Apunte - Ejercicio Electricidad Propuesto

INDICE
Tema I: La Carga Y La Materia
Pág.
1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.-
Introducción
Conductores y Aisladores
Conservación y Cuantización de la Carga
Ley de Coulomb
Fuerzas en las que intervienen fuerzas multiples
Fuerzas en las que intervienen distribuciones continúas de cargas
Ejercicios propuestos
2
3
3
4
6
7
11
Tema II: Campo Eléctrico
2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.8.2.9.-
Introducción
Campo Eléctrico
Campo Eléctrico de una carga puntual
Campo Eléctrico debido a cargas múltiples
Dipolos eléctricos
Líneas del campo eléctrico
Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga
El movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico
Ejercicios propuestos
15
15
15
16
18
19
20
23
24
Tema III: Ley de Gauss
3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.3.6.-
Introducción
Flujo eléctrico
Ley de Gauss
Aplicación de la Ley de Gauss
Conductores y Campos eléctricos
Ejercicios propuestos
28
28
31
33
35
39
Tema IV: Potencial Eléctrico
4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.-
Introducción
Potencial Eléctrico
Potencial de potencial eléctrico
Diferencia de potencial eléctrico
Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas
Energía potencial eléctrica
43
43
43
45
46
48
4.7.4.8.4.9.4.10.-
Superficies equipotenciales
Determinación de campos eléctricos a partir de potenciales eléctricos
Potencial de un conductor cargado
Ejercicios propuestos
50
50
51
52
Tema V: Capacitores y Dieléctricos
5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.5.7.5.8.-
Introducción
Capacitancia
Calculo de la Capacitancia
Energía en capacitores
Energía en capacitores
Combinación de capacitores
Dieléctricos
Ejercicios propuestos
56
56
57
58
59
60
62
63
Tema VI: La Corriente y La Resistencia
6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.-
Introducción
La corriente eléctrica y la densidad de corriente
Resistencia, Resistividad y Conductividad
Modelo de conducción eléctrica
Energía y Potencia eléctrica
Ejercicios propuestos
67
67
70
71
73
74
Tema VII: Circuitos de Corriente directa
7.1.7.2.7.3.7.4.7.5.7.6.7.7.-
Introducción
Fuerza electromotriz
Resistores en serie y paralela
Regla de Kirchoff
Circuitos RC
Instrumentos de medición
Ejercicios propuestos
78
78
79
81
82
85
86
Tema VIII: Campos Magnéticos
8.1.8.2.8.3.8.4.8.5.-
Introducción
Campos magnéticos
Fuerzas magnéticas sobre un conductor que lleva una corriente
Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo
magnético uniforme
Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
90
90
92
94
95
2
8.6.8.7.8.8.-
Selector de velocidades, espectrómetro de masa y ciclotrón
Efecto may
Ejercicios propuestos
96
99
100
Tema IX: Ley de Ampere
9.1.9.2.9.3.9.4.9.5.9.6.9.7.9.8.-
Introducción
Ley de Biot - Savart
Ley de Ampere
Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos
Campo magnético de un solenoide
Flujo Magnético
La corriente de desplazamiento de Maxwell
Ejercicios propuestos
104
104
105
106
107
108
109
111
Tema X: Ley de Faraday
10.1.10.2.10.3.10.4.10.5.10.6.10.7.10.8.-
Introducción
Ley de Faraday y la Inductancia magnética
Ley de Lenz
fuerza electromotriz en movimiento
Fuerza, energía y potencia en la fuerza electromotriz de movimiento
Fuerza electromotriz y campos eléctricos
Generadores y Motores
Ejercicios propuestos
115
115
117
117
119
120
122
125
Tema XI: Inductancia
11.1.11.2.11.3.11.4.11.5.11.6.11.7.11.8.11.9.-
Introducción
Inductancia
Circuitos RL
Energía en Inductores
Energía en campos magnéticos
Inductancia mutua
Osciladores en un circuito LC
Circuitos RCL
Ejercicios propuestos
130
130
132
134
135
137
138
141
142
Tema XII: Inductancia
12.1.- Introducción
12.2.- Transformadores
12.3.- Elementos individuales de circuitos de C.A.
147
147
149
3
12.4.12.5.12.6.12.7.12.8.-
Circuitos de corriente alterna en serie con RCL
Potencia en un circuito de C.A.
Resonancia en un circuito en serie RLC
Circuitos filtros
Ejercicios propuestos
Anexos
Respuestas
Bibliografía
153
155
157
158
159
160
166
179
4
TEMA I
LA CARGA Y LA MATERIA
1.1 INTRODUCCIÓN:
Un átomo de cualquier elemento está formado por tres tipos de partículas
subatómicas: electrones, protones y neutrones. Los protones y neutrones contribuyen la
parte central del átomo, llamado núcleo atómico, en cuyo alrededor se encuentran los
electrones.
La masa de un protón es aproximadamente igual a la de un neutrón pero la del
electrón es 1.840 veces menor que la de un protón o un neutrón.
La carga del electrón e − = 1, 6 × 10 − 19 coulomb y su masa es
9,11× 10− 31 Kg .
La carga del protón e = 1, 6 × 10− 19 coulomb y su masa es 1, 6 × 10− 27 Kg .
Ordinariamente el átomo de un elemento tiene igual número de protones que de
electrones.
Los protones ejercen una fuerza de atracción sobre los electrones; pero los protones
entre sí se repelen, ocurriendo este mismo fenómeno de repulsión entre los electrones.
Estos fenómenos de atracción y repulsión se explican atribuyéndole una propiedad llamada
electricidad o carga eléctrica a estas partículas; que por convención es positiva para los
protones y negativa para los electrones.
Podemos concluir que un cuerpo electrizado positivamente tiene déficit de
electrones y si esta electrizado negativamente tiene exceso de electrones y estado neutro
tiene igual número de protones que de electrones.
La electrización puede darse por Frotamiento o por Inducción.
-
Electrización por frotamiento
Podemos transferir carga eléctrica frotando una varilla de vidrio con un paño, o
frotando una varilla de teflón con un trozo de piel. (ver figura 1.1)
5
La varilla de vidrio se carga eléctricamente positiva (protones) y el paño de seda se
carga eléctricamente negativo (electrones), lo que a ocurrido entre los dos es una
transferencia de cagas, la varilla de vidrio le cedió electrones a el paño de seda y esta a su
vez le cedió protones a la varilla de vidrio. Si frotamos la varilla de teflón con el trozo de
piel la transferencia de carga que ocurre entre ellos es que la varilla de teflón se carga
eléctricamente positivo (protones).
-
Electrización por Inducción.
Utilizamos dos esferas metálicas neutras, sosteniendo cada una por un soporte
aislado, tocándose cada una (Figura 1-2.a). Si llevamos una varilla de teflón, con cargas
negativas, muy cerca de una de las esferas, los electrones en movimiento en la esfera se van
al lado opuesto de la otra esfera, dejando cargas opuestas en las dos esferas (Figura 1.2.b).
Mientras sigue cerca la varilla de teflón, separamos las dos esferas, dejándolas con cargas
opuestas (Figura 1.2.c). Aun cuando quitemos la varilla de teflón, las cargas inducidas por
ella permanecen en las dos esferas metálicas (figura 1.2.d). Decimos que las dos esferas se
han cargado por inducción.
6
1.2 CONDUCTORES Y AISLADORES
Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con
bastante libertad, mientras que los aisladores son materiales que no transportan la carga con
facilidad. Los materiales como el vidrio, el caucho y la lucita son aisladores. Cuando este
tipo de material se carga por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y no existe
tendencia a la que carga se mueve hacia otras regiones del material.
Los materiales como el cobre, aluminio y plata son buenos conductores. Cuando
este tipo de material se carga en alguna pequeña región, la carga se distribuye con facilidad
sobre la superficie del conductor.
Existe una tercera clase de materiales los semiconductores y sus propiedades
eléctricas se encuentran entre los correspondientes a los aisladores y conductores, un
ejemplo de estos son el silicio y el germanio.
1.3 CONSERVACIÓN Y CUANTIZACIÓN DE LA CARGA.
-
Conservación de la carga.
La carga neta es igual antes y después de cualquier interacción. Un ejemplo de esto
lo observamos en las electrizaciones que indicamos en el punto anterior. El intercambio de
electrones y interactuando no hace que varíe la carga total del sistema. Nadie ha
presenciado caso alguno en la que aparezca una carga neta.
-
Cuantización de la carga.
La carga se representa en múltiplos enteros de la carga del electrón y al hecho de
que nunca se han observado cargas menores que la del electrón.
En general, las cargas ni se crean, ni se destruyen, ni se transforman, sino que sólo
se desplazan y a lo sumo se fraccionan pero nunca más allá de un quantum de carga e − , o
sea un electrón.
1.4 LEY DE COULOMB.
•
•
•
•
•
Esta ley es única y exclusiva para dos cargas puntuales.
La fuerza sobre cada partícula actúa siempre a lo largo de recta que las une.
Las cargas son magnitudes algebraicas que pueden ser positivas o negativas.
La fuerza puede ser de atracción si las cargas son de signos diferentes o de repulsión
si son de signos iguales.
K es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que
se expresen F, q y r.
7
K =
1
Nw m 2
= 9 × 109
4π ∈0
C2
∈ 0 constante de permisividad del espacio vacío.
C2
− 12
∈ 0 = 8, 85 × 10
Nw m 2
La Ley de Coulomb establece:
“La fuerza de atracción o repulsión entre dos carpas puntuales es directamente
proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadro de la distancia que
las separa”.
•
F =
1
q 'q
r
4π ∈0 r 2
1
2
3
(1.1)
K
Donde:
F = Es la fuerza que ejerce q sobre q’.
k = Es el vector unitario de vector posición.
r = Es la magnitud del vector posición.
K = Constantemente de proporcionalidad.
q y q’= Son las cargas que interactúan.
La unidad de carga es el Coulomb. Decimos que cuando la fuerza entre dos cargas
determinadas separadas por 1 mts es igual al valor numérico de K en Newtons, esas cargas
son de 1C cada una.
Ejemplo:
Si un electrón se coloca en un punto (3,0,0) cm y un protón se coloca en el punto
(0,2,0) cm, halle: a) La fuerza con la cual el electrón actúa sobre el protón, b) El módulo de
la fuerza con la cual el protón actúa sobre el electrón.
DATOS:
e − = p + = 1, 6 × 10 − 19 C
x = 3cm = 3 × 10 − 2 m
y = 2cm = 2 × 10 − 2 m
8
r ep 2 = ( 3 × 10− 2 m ) + ( 2 × 10− 2 m ) = 1,3 × 10− 3 m
2
2
a) Aplicando la Ley de Coulomb.
Fe − , p =
1 q2
r
4π ∈ 0 r 2
Fe − , p = ( − 1, 47 × 10− 25 i + 9, 74 × 10− 26 j ) Nw
b) Fe − , p = − Fp, e − entonces:
Fe − , p = Fp, e − =
( 1, 47 × 10 ) + ( 9, 74 × 10 )
− 25 2
− 26 2
Nw
Fp, e − = 1, 76 × 10− 25 Nw
1.5 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN CARGAS MULTIPLES.
Se aplica el principio de Superposición: la fuerza sobre cualquier carga, originada
por un conjunto de carga individual.
Ft = F1 + F2 + F3 + KK + Fn
Ft =
n
∑F
i =1
i
=
q
4π ∈0
n
qi
∑r
i =1
2
ri
(1,2)
i
Pasos para resolver ejercicios de este tipo.
1.Realizar un diagrama en un sistema de coordenadas indicando todas las fuerzas que
interactúan.
2.No olvidar que la fuerza eléctrica que actúan sobre una carga es una cantidad
vectorial.
3.Busque simetrías en la distribución de las cargas, que den lugar a la fuerza eléctrica.
Ejemplo:
Las cargas q, 2q, -4q y-2q ocupan las cuatro esquinas de un cuadro de 2L de lado,
centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular: a) ¿Cuál es la
fuerza neta sobre la carga q, debida a las otras cargas?, b) ¿Cuál es el modulo de dicha
fuerza? (ver Figura 1.4).
9
1) Indicamos un sistema de coordenadas sobre la carga que se va a estudiar el efecto.
F2,TOTAL =
1
4π ∈ 0
 Q1Q2

Q3Q2
Q4Q2
r
+
r
+
r
 2
4,2
3,2
1,2  Nw
2
2
r
r
r
3,2
4,2
 1,2

 2q 2

4q 2
4q 2
F2,TOTAL = k 
i +
cos θ − i +
sin θ − j  Nw
2
2
2
8L
8L
 4L

2
q
F2,total = ( 1.3185 × 109 i - 7.695 × 109 j ) 2 Nw
L
2
q
F2,total = 7.807 × 109 2 Nw
L
1.6 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN DISTRIBUCIONES
DE CARGAS.
CONTINUAS
Es cuando las partículas se componen de grandes cantidades de electrones o
protones, por lo que dichas cargas están muy próximas unas de otras.
10
Puede ser buena aproximación manejar un gran conjunto de cargas puntuales como
una distribución continua de carga eléctrica.
Para evaluar la fuerza eléctrica se realizan los siguientes pasos: (Figura 1.6)
.Se divide la distribución continua de carga en pequeños elementos de ∆ q.
.Se aplica la ley de Coulomb para calcular la fuerza eléctrica sobre la carga de
prueba.
∆F =
1
q ' ∆q
r
4π ∈0 r 2
.Se evalúa la fuerza total sobre la carga de prueba, debido a la distribución continua
de cargas, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga.
q'
F ≅
4π ∈0
n
∑
i =1
∆ qi
ri
ri 2
Este valor de la fuerza es aproximado
.Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeño
comparado con la distribución a ρ , entonces podemos decir que el límite de
∆ qi → 0.
q'
F =
4π ∈
0
lim
∆qi →
0
F =
n
∆qi
∑r
i =1
q'
4π ∈0
∫
2
ri
i
db
r
r2
(1.3)
11
En donde la integración es una operación vectorial.
Esta es la fuerza total ejercida por una distribución continua de cargas sobre una
carga de prueba q’.
Al llevar a cabo cálculos de este tipo resulta conveniente utilizar el concepto de
densidad de carga, definimos densidad de carga como la carga total de una distribución
continua (Q) por unidad de volumen, de área o lineal.
- Densidad volumétrica de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente en todo un volumen V, la carga por
unidad de volumen, ρ ( rho ) , se define por:
ρ =
Q
C
en donde ρ tiene las unidades 3
V
m
(1.4).
- Densidad superficial de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie cuya área es A,
la densidad lineal de carga, σ ( sigma ) , se define por:
σ =
Q
, en donde
A
σ
tiene las unidades de
C
m2
(1.5).
- Densidad lineal de carga.
Si una Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud L, la
densidad lineal de carga, λ ( landa ) , se define por:
λ =
Q
C
en donde λ tiene las unidades de
L
m
(1.56).
Si la carga está distribuida de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o
línea, se tendría que expresar las densidades de carga como.
dQ
dQ
dQ
ρ =
;σ =
;λ =
(1.7)
dV
dA
dL
Ejemplo:
Una varilla recta de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de
longitud λ y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga de
prueba q’ ubicada en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de uno de
los extremos.
12
Solución:
1.2.-
Dividimos la distribución continua de carga en pequeños ∆ q
Aplicamos la Ley de Coulomb
∆F =
1
q ' ∆q
r
4π ∈0
r2
∆q
despejando ∆ q = λ ∆ L donde ∆ L = ∆ x
∆L
Sustituyendo en la ecuación en la ecuación
1
q ' λ∆x
∆F =
i
4π ∈0
x2
3.Se evalúa la fuerza eléctrica total
Como λ =
q '∆
F =
i
4π ∈ 0
q '∆
F =
i
4π ∈ 0
F =
L+ d
∫
d
dx
=
x2
L+ d
d
−1
=
x
q '∆
L
1
q 'Q
i =
i
4π ∈ 0 d ( L + d )
4π ∈ 0 d ( l + d )
Ejemplo:
13
Calcular la fuerza que ejerce un anillo cargado uniformemente con una carga total
Q, sobre una carga puntual q’, colocada en el eje.
El radio del anillo es R, y q’, está a una distancia L del centro del anillo. (ver Figura
1.8)
Solución:
.-
Dividimos la solución continua de carga en pequeños ∆ q.
Si observamos los componentes de las fuerzas en el eje Z son de igual magnitud
pero de sentido contrario por lo que se anulan, esto va a ocurrir para todas las fuerzas
perpendiculares.
Entonces las fuerzas que van a ejercer sobre la carga de prueba son las que se
realizan sobre el eje y.
.-
Aplicando la Ley de Coulomb.
14
∆ Fy =
1
q '∆q
r
4π ∈ 0 r 2
∆ Fy =
q'
4π ∈ 0
∆q
cos θ =
2
2
R
+
L
(
)
∆ Fy =
q'
4π ∈ 0
∆ qL
( R 2 + L2 )
.- Se evalúa la fuerza eléctrica total.
q'
L
Fy =
dq
4π ∈ 0 ( R 2 + L2 ) 3 2 ∫
Fy =
q'
L
2
4π ∈ 0 ( R + L2 ) 3 2
1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1)
Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es
5 × 10− 5 C. ¿Cómo esta distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza
repulsiva entre ellas es de 1Nw cuando las esferas están separadas 2mts?
2)
Dos cargas de 1× 10− 9 C están en el aire separadas 8 cm.
Hallase el valor y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una
tercera de 5 × 10− 11 C distante 5cm de cada una de las dos primeras cargas.
3)
−6
Tres cargas puntuales están a lo largo del eje y. una carga q1 = 2 × 10 C
−6
están en y = 2m y una carga q2 = − 3 × 10 C está en y = 1m ¿En donde debe
colocarse una tercera carga positiva, q3, de modo que la fuerza resultante
sobre ella sea cero?.
4)
Se supone que un protón está formado de dos quarks “arriba” de carga +(2/3)
e y uno “abajo” de carga -(1/3)e. Suponga que los x10− 15 m. ¿Cuáles son las
fuerzas electrostáticas entre cada par de los tres quarks?
15
5)
− 13
− 13
En el punto ( − 2 × 10 m ) se coloca una carga - e y en el punto ( 2 × 10 m )
otra carga +e. Halle la fuerza F que actúa sobre una carga +e situada en el
− 13
punto ( 0,10 × 10 m ) .
6)
Una carga de 3 × 10− 6 C se coloca a 12 cm de una segunda carga de
− 1,5 × 10− 6 C. Calcúlese la magnitud, dirección y sentido de la fuerza que obra
sobre cada carga
7)
Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-p. ¿Cuál es la relación de Q
a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación,
tenga una repulsión Coulombiana máxima?
8)
Cierta esfera metálica de volumen igual a 1cm3 posee una masa de 7,5gr y
contiene 8, 2 × 10 22 electrones libres. a)¿Cuantos electrones han de quitarse de
cada una para que la fuerza electrostática de repulsión entre ellas equilibre
exactamente a la fuerza de atracción gravitatoria? Supóngase que la distancia
entre las esferas es lo bastante grande para que las cargas sobre cada una de
ellas pueda considerarse como puntuales b) Exprésese el número de electrones
eliminados como fracción del número de electrones eliminados como fracción
del número total de electrones libres.
9)
Dos partículas puntuales se colocan a una distancia de 8,75cm entre si y se les
comunican carga igual. La primera partícula, de 31,3gr de masa, tiene
1, 93m s 2 de aceleración inicial hacia la segunda partícula. a) ¿Cuál es la
masa de la segunda partícula, si su aceleración inicial hacia la primera es
5, 36 m s 2 ? Qué carga tiene cada partícula.
10)
Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lados
a, como se ve en la Figura 1.10. Determine la fuerza resultante sobre la carga
positiva q.
16
11)
Una carga Q se coloca en cada uno de los vértices opuestos de un cuadrado.
Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices. Si la fuerza eléctrica
resultante sobre Q es cero ¿Cómo están relacionados q y Q?.
12)
Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud 1, 2 × 10− 6 C en las
esquina de un triangulo equilátero de 6cm de lado. ¿Cuál es la fuerza eléctrica
neta sobre una carga de − 2 × 10− 6 C que se coloca en el punto medio de uno
de los lados?
13)
Un cubo de aristas a tiene una carga q en cada vértice.
a) Demostrar que
la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre cualquiera de estas cargas
2
2
es F = 0, 0252 q ∈ 0 a b) ¿Cuál es la fuerza resultante de F sobre una carga
puntual Q colocada en el centro del Cubo?
14)
Dos esferas similares de masa m cuelga de hilos de seda de longitud L y tiene
cargas semejantes q, como se muestra en la Figura 1.9. Suponer que θ es lo
suficientemente pequeño como para que la tan θ puede reemplazarse por el
13
senθ . Utilizando esta aproximación, a) demostrar que x = ( qL 2π ∈ 0 mg ) en
donde x es la separación entre las esferas b) ¿Cuánto vale q sí L =120cm, m
=10gr y x5cm? C) Explique en detalles lo que sucedería si las bolas son
conductoras y se descargase una de ellas totalmente.
17
15)
a) ¿Cuál es la magnitud de las cargas positivas iguales que deberían colocarse
sobre la tierra y sobre la luna para neutralizar su atracción gravitacional? b)
¿Se tiene que conocer las distancias de la tierra a la luna para resolver este
problema?
16)
Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud
2L, que va de y =-L, como se muestra en la figura (1.12). Se coloca una carga
q’ en el eje x, en x =D. Si la varilla tiene una densidad de carga λ = 2λ 0 D / L
y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre q’.
17)
Calcule la fuerza que ejerce una lámina plana infinita con densidad superficial
de carga σ , sobre una carga q.
18
18)
Se tiene una lámina vertical infinita que tiene una carga de 10 − 4 C / m 2 . Se
cuelga una pelota de corcho de 5gr de masa, mediante un hilo de 60cm de
longitud, a una distancia de 20cm de la lámina cargada. ¿Cuál es la
orientación del hilo?. a) ¿Sí la carga de la pelota de corcho es q = 5 × 10− 9 C ?
b) ¿Sí es − 2, 4 × 10− 9 C ?.
19)
Una varilla larga y delgada, de longitud L, que contiene una distribución
uniforme de carga Q, se aleja de una carga puntual q. La parte más cercana de
la varilla está a una distancia d de la carga puntual. ¿Cuál es la fuerza
eléctrica que ejerce la varilla sobre la carga q?
20)
Dos varillas, cada una con longitud 2L, se colocan paralelas entre sí a una
distancia R. Cada una tiene una carga total Q, Distribuida uniformemente en la
longitud de la varilla, pero no la evalúe. Sin desarrollar las integrales, ¿Puede
usted determinar la fuerza entre las varillas cuando R>>L?
19
TEMA II
CAMPO ELÉCTRICO
1.8 INTRODUCCIÓN:
Si colocamos una partícula de propiedades conocidas en un punto del espacio y
medimos las fuerzas que se ejercen sobre ella, podemos determinar las propiedades locales
del espacio en ese punto, es lo que se conoce como campo, se trata generalmente de
magnitudes vectoriales.
2.2
CAMPO ELÉCTRICO
Se define como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q’
colocada en un punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q’.
E =
F
q'
Nw
C
(2.1)
La dirección del vector Campo Eléctrico esta determinada por la Fuerza eléctrica
que actúa sobre la carga que prueba q’.
2.3
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.
Si tenemos una carga q que actúa sobre un punto p que contiene una carga de prueba
q’, separadas por una distancia r. Recordemos la Ley de Coulomb
F =
1
q 'q
r
4π ∈ 0 r 2
Si sustituimos este valor en la ecuación de campo eléctrico obtenemos:
E =
1
q
r
4π ∈0 r 2
(2.2)
Esta última ecuación obtenida es la que se utiliza para obtener el campo eléctrico
generado por una carga puntual.
Ejemplo:
Una carga de 3 × 10− 6 C está ubicada en ( x, y ) = ( 0cm,3cm ) . Determine el campo
eléctrico en un punto P ( x, y ) = ( 4cm,9cm ) .
20
E =
1
q
r
4π ∈0 r 2
( 4)
r 2 = x2 + y 2 =
2
+ ( 6 ) cm 2
2
r 2 = (16 + 36 ) cm 2 = 52cm 2
r 2 = 52 × 10 −2 m 2
E = 9 × 109
Nw m
2
C
2
3 × 10−6 C
52 × 10 −2 m
2
E = 5,19 × 10 4 ( 0, 055i + 0, 083 j )
E =
2.4
( 2, 88 × 10
3
i + 4, 33 × 103 j )
4 × 10−2 m
6 × 10−2 m
i
+
j =
72 × 10−2 m
72 × 10−2 m
Nw
C
Nw
C
CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS MULTIPLES
Cuando se tiene cargas múltiples aplicamos el principio de superposición para
determinar el campo eléctrico neto o resultante. Este principio establece que la fuerza
eléctrica neta sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas debida a las cargas
puntuales individuales. O sea que el campo eléctrico neto es la suma vectorial de los
campos de las cargas individuales presentes.
21
ET = E1 + E2 + E3 + KKK + En
n
1
ET = ∑ ET =
4π ∈ 0
i= 1
n
∑
i= 1
qi
ri
ri 2
(2.3)
Ejemplo:
Tres cargas están en los vértices de un triangulo equilátero, como en la figura (2.2)
Calcule la intensidad del campo eléctrico en la posición de la carga 8 × 10− 6 C , el modulo
del campo eléctrico y su dirección
Solución:
a)
22
Ex = E1 + E2 x
Ex =
1
g1
1
q2
i−
senθ i
4π ∈ 0 r12
4π ∈ 0 r2 2
Ex = 9 × 109


Nwm 2  5 × 10 − 6 C
3 × 10− 6 C
−
sen 60  i
2
2
2
 ( 50 × 10− 2 m )

C
( 50 × 10− 2 m )


Ex = 9 × 109
Nwm 2
( 2 × 10− 5 C / m 2 − 1, 04 × 10− 5 C / m 2 ) i
C2
Ex = 8, 65 × 10 4
Ey = E2 y =
Nw
i
C
θ
1
q2
cos θ
4π ∈ 0 r22
Ey = 5, 4 × 10 4
( − j) =
9 × 109
Nwm 2
3 × 10 − 6 C
cos 60 ( − j )
2
2
C
( 50 × 10− 2 m )
Nw
( − j)
C
ET = ( 8, 65 × 10 4 i − 5, 4 × 104 j )
Nw
C
b) El modulo del campo eléctrico
Ex
X
E
y
ET =
( 8, 65 × 10 ) + ( 5, 4 × 10 )
ET =
7.48 × 109 + 2,92 × 109 Nw / C
2 2
4 2
Nw / C
ET = 10,19 × 104 Nw / C
Et
Y
Figura
2.4
c) La dirección es:
tgθ =
Ey 5, 4 × 104
=
⇒ tgθ = 0, 62 ⇒ θ = arctg 0, 62
Ex 8, 65 × 104
θ = 31,96 ≅ 32o
23
2.5
DIPOLO ELÉCTRICOS
Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igual magnitud pero con signo contrario,
separadas por una distancia L. (Figura 2.5)
Ejemplo:
Si se tienen dos cargas iguales pero de signos contrarios, separadas por una
distancia 2ª, en un configuración llamada dipolo eléctrico. ¿Cuál es el campo eléctrico E
debido a estas dos cargas, en un punto P que se encuentra a una distancia x sobre la
perpendicular al punto medio que une a las dos cargas? Suponga que x>>a. (Figura 2.6)
Solución:
+q
a
θ
θ
Ex
P
a
-q
E2
E2y
E1y
Ex1
2
E1
Figura 2.7
Como los campos generados en el eje de las x son iguales pero de sentidos
contrarios el campo resultante en esa coordenada es cero
Ey = E1x + E2 x =
Ey =
1
4π ∈ 0

1  q1
q2
 2 senθ + 2 senθ  − j
4π ∈ 0  r1
r2

 q1

2
q
a
g
− j=
 2 2 cos θ  − j =
2
2
4π ∈ 0 ( a + x ) ( a 2 + x 2 ) 2
 r1

24
Ey =
2
4π ∈0
Ey =
1
4π ∈ 0
2.6
(a
qa
2
+ x
2qa
(x )
2
3 2
2
)
3 2
j= k
− j
como x>>a
2 qa
x3
LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO
El campo eléctrico debido a una distribución de carga se pueden visualizar en
términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en
el espacio y son una alternativa más adecuada a la representación visual.
Para una carga puntual positiva, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica
la figura. (Figura 2.8)
Para una carga puntual negativa, las líneas son radiales hacia adentro, como lo
indica la figura. (Figura 2.9)
Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del
campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico en ese punto.
La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es
proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto.
Propiedades de las líneas de campo eléctrico
1.- En una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí.
En esta región podemos tomar un área pequeña que esté orientada perpendicular
a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas, es el número de
líneas que cruzan esa área pequeña, dividió entre el valor del área.
2.- Las líneas pueden indicarse o terminar sólo en cargas y nunca en el espacio
vacío. Si no se crean nuevas líneas de fuerza al retirarnos de una carga, será
igual a N (número de líneas) dividido entre el área de la superficie perpendicular
a las líneas. Esa superficie es una esfera de radio R y la densidad de las líneas es
N / 4π R 2 . La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo
eléctrico.
3.- Las líneas se originan en las cargas positivas y se prolongan hacia las cargas
negativas. Las eléctricas son las fuentes de los campos eléctricos, que apuntan
alejándose de las cargas negativas.
4.- Nunca se cruzan dos líneas de campo eléctrico.
25
2.7
CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE
CARGA.
Con mucha frecuencia las cargas que interactuar entre sí están muy próximas, a este
tipo de situaciones se le considera un sistema de carga continuo, es decir, que el sistema de
cargas con espacios muy reducidos entre sí equivalen a una carga total Q que está
continuamente distribuida en todo un volumen, superficie o línea.
Para evaluar en una distribución continua de carga en el Campo Eléctrico se realizan
los siguientes pasos. (Figura 2.10)
Se divide la distribución de carga en pequeños elementos ∆ q.
Se aplica la Ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a estos elementos en
el punto P.
∆E =
1
∆q
r
4π ∈ 0 r 2
Se evalúa el campo eléctrico total sobre el punto P, debido a la distribución de carga,
sumando las contribuciones de todos los elementos de cargas.
E=
1
4π ∈ 0
n
∑
i =1
∆ qi
ri
ri 2
Este valor de la fuerza es aproximado.
Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparado
con la distancia a P, entonces podemos decir que el limite de ∆qi → 0
E=
n
1
∆ qi
lim ∑
ri
4π ∈ 0 ∆ q → 0 i = 1 ri 2
E=
1
dq
r
∫
4π ∈ 0 r 2
(2.4)
Esta integración es una operación es vertical.
El resultado obtenido de esta integración es el campo eléctrico total ejercido por una
distribución continua de carga sobre un punto P.
Debemos recordar lo establecido en el tema anterior en el punto 1.7 con respecto a
la densidad de carga.
26
 Densidad Volumétrica de carga
 Densidad Superficial de carga
Q
( 2.5)
V
Q
σ =
( 2.6 )
A
ρ =
λ =
 Densidad Lineal de carga
Q
( 2.7 )
L
Ejemplo:
Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ
y una carga total Q. ¿Calcular el campo eléctrico en el punto P que esta a una distancia d de
un uno de los extremos de la barra?
Solución:
∆
L
X
P
Ex
d
1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeña ∆ q.
2.- Aplicamos la Ley de Coulomb
∆E =
1
∆q
r
4π ∈0 r 2
∆q
despejando ∆ q = λ ∆ L donde ∆ L = ∆ x
∆L
Sustituyendo en la ecuación:
Como λ =
∆E =
1
λ ∆x
r
4π ∈0 r 2
3.- Se evalúa el campo eléctrico total.
27
λ
E=
4π ∈ 0
d+L
∫
d
dx
i
x2
d+L
λ
1
1 
 −1
 1
E=
−

 ∫ =

i
4π ∈ 0  r  d
4π ∈ 0  d
d + L
 −d + L + d

 d (L + d )

E =
λ
4π ∈0
E =
λ
λL
i
4π ∈0 d ( L + d )


i =

Ejemplo:
Una lamina plana infinita, la carga positiva está distribuida de manera uniforme
sobre todo el plano xy, con una densidad superficial de carga, σ . Calcular la intensidad del
campo eléctrico en un punto P que esta en el eje Z a una distancia Z = a. (Figura 2.12)
Dividimos la distribución en pequeños diferenciales de ∆ q.
Aplicamos la Ley de Coulomb.
∆E =
1
∆q
r
4π ∈ 0 r 2
El área de una porción de franja de longitud L es L dx y la carga sobre la franja es
dq = σ Ldy por lo que la carga d λ por unidad de longitud es
dq
σ Ldy
=
= σ dy
L
L
En virtud de que la franja crea en el punto P un campo eléctrico ∆ E , que esta en l plano
dλ =
y,z
2 σ dy
r
4π ∈ 0 r
Este campo tiene componentes en y y z, pero como las componentes en y por simetría
son iguales pero de sentido contrario la suma dará cero al considerar la lamina entera.
∆E =
28
∆ Ez =
2 σ dy
r
4π ∈ 0 r
Evaluado el campo eléctrico total
σ
2π ∈0
∞
dy
cos θ
r
−∞
a
a
dθ yr =
Como dy =
sustituyendo
2
cos θ
cos θ
E =
∫
a
2
dy
cos θ = cos θ dθ gcosθ = dθ
a
r
cos 2 θ
Cambiando los límites de integración − π 2a π 2
π 2
E= σ
∫
dθ K = σ ( θ
−π 2
E=
2.8
π 2
∫
K=
−π 2
σ
σ
π K⇒ E=
K
2π ∈ 0
2π ∈ 0
EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO
ELÉCTRICO.
Si tenemos una partícula de carga q y la colocamos en un campo eléctrico E, entonces la
furaza eléctrica es F = E . q Si esta es la única fuerza ejercida sobre la carga, entonces
aplicamos de 2da Ley de Newton.
F = m . a
Igualando tenemos
; F = E . q
ma = E . q despejando la aceleración a =
E.q
(2.8)
m
Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración es constante. Si la carga es positiva, la
aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si es negativa, la aceleración será en
dirección opuesta a la del campo electrónico.
Este movimiento cuando se realiza entre dos placas metálicas planas con cargas
opuestas, pueden aplicarse las ecuaciones de la Cinemática Bidimensional. (Figura 2.13)
29
Ejemplo:
θ
Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo
eléctrico uniforme E, dirigido a lo largo del eje x, describiremos su movimiento.
θ0 = 0 E
q
X
Figura 2.14
at 2 Eq 2
Eq
x = Vot +
=
t ⇒ V = V0 + at =
t
2
2m
m
V 2 = Vo 2 + 2ax =
Ek =
2.9
( 2qE ) x
M
1
mV 2 = Eqx
2
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Una carga de − 12 × 10− 6 C está en el punto x =0m y una segunda carga 0,5 × 10− 9 C , en
el punto
x =0,1m. ¿Cuál s la magnitud y la dirección del campo eléctrico a) en
x =1m y b) x =0,11m?
2) Una carga eléctrica de − 2,8 × 10− 6 C está ubicada en el origen. Determine el campo
eléctrico a) sobre el eje x =2m y b) sobre el eje y en y =-3.
3) Un pequeño objeto, que tiene una carga de − 5 × 10− 9 C , experimenta una fuerza hacia
debajo de 20 × 10− 9 Nw cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico a)
¿Cuál es el campo en dicho punto? b) Cuáles serian la magnitud y sentido de la fuerza
que actuaría sobre un electrón colocado en tal punto?
4) Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, de la siguiente
figura. (Figura 2.15)
5) ¿Cuál es el vector de un campo eléctrico en el cual la fuerza sobre un electrón es igual
a su peso?
30
6) Tres cargas iguales q están en los vértices de un triangulo equilátero de lado a, como
se muestra en la figura (2,.16) a)¿En qué punto (que no sea ∞ )?el campo eléctrico es
cero? b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P?
7) Una pequeña esfera, de masa 0,1gr, lleva una carga de 3 × 10− 10 C y esta sujeta en el
extremo del hilo está atado a un gran conductor vertical plano, que tiene una densidad
de carga de 25 × 10− 6 C / m 2 . Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical.
8) Una varilla delgada no conducta de longitud L, tiene una carga total q distribuida de
modo uniforme en toda su longitud. Demostrar que el valor de E en un punto P sobre
la perpendicular al punto medio de la varilla es
E=
q
2π ∈ 0 y
1
L2 + 4 y 2
9) Una barra de 10cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de
− 5 × 10− 6 C. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje
de la barra, en el punto a 30cm de su centro.
10) Un disco cargado uniformemente de 8cm de radio tiene una densidad de carga de
6 × 10− 4 C / m 2 . Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a) 2cm, b) 20cm.
11) Dos placas grandes, planas y verticales son paralelas entre sí y están separadas por
una distancia d. Ambas tienen una distancia uniforme de carga, σ , positiva. ¿Cuál es
el campo eléctrico? a) en el espacio que las rodea y b) entre ellas?
12) Se tienen una varilla delgada, con carga uniforme, de 50cm de longitud y se dobla en
semicírculo. La carga total sobre la varilla es 2 × 10− 6 C. ¿Cuáles son la magnitud y
dirección de campo eléctrico en el centro del semicírculo?
13) Un disco delgado circular de radio a está cargado uniformemente, y su carga por
unidad de área es 2 × 10− 6 C. Encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una
distancia r del disco.
14) El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos laminas planas y paralelas,
cargadas iguales y de signos opuestos, cada una de ellas de 100cm 2 de superficie, es
1× 104 N / C. ¿Cuál es la carga de cada lámina? Deprecie los efectos de los bordes.
15) Se lanza un electrón de un campo eléctrico uniforme de 5 × 103 N / C , dirigido
verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1× 107 m / s y forma
un ángulo de 30º por encima de la horizontal. a) ¿Calcúlese la altura máxima inicial?
b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de recobrar su altura inicial?
31
16) Un protón se acelera a partir del reposo, en un campo eléctrico uniforme de
6
5 × 102 N / C. En cierto instante posterior, su velocidad es de 2,5 × 10 m / s. a)
¿Determine la aceleración del protón en alcanzar esta velocidad? b) ¿Cuánto tarda el
protón en alcanzar esta velocidad? c) ¿Qué distancia recorre en este tiempo? d) ¿Cuál
es su energía cinética en ese instante?
17) Se proyecta un electrón formando un ángulo de 37º con la horizontalidad, con una
velocidad inicial de 4,5 × 105 m / s, en una región de un campo eléctrico E = 200 j N C.
Calcule: a) el tiempo que tarda el electrón en regresara su altura inicial. b) la altura
máxima alcanzada por el electrón y c) su desplazamiento horizontal al alcanzar su
altura máxima.
18) a) ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de
1× 106 N C . ? b) ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez
sea de un décimo de la velocidad de luz?
19) En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas
iguales y opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado llega
a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2cm de distancia de la primera, al cabo
de 1,5 × 10− 8 seg . Hállese: a) El campo eléctrico. b) La velocidad del electrón cuando
llega a la segunda lámina.
20) Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, velocidad inicial
3 × 106 m / s y un campo eléctrico 200 N/C. la anchura de las placas es L = 0,1 m. a)
¿Determinar la aceleración del electrón mientras se encuentra en el campo eléctrico?.
b) Calcular el tiempo que tarda el electrón en recorrer la región del campo eléctrico.
c) ¿Cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en campo eléctrico?.
d) ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir del campo eléctrico?
32
TEMA III
LEY DE GAUSS
1.9 INTRODUCCIÓN
Esta ley facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos, cuando hay
simetría en la distribución de la carga. Su utilidad esta en la habilidad que se tenga para
encontrar una superficie gaussiana adecuada en la cual se conozca el comportamiento del
campo eléctrico.
En el tema anterior vimos como a través de la Ley de Coulomb se calculaba el
campo eléctrico partiendo de la distribución de cargas. Esta Ley de Coulomb puede
expresarse a través de la Ley de Gauss. Donde los cálculos no son tan laboriosos.
3.2
FLUJO ELÉCTRICO
Es una propiedad de todos los campos vectoriales. Flujo electrónico es una medida
de número de líneas del campo eléctrico que atraviesan cierta superficie. El número neto de
líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el
interior de ella.
Tomemos una plano de área A, orientando perpendicularmente al flujo Figura 3.1.
Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del
campo eléctrico, entonces el número de líneas que atraviesan la superficie de área A es
proporcional al producto de EA, o sea es flujo eléctrico ∅
∅ = EA
(3.1)
Las unidades del flujo eléctrico con Nw. M2/C
Si tomamos ese mismo plano de área A y lo inclinamos en ese mismo campo
eléctrico formando un ángulo θ con la vertical Figura 3.2. El número de líneas que pasan a
través de ella debe ser menor. Como el número de líneas que atraviesan la superficie A, es
igual al que atraviesan las superficie A’, entonces el flujo deseado es:
∅ = EA '
Como la relación entre las dos áreas es A = A cosθ
∅ = EA cos θ (3.2)
Con esto podemos concluir:
El flujo máximo cuando la superficie es perpendicular al campo eléctrico.
El flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo.
33
Claro que esta definición es para un pequeño diferencial de área. Consideremos
ahora una superficie general dividida en un gran número de elementos de área ∆ A (Fig.
3.3) Si tomamos un pequeño elemento de área como lo indicamos en el dibujo y calculamos
el flujo eléctrico a través de él.
∆ ∅ i = Ei∆ Ai cos θ = 1
Ei2
.∆ 3
Ai
Producto escalar de dos vectores
Si usamos todas las contribuciones de los elementos de área obtenemos el flujo total
que pasa por la superficie.
n
∅ ≈ ∑Ei.∆Ai
i =1
Si el área de cada uno de los elementos se hace tender a cero, entonces el número de
elemento tiende al infinito y la suma se sustituye por una integral.
∅ ≡ lim
∆ A→ 0
n
∑ Ei.∆ i =
i =1
∫
E.dA
sup erficie
Por lo general se trata de evaluar el flujo que pasa por una superficie cerrada, por lo
que la ecuación se puede escribir como
∅c =
∫ E.dA
(3.3)
Podemos decir que si una superficie cerrada tienen más límites salientes que
entrantes, el flujo es positivo y si entran más líneas que las que salen, el flujo es negativo.
Ejemplo:
Se aplica un campo eléctrico de 5 × 104 Nw / C , a lo largo del eje x de anchura y 0,8
m de largo, si a) éste es paralelo al plano y z, b) es paralelo al plano y c) contiene al eje y, y
su normal, forma un ángulo de 53º con el eje x.
Solución:
a)
Área A
d
E
y
x
Figura 3.4
34
∫ E.dA = ∫ EdA cosθ
El flujo es: ∅ =
El ángulo entre E y A es cero grado. Cos 0 = 1
∅ = E ∫ dA = E. A
El área es b . h
Nw.m 2
∅ = E.b.h = 5 × 10 Nw / C.0.8m.0, 2m = 8 × 10
C
4
3
b)
z
E
y
d
A
x
Áre
a
El flujo es: ∅ =
Figura 3.5
∫ E.dA = ∫ E.dA cosθ
El ángulo entre E y A es de 90º, cos 90=0 por lo que el flujo es cero ∅ = 0
c)
z
E
x
θ
y
dA
Figura 3.6
El flujo ∅ = ∫ E.dA = ∫ E.dA cos θ
el ángulo entre E y A es de 53º, cos 53º = 0,60
35
∅ = E cos θ
∫ dA =
E. A cos 53º
Nw.m 2
∅ = 5 × 10 Nw / C.0,8m.0, 2m.0, 60 = 4,81× 10
C
4
3.3
3
LEY DE GAUSS
Para usar la Ley de Gauss necesitamos determinar el flujo eléctrico a través de una
superficie cerrada. Esas superficies, que por lo general serán imaginarias, pueden que tenga
simetría. A estas superficies las llamamos superficies gaussianas.
La Ley de Gauss expresa el flujo en términos de la carga encerrada. Si no hay carga
dentro de una superficie cerrada, el flujo eléctrico a través de la superficie es cero.
Consideramos una carga puntual positiva Figura 3.7, escogeremos una esfera como
superficie gaussiana, de radio R, ubicando la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el
campo eléctrico por ley de coulomb es:
1
q
E =
r
2
4π ∈
0 r
Como podemos observar las líneas del campo eléctrico son reales en toda la
superficie y hacia fuera, por lo que son perpendiculares a la superficie en cada punto. O sea
que el campo eléctrico en cada punto que tomemos es paralelo al pequeño ∆ A, entonces:
∫ E.∆A = E.∆A
Por lo que: d ∅ = E.dA =
1
q
dA
4π ∈0 r 2
Integrando obtenemos:
∅=
∅ =
∫ E.dA =
1
q
4π ∈ 0 r 2
1
q
dA =
4π ∈0 r 2
1
q
dA =
A
4π ∈0 R 2
Como el área de una esfera es 4Π R 2 sustituyendo
1
q
q
∅ =
4π R 2 ⇒ ∅ =
2
4π ∈ 0 R
∈0
(3.4)
Este resultado nos indica que el flujo eléctrico que emana de una carga puntual es
independiente del radio de la esfera gaussiana.
q
∅ = ∫ E.dA =
∈0
36
Podemos decir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es
independiente de la forma de esa superficie. De hacho, el flujo neto a través de cualquier
superficie cerrada que rodee a una carga puntual q es q / ∈ o
Pasos para utilizar la Ley de Gauss en la solución de un Problema:
Hacer un esquema de la distribución de carga, que ayudará a ubicar la simetría adecuada.
Identificar la simetría espacial de la distribución de carga y de campo eléctrico que
produce.
Escoger la superficie gaussiana que sea adecuada a simetría identificada.
Aplicar la ecuación de flujo eléctrico para una superficie gaussiana.
Ejemplo:
El flujo eléctrico neto que pasa por una superficie cerrada dada es − 4 × 102 Nwm 2 / c.
¿Qué carga está contenida dentro de la superficie, si ésta es a) una esfera de 3cm de lado b)
un cubo de lado 3cm y c) un cilindro circular recto de 3cm de altura y 1cm de radio.
No necesitamos llevar a cabo la integración, según la ley de Gauss, el flujo eléctrico
total es tan solo ∅ = q / ∈ o, sin importar la forma de la superficie, por lo que la carga
encerrada es igual en los tres casos indicados en el problema
q
C2
2
2
−2
∅ =
⇒ q = ∅ . ∈ 0 = − 4 × 10 Nwm / C.8,85 × 10
2
∈0
Nwm
∅ = − 3,54 × 10− 9 C
3.4
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
Presentamos algunos ejemplos de cómo utilizar la Ley de Gauss.
Debemos recordar que la Ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto grado de
simetría en la distribución de carga y siempre debe elegirse la superficie gaussiana de modo
que tenga la misma simetría que la correspondiente a la distribución de carga.
Ejemplos:
1.- Determine el campo eléctrico debido a una varilla infinitamente larga, recta, y cargada
con densidad lineal de carga positiva λ , constante, como se observa en la Figura 3.8.
Solución:
Por simetría, la dirección del campo eléctrico es radia en el plano x, y, como se
observa en la Figura 3.9.
37
La superficie gaussiana que tiene simetría con la varilla es un cilindro, el cual lo
indicamos centrado en la varilla, con un radio r y una altura h, como se observa en la Figura
3.10.
Calculamos el flujo a través del cilindro, indicando las direcciones de las áreas, dA
para las diversa superficies del cilindro.
∅ =
∫ E.dA
1
+
1
∅1 =
∫ E.dA cosθ
1
∫ E.dA
2
2
1
+
∫ E.dA
3
3
El campo eléctrico es paralelo a
esa superficie por
o
lo que E es perpendicular a dA1 ; cos 90 = 0
;
1
∅ = 0
∅2 =
∫ E.dA
2
cos θ 2 ;
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie por
lo que E es paralelo a dA2 ; cos 0º = 1
cos θ 3 ;
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo
o
que E es perpendicular a dA3 ; cos 90 = 0
2
∅2 =
∫ E.dA
2
2
∅3 =
∫ E.dA
3
∅3 = 0
dA2 = E. A2
entonces el flujo es : ∅ = E
el área lateral de un cilindro recto de altura h es 2π rh
∅ = E.2π rh
q
.
Aplicando la Ley Gauss: ∅ =
∈0
Igualando las ecuaciones obtenemos:
q
q
E.2π rh =
⇒ E =
∈0
2π rh ∈0
q
; q = λ L donde L=h
como la densidad de carga λ =
L
Sustituyendo
E=
λh
λ
⇒ E=
2π rh ∈ 0
2π r ∈ 0
2.- Determine el campo eléctrico fuera y dentro de un cascarón esférico de radio R que
tiene una carga total Q positiva distribuida uniformemente sobre una superficie externa.
38
a)
CAMPO ELÉCTRICO FUERA Figura 3.11
Solución: Por simetría el campo eléctrico es radial hacia fuera y r > R, aplicando la
ecuación de flujo.
∅ = ∫ E.dA = E ∫ dA cos θ ,θ = 0 ⇒ cos θ = 1
∅ = E ∫ dA = E. A; el área de la esfera gaussiana es 4π r 2
q
∅ = E 4π r 2 ; aplicando la Ley de Gauss ∅ =
∈0
q
E =
4π ∈0 r 2
b)
CAMPO ELÉCTRICO DENTRO Figura 3.12
Solución: Dentro del cascarón el radio de este es mayor al de la superficie gaussiana R > r,
para este caso la superficie gaussiana no encierra carga alguna, por lo que el campo
eléctrico dentro del cascarón esférico es cero (Q = 0).
q
E =
⇒ E =0
4π ∈0 r 2
3.- Calcule el campo eléctrico fuera de una lámina infinita no conductora, con la densidad
uniforme de carga, σ . Figura 3.13
Para resolver este ejercicio debemos ubicar la superficie gaussiana simétrica, en este caso
podemos utilizar un cilindro igual que el primer ejemplo. Figura 3.14
∫ EdA + ∫ EdA + ∫ EdA
∅ = ∫ EdA ; el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por
∅ =
1
1
2
2
1
3
3
1
1
∅
1 = E ∫ dA
1
lo que E es paralelo a dA; cos 0º = 1
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo
∅
2 = ∫ EdA2 ;
que E es perpendicular a dA, cos 90º = 0
2
∅2= 0
∅3 = ∫ EdA3 ; el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por
lo que E es paralelo a dA, cos 0º = 1
3
paralelo a dA, cos 0º = 1
∅3 = E ∫ dA3
3
39
entonces el flujo es:
∅ = E ∫ dA1 + E ∫ dA2 = 2 E ∫ dA = 2 E. A
recordando que σ =
Q
⇒ Q = σ A sustituyendo en la ley de gauss.
A
∅ =
Q
σA
=
∈0
∈0
igualando las dos ecuaciones:
2 EA =
3.5
σA
∈0
⇒ E =
σ
∈0
CONDUCTORES Y CAMPO ELÉCTRICOS.
Los conductores tienen gran número de electrones libres. Cualquier campo eléctrico
que se desarrolle dentro de un conductor, por efecto de un campo eléctrico externo, hará
que los electrones se muevan y en menos de un microsegundo, se reacomodan en una
configuración que anula el campo eléctrico dentro del conductor. Los conductores no tienen
campo eléctrico estático interno.
El movimiento de cargas en respuesta a campos eléctricos aplicados se llama
inducción.
Como podemos observar Figura 3.14 el campo inicial, no tiene su forma original al
que se genera a través de las cargas inducidas.
Veamos que sucede cuando a un conductor se le colocan cargas en ellos o cerca de
ellos o cuando se colocan en campos eléctricos externos con la Ley de Gauss.
a) Cuando colocan cargas en los conductores (exceso de carga).
Vemos que dentro de la superficie Gaussiana Figura 3.15 no hay campo, no hay
flujo y no hay carga neta, todo el exceso de carga está en la superficie externa de un
conductor se mueve al exterior E = 0. Figura 3.16.
Cuando la burbuja esta cargada +Q, esta inducirá una carga -Q en la superficie del
metal, lo cual mantiene al campo eléctrico dentro del metal en cero E = 0. Figura 3.17.
40
b) Campos eléctricos cerca de conductores.
1) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor, debe ser perpendicular a la
superficie del conductor.
2) Empleando la Ley de Gauss, podemos calcular el valor de ese campo eléctrico
perpendicular cerca de la superficie, en términos de la densidad de carga en ella.
Ejemplo:
Conductor con una superficie gaussiana pequeña perpendicular a la superficie del
conductor o cuya tapa es paralela a la superficie. Figura 3.18.
La densidad σ ( sigma ) de carga superficial puede variar en el conductor, por lo que
tomamos una superficie gaussiana muy pero muy pequeña donde tanto la densidad de carga
( σ ) superficial y E se puede considerar constante en ella.
Q
; ∅ = E.dA = EA
∈0
Como sabemos la carga total de q encerrada en la superficie gaussiana es σ A de
modo que: igualando las ecuaciones
∅ =
Q
= E. A
∈0
y sustituyendo el valor de la carga total
σA
nos queda E =
σ
∈0
= E. A ⇒
el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie es
∈0
proporciaonal a la densidad local de carga.
En resumen:
1) El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
2) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es perpendicular a la
superficie de éste, y tiene el valor σ ∈ o, siendo σ la densidad superficial de carga
local.
41
3) Un conductor en equilibrio eléctrico, ----- uno que contenga burbujas no conductoras,
sólo puede tener carga n su superficie exterior, siempre que las burbujas no contengan
carga neta.
Ejemplo:
Dos cascarones concéntricos, conductores perfectos (Figura 3.19), tienen radios R y
2R, respectivamente. Se coloca una carga q en la esfera interna, y de -2q en la externa.
¿Cuáles son los campos eléctricos en todo el espacio, debido a los dos cascarones?
Solución
a)
Cuando el radio de la superficie Gaussiana es menor que el radio R r < R. Como la
superficie GAussiana no encierra carga alguna, el campo eléctrico dentro del
cascarón de radio R es cero E = 0.
b)
Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el cascarón de radio R y
menor que el de 2R R < < 2R, (Fig.3.20), para este caso la carga que esta encerrada
por la superficie gaussiana es la del menor cascarón (q) aplicando la ecuación del
flujo eléctrico para calcular el campo eléctrico.
∅ = E.dA = E.dA cos θ , como el campo eléctrico E es paralelo a
dA− e ,θ = 0o , cos 0o = 1
∅ = E ∫ dA = E. A, el área de una esfera gaussiana es 4π r 2
∅ = E.4π r 2
La ley de Gauss es ∅ =
∅ = E.4π r 2 =
E=
c)
q
, igualando
∈0
q
despejando
∈0
q
4π ∈ 0 r 2
Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el del cascarón mayor (2R),
2R < r (Fig. 3.21). La carga cerrada por la superficie gaussiana es la carga total
interna qiut = q -2. q qiut = -q, con esta carga calculamos el campo eléctrico a través
del flujo eléctrico.
42
∅ = ∫ E.dA = ∫ E.dA cos θ ,
dA,θ = 0o ; cos 0o = 1
el campo eléctrico E es paralelo a
el área de una esfera gaussiana es
∅ = E ∫ dA = E. A,
2
∅ = E.4π r
q
; Igualando las ecuaciones:
la ley de gauss es ∅ =
∈0
E.4π r 2 =
3.6
4π r 2
−q
−q
; despejando E =
∈0
4π ∈ 0 r 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Una placa infinitamente grande, delgada y no conductora, tiene una densidad uniforme
de carga, σ a) ¿Cuál es el flujo eléctrico de un circulo de radio R paralelo a la placa?
b)¿Cuál es el flujo por ese circulo si el plano del circulo tiene una inclinación de 30º
con respecto a su orientación original?.
2) El campo eléctrico en determinada región del espacio tiene la dirección de z y su
magnitud es E = 4XZ, en la cual X y Z se miden a partir de cierto origen. Calcule el
flujo eléctrico de ese campo a través de un cuadrado perpendicular al eje Z; las
esquinas del cuadro están (X, Y, Z)= (1,1,3); (1,2,3); (2,2,3) y (2,1,3). Todos los
campos se miden en Nw/C y todas las distancias en m.
3) Un campo eléctrico de dirección constante es perpendicular al plano de un circulo de
radio R. la magnitud máxima del campo en ese plano se tiene en el círculo. Suponga
que la magnitud del campo eléctrico en el plano decrece desde un valor axial, en la
forma 1/r. Determine el flujo eléctrico a través del plano del círculo.
4) Una carga q se coloca justo arriba del centro de un círculo horizontal de radio r, y
sobre la carga se coloca un hemisferio de ese radio (Fig. 3.22). Calcule el flujo
eléctrico a través de la superficie cerrada que consiste del hemisferio y el círculo
plano.
5) Una carga de 120 × 10− 6 C está en el centro de un cubo con los lados 25cm a)
Determine el flujo total a través de cada cara del cubo b) ¿Halle el flujo a través de la
superficie completa del cubo?
6) Una carga puntual, q, está en el centro de un tetraedro de lado L (Fig. 3.23). ¿Cuál es
el valor promedio del campo eléctrico sobre una cara del tetraedro?
43
7) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es ≅ 130 Nw / C y
apunta hacia abajo ¿Cuál es la carga de la tierra, suponiendo que este campo sea
causado por tal carga?
8) Un globo de 30cm de radio tiene una carga de 3 × 10− 8 C distribuida uniformemente
sobre su superficie . ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 49cm del centro del
globo?. Suponga que el globo se encoge a un radio de 10cm, pero no pierde carga.
¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 40cm del centro?
9) Una lámina plana grande cargada tiene una carga por unidad de área de
7,5 × 10− 6 C / m2. Halle la intensidad del campo eléctrico precisamente arriba de la
superficie de la lámina medio desde su punto medio.
10) Un cascarón esférico grueso, no conductor, con carga total Q distribuida
uniformemente tiene radio interior R, y radio exterior R2 . Calcule el campo eléctrico
resultante, en todo lugar del espacio.
11) A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga a)
Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro(r < R), está dado
por E = ρ r / 2 ∈ 0 en donde ρ es la densidad de carga b) ¿Cuál serían el resultado
esperado para (r>R)?.
12) Se tiene un cubo de lado a ubicado en el origen, ver Figura (3.24), suponga que un
campo eléctrico está presente, y está descrito por bx 2i + cxzk , siendo b y c cantidades
constante. Calcule el flujo a través de cada lado del cubo, y use el resultado para
calcular la carga dentro del cubo.
13) Dos láminas no conductoras infinitas con carga son paralelas entre sí, como se ve en la
figura (3.25). La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga uniforme σ y la
lámina de la derecha tiene una densidad de carga uniforme − σ . Calcule el valor del
campo eléctrico en los puntos a) a la izquierda de las dos láminas b) entre ellas y c) a
la derecha de ellas.
14) Una superficie cerrada cuyas dimensiones son a=b=0,4m y c=0,6m está ubicada como
se indica en la figura (3.26). El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está
2
dado por E = ( 3 + 2 x ) i. Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie
cerrada. ¿Cuál es la carga neta encerrada por la superficie?
15) Un conductor tiene una superficie orientada en el plano yz, que es la frontera de una
región en la cual hay campo eléctrico orientado hacia la dirección +x. La intensidad
de este campo decrece linealmente a medida que aumenta x de x =0m a x =3m. Al
principio de la región, en x =0, la intensidad de campo ha bajado a cero. describa la
distribución, en dirección x, de la carga que produce ese campo.
44
16) Dos grandes placas metálicas de área 1m 2 están colocadas frente a frente (Fig. 3.27).
Están separadas 5cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores. Si
E entre las placas es de 55 Nw / C ¿Cuál es la carga en las placas?
17) Un cascarón esférico conductor de radio 8cm lleva una carga neta de 2 × 10− 6 C ,
uniformemente distribuida sobre su superficie. Obtenga el campo eléctrico en los
puntos a) fuera del cascarón b) dentro del mismo.
18) Una pequeña esfera cuya m es 1× 10− 3 gr tiene una carga q de 2 × 10− 8 C. Cuelga de un
hilo de seda que forma un ángulo de 30º con una gran lámina conductora cargada
como muestra en la figura (3.28). Calcule la densidad de carga superficial σ de la
lámina.
19) Una partida α , que se dirige a la superficie de un núcleo de oro se encuentra a una
− 15
distancia igual a un radio nuclear ( 6,9 × 10 m ) de esa superficie. ¿Cuáles son las
− 27
fuerzas sobre esa partícula α y su aceleración en ese punto? ( mα = 6, 7 × 10 Kg ) .
20) Un alambre recto largo está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide
con el del alambre. El alambre sólido tiene una carga por unidad de longitud de + λ , y
el cilindro hueco tiene una carga neta por unidad de longitud de + 2λ . Con base en
esta información, aplique la ley de Gauss para hallar a) la carga por unidad de
longitud sobre las superficies interior y exterior del cilindro hueco y b) el campo
eléctrico afuera del cilindro hueco, a una distancia r del eje.
45
TEMA IV
POTENCIAL ELÉCTRICO
1.10 INTRODUCCIÓN
El potencial eléctrico ofrece una manera más sencilla de describir los fenómenos
electrostáticos que la que presenta el campo eléctrico. Esta es la principal razón por la cual
este concepto ha alcanzado una mayor aplicación.
Como la fuerza electrostática dada por la ley de coulomb es conservativa, es posible
describir convenientemente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía
potencial eléctrica. Esto es lo que nos permite definir una magnitud escalar llamada
Potencial Eléctrico.
En los circuitos eléctricos de voltaje, o tensión, medida entre dos puntos
cualesquiera es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre esos dos puntos.
1.11 POTENCIAL ELÉCTRICO:
El potencial eléctrico es una función escalar que representa el trabajo por unidad de
carga, realizado por un agente externo para cambiar la posición de una carga eléctrica
determinada dentro de una región donde existe una campo eléctrico.
El potencial eléctrico solo es una propiedad de larga o la distribución de carga que
los produce (q) y no de la carga de prueba (q’).
1.12 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL:
Tomemos dos cargas puntuales q y q’, separadas por una distancia r. Entonces el
potencial eléctrico es.
W
F .R
q ' E .R
V( r ) =
=
( r) =
q'
q'
q'
V( r ) = E.r =
V( r ) =
1 q
4r ∈ 0 r
(4.1)
1 qr
4r ∈ 0 r 2
Calculo del potencial eléctrico de una carga
puntual q a una distancia r de la carga.
La unidad de potencial eléctrico es el Joule entre coulomb (J/C), a esta unidad se le
dio el nombre de voltio.
46
1V = 1J / C
Como el potencial eléctrico tiene las dimensiones de campo eléctrico multiplicado
por la longitud, entonces.
1N / C = 1V / m
Para el cálculo del Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales aplicamos el
principio de Súper posición. El potencial total en un punto P, debido a varias caras
puntuales, es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales.
Vt = V1 + V2 + KKKK + Vn
Vt =
n
∑ Vi =
i =1
1
4π ∈0
n
∑
i =1
qi
ri
(4.2)
Observamos que es una suma algebraica.
Ejemplo:
−6
−6
Se colocan dos cargas en el eje X : q1 = 4 × 10 C en 2cm y q2 = − 2 × 10 C
en 4cm. Determine los puntos en el eje de las X donde el potencial es cero.
Solución:
a)
El punto izquierdo al lado de la carga q1
q1
2cm q2
y
p
x
X
2cm
4cm
Figura 4.1
2m = 2 × 10− 2 m
Vt = V1 + V2 = 0
47
V1 = − V2 ⇒
1 q1
1 q2
=
4π ∈ 0 r1
4π ∈ 0 r2
1
4 × 10− 6 C
1
= −
4π ∈ 0
X
4π ∈ 0
(
− 2 × 10− 6 C
X + 2 X 10− 2 m )
4 × 10− 6 C
2 × 10− 6 C
4 × 10− 6 C
=
⇒
=
X
X + 2 × 10− 2 m
2 × 10− 2 C
(
X
X + 2 X 10− 2 m )
X
⇒ 2 ( X + 2 X 10− 2 m ) = X
X + 2 X 10− 2 m
2 X + 4 X 10 − 2 m = X ⇒ 2 X + 4 X 10− 2 m − X = 0
2=
X = − 4 X 10− 2 m
b)
y
El punto derecho al lado de la carga q2
q1
p
X
2cm
x
Figura 4.2
V 1 = −V 2
1
q1
1
q2
= −
4π ∈ 0 r1
4π ∈ 0 r2
q1
q2
4 x10 − 6 C
− 2 × 10 − 6 C
= −
⇒
=
⇒
r1
r2
X + 2 X 10 − 2 m
X
4 x10 − 6 C
X + 2 X 10 − 2 m
X + 2 X 10 − 2 m
=
⇒ 2=
2 x10 − 6 C
X
X
−2
2 X = X + 2 X 10 m ⇒ 2 X − X = 2 X 10 − 2 m ⇒
X = 2 X 10 − 2 m
48
4.4
DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO.
Es el trabajo por unidad de carga que se debe efectuar para mover una carga de
prueba desde el punto a hasta el punto sin cambiar su energía cinte. También la podemos
definir como el cambio en energía potencial dividido entre la carga de prueba q’.
B
∆ V = VAB
B
W
F .ds
q '. • ds
= AB = − ∫
= −∫
q'
q'
q'
A
A
B
VAB = −∫ •ds
A
El signo negativo aparece debido a que el trabajo es realizado por un agente externo
cuya aplicada F es igual a - q E.
También podemos hacer referencia q que la diferencia de potencial es un trabajo
que se produce de potencial es un trabajo que se produce a través de la variación de la
energía potencial por lo que.
WAB = −∆ EU AB
(4.4)
Ejemplo:
Entre dos láminas paralelas situadas en el aire se establece una diferencia de
Potencial 2 × 103 , si el aire se hace conductor cuando la intensidad del campo eléctrico
excede de 3 × 106 N / C. ¿Cuál es la separación mínima de las láminas?
Solución:
B
B
A
A
VAB = − ∫ Edx = − E ∫ dx = − E ( − X
)
VAB = E. X ⇒ despejando a X
V
2.000 N .m / C
X = AB =
= 6, 67 × 10 4 m
6
E
3 × 10 N / C
4.5
POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES DE CARGAS
Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar, la integral que resolveremos es
escalar también, la distribución continua de cargas las subdividimos en pequeños ∆q.
dV =
1
dq
4π ∈ 0 r
49
para calcular el potencial eléctrico total, integramos:
V =
∫ dV
=
1
4π ∈0
∫
dq
r
(4.5)
Ejemplo:
Dos placas metálicas paralelas tienen 125cm 2 de área, cada una, están separadas por
L =0,8cm. Tienen una diferencia de potencia de potencial de 0,5 V. Determine el valor
numérico del campo eléctrico. ¿Cuáles so la densidad de carga y la carga total de cada
placa?
Solución:
L
a)
b)
E =
∆ V = − E ∫ dx ⇒ ∆ V = − E ∫ dx ⇒ ∆ V = EL
O
∆V
0, 5V
E=
=
= 62, 50V / m
2
8 × 10− 3 m
El campo eléctrico entre dos placas paralelas es σ ∈ 0
σ
∈0
⇒ σ = E. ∈0 esta es la densidad de carga.
σ = 62, 5V / m.8,85 × 10− 12
c)
C2
= 5, 53 × 10− 10 c / m 2
2
Nwm
La densidad de carga superficial es:
Q
⇒ Q = σ .A
A
C
2
Q = 5, 53 × 10 − 10
. 1, 25 × 10 − 2 m = 6, 91× 10 − 12 C
2
m
σ =
(
)
Ejemplo:
Determine el potencial eléctrico de un disco de delgado, plano y uniformemente
cargado, de radio R y carga total Q, en un punto P en su eje
Solución:
dq
σ =
⇒ dq = σ dA
dA
50
dq = σ 2π rdr
1
σ 2π rdr
1
dV =
=
2
2
4π ∈ 0 r + x
2∈0
V =
σ
2∈0
R
∫
0
(
σ 

r 2 + x2 2 ∈ 0 
r 2 + x2 ∫ =
0
)
(
4.6
r 2 + x2
R
rdr
σ
R2 + x2 − x
2∈0
Q
V =
R2 + x2 − x
2π ∈ 0 R 2
V =
σ rdr
)
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
La energía mecánica es igual a la suma de la Energía cinética mas la Energía
Potencial.
Em = EK + Eu
Y que cambio de la energía mecánica en cero.
VEm = Em − EmA = 0
VEm = VEk + VEu = 0
O sea que la variación de la energía cinética es igual al cambio o variación de la
energía potencial pero con igual signo opuesta.
VEk + VEu = 0
VEk = − VEu
El teorema de la energía cinética establece que:
W =VEk
por lo que podemos decir que:
W = −VEk
VEu = − W
51
B
VEu = − ∫ F .ds
(4.6)
A
Para fuerzas conservativas el valor de F es independiente de la trayectoria de
integración entre los puntos a y b.
F .ds = F .dr
b
b
a
a
VEu = − ∫ Fdr = − ∫
1
qq '
dr
4π ∈ 0 r 2
b
1
dr
1
 −1
VEu = −
q ' q∫ 2 =
q 'q 

4π ∈ 0
r
4π ∈ 0
 r 
a

1
q 'q 
VEu = 
−
4π ∈ 0 rb 
14
4244
3

1
q 'q 


4π ∈ 0 ra 
14
4244
3
VEu = EuB − EuA
a.- Energía Potencial en un sistema de cargas:
Si en el sistema existen mas de dos partículas cargadas, puede obtenerse la energía
potencial total, calculando Eu para cada par de cargas y sumando algebraicamente los
términos:

qq
q q 
q1q2
1
Eut = 
+ 1 3 + 2 3 
r1.3
r2.3 
 4π ∈0 r1.2
(4.8)
Ejemplo:
Una carga de 2 × 10 − 4 C está fija en el origen de un sistema de coordenadas. En
una pesa con 11gr de masa se coloca una carga de 2 × 10− 6 C la pasa se acerca, desde muy
lejos, hasta un punto a 45cm del origen. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del sistema?
Solución:
52
Eu =
1
q1q2
Nw.m 2 2 × 10 − 4 C.2 × 10 − 6 C
= 9 × 109
4π ∈ 0 r1.2
C2
45 × 10− 2
Eu = 8 Joule
b.- Electrón Volt:
Con frecuencia calculamos la energía multiplicando el voltaje por la carga. Esta
unidad de energía se llama electrón volt y consiste en multiplicar un electrón por un voltio.
1ev = ( 1, 6 × 10− 9 C ) ( 1V ) = 1, 6 × 10− 19 Joule
4.7
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Son regiones en las que el potencial eléctrico de una distribución de carga tiene
valores constantes. Por lo que podemos, decir, que cuando desplazamos una carga de
prueba q’ que a lo largo de una superficie equipotencial, no se realiza trabajo alguno. Las
superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y por
consiguiente, al campo eléctrico.
4.8
DETERMINACIÓN DE CAMPO
POTENCIALES ELÉCTRICOS
ELÉCTRICO
A
PARTIR
DE
Recordando que la diferencia de potenciales es:
dv = E.ds
Descomponemos a ds en coordenadas cartesianas:
ds = dxi + dyj + dzK
El producto escalar es:
dv = E.ds = − Exdxi − Eydyj − Ezdzk
Si despejamos el campo eléctrico, tenemos que este es igual al valor negativo de la
derivada del potencial con respecto a alguna coordenada.
dv
−∂v
−∂v
−∂v
E= −
=
i−
j−
k
ds
∂x
∂y
∂z
O sea que el vector campo eléctrico se expresa en términos de las derivadas del potencial
eléctrico.
53
Ejemplo:
Una distribución de potencial en el espacio está descrita por la función:
V = Axy 2 − B 2 yz 3 + Cx 2 z , donde A, B y C son constantes. Determine el campo eléctrico:
Solución:
Ex =
∂V
=
∂x
( Ay
2
+ 2CxZ ) i
Ey =
∂V
= ( 2 Axy − 2 Bz 3 ) j
∂y
∂V
= ( − 6 Byz 2 + Cx 2 ) k
∂x
E = − ( Ay 2 + 2Cxz ) i − ( 2 Ay − 2 Bz 3 ) j − ( − 6 Byz 2 + Cx 2 ) k
Ez =
4.9
POTENCIAL DE UN CONDUCTOR CARGADO
Consideremos dos puntos y B sobre la superficie de un conductor cargado. E
siempre es perpendicular al desplazamiento ds por lo que E.ds=0:, Observemos la figura
4.4.
B
VA − VA = VAB = − ∫ E.ds = 0
A
La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie
equipotencial. Además, ya que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se concluye
que el potencial es constante en todo punto del interior del conductor es igual a su valor en
la superficie.
ANEXO 1: Tabla (4.1)
Ejemplo:
Un disco delgado de 23cm de radio tiene una carga total de 1,5 × 10− 7 C , repartida
uniformemente en su superficie. ¿Cuál es el trabajo mínimo que se requiere para traer una
carga q = 2 × 10− 8 C en reposo, desde el infinito a una distancia de 78cm del disco, a lo
largo de su eje?
Solución:
V =
W
⇒ W = V .q
Q
revisando la tabla anterior
54
)
(
Q
R 2 + x 2 − x .q
2
2π ∈ 0 R
el potencial en un disco cargado
W =
W=
1,5 × 10− 7 C
2 ( 3,14 ) ( 8,85 × 10− 12 C / Nwm 2 ) ( 23 × 10− 2 m )
( ( 23 × 10
W=
−2
2
)
m ) + ( 78 × 10− 2 m ) − ( 78 × 10− 2 m ) .2 × 10− 8 C
2
2
−7
1,5 × 10 C
9,9 × 10− 17
−8
.
0,
033
m
.2
×
10
C
=
Nwm
(
)
2
2,94 × 10− 12
2,94 × 10− 12 C / Nw
W = 3,37 × 10− 5 Joule
4.10
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Se trae del infinito una carga de 3 × 10− 6 C , y se fija en el origen de un sistema de
coordenadas a) ¿Cuando trabajo se efectúa? b) Del infinito se trae una segunda carga
de 5 × 10− 6 C , y se coloca a 10cm de distancia de la primera. ¿Cuándo trabajo efectúa
el campo eléctrico de la primera carga cuando se trae la segunda carga? c) ¿Cuando
trabajo efectúa el agente externo para traer la segunda carga, si esta se mueve con la
energía cinética invariable?
2) ¿A través de que diferencia de potencial se necesita acelerar un electrón para alcanzar
8
una velocidad del 60% de la velocidad de la luz a partir del reposo? ( C = 3 × 10 m / s ) .
−9
−9
3) Dos cargas puntuales q1 = 40 × 10 Cyq2 = − 30 × 10 C a una distancia de
10cm. El punto A se encuentra en el punto medio del segmento que los une, y el B dista
8cm de q1 y 6cm de q2 . Hallase: a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el
punto B; c) el trabajo necesario para transportar una carga de 25 × 10− 9 C desde el
punto B al punto A?
4) El potencial a cierta distancia de una carga puntual es 600V, y el campo eléctrico es
de 200 N/C a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿y el valor de la carga?
5) Un campo eléctrico uniforme de magnitud 400 V/M esta dirigido en la dirección y
negativa, ver la figura 4.5; las coordenadas del punto A son (-0,4, 0.6) m y las del
punto B son (0.5, 0.7)m. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre A y B,
utilizando la trayectoria A C B.
6) Un protón pasa del punto A al punto B bajo la influencia única del campo eléctrico,
4
3
perdiendo velocidad al hacerlo, desde VA = 3 × 10 m / s hasta VB = 3 × 10 m / s ¿Cuál es
la diferencia de potencial entre los dos puntos?
55
7) A una distancia r de una carga puntual q1 el potencial eléctrico es V =600V y la
magnitud del campo eléctrico es E =200N/C. Determine el valor de q y r.
8) Determinada distribución de cargas estáticas en el espacio produce un potencial
2
eléctrico de la forma V ( x, y , x ) = a, + a2 xz + a3 z , siendo constantes los coeficientes a;.
Determine el campo eléctrico E en el origen y el punto (x,y,z)=(0m,0m,1m) .
9) Calcule el potencial eléctrico en el punto P, sobre el eje de la corona mostrada en la
figura 4.6, la cual tiene una densidad de carga uniforme σ y radios interior y exterior
iguales a A y B, respectivamente.
10) Demostrar que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo de radio a,
esta dado por:
1
q
V =
4π ∈0
x2 + a
11) Un largo cilindro metálico, de radio ra , esta sostenido por un pie aislante sobre el eje
de otro largo cilindro metálico hueco de radio interior rb . La carga positiva por
unidad de longitud en el cilindro interior es λ , y sobre el cilindro exterior existe una
densidad de carga lineal negativa igual negativa. a) Demuestre que la diferencia de
potencial entre los cilindro es 2k λ Lnrb / ra . b) pruébese que el campo eléctrico en
cualquier punto situado entre los cilindros es Vab / Ln ( rb / ra ) .1/ r.
12) El potencial, Vr, de una distribución de carga esféricamente simétrica, esta expresa
2
por Vr = ( Q / 4π ∈ 0 )  5 − 4 ( r / R )  para r<R, y por Vr = Q / 4π ∈ 0 r , para r>R. a)
Determine el campo eléctrico. b) ¿Dónde esta la carga, y como se distribuye?
13) El potencial eléctrico en una cierta región es V = zx + y 2 − 7 ¿Determine el ángulo
entre la dirección eléctrico, E, y la dirección del eje x positivo, en el punto P, el cual
tiene las coordenadas (en metros) (2,1,2)?.
14) Dos conductores esféricos de radios r1 yr2 están conectados por medio de un alambre
conductor, como se indica en la figura 4.9. Si r1 = 0,3m y r2 = 0,15m y el campo
eléctrico en la superficie de la esfera mas pequeña es de 500 Nw/C, calcule la
magnitud de la carga en exceso en la esfera grande.
15) Deduzca una ecuación para el potencial eléctrico en todos los puntos, debido a una
varilla de longitud L y densidad lineal uniforme de carga, λ , empleando la ecuación
V = 1 4 π ∈ 0 ∫ d q r. La varilla esta orientada en el eje z, con su centro en el origen.
56
Demuestre que a distancias muchos mayores que L a la varilla, el potencial se reduce
al de una carga puntual Q = λ / L, en el origen.
16) Un cilindro infinitamente largo, de radio R, se llena con una densidad volumétrica
uniforme de carga ρ . Calcule el potencial dentro y fuera del cilindro.
17) Considere una disposición de ocho cargas negativas iguales ubicadas de modo que
queden definidos los vértices de un cubo con arista de longitud L =0,15m.Si cada una
de las ocho cargas mide q = − 6 × 10− 6 C , determine el potencial en el centro del cubo.
18) Dos esféricas conductoras idénticas de radio r =0,15m están separadas por una
distancia a =10m ¿Cuál es la carga de cada esfera si el potencial de una es 1500 V y el
de la otra es -1500 V?.
19) Una lamina cuadrada cuyos lados tienen una longitud L, contiene una densidad
superficial de carga informe σ y esta situada en el plano x y, como en la figura 4.8.
Establezca la expresión integral necesaria para calcular el potencial eléctrico en un
punto p, sobre una recta perpendicular a un eje que pase por el centro de la lámina.
Suponga que el punto P esta a una distancia d de la lámina.
20) Por frotamiento, se puede producir una carga de 10− 8 C. ¿Cuál seria el aumento en el
potencial que tal carga produciría en una esfera conductora aislada de 10cm de
radio?.
57
TEMA V
CAPACITORES Y DIELECTRICOS
1.13 INTRODUCCIÓN
Como ya sabemos todo conductor tiene un potencial eléctrico constante en todos sus
puntos y dentro de el, por ser superficies equipotenciales. Si tenemos un sistema formado
por conductores cargados los cuales están cerca entre si, el potencial de cada conductor no
solo va a estar determinado por su carga, si no que también va estar influenciado por el
valor y signo, el tamaño, la forma y posición de los otros conductores que intervienen en el
sistema.
La diferencia de potencial entre dos conductores cargados puede acelerar una carga
de prueba o varias, por lo que podemos decir que el sistema almacena energía. Un capacitor
en un sistema que almacena energía. La relación entre la cantidad de carga que almacena un
capacitor, y la diferencia de potencia de sus conductores, va a depender de la geometría del
capacitor.
1.14 CAPACITANCIA
Si tenemos dos conductores separados por el espacio vacío o por un material
conductor, supongamos que los conductores tienen cargas iguales pero de signos opuestos,
de manera que la carga neta es cero. Esta combinación es lo que conocemos como
capacitador. La razón de la magnitud de la diferencia de potencia de potencial entre ellos es
lo que conocemos como Capacitancia (C).
C =
Q
V
(5.1)
La capacitancia siempre es una cantidad positiva, la capacitancia tiene las unidades
de coulombs por volt.
C=
Coulomb
= Faradio
Volt
Esta unidad del Fardio es muy grande, por lo que las más comunes son el
microfaradio 1 MF = 10− 6 F y el picofaradio 1 pf = 10− 12 F , la capacitancia de un
dispositivo depende de la disposición geométrica de los conductores.
Algunas aplicaciones:
58
Para eliminar la chispa que se produce cuando se interrumpe rápidamente un circuito que
posee autoinducción.
Para sintonizar circuitos de radio.
Para igualar la corriente rectificada proporcionada por el generador e energía.
1.15 CALCULO DE LA CAPACITANCIA
Capacitor esférico
La Capacitancia de un conductor esférico de radio R y carga Q, el segundo
conductor es una esfera conductora hueca concéntrica de radio infinito.
C=
Q
; como el potencial de la esfera es KQ/R,
V
y el de la esfera de radio infinito es 0.
C=
Q
R
=
= 4π ∈ 0 R
KQ / R K
Capacitor de placas paralelas.
Como se observa en la Figura 5.1, dos placas paralelas de igual área separadas por
una distancia d, con cargas +Q y -Q. Si las placas están muy próximas entre si, se pueden
despreciar los efectos externos y suponer que E es uniforme entre ellas y cero entre los
demás puntos.
El campo eléctrico entre las placas es σ ∈ 0 y la carga por unidad de área en
cualquiera de las dos placas es σ = Q A.
E =
Q
∈0 A
la diferencia de potencial entre las placas es de E.d.
V = E.d =
QD
∈0 A
la capacitancia es C =Q/V sustituyendo
C=
∈ A
Q
= 0
Qd ∈ 0 A
d
59
Con este resultado obtenemos que la capacitancia de un capacitor de placas
paralelas es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia
que la separa.
Capacitor cilíndrico
Un conductor cilindrico, como se observa en la Figura 5.2, de radio a y carga +Q es
concéntrico con un cascaron cilíndrico mas grande de radio b y carga -Q: determinar la
capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es L.. Un ejemplo de este es un cable
coaxial.
Ejemplo: (un cable coaxial)
Solución:
B
B
A
A
VAB = − ∫ Eds = − ∫ Erdr
La carga por unidad de longitud λ = Q L
Q = λ L y el campo eléctrico es 2 K λ / r
B
dr
VAB = − 2k λ ∫
= − 2k λ ln ( b a )
r
A
La capacitancia es:
Q
C=
= sustituyendo de potencial es positiva dado que el cilindro interior tiene mayor
V
potencial.
1.16 ENERGÍA EN CAPACITORES
Un capacitor es capaz de efectuar un trabajo. Podemos determinar la energía
contenida en un capacitor cargado determinado cuando trabajo necesita para cargarlo
inicialmente.
Para cargar un capacitor tomamos un pequeño diferencial de carga adquirida de uno
de los conductores y lo pasamos al otro conductor, al continuar moviendo la carga adicional
dq, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de más cargas,
por lo que tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional.
dw = Vdq =
Q
W = dw =
q
∫O C dq =
q
dq
C
Q
1
Q2
qdq
=
∫C
2C
O
(5.2)
60
Este es un resultado general para todos los capacitares, ese trabajo queda
almacenado en el capacitor como energía potencial. Esta es la energía que puede mover una
carga de prueba colocada entre los conductores.
Q2
Eu =
; como
2C
Q = Cv
(5.3)
C 2V 2
CV 2
Eu =
⇒ Eu =
2C
2
Eu =
(5.4)
QV
2
(5.5)
Ejemplo:
¿Cuántas energía se almacena en una esfera metálica de 12cm de radio cuando s
coloca en ella una carga de 4 × 10− 5 C ?
Solución
Eu =
QV
; el
2
Q
Eu =
Eu =
potencial
Q
4π ∈ 0 r
Q2
=
2
8π ∈ 0 r
es
Q
4π ∈ 0 r
( 4 × 10 −
(
8π 8, 85 × 10− 12 C
5
2
)
C
)
2
 12 × 10− 12 m 


Nwm 2


1, 6 × 10− 9
Nw ⇒ Eu = 59, 93 Joule
2, 67 × 10− 11
1.17 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS
En los capacitares las líneas del campo eléctrico van del conductor positivo al
negativo. Este campo eléctrico es el que acelera a la carga de prueba, colocada entre las
placas del capacitor.
Pongamos un ejemplo con un capacitor de placas paralelas.
61
Capacitancia C =
∈0 A
d
Campo eléctrico E =
σ
∈0
Diferencia de potencial V = E.d
Eu =
∈ A
∈ E2
CV 2
2
= 0
( Ed ) ⇒ Eu = 0
2
2d
2
( Ad ) ( volumen )
La densidad de energía (u) es el coeficiente de volumen en la ecuación anterior.
U =
Eu
=
volumen
u=
∈0 E 2
2
∈ E2
Eu
= 0
2
( Ad )
( Ad )
esta es la densidad local de energía en el espacio vacío, a un
cundo el campo eléctrico sea variable.
1.18 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS
Los capacitares se pueden asociar de varias maneras, en serie y en paralelo. A
continuación veremos como puede calcularse la capacitancia equivalente de estas
combinaciones.
Asociación en paralelo:
La siguiente Figura 5.3, describe una asociación de capacitares en paralelo tienen el
mismo potencial entre sus conductores.
Q1 = C1V
Q2 = C2V
y
La carga total en ambos capacitares es:
Qt = Q1 + Q2
Qt = C1V + C2V
( 5.6 )
= ( C1 + C2 ) V
Despejando V obtenemos la capacitancia equivalente
C1 + C 2 =
Qt
V
62
Capacitancia equivalente es: Cep = C1 + C2
Por lo que podemos decir que la capacitancia equivalente de un grupo de capacitares
en paralelo es la suma de cada una de las capacitancia de dichos capacitares.
Ceq = C1 + C2 + KKKK + Cn
( 5.7 )
Ceq =
n
∑C
i
i =1
Concluimos que la capacitancia equivalente es una asociación en paralelo es mayor
que cualquiera de las capacitancias individuales.
Asociación en serie:
La siguiente Figura 5.4, describe una asociación de capacitares en serie. Los
capacitores conectados en serie tienen la misma carga. Observamos al conectar la batería y
esta mantiene un potencial fijo y se transfieren carga negativa a la placa derecha y carga
positiva la placa izquierda (d) la parte pespunteada de la figura se carga por inducción, la
carga positiva en la placa a induce una carga negativa en la placa b y la placa d induce una
carga positiva en la placa c.
Q1 = Q2 = Q
El potencial en cada capacitor es:
V1 = Q C1
y
V2 = Q C2
Por lo que:
VT = V1 + V2 = Q C 1 + Q C 2
(5.8)
VT = Q ( 1 C1 + 1 C2 ) = Q Cequi .
Por lo que la capacitancia equivalente es:
1 Cequi . = 1 C1 + 1 C2
Cuando tenemos n capacitares conectados en serie:
1 Cequi . = 1 C1 + 1 C2 + KKK + 1 Cn =
n
∑1C
i =1
i
(5.9)
63
La capacitancia equivalente es una asociación en serie en menor que cualquiera de
las capacitancias individuales.
Ejemplo:
Calcule la capacitancia equivalente a los siguientes capacitores de circuito, Figura
5.5.
C1 = 5 × 10− 6 F
C2 = 10 × 10 − 6 F
C3 = 6 × 10− 6 F
−6
F
−6
F
C4 = 2 × 10
C5 = 8 × 10
Figura 5.5
Solución:
C1.2 = C1 + C2 = 5 × 10− 6 F + 10 × 10− 6 F
C1.2 = 1, 5 × 10− 6 F
C3.4 = C3 + C4
C3.4 = 6 × 10 − 6 F + 2 × 10− 6 F
1 Cequi.= 1 C1.2 + 1 C3.4 + 1 C5
1
1
1
1
=
+
+
=
−5
−6
Cequ . 1, 5 × 10 F 8 × 10 F 8 × 10 − 6 F
V =
1
= ( 6, 67 × 104 + 1, 25 × 105 + 1, 25 × 105 ) F = 3,17 × 105
Cequ .
Cequ =
5.7
1
⇒ Cequ = 3,16 × 10− 6 F
5
3,17 × 10
DIELÉCTRICOS
Un dieléctrico es material no conductor, como el papel, plástico y el vidrio. Si
introducimos un dieléctrico entre las placas de un capacitor, la capacitancia generalmente
aumenta, observe la Figura 5.8.
64
Si tenemos un capacitor de placas paralelas de la carga Q0 y capacitancia C0 ,
cuando no existe dieléctrico, la diferencia de potencial será V0 = Q0 / C0 . Si le colocamos
un dieléctrico entre las placas Figura 5.9, el potencial disminuye en un factor K (constante
dieléctrica).
V =
V0
K
(5.10)
Esta constante dieléctrica va a depender del tipo de material del dieléctrico, observe
la Tabla 5.1 ANEXO 2.
Y la capacitancia aumenta en el factor K.
( 5.11)
C = C0 K
Cuando un capacitor de placas paralelas esta lleno con un dieléctrico la capacitancia
se puede expresar como:
C = KC0 ; donde
C= K
E0 A
d
C0 = E0 A d
( 5.12 )
Ejemplos:
Un acumulador de automóvil, de 1 z V, puede almacenar 4 × 106 J de energía.
Calcule el área de un capacitor de placas paralelas que pueda almacenar la misma energía,
si la separación entre las placas es 1mm y entre ellas hay un dieléctrico con K =3.
Solución:
65
Eu =
CV 2
2
despejando
C
6
2 Eu 2 ( 4 × 10 J ) 8 × 106 J
C=
=
=
= 55, 56 × 103 F
2
2
V
144V
( 12V )
C=
K ∈0 A
D
despejando
A
C.d
55, 56 × 103 F .1× 10 − 3 m
55, 56m 2
A=
=
=
= A = 2,1× 1012 m 2
− 11
− 12
K ∈0
( 3) ( 8,85 × 10 F / m ) 2, 66 × 10
5.8
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Dos conductores aislados entre si se cargan al transferir electrones de uno al otro.
Después de haber transferido 2,5 × 1012 electrones, la deferencia de potencial entre los
conductores resulta ser 16 V. ¿Cuál es la capacitancia del sistema?
2) Dos esferas conductoras concéntricas tienen 5cm y 23cm de radio, respectivamente, y
una carga igual, pero opuesta, de 6,3 × 10− 7 C. ¿Cuál es la diferencia de potencial
entre ellas?
3) Un capacitor de placas paralelas tiene placas cuadradas de 40cm por lado, separadas
5mm. El capacitor se carga a 230v y se desconecta de la fuente de carga ¿Cuál es la
densidad de carga en las placas? ¿Cuál es la carga total en cada placa?.
4) ¿Cuál debe ser la capacitancia necesaria para almacenar una energía 10Kw.h a una
diferencia de potencial de 1000V?
5) Demuestre que la energía asociada con una esfera conductora de R y carga Q,
rodeada por un vacío, se expresa como Eu = KQ 2 / 2 R.
6) Un cable coaxial con conductor interno de 3mm de diámetro y blindaje exterior de
8mm de diámetro, tiene un potencial de 1KV entre los conductores. a) ¿Cuál es la
capacitancia de 10m de cable? b) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 10m
del cable? c) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 1km?
7) Las placas de un capacitor de placas paralelas tiene 600cm 2 de área y están a 0,2cm
de distancia. La diferencia de potencial entre ellas es 800v. a) ¿Cuál es el campo entre
las placas? b) ¿Cuál es la carga en cada placa? c) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el
campo sobre una de las placas? d) Suponga que se tira de las placas para separarlas,
66
de modo que la distancia entre ellas aumenta 10%. ¿Cuál es el cambio de la energía
almacenada?.
8) La batería de la figura 5.10 suministra 12v. a) Encontrar la carga en cada uno de los
capacitadotes cuando se cierra el interruptor S1 y b) cuando se cierra el interruptor
S 2 . Considérese que C1 = 1× 10− 6 , C2 = 2 × 10− 6 F , C3 = 3 × 10− 6 F
y
C4 = 4 × 10− 6 F .
9) Considere la combinación de capacitares de la figura 5.11 a) ¿Cuál es la capacitancia
equivalente entre los puntos a y b? b) ¿Determine la carga en cada capacitor si
Va = 36V ? C1 = 4 × 10− 6 F , C2 = 2 × 10− 6 F , C3 = 24 × 10− 6 F , C4 = 8 × 10− 6 F .
−6
−6
10) En la figura 5.12, cada capacitor C1 = 3 × 10 F y cada capacitor C2 = 2 × 10 F a)
Calcúlese la capacitancia equivalente del circuito b) Hállese la carga de cada uno de
los capacitares cuando Vab = 900V y c) Calcúlese Vcd cuando Vab = 900V .
11) El capacitor C1 tiene una capacitancia de 2 × 10− 6 C y el C2 tiene 3 × 10− 6 F de
capacitancia. Una carga q = 10 × 10− 6 C se coloca en C1 , mientras que C2 se lleva a
una diferencia de potencial entre sus placas de 50V. ¿Cuál es la energía total
almacenada en los dos capacitores?.
12) Encontrar en la siguiente Figura 5.13, a) la carga, b) la diferencia de potencial y c) la
energía
almacenada
en
cada
capacitor.
−6
−6
−6
C1 = 10 × 10 F , C2 = 5 × 10 F , C3 = 4 × 10 F , V = 100V .
y r2 ,
13) Un capacitor consiste en dos cascarones esféricos concentricos, de radio r1
respectivamente. Calcule la capacitancia si el espacio entre los cascarones se llena
con un dieléctrico cuya constante es k si el primer capacitor tiene aire entre sus
cascarones, y tiene carga Q, y s el espacio se llena a continuación con el dialéctico,
¿Cuál es el cambio de energía?.
14) Se va a construir un capacitor de placas paralelas utilizando papel como dieléctrico. Si
se desea obtener un voltaje máximo de 6 × 104V antes de la destrucción. ¿Qué espesor
del dieléctrico se necesita?.
15) Dos placas paralelas de 100cm3 de área se cargan con una misma, carga de signos
opuestos, de 8,9 × 10− 7 C. El campo eléctrico en el material dieléctrico que llena el
espacio entre las placas es de 1, 4 × 106 V / m. a) Encontrar la constante dieléctrica del
material. b) Determinar la magnitud de la carga inducida en cada una de las
superficies del dieléctrico.
67
−6
y
C2 = 2 × 10− 6 F se cargan como una combinación
16) Los capacitares C1 = 6 × 10 F
en paralelo a través de una batería de 250V los capacitares se desconectan de la
batería y entre si y, a continuación, se conectan placa positiva con positiva y negativa
con negativa. Calcule la carga resultante en cada capacitor.
17) Se suministra a dos laminas paralelas de 100cm 2 de área, cargas iguales y opuestas de
10− 7 C. El espacio entre las laminas esta ocupado por un dieléctrico y el campo
eléctrico dentro es 3,3 × 105V / m a) ¿Cuál es la constante eléctrica? b) ¿Cuál es la
densidad de carga inducida sobre cada una de sus caras?.
18) Un capacitor consta de 12 placas conectadas alternadamente a la terminal positiva y a
la negativa las placas son 8 x 15cm y están a 0,30mm de distancia ¿Cuál es la
capacitancia?. Suponga que la zona entre las placas se rellena con material de
constante dieléctrica 2,5. ¿Cuál es la capacitancia?
19) Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 4 × 10− 6 F las placas se
cargan a 600V a) ¿Cuál es la energía almacenada en el capacitor? b) ¿Cuánto trabajo
se necesita para introducir un dieléctrico cuya constante es K =2 entre las placas?
Suponga que el capacitor se desconecta de la fuente de voltaje antes de introducir el
dieléctrico.
2 × 10− 6 F
y
4 × 10− 6 F , respectivamente, se
20) Tres capacitares, de fuerza de 1× 10− 6 F ,
pueden conectar de diversas formas entre dos puntos. ¿Qué arreglo produce la
capacitancia equivalente menor y cual es la mayor?.
68
TEMA VI
LA CORRIENTE Y LA RESISTENCIA
1.19 INTRODUCCIÓN
Hemos estudiado cargas eléctricas que están en reposo, ahora estudiaremos el
comportamiento de estas mismas cargas pero en movimiento. Como ya sabemos las cargas
eléctricas se mueven bajo el efecto de los campos eléctricos, este movimiento que se genera
es lo que llamaremos corriente eléctrica. Esta corriente eléctrica nos describe la rapidez de
flujo de cargas a través de alguna región del espacio. Para detallar el flujo de las corrientes
eléctricas, definiremos que es resistencia, resistividad y conductividad.
Muchos de los aparatos domésticos funcionan con corrientes eléctricas.
1.20 LA CORRIENTE ELÉCTRICA Y LA DENSIDAD DE CORRIENTE.
Definiremos a la corriente eléctrica como la carga total que pasa a través de un área
A de sección transversal, por unidad de tiempo. Consideremos la carga que pasa a través de
un alambre. Figura 6.1.
Tomemos una sección de área A, no necesitamos especificar la forma ni la
orientación de área, si ∆ Q es la carga neta que pasa a través de esta área en un intervalo de
tiempo ∆ t , la corriente J la expresamos como:
I =
∆Q
∆t
(6.1)
si la corriente eléctrica varia en función del tiempo, entonces cuando el limite de ∆ t
cuando tiene cero, podemos definir a la corriente eléctrica en un instante determinado:
I =
dQ
dt
(6.2)
como podemos observar la unidad de corriente eléctrica es el Coulomb entre el tiempo, a
esta unidad se le dio el nombre de Ampere (A).
1A = 1
C
s
esta unidad de Ampere (A) es muy grande, por lo que se usan otras unidades como
miliamperes (mA), microAmperes ( µ A ) y el nanoAmperes ( η A ) .
69
1mA = 10 − 3 A
1µ A = 10 − 6 A
1η A = 10 − 9 A
Se ha convenido en elegir la dirección de la corriente eléctrica como si fuera en la
dirección del flujo de la carga positiva la corriente eléctrica es una cantidad escalar, pero
tiene signo asociado.
La densidad de corriente eléctrica (J) es la rapidez de flujo de carga por unidad de
superficie, que pasa por un área infinitesimal, la densidad de corriente es un vector.
Observe la Figura 6.2.
dI = J .dA
( 6.3)
como observamos esto es un producto escalar por lo que:
( 6.4 )
dI = J .dA cos θ
donde θ es el ángulo que forman la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área
dA. Cuando la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA son paralelos, o
sea θ = 0, la corriente diferencial dI es máxima y cuando la densidad de corriente eléctrica
J y el elemento de área dA son perpendiculares, o sea θ = 90, la corriente diferencial dI es
cero.
Para calcular la corriente total que pasa por el área A integramos la ecuación
anterior.
I =
( 6.5 )
∫ J .dA
S
Densidad de corriente eléctrica de un grupo de cargas en movimiento, ver Figura 6.3, para
calcular esta densidad tenemos que tomar en cuenta la densidad numérica (nq) que es el
número de portadores de carga móviles por unidad de volumen, la velocidad (V) con
que se muevan todas las partículas, la cantidad de carga que pasa por un área dada (A).
Por lo que la carga ∆ Q en este elemento es:
∆Q =
(n
donde ∆ x es la longitud del conductor.
V =
q
A∆ x ) q
∆X
∆t
70
despejando ∆ x = V ∆ t
∆ Q = ( nq AV
. ∆t) q
Utilizando la ecuación de la corriente eléctrica.
I =
∆Q
=
∆t
(n
q
AV
. ∆ t) q
∆t
I = nq AV
. .q
Utilizando la ecuación de densidad de corriente eléctrica
J =
n AV
. .q
I
= q
A
A
( 6.6 )
J = nq .V .q
Donde la dirección de la densidad de J queda indicada por la velocidad.
Ejemplo:
1.- Calcule la corriente cuando 2 × 1014 electrones pasan por una sección transversal dada
de un conductor, cada segundo.
Solución:
∆Q
I =
=
∆t
( 2 × 10 ) ( 1, 6 × 10
14
− 19
C)
1seg
= 3, 2 × 10− 5 C / seg
I = 32 µ A
2.- La cantidad de carga q (en C) que pasa a través de una superficie cuya área es de 1cm 2
varia con el tiempo según la expresión q = 3t 2 − 2t + 2, en donde t esta en segundo. a)
¿Cuál es la corriente eléctrica instantánea a través de las superficies, en el instante t
=0,5 seg.? b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente eléctrica?.
Solución:
71
dq
d
=
( 3t 2 − 2t + 2 )
dt
dE
I = 6t − 2 sustituyendo el
I =
valor
I = 6 ( 0, 5 ) − 2 ⇒ • I = • 1A = • 1× 10
J =
de t .
−3
mA
I
• 1A
• 1A
=
=
= 1× 10 4 A / m 2
2
−4
2
A
1cm
1× 10 m
3.- Los portadores de carga en un semiconductor tienen densidad numérica
nq = 2,3 × 1024 portadores / m3 . Cada portador tiene una carga cuya magnitud es la de
la carga de un electrón. Si la densidad de corriente es 1, 2 × 104 A / m 2 ¿Cuál es la
velocidad de los portadores?.
Solución:
V = nq.qV
V =
J
=
nq .Q
despejando
1, 2 × 104 A / m 2
1, 2 × 104 C / S
=
( 2, 3 × 1024 por / m3 ) (1, 6 × 10− 19 C ) 3, 68 × 105 C / m
V = 32, 61× 10 − 3 m / s
6.3
RESISTENCIA, RESISTIVIDAD Y CONDUCTIVIDAD.
RESISTENCIA (r): es I a diferencia de potencial entre dos puntos y la corriente eléctrica
que pasa por el.
R= V /I
( 6.7 )
Como la unidad de la diferencia de potencia de potencial es el voltio y la de la corriente
eléctrica es el Amper.
R = Voltio / Amper
La ley de Ohm establece que la resistencia para muchos materiales es constante dentro de
un amplio margen de diferencias de potencia.
RESISTIVIDAD ( ρ ): es una cantidad asociada con la resistencia, que es característica del
material.
72
ρ = R A / L las unidades de la resistividad es Ω .m ( ohm − metro ) esta ecuación se
formula normalmente.
R = ρL/ A
(6.8)
CONDUCTIVIDAD ( σ ): es la densidad de corriente por unidad de intensidad del campo
eléctrico, es el inverso de la resistividad.
J
1
=
( 6.9 ) las unidades de la conductividad es (1 Ωm )
E
ρ
La resistividad de los materiales tienen dependencia de la temperatura.
σ =
ρ = ρ 0 1 + α ( T − T0 ) 
ρ =
ρ0 =
T0 =
α =
( 6.10 )
es la resistividad a cierta temperatura T
es la resistividad a cierta temperatura T0
por lo común es 20 ºC
coeficiente de temperatura de la resistividad.
Como la resistencia de un conductor es proporcional a la resistividad, la variación de la
resistencia con temperatura es:
R = R0 1 + α ( T − T0 ) 
ANEXO 3: Tabla 6.1
Ejemplos:
1.- Un conductor subterráneo de aluminio tiene 91,4m de longitud y área de 0,30cm2 a)
¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál es el radio de un alambre de cobre de la misma
longitud y resistencia?
Solución:
ρ del aluminio 2, 82 × 10− 8 Ω .m
ρ del cobre 1, 72 × 10 − 8 Ω .m
73
a) R =
ρL
91, 4 m
= 2, 82 × 10− 8 Ω . m
A
3 × 10 − 5 m
b) R =
ρL
ρL
ρL
=
⇒ r =
=
2
A
πr
πR
r =
1, 72 × 10 − 8 Ω .m
2
= R = 85, 9 × 10− 3 Ω
91, 4m
( 3,14 ) ( 85, 9 × 10− 3 Ω
)
= r = 2, 41× 10 − 3 m
2.- Si un alambre de plata tiene una resistencia de 10Ω a 20º C ¿Qué resistencia
tendrá a 40º C? (desprecie todo cambio en la longitud o en el área de la sección
transversal debido al cambio en la temperatura).
σ = 3, 8 × 10− 3 º C − 1
R = R0  1 + α ( T − T0 )  = 10Ω  1 + 3,8 × 10− 3 º C ( 40º C − 20º C ) 
R = 10, 76Ω
6.4
MODELO DE CONDUCCIÓN ELÉCTRICA
Recordando la segunda ley de Newton
a =
F
(la fuerza eléctrica es F =q E)
m
a=
qE
m
Esta aceleración es corta entre los Choques.
V1 = V0 + aT = V0 +
qEt
m
Si asumimos que la velocidad inicial es cero y el tiempo promedio de las colisiones es ℑ .
Vd =
qE
ℑ
M
( 6.11)
Esta es la velocidad se deriva.
74
Recordando la densidad de corriente eléctrica tenemos que:
J = nq .Vd .q = nq .
J =
nq q 2 E ℑ
m
qE ℑ
.q
m
( 6.12 )
La conductividad seria:
σ =
nq q 2 ℑ
m
( 6.13)
Y la resistividad:
m
( 6.14 )
nq q 2 ℑ
El tiempo promedio ( ℑ ) entre las colisiones esta relacionado con distancia L y la velocidad
térmica promedio ν . .
ρ =
ℑ=
Ejemplos:
L
ν
( 6.15 )
1.- Calcular la trayectoria libre media entre choques de los electrones en el cobre, a una
temperatura correspondiente a una velocidad térmica media de 1, 3 × 106 m / s.
Solución:
Nq del cobre es 8, 48 × 1028 m − 3
ρ del cobre 1, 7 × 10− 8 Ω m
e − = 1, 6 × 10− 19 C
me = 9,11× 10− 31 Kg
75
me
=
nq q 2 ρ
ℑ =
9,11× 10 − 31 Kg
=
( 8, 48 × 1028 m − 3 ) (1, 6 × 10− 19 C ) (1, 7 × 10− 8 Ω m )
ℑ = 2, 47 × 10− 14 Seg
ℑ =
L
ν
⇒ L = ℑ ν = 2, 47 × 10 − 14 Seg .1, 3 × 106 m / Seg
ℑ = 3, 21× 10 − 8 m
6.5
ó
3, 21Α
ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA
Parte de la energía eléctrica que se consume en un circuito eléctrico se dispara al
sistema en forma de calor. Para calcular esta energía perdida por unidad de tiempo cuando
una corriente pasa por un material, tomemos una carga pequeña dq que se mueve a través
de una diferencia de potencial V.
P =
dw
; potencia eléctrica es la rapidez con que realiza un trabajo.
dt
dw = dEu
Eu
; la energía potencial es la diferencia de potencial por carga.
Dt
dq
P=V
; la corriente eléctrica es dq/dE
dt
P =
P = VI
( 6.16 )
Esta es la potencia perdida en una resistencia.
Ejemplo:
Se mantiene una corriente eléctrica de 8 A en un resistor de 150Ω durante 1 h. Calcule la
energía empleada en el resistor.
Solución:
Eu = P.T =
P = V .I ; V = IR
76
Entonces:
P = I 2 .R; Eu = I 2 .R.T
Eu = ( 8 A ) . ( 150Ω ) . ( 1h ) = 9, 6 Kwh.
2
6.6
EJERCICIOS PROPUESTOS
Un alambre de 1,6mm de radio conduce una corriente eléctrica de 0,092 A ¿Cuántos
electrones cruzan una sección determinar del alambre en 1seg?.
La densidad de corriente en el interior de un conductor cuyo radio uniforme mide 0,3cm es
0,35 mA/m2. ¿En cuantos segundos pasaran el número de Avogadro de electrones por
un punto dado del conductor?
La
densidad de los electrones portadores de corriente en el cobre, es
8,5 × 1028 electrones / m3 . Por un alambre de 1,8mm de radio pasa una corriente de 1,2
A. a) ¿Cuál es la velocidad de los electrones ?. b) ¿Cómo cambia esa velocidad en otro
alambre, de 2,4mm de diámetro, conectado al extremo del primero?.
Un alambre de longitud 16,5m y sección transversal de 0,02cm2 tiene una resistencia
media de 0,12Ω . Calcule la conductividad del material con el cual se hizo el alambre.
Un alambre de aluminio de 50mm2 de área, colocado a lo largo del eje X, trasporta
10.000C en una hora. Suponga que hay un electrón libre por cada átomo de aluminio.
Determine a) la corriente, b) la densidad de corriente, c)la velocidad del
desplazamiento, teniendo que la densidad del aluminio es de 2,7g/cm3.
Un alambre de longitud 2m y sección trasversal de 0,25mm2 tiene una resistencia de
43Ω a 20º C. Si la resistencia del alambre aumenta hasta 43, 2Ω a32º C , ¿Cuál es el
coeficiente de temperatura de la resistividad?.
Calcule la resistividad del cobre a partir de los siguiente una diferencia de potencia de
1,2V produce una corriente de 1,8 A en un alambre de cobre cuya longitud es de 100m
y 0,18cm de diámetro y esta a una temperatura de 20 º C.
¿Cuánta plata, cuya densidad es de 10,5 × 103 Kg / m3 , se necesitaria para formar un
alambre de 1 Km de longitud, que tuviera una resistencia de 5Ω ?.
El aluminio tiene 2, 7 × 103 Kg / m3 de densidad. Calcular: a) ¿Cuál es la resistencia de un
alambre de aluminio de 2cm de diámetro y 250m de longitud?. b)¿Cuál es la masa del
alambre de aluminio?. c) ¿Cuál es la masa del alambre de cobre, de 8,9 × 103 Kg / cm3
de densidad, con la misma longitud y resistencia total?.
77
El embobinado de cobre de un motor tiene una resistencia de 50Ω a 20 ºC cuando el
motor esta inactivo. Después de funcionar por varias horas, la resistencia aumenta a
58Ω ¿Cuál es la temperatura del embobinado?.
Un calefactor de inmersión de 500w se coloca en un recipiente que contiene 2,0 litros de
agua a 20 ºC. a) ¿Cuánto tiempo tardara en elevarse la temperatura del agua hasta su
temperatura de ebullición, suponiendo que el agua absorbe el 80% de la energía
disponible? b) ¿Cuánto tiempo más tardara en evaporarse la mitad del agua?.
Un calefactor por radiación, de 1250w, se fabrica de tal forma que opera a 115V. a) ¿Cuál
será la resistencia de la bobina calefactora? c) ¿Cuántas Kilocalorías irradia l
calefactor en una hora?.
En una instalación hidroeléctrica, una tubería entrega 2000 hp a un generador, el cual, a
su vez, convierte el 90% de la energía mecánica en energía eléctrica. Bajo estas
condiciones, ¿Cuánta corriente eléctrica entregara el generador a una diferencia de
potencial entre terminales de 3000V?.
Se tienen las terminales de un acumulador de 12V conectadas entre si con un conductor de
cobre. ¿Qué longitud debe tener el conductor, si su área de sección transversal es
3 × 10− 5 m 2 , y la potencia disipada es 1,2Kw?.
Un acumulador de 12 V se conecta a dos conductores metálicos sumergidos en un
recipiente de agua. Durante 240 horas pasa una corriente eléctrica de 100 mA.
¿Cuánta energía se tomo del acumulador durante ese lapso?.
Dos cascarones esféricos concéntricos cuyos radios interior y exterior son ra y rb ,
respectivamente forman un elemento resistivo cuando la región entre las dos
superficies contienen un material de resistividad ρ . Demuestre que la resistencia del
dispositivo es:
ρ  1
1
R=
−


4π  ra
rb 
Un conductor cilíndrico de Tungteno tiene una longitud inicial L1 y un área de la sección
transversal A1. El metal se estira uniformemente hasta alcanzar una longitud final
L2 = 10 L1. Si la resistencia del conductor con la nueva longitud es de 75Ω . ¿Cuál es el
valor inicial de R?.
Un generador entre 60A a 110V a) ¿Qué potencia entrega ese generador? b) ¿Cuánto
tardaría en evaporar 1 litro de agua, iniciando en 20ºC?.
78
Un tostador que utiliza un elemento de calentamiento de nicrom funciona a 120V. Cuando
se le conecta a 0ºC, transporta una corriente eléctrica inicial de 1,5 A. algunos
segundos después la intensidad alcanza un vapor estacionario de 1,33 A. ¿Cuál es la
temperatura final del elemento?. El valor medio del coeficiente térmico del Nicrom
−1
para ese intervalo de temperatura es 4,5 × 10− 4 ( º C ) .
Una barra de aluminio de 2,5m de longitud tiene una sección rectangular de 1 por 5cm a)
¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál seria la longitud de un hierro de 15mm de diámetro
que tuviese la misma resistencia?.
79
TEMA VII
CIRCUITOSDE CORRIENTE DIRECTA
1.21 INTRODUCCIÓN
Estudiamos a continuación circuitos sencillos, en donde conectaremos entre si
resistores, capacitares y acumuladores, mediante cables conductores. Para el análisis de
estos circuitos utilizaremos dos reglas (Kirchhoff).
Estas reglas deducen a partir de las leyes de la conservación de la energía y de la
conservación de la carga.
También describiremos los instrumentos utilizados para medir la corriente eléctrica,
la diferencia de potencial y la resistencia en los circuitos eléctricos.
1.22 FUERZA ELECTROMOTRIZ
Una fuerza electromotriz es una fuente de energía que hace posible mantener una
corriente eléctrica constante en un circuito cerrado, la fuerza electromotriz de una fuente
describe el trabajo realizado por unidad de carga, la unidad de la fuerza electromotriz es el
volt.
Consideremos una carga positiva que se mueve desde a hasta b, como la Figura 7.1,
donde la fem (fuerza electromotriz) le indicamos con la letra ε , r es la resistencia interna
de la fem, y I es la corriente eléctrica que circula por el circuito y R es una resistencia
externa.
Cuando la carga pasa del terminal negativo al positivo su potencial aumenta en ε .
Pero la resistencia interna r hace que el potencial disminuya I r. Entonces.
V = ε − Ir
( 7.1)
Revisando el circuito vemos que la tensión entre terminales V también debe ser
igual a la diferencia de potencial a través de la resistencia externa R.
V = IR
( 7.2 )
Sustituyendo esta ecuación en la anterior obtendremos:
ε = IR + Ir
( 7.3)
80
Sacando factor común de la corriente y despejando obtenemos:
I =
ε
R+r
( 7.4 )
La resistencia interna es mucho menor que la resistencia externa, por lo que en
muchos circuitos se deprecia este valor.
Ejemplo:
Una batería con un fem de 8V y una resistencia interna de 0,5Ω se conecta a través
de un resistor d carga R. Si la corriente es de 2A a) ¿Cuál es el valor de R? b) ¿Cuántas
potencia se disipa en la resistencia interna R de la batería del circuito?.
I =
ε
R+r
⇒ R=
7.3
I
−r =
8V
− 0, 5Ω = 3, 5Ω
2A
( 2 A ) . ( 0, 5Ω ) = 2 w
2
I 2 R = ( 2 A ) . ( 3, 5Ω ) = 14 w
Pr = I 2 r =
PR =
ε
2
RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO
Asociación de resistores en serie
La corriente que circula en este tipo de asociación es la misma para cada resistor, ya
que cualquier carga que fluya a través de R2 .
V = IR + IR2 = I ( R1 + R2 )
( 7.5 )
A los resistores R1 y R2 se les puede reemplazar por una sola resistencia
equivalente.
Req = R1 + R2
( 7.6 )
La resistencia equivalente de una conexión en serie de resistores siempre es mayor
que cualquiera de las resistencias.
Asociación de resistores en paralelo
La diferencia de potencial a través de cada resistor es la misma, en la asociación en
paralelo, pero la corriente en cada resistor es diferente. Cuando la corriente del circuito
81
llega al punto (nodo), se separa en dos partes una I, que pasa por R1 y otra I2 que pasa por
R2. La corriente que entra en el punto a es igual a la sale de este punto, por lo que.
I = I1 + I 2
( 7.7 )
Como el potencial es el mismo, tenemos por ley de ohm.
V = R1 I1 ; V = R2 I 2
( 7.8 )
Despejando las intensidades y sustituyendo en la ecuación (7.7).
I =
 1
V
V
1 
+
=V 
+

R1
R2
R2 
 R1
la resistencia equivalente entonces va a será:
1
1
1
=
+
Req
R1
R2
Req =
R1 R2
R1 + R2
( 7.9 )
La resistencia equivalente de una asociación en paralelo de resistores es menor que
cualquiera de las resistencias.
Ejemplo:
Se aplica una diferencia de potencial de 25V entre los puntos a y b como se muestra
en la figura. Calcule la corriente en cada resistor.
Solución:
Como en esta asociación en serie la corriente s la misma.
I = I 2,3 = I 4 = I
V = IR1 + IR2,3 + IR4 = I ( R1 + R2,3 + R4 )
R2,3 =
R2 R3
5Ω .10Ω
=
= 3, 33Ω
R2 + R3
5Ω + 10Ω
82
Despejando la corriente:
I =
V
25V
=
= 3A
R1 + R2,3 + R4
3Ω + 3, 33Ω + 2Ω
Entonces: I1 = 3 A; I 2,3 = 3 A y I 4 = 3 A
Calculemos a I 2 y I 3
V2,3 = I 2,3 .R2,3 = 3 A. 3, 33Ω = 9, 99V
Como V2,3 es igual a V2 y V3 en asociación en paralelo
I2 =
V
V2
9, 99V
9, 99V
=
; I3 = 3 =
= 1A
R2
5Ω
R3
10Ω
I2=2 A
7.4
I3=1 A
REGLAS DE KIRCHHOFF
Para analizar circuitos cerrados complejos aplicamos las reglas de Kirchhoff.
Primera regla: la suma de las corrientes que llegan a cualquier nodo (unión) debe ser
igual a la suma de las corrientes que salen de él.
Segunda regla: la suma de las diferencias de potencial a través de cada elemento, en torno
de cualquier circuito cerrado, debe ser cero.
Un nodo es cualquier punto del circuito en el que las corrientes pueden separarse.
La primera regla es un enunciado de la conservación de la energía.
Para aplicar la segunda regla debemos tomar en cuenta las siguientes indicaciones:
1.- Si se recorre un resistor en dirección de la corriente, el cambio en el potencial a través
de el es -IR. Figura 7.5 a.
∆ V = Vb − Va = − IR
2.- Si se recorre un resistor en dirección opuesta a la corriente, el cambio en el potencial a
través de el es +IR. Figura 7.5 b.
∆ V = Vb − Va = + IR
83
3.- Si se recorre una fuente de fem en dirección opuesta a la misma, desde + hasta - en los
terminales, el cambio en el potencial es +E. Figura 7.5c.
∆ V = Vb − Va = + E
4.- Si se recorre una fuente de fem en la dirección de la misma, desde - hasta + en los
terminales, el cambio en el potencial es -E. Figura 7.5d.
∆ V = Vb − Va = − ε
Para resolver este tipo de circuitos cerrados primero debemos indicar los símbolos y
las direcciones de las corrientes en las diversas ramas, después aplicar las reglas de
Kirchhoff.
El número de ecuaciones independientes debe ser al menos igual al número de
incógnitas. Si obtenemos una respuesta negativa en una de las corrientes indica que esta
tiene la dirección opuesta a la que supuso.
Ejemplo:
Los elementos conocidos del circuito de la Figura 7.6 son:
R1 = 5Ω ; R2 = 20Ω , ε 1 = 3V ; ε 2 = 6V , I 3 = 0,1A. Calcule el valor de R3 y las
corrientes I1 y I2.
Solución:
1) I1 + I 2 = I 3 ⇒
2) − I 3 R3 − I1 R1 + ε 1 = 0
FIGURA 7.6
3) I 3 R3 + I 2 R2 + ε 2 = 0
sustituyendo valores:
1) I 1 + I 2 = 0,1A
2) − 0,1R3 − 5 I1 + 3 = 0 resolviendo este sistema de ecuaciones
3) 0,1R3 − 20 I1 + 8 = 0 tenemos que:
________________________________
0
− 25 I1 + 11 = 0 ⇒ I1 = 0, 44 A
sustituyendo este valor en la ecuación 3
R3 = 20 I1 + 8 = 8Ω ⇒ R3 = 8Ω
__________
0,1
84
para calcular a I2 utilizamos la ecuación #1
I 2 = 0,1A − I1 ⇒ 0,1A − 0, 44 A = − 0, 34 A
7.5
CIRCUITOS RC
Son circuitos formados con resistores y capacitares, este tipo de circuitos varían con
el tiempo. Cuando aplicamos una diferencia de potencial a través de un capacitor, la rapidez
con la que se carga depende de su capacitancia y de la resistencia del circuito.
Consideremos el siguiente circuito, si accionamos el interruptor en un instante T =0,
se presentara una corriente a través del resistor y el capacitor empezara a cargarse.
La carga se va a transferir desde una de las placas del capacitor a la otra, hasta que
queda completamente cargado. Este valor va a depender de la fem de la batería. Cuando se
alcanza la carga máxima, la corriente en el circuito es cero.
Aplicamos la 2da regla de Kirchhoff, después de cerrar el interruptor.
ε = IR −
q
= 0
C
( 7.10 )
I R es la caída de potencial a través del resistor
q/C es la caída de potencial a través de capacitor
I y q son valores instantáneos.
La corriente máxima o inicial del circuito es:
I0 =
ε
R
(7.11)
Cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo, la larga deja de fluir, la
corriente en el circuito es cero la carga máxima en el capacitor es:
Q = C .ε
( 7.12 )
Como la corriente y la carga varían en función del tiempo, por lo que derivamos en
función del tiempo la ecuación (7.10);
d
dt
(ε
− IR − q C ) = 0
Como ε es constante:
85
dI
dq 1
R−
=0
dt
dt C
Como I =
dq
Dt
−
despejando:
−
dI
1
R−
=0
dt
C
dI
I
R =
dt
C
dI
1
= −
dt
I
RC
Dado que R y C soi constantes, integramos:
I0
∫
I
dI
−1
=
I
RC
t
∫ dt
0
 I 
−t
Ln 
=
RC
 I 
Si queremos hallar la carga en el capacitor recordamos que I = dq / dt y lo sustituimos
en la ecuación anterior (7.12).
dq
ε −t / RC
=
e
dt
R
dq =
ε
−t / RC
R
dt
Integrando:
q
∫ dq =
O
ε
R
t
∫e
−t / RC
dt
O
Obtenemos la ecuación para determinar la carga en función del tiempo.
q ( t ) = Cε  ( 1 − e − t / RC ) 
donde Q = Cε es la carga máxima en el capacitor.
q (t ) = Q ( 1 − e − t / RC )
( 7.13)
( 7.14 )
86
Ejemplo:
Considere un circuito RC como el de la Figura 7.9, para el que
R = 2 × 106 Ω , C = 6 Nf y ε = 20V . Halle a) la constante de tiempo del circuito, b) la carga
máxima en el capacitor, c) la corriente máxima en el circuito, y d) la carga y la corriente
como funciones del tiempo.
Solución:
a ) ℑ = RC = ( 2 × 106 Ω
) ( 6 × 10
−6
F ) = 12 seg
b)Q = Cε = ( 6 × 10− 6 F ) ( 20V ) = 1, 2 × 10 − 4 C
c) I 0 = ε R =
20V
= 1× 10 − 5 A
6
2 × 10 Ω
Figura
d )q (t ) = Q ( 1 − e − t / RC )
q (t ) = 1, 2 × 10 − 4 ( 1 − e − t /12 ) C
le damos valores a t; para conseguir a q(t) y I(t)
q( 2 ) = 18, 4 µ f , q ( 4) = 34 µ c, q ( 6) = 47, 2 µ c, q ( 8) = 58, 4 µ c, q (10) = 67,8µ c, q (12)
= 75,8µ c, q (14) = 82, 6 µ c, q (16) = 88, 4 µ c
I ( t ) = I 0 ( e − t / RC ) = 1× 10− 5 ( e − t /12 ) A
I ( 2 ) = 8, 5µ A I ( 4 ) = 7, 2 µ A I ( 6 ) = 6,1µ A I ( 8 ) = 5,1µ A
I ( 10 ) = 4, 3µ A I ( 12 ) = 3, 7 µ A I ( 14) = 3,1µ A I ( 16 ) = 2, 6 µ A
ANEXO 4: Grafico 01 y 02
7.6
INSTRUMENTO DE MEDICIÓN
Amperímetros:
Miden las corrientes en los conductores de los circuitos. El amperímetro se conecta
en serie en el segmento del circuito se va a medir, por lo que el amperímetro debe tener una
resistencia pequeña para que no afecte a la corriente que va a medir.
I =
ε
R + RA
( 7.15)
87
Donde RA es la resistencia del amperímetro, pero RA<<R, la corriente será igual.
Voltímetro:
Miden las diferencias de potencial a través de elementos de circuitos con los que se
conectan en paralelo. Al contrario del amperímetro el voltímetro debe tener una gran
resistencia, para que no afecte al circuito que va a medir.
1
1
1
=
+
( 7.16 )
Req
Rv
R
Donde Rv es la resistencia del voltímetro que es mucho más grande que el circuito
Rv>>R, por lo que la resistencia equivalente es casi igual a la del circuito.
1
1
1
=
+
Req
Rv R
( 7.17 )
y no afectara los parámetros del circuito original.
Ohmetros:
Mide resistencias y esta compuesto de un galvanómetro, una resistencia interna de
referencia y una batería de fuerza electromotriz conocida.
7.7
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Demostrar que la potencia suministrada a R como energía térmica en el circuito de la
Figura 7.12 es un máximo cuando R es igual a la resistencia interna r de la batería b)
Demostrar que esta potencia máxima es P = E 2 / 4r.
2) Una resistencia de 0,1Ω debe generar energía térmica con un ritmo de 10w al
conectarse a una batería cuya fem es de 1,5 V. a) ¿Cuál es la resistencia interna de la
batería?, b)¿Cuál es la diferencia de potencia que existe a través de la resistencia?.
3) Determinado acumulador automotriz tiene una fuerza electromotriz de 12 V. Cuando
produce una corriente de 100a, el voltaje entre terminales es 9V. Calcule la resistencia
interna de acumulador. ¿Cuál es la potencia que disipa el acumulador cuando produce
esa corriente?.
4) ¿Qué diferencia de potencia se medirá a través de un resistor de carga 12Ω cuando se
conecta a través de una batería de 6V de fem que tiene una resistencia interna de
0,15Ω ?.
5) Las baterías de niquel-cadmio que se usan en los vuelos espaciales pueden mandar 30a
durante 1 h y su fem es de 30V. ¿Cuánta energía contienen esas batería?.
88
6) Dos resistores de 60Ω se conectan en serie entre dos terminales, cuya diferencia de
potencial es d 120V. ¿Cuál es la potencia total disipada?.
7) Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b de la figura.
8) Considere la combinación de resistores de la Figura 7.14, a) Halle la resistencia entre
los puntos a y b, b) Si la corriente en el resistor 5Ω es de 1 A, ¿Cuál s la diferencia de
potencial entre los puntos a y b.?
9) a)¿Para que valor de R2 en la Figura 7.15, es cero el voltaje entre los puntos a y b?. b)
¿Para que valor es cero la corriente en el circuito?.
10) a) Determine l valor de I1 e I3 en el circuito de la Figura 7.16, si la batería de 4V se
reemplaza por un capacitor de 4NF, b) determine la carga en el capacitor de 4NF.
11) Determine el valor de la corriente en cada uno de los cuatros resistores mostrados en
el circuito de la Figura 7.17.
12) Doce resistores, cada uno de resistencia R, se interconectan formando un cubo, como
en la Figura 7.18, a) determine la resistencia equivalente RAB de una arista, b)
Calcular la resistencia equivalente RBC de la diagonal de una de las caras. c)
Determinar la resistencia equivalente RAC de una diagonal del cubo.
13) Un cubo esta formado por conductores idénticos, como se observa en la Figura 7.19,
cada uno con resistencia r1 y se conecta a un voltaje de línea V, a) ¿Cuál es la
resistencia equivalente del cubo?, b) ¿Cuál es la corriente en cada uno de los
conductores?.
14) Un capacitor de 3 × 10− 3 µ F con una carga inicial de 6,2NC se carga a través de un
resistor de 1500Ω a) ¿Cuánta energía esta almacenada inicialmente en el capacitor?
b) Si el capacitor se descarga completamente a través del resistor, ¿Cuánta energía se
dispara como calor en este?.
15) Tiene usted dos capacitores, de 20 µ F , y tres resistores, uno de 4Ω y los otros dos de
2Ω . Determinar la conexión de esos elementos que produzca un circuito cuya
constante de tiempo se 5 × 10− 5 seg.
16) Un resistor de 3 × 106Ω y un capacitor de 1µ F se conecta un circuito de una sola
malla con una fuente de fem ε = 4V . Después de 1 seg. de haber establecido la
conexión, a) ¿Con que ritmo aumenta la carga del capacitor, b) se almacena la energía
en el capacitor; c) Se genera energía térmica en el resistor, y d) suministra energía de
la fuente fem?.
89
17) La diferencia de potencial entre las placas de un capacitor de 2µ F que tiene una
fuga, disminuye de V0 a V(1/4 V0) en un tiempo de 2 seg. ¿Cuál es la resistencia
equivalente entre las placas del capacitor?.
18) Hallase las fuerzas electromotrices ε 1 yε 2 en el circuito de la Figura 7.20 y la
diferencia de potencial entre los puntos a y b.
19) a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b de la Figura 7.21, cuando
esta abierto el interruptor S?, b) ¿Cuál de los dos puntos, a y b, esta a mayor
potencial?, c) ¿Cuál será el potencial final del punto b cuando se cierre el interruptor
S?, d) ¿Cuánto cambia la carga de cada condensador cuando se cierra S?.
20) Considere el circuito de la Figura 5.21, a) Calcule la corriente en el resistor de 5Ω , b)
¿Cuánta potencia disipa todo el circuito?, c) Determine la diferencia de potencial
entre los puntos a y b, y c) ¿Cuál es el punto que esta al potencial más elevado?.
FIGURA 5.21
90
TEMA VIII
CAMPOS MAGNÉTICOS
1.23 INTRODUCCIÓN
Desde el año 800 a.c., aproximadamente, los griegos conocían el fenómeno del
magnetismo. Estos descubrieron que determinadas piedras tenían la propiedad de atraer
pequeños trozos de hierro, los imanes tiene polos magnéticos, un polo magnético norte (N)
y otro sur (S), los polos magnéticos no pueden separarse, ya que si partimos un imán en dos
partes, estas partes formaran dos nuevos imanes. Si tratamos de unir las partes por donde se
partió el imán no es puede, porque las fuerzas magnéticas no lo permiten. Esto se debe a
que polos iguales fuerzas magnéticas no lo permiten. Esto se debe a que polos iguales se
repelen y polos diferentes se atraen.
En la actualidad existen imágenes artificiales como los electroimanes.
En este capitulo veremos como están relacionadas las fuerzas magnéticas con los
campos eléctricos. También estudiaremos los efectos de los campos magnéticos, ya que son
generados por los imanes y cargas en movimiento.
1.24 CAMPOS MAGNÉTICOS (B).
Definiremos el vector campo B en un punto del espacio, en términos de una fuerza
magnética. Si tomamos una partícula cargada que se mueve con una velocidad ν los
efectos que se producen sobre esta partícula cargada por un campo magnético son:
1.- La fuerza magnéticas es proporcional a la carga q a la velocidad ν de la partícula.
2.- La magnitud y dirección de la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula.
3.- Cuando una partícula cargada se mueve en una dirección paralela al vector campo
magnético, la fuerza magnética F sobre la carga es cero.
4.- Cuando el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la fuerza
magnética actúa en una dirección perpendicular tanto a ν como B; en donde, F es
perpendicular al plano formado por ν y B. (ver Figura 8.1).
5.- La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene la dirección opuesta a la fuerza que
actúa sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección.
6.- Si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la magnitud de la
fuerza magnética es proporcional a sen θ
91
Con estos efectos que se producen podemos decir como es la fuerza magnética
sobre una partícula cargada en movimiento en un campo magnético.
F = qν × B
( 8.1)
Campo podemos observar ν × B es un producto vectorial:
F = qν × B senθ
( 8.2 )
Por lo que cuando θ es igual a 0º o 180º la fuerza es cero y cuando es 90º la fuerza
tiene su valor máximo.
Podemos concluir que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético,
que actúa sobre una partícula cargada solo cuando esta se encuentra en movimiento y
cuando esta asociada con un campo magnético estacionario no realiza cuando la partícula
se desplaza.
Un campo magnético aplicado puede alterar la dirección del vector velocidad, pero
no puede cambiar la rapidez de la partícula.
Las unidades de campo magnético es el weber por metro cuadrado; que lleva el
nombre de tesla (T).
B=
Wb
Nw
Nw
=T =
=
2
M
C .m / s
A.m
Ejemplo:
El campo magnético sobre cierta región es B = (2,3j) T. Un electrón se mueve en el
campo con una velocidad ν = ( i + 2 j − 3k ) m / s.
Con la notación de vectores unitarios exprese la fuerza ejercida sobre el electrón por
el campo magnético.
Solución:
F = qν × B = ( 1, 6 × 10− 19 C ) ( i + 2 j − 3k ) m / s × ( 2i − 3 j ) T
F = ( 1, 6 × 10− 19 C ) ( 0 − 3k − 4k + 0 − 6 j − 9i ) N / C
F = − ( 1, 44 × 10− 18 i + 9, 6 × 10− 19 j + 1,12 × 10− 18 k ) Nw
92
1.25 FUERZA MAGNETICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA UNA
CORRIENTE.
La fuerza total sobre un conductor con corriente es la suma vectorial de las fuerzas
magnéticas sobre todas las cargas en movimiento en su interior. Este cálculo se realiza
determinando la fuerza sobre un pequeño segmento del conductor y después se suman, o
integran, la fuerza infinitesimal en cada segmento.
Observamos las Figura (8.2 a y b) adjuntas y recordamos que la velocidad es el
desplazamiento en función del tiempo.
V =
dI
dt
La corriente es la carga en función del tiempo
I =
dq
⇒ dq = Idt
dt
Como estamos hablando de un pequeño segmento del conductor, entonces la fuerza
magnética es:
dF = dqν × B = I dt ( dI / dt × B )
dF = IdI × B
Donde la magnitud de dF es:
dF = IdIBsenθ
El ángulo θ es el que se forma entre dI y b.
La fuerza neta sobre dicho conductor es la integración de dF.
FB = I ∫ ( dI × B )
( 8.3)
Ejemplo:
1) Un alambre largo conduce una corriente de 15 A. Un imán recto se acerca al alambre de
tal modo que los portadores de carga, con velocidad 10-3 cm/s, sienten un campo
magnético de 5 × 10− 2 T , perpendicular a su dirección de movimiento. Calcule la fuerza,
a) sobre cada portador de carga (electrón) en movimiento, y b) sobre un tramo de 1m de
alambre.
93
Solución:
a ) F = qν × B
F = qν × Bsenθ = 1, 6 × 10− 19 C ( 1× 10− 5 m / s × 5 × 10− 2 Nw / Cm / s ) sen90o
F = 8 × 10− 26 Nw
b) F = I ∫ ( dI × B ) ⇒ F = IB ∫ dIsenθ = IBI = ( 115 A .5 × 10− 2 Nw / A.m .1 m )
F = 75 × 10− 2 Nw
2) Un alambre en forma de u de masa m y longitud L se coloca con sus dos extremos en
mercurio. El alambre se encuentra en un campo homogéneo de inducción magnética B.
Si se manda por el alambre una carga q = ∫ Idt , el alambre salta. Conociendo la altura h
que alcanza el alambre. Calcular la magnitud de la carga q, cuando
B = 0,1w / m 2 , m = 10 g , L = 20cm y h = 3m.
Solución:
Recordando la relación de impulso y cantidad de movimiento.
∫ Fdt =
m.v y F = I B senθ
(
fuerza magnetica )
Sustituyendo el valor de la fuerza magnética en la relación de impulso y cantidad de
movimiento.
∫I
Bdt = m.ν
IB ∫ Idt = m.v ⇒ como q =
IBq = m.v
q=
despejando a
∫ Idt
q
m.v
IB
Recordando la ley de la conservación de la energía.
94
EmA = EmB
Ek = Eu
L
m V 2 = m gY ⇒ V = 2 gy
2
Sustituyendo en q
m
q=
2 gY
IB
10 × 10 − 3 Kg
q=
.2 ( 9,8 m / s . ( 3m ) ) = 0, 5C / m / s.7, 67 m / s
( 20 × 10− 2 m ) ( 0,1Nw / C m / s )
q=2,83C
8.4
MOVIMIENTO DE TORSIÓN SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN
UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
Consideremos una espira rectangular que lleva una corriente I, en presencia de un
campo uniforme en plano de ella como lo indica la Figura 8.3. La magnitud de las fuerzas
es.
F1 = F2 = IbB
F1 es la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira y F 2 es la fuerza sobre el lado derecho
como se observa en la parte b de la Figura (8.3). El momento de torsión neto sobre la espira
tiende a hacerla girar alrededor del punto 0.
ℑ = F1
9
9
+ F2
= IabB
2
2
Como el área de la espira es A =ab
ℑ = IAB
Este resultado solo es cuando el campo B esta en el plano de la espira.
Si consideramos una espira rectangular con una corriente I, y el campo magnético forma un
ángulo θ con la normal al plano de la espira ver la Figura (8.4a) como F1 = F2 = IbB, el
momento de torsión neto respecto a un punto 0 es.
ℑ = F1
a
a
senθ + F2 senθ = I
2
2
ab senθ
95
Donde el brazo de momento es a 2 senθ como se ve en la Figura (8.4b) donde el área es A
=ab.
ℑ = IABsenθ
Esto es un producto vectorial:
ℑ = IA × B
( 8.4 )
A es un vector perpendicular al plano de la espira, el sentido de este vector se determina por
la regla de la mano derecha ver Figura 8.5. Donde IA se define como el momento
magnético M de la espira.
M = IA
(8.5)
Por lo que el momento de torsión se puede expresar como:
ℑ = M×B
( 8.6 )
Ejemplo:
En la Figura 8.6 se muestra una bobina rectangular, de alambre, con 20vueltas, de
10x5cm. Transporta una corriente de 0,10 A y esta pivoteada por uno de sus lados. Cual es
el momento de torsión que actúa en la espira si se monta de tal forma que su plano forma
un ángulo de 30º con respecto a la dirección de un campo magnético uniforme de 0,5 T.
Calculemos el momento con respecto al origen:
ℑ 1 = r × F = Frsen60o
como F = ILB entonces
ℑ1 = ILBrsen60o
para calcular el momento con respecto a las 20 espiras
ℑ = 20ℑ 1 = 20 ILBrsen60o
ℑ = 20 ( 0,10 A ) ( 10 × 10− 2 m ) ( 0, 5T ) ( 5 × 10− 2 m ) sen60o
ℑ = 4, 33 × 10− 3 Nw
8.5
MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO
MAGNÉTICO
Observamos la figura (8.7) y apliquemos la segunda ley de Newton
F = qν B; F = m.a
96
Esta aceleración es centrípeta a = ν 2 / r ; igualamos las dos ecuaciones
qν B = m.a
q ν B = mν 2 / r
Si despejamos a r obtendremos el radio de la órbita circular
mν
r =
qB
La frecuencia angular de rotación de la partícula cargada s
ω =
ν
qB
=
r
m
( 8.7 )
Y el periodo de su movimiento es
2π r
2π
2π m
=
=
ν
ω
qB
T =
( 8.8 )
Ejemplo:
Un protón, un dentaron y una partícula alfa, con iguales energías cinéticas, entra en
una región de campo magnético uniforme, moviéndose perpendicularmente a B. Comparar
− 27
− 27
los radios de sus trayectorias circulares, m( d ) = 3,34 × 10 Kg ; m p = 1, 67 × 10 Kg ,
q( P ) = 1, 6 × 10− 19 C ; m( α ) = 6, 68 × 10 − 27 Kg , q ( α ) = 3, 2 × 10− 19 C
Ek ( p ) =
q 2( p ) B 2 R 2( p )
2m( p )
; Ek ( d ) =
q 2( d ) B 2 R 2( d )
2m( d )
; Ek (α ) =
q 2 (α ) B 2 R 2 ( α )
2m(α )
Ek ( p ) = Ek ( d )
q 2( p ) B 2 R 2( p )
2m( p )
R( d ) =
(R
2
=
q 2( d ) B 2 R 2( d )
2m( d )
( p ) m( d )
)
1 2
despejando a R( d )
⇒ R( d ) = 1, 4 R( p )
Ek( p ) = Ek(α )
Q 2( p ) B 2 R 2( p )
2m( p )
R(α )
(q
=
2
=
q 2 (α ) B 2 R 2 (α )
2m(α )
2
( p ) R ( p ) m(α )
R(α ) = R( p )
)
1 2
m( p ) q 2 (α )
R( d ) = 1, 4 R(α )
97
8.6
SELECTOR DE VELOCIDADES; ESPECTROMETRO DE MASA Y
CICLOTRON
A continuación describiremos algunos aparatos que miden al movimiento de
partículas cargadas en campos magnéticos uniformes.
Las cargas reaccionan en forma independiente a los campos eléctricos y magnéticos,
por lo que la fuerza total que actúa sobre dicha carga es:
F = q ( E + ν × B ) Fuerza de Lorente (8.9)
Selector de velocidades:
Es un dispositivo especial de campos eléctricos y magnéticos, un par de placas
paralelas cargadas, como se observa en la Figura (8.8), generan un campo eléctrico
uniforme, mientras se aplica un campo magnético uniforme perpendicular (indicado por las
cruces). Si se introduce una carga q positiva, esta por el efecto de dichos campos se moverá
en línea recta horizontal.
( 8.10 )
ν = E/B
Si la velocidad es mayor que esta se desviaran hacia arriba y las de menos velocidad
se desviaran hacia abajo.
Espectrómetro de masas:
Es un aparato que separa iones atómicos y moleculares conforme a su razón masa a
carga.
ν = E/B=
2 gV
m
( 8.11)
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones obtendremos
E2
q/m =
2VB 2
( 8.12 )
Ciclotrón:
Es una maquina que puede acelerar partículas cargadas hasta velocidades muy altas.
Ek = 1
q2 B2 R2
mv =
2
2m
2
Ek = es la energía cinética máxima al salir del ciclotrón.
98
Y la fuerza responsable de la aceleración es: F = qvB =
mv 2
R
Despejando a R tenemos:
R=
mv
qB
( 8.13)
Ejemplos:
1) El espectrómetro de masas de la Figura 8.9 muestra un dispositivo usado por Dempster
para medir las masas de los iones. Un ion de masa M y cargada + q se produce,
esencialmente en reposo, en la fuente S, que es una cámara en la que se produce una
descarga gaseosa. El ion se acelera a través de una diferencia de potencial V y penetra
en un campo magnético B. Dentro de campo, el ion se mueve en circulo e incide sobre
una placa fotográfica colocada a una distancia x desde la rendija de entrada y se registra
el impacto. Demostrar que la masa M queda expresada:
B2q 2
M =
x
8V
aplicando la 2da ley de Newton:
F = qvB = m
v2
q2 B2r 2
⇒ v2 =
R
m2
y la relación entre el campo eléctrico y la energía cinética:
qv = 1
 q2 B2r 2 
mv 2 ⇒ qv = 1 2 m 

2
m2


despejando a la masa:
qB 2 x 2
m=
8V
2) En un gran ciclotrón se esta movimiento un denteron en un campo magnético de 1,5 T
y en orbita de 2 m de radio debido a un choque rasante con un blanco, el denteron se
desintegra, con una perdida insignificante de energía cinética en un protón y newton.
Estudiar los movimientos resultantes de cada partícula. Supóngase que la energía del
denteron se disminuye por partes iguales entre el protón y neutrón al desintegrarse.
99
M ( d ) = 3, 34 × 10 − 27 Kg
q( d ) = 1, 6 × 10− 19 C
m( p ) = 1, 67 × 10− 27 Kg .V( d ) =
qBr = 1, 44 × 10− 8 m / s
Ek( d ) = 1 m( d ) = 3, 46 × 10− 11 Joules
2
Ek( d )
Ek( p ) =
= 1, 73 × 10− 11 Joules = Ek( n )
2
El neutrón no tiene carga por lo que conservara su energía cinética y no se
puede predecir su trayectoria porque el campo magnético no actúa sobre él.
V( p ) =
R( p ) =
8.7
2 Ek( p )
M ( p)
m( p ) v( p )
Q( p )
B
= 1, 44 × 108 Joule
= 1, 002m
EFECTO HALL
Es un experimento que permite determinar el siglo de los transportadores de carga
en un conductor si tenemos una tira plana de cobre que transporta una corriente como se
indica en la figura (8.10) para encontrar una expresión del voltaje de Hall.
Observamos que a fuerza magnética que actúa sobre los portadores es:
F = qVab B
Donde EH es el campo eléctrico debido a la separación de las cargas.
F = qEH
Entonces el potencial de Hall es:
qVab B = qEH
EH = Vab B
Entonces el potencial de Hall es:
VH = EH d ab = Vab Bd ab
100
Y la velocidad de deriva es:
Vab =
I
NqA
Sustituyendo en la ecuación anterior de potencial.
VH =
IBd
nqA
recordando que A =td es el espesor de la muestra.
VH =
IB
nqt
donde 1/nq es el coeficiente de Hall RH.
Ejemplo:
Se utiliza una sección de conductor con un espesor de 0,15cm, como el espécimen
experimental en una medición del efecto Hall. Si se mide un voltaje de Hall de 60 × 10− 6 W ,
para una corriente de 15 A en un campo magnético de 1,5 T, calcule el coeficiente de Hall
para el conductor.
VH =
RH =
8.8
IBRH
T
VH t
= 4 × 10− 7 electrones / m3
IB
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Se proyecta un electrón hacia un campo magnético uniforme dado por
B = ( 0, 2 L + 5 J ) T . Determine la expresión vectorial de la fuerza sobre el electrón,
cuando su velocidad es v = 5 × 106 Jm / s.
2) Los electrones sin perturbar, en mi cinescopio de Tv, viajarían a una velocidad de
7 × 107 m / s a lo largo de la dirección +x la Tv esta en u lugar de la superficie terrestre
en el cual el campo magnético tiene una componente vertical de 13 NT y horizontal de
22,5 T. El componente horizontal esta en línea con la dirección +x y definimos a la
101
dirección vertical como dirección Z. El tubo tiene 0,3m de longitud. Calcule la
desviación, en dirección y magnitud, del haz de electrones debida al campo terrestre.
6
6
3) Un electrón tiene una velocidad dada por v = ( 2 × 10 L + 3 × 10 ) m / s. Penetra en un
campo magnético cuyo valor es B = ( 0, 03L − 0,15 J ) T a) Encontrar la magnitud y
dirección de la fuerza que actúa sobre el electrón, b) Repetir los cálculos para
denteron que tenga la misma velocidad.
4) Un protón y una partícula alfa, que tiene el doble de la carga y cuatro veces la masa
del perímetro, se acelera con la misma diferencia de potencial y entran a una región de
campo magnético constante, perpendicular a sus trayectorias. a) ¿Cuál es la relación
de los radios de sus orbitas?. b) ¿Cuál es la relación de las frecuencias de sus orbitas?.
5) Un alambre metálico de masa m se desliza sin filtración en dos rieles espaciados a una
distancia d, tal como se indica en la Figura (8.11). El dispositivo se encuentra en un
campo magnético uniforme vertical B. Del generador G fluye una corriente constante I
a lo largo de un riel, a través del alambre y de regreso por el otro riel. Encontrar la
velocidad del alambre como función del tiempo, suponiendo que el instante t =0 estaba
en reposo.
6) La figura 8.12, muestra un anillo de radio a perpendicular a la dirección general de un
campo magnético que diverge siguiendo a una simetría radial, la magnitud B del
campo magnético en la posición del anillo es la misma y su dirección forma, en todos
los sitios del anillo, un ángulo θ respecto a la normal al plano del anillo, los alambres
de conexión enrollados no tienen efecto alguno. Determinar la magnitud y la dirección
de fuerza que ejerce el campo sobre el anillo si este transporta una corriente I como la
mostrada en la figura.
7) Un alambre recto y delgado conduce una corriente de 10 mA y forma un ángulo de 60º
con un campo magnético constante de 10.-5T. LA parte del alambre dentro del campo
tiene una longitud de 10cm. Calcule la fuerza, tanto en dirección como en magnitud,
sobre el segmento del alambre.
8) El segmento de conductor mostrado en la Figura (8.13) lleva una corriente I =0,5 A, la
sección más corta tiene 0,75m de largo, y el largo de la sección de mayor longitud
mide 1,5m. Determine la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre el
conductor si existe un campo magnético uniforme B =0, L T en la región.
9) El cubo de la Figura (8.1) de 0,5m de arista, se encuentra en un campo magnético
uniforme de 0,6 T, paralelo al eje X. El hilo abcdef transporta una corriente de 44 A en
el sentido indicado. Determínese la , magnitud, dirección y sentido de las fuerzas que
actuan sobre las porciones ab, cd, de y ef.
102
10) Supongamos que la figura (8.15) representa una cinta de cobre con dimensiones
Z1 = 2cm e y1 = 1mm. Cuando la inducción magnetica es 5 T y la intensidad 100 A, la
fem Hall resulta ser 45,4 NV. ¿Cuál es la concentración de electrones libres?.
11) La Figura (8.16) muestra un cilindro de madera cuya masa m es de 0,25Kg, su radio es
R, su longitud L es de 0,1m y con un número N =10 de vueltas de alambre enrolladas
longitudinalmente en l eje, de tal forma que el plano de las espiras de alambre contiene
al eje del cilindro. ¿Cuál es la menor de las corrientes a través de la espira que impide
que I cilindro ruede por el plano inclinado, que forma un ángulo θ respecto a la
horizontal, en presencia de un campo vertical cuya inducción magnética es de 0,5 T, si
el plano de las espiras es paralelo al plano inclinado?.
12) Un alambre de longitud L transporta una corriente I. Demostrar que si el alambre se
enrolla para formar una bobina circular, la torca máxima en un campo magnético
dado se obtiene cuando la bobina tiene solo una vuelta y que el valor máximo de esta
torca es ℑ = 1 4 π L2 IB.
13) Una espira rectangular consta de 40 vueltas enrolladas apretadamente y sus
dimensiones 0,25m por 0,20m, la espira esta articulada a lo largo del eje y el plano de
la bobina forma un ángulo de 45º con el eje x, como se observa en la Figura (8.17). a)
¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por un campo
magnético uniforme de 0,25T dirigido a lo largo del eje x, cuando la corriente en los
arrollamientos tiene un valor de 0,5 A, en la dirección indicada?. b) ¿Cuál es la
dirección esperada de rotación de la espira?.
14) ¿Cuál es el momento máximo sobre una bobina de 2cm x12cm que tiene 600 vueltas,
cuando transporta una intensidad de corriente de 10-5 A en un campo uniforme de
0,10T?.
15) Una bobina circular tiene N vueltas, radio R y conduce una corriente I. El momento
bipolar magnético esta alineado inicialmente con un campo magnético externo fijo B.
¿Cuánto trabajo debe efectuar una fuerza para hacer girar la bobina a un ángulo θ ?.
16) ¿Qué campo magnético se requeriría para hacer que un electrón cuya energía es de
4400 e V se mantenga en una trayectoria circular de radio 0,8m?.
17) El ciclotrón se ajusta normalmente para acelerar denterones. a)¿Cuál seria la energía
que se podría producir en protones, utilizando la misma frecuencia del oscilados que
utilizaba para los denterones?. b) ¿Qué campo magnético se necesitaría?. c) ¿Cuál
seria la energía de los protones que se producirían si el campo magnético se
conservara con el mismo valor que se utilizaba para los dentrones ? d) ¿Cuál seria la
frecuencia del oscilador que se necesitaría en este caso?. e) Responder las mismas
preguntas para el caso de partículas α .
103
18) Se lleva a cabo un experimento de efecto Hall con una banda de aluminio, cuya
densidad es 2, 7 g / cm3 , la banda tiene 1cm de ancho, que es la distancia a la cual se
mide el voltaje de Hall, y 0,50mm de espesor. Cuando el campo magnético es 0,050T y
la corriente es de 96 A el voltaje de Hall es 1nV. ¿Cuántos electrones por átomo están
libres para conducir corriente en el aluminio?.
19) Una bobina circular de 8cm de diámetro tiene 12 espiras y transporta una corriente de
5ª, la bobina se encuentra en un campo magnético de 0,6 T. a) ¿Cuál es el momento
máximo sobre la bobina?. b) ¿Para que posición tendría el momento un valor igual a
la mitad del calculado en a?.
20) Una partícula alfa tiene una velocidad v = 3 × 105 Lm / s y entra a una región en la que
el campo magnético tiene un valor B =1,2KT. Determine la magnitud y dirección
requerida de un campo eléctrico E que hará a la partícula alfa seguir moviéndose a lo
largo del eje x.
104
TEMA IX
LEY DE AMPERE
1.26 INTRODUCCIÓN
En este capitulo estudiaremos que los campos magnéticos son producidos por cargas
en movimiento. Empezaremos hablando de la ley de Biot y Savart, que describe los campos
magnéticos que producen las cargas en movimiento y después la ley de Ampere para
determinar el campo magnético de configuración de alta simetría que conduce en corrientes
constantes.
1.27 LEY BIOT-SAVART
Si un alambre conduce una corriente constante I, el campo magnético dB en un
punto P debido a un elemento ds tiene las siguientes propiedades (ver Figura 9.1):
El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la dirección de la corriente) como al
vector unitario r dirigido desde el elemento al punto P.
La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia desde el
elemento al punto P.
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la longitud ds del elemento.
LA magnitud de dB es proporcional a sen θ , donde θ es al ángulo entre los vectores ds y
r.
dB = km
Ids × r
( ley de Biot − Saν art )
r2
−7
km. es una constante µ 0 / 4π = 10 w / A.m
Para determinar el campo total, se deben sumar todas las contribuciones de dB.
B=
µ 0I
4π
∫
ds × r
r2
( 9.1)
Ejemplo:
El alambre mostrado en la Figura 9.2, transporta una corriente I. ¿Cuál es el campo
magnético B en el centro C del semicírculo proveniente de : a) cada uno de los segmentos
rectos de longitud L, b) del segmento semicircular d radio R y c) del alambre completo?.
105
a)
Según la ley de Biot-Savart
dB =
µ 0 I dL × r
; como el ángulo entre ds y r es 0º
4π r 2
dB =
µ 0 I dLr
sen0o = 0
4π r 3
Los segmentos rectos no contribuyen a la inducción magnética.
dB =
µ0I
4π r 3
dLrsenα
;α = π 2 y dL Rdθ
r3
b)
B=
µ0I
4π
π
∫
0
µ0I
Rdθ
⇒ B=
2
R
4π R
π
∫ dθ
⇒B =
0
µ 0I
4π
c)
el resultado b es el campo producido en todo el alambre.
9.3
LEY DE AMPERE
Usted demostró claramente que un alambre portador de corriente produce un campo
magnético, si se toma el alambre con la mano derecha, como se observa en la Figura 9.3, en
forma tal que el dedo pulgar apunte en dirección de la corriente, los dedos cerrados
definirán la dirección de B.
La ley de Ampere establece que la integral de línea de B.ds alrededor de cualquier
trayectoria cerrada es igual a µ 0 I , donde I es la corriente constante total que atraviesa la
trayectoria.
∫ Bds =
µ 0I
( 9.2 )
esta ley solamente es valida para corrientes estacionarias.
Ejemplo:
Un alambre sin forro, del num. 10 (0,10 pulgadas de diámetro), puede transportar
una corriente de 50 A sin sobrecalentarse. ¿Cuál es valor de B en la superficie de este
alambre cuando circula tal corriente?.
106
∫ Bds = µ I
∫ Bds cos 0 = µ
∫ B 2π r = µ I
0
0
I
0
B =
9.4
µ0 I
= 7, 87 ×10 −3 T
2π r
FUERZAS MAGNETICAS ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS
Observemos la Figura 9.4, el alambre 1 producirá un campo magnético de B 1, en el
alambre 2, debido a una corriente I1.
B1 =
µ 0 I1
2π d
( 9.3)
el alambre 2, tiene una corriente I2, y esta siendo afectado por un campo B, externo, por lo
que la fuerza magnética sobre una longitud L del alambre es:
F2 = I 2 LB1 =
µ 0 LI 2 I1
2π a
( 9.4 )
la fuerza que un alambre ejerce sobre el otro es igual y opuesta:
µ 0 I 2 I1
F
=
L
2π a
( 9.5 )
esta es la fuerza por unidad de longitud.
Ejemplo:
Dos conductores paralelos, separados a una distancia a =0,2m, llevan corrientes en
la misma dirección, como se ven en la Figura 9.5. Si ejerce cada conductor sobre el otro?.
µ I I
F
= 0 2 1 = 1, 5 × 10− 4 Nw / m
L
2π a
9.5
CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE
Es un alambre largo devanado en la forma de una hélice, que genera campos
magnéticos semejantes a los campos eléctricos que genera un capacitador de placas
paralelas. Ver Figura 9.6.
El campo magnético en el interior de un solenoide largo es
107
( 9.6 )
B = µ 0 nI
Este campo magnético es uniforme y donde n es el número de espiras por unidad de
longitud n = M/L.
Ejemplo:
1) Un solenoide cuyas espiras se han devanado estrechamente tiene una longitud de 0,25m
y conduce una corriente I =0,5 A. La cual produce un campo magnético B = 8 × 10− 5 T .
¿Cuántas espiras tiene el solenoide?.
B = µ0
M
I
L
BL
= 31, 8 vueltas
µ0 I
M =
2) Deducir la ecuación para el campo debido a un solenoide partiendo de la expresión
magnético:
B=
µ 0 IR 2
2 ( R2 + X 2 )
3 2
Obtenida de una espira circular, de la Figura 9.7. (sugerencia: dividir al solenoide en
una serie de espiras de corriente de espesor infinitesimal y después realizar la integración).
Siendo I la corriente de la espira. Si tengo varias espiras delgadas:
I = I 0 n × n = número de espiras por unidad de longitud.
I 0 = corriente que lleva cada espira.
dI = I 0 ndx
B =
∞
∫2
0
B =
µ 0 R 2 dI
(R
µ0 I 0 n
2
2
∞
∫
0
+ X
2
)
3 2
R 2 dx
r3
=
∞
∫2
0
µ 0 R 2 I 0 ndx
(R
como
2
+ X
r =
2
)
(R
3 2
2
+ x2 )
1/ 2
Hagamos un cambio de variable:
108
X = Rtgα ; dx = R sec 2 α dα ; cos α =
r = R sec α
B=
B=
µ 0 I0n
2
µ 0 I0n
2
π 2
∫
0
π 2
∫
R 3 sec α dα
R 3 sec3 α
cos α dα =
µ0 I0n
2
0
B =
9.6
R
r
( senα
π 2
0
µ0 I 0 n
2
FLUJO MAGNÉTICO
El flujo magnético a través de un elemento de área dA se obtiene mediante:
φm =
∫ B.dA
( 9.7 )
Ejemplo:
Dos alambres de cobre del número 10 (diámetro 0,10 pulg.) largos y paralelos,
transportan corrientes de 10ª en direcciones opuestas.
Si sus centros se encuentran separados 2 cm. a) Calcular el flujo por metro de
conductor que existe en el espacio entre los ejes de estos dos alambres. b) ¿Qué fracción del
flujo se encuentra dentro de los alambres?. c) repetir el cálculo de (a) para corrientes
paralelas.
φT
φ 
φ
=  1 + 2  X2
L
L 
 L
Iµ0
φ1
=
= 10 − 6 w / m
L
4π
a)
Los flujos tienen la misma dirección igual y deben
sumarse
109
φ2
L
φ2
L
φ2
L
φT
L
=
∫ BdA =
=
µ0 I Ι
nr
2π
µ0 I
dr
= B =
r
2π
dA = Ldr
0,02
1,27×10 −3
= 5, 51×10 −5 w / m
= 1, 302 ×10 −5 w / m
b) f =
c)
µ0 I 0,02
∫10 −3
2π 1,27×
2φ 1 / L
= 0,15
φ2 / L
Como los flujos producidos por los alambres son iguales pero sentidos
contrarios se anulan.
φT = 0
La ley de gauss del magnetismo establece que el flujo magnético neto a través de
cualquier superficie cerrada siempre es cero.
φm = ∫ B.dA = 0
9.7
LA CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO DE MAXWELL
La ley de Ampere se aplica integrando una trayectoria cerrada. Cuando una
corriente es continua, la corriente que cruza cualquiera de esas superficies debe ser igual a
la corriente que cruza cualquier otra ver Figura 9.9.
Ahora en la Figura 9.10 tenemos dos superficies con la misma espira como limite y
podemos observar que una corriente I cruza la superficie 1 en el sentido positivo y en la
superficie 2 no hay corriente, con la ley de Ampere no hay forma de distinguir las dos
superficies.
Maxwell presenta una modificación que corriente esa falla, en la superficie 2 que no
pasa corriente hay un flujo eléctrico variable.
φE =
q
⇒ ∈0 φ E = q
∈0
Si se deriva en función del tiempo:
110
∈0
dφ E
dq
=
= I
dt
dt
Este término de flujo variable es la corriente de desplazamiento.
Id = ∈ 0
dφ E
dt
( 9.8 )
La suma de la corriente ordinaria y la corriente de desplazamiento, es continua, la
ley de Ampere quedaría satisfecha para cualquier superficie y se aplica aun cuando las
corrientes varíen a través del tiempo.
∫ B.ds =
µ 0 ( I + Id ) = µ 0 I + µ 0 ∈0
dφ E
dt
( 9.9 )
Ejemplo:
El voltaje aplicando entre las placas de un capacitor de 3NF varía con el tiempo
t/4
según la expresión Vap = 6 ( 1 − e ) V , donde t esta en segundos. Calcule a) la
corriente de desplazamiento como una función del tiempo, b) el valor de la corriente en
T=2seg.
a) I d =
dq
dV
=C
dt
dt
I d = ( 3 ×10 −6 F )
d 
6 (1 − e −t / 4 )
V
dt 
I d = 4, 5 ×10 −6 e −t / 4 F
b ) I d = 4, 5 ×10 −6 e −2 / 4 F
I d = 2, 73 ×10 −6 F
9.8
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Un topógrafo usa una brújula a 6,10m, debajo de una línea de energía eléctrica por la
cual pasa una corriente constante de 100 A. ¿Se alterara sensiblemente la lectura de la
brújula debido a esta corriente?, la componente horizontal del campo magnético
terrestre es aproximadamente 0,2 gauss.
111
2) Un alambre recto largo lleva una corriente de 50 A. Un electrón que lleva una
velocidad de 107 m / seg ., se encuentra a 5cm del alambre. ¿Qué fuerza obra sobre, b)
paralela al alambre y c) perpendicularmente a la dirección dada por (a) y (b)?.
3) Cuatro alambres de cobre, largos y paralelos, están colocados de tal forma que sus
secciones transversales forman un cuadrado de 20cm de lado. Por cada alambre
circula una corriente de 20 A en el sentido mostrado en la Figura (9.110). ¿Cuál es la
magnitud y l dirección de B en el centro del cuadrado?.
4) En el ejercicio anterior (3) ¿Cuál es la fuerza por metro que obra en el alambre
inferior izquierdo, en magnitud y dirección?.
5) En la Figura (9.12) muestra a un alambre largo que transporta una corriente de 30 A.
La espira rectangular transporta una corriente de 20ª. Calcular la fuerza resultante
que actúa sobre la espira. Suponer que a =1cm; b =8cm y L =30cm.
6) Un alambre se dobla para formar una “horquilla” larga como la mostrada en la
Figura (9.14). Si por ella circula una corriente de 10 A, a)¿Cuál es la dirección y la
magnitud de B en el punto a?, b) ¿Y en el punto b?, considerar R =0,50m.
7) Calcular el campo magnético B aproximado en el punto P de la Figura (9.15). Suponer
que I =10 A y q q =8cm.
8) Una espira circula de cobre de 10cm de radio transporta una corriente de 15ª. En su
centro esta colocada una segunda espira de 1cm de radio, de 50 vueltas y que
transporta una corriente de 1 A. a) ¿Cuál es el campo magnético B producido por la
espira grande en su centro?. b) ¿Cuál es la torca que actúa sobre la espira pequeña?.
c) Supóngase que los planos de las dos espiras son perpendiculares y que el campo
magnético B producido por la espira grande esencialmente uniforme en el espacio
ocupado por la espira pequeña.
9) Por el cilindro interior de un cable coaxial pasa una corriente hacia abajo, y regresa
por el cilindro interior, como se muestra en la Figura 9.16. El radio del cilindro
interior es 0,50cm y el del cascaron es 0,8cm. calcule el campo magnético en la
superficie cilíndrica, en un punto intermedio (a medio camino) entre las superficies
interior y exterior, cuando la corriente sea 5 A. No tome en cuenta los efectos en los
extremos.
10) Un solenoide superconductor largo se devana con alambre fino de niobio, de modo que
hay 3x104 vueltas/m. Si una fuente de corriente produce 50 A. ¿Cuál es el campo
magnético dentro del solenoide?.
112
11) Calcule el campo magnético al centro de una bonina cuadrada de alambre con 20
vueltas, de 25cm de longitud, y que lleva una corriente de 4ª.
12) Comienza a pasar una corriente de 1 NA en un circuito con un capacitor de 5 × 10− 11 F ,
de a cm2 de área, cuando t =0seg. a) ¿Con que rapidez cambia el voltaje entre las
placas del capacitor, cuando t =0?. b) Con el resultado anterior, calcule en forma
explicita dφ E / dt y la corriente de desplazamiento cuando t =0seg.
13) Calcule la fuerza por unidad de área entre dos laminas metálicas que conduzca
corrientes idénticas en la misma dirección, la corriente que pasa por las laminas tiene
una densidad lineal h A//m.
14) ¿Cuántas espiras deberá tener una bobina de vueltas circulares estrechamente
enrolladas, de radio 0,4m, para que una corriente de 3,2 A, produzca un campo
magnético de 1, 61× 10− 4 T en su centro?.
15) Una bobina toroidal de la Figura (9.17) esta formada por 400 espiras sobre un núcleo
que tiene radio interior a =8cm y radio exterior b =10cm. Calcule la magnitud del
campo magnético en el punto central entre las paredes interior y exterior del núcleo,
cuando circula una corriente de 0,75 A en el devanado.
16) La arista de un cubo tiene una longitud L =0,15m y el cubo esta ubicado como se
muestra en la Figura (9.18). Existe además un campo magnético uniforme por toda la
región dado por B = ( 6 L + 3J + 1,5 K ) T . a) Calcule el flujo a través de la cara
sombreada del cubo. b) ¿Cuál es el flujo total a través de las seis del cubo?.
17) Un solenoide tiene 400 espiras, longitud de 50cm, radio de 8cm y transporta una
corriente de 6 A. Calcule el campo magnético en un punto axial, a una distancia de
15cm del centro (es decir, a 10cm de un extremo).
18) Por un tira de metal delgada, muy larga y de anchura w pasa una corriente I.
Determine el campo magnético en el plano de la tira (en un punto extremo) a una
distancia b de un lado.
19) Un solenoide de 30cm de longitud esta arrollado con dos capas de hilo, la interior
tiene 300 y exterior 250 espiras, la intensidad es 3 A, con el mismo sentido en ambas
capas ¿Cuál es el campo magnético en un próximo al centro de solenoide?
20) Un anillo de madera cuyo diámetro medio es 10cm lleva un arrollamiento toroidal de
500 espiras apretadas. Calculase el campo en un punto de la circunferencia media del
anillo cuando la corriente que circula por el arrollamiento es de 0,3 A.
113
TEMA X
LEY DE FARADAY
1.28 INTRODUCCIÓN
Estudiaremos a continuación campos magnéticos variables que originan campos
eléctricos. Estos campos eléctricos no se relacionan con fuerzas conservativas. Con esta ley
complementamos la introducción a las leyes fundamentales del electromagnetismo. Esta en
todo nuestro sistema de generación de energía eléctrica y desempeña un papel en la mayor
parte de los artículos electrónicos que usamos.
1.29 LEY DE FARADAY Y LA INDUCCIÓN MAGNETICA
Describiremos un experimento de fem inducida. Consideremos una espira de
alambre conectada a un galvanómetro, como se ve en la Figura 10.1, si movemos un imán
hacia el interior de la espira, observaremos que la aguja del galvanómetro cambiara de
orientación.
Si por el contrario alejamos el imán de la espira, la aguja del galvanómetro se
moverá en sentido contrario. Si ese mismo imán lo dejamos estacionario, respecto a la
espira, en el galvanómetro no se observara ninguna lectura y finalmente si el imán se
mantiene estacionario y el circuito de la espira se mueve acercándose o alejándose del
imán, la aguja también se moverá. Con estas observaciones podemos concluir que siempre
que exista un movimiento relativo entre el imán y el circuito de la espira. Se genera una
corriente en el circuito, aun cuando no existan baterías en dicho circuito. Estas corrientes se
denominan corrientes inducidas, y se producen por una fem inducida.
La ley Faraday establece que la fem inducida en un circuito es directamente
proporcional, a la razón de variación del flujo magnético a través d un circuito con respecto
al tiempo.
ε =
− dφ m
dt
(10.1)
donde φ m es el flujo magnético que varia con el tiempo
φm =
∫ B.dA
Si el circuito es una bobina de N espiras
114
ε = −N
dφ m
dt
(10.2 )
Si el flujo magnético es uniforme en un circuito de área A que esta en un plano,
como se muestra en la Figura 10.2, la fem inducida se puede expresar:
ε =
−d
( BA cos θ
dt
)
( 10.3)
Como podemos observar es posible inducir una fem en el circuito en varias formas:
la magnitud de B puede variar con el tiempo.
el área del circuito puede cambiar con el tiempo.
el ángulo θ entre B y la normal al plano puede variar con el tiempo.
puede ocurrir cualquier combinación de estas formas.
Ejemplo:
Se hace una bonita con 100 vueltas de alambre de cobre aislado, enrolladas sobre un
cilindro de hierro cuya sección trasversal es de 0,001m2 y se conecta con una resistencia. La
resistencia total en el circuito es de 10Ω . Si la inducción magnética longitudinal en el
hierro cambia de 1 T en un sentido a 1 T en sentido contrario, ¿Qué cantidad de carga fluye
por el circuito?.
115
ε =
I =
dφm
⇒ ε d t = d φm
dt
ε
R
dq =
∫d
q
;I =
ε dt
=
R
∫
dq
dt
=
⇒
ε
R
=
dq
dt
despejando
d φm
R
d φm
∆φm
⇒q =
R
R
φm1 = M .B. A = −0,1T
φm 2 = 0,1T
φm 2 − φm1
q =
R
= 2 ×10 −2 C
1.30 LEY DE LENZ
El signo negativo de la ecuación anterior, se incluye como recordatorio de que el
sentido de la fem inducida obedece a la ley de Lenz, ósea que con esta ley se puede ley se
puede determinar la dirección de la fem y de la corriente inducida.
“La corriente y la fem inducida actúan en tal dirección que tienden a oponerse a
cualquier cambio en el número neto de líneas de flujo que pasan a través de la sección
transversal del circuito”.
Supongamos que tenemos una barra que se mueve hacia la derecha, como se mueve
en la Figura 10.3. Cuando la barra se mueve hacia la derecha, el flujo magnético a través
del circuito aumenta con el tiempo y la corriente inducida debe circular en el sentido
contrario a las manecillas del reloj.
Si por el contrario la barra se mueve hacia la izquierda, como se muestra en la
Figura 10.4, el flujo magnético decrecerá con el tiempo y la corriente inducida tendrá que
ser en el sentido de las manecillas del reloj. En cualquier caso se observa que la corriente
inducida tiende a mantener el flujo original a través del circuito.
116
1.31
FUERZA ELECTROMOTRIZ EN MOVIMIENTO
Observamos la Figura 10.5, donde tenemos a un conductor rectilíneo de longitud L
que se mueve con velocidad constante v a través de un campo magnético uniforme.
Consideremos que el conductor se mueve perpendicularmente al campo, las cargas libres
que se encuentran en el conductor van a estar bajo la influencia de una fuerza definida por
qv x B. Esta fuerza moverá a los electrones hacia el extremo inferior del conductor dejando
a los electrones hacia el extremo inferior del conductor dejando a los protones en el
extremo superior. En consecuencia se produce un campo eléctrico dentro del conductor, la
carga en los extremos va aumentando hasta que la magnitud de la fuerza magnética q v B se
equilibre con la fuerza eléctrica q ε . En este punto la carga cesa de fluir y la condición de
equilibrio es:
qε = qν B; ε = ν B
Este potencial generado en los extremos es más alto en la parte superior que en la inferior.
Consideremos ahora un circuito que consta de un barra conductora de longitud L
que se desliza a lo largo de dos rieles conductores paralelos fijos, como se muestra en la
Figura 10.6. Supongamos que la barra móvil tiene una resistencia nula y que los rieles
tienen una resistencia R. Aplicamos un campo magnético uniforme y constante B y
perpendicular al plano del circulo. Si aplicamos una fuerza (Fapl) hacia la derecha, las
cargas libres en la barra experimentan una fuerza magnética, que genera una corriente
inducida. En este circuito cerrado el flujo magnético externo es:
φm = BLx
Donde Lx es el área del circuito en cualquier instante, donde x es el ancho del circuito, y
cambia con el tiempo. La fem inducida mediante la ley de Faraday es:
ε =−
d φm
d
=
dt
dt
ε = − BL
ε = BLv
( BLx )
dx
dt
(10.4 )
Esta última ecuación es la fem de movimiento. Llamamos la fem de movimiento,
cuando una barra conductora de longitud L se mueve a través de un campo magnético B
con una velocidad v, de modo que B sea perpendicularmente a la barra.
117
Ejemplo:
La figura 10.7, muestra una barra de cobre que se mueve sobre unas vías
conductoras con una velocidad v paralela a un alambre recto, largo, que transporta una
corriente I. Calcular la fem ( ε ) inducida en la barra, suponiendo que
v = 5m / s; I = 100 A; a = 1cm y b = 20cm.
ε = BLν ; d ε = Bν dx
Como B depende de x, tenemos:
µ0 I
donde
2π x
B =
d E =
µ0 Iν dx
2π
x
integrando obtenemos:
ε
µ Iν
ε = ∫ dε = 0
2π
0
b
∫
a
µ 0 Iν
dx
=
Ln ( b a )
x
2π
ε = 3 × 10 −4 Volts
1.32
FUERZAS, ENERGÍA Y POTENCIA EN LA FUERZA ELECTROMOTRIZ
DE MOVIMIENTO
En el tema anterior hablamos de una fuerza magnética que actúa sobre la corriente
inducida que inhibe siempre el movimiento que produce la fuerza electromotriz de
movimiento. Esta fuerza magnética es:
FB = I ∫ ( dL × B )
( 10.5)
Donde dL describe un elemento de longitud del alambre y B es el campo magnético
en ese elemento.
La fuerza aplicada ( Fapl ) es:
Fapl = ILB
Donde I = Bν L / R
2
2
Por lo que: Fapl = ν L B
118
La potencia disipada, debida al flujo de corriente a través de un resistor, es igual a la
potencia requerida, para mantener moviéndose a la espira.
P = Fapl .ν =
ν 2 L2 B 2
R
( 10.6 )
2
v 2 L2 B 2
 BvL 
P= I R= 
 R=
R
 R 
2
o
( 10.7 )
Ejemplo:
Se dispone de un alambre de cobre de 50cm del Nro 18 (diámetro =0,001016m). Se
le da la forma de una espira circular y se coloca perpendicularmente en un campo
magnético uniforme que esta aumentado con el tiempo a razón constante de 100 gauss/seg.
¿Con que rapidez se genera calor por el efecto Joule en la espira?
Solución:
dB
= 100 gauss / seg = 10− 2 Weber / m 2 seg
dt
I =
A( e ) dB
ε
=
.
R
R dt
R= ρ
P=
1.33
L( a )
A( a )
=
A( e ) = ( 0, 5 / 2π
1, 7 × 10− 8 ( 0,5 )
( 0, 02 )
0, 01
π ( 0, 0005)
2
(10 )
−2
2
2
)
2
π = 0, 02m 2
= 0, 01 donde ρ es la resistividad del cobre 1, 7 × 10− 8 Ω .m
= 4 × 10− 6 watts.
FUERZAS ELECTROMOTRICES Y CAMPOS ELÉCTRICOS
La ley de la inducción electromagnética demuestra que siempre se crea un campo
eléctrico mediante un flujo magnético variable. Este campo eléctrico inducido tiene
propiedades que son muy diferentes de aquellas que corresponden al campo electrostático
producido por cargas estacionarias.
Si tenemos una espira conductora de radio r situada en un campo magnético
uniforme y perpendicular al plano de la espira, como se muestra en la Figura 10.8, la ley de
Faraday establece:
119
ε =−
dφ m
dt
La corriente inducida indica la presencia de un campo eléctrico ε , que debe ser
tangente a la espira ya que todos los puntos de ella son equivalentes.
W =F . A
Donde W es el trabajo efectuado para mover una carga de prueba alrededor de la
espira; F es la fuerza eléctrica que actúa sobre dicha carga y A es el perímetro de la espira:
W = qε ; A = 2π r.
F = qε
Sustituyendo obtenemos:
qε = qε
( 2π r )
Despejando al campo eléctrico:
ε =
ε
2π r
Si utilizamos la ley de Faraday:
ε =
− 1 dφ m
2π r dt
Donde:
φ m = BA = Bπ r 2
Entonces:
ε = −
r Db
2 dt
( 10.8 )
El signo negativo indica que el campo eléctrico inducido se opone al cambio del
campo magnético. Este resultado también es valido en ausencia de un conductor.
Podemos representar de forma general la ley de Faraday de la inducción de la
siguiente manera:
120
ε =
∫ ε .ds =
−
dφ m
dt
( 10.9 )
Este campo eléctrico no es conservativo, ya que varia con el tiempo y se genera por
un campo magnético variable.
Ejemplo:
La Figura 10.9, muestra a un campo magnético uniforme B restringido aun volumen
cilíndrico de radio R, la magnitud de B disminuye con ritmo constante de 0,010 T/seg.
¿Cuál es la aceleración instantánea (en dirección y en magnitud) que experimentaría un
electrón colocado en a, en b y en c?. Suponer que r =5cm (la curvatura necesaria, del campo
más allá de R no cambia la respuesta, siempre y cuando exista simetría axial de R no
cambia la respuesta, siempre y cuando exista simetría axial respecto de un eje perpendicular
al plano de la figura y que pase por b).
a ) ∫ ε dL = −
dφ m
dt
ε ( 2π r ) = −
ε = −
dB
(π r 2 )
dt
dB r
dt 2
dB
= 0, 01T / seg
dt
F = qε = q
dB r
F
, recordando a =
dt 2
m
− 19
qr dB 1, 6 × 10 ( 0, 05 ) ( 0, 01)
a=
=
= 4, 4 × 107 m s 2
− 31
2m dt
2 ( 9,1× 10 )
b) a = 0; pues
r= 0
c ) a = 4, 4 × 107 m / s 2 en la dirección que se indica en la figura.
121
1.34
GENERADORES Y MOTORES
Estos son mecanismos que funcionan a través de la inducción electromagnética.
Generador de corriente alterna (ca), es un dispositivo que convierte la energía
mecánica en energía eléctrica.
Consta de una bobina de N espiras que forma un círculo de área A, que gira por
algún medio externo en un campo magnético B, como se observa en la Figura 10.10, con
una velocidad angular angular ω respecto a un eje perpendicular al campo. Al girar la
bobina, el flujo magnético a través de ella cambia con el tiempo, y se induce una fem. si la
velocidad angular w es constante y θ es el ángulo entre el campo magnético y la normal al
plano, entonces el flujo magnético a través de la bobina en cualquier tiempo es:
φ m = BA = AB cosθ = AB cos ω t
Y la fem inducida en la bobina es:
ε = −N
dφ m
d
= − NAB
( cos ω t )
dt
dt
ε = NABω senω t
( 10.10 )
Este resultado muestra que la fem varía senoidalmente con el tiempo, como se ve en la
Figura 10.11.
Cuando ω t = 90o o
270o , la fem inducida tendrá su valor máximo.
ε = ε max = NABω
( 10.11)
Y cuando ω t = 0 o 180º , ósea B sea perpendicular al plano de la bobina, la fem inducida
es cero.
Representamos a un generador mediante un círculo que encierra una onda senoidal,
como se muestra en la Figura 10.12. Si a este generador lo conectamos como elemento de
un círculo en serie, con resistencia R, entonces, se genera una corriente en el circuito.
I =
ε
NABω
=
sen ( ω t )
R
R
Y su magnitud máxima es:
122
I =
NABω
R
( 10.12 )
La potencia entregada a este circuito es:
P = ε I = INABω sen ( ω t )
( 10.13)
Y la potencia mecánica que debe ejercer la fuerza que hace girar la espira es:
Pmec = ℑ ω = µ Bω senθ
( 10.14 )
Donde µ es el momento bipolar magnético en un campo magnético B.
La dependencia explicita con respecto al tiempo, de la potencia, se calcula con el
producto de la corriente por el potencial
V2
P=
=
R
( NABω )
R
2
sen 2 ( ω t )
( 10.15)
Este valor siempre es positivo, en contraste con la fuerza electromotriz o la corriente
las cuales alternan su signo, como se muestra en la Figura 10.13.
Ejemplo:
Un generador de corriente alterna, una espira rectangular de N vueltas, longitud a y
ancho b, gira con un frecuencia v en un campo magnético uniforme b, tal como se muestra
en la Figura 10.14. a) Demostrar que sobre la espira aparece una fem inducida por la
expresión:
ε = 2π ν NbaBsen 2π ν t = ε 0 sen 2π ν t
Este es el principio de operación de los generadores comerciales de corriente
alterna. b) Diseñar una espira que produciría una fem de ε 0 = 150V cuando gira 60rev/s en
un campo de 0,5 T.
a)
Tomemos una vista lateral de una espira ladeada en un instante t
φm=
∫ B.dA =
Bab cos θ
Como θ esta en función del tiempo:
123
w
θ
θ
como w = ⇒ V =
2π
t
2π t
V =
Donde θ = 2π Vt , sustituyendo:
φ m = Bab cos θ ( 2π Vt )
Sabemos que la fem inducida es
ε =
dφ m
= 2π VBab en ( 2π Vt )
Dt
Este resultado obtenido es para una espira
Ahora para N vueltas:
dφ m
= 2π VNBab en ( 2π Vt )
dt
Para t =
1
la ecuación nos queda:
4V
ε 0 = 2π VNBab en
π
= 2π VNBab
2
Donde ε 0 el valor máximo de ε :
ε = ε 0 en ( 2π Vt )
b) ε 0 = 2π VNA como ab es el área de la espira
A=
ε0
150
0, 8 2
=
=
m
2π VN
2π ( 60 ) N
N
si diseñamos una bobina de una espira, tenemos:
A = 0, 8m 2
se elegirán las dimensiones para lograr un área de esta magnitud, por ejemplo una espira
cuadrada de lado
0, 8m.
124
1.35
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Un campo uniforme de inducción B es normal al plano de un anillo circular de 10cm
de diámetro hecho de alambre de cobre Nro 10(diámetro =0,00254m)¿con que rapidez
debe cambiar B al transcurrir el tiempo para que se forme una corriente de 10 A en el
anillo ?.
2) Un alambre rígido doblado en forma de un semicírculo de radio R gira con una
frecuencia v en un campo uniforme B, tal como se ve en la Figura 10.14. ¿Cuál es la
amplitud, la frecuencia de la fem inducida y la corriente inducida cuando la resistencia
interna del medidor M es Rm y el resto del circulo tiene una resistencia que se puede
ignorar?.
3) Un disco de cobre circular de 10cm de diámetro gira a razón de 1800 rev/min
alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al disco. Un campo
uniforme inducido B de 10.000 gauss, es normal al disco. ¿Qué diferencia de potencial
se desarrolla entre el eje del disco y su borde?.
4) El flujo magnético a través de la espira de la Figura 10.15 es perpendicular al plano de
la espira, esta dirigido hacia adentro de la pagina y varia de acuerdo con la relación
φ m = 6t 2 + 7t + 1, en donde φ m esta dado en miliwebers ( 1mwb = 10− 3 wb ) y t esta en
segundos. a) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en la espira después de t
=20seg?. b) ¿Cuál es la dirección de la corriente a través de R?.
5) La barra conductora AB de la Figura 10.16 hace contacto con dos rieles metálicos AD
y BC separados 50cm en un campo magnético uniforme de 1 T perpendicular al plano
de la pagina, la resistencia total del circuito ABCD es de 0,4 ohms (supuesta
constante). a) ¿Cuál es la magnitud y el sentido de la fem inducida en la barra cuando
se mueve hacia la izquierda con la rapidez de 8 m/s?. b)¿Qué fuerza se necesita para
mantener a la barra en movimiento?. c) Comparar el ritmo con el cual la fuerza F
realiza trabajo mecánico con el ritmo de aumento de la energía térmica en el circuito.
6) El plano de una bobina rectangular de dimensiones 10cm por 8c, es perpendicular a la
dirección de un campo magnético B, si la bobina tiene 50 espiras y una resistencia
total de 12Ω , ¿En qué proporción debe cambiar la magnitud de B para poder inducir
una corriente de 5 mA en los devanados de la bobina? .
7) Una bobina de 125 vueltas, de 2cm de radio y cuya resistencia es de 3Ω , gira sobre un
diámetro, dentro de un campo magnético uniforme de 0,5 T. ¿A qué velocidad debe
girar para producir una corriente máxima de 6 A en la bobina?
8) Un bocing 747 vuela hacia el norte, a 900 Km/h en un lugar donde el campo magnético
terrestre consiste de un componente vertical hacia arriba de 2 × 10− 5 T , y un
125
componente hacia el sur de 3 × 10− 5 T . Si la envergadura de las alas 747 es 35cm,
calcule la fem inducida entre ellas. Si la aeronave volara hacia el este, en lugar de
hacia el norte ¿Cómo cambiaría la respuesta?.
9) Una espira cuadrada de alambre, de dimensiones LxL, esta en un plano perpendicular
a un campo magnético constante. El campo solo ocupa una determinada región, cuyo
limite es definido en la Figura 10.17, los lados d la espira forman un ángulo de 45º con
ese limite, y una fuerza externa hace mover a la espira a una velocidad v, saliendo de
la región del campo constante. ¿Cuánta potencial debe suministrar la fuerza externa,
como función del tiempo?.
10) Un solenoide largo, de radio r y n vueltas por unidad de longitud, conduce una
corriente alterna I = I 0 se ( wt ) , observar la Figura 10.18. ¿Cuáles son los campos
eléctricos que se inducen dentro del solenoide, a una distancia R/2, y fuera del
solenoide, a una distancia de 2 R? (sugerencia: aplique la ley de Faraday, a las dos
trayectorias que se indican, y use la simetría).
11) Una bobina de 5cm2 de área, con 50 vueltas de alambre, se conecta con un resistor de
50Ω de resistencia. Se hace girar a mano, a una frecuencia de 1 rev/s dentro de un
campo magnético de 0,5 T. a) ¿Cuál es la cantidad máxima de corriente que produce?
b) ¿Cuál es la potencia promedio que se produce?.
12) Una bobina con 300 vueltas, de 10cm de diámetro y 20Ω de resistencia, se coloca en
dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de 1 T. De repente, el campo
magnético invierte su dirección. ¿Cuál es la carga total que pasa por la bobina?.
13) Una aleta de hélice gira con una rapidez constante en el campo magnético de la tierra,
la rotación ocurre en una región donde la componente del campo magnético
perpendicular al plano de rotación es de 2, 2 × 10− 5 T . Si la aleta tiene una longitud de
1,2 m y su velocidad angular es 15π rad / s. ¿Qué diferencia de potencial se desarrolla
entre sus extremos?.
14) Un campo magnético que esta dirigido entrando a la pagina y cambia con el tiempo
2
conforme a B = ( 0, 05t + 0 ) T , donde t esta en seg. El campo tiene una sección
transversal circular de radio R =0,05m, como se observa en la Figura 10.19. ¿Cuál es
la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P, cuando t =4s y r1=0,0m?
15) Una bobina circular de 500 espiras y radio 20cm esta girando alrededor de un
perpendicular a un campo magnético de 0,01T. ¿Qué velocidad angular producirá una
fem inducida máxima de 2 mV?.
16) Una espira única de alambre de forma cuadrada, con 10cm por lado se coloca entre
los polos de un electroimán. El campo magnético es 1,2 T y esta dirigido
126
perpendicularmente al plano de la espira. Calcular la fem inducida en la espira si el
campo se reduce a cero con velocidad uniforme en 2,4 seg.
17) Una bobina rectangular de 8cm de ancho por 12cm de longitud tiene 80 vueltas. ¿A
que velocidad debe girar en un campo de 0,8 T para que su voltaje máximo inducido
sea de 80V?.
18) Un disco conductor de radio 0,25m gira alrededor de un eje que pasa por su centro con
una velocidad angular de w = 10rad / s. Un campo magnético uniforme de 1,2T actúa
perpendicularmente al plano del disco (paralelo al eje de rotación). Calcule de
diferencia d potencial que se desarrolla entre la orilla y el eje del disco.
19) La bobina de encendido de un automóvil consiste de dos solenoides, de 2cm de
diámetro y 8cm de longitud. Uno conectado al acumulador de 12 V a través del
distribuidor tiene 20 vueltas y una resistencia de 2, 4Ω . El segundo solenoide se
devana sobre el primero y tiene 2400 vueltas. Cuando se abre el platino del
distribuidor, la corriente en el primer solenoide cae a cero en 3µ s. ¿Cuál es la fem
promedio inducida entre las terminales de la segunda bobina durante este intervalo de
tiempo?.
20) El conjunto de carriles horizontales y paralelos que se muestran en la Figura 10.20
esta dentro de una región de campo magnético B uniforme, con una magnitud de 0,05T
y dirigido a lo largo de la vertical y señalando hacia arriba. Cuándo una barra
metálica resbala a lo largo de los carriles hacia el oeste (izquierda) con una velocidad
de 10 m/s, a) ¿Cuál será la lectura del voltímetro conectado entre las terminales A y
B?, b) ¿y entre las terminales A’ y B’?.
127
TEMA XI
INDUCTANCIA
1.36 INTRODUCCIÓN
Como ya hemos estudiado las resistencias son causa de la perdida de energía y los
capacitores son los que almacenan la energía en un campo eléctrico y los inductores
almacenan la energía en un campo magnético. En este capitulo estudiaremos los inductores.
Los inductores sólo son activos cuando cambian las corrientes. Estos permiten un grado
fundamental de control de los circuitos, los circuitos eléctricos con inductores, capacitares y
resistores son análogos a osciladores armónicos amortiguados.
Cuando una corriente eléctrica atraviesa una bobina esta varía en el tiempo y
produce una fuerza electromotriz entre los terminales de la bobina misma. Este fenómeno
recibe el nombre de autoinducción y dicha fuerza electromotriz se denomina autoinducida.
Esta fuerza electromotriz autoinducida se encuentra relacionada con la rapidez de
variación de la corriente por medio de un término conocido como inductancia del circuito la
cual es constante para cada bobina que no presenta materiales ferromagnéticos en su
vecindad.
1.37 INDUCTANCIA
En todo circuito eléctrico cerrado en el que la corriente tenga alguna dependencia
con respecto al tiempo, se va a incluir una fuerza electromotriz adicional en el circuito.
Consideremos un circuito aislado, como se observa en la Figura 11.1 que está
formado por un interruptor que se cierra cuando t = o, un resistor y una fuente de fem
cuando cerramos el interruptor inducida se opone a la fuerza electromotriz de la batería y
desacelera el flujo de la corriente. El resultado es que las corrientes variables en los
circuitos originan efectos de inducción que tratan de reducir la rapidez de cambio de esas
corrientes.
La fem que se crea en estas condiciones se denominan fem autoinducida, la fem
autoinducida siempre es proporcional a la razón de variación de la corriente con respecto al
tiempo como el campo magnético que se establece alrededor de un alambre que conduce
una corriente I es proporcional a I, el flujo magnético a través de un circuito también es
proporcional a L (es la constante de proporcionalidad denominada inductancia). L depende
de la superficie determinada, o sea, de la geometría del circuito en el cual se induce la
fuerza electromotriz.
φm = LI
128
según la ley de Faraday:
E = −
dφ m
dI
= −L
dt
dt
La inductancia de una bobina de N vueltas es
Nφ m
I
L=
Estableciendo relación entre las ecuaciones anteriores obtenemos:
L=−
E
dI dt
La unidad SI de la inductancia es el envío (H)
1H = 1
volt.seg
Amp
Ejemplo:
Un solenoide con una sola capa de espiras tiene 6cm de longitud y 4cm de diámetro
y un total de 800 vueltas. Calcule la inductancia de esta bobina. Si la corriente aumenta con
una rapidez de 103 A/S calcule la ffem inducida durante ese periodo.
a)
el campo magnético dentro de un solenoide es:
B = µ 0 nI = µ 0
N
I
Ι
el flujo magnético a través del solenoide es:
φ m = BA = µ 0
AN
I
Ι
−7
donde µ 0 es la permeabilidad del espacio vacío ( 4π × 10 H / m ) y la inductancia es:
L=
( 4π × 10
−7
2
2
H / m ) π ( 2 × 10 − 2 m )  ( 800 )


( 6 × 10 − 2m )
L = 1, 68 × 10 −2 H
129
b)
la fuerza electromotriz inducida es:
E= −L
11.3
(
dI
= 1, 68 × 10− 2 H ( 103 A / s )
dt
E = −16, 8V
)
CIRCUITOS RL
Estudiaremos un circuito como se ve en la Figura 11.2, que consiste de una
inductancia, más resistencia en serie con una batería y un interruptor.
Si se cierra el interruptor, la corriente comenzará a crecer pero el inductor producirá
una fem que opone al aumento en la corriente. Por lo que podemos decir que el inductor
actúa como una batería cuya polaridad es opuesta a la batería real que hay en el circuito.
Esta fuerza contraelectromotriz se obtiene:
EL = −L
dI
dt
Esto produce una caída de potencial entre los puntos a y b a través del inductor y
donde el punto a está a un potencial mayor que el punto b.
Aplicando la ecuación de mallas de Kirchhoff.
E − IR − L
dI
= 0
dt
Donde I R es la caída de voltaje para encontrar una solución a esta ecuación
diferencial realizamos un cambio de variables.
x=
E
− I y dx = − dI
R
Sustituyendo:
X +
L dx
=0
R dt
dx
R
=−
dt
x
L
Integrando obtenemos:
130
Ln =
x
R
= −
t
x0
L
Tomando el antilogaritmo de este resultado:
x = x0 e − Rt
L
Como en t = o; I0 , entonces x0 =E/R, sustituyendo valores:
E
E − Rt
−I =
e
R
R
I =
E
(1 − e − Rt
R
L
L
)
Esta ecuación también se puede escribir así:
E
(1 − e− t
R
Donde ℑ es la constante de tiempo del circuito RL
I =
ℑ=
ℑ
)
L
R
Ejemplo:
Considera el circuito de la Figura 11.3, E = 12V, L = 12mH y R = 18 Ω , a) ¿Cuál es
la constante de tiempo inductiva del circuito?, b) calcule la corriente en el circuito en un
tiempo de 500 µ s después que se haya cerrado el interruptor S1 y c) ¿Cuál es el valor final
de la corriente de estado estacionario?
ℑ=
I =
L
12 ×10 −3 H
=
= 6, 67 ×10 −4 S
R
18Ω
E
R
(1 − e
−t / ℑ
12V
) = 18
(1 − e
Ω
−500×10 −6 / 6,67×10 −4
)
I = 0, 35 A
I max =
E
12V
=
= 0, 667 A
R
18Ω
131
11.4
ENERGÍA EN INDUCTORES
Un inductor es un componente que almacena energía n el campo magnético un
solenoide forma un inductor simple con inductancia fácil de calcular y tiene un campo
magnético uniforme en su interior.
Una batería debe efectuar un trabajo para hacer que una corriente pase a través de
un inductor. La cantidad que se efectúa es una medida de la energía almacenada en el
inductor.
P=
dw
dt
( potencia )
( potencia )
P = IEext
Igualando:
dw
= IEext
dt
Donde Eext es la fuerza electromotriz externa, y si la fuerza electromotriz externa y
el inductor son los únicos elementos del circuito, la primera debe ser igual, pero opuesta a
la fuerza electromotriz inducida en el inductor:
dw
dI
= LI
dt
dt
Si la corriente aumenta, la potencia es positiva la energía interna, Eul, del inductor
aumenta. Si la corriente decrece la potencia es negativa, la energía interna disminuye.
Entonces el cambio de energía. ∆ Eul , total de inductor se puede calcular integrando el
trabajo efectuado por la fuente externa al cambiar la corriente:
t2
∆
Eum =∫
t1
∆
Eum =
t
t
2
2
dw
dI
dt =∫LI
dt =L ∫IdI
dt
dt
t1
t1
1
1
2
LI 2
−
LI12
2
2
La energía del inductor es:
Eum =
1
LI 2
2
132
Ejemplo:
Un capacitor con C = 0, 02 µ F , tiene una carga de 15 µ C ¿Cuál es la
corriente estable equivalente que debe conducir un inductor de L = 20 µ H para que
almacene la misma cantidad de energía?.
Euc
1 Q2
1
=
=
2 C
2
Eul = Euc ⇒
I =
11.5
(15 ×10
−6
C)
2 ×10 −8 C
= 5, 63 ×10 −3 Joule
1
LI 2 = Euc ⇒ I =
2
2 (5, 63 ×10 −3 J
20 ×10
−6
H
)
2 Euc
L
= 23, 72 A
ENERGÍA EN CAMPO MAGNETICOS
Los elementos de circuito tienen una energía asociada con su campo magnético. El
solenoide ideal constituye una herramienta para determinar la densidad de energía en un
campo magnético, éste dentro de un solenoide es uniforme.
Como determinamos anteriormente la energía del inductor:
Eum =
1
LI 2
2
Recordando la ecuación de inductancia de un solenoide ideal:
I = µ0 AΙn 2
Y el campo magnético en el solenoide es proporcional a la corriente:
B = µ0 nI
Sustituyendo en la ecuación de energía del inductor las ecuaciones de L y B
obtenemos:
Eum =
1 B2
AΙ
2 µ0
133
Como el campo magnético es constante dentro del solenoide, podemos identificar la
densidad de energía (um) que es la energía por unidad de volumen del campo magnético,
como:
Um =
1 B2
2 µ0
3
La unidad de energía de un campo eléctrico es:
UE =
1
E0 E 2
2
Y la densidad de energía es la suma de las densidades de energía eléctrica y
magnética.
u = um + u E =

1  B2
+ E0 E 2 

2  µ0

Ejemplo:
Considera el circuito de la Figura 11.4, ¿Qué energía se almacena en el inductor
cuando la corriente alcanza su valor final del equilibrio después de que se ha cerrado el
interruptor?.
I =
Eum =
11.6
E
24V
=
= 3A
R
8Ω
1
1
ΙI 2 =
2
2
( 4 H )( 3 A )
2
= 18 J
INDUCTANCIA MUTUA
La interacción entre dos circuitos se conoce como inducción mutua. O sea cuando l
flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables
existentes en circuitos cercanos.
Veamos los dos circuitos de la Figura 11.5 la corriente I que pasa por el circuito 1 y
la corriente I2 por el circuito 2 generan un campo magnético. El flujo magnético generado a
través del área del circuito 1 es.
φm(1) = L1 I1 + M 12 I 2
134
Donde M12 es la inductancia neutra del circuito 1 debido al circuito 2 tanto L como
M12 dependen tan sólo de la geometría.
El flujo magnético a través d la espira 2 tiene un término proporcional a su propia
corriente y también uno proporcional a la corriente en la espira 1.
φm(2 ) = L2 I 2 + M 21 I 2
La fem inducida por inducción mutua en una bobina siempre es proporcional a la
razón de variación de la corriente en la otra bobina. Esto sugiere que las inductancias
mutuas son iguales:
M 12 = M 21 = M
La Ley de Faraday que expresa la fuerza electromotriz inducida se convierte en:
E2 = − M
dI1
dt
E2 = − M
y
dI 2
dt
Si las proporciones en las cuales las corrientes cambian con el tiempo son iguales
entonces se encuentran que E1 = E2.
La unidad de inductancia mutua también es el envió.
Ejemplo:
Dos bobinas adyacentes A y B tiene una inductancia mutua M = 30mH ¿Cuál es la
fem inducida en la bobina A como una función del tiempo cuando la corriente en la bobina
B se obtiene de la expresión I = 2 + 3t − t 2 , donde I esta en amperios y t está en
segundos?.
E = −M
dI 2
dt
E = ( 30 × 10 −3 H
11.7
d
) dt
( 2 + 3t − t ) ⇒ E = ( 0, 04 − 0, 06t ) V
2
OSCILADORES EN UN CIRCUITO L C
Analicemos el circuito mostrador en la Figura 11.6 cuándo cerramos el interruptor,
se producirán osciladores en la carga y corriente del capacitador. Si la resistencia del
circuito es despreciable no se dispara energía como calor por efecto Joule, la carga inicial
del capacitor es Qm y el interruptor se cierra t = 0.
135
Cuando el capacitor está completamente cargado, la energía total Eu en el circuito
2
se almacena en el campo eléctrico del capacitor ( Q m / 2C ) En este tiempo, la corriente
es cero y n hay energía almacenada en el inductor. A medida que el capacitor empieza a
descargarse, la energía almacenada en su campo eléctrico disminuye. Simultáneamente la
corriente aumenta y parte de la energía se almacena ahora en el campo magnético del
inductor.
Cuando el capacitor ha quedado completamente descargado no almacena energía.
En este tiempo la corriente alcanza su valor máximo y todas las energías se almacenan
ahora en el inductor. El proceso se repite entonces en la dirección contraria.
La energía continúa transfiriéndose entre el inductor y el capacitor en forma
indefinida y esta corresponde a oscilaciones en la corriente y en la carga. Consideramos un
tiempo t donde el capacitor y el inductor almacenan energía.
Eu = Euc + EuL =
Q2
1
+
LI 2
2C
2
Eu es la energía total almacenada en el circuito LC donde la resistencia del circuito
es nula y la energía total debe permanecer constante en el tiempo. al derivar la ecuación con
respecto al tiempo.
 Q dQ
dEu
d  Q2
1
dI
=
+ LI 2  =
+ LI
= 0

dt
dt  2C 2
dt
 C dt
como I = dQ / dt, sustituyendo:
LI
d 2Q
Q
+
=0
2
dt
C
d 2Q
1
=−
Q
2
dt
LC
Q = Qm cos (wt +8 )
Carga contra el tiempo del circuito LC donde Qm es la carga máxima del capacitor y
W la frecuencia angular de oscilación que depende únicamente de la inductancia y
capacitancia.
W =
1
LC
136
Como Q varía periódicamente la corriente también varía periódicamente, o sea:
I =
dQ
= − wQm sen ( wt + 8 )
dt
Que es la corriente contra el tiempo del circuito LC.
Las variaciones de q y de I con respecto al tiempo se obtienen mediante:
Q = Qm cos wt
I = −WQm sen wt = − I m senwt
Donde I m =WQm es la corriente máxima en el circuito.
En la Figura 11.7, se muestran las gráficas de Q y de I en función del tiempo, donde
podemos observar que cuando la carga alcanza un valor extremo la corriente es cero, y
cuando la carga es cero, la corriente adquiere un valor límite.
En análisis energético del circuito LC resulta que la energía total es:
Eu = Euc + Euc =
Q2m
LI 2 m
cos 2 wt +
sen 2 wt
2C
2
Como la energía, máxima almacenada en el capacitor debe ser igual en el inductor:
Q2m
1
=
LI 2 m
2C
2
Sustituyendo:
Eu =
Q2m
Q2m
2
2
cos
wt
+
sen
wt
=
(
) 2C
2C
Es conveniente recordar que la energía total Eu sólo permanece constante si es
desprecian las perdidas de energía.
Ejemplo:
En el capacitor es
(Q
2
/ 2C ) y la energía acumulada en el inductor es
2
1 2 LI , pero la energía total deja de ser constante yq que a causa del resistor se disipa
137
energía como calor por efecto Joule, la rapidez de la energía disipada a través de un resistor
es:
DEu
= − I 2R
Dt
Donde el signo negativo significa que Eu está disminuyendo con el tiempo.
Recordando que:
DEu
dI
Q dQ
= LI
+
Dt
dt
C dt
Igualando estas dos ecuaciones obtenemos:
dI
Q dQ
+
= −I 2 R
dt
C dt
Aplicando el concepto de que I = dQ / dt y dI = d 2Q / dt 2 obtenemos:
LI
d 2Q
dQ
Q
+R
+
=0
2
dt
dt
C
En este caso de que R es razonablemente pequeña, la solución de la ecuación es:
L
Q = Qm e − Rt / 2 L cos wdt
Un circuito LC del tipo que se muestra en la Figura 11.8, tiene una inductancia de
0.63mH y una capacitancia de 10pF. El capacitar se descarga a su valor máximo mediante
una batería de 24 V. Después se suprime la batería del circuito y el capacitor descarga a
través del inductor a) Si se desprecia toda la resistencia del circuito, determine el valor de la
corriente en el circuito oscilatoria. B) ¿A que frecuencia oscilará el circuito? C) ¿Cuál es la
energía frecuencia máxima almacenada en el circuito magnético del inductor?.
a )Qm = C .V = ( 10 × 10− 12 F ) ( 24V ) = 2, 4 × 10 − 10 C
I m = w.Qm =
b) f =
c ) Eu =
Qm
=
LC
2, 4 × 10 − 10 C
= 3, 02 × 10− 3 A
−3
− 12
( 0, 63 × 10 H ) ( 10 × 10 F )
w
1
1
=
=
= 2, 01× 106 Hz
−3
− 12
2π
2π ( 0, 63 × 10 H ) ( 10 × 10 F )
2π LC
2
1
1
LI 2 m = ( 0, 63 × 10− 3 H ) ( 3, 02 × 10− 3 A ) = 2,87 × 10− 9 J
2
2
138
11.8
CIRCUITO R C L
Es un circuito como el que es muestra en la Figura 11.9, cuándo se cierra el
interruptor del circuito y se establece una corriente en él, la energía almacenada donde:
Wd
2
 1
R)
(
=
−
LC
2L


1 2




Cuando se consideran grandes valores de R, se encuentra que las oscilaciones se
amortiguan mucho más rápido. Existe un valor crítico de la resistencia Rc por arriba del
cual no ocurren oscilaciones.
Rc =
4L C
Ejemplo:
Considera el circuito descrito en la Figura 11.10, ¿Cuál es el valor máximo del
resistor que una vez conectado en serie es L y C, permitirá que el circuito continúe
oscilando?
Rc =
4 L C = 4 ( 2, 81× 10 − 3 H ) / ( 9 × 10 − 12 F )
Rc = 35.339, 6Ω
11.9
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) La corriente e n un inductor de 10H varía con el tiempo según I = 2t 2 − 3t , donde I
está en A y t en seg. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en t = y t = 3 seg. b)
¿Para que valor de t la fem inducida será cero?.
2) Una corriente de 1 A pasa por un circuito completamente aislado. Un flujo magnético
de 0,01T.m2 pasa por el lugar del circuito. Cuando el circuito se coloca cerca de otro
que tiene 2 A de corriente, el flujo magnético a través del primer circuito aumenta a
0,012 T.m2. a) ¿Cuál es la inductancia mutua de los dos circuitos? b) ¿Cuánto flujo
magnético pasa a través del segundo circuito, cuya autoinductancia es 1mH?.
3) Dos bolívares se devana sobre el mismo núcleo toroidal de 10cm de radio promedio y
1,2cm de diámetro de su sección transversal. Una bobina tiene 400 vueltas y la otra
24000 vueltas. Fluye una corriente de 2 A por la de 400 vueltas cuando se conecta a
una batería de 12V. Si al abrir el interruptor se reduce esta corriente a cero en 20µ s,
¿Cuál es el fem inducida entre los extremos de la bobina de 2400 vueltas?.
139
4) Se tiene un toroide de sección transversal cuadrada. L radio del mismo, que es la
distancia del eje de simetría al centro del cuadrado, es 20cm; los lados del cuadrado
tienen 3cm. El toroide se devana con 1000 con 1000 vueltas de alambre. a) ¿Cuál es la
autoinductancia del toroide? b) ¿Cuál es la autoinductancia si el núcleo del toroide se
fabrica con hierro dulce, cuya µ = 2000 µ 0 ?.
5) Considere el circuito de la Figura 11.11, se toma E = 12V , L = 12mH y R = 18Ω . a)
¿Cuál es la constante de tiempo inductiva del circuito? b) Calcule la corriente en el
circuito en un tiempo de 500µ s después de que se haya cerrado el interruptor S 1. c)
¿Cuál es el valor final de la corriente de estado estacionario? d) ¿Cuánto tarda la
corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo?.
6) En el circuito RL de la Figura 11.12, se toma L = 4H; R=6Ω y E = 48V , a)
¿Cuál es el valor de la fem autoinducida , Vab,, 0.5 seg después de cerrar el
interruptor?.
7) Una batería para la cual E = 12V se conecta a un circuito RL en el que
L = 0.5H y R = 4Ω . Cuando la corriente ha alcanzado la mitad de su valor final, ¿Qué
fracción de a energía magnética total se ha almacenado en el inductor?.
8) Supóngase que la corriente máxima que puede conducir un alambre superconductor es
250 A. Un toroide tiene un radio promedio R = 20cm y el diámetro d bobina es de
2,5cm; se construye usando 500m de dicho alambre. ¿Cuánta energía se puede
almacenar en este toroide?.
9) Un ingeniero electricista forma un solenoide cilíndrico de 5cm2 área y 10cm de
longitud con 1000m de alambre delgado. El alambre maneja una corriente máxima de
100m A a) ¿Cuál es la inductancia del solenoide?, b) ¿Cuanta energía puede
almacenar el inductor?.
10) Una bobina de 2 H de inductancia y 10Ω de resistencia se conecta súbitamente a una
batería sin resistencia de E = 100V. a) ¿Cuál es la corriente de equilibrio?, b) ¿Cuánta
energía almacena el campo magnético cuando esta corriente circula en la bobina?.
11) Un alambre de cobre de Min 10 transporta una corriente de 10 A. Calcular: a) La
densidad de energía magnética y b) la densidad de energía eléctrica en la superficie
del alambre. El diámetro del alambre es de 0,10 p/g y su resistencia por unidad de
longitud es de 1Ω /1000 pies.
12) a) ¿Cuál es la densidad de energía del campo magnético fuera de un alambre recto de
radio a que conduce una corriente I?; b) ¿Cuál es la energía total por unidad de
longitud debida a ese campo magnético que está dentro de un cilindro de radio R
(R>a)centrado en el alambre?.
140
13) Una bobina de 20 espiras está enrollada sobre un solenoide largo como se ilustra en la
Figura 11.13. El solenoide tiene una sección transversal de 4 × 10− 3 m 2 , y está
devanado uniformemente con 1200 vueltas por metro de longitud. Calcule la
inductancia mutua de los dos devanados.
14) a) ¿Qué valor de capacitancia debe combinarse con un inductor de 80 mH para que
sea posible obtener una frecuencia de resonancia de 200 Hz?. b) ¿Qué intervalos de
tiempo transcurren entre acumulaciones de carga máxima del mismo signo en un placa
del capacitor?.
15) Un circuito RCL tiene R = 10Ω , L = 3mH y C = 10 µ F . a) Calcule el factor de
amortiguamiento y la frecuencia angular. b) Si la resistencia fuera variable, ¿Qué
valor de R daría un amortiguamiento critico?.
16) Un capacitor y una resistencia de 200Ω se conectan en serie y los terminales de una
fuente de 120V 60 Hz. La corriente en el circuito es de 0,20 A. Calcule la capacitancia
del capacitor.
17) El Interruptor del circuito de la Figura 11.14 se ha cerrado en cada tramo del circuito.
a) Cuál es la corriente en cada tramo del circuito, b) Cuándo se abre el interruptor la
corriente en el inducir baja en un factor de 3, en 5m seg. ¿Cuál es el valor de la
inductancia? c) ¿Cuánto vale la corriente que pasa en cada tramo a los 10m seg?.
18) a) ¿Cuáles son las corrientes a través de cada uno de los tres resistores de la Figura
11.15, inmediatamente después de haber cerrado el interruptor? b) ¿Cuáles son
después de un tiempo largo?.
19) La bobina toroidal de la Figura 11.16, consta de N espiras y tiene una sección
transversal rectangular. Sus radios interior y exterior son a y b respectivamente. a)
Demuestre que la autoinductancia de la bobina es:
µ0 N 2 h
L =
Ln (b a )
2π
b) Si a = 3cm, b = 5cm y h = 1cm ¿Cuál número de vueltas producirán una inductancia de
0.5 mH?.
20) Un solenoide de núcleo de aire tiene 0,5m de longitud consta de 1000 espiras y tienen
un área de sección transversal de 1cm2. a) deprecie los efectos de los extremos y
determine la autoinductancia. B) un segundo devanado enrollado alrededor del centro
del solenoide tiene 100 vueltas. ¿Cuál es la inductancia mutua?. c) En el segundo
devanado fluye una corriente constante de 1 A y el solenoide está conectado a una
carga de 103 Ω . Se interrumpe repentinamente la corriente constante. ¿Cuánta carga
fluye a través del resistor de carga?.
141
TEMA XII
CORRIENTES ALTERNAS
1.38
INTRODUCCIÓN
La fuerza automotriz inducida produce una corriente alterna, que es fuente de
potencia. Los generadores de CA convierten la energía mecánica del agua que cae, o del
vapor de agua a presión y caliente, en energía mediante turbinas, y son el punto inicial en el
suministro de la potencia eléctrica. A continuación describiremos los principios básicos de
los circuitos simples de corriente alterna.
También se investigara las características de los circuitos que contengan elementos
conocidos y que sean excitados por un voltaje aplicado senoidal. Al conectar resistores,
inductores y capacitadotes en circuitos con fuentes de fuerza electromotriz de corrientes
alterna, se hacen posibles corrientes y voltajes con nuevos comportamientos dependientes
del tiempo, se podrá ver que cuando el voltaje aplicado por el generador es senoidal, la
corriente en cada elemento también es senoidal, pero que no necesariamente esta en fase
con el voltaje aplicado. Los sistemas de este tipo presentan el fenómeno de la resonancia.
1.39
TRANSFORMADORES
Cuando se transmite energía eléctrica a través de grandes distancias, resulta
económico utilizar un voltaje alto y una corriente baja para reducir al mínimo las perdidas
I2 R por calentamiento en las líneas de transmisión. En el extremo receptor de tales líneas,
el consumidor requiere energía a un voltaje bajo y a una corriente alta para aplicarlo a
aparatos y maquinas accionadas por motor. El transformador de CA es un dispositivo que
se utiliza para elevar (o bajar) el voltaje V y la corriente I de CA sin que provoque cambios
apreciables en el producto I V.
El transformador de CA consta de dos bobinas de alambre devanadas alrededor de
un núcleo de hierro suave, como lo observamos en la Figura 12.1, la bobina de la izquierda,
y que esta conectada a la fuente de voltaje de entrada de CA y tiene N1 espiras, se denomina
devanado primario. La bobina de la derecha consta de N2 espiras, esta conectada a un
resistor de carga R1, y se llama devanado segundario.
A través del devanado primario se tiene una fuerza electromotriz de CA, ε 1 , con
amplitud V1
E1 = V1 sen ( wt )
(12.1)
Como E1 depende del tiempo, la corriente a través del devanado primario cambia, y hay un
flujo magnético que cambia a través de ella.
E1 = − L
dI1
dt
(12.2 ) ( Ley
de
Faraday )
142
Al mismo tiempo se induce una fuerza electromotriz, E2, a través del devanado
segundario. Esa fuerza electromotriz se induce debido a que la corriente variable en el
devanado primario produce un flujo magnético variable a través del devanado segundario.
Por lo que E2 depende de la inductancia mutua.
E2 = −M
dI1
Dt
(12.3)
Si sustituimos dI1 / dt de la ecuación (12.2)
E2
M
=
E1
L
(12.4 )
La relación M/L es constante, por lo tanto, E2 tiene la misma dependencia armónica
respecto al tiempo que E1.
La inductancia mutua de los devanados es un caso especial de inductancia mutua de
un solenoide y un anillo, de acuerdo con ella.
M = µ0 A
N1
N2
Ι1
(12.5 )
La autoinductancia en el devanado primario es:
L = µ0 A
M 12
Ι1
(12.6 )
Sustituyendo en la ecuación (12.4), las ecuaciones (12.5) y (12.6) tenemos:
E2
M2
=
E1
M1
(12.7 )
Como la dependencia de la CA con respecto al tiempo es idéntica en E 1 y en E2, la
ecuación que relaciona las amplitudes de voltaje en los devanados es:
V2
M2
=
V1
M1
(12.8 )
Cuando N2>N1, el transformador es de subida, y la amplitud de voltaje en el
devanado segundario es mayor que la del primero. Cuando M2<M1, el transformador es de
bajada, y la amplitud de voltaje en el devanado segundario es menor que en el devanado
primario.
143
Si el transformador tiene una construcción eficiente, o sea se reduce al mínimo toda
resistencia y no hay pérdidas por calentamiento de Joule, tenemos que:
I1 E1 = I 2 E2
(12.9 )
Si sustituimos en la ecuación (12.7), tenemos que:
I1
M2
=
I2
M1
(12.10 )
Ejemplo:
La corriente en el primario de un transformador ideal es de 6,5 A cuando el voltaje
en el primario es 96 V. Calcule el voltaje a través del segundario cuando una corriente de
0,8 A se entrega al resistor de carga.
V2 =
12.3
I1V1
6, 5 A.96V
=
= 780 A
I2
0, 8 A
ELEMENTOS INDIVIDUALES EN CIRCUITOS DE CA.
Resistores en un circuito de CA
Consideremos un circuito de CA constituido por un resistor y un generador de CA,
como se muestra en la Figura 12.2. A partir de la ecuación de Kirchoff.
Em sen ( wt ) − IR = 0
( 12.11)
Donde la caída del voltaje a través de un resistor es VR = IR = Em sen ( wt )
y la corriente a través de un resistor es:
IR =
Em sen ( wt )
VR
=
= I m sen ( wt )
R
R
(12.12 )
Donde Im es la corriente máxima de un resistor.
Im =
Em
R
(12.13)
Y la caída de voltaje a través del resistor es:
VR = I m Rsen ( wt )
( 12.14 )
144
La corriente que pasa, y la caída de voltaje en el resistor tienen la misma
dependencia senoidal con respecto al tiempo, como se puede observar en la Figura 12.3.
Por lo que se dice que están en fase.
Inductores en un circuito de CA
Reemplazamos del circuito anterior al resistor por un inductor, como lo observamos
en la Figura 12.4. Si VL es la caída de voltaje instantáneo a través del inductor, aplicando
Kirchoff se tiene:
V = VL =
dI
= Em sen wt
dt
(12.15 )
Para determinar la corriente que pasa por el inductor reformulamos la ecuación:
dI =
Em
sen ( wt ) dt
L
(12.16 )
Se integra esta ecuación:
IL =
Em
L
∫ sen ( wt ) dt
=
− Em
cos ( wt )
wL
(12.17 )
Utilizando la identidad trigonométrica cos ( wt ) = − sen ( wt − π 2 ) , la ecuación (12.17) nos
queda:
IL =
Em
sen( wt − π 2)
wL
(12.18 )
Podemos observar que la corriente esta fiera de fase respecto al voltaje por
π 2 rad , o 90o , por consiguiente para un voltaje senoidal aplicado, la corriente siempre
esta atrasada respecto del voltaje en 90º a través de un inductor, como se puede observar en
la Figura 12.5.
La corriente máxima a través del inductor es:
Im =
Em
wL
(12.19 )
Donde wL es la reactancia Inductiva.
X L = wL
(12.20 )
145
Utilizando las ecuaciones (12.15) y (12.19) determinamos la caída de voltaje
instantáneo a través del inductor.
VL = Em sen wt = I m X L sen wt
(12.21)
Capacitadores en un circuito de CA
Ahora conectamos al circuito estudiado un capacitador por inductor, como se
observa en la Figura 12.6,la regla de Kirchoff de malla, aplicada a esta circuito produce:
V = Vc = Em sen ( wt )
(12.22 )
Donde Vc es la caída de voltaje instantáneo a través del capacitor. Para calcular la
corriente, calculamos primero la carga Q, de la definición de capacitancia, Vc = Q/C,
sustituyendo este valor en la ecuación (12.22)
Q = C.Em sen ( wt )
(12.23)
Como I = dQ/dt, derivando la ecuación anterior (12.23):
IE =
dQ
= wCEm cos ( wt )
dt
(12.24 )
Donde IE es la corriente instantánea. Introduciendo la identidad trigonométrica
cos ( wt ) = sen ( wt + π 2 ) , la ecuación (12.24) puede expresarse:
I C = wCEm sen ( wt + π 2 )
( 12.25 )
Se puede observar que la corriente esta 90º fuera de fase respecto al voltaje que
existe a través del inductor, como se puede observar en la Figura 12.7, donde para una fem
senoidal aplicada, la corriente se adelanta al voltaje que existe a través de un capacitor 90º.
El valor máximo de la corriente en el circuito es:
I m wCEm
(12.26 )
Y la resistencia efectiva de un circuito capacitivo se llama reactancia capacitiva.
XC =
1
wC
(12.27 )
146
La caída de voltaje a través del capacitor se puede expresar como:
VC = I m Xcsen ( wt )
(12.28 )
Ejemplos:
1.- En el circuito simple de CA de la Figura 12.8, sea R = 40Ω ; Em = 120V , y la frecuencia
del generador f = 60Hz. Suponga que el voltaje a través del resistor V R =0 cuando t = 0.
calcule la corriente a través del resistor en a) t =1/240 seg y b) t = 1/180seg.
I1 =
ER
120V
sen wt =
sen 
2π 60 (1 2440 ) 
= 8, 2 × 10 −2 A


R
40Ω
I 2 ==
120V
−1
sen 
 2π 60 (1 180 ) 
 = 1,1× 10 A
40Ω
2.- Una corriente alterna de 10 A, valor máximo, en un solenoide, como se observa en la
Figura 12.9, de autoinductancia L = 250 m H, induce una fuerza electromotriz de 10 V,
valor máximo. ¿Cuál es la frecuencia angular de la corriente alterna?.
I =
W =
Em
Em
=
XL
wL
despejando
Em
10V
=
IL
10 A.250 ×10 −3 H
3.- El generador de un circuito de A puramente capacitivo, ver Figura 12.10, tiene una
frecuencia angular de 120π rad / s y Em = 110V . Si C = 6 µ F , ¿Cuál es
la corriente en el circuito en t = 7 / 480 seg ?.
I = WC
Em sen ( wt + π 2 ) = (120π rad / s ) ( 6 × 10− 6 F ) (110V
sen 
120π
12.4
( 7 / 480 ) + π
)
−2
2
 = 3,1× 10 A
CIRCUITOS DE CORRIENTES ALTERNA EN SERIE CON RCL
En la Figura 12.11, muestra un circuito serie compuesto por un resistor, un inductor,
un capacitor y un generador de CA. Este circuito representa comportamiento de resonancia.
Supongamos que la corriente senoidal en el circuito ha alcanzado un valor de estado
estacionario. Entonces el voltaje aplicado es:
V = Em sen ( wt + φ )
(12.29 )
147
Donde φ es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado y la corriente
varia según:
(12.30 )
I = I m sen wt
Estudiemos el circuito descrito, la corriente en este circuito en serie debe ser la
misma en cualquier instante y voltaje a través de cada elemento tendrá diferente amplitud y
fase como se indica en punto anterior (12.3). Por lo que podemos expresar la caída
instantánea de voltaje como:
VR = I m Rsen ( wt ) = VR sen ( wt )
VL
VC
(12.31)
= I m X L sen ( wt + π 2 ) = VL cos ( wt )
(12.32 )
= I m X C sen ( wt + π 2 ) = −VC cos ( wt )
(12.33)
Donde VR, VL y VC son los voltajes máximos a través de cada elemento.
(12.34 )
VR = I m R
VL = I m X L
(12.35 )
VC = I m X C
(12.36 )
El voltaje instantáneo V a través de los tres elementos es:
V = VR + VL + VC
(12.37 )
En el diagrama de la Figura 12.12, donde el fasor Im s utiliza para representar la
corriente en cada elemento. Observe que los fasores de voltaje VL y VC se encuentran sobre
la línea, y de aquí que sea posible construir el fasor diferencial, V L - VC, el cual es
perpendicular al fasor VE, como se puede observar en la Figura (), resolviendo obtenemos:
Em = V 2 R + ( VL -VC )
2
= I m R 2 + ( X L -X C )
2
(12.38 )
La corriente máxima es:
Im =
Em
R2 + ( X L − X C
)
2
148
Este valor R2 + ( X L − X C
)
2
se conoce como impedancia (Z):
Z = R2 + ( X L − X C )
2
( 12.39 )
Si se elimina el factor común Im de cada fasor, en la Figura 12.14, se puede construir
un triangulo de impedancia, como se muestra en la Figura 12.15.
X L − XC
R
Tanφ =
( 12.40 )
Cuando XL>XC, la corriente se retrasa respecto al voltaje aplicando
XL<XC la corriente se adelanta al voltaje
( −φ )
( +φ )
si
y cuando XL=XC la impedancia de CA es
igual a la resistencia y la corriente adquiere su valor máximo ( φ = 0 ) .
Ejemplo:
Un resistor R = 900Ω , un capacitor C = 0, 25µ F y un inductor L = 2,5 H,
están conectados en serie a través de una fuente de CA a 160 Hz para la cual Em = 140V .
Calcule: a) La impedancia del circuito; b) la máxima corriente entregada por la fuente; c) el
ángulo de fas entre la corriente y el voltaje; d) se atrasa o se adelanta la corriente respecto al
voltaje; e) los voltajes máximos a través de cada elemento.
a) Z = R 2 + ( X L − X C
X L = wL =
XC =
( 2π
f
)L
)
2
= 2π (160 Hz ) ( 2, 5 H
1
1
=
= 3.980, 9Ω
WC
2π (160 Hz ) ( 0, 25 ×10 −6 F )
Z = ( 900Ω ) + ( 2.512Ω − 3.980, 9Ω )
2
b) I m =
) = 2.512Ω
2
= 1.722, 7Ω
Em
140V
=
= 81, 3 × 10 − 3 A
Z
1.722, 7Ω
c )tgφ =
X L − XC
2.512Ω − 3.980, 9Ω
⇒ φ = artg
= − 58, 5º
R
900Ω
d) como XL<XC la corriente se adelanta con respecto al voltaje.
149
e)VR = I m R = 81, 3 ×10 −3 A.900Ω = 73,17V
VL = I m X L = 81, 3 ×10 −3 A.2.512Ω = 204, 23V
VC = I m X C = 81, 3 ×10 −3 A.3.980, 9Ω = 323, 65V
12.5
POTENCIA EN UN CIRCUITO DE CA
La potencia instantánea entregada por un generador de CA a cualquier circuito es el
producto de la corriente del generador y del voltaje aplicado, ya que la energía solo se
pierde en la resistencia de ese circuito, mientras que la energía que acumulan ya sea el
capacitor o l inductor no se pierde. Esta potencia instantánea se puede expresar como:
P = Iν = I m Em sen wt sen ( wt + φ
o
P = I 2R =
)
 Em cos ( wt − φ ) 2 


Z2
(12.41)
R
(12.42 )
Esta función es muy complicada y no es muy útil desde el punto de vista practicado,
es más importante conocer la potencia promedio disipada en el tiempo. Tomamos el
tiempo promedio P en uno o más ciclos, observando que I m , Em , φ y son constantes. Si
utilizamos la identidad trigonométrica sen ( wt + φ ) = se wt cos φ + cos wt senφ
y la sustituimos en la ecuación (12.41), obtenemos:
P = I m Em sen 2 wt cos φ + I m Em senwt cos wtsenφ
(12.43)
En esta ecuación se incluye el valor medio sen 2 wt = 1 2 , como se observa en la
Figura 12.16. El tiempo promedio del segundo termino de seta ecuación es idénticamente
wt cos wt = 1 2 cos 2 wt , cuyo valor medio es cero. Por lo
cero porque sen
que la potencia media es:
Pmed =
1
I m Em cos φ
2
( 12.44 )
Ciando se realizan menciones de voltaje y corrientes en circuitos de CA, los
instrumentos que se utilizan se calibran normalmente para leer valores rms (raíz cuadrático
medio). El valor rms o valor eficaz de cualquier cantidad que varia senoidalmente es
simplemente el valor máximo de esa cantidad dividido entre 2.
V 2 = Em 2 sen 2 ( wt + φ
)
voltaje instantáneo
(12.45)
150
1
V 2 med = Em 2  sen 2 ( wt + φ ) 
= Em 2
med
2
Vrms = ( v 2 )
I rms = ( I 2 )
med
med
=
=
( 12.46 )
Em
voltaje eficaz (rms)
2
(12.47)
Im
corriente eficaz (rms)
2
(12.48)
Pmed = I rmsVrms cos φ potencia media
(12.49)
La potencia media entregada por el generador se disipa como calor en el resistor.
Pmed = I 2 rms . R
(12.50 )
No hay potencia perdida en un inductor o capacitor ideal.
Ejemplo:
Un circuito serie RCL tiene una resistencia de 80Ω y un impedancia de 180Ω .
¿Qué potencia media será entregada a este circuito cuando Vrms = 120V ?.
Pmed = I 2 rms .R
Vrms =
Em
⇒ Em = Vrms
2
I rms =
Im
Em / Z
=
= 0, 67 A
2
2
2 = 169, 71V
pmed = I 2 rms .R = 35, 91w
12.6
RESONANCIA EN UN CIRCUITO SERIE R L C
Un circuito serie R C L esta en resonancia cuando la corriente alcanza su valor
máximo.
I =
E sen ( wt + φ
V
= m
Z
Z
)
corriente instantánea (12.51)
151
Sustituyendo la ecuación de la impedancia obtenemos:
Em sen ( wt + φ
I =
R2 +
)
2
XC )
( XL −
(12.52 )
Cuando XL = XC la corriente alcanza su valor máximo:
I =
Em sen ( wt + φ
R
)
(12.53)
Esto ocurre cuando la frecuencia es wo (frecuencia de resonancia), la cual se obtiene:
1
LC
W0 =
(12.54 )
Esta es igual a la frecuencia angular de oscilación de la inductancia y capacitancia, también
se puede calcular la potencia media como una función de la frecuencia.
Pmed =
V 2 rms Rw2
R w + L (w −W
2
2
2
2
)
02 2
( 12.55)
Cuando w = w0 la potencia media a máxima:
Pmed =
V 2 rms
R
(12.56 )
Cuando sintonizamos un aparato de radio, m TV, etc, lo que se hace al girar la
perilla sintonizadota es ajustar la frecuencia natural wo de un circuito interno hasta el valor
de la frecuencia w de la señal transmitida por la antena de la estación. Observemos la
grafica de la Figura 12.17, donde Q0 s el factor de calidad. Un circuito con alto Q 0 responde
a una gama muy angosta de frecuencia y uno de bajo Q0 tiene una respuesta a una gama de
frecuencias mucho más amplia. Como frecuentemente están presentes muchas señales
sobre un espectro de frecuencias, es importante diseñar un circuito con un alto -Q0, para
eliminar señales indeseables.
Q0 =
Donde
∆w =
R
L
w0
∆w
(12.57 )
(12.58 )
152
Sustituyendo Q0 =
w0 L
R
(12.59 )
Ejemplo:
Un circuito serie R C L tiene L=156 mH, C=0,2µ F y R = 88Ω , el
circuito sé excita mediante un generador con Em = 110V . Calcule: a) la frecuencia
resonante del circuito, b) el factor de calidad del circuito y c) el valor de la potencia media
máxima.
W0 =
Q0 =
1
= 5, 66 × 103 S −1
LC
w0 L
= 10, 03
R
(E
/
Pmed
V 2
= rms =
R
12.7
CIRCUITOS FILTROS
m
R
2
)
2
= 68, 75w
Se utilizan para modificar la variación de una señal con el tiempo, también se usan
para suavizar o eliminar voltajes que varían con el tiempo.
Observemos la Figura 12.18, el voltaje de entrada es Em sen wt . Como
nos interesan los valores máximos, entonces el voltaje máximo de entradas es:
Vent = I m Z = I m R 2 + (1 / wC )
2
(12.60 )
Y el voltaje máximo de salida se toma a través del resistor.
Vsal = I m R
La relación entre el Vsal y Vent es :
Vsal
R
=
2
Vent
R + (1 / wC )
153
Ahora si tomamos un circuito como el de la Figura 12.19, el voltaje máximo de
salida se toma a través del capaacitor:
Vsal = I m XC =
Im
wC
Y la relación entre el Vsal y Vent es:
Vsal
1 / wC
=
2
2
Vent
R + (1 / wC )
Ejemplo:
Considere el circuito de la Figura 12.20 con R = 1000Ω y C = 0, 01µ F .
Calcule la relación Vsal / Vent para, a ) w = 500 s − 1 y b) w = 5 × 106 s − 1.
a)
Vsal
R
=
= 5 × 10 −3
2
2
Vent
R + (1 / wa C )
b)
Vsal
R
=
=1
2
2
Vent
R + (1/ wb C )
12.8
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Cinco segundos después de haber cerrado el interruptor S de la Figura 12.21, el
potencial a través de la resistencia de 10M Ω es 25V. Calcule el valor de la
capacitancia C.
2) Un solenoide superconductor tiene una inductancia de 23H. La fuente de potencia
usada para energizar este solenoide puede suministrar una corriente de 120 A; el
voltaje máximo en las terminales de la fuente es 1,5 V. ¿Cuánto tiempo se necesitara
para tener el solenoide en su corriente garantizada de 120 A?.
3) Un capacitor y una resistencia de 200Ω se conectan en serie y con las terminales de
una fuente de 120 V y 60 Hz, la corriente en el circuito es 0,20 A. calcule la
capacitancia del capacitor.
4) Una fuente de voltaje de CA de 12V se conecta entre las terminales de un circuito en
serie R L, la corriente en el circuito s de 0,5 A y la potencia disipada en el es de 32w.
Si la frecuencia de la CA es de 60 Hz. ¿Cuáles son los componentes de resistencia e
154
inductancia de este circuito?. Calcule la disipación de potencia en el circuito cuando
la frecuencia de la fuente se cambia a 40Hz manteniendo el voltaje a 12V.
5) Para reducir el voltaje de 230V a 6,5V se utiliza un transformador. El número de
vueltas en el devanado segundario es de 132. ¿Cuántas vueltas debe haber en el
devanado primario?.
6) Un transformador de subestación se usa para reducir el voltaje desde 230.000 V hasta
4.600 V para distribución segundaria. ¿Cuál es la relación de vueltas para este
transformador?. Si pasa una corriente de 250A a través de la línea de 4.600V, ¿Cuál es
la corriente en la línea de 230.000V?.
7) En la Figura 12.22, la resistencia de R es 250Ω , L tiene una autoinductancia de 0,5 H
y resistencia nula, y C una capacitancia de 0, 02µ F . a) ¿Cuál es la frecuencia de
resonancia del circuito?, b)si e condensador solo puede resistir un voltaje máximo de
350 V, ¿Cuál puede ser el voltaje efectivo máximo entre los bornes del generador para
la frecuencia d resonancia?.
8) Un circuito absorbe 330w de una línea de corriente alterna a 110 V y 60 Hz. El factor
de potencia es 0,6 y la corriente esta retardada respecto al voltaje. a) Hallase la
capacidad de un capacitador conectado en serie que proporcione un factor de potencia
igual a la unidad. b) ¿Qué potencia se absorberá entonces de la línea?.
9) En el circuito simple de CA de la Figura 12.23, R = 30Ω . si
VR = 0, 25 Em en t = 0, 002 seg ., ¿Cuál es la frecuencia angular del generador?;
¿Cuál es el próximo valor en t para calcular VR será 0,25 Em?.
10) El voltaje máximo en el circuito de la Figura 12.24, es 110 V, y la frecuencia de
oscilación es de 60 Hz. Calcule la corriente máxima y las caídas máximas de potencial
a través del resistor, capacitor e inductor.
11) Un resistor de 80Ω y un capacitor de 4µ F se conecta en serie con una fuente de
poder de 220V, 60Hz. Calcule la corriente, potencia y factor de potencia. ¿Cómo
cambiaria los valores cuando se conecta una inductancia de 0,40H en serie con el
circuito?.
12) Se tiene en circuito de la Figura 12.25, la fuerza electromotriz tiene una amplitud
Em = 12V , y una frecuencia de 1000 Hz; L = 20mH , C1 = 25µ F . Calcule a) la corriente
máxima, b) la frecuencia de resonancia; c) el voltaje instantáneo máximo a través de
cada capacitor, d) el voltaje instantáneo máximo a través del inductor.
13) Un circuito de CA suministra Vrms = 110V a 60 Hz a un resistor de 5Ω , un capacitor
de 40 µ F y un inductor de autoinductancia variable, entre 5mH y 200mH; todos ellos
155
en serie. El capacitor debe resistir un voltaje máximo de 800V. a) ¿Cuál es la corriente
máxima posible que no dañe el capacitor?, b) ¿A que valor puede aumentar con
seguridad la autoinductancia?.
14) Una línea de transmisión de CA transfiere energía con un ritmo Prom. = 5Mw desde
una planta generadora hasta una fabrica. a) ¿Cuál es la corriente en la línea si el
voltaje de transmisión Vrms es de 120V? ¿Si Vrms = 80 Kv ?; b) ¿Cuál es la relación
entre las perdidas térmicas (Joule) de energía en ambos casos? (Suponer que el factor
de potencias cos φ = 1. )
15) En cierto circuito serie RCL, I rms = 6 A;Vrms = 240V y la corriente se adelanta al voltaje
53º, a) ¿Cuál es la resistencia total del circuito?; b) Calcule la reactancia del circuito
(XL-XC).
16) Una bobina de resistencia 20Ω e inductancia 10,2 H esta en serie con un capacitor y
una fuente de 100Vrms, 60Hz. LA corriente en el circuito es de 5 A (rms). a) Calcule la
capacitancia del circuito; b) ¿Cuál es el valor de Vrms a través de la bobina?.
17) R = 1000Ω y C = 0, 01µ F , en el circuito de la
V .sal./ V .ent. para; a ) w = 50 seg − 1 y b) w = 5 × 105 seg − 1.
Figura
12.26.
Calcule
−1
18) En un circuito serie de CA, R = 21Ω , L = 25mH , C = 17 µ F , Em = 150V y w = 2000 / π seg .
a) Calcule la corriente máxima en el circuito; b) Determine el voltaje máximo a través
de cada uno de los elementos; c) ¿Cuál es el factor de potencia del circuito?.
19) Para
cierto
E = 400
circuito
3
serie
RCL,
R = 100Ω , I = 2 3 sen ( 200t + φ
sen ( 200t ) V y Xc =
) A,
3 × 10 2 Ω
Encuentre: a) la
impedancia, b) la reactancia inductiva del circuito y c) el ángulo de fase.
20) Un resistor de 80Ω , un inductor de 200mH y un capacitor de 0,15µ F ( rms ) , están
conectados en paralelo a través de una fuente de 120V( rms ) que opera a una frecuencia
angular de 374 seg − 1 , a) ¿Cuál es la frecuencia resonante del circuito; b) Calcule la
corriente rms en el resistor, inductor y capacitor; c) ¿Cuál es la corriente rms
entregada por la fuente?; d) ¿La corriente se adelanta o atrasa respecto del voltaje?,
¿Qué ángulo?.
156
ANEXO 1
CAMPOS
CARGAS
Y
POTENCIALES
Configuración de cargas
ELECTRICOS PARA DIVERSAS
Magnitud del campo eléctrico
CONFIGURACIONES DE
Potencial eléctrico
Ubicación
del
potencial
eléctrico
Carga puntual
q
4π ∈ 0 r 2
q
4π ∈ 0 r 2
Línea infinita de densidad uniforme
λ
2π ∈ 0 r
λ
r
In
2π ∈ 0 r a
σ
∈0
∆ V = − Ed = −
r= a
de carga,
∞
λ
Placas paralelas con carga opuesta,
densidad uniforme de carga
σ
σd
∈0
En cualquier
lugar
separación d
Disco cargado de radio R, a lo
Q
2π ∈ 0


r 
de radio R
r ≥ R:
Q
4π ∈ 0 r 2
Dipolo eléctrico
Lejos, sólo a lo largo de la
mediatriz:
largo del eje a una distancia x
R2 + x2 − x 

R 2 + x 2 
Q
2π ∈ 0 r
(
R2 + x2 − x
)
∞
Cascarón esférico cargado,
P
4π ∈ 0 r 3
Q
4π ∈ 0 r
∞
Lejos, en cualquier lugar:
∞
r > R:
P cos θ
4π ∈ 0 r 2
Anillo cargado de radio R,
Qx
a lo largo del eje
4π ∈ 0 ( R + x
2
)
2 32
Qx
4π ∈ 0
R2 + x2
∞
Esfera maciza no conductora,
157
uniformemente cargada con radio R
r ≥ R:
r < R:
Q
4π ∈ 0 r 2
Qr
4π ∈ 0 r 3
r ≥ R:
Q
4π ∈ 0 r 2
∞
r < R:
Q 
r2 
 3− 2 
8π ∈ 0 
R 
∞
ANEXO 2
PROPIEDADES DIELECTRICAS DE ALGUNOS MATERIALES
Material
Constante Dialéctica K
Rigidez Dieléctrica
Emáx ( 106 V m )
Vacío
1.0
Aire
1.0005
3
Parafina
2.0-2.5
10
Teflón
2.1
60
Poliestireno
2.5
24
Lucite
2.8
20
Mylar
3.1
Plexiglas
3.4
40
Nylon
3.5
14
Papel
3.7
16
Cuarzo Fundido
3.74-4.1
Pirex
4-6
14
Baquelita
4.9
24
Caucho de neopreno
6.7
12
Silicio
12
Germanio
16
Agua
80
Titanio de estroncio
332
8
158
•
Los valores para algunos materiales dependen de mucho de la temperatura y de la
frecuencia, cuando los campos son oscilantes.
ANEXO 3
RESISTIVIDADES
CONDUCTIVIDADES Y
Material
temperatura
COEFICIENTES
C)
DE
TEMPERATURA
(a 20º
Resistividad
Conductividad,
Coeficiente
ρ ( Ω .m )
σ ( Ω .m )
α ( ºC)
−1
−1
Conductores
Elementos
Aluminio
2.82 × 10− 8
3.55 × 107
0.0039
Plata
1.59 × 10− 8
6.29 × 107
0.0038
Cobre
1.72 × 10− 8
10.0 × 10− 8
5.6 × 10− 8
10.6 × 10− 8
5.81× 107
1.0 × 107
1.8 × 107
1.0 × 107
0.0039
0.0050
0.0045
0.0039
100 × 10− 8
44 × 10− 8
7 × 10− 8
0.1× 107
0.23 × 107
1.4 × 107
0.0004
0.00001
0.002
3.5 × 10− 5
0.46
640
2.9 × 104
2.2
1.6 × 10− 3
− 0.0005
− 0.048
− 0.075
Hierro
Tungsteno
Platino
Aleaciones
Nicromo
Manganina
Latón
Semiconductores
Carbón (grafito)
Germanio (puro)
Silicio (puro)
159
Aisladores
Vidrio
Hule de neopreno
Teflón
10− 10 a 1014
109
1014
10− 14 a 10− 10
10− 9
10− 14
ANEXO 4
160
ANEXO 5
ALGUNAS CONSTANTES
FÍSICAS FUNDAMENTALES
Constantes
Error
Símbolo
Velocidad de la luz en el vacío
c
2.99792458 × 108 m s
G
6.67259 × 10− 11 m3 kg .s 2
NA
6.02214 × 1023 mol − 1
exacta
Constante gravitacional
Valor
128
Número de Avogadro
0.6
161
R
8.31451 J mol.K
k
1.38066 × 10− 23 J K
e
1.60218 × 10− 19 C
ε0
8.85418781762 × 10− 12 C 2 / N .m 2
1 4π ε 0
µ0
8.987552 × 109 kg .m3 .s − 2 .C − 2
me
9.10939 × 10− 31 kg
mp
1.67262 × 10− 27 kg
mn
1.67493 × 10− 27 kg
Constante de Planck
h
0.6
h 2π
0.6
6.62608 × 10− 34 J .s
h
1.05457 × 10− 34 J .s
Constante universal de los gases
8.4
Constante de Boltzmann
8.5
Carga elemental
0.3
Permeabilidad del espacio vacío
exacta
Permeabilidad del espacio vacío
exacta
Masa del electrón
4π × 10− 7 T .m / A
0.6
Masa del protón
0.6
Masa del neutrón
0.6
= 6.58212 × 10− 22 MeV .s
0.3
hc
197.327 Mv. fm
− e me
− 1.75882 × 1011 C / kg
m p / me
1836.15
0.3
Relación carga a masa del electrón
0.3
Relación masa protón a electrón
0.15
Volumen molar del gas ideal en
condiciones normales
22414.1cm3 / mol
8.4
Magnetón de Bohr
µB
9.27402 × 10− 24 J / T
φ 0 = h 2e
2.067783 × 10− 15Wb
a0
0.529177 × 10− 10 m
0.3
Cuanto de flujo magnético
0.3
Radio de Bohr
0.05
162
Constante de Rydberg
R∞
1.09737 × 107 m − 1
0.001
163