2.3 El método de matriz de transferencia: modelo de Ising en d = 1

2.3
El método de matriz de transferencia: modelo de Ising en d = 1
Este es un método para resolver sistemas definidos en redes con variables discretas,
el cual se utiliza fundamentalmente para resolver problemas unidimensionales, aunque
puede en algunos casos extenderse a dimensiones mayores.
Supongamos un sistema definido en una red unidimensional de N sitios con condiciones de contorno periódicas y variables dicretas σi , i = 1, 2, . . . , N , las cuales pueden
tomar M valores diferentes y satisfacen:
σi+N = σi
Supongamos ademas interacciones solo entre primeros vecinos, con lo cual el Hamiltoniano del sistema puede ser escrito de manera genérica como
H({σ}) =
N
X
[U (σi ) + V (σi , σi+1 )]
(61)
i=1
donde, por las condiciones periódicas, σN +1 = σ1 . La función de partición viene dada
por
Z =
X
"
exp −β
#
{U (σi ) + V (σi , σi+1 )}
i=1
{σi }
=
N
X
N
XY
T (σi , σi+1 )
(62)
{σi } i=1
con
£
©
ª¤
T (σ, σ 0 ) = exp −β U (σ)/2 + V (σ, σ 0 ) + U (σ 0 )/2
donde hemos simetrizado el exponente, por motivos que quedarán claros inmediatamente. Las funciones T (σ, σ 0 ) pueden ser pensadas como los elementos de una matriz
M ×M , que llamaremos T , la cual se conoce como matriz de transferencia. Tenemos
entonces
68

ZN
=
=
X X
···
X
{σ1 } {σ3 }
{σN }
X X
X
···
{σ1 } {σ4 }
{σN }


X
T (σ1 , σ2 )T (σ2 , σ3 ) T (σ3 , σ4 ) . . . T (σN , σ1 )
{σ2 }


X

T 2 (σ1 , σ3 )T (σ3 , σ4 ) T (σ4 , σ5 ) . . . T (σN , σ1 ) (64)
{σ3 }
..
.
=
(63)
(65)
X
T N (σ1 , σ1 )
{σ1 }
³
= Tr TN
(66)
´
(67)
La matriz T es simétrica por construcción y por lo tanto sus autovalores son reales. Si
llamamos λj , j = 1, 2, . . . , M a los autovalores de T entonces
Z=
M
X
λN
j
(68)
j=1
Teorema de Perron-Frobenius: Dada un matriz M ×M (M < ∞) A, con elementos
de matriz Aij > 0 para todo i, j, el mayor autovalor es:
1. real y positivo,
2. no-degenerado,
3. una función analı́tica de los elementos de matriz Aij .
Podemos entonces ordenar los autovalores de T de manera que
λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥ · · · ≥ λM
donde λ1 por el teorema anterior es una función analı́tica de β (T > 0) y otros
parámetros incluidos en el Hamiltoniano, ya que asumimos M finito. De esta manera, la energı́a libre resulta
69
−βf
1
ln Z
N →∞ N
"
Ã
!#
M
X
1
N
N
= lim
ln λ1 1 +
(λi /λ1 )
N →∞ N
i=2
=
lim
"
M
X
1
= ln λ1 + lim
ln 1 +
(λi /λ1 )N
N →∞ N
i=2
#
= ln λ1
(69)
Dado que λ1 es una función analı́tica de todos sus parámetros, esto constituye una
demostración alternativa de que en un sistema unidimensional con interacciones de
primeros vecinos no existe transición de fase a temperatura finita.
Vamos analizar ahora la solución del modelo de Ising unidimensional con interacción
a primeros vecinos. Antes de aplicar el método anterior, vamos a resolver el problema
con condiciones de contorno libres a campo nulo, para el cual
−βH = K
N
−1
X
Si Si+1
i=1
Z(N, T ) =
X
S1 =±1
···
−1
X NY
exp (KSi Si+1 )
SN =±1 i=1
Sumemos primero sobre SN :
X
exp(KSN −1 SN ) = exp(KSN −1 ) + exp(−KSN −1 )
SN =±1
= 2 cosh (KSN −1 )
= 2 cosh (K)
ya que cosh (x) es una función par. Tenemos entonces
Z(N, T ) = 2 cosh (K)Z(N − 1, T )
Iterando esta ecuación obtenemos
70
(70)
X
Z(N, T ) =
[2 cosh (K)]N −1 = 2 [2 cosh (K)]N −1
S1 =±1
de donde la energı́a libre resulta
1
ln Z(N, T ) = ln (2 cosh K)
N →∞ N
−βf (T ) = lim
(71)
La derivación anterior se basa en el hecho de que el resultado de la suma sobre SN es
independiente de SN −1 . En presencia de campo externo esto ya no se cumple. Vamos
a entonces a calcular la función partición a campo no nulo, pero usando condiciones
de contorno periódicas mediante el método de matriz de transferencia. En este caso
podemos escribir
X
Z(N, B, T ) =
···
S1 =±1
"
N
hX
exp K
Si Si+1 +
(Si + Si+1 )
2 i=1
i=1
=±1
X
SN
N
X
#
(72)
con h ≡ βB y SN +1 = S1 . La matriz de transferencia en este caso es 2 × 2 y sus
elemetos tienen la forma
·
¸
h
T (S, S ) = exp KSS + (S + S 0 )
2
0
0
(73)
con S, S 0 = ±1, esto es



 T (+1, +1) T (+1, −1)  
=
T =
T (−1, +1) T (−1, −1)

eK+h
e−K
e−K
eK−h


(74)
Los autovalores resultan
·
λ1,2 = eK cosh(h) ±
¸
q
cosh2 (h) − 2 e−2K senh(2K)
A campo nulo h = 0 tenemos
λ1 = 2 cosh(K) > λ2 = 2 senh(K) > 0
y en general λ1 > λ2 ≥ 0. La energı́a libre por partı́cula resulta entonces
71
(75)
1
m(B,T)
T=0
T>0
0
T=0
-1
0
B
Figura 16: Magnetización vs. campo para el modelo de Ising en d = 1.
½
¾
q
f (T, B) = −J − kB T ln cosh(βB) +
2
cosh (βB) −
2 e−2βJ senh(2βJ)
(76)
que es una función analı́tica de T y B. Notemos que a campo nulo esta expresión se
reduce a la Ec.(71), tal como esperado. La magnetización por spin esta dada por
µ
∂f
m(T, B) = −
∂B
¶
senh(βB)
=q
T
cosh2 (βB) − 2 e−2βJ senh(2βJ)
(77)
Vemos que m → 0 cuando B → 0, para toda T 6= 0, y por lo tanto este sistema
no presenta transición de fase a temperatura finita, esto es, se comporta como un
paramagneto a toda temperatura. Para T → 0 (β → ∞) tenemos que
1
senh(βB) ∼ sgn(B) eβ|B|
2
1
cosh(βB) ∼ eβ|B|
2
con lo cual m(T, B) → sgn(B) (ver Fig.16).
Podemos calcular también la susceptibilidad a campo nulo
72
¯
χ=
∂m ¯¯
e2J/kB T
=
∂B ¯B=0
kB T
Para T À 1 tenemos que χ ∼ 1/kB T , lo cual se conoce como ley de Curie (comportamiento tı́pico de paramagnetos). Podemos calcular también la entropı́a por spin
s(T, B) = −(∂f /∂T )B , y mediante esta el calor especı́fico a campo constante
µ
CB=0 = T
∂s
∂T
Ã
¶
= −T
B=0
∂2f
∂T 2
!
=
B=0
J2
1
³
kB T 2 cosh2
J
´
(78)
kB T
que es también una función analı́tica para toda T > 0. Notemos que tanto χ como C
divergen cuando T → 0.
Podemos utilizar la matriz de transferencia para calcular también funciones de
correlación. Para ello calculemos primero
hSi i =
1 X X
···
T (S1 , S2 ) · · · T (Si−1 , Si ) Si T (Si , Si+1 ) · · · T (SN , S1 )
Z S
S
1
N
Analicemos primero la suma en Si :
X
T (Si−1 , Si ) Si T (Si , Si+1 )
Si =±1
es simple verificar que la misma es igual al elemento de matriz A(Si−1 , Si+1 ) de la
matriz
A = T σz T
donde


 1
σz = 
0 
0 −1

es una de las matrices de Pauli. Usando la propiedad cı́clica de la traza de un producto
de matrices tenemos que
hSi i =
i
1 h i z N −i i
1 h
Tr T σ T
= Tr σ z T N
Z
Z
73
Sea ahora C la matriz de la transformación unitaria que diagonaliza T , esto es


 λ1
C −1 T C = T 0 = 
0 
0
λ2

y llamemos


 e
C −1 σ z C = 
g 
f
k

Los elementos de matriz (e, f, g, k) son funciones analı́ticas de (B, T, J) y pueden calcualrse sin esfuerzo. Tenemos entonces que
hSi i =
i
1 h −1 z
eλN + kλN
2
Tr C σ CT 0N = 1N
Z
λ1 + λN
2
de donde hSi i = e en el lı́mite N → ∞. Calculemos ahora la función de correlación:
hSi Si+r i =
=
=
1 h i z r z N −r−i i
Tr T σ T σ T
Z
1 h z r z N −r i
Tr σ T σ T
Z
i
1 h −1 z
Tr (C σ C)T 0r (C −1 σ z C)T 0N −r
Z
Puede verse entonces que en el lı́mite N → ∞:
µ
2
hSi Si+r i = e + f g
λ2
λ1
¶r
La función de correlación conectada resulta entonces
µ
Cc(2) (r)
=fg
λ2
λ1
¶r
= f g e−r/ξ
donde la longitud de correlación
ξ=
1
ln (λ1 /λ2 )
se mide en unidades del parámetro de red. A campo nulo tenemos que
ξ=
1
ln (cothK)
74
(79)
Vemos que las correlaciones decaen exponencialmente para toda T > 0. Notemos
que ξ diverge para T → 0. Esta divergencia, al igual que la del calor especı́fico y
de la susceptibilidad nos muestran que el modelo presenta una transición de fase a
temperatura cero.
2.4
El modelo n-vectorial unidimensional
~i | = 1 a campo nulo, en una dimensión y con
Consideremos el modelo n-vectorial con |S
condiciones de contorno libres. La función de partición tiene la forma
Ã
Z
Z(N, T ) =
exp K
N
−1
X
!
~i .S
~i+1 dS
~1 · · · dS
~N
S
i=1
donde cada una de las integrales esta restringida a una hiperesfera de radio unidad
~i | = 1. Al igual que en el modelo de Ising con condiciones de contorno libres, vamos a
|S
~N . Esta integral
ir resolviendo las integrales de a una, comenzando por la integral en S
tiene la forma
Z
~
|S|=1
~ ~
eα~ .S dS
donde α
~ es un vector n-dimensional. Para resolver esta integral consideremos una
función de la forma
Z
Fn (r) =
~
~
|S|=r
eα~ .S dσr
donde dσr es el elemento de área sobre una hiperesfera n dimensional de radio r, esto
es, dσr = rn−1 dΩn . Tenemos que
Z ∞
0
−sr2
e
Fn (r)dr =
Z ∞
−∞
···
µ ¶n/2
=
π
s
Z ∞
−∞
Ã
exp −s
n
X
i=1
Si2
+
n
X
exp (α2 /4s)
−∞
r
2 +bx
dx e−ax
=
75
αi Si dS1 · · · dSn
i=1
donde hemos usado que
Z ∞
!
π
exp (b2 /4a)
a
(80)
y α ≡ |~
α| =
qP
n
2
i=1 αi .
Haciendo el cambio de variable r2 = x en la integral del
lado izquierdo de la Ec.(80) tenemos que la misma resulta igual a la transformada de
Laplace de la función Fn (x1/2 )/2x1/2 :
Z ∞
0
e
−sr2
Fn (r)dr =
Z ∞
0
e−sx Fn (x1/2 )dx/2x1/2
De tablas obtenemos que
"µ ¶ ν−1
x
k
L
2
³ √
´
#
Iν−1 2 k x
=
1 k/s
e
ν>0
sν
donde Iν es una función de Bessel modificada de primer tipo de orden ν, la cual posee
la representación integral:
Iν (y) = (y/2)ν
Z c+i∞
1
2πi
c−i∞
exp (p + y 2 /4p)p−(ν+1) dp
donde c es una constante real arbitraria c > 0. Haciendo todos los reemplazos apropiados obtenemos finalmente
Fn (r) = (2π)n/2 α1−n/2 rn/2 I n2 −1 (αr)
y asi
Z
~
|S|=1
~ ~
eα~ .S dS
= Fn (1) = (2π)n/2 α1−n/2 I n2 −1 (α)
~ 0 donde S
~ 0 es un vector unitario, la integral es independiente
En nuestro caso α
~ = KS
de S~ 0 y por lo tanto
n
o
Z(N, T ) = Z(N − 1, T ) (2π)n/2 K 1−n/2 I n2 −1 (K)
Iterando esta ecuación N − 1 veces obtenemos
n
n/2
Z(N, T ) = (2π)
K
1−n/2
I
oN −1 Z
n
−1
2
(K)
|S~1 |=1
dS1 =
oN −1
2π n/2 n
(2π)n/2 K 1−n/2 I n2 −1 (K)
Γ(n/2)
Esta es una función analı́tica para K finito y por lo tanto el modelo no presenta
transición de fase con orden de largo alcance a temperatura finita, tal como esperado.
76