Ejercicio 105 Triángulos (2314-405) Sea ABC un

Ejercicio 105 Triángulos
(2314-405)
Sea ABC un triángulo, Xb y Xc los pies de las perpendiculares trazadas desde B y C a la bisectriz exterior
en A; Yc e Ya los pies de las perpendiculares desde C y A a la bisectriz exterior en B; y, finalmente, Za y
Zb los pies de las perpendiculares desde A y B a la bisectriz exterior en C. Entonces, los puntos Xb , Xc ,
Yc , Ya , Za , Zb están en una circunferencia de centro en el punto de Spieker (X10 en ETC).
Consideremos los puntos
Ba = Xc B ∩AC, Ca = Xb C ∩AB,
Ab = Yc A∩BC, Cb = Ya C ∩BA,
Ac = Zb A∩CB, Bc = Za B ∩CA.
Entonces, Ba , Ca , Ab , Cb , Ac , Bc están en una cónica.
Las rectas Ba Ca , Ab Cb y Ac Bc forman un triángulo perspectivo cona ABC, con centro de perspectividad
en X37 en la Enciclipedia de Kimberling (ETC); éste es también el punto de interseción de las rectas Ba Ab ,
Cb Bc y Ac Ca .
Los puntos Ba Ac ∩ Ca Ab , Cb Ba ∩ Ab Bc y Ac Cb ∩ Bc Ca son los vértices de un triángulo perspectivo con
ABC, con centro de pespectividad en el baricentro de éste.
SOLUCIÓN:
Las ecuaciones de las bisectrices exteriores al triángulo ABC en los vértices A, B y C son, respectivamente,
cy + bz = 0,
cx + az = 0,
bx + ay = 0.
Las perpendiculares por B y C a la bisectriz exterior por A son, respectivamente,
(−bc2 + cSA )x − (bSB + cSC )z = 0,
b(bc − SA )x + (bSB + cSC )y = 0.
Y los pies de estas perpendicuales en dicha bisectriz son, respectivamente,
¡
¢
¡
¢
Xb − bSB − cSC : b(−bc + SA ) : c(bc − SA ) , Xc − bSB − cSC : b(bc − SA ) : c(−bc + SA ) .
Cálculos similares, nos llevan a determinar que los pies de las perpendiculares trazadas desde C y A al bisectriz
exteriro en B y los pies del as perpendiculares desde A y B a la bisectriz exterior en C son, respectivamente, los puntos
¡
¢
¡
¢
Yc a(ac − SB ) : −aSA − cSC : c(−ac + SB ) ,
Ya a(−ac + SB ) : −aSA − cSC : c(ac − SB ) ,
¡
¢
¡
¢
Za a(−ab + SC ) : b(ab − SC ) : −aSA − bSB ,
Zb a(ab − SC ) : b(−ab + SC ) : −aSA − bSB .
Estos seis pies están en la circunferencia de ecuación
¡
¢
1
a2 yz + b2 zx + c2 xy + (x + y + z) (a2 − (b − c)2 )x + (b2 − (c − a)2 )y + (c2 − (c − a)2 )z = 0,
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Angel Montesdeoca
que también se puede poner en la forma
µ
a2 yz + b2 zx + c2 xy + (s − a)(s − b)(s − c)(x + y + z)
y
z
x
+
+
s−a s−b s−c
¶
= 0.
Se trata de la circunferencia radical de las exinscritas a ABC, cuyo centro es el punto de Spieker, X10 en la
Enciclopedia de Kimberling: (b + c : a + c : a + b).
Tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:
Xc B : c(bc − SA )x − (bSB + cSC )z = 0,
Xb C : b(−bc + SA)x + (bSB + cSC)y = 0,
Yc A : c(−ac + SB )y + (aSA + cSC )z = 0,
Ya C : (−aSA − cSC )x + a(ac − SB )y = 0,
Zb A : (−aSA − bSB )y + b(ab − SC )z = 0,
Za B : (aSA + bSB )x + a(−ab + SC )z = 0.
Por lo que se obtienen las siguientes coordenadas de los puntos:
¡
¢
¡
¢
Ba = Xc B ∩ AC
bSB + cSC : 0 : c(bc − SA ) ,
Ca = Xb C ∩ AB
bSB + cSC : b(bc − SA ) : 0 ,
¡
¢
¡
¢
Ab = Yc A ∩ BC
0 : aSA + cSC : c(ac − SB ) ,
Cb = Ya C ∩ BA a(ac − SB ) : aSA + cSC : 0 ,
¡
¢
¡
¢
Ac = Zb A ∩ CB
0 : b(ab − SC ) : aSA + bSB ,
Bc = Za B ∩ CA a(ab − SC ) : 0 : aSA + bSB .
Estos seis puntos están en la cónica de ecuación:
bc(a + b)(a + c)x2 + ca(b + c)(b + a)y 2 + ab(c + a)(c + b)z 2
−a(b + c)(a(a + b + c) + 2bc)yz − b(c + a)(b(a + b + c) + 2ca)zx − c(a + b)(c(a + b + c) + 2ab)xy = 0.
El centro de esta cónica tiene primera coordenada:
¡
¢
a(b + c)(4b2 c2 − a3 (b + c) + a2 (b2 + 4bc + c2 ) + 5abc(b + c)) : · · · : · · · .
El triángulo con vértices en los puntos
A0 = Ab Cb ∩ Ac Bc
¡
¢
− a2 : b(a + c) : c(a + b)) ,
¢
a(b + c) : −b2 : c(a + b) ,
¡
¢
C 0 = Ba Ca ∩ Ab Cb
a(b + c) : b(a + c) : −c2 ,
¡
¢
es perspectivo con ABC, con centro deperspectividad en a(b + c) : b(c + a) : c(a + b) , X37 en ETC.
Este punto es también el de intersección de las rectas
B 0 = Ac Bc ∩ Ba Ca
¡
Ba Ab : c(a + c)x + c(b + c)y − (a + c)(b + c)z = 0,
Ac Ca : b(a + b)x − (a + b)(b + c)y + b(b + c)z = 0,
Cb Bc : −(a + b)(a + c)x + a(a + b)y + a(a + c)z = 0.
Finalmente, el triángulo con vértices en
Ba Ac ∩ Ca Ab
Cb Ba ∩ Ab Bc
Ac Cb ∩ Bc Ca
¡
¢
− a(b + c) : bc : bc ,
¡
¢
ac : −b(a + c) : ac ,
¡
¢
ab : ab : −c(a + b) ,
es perspectivo con ABC con centro de perspectividad en el baricentro G(1 : 1 : 1) de éste.
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2314.pdf
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