Conductores

Capı́tulo 8
Conductores
8.1.
Mecanismos de conducción. Medios óhmicos
Ya hemos visto en la sección 1.3.2 que, desde el punto de vista macroscópico, el
transporte de cargas puede describirse por los vectores densidad de corriente
~ =
p
X
~i , ~i = ρi ~ui
(8.1)
i=1
donde ρi es la densidad de carga de portadores de tipo i, ~ui su velocidad colectiva o
de arrastre, ~i su densidad de corriente y ~ la densidad de corriente total, o neta, del
conjunto de los p portadores de distinto tipo que intervienen en la conducción.
En general, un portador es cualquier partı́cula cargada capaz de desplazarse y dar
lugar a un flujo neto de cargas a través de una superficie determinada.
Existe una gran variedad de mecanismos de conducción, algunos de gran complejidad. Las fuerzas que intervienen en la conducción, a nivel microscópico, son de tipo
cuántico y electromagnético. Por ahora nos ocuparemos principalmente de la contribución del campo eléctrico que, en la mayorı́a de los casos prácticos, es la más importante,
y se utilizarán modelos mecánicos sencillos para representar a las fuerzas cuánticas.
El campo eléctrico actúa sobre los portadores de carga acelerándolos, en su misma
dirección si son de carga positiva, como los iones positivos en electrolitos y gases o
los huecos en semiconductores, y en dirección contraria, como los electrones e iones
negativos. En general, cada tipo de portador contribuye a la corriente total, con una
densidad de corriente 1
~ t) , ~ui = ~ui (E,
~ t)
~i = ~i (E,
En los medios densos, la energı́a que el campo cede a los portadores puede convertirse eficientemente en energı́a térmica a través de los choques con moléculas, lo que
puede traducirse en una fuerza de fricción equivalente. Esta fuerza de fricción, como
en el caso de la caı́da de un grave en un medio viscoso, limita la velocidad de arrastre
1
La corriente puede también ser función del campo magnético pero aquı́ no tendremos en cuenta a
esta posible contribución.
283
284
de los portadores de forma que, bajo la acción de un campo constante, ésta alcanza
rápidamente un valor lı́mite independiente del tiempo.
~
~ui = ~ui (E)
Para los medios lineales simples, o medios óhmicos, esta relación se escribe de la
forma
~
~ui = µi E
(8.2)
donde µi es una constante, la movilidad del portador i.
La densidad de corriente total será también proporcional al campo aplicado
~ , σ=
~ = σ E
p
X
i=1
ρi µi , [σ] = S · m−1
(8.3)
donde σ es la conductividad del medio y S es la abreviatura de la unidad de admitancia
siemens 2 .
Esta es una de las formas de enunciar la ley de Ohm, con la cual se expresa la
relación local de tipo lineal 3 e isótropa, existente entre el campo eléctrico aplicado
y la densidad de corriente resultante para un cierto tipo de materiales y bajo unas
condiciones determinadas.
Conviene resaltar que esta ley, si bien tiene un amplio margen práctico de aplicabilidad, no tiene validez universal 4 . Entre otros factores destacaremos el hecho de que
la inercia de los portadores hace que ~ dependa también del valor de los campos en
instantes previos.
La aptitud de conducción de un medio suele medirse también por la resistividad
r=
1
, [r] = Ω · m
σ
(8.4)
que en la práctica toma valores muy distintos, desde estrictamente cero, en los superconductores, y valores finitos pero muy bajos, del orden de 10−8 Ω · m, para los buenos
conductores, pasando por el orden unidad para los semiconductores intrı́nsecos y llegando hasta el orden 1018 para los buenos dieléctricos.
Mientras no avisemos lo contrario, los medios que trataremos serán óhmicos.
8.2.
Relajación en medios óhmicos
Veremos que un medio óhmico homogéneo tiende a neutralizar la carga en su interior
en un tiempo del orden de
ε
τ=
(8.5)
σ
2
Véase la sección 8.5.
Como en casos anteriores, ésta no es la forma más general de linealidad, como puede verse en
[Garcı́a Olmedo]. En un medio lineal, para una frecuencia determinada, σ, como ε y µ, pueden ser
complejos. En este caso, no toda la energı́a cedida por el campo a las cargas se convierte en calor, como
se implica en la ley de Ohm.
4
No es estrictamente una ley sino, más bien, la definición de una relación que cumple aproximadamente un cierto tipo de medios si las variables pertinentes se limitan de forma adecuada.
3
285
constante caracterı́stica del medio que se llama tiempo de relajación y que, para buenos
conductores, puede alcanzar valores del orden de 10−15 s. Paralelamente, si por un
medio óhmico circula en un instante dado una corriente no estacionaria, ésta tenderá a
hacerse estacionaria con la misma constante de tiempo.
Para ser precisos, veremos que un medio en estado no estacionario tiene un comportamiento que no es estrictamente óhmico.
Supongamos que σ y ε son constantes reales, luego
~ , D
~ = εE
~
jsp = σ E
Según la ecuación de continuidad
∇ · ~ = −
∂ρ
∂ρ
~ = 1 ∇·D
~
⇒−
= σ∇·E
∂t
∂t
τ
de donde se obtiene la siguiente ecuación diferencial y su integral
∂ρ
ρ
=−
∂t
τ
⇒ ρ = ρ0 e−t/τ
(8.6)
Por lo tanto, si el medio tiene en un instante dado una densidad neta de carga
ρ0 6= 0, cuando desaparezcan las causas que lo han sacado de la neutralidad local,
tenderá a restablecerla con una constante de tiempo τ . Simultáneamente, el conductor
tiende a hacerse estacionario. Efectivamente
ρ0 −t/τ
∂ρ
=−
e
⇒ lı́m ∇ · ~ = 0
t→∞
∂t
τ
Por esta razón, los desequilibrios de carga en un conductor, bajo esta aproximación,
sólo pueden aparecer en su superficie, donde, al darse una no homogeneidad del medio,
~ = ∇ · (τ~) 6= τ ∇ · ~. Si, por otra parte, la frecuencia del campo es
τ = τ (~r) y ∇ · D
elevada, las constantes se hacen complejas y se da lugar a corrientes no estacionarias.
8.3.
Conductores estáticos
En conexión con lo anteriormente expuesto, trataremos el caso importante de los
cuerpos conductores en condiciones estáticas.
En la práctica, es posible aislar a un conductor de forma que, en él y en su entorno,
se cumplan muy aproximadamente las condiciones de estaticidad
~ = E(~
~ r) , ~ = 0
E
bajo las cuales los campos son constantes y las cargas están quietas.
Supondremos que el conductor como tal, véase la figura 8.1, dispone de un número
elevado de portadores, es decir, tiene una densidad de portadores ρp prácticamente
infinita.
Si estos portadores están quietos, no están sometidos a la acción del campo eléctrico.
De hecho, sólo en la superficie, donde las fuerzas eléctricas pueden ser contrarrestadas
286
E
E i=0
V i =cte
ρ p =οο
Figura 8.1:
por las cristalinas, es posible la existencia de campo eléctrico. Luego, el campo interno
de un conductor estático es nulo
~i = 0
E
(8.7)
además, puesto que
~ i · d~r = 0
dVi = −E
todo el conductor está al mismo potencial
Vi = cte
(8.8)
Puede hablarse, pues, del potencial de un conductor estático.
Los conductores de tipo metálico son poco polarizables porque las cargas de polarización están fuertemente ligadas a las moléculas. Por esta razón, puede tomarse de
forma muy aproximada ε = ε0 .
~ c , podemos demostrar
Por lo que respecta al campo en la superficie del conductor, E
que es proporcional a la densidad superficial de carga y perpendicular a la superficie
~ c = ρs ~n
E
ε
La perpendicularidad a la superficie de deduce del hecho de que ésta es equipotencial.
El cálculo del campo puede llevarse a cabo mediante el uso del teorema de Gauss.
Para poder aplicarlo es necesario modelar la transición del conductor, de constante ε0 , al
dieléctrico, de constante ε, como continua. Supongamos, figura 8.2, que esta transición
tiene lugar rápidamente, en un intervalo ∆x, donde x es la distancia en la dirección
perpendicular a la interfaz de separación de los dos medios.
Supongamos ahora, figura 8.3-a, que la rugosidad de la superficie S del conductor
es limitada y que podemos aproximar una pequeña zona de S, S1 , al plano tangente Π.
Si un observador se acerca a una distancia h/2 tal que
∆x ≪ h/2 ≪ L
√
donde L ∼ S1 es la ’dimensión transversal’ de S1 , verá a la superficie del conductor
~ c serán prácticamente constantes.
como un plano infinito en el que, por lo tanto, ρs y E
En +h/2 verá un dieléctrico homogéneo y en −h/2 un conductor homogéneo.
287
ε(x)
ε
ε0
x
∆x
-h/2
h/2
Figura 8.2:
ε0
n
Ec
S1
S
∆S
E pr
’
ρs
ε0
ρs
E pr
pol
Ec
Ec
S2
E le
E le
Π
Conductor
(a)
Dielectrico
(b)
Figura 8.3:
Tomaremos ahora lo que en la profesión se conoce como una caja de pastillas. Se
trata de una pequeña superficie cilı́ndrica, S2 , cuyas generatrices, de longitud h, son
perpendiculares al plano Π y cuyas bases, de superficie ∆S ≪ S1 y a distancia h/2 de
dicho plano, son paralelas a mismo.
Según el teorema de Gauss
Z
Z
~
~
ΦS2 (D) =
D · d~s = Q =
ρs ds
S2
∆S
~ c = Ec ~n sólo contribuye
Puesto que el campo en el interior del conductor es nulo y E
al flujo la base que está en el dieléctrico.
~ = ε Ec ∆S
∆S~ = ∆S ~n , ΦS2 (D)
La carga de conducción encerrada en la caja de pastillas es la que está en la superficie
del conductor, ∆S, seccionada por la caja de pastillas.
Q = ρs ∆S ⇒
~ c = ρs ~n
E
ε
(8.9)
~ c está generado
Haciendo las cuentas en detalle podemos demostrar que la mitad de E
por las cargas próximas, contenidas en ∆S, y la otra mitad por el resto de las cargas
288
~ c en dos componentes: una, E
~ pr , debida a las cargas
del Universo. Descompongamos E
~ le , debida a las cargas lejanas.
próximas de conducción y de polarización, y otra, E
~c = E
~ pr + E
~ le
E
En la figura 8.3-b se representa a la misma caja de pastillas pero se ha substituido
el dieléctrico por sus cargas superficiales de polarización. De esta forma, en la zona del
dieléctrico se toma ε → ε0 y el problema se hace simétrico a ambos lados de la superficie.
Efectivamente, procediendo de forma análoga a la utilizada anteriormente
~ c = 1 (ρs + ρs ) ~n
~ = 1 (ρ + ρpol ) ⇒ E
∇·E
pol
ε0
ε0
donde se pone de manifiesto las contribuciones de las cargas de conducción y de polarización.
′
~ pr
Dada la simetrı́a del problema, el campo próximo en el interior del conductor E
~ pr .
debe ser igual y contrario al mismo campo fuera del conductor E
′
~ pr
~ pr
E
= −E
mientras que el campo lejano carece de fuentes en la zona de interés y es continuo.
~ i en el interior del conductor es nulo
Por otra parte, el campo E
~ i = −E
~ pr + E
~ le = 0 ⇒ E
~ pr = E
~ le ⇒ E
~ pr = 1 E
~c
E
2
En todos estos cálculos, como en toda fı́sica macroscópica, se ha emitido una serie de
hipótesis que pueden ser válidas en una determinada situación fı́sica. En los microscopios
o
de emisión de campo se utilizan puntas con radios de curvatura de unos pocos A, lo que
evidentemente hace inadecuada la aplicación de lo anterior a este tipo de estructuras.
Como consecuencia de la existencia de campo en la superficie del conductor, sobre
ésta se ejerce una fuerza, por unidad de superficie,
~c
E
1 2
1
dF~
= ρs
=
ρs ~n = ε Ec2 ~n
ds
2
2ε
2
dF~
= ωe ~n
(8.10)
ds
1
donde, como se verá más adelante, ωe = ε Ec2 es lo que se conoce como densidad de
2
energı́a del campo eléctrico en la superficie del conductor. El factor 1/2 aparece debido a
~ pr es nula, en virtud del principio de acción y reacción,
que la contribución del campo E
por lo que, para el cálculo de esta fuerza sólo es necesario tener en cuenta al campo
creado por las cargas externas, o lejanas.
Como vemos, esta fuerza tiene dirección normal y sentido hacia afuera del conductor:
las cargas, cualquiera que sea su signo, tienden a escapar del conductor.
La fuerza calculada es, por lo tanto, la suma de la ejercida sobre la carga de conducción, depositada en su superficie, más la de polarización, que corresponde a la superficie
del dieléctrico. En un dieléctrico normal, estas cargas son de signo contrario por lo que,
en ausencia de otras fuerzas, el conductor y el dieléctrico tienden a permanecer unidos
y, en su conjunto, sufren una tensión que trata de expandirlos.
289
8.4.
Tubos de corriente estacionaria. Fuerza electromotriz
Según hemos visto, un medio óhmico tiende a la estacionariedad en un tiempo del
orden de τ , normalmente muy pequeño. En la práctica, los sistemas de corriente estacionaria (continua), o cuasiestacionaria, son de gran interés.
Dado que5
∂ρ
=0
∇ · ~ = −
∂t
los tubos deben ser cerrados. A continuación daremos una justificación sobre la necesidad
de que las lı́neas de corriente se cierren a una distancia finita.
Según la sección 3.1, la fuerza electromotriz en un camino cerrado L viene dada por,
figura 8.4
I
~ · d~l
EL =
E
L
L
L
j
E
2
1
(a)
(b)
Figura 8.4:
Si tomamos a L como una lı́nea de corriente, recorrida en el sentido de ~, y suponemos
que el medio es óhmico, la fuerza electromotriz de dicha lı́nea será
I
1
~ · d~l > 0 , ya que ~ ↑↑ d~l
EL =
σ L
En este caso, EL es el trabajo realizado por el campo, sobre la unidad de carga, en
el recorrido de la lı́nea y, si la longitud del camino fuese infinita, también lo serı́a el
trabajo, salvo en el caso de los superconductores cuya conductividad es infinita.
Dado que EL 6= 0, para generar corrientes estacionarias es necesario recurrir a campos no conservativos. En consecuencia, descompondremos a los campos en dos contribu~ c , y la de los no conservativos, E
~ R , o campos
ciones: la de los campos conservativos, E
electromotores,
~ =E
~c + E
~R , E
~ c = −∇V , ∇ ∧ E
~ R 6= 0
E
Los campos no conservativos pueden tener origen diverso; sólo los predichos por la
ley de inducción de Faraday son de origen electromagnético clásico.
Dado que
I
~ c · d~l = 0
E
L
5
Véase párrafo 1.4.
290
EL =
I
L
~ R · d~l
E
(8.11)
A partir de esta expresión generalizaremos el concepto de fuerza electromotriz para
aplicarlo a segmentos de lı́nea no cerrados.
Z 2
~ R · d~l
EL(1→2) =
E
(8.12)
1L
Utilizamos el subı́ndice L(1→2) porque la fuerza electromotriz es una integral de lı́nea
y, por lo tanto, sólo está definida unı́vocamente si especificamos el camino y los puntos
inicial, 1, y final, 2, del mismo.
8.5.
Resistencias y generadores de corriente continua
Supongamos que la sección del tubo de corriente estacionaria de la figura 8.5 está limitada por dos secciones, S1 y S2 , y que la estructura del mismo es tal que se cumple con
suficiente aproximación
Z 2′
Z 2
~
~ · d~l
~
E
E · dl ≃
1′L′
1L
donde L y L′ son cualquier par de lı́neas de corriente del tubo y 1, 1’, 2, 2’, puntos en
S1 y S2 , respectivamente.
L
V1 -V
2
2’
1’
1
S
ds
2
S
1
2
L’
E
j
dl
Figura 8.5:
Bajo estas condiciones, diremos que S1 y S2 son los terminales del tubo, el cual
podrá ser tratado con un formalismo de circuito de dos terminales. En la práctica estos
terminales suelen estar constituidos por buenos conductores (σ → ∞).
Para estos circuitos se define el parámetro resistencia del tubo
Z 2
~ · d~l
Z
E
1 2~
1
R≡ Z
=
E · d~l
(8.13)
I 1
~ · d~s
S2
donde se entiende que la integral se lleva a cabo a lo largo de una lı́nea de campo, desde
el terminal 1 al 2. La unidad de resistencia es el ohmio Ω. La admitancia es la inversa
de la resistencia y su unidad es el siemens (S) 6 .
6
También suele usarse el nombre mho, una sigla para Ω−1 .
291
Para medios lineales, esta relación es una constante positiva, la resistencia del tubo,
mientras que para medios no lineales R = R(E). Este es el caso de las VDR o resistencias
dependientes de la tensión.
Aparte de las variables eléctricas, en el valor de la resistencia interviene la temperatura, muy marcadamente en los termistores, el campo magnético, en las magnetorresistencias, etc.
Resistencia ideal:
Cuando en el tubo sólo existen campos conservativos, decimos que éste es pasivo y
constituye una resistencia ideal. En este caso
Z 2
−∇V · d~l = V1 − V2
IR=
1
Es decir, la caı́da de potencial en una resistencia es igual al producto I R. Representaremos esta relación, versión extensiva de la ley de Ohm, con los convenios de signos
y sı́mbolos de la figura 8.6.
VR
1
I
2
R
Figura 8.6:
VR = I R
(8.14)
donde V = V1 − V2 .
Fuente ideal de fuerza electromotriz:
Cuando un tubo, en el que existen campos no conservativos, tiene resistencia nula,
decimos que es una fuente ideal de fuerza electromotriz o pila ideal.
Z 2
~ R ) · d~l = 0 , V2 − V1 = E1−2
(−∇V + E
1
2
V
1
Figura 8.7:
E =V
(8.15)
292
que representamos con los convenios de la figura 8.7 donde V = V2 − V1 .
La pila ideal es, pues, un elemento de dos terminales que mantiene, entre los mismos, una diferencia de potencial igual a su fuerza electromotriz, cualquiera que sea la
intensidad que circule por él.
Fuente de fuerza electormotriz real:
Manteniéndonos dentro del modelo lineal, en general, un tubo activo, pila real o
fuente de fuerza electormotriz real 7 tendrá resistencia y fuerza electromotriz.
IR=
Z
2
1
~ R ) · d~l = (V1 − V2 ) + E12
(−∇V + E
Tenemos, pues, figura 8.8,
VR
Ι 2
R
V
1
Figura 8.8:
V =E −IR
(8.16)
donde V = V2 − V1 .
Esta expresión suele conocerse como la ley de Ohm generalizada.
Si entre los terminales 1 y 2 colocamos una resistencia externa Re , o de carga, figura
8.9,
VR
2
Ι
R
V
Re
1
Figura 8.9:
V = I Re , E = I(R + Re )
7
(8.17)
El apelativo de real no es del todo adecuado porque, en principio, nos estamos limitando a medios
óhmicos.
293
8.6.
Asociación de elementos. Leyes de Kirchhoff
Los elementos pueden, en principio, asociarse de muy diversas formas, las más simples son las asociaciones serie y paralelo.
Asociación serie :
En la asociación serie la intensidad que pasa por los dos elementos es la misma.
Para resistencias, figura 8.10,
Vs
VR 1
I1
VR 2
R1
I2
R2
Rs
Figura 8.10:

 I = I1 = I2

⇒ Rs = R1 + R2
Vs = VR 1 + V R 2
(8.18)
Luego, las resistencias en serie se suman.
Las fuerzas electromotrices de las pilas ideales se suman si la intensidad de referencia
entra por el terminal negativo y se restan en caso contrario
Es = ±E1 ± E2
(8.19)
Asociación paralelo :
En la asociación paralelo, se unen los terminales de los elementos dos a dos con lo
que la caı́da de potencial es común a ambos. Es evidente que esta asociación no puede
realizarse entre pilas ideales. Para resistencias, figura 8.11,
I1
R1
V
I
I2
R2
Figura 8.11:

 V = VR 1 = VR 2

I = I1 + I2
⇒
1
1
1
=
+
Rp
R1 R2
⇒
294
Rp =
R1 R2
R1 + R2
(8.20)
Circuitos : No todas las asociaciones pueden reducirse a la configuración serie y
paralelo. Llamaremos circuito a una asociación de elementos activos y pasivos. nudo es
el punto 8 de conexión de dos o más elementos. rama es el conjunto de elementos que
puede ser descrito mediante una relación, entre dos terminales, análoga a la ley de Ohm
generalizada. malla es un conjunto de ramas interconectadas de forma que pueden ser
recorridas a lo largo de un camino cerrado sin pasar dos veces por la misma rama.
En adelante sólo consideraremos circuitos planos, los cuales pueden ser representados
en un plano sin que se crucen las ramas entre sı́.
Leyes de Kirchhoff :
El análisis de circuitos de corriente continua puede llevarse a cabo mediante la
aplicación de las leyes de Kirchhoff. En la figura 8.12 se representa a un nudo en el
que convergen varias ramas.
Primera ley:
I2
V
Ii
S
I1
IN
Figura 8.12:
Puesto que las corrientes son estacionarias, ∇ ·~ = 0, e integrando sobre un volumen
V que contenga al nudo, tenemos
I
~ · d~s = 0 ⇒
S
N
X
Ii = 0
(8.21)
i=1
Esta es la primera ley de Kirchhoff, ley de nudos, y nos dice que la suma de las intensidades, que inciden sobre el nudo, es igual a cero 9 .
8
Se entiende por punto de un circuito a un conjunto de conductores ideales, cables, etc., que están
al mismo potencial.
9
Substituyendo las intensidades incidentes por las emergentes, obtendrı́amos un enunciado equivalente. De otra forma, podrı́amos decir que la suma de las intensidades que entran en el nudo es igual a
la de las que salen o, en definitiva, que los nudos no almacenan carga.
295
Segunda ley:
Ahora consideraremos una malla, como la de la figura 8.13,
L
I1
i
1
Ii
M
IM
Figura 8.13:
~c = E
~ −E
~ R , donde E
~ c = −∇V es el campo conservativo y E
~R =
Escribiremos E
el no conservativo, que puede desglosarse en la parte que deriva del potencial
~ Rn cuyo origen no es electromagnético clásico.
vector y el E
~
~ Rn
− ∂∂tA + E
I
~ c d~l =
E
L
I
L
~ · d~l =
E
I
I
L
L
~ −E
~ R ) · d~l = 0 ⇒
(E
~ R · d~l =
E
M
X
i=1
Ei =
M
X
 PM

i=1 Ii Ri

=
Ii Ri
PM
i=1
Ei
⇒
(8.22)
i=1
Esta es la segunda ley de Kirchhoff, ley de mallas, la cual iguala a la suma de las
fuerzas electromotrices de las ramas que componen la malla con la suma de las caı́das
de potencial que tienen lugar en las resistencias de dichas ramas.
Para la aplicación sistemática de esta ley, se elije el mismo sentido de circulación
de referencia para todas las mallas. La intensidad que circula por cada rama es la
suma de las que circulan por las mallas comunes a dicha rama. Si se contabiliza la
caı́da de potencial a lo largo de la rama, la intensidad de la malla cuya ecuación se
está escribiendo se toma con referencia positiva y la de la contigua como negativa. Las
fuerzas electromotrices se tomarán con referencia positiva si la intensidad de malla entra
por la referencia (-) de la fuente y negativa en caso contrario.
296
8.7.
Disipación de energı́a. Ley de Joule
En un tubo de corriente estacionaria, la energı́a que el campo electromagnético cede
a las cargas, por unidad de volumen y de tiempo, viene dada 10 por
d2 Wc
dPc
~
=
= ~ · E
dv dt
dv
La ley de Joule postula que, en el caso de una corriente estacionaria que circula
por un medio óhmico, el trabajo que realiza el campo sobre las cargas se transforma
ı́ntegramente en calor que se cede al medio. La potencia Pj convertida en calor en un
volumen V por el efecto Joule es
Z
Z
~
Pj =
~ · E dv = σ
E 2 dv ≥ 0
(8.23)
V
V
Según la expresión anterior, la potencia cedida por el campo a las cargas contenidas
en un volumen cualquiera de este tipo de medios es netamente positiva. Luego no existe
la posibilidad de que las cargas cedan energı́a al campo y el proceso es unidireccional
y, por lo tanto, irreversible. Al ser la corriente estacionaria, esta energı́a no se invierte
en aumentar la energı́a cinética macroscópica, la asociada a la velocidad de arrastre,
por lo que debe invertirse en aumentar la energı́a interna del medio, principalmente
en energı́a térmica, la asociada al movimiento aleatorio de las cargas. Incluso para
corrientes cuasiestacionarias, la velocidad de arrastre es muy inferior a la aleatoria,
véase el problema 1-7, y, en consecuencia, lo anterior sigue siendo aproximadamente
cierto.
Consideraremos dos casos particulares: una resistencia ideal y un tubo cerrado de
corriente con fuerza electromotriz.
Resistencia ideal:
Una resistencia ideal es, como hemos visto, un segmento de tubo, como el repre~ R = ~0 y E
~ =E
~ c = −∇ V . Suponemos que las
sentado en la figura 8.14a, en el cual E
superficies inicial y final son terminales, es decir, equipotenciales.
S2
j
S1
E R =0
2
R
ds
j
dv=d s.d l
S1
Ι
S2
1
E R =0
(a)
(b)
Figura 8.14:
10
Véase la sección 4.1
V
(c)
Re
297
Haciendo uso de 8.23 pero integrando sobre el volumen ∆V comprendido entre las
secciones S1 y S2
Z
~ dv
Pj =
~ · E
∆V
Dividiendo el tubo en elementos de sección d~s, tomando d~s ↑↑ d~l ↑↑ ~ y recordando
la definición 8.13 de resistencia
Pj =
Z
∆V
~ dv =
~ · E
Z
∆V
~ · d~l) =
(~ · d~s)(E
Z
1
2 Z
~ · d~l ⇒
~ · d~s E
S
{z
}
|
=I
Pj =
 Z 2


~ · d~l = I 2 R
I
E



1
Z




 −I
2
1
(8.24)
∇ V · d~l = V I
donde V = V2 − V1 .
Tubo de corriente cerrado:
En el caso de un tubo de corriente estacionaria cerrado, como el que se muestra en
la figura 8.14b, el computo 8.23 de la potencia Joule puede hacerse en función de la
~ R.
componente rotacional del campo E
~ =
Efectivamente, en este caso, de acuerdo con 8.23 y teniendo en cuenta que E
~
~
ER + Ec
Z
~c + E
~ R ) dv
Pj =
~ · (E
~ c = −∇V y
pero, E
Z
V
V
~ · ∇V dv =
Z
V
V ∇ · ~ dv −
|{z}
=0
Z
∇ · (V ~) dv = 0
{z
}
|
V
=0
La primera integral se anula porque la corriente es estacionaria y la segunda porque,
haciendo uso del teorema de la divergencia,
Z
Z
V ~ · d~s = 0
∇ · (V ~) dv =
S
V
puesto que en S, ~ · d~s = 0.
En este caso podemos escribir
Pj =
Z
V
~ R dv
~ · E
(8.25)
entendiendo cabalmente que para el consumo local de energı́a es necesario tener en
~
cuenta el campo total E.
298
Procediendo de forma análoga a la utilizada para la resistencia, el resultado anterior
puede expresarse de la forma
I
~ R · d~l = E I
Pj = I
E
(8.26)
L
siendo E la fuerza electromotriz calculada en el sentido de la corriente.
Haciendo lo mismo con la expresión de partida 8.23
I
~ · d~l = I 2 RT
Pj = I
E
(8.27)
L
donde RT es la resistencia total del tubo.
En la figura 8.14c se supone que el campo no conservativo se circuscribe al segmento
limitado por las secciones equipotenciales S1 y S2 , lo que nos permite escribir 8.27 de
la forma
2
I RT = I
Z
1
2
~ · d~l + I
E
Z
2
1
~ · d~l = I 2 (R + Re )
E
(8.28)
donde R es la resistencia interna de la pila y Re la extena a la misma.
En resumen
Pj = I E = I 2 R + V I = I 2 (R + Re )
(8.29)
El término I E representa la energı́a cedida por la pila, I 2 R es la energı́a transformada en calor dentro de la propia pila, e I 2 Re el calor cedido a la resistencia externa.
La ley de Joule no tiene validez general puesto que, en el caso de corrientes no
estacionarias, pueden aparecer otros términos en el balance energético.