un sistema de ecuaciones lineales”
(p.12)
Ochoviet y Oktac (2009) en relación al estudio del concepto solución de ecuaciones
lineales en estudiantes de entre 14 y 15 años sugieren “presentar a los estudiantes
situaciones que involucren sistemas con diferente número de ecuaciones y que tengan
diferente conjunto solución, situaciones en las que el alumno deba explicar por qué tal o
cual punto (par) es solución del sistema o por qué tal o cual punto (par) no lo es” (p.268)
LOS CASOS EN ESTUDIO
Utilizaremos la metodología de estudio de caso múltiple. Nuestra participación como
investigadores es moderada, ya que, somos los encargados de la toma de datos y además
responderemos algunas dudas que puedan surgir durante el desarrollo del cuestionario.
67
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Unidades de análisis
CASO 1: El primer grupo de 19 estudiantes aprobaron el curso de álgebra y modelos
analíticos (tercer año medio plan científico) y actualmente cursan cuarto año medio. Estos
estudiantes han trabajado la elipse, dando prioridad a las ecuaciones que las describen, por
lo tanto, queremos indagar en las conexiones entre los modos de pensar la elipse que
realizan los estudiantes con los conceptos que logran comprender en el desarrollo del
cuestionario y los conocimientos previos. Además 10 de estos estudiantes participaron en
el cuestionario exploratorio, priorizando argumentos analíticos al enfrentarse a las
preguntas. Por lo tanto, indagaremos en los modos de pensamiento que priorizan estos
estudiantes para responder a las preguntas planteadas.
CASO 2: El tercer grupo de estudiantes (10 estudiantes) son estudiantes de segundo año
medio, los cuales, desconocen el concepto elipse y además presentan menos herramientas
matemáticas en comparación a los demás grupos. En este último grupo se seleccionaron los
10 estudiantes que presentan mejores calificaciones en la asignatura de matemática, debido
a que, son aquellos que presentan mayores posibilidades de pertenecer al plan científico en
los años posteriores. Elegimos estos estudiantes porque consideramos importante
evidenciar cuales son las conexiones posibles entre los modos de comprender la elipse, que
logran realizar los estudiantes a medida que avancen en el desarrollo de las actividades y
cuáles son los elementos de la matemática que ponen en juego.
CASO 3: El segundo grupo de 11 estudiantes, cursan la asignatura de álgebra y modelos
analíticos (tercer año medio), pero aún no han trabajado en los temas relativos a lugares
geométricos, por lo tanto, desconocen la elipse. Elegimos estos estudiantes al igual que el
caso 2 consideramos importante evidenciar cuales son las conexiones posibles entre los
modos de comprender la elipse, que logran realizar los informantes a medida que avancen
en el desarrollo de las actividades. Con los conocimientos matemáticos que tienen hasta el
momento.
Los casos 1 y 3 corresponden a la totalidad de alumnos del plan científico de un
establecimiento educacional de la comuna de Ovalle, dónde actualmente tiene acceso uno
de los investigadores. Todos los informantes accedieron voluntariamente a ser partícipes
de esta investigación.
VALIDACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS
Los cuestionarios aplicados a los estudiantes fueron sometidos a diversas instancias de
co-evaluación por un grupo de didactas que ha realizado investigaciones utilizando el
marco teórico de los modos de pensamiento.
68
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO V:
ANÁLISIS A PRIORI
Y RESULTADOS DE
CUESTIONARIO
EXPLORATORIO
69
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANÁLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO
1.- A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R.
Explica cual o cuales de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la
respuesta.
Esta pregunta tiene por objetivo, verificar si los estudiantes identifican las ecuaciones que
describen la elipse. Los estudiantes para responder se pueden situar en los modos:
Analítico – aritmético: puede dar argumentos de acuerdo a la forma de la ecuación.
Sintético – geométrico: puede graficar puntos que satisfacen la ecuación y verificar que la
figura que se forma es una elipse.
Analítico – estructural: los estudiantes puede determinar algunos puntos de la figura y
verificar si la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante.
2.- Determine la ecuación de la elipse de la figura 1. Explique en detalles el
procedimiento que ha realizado.
Figura 1
Con esta pregunta se espera verificar si los estudiantes reconocen la ecuación cartesiana de
la elipse con centro en el origen. Un estudiante que se puede situar en un modo:
Analítico – Aritmético: Utilizando la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje
mayor sobre el eje y, como a=6
y b=3√3 y reemplazará en la ecuación
,
resultando:
Analítico – Estructural: puede tomar un punto cualquiera de elipse P (x,y) y utilizando la
definición de la elipse como lugar geométrico puede pensar que , : d(PF)+d(PF’) = 2a.
como conoce las coordenadas de los focos y la medida de a (6 unidades ) puede plantear la
70
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
siguiente ecuación : √
√
y al desarrollar
los cálculos puede llegar a la ecuación :
3) Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x)
igual a 10 unidades, donde uno de los focos es el punto (3,0). Determine si el punto
(0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta.
Un estudiante puede situarse en los modos:
Sintético – geométrico: puede ubicar los puntos dados en el plano cartesiano y establecer si
la figura que se forma al unir los puntos tiene una forma similar a la elipse que él conoce.
También puede pensar en la opción en que existan otras elipses con las mismas
condiciones (coordenadas de los focos y longitud del eje mayor) que pasen por otros puntos
distintos a M en el eje.
Analítico –Aritmético: puede responder en forma correcta, utilizando argumentos como:
Argumento 1: Puede recurrir a la relación algebraica entre los elementos a, b y c, donde a
es la longitud del semieje mayor, c es la semi distancia focal y b es la longitud del semieje
menor. Obteniendo b=4. Por lo tanto concluirá que M (0,4) es un punto de la elipse, ya
que, coincide con unos de los vértices.
Argumento 2: puede responder pensando en que si el punto M (0,4) pertenece a la elipse
debe satisfacer la ecuación
. Para ello determinaría los valores de a, b y c a
través del argumento anterior y reemplazando en la ecuación de la elipse con centro en el
origen y eje mayor sobre el eje x, una vez encontrada la ecuación puede evaluar el punto M
en ella, obteniendo la siguiente igualdad
.
Modo Analítico – Estructural: puede pensar la elipse como un lugar geométrico de los
puntos del plano tales la suma de sus distancias a los focos es siempre constante.
Coordinando el modo AE con el modo SG de la elipse, puede ubicar los elementos dados
en el plano cartesiano, para determinar la longitud de MF y MF’, para ello puede utilizar el
teorema de Pitágoras o bien la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. Obteniendo
MF + M F’=10. Luego puede determinar la distancia de unos de los puntos de los extremos
del eje mayor (ver figura 4) a F y luego a F’ y sumarlas, como AF= 2 y AF’= 8, la suma
será 10 unidades. Por lo tanto puede concluir que el punto M pertenece a la elipse ya que
la suma de las distancias del punto a los focos es constante (igual a la longitud del eje
mayor).
71
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
4) En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del eje
menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P (
√
) de la elipse a un foco mide
11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta.
Los estudiantes pueden responder desde un modo:
Analítico – aritmético: a partir de los datos dados obtenemos a= 10, b=6 a través de la
relación
entonces c=8. Las coordenadas del otro foco es (-8,0). Luego
calculamos la distancia de P al otro foco.
La distancia de P al otro foco es 11.
Analítico – estructural: Utilizando la definición como lugar geométrico y conociendo la
medida del eje mayor. Puede obtener que: como la distancia de P a un foco es 11, por lo
tanto, la distancia de P al otro foco es 9.
Sintético – Geométrico: puede dibujar la elipse en el plano cartesiano y estimar la medida
del segmento PF.
5.- En la Figura 3, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos F y
F’.
Figura 3
Un estudiante puede responder desde un:
Modo analítico – aritmético: realizaran la suma de (9+7) obteniendo 16 cm y luego podrán
determinar que la medida de BF+BF’ o bien AF+AF’ es igual a la longitud del eje mayor
(AB), por lo tanto, la medida de AB es 16 cm.
Sintético – geométrico: para responder trataran de estimar la medida de AB, en relación a
las medidas conocidas.
72
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
IMPLEMENTACIÓN DE LA SITUACIÓN
La situación que se implementó en la investigación corresponde a la aplicación de un
cuestionario a 10 estudiantes de un establecimiento educacional de dependencia
compartida (particulares subvencionados), chilenos, estudiantes que aprobaron el curso de
álgebra y modelos analíticos.
Toma de datos
La toma de datos consistió en la aplicación del cuestionario a principio de abril, el cual
respondió cada uno de los 10 estudiantes que conforman el grupo exploratorio de manera
individual, en 90 minutos aproximadamente.
ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO
Aplicamos un cuestionario exploratorio a 10 estudiantes de buen rendimiento12 que
aprobaron el curso de Álgebra y Modelos Analíticos. Llamamos a los informantes de este
grupo exploratorio como I1, I2, I3, I4……..I10.
A continuación se presenta el análisis a posteriori de las preguntas del cuestionario.
Pregunta 1: A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R.
Explica cuál o cuáles de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la
respuesta.
Resultados de la pregunta 1
7 de los estudiantes se sitúan en un modo AA para responder, estableciendo cuál de las
ecuaciones corresponde a elipse por la forma de la ecuación. Los demás estudiantes se
sitúan en un modo SG realizando la gráfica de la elipse. A continuación se muestran
ejemplos de respuestas
12
Calificaciones superiores o iguales a 5,0 en una escala de 1,0 a 7,0.
73
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El informante I7, se sitúa en un modo SG para responder, ya que, concluye a partir de la
gráfica. Para establecer la gráfica se basa en la relación de los elementos de a, b y c.
Figura 40: Respuesta del informante 7
El estudiante I6 argumenta desde un modo AA, cuando escribe “entonces la ecuación
cumple con la ecuación de la elipse” además determina los valores de a y b.
Figura 41: respuesta del informante 6
El estudiante I8, en la ecuación b) se sitúa en un modo AA, claramente reconoce las
ecuaciones que describen la elipse y la hipérbola
Figura 42: respuesta del informante 8
74
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante I5, también se sitúa en un modo AA, determinando que la ecuación “no
corresponde a una elipse, según su fórmula que es…...”
Figura 43: respuesta del estudiante 5
Pregunta 2: Determine la ecuación de la elipse de la figura1. Explique en detalles el
procedimiento que ha realizado.
Figura 1
Resultados de la pregunta 2
Los estudiantes I1, I3, I4, I5, I6, I7, I9, I10. Se sitúan en el modo Analítico – Aritmético,
identifican los valores de a y b en la gráfica y luego reemplazan en la ecuación.
A continuación se muestra solo un ejemplo, debido a que
respuestas similares.
los estudiantes presentan
75
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 44: respuesta del informante 4
Los estudiantes I2, I8 se sitúan en un modo AA, pero responden en forma errónea
confundiendo la forma de la ecuación con respecto a los valores de a y b. Como se muestra
a continuación:
Figura 45: respuesta del informante 8
Pregunta 3: Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje
x) igual a 10 unidades, donde uno de los focos de la elipse es el punto F’ (3,0). Determine
si el punto M (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta
Resultados de la pregunta 3
Los estudiantes I2, I3, I4, I6, I7, I8, I9, I10 abordan la pregunta desde un modo Analítico
–Aritmético.
Los I3, I7, I9, I10 responden en forma correcta determinando el valor de b a partir de la
relación algebraica entre a, b y c. A continuación mostramos la respuesta de uno de los
estudiantes.
Figura 46 : respuesta del informante 3
76
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante I8 muestra en sus desarrollos(Figura 47) elementos que evidencian la
interaccion entre los modos SG y AA de la elipse en relacion a los valores de a , b y c .
Figura 47 : respuesta del informante 8
El I4 muestra evidencias de un modo analítico- aritmético al escribir” si reemplazamos el
punto en la ecuación cumple la igualdad”. También tiene en mente una relación para a, b y
c pero plantea en forma incorrecta. Sus argumentos muestran algunos elementos de AA y
de SG pero no son suficientes para establecer una respuesta.
Figura 48 : respuesta del informante 4
El I6 realiza cálculos relacionados con la ecuación, sin establecer una respuesta.
77
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Pregunta 4: En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del
eje menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P (
√
) de la elipse a un foco
mide 11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta.
Respuesta de la pregunta 4
En esta pregunta la mayoría de los estudiantes (7 ) aborda la pregunta desde un modo AA,
uno de ellos se sitúa en un modo SG y los otros 2 no responden.
El informante I7, se sitúa en un modo AA para responder, utiliza la relación entre los
valores de a , b y c para obtener las coordenadas de los focos , realiza la gráfica de la
elipse(SG), luego utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano,
determina la distancia del punto P a uno de los focos , obteniendo un valor cercano a 9. El
estudiante no comprende que significa “que el punto este en la elipse” al parecer piensa
que está en el interior.
Figura 49: respuesta del informante 7
El informante I9, responde desde un modo AA, encuentra las coordenadas de los focos y
complementa con el modo SG determinando su gráfica, al igual que el informante 7
muestra en sus argumentos dificultades para ubicar el punto P. lo ubica en el interior de la
figura. A través de procedimientos algebraicos, obtiene la distancia de P a unos de los
focos, el valor se aproxima a 9.
78
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 50: respuesta del informante 9
Pregunta 5: En la Figura 2, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos
F y F’.
Figura 2
Resultados de la pregunta 5
Los estudiantes I1, I3, I10 no responden.
Los estudiantes I2, I6, I7 se sitúan en un modo SG para responder, suponen que el
triángulo que se forma es rectángulo en P, uno de ellos (Figura 52) argumenta desde el
teorema de la circunferencia (todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto) y los
demás se guían por la representación usual de un triángulo rectángulo (Figura 47).
79
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 51 : respuesta del informante 7
Figura 52: Respuesta del informante 6
El I4 argumenta que no se puede determinar la longitud pedida, por falta de datos.
Esto evidencia que los estudiantes I1, I2 I3, I6, I7, I10 no se sitúan en un modo AE para
enfrentar la pregunta.
Los estudiantes I5, I8, I9 argumentan “que la suma es constante igual a 21” (ver Figura
53) pero no lo relacionan con la longitud del eje mayor. Muestran evidencias de estar en
vías de comprender el modo AE de la elipse.
Figura 53 : respuesta del informante 8
Ninguno de los estudiantes logra responder correctamente la pregunta.
80
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CONCLUSIONES EN RELACIÓN AL PRIMER OBJETIVO DE
INVESTIGACIÓN
La mayoría de los estudiantes del caso 1 logran identificar la ecuación de la elipse con el
centro en el origen, reconocen la expresión algebraica que la describe, cumpliendo con los
objetivos que propone el programa en relación al concepto.
La mayoría de estos estudiantes muestran en sus argumentos evidencias del tránsito entre
los modos SG y AA de la elipse, es decir, son capaces de graficar la elipse dada la
ecuación o bien obtener la ecuación a partir de la gráfica (conociendo focos y vértices).
Los mismos estudiantes presentan grandes dificultades para pensar el concepto en un modo
analítico - estructural. Esto queda en evidencia, por los argumentos que priorizan los
estudiantes en las preguntas 4 y 5, Al parecer para ellos la elipse está definida por una
ecuación y no por una propiedad geométrica. Si bien tres de los estudiantes muestran en la
pregunta 5, indicios de conocer el AE de la elipse no logran establecer conexiones entre los
modos SG y AE. Las estrategias que muestran los estudiantes corresponden a los modos
AA o SG de la elipse, por lo tanto, en algunos casos (pregunta 5) no son suficientes para
dar una respuesta.
Evidenciamos también que los estudiantes no comprenden la elipse como un conjunto de
puntos, si no, más bien como una figura. En la pregunta 4 la mayoría de los estudiantes no
saben dónde ubicar el punto P, aunque dice claramente en el planteamiento del problema
que P es un punto de la elipse.
En conclusión, la noción de elipse que construyen estos estudiantes del plan científico
tercer año medio de la asignatura algebra y modelos analíticos permite movilizar la elipse
entre su gráfica (dado algunos elementos) y las ecuaciones cartesianas que la definen.
Utilizando elementos en su mayoría analíticos, como: las ecuaciones con centro en el
origen, la forma de la ecuación, la relación entre los valores a, b y c, la fórmula de
distancia entre dos puntos del plano, entre otros.
A partir de estos resultados donde evidenciamos que el enfoque tradicional en estos
estudiantes no permite una comprensión profunda del concepto, consideramos pertinente
promover la enseñanza del concepto elipse a partir de la interacción entre los distintos
modos de comprender la elipse.
81
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO VI:
INTENCIÓN Y
ANÁLISIS A
PRIORI DE LA
SECUENCIA DE
APRENDIZAJE.
82
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
INDICADORES A PRIORI DE TRÁNSITO ENTRE LOS MODOS DE
COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO
Los estudiantes que muestran en sus argumentos comprender la elipse en un modo sintético
– geométrico y Analítico – estructural e interactuar entre ellos, son capaces de: establecer
una definición (AE) de la elipse donde determinan la característica que presentan sus
puntos en relación a los focos, a partir de la representación gráfica (SG1) de la elipse, ya
sea en el plano del taxista o en el plano cartesiano. Y una vez comprendida la definición la
pueden graficar sin problemas.
Los estudiantes que muestran en sus argumentos comprender la elipse en un modo sintético
– geométrico, Analítico -estructural y analítico – aritmético e interactuar entre ellos, son
capaces de: a partir de la representación de la elipse en el plano (SG1), determinar la
propiedad que la define (AE) y utilizar esta propiedad para establecer las ecuaciones (AA),
independiente del centro que estas posean, solamente conociendo los focos y algún punto
de ella. También deberían ser capaces conociendo la ecuación (AA), graficar la elipse
(SG1) y determinar el valor de la constante de la suma de los puntos de la elipse a los
focos (AE). Del mismo modo, comprendiendo la definición de elipse en el plano (AE),
deberán encontrar la ecuación (AA) y su representación gráfica (SG1).
SG1: Representación de la elipse en el plano
AA: Ecuación de la elipse en el plano
AE: la elipse como lugar geométrico de todos
los puntos del plano talque la suma de sus
distancias a los focos es constante (mayor que la
distancia entre los focos).
Figura 54 : Modos de comprender la elipse en el plano.
Los estudiantes que muestran en sus argumentos comprender la elipse en un modo sintético
– geométrico y Analítico – estructural e interactuar entre ellos en el espacio, son capaces
de: Una vez conocida la representación de la elipse en el plano (SG1), establecer todas
las posiciones de los planos que generan la elipse, al intersecar un plano y un cono (SG2)
en el espacio. y a partir de la elipse que se establece en los cortes del cono(SG2), deberán
identificar si cumplen las propiedades que la definen (AE).
SG1: representación de la elipse en el plano
SG2: representación de la elipse en el espacio
Figura 55: modos de comprender la elipse
desde el plano al espacio
AE: la elipse como lugar geométrico de todos los
puntos del plano talque la suma de sus distancias a los
focos es constante. (mayor que la distancia entre los
focos).
83
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
DESCRIPCIÓN GENERAL E INTENSIÓN DE LAS ACTIVIDADES
La primera pregunta del cuestionario (ver anexo 3) tiene por objetivo explorar el SG del
estudiante, esto permite evidenciar la representación asociada al concepto en estudio que
posee el estudiante al momento de realizar el cuestionario, información importante en el
análisis de las posibles conexiones entre los modos de comprender la elipse, que realizan
los informantes que tienen una representación asociada y los que no cuentan con ella.
La primera de las actividades es presentada en la geometría del taxista, llamamos
“Geocity” a una ciudad ficticia en donde los taxistas recorren la ciudad transitando por las
calles paralelas llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son
perpendiculares a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo
les permite detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y
siempre utilizan los recorridos más cortos posibles. Elegimos esta actividad para iniciar a
los aprendices en el estudio del concepto elipse, por que, la distancia discreta facilita la
comprensión de la propiedad que define a la elipse (AE).
En esta situación se presenta una serie de preguntas que pretenden en el estudiante
propiciar el tránsito entre los modo sintético geométrico y analítico estructural de la
elipse.
Las actividades a, b, c, d se diseñaron con el fin de “familiarizar” al estudiante con los
elementos propios de la geometría del taxista: cuadras para medir la distancia entre dos
puntos, una cantidad finita de calles y avenidas, distancia discreta (no continua), entre
otros.
Las actividades e, f, g, h muestran los posibles tránsitos que realiza el estudiante entre los
modos SG –AE y AE-SG de la elipse en “geocity”.
La segunda actividad tiene por objetivo evidenciar los tránsitos que realizan los
estudiantes entre los modos sintético geométrico, analítico estructural y analítico aritmético
de la elipse en el plano cartesiano, para ello diseñamos una serie de preguntas en donde se
dispone de elipse en distintas posiciones en el plano, en algunas de ellas se han realizado
rotaciones y traslaciones de elipse con centro en el origen, para ver a que modo de
pensamiento recurre el estudiante al enfrentar las preguntas.
En la tercera actividad, las dos primeras preguntas tienen por objetivo dar a conocer que
modo priorizan los estudiantes cuando estas son planteadas en un modo AA y en un modo
SG. Más bien, queremos evidenciar si recurren a un modo AE o siguen recurriendo a las
ecuaciones que es a lo que están acostumbrados. Las siguientes cuatro preguntas muestran
los argumentos que utilizan los estudiante en el tránsito de SG1-SG2-AE del plano al
espacio. Para ello planteamos dos actividades en donde puedan determinar las posiciones
de los planos que generan la elipse al intersecar el plano y el cono. Posterior a ello
84
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
presentamos una animación en cabrí, software de geometría dinámica, donde se muestra la
elipse con las esferas que se pueden inscribir en el cono, esferas tangentes al plano y donde
sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. La intención es evidenciar
la naturaleza de los argumentos que presentan los estudiantes para justificar que la figura
que se forma es una elipse y cuales son los elementos de la matemática que pone en el
juego al momento de dar sus justificaciones.
ANÁLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO
En cada una de las actividades propuestas en el cuestionario, se dan a conocer las posibles
respuestas, clasificándolas de acuerdo a los modos de pensamiento en que sitúan los
estudiantes para dar sus argumentos.
1.- ¿Qué es lo primero que imaginas cuando escuchas la palabra elipse? Apóyate en
dibujos para responder.
El objetivo de esta pregunta es explorar el modo sintético geométrico de la elipse que posee
el informante. Se espera que los estudiantes puedan dar las siguientes respuestas:
R1: Representación de la elipse en el plano (Figura 56)
Figura 56: representación de la elipse en el plano (SG1)
R2: Representación de la elipse en el espacio (Figura 57
Figura 57: Representación de la elipse en el espacio (SG2)
R3: no tiene ninguna representación asociada a la elipse.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ACTIVIDAD 1:
1.- Los taxistas de “Geocity” recorren su ciudad transitando por las calles paralelas
llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares
a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite
detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y
siempre utilizan los recorridos más cortos posibles.
Un taxista de “Geocity” recorre desde la esquina A hasta la esquina B. (ver figura
Figura 1
a)
Marca en la figura 1 los posibles recorridos que realiza el taxista.
Se espera que el estudiante marque en la figura 1:
R1: los caminos más cortos posibles entre A y B, se estrategias de los estudiantes se
podrían diferenciar entre: los estudiantes que se sitúan en un modo un SG, marcaran los
recorridos mas cortos dando respuestas como las que se presentan a continuación:
Figura 58: Recorridos más cortos entre desde A a B.
Otra estrategia que pueden utilizar los estudiantes, situándose en un modo analítico.
Pensaran en las posibles combinaciones de calles y avenidas para llegar de A a B. por
ejemplo: CCAAA, AAACC, ACACC, AACCA, etc .
86
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
R2: Estudiantes que establecen recorridos deteniéndose en las esquinas, pero muestran no
solo aquellos que son mas cortos (Figura 59).
Figura 59: Ejemplos de recorridos entre A y B
R3: estudiantes que establecen recorridos utilizando la distancia usual.
Figura 60: distancia usual
b)
Determine la distancia recorrida por el taxista en “cuadras”.
Se espera que el estudiante responda:
R1: 5 cuadras
R2: otras
En geometría decimos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que
están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. A
esa distancia se le conoce como radio.
c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3.
d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”.
En c y d, clasificamos las posibles respuestas de los estudiantes en:
R1: Un estudiante que logra transitar de la definición de circunferencia (AE) a la gráfica de
la circunferencia (SG) en la geometría del taxista dibujará circunferencias como la
siguiente:
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 61: circunferencia en la geometría del taxista
R2: Un estudiante que no logra comprender la noción de distancia en la geometría del
taxista, recurrirá a su representación usual de la circunferencia y las graficará como sigue:
Figura 62: circunferencia de radio 3 con la distancia usual
R3: grafica otros puntos al azar.
e) Las figuras 2, Figura 3, figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos F
y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de
la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.
Figura 2
Figura 3
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 4
Se espera que los estudiantes puedan pensar la elipse como un conjunto de puntos que
cumplen una cierta condición. La distancia discreta facilita la comprensión de la propiedad
que tienen los puntos de las elipses en relación a los focos en el hecho de que se puedan
contar las cuadras.
Las respuestas permitan evidenciar si los estudiantes a través de los elementos en juego
(distancia, lo discreto, regularidades) pueden transitar desde un modo sintético
geométrico a un modo analítico – estructural.
Considerando los posibles argumentos clasificamos las respuestas de la siguiente forma:
R1:Estudiantes que establecen que la suma de las distancias de los puntos de una elipse a
los focos es siempre constante, determinado la medida de la suma correctamente en todas
las figuras dadas. Muestra evidencias del AE de la elipse
R2: Estudiantes que establecen que la sumas de las distancias de los puntos en relación a
los focos es constante, solo en algunas de las figuras. Muestran que esta en vías de
comprender un modo AE de la elipse.
R3: Si el estudiante observa otras regularidades presente en cada una de las figuras, como:
simetrías respecto a un punto o a una recta. Este se sitúa en un modo SG para responder.
f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”.
Ésta actividad evidencia el tránsito de un modo AE de la elipse a partir de la actividad
anterior (e) a un modo SG de la elipse. Las posibles respuestas las podríamos clasificar
en:
R1: Estudiantes que manifiestan descriptores de tránsito de un modo AE a un modo SG,
es decir, dibujar un conjunto de puntos de “geocity” tal que la suma de los puntos a los
focos sea constante.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
R2: Estudiantes que logran establecer algunos puntos específicos que dan cuentan de la
condición “la suma de la distancia de los puntos a los focos es constante” están en vías de
comprender el concepto elipse desde un modo AE. Estos estudiantes no logran comprender
la elipse como un conjunto de puntos.
R3: Estudiantes grafican figuras similares a las presentadas en las actividad anterior. Ellos
se sitúan en un modo SG para responder.
g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.
Las posibles respuestas las clasificamos en:
R1: Estudiantes que logran transitar de SG- AE de la elipse definiéndola como un conjunto
de puntos de “geocity” tal que la suma de las distancias de los puntos a los focos es
constante.
R2: Estudiantes que están en vías de comprender el AE de la elipse, en su definición dan
cuentan sólo de la condición “la suma de las distancias de los puntos a los focos es
constante”.
R3: los Estudiantes que describen características geométricas (como simetrías, etc) de las
elipses. Ellos se sitúan en un modo sintético – geométrico para responder a la pregunta.
f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity” .
Figura 6
Figura 7
Ésta pregunta permite evidenciar si los estudiantes transitan desde un modo SG a un modo
AE de la elipse. Las posibles respuestas se clasifican en:
R1: Los estudiantes que se sitúan en un modo AE, responderán que la figura 6 no es una
elipse, por que hay puntos que no cumplen la condición “la suma de las distancias de los
puntos a los focos es constante”. En cambio en la figura 7 todos los puntos cumplen.
R2: Los estudiantes que prueban solo para algunos puntos de la elipse, significa que están
en vías de construcción de un modo AE de la elipse, ya que, entienden la elipse como
puntos que cumplen una condición.
R3: Estudiantes que responden argumentado desde las características” observables” de la
elipse, es decir, se sitúan en SG para contestar.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ACTIVIDAD 2
1) Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F
y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la
elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos
puntos de la elipse.
Figura 8
Figura 10
Figura 9
Figura 11
Esta actividad busca que los estudiantes puedan identificar la propiedad que define la
elipse en el plano cartesiano. Para ello presentamos elipses en distintas posiciones, en
cada una de las figuras se dan algunas coordenadas exactas, con el fin de facilitar el
cálculo de las distancias. Los conceptos matemáticos en juego son: distancia entre dos
puntos del plano (fórmula o bien teorema de Pitágoras), plano cartesiano.
Las respuestas permiten evidenciar el tránsito de los estudiantes de un modo sintético
geométrico a un modo analítico – estructural. Considerando los posibles argumentos
clasificamos las respuestas de la siguiente forma:
R1: Estudiantes que establecen que la suma de las distancias de los puntos de una
elipse a los focos es siempre constante, determinado la medida de la suma
correctamente en todas las figuras dadas. Logra comprender el AE de la elipse en el
plano cartesiano.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
R2: Estudiantes que establecen que la sumas de distancias de los puntos en relación a
los focos es constante, solo en algunas de las figuras. Esta en vías de comprender un
modo AE de la elipse.
R3: Estudiantes que observa otras regularidades presente en cada una de las figuras. No
logran transitar al AE de la elipse, puede pensar la elipse solo en SG.
2.-Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano
Las respuestas las clasificamos en:
R1: Estudiantes que logran transitar de SG- AE de la elipse definiéndola como un conjunto
de puntos del plano cartesiano tal que la suma de las distancias de los puntos a los focos es
constante.
R2: Estudiantes que están en vías de construir el AE, en su definición dan cuentan sólo de
la condición “la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante”.
R3: Los estudiantes que describen características geométricas (como simetrías, etc) de las
elipse dadas se sitúan en un modo sintético – geométrico.
3.-En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de focos F y F’.
Figura 12
En esta actividad se presenta una elipse en el plano cartesiano con centro distinto al origen,
que es donde los estudiantes han trabajado. Además a la elipse se le ha realizado una
rotación y en relación a los puntos A y B no se conocen exactamente las coordenadas.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Se espera que los estudiantes puedan responder a una pregunta planteada situándose en un
modo AE. Para ello deberán identificar las coordenadas de al menos un punto de la elipse y
determinar la suma de las distancias del punto a los focos.
Por lo tanto clasificamos la respuesta en:
R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE de la elipse para responder, buscan un punto
de la elipse y determina la suma de las distancias del punto a los focos y luego lo relacionan
con la longitud del eje mayor.
R2: Estudiantes que tratan de determinar el valor de AB, utilizando estrategias de un modo
SG, como: estimar la medida de AB, estimar las coordenadas y luego calcular la distancia.
4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación
que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos, justificando cada uno
de ellos.
Figura 13
En esta pregunta pretende mostrar los modos de pensamiento que privilegian los
estudiantes, cuando se enfrentan a preguntas relacionadas con las ecuaciones.
R1: El estudiante identifica la definición de la elipse como lugar geométrico como unos de
los argumentos para determinar la ecuación. Éste tipo de respuesta muestra evidencias del
tránsito SG – AE – AA de la elipse.
R2: El estudiante argumenta desde un modo analítico – aritmético, reemplazando los
valores de a y b en la ecuación de la elipse con centro en el origen. Este estudiante
establece conexiones entre los modos SG- AA de la elipse.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
R3: El estudiante que identifica algunas relaciones algebraicas entre los valores de a,b y c,
pero no logra establecer la ecuación pedida. Muestra argumentos del modo AA que en este
caso no son suficiente para encontrar la ecuación.
5.- Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ (figura 14)
Figura 14
Esta actividad busca evidenciar el o los modos de pensamiento a los cuales recurren
los estudiantes cuando se enfrentan a preguntas relativas a las ecuaciones.
Clasificamos las respuestas, considerando los siguientes argumentos
R1: Si para establecer la ecuación los estudiantes se sitúan en un modo analíticoestructural, elegirán un punto de coordenadas exactas para determinar la constante de la
elipse. Y luego plantearán la ecuación para un punto P(x,y) de la elipse utilizando la
fórmula de la distancia entre dos puntos del plano.
R2: Si los estudiantes logran determinar el valor de la suma de las distancias de los puntos
a los focos (constante) y trata de determinar la ecuación solo para casos particulares
(coordenadas exactas) ,muestra elementos del AE pero no logra transitar a AA.
R3: si los estudiantes determinan la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los
focos (constante). y trata de establecer la ecuación recurriendo a las ecuaciones que conoce,
muestra elementos de AE y AA pero no logra coordinarlos , ya que , no se da cuenta que
las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar respuesta a la pregunta.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
R4: si el estudiante para responder se sitúa solo en un modo analítico aritmético, tratará de
establecer los valores de a, b y c para reemplazarlo en las ecuaciones que el conoce. Este
estudiante no se da cuenta que las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar
respuesta a la pregunta.
ACTIVIDAD 3
1.-Determine si la ecuación
corresponde a una elipse en el plano
cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos.
Esta pregunta es planteada en un modo AA, por lo tanto, queremos descubrir en que
modos de pensamiento se sitúan los estudiantes para argumentar:
R1: Los estudiantes que logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y
luego argumentar desde la propiedad que define la elipse como lugar geométrico, muestran
evidencias de tránsitos entre los modos AA- SG-AE de la elipse.
Ellos pueden graficar la elipse en el plano, utilizando técnicas analíticas para determinar los
puntos. Podrían justificar que la figura obtenida es una elipse, ya que, la suma de las
distancia a los focos es siempre 20 unidades.
R2: Los estudiantes que grafican la elipse en el plano y justifican en base a la figura
obtenida logran transitar de un modo AA a un modo SG. Para la realización de la gráfica
pueden utilizar técnicas analíticas como: buscar pares ordenados que cumplan con la
ecuación o bien determinar los valores de los vértices de la elipse a partir de la relación
pitagórica entre los elementos a, b y c.
R3: Los estudiantes que determina que la ecuación representa a una elipse argumentando a
partir de la forma de la ecuación se sitúan en un modo AA y no logran establecer
conexiones con los otros modos.
2.-La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y F’. ¿Qué
harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay más de
una justificación? Y ¿cuáles?
Figura 15
95
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Esta pregunta esta planteada en SG, queremos evidenciar en que modos los estudiantes se
situan para responder :
R1: Un estudiante desde un modo analítico estructural, puede argumentar de las siguientes
maneras: Puede pensar en determinar las distancias (medir o bien ubicar la elipse en el
plano y calcular las distancias) de algunos puntos de la elipse a los focos y luego
sumarlas, para determinar si hay una constante en la suma de las distancias. O bien pensar
en colocar una cuerda tensa (de longitud igual a la longitud del eje mayor) atada a los focos
de la elipse y ver si a medida que gira la cuerda pasa por todos los puntos de ella.
R2: Un estudiante que piensa la elipse desde un modo analítico- aritmético puede
argumentar de las siguientes formas, llevar la elipse al plano cartesiano para determinar los
valores de a , b y establecer una ecuación y en base a las características de la ecuación
concluir si es elipse o no. también puede tratar de medir a, b y c ( con regla ) y luego
determinar la ecuación.
R3: Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede recurrir a la
representación de la elipse en el plano y concluir que es una elipse por las características
de la forma (curva cerrada, ovalada, simétrica, etc).
3.-En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En
las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje
distintos planos de modo que formen una elipse con el cono.
Figura 16
Figura 17
Figura 18
Esta actividad busca que los estudiantes puedan transitar del SG1 de la elipse en el plano a
un SG2 de la elipse en el espacio, considerando las posiciones de los planos , clasificamos
las posibles respuestas en:
96
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
R1: Estudiantes que establecen posiciones correctas de los planos en todas las figuras ,
muestran evidencias de el tránsito desde un modo SG en el plano a un SG en el espacio.
R2: Estudiantes que establecen algunas posiciones correctas de los planos en en las figuras
, muestran evidencias de estar en vias de la comprensión de un modo de SG de la elipse
en el espacio.
R3: Estudiantes que responden otras condisiones de los planos que no generan una elipse
4.- Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una
elipse con el cono.
A partir de las posiciones del plano, consideramos las siguientes respuestas
R1: Estudiantes que establecen todas las condiciones del plano para que al intersecarlo
con el cono genere una elipse, sea un plano oblicuo (no paralelo a la base) que pase por
todas las generatrices del cono. Estos estudiantes muestran evidencias del tránsito desde
un modo SG en el plano a un SG en el espacio.
R2: Estudiantes que establecen algunas condisiones correctas de las posiciones de los
planos, ellos muestran evidencias de estar en via de comprender el modo de SG de la
elipse en el espacio.
R3: Estudiantes que responden otras condisiones de los planos que no generan una elipse.
5.- A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio.
Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de
contacto con el plano serán los focos de la elipse.
Observa atentamente
(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos
para justificar que la curva formada es una elipse.
En esta actividad se busca indagar en los modos de pensamiento que utilizan los
estudiantes para justificar que la figura presentada en la animación es una elipse (ellos
pueden manipular la animación). Consideramos las siguientes respuestas:
R1: Estudiantes que muestran evidencias de tránsitos desde un modo SG2 a un modo AE.
Pueden argumentar que figura formada es una elipse si las distancias de MF1+MF2 es
constante para cualquier punto de ella. para ello, pueden establecer que si se mueve M a
lo largo de la elipse, también se moverán P1 y P2 a lo largo de los dos círculos y como la
distancia de F1 a M es la misma que la distancia de P1 a M, por ser MF1 y MP1 líneas que
se intersecan en M y además ser tangentes a una misma esfera1(color verde en figura
adjunta) .del mismo modo, la distancia de F2 a M es la misma que la distancia de P2 a M,
por ser MF2 y MP2 líneas que se intersecan en M y además ser tangentes a una misma
esfera2(color rojo en figura adjunta). En consecuencia, pueden concluir que la suma de las
97
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
distancias MF1+ MF2 debe ser constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva
porque la suma de las distancias MP1 + MP2 también se mantiene constante. Esto se debe a
que M se encuentra en la recta de P1 a P2, y la distancia de P1 a P2 se mantiene constante.
Figura 63: animación de la elipse en cabri
R2: Estudiante que muestran elementos que comprenden la elipse como un lugar
geométrico, pero no logran conectar los modos AE y SG2 de la elipse.
R3: Estudiantes que justifican que la figura formada es una elipse a través de un modo
sintético geométrico, ya sea, por la inclinación del plano (SG2) o bien por la forma que
tiene (SG1).
6.- Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único?
¿Por qué?
Esta pregunta tiene por objetivo indagar en los modos de pensamiento que utilizan los
estudiantes para cuando se enfrentan a preguntas de elipse en el espacio.
R1: Si los estudiantes establecen que el cono que genera la elipse en el espacio no es único,
debido a la posición y tamaño de las esferas, argumentando que si una de las esferas
aumenta de tamaño la otra disminuye en forma proporcional de modo que la constante de
las elipses que se forman se mantienen. Significa que prioriza el modo AE para dar una
respuesta.
R2: Si los estudiantes responden que el cono que genera la elipse no es único, ya que,
depende de la posición del plano en los conos. Establece conexiones entre SG1-SG2 de la
elipse.
R3: responde en forma incorrecta, desde un modo SG, argumentando que el cono es único.
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE
DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE
Los estudiantes que trabajan por primer vez el concepto de elipse, no tiene el conocimiento
de las ecuaciones que describen la elipse, por lo tanto, no pueden argumentar desde el
modo AA, sin embargo propiciaremos el tránsito desde SG - AE- AA y desde AA- SG.
La actividad 1, se mantiene tal cual como fue trabajada en el caso en que los estudiantes
conocen la elipse. Con la intención de transitar entre los modos SG y AE de la elipse.
En la actividad 2, se mantienen la pregunta 1 y 2 y se agregan las preguntas siguientes, de
las cuales se presenta el análisis a priori.
3.-En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB) de focos F y
F’.
Figura 12
Se retoma esta pregunta realizada en el cuestionario exploratorio, para evidenciar si los
estudiantes con el nivel de comprensión que logran en la actividad 1 y parte de la actividad
2 son capaces de situarse en un modo AE para responder, clasificamos las posibles
respuestas en:
R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE, realizaran la suma de (9+7) obteniendo 16
cm y luego podrán determinar que la medida de BF+BF’ o bien AF+AF’ es igual a la
longitud del eje mayor (AB), por lo tanto, la medida de AB es 16 cm.
R2: Estudiantes que sitúan en un modo SG, para responder trataran de estimar la medida de
AB, en relación a las medidas conocidas.
99
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación
que defina la elipse
figura 13
Esta activiadad busca propiciar el transito entre los modos SG –AE-AA de la elipse en el
plano , para plantear la ecuación ellos deberan conocer el concepto de distancia entre dos
puntos del plano y al conectar estos elementos con el AE de la elipse, pueden establecer la
ecuación para cualquier punto de la elipse de la figura 13.
Considerando los argumentos desde los distintos modos de pensar la elipse, clasificamos
las posibles respuestas en :
R1: Estudiantes que son capaces de establecer una ecuación para la elipse , a partir de la
definicion como lugar geometrico . estos estudiantes conectan los modos SG –AE-AA.
R2: Estudiantes que logran establecer una expresión a partir de la definicion como lugar
geometrico. estos estudiantes conectan los modos SG- AE.
R3: Estudiantes que no logran establecer una expresion que se cumpla para todos los puntos
de la elipse. es decir , no muestra evidencias del tránsito entre los modos.
En la actividad 3 , se mantienen las preguntas 3, 4 ,5 y 6 que son las que se relacionan los
tránsito de SG1- SG2- AE del plano al espacio. se reemplazan las preguntas 1 y 2 por las
siguientes :
1.- determine si la ecuación
cartesiano. Justifique su respuesta
corresponde a una elipse en el plano
Esta pregunta permite evidenciar los tránsitos entre los modos AA y SG de la elipse. si bien
los estudiantes desconocen la ecuación de la elipse , ellos han trabajado con el concepto del
conjunto solución de una ecuación con dos incógnitas en R x R , por lo tanto , creemos que
este concepto es clave al momento de responder , clasificamos las posibles respuestas en :
R1: Estudiantes que son capaces de realizar la gráfica de la elipse a partir de la ecuación,
evidencian el tránsito entre los modos AA- SG. debido a que entienden que todos los
puntos que satisfacen la ecuación pertenecen a la elipse.
100
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
R2: : Estudiantes que establecen algunos puntos de la gráfica de la elipse a partir de la
ecuación y los grafican como puntos aislados, estos estudiantes no logran transitar desde
AA- SG , si bien presentan elementos de AA y de SG , no logra coordinarlos para dar una
respuesta.
R3: dibujan puntos al azar , es decir , no muestran en sus argumentos rastros de AA.
2.-Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y
F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay
más de una justificación? ¿Cuáles?
Esta actividad pretende dar cuenta de los argumentos que utilizan estos estudiantes que
desconocen la ecuación de las elipse para responder preguntas donde se les pide
justificar.considerando los modos de pensar la elipse , clasificamos sus respuestas en :
a)
Figura 14
R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE de la elipse para responder, justificarán que
para que sea una elipse debe cumplir con la condisión de que la suma de las distancias del
punto a los focos sea constante. para ellos puede tomar pares de puntos que tengan
coordenadas conocidas y verificar si la suma de las distancias a los focos es la misma.
R2: Estudiantes que se sitúan en un modo SG de la elipse para responder , pueden
responder que se trata de una elipse , por la forma que tiene.
101
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
b)
Figura 15
Para este grupo de estudiantes consideramos estas posibles respuestas:
R1: Un estudiante desde un modo analítico estructural, puede argumentar de las siguientes
maneras: Puede pensar en determinar las distancias (medir o bien ubicar la elipse en el
plano y calcular las distancias) de algunos puntos de la elipse a los focos y luego
sumarlas, para determinar si hay una constante en la suma de las distancias. O bien pensar
en colocar una cuerda tensa (de longitud igual a la longitud del eje mayor) atada a los focos
de la elipse y ver si a medida que gira la cuerda pasa por todos los puntos de ella.
R2: Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede recurrir a la
representación de la elipse en el plano y concluir que es una elipse por las características
de la forma (curva cerrada, ovalada, simétrica, etc).
102
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO VII:
APLICACIÓN Y
ANÁLISIS A
POSTERIORI DE
LA SECUENCIA DE
APRENDIZAJE
103
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
APLICACIÓN DEL DISEÑO
Toma de datos
La toma de datos consistió en la aplicación del cuestionario a principio de mayo, los
estudiantes de los casos de estudio respondieron en forma individual, en tres bloques de
90 minutos aproximadamente.
Tabla 3: Resumen de informantes y técnica de recogida de información:
Casos
Caso 1: Con elipse
19 estudiantes
Instrumento
Curso
Caso 2: Sin elipse
10 estudiantes
Caso 3 : Sin elipse
10 estudiantes
Aplicación del diseño (Cuestionario)
Cuarto Año Medio
Segundo Año Medio
Tercer Año Medio
ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO
El análisis a posteriori de las actividades se realiza considerando las clasificaciones de las
respuestas descritas en el análisis a priori , se analizan de acuerdo a los objetivos
planteados en cada una de las actividades , agrupando aquellas preguntas que tengan los
mismo fines. En cada uno de los casos en estudio, se analizarán los siguientes puntos:





Los tránsitos que logran los estudiantes entre modos de comprender la elipse.
Los elementos de la matemática que ponen en juego al momento de establecer
estos enlaces.
Los modos qué priorizan los estudiantes al enfrentarse a preguntas planteadas en
distintos modos.
Dificultades que presentan los estudiantes en el desarrollo de las actividades, ya
sean, del dominio de la matemática o bien por los planteamientos de las preguntas.
Los tránsitos entre los modos que resultaron más débiles, y las posibles causas que
no permiten la conexión entre estos modos.
En el análisis se incluirán ejemplos de las respuestas de los estudiantes, por el tamaño de la
población solo incluiremos aquellas respuestas que consideramos suficientes para mostrar
los distintos argumentos dados por los informantes.
CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4° AÑO MEDIO)
Llamaremos E1, E2, E3,………………..E19 a los estudiantes de este grupo.
La pregunta inicial del cuestionario permite explorar el modo sintético geométrico de la
elipse que posee el informante. En este grupo todos los estudiantes tienen por SG la
representación de la elipse en el plano.
104
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 1
Para realizar el análisis, dividimos la actividad en dos partes, de acuerdo a los objetivos
planteados, como se describe a continuación:
Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo habituar a los
estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Las respuestas de los
estudiantes permiten entregar los siguientes análisis:
Todos los estudiantes dan argumentos que evidencian la comprensión de la distancia
como el camino más cortos entre dos esquinas, ellos se sitúan en un modo un SG para
responder. Como se muestra en las respuestas de E3, E18, E8, los informantes E3 y E18
buscan algunos de los recorridos posibles desde el punto A hacia B en cambio el E8 marca
todos los recorridos que se pueden hacer entre A y B.
Respuestas a las preguntas 1.a y 1.b
Figura 64: Respuesta del estudiante 3
Figura 65 : Respuesta del estudiante 18
Figura 66 : Respuesta del Estudiante 8
105
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la preguntas c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3 y d)
Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. La mayoría de los
estudiantes muestran en sus ejemplos evidencias del tránsito de la definición de
circunferencia (AE) a la gráfica de la circunferencia (SG) en la geometría del taxista.
Aunque dos de ellos tienen dificultades para concebir la distancia discreta y unen los puntos
de la circunferencia, al parecer no consideran la condición de la actividad que el taxi solo
puede detenerse en las esquinas. Tres de los estudiantes realizan ambas representaciones,
por lo tanto, no es posible discernir en este momento del cuestionario, si comprende la
circunferencia en la geometría del taxista. En las respuestas que se presentan a continuación
los estudiantes E12, E19 y E9 dibujan circunferencias de radios 1, 2 y 4, el E12 muestra
claramente los recorridos realizados para ubicar los puntos de las circunferencias. Al
parecer ambos estudiantes no presentan problemas con el uso de métricas discretas, en
cambio, el E9 muestra en su gráfica dificultades en el uso de la distancia discreta o puede
ser que este influenciado por el SG de la circunferencia usual como una curva cerrada. En
las figura realizada por el estudiante 2 creemos que inicialmente dibuja la circunferencia
usual y luego se plantea nuevamente la actividad logrando graficar la circunferencia en la
geometría del taxista.
Figura 67 : Respuesta del estudiante 12
Figura 68: Respuesta del Estudiante 19
106
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 69 : Respuesta del Estudiante 9
Figura 70: Respuesta del estudiante 2
107
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
La siguientes preguntas de la actividad 1 ( e, f, g y h) se crearon con el fin de propiciar el
tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en la geometría del taxista.
En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”
. Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen
los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.
Todos los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, la mayoría (16) muestran en
sus argumentos comprender la elipse como un conjunto de puntos talque la suma de las
distancias de los puntos a los focos es constante. Los demás solo establecen la
característica común en algunas de las figuras. A continuación se presentan ejemplos de
respuestas:
El informante E3 (Figura 71), muestra en su descripción elementos del modo SG, cuando
escribe “presenta un simetría respecto a la recta L “. Este estudiante conecta las
características geométricas que describe con el modo AE de la elipse, para ello prueba con
dos puntos a los que llama A y B determinando que las suma de las distancias de A hacia
los focos es igual que la suma de las distancia de B a los focos.
Figura 71: Respuesta del estudiante3
El estudiante E 11 (Figura 72), muestra en sus argumentos comprender la elipse como un
conjunto de puntos que cumplen una condición, cuando escribe “no se pueden ubicar otros
108
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
puntos o si no, no seria elipse”. Para determinar la característica común elige solos dos
puntos A y B, pero tiene claridad que la suma de las distancias de todos los otros puntos a
los focos es la misma.
Figura 72: respuesta del estudiante11
El estudiante 1 ( Figura 73) muestra en sus argumentos transitar entre el modo SG y AE
de la elipse , al igual que los estudiantes anteriores solo prueban para dos puntos. a
diferencia de los demas estudiantes , E1 muestra elementos propios de la geometria del
taxista cuando se refiere a “ esquinas “ y “ cuadras “.
Figura 73 : Respuesta del estudiante1
109
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”.
La mayoría de los estudiantes muestra evidencias del transito de AE - SG, presentamos las
respuestas de E10 y E5. Donde E 10 para dar los ejemplos se sitúa en un modo AE, lo cual
se evidencia cuando escribe “distancia constante 4 cuadras, focos f y f’” y “distancia
constante 7 cuadras, focos f y f’”. En cambio E5 grafica figuras continuas, al parecer no
concibe la distancia discreta, además no queda claro si se sitúa en un modo AE o bien en
un modo SG tomando ejemplos similares a las figuras de la actividad anterior..
Figura 74: Respuesta del estudiante 10
Figura 75 : Respuesta del estudiante 5
110
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.
12 de los estudiantes muestran en su definición elementos del AE de la elipse, algunos de
ellos presentan además elementos del SG, relativos a la forma, simetría, entre otras. 4 de los
estudiantes muestran una parte del AE, solo dan cuenta de la condición de los puntos de
la elipse en relación a los focos.
A continuación se presentan algunas de las respuestas. Los estudiantes E13 y E16 definen
a partir de la suma de las distancias de los puntos a los focos y luego fundamentan que se
cumple para todos los puntos. E6 combina elementos del SG de la elipse cuando escribe
“Figura en la cual existen dos puntos fijos llamados focos la cual esta delimitada por
puntos” con elementos de AE, aunque con dificultades en la redacción, cuando dice
“estos puntos deben cumplir con la suma de sus distancias de foco a foco debe ser
constante”
.
Figura 76: Respuesta del estudiante 13
Figura 77: Respuesta del estudiante 16
111
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 78: Respuesta del estudiante 6
En la pregunta f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en
“Geocity”.
18 de los estudiantes responden en forma correcta argumentando desde un
modo AE. A continuación se muestran algunos ejemplos.
112
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 79: Respuesta del estudiante 17
El informante E17, al probar distintos puntos de la elipse muestra comprender la elipse
como un conjunto de puntos que cumple una condición. Esto se evidencia cuando escribe
“lo mismo pasa con el punto B y los demás “refiriéndose al valor de la constante de la
elipse.
El estudiante 13, Calcula la distancia de todos los puntos a los focos f y f’ , en la figura 6
concluye cuando encuentre valores distintos en la suma de las distancias a los focos. En la
figura 7 prueba la mayoría de los puntos y determine que si es una elipse. En ambas figuras
argumenta desde AE.
Figura 80: Respuestas del estudiante 13
113
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2
Las primeras tres preguntas buscan que los estudiantes puedan identificar la propiedad que
define la elipse en el plano cartesiano. Es decir, evidenciar el tránsito entre el modo
sintético – geométrico a un modo analítico – estructural.
En la pregunta 1,Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de
focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la
elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos
de la elipse.
La mayoría de los estudiantes muestra en sus respuestas evidencias del tránsito entre los
modos de SG – AE. 16 estudiantes establecen la condición de los puntos de la elipse en
relación a los focos, para ello utilizan la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano.
Los otros tres estudiantes establecen en forma correcta el valor de la suma de las distancias
de los puntos a los focos, en algunas de las figuras y en otras no, estos estudiantes muestran
elementos del modo AE, sus dificultades se relacionan con el cálculo de las distancias. A
continuación se presentan ejemplos de respuestas:
El estudiante E9 muestra evidencias de transito de SG – AE en el plano, para verificar la
condición de los puntos en relación a los focos, utiliza la fórmula de distancias, aun cuando
los puntos están en el eje x.
Figura 81: respuesta del estudiante 9
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La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E14 al igual que el estudiante 9 determina las distancias desde los puntos a
los focos, usando la fórmula de distancia. Determinando la constante de la elipse.
Figura 82: Respuesta del estudiante 14
El estudiante 19 elige dos puntos simétricos respecto al eje x , de coordenadas exactas de
la elipse y determina la distancia de los puntos a los focos, para ello utiliza la fórmula de
distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras.
Figura 83: Respuesta del estudiante 19
115
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E4, ubica 4 puntos de coordenadas exactas en la elipse y determina la suma
de las distancias de los puntos a los focos. E4 se sitúa en AE para responder, el hecho de
que los focos estén en otras posiciones no genera dificultades.
Figura 84 : respuesta del estudiante 4
En los ejemplos, evidenciamos que los estudiantes privilegian herramientas algebraicas en
el tránsito de SG a AE de la elipse, en este caso, utilizan la fórmula de distancia entre dos
puntos del plano, aun cuando estos puntos se encuentran en la misma recta y no es
necesario realizar este cálculo.
En la pregunta 2, Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano.
Los estudiantes muestran elementos de AE en sus definiciones, solo uno de ellos se sitúa
en SG para responder. En comparación a la definición dada en la actividad 1 se presentan
más estudiantes que se sitúan en AE .a continuación se presentan algunos ejemplos de
respuestas:
Figura 85 : Respuesta del estudiante 1
116
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 86 : respuesta del estudiante 3
Figura 87 : respuesta del estudiante 13
Figura 88: respuesta del estudiante 14
En las definiciones de los estudiantes E1, E14 y E13 predomina un modo analítico
estructural, dan cuenta de la condición de los puntos y además comprenden que se cumple
para todos los puntos de la elipse, esto se evidencia cuando escriben argumentos como:
E1: “Toda figura en el plano cartesiano la cual cumple que la suma de cualquier punto, de
coordenadas P(x,y) perteneciente a ella , con respecto a los focos tiene un valor constante
independiente del punto que sea utilizado “ .
E14: “para que los puntos sean parte de la elipse tiene que cumplirse una condición, lo
cual dice que la distancia a sus focos es la misma”.
117
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
E3: “cumple una propiedad que es que la distancia de un punto P de la figura de F, mas la
distancia del mismo punto a F´ , dará un total el cual se denomina constante , ya que este
valor , será igual para cualquier punto que tomemos de la figura “.
E14 complementa el modo AE con modo AA cuando describe que los puntos de la elipse
“satisfacen la ecuación”.
En E13 a diferencia de los informante E1, E14 y E3 predomina un modo sintético
geométrico, esto se evidencia, cuando describe la elipse como “figura ovalada que posee
focos y vértices donde la distancia del foco1 al vértice 1 es la misma del vértice 2 al foco 2
“. Aunque muestra elementos del AE, cuando escribe “Un punto cualquiera de la elipse a
un foco debe cumplir una constante con respecto a la sumatoria de sus distancias “, no
queda claro si comprende la elipse como lugar geométrico, debido a que, solo da cuenta de
un foco.
Es importante destacar que ninguna de los informantes, define la elipse utilizando la
definición formal que aparece en los textos “la elipse como el lugar geométrico de todos los
puntos del plano tal que la suma de sus distancias a los focos es constante “. Lo cual nos
indica que la definición la construyen a partir de las actividades del cuestionario.
En la pregunta 3, En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de
focos F y F’.
Figura 12
Se presenta una elipse en el plano cartesiano con centro distinto al origen, que es donde los
estudiantes han trabajado. La mayoría de los estudiantes se sitúan en un modo AE para
responder, identificando las coordenadas de uno de los puntos la elipse y luego
determinan la suma de las distancias del punto a los focos y lo relacionan con la longitud
del eje mayor. 3 de ellos se sitúan en un modo SG para responder, lo que no es suficiente
para dar una respuesta. A continuación se presentan algunos ejemplos de respuestas.
118
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El informante E3(Figura 89 ) se sitúa en AE para responder , esto queda en evidencia por
los cálculos presentados , elige un punto de coordenadas exactas al que llama C,
determinando la suma de las distancias de C a ambos focos y también por los argumentos
descritos “ la medida del segmento AB es igual a la constante ya que la medida del punto
A a F mas la medida del mismo punto a F’ da una constante” utiliza además elementos
geométricos en parte de su argumento cuando escribe “ la medida de B a F’ es la misma
que de A a F, ya que, la elipse tiene un eje de simetría “.
Figura 89 : respuesta del estudiante 3
119
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El informante E14 (Figura 90) se situa en un modo AE , esto queda en evidencia , por los
procedimientos utilizados , elige un punto de coordenadas ( 5,6) y determina la suma de
las distancias del punto a los focos y relaciona esa medida con la constante de la elipse,
escribiendo “ si utilizo otro punto me daria la distancia que seria igual de punto A hacia
los focos “.
Figura 90 : respuesta del estudiante 14
El estudiante E1, elige un el punto (5,6) para determinar el valor de la constante, aunque no
justifica queda en evidencia que se sitúa en un modo AE para responder, por los cálculos
realizados. ( Figura 91 )
Figura 91 : respuesta del estudiante 1
120
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E2, se sitúa en un modo sintético – geométrico, observa propiedades
geométricas como la relación entre las distancias de los segmentos F’B y FA. Establece
relaciones algebraicas entre los segmentos involucrados tratando de determinar la medida
del segmento AB.
Figura 92: Respuesta del estudiante 2
Las preguntas 4 y 5 referidas a ecuaciones. Nos entregan información de los tránsitos SG AE – AA de los modos de comprender la elipse en el plano
En la pregunta 4, Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca
una ecuación que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos,
justificando cada uno de ellos.
Todos los estudiantes muestran evidencias del tránsito entre SG y AA, determinando la
ecuación para la elipse de la figura 13. Nueve de ellos identifica la definición de la elipse
como lugar geométrico como unos de los argumentos para determinar la ecuación y otros
10 muestran en sus argumentos un modo analítico –aritmético para determinar la ecuación.
A continuación presentamos algunos ejemplos:
121
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E18 muestra en sus argumentos, evidencias claras del tránsito entre SG y AA.
en un primer argumentos, identifica la ecuación de la elipse y reemplaza los valores de a y
b en la fórmula para obtener la ecuación. Un segundo argumento da cuenta de que
comprende la elipse como un conjunto de puntos que satisface una ecuación.
Figura 93 : respuesta del estudiante 18
El estudiante E12 muestra en sus argumentos evidencias del tránsito SG- AE – AA,
mostrando dos argumentos, el primero situado en un modo analítico - aritmético
identificando la ecuación de la elipse y reemplazando los valores de a y b. El segundo
argumento corresponde a un modo analítico estructural, determina un punto P(x,y ) en la
elipse y determina la suma de las distancias de P a los focos.
122
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 94 : respuesta del estudiante 12
En la pregunta 5, Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’
Figura 14
En esta pregunta, todos los estudiantes muestran elementos de un modo analítico –
estructural, determinando el valor de la constante de la elipse (suma de las distancia de los
puntos de la elipse a los focos). Seis de los estudiantes logran establecer una ecuación para
la elipse de la figura 14, para ello se sitúan solo en un modo AE. Si bien algunos cometen
errores en los cálculos algebraicos tienen claridad en el argumento a utilizar. Estos 6
estudiantes muestran evidencias de tránsitos entre los modos SG - AA - AE de la elipse.
123
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
7 de los estudiantes, una vez conocido el valor de la constante, tratan de determinar los
valores de a, b y c para reemplazar en las ecuaciones conocidas. Ellos muestran elementos
de AE y AA que no es posible conectar, debido a que no conocen ecuaciones de elipse que
presentan una rotación.
6 de los estudiantes solo establecen el valor de la constante. A continuación se presentan
algunos ejemplos de respuestas:
El estudiante E17 muestra elementos de AE, al determinar el valor de la constante de la
elipse para ello elige un punto P de coordenadas (11,5). Aunque da cuenta de la definición
cuando escribe
no logra establecer la ecuación.
Figura 95: Respuesta del estudiante 17
El estudiante E10(Figura 96), muestra evidencias de los tránsitos entre SG – AE - AA,
eligiendo un punto de la elipse P(8,2) para establecer la constante de la elipse , luego elige
un punto L(x,y) y usando la definición
, logra establecer una ecuación
para la elipse.
Figura 96: respuesta del estudiante 10
124
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E8(Figura 97), muestra en sus argumentos elementos de AE cuando
determina el valor de la constante, luego trata de establecer los valores de a, b y c para
reemplazar en la ecuación de la elipse con centro (h , k).
Figura 97: Respuesta del estudiante 8
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3
Las respuestas obtenidas en las preguntas 1 y 2 permiten evidenciar los modos de
pensamiento que priorizan los estudiantes cuando son enfrentados a preguntas planteadas
en distintos modos. La primera pregunta esta planteada en AA y la segunda en SG.
En la pregunta 1, Determine si la ecuación
corresponde a una elipse en el
plano cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos.
La mayoría de los estudiantes (16) logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la
ecuación y justificar utilizando la representación de la elipse en el plano, ellos transitan
desde un modo AA a un modo SG de la elipse. 8 de ellos argumentan desde la propiedad
que define la elipse como lugar geométrico, muestran evidencias de tránsitos entre los
modos AA- SG-AE de la elipse. Los demás (2) estudiantes justifican desde un modo AA
utilizando la forma de la ecuación. A continuación se presentan algunos ejemplos:
El estudiante E15 muestra evidencias del transito AA- SG, cuando dibuja la elipse en el
plano a partir de los valores a, b y c . Los otros argumentos dados corresponde a un modo
AA , están relacionados con la forma de la ecuación y la relación entre los valores de a , b y
c.
125
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 98 : respuesta del estudiante 15
El estudiante E4, solo argumenta desde un modo AA, por la forma de la ecuación.
Figura 99: Respuesta del estudiante 4
126
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E3 , muestra en sus argumentos evidencias de los tránsitos entre AA- SG-AE ,
a partir de la ecuación representa la elipse en el plano cartesiano , ademas determina que la
suma de los puntos de la elipse a los focos es constante , igual a 20.
Figura 100: Respuesta del estudiante 3
El estudiante E13, fundamenta a partir de la relación entre los elementos (a, b y c) y al
igual que E4 se basa en la forma de la ecuación. Este estudiante no logra transitar a otros
modos de pensamiento.
Figura 101 : respuesta del estudiante 13
127
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta 2, La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y
F’. ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay
más de una justificación? Y ¿cuáles?
Figura 15
La mayoría de los estudiantes (17) argumentan desde un modo analítico estructural, logran
establecer conexiones entre los modos SG y AE de la elipse. Dos de ellos justifican que la
figura formada es una elipse desde un modo AA. A continuación se muestran algunos
ejemplos de respuestas :
El estudiante 7(Figura 102 ) , se sitúa en un modo analítico – estructural, al dar respuesta
como: “mediría la suma de algunos puntos a los focos y vería si son iguales “, “colocaría
2 estacas en los focos y colocaría una cuerda que estuviera atado y pasara por un punto
movible el cual esta sobre un punto cualquiera de la elipse podría demostrar que la figura
es una elipse”.
Figura 102: Respuesta del estudiante 7
128
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E13(Figura 103), cuando escribe “yo lo pondría en el plano cartesiano y
cada punto de la elipse al cualquiera de los dos focos, la suma de sus distancias tendría
que ser una expresión, la cual debería ser constante para cada distancia “argumenta
desde un modos analítico – estructural. También se sitúa en un modo SG cuando justifica
“es una figura ovalada que consta de dos focos “.
Figura 103 : respuesta del estudiante 13
El estudiante 15, argumenta desde un modo AE, cuando escribe ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅, también
argumenta desde un modo AA, cuando escribe la relación entre las longitudes de los
segmentos CA, CF y CD.
Figura 104: Respuesta del estudiante 15
El estudiante E5, justifica desde un modo analítico – aritmético, esto se evidencia cuando
escribe “de acuerdo a la posición de ésta en el plano podría conocer el valor de a, b y c,
las cuales formarían parte de la ecuación
”.
129
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 105: Respuesta del estudiante 5
Las preguntas 3 y 4 evidencian el tránsito entre los modos SG1 de la elipse en el plano a un
SG2 de la elipse en el espacio.
En las preguntas 3, En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y
un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura
18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono.
La mayoría de los estudiantes (14) establecen posiciones correctas de los planos, muestra
indicios del modo sintético – geométrico en el espacio. Los demás (5) estudiantes
establecen algunas posiciones correctas de los planos y otros no. A continuación se
muestran ejemplos:
El estudiante E1 ubica dos planos inclinados que generan una elipse, también dibuja un
plano paralelo a la base, escribiendo radio: 1 u. desconocemos si los estudiantes
comprenden la circunferencia como un caso particular de la elipse.
130
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 106: respuesta del estudiante 1
El estudiante E18 dibuja planos que generan elipse, y dibuja las elipses. Muestra
comprender el SG2 de la elipse en el espacio.
Figura 107: Respuesta del estudiante 18
En la pregunta 4, Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que
forme una elipse con el cono. Algunos (7) de los estudiantes establecen todas las
condiciones de las posiciones de los planos. Los demás estudiantes (12) no analizan todos
los casos. La mayoría concluyen que el plano debe estar en “diagonal” pero no descarta los
casos en que se puede formar una hipérbola. Ejemplos de respuestas:
El estudiante E18, explica las restricciones que deben tener el plano al intersectar con la
superficie cónica.
131
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 108: respuesta del estudiante 18
El estudiante E9 indica que el plano no debe ir en forma paralela, explica que el plano debe
tener un ángulo de inclinación, pero no descarta el caso en que se pueda formar una
parábola.
Figura 109: respuesta del estudiante 9
En la pregunta 5, A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el
espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos
de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente
(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para
justificar que la curva formada es una elipse.
Con esta pregunta evidenciamos el tránsito entre los modos sintético geométrico en el
espacio (SG2) a un modo AE de la elipse. La mayoría de los estudiantes (14) logran
132
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
situarse en un modo AE para justificar que la figura que se forma es una elipse, logran
establecer
es un valor constante. Los demás estudiantes muestran elementos
del AE de la elipse en el plano, pero no logran conectarlo con el modo SG2.
El estudiante E17, argumenta desde un modo analítico estructural, cuando explica que:
“
es un valor constante “para ello se da cuenta que “en algún
punto se forma una línea recta que contiene a los puntos, pudiendo observar que se cumple
esa suma cuyo valor es constante “
Figura 110: respuesta del estudiante 17
El estudiante E8 , da cuenta del modo analitico – estructural en el plano , cuando explica “que a
medida que el punto M , se va moviendo , la suma total de sus distancias entre sus focos siempre va
a ser la misma , ya que es una constante” . pero no logra argumentar con los elementos de SG2
respecto al valor de la constante.
Figura 111: respuesta del estudiante 8
133
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante 19 muestra evidencias del tránsito de SG2 al modo analitico – estructural en
el espacio , E19 relaciona elementos geométricos , en este caso, las esferas incritas en el
cono, el teorema de las tangentes a la circunferencia en sus argumentos para concluir que
“ la distancia hacia ambos puntos de tangencia seria constante , ya que al moverse M , la
distancia desde M hacia los focos ; punto de tangencia aumentaria , mientras que el otro
disminuiria , pero la sumatoria se mantendria constante “
Figura 112: Respuesta del estudiante 19
El objetivo de esta pregunta final, 6) Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que
genera la elipse es único? ¿Por qué? Es indagar que modo privilegian los estudiantes
cuando se enfrentar a preguntas relacionas al SG2 de la elipse. La mayoría de los
estudiantes (11) se sitúan en un modo SG2 de la elipse. Otros estudiantes (7) responden en
forma incorrecta. Un estudiante se sitúa en un modo AE para dar respuesta a la pregunta,
esté estudiante muestra evidencias de transito de AE - SG2. A continuación se muestran
algunos ejemplos:
134
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E7, responde desde el modo sintético geométrico de la elipse en el espacio,
esto queda en evidencia cuando escribe “no es único porque la elipse que se forma
dependerá no solo del cono si no también de la pendiente del plano “
Figura 113: respuesta del estudiante 7
El estudiante E8, responde en forma incorrecta desde un modo SG2, explica que “para
cada elipse hay un único cono que le pertenece “
Figura 114: respuesta del estudiante 8
135
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E3 , es el único que logra argumentar desde un modo AE , utilizando las
esferas inscritas en el cono , esto se evidencia cuando escribe : “ hay conos que pueden
generar la misma elipse, pero estos deben tener la propiedad de que las esferas que
contengan al cono deben de ser que si aumentamos el radio de la esfera 1 , debemos
disminuir el radio de la esfera 2 en forma proporcional a la de las esferas de la figura 1 ,
teniendo que ser así de M a mas la distancia de M a
la constante de la elipse”.
Figura 115 : respuesta del estudiante 3
136
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CONCLUSIONES DEL CASO 1
La mayoría de los estudiantes logra trabajar sin problemas en la actividad 1, evidenciamos
que la distancia discreta ayuda en la comprensión de la propiedad que define la elipse.
Estos estudiantes transitan entre los modos SG y AE de la elipse en la geometría del taxista.
La mayoría de los estudiantes del caso 1, logra con éxito los siguientes tránsitos: entre SG
y AE en el plano. Es decir, a partir de la representación de la elipse en el plano, son
capaces de determinar que la suma de todos los puntos de la elipse a los focos es siempre
constante y una vez que comprende esta propiedad que la define como lugar geométrico
son capaces de graficarla. Un elemento de la matemática que es fundamental en el tránsito
entre estos modos es el concepto de distancia. Con respecto a ello consideramos que este
grupo de estudiante presenta una fuerte inclinación hacia desarrollos algorítmicos en el
cálculo de las distancias.
Entre AA y SG, la mayoría de los estudiantes son capaces de graficar la elipse dada la
ecuación, para ello utilizan herramientas analíticos, ya sea, la relación pitagórica entre los
elementos de la elipse (longitud del semieje mayor, semieje menor, semieje focal) o
buscar puntos que satisfagan la ecuación. Entre SG y AA los estudiantes establecen
conexiones cuando la elipse se centra en el origen, debido a que conocen las ecuaciones.
Algunos de ellos logran establecer las ecuaciones de elipses que se ubican en otra posición
en el plano, para ello recurren a la definición formal del concepto.
Entre AA y AE, evidenciamos que el tránsito no es inmediato, los estudiantes tratan de
buscar argumentos analíticos cuando se les pregunta por las ecuaciones. Aun dando
evidencias de comprender parte de AE algunos de ellos no conectan ambos modos para dar
una respuesta.
El tránsito desde SG1 a SG2 de la elipse en el espacio es viable, debido a que la mayoría
de los estudiantes establece posiciones correctas del plano al intersecarlo con un cono.
Desde SG2 – AE, también consideramos que este tránsito es posible en este nivel, por los
conocimientos previos que poseen los estudiantes. Esto se evidencia en las respuestas a la
pregunta 5 donde utilizan elementos geométricos, como las esferas inscritas en los conos
para argumentar.
Consideramos que las mayores dificultades se presentaron cuando se enfrentan a preguntas
donde tenían que dar definiciones o establecer condiciones.
El diseño fue exitoso en este grupo de estudiantes, la mayoría de ellos logra comprender el
concepto elipse, esto se evidencia en las conexiones que establecen los estudiantes entre
los modos SG-AE- AA en el plano, y SG2- AE en el espacio.
137
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2° MEDIO)
Este grupo esta compuesto por 10 estudiantes entre 15 y 16 años que cursan segundo año
medio. Llamaremos a estos estudiantes E20, E21, E22, E23………E29. Todos los
estudiantes muestran en sus respuestas a la pregunta 1, desconocer las representaciones
asociadas a la elipse.
Estos estudiantes tienen menos dominio de contenidos matemáticos en comparación con los
otros casos, están recién comenzando en el estudio de la geometría analítica, han tenido
dos clases de plano cartesiano, ubicación de puntos en el plano, distancia entre dos puntos
del plano, ello además desconocen ecuaciones de rectas, entre otras. Aplicamos el
cuestionario en este grupo para evidenciar que tan viable es el instrumento para iniciar a los
estudiantes en el estudio del concepto elipse. Nos enfocaremos mayoritariamente en los
tránsitos de SG – AE en la geometría del taxista y en el plano. Aunque se aplica el diseño
completo para ver cuales son las conexiones factibles entre los modos de pensar la elipse en
este caso.
ANÄLISIS DE LA ACTIVIDAD 1
Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo habituar a los
estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Todos los estudiantes
muestran en sus argumentos evidencias de la comprensión de la distancia como el
camino más cortos entre dos esquinas, la mayoría (7) muestra todos los posibles recorridos
como el estudiante E22 , los demás(3) muestran algunos recorridos como es el caso del
estudiante E25, todos se sitúan un modo un SG para responder.
Figura 116: Respuestas de los estudiantes 22 y 25
138
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En las preguntas c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3 y d)
Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. La mayoría (8) de los
estudiantes muestran en sus ejemplos evidencias del tránsito de la definición de
circunferencia (AE) a la gráfica de la circunferencia (SG) en la geometría del taxista. Los
demás presentan dos formas de representación de la circunferencia, circunferencia usual y
circunferencia en la geometría del taxista. A continuación se presentan algunos ejemplos:
Figura 117: Respuestas de los estudiantes 26 y 24
Figura 118: Respuesta del estudiante 20
El estudiante E26 y E20 grafican la circunferencia en la geometría del taxista, el E26
presenta dificultades para concebir la distancia descrita esto se evidencia al unir las
esquinas. El E24 muestra ambas representaciones y además otros puntos, por lo tanto, no es
posible discernir si el estudiante comprende o no la distancia discreta.
139
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Las respuestas a las preguntas de la actividad 1 ( e, f, g y h) evidencian el tránsito entre
los modos SG y AE .
En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”.
Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen
los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.
Todos estudiantes muestran evidencias de comprender el AE de la elipse, 6 de ellos
determinan la suma de las distancias de los puntos a los focos como una característica
común en cada uno de los casos. A esta suma de distancia la llamaremos constante de la
elipse. 4 de ellos establecen correctamente el valor de la constante de la elipse en algunos
casos y en otros no. A continuación se analizan algunas de las respuestas dadas por los
estudiantes:
El estudiante E22, muestra en sus argumentos comprender el modo AE de la elipse, esto se
evidencia en los cálculos realizados para todos los puntos de la figura 2, y también cuando
escribe “ la suma de los puntos de F a F’ son los mismos, en este caso (la constante) que se
repite es 8”.
Figura 119: Respuesta del estudiante 22
140
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E27, logra transitar de un modo SG a un modo AE, observa distintas
regularidades de algunos puntos en relación a ambos focos, entre ellas características
geométricas que se cumplen para algunos puntos y una regularidad que se verifica para
todos los puntos de la elipse, esta es, “ la suma de las distancias de un punto hasta F y F’
siempre es 6”.
Figura 120: Respuesta del estudiante 27
El estudiante E28, muestra en sus argumentos evidencias de la comprensión del modo AE,
cuando escribe “ la suma entre las distancias que tienen entre F y F’ va a dar como
resultado 6”.
Figura 121: respuesta del estudiante 28
141
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En el estudiante E21 muestra elementos del modo analítico – estructural, cuando escribe
“si se suman estos valores el resultado será 8 que será la suma de las distancias que hay
entre el resto de los puntos a los focos”. El estudiante observa distinta regularidades, que se
cumplen para esta figura, entre ellas con respecto a la suma de los puntos en relación a los
focos concluye que es 8, y ese valor esta relacionado con el doble producto de la distancia
de ambos focos.
Figura 122 : respuesta del estudiante 21
142
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta f) Muestra un ejemplo distintos a los anteriores de elipses en
““Geocity”.
La mayoría de los estudiantes (7) muestra estar en vías de comprender el AE de la elipse,
debido a que dan cuenta de la condición de algunos puntos. Solo 3 de ellos muestran
comprender la elipse como un conjunto de puntos que cumplen una regularidad. Los
estudiantes E24 y E25, muestran en sus ejemplos comprender la elipse en un modo AE,
aunque E25 une los puntos, mostrando dificultades para comprender la distancia discreta.
Los estudiantes E23 y E26 muestran estar en vías de comprender el modo AE de la elipse,
ambos establecen algunos puntos para los cuales se cumple una condición, pero no
consideran, la existencia de más puntos que verifiquen la característica dada.
Figura 123: Respuesta del estudiante 23 y del estudiante 24
Figura 124: Respuesta del estudiante 25 y del estudiante 26
143
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.
8 de los estudiantes muestran en sus definiciones argumentos AE de la elipse, 4 de ellos
muestran en sus respuestas comprender la elipse como un lugar geométrico. Los otros 4
tienen dificultades para identificar el conjunto de puntos, solo escriben la condición de los
puntos en relación a los focos. 2 de los estudiantes se sitúan en un modo SG para responder
describen características “observables” de la elipse. A continuación se presentan ejemplos
de respuestas:
El estudiante E25 presenta en la definición elementos del modo SG de la elipse cuando
escribe “es una figura en torno a un punto o más, la condición que deben cumplir es la
reflexión entre ellos”. También muestra otros argumentos que pueden corresponder a un
modo AE, este es “la suma de la distancia sea igual para todos los puntos que componen
la elipse”, pero no enuncia en relación a que elementos la suma de las distancias son
iguales, por lo que el argumento no es suficiente para mostrar la comprensión en el modo
AE. Este estudiante muestra elementos de ambos modos pero no logra establecer una
definición de la elipse como lugar geométrico.
Figura 125: Respuesta del estudiante 25
El estudiante E28 muestra en la definición, comprender el modo analítico – estructural de
la elipse, esto se evidencia cuando escribe “ es un conjuntos de puntos que cumple la
condición de que las sumas de sus distancias con F y F’ siempre será la misma”,
entendiendo que las actividades anteriores F y F’ eran los focos de la elipse.
Figura 126: Respuesta del estudiante 28
144
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E27 al igual que E28, se sitúa en un modo analítico – estructural para definir
la elipse, escribiendo “la elipse son puntos que se encuentran a una cierta distancia de 2
focos y la suma de la distancia de cualquier punto hasta F y F’ tiene que ser igual a todos
los puntos”.
Figura 127: Respuesta del estudiante 27
En la pregunta f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en
“Geocity”.
Esta pregunta resume las conexiones entre los modos SG y AE de la elipse en “Geocity”.
8 de los estudiantes logran discriminar cuales de las figuras corresponden a elipses y cuales
no. Para ello se sitúan en un modo AE para responder. 2 de los estudiantes prueban solo
para algunos puntos de la elipse. A continuación se muestran algunos ejemplos:
145
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E22 se sitúa en un modo analítico – estructural, probando para algunos
puntos de la figura 6 concluye que no es una elipse, argumentando que “la suma de un
punto con los focos dan diferente a las variantes “. y en la figura 7 , concluye que es una
elipse , justificando que “al sumar todas dan el mismo resultado que es 4 ” . En ambas
respuestas complementa con ejemplos de suma de distancia a los focos de algunos
puntos.
Figura 128: Respuesta del estudiante 22
El estudiante E25 , se situa en un modo analitico – estructural , en la figura 6 , se da cuenta
de que la suma de las distancias a los focos de algunos puntos es 3 y en otros es 5.
argumenta que : “ no todos los puntos cumplen la condición de tener en comun la misma
distancia con F y F’ “ . es importante destacar que el estudiante da caracteristicas
geometricas de la figura , cuando escribe “todos los puntos se reflejan” , caracteristica que
146
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
considera insuficiente para concluir. En la figura 7 , muestra argumentos del modo AE ,
cuando determina la suma de las distancias de los puntos a los focos, obteniendo 4 en todos
en los puntos.
Figura 129: Respuesta del estudiante 25
El estudiante 26, muestra en sus argumentos estar en vías de comprensión de un modo
analítico – estructural de la elipse, en este caso considera suficientes probar algunos
puntos para determinar si las figuras son elipses o no.
Figura 130: Respuesta del estudiante 26
147
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2
Las preguntas 1,2 y 3 propician el tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en el
plano cartesiano.
En las pregunta 1) Las figuras 8, figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de
focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la
elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos
de la elipse.
Todos los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, 4 de ellos establecen la
constante de la elipse en forma correcta en cada una de las figuras. Los otros 5 estudiantes
establecen la constante solo en algunas de las figuras, las dificultades que presentan los
informantes están relacionadas con el cálculo de la distancia, ya sea, en el uso de la
fórmula o en las expresiones que resultan como raíces.
El estudiante 21, muestra en sus argumentos elementos del modo analítico – estructural
cuando escribe “la suma de las distancias que hay entre un punto exacto de la línea x y
entre los focos es 10” , además evidencia que el valor de la constante es igual al doble
producto de la distancia entre el vértice menor y un foco.
Figura 131: Respuesta del estudiante 21
148
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante 29, se sitúa en un modo AE, argumentando que “el total de A y el total de B
es el mismo “. No muestra procedimientos para determinar la distancia.
Figura 132: Respuesta del estudiante 29
El estudiante E25, argumenta desde un modo AE, determinando las distancias de los
puntos exactos a los que llama A, B,C y D. Utiliza el teorema de Pitágoras, y concluye “la
suma de las distancias para cualquier punto exacto en la elipse hasta F y F’ y siempre es
√ +√ ”.
Figura 133: Respuesta del estudiante 27
149
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante 28, muestra en su desarrollo evidencias del tránsito de SG a AE, eligiendo
algunos puntos de coordenadas exactas determina las distancias de estos puntos a los
focos a través del teorema de Pitágoras.
Figura 134 : Respuesta del estudiante 28
En la pregunta 2, Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano, 6 de los
estudiantes se sitúan en un modo AE para dar la definición, 4 de ellos muestran en sus
argumentos comprender la elipse como un conjunto de puntos tal que la suma de las
distancias de los puntos a los focos es constante. 2 de ellos definen la elipse en función de
la constante. Los demás estudiantes (3) definen características “observables” relativas a la
forma o a la simetría de los puntos. En los argumentos de un estudiante no muestra en que
modo se sitúa para responder. A continuación se dan ejemplos de respuestas:
El estudiante E20, en su definición, al parecer piensa la elipse como puntos en el plano
cartesiano que tiene relación con focos , pero no podemos determinar si se sitúa en un
modo AE o SG, por que, no explica de que tipo es la “relación” a la que hace alusión.
Figura 135 : respuestas del estudiante 20
150
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la definición del estudiante E21 predomina un modo SG, cuando escribe “es una figura
que puede ser circular ovalada “, aunque explica que existe una “regularidad o tendrán
una relación respecto a los focos”, en ello no profundiza. Aunque puede estar en vías de
comprensión del modo AE.
Figura 136: Respuestas del estudiante 21
El estudiante E21, muestra en su definición evidencias de la comprensión de un modo AE ,
cuando dice “ la regularidad que hay en la elipse en el plano cartesiano es que la suma de
la distancia A hasta F y A hasta F’ deben ser iguales a todos los otros puntos que se
plantean”.
Figura 137: Respuestas del estudiante 22
En la pregunta 3 En la Figura 12, determine la medida del eje mayor (AB) de la elipse
de focos F y F’.
Figura 12
151
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Nueve de los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, realizaran la suma de
(9+7) obteniendo 16 cm y luego lo relacionan con la medida de AB, obteniendo AB es
16 cm. Uno de los estudiantes se sitúa en un modo SG, tratando de estimar la medida de
AB. A continuación se analizan algunas de las respuestas
El estudiante E28, muestra en sus desarrollos elementos claros de un modo AE de la elipse
cuando escribe “Para determinar la medida del eje mayor de la elipse, se debe sumar las
distancias de P a F´y las de P a F”. Además complemente con un dibujo donde se observa
el razonamiento utilizado.
Figura 138: Respuesta del estudiante 28
El estudiante E27, también se sitúa en un modo AE, explicando que P, A y B son puntos
de la elipse, por lo tanto, la suma de las distancias de los puntos a los focos es 16 cm.
Figura 139: Respuesta del estudiante 27
El estudiante E23, se situa en un modo AE , esto se evidencia en su argumentos cuando
escribe “ en una elipse se cumple que desde cualquier punto a los focos la distancia sera
la misma ” , aunque no redacta sobre la suma de las distancias , escribe en sus desarrollos
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ por lo que concluimos que estan pensando en ese modo.
152
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 140: Respuesta del estudiante 23
La pregunta 4 Sea P(x ,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca
una ecuación que defina la elipse .
Figura 13
Propicia el tránsito entre los modos SG – AE – AA de la elipse en el plano, queremos
indagar si los estudiantes son capaces de establecer una expresión analítica para todos los
puntos de la elipse.
La mayoría de los estudiantes (6) logran establecer una expresión a partir de la definición
como lugar geométrico. Estos estudiantes conectan los modos SG- AE. Solo uno de ellos
logra establecer una ecuación para los puntos de la elipse. Tres de los estudiantes se sitúan
en un modo SG para responder. A continuación se presentan alguna de las respuestas:
El estudiante E22, muestra evidencias del tránsito entre los modos SG y AE de la elipse,
cuando establece una expresión que se cumple para todos los puntos de la elipse, “
”.
153
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 141: Respuesta del estudiante 22
El estudiante E24, también determina una expresión, esta es
distancia de la elipse. Situándose en un modo AE.
”, donde
es la
Figura 142: Respuesta del estudiante 24
̅̅̅̅, que es valida para esta
El estudiante E21, escribe la expresión ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
elipse. Este estudiante muestra elementos de un modo AE, tratando de encontrar alguna
regularidad para escribir una ecuación. Determinando una expresión que se cumple para la
elipse de la figura 13.
Figura 143: Respuesta del estudiante 21
154
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante 23 muestra evidencias del transito SG- AE- AA de la elipse en el plano,
logrando establecer una expresión en el modo AE, que luego la reemplaza por elementos
del modo AA (fórmula de distancia entre dos puntos del plano). Aunque la expresión
encontrada no esta escrita en forma ordenada y no aparece el valor de la constante,
consideramos que el estudiante comprende el AA de la elipse.
Figura 144: Respuesta del estudiante 23
155
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3
En la pregunta 1) Determine si la ecuación
corresponde a una elipse
en el plano cartesiano. Justifique su respuesta. Evidencia los tránsitos entre los modos
AA- SG de la elipse del plano.
Todos los estudiantes muestran elementos de un modo SG de la elipse, tratando de
graficar, para ello obtienen algunos puntos reemplazando en la ecuación, la mayoría (7)
dibuja solo algunos puntos de la elipse. Solo 3 de ellos unen los puntos y justifican que es
una elipse por la figura que se forma. Las dificultades que se presentan están relacionadas
con el cálculo algebraico utilizado para determinar los puntos de la elipse.
El estudiante E20, determina dos puntos de la elipse, para ello utiliza argumentos
algebraicos, entre ellos el concepto de conjunto solución de una ecuación. Muestra estar en
vías del tránsito de AA- SG, pero al parecer las dificultades algebraicas no lo permiten.
Figura 145: Respuesta del estudiante 20
El estudiante E23, evalúa dos puntos en la ecuación, cuando x= 3, obtiene valores
negativos para . Luego prueba con x=-1 encontrando dos valores para y. Ubica los
puntos en el plano, concluyendo que es posible que sea una elipse. El estudiante muestra
estar en vías de transitar entre los modos AA y SG, utilizando el concepto de conjunto
solución de una ecuación y desarrollos algebraicos. Consideramos que son estos
procedimientos algebraicos los que dificultan la conexión entre estos modos.
Figura 146: Respuesta del estudiante 23
156
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta 2) Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses
de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a
elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles?
Figura 14
Figura 15
En ambas preguntas la mayoría de los estudiantes justifica desde un modo Analítico
estructural, como se muestra a continuación. Solo 2 de ellos en ambas figuras se sitúan en
un modo SG para responder. A continuación se presentan ejemplos de respuestas:
El estudiante E27, establece conexiones entre los modos SG y AE de la elipse, esto se
evidencia en los siguientes argumentos “si la distancia de A a B es igual a la distancia de
un punto cualquiera hasta F mas la distancia de ese mismo punto hasta F’, es porque es
una elipse” también establece características geométricas, cuando escribe “dividiría el
plano en cuatro partes desde el centro y si las cuatro son iguales”. El estudiante se da
cuenta que las características geométricas no son suficientes para justificar que la figura 15
es una elipse.
Figura 147: Respuesta del estudiante 27
157
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E20, se sitúa en un modo AE cuando explica que “ corresponde a una elipse
ya que entre los puntos (5,6) y (8,-1) tienen la misma medida o la misma constante, con
respecto a los focos F y F’ ”. Este argumento también se ve reflejado en los segmentos que
traza (ver Figura 148).
Figura 148: respuesta del estudiante 20
En las siguientes preguntas 3, 4, 5 y 6 de la actividad buscamos evidenciar si es posible
que los estudiantes de este nivel comprendan de la elipse en modos SG2 y AE en el
espacio.
Las preguntas 3 y 4 , 3) En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un
cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y
figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. 4)
Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse
con el cono. Muestran el tránsito entre los modos SG1 y SG2 de la elipse, del plano al
espacio.
En la pregunta 3, solo dos de los estudiantes muestran posiciones correctas de los planos.
La mayoría de los estudiantes (9) establecen algunas posiciones correctas de los planos,
teniendo dificultades para determinar todas las condiciones de la intersección entre el cono
y un plano para que forme una elipse. La mayoría de los estudiantes dibuja planos
paralelos a la base como uno de los casos. A continuación se muestran ejemplos de
respuesta.
El estudiante E25, dibuja planos paralelos a las bases e incluso planos paralelos que pasan
por el vértice del cono. Este estudiante presenta dificultades en la comprensión del modo
SG de la elipse en el espacio.
158
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 149:Respuesta del estudiante 25
El estudiante E21, dibuja dos planos que generan una elipse y un plano paralelo a la base.
Muestra evidencia de estar en vías de comprender el modo SG de la elipse en el espacio.
Figura 150: respuesta del estudiante 21
El estudiante E22, establece posiciones correctas de los planos, muestra evidencias del
tránsito entre los modos SG1 a SG2.
Figura 151: Respuesta del estudiante 22
En la pregunta 5, el estudiante E20, explica que “para formar una elipse se puede de
cualquier forma, pero menos de forma vertical”, en este argumento se evidencia parte del
modo SG2 al analizar solo algunas condiciones de los planos.
159
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 152 : respuesta del estudiante 20
El estudiante E25, no logra conectar los modos SG1 en el plano y SG2 en el espacio de la
elipse, esto se evidencia cuando escribe “el plano debe ir de manera que muestre el interior
de la figura”
Figura 153: Respuesta del estudiante 25
En la pregunta 5, A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el
espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos
de contacto con el plano serán los focos de la elipse.
Observa atentamente
(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para
justificar que la curva formada es una elipse.
La mayoría de los estudiantes(7) se sitúa en un modo SG2 para responder que la figura
formada corresponde a una elipse por la inclinación del plano, 2 de ellos muestran en sus
argumentos elementos del AE de la elipse en el plano, pero estos argumentos no logran
interactuar con el modo SG2 para justificar en AE. A continuación presentan algunas de
las respuestas de los estudiantes
160
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E22, muestra en su argumento elementos de los modos: sintético – geométrico
en el espacio aunque con algunas imprecisiones en el lenguaje, cuando se refiere a
“perpendicular”. Pero al observar las respuestas dadas en la pregunta 3(Figura 151) nos
damos cuenta de que dibuja posiciones correctas de los planos. También muestra
elementos del modo analítico – estructural en el plano, cuando escribe “la figura que se
forma al ser cortada es una elipse porque cada punto de la figura tiene relación con los
focos, además siempre tienen constantes”. Los argumentos dados no son suficientes para
conectar los modos SG2 y AE de la elipse en el espacio.
Figura 154: respuesta del estudiante 22
El estudiante E28, muestra elementos del modo analítico estructural de la elipse, cuando
escribe “al poner un punto cualquiera de la figura y calculamos la distancia a los dos
focos y las sumamos, en todos los puntos de la figura dará el mismo resultado” pero no
logra conectar este modo con el modo SG2 en el espacio, es decir, no muestra
justificaciones a partir de las esferas inscritas en el cono.
Figura 155: Respuesta del estudiante 28
161
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
La pregunta 6, Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es
único? ¿Por qué? Nueve de los estudiantes se sitúan en un modo SG2 para responder,
solo dos de ellos responde en forma correcta.
El estudiante E25, prioriza un modo SG para argumentar sobre la existencia de otros conos
que puedan generar la misma elipse, cuando dice que debe reunir características como
“circunferencias en su interior” “al pasar el plano inclinado formar una elipse “.
También muestra parte del modo AE cuando escribe “la elipse tenga una distancia entre
los focos y un punto de referencia, la distancia no cambie, aunque se mueva para cualquier
lado la distancia debe ser la misma “.
Figura 156: respuesta del estudiante 25
El estudiante E27 justifica desde un modo SG, explicando que “cada cono formará elipses
distintas”. Consideramos que solo piensa en los tamaños de los conos y no en la posición
de los planos respecto a él.
Figura 157: Respuesta del estudiante 27
162
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CONCLUSIONES DEL CASO 2
La mayoría de los estudiantes de este grupo muestra en sus argumentos evidencias de la
comprensión de un modo analítico- estructural, consideramos que la actividad 1 presentada
en la geometría del taxista entrega importantes beneficios en la comprensión del modo AE
a partir de un modo sintético geométrico de la elipse. Los elementos de la geometría del
taxista (distancia discreta, puntos como “esquinas”) facilitan el tránsito entre estos modos.
Lo descrito en el párrafo anterior, se ve reflejado en las conexiones que establecen los
estudiantes en los modos SG y AE en el plano cartesiano, cuando a partir de la propiedad
de la elipse comprendida en la actividad 1 buscan las mismas regularidades , utilizando
elementos de la geometría analítica , como , la distancia entre dos puntos del plano. Este
grupo utiliza mayoritariamente el teorema de Pitágoras para el cálculo de las distancias.
A diferencia del grupo anterior no realizan todos los cálculos de las distancias usando un
método, solo los necesarios. Consideramos que este grupo utiliza menos “cálculos
algorítmicos” que el grupo anterior, Obteniendo resultados similares en estos tránsitos.
En relación al tránsito entre los modos SG - AE- AA, los estudiantes de este grupo
presentan dificultades para obtener una ecuación para la elipse, si bien la mayoría
determina una expresión que se cumple para todos los puntos de la elipse, lo hacen desde
un modo AE. Consideramos que esta dificultad sucede por que los estudiantes no están
apropiados de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, aunque la conocen, la
mayoría no la utiliza. Por lo que, se quedan sin herramientas al momento de establecer una
ecuación.
En el tránsito entre los modos AA y SG, también presentan algunas dificultades. Ellos
muestran evidencias de comprensión del concepto conjunto solución de una ecuación, esto
se refleja cuando tratan de buscar puntos que satisfagan la ecuación dada, presentándose las
dificultades en el desarrollo algebraico que esto requiere, debido a que son ecuaciones de
segundo grado, las cuales las desconocen. Aun así algunos de ellos logran determinar
algunos puntos y concluir que es una elipse por la figura que se forma.
Con respecto a las conexiones entre los modos SG1 - SG2 - AE de la elipse en el espacio,
este grupo de estudiantes tienen problemas al momento de dibujar o describir las
posiciones de los planos al intersectar a un cono. La mayoría muestra elementos del modo
SG2 pero no analizan para todos los casos. Los estudiantes no logran conectar los modos
SG2 y AE, aunque en las actividades anteriores (1 y 2) muestran evidencias de la
comprensión de un modo AE de la elipse en el plano. Puede ser que los elementos que se
presentan en el tránsito, me refiero a las esferas inscritas en el cono, teorema de las
tangentes. Sean distantes en relación a los métodos de justificación que utilizaron en las
demás actividades.
163
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AÑO
MEDIO) .
Este grupo esta compuesto por 11 estudiantes entre 16 y 17 años cursan tercer año medio.
Llamaremos a estos estudiantes E30, E31, E32, E33………E40.
Estos estudiantes tienen conocimientos previos de la ecuación de recta y distancia entre
dos puntos del plano. Son estudiantes de la asignatura álgebra y modelos analíticos
correspondiente al plan científico, que es donde se tratan los lugares geométricos, entre
ellos la elipse. Ellos no habían iniciado el estudio de estos temas, cuando fue aplicado el
instrumento.
Aplicamos el cuestionario en este grupo para evidenciar que tan viable es el instrumento
para iniciar a los estudiantes en el estudio del concepto elipse. Nos enfocaremos
mayoritariamente en la tránsitos de SG – AE en el la geometría del taxista y SG – AE AA en el plano. Aunque se aplica el diseño completo para ver cuáles son las conexiones
factibles entre los modos de pensar la elipse en este caso.
Análisis a posteriori de la actividad 1
Dividimos la actividad en dos partes, de acuerdo a los objetivos planteados, como se
describe a continuación:
Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo familiarizar a los
estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Podemos evidenciar en
las preguntas a y b, que todos los estudiantes muestran en sus argumentos comprender la
distancia como el camino más cortos entre dos esquinas. Ellos se sitúan en un modo un SG
para responder. A continuación se presentan ejemplos de respuestas
Figura 158: Respuesta del estudiante 31
y del estudiante 33
164
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 159 : Respuesta del estudiante 40
El estudiante E31 y E33, muestra algunos de los posibles recorridos que realiza el taxista,
en cambio el estudiante E40 dibuja todos los recorridos desde A a B, todos muestran en sus
argumentos comprender la distancia discreta, concluyendo que esta distancia es cinco
cuadras.
En las preguntas c y d, donde se les pide a los estudiante que grafiquen circunferencia, dada
la definición. La mayoría de los estudiantes (8) logra graficar la circunferencia utilizando
la métrica discreta, es decir, establecen conexiones entre los modos AE y SG de la
circunferencia. Solo 3 de ellos dibujan la circunferencia con las métricas usuales o bien
ambas. A continuación se presentan algunos ejemplos
Figura 160: Respuesta del estudiante 34
y del estudiante 30
En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”.
Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen
los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.
165
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Todos los estudiantes muestran evidencias del tránsito entre los modos SG y AE de la
elipse, estableciendo en cada una de las figuras la siguiente condición : la suma de las
distancias de todos los puntos de la elipse a los focos es constante. A continuación se
muestran algunos ejemplos de respuestas.
El estudiante E36, determina las distancia en cuadras de F y F’ a todos los puntos de la
elipse. E36 Observa regularidades de las distancias, relativas a la simetría, cuando escribe
“ los puntos cercanos a el foco F tienen la misma distancia que los puntos cercanos al foco
F’ ”. Finalmente concluye que: “la suma de las dos distancias de los focos siempre es 8”.
Figura 161: Respuesta del estudiante 36
166
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E35 , al igual que E36 establece las distancias de cada uno de los puntos a los
focos F y F’ , concluyendo que “ la distancia al sumarla siempre sera 6 en los puntos “ .
Figura 162: Respuesta del estudiante E35
El estudiante E40, elige algunos puntos a los que llama A, B, C, determinando las
distancias de los puntos a F y F’, para concluir que “ la suma de las cuadras recorridas de
cualquier punto a F y F’ es 6”
Figura 163: respuesta del estudiante 40
En la pregunta f) Muestra un ejemplo distinto a los anteriores de elipses en “Geocity”. 7
de los estudiantes dan ejemplos de elipse desde un modo AE, los otros 4 están en vías de
comprender el modo AE, por lo que, dibujan solo algunos puntos que cumplen la
condición. a continuación se muestran dos ejemplos de respuestas : El estudiante E34
establece todos los puntos que cumplen la condición dada, en cambio el estudiante E38
no muestra la totalidad de los puntos que cumplen la condición.
167
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 164: Respuesta de los estudiantes 34 y 38
En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en “Geocity”. 5 de los estudiantes
dan definiciones en donde se evidencia un modo AE de la elipse. Los demás establecen en
la definición la condición de los puntos de la elipse, presentando dificultades al definir el
conjunto de puntos. A continuación se muestran ejemplos de respuestas:
Los estudiantes E38 y E35 solo dan cuenta de la relación de los puntos respecto a los
focos, El informante E31 en cambio argumenta que es un conjunto de puntos que cumple
una cierta característica.
Figura 165: Respuesta del estudiante 38
Figura 166: Respuesta del estudiante 31
Figura 167: Respuesta del estudiante 35
168
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta h) Justifica si las figura 6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en
“Geocity”.
Consideramos que esta pregunta resume las conexiones entre los modos de pensar la elipse
en la geometría del taxista de las actividades anteriores. Debido a que el estudiante debe
tener claridad de la elipse como un conjunto de puntos que cumple una condición para
enfrentarse a la pregunta.
En este caso todos los estudiantes muestran en sus argumentos evidencias de la
comprensión del modo analítico – estructural de la elipse. A continuación se presentan 2
ejemplos de respuestas.
Los estudiantes E31 y E32 comprenden la elipse como un lugar geométrico, esto queda en
evidencia cuando prueban la condición respecto a la suma de las distancias de los puntos
de la elipse a los focos para varios puntos en las figuras. Argumentando respectivamente
E31 y E32 en la figura 6, “no es una elipse, porque al sumar las cuadras no dan siempre
los mismos valores “, “no es una elipse de los focos F y F’ ya que al sumar la distancia de
un punto cualquiera con respecto al foco F con la distancia del mismo punto anterior al
foco F’ este da resultado diferentes en cuadras”, y en la figura 7 concluyen que “si es
elipse , porque al sumar las cuadras siempre va a dar 4 cuadras y no otro valor “, “si es
una elipse de focos F y F’ , ya que al sumar la distancia de un punto cualquiera con
respecto al foco F y la distancia del mismo punto anterior con respecto al foco F’ esta
suma será de cuatro cuadras “.
Figura 168: Respuesta de los estudiantes 32 y 31
169
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2
La actividad 2 evidencia los tránsitos entre los modos SG-AE-AA de la elipse en el plano.
En la pregunta 1) Las figuras 8, figura 9, figura 10 y Figura 11 representan elipses de
focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la
elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos
de la elipse.
Todos los estudiantes logran conexiones entre los modos SG y AE de la elipse,
estableciendo las distancias de los puntos de coordenadas exactas a los focos , para ello
utilizan la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. 9 de ellos establecen
correctamente el valor de la constante en todas las figuras y los demás(2) determina el
valor de la constante en alguna de ellas. a continuacion se presentan algunos ejemplos :
El estudiante E40 , determina las distancias de los vertices de la elipse a los focos
,utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, concluye que “ la suma de
la distancia entre los focos es igual para todos los puntos de la elipse”.
Figura 169: respuesta del estudiante 40
170
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E31 , determina las distancias de los vertices de coordenadas (2,0) y (-2,0) a
los focos ,concluyendo que “ al sumar las distancias con respecto a los focos F y F’ con un
punto exacto de la elipse en el plano cartesiano , este dara el mismo resultado, en este caso
4”
Figura 170: respuesta del estudiante 31
El estudiante 39 elige dos puntos de la elipse a los que llama A y B , luego determina las
distancias de los puntos a ambos focos ,a traves de la fórmula de distancia entre dos puntos
del plano. concluyendo que “ la caracteristica común de los puntos respecto a los focos es
√
√ ” “ la suma de los puntos es √
√ ”.
Figura 171: Respuesta del estudiante 39
171
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E35,determina la distancia de dos puntos a los focos F y F’, utiliza la fórmula
de la distancia entre dos puntos del plano , solo en los casos que considera necesario.
concluyendo que “ la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos f y f’ es
√ ”
Figura 172: Respuesta del estudiante 35
En la pregunta 2) Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano, 5 de ellos
muestran en sus definiciones comprender la elipse en un modo AE , los demas estudiantes
dan cuenta solo de la condición de los puntos en relacion a los focos, es decir , argumentan
utilizando una parte del modo AE. a continuacion se presentan algunos ejemplos de
respuestas
El estudiante E32 , muestra en sus argumentos estar en vias de la comprension del modo
AE, cuando escribe “ la distancia entre dos puntos exactos siempre va a sumar lo mismo
que con otros dos puntos.” piensa la elipse como “ una figura que posee puntos en el
plano cartesiano”. pero al parecer no logra comprender la elipse como un conjunto de
puntos que cumple una condición.
Figura 173: respuesta del estudiante 32
172
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E37, tambien muestra en sus justificaciones estar en vias de comprension del
modo AE de la elipse, cuando escribe “ donde los puntos exactos (paralelos) tienen igual
distancia con respecto a los focos”. aunque especifica que “es un conjunto de puntos que
tienen una semejanza común “ no se aprecia en su redacción la comprension de la
propiedad.
Figura 174: Respuesta del estudiante 37
El estudiante E39 , muestra en su respuesta comprension del modo AE de la elipse , esto
queda en evidencia cuando escribe “ la suma de las distancias entre los puntos y los dos
focos que conforman la elipse sera la misma “.
Figura 175: Respuesta del estudiante 39
En la pregunta 3, En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB)
de focos F y F’.
Figura 12
todos los estudiantes muestran evidencias de comprender el modo AE de la elipse,
relacionan el valor de la constante de la elipse con la longitud del eje mayor.
173
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E32 , argumenta desde un modo AE de la elipse , cuando escribe “ la
distancia entre A y B será de 16 cm , porque se suma la distancia entre P yF´( 9 cm ) y P y
F ( 7 cm ) para que asi de la distnacia de A y B”. el estudiante para dar una respuesta ,
analiza que sucede en una las elipses de la pregunta 1 de esta actividad en relación al eje
mayor.
Figura 176: Respuesta del estudiante 32
El estudiante E34 , argumenta que “ la medida de AB es de 16, ya que, la medida de F’
hacia P es de 9 cm y la medida de P hasta F es 7 , y aunque el punto P se mueva hacia
cualquier punto de la elipse va a medir lo mismo de distancia sumada entre F, el punto y
F’, ya que cuando una medida entre F y P se achica , la medida de F’ y P se agranda”.
observamos en la respuesta dada, que el estudiante entiende la elipse como un lugar
geometrico , donde P es un punto que se mueve en relacion a los focos.
Figura 177: respuesta del estudiante 34
174
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E40 , argumenta “ el eje mayor mide 16 cm , ya que del punto P a ambos
focos suman 16 cm . sabiendo que de cualquier punto la distancia a los focos es la misma”.
muestra en la definicion comprensión del modo analitico estructural de la elipse.
Figura 178: respuesta del estudiante 40
En la pregunta 4, Sea P(x ,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca
una ecuación que defina la elipse .
Figura 13
7 de los estudiantes muestran en sus argumentos evidencias del transito SG – AE – AA.
Estos estudiantes para transitar del modo SG a AA muestran comprender la elipse en un
modo AE y a través de las distancias establecen la ecuación. Los demás (4) muestran
conexiones entre los modos SG y AE. A continuación se presentan algunos ejemplos
El estudiante E36 esta en vías de comprender el modo AA de la elipse, muestra en su
desarrollo comprensión de la elipse en un modo AE cuando escribe “la distancia de P y F
+ distancia de P y F´= distancia de AB”. Se da cuenta que la fórmula de distancia entre
dos puntos del plano permite escribir lo anterior de otra forma, pero no generaliza para un
punto P(x, y), sino que usa un punto de la elipse.
Figura 179: respuesta del estudiante 36
175
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
El estudiante E39 , muestra en sus desarrollo comprender la elipse en un modo analítico –
aritmético , cuando escribe las distancias de PF y PF’ a partir de la fórmula de distancia
entre dos puntos del plano para un punto P(x,y) , además explica que “ la suma de las dos
expresiones dará el resultado del punto con respecto a los focos , el cual se repetirá con
cualquier punto de la elipse , el cual será 10”
Figura 180: respuesta del estudiante 39
El estudiante E35 (Figura 181), muestra evidencias del tránsito SG - AE - AA, entiende la
elipse como un lugar geométrico cuando escribe “ dPF + dPF’ = 10”. A partir de la
condición anterior y la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, E35 transita a un
modo AA, esto se evidencia, cuando argumenta “ la suma de las distancias de P(x,y) a
cada uno de los focos F’(-4,0) y F(4,0) es 10” y cuando escribe la ecuación
√
√
.
Figura 181: respuesta del estudiante 35
176
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3
En la pregunta 1) Determine si la ecuación
corresponde a una elipse en
el plano cartesiano. Justifique su respuesta. La mayoría de los estudiantes (8) muestra
conexiones entre los modos AA- SG, obtiene la gráfica de la elipse reemplazando los
puntos en la ecuación, aunque algunos de ellos solo grafican en discreto. Los demás
estudiante (3) obtiene algunos puntos pero no los ubican en el plano, presentan
dificultades en los cálculos para determinar los puntos.
El estudiante E35, muestra en sus desarrollo evidencias del tránsito entre AA y SG,
obteniendo distintos puntos de la elipse, para ello reemplaza puntos en la ecuación, y
resuelve las ecuaciones cuadráticas que resultan. Aunque al ubicar los puntos en el plano
cartesiano no los une, igualmente concluye que “la ecuación
si
corresponde a una elipse”
Figura 182: Respuesta del estudiante 35
El estudiante E32, muestra evidencias del transito entre los modos AA y SG, para ello
completa una tabla de valores, despejando de la ecuación las variable x e y. posteriormente
ubica los puntos en el plano y justifica que “Si es una elipse, porque tiene la forma y se
parece a una elipse”.
Figura 183: Respuesta del estudiante 32
177
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En la pregunta 2) Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses
de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a
elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles?
En la pregunta 2, ítem a y b, buscan evidenciar el tránsito entre los modos SG – AE. La
mayoría de los estudiantes (10 y 9 respectivamente), en ambas figuras priorizan un modo
AE para argumentar que las figuras son elipse de focos F y F’. A continuación se
presentan ejemplos de respuestas:
El estudiante E31, argumenta desde un modo AE, cuando escribe “ sacar la distancia de F
al punto C; luego determinar la distancia de el foco F’ al punto C y sumarlas; después
hago la misma operación con otro punto y comparo los resultados de la suma de las
distancias “. Aunque no escribe que las sumas de las distancias deben ser iguales,
consideramos que cuando dice “comparo los resultados” puede estar pensando en la
igualdad.
Figura 184: respuesta del estudiante 31
El estudiante E34, escribe dos estrategias desde un modo AE, estas son: “lo pondría en un
plano cartesiano y le daría puntos exactos para sacar mas fácilmente la medida de Fa y las
medidas de F’a y sumarlas y hacer el mismo cálculo con el punto b, cosa que den el
mismo resultado” y “ hacer un triángulo FF’A y sacar el perímetro y hacer los mismo
con un triángulo FBF’ y sacar perímetro y que tengan el mismo resultado los dos
triángulos ” .
178
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 185: Respuesta del estudiante 34
Las preguntas 3 y 4 propician el tránsito entre los modos sintético-geométrico de la elipse
en el plano y en el espacio.
La mayoría de los estudiantes de este grupo en las preguntas 3 y 4 solo establecen algunas
posiciones correctas de los planos, algunos de ellos utilizan material concreto, crean un
cono de papel y a partir de ellas buscan las condiciones que debe tener un plano para que al
intersectarse con el cono genere una elipse. Aún así presentan dificultades para transitar de
SG1 a SG2. A continuación se presentan ejemplos de respuestas.
3) En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las
figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje
distintos planos de modo que formen una elipse con el cono.
Los estudiantes E39 y E37 presentan algunas posiciones correctas de los planos, pero
ambos consideran el plano paralelo a la base como uno de los casos, al parecer no tienen
claridad que la base de un cono es circular. Ambos están en vías de comprender el modo
SG2 de la elipse en el espacio.
Figura 186: Respuesta del estudiante 39
179
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 187: Respuesta del estudiante 37
4) Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una
elipse con el cono.
El estudiante E37, muestras casos que no forman elipse, pero considera el plano paralelo a
la base como uno de los casos que si forma una elipse. E38 en cambio, comprende el modo
SG2 de la elipse, presentando mayores características de la posición del plano estas son:
“no debe ser ni vertical ni horizontal” “debe posicionarse solo en los lados del cono y su
punto limite es el punto de la base” “tiene que ser inclinado para que no forme una
circunferencia”.
Figura 188: Respuesta del estudiante 37
Figura 189 : Respuesta del estudiante 38
180
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
La pregunta 5 propicia el tránsito entre los modos SG2 y AE de la elipse. Nueve de los
estudiantes muestran elementos del modo AE en el plano, pero no logran justificar en el
espacio, aunque conocen el teorema de las tangentes desde un punto exterior a la
circunferencia no lo utilizan. Los demás estudiantes justifican desde un modo SG2. A
continuación se presentan ejemplos de respuestas:
5) A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio.
Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de
contacto con el plano serán los focos de la elipse.
Observa atentamente
(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para
justificar que la curva formada es una elipse.
Figura 190: animación de la elipse
El estudiante E32, justifica desde un modo AE de la elipse en el plano cuando escribe “si
es una elipse porque la distancia de cualquier punto de la elipse en este caso M, entre los
focos F1 y F2; la suma de estas distancias va a ser igual, que las distancias de otro punto x
de la elipse entre los focos F1 y F2”. Aunque el estudiante muestra comprender el AE de
la elipse, este no interactúa con el modo SG2, por lo tanto, las esferas inscritas en el cono
no tienen relevancia al momento de justificar.
181
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 191: Respuesta del estudiante 32
El estudiante E30, justifica desde un modo SG2 cuando escribe “para que exista elipse en
un cono. el plano que lo intersecta tiene que ser inclinado” . E30 no logra conectar los
modos SG2 y AE de la elipse.
Figura 192: Respuesta del estudiante 30
El estudiante E40, muestra elementos de los modos SG2 cuando escribe “el punto en que
choca la esfera con el plano es utilizado como foco, por lo que tiene mucha relación con la
forma de la elipse” y también presenta elementos de modo AE de la elipse cuando
escribe “si F1 y F2 se encuentran en determinadas posiciones y todos los puntos que
forman la elipse están distribuidos de acuerdo a la suma de las distancias a los focos”.
Este estudiante esta en vías de tránsito entre los modos SG2 y AE, aunque muestra
elementos de ambos modos, justifica a partir de la forma de la elipse y no de la condición
de los puntos de ella en relación a las esferas inscritas en el cono.
182
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Figura 193: respuesta del estudiante 40
La pregunta 6, evidencia el modo que priorizan los estudiantes cuando se pregunta por la
elipse en el espacio.
6) Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por
qué?.
6 de los estudiantes determinan que el cono no es único depende de la posición del plano
en los conos, ellos se sitúan en SG2 para responder. Los demás responden desde un modo
SG en forma incorrecta. A continuación se presentan ejemplos de respuestas
El estudiante E40 argumenta desde un modo SG2, explicando que no es único porque “no
solo depende de la forma y tamaño del cono y de cómo intercepte al plano, sino que
también del tamaño y posición de las esferas inscritas en el cono y el punto que choquen al
plano” “no importa si el plano intercepta mas cerca o lejos del eje si el punto de
intersección del plano y las esferas pone los focos en cierta posición”
Figura 194: respuesta del estudiante 40
183
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Los estudiantes E35 y E32 responden en forma incorrecta explicando que el cono es único,
porque “hay un único cono para cada elipse, ya que depende de la forma del cono” o bien
“otro cono con diferentes medidas va a generar otra elipse diferente”
Figura 195: Respuesta del estudiante 35
Figura 196: Respuesta del estudiante 32
184
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CONCLUSIONES DEL CASO 3
En relación a los objetivos propuestos en las actividades:
La mayoría de los estudiantes de este grupo al igual que en los casos anteriores (1 y 2)
muestra en sus argumentos evidencias de la comprensión de un modo analítico- estructural
en las actividad 1 y 2. Es fundamental la actividad 1 presentada en geometría del taxista
para la comprensión del modo AE a partir de un modo sintético geométrico de la elipse.
A partir de las comprensiones que logran en la actividad 1, establecen sin mayores
dificultades las mismas conexiones entre los modos SG y AE en el plano cartesiano, ellos
buscan las mismas regularidades de la actividad 1, pero con los elementos propios de la
geometría analítica, como, la distancia entre dos puntos del plano. En este tránsito los
estudiantes utilizan mayoritariamente la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. .
En relación al tránsito entre los modos SG - AE- AA, la mayoría de los estudiante
evidencia estar en vías de la comprensión del modo AA de la elipse, para obtener la
ecuación utilizan la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. A diferencia del caso 2
este grupo logra mayores conexiones entre estos modos.
En el tránsito entre los modos AA y SG, muestran evidencias del tránsito a través de
elementos analíticos como son: comprensión del concepto conjunto solución de una
ecuación, desarrollo de ecuaciones de segundo grado. La mayoría busca puntos que
satisfagan la ecuación dada, luego los grafican en el plano concluyendo en relación a la
figura que se forma.
La mayoría de los estudiantes de este caso, muestran evidencias de los tránsitos entre SGAE - AA y la comprensión de estos modos en el plano cartesiano. Las dificultades que
se presentaron corresponden a desarrollos algorítmicos en su mayoría de fórmulas o
ecuaciones de segundo grado.
Con respecto a las conexiones entre los modos SG1 - SG2 - AE de la elipse en el espacio,
este grupo al igual que el grupo anterior presenta dificultades al momento de dibujar o
describir las posiciones de los planos que al intersectar a un cono forme una elipse. La
mayoría muestra elementos del modo SG2 pero no analizan para todos los casos. En
relación a las conexiones entre los modos SG2 y AE, los estudiantes presentan elementos
de ambos modos pero no logran que ellos interactúen, las esferas inscritas en el cono, solo
son vistas desde un modo SG2, ningún estudiante logra relacionarlas con el modo AE de la
elipse, aunque tienen conocimiento previos relacionados con los teoremas de las
circunferencias. Creemos que esto se debe principalmente a que las justificaciones de las
actividades anteriores entregaban un valor numérico, en cambio en esta actividad necesitan
generalizar a partir de los teoremas en juego.
185
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CAPÍTULO VIII:
CONCLUSIONES
186
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
A partir con los resultados obtenidos en nuestra investigación, en los estudios de los casos
1 ,2 y 3, entregamos un conjunto de sugerencias didácticas para el aprendizaje del
concepto elipse en estudiantes de 15 a 17 años.
Iniciar con actividades donde los estudiantes transiten entre los modos SG-AE, sugerimos
para los aprendices las actividades presentadas en la geometría del taxista (actividad 1 del
cuestionario), ya que, nos entregan importantes beneficios en la comprensión del modo AE
a partir de un modo SG de la elipse. Los elementos de esta geometría (distancia discreta,
puntos como “esquinas”) facilitan la comprensión de la propiedad que la define como lugar
geométrico “la suma de las distancias de un punto de la elipse a ambos focos es siempre
constante”, además permite probar que ésta se cumple para todos los puntos de la elipse,
situación que no es evidente en la geometría euclidiana. Nuestra atención en las actividades
presentadas se centran en el modo AE de la elipse, sin desconocer que estas actividades
entregan importantes hallazgos respecto a características geométricas de la elipse, como es
el caso de la simetría, en donde algunos de los estudiantes se dan cuenta que no es un
criterio suficiente para determinar si las figuras presentadas son elipses o no (Actividad 1,
pregunta h).
Otras de las ganancias, que permite el trabajo con la geometría del taxista, es que se puede
trabajar distintas posiciones de los focos de la elipse, lo cual no es un problema al momento
de determinar la constante de la elipse. Situación que no es usual en el enfoque tradicional
por la complejidad de las ecuaciones que las definen.
Sugerimos además proponer otras actividades que promueven la comprensión del
concepto como lugar geométrico, situaciones donde se les solicite a los aprendices
graficar elipses en “ Geocity ” conociendo el(los) valor(es) de la constante y la distancia
entre los focos, considerando que es una ciudad con una cantidad finita de calles y
avenidas. Seria interesante que evidencien cuales se pueden construir y cuales no, y que
puedan determinar las condiciones mínimas de existencia, por ejemplo:
Sea “F “la intersección de calle 8 con avenida 10, y “F’ ” la intersección de calle
8 con avenida 14. Grafique las “elipses” de focos “F” y “F’ ”, para cada uno de
los siguientes valores de la constante de la elipse (d) “d”: 3; 4;5;6;7;8 ¿existen
todas ellas? ¿Qué forma tienen?
Evidenciamos que los estudiantes que comprenden la elipse en el modo AE, presentan
mayores posibilidades de alcanzar la comprensión profunda del concepto, debido a que esto
ayuda en la conexión con los otros modos SG y AA de la elipse.
187
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Una vez comprendido el modo AE de la elipse en la geometría del taxista, los aprendices
pueden establecer las conexiones entre los modos SG-AE en el plano cartesiano, con los
elementos propios de la geometría analítica, como, la distancia entre dos puntos del plano.
Es interesante presentar distintas elipses en el plano, no solo aquellas centradas en el
origen que son en las que se propone en el enfoque tradicional.
Cuando los estudiantes se enfrentan a tareas donde deben situarse en un modo AE para
responder, proponemos trabajar en el valor de la constante, relacionándolo con la distancia
entre los vértices del eje mayor de la elipse. (Actividad 2, pregunta 3).
Una vez comprendido el modo AE en el plano cartesiano, se puede propiciar el tránsito al
modo AA de la elipse, estableciendo las relaciones entre sus elementos a, b y c
(semidistancia del eje mayor, semidistancia del eje menor, semidistancia del eje focal
respectivamente), cobrando así sentido la expresión
. Se puede proponer que
establezcan una expresión entre los puntos de la elipse y los focos en un modo AE, y
utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, pueden determinar una
ecuación para la elipse. Es importante destacar que algunos de los estudiantes de los casos 2
y 3 presentaron dificultades en este tránsito, por lo tanto, se sugiere realizar un trabajo
previo en el concepto de distancia entre dos puntos del plano.
Para la comprensión del modo AA de la elipse, sugerimos presentar a los estudiantes
situaciones como: donde el alumno deba explicar por qué tal punto (par) es solución de la
ecuación o por qué tal punto (par) no lo es, donde grafique la elipse dada la ecuación,
donde obtenga la ecuación a partir de las gráficas. Este tipo de actividades promueve que
los estudiantes comprendan la elipse como “Un conjunto de puntos del plano que satisface
una ecuación”, para que se realice con éxito esta conexión, es importante el concepto de
conjunto solución de una ecuación por parte de los estudiantes.
Posteriormente se pueden introducir situaciones donde los estudiantes complementen los
modos SG, AA y AE de la elipse.
Consideramos pertinente que los estudiantes de este nivel comprendan la elipse como una
sección cónica desde un modo SG, como la intersección de un cono y un plano. Con
respecto al tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en el espacio (actividad 3,
preguntas 5 y 6), en base a los resultados de esta investigación, consideramos que no es
viable para estudiantes que se inician en el estudio del concepto, ya que, nuestros casos 2 y
3 presentaron grandes dificultades para comprender la interacción de estos modos en el
espacio, aunque la mayoría de ellos comprende el modo AE de la elipse en el plano. Puede
ser que los contenidos matemáticos y los procedimientos necesarios para dar una respuesta
no están al alcance de estudiantes en estos niveles.
Pero si, imaginamos que estas actividades (actividad 3, ítem 5 y 6) se pueden trabajar al
finalizar el estudio del concepto elipse, muestra de ellos, son los resultados del caso 1, en
188
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
donde la mayoría justifica el modo AE de la elipse utilizando técnicas sintéticas, como,
propiedades de las esferas inscritas en el cono, teorema de las tangentes a la circunferencia,
entre otras.
En los niveles posteriores, se pueden complementar los modos SG y AE de la elipse en el
espacio, con el modo AA, que esta dado por el sistema de ecuaciones que se forma a partir
de las ecuaciones del cono y del plano.
CONCLUSIONES TEÓRICAS Y REFLEXIONES FINALES
Al inicio de nuestra investigación nos planteamos las siguientes interrogantes
¿Cuáles son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que promueve
alcanzar una comprensión profunda de éste?
¿Qué elementos de la Matemática están presentes en la comprensión profunda del
concepto elipse?
¿Estos elementos tienen características geométricas, analíticas u
obedecen a estructuras matemáticas?
En relación a la primera interrogante, evidenciamos que los estudiantes que comprenden
la elipse como un lugar geométrico (modo AE), presentan mayores posibilidades de
alcanzar la comprensión profunda del concepto, debido a que esto ayuda en la interacción
con los otros modos SG y AA de la elipse en el plano. Desde los resultados de
investigación argumentamos que la conexión entre los modos SG- AE en la geometría del
taxista y SG-AE-AA en el plano cartesiano contribuyen a la comprensión del concepto
elipse. Al inicio de la investigación planteamos dos modos SG de la elipse uno en el plano
y otro en el espacio. Consideramos pertinente en la enseñanza del concepto, en un
principio trabajar en los distintos enfoques de la elipse en el plano. Para luego propiciar los
modos de comprender la elipse en el espacio.
En relación a las otras interrogantes, planteamos que los elementos de la matemática que
promueven el tránsito entre los modos de comprender la elipse en el plano cartesiano en
estudiantes que se inician en el estudio, obedecen principalmente a estructuras, como se
explica a continuación: Para transitar de SG a AE, se requiere de la comprensión de la
definición de elipse como lugar geométrico (o descubrir su definición a través de la
observación de regularidades ) y el concepto de distancia entre dos puntos del plano. Desde
AA - SG necesitamos del concepto de conjunto solución de una ecuación en el plano y
desarrollo algorítmicos de las ecuaciones de segundo grado. Desde AE – AA requerimos
del concepto de distancia entre dos puntos del plano, ya sea, la fórmula analítica que la
define o bien el teorema de Pitágoras. Desde AA - AE necesitamos elementos de SG y
AE para establecer la constante y poder definir la elipse como un conjunto de puntos que
189
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
cumplen una condición. Desde AE-SG, hay distintos elementos que los conectan, puede ser
la ecuación que la define, o bien utilizando la definición como lugar geométrico y el
concepto de distancia. y desde SG - AA requerimos de la definición formal del concepto ,
en caso de que se desconozcan las ecuaciones.
Enfatizamos que en la mayoría de las conexiones entre los modos de comprender la elipse,
hay elementos que obedecen a la definición formal del concepto como son: el conjunto
solución de una ecuación, el concepto de distancia, el concepto de elipse como lugar
geométrico. Y también hay elementos en su mayoría analíticos que ayudan en la
interacción: fórmula de distancia, desarrollos algorítmicos de las ecuaciones cuadráticas,
cálculo de raíces cuadradas, entre otros.
A partir de los resultados obtenidos en el caso 1 donde los estudiantes realizan con éxito
las conexiones de los modos SG y AE en el espacio, evidenciamos que los elementos de la
matemática que propician esta conexión tienen características geométricas, y los
procedimientos de justificación requieren de un mayor nivel de abstracción.
En relación a los modos de comprender la elipse, hacemos énfasis que si bien los tres
modos son igualmente importantes para la comprensión del concepto. Una vez
comprendido, el modo analítico – estructural es el que se conserva cuando trabajamos en
otros ámbitos, por ejemplo, otras geometrías o la física.
Para finalizar queremos enfatizar que las evidencias con sustento teórico, proporcionadas
de los resultados de la investigación, contribuyen al desarrollo de la teoría de los modos de
pensamiento en otros ámbitos, un tanto distante del álgebra lineal, como por ejemplo, en el
estudio de las secciones cónicas u otros temas relativos al cálculo; sin descuidar los
elementos principales de la teoría.
190
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
BIBLIOGRAFÍA
Arnal, J.; Del Rincón, D.; Latorre, A. (1992). Investigación Educativa. Fundamentos y
Metodología. Barcelona: Labor.
Arnal, J.; Del Rincón, D.; Latorre, A. (1992). “La investigación colaborativa”. En J. Arnal;
D. Del Rincón y A. Latorre: Investigación Educativa. Fundamentos y Metodología.
Barcelona, Labor.
Blanco Molleda , S., De las Heras Karl, R., Fuenzalida Correa, G., & Riveros Rojas , J.
(1995). Matemática Plan Electivo III y IV medio. Santiago : Santillana .
Boyer , C. (1986). Historia de las Matemática. Madrid: Alianza Universidad.
Contreras , A., Contreras , M., & Garcia , M. (2002). Sobre la geometría Sintética y
Analítica: La elipse y sus construcciones. Latinoamericana de investigación en Matemática
Educativa, 111-132.
Del Castillo, A (2004). Geometría Dinámica y Sistemas de Computo Simbólico en la
enseñanza de la geometría Analítica. Memorias de la XIV semana regional de investigación
y docencia Matemáticas. México
Elliott, J. (1994). La investigación-Acción en Educación. Editorial Morata: España.
Elliott, J. (1994). La investigación-Acción en Educación. Editorial Morata: España.
Española, R. S. (2000). El legado de las Matemáticas . Sevilla: Universidad de Sevilla .
Gascón, J. (2003). Efectos del autismo temático sobre el estudio de la Geometría en
secundaria . SUMA, 25-34.
Goetz, J.P.; Lecompte, M.D. (1988). Etnografía y diseño cualitativo en investigación
educativa. Ditorial Morata: España.
González , M., Paniagua , J., & Patiño, G. (2008). Secciones Cónicas: Una mirada de la
derivación implicita. Instituto Tecnológico Metropolitano.
González Urbaneja , P. M. (2007). Raíces históricas y trascendencia de la geometría
analítica. SIGMA , 205-236.
González Urbaneja , P. M. (2008 ). Euler y la Geometría Analítica . Quaderns d' historia de
l' enginyeria, 83-116.
Grégoire , M. (1992). Mathématiques Aproche par les textes Historiques. Mnemosyne , 2941.
191
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Krause, E. (1986). Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry. New
York, United States of America: Dover Publications
Latorre, A., Rincón, D. Del, Arnal, J. (2003): Bases metodológicas de la investigación
educativa. Barcelona: Ediciones Experiencia.
Lehman. (1987). Geometria Analitica . México : Itesa.
Leithold, L. (1998). El Cálculo séptima edición . México : Orfoxd University press-harla.
Ministerio de Educación. (2001). Programa de estudio Algebra y Modelos Analíticos 3°
Año Medio. Santiago: Mineduc.
Ruiz , A. (s.f.). Historia y Filosofía de las Matemáticas . Argentina : EUNED.
SAS, C. (2009). Cabrilog, Creador de herramientas Matemáticas . Obtenido de
http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3
Schmid, R. (1993). Geometría descriptiva con figuras estereoscópicas. Barcelona :
REVERTÉ.
Sierpinska, A. (2000). On some aspects of students' thinking in linear algebra. En J.L.Dorier (ed.), On the Teaching of Linear Algebra. Kluwer Academic Publishers, (209246).
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable , trascendente tempranas-sexta edición. México:
Cengage Learning Editores.
Stake, R.E. (1995) The Art of Case Study. Sage. London
Tapia Moreno , F. J. (2002). Apolonio, el geómetra de la Antiguedad. Arenario, (1-31).
Ochoviet, T. (2009). Sobre el concepto de solución de un sistema de ecuaciones lineales
con dos incógnitas. Tesis para obtener el grado de Doctora en Matemática Educativa.
Instituto Politécnico Nacional. México
Parraguez, M. & Bozt, J. (2012). Conexiones entre los conceptos de dependencia e
independencia lineal de vectores y el de solución de sistemas de ecuaciones lineales en R2
y R3 desde el punto de vista de los modos de pensamiento. Revista electrónica de
investigación en educación en ciencias (Publicación en Julio 2012).
Wentworth, J., & Smith, D. E. (2001). Geometría Plana y del Espacio. México: PORRÚA.
Zimmermann, W. Y Cunningham, S. (1991). Visualisation in Teaching and Learning
Mathematics. Washington, DC:Mathematical Association of America.
192
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANEXOS
193
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANEXO 1: DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA
ELIPSE EN LIBROS DE CÁLCULO UTILIZADOS EN EDUCACIÓN
SUPERIOR
A continuación se describe la presentación de la elipse en libros utilizados en la enseñanza
superior en la asignatura de: Cálculo, estas descripciones nos enfocaremos en la estructura
de presentación del tema, y a los elementos que se priorizan en ella.
Trigonometría y geometría analítica (2001) de Arenas, F; Masjuán,G ; y Villanueva,F
. Ediciones Universidad Católica de Chile. (pág 571- 653)
La elipse, aparece en el capítulo XII, las cónicas. Como se describe a continuación:
El capítulo se inicia con una breve introducción historia del concepto, luego explica que las
secciones cónicas se producen al intersecar una superficie cónica circular recta por medio
de planos. Luego demuestra que una curva de intersección entre un cono y un plano una
sección que tiene a
por focos y a
, respectivamente, como directrices
correspondientes. Se apoya en la siguiente figura:
A partir de relaciones geométricas y razonen trigonométricas deduce que toda intersección
de un plano y el cono es una cónica, determinada por una constante positiva, denominada
excentricidad.
Luego “denomina elipse al lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos F y F’ (conocidos como focos) es constante” (577).
Mediante desarrollo algebraico obtiene la ecuación canónica de la elipse
,
describe también los elementos de la elipse y da fórmula para la longitud el lado recto.
Se dan a conocer también la ecuación
+
que presenta la elipse cuando
los ejes mayor y menor de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro es C
(h; k). Complementa con la ecuación paramétrica de la elipse
{
[
[
En otra sección precedente a la anterior , a la que llama, Ecuación directriz, foco,
excentricidad, propone una definición para las cónicas a partir de la excentricidad: “Dados
un punto fijos F,F’ llamado foco, una recta fija d, conocida como directriz y un número
194
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
real positivo e, denominado excentricidad, se llama cónica al lugar geométrico de los
puntos del plano cuyo cuociente entre sus distancias a F y a d es “ (p586) , obteniendo a
través de métodos algebraicos la ecuación :
( apoyado
en la figura adjunta)
Propone para la elipse, un desarrollo algebraico cuando
Finalmente presenta la ecuación general de segundo grado
Realizando un análisis para determinar el tipo de lugar geométrico que representa en el
plano esta ecuación, para ellos, considera sus dos partes: parte cuadrática y la parte lineal y
la variación de los parámetros.
En el libro descrito anteriormente, podemos identificar que entre las definiciones de una
elipse como sección cónica, lugar geométrico y a partir de las ecuaciones que la describen,
existen elementos matemáticos que las conectan, combinando técnicas sintéticas y
algebraicas.
Cálculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edición (2008) - James
Stewart editorial: Cengage Learning Editores.
La elipse se trata en el capítulo X, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares,
Particularmente en secciones cónicas, se muestran la intersección del plano y un cono
cuando genera una elipse. Luego se define la elipse como un conjunto de puntos, donde la
suma de sus distancias de dos puntos fijos es una constante. A través de la definición con
procedimientos algebraicos obtiene la ecuación cartesiana de la elipse.
luego se la definición de elipse , como conjunto de puntos relacionados a partir de la
excentricidad , y partiendo de la definición por medio de herramientas algebraicas
establecidas por las relaciones geométricas dadas , obtiene las siguientes ecuaciones
polares:
“Una ecuación polar de la forma
o bien
representa una
sección cónica con excentricidad . La cónica es una elipse si
, una parábola
,o
una hipérbola si
” (p.666)
Finalmente se relaciona la ecuación polar de la elipse con la primera ley de Kepler “un
planeta gira alrededor del Sol en orbita elíptica con el Sol en un foco “para determinar
195
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
cálculos astronómicos, a partir de la elipse, donde los vértices corresponden a perihelio y
afelio13
Determinando la distancia al perihelio de un planeta al sol es
afelio es
.
y la distancia al
El foco del libro se centra en la obtención de las ecuaciones cartesianas y polares, y en la
importancia de estas últimas (definidas a partir de la excentricidad) tienen para tratar temas
de astronomía.
El cálculo séptima edición, Louis Leithold (1998) editorial: Orfoxd university
press-harla. México
Nuestro objeto de estudio, aparece en el Capítulo IX: Ecuaciones paramétricas, curvas
planas y gráficas polares en la sección titulada tratamiento unificado de las secciones
cónicas y ecuaciones polares de las cónicas.
Se definen las secciones cónicas, como el lugar geométrico que cumple una propiedad
común, dada por la excentricidad. Para la elipse la excentricidad varía entre 0 y 1.
A partir de la definición dada se obtienen las ecuaciones cartesianas y polares de las
secciones cónicas, por medio de desarrollos algebraicos determinados por las propiedades
geométricas involucradas.
Para la elipse se encuentran las siguientes ecuaciones:
a) Ecuación Cartesiana :
F
,
, las ecuaciones de la directriz:
con
, los focos son
.
b) Ecuaciones Polares :
Si un foco de la cónica está en el polo y la directriz correspondiente es
perpendicular al eje polar, entonces una ecuación es:
;
Si un foco de la cónica está en el polo y la directriz correspondiente es paralela al
eje polar, entonces una ecuación es:
;
13
Las posiciones de un planeta que sean más cercanas al Sol, y más cercanas a éste, se denominan Perihelio y
afelio. (Stewart, 2008)
196
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
Los números
son respectivamente, la excentricidad y la distancia no dirigida
entre el foco y la directriz correspondiente de una cónica
En unos de los apéndices del libro: Temas de Matemáticas previas al cálculo, aparece la
elipse.
Parte dando a conocer la elipse como sección cónica (intersección de un plano y un cono),
luego propone la definición de elipse como lugar geométrico de los puntos donde la suma
de sus distancias a dos puntos fijos es constante, posteriormente determina la ecuación
cartesiana de la elipse con centro en el origen, y la generaliza para centro (h,k),
seguidamente se determinan condiciones en los coeficientes de la ecuación general de
segundo grado para que represente una elipse.
Finalmente se demuestra que la definición de elipse como conjunto de puntos de un plano
se deduce de la definición de elipse como sección cónica, esta demostración se basa en el
teorema de las esferas de Dandelin. El cual, hace uso de propiedades geométricas.
En el texto anterior también se privilegian la obtención de ecuaciones a partir propiedades
geométricas que definen la elipse.
Por otra parte en la presentación de la elipse en el apéndice del libro, existen elementos de
la matemática, combinaciones de técnicas sintéticas y analíticas, que permite relacionar
los distintos enfoques en la construcción del concepto elipse.
197
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANEXO 2:
CUESTIONARIO
EXPLORATORIO
198
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CUESTIONARIO EXPLORATORIO
1.- A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R.
Explica cual o cuales de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la
respuesta.
2.- Determine la ecuación de la elipse de la figura1. Explique en detalles el
procedimiento que ha realizado.
Figura 1
199
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
3) Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x)
igual a 10 unidades, donde uno de los focos es el punto (3,0). Determine si el punto
(0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta.
4) En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del eje
menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P (
√
) de la elipse a un foco mide
11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta.
5.- En la Figura 2, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos F y
F’.
Figura 2
200
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANEXO 3:
SECUENCIA DE
APRENDIZAJE
201
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CUESTIONARIO: CASO 1
1.- ¿Qué es lo primero que imaginas cuando escuchas la palabra elipse? Apóyate en
dibujos para responder.
ACTIVIDAD 1:
1.- Los taxistas de “Geocity” recorren su ciudad transitando por las calles paralelas
llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares
a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite
detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y
siempre utilizan los recorridos más cortos posibles.
Un taxista de “Geocity” recorre desde la esquina A hasta la esquina B. (ver figura
Figura 1
a)
Marca en la figura 1 los posibles recorridos que realiza el taxista.
b)
Determine la distancia recorrida por el taxista en “cuadras”.
202
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En geometría decimos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que
están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. A
esa distancia se le conoce como radio.
c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3.
d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”.
e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos
F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos
de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.
Figura 2
Figura 3
Figura 4
203
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”.
g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.
f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity” .
Figura 6
Figura 7
204
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ACTIVIDAD 2
1) Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F
y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la
elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos
puntos de la elipse.
Figura 8
Figura 10
Figura 9
Figura 11
2.-Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano
205
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
3.-En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de focos F y F’.
Figura 12
4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación
que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos, justificando cada uno
de ellos.
Figura 13
206
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
5.- Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ (figura 14)
Figura 14
207
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ACTIVIDAD 3
1.-Determine si la ecuación
corresponde a una elipse en el plano
cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos.
2.-La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y F’. ¿Qué
harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay más de
una justificación? Y ¿cuáles?
Figura 15
208
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
3.-En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En
las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje
distintos planos de modo que formen una elipse con el cono.
4.- En la figura 20 dibuje 2 planos que al intersectar al cono generen una elipse.
Figura 16
Figura 17
Figura 18
4.- Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una
elipse con el cono.
5.- A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio.
Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de
contacto con el plano serán los focos de la elipse.
Observa atentamente
(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos
para justificar que la curva formada es una elipse.
6.- Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único?
¿Por qué?
209
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3
1.- ¿Qué es lo primero que imaginas cuando escuchas la palabra elipse? Apóyate en
dibujos para responder.
ACTIVIDAD 1:
1.- Los taxistas de “Geocity” recorren su ciudad transitando por las calles paralelas
llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares
a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite
detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y
siempre utilizan los recorridos más cortos posibles.
Un taxista de “Geocity” recorre desde la esquina A hasta la esquina B. (ver figura
Figura 1
a)
Marca en la figura 1 los posibles recorridos que realiza el taxista.
b)
Determine la distancia recorrida por el taxista en “cuadras”.
210
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
En geometría decimos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que
están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. A
esa distancia se le conoce como radio.
c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3.
d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”.
e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos
F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos
de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.
Figura 2
Figura 3
Figura 4
211
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”.
g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.
f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity” .
Figura 6
Figura 7
212
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ACTIVIDAD 2
1) Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F
y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la
elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos
puntos de la elipse.
Figura 8
Figura 10
Figura 9
Figura 11
2.-Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano
213
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
3.-En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB) de focos F y
F’.
Figura 12
4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación
que defina la elipse
figura 13
214
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ACTIVIDAD 3
1.- determine si la ecuación
cartesiano. Justifique su respuesta
corresponde a una elipse en el plano
.
2.-Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y
F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay
más de una justificación? ¿Cuáles?
Figura 14
Figura 15
215
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
3.-En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En
las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje
distintos planos de modo que formen una elipse con el cono.
4.- En la figura 20 dibuje 2 planos que al intersectar al cono generen una elipse.
Figura 16
Figura 17
Figura 18
4.- Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una
elipse con el cono.
216
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
5.- A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio.
Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de
contacto con el plano serán los focos de la elipse.
Observa atentamente
(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos
para justificar que la curva formada es una elipse.
6.- Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único?
¿Por qué?
217
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
ANEXO 4:
PONENCIAS
218
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
PARTICIPACIÓN EN RELME 26
219
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
PARTICIPACIÓN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR
220
La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012
PARTICIPACIÓN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
221