UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Existencia de Soluciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN
Existencia de Soluciones Regulares Periódicas
para una Clase de Sistemas Parabólicos no
Lineales
Dionicio Orlando Moreno Vega
Resolución Rectoral No 895-2010-R
(01-07-2010 al 30-06-2011)
A Lic. Shila Antuanett Neciosup Salas
AGRADECIMIENTO
En éste trabajo, agradezco principalmente a Dios y deseo manifestar mi
gratitud a las siguientes personas:
A la señora Susana Rivas Huash, por su amistad y por el apoyo incondicional.
A los profesores de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
A los amigos de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la
Universidad Nacional del Callao en especial al Tercio Estudiantil de la
FCNM.
Callao, Dionicio O. Moreno Vega
Índice general
Resumen
1
1. Introducción
2
2. Marco Teórico
2.1. Funciones de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Espacio de las Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Propiedades Generales de las Distribuciones Periódicas.
2.4. Espacios de Sobolev H s (T) . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
9
.
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3. Existencia Local de Soluciones Suaves
13
4. Existencia global de soluciones suaves
35
Materiales y Métodos
44
Resultados
45
Discusión
46
Bibliografı́a
47
ii
Resumen
Existencia de Soluciones Regulares Periódicas para una Clase de Sistemas
Parabólicos no Lineales
Dionicio Orlando Moreno Vega
En este trabajo estudiamos la existencia y unicidad de soluciones suaves para
una clase de sistemas parabólicos no lineales de la forma
ut + f (u)x = Duxx , x ∈ R, t > 0
(1)
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R
(2)
donde u : R × R+ → Rn es una función desconocida, D es una matriz diagonal con autovalores positivos y f : Rn → Rn es una función de clase C 3 .
Los resultados de existencia de soluciones periódicas del problema se obtiene usando el teorema del punto fijo en espacios de Banach.
Palabras claves:Sistema de ecuaciones diferenciales parciales, solución
fundamental de la ecuación del calor, soluciones locales, teorema del punto
fijo, funciones de entropı́a, soluciones globales.
1
Capı́tulo 1
Introducción
Este trabajo esta basado en un artı́culo de Hoff y Smoller, [3] sobre problemas parabólicos no lineales con aplicaciones en la dinámica de los gases.
Siguiendo el método usado en el artćulo demostrala existencia global de soluciones suaves periódicas de periódo 2π esto es, soluciones definidas en todo
t ≥ 0, para una clase de sistemas parabólicos de la forma
ut + f (u)x = Duxx , x ∈ R, t > 0,
(1.1)
con datos iniciales
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,
(1.2)
donde u = (u1 , u2 , · · · , un ), D es una matriz diagonal con autovalores positivos y f : Rn → Rn es una función de clase C 3 .
Una de las motivaciones para el estudio de este problema es la aplicación
de los resultado de los resultados en las ecuaciones de la dinámica de los gases.
De acuerdo a Smoller [5], cap. 14, para obtener soluciones globales de
una cierta clase de problemas parabólicos no lineales, la hipótesis natural
es suponer que elPsistema admite regiones acotados invariantes, esto es, regiones acotadosP en el espacio de fase, con la propiedad deP
que si el
Pdato
inicial está en
entonces la solución permanece siempre en . Ası́
impone una acotación a priori en la norma del supremo de la solución, lo que
permitirá que las soluciones locales sean extendidas para todo t ≥> 0. En
general, esta técnica no se aplica para las ecuaciones de la dinámica de los
gases con términos disipativos de viscosidad y conductividad térmica, pues
puede existir regiones invariantes para estas ecuaciones y estas regiones son
2
generalmente no acotadas, y ası́ no podemos concluir que las soluciones locales sean acotadas apriori. Para un teorema de existencia de solución global
condiciones adicionales serán necesarias.
En el capı́tulo 3, demostraremos la existencia local de soluciones, usando
el teorema del punto fijo de Banach, cuando u0 ∈ L∞ (T) y ku0 kL∞ (T) = r0 <
r.
En el capı́tulo 4, extenderemos estas soluciones globalmente suponiendo,
como condición adicional, que existe un par de funciones de entropı́a para la
función f . Son estas funciones de entropı́a que permitirán obtener cotas para
la solución local y sus derivadas.
3
Capı́tulo 2
Marco Teórico
2.1.
Funciones de Prueba
Sea ]a, b[⊆ R un intervalo abierto. Denotaremos por E(]a, b[) o C ∞ (a, b)
al conjunto de las funciones infinitamente diferenciables sobre ]a, b[, E(]a, b[)
es un espacio de Frechet con la topologia de convergencia uniforme de funciones, junto con todas sus derivadas, sobre subconjuntos compactos de ]a, b[.
Sea u :]a, b[→ R una función escalar. El soporte de u es el cerrado en ]a, b[
del conjunto {x ∈]a, b[: u(x) 6= 0}, y es denotado por supp(u).
Observación 1. El soporte de u es el menor conjunto cerrado fuera del cual
u = 0 en el siguiente sentido:
i) supp(u) es cerrado en ]a, b[ y u = 0 en ]a, b[−supp(u).
ii) Se W es un conjunto cerrado de ]a, b[ y u = 0 en ]a, b[−W entonces
supp(u) ⊂ W.
Por C0∞ (a, b) se denotará el espacio vectorial de todas as funciones con soporte
compacto en ]a, b[ que posee derivadas continuas de todos los ordenes en ]a, b[.
Decimos que una suscesión (ϕk )k∈N de elementos de C0∞ (a, b) converge para
ϕ ∈ C0∞ (a, b) si, y solo si,
i) Existe un compacto fijo K de ]a, b[ tal que todos los soportes de los ϕk , k ∈
N estan contenidos en K.
ii) La sucesión (ϕk )k∈N converge para ϕ uniformemente en K, juntamente
con todas las derivadas de todas los ordenes.
El espacio vectorial C0∞ (a, b) con esta noción de convergencia se denota por
D(a, b) y se denomina el espacio de las funciones de prueba en ]a, b[.
4
Observación 2.
i) La convergencia en D(a, b) será denotado por ϕk → ϕ.
ii) el operador
2.2.
dm
dxm
: D(a, b) → D(a, b) es continuo.
Espacio de las Distribuciones
Se denomina distribuición sobre ]a, b[, a toda forma T sobre D(a, b)
contı́nua en el sentido de la convergencia definida em D(a, b); esto es, una
distribuición es una aplicación
T : D(a, b) → R
ϕ
7→ T (ϕ)
tal que
i) T (α1 ϕ1 +α2 ϕ2 ) = α1 T (ϕ1 )+α2 T (ϕ2 ); (∀ α1 , α2 ∈ R, ∀ ϕ1 , ϕ2 ∈ D(a, b)).
ii) T es contı́nua, esto es, si (ϕk )k∈N ⊆ D(a, b) converge para ϕ en D(a, b).
Entonces (T (ϕk ))k∈N converge para T (ϕ) en R.
Consideremos el espacio de todas las distribuciones sobre ]a,b[. En este espacio una sucesión (Tk )k∈N converge para T y denotaremos por Tk → T si,
y solo si, a sucesión (Tk (ϕ))k∈N converge para T (ϕ) en R; para todo ϕ en
D(a, b).
El espacio de las distribuciones sobre ]a, b[, con esta noción de convergencia,
será denotado por D 0 (a, b). El valor de la distribución T en ϕ se denotará tambiém por hT, ϕi (dualidad entre D 0 (a, b) y D(a, b))
Diremos que una distribución se anula en un abierto O si para todo φ ∈
D(a, b) tal que suppφ ⊂ O tenemos que T (ϕ) = 0. Denotaremos por Ω0 el
mayor abierto donde la districión T se anula. El conjunto cerrado ]a, b[−Ω0
es llamado soporte de la distribución, e es denotado por supp(T ); concluı́mos
que si existe un cerrado F tal que T se anula en ]a, b[−F , entonces
supp(T ) ⊂ F.
Teorema 1. Sea F ∈ D 0 (a, b) una distribución con soporte compacto entonces F se extiende de modo único a una funcional lineal contı́nua sobre
E(]a,
b[); y si G es una funcional lineal contı́nua sobre E(]a, b[) entonces
GD(a,b) es una distribución con soporte compacto; esto es,
E 0 (]a, b[) ∼
= {T ∈ D 0 (a, b) : T es una distribución con soporte compacto}.
5
Demostración. Veja [6].
Derivada Distribucional
Sea T ∈ D 0 (a, b) se denomina derivada de orden m de T a la distribución
dm
T definida por
dxm
h
dm
dm
m
T,
ϕi
=
(−1)
hT,
ϕi; (∀ ϕ ∈ D(a, b)).
dxm
dxm
Se sigue que, cada distribución T sobre ]a, b[ posee derivadas de todos los ordenes. Se Observa tambiém, que a derivación en sentido de las distribuciones
es una operación contı́nua en D 0 (a, b).
Traslación de las Distribuciones.
Sea ϕ ∈ D(R), h ∈ R. La traslación τh ϕ de ϕ por h es definido por τh ϕ(x) =
ϕ(x − h). Definiremos entonces la traslación τh T de una distribución T por
h por la fórmula
τh T (ϕ) = T (τ−h ϕ).
Observación 3. Si f ∈ L1loc (R), entonces τh f = g ⇔ τh (Tf ) = Tg donde Tf
y Tg son respectivamente distribuciones definidas por f y g.
2.3.
Propiedades Generales de las Distribuciones Periódicas.
En lo que sigue, periódica, significa una función periódica de perı́odo 2π.
Definición 1. Decimos que una distribución F es periódica (de perı́odo 2π)
si τλ F = F, para todo λ ∈ 2πZ.
Denotaremos por D 0 (T) al conjunto de las distribuciones periódicas, y es un
subconjunto de D 0 (R). Sea
P(T) = D 0 (T) ∩ E(R).
Un elemento de P(T) es una función periódica indefinidamente diferenciable. La convergencia en el espacio P(T) es definida como sigue: una sucesión
(θν )ν∈N es dicha convergente en P(T) para una función limite θ; si cada
(k)
θν ∈ P(T) y si para cada entero no negativo k la sucesión (θν ) converge
a θ(k) uniformemente; luego se sigue que a función limite θ ∈ P(T) y, por
tanto, P(T) es cerrado con esta convergencia.
6
Transformación Periódica de una Distribución con soporte compacto.
Definición 2. Sea ϕ ∈ D(R). Definimos
X
w̃ϕ =
τλ ϕ.
(2.1)
λ∈2πZ
Se observa que, sobre cualquier intervalo acotado existe solo un número finito
de terminos no nulos en esta suma; teniendo en vista que ϕ tiene soporte
acotado. Ası́ podemos derivar término a término para obtener
X
(w̃ϕ)(k) (x) =
(τλ ϕ)(k) (x),
(2.2)
λ∈2πZ
por tanto w̃ϕ es una función periódica de clase C ∞ llamada transformación periódica de la función ϕ. Además, si (ϕν )ν∈N converge en D(R) para
ϕ y si relacionamos cada ϕν a una θν en P(T) por (2.1), entonces (θν )ν∈N
converge en P(T) para θ.
Sea ahora T una distribución de soporte compacto, definimos
hw̃T, ϕi = hT, w̃ϕi,
(ϕ ∈ D(R)),
la forma lineal w̃T , definida sobre D(R) es llamada transformación periódica
de la distribución T .
Proposición 1.
i) La aplicación lineal w̃ envia continuamente D(R) en E(R) y E 0 (R) en
D 0 (R).
ii) Para todo T ∈ E 0 (R), la distribución w̃T es periódica. Además,
w̃(τλ T ) = τλ (w̃T ) = w̃T ; (λ ∈ 2πZ),
iii) Para todo F ∈ D 0 (T) y todo ψ ∈ D(R), tenemos
w̃(ψF ) = F (w̃ψ).
Para todo f ∈ P(T) y todo T ∈ E 0 (R), tenemos
w̃(f T ) = f (w̃T ).
Demostración. Veja [7].
7
Partición Periódica en D(R) de la unidad.
Llamamos partición periódica en D(R) de la unidad a una función θ ∈ D(R)
de modo que
w̃θ = 1.
(2.3)
Afirmamos que existe una partición periódica en D(R) de la unidad. En
efecto, sea ψ una función positiva sobre R, no nula sobre 2I, onde I =]0, 2π[
ψ
y perteneciendo a D(R). Poniendo θ =
como w̃ψ es periódica estrictaw̃ψ
mente positivo, θ es un elemento de D(R); por otro lado, w̃ψ siendo periódica
tenemos despues de la proposición anterior (iii)
w̃θ =
1
w̃ψ = 1.
w̃ψ
Sobre cualquier intervalo acotado el número de terminos no nulos sobre el
lado izquierdo de (2.3) es finito porque θ tiene soporte acotado. Consequentemente, podemos diferenciar termono a termino para obtener
X
(τλ ϕ)(k) (x) = 0 (k = 1, 2, 3, . . .).
(w̃θ)(k) (x) =
λ∈2πZ
Observamos que si f ∈ P(T) y θ es una partición de la unidad, entonces
θf está en D(R). Ademas, si a sucesión (fν )ν∈N ⊆ P(T) converge en P(T)
para f , entonces la sucesión (θfν )ν∈N converge en D(R) para θf .
Lema 1 (Lema de sobreyectividad).
i) Toda función periódica de clase C ∞ es la transformación periódica de una
función de clase C ∞ con soporte compacto.
ii) Toda distribución periódica es una transformación periódica de una distribución de soporte compacto.
Demostración. Veja [7].
Dualidad entre P(T) y D 0 (T).
Denotaremos por P 0 (T) al conjunto de las formas lineales continuas sobre
P(T); el valor de L ∈ P 0 (T) en el punto f ∈ P(T) será denotado por
hL, f iT .
Teorema 2 (Teorema de Dualidad). Los espacios vectoriales topológicos
P 0 (T) y D 0 (T) son isomorfos (algebraicamente y topológicamente).
Demostración. Veja [7].
8
Expresión de Dualidad entre D 0 (T) y P(T).
Proposición 2. Identificando D 0 (T) con P 0 (T), entonces la dualidad entre
D 0 (T) y P(T), se expresa por
hF, f iT = hT, f i; (F ∈ D 0 (T), f ∈ P(T)),
donde T es una distribución con soporte compacto cuya transformación periódica es igual a F .
Demostración. Veja [7].
Observación 4.
i) Para toda distribución periódica F podemos considerar siempre como una
transformación periódica de una cierta distribución de soporte compacto, por el lema de sobreyectividad es preferible escribir
hw̃T, f iT = hT, f i.
ii) Si F es una función periódica localmente integrable, entonces podemos
considerar T = 2πI F (I =]0, 2π[); consequentemente,
Z
1
hF, f iT =
F (x)f (x)dx.
2π I
2.4.
Espacios de Sobolev H s(T)
Denotaremos por L2 (T) al conjunto (clases) de funciones definidas sobre
R (de perı́odo 2π) localmente cuadrado integrable sobre R,
L2 (T) = P(T) ∩ L2loc (R).
Unimos L2 (T) de la topologia inducida por la de L2loc (R); esta topologia es
equivalente a una otra definida por el siguiente producto escalar
Z
1
f (x)g(x)dx (I =]0, 2π[).
(f, g)T =
2π I
Proposición 3. Unido de la estructura pre-hilbertiana, el espacio L2 (T) es
completo.
Demostración. Vea [7].
9
Definición 3. Sea s ∈ R. Por H s (T) denotamos el espacio de todas las
funciones f ∈ L2 (T) con la siguiente propiedad
+∞
X
(1 + m2 )s |am |2 < ∞,
m=−∞
para los coeficientes de Fourier am de f . El espacio H s (T) es llamado un
espacio de Sobolev.
En el caso s = 0, obtemos un espacio de Hilbert que es isometricamente
isomorfo a L2 (T).
Teorema 3. H s (T) es un espacio de Hilbert con el producto escalar definido
por
∞
X
(1 + m2 )s am bm ,
(f, g)s =
m=−∞
s
para f, g ∈ H (T) con coeficientes de Fourier am y bm , respectivamente.
Note que la norma sobre H s (T) es dado por
|||f |||s = {
∞
X
1
(1 + m2 )s |am |2 } 2 .
m=−∞
Demostración. Vea [9].
Definición 4. Sea X y Y dos espacios de Banach. El operador T : D(T ) ⊆
X → Y es llamado compacto si, y solo si,
i) T es contı́nuo;
ii) T lleva conjuntos acotados en conjuntos relativamente compactos.
Definición 5. Sean X y Y dos espacios de Banach sobre R con X ⊆ Y , y
el operador de inmersión
j: X → Y
u 7→ j(u) = u.
i) La inmersión X ⊆ Y es llamada contı́nua, denotado por X ,→ Y si, y
solo si, j es contı́nua, esto es,
||u||Y ≤ const||u||X ; (para todo u ∈ X).
10
(2.4)
ii) La inmersión X ⊆ Y es llamada compacto, denotado por X ,→,→ Y si,
y solo si, j es compacto, esto es, (2.4) es verdadero, y cada sucesión
(un ) acotada en X posee una subsucesión (un0 ) el cual es convergente
en Y.
Proposición 4. Sean X, Y, Z tres espacios de Banach sobre K. Entonces, si
la imersión X ⊆ Y y Y ⊆ Z son contı́nuas, X ⊆ Z tambiém lo es.
Si ademas, una de las imersiones X ⊆ Y o Y ⊆ Z es compacta, entonces
X ⊆ Z tambiém es compacta.
Demostración. Vea [10].
Teorema 4. Sea s, r ∈ R, s ≥ r. Entonces H s (T) es denso en H r (T) con
inmersión contı́nua H s (T) ,→ H r (T); y si s ≥ r ≥ 0 la imersión es compacta
con
|||f |||r ≤ |||f |||s ; (∀ f ∈ H s (T)).
Demostración. Vea [8], [9].
dj f
Teorema 5. Sea m ∈ N, entonces f ∈ H (T) si, y solo si,
= f (j) ∈
j
∂x
L2 (T) , j = 0, 1, ..., m; donde la derivada es tomada en el sentido de las
distribuciones (D 0 (T)). Además, |||f |||m y
m
||f ||2m
=
m
X
||f (j) ||22 ,
j=0
0
son equivalentes, esto es, existen m, cm > 0 y cm > 0 tal que
cm |||f |||2m ≤ ||f ||2m ≤ c0m |||f |||2m ; (∀ f ∈ H m (T)).
Demostración. Vea [8].
1
Teorema 6. Si s > , entonces H s (T) ,→ C(T) e
2
|||f |||∞ ≤ ||am ||`1 ≤ c|||f |||s ; (∀ f ∈ H s (T)),
donde am es el coeficiente de Fourier de f .
Demostración. Vea [8].
Definición 6. Por (H s (T))0 denotamos el espacio dual de H s (T), que es,
por definición el espacio de funcionales lineales sobre H s (T).
11
Proposición 5. (H s (T))0 es isomorfo isometricamente a H −s (T) para todo
s ∈ R la dualidad es implementada por el par
hf, gis =
∞
X
am bm ; (f ∈ H −s (T), g ∈ H s (T)),
k=−∞
con am , bm coeficientes de Fourier de f y g respectivamente.
Demostración. Vea [8].
Consideraremos funciones vectoriales n-dimensionales de variable real con
componentes en L2 (T) o H s (T). Usaremos las notaciones:
L2 (T) = (L2 (T))n = {v = (v1 , . . . , vn ); vi ∈ L2 (T), 1 ≤ i ≤ n},
Hs (T) = (H s (T))n = {v = (v1 , . . . , vn ); vi ∈ H s (T), 1 ≤ i ≤ n},
D(T) = (P(T))n = {θ = (θ1 , . . . , θn ); θi ∈ P(T), 1 ≤ i ≤ n},
y asumiremos que estos espacios productos son equipados con la norma usual, o con una norma equivalente (excepto P(T), lo cual no es u espacio
normado).
n
X
1
||v||2 = (
||vi ||22 ) 2 ; para v ∈ L2 (T).
i=1
||v||Hs (T)
n
X
1
=(
||vi ||22 ) 2 ; para v ∈ Hs (T).
i=1
El producto escalar y la norma son denotados por (·, ·) y || · ||p sobre Lp (T)
o Lp (T).
12
Capı́tulo 3
Existencia Local de Soluciones
Suaves
En este capı́tulo, se demuestra la existencia y unicidad de soluciones locales para el problema de Cauchy:
ut + f (u)x = Duxx , x ∈ R, t > 0
(3.1)
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R
(3.2)
∞
donde asumimos que la condición inicial (3.2), u0 ∈ L (T), f : B r (u) → Rn
es una función suave dada, para cualquier r > 0, u = (u1 , u2 , · · · , un ) un
vector fijo y inicialmente, consideraremos D = diag(d1 , d2 , · · · , dn ), di > 0,
1 ≤ i ≤ n.
Procuraremos una solución u(x, t) de (3.1)-(3.2) periodica de periodo 2π en
la variable espacial.
Para obtener esta solución usamos, la solución fundamental periodica
K(x, t) = (K1 (x, t), K2 (x, t), · · · , Kn (x, t)),
asociado al operador
∂2
∂
−D 2 =0
∂t
∂x
cuya jth componente es dada por
+∞ r
X
π
−(x + 2kπ)2
Ki (x, t) =
exp[
], 1 ≤ i ≤ n.
d
4d
it
it
k=−∞
La solución de (3.1)-(3.2) satisface
Z
t
u(., t) = K(., t) ∗ u0 (.) −
Kx (., t − s) ∗ f (u(., s))ds,
0
13
donde ∗ denota la convolución en la variable espacial, componente a componente.
Sin pérdida de generalidad podemos asumir que f (0) = 0, si f (0) 6= 0, es suficiente considerar la función g : B r (u) → Rn definida por g(u) = f (u) − f (0).
Entonces g(0) = 0.
En este trabajo usaremos la notación k · k para la norma usual del espacio
Lp (T). i.e., si u : Rn → Rn , u := (u1 , u2 , · · · , un ), entonces
Z
1
1
kukp = máx {|ui |p = [
|ui (x)|p dx] p ; 1 ≤ i < ∞},
1≤i≤n
2π T
y
kuk∞ = ı́nf{M : ku(x)k ≤ M, almost every point x ∈ Rn },
donde k k es la norma usual en Rn .
Mostraremos la existencia local del problema (3.1)-(3.2), el conjunto de funciones
GT = {u ∈ L∞ (T × [0, T ]; Rn ) : ku(t) − uk∞ ≤ r, r > 0, t ∈ [0, T ], T > 0}.
Formalmente definimos el operador
L : GT → L∞ (T × [0, T ]; Rn )
por
Z
t
[Kx (., t − s) ∗ f (u(., s))](x)ds,
L(u)(x, t) = [K(., t) ∗ u0 (.)](x) −
0
Para simplificar la notación, ometiremos la dependencia en x escribiendo
simplemente
Z t
L(u)(t) = K(., t) ∗ u0 (.) −
Kx (., t − s) ∗ f (u(., s)).ds
(3.3)
0
Lema 2. Sea K(x, t) = (K1 (x, t), K2 (x, t), · · · , Kn (x, t)) donde
+∞ r
X
π
−(x + 2kπ)2
Ki (x, t) =
exp[
], 1 ≤ i ≤ n.
di t
4di t
k=−∞
Entoces, para cada t > 0,
k
∂m
C(m)
K(t)k
≤
, k = 0, 1, 2, · · ·
1
k
∂xm
t2
donde C(m) es una constante positiva para cada m.
14
Demostración. Observe que
∂m
∂m
1
k m K(t)k1 = máx {| m Ki (t)|1 =
1≤i≤n
∂x
∂x
2π
∂m
| m Ki (x, t)|dx}
T ∂x
Z
ahora, para cada t > 0, hacemos,
1
α=
4di t
Asi
Ki (x, t) =
+∞
X
r
and β =
π
.
di t
β exp[−α(x + 2kπ)2 ].
k=−∞
( i) Si m = 0, obtenemos que
|Ki (t)|1
Z
1
|Ki (x, t)|dx
=
2π T
Z X
+∞
1
=
β exp[−α(x + 2kπ)2 ]dx
2π T k=−∞
+∞ Z
β X
=
exp[−α(x + 2kπ)2 ], dx
2π k=−∞ T
haciendo el cambio de variable: y = x + 2kπ
x → −π entonces y → (2k − 1)π
x→π
entonces y → (2k + 1)π
Z
β
|Ki (t)|1 =
exp[−αy 2 ]dy
2π√ Rp
= 2π√πdi t απ
= 1
por tanto C(0) = 1.
(ii) Para cada m 6= 0, consideremos separadamente los casos donde m es par
y m impar, ie, m = 2p and m = 2p−1, p = 1, 2, 3, · · · , respectivamente.
Entonces tenemos:
p
+∞
X
X
∂ 2p−1
2
Ki (x, t) =
β exp[−α(x+2kπ) ]
aj2p−1 (2α)p−1+j (x+2kπ)2j−1 ,
∂x2p−1
j=1
k=−∞
(3.4)
15
p = 1, 2, 3, · · · , y
p
+∞
X
X
∂ 2p
p+j
2
Ki (x, t) =
a2p
(x + 2kπ)2j ,
β exp[−α(x + 2kπ) ]
j+1 (2α)
2p
∂x
j=0
k=−∞
(3.5)
p = 1, 2, 3, · · · ,
donde a2p−1
y a2p
j
j+1 son números enteros.
para cada p = 1, 2, 3, · · · Zobtenemos desde (3.4)
1
∂ 2p−1
∂ 2p−1
|
Ki (x, t)|dx
| 2p−1 Ki (t)|1 =
∂x
2π T ∂x2p−1
Z
+∞
X
1
=
{|
β exp[−α(x + 2kπ)2 ]
2π T k=−∞
p
X
a2p−1
(2α)p−1+j (x + 2kπ)2j−1 |}dx
j
j=1
p
+∞ Z
X
β X 2p−1
p−1+j
{(x + 2kπ)2j−1
|a
|(2α)
|
≤
2π j=1 j
k=−∞ T
exp[−α(x + 2kπ)2 ]}dx
haciendo el cambio de variable: y = x + 2kπ
x → −π entonces y → (2k − 1)π
x→π
entonces y → (2k + 1)π
entonces
Z
p
∂ 2p−1
β X 2p−1
p−1+j
| 2p−1 Ki (t)|1 ≤
|(2α)
| |y 2j−1 | exp[−αy 2 ]dy
|a
∂x
2π j=1 j
R
Z
p
0
β X 2p−1
p−1+j
=
|aj |(2α)
[
(−y)2j−1 exp[−αy 2 ]dy+
2π j=1
−∞
Z +∞
+
y 2j−1 exp[−αy 2 ]dy]
0
Z +∞
p
2β X 2p−1
p−1+j
|a
|(2α)
y 2j−1 exp[−αy 2 ]dy
=
2π j=1 j
0
podemos calcular explı́citamente la integral
Z +∞
Z +∞
2j−1
2
Ij =
y
exp[−αy ]dy =
yy 2j−2 exp[−αy 2 ]dy; j = 1, 2, 3, · · ·
0
0
para j = 1,
Z
I1 =
+∞
y exp[−αy 2 ]dy =
0
16
1
2α
to j = 2, 3, · · · integrando por partes, obtenemos
Ij =
(2j − 2)(2j − 4)(2j − 6) · · · [2j − (2j − 4)][2j − (2j − 2)]
(2α)j
por tanto
Z +∞
∂ 2p−1
2β 2p−1
p
x exp[−αx2 ]dx+
| 2p−1 Ki (t)|1 ≤
|a
|(2α)
∂x
2π 1
0
Z +∞
p
X
2β 2p−1
p−1+j
+
|aj |(2α)
x2j−1 exp[−αx2 ]dy
2π
0
j=2
p
X 2β 2p−1
1
2β 2p−1
{ |a
=
|a1 |(2α)p
+
|(2α)p−1+j
2π
2α j=2 2π j
(2j − 2)(2j − 4)(2j − 6) · · · 4,2
}
(2α)j
C(2p − 1)
√
=
t2p−1
donde C(2p − 1) es una constante positiva.
de (3.5) obtenemos
Z
∂ 2p
1
∂ 2p
| 2p Ki (t)|1 =
|
Ki (x, t)|dx
∂x
2π T ∂x2p
Z
+∞
X
1
β exp[−α(x + 2kπ)2 ].
=
{|
2π T k=−∞
p
X
p+j
(x + 2kπ)2j |}dx
a2p
j+1 (2α)
j=0
p
β X 2p
≤
|aj+1 |(2α)p+j .
2π j=0
+∞ Z
X
|(x + 2kπ)2j | exp[−α(x + 2kπ)2 ]dx
k=−∞
T
haciendo el cambio de variable: y = x + 2kπ
x → −π entonces y → (2k − 1)π
x→π
entonces y → (2k + 1)π
entonces
17
p
+∞ Z (2k+1)π
X
∂ 2p
β X 2p
p+j
| 2p Ki (t)|1 ≤
|y|2j | exp[−αy 2 ]dy
|a |(2α)
∂x
2π j=0 j+1
k=−∞ (2k−1)π
Z
p
X
β
2p
p+j
=
|a |(2α)
|y|2j | exp[−αy 2 ]dy
2π j=0 j+1
R
Z 0
p
X
β
=
|a2p |(2α)p+j [
(−y)2j exp[−αy 2 ]dy+
2π j=0 j+1
−∞
Z +∞
y 2j | exp[−αy 2 ]dy]
+
0
Z +∞
p
2β X 2p
p+j
y 2j | exp[−αy 2 ]dy
=
|aj+1 |(2α)
2π j=0
0
Z +∞
2β 2p
=
|a |(2α)p
exp[−αy 2 ]dy+
2π 1
0
Z +∞
p
X
2β 2p
p+j
+
|aj+1 |(2α)
y 2j exp[−αy 2 ]dy
2π
0
j=1
r
2β 2p
1 π
=
|a1 |(2α)p
+
2π
2 α
Z +∞
p
2β X 2p
p+j
+
|a |(2α)
y 2j exp[−αy 2 ]dy.
2π j=1 j+1
0
calculamos la integral explı́citamente
Z +∞
Z +∞
2j
2
Ij =
y exp[−αy ]dy =
yy 2j−1 exp[−αy 2 ]dy, j = 1, 2, 3, · · ·
0
0
to j = 1, 2, 3, · · · , integrando por partes tenemos
√
π (2j − 1)(2j − 3)(2j − 5) · · · [2j − (2j − 3)][2j − (2j − 1)]
Ij =
2j+1
2
2j (α) 2
por tanto
r
∂ 2p
2β 2p
π
p1
| 2p Ki (t)|1 ≤
|a1 |(2α)
+
∂x
2π
2 α
Z +∞
p
2β X 2p
p+j
+
y 2j exp[−αy 2 ]dy
|a |(2α)
2π j=1 j+1
0
r
β 2p
π
=
|a1 |(2α)p
+
2π
α
√
p
2β X 2p
π (2j − 1)(2j − 3)(2j − 5) · · · 1
p+j
+
|aj+1 |(2α)
2j+1
2π j=1
2
(2j α) 2
C(2p)
C(2p)
=
= √ .
p
t
t2p
18
donde C(2p) es una constante positiva.
Lema 3. Sea
K(x, t) =
+∞
X
k=−∞
r
π
−(x + 2kπ)2
exp[
],
dt
4dt
entonces para t1 > 0, t2 > 0,
K(x, t1 ) ∗ K(x, t2 ) = K(x, t1 + t2 ).
Demostración.
+∞ r
X
π
−(x − y + 2kπ)2
exp[
].
dt1
4dt1
−π k=−∞
+∞ r
X
π
−(y + 2jπ)2
exp[
]dy
dt2
4dt2
j=−∞
√
√
+∞ Z π
+∞
−(x − y + 2kπ)2
1
π
π X X
.√ .√
{exp[
].
=
2π dt1 dt2 k=−∞ j=−∞ −π
4dt1
1
K(x, t1 ) ∗ K(x, t2 ) =
2π
Z
π
−(y + 2jπ)2
]}dy
4dt2
1
1
.√
=
.
2d t1 t2
+∞ Z π
+∞ X
X
−(x − y + 2kπ)2 (y + 2jπ)2
exp[
−
]dy
4dt1
4dt2
k=−∞ j=−∞ −π
exp[
+∞ X
+∞
X
1
1
.√
=
2d t1 t2 k=−∞ j=−∞
Z π
−[x − (y + 2jπ) + 2(k + j)π]2 (y + 2jπ)2
exp[
−
]dy
4dt1
4dt2
−π
Haciendo cambio de variable z = y + 2jπ
y → −π ⇒ z → (2j − 1)π
y→π
⇒ z → (2j + 1)π
entonces
+∞ Z (2j+1)π
+∞ X
X
−[x − z + 2(k + j)π]2 z 2
1
1
K(x, t1 )∗K(x, t2 ) = . √
.
exp[
−
]dz
2d t1 t2 k=−∞ j=−∞ (2j−1)π
4dt1
4dt2
19
Ahora hacemos l = k + j, entonces
K(x, t1 ) ∗ K(x, t2 ) =
1
1
.√
.
2d t1 t2
+∞ X
+∞ Z
X
l=−∞ j=−∞
=
1
1
.
.√
2d t1 t2
+∞ Z +∞
X
l=−∞
=
1
1
.√
.
2d t1 t2
+∞ Z +∞
X
l=−∞
=
−∞
1
1
.√
.
2d t1 t2
+∞ Z +∞
X
l=−∞
=
−∞
1
1
.√
.
2d t1 t2
+∞ Z +∞
X
l=−∞
=
−∞
−∞
1
1
.√
.
2d t1 t2
+∞ Z +∞
X
l=−∞
−∞
(2j+1)π
exp[
(2j−1)π
−[x − z + 2lπ]2
z2
−
]dz
4dt1
4dt2
−(x − z + 2lπ)2
z2
exp[
−
]dz
4dt1
4dt2
−(x + 2lπ)2 + 2z(x + 2lπ) − z 2
z2
−
]dz
exp[
4dt1
4dt2
−t2 (x + 2lπ)2 + 2t2 z(x + 2lπ) − t2 z 2 − t1 z 2
exp[
]dz
4dt1 t2
−(t1 + t2 )z 2 − t2 (x + 2lπ)2 + 2t2 z(x + 2lπ)
exp[
]dz
4dt1 t2
−(t1 + t2 )z 2 (x + 2lπ)2 z(x + 2lπ)
exp[
−
+
]dz
4dt1 t2
4dt1
2dt1
+∞ Z +∞
X
1
t2 (x + 2lπ)2
(t1 + t2 )z 2
1
.√
{exp[
−
.
].
=
2d t1 t2 l=−∞ −∞
4dt1 (t1 + t2 )
4dt1 t2
(x + 2lπ)2 z(x + 2lπ) t2 (x + 2lπ)2
+
−
]}dz
exp[−
4dt1
2dt1
4dt1 (t1 + t2 )
+∞
X
1
t2 (x + 2lπ)2
1
(x + 2lπ)2
√
=
.
exp[
.
−
]
2d t1 t2 l=−∞
4dt1 (t1 + t2 )
4dt1
Z +∞
−(t1 + t2 )z 2 z(x + 2lπ) t2 (x + 2lπ)2
+
−
]dz
exp[
4dt1 t2
2dt1
4dt1 (t1 + t2 )
−∞
Si A2 =
t1 + t2
t2 (x + 2lπ)2
, entonces
y B2 =
4dt1 t2
4dt1 (t1 + t2 )
20
+∞
X
1
1
(x + 2lπ)2
.
[K(., t1 ) ∗ K(., t2 )](x) =
.√
exp[B 2 −
]
2d t1 t2 l=−∞
4dt1
Z +∞
exp[−A2 z 2 + 2ABz − B 2 ]dz
−∞
+∞
X
1
1
4dt1 B 2 − (x + 2lπ)2
=
.
.√
exp[
]
2d t1 t2 l=−∞
4dt1
Z +∞
exp[−(Az − B)2 ]dz
−∞
=
=
=
=
√
+∞
X
1
1
4dt1 B 2 − (x + 2lπ)2 π
.√
.
exp[
]
2d t1 t2 l=−∞
4dt1
A
√ √
1
π(2 dt1 t2 )
1
. √
.
.√
2d t1 t2
t1 + t2
+∞
X
t2 (x + 2lπ)2
(x + 2lπ)2 (t1 + t2 )
exp[
−
.
]
4dt
4dt
(t
1 (t1 + t2 )
1
1 + t2 )
l=−∞
√
+∞
X
−t1 (x + 2lπ)2
π
p
exp[
]
4dt1 (t1 + t2 )
d(t1 + t2 ) l=−∞
√
+∞
X
−(x + 2lπ)2
π
p
exp[
]
4d(t1 + t2 )
d(t1 + t2 ) l=−∞
= K(x, t1 + t2 ).
Por tanto
K(x, t1 ) ∗ K(x, t2 ) = K(x, t1 + t2 )
Lema 4. Si t > 0, entonces
Z t
ds
√
i)
√ =π
t−s s
0
Z t
ds
√
ii)
= π.
√
t − s s − t0
t0
21
Demostración. i)
t
Z
0
Z t
ds
ds
√
√
√ =
2
t−s s
Z0 t ts − s
ds
q
=
2
0
−(s2 − ts + t4 −
Z t
ds
=
t 2
t 2
0 ( 2 ) − (s − 2 )
t2
)
4
haciendo cambio de variable u = s − 2t
s → 0 ⇒ u → − 2t
s → t ⇒ u → 2t
entonces
Z t
Z t
2
ds
π
du
π
√
= arcsin(1)−arcsin(−1) = −(− ) = π
√ =
t
2
2
2
2
t−s s
0
− 2t ( 2 ) − u
Z
t
√
por tanto
0
ds
√ =π
t−s s
ii) If z = s − t0 , entonces
s → 0 ⇒ z → −t0
s → t ⇒ z → t − t0
y dz = ds
Z
t
t0
ds
√
=
√
t − s s − t0
Z
0
t−t0
√
dz
√ =π
t − t0 − z z
Nuestro resultado de existencia local resulta de las propiedades de L dadas
en el siguiente lema.
Teorema 7. Supongamos que u0 ∈ L∞ (T), ku0 − uk∞ = r0 < r. Entonces
si T > 0 es suficientemente pequeño (dependiendo de r0 ), las siguientes afirmaciones son verdaderas:
(a) L mapea GT en si mismo.
(b) GT es cerrado y L es una contracción en GT con la topologı́a L∞ (T ×
[0, T ]; Rn ).
22
(c) Existe una constante C0 dependiendo sólo de K y f tal que, siempre que
u ∈ GT satisface
ku(t)k2 ≤ C0 ku0 k2 , t ∈ [0, T ],
(3.6)
entonces L(u) tambien satisface (3.6).
(d) Existe una constante C1 que depende sólo de K y f tal que, siempre que
u ∈ GT satisface
kux (t)k∞ ≤
C1 ku0 k∞
√
, t ∈ (0, T ],
t
(3.7)
entonces L(u) tambien satisface (3.7).
(e) Dado t0 ∈ (0, T ), existe una constante C2 que depende de K, f , y t0 , tal
que, siempre que u ∈ GT satisface (3.7) y
C2 (ku0 k2 + ku0 k22 )
√
, t ∈ (t0 , T ],
kuxx (t)k2 ≤
t − t0
(3.8)
entonces L(u) tambien satisface (3.8).
(f ) Dado t1 ∈ (t0 , T ), existe una constante C3 dependiendo de K, f , t0 y t1 ,
tal que, siempre que u ∈ GT satisface (3.7), (3.8) y
kuxxx (t)k2 ≤
C3 (ku0 k2 + ku0 k22 + ku0 k32 )
√
, t ∈ (t1 , T ],
t − t1
(3.9)
entonces L(u) tambien satisface (3.9).
Demostración. (a) Si pérdida de generalidad, tomamos u = 0. Caso contrario, consideramos, v = u − u, para u ∈ GT . En este caso,
GT = {u ∈ L∞ (T × [0, T ]; Rn ) : ku(t)k∞ ≤ r, r > 0, t ∈ [0, T ], T > 0}.
como f es regular (C 3 ), para u ∈ GT , usamos las siguientes constantes
M1 , M2 y M3 tal que
k|f 0 (u(s))|k ≤ M1 , k|f 00 (u(s))|k ≤ M2 e k|f 000 (u(s))|k ≤ M3 ,
donde k| • |k representan la norma usual en espacio de las aplicaciones
multilineales.
23
Primero,notamos que L(u) es medible, ya que es una integral de funciones medibles. Además, si u ∈ GT , entonces de (3.3), obtenemos que:
Z t
kL(u)(t)k∞ ≤ kK(t) ∗ u0 k∞ +
kKx (t − s) ∗ f (u(s))k∞ ds
0
Z t
≤ kK(t)k1 ku0 k∞ +
kKx (t − s)k1 kf (u(s))k∞ ds
0
De Lema 3.1
Z
kL(u)(t)k∞ ≤ C(0)r0 +
0
t
C(1)
√
kf (u(s))k∞ ds
t−s
donde C(0) = 1. Aplicando la desigualdad de valor medio, obtenemos
Z t
ku(s)k∞
√
ds
kL(u)(t)k∞ ≤ r0 + M1 C(1)
Z0 t t − s
ds
√
≤ r0 + M1 C(1)r
t−s
0
√
= r0 + M1 C(1)r2√t
≤ r0 + 2M1 C(1)r T
haciendo C = 2C(1)M (1) y escogiendo T tal que
√
r − r0
C T ≤
< 1,
r
obtenemos
√
√
r0
kL(u)(t)k∞ ≤ r0 + Cr T = r( + C T ).
r
Por tanto
L(u)(t) ∈ GT .
(b) Mostraremos que GT es cerrado. Para esto, consideremos una sucesión
de funciones un ∈ GT tal que un converja a la función v en la norma de
L∞ (T × [0, T ]; Rn ), i.e., dado > 0, ∃ n0 ∈ N tal que kun − vk∞ < ,
∀n ≥ n0 .
Entonces, casi siempre (x, t) ∈ T × [0, T ],
kv(x, t)k ≤ kv(x, t) − un (x, t)k + kun (x, t)k
donde
kvk∞ ≤ kv − un k∞ + kun k∞ < + r, para cualquier > 0
24
entonces kvk∞ ≤ r. Por tanto v ∈ GT .
Ahora probaremos que L es una contracción. tenemos que
Z t
kKx (., t − s) ∗ [f (u(., s)) − f (v(., s))]k∞ ds.
kL(u) − L(v)k∞ ≤
0
Para cada t ∈ [0, T ], aplicando la desigualdad de valor medio y el lema
3.1, tenemos,
Z t
kL(u) − L(v)k∞ ≤
kKx (., t − s)k1 kf (u(., s)) − f (v(., s))k∞ ds
0 Z
t
kKx (., t − s)k1 ku(s) − v(s)k∞ ds
≤ M1
0
Z t
1
√
≤ C(1)M1
ku − vk∞ ds
t − sZ
0
t
1
√
ds
= C(1)M1 ku − vk∞
t−s
0
√
≤ 2C(1)M1 T ku − vk∞ .
√
Por tanto kL(u) − L(v)k∞ ≤ C T ku − vk∞ , donde C = 2C(1)M1 . lo
que implica que
√
kL(u) − L(v)k∞ ≤ C T ku − vk∞ .
Asi,
√ el operador L es una contraccón, desde que T es tomada tal que
C T < 1.
(c) Aquı́, otra vez usamos la desigualdad
de valor medio y el lema 3.1,
Z t
kKx (t − s) ∗ f (u(s))k2 ds
kL(t)k2 ≤ kK(t) ∗ u0 k2 +
Z0 t
kKx (t − s)k1 |f (u(s))k2 ds
≤ kK(t)k1 ku0 k2 +
0
Z t
C(1)
√
|f (u(s))k2 ds
≤ ku0 k2 +
t −Zs
0
t
1
√
≤ ku0 k2 + M1 C(1)
|u(s)k2 ds
t −Zs
0
t
ds
√
≤ ku0 k2 + M1 C(1)C0 ku0 k2
ds
t−s
0
√
≤ ku0 k2 + 2M1 C(1)C
0 ku0 k2 T
√
= ku0 k2 + C0 C √
T ku0 k2
= ku0 k2 [1 + C0 C T ]
√
1
= C0 ku0 k2 [
+ C T ].
C0
25
podemos tomar C0 suficientemente grande y T suficientemente pequeño
tal que
√
1
+C T <1
C0
esto implica que
kL(t)k2 ≤ C0 ku0 k2 , t ∈ [0, T ].
(d) Tenemos que
Z
t
Kx (t − s) ∗ f (u(s))x ds.
L(u)x (t) = Kx (t) ∗ u0 −
0
Entonces
Rt
kL(u)x (t)k∞ ≤ kKx (t) ∗ u0 k∞ + 0 kKx (t − s) ∗ f (u(s))x k∞ ds
Rt
≤ kKx (t)k1 ku0 k∞ + 0 kKx (t − s)k1 kf (u(s))x k∞ ds
Z t
C(1)
C(1)
√
≤ √ ku0 k∞ +
M1 kux (s))k∞ ds
t−s
t
0
Z t
C(1)
1
1
√
≤ √ ku0 k∞ + C(1)M1 C1 ku0 k∞
. √ ds,
t−s s
t
0
por lema 3.3 (i) obtenemos
C(1)
√ ku0 k∞ + C(1)M1 C1 ku0 k∞ π
t
√
C(1)
t
= √ ku0 k∞ + πC(1) √ M1 C1 ku0 k∞
t
t
√
C(1)
≤ √ ku0 k∞ [1 + πM1 C1 T ].
t
kL(u)x (t)k∞ ≤
Si C = máx{C(1), πC1 M1 }, entonces
√
C
kL(u)x (t)k∞ ≤ √ ku0 k∞ [1 + C1 T ]
t
√
C1
C
= √ ku0 k∞ + [
+ C T]
C1
t
C1
≤ √ ku0 k∞ ,
t
para T suficientemente pequeño y C1 suficientemente grande.
26
(e) Para t > t0 , escribimos el operador L(u)(t) como sigue: si v(t) = L(u)(t),
afirmamos que
Z t
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds.
v(t) = K(t − t0 ) ∗ v(t0 ) −
t0
En efecto
t0
Z
Kx (t0 − s) ∗ f (u(s))ds]
v(t) = K(t − t0 ) ∗ [K(t0 ) ∗ u0 −
0
Z t
−
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds
t0
= [K(t − t0 ) ∗ K(t0 )] ∗ u0 −
Z t
Z t0
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds,
Kx (t0 − s) ∗ f (u(s))ds −
K(t − t0 ) ∗
t0
0
entonces
t0
Z
v(t) = [K(t − t0 ) ∗ K(t0 )] ∗ u0 −
K(t − t0 ) ∗ Kx (t0 − s) ∗ f (u(s))ds−
0
Z t
−
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds,
t0
por lema 3.2, obtenemos
Z t0
Z t
v(t) = K(t) ∗ u0 −
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds −
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds
t0
Z0 t
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds
= K(t) ∗ u0 −
= L(u)(t).
0
Ası́
t
Z
v(t) = K(t − t0 ) ∗ v(t0 ) −
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds
t0
t
Z
v(t)x = K(t − t0 ) ∗ vx (t0 ) −
Kx (t − s) ∗ f (u(s))x ds
t0
y
Z
t
v(t)xx = Kx (t − t0 ) ∗ vx (t0 ) −
Kx (t − s) ∗ f (u(s))xx ds,
t0
Lo que implica que,
Z
t
kv(t)xx k2 = kKx (t − t0 )k1 kvx (t0 )k2 +
kKx (t − s)k1 kf (u(s))xx k2 ds,
t0
(3.10)
para s ∈ [t0 , t],
f (u(s))xx = [f 0 (u(s))ux (s)]x
= f 00 (u(s))ux (s)ux (s) + f 0 (u(s))uxx (s),
27
entonces
kf (u(s))xx k2 ≤ kf 00 (u(s))ux (s)ux (s)k2 + kf 0 (u(s))uxx (s)k2 .
Z
1
00
2
kf (u(s))ux (s)ux (s)k2 =
k|f 00 (u(s))|k2 kux (s)k2 kux (s)k2 ds
2π T
Z
2 1
2
≤ M2 kux (s)k∞
kux (s)k2 ds
2π T
M22 kux (s)k2∞ kux (s)k22 ,
entonces
kf (u(s))xx k2 ≤ M2 kux (s)k∞ kux (s)k2 + M1 kuxx (s)k2
≤ M [kux (s)k∞ kux (s)k2 + kuxx (s)k2 ]
donde M = máx{M1 , M2 }. Para s > t0 ,
C1
kf (u(s))xx k2 ≤ M [ √ ku0 k∞ kux (s)k2 + kuxx (s)k2 ]
s
C12
C2
≤ M [ ku0 k∞ ku0 k2 + √
(ku0 k2 + ku0 k22 )]
s
s − t0
C2
C2
< M 1 ku0 k22 + M √
(ku0 k2 + ku0 k22 )
t0
s − t0
C2
si N = ku0 k2 + ku0 k22 y C = máx{ √t10 M, M }, entonces,
C2
)
kf (u(s))xx k2 ≤ CN (1 + √
s − t0
Reemplazando esta expresión en (3.10), usando lema 3.1 y aplicando
el item (d) para el término kvx (t0 )k2 , obtenemos
Z t
C(1) C1
C(1)
C2
√ ku0 k2 +
√
)ds
kvxx (t)k2 ≤ √
CN (1 + √
t − t0 t0
s − t0
t−s
t0
√ , C(1)C}, entonces
if η = máx{ C(1)
t0
ηN
kvxx (t)k2 ≤ √
+ ηN
t − t0
28
Z
t
t0
√
1
C2
)ds
[1 + √
s − t0
t−s
kvxx (t)k2 ≤
≤
≤
≤
≤
Z t
ηN
1
C2
√
[√
+ ηN
+√
]ds
√
t − t0
t−s
t−
s
s
−
t
0
t0
Z t
√
ηN
ds
√
√
+ 2ηN t − t0 + ηN C2
√
t − t0
t − s s − t0
t0
√
ηN
√
+ 2ηN t − t0 + πηN C2
t − t0
√
√
√
t − t0
t − t0
ηN
√
+ 2ηN t − t0 √
+ πηN C2 √
t − t0
t − t0
t − t0
√
N
√
[η + 2ηT + πηC2 T ],
t − t0
Si η = máx{η, 2η, πη}, tenemos
√
N
kvxx (t)k2 ≤ √
[η + ηT + ηC2 T ]
t − t0
√
C2 N η
ηT
≤ √
+
+ η T]
[
C2
t − t0 C2
Si, escogemos C2 suficientemente grande y T suficientemente pequeño,
tenemos que,
C2 N
kvxx (t)k2 ≤ √
,
t − t0
∀ t ∈]t0 , T ].
(f ) Si v(t) = L(u)(t), análogamente al item (e), para 0 < t0 < t1 < t < T
escribimos,
Z t
L(u)(t) = v(t) = K(t − t1 ) ∗ v(t1 ) −
Kx (t − s) ∗ f (u(s))ds.
t1
entonces
Z
t
vxxx (t) = Kx (t − t1 ) ∗ vxx (t1 ) −
Kx (t − s) ∗ f (u(s))xxx ds,
t1
lo que implica que,
kvxxx (t)k2 ≤ kKx (t − t1 )k1 kvxx (t1 )k2
Z t
+
kKx (t − s)k1 kf (u(s))xxx k2 ds
(3.11)
t1
para s ∈ [t1 , t],
f (u(s))xxx = [f 00 (u(s))ux (s)ux (s) + f 0 (u(s))uxx (s)]x
= f 000 (u(s))ux (s)ux (s)ux (s) + 2f 00 (u(s))uxx (s)ux (s)
+f 00 (u(s))uxx (s)ux (s) + f 0 (u(s))uxxx (s).
29
entonces
kf (u(s))xxx k2 ≤ |kf 000 (u(s))k| kux (s)k∞ kux (s)k∞ kux (s)k2
+3|kf 00 (u(s))k| kuxx (s)k2 kux (s)k∞ + |kf 0 (u(s))k| kuxxx (s)k2
≤ M3 kux (s)k∞ kux (s)k∞ kux (s)k2 + 3M2 kuxx (s)k2 kux (s)k∞ +
+M1 kuxxx (s)k2 .
Sea M = máx{M3 , 3M2 , M1 }, entonces
kf (u(s))xxx k2 ≤
M C13
MC
C
√ ku0 k32 + √ 2 . √1 ku0 k2 ku0 k2
s s
s − t1 s
M C 2 C1
+√
. √ ku0 k22 ku0 k2
s − t1 s
C3
+ √Ms−t
[ku0 k2 + ku0 k22 + ku0 k32 ].
1
Para s > t1 ,
kf (u(s))xxx k2 ≤
M C13
C
MC
√ ku0 k32 + √ 2 . √ 1 ku0 k2 ku0 k2 +
t1 t1
s − t1 t1
M C 2 C1
+√
. √ ku0 k22 ku0 k2
s − t1 t1
M C3
+√
[ku0 k2 + ku0 k22 + ku0 k32 ].
s − t1
M C3
Si N = ku0 k2 + ku0 k22 + ku0 k32 y C = máx{ t1 √t11 , M√Ct11C2 , M }}, entonces
2
C3
kf (u(s))xxx k2 ≤ CN [1 + √
+√
].
s − t1
s − t1
Reemplazando esta expresión en (3.11), usando lema 3.1 y aplicando
el item (e) al término kvxx (t1 )k2 tenemos
C(1)
C2
kvxxx (t1 )k2 ≤ √
.√
[ku0 k2 + ku0 k22 ]
t − t1 t1 − t0
Z
t
C(1)
2 + C3
√
CN (1 + √
)ds
+
s − t1
t−s
t1
√
C(1)
C2
≤ √
.√
N + CN C(1)[2 t − t1 + π(2 + C3 )].
t − t1 t − t0
C2 C(1)
Si η = máx{ √
, 2C(1)C, CπC(1)} entonces
t − t0
√
√
√
η
t − t1
t − t1
kvxxx (t1 )k2 ≤ N [ √
+ η t − t1 √
+ (2 + C3 )η √
]
t − t1
t − t√
1
√ t − t1
η
ηT
η T
C3 η T
≤ N[√
+√
+ 2√
+√
]
t − t1
t − t1 √ t − t1
t − t1
√
C3 N η
ηT
η T
≤ √
[
+
+2
+ η T ].
C3
C3
t − t 1 C3
30
Si escogemos C3 suficientemente grande y T suficientemente pequeño,
obtenemos que
C3 N
kvxxx (t1 )k2 ≤ √
, para 0 < t0 < t1 < t < T.
t − t1
Para probar la existencia de soluciones locales para el problema(3.1) y
(3.2), definimos la siguiente sucesión de funciones
u0 = 0 and un = L(un−1 ,
n = 1, 2, . . .)
donde L es el operador definido en (3.3). Esta sucesión es tá bien definida,
por el teorema 3.5, operador L aplica GT en GT . Aplicando el siguiente lema
en la prueba del teorema 3.8 El cual garantiza la existencia y unicidad de
soluciones locales para el problema de valor inicial (3.1)-(3.2).
Lema 5. Las desigualdades (3.6), (3.7), (3.8), (3.9) del teorema 3.5, son
válidas para cada elemento un de la sucesión definida arriba.
Demostración. Podemos verificar que las desigualdades son verdaderas para
u0 ≡ 0. Por inducción también son verdaderas para todo un , dado que un =
L(un−1 )
Definición 7. Sea u0 ∈ L∞ (T). La función u ∈ L∞ (T×]0, T [; Rn ) es llamada
solución suave de la ecuación (3.1)-(3.2), si u(t) − u, ut (t), ux (t), uxx (t)
son continuas para t > 0 y u(t) − u(0) converge para cero en la norma L2 (T)
cuando t tiende a cero 0, y tambien satisface (3.1)-(3.2).
Teorema 8. Supongamos que u0 ∈ L∞ (T) y ku0 − uk∞ = r0 < r. Entonces
existe una única solución u de (3.1)-(3.2) definida en R × [0, T ], donde T
depende sólo de K, f and r0 . Además ut , ux and uxx son Holder continuos
en T × [t0 , T ], para t0 > 0; ut (t), ux (t), uxx (t), utx (t), uxxx (t) estan en
L2 (T) para t > 0; y las siguientes acotaciones son verdaderas:
ku(t) − uk2 ≤ C0 ku0 − uk2 , t2 ≤ t ≤ T,
(3.12)
y
C1
kux (t)k2 ≤ √ ku0 − uk2 , t2 ≤ t ≤ T.
t
Aqui C0 y C1 son como definidas en el teorema 3.5.
31
(3.13)
Demostración. Sin pérdida de generalidad, tomamos u = 0. Por Lema 3.6,
las desigualdades (3.6), (3.7), (3.8), (3.9) del teorema 3.5 son válidas para
cada elemento de la sucesión u0 ≡ 0 y un = L(un−1 ). Además los items
(a)-(b) del teorema 3.5 muestra que L es una contracción en GT , para un
T pequeño. Como GT cerradopor el toerema del punto fijo de Banach, un
converge a una única función u ∈ L∞ (T × [0, T ]; Rn ). Sea t0 , t1 , t2 y T , tal
que 0 < t0 < t1 < t2 < T , son como en el teorema 3.5, mostramos que unx es
lipschitz en T × [t2 , T ].
Por lema 3.6 y (3.8) obtenemos,
kunxx (t)k2 ≤ C for all t2 ≤ t ≤ T,
donde C = C(k, f, t0 , t1 ) es una constante positiva. Entonces, por desigualdad
de valor medio , las funciones unx (t), para cada t2 ≤ t ≤ T , son Lipschitz en
x, con el mismo constante de Lipschitz para todo n.
Los cálculos que figuran abajo son válidos para cada función coordenada
n
ux . Escribimos el mismo ux para evitar sobrecargar la notación.
Si t2 ≤ t3 ≤ t4 ≤ T entonces by teorema de valor medio para integrales
obtenemos
Z
1 x+ n
n
n
[ux (y, t4 ) − unx (y, t3 )]dy
ux (c, t4 ) − ux (c, t3 ) =
x
donde c ∈ [x, x + ]. Sea c = x + h, 0 < h < t
unx (c, t4 )−unx (c, t3 ) = [unx (x, t4 )−unx (x, t3 )]+[unx (x, t4 )−unx (x, t3 )]x (h)+rx (h)
entonces
unx (x, t4 )
−
unx (x, t3 )
Z
1 x+ n
[ux (y, t4 ) − unx (y, t3 )]dy
=
x
−[unx (x, t4 ) − unx (x, t3 )]x (h) − rx (h)
Z
1 x+ n
[ux (y, t4 ) − unx (y, t3 )]dy + O()
=
x
Usando el teorema fundamental de cálculo, Desigualdad de Holder en la
variable y y teorema de Fubini otenemos:
Z
Z
1 x+ t4 n
n
n
ux (x, t4 ) − ux (x, t3 ) =
u (y, t)dtdy + O()
xZ Zt3 xt
Z x+
1
1
1
2π t4 x+ 1/2
2
≤
(
1 dy) (
(unxt (y, t)) 2 dy) 2 + O()
t3 x
x
2π √
n
kuxt (t)k2 .(t4 − t3 ) + O()
≤
32
Ahora, consideramos la ecuación
unt − Dunxx = −f (un−1 )x
(3.14)
aplicando el lema 3.6, a la ecuación
unxt = Dunxxx − f (un−1 )xx
obtenemos que unxt , t2 ≤ t ≤ T , is in L2 (T) por tanto,
kunxt (·, t)k2 ≤ C0 , ∀ t ∈ [t2 , T ]
sup kunxt (·, t)k2 ≤ C0 ,
t2 ≤t≤T
donde C0 es una constante que no depende de n. Que implica,
2π √
sup kunxt (t)k2 (t4 − t3 )
t2 ≤t≤T
2π
C0 (t4 − t3 ) + O()
≤
unx (x, t4 ) − unx (x, t3 ) ≤
2
Escogiendo = (t4 − t3 ) 3 tenemos que
unx (x, t4 ) − unx (x, t3 ) ≤ C0
(t4 − t3 )
1
3
2
3
2
+ K0 (t4 − t3 ) 3
(t4 − t3 )
2
= C0 (t4 − t3 ) + K0 (t4 − t3 ) 3
2
≤ (C0 + K0 )(t4 − t3 ) 3
para alguna constante K0 > 0. Si k·k es la norma de supremo y C = C0 +K0 ,
entonces tenemos
2
kunx (x, t4 ) − unx (x, t3 )k ≤ C|t4 − t3 | 3 .
Por tanto, unx son funciones Holder continuos en la variable t, para t ∈ [t2 , T ],
con la misma constante de Holder para todo n.
Note que la constante de Holder no depende de x, lo que implica que, unx
son Hölder continuos en T × [t2 , T ], con la misma contante de Hölder para
todo n.
Para mostrar que unt y unxx son uniformemente Hölder continuos en T ×
[t2 , T ] usaremos un argumento iteractivo. Para esto, consideramos la ecuación
(3.14), con condiciones iniciales un (x, 0) = un−1 (t2 ), ie,
un − Dun = −f (un−1 ), T × (t2 , T ], n ≥ 2,
xx
x
t
un (x, t2 ) = un−1 (t2 ),
n ≥ 2,
33
donde u1 (t2 ) = J(0) = K(t2 ) ∗ u0 . Inicialmente consideramos n = 2. (see
Ladyzenskaya-Solonikov-Uralceva, pag. 320), Este problema tiene una única
solución u2 tal que u2t y u2xx son Hölder continuos en R × [t2 , T ].
Repitiendo este argumento obtenemos que unt y unxx , para n = 2, . . . , son
Hölder continuos en T × [t2 , T ], con la misma constante de Hölder para todo
n. Desde que t2 > 0 es arbitrario, tenemos por el teorema de Arzelá-Ascoli
que unx , unt , unxx uniformemente sobre conjuntos compactos T × (0, T ), en la
norma L∞ (T×(0, T ); Rn ), para ux , ut , uxx desde que la sucesión unx , unt , unxx
son uniformemente equicontinuas y acotada. Además ux , ut , uxx son también
Hölder continuos.
Por lema 3.6, tenemos que
kun (t)k2 ≤ C0 ku0 k2 , t ∈ [0, T ]
y
C1
kunx (t)k2 ≤ √ ku0 k2 , t ∈ [0, T ].
t
Usando el teorema de convergencia dominada, en las desigualdades anteriores, obtenemos
ku(t)k2 ≤ C0 ku0 k2 , t ∈ [0, T ]
y
C1
kux (t)k2 ≤ √ ku0 k2 , t ∈ [0, T ],
t
demasi la desigualdad (3.12) y (3.13).
Finalmente desde que unxxx (t) son uniformemente acotadas en L2 (T), para
t > 0 fijado, entonces ∃ v(t) ∈ L2 (T) tal que,
unxxx (t) * v(t).
Por otra parte, consideramos la distribución generada por unxxx (t). Como
unxxx (t) converge a uxxx (t) como distribución generada concluimos que v(t)
debe coincidir con uxxx (t). Por tanto uxxx (t) ∈ L2 (T).
Sigue de la ecuación
ut − Duxx = −f (u)x ,
que uxt ∈ L2 (T).
34
Capı́tulo 4
Existencia global de soluciones
suaves
Para extender globalmente la solución local, es decir, para todo t > 0,
debemos imponer restricciones sobre el sistema (3.1). Esto se hace exigiendo
la existencia de un par de funciones de entropia.
Definición 8. Decimos que η ∈ C 2 (B r (u)) es una función entropia para
(3.1) con flujo de entropia asociada q ∈ C 2 (B r (u)), cuando para todo u ∈
B r (u)
5q(u) = 5η(u)Df (u).
(4.1)
Llamamos F (u) = (η(u), q(u)) un par de entropia. Además, decimos que η
es cuadrática, si existe δ > 0, tal que para todo u ∈ B r (u)
η(u) ≥ δ 2 ku − u0 k2
(4.2)
Asumimos además que la entropia η satisface
η(u) ≤
1
ku − u0 k2
δ2
(4.3)
Definición 9. Decimos que la entropia η es consistente con la matriz de
viscosidad D para (3.1), cuando existe > 0 tal que
(D2 η(u)Dζ, ζ) ≥ kζk2 ,
(4.4)
para cada u ∈ Br (u) y para todo ζ ∈ Rn .
La existencia de un par de entropia (η, q) permitirá obtener cotas superiores para la solución de (3.1), usaremos para extender la solución local a
solución global.
35
Lema 6. Dada la ecuación (3.1), donde D = diag(d1 , d2 , . . . , dn ), di > 0
para 1 ≤ i ≤ n, supongamos que existe un par de entropia satisfaciendo
(4.1), (4.2), (4.3) y (4.4). Entonces existe una constante positiva C4 y C5 tal
que si u es una solución suave de (3.1) en R × (t0 , t1 ) entonces
ku(t) − u
ek2 ≤ C4 ku(t0 ) − u
ek2 , t0 ≤ t ≤ t1 .
(4.5)
Si además uxxx (t), uxt (t) ∈ L2 (T) para t > t0 y ux (t0 ) ∈ L2 (T) entonces,
kux (t)k2 ≤ C5 (kux (t0 )k2 + ku(t0 )k2 ), t0 ≤ t ≤ t1 .
(4.6)
Demostración. Nuevamente sin pérdida de generalidad asumimos que u
e = 0.
Por hipótesis, consideramos u una solución suave de (3.1) en t ∈ (t0 , t1 ).
haciendo el producto escalar por la izquierda de (3.1) por 5η(u), obtenemos
ut + f (u)x = Duxx
h5η(u), ut i + h5η(u), f (u)x i = h5η(u), Duxx i
η(u)t + h5η(u), 5f (u)ux i = h5η(u), Duxx i
•
•
5η(u).ut =
=
=
=
η 0 (u)(u0 (e2 ))
(η 0 (u).u0 )(e2 )
(η ◦ u)0 (e2 )
η(u)t

f1x1
h5η(u), 5f (u)ux i = h(ηx1 , ηx2 , · · · , ηxn ),  · · ·
fnx1
= h(ηx1 (u), ηx2 (u), · · · , ηxn (u)), (
n
X
f1xi (u)uix ,
i=1
n
X
= ηx1 (u)
f1xi (u)uix + ηx2 (u)
n
X
i=1
= u1x
n
X
= h(
ηxj (u)fjx1 (u) + u2x
j=1
ηxj (u)fjx1 ,
n
X

· · · f1xn

··· ··· 
· · · fnxn
f2xi (u)uix , · · · ,
i=1
n
X
fnxi (u)uix )i
n
X
fnxi (u)uix
i=1
ηxj (u)fjx2 (u) + · · · + unx
j=1
n
X
n
X

u1x
.. i
. 
unx
i=1
f2xi (u)uix + · · · + ηxn (u)
i=1
j=1
n
X
(4.7)
n
X
ηxj (u)fjxn (u)
j=1
ηxj (u)fjx2 , · · · ,
j=1
n
X
ηxj (u)fjxn ), (u1x , u2x , · · · , unx )i
j=1

f1x1 (u) · · ·

= h(ηx1 , ηx2 , · · · , ηxn ) f2x1 (u) · · ·
fnx1 (u) · · ·
36

f1xn (u)
f2xn (u)  , (u1x , u2x , · · · , unx )i
fnxn (u)
h5η(u) 5 f (u), ux i
Entoces desde (4.7) tenemos que
η(u)t + h5η(u) 5 f (u), ux i = h5η(u), Duxx i
η(u)t + h5q(u), ux i
= h5η(u), Duxx i
•
•
h∇q(u), ux i =
=
=
=
=
q 0 (u)(ux )
q 0 (u)(u0 (e1 ))
(q 0 (u) ◦ u0 )(e1 )
(q ◦ u)0 (e1 )
q(u)x
h5η(u), Dux ix = hD2 η(u)ux , Dux i + h5η(u), Duxx i
h5η(u), Duxx i = h5η(u), Dux ix − hD2 η(u)ux , Dux i
  d


0
1
u
1x
ηx1 x1 ηx1 x2 · · · ηx1 xn

0 d2


··· ···
· · ·   ...  , 
hD2 η(u)ux , Dux i = h · · ·
 ··· ···
ηxn x1 ηxn x2 · · · ηxn xn
unx
0
0
= u1x
n
X
d1 ηx1 xj ujx + u2x
j=1
(4.8)
n
X
d2 ηx2 xj ujx + · · · + unx
j=1
n
X
(4.9)
···
···
···
0


0
u1x
0 
. 

 .. i
··· 
unx
dn
dn ηxn xj ujx
j=1
X
X
X
= u1x
dj ηxj x1 ujx + u2x
dj ηxj x2 ujx + · · · + unx
dj ηxj xn ujx
X
X
X
=h
dj ηxj x1 ujx +
dj ηxj x2 ujx + · · · +
dj ηxj xn ujx , (u1x , u2x , · · · , unx )i




 d1
0 ··· 0
u1x
ηx1 x1 ηx1 x2 · · · ηx1 xn 
0 d2 · · · 0 
  .. 
··· ···
··· 
= h · · ·
 · · · · · · · · · · · ·   .  , (u1x , u2x , · · · , unx )i
ηxn x1 ηxn x2 · · · ηxn xn
unx
0
0
0 d
n
= hD2 η(u)Dux , ux i
Desde (4.9)
h∇η(u), Duxx i = h∇η(u), Dux ix − hD2 η(u)Dux , ux i
ahora en (4.8)
η(u)t + q(u)x = h∇η(u), Dux ix − hD2 η(u)Dux , ux i
η(u)t + β(u)x ≤ h∇η(u), Dux ix − kux (x, t)k
37
Integrando sobre Π × [t0 , t] y usando teorema de Fubini , obtenemos
Z πZ t
Z tZ π
η(u)t dτ dx +
q(u)x dxdτ
−π
t0
−π
t0
π
Z tZ
h5η(u), Dux ix dτ dx − ∈
≤
tπ−π
−π
t0
Z
t
kux (x, τ )k2 dτ dx
t0
o
Z tZ
π
Z
t
[q(u)(π, τ ) − q(u)(−π, τ )]dτ = 0
q(u)x dxdτ =
.)
t0
−π
Z tZ
t0
π
h5η(u), Dux ix dxdτ
.)
t0
−π
Z
t
[h5η(u)(π, τ ), Dux (π, τ )i − h5η(u)(−π, τ ), Dux (π, τ )i]dτ
=
Zt0t
[h5η(u)(π, τ ), D[ux (π, τ ) − ux (−π, τ )]dτ
=
Zt0t
=
[h5η(u)(π, τ ), Dθ]dτ
t0
= 0
Por tanto
Z
π
−π
Z
η(u(x, τ ))|tt0
Z tZ
π
≤
kux (x, τ )k2 dτ dx
−π
t0
Z tZ
π
π
kux (x, τ )k2 dτ dx
[η(u(x, t)) − η(u(x, t0 ))] ≤ −
t0 −π Z Z
Z π
Z−π
t
π
π
kux (x, τ )k2 dτ dx
η(u(x, t))dx −
η(u(x, t0 ))dx ≤ −
−π Z
t0 −π
Z π
Z
Z−π
t
π
π
2
η(u(x, t0 ))dx
η(u(x, t))dx + kux (x, τ )k dτ dx ≤
t0 −π
−π
Z
Z−π
π
π
η(u(x, t))dx ≤
η(u(x, t0 ))dx
−π
−π
usando (4.2) y (4.3)
Z π
Z
2
2
δ
ku(x, t)k dx ≤
−π
1
≤ 4 ku(t0 )k22
δ
1
ku(t)k2 ≤ 2 ku(t0 )k2
δ
ku(t)k2 ≤ C4 ku(t0 )k2
π
1
η(u(x, t0 ))dx ≤ 2
δ
−π
ku(t)k22
38
Z
π
−π
ku(x, t0 )k2 dx
1
.
δ2
Para probar (4.6) diferenciamos (3.1) en relación a la variable x, i.e.,
con C4 =
ut + f (u)x
= Duxx
utx + f (u)xx = Duxxx
haciendo el producto escalar por la izquierda por ux
hux , uxt i + hux , f (u)xx i = hux , Duxx i
1d
hux , ux i = hDuxxx − f (u)xx , ux i
2 dt
= −hf (u)xx , ux i + hDuxxx , ux i
•) hf (u)x , ux ix = hf (u)xx , ux i + hf (u)x , uxx i
hf (u)xx , ux i = hf (u)x , ux ix − hf (u)x , uxx i
•) hDuxx , ux ix = hDuxxx , ux i + hDuxx , uxx i
hDuxxx , ux i = hDuxx , ux ix − hDuxx , uxx i
entonces
1d
kux (x, t)k2 = −hf (u)x , ux ix + hf (u)x , uxx i+
2 dt
+hDuxx , ux ix − hDuxx , uxx i
Integrando en T × [t0 , t], obtenemos
Z Z
Z πZ t
Z πZ t
1 π t d
2
kux (x, τ )k dτ dx =
hf (u)x , uxx idτ dx −
hDuxx , uxx idτ dx
2 −π t0 dt
−π
t
−π
t
0
0
Z Z
Z Z
π
t
π
t
−π
t0
h∇f (u)ux , uxx idτ dx −
=
−π
t0
hDuxx , uxx idτ dx
.)
h∇f (u)ux , uxx i ≤
≤
≤
≤
|h∇f (u)ux , uxx i|
k∇f (u)ux k kuxx k
|k∇f (u)k| kux k kuxx k
M1 kux k kuxx k
.)

*
d1
 0

 ···
0
0 ···
d2 · · ·
··· ···
0
0


0
u1xx
0 
. 

 ..  , (u1xx , u2xx , · · · , unxx )i

···
unxx
dn
= h(d1 u1xx , d2 u2xx , · · · , dn unxx , (u1xx , u2xx , · · · , unxx ))i
= d1 u21xx + d2 u22xx + · · · + dn u2nxx
≥ d(u21xx + · · · + u2nxx );
(d := mı́n1≤i≤n di )
2
= dkuxx k
39
Por tanto
hDuxx , uxx i ≥ dkuxx k2 ,
entonces
1
2
Z
π
−π
Z
t
t0
d
kux (x, τ )k2 dτ dx ≤
dt
Z
π
Z
t
M1 kux (x, τ )k kuxx (x, τ )kdτ dx−
−π
Z
t0
π Z t
dkuxx (x, τ )k2 dτ dx
−
Z t t0
Z π −π
Z Z
√
1 π t d
M1
[ √ kux (x, τ )k. 2dkuxx (x, τ )k
kux (x, τ )k2 dτ dx ≤
2 −π t0 dt
2d
−π t0
−dkuxx (x, τ )k2 ]dτ dx
Z πZ t
Z π
1
M2
2
2
√ 1 kux (x, τ )k2 + dkuxx (x, τ )k2
[kux (x, t)k − kux (x, t0 )k ]dx ≤
2 −π
4d
−π t0
−dkuxx (x, τ )k2 dτ dx
Z π
Z π
Z πZ t 2
M1
2
2
kux (x, t)k dx −
kux (x, t0 )k dx ≤
kux (x, τ )k2 dτ dx
2d
−π
t0
Z−ππ
Z−π
π
2
kux (x, t)k dx ≤
kux (x, t0 )k2 dx+
−π
−π
M2
+ 1
2d
kux (t)k22
Z
π
Z
t
kux (x, τ )k2 dτ dx
Z
M12 t
2
≤ kux (x, t0 )k +
kux (τ )k22 dτ
2d t0
−π
t0
usando la desigualdad (3.13) en la franja R × [t0 , t] obtenemos
Z
M12 t C1 2
2
2
ku(t0 )k22 dτ
kux (t)k2 ≤ kux (t0 )k2 +
2d t0 τ
Z t
2
2
C
dτ
1 M1
2
2
= kux (t0 )k2 +
ku(t0 )k2
2d
Zt0t τ
2
2
C M
dτ
≤ kux (t0 )k22 + 1 1 ku(t0 )k22
2d
t0 t0
2
2
C
M
= kux (t0 )k22 + 1 1 (t − t0 )ku(t0 )k22
2dt0
2
C
M2
kux (t)k22 + ≤ kux (t0 )k22 + 1 1 (T − t0 )ku(t0 )k22 .
2dt0
Si C5 es una constante tal que, C52 = máx{1,
C12 M12
(T − t0 )} entonces
2dt0
kux (t)k22 ≤ C52 kux (t0 )k22 + C52 ku(t0 )k22
≤ C52 [kux (t0 )k2 + ku(t0 )k2 ]2 .
40
Por tanto
kux (t)k ≤ C5 [kux (t0 )k2 + ku(t0 )k2 ], t0 ≤ t ≤ t1 .
Teorema 9. supongamos que existe un par de entropia (η, q), satisfaciendo
(4.1), (4.2), (4.3) y (4.4) y que u0 − u ∈ L∞ (T) con ku0 − uk∞ = r0 < r. Sea
C1 , C4 , C5 y T constantes definidas en el teorema 3.5 y lema 3.11. Entonces
el problema de valor inicial (3.1)-(3.2) tiene una solución global si
s
C1
(1 + 4π)C4 C 5 ( √ + C4 )ku0 − uk2 ≤ r0
(4.10)
T
donde C 5 = máx{C5 , 1}.
Demostración. Nuevamente consideramos u = 0, para facilitar la notación
hacemos
C1
a = C4 ku0 k2 and b = C 5 ( √ + C4 )ku0 k2 .
T
Asi la hipótesis (4.10) se transforma en
p
(1 + 4π)ab ≤ r0 .
Por teorema 3.8, existe una única solución u de (3.1) y (3.2) definida en la
franja R × [0, T ].
Además, por item (a) del teorema 3.5, obtenemos
ku(t)k∞ ≤ r, 0 ≤ t ≤ T.
Por lema 3.11
ku(T )k2 ≤ C4 ku0 k2 = a
y por la desigualdad (3.13) del teorema 3.8,
C1
kux (T )k2 ≤ √ ku0 k2 ≤ b
T
(4.11)
Ahora supongamos que u está definida hasta kT para algún k ∈ Z+ , y que
ku(t)k∞ ≤ r, 0 ≤ t ≤ kT,
(4.12)
ku(kT )k2 ≤ a,
(4.13)
kux (kT )k2 ≤ b,
(4.14)
41
como u(kT ) es una función periódica continua. Sea x0 , x1 ∈ [−π, π] tal que
mı́n{ku(x, kT )k : −π ≤ x ≤ π} = ku(x0 , kT )k
mı́n{ku(x, kT )k : −π ≤ x ≤ π} = ku(x1 , kT )k = ku(kT )k∞
supongamos que x0 < x1 . Entonces
2
2
ku(x1 , kT )k − ku(x0 , kT )k
Z
=
=
=
≤
≤
x1
d
ku(x, kT )k2 dx
dx
Zx0x1
d
hu(x, kT ), u(x, kT )idx
xZ0 dx
x1
hux (x, kT ), u(x, kT )idx
2
Zx0x1
ku(x, kT )k kux (x, kT )kdx
2
Zx0π
ku(x, kT )k kux (x, kT )kdx
2
−π
≤ 4πku(kT )k2 kux (kT )k2
entonces
ku(kT )k2∞ ≤ ku(x0 , kT )k2 + 4πku(kT )k2 kux (kT )k2 .
Note que
ku(x0 , kT )k2 ≤ ku(x, kT )k2
tal que
1
2π
Z π
1
ku(x0 , kT )k dx ≤
ku(x, kT )k2 dx
2π −π
−π
ku(x0 , kT )k2 ≤ ku(kT )k22
Z
π
2
por tanto
ku(kT )k2∞ ≤ ku(kT )k22 + 4πku(kT )k2 kux (kT )k2
ku(kT )k2∞ ≤ a2 + 4πab
≤ ab + 4πab
= (1 + 4π)ab
p
ku(kT )k2∞ ≤ (1 + 4π)ab ≤ r0 < r.
Por tanto u(kt) ∈ L∞ (T) y ku(kT )k∞ ≤ r0 < r. Por teorema 3.8 podemos
extender la solución u hasta (k + 1)T con ku(t)k∞ ≤ r y u(t) ∈ L2 (T) para
t ≤ (k + 1)T . Por lema 3.11, obtenemos
ku((k + 1)T )k2 ≤ C4 ku0 k2 = a
42
y
kux ((k + 1)T )k2 ≤ C5 [kux (T )k2 + ku(T )k2 ]
≤ C5 [ √CT1 ku0 k2 + C4 ku0 k2 ]
≤
C5 [ √CT1 + C4 ] = b.
Asi (4.12), (4.13) y (4.14) son satisfechas hasta el tiempo (k + 1)T . procediendo inductivamente, establecemos la existencia de la solución u en todo
t ≥ 0.
43
Materiales y Métodos
Los materiales utilizados para la elaboración de éste trabajo fueron: Libros, servicios de internet, CDs, fotocopias, espiralados, tipeos e impresiones,
papel de impresión, y el editor LATEX.
La metodologı́a empleada en este trabajo es el enfoque inductivo y deductivo. Inductivo pues inducimos las definiciones, teoremas, proposiciones,
lemas, corolarios, etc. y el deductivo porque deducimos demostraciones de
teoremas, proposiciones, lemas y corolarios.
44
Resultados
En el presente trabajo se ha estudiado el problema con condiciones iniciales
ut + f (u)x = Duxx , x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R
donde u : R × R+ → Rn es una función desconocida, D es una matriz
diagonal con autovalores positivos y f : Rn → Rn es una función de clase C 3 .
para dato inicial
u0 ∈ L∞ (T)
y
ku0 − ukL∞ (T) = r0 < r.
Inicialmente fue obtenida una solución suave periódica de perı́odo 2π del
problema definida en un conjunto de funciones de la forma
GT = {u ∈ L∞ (T × [0, T ]; Rn ) : ku(t) − uk∞ ≤ r, r > 0, t ∈ [0, T ], T > 0},
para algún T > 0. En este sentido la solución es dicha local. El tiempo T
depende de la diferencia r − ku0 k∞ < r y cuanto menor es esta diferencia
menor será T . Este tiempo depende aún del núcleo del operador del calor K,
que a su vez depende de la matriz de viscocidad D y de la función de flujo f.
La principal dificultad para extender la solución local del problema es la
construcción del par de funciones de entropı́a, satisfaciendo ciertas desigualdades.
Atravez de este método se obtiene la existencia global de la solución
para las ecuaciones de la dinamica de los gases con términos de viscosidad y
conducción del calor.
45
Discusión
El método empleado en este trabajo puede ser dirigido y aplicado en diversas aplicaciones.
Un resultado interesante serı́a aplicar las técnicas desarrolladas en este trabajo para demola existencia global de soluciones para problemas de valores
iniciales en flujo multifásico en medios porosos. En esta dirección, para un
problema de valor inicial particular fue probado por J. C. da Mota: en su
tesis de doctorado ”solucoes Fundamentais para Escoamentos Térmico de
Fluidos Multi´ásicos em Meios Porosos. PUC-RJ. 1988”la existencia local de
soluciones, mas la existencia local aún no ha sido probada.
46
Bibliografı́a
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[2] H Brezis. Analyse Fonctionnelle(Théorie et Applications), Masson,
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Parabolic Systems, Annles Institut Henri Poincaré, Vol 2, no 3, 1985,
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Quasilinear Equations of Parabolic Type, Amer. Math. Soc. Translation,
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47