Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas Geometría Algebraica Básica Ejemplificada Tesis que presenta Cristhian Emmanuel Garay López Para obtener el Grado de Licenciado en Física y Matemáticas con especialidad en Matemáticas Director de Tesis Dr. Carlos Rentería Márquez México D.F. Noviembre de 2005 A mis padres: Felipe Garay Núñez y Yolanda López Valdéz. Los amo. ii Índice general Agradecimientos V Prefacio VII Introducción IX 1. Variedades Afines 1.1. Conjuntos Algebraicos y la Topologı́a de 1.2. Irreducibilidad . . . . . . . . . . . . . . 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert . . . . . . . 1.4. Propiedades Topológicas . . . . . . . . . 1.5. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 5 12 15 . . . . . . . . 23 24 27 31 31 33 36 39 42 . . . . . 47 47 58 62 67 72 Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Variedades Proyectivas 2.1. El Espacio Proyectivo y Variedades Proyectivas . . . 2.2. El Nullstellensatz Homogéneo y Conos Afines . . . . 2.3. Cubierta Afı́n y Dimensión . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Relación entre variedades afines y proyectivas 2.3.2. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. La Inmersión d-ésima de Veronese . . . . . . . . . . 2.5. La Inmersión de Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Intersecciones de Variedades Proyectivas . . . . . . . 3. Morfismos 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3.2. Ejemplos y Contraejemplos . . . . . . . . . 3.3. Morfismos entre Espacios Proyectivos . . . 3.4. Productos de Variedades . . . . . . . . . . . 3.5. Variedades Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Mapeos racionales 75 4.1. Mapeos racionales y Equivalencia birracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2. Una base para la topologı́a de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3. Explosión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 iii Índice general Índice general 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo 5.1. El Polinomio de Hilbert y el grado de un 5.2. Códigos algebraicos de Evaluación . . . 5.2.1. Preliminares algebraicos . . . . . 5.2.2. Códigos . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Algunos ejemplos . . . . . . . . . Conclusiones conjunto algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 94 94 96 98 99 A. Tópicos en Álgebra 101 A.1. Álgebra Conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 A.2. Categorı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Índice de Figuras 107 Índice de Notación 109 Índice Alfabético 111 Bibliografı́a 113 iv Agradecimientos Deseo agradecer a la Academia Mexicana de Ciencias y al Dr. Jesús González Espino Barros del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN, por haberme dado la oportunidad de participar en el XIV Verano de la Investigación Cientı́fica, donde descubrı́ por vez primera este tema tan apasionante y hermoso que es la Geometrı́a Algebraica. A mi asesor de tesis, el Dr. Carlos Renterı́a Márquez de la Escuela Superior de Fı́sica y Matemáticas del IPN, por toda su paciencia, apoyo e ideas aportadas. Al comité organizador del VII Encuentro de Geometrı́a Algebraica, llevado a cabo en el Centro de Investigación en Matemáticas, por darme la oportunidad de asistir al evento y ampliar mi panorama. A la Dra. Rita Zuazua y al comité organizador del taller Aprendiendo a Investigar en Morelia (todos del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México, unidad Morelia, donde contamos con el apoyo del proyecto PAPIME-UNAM EN-100304), dónde aprendı́ más sobre la Teorı́a de Categorı́as, la cual juega un papel muy importante en este trabajo. A todos mis profesores y amigos de la ESFM, en especial a los profesores Emigdio Salazar Cordero y Marco Antonio Rodrı́guez Andrade, quienes siempre me apoyaron en deması́a. Muy especialmente agradezco a Blanca Lucı́a Moreno Ley, quién fue mi pilar y mucho más en todo momento. Pero sobre todo, quiero enviar un infinito agradecimiento a mis padres: Felipe Garay Núñez y Yolanda López Valdéz, cuyo apoyo y comprensión siempre estuvo a mi disposición. A ellos debo todo lo que soy y dedico este trabajo. v Agradecimientos Índice general Índice general vi Prefacio “As long as algebra and geometry proceeded along separate paths, their advance was slow and their applications limited. But when these sciences joined company they drew from each other fresh vitality and thenceforward march on at a rapid pace towards perfection”. –Joseph Louis Lagrange. Por largo tiempo, la Geometrı́a Algebraica moderna ha sido considerada como una parte muy compleja de las matemáticas, la cual recurre prácticamente a cualquier otra rama para construir sus conceptos y métodos; por ello se ha vuelto una herramienta indispensable en muchas teorı́as que a primera vista parecerı́an demasiado remotas; en la actualidad toca a casi toda rama de las matemáticas. Comparte con la teorı́a de números la distinción de tener una de las más largas e intrincadas historias de entre todas las ramas de nuestra ciencia, de haber atraı́do por siempre los esfuerzos de los mejores matemáticos de cada generación, y de ser aún una de las áreas más activas de investigación. Estos puntos deberı́an ser suficientes para justificar (aunque sea en parte) el que se haya realizado el presente trabajo. La Geometrı́a Algebraica es en general el estudio de las geometrı́as que vienen del álgebra, en particular, de los anillos. De manera clásica, el álgebra es el anillo de polinomios y la geometrı́a es el conjunto de ceros de sistemas de ecuaciones polinomiales. En sus principios la materia se desarrollaba alrededor del problema de la clasificación, la búsqueda de invariantes de transformaciones, problemas de intersección y en el estudio de las familias de puntos en una curva o curvas dentro de una superficie (conocidos como sistemas lineales). En el siglo veinte se descubrió que las ideas básicas se pueden aplicar a cualquier anillo conmutativo con identidad. La geometrı́a de dicho anillo está determinada por su estructura algebraica, en particular por sus ideales primos. La Geometrı́a Algebraica se volvió muy importante en muchas áreas de las matemáticas, más notablemente en la Teorı́a Algebraica de Numeros. Por ejemplo, Pierre Deligne la utilizó para probar una variante de la Hipótesis de Riemann, y la demostración del Último Teorema de Fermat dada por Andrew Wiles utilizó herramientas desarrolladas en la Geometrı́a Algebraica. Una clase importante de objetos que aparecen al estudiar esta disciplina son las variedades abelianas, que son ciertos objetos a cuyos puntos se les puede dar una estructura de grupo. Los ejemplos tı́picos son las curvas elı́pticas, las cuales tienen una teorı́a muy rica y son muy utilizadas en las técnicas de seguridad de la información (Criptografı́a). La Teorı́a Algebraica de Códigos también se ha visto beneficiada por las técnicas desarrolladas en Geometrı́a Algebraica, en particular en este trabajo discutimos someramente los grupos algebraicos y hacı́a el final abordamos una serie de ejemplos en el terreno de la Teorı́a Algebraica de Códigos. En el libro de van Lint [vL99] se puede encontrar una introducción a la moderna teorı́a matemática de códigos, ası́ como diversas notas históricas acerca del nacimiento y desarrollo de la disciplina en años recientes. vii Índice Prefacio general Índice general Además de ser una de las disciplinas centrales de las matemáticas puras, los métodos para la computación efectiva con polinomios concretos dados han sido también desarrollados; ha sido aplicada con éxito a problemas en complejidad computacional y teorı́a de algoritmos, robótica, teorı́a del control, geometrı́a computacional, modelación geométrica, reconocimiento de imágenes, visión computacional y visualización cientı́fica. La técnica más importante es la de bases de Gröbner, la cual es empleada en todos los sistemas actuales de Álgebra Computacional. Para el lector interesado en conocer más sobre los aspectos históricos de esta disciplina, queremos decirles que hay excelentes fuentes bibliográficas para tal efecto. En primer lugar tenemos el artı́culo de Jean Dieudonné [Die72], donde da una descripción histórica muy amplia y detallada, con énfasis en los progresos y problemas considerados como centrales a lo largo del desarrollo de la Geometrı́a Algebraica. También es benéfico leer la introducción del libro de Hideyuki Matsumura [Mat89], donde detalla la fructı́fera colaboración entre el Álgebra Conmutativa y la Geometrı́a Algebraica. Por último pero no menos importante, es interesante conocer la vida del personaje que cambió para siempre la forma en que se trabaja en matemáticas (y en particular en este campo, donde dejo su aportación más importante); nos referimos a Alexandre Grothendieck, de quien se puede hallar un extracto biográfico muy interesante en [Jac04]. viii Introducción La Geometrı́a Algebraica es una mezcla de ideas de dos culturas Mediterráneas. Es la superposición de la ciencia Árabe que versa sobre el cálculo de soluciones a ecuaciones sobre el arte Griego de la posición y la forma; estudia el delicado balance entre lo geométricamente plausible y lo algebraicamente posible. Para poder hallar resultados innovadores en los campos en los que se aplica, es necesario tener un conocimiento teórico sólido apoyado por una buena cantidad de intuición e imaginación. El objetivo principal de este trabajo ha sido desarrollar paralelamente a la teorı́a básica de un primer acercamiento formal al tema, una serie de ejemplos seleccionados para ilustrar fenómenos que consideramos como importantes e interesantes para dicho fin. Hemos resuelto los ejercicios de un libro clásico en la literatura (Secciones 1,2,3,4 y 7 del Capı́tulo 1 de [Har77]), el cuál aún después de casi 30 años de haber sido publicado por primera vez se sigue utilizando con buenos resultados como introducción a cursos de Geometrı́a Algebraica a estudiantes de posgrado a lo largo y ancho del mundo. Los ejercicios no son estériles, sino que ayudan a asimilar mejor los conceptos básicos y también a obtener un buen soporte para entender y apreciar los desarrollos más abstractos de la Geometrı́a Algebraica moderna, además de crear una buena fuente de detalles e ideas contra los cuales podamos comparar nuestra intuición. Podemos decir ası́ que la parte más importante de este trabajo son los ejemplos resueltos, los cuales son sumamente importantes en una disciplina con fundamentos geométricos. Los utilizaremos una y otra vez a lo largo de los 5 Capı́tulos de esta Tesis para avanzar en el desarrollo de los conceptos y aplicaciones. Deseamos trabajar dentro de los conceptos establecidos por la Teorı́a de Categorı́as, por lo que en los capı́tulos 1 y 2 definimos los objetos principales de investigación: las variedades algebraicas en el espacio afı́n o proyectivo sobre un campo algebraicamente cerrado, y utilizamos libremente conceptos topológicos y algebraicos para definir herramientas necesarias para su estudio y clasificación, por ejemplo, los conceptos de dimensión (secciones 1.5 y 2.3.2) y de grado y género aritmético (Sección 5.1). Posteriormente en el Capı́tulo 3 definiremos los morfismos con los que trabajaremos, obteniendo ası́ la categorı́a clásica de las variedades algebraicas y la noción primaria de “igualdad” o isomorfismo de variedades. En esta parte damos una gran cantidad de ejemplos para ayudar a la rápida asimilación de estos conceptos. En cualquier rama de las matemáticas, usualmente encontramos problemas relevantes que parecen tan difı́ciles que nadie espera sean resueltos completamente, aunque proveen un gran estı́mulo para el desarrollo de la materia, además de que sirven como patrones para medir el progreso y el desarrollo en dicho campo. En Geometrı́a Algebraica podemos decir que dicho problema es el problema de la clasificación de las variedades. La forma más fuerte de este problema es clasificar a todas las variedades salvo isomorfismo. Como un primer paso hacı́a este objetivo estudiaremos en el Capı́tulo 4 la noción de equivalencia birracional (la cual es un poco menos rı́gida que la noción de isomorfismo). En el último capı́tulo utilizamos herramientas algebraicas muy sofisticadas para ix Introducción Índice general Índice general dar una serie de ejemplos de una clase de códigos algebraicos llamados de evaluación, los cuales se construyen sobre cierto tipo de variedades proyectivas. Avisos Las convenciones básicas son las siguientes: Una variedad siempre será irreducible y estará construida sobre un campo algebraicamente cerrado fijo (que es el caso más sencillo); el concepto más general de variedad que manejaremos será el de variedad cuasi-proyectiva. Todos los anillos con los que trabajaremos serán conmutativos con identidad y cualquier homomorfismo de anillos envı́a el 1 en el 1. Un ideal primo (respectivamente maximal) es un ideal p (respectivamente m) en un anillo A tal que A/p es un dominio entero (respectivamente A/m es un campo). Por lo tanto, necesariamente los ideales primos y maximales considerados aquı́ son propios. Los resultados que se encuentren precedidos por una letra griega α sólo se citan y no incluyen demostración, pues no es nuestro objetivo hacer una obra autocontenida, sino tomar lo que necesitemos y remitir al lector interesado en conocer la demostración a una fuente confiable. Por último incluimos un Apéndice donde figuran distintos temas empleados en este trabajo que son un poco especializados. x Capı́tulo 1 Variedades Afines En este primer Capı́tulo establecemos algunos de los resultados y conceptos más importantes de toda la Geometrı́a Algebraica. En la Sección 1.1 se introducen los conjuntos algebraicos como los conjuntos de soluciones (ceros o raı́ces) de sistemas de ecuaciones polinomiales (en n variables con coeficientes en un campo algebraicamente cerrado k ). El primer resultado importante es el Teorema de la Base de Hilbert, el cual nos garantiza que dicho sistema de ecuaciones siempre lo podemos suponer finito. Los conjuntos algebraicos nos servirán para definir la Topologı́a de Zariski en el espacio afı́n n-dimensional Ank ; ésta es la topologı́a estándar utilizada en Geometrı́a Algebraica. En la Sección 1.2 utilizamos la noción topológica de irreducibilidad para definir los objetos básicos de estudio de este capı́tulo: las variedades algebraicas afines, que no son más que conjuntos algebraicos irreducibles con la topologı́a de Zariski inducida. En la Sección 1.3 discutimos las propiedades básicas de los conjuntos algebraicos y establecemos la relación con la teorı́a de ideales, después de lo cual se introduce el célebre Nullstellensatz (término en alemán que se traduce como “Teorema de los Ceros”) de Hilbert, segundo resultado importante que permite entrever una correspondencia biyectiva entre los conjuntos algebraicos en An y cierto tipo de ideales en el anillo k[x1 , . . . , xn ]. La Sección 1.4 está dedicada al estudio de las propiedades topológicas de las variedades afines; iniciando en general con el estudio de los Espacios Topológicos Noetherianos. El resultado principal de esta sección es: todo conjunto algebraico resulta ser una unión finita de variedades algebraicas, lo cual justifica el por qué del papel central de las variedades en nuestro estudio. Finalmente en la Sección 1.5 definimos de manera concisa el concepto de dimensión de un espacio topológico, y explotamos fuertemente el carácter AlgebraicoGeométrico de las variedades al utilizar resultados importantes de la Teorı́a de la Dimensión, y aplicarlos tanto al cálculo concreto de la dimensión de algunas variedades especificas, como a la caracterización completa de conjuntos de variedades de cierta dimensión. 1.1.– Conjuntos Algebraicos y la Topologı́a de Zariski Sea k un campo algebraicamente cerrado fijo. Definimos el n-espacio afı́n sobre k, denotado por Ank , o simplemente por An , como el conjunto de todas las n-adas de elementos de k, i.e., An = k n . La principal diferencia entre An y el espacio vectorial k n es que en An “olvidamos” la estructura vectorial natural de k n , de modo que ningún punto goce de un papel destacado (al contrario de lo que ocurre en k n con el vector 0). Un elemento P = (a1 , . . . , an ) ∈ Ank será llamado un punto, y los ai serán llamados las coordenadas de P . Interpretaremos a los elementos del anillo A = k[x1 , . . . , xn ] como funciones del n-espacio afı́n al campo k, definiendo f (P ) := f (a1 , . . . , an ), donde f ∈ k[x1 , . . . , xn ] y P ∈ An . Ası́, si f ∈ A es un polinomio, podemos hablar del conjunto de ceros de f , a saber Z(f ) := {P ∈ An | f (P ) = 0}. De 1 1.1. Conjuntos Algebraicos y la Topologı́a de Zariski 1. Variedades Afines manera más general, si T ⊆ k[x1 , . . . , xn ], definimos el conjunto de ceros de T como el conjunto de los ceros comunes de todos los elementos de T , es decir Z(T ) := {P ∈ An | ∀f ∈ T : f (P ) = 0}. Si a es el ideal en A generado por T , entonces Z(T ) = Z(a), pues P ∈ Z(a) ⇒ ∀ f ∈ a : f (P ) = 0 , pero como T ⊆ a, entonces ∀ f ∈ T : f (P ) = 0, y ası́ PP ∈ Z(T ). Recı́procamente, dado P ∈ Z(T ), tomamosPf ∈ a, tenemos que ∃ g1 , . . . , gn ∈ A : f = ni=1 gi hi , donde ∀ i : hi ∈ T , por lo que f (P ) = ni=1 gi (P )hi (P ) = 0 y P ∈ Z(a). Definición: Un subconjunto Y de An es un conjunto algebraico si ∃ T ⊆ A : Y = Z(T ). Aunque en la definición anterior nos hemos permitido trabajar con un número arbitrario de polinomios, a continuación veremos que en realidad todo conjunto algebraico se puede expresar como el conjunto de ceros comunes de un subconjunto finito de polinomios. Esto se sigue inmediatamente del famoso Teorema de la Base de Hilbert, el cual enunciamos a continuación. α Teorema 1.1 (Teorema de la Base de Hilbert). Si R es un anillo noetheriano, entonces R[ x ] es un anillo noetheriano. Demostración. Ver [ZS58] Volumen I, página 201 o [Kun85], página 11. ∗ De este importante resultado se sigue inmediatamente (por inducción sobre el número de variables) que A es un anillo noetheriano, por lo que todo ideal a de A posee un subconjunto finito de generadores f1 , . . . , fm . De esta manera, Z(T ) puede ser expresado como el conjunto de ceros comunes de un subconjunto finito de polinomios f1 , . . . , fm . También se tiene de estas observaciones que distintos subconjuntos de A pueden dar lugar al mismo conjunto algebraico. Proposición 1.2. La unión finita de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico. La intersección arbitraria de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico. El conjunto vacı́o y el espacio entero son conjuntos algebraicos. Demostración. Si Y1 = Z(T1 ) y Y2 = Z(T2 ), entonces Y1 ∪ Y2 = Z(T1 T2 ), donde T1 T2 := {f g | f ∈ T1 , g ∈ T2 }. Para ver esto, tomemos P ∈ Y1 ∪ Y2 , entonces P ∈ Y1 o P ∈ Y2 , en particular, ∀ f ∈ T1 , g ∈ T2 se tiene que f (P ) = 0 o g(P ) = 0, por lo tanto f g(P ) = 0 y se sigue que Y1 ∪ Y2 ⊆ Z(T1 T2 ). Recı́procamente, si P ∈ / Y1 ∪ Y2 , entonces P ∈ / Y1 y P ∈ / Y2 , por lo que ∃ f ∈ T1 , g ∈ T2 tales que f (P ) 6= 0 y g(P ) 6= 0, por lo tanto f g(P ) 6= 0 y P ∈ / Z(T1 T2 ). Tomando complementos tenemos que Z(T1 T2 ) ⊆ Y1 ∪ Y2 , por lo que se sigue la igualdad. A continuación, si Yα = Z(Tα ) es una familia de conjuntos algebraicos, entonces ∩α Yα = Z(∪α Tα ), pues P ∈ ∩α Z(Tα ) ⇔ ∀α : P ∈ Z(Tα ) ⇔ ∀ f ∈ ∪α Tα : f (P ) = 0 ⇔ P ∈ Z(∪α T ); ası́ ∩α Yα es un conjunto algebraico. Finalmente An = Z(0) y, si α ∈ k ∗ , entonces ∅ = Z(α). ∗ Definición: Definimos la topologı́a de Zariski en An tomando los conjuntos abiertos como los complementos de los conjuntos algebraicos. De acuerdo a la proposición anterior, esta familia de conjuntos define una topologı́a en An . La topologı́a de Zariski (llamada ası́ en honor a Oscar Zariski, pionero de la Geometrı́a Algebraica sobre campos arbitrarios) es la topologı́a estándar utilizada en Geometrı́a Algebraica, por lo que en lo subsecuente, cada vez que trabajemos con conceptos topológicos, nos referiremos a esta topologı́a (a menos que se especifique lo contrario). Notemos que una de las grandes ventajas que tiene esta topologı́a es que es posible definirla en el conjunto Ank para cualquier campo k. Veamos a continuación algunos ejemplos concretos. 2 1.2. Irreducibilidad 1. Variedades Afines 1.1 Ejemplo (La topologı́a de Zariski en la lı́nea afı́n A1 ): Tenemos que k[x] es un Dominio de Ideales Principales (DIP para abreviar), por lo que cualquier conjunto algebraico es el conjunto de ceros de un solo polinomio. Como k es algebraicamente cerrado, todo polinomio f se puede escribir Qn en la forma f (x) = c i=1 (x − ai ), con c, a1 , . . . , an ∈ k, por lo que se sigue que Z(f ) = {a1 , . . . , an } es un conjunto finito. si F = {a1 , . . . , an } ⊂ A1 es un conjunto finito de puntos, Qn Recı́procamente, entonces F = Z i=1 (x − ai ) . De estos hechos vemos que los conjuntos algebraicos en A1 son precisamente los conjuntos finitos (incluyendo al conjunto vacı́o) y el espacio entero. Ası́, la topologı́a de Zariski en A1 no es más que la topologı́a cofinita. Un hecho importante que hay que notar es que esta topologı́a en particular no es de Hausdorff. 1.2 Ejemplo: Bajo la identificación natural de A2 con A1 × A1 , se tiene que la topologı́a de Zariski en A2 no es la topologı́a producto de las topologı́as de Zariski en las dos copias de A1 . Para ver esto, tenemos que los conjuntos cerrados de A1 × A1 son por definición uniones finitas de intersecciones arbitrarias de conjuntos de la forma F1 × F2 , donde F1 y F2 son conjuntos cerrados en A1 . Por el Ejemplo 1.1 conocemos completamente como son los conjuntos cerrados en A1 , ası́ que los conjuntos cerrados en A1 × A1 son de una de las siguientes formas: ∅, A1 × A1 , conjuntos finitos o productos de conjuntos finitos con A1 . Si consideramos la diagonal ∆ = Z(y − x) en A2 , vemos que existe un conjunto cerrado que no es de ninguna de las formas anteriores, por lo que se sigue el resultado. 1.2.– Irreducibilidad El conjunto algebraico X ⊂ A2 definido por X = Z(x1 x2 ) se puede escribir como la unión de los dos ejes coordenados X1 = Z(x2 ) y X2 = Z(x1 ), que a su vez son también conjuntos algebraicos. Sin embargo, X1 y X2 ya no se pueden descomponer en una unión finita de conjuntos algebraicos estrictamente más pequeños. Lo que haremos a continuación será generalizar esta idea y veremos que esto se puede hacer completamente en el lenguaje de espacios topológicos. Definición: Un espacio topológico X es irreducible si no se puede expresar como una unión X = X1 ∪ X2 de dos subconjuntos propios cerrados. Un subconjunto Y ⊆ X es irreducible si Y es irreducible como espacio topológico con la topologı́a inducida. El conjunto vacı́o ∅ no es considerado como un conjunto irreducible. 1.3 Ejemplo: La lı́nea afı́n A1 es irreducible, ya que sus únicos subconjuntos cerrados propios son finitos, y como k es algebraicamente cerrado, entonces es un conjunto infinito. Veremos a continuación que los espacios topológicos irreducibles poseen propiedades topológicas algo “inusuales”, desde el punto de vista de la topologı́a euclidiana clásica, y de paso estableceremos algunas propiedades que estaremos utilizando a lo largo de nuestro estudio. 1.4 Ejemplo (Algunas propiedades de los espacios topológicos irreducibles): 1 Todo subconjunto abierto no vacı́o de un espacio topológico irreducible es denso e irreducible. En efecto, sea X un espacio topológico irreducible y A 6= ∅ un subconjunto abierto propio de X, si A no es irreducible, entonces existen F, G subconjuntos cerrados en X tales que A = (A ∩ F ) ∪ (A ∩ G). Ya que F ∪ G 6= X, entonces X = Ac ∪ (F ∪ G), lo cual es una contradicción. Se sigue que A es irreducible. Ahora sea A ( X un conjunto abierto y tomemos cualquier conjunto abierto B ( X (ambos distintos del conjunto vacı́o), entonces Ac ∪ B c 6= X, por lo tanto (Ac ∪ B c )c 6= ∅, pero esto dice que A ∩ B 6= ∅ y por lo tanto A es denso en X. 3 1.2. Irreducibilidad 1. Variedades Afines 2 Si Y es un subconjunto de un espacio topológico X, entonces Y es irreducible si, y solo si, Y es irreducible. Necesidad. Supongamos que Y no es irreducible, entonces existen F, G subconjuntos cerrados en X tales que Y = A ∪ B, con A = F ∩ Y y B = G ∩ Y ; necesariamente A ∩ Y 6= ∅ y B ∩ Y 6= ∅ (de lo contrario, si A ∩ Y = ∅ entonces Y ⊂ B, pero B es cerrado y luego B ⊃ Y , lo cual contradice la hipótesis inicial; el caso B ∩ Y = ∅ se trata de manera totalmente análoga), luego Y = (A ∩ Y ) ∪ (B ∩ Y ), pero esto es una contradicción. De esta manera concluimos que Y es irreducible. Suficiencia. Sea Y = A ∪ B, con A = A0 ∩ Y , B = B 0 ∩ Y , siendo A0 y B 0 subconjuntos cerrados de X. Tenemos que Y es cerrado en X, luego Y ∩ A0 y Y ∩ B 0 son subconjuntos cerrados en X, y se tiene que Y = A ∪ B ⊆ (Y ∩ A0 ) ∪ (Y ∩ B 0 ), de donde Y ⊆ (Y ∩ (A0 ∪ B 0 )). Se sigue que Y = (Y ∩ A0 ) ∪ (Y ∩ B 0 ), pero Y es irreducible, por lo que Y ∩ A0 = Y o Y ∩ B 0 = Y , y cualquiera que sea el caso, tenemos Y = A o Y = B. Por lo tanto Y es irreducible. Definición: Una variedad algebraica afı́n (o simplemente variedad afı́n) es un conjunto cerrado irreducible en An . Un subconjunto abierto de una variedad afı́n es una variedad cuasi-afı́n . 1.5 Ejemplo (Curvas algebraicas interesantes): Antes de cerrar la sección y adelantándonos un poco a lo que viene, queremos ofrecer un conjunto de ejemplos concretos de variedades algebraicas afines con polinomios de tercer grado que tienen comportamientos interesantes (avisando que posteriormente volveremos a ver a algunas de ellas). En el Ejemplo 1.6 hallaremos que los conjuntos del tipo Z(f ), donde f ∈ k[x, y] es irreducible, son variedades algebraicas llamadas curvas algebraicas (o curvas planas). En la Figura 1.1 podemos observar 3 ejemplos de curvas algebraicas que presentan fenómenos muy interesantes. Esto nos permite ver que las curvas algebraicas pueden tener picos, cortarse a ellas mismas, o ser disconexas 1 . A2 (a) A2 (b) A2 (c) Figura 1.1: (a) Curva cuspidal y 2 = x3 . (b) Folium Cartesii y 2 = x2 (x + 1). (c) La curva y 2 = x(x2 − 1). Probemos que los polinomios que las definen son irreducibles. Para y 2 − x3 ∈ k[x, y], supongamos que es producto de dos polinomios, i.e., y 2 − x3 = f1 f2 . Es fácil ver que si el grado en y de uno de 1 Disconexas con respecto a la noción que tenemos de la topologı́a Euclidiana, pues todo subconjunto irreducible Y de un espacio topológico X es automáticamente conexo, ya que si A, B forman una disconexión de Y , entonces es fácil ver que Y = (Ac ∩ Y ) ∪ (B c ∩ Y ) es una descomposición en conjuntos cerrados no vacı́os de Y . 4 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert 1. Variedades Afines los factores es 2, el otro ha de ser constante. Supongamos pues que fi = gi (x)y + hi (x), i = 1, 2. Multiplicando e igualando los coeficientes obtenemos que g1 g2 = 1, g1 h2 + g2 h1 = 0, h1 h2 = −x3 . De la primera igualdad tenemos que g1 y g2 son constantes, de la segunda que h1 = αh2 para cierto α ∈ k, y de la tercera que αh22 = −x3 , lo cual es imposible. Concluimos que y 2 − x3 es irreducible. Para demostrar la irreducibilidad de los dos polinomios restantes, utilizaremos el ya conocido criterio de Eisenstein (ver [Hun74], página 164). Veamos primero al polinomio y 2 − x2 (x + 1) en el anillo k[ x ][ y ]. Aquı́, éste cumple que todos sus coeficientes salvo el coeficiente lı́der son divisibles entre el polinomio irreducible (y por lo tanto primo) x + 1, y también que el término independiente no es divisible entre (x + 1)2 . Por lo tanto tenemos que es irreducible. Para el polinomio y 2 − x(x2 − 1) utilizamos el polinomio primo x para aplicar el criterio. El que este conjunto sea irreducible no resultaba tan obvio de la imagen bosquejada en la Figura 1.1 (c). Las variedades afines y cuasi-afines serán nuestros primeros objetos de estudio, pero antes de seguir avanzando, necesitaremos explorar con más profundidad la relación que existe entre los subconjuntos de An y los ideales del anillo A, lo cual haremos en la siguiente sección. 1.3.– El Nullstellensatz de Hilbert El Teorema Fundamental del Álgebra de Gauss establece el enlace básico entre el Álgebra y la Geometrı́a: nos dice que un polinomio en una variable sobre C (un objeto algebraico) está determinado salvo un múltiplo escalar por el conjunto de sus raı́ces (un objeto geométrico). El Nullstellensatz de Hilbert (o Teorema de los Ceros de Hilbert) extiende este enlace a ciertos ideales de polinomios en varias variables. Es una consecuencia formal del Teorema Fundamental del Álgebra en el sentido de que se cumple para cualquier campo algebraicamente cerrado. De manera más precisa, tomemos k un campo algebraicamente cerrado, entonces se cumple que todo ideal propio de k[x] se puede expresar de manera única (salvo el orden) como la intersección de un número finito de ideales primarios. Más aún, todo ideal primario o es el ideal h0i, o es de la forma hpn i, donde p ∈ k[x] es irreducible y n ∈ N, cumpliéndose además hpn i = hpinQ(para una discusión más amplia sobre este tema, vea [Hun74], página 141). De esta manera, si f = c ni=1 (x−αi )mi ∈ k[x] es cualquier polinomio no constante, se tiene que: v un n n q \ \ p u\ hf i = t h(x − αi )mi i = hx − αi imi = hx − αi i = h(x − α1 ) · · · · · (x − αn )i . i=1 i=1 i=1 Claramente se ve de la relación anterior que el ideal hf i es radical si, y solo si, f no tiene raı́ces múltiples. El Teorema Fundamental es equivalente al hecho de que un ideal radical en k[x] está completamente determinado por el conjunto de ceros de un generador. El Nullstellensatz de Hilbert dice que un ideal radical I ⊆ A se encuentra completamente determinado por su conjunto de ceros Z(I), y es un teorema muy importante en Geometrı́a Algebraica. Definición: Sea Y ⊆ An , definimos el ideal de Y en k[x1 , . . . , xn ] como I(Y ) := {f ∈ k[x1 , . . . , xn ] | ∀ P ∈ Y : f (P ) = 0}. Ahora contamos con una función Z que envı́a subconjuntos de A en conjuntos algebraicos, y una función I que envı́a subconjuntos de An en ideales de A. Se resumen algunas de sus propiedades en la siguiente proposición. 5 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert 1. Variedades Afines Proposición 1.3. a) Si T1 ⊆ T2 son subconjuntos de k[x1 , . . . , xn ], entonces Z(T1 ) ⊇ Z(T2 ). b) Si Y1 ⊆ Y2 son subconjuntos de An , entonces I(Y1 ) ⊇ I(Y2 ). c) ∀ Y1 , Y2 ⊆ An : I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ). √ d ) Si a ⊆ A es un ideal, entonces I(Z(a)) = a. e) ∀ Y ⊆ An : Z(I(Y )) = Y , la cerradura de Y . f ) Si Y1 , Y2 ⊆ An son subconjuntos algebraicos, entonces I(Y1 ∩ Y2 ) = p I(Y1 ) + I(Y2 ). Demostración. Las afirmaciones a), b) y c) son fáciles de ver. La primer afirmación la podemos interpretar como el hecho de que a mayor número de ecuaciones, tenemos menor número de soluciones. De manera precisa, si x ∈ Z(T2 ), entonces ∀ f ∈ T2 : f (x) = 0; en particular T1 ⊆ T2 ⇒ ∀ f ∈ T1 : f (x) = 0, lo cual dice que x ∈ T1 . La demostración de b) utiliza la misma idea. La cuarta afirmación es una consecuencia directa del Nullstellensatz de Hilbert (Teorema de los ceros de Hilbert), mencionado a continuación, ya que el radical de un ideal a se puede caracterizar como \ √ a := p = {f ∈ A | ∃ r > 0 : f r ∈ a}. p primo p⊃a √ Utilizando el resultado anterior, la inclusión a ⊆ I(Z(a)) es obvia. Para probar e), notemos que Y ⊆ Z(I(Y )), el cuál es un conjunto cerrado, luego Y ⊆ Z(I(Y )). Por otro lado, sea W cualquier conjunto cerrado que contenga a Y , entonces ∃ a ideal de A tal que W = Z(a). Por lo tanto Z(a) ⊇ Y y I(Z(a)) ⊆ I(Y ). Pero ciertamente a ⊆ I(Z(a)), entonces W = Z(a) ⊇ Z(I(Y )). Ası́ Z(I(Y )) = Y . Por último, notemos que en f ) se rompe el buen comportamiento de las operaciones de conjuntos observado en c). Para demostrar este punto, observemos que el ideal generado por I(Y1 ) ∪ I(Y2 ) es I(Y1 ) + I(Y2 ), ası́ se tiene que Z(I(Y1 ) ∪ I(Y2 )) = Z(I(Y1 ) + I(Y2 )), pero como Y1 y Y2 son conjuntos algebraicos, entonces son cerrados ası́ Y1 = Z(I(Y1 )) y Y2 = Z(I(Y2 )), por lo tanto Y1 ∩ Y2 = Z(I(Y1 )) ∩ Z(I(Y p 2 )) = Z(I(Y1 ) ∪ I(Y2 )) = Z(I(Y1 ) + I(Y2 )), y finalmente, I(Y1 ∩ Y2 ) = I(Z(I(Y1 ) + I(Y2 ))) = I(Y1 ) + I(Y2 ). ∗ A continuación enunciamos el resultado más importante de esta sección, el cual nos permite establecer una conexión precisa entre los conjuntos algebraicos en An y los ideales del anillo A = k[x1 , . . . , xn ], llevándonos también a nuestra primera conexión entre la geometrı́a y el álgebra. α Teorema 1.4 (El Nullstellensatz de Hilbert). Sea k un campo algebraicamente cerrado, sea a un ideal de A y f ∈ k[x1 , . . . , xn ] un polinomio que se anula en todos los puntos de Z(a). Entonces ∃ n ∈ N : f n ∈ a. Demostración. Ver [Kun85], página 16 o [Hun74], página 412. ∗ Junto con el siguiente corolario, se ofrece una caracterización algebraica de las variedades afines. Corolario 1.5. Existe una correspondencia uno a uno que invierte el orden de las inclusiones entre los conjuntos algebraicos de An y los ideales radicales en A, dada por Y 7→ I(Y ) y a 7→ Z(a). Más aún, un conjunto algebraico es irreducible si, y solo si, su ideal asociado es primo. 6 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert 1. Variedades Afines Demostración. Solo la última parte es nueva. Si Y es irreducible, sea f g ∈ I(Y ), entonces Y ⊆ Z(f g) = Z(f ) ∪ Z(g). Ası́ Y = (Y ∩ Z(f )) ∪ (Y ∩ Z(g)), siendo ambos subconjuntos cerrados en Y . Ya que Y es irreducible, tenemos ya sea Y = Y ∩ Z(f ), en cuyo caso Y ⊆ Z(f ), o Y = Y ∩ Z(g), que implica Y ⊆ Z(g). Ası́ se tiene f ∈ I(Y ) o g ∈ I(Y ), y de esta manera el ideal I(Y ) es primo. Recı́procamente, sea p un ideal primo, y supongamos que Z(p) = Y1 ∪ Y2 . Entonces p = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ), y como p es primo, se tiene que p = I(Y1 ) o p = I(Y2 ) (ver [AM69], página 8). Luego Z(p) = Y1 o Z(p) = Y2 , por lo que concluimos que Z(p) es irreducible. ∗ 1.6 Ejemplo: An es una variedad algebraica, pues I(An ) = h0i es un ideal primo. Si f ∈ A = k[x1 , . . . , xn ] es un polinomio irreducible, entonces Z(f ) es una variedad algebraica (pues A es un Dominio de Factorización Única, abreviado DFU) llamada superficie si n = 3, o hipersuperficie si n > 3. Como un caso particular, si f ∈ k[x, y] es un polinomio irreducible de grado d, decimos que Y = Z(f ) es una curva afı́n plana de grado d, definida por la ecuación f (x, y) = 0. 1.7 Ejemplo: Un ideal maximal m de A corresponde a un subconjunto cerrado minimal de An , que debe ser un punto (pues los puntos no contienen ningún subconjunto cerrado propio), digamos P = (a1 , . . . , an ). Esto muestra que todo ideal maximal de A es de la forma mP = hx1 − a1 , . . . , xn − an i para algunos a1 , . . . , an ∈ k. En otras palabras, el Nullstellensatz de Hilbert identifica el conjunto de ideales maximales2 del anillo k[x1 , . . . , xn ] con los puntos del espacio afı́n An . Observación 1.1: Si nuestro campo no es algebraicamente cerrado, puede suceder que los resultados anteriores no se cumplan, lo cual parece decirnos que la Geometrı́a Algebraica sobre este tipo de campos es más delicada y complicada. Daremos a continuación algunos ejemplos en donde k = R. a) La curva x2 + y 2 + 1 = 0 en A2R es el conjunto vacı́o. Por lo tanto el inciso d) de la Proposición 1.3 es falso. b) Sabemos que R[ x ]/ x2 + 1 ∼ = C, por lo que el ideal x2 + 1 debe ser maximal, pero éste no es de la forma establecida en el Ejemplo 1.7. Más aún,todo ideal maximal en el anillo R[x] se puede expresar como hx − ai, a ∈ R ó como x2 + ax + b ; donde a, b ∈ R son tales que a2 − 4b < 0. c) Tomemos (x2 − 1)2 + y 2 = f (x, y) ∈ R[x, y], se tiene que f (x, y) = [(x2 − 1) + iy][(x2 − 1) − iy] es una factorización de f en polinomios irreducibles en C[x, y], y ya que tanto C[x, y] como R[x, y] son DFU y R[x, y] ⊂ C[x, y], obtenemos que f es irreducible en R[x, y]. Sin embargo, Z(f ) = {(1, 0)} ∪ {(−1, 0)} = Z(x − 1, y) ∪ Z(x + 1, y), el cual no es reducible, por lo que la parte final del Corolario 1.5 no se cumple. Una caracterı́stica de las matemáticas modernas es que, para entender ciertos objetos, se deben estudiar las clases naturales de funciones que aparecen entre ellos. Tal como lo discutimos al principio del capı́tulo, dado f ∈ A, podemos definir de manera natural una función de An a A1 = k, (denotada también por f y llamada frecuentemente función polinomial) por P = (a1 , . . . , an ) 7→ f (a1 , . . . , an ). Las funciones xi : An −→ k se conocen frecuentemente por funciones coordenadas en An . Ya que k es un campo infinito, la correspondencia que a cada f ∈ A le asocia la función f : An −→ k discutida anteriormente, es biyectiva, tal y como se demuestra a continuación (de hecho, probaremos algo ligeramente más general). Proposición 1.6. Sea k un campo infinito, si f ∈ k[x1 , . . . , xn ] es tal que ∀ (a1 , . . . , an ) ∈ An : f (a1 , . . . , an ) = 0, entonces f = 0. 2 El conjunto de todos los ideales primos de un anillo A se conoce como el espectro de A (denotado por Spec A). El subconjunto de Spec A que consta de todos los ideales maximales de A se conoce como el espectro maximal de A (denotado por max SpecA). 7 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert 1. Variedades Afines Demostración. Procederemos por inducción sobre el número de variables n. Si n = 1, la proposición es trivial, pues todo polinomio f ∈ k[ x ] tiene a lo sumo un número finito de raı́ces. Supongamos pues que n > 1 y que se verifica la hipótesis para k = n−1. Tomemos (a1 , . . . , an ) ∈ k n y ordenamos al polinomio f (x1 , . . . , xn−1 , an ) según las potencias crecientes del elemento an como sigue: f (x1 , . . . , xn−1 , an ) = f0 (x1 , . . . , xn−1 ) + f1 (x1 , . . . , xn−1 )an + · · · + fr (x0 , . . . , xn−1 )arn . P Tomando a1 , . . . , an−1 ∈ k vemos que el polinomio f (a1 , . . . , an−1 , xn ) = sj=0 fj (a1 , . . . , an−1 )xjn considerado como un polinomio de una sola variable se anula sobre todo el campo k, el cual es infinito. Se sigue que este es el polinomio nulo. En consecuencia ∀ i ∈ {0, . . . , s} : fi (a1 , . . . , an ) = 0. Ya que esto es verdadero para todos los (a1 , . . . , an−1 ) ∈ k n−1 , podemos aplicar la hipótesis de inducción a f0 , . . . , fr , los cuales resultan ser nulos. Se sigue de esta forma que f = 0. ∗ Sea Ω la k-álgebra de todas las funciones de An a k. Entonces, fácilmente se ve que la subálgebra de Ω generada por las funciones coordenadas {xi }ni=1 , es isomorfa al anillo de polinomios A. Esta subalgebra se llama el anillo coordenado de An (es claro de donde viene el nombre). A continuación sea Y ⊂ An un conjunto algebraico y sean xi |Y , i = 1, . . . , n las restricciones de las funciones coordenadas de An a Y . Lo que deseamos ahora es caracterizar la k-álgebra A(Y ) generada por estas restricciones dentro de la k-álgebra de todas las funciones de Y a k. Notemos que existe un homomorfismo ψ : A −→ A(Y ) dado por xi 7→ xi |Y , i = 1, . . . , n. Además, si observamos que cualquier elemento del campo k define una función constante en Y , tenemos que ψ es un homomorfismo de k-álgebras, el cual por definición es suprayectivo (ver el Apéndice A). Tenemos que Ker ψ = I(Y ), por lo que A(Y ) ∼ = A/I(Y ). Formalizamos estas observaciones en la siguiente definición. Definición: Si Y ⊆ An es un conjunto algebraico, definimos el anillo coordenado afı́n de Y , denotado por A(Y ), como A/I(Y ). 1.8 Ejemplo: A continuación analizaremos otra estrecha relación entre el Álgebra y la Geometrı́a. Se tiene que una k-álgebra B es isomorfa al anillo coordenado de algún subconjunto algebraico de An , para algún n, si, y solo si, B es una k-álgebra finitamente generada sin elementos nilpotentes distintos de 0 3 . Para demostrar esto nos auxiliaremos de la siguiente: Proposición 1.7. Un ideal a de un anillo R es radical si, y sólo si, R/a no contiene elementos nilpotentes distintos de 0. Demostración. √ Necesidad: Supongamos que R/a no tiene elementos nilpotentes distintos de 0 y sea√x ∈ a. Entonces ∃ n ∈ N : xn ∈ a, pero esto implica que 0 = xn = (x)n , ası́ x ∈ a, por lo tanto a ⊂ a. n Suficiencia: Sea a un ideal radical y tomemos x ∈ R/a √ nilpotente, entonces ∃ n ∈ N : (x) = 0, pero n esto significa que x ∈ a, y como tenemos que x ∈ a ⊂ a, entonces x = 0. ∗ Volvamos a la demostración del ejemplo inicial. Probaremos primero la necesidad. Sea B una kálgebra finitamente generada sin elementos nilpotentes no nulos, sea {α1 , . . . , αn } un conjunto de generadores para B y definimos el mapeo ψ : k[x1 , . . . , xn ] −→ B f (x1 , . . . , xn ) 7→ f (α1 , . . . , αn ) 3 Un anillo que no posee elementos nilpotentes distintos de cero se llama reducido. 8 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert 1. Variedades Afines el cual claramente es un homomorfismo de k-álgebras suprayectivo. Ası́ k[x1 , . . . , xn ]/Ker ψ ∼ =B y por la Proposición 1.7, se tiene que Ker ψ es un ideal radical, por lo que define una única variedad Y = Z(Ker ψ) ⊆ An . ∼ Ahora, probemos la suficiencia. Supongamos que existe un isomorfismo ψ : A(Y ) −→ B, donde A(Y ) es el anillo coordenado correspondiente al conjunto algebraico Y ⊆ An , entonces como Y es un subconjunto cerrado del n-espacio afı́n, I(Y ) es radical; por la Proposición 1.7, B no tiene elementos nilpotentes no nulos, además A(Y ) es finitamente generada (por los elementos x1 , . . . , xn ), luego, por el isomorfismo existente, B es generada por las imágenes de los generadores de A(Y ) y se sigue el resultado. A continuación presentamos una aplicación concreta de lo anterior y trabajaremos con los anillos coordenados de algunas curvas afines, para lo cual haremos uso del siguiente “algoritmo de la división”. P j Proposición 1.8. Sea R un anillo conmutativo con identidad y g(x) = m j=0 aj x ∈ R[ x ] tal que am ∈ R∗ , entonces (∀f (x) ∈ R[ x ]) (∃ q(x), r(x) ∈ R[ x ]) : f (x) = q(x)g(x) + r(x), donde r(x) = 0 ó deg r < deg g. Demostración. La prueba será por inducción sobre deg f . Si deg f < deg g,Pentonces tomamos j q(x) = 0 y r(x) = f (x) y hemos terminado. Si deg f ≥ deg g, digamos g(x) = m j=0 aj x y f (x) = Pn j −1 n−m , y r (x) = f (x)−q (x)g(x), luego d = deg r < deg f (ya 1 1 1 1 j=0 bj x , tomamos q1 (x) = am bn x que necesariamente el término lı́der de f (x) se anula con el de q1 (x)g(x), pudiendo ocurrir también algunas cancelaciones más de términos). En este punto vemos que si r1 (x) = 0 ó d1 < m, entonces hemos terminado, de lo contrario P 1 (1) j repetimos el proceso con r1 (x) = dj=0 bj x en el lugar de f (x) (i.e., multiplicamos a g(x) por (1) d1 −m y tomamos r (x) = r (x) − q (x)g(x)), donde d = deg r < d . Si d = 0 q2 (x) = a−1 2 1 2 2 2 1 2 m bd1 x ó deg r2 < m, despejando tenemos f (x) = [q1 (x) + q2 (x)]g(x) + r2 (x), de lo contrario, continuamos el procedimiento hasta obtener un polinomio rs (x) = rs−1 (x) − qs (x)g(x) con rs (x) = 0 ó ds =deg rs < m (el proceso es finito pues m lo es), de donde al hacer sustituciones regresivas, se sigue el resultado. ∗ 1.9 Ejemplo (Los anillos coordenados afines de la parábola y de la hipérbola): 1. Sea Y la curva afı́n y = x2 (i.e., Y es el conjunto de ceros del polinomio f = y − x2 ), la cual representa a una cónicabien conocida: una parábola. Veremos que el anillo coordenado de Y A(Y ) = k[x, y]/ y − x2 es isomorfo a un anillo de polinomios en una variable sobre k. Para ver esto, definimos ϕ : k[x, y] −→ k[ t ] por ϕ(f (x, y)) = f (t, t2 ) (i.e., x 7→ t, y 7→ t2 ), y fácilmente verificamos que ϕ es un homomorfismo A continuación P de anillos. Pm demostraremos j , entonces ∃ g = j ∈ k[x, y] que es suprayectivo; si f ∈ k[t] es tal que f = m a t j=0 j j=0 aj x tal que ϕ(g) = f . Por último, confirmemos que Ker ϕ = y − x2 . Sea f ∈ y − x2 , entonces ∃ h ∈ k[x, y] tal que f = h(y − x2 ), ası́ ϕ(f ) = ϕ(h(y − x2 )) = 0, por lo tanto y − x2 ⊆ Ker ϕ. Recı́procamente, sea f ∈ Ker ϕ. Veamos el anillo k[x, y] como k[ x ][ y ], en este anillo, y − x2 tiene coeficiente lı́der 1 en y, ası́ por la Proposición 1.8, ∃ q, r ∈ k[ x ][ y ] : f = q(y − x2 ) + r, dónde r = 0 ó deg r = 0 (en cuyo caso r ∈ k[ x ]); si r = 0, entonces f ∈ y − x2 y hemos terminado, si r 6= 0, entonces aplicando el homomorfismo ϕ obtenemos que 0 = r(t), luego 2 2 r = 0 y f ∈ y − x , por lo tanto Ker ϕ ⊆ y − x y tenemos que ϕ induce un isomorfismo entre los anillos k[x, y]/ y − x2 y k[ t ], lo cual termina la prueba. 9 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert 1. Variedades Afines 2. Ahora consideremos Z la curva xy = 1, la cual representa a otra cónica bien conocida: una hipérbola. En este caso veremos que A(Z) = k[x, y]/ hxy − 1i no es isomorfo a un anillo de polinomios en una variable sobre k. ∼ La prueba procederá por contradicción. Supongamos que existe un isomorfismo ϕ : A(Z) −→ k [ t ], dónde A(Z) = k[x, y]/ hxy − 1i = k[x, y] y sean f (t) = ϕ(x) y g(t) = ϕ(y), entonces tenemos que 1 = ϕ(1) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = f (t)g(t), luego f (t), g(t) ∈ k. Ya que los elementos x, y generan la k-álgebra A(Z), tenemos que ∀ f ∈ A(Z) : ϕ(f ) ∈ k, luego, ϕ no puede ser suprayectivo. Esto contradice nuestra suposición inicial, y concluimos ası́ que dicho isomorfismo no existe. Observación 1.2: Notemos que el anillo k[x, y]/ hxy − 1i = k[x, y] es isomorfo al anillo k[u, u−1 ] (llamado el anillo de polinomios de Laurent), vı́a el homomorfismo ψ : k[x, y] −→ k[u, u−1 ] dado por x 7→ u, y 7→ u−1 , cuyo homomorfismo inverso es ψ −1 : k[u, u−1 ] −→ k[x, y], dado por u 7→ x. Será útil tener en mente este resultado, pues lo utilizaremos posteriormente. En el ejemplo anterior, es interesante ver que el anillo coordenado de la parábola Y = Z(y − x2 ) es isomorfo al anillo coordenado de la lı́nea afı́n A1 , pues ambos son k[ t ]. Más adelante (Capı́tulo 3) veremos que este hecho tiene un significado más profundo del que pudiese aparentar a simple vista. 1.10 Ejemplo (Anillos coordenados afines de las curvas cónicas irreducibles en A2 ): Sea f (x, y) ∈ k[x, y] un polinomio irreducible de grado dos (char k 6= 2). Si W=Z(f ), probaremos que A(W ) es isomorfo a A(Y ) ó es isomorfo a A(Z). Más aún, hallaremos una condición suficiente para saber cuando es isomorfo a cada uno de estos anillos. Escribamos a f de la forma f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 + L(x, y), donde a, b, c no son todos cero y L(x, y) es un polinomio lineal. Definimos δ(f ) := b2 − 4ac. La prueba consistirá de tres pasos. 1. La condición de que δ(f ) = 0 ó δ(f ) 6= 0 es estable (i.e., no se altera) al efectuar cualquiera de las siguientes operaciones en f : a) f 7→ uf , donde u ∈ k ∗ (multiplicación por una unidad). Tenemos que δ(uf ) = (ub)2 − 4(ua)(uc) = u2 δ(f ). b) f 7→ f (X, Y ), donde X := x + α, Y := y + β, con α, β ∈ k ∗ (traslación de coordenadas). Esto es fácil de ver pues f (X, Y ) = aX 2 + bXY + cY 2 + L0 (X, Y ), donde L0 (X, Y ) es un polinomio lineal, ası́ δ(f (x, y)) = δ(f (X, Y )). c) f 7→ f (X, Y ), donde (X, Y ) = (x, y)A, A ∈ GL2 (k) (transformación lineal). Nuevamente, f (X, Y ) = aX 2 + bXY + cY 2 + L0 (X, Y ), donde L0 (X, Y ) es un polinomio lineal, y ya que δ(f (X, Y )) solo depende de los términos de grado 2, nos enfocaremos nada más en ellos. Notemos que 2a b x 2 2 −1 ax + bxy + cy = 2 (x, y) . b 2c y b Haciendo B = 2a b 2c , tenemos que δ(f ) = −Det B. Ası́, al efectuar el cambio de variables (x, y) 7→ (X, Y ) = (x, y)A (para A ∈ GL2 (k)), tenemos que aX 2 + bXY + cY 2 = 2−1 (x, y)AB[(x, y)A]t = 2−1 (x, y)(ABAt )(x, y)t , de donde se sigue que δ(f (X, Y )) = −2−1 Det2 (A)δ(f (x, y)). 10 1.3. El Nullstellensatz de Hilbert 1. Variedades Afines 2. Utilizando las operaciones anteriores, cualquier polinomio irreducible de grado dos f (x, y) se puede transformar en uno de los siguientes polinomios: a) Cuando δ(f ) = 0. Ya que k es un campo algebraicamente cerrado y como b2 = 4ac, tenemos que √ √ f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 + L(x, y) = ( ax + cy)2 + L(x, y). A continuación, sea i ∈ k un elemento tal que i2 = −1 (nuevamente, existe pues k es al√ √ gebraicamente cerrado) y efectuamos el cambio de variables dado por X = i( ax + cy), Y = L(x, y). Este cambio es una composición de las operaciones a) y c) del punto anterior. Ası́, f (x, y) se puede transformar en f (X, Y ) = Y − X 2 b) Cuando δ(f ) 6= 0. Efectuamos la siguiente manipulación algebraica: # " 2 c 2 b2 2 b 2 2 f (x, y) = ax + bxy + cy + L(x, y) = a x + y + y − 2 y + L(x, y) 2a a 4a !2 p 2 2 √ √ i δ(f ) b ab δ(f ) 2 √ y =a x+ y − ax + y + L(x, y) = y + +L(x, y) 2a 4a 2a 2 a ! ! p p √ √ √ √ δ(f ) δ(f ) ab ab ax + y− √ y ax + y + √ y + L(x, y). = 2a 2a 2 a 2 a Definimos el cambio de variables dado por p √ b − δ(f ) √ X = ax + y, 2 a Y = √ p b + δ(f ) √ ax + y, 2 a la cual es una operación del tipo c). Por lo tanto, tenemos que f (X, Y ) = XY +dX +eY +f = (X + e)(Y + d) − de + f , aplicando nuevamente una transformación del tipo b), obtenemos f (X 0 , Y 0 ) = X 0 Y 0 − de + f . A continuación, ya que f es irreducible, tenemos que −de + f 6= 0, por lo tanto ∃ t ∈ k ∗ : t(−de + f ) = −1. Aplicando una transformación del tipo a), obtenemos tf (X 0 , Y 0 ) = (tX 0 )Y 0 − 1. Finalmente, aplicamos la transformación del tipo c) X 00 = −tX 0 , Y 00 = −Y 0 , obtenemos el resultado final f (X 00 , Y 00 ) = X 00 Y 00 − 1. 3. Si f ∈ k[x, y] es un polinomio irreducible de grado dos, entonces el anillo k[x, y]/ hf (x, y)i es estable (salvo isomorfismo) bajo las operaciones definidas en el punto 1. a) Multiplicación por una unidad u ∈ k ∗ . Se tiene que k[x, y]/ huf i = k[x, y]/ hf i. b) Traslación de coordenadas X = x + α, Y = y + β. Es fácil ver que el homomorfismo ψ : k[x, y]/ hf (X, Y )i −→ k[x, y]/ hf (x, y)i dado por g(x, y)+ f (X, Y ) 7→ g(x − α, y − β) + f (x, y) es un isomorfismo. c) Transformación lineal por A ∈ GL2 (k), (X, Y ) = (x, y)A. Tenemos que el homomorfismo ψ : k[x, y]/ hf (X, Y )i −→ k[x, y]/ hf (x, y)i dado por g(x, y) + f (X, Y ) 7→ g((x, y)A−1 ) + f (x, y) es un isomorfismo. 11 1.4. Propiedades Topológicas 1. Variedades Afines Concluimos que todo polinomio irreducible f (x, y) ∈ k[x, y] de grado 2 se puede transformar en un polinomio de la forma y − x2 si δf = 0, y en un polinomio de la forma xy − 1 si δ(f ) 6= 0. El anillo coordenado k[x, y]/ hf i es estable bajo esta transformación. Por lo tanto, el anillo coordenado A(W ) de cualquier cónica irreducible W = Z(f ) es isomorfo a k[ x ] = A(Y ) ó a k[x, x−1 ] = A(Z). 1.4.– Propiedades Topológicas A continuación estudiaremos la topologı́a de nuestras variedades. Para hacerlo introducimos una clase importante de espacios topológicos, la cual incluirá a nuestras variedades afines. Definición: Sea X un conjunto no vacı́o. Se dice que una cadena descendente de subconjuntos Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · (respectivamente una cadena ascendente Y1 ⊆ Y2 ⊆ · · · ) es estacionaria si ∃ r ∈ N : Yr = Yr+1 = · · · . El conjunto X satisface la condición de cadena descendente si toda cadena descendente de subconjuntos es estacionaria. X satisface la condición de cadena ascendente si toda cadena ascendente de subconjuntos es estacionaria. Definición: Un espacio topológico X se dice noetheriano (de Emmy Noether ) si satisface la condición de cadena descendente para subconjuntos cerrados. 1.11 Ejemplo: Gracias a la Topologı́a de Zariski, An es un espacio topológico noetheriano. De hecho, si Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · es una cadena descendente de subconjuntos cerrados, entonces I(Y1 ) ⊆ I(Y2 ) ⊆ · · · es una cadena ascendente de ideales en A. Ya que A es un anillo noetheriano, esta cadena de ideales es estacionaria. Pero se tiene que ∀ j : Yj = Z(I(Yj )), por lo que la cadena original Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · también es estacionaria. Proposición 1.9. Sea X un espacio topológico. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. a) X es noetheriano; b) toda familia no vacı́a de subconjuntos cerrados tiene un elemento minimal; c) X satisface la condición de cadena ascendente para conjuntos abiertos; d ) toda familia no vacı́a de subconjuntos abiertos tiene un elemento maximal. Demostración. a) ⇒ b). Supongamos que X es noetheriano y sea S una familia no vacı́a de subconjuntos cerrados de X, entonces existe un conjunto Y1 ∈ S. Si S no posee elemento minimal, entonces (∀ Y ∈ S) (∃ Y 0 ∈ S) : Y ) Y 0 . Por el axioma de elección, para cada Y en S podemos elegir un Y 0 que cumpla dicha caracterı́stica. Esta elección define una función f : S −→ S dada por Y 7→ Y 0 . El Teorema de la recursión (Ver [Hun74], página 10) establece que si S es un conjunto, Y ∈ S y tenemos una función fn : S −→ S para cada n ∈ N, entonces existe una única sucesión {Yn }n∈N tal que Y1 = Y y ∀ n > 1 : Yn+1 = fn (Yn ). Entonces si tomamos fn = f para toda n ∈ N, existe una sucesión {Yn }n∈N tal que Y1 = Y y Yn+1 = f (Yn ) = Yn0 por lo tanto, hemos construido una sucesión {Yn }n∈N que cumple Y1 ) Y2 ) · · · , pero esto es una contradicción. Luego, S debe tener un elemento minimal. b) ⇒ c). Tomemos U1 ⊆ U2 ⊆ · · · una cadena ascendente de subconjuntos abiertos de X. Entonces {Uic } es una familia no vacı́a de subconjuntos cerrados, la cual tiene un elemento minimal, digamos 12 1.4. Propiedades Topológicas 1. Variedades Afines c . Ası́, ∀ i ≥ m : U c ⊇ U c ; además U c ⊆ U c por la condición de minimalidad, luego ∀i ≥ m : Um m m i i c , y esto implica que la cadena original U ⊆ U ⊆ · · · es estacionaria. Uic = Um 1 2 c) ⇒ d). La prueba es análoga a la de a) ⇒ b). d) ⇒ a). La prueba es análoga a la de b) ⇒ c). ∗ 1.12 Ejemplo (Propiedades y caracterización de los espacios topológicos noetherianos): 1. Todo espacio topológico noetheriano es cuasi-compacto4 , i.e., toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita. Tomemos X un espacio topológico noetheriano y sea Ω = {Gα }α∈I una cubierta abierta para X. Si X ∈ Ω no hay nada que hacer, supongamos pues lo contrario, tomamos G1 ∈ Ω y hacemos F1 = X − G1 , a continuación tomamos G2 ∈ Ω1 , donde Ω1 = Ω − {G1 } con G2 ( G1 (lo cual es posible pues si todo subconjunto Gα estuviera contenido en G1 , entonces X = ∪α Gα = G1 , lo cual serı́a una contradicción) y hacemos F2 = X − (G1 ∪ G2 ), de esta manera generamos una sucesión estrictamente decreciente de conjuntos cerrados F1 ⊃ F2 ⊃ · · · . Ya que X es noetheriano, dicha sucesión se estaciona en algún ı́ndice, digamos m, esto significa que X = (G1 ∪ · · · Gm ) ∪ Fm , pero la familia {Gα }α∈I cubre a X, por lo tanto Fm = ∅ y X = G1 ∪ · · · ∪ Gm . 2. Cualquier subconjunto de un espacio topológico noetheriano es noetheriano (con su topologı́a inducida). Sea X un espacio topológico noetheriano y Y ⊆ X, tomemos {Gα }α∈I una cubierta abierta de Y . Como sabemos, (∀ α ∈ I) (∃ Hα ⊆ X) abierto tal que Gα = Hα ∩ Y . Entonces podemos construir una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados F1 ⊃ F2 ⊃ · · · como en el párrafo anterior como sigue: Tomamos Gα1 y si Gα1 6= Y , tomamos F1 := X − Hα1 , a continuación tomamos Gα2 tal que Gα2 ( G1 y hacemos F2 = X − (Gα1 ∪ Gα2 ), continuando de esta forma, es claro que F1 ⊃ F2 · · · es una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados en X, el cual por hipótesis es noetheriano, por lo tanto dicha cadena se estaciona, digamos en un ı́ndice m, i.e., Fm = X − ∪m i=1 Hαi . Aseveramos que Y ⊂ ∪m / ∪m i=1 Hαi , de lo contrario, sea x ∈ Y con x ∈ i=1 Hαi , entonces existe m β ∈ I, β 6= αi tal que x ∈ Gβ , ası́ Fm ) Fβ , donde Fβ = X −(∪i=1 Hαi )∪Hβ , lo cual contradice m la minimalidad de Fm . Ası́ se tiene que Y = Y ∩ (∪m i=1 Hαi ) = ∪i=1 Gαi y se sigue que Y es noetheriano. 3. Un espacio topológico X es noetheriano si, y solo si, todo subconjunto abierto U ⊆ X es cuasi-compacto. Si X es un espacio topológico noetheriano, entonces cualquier subconjunto abierto de él es nuevamente noetheriano (con la topologı́a inducida) y por lo tanto cuasi-compacto. Recı́procamente, sea U1 ⊆ U2 · · · una cadena ascendente de subconjuntos abiertos. Si denotamos por U a la unión de todos estos conjuntos, entonces U es un conjunto abierto y por hipótesis cuasicompacto. Entonces U resulta ser la unión de un número finito de estos conjuntos abiertos, y como estos formaban una cadena podemos concluir que U es uno de ellos. Pero esto prueba que la sucesión U1 ⊆ U2 · · · es estacionaria. Por la Proposición 1.9, X es noetheriano. La razón principal de introducir los espacios noetherianos en nuestra discusión la da la siguiente proposición. 4 La mayorı́a de los autores llaman cuasi-compacto a este tipo de espacios, reservando el término compacto sólo para los espacios Hausdorff. En general (como veremos posteriormente), los espacios topológicos noetherianos de interés no son Hausdorff. 13 1.4. Propiedades Topológicas 1. Variedades Afines Proposición 1.10. En un espacio topológico noetheriano X, todo subconjunto cerrado no vacı́o Y puede expresarse como unión finita Y = ∪ni=1 Yi de conjuntos cerrados irreducibles Yi . Si pedimos que Yi ! Yj para i 6= j, entonces los Yi están determinados de manera única. Estas se llaman las componentes irreducibles de Y . Demostración. Primero veremos la existencia de tal representación para Y . Sea S el conjunto de conjuntos cerrados de X no vacı́os que no se puedan expresar como unión finita de subconjuntos cerrados irreducibles. Si S 6= ∅, como X es noetheriano, por la Proposición 1.9 debe existir un elemento minimal Y ∈ S. Entonces por construcción, Y no es irreducible, por lo que ∃ Y1 , Y2 subconjuntos propios cerrados de Y tales que Y = Y1 ∪ Y2 . Por la minimalidad de Y , tanto Y1 como Y2 se pueden expresar como unión finita de subconjuntos cerrados irreducibles, por lo tanto también Y , lo cual es una contradicción. Concluimos que todo conjunto cerrado Y puede ser escrito como una unión Y = ∪ni=1 Yi de conjuntos irreducibles. Quitando algunos si es necesario, podemos suponer que ∀ i 6= j : Yi ! Yj . 0 0 A continuación supongamos que Y = ∪m i=1 Yi es otra de tales representaciones. Entonces Y1 ⊆ 0 n 0 0 Y = Y1 ∪· · ·∪Yn , por lo que Y1 = ∪i=1 (Y1 ∩Yi ), pero Y1 es irreducible, por lo que ∃i ∈ {1, . . . , n} tal que Y10 ⊆ Yi , digamos i = 1; de manera similar ∃ j ∈ {1, . . . , m} tal que Y1 ⊆ Yj0 , entonces Y10 ⊆ Yj0 , por lo que j = 1 y vemos que Y1 = Y10 . A continuación sea Z = (Y − Y1 ). Entonces Z = Y2 ∪ · · · ∪ Yn y también Z = Y20 ∪ · · · ∪ Ym0 por lo que al continuar por inducción, se obtiene la unicidad de las componentes Yi . ∗ Corolario 1.11. Todo conjunto algebraico de An puede expresarse de manera única como la unión de variedades, ninguna conteniendo a la otra. Como una aplicación de la Proposición 1.10, a continuación ofrecemos una caracterización completa de los espacios topológicos noetherianos que además son Hausdorff. 1.13 Ejemplo: Un espacio topológico noetheriano X es de Hausdorff si, y solo si, X es un conjunto finito con la topologı́a discreta. Para ver esto, tomemos X un espacio noetheriano que también es Hausdorff, entonces por (1.10) se sigue que existen Y1 , . . . , Yn subconjuntos cerrados irreducibles unı́vocamente determinados tales que X = Y1 ∪ · · · ∪ Yn , a continuación tomamos una de tales componentes, digamos Yk , y elegimos dos puntos distintos α, β ∈ Yk , entonces como X es Hausdorff, existen U, V vecindades de α y β respectivamente tales que U ∩ V = ∅, en este caso U 0 = U ∩ Yk y V 0 = V ∩ Yk son dos vecindades no vacı́as de α y β respectivamente en Yk , por ser éste irreducible, cualesquiera dos conjuntos abiertos no vacı́os se intersecan, i.e., U 0 ∩ V 0 6= ∅, pero U 0 ∩ V 0 ⊆ U ∩ V = ∅, lo cual es una contradicción, luego, ∀ k ∈ {1, . . . , n}, Yk = {xk } y X = {x1 , . . . , xn } es finito. Por último, notemos que la unión finita de conjuntos cerrados es cerrado, el espacio total X y el conjunto vacı́o son cerrados, entonces concluimos que todos los subconjuntos de X son cerrados, y por lo tanto, X debe tener la topologı́a discreta. Recı́procamente, si (X, D) es un espacio topológico en el cual X es un conjunto finito y D es la topologı́a discreta en X, se sigue que Card D < ∞, por lo tanto, dada Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · una cadena descendente de subconjuntos cerrados, es obvio que no puede contener una infinidad de elementos, por lo que debe ser estacionaria. Esto nos dice que X es noetheriano. Por último, es claro que X es Hausdorff, pues cada punto es abierto. Concluimos que un espacio noetheriano es Hausdorff si, y solo si, X es un conjunto finito con la topologı́a discreta. Hemos visto que para estudiar los conjuntos algebraicos es suficiente con estudiar las variedades algebraicas afines, y esto justifica el por que del papel central de estos objetos en nuestro estudio. Veamos a continuación un ejemplo concreto de aplicación del Corolario 1.11 14 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines 1.14 Ejemplo: Sea Y el conjunto algebraico en A3 definido por los dos polinomios x2 −yz y xz −x. Muestre que Y es la unión de tres componentes irreducibles. Descrı́balas y halle sus ideales primos. De la condición xz − x = 0 se desprende inmediatamente x = 0 o z = 1. Si z = 1, entonces, tomando la condición x2 = yz se sigue que x2 = y en el plano z = 1. Al tomar la condición x = 0, tenemos y = 0 ó z = 0 (en el plano x=0), ası́, Y = V1 ∪ V2 ∪ V3 , donde V1 = Z(hx, yi) que el eje z, V2 = Z(hx, zi) que es el eje y y una parábola en el plano z = 1 V3 = Z( x2 − y, z − 1 ) (Ver la Figura 1.2). V1 es irreducible pues k[x, y, z]/I(V1 ) ∼ = k[ z ], que es dominio entero, análogamente V2 ∼ es irreducible pues k[x, y, z]/I(V2 ) = k[ y ] y V3 es irreducible por el Ejemplo 1.9. z V1 A3 V3 z=1 y V2 x Figura 1.2: El conjunto algebraico Y = Z(x2 − yz, xz − x) es la unión de 3 variedades irreducibles. 1.5.– Dimensión A continuación aplicaremos los resultados obtenidos en la sección anterior (en particular, la noción de irreducibilidad) para definir la dimensión de un espacio topológico. Posteriormente pondremos a nuestra disposición una serie de herramientas obtenidas principalmente del Álgebra Conmutativa, con las cuales será más fácil obtener la dimensión de las variedades afines. Definición: Si X es un espacio topológico no vacı́o, definimos la dimensión de X (denotada dim X) como el supremo de todos los enteros n tales que existe una cadena estrictamente creciente Z0 ( Z1 ( · · · ( Zn de conjuntos cerrados irreducibles de X. Definimos la dimensión de una variedad afı́n o cuasi-afı́n a ser su dimensión como espacio topológico. 1.15 Ejemplo: Se tiene que dim A1 = 1, pues los únicos subconjuntos cerrados irreducibles de A1 son los conjuntos que constan de un solo punto (también llamados unipuntuales) {x} y A1 . 1.16 Ejemplo (Variedades de dimensión cero): Todo espacio topológico noetheriano X 6= ∅ que además es Hausdorff tiene dimensión 0. En efecto, cualquier subconjunto C 6= ∅ cerrado e irreducible de X consta de un solo punto. De lo contrario, tomemos x, y ∈ C tales que x 6= y, entonces existen Vx , Vy vecindades de x y y respectivamente, tales que Vx ∩ Vy = ∅, pero de acuerdo al inciso 1 del Ejemplo 1.4,se tiene que Vx ∩ Vy 6= ∅, lo cual es una contradicción. De esto se sigue fácilmente que si X ⊂ An es un conjunto algebraico no vacı́o, entonces dim X = 0 si, y solo si, X es un conjunto finito de puntos. 15 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines 1.17 Ejemplo (Propiedades de la Dimensión de Espacios Topológicos): 1. Sea X un espacio topológico y Y un subconjunto de X, entonces dim Y ≤ dim X. Es suficiente probar que si W0 ( · · · ( Wn es una cadena de conjuntos cerrados irreducibles de Y , entonces podemos hallar una cadena de conjuntos cerrados irreducibles en X de la misma longitud. A continuación, existen conjuntos Vi cerrados en X tales que Wi = Y ∩ Vi para todo i = 1, . . . , n. Ya que la propiedad de ser irreducible es intrı́nseca del espacio topológico, tenemos que los conjuntos Wi son también irreducibles en X. Ahora tomamos la cadena W 0 ( · · · ( W n de las cerraduras en X de los Wi , las cuales por el inciso 2) del Ejemplo 1.4, son irreducibles en X. Por lo tanto sólo falta probar que ∀ i : Wi 6= Wi+1 . Supongamos lo contrario, que W i = Vi ∩ Y = Vi+1 ∩ Y = W i+1 . Entonces tomemos x ∈ Vi+1 ∩ Y , ası́ x ∈ Vi+1 ∩ Y y por hipótesis x ∈ Vi ∩ Y ⊆ V i ∩ Y = Vi ∩ Y , ya que Vi es cerrado, concluimos que x ∈ Vi y, como x ∈ Vi+1 ∩ Y , entonces x ∈ Y , por lo tanto tenemos que x ∈ Vi ∩ Y y esto dice que Vi+1 ⊆ Vi , i.e., Vi+1 = Vi , lo cual es una contradicción. 2. Si X es un espacio topológico que está cubierto por una familia de subconjuntos abiertos {Ui }, entonces dim X = supi dim Ui . Por la parte anterior, tenemos que si {Ui } es una cubierta abierta de X, entonces ∀i : dim Ui ≤ dim X, por lo que se sigue que supi dim Ui ≤ dim X. A continuación sea Z0 ( Z1 ( · · · ⊂ Zn una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles de X. Como X = ∪i Ui , entonces ∃ Uj : Uj ∩ Z0 6= ∅. Entonces tenemos que Z0 ∩ Uj ⊆ · · · ⊆ Zn ∩ Uj es una cadena de subconjuntos cerrados de Uj . Notemos también que ∀ k ∈ {1, . . . , n} : Zk ∩ Uj ⊂ Zk es un subconjunto abierto, por lo tanto irreducible. Esto significa que Z0 ∩ Uj ⊆ · · · ⊆ Zn ∩ Uj es una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles de Uj . Solo resta probar que las inclusiones anteriores son propias, lo cual se demuestra más adelante en esta sección (ver la demostración de la Proposición 1.15 en la página 19). Por lo tanto Z0 ∩ Uj ( · · · ( Zn ∩ Uj es una cadena propia de subconjuntos cerrados irreducibles de Uj , por lo que necesariamente ∀ j : dim X ≤ dim Uj , y se sigue que dim X ≤ supi dim Ui . 3. Aunque U ⊆ X se una conjunto abierto y denso, se puede tener dim U < dim X (estrictamente menor). Por ejemplo, sea X = {a, b} y consideremos T = {∅, {a}, X}, entonces (X, T ) es un espacio topológico con {a} abierto y denso en X. Claramente dim {a} = 0. A continuación, tenemos que {b} es irreducible, y X también es irreducible, pues la única descomposición no trivial de X está dada por {a}∪{b}, por lo tanto {b} ⊂ X es una cadena de conjuntos cerrados irreducibles en X, por lo que dim X ≥ 1 y se sigue que dim {a} < dim X. 4. Si Y es un subconjunto cerrado de un espacio topológico irreducible X de dimensión finita, y si dim Y = dim X, entonces Y = X. Como dim X < ∞, entonces dim Y < ∞, digamos dim Y = n. A continuación supongamos Y ( X, mostraremos que dim Y < dim X. Sea Y0 ( · · · ( Yn una cadena de conjuntos cerrados irreducibles de Y . Como cada Yi es cerrado en Y y Y es cerrado en X, entonces cada Yi es cerrado en X. También, como cada Yi es irreducible en Y , entonces también lo son en X. Por lo tanto, ya que X es irreducible, tenemos que Y0 ( · · · ( Yn ( X es una cadena de conjuntos cerrados irreducibles en X. Entonces dim X ≥ n + 1 > dim Y , lo cual es una contradicción. Luego, se sigue que Y = X. 16 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines 5. Una de las patologı́as que pueden tener los anillos noetherianos es que pueden ser de dimensión infinita. A continuación construiremos un espacio topológico noetheriano X con dicha caracterı́stica. Consideremos X = N ∪ {0}, definimos ∀ x ∈ X : (x, ∞) = {y ∈ X | x < y} y [0, x] = {y ∈ X | y ≤ x} = (x, ∞)c . A continuación tomamos la familia de subconjuntos T que contiene a todos los subconjuntos de X de la forma (x, ∞) para todo x ∈ X, además de contener al conjunto total X y al conjunto vacı́o. Entonces es fácil ver que (X, T ) es un espacio topológico. Veamos que es noetheriano. Consideremos [0, n0 ] ⊇ [0, n1 ] ⊇ · · · cualquier cadena descendente de conjuntos cerrados de X. Claramente esta cadena no puede continuar indefinidamente, pues todos estos subconjuntos contienen al conjunto [0, 0]. Por lo tanto, X es noetheriano. Ahora sea [0, n] un conjunto cerrado, y supongamos que se expresa como la unión de dos conjuntos cerrados propios [0, a] = [0, b] ∪ [0, c], con b, c < a, en este caso tendrı́amos que a 6= [0, b] ∪ [0, c], por lo que dicha unión es imposible. Por lo tanto todo conjunto cerrado es irreducible. Por último, sea [0, a0 ] ( [0, a1 ] ( · · · ( [0, an ] una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles de X, vemos que siempre podemos extender dicha cadena al elegir x ∈ N tal que an < x, entonces [0, an ] ( [0, x] extiende la cadena. Continuando de esta forma vemos que cualquier cadena de este tipo se puede extender de manera indefinida. Por lo tanto el espacio topológico (X, T ) es de dimensión infinita. Definición: En un anillo A, la altura de un ideal primo (denotada ht p) es el supremo de todos los enteros n tales que existe una cadena p0 ( p1 ( · · · ( pn = p de ideales primos. Definimos la dimensión (o dimensión de Krull) de A como el supremo de las alturas de todos los ideales primos de A. Proposición 1.12. Si Y es un conjunto algebraico afı́n, entonces dim Y = dim A(Y ). Demostración. Si Y es un conjunto algebraico afı́n en An , entonces sus subconjuntos cerrados irreducibles corresponden a ideales primos de k[x1 , . . . , xn ] que contienen a I(Y ). Estos a su vez corresponden a ideales primos en A(Y ). Por lo tanto dim Y es la longitud de la cadena más larga de ideales primos en A(Y ), que es su dimensión. ∗ La proposición anterior nos permite aplicar resultados de la teorı́a de la dimensión de anillos noetherianos a la geometrı́a algebraica. En particular, nos serı́a de utilidad tener un buen criterio para determinar la dimensión de Krull, pues podemos utilizarla para hallar la dimensión de conjuntos algebraicos afines. α Teorema 1.13. Sean k un campo y B un dominio entero el cual es una k-álgebra finitamente generada. Entonces: 1. la dimensión de B es igual al grado de trascendencia del campo de cocientes coc B de B sobre k; 2. para todo ideal primo p en B, tenemos ht p + dim B/p = dim B. Demostración. Ver Matsumura. H. Commutative Algebra, W. A. Benjamin Co., New York (1970), 2, Capı́tulo 5, §14. ∗ 17 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines Proposición 1.14. La dimensión de An es n. Demostración. De acuerdo con (1.12) esto dice que la dimensión del anillo k[x1 , . . . , xn ] es n, lo que se sigue de la parte (1) del teorema anterior, pues el campo de cocientes de este anillo es k(x1 , . . . , xn ), el cual tiene grado de trascendencia igual a n sobre k. (Ver [AM69], Cap. 11. Para otro tipo de demostración, véase [Eis95], página 281). ∗ El siguiente ejemplo utiliza un resultado de la Teorı́a de la Dimensión para anillos Noetherianos. (Ver [AM69] Cap. 11 como referencia sobre el tema) 1.18 Ejemplo: Sea a ⊆ k[x1 , . . . , xn ] un ideal que puede ser generado por r elementos. Entonces toda componente irreducible de Z(a) tiene dimensión mayor o igual que n − r. (Para una generalización de este ejemplo, véase el Teorema 5.1 del Capı́tulo 5). En efecto, sea Y = Z(a) = Y1 ∪· · ·∪Ys la descomposición de Y como unión de componentes cerradas irreducibles con Vi Vj para i 6= j. Como cada Yi es irreducible, se sigue que ∀ i ∈ {1, . . . , s} : I(Yi ) = pi es un ideal primo. Más aún, {p1 , . . . , ps } es el conjunto de primos minimales asociados al ideal a. Para ver esto, recordamos que ! s s s [ \ \ I(Z(a)) = I Yi = I(Yi ) = pi , i=1 i=1 i=1 √ y que I(Z(a)) = a es la intersección de los primos minimales asociados al ideal a (los cuales están unı́vocamente determinados por a). Por un corolario del Teorema de la dimensión, sabemos que si x1 , . . . , xr son elementos de un anillo noetheriano A, entonces todo ideal primo minimal p perteneciente a hx1 , . . . , xr i es tal que ht p ≤ r. Luego ht pi ≤ r para todo i. Por último, dim (Yi ) = dim (k[x1 , . . . , xn ]/pi ) = dim k[x1 , . . . , xn ] − ht pi ≥ n − r para i ∈ {1, . . . , s}. Ası́ toda componente irreducible de Z(a) tiene dimensión no menor que n − r. El siguiente ejemplo será de gran importancia en el desarrollo subsecuente de este trabajo, por lo que lo desarrollamos concienzudamente. 1.19 Ejemplo (La curva cúbica torcida): . Sea Y ⊆ A3 el conjunto Y = {(t, t2 , t3 ) : t ∈ k} (Ver Figura 1.3 más adelante). Muestre que Y es una variedad afı́n de dimensión 1. Halle generadores para el ideal I(Y ). Muestre que A(Y ) es isomorfo a un anillo de polinomios en una variable sobre k. Decimos que Y está dada por la representación paramétrica x = t, y = t2 , z = t3 . Tenemos puntos en el conjunto satisfacen las relaciones x2 − y = 0 y x3 − z = 0. Sea 2 que los 3 a = x − y, x − z , entonces Y ⊂ Z(a), además, dado α = (a1 , a2 , a3 ) ∈ Z(a), tenemos que ∀ f ∈ a : f (α) = 0, en particular, a21 − a2 = a31 − a3 = 0, luego α = (a1 , a21 , a31 ) ∈ Y , por lo tanto Y = Z(a) y Y es una variedad afı́n. A continuación definimos ϕ : k[x, y, z] −→ k[ t ] por ϕ(f (x, y, z)) = f (t, t2 , t3 ) o, lo que es lo mismo ϕ : k[x, y,z] −→ k[ t ] x 7→ t y 7→ t2 z 7→ t3 18 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines Fácilmente que ϕ es un P homomorfismo de anillos y también tenemos que ϕ es suprayectiva Pn vemos n (∀ f = i=0 an t ∈ k[ t ] ∃ g = ni=0 an xn ∈ k[x, y, z] : ϕ(g) = f .) A continuación veamos que Ker ϕ = a. ∀ h ∈ a ∃ f, g ∈ k[x, y, z] tales que h = f (x2 − y) + g(x3 − z), luego ϕ(h) = 0, esto prueba que a ⊆ Ker ϕ. Recı́procamente, sea f ∈ Ker ϕ, denotaremos por R al anillo k[x, y]. Consideremos el polinomio g(z) = −z + x3 en el anillo R[ z ], tenemos que −1 ∈ R∗ y ası́, por (1.8) ∃ h1 , r1 ∈ R[z] : f = h1 (x3 − z) + r1 , donde r1 = 0 ó deg r1 = 0 (en cuyo caso r1 ∈ R = k[x, y]). Si r1 = 0, entonces f ∈ a y hemos terminado, de lo contrario, tomamos ahora el polinomio g(y) = −y + x2 ∈ k[ x ][ y ], nuevamente por (1.8) tenemos que ∃ h2 , r2 ∈ k[ x ][ y ] : r1 = h2 (x2 − y) + r2 , donde r2 = 0 ó deg r2 = 0 (en cuyo caso r2 ∈ k[ x ]). Si r2 = 0, entonces f = h1 (x3 − z) + h2 (x2 − y) y f ∈ a, de lo contrario, tenemos que f = h1 (x3 − z) + h2 (x2 − y) + r2 (x) Aplicando ϕ a la ecuación anterior, tenemos que 0 = r(t), ası́ r = 0 y f ∈ a. Por tanto hemos demostrado que ∼ A(Y ) = k[x, y, z]/a −→ k[ t ], de donde se desprende inmediatamente que dim Y = 1. y=x 2 z=x 3 z=x 3 y=x 2 Figura 1.3: La curva cúbica torcida Y = Z(x2 − y, x3 − z) = Z(x2 − y) ∩ Z(x3 − z). Proposición 1.15. Si Y es una variedad cuasi-afı́n, entonces dim Y = dim Y . Demostración. Veamos primero algunos hechos topológicos básicos. 1. Sean Z1 ( Z2 dos conjuntos cerrados irreducibles de Y . Si Z1 ∩ Y 6= ∅, entonces (Z1 ∩ Y ) ( (Z2 ∩ Y ). Para ver esto, como Y es abierto, Z1 ∩ Y ⊂ Z1 es un conjunto abierto no vacı́o y, como Z1 es irreducible, tenemos que también es denso, ası́, su cerradura en Z1 es Z1 , y como Z1 es cerrado en Y , su cerradura en Y también es Z1 . Lo mismo sucede con Z2 ∩ Y ; su cerradura en Y es Z2 . Por lo tanto, los dos conjuntos no pueden ser iguales. 2. Si U es un subconjunto cerrado irreducible de Y , entonces su cerradura en Y , digamos U , es irreducible en Y . Para ver esto, notemos que U es irreducible en Y , entonces, por el Ej. (1.4), tenemos que U es irreducible en Y . 19 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines Se sigue de (1) y (2) que si ∅= 6 Z0 ( Z1 ( · · · ( Zr es una cadena de conjuntos cerrados irreducibles en Y , entonces Z0 ( Z1 ( · · · ( Zr ( con las cerraduras tomadas en Y ) es una cadena de conjuntos cerrados irreducibles en Y . En consecuencia, dim Y ≤ dim Y . Como dim Y < ∞ (digamos dim Y = m), entonces también dim Y < ∞. Sea dim Y = s, y elegimos una cadena maximal de subconjuntos cerrados irreducibles Z0 ( · · · ( Zs en Y . En este caso, Z0 debe ser un punto P , y por el hecho (1) anterior, la cadena P = Z0 ( · · · ( Zs es una cadena en Y . A continuación, P esta en correspondencia con un ideal maximal m en A(Y ), entonces los Zi están en correspondencia con ideales primos contenidos en m, por lo que ht m = s. Por otra parte, como P es un punto en el espacio afı́n, A(Y )/m ∼ = k, ası́, por (1.13) tenemos que s = dim A(Y ) = dim Y . Se sigue que dim Y = dim Y . ∗ α Teorema 1.16 (Hauptidealsatz de Krull o Teorema del ideal principal). Sea A un anillo noetheriano y f ∈ A un elemento que no sea divisor de cero ni una unidad. Entonces todo ideal primo minimal p que contenga a f tiene altura 1. Demostración. Ver [Kun85], página 131, ó [AM69], página 122. ∗ α Teorema 1.17. Un dominio entero noetheriano A es un dominio de factorización única sı́ y sólo sı́ todo ideal primo de altura 1 es principal. Demostración. Ver Matsumura. H. Commutative Algebra, página 141. ∗ En el Ejemplo 1.16 utilizamos argumentos topológicos para caracterizar a todos los conjuntos algebraicos (y con ello, a las variedades algebraicas) de dimensión 0 en An . A continuación utilizaremos estos dos importantes resultados del Álgebra Conmutativa para caracterizar completamente las variedades de dimensión n − 1 en An . Proposición 1.18. Una variedad Y en An tiene dimensión n − 1 si y solo si es el conjunto de ceros de un sólo polinomio no constante irreducible en A = k[x1 , . . . , xn ] Demostración. Si f es un polinomio irreducible, entonces por el Ejemplo 1.6 se tiene que Z(f ) es una variedad. Su ideal es el ideal primo p = hf i. Por (1.16) p tiene altura 1, ası́ que por (1.13), Z(f ) tiene dimensión n − 1. Recı́procamente, una variedad de dimensión n − 1 corresponde (por 1.13) a un ideal primo de altura 1. A continuación notemos que el anillo de polinomios A es un DFU, ası́ que por (1.17), p es un ideal principal, necesariamente generado por un polinomio irreducible. Por lo tanto Y = Z(f ), lo cual concluye la demostración. ∗ Como aplicación de la proposición anterior, tenemos el siguiente ejemplo. 1.20 Ejemplo: Sea Y una variedad afı́n de dimensión r en An . Sea H una hipersuperficie en An y supongamos que Y * H. Entonces toda componente irreducible de Y ∩ H tiene dimensión r − 1. En efecto, sea X Y ∩ H una componente irreducible, como X ⊂ Y , entonces I(X) ⊃ I(Y ) y I(X)/I(Y ) = p es un ideal primo en A(Y ), el anillo coordenado de Y . Además k[x1 , . . . , xn ]/I(Y ) ∼ A(Y )/p ∼ = = A(X), I(X)/I(Y ) 20 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines se sigue que dim (X) = dim A(X) = dim A(Y ) − ht (p). Supongamos que H = Z(hf i), y como X ⊂ H, entonces I(X) ⊃ hf i, consideremos el ideal a := hhf i + I(Y )i /I(Y ) ⊂ A(Y ); tenemos que hf i , I(Y ) ⊂ I(X) ⇒ hf i + I(Y ) ⊂ I(X), por lo tanto a ⊂ p. Sea π(f ) ∈ A(Y ) la imagen de f bajo la proyección canónica π : A −→ A(Y ), entonces es claro que π(f ) ∈ a no es unidad (pues de serlo, p = A(Y )) ni un divisor de cero, por lo tanto, se tiene por (1.16) que p tiene altura 1, luego, tenemos que dim X = n − 1. Un ideal primo de altura 2 en un anillo de polinomios no es necesariamente generado por dos elementos. Antes de presentar un ejemplo donde esto ocurre, necesitamos un resultado previo, que generaliza el método de la representación paramétrica que utilizamos en el caso de la cúbica torcida (Ejemplo 1.19). Proposición 1.19. Sean f1 , . . . , fn ∈ k[y1 , . . . , ym ] y consideremos el conjunto V = {(f1 (a1 , . . . , am ), . . . , fn (a1 , . . . , am )) | (a1 , . . . , am ) ∈ k m } ⊆ An . Entonces V es una variedad algebraica. (Se dice que V está dada por una parametrización polinomial con parámetros y1 , . . . , ym ). Demostración. Consideremos el k-homomorfismo ψ : k[x1 , . . . , xn ] −→ k[y1 , . . .P , ym ] definido por xi 7→ fi (t1 , . . . , tm ), i ∈ {1, . . . , n}. Tomemos (a1 , . . . , am ) ∈ k m y f (x1 , . . . , xn ) = ai1 ···in xi11 · · · xinn ∈ k[x1 , . . . , xn ]. Se tiene que X (ψ(f ))(a1 , . . . , am ) = ai1 ···in f1i1 (y1 , . . . , ym ) · · · fnin (y1 , . . . , ym ) (a1 , . . . , am ) = f (f1 (a1 , . . . , am ), . . . , fn (a1 , . . . , am )). Por lo tanto tenemos que ψ(f ) es el polinomio cero si, y sólo si, f (v) = 0 para todo v ∈ V , por lo tanto Ker ψ = I(V ) ⇒ Z(Ker ψ) = Z(I(V )) = V . A continuación como k[x1 , . . . , xn ]/Ker ψ es isomorfo a un subanillo de un dominio entero, se sigue que Ker ψ es un ideal primo, por lo que V es irreducible. Finalmente, por el inciso (2) del Ejemplo 1.4, se tiene que V es irreducible. ∗ 1.21 Ejemplo: Sea Y ⊂ A3 la curva definida paramétricamente por x = t3 , y = t4 , z = t5 . Mostrar que I(Y ) es un ideal primo en k[x, y, z], con ht I(Y ) = 2, que no puede ser generado por dos elementos. Sea Y = {(t3 , t4 , t5 )|t ∈ k}, entonces ht I(Y ) = dim k[x, y, z]−dim A(Y ). Pero dim A(Y ) = dim Y , por lo que ht I(Y ) = 3 − dim Y . Queremos probar que dim Y = 1, para lo cual veremos que los únicos subconjuntos cerrados propios de Y constan de una cantidad finita de puntos, por lo que los únicos subconjuntos cerrados irreducibles de Y serán conjuntos de un solo punto. Ası́, supongamos que V ⊂ Y es un subconjunto cerrado propio de Y con una cantidad infinita de puntos. Entonces existen f1 , . . . , fn ∈ k[x, y, z] tales que V = Z(f1 , . . . , fn ) ⊂ Y . Entonces f1 (t3 , t4 , t5 ) = · · · = fn (t3 , t4 , t5 ) = 0 para un numero infinito de puntos t ∈ k, por lo que para i = 1, . . . , n, los polinomios gi (t) = fi (t3 , t4 , t5 ) se anulan en una cantidad infinita de puntos t ∈ k, y la única posibilidad para que esto ocurra es que cada polinomio gi sea el polinomio idénticamente cero. En consecuencia, ∀ (t3 , t4 , t5 ) ∈ Y : f1 (t3 , t4 , t5 ) = · · · = fn (t3 , t4 , t5 ) = 0, y necesariamente debemos tener V = Y . Concluimos que los únicos subconjuntos cerrados propios de Y consisten de una cantidad finita de puntos de Y , por lo que las únicas cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles de Y son de la forma {(t3 , t4 , t5 )} ⊂ Y , y se sigue que dim Y = 1. Ası́ ht I(Y ) = 2. 21 1.5. Dimensión 1. Variedades Afines Ya que Y es una parametrización polinomial, por la Proposición 1.19 anterior se tiene que Y es irreducible, por lo que I(Y ) es primo. En [CLO97] se prueba que el ideal I(Y ) es generado por los elementos: I(Y ) = y 2 − xz, x3 − yz, x2 y − z 2 . Para la siguiente discusión, es necesario leer la Sección 2.1 que habla sobre anillos graduados. Le damos una graduación a los elementos x, y y z de la siguiente forma: deg x = 3, deg y = 4, deg z = 5. De esta manera, I(Y ) es un ideal homogéneo generado por 3 elementos de grado 8, 9 y 10. Supongamos que I(Y ) es generado por dos elementos homogéneos f1 y f2 . Entonces, ya que I(Y ) no posee elemento de grado menor que 8, tenemos que deg f1 ≥ 8 y deg f2 ≥ 8. De hecho, ∃ i ∈ {1, 2} tal que deg fi = 8, de lo contrario no se podrı́a tener que y 2 − xz ∈ I(Y ). Sin pérdida de generalidad, supongamos que deg f1 = 8. El problema es que ahora no podemos obtener un elemento de grado 9. Cualquier monomio xα y β z γ tiene al menos grado 3, pues deg x = 3. Por lo tanto, deg (xα y β z γ · f1 ) ≥ 11. Ası́, para cualquier polinomio homogéneo g se tiene que deg (gf1 ) = 8 ó deg (gf1 ) ≥ 11, y de esta manera nunca podrı́amos obtener un elemento de grado 9 en I(Y ), por lo tanto se debe tener que deg f2 = 9. Pero al seguir el mismo razonamiento, vemos que no es posible encontrar un elemento de grado 10 en I(Y ). Por lo tanto x2 y − z 2 no estarı́a en I(Y ), lo cual es una contradicción. Concluimos que I(Y ) no puede ser generado por dos elementos. En este caso, decimos que Y no es una intersección local completa. (Ver la Sección 2.6 del Capı́tulo 2 y el Capı́tulo 5). 22 Capı́tulo 2 Variedades Proyectivas En este Capı́tulo ampliaremos nuestro espacio de trabajo al n-espacio proyectivo Pn (se in- troduce en la Sección 2.1) junto con una discusión sobre anillos e ideales graduados, los cuales son la base de la Geometrı́a Algebraica Proyectiva. Definimos los conjuntos algebraicos en Pn como conjuntos de ceros de sistemas de polinomios homogéneos, e intentaremos trasladar a este nuevo contexto algunos de los conceptos acuñados a lo largo del Capı́tulo 1. Como existen algunos problemas técnicos que impiden que esta traslación sea hecha de manera inmediata, introducimos en la Sección 2.2 la noción de cono afı́n sobre una variedad proyectiva, la cual nos permite sortear estos inconvenientes y obtener una versión “homogénea” de la correspondencia entre conjuntos algebraicos en Pn e ideales del anillo k[x0 , . . . , xn ]. En la Sección 2.3 veremos que toda variedad proyectiva tiene una cubierta abierta finita formada de conjuntos que son homeomorfos a variedades afines. Posteriormente utilizaremos este resultado para caracterizar la dimensión de una variedad proyectiva vı́a un objeto algebraico análogo al anillo coordenado de una variedad afı́n, con lo que estableceremos ciertos resultados sobre la dimensión de algunas variedades proyectivas. Las Secciones 2.4 y 2.5 estudian respectivamente dos construcciones clásicas en Geometrı́a Algebraica; la inmersión d-ésima de Veronese y la inmersión de Segre. La primera encaja de manera no trivial un espacio proyectivo Pn como un subconjunto algebraico de otro espacio proyectivo de mayor dimensión. La segunda es una herramienta importante que nos permite definir de manera natural una estructura de variedad algebraica al conjunto Pn × P m ; encajándolo también como un subconjunto algebraico de un espacio proyectivo de mayor dimensión. Por último, en la Sección 2.6 iniciamos con ejemplos el estudio de los fenómenos de intersección de variedades en el espacio proyectivo, los cuales ampliaremos posteriormente en el Capı́tulo 5. Intuitivamente, la Geometrı́a Proyectiva es la geometrı́a utilizada para estudiar las propiedades de las figuras que son invariantes bajo la proyección desde un punto. En la Figura 2.1, cuando la lı́nea que une O (el origen de la proyección) y un punto P en un plano paralelo al plano inferior, el punto P no es proyectado. Por lo tanto se introdujo en Geometrı́a Proyectiva la idea de tener un punto al infinito (para un desarrollo más concreto sobre que hay detrás de la idea de la Geometrı́a Proyectiva, véase [CLO97], página 346). Volveremos a este punto más adelante, después de haber dado formalmente la definición de espacio proyectivo que estaremos utilizando en el desarrollo subsecuente. 2.1.– El Espacio Proyectivo y Variedades Proyectivas 23 2.1. El Espacio Proyectivo y Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas O P Q Q' Figura 2.1: Proyección desde un punto. Sea k nuestro campo algebraicamente cerrado fijo. Definimos el n-espacio proyectivo sobre k, denotado por Pnk o simplemente por Pn , a ser el conjunto de clases de equivalencia de (n + 1)-ada (a0 , . . . , an ) de elementos de k no todos iguales a cero, bajo la relación de equivalencia dada por (a0 , . . . , an ) ∼ (b0 , . . . , bn ) ⇔ ∃ λ ∈ k ∗ : a0 = λb0 , . . . , an = λbn (i.e., Pn := (k n+1 − {0, . . . , 0})/ ∼). Un elemento de Pn es llamado un punto. Si P representa un punto, entonces cualquier (n+1)-ada (a0 , . . . , an ) en la clase de equivalencia de P es llamado un conjunto de coordenadas homogéneas para P y se representará por [a0 : · · · : an ]. De nuestra definición vemos que las entradas ai no pueden ser simultáneamente todas cero, y que además están definidas salvo múltiplo escalar. Por lo tanto los mapeos coordenados xi : Pn −→ k, i ∈ {0, . . . , n}, no definen funciones válidas en Pn ; solo son funciones bien definidas los cocientes entre ellas xxji (y únicamente en donde el denominador es distinto de cero). Observación 2.1: Volviendo a la discusión inicial, notemos que además de la definición algebraica dada anteriormente, el objeto Pn tiene una definición geométrica equivalente, que a veces es útil tener en mente y con la cual vamos a trabajar. Lo podemos definir también como el conjunto de todos los subespacios de dimensión uno del espacio vectorial k n+1 . No siempre es fácil visualizar como lucen los espacios proyectivos en general, sin embargo, trataremos de obtener la intuición necesaria al analizar, en primera instancia, algunos espacios proyectivos reales de dimensiones bajas. 2.1 Ejemplo (La lı́nea proyectiva P1 y el plano proyectivo P2 ): Describamos primero el espacio P1k , el cual consiste de todas las lı́neas que pasan a través del origen en k 2 . Al fijar una lı́nea de referencia L en k 2 que no pase a través del origen, podemos elegir un representante para cada punto P ∈ P1 , a saber, el único punto en el cual la lı́nea que define P interseca a L. Podemos ver que solo un punto en P1 no posee dicho representante: es el punto que define la lı́nea que pasa por el origen y que es paralela a L. En vista de nuestra discusión inicial, es natural denotar este punto como el punto al infinito de P1 (es el único que no se proyecta en L) y tiene sentido pensar en la lı́nea proyectiva como la unión disjunta de una lı́nea afı́n y nuestro punto al infinito P , i.e. P1 = A1 t {P } (véase la Figura 2.2 (a)). De nuestra argumentación vemos que, de hecho, éste punto al infinito P pudo haber sido cualquier elemento de P1 , según como hayamos elegido nuestra lı́nea de referencia. Podemos ofrecer una descripción similar con el plano proyectivo P2 . En este caso consideraremos un plano de referencia E en k 3 que no pase por el origen, después tomamos todas las lı́neas en k 3 que pasan por el origen e identificamos el punto en donde intersecan a E. Las únicas lı́neas que no lo harán son aquellas que yazcan sobre el plano que pasa por el origen que es paralelo a nuestro plano de referencia. De hecho, estos puntos al infinito forman una copia de P1 (véase la Figura 2.2 24 2.1. El Espacio Proyectivo y Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas k3 k2 z 1 E A2 L y 0 0 x A1 (a) (b) Figura 2.2: (a) La lı́nea proyectiva P1 . (b) El plano proyectivo P2 . (b) como referencia). Por lo tanto, al juntar la descripción que ya tenı́amos de P1 , vemos que P2 = A2 t P1 = A2 t A1 t {P }. Los ejemplos anteriores tienen el propósito de ilustrar de modo gráfico la idea de los espacios proyectivos, además del de familiarizarnos con la terminologı́a estándar de los puntos al infinito, y no buscan sustituir el tratamiento un poco más abstracto que daremos en este trabajo. Continuaremos esta discusión más adelante (Sección 2.3). Una graduación de Lun anillo R es una familia {Rd }d∈Z de subgrupos Rd del grupo aditivo de R tales que R = d∈Z Rd y ∀ d, e ∈ Z : Rd Re ⊆ Rd+e . Un anillo R es llamado un anillo graduado si posee una graduación {Rd }d∈Z . Si ∀ d < 0 : Rd = 0, se dice que R es positivamente graduado (en general, no utilizaremos esta distinción y utilizaremos el término anillo graduado sin ningún adjetivo adicional). Un elemento de Rd es llamado elemento homogéneo de grado d. Por lo tanto todo elemento de R puede ser escrito de manera única L como una suma finita de elementos homogéneos. Un ideal a ⊆ R es un ideal homogéneo si a = d∈Z (a ∩ Rd ). A continuación damos condiciones equivalentes para que un ideal I sea homogéneo. Proposición 2.1. Para un ideal I de un anillo graduado R, las siguientes condiciones son equivalentes: a) I es homogéneo (i.e., para todo x ∈ I, las componentes homogéneas xk de x también pertenecen a I, (k ∈ Z)); b) I puede ser generado por elementos homogéneos; c) R/I es un anillo graduado con la graduación {(R/I)k }k∈Z , donde ∀ k ∈ Z : (R/I)k := (Rk + I)/I. Demostración.L a) ⇒ b). Sea I = k∈Z (I∩Rk ) un ideal homogéneo. Por el Teorema 1.1 se tiene que I es generado por P un conjunto finito de polinomios {g1 , . . . , gs }, pero tenemos que ∀ i ∈ {1, . . . , s} : gi = {j∈Ai } hij , 25 2.1. El Espacio Proyectivo y Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas donde Ai ⊂ Z es un conjunto finito de ı́ndices, y ∀ j ∈ Ai : hij ∈ Rj , i ∈ {1, . . . , s}. De esto se sigue que I = h{hij }i, y de esta manera, I es generado por un conjunto de elementos homogéneos. b) ⇒ a). Supongamos que I = hAi, donde A = {aλ }λ∈Λ ⊂ R es un conjunto de elementos hoP P (k) mogéneos aλ de grado dλ . Sea a = m i=1 rλi bλi un elemento de I, y sea rλi = k∈Z rλi la descomP (k−dλ ) posición de rλi en componentes homogéneas. Entonces a = k∈Z ak , con ak := rλ1 1 · bλ1 + · · · + L (k−d ) rλm λm · bλm y donde ak ∈ Rk . Obviamente ∀ k ∈ Z : ak ∈ I, luego, a ∈ k∈Z I ∩ Rk . La otra inclusión es obvia. P a) ⇒ c). Es claro que R/I = k∈Z (R/I)k , por lo tanto, es suficiente probar que la representación de P g un elemento de R/I como la suma de elementos de los (G/I)k es única. Supongamos que k∈Z k = P 0, donde g k ∈ (R/I)k , esto es g k = gk + I para algún gk ∈ Rk . Entonces k∈Z gk ∈ I y esto implica que ∀ k ∈ Z : gk ∈ I; por lo tanto ∀ k ∈ Z : g k = 0. P c) ⇒ a). Sea a = k∈Z ak un elemento de I, con ak ∈ Rk ∀ k ∈ Z. Entonces, si ak representa la P clase residual de ak , se tiene que k∈Z ak = 0 en R/I. Se sigue que ∀ k ∈ Z : ak ∈ I. ∗ Ahora enunciaremos algunos hechos básicos que necesitaremos acerca de los ideales homogéneos, cuyo desarrollo se encuentra, por ejemplo, en [ZS58] Volumen II, página 149. La suma, producto, intersección y el radical de ideales homogéneos son ideales homogéneos. Para probar que un ideal homogéneo p es primo, es suficiente probar que para cualesquiera dos elementos homogéneos f, g que f g ∈ p implica f ∈ p o g ∈ p. Transformamos el anillo de polinomios S = k[x0 , . . . , xn ] en un anillo graduado tomando la graduación usual, obtenida al tomar el grado de cada variable xj igual a 1. Es decir, Sd será el conjunto de todas las combinaciones lineales de monomios de grado d en las variables x0 , . . . , xn junto con el elemento 0. Si f ∈ k[x0 , . . . , xn ] no podemos utilizarlo para definir una función en Pn porque, como hemos visto ya, las coordenadas homogéneas no son únicas. Sin embargo, si f es un polinomio homogéneo tal que deg f = d ≥ 1, entonces se tiene que ∀λ ∈ k ∗ : f (λa0 , . . . , λan ) = λd f (a0 , . . . , an ), ası́ que la propiedad de que f sea cero o no depende solamente de la clase de equivalencia del punto (a0 , . . . , an ). A continuación, sea f0 + · · · + fr = f ∈ S, con fi ∈ Si , fr 6= 0, la descomposición única en elementos homogéneos de un polinomio f . Supongamos que P = [a0 : · · · : an ] es un punto tal que f (P ) = 0. Entonces, ∀ λ ∈ k ∗ : f (λa0 , . . . , λan ) = 0, por lo tanto se tiene que f0 (a0 , . . . , an )λ0 + f1 (a0 , . . . , an )λ1 + · · · + fr (a0 , . . . , an )λr = 0. Podemos ver a la expresión anterior como un polinomio en λ de grado menor o igual que r, el cual se anula en una cantidad infinita de puntos, lo que implica inmediatamente que f debe ser el polinomio idénticamente cero, i.e., ∀ i ∈ {0, . . . , r} : fi (a0 , . . . , an ) = 0. Por lo tanto, concluimos que un polinomio se anula en un punto P ∈ Pn si, y solo si, todas y cada una de sus componentes homogéneas se anulan en P . La discusión anterior nos muestra que para poder hablar de las propiedades de anulación de elementos del anillo S en el espacio proyectivo Pn , es suficiente considerarlas para polinomios homogéneos. Por lo tanto, podemos hablar del conjunto de ceros de un polinomio homogéneo f , a saber Z(f ) := {P ∈ Pn | f (P ) = 0}. Si T es cualquier conjunto de elementos homogéneos de S, definimos el conjunto de ceros de T como: Z(T ) := {P ∈ Pn | ∀f ∈ T : f (P ) = 0}. 26 2.2. El Nullstellensatz Homogéneo y Conos Afines 2. Variedades Proyectivas Si a es un ideal homogéneo de S, definimos Z(a) = Z(T ), dónde T es el conjunto de todos los elementos homogéneos en a. Nuevamente, como S es un anillo noetheriano, todo conjunto T de elementos homogéneos posee un subconjunto finito f1 , . . . , fm tal que Z(T ) = Z(f1 , . . . , fm ). Para terminar, S h denotará el conjunto de elementos homogéneos del anillo S, a saber S h := {f ∈ S |∃d ∈ N : f ∈ Sd } = ∪d≥0 Sd . Lo que haremos a continuación será sacar provecho del trabajo realizado en el capı́tulo anterior para utilizarlo en este nuevo contexto. Definición: Un subconjunto Y ⊂ Pn es un conjunto algebraico si existe un conjunto T ⊂ S de elementos homogéneos tal que Y = Z(T ). Proposición 2.2. La unión de dos conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico. La intersección de cualquier familia de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico. El conjunto vacı́o y el espacio entero son conjuntos algebraicos. Demostración. Es análoga a la ofrecida en el caso afı́n (ver la Proposición 1.2). ∗ Definición: Definimos la topologı́a de Zariski en Pn tomando como conjuntos abiertos a los complementos de los conjuntos algebraicos. Una vez que tengamos un espacio topológico aplicaremos las nociones de conjunto irreducible y dimensión de un subconjunto, tal y como se definieron en el capı́tulo anterior. A continuación adecuaremos nuestras definiciones básicas anteriores al caso proyectivo. Definición: Una variedad algebraica proyectiva (o simplemente variedad proyectiva) es un conjunto algebraico irreducible en Pn , con la topologı́a inducida. Un subconjunto abierto de una variedad proyectiva es una variedad cuasi-proyectiva. La dimensión de una variedad proyectiva o cuasi-proyectiva es su dimensión como espacio topológico. Si Y es cualquier subconjunto de Pn , definimos el ideal homogéneo de Y en k[x0 , . . . , xn ], denotado por I(Y ), como el ideal generado por el conjunto {f ∈ S h | ∀ P ∈ Y : f (P ) = 0} (el cual resulta ser un ideal homogéneo). Si Y es un conjunto algebraico, definimos el anillo coordenado homogéneo de Y como S(Y ) = S/I(Y ) (vemos, sin embargo, que no podemos aplicar los mismos argumentos ofrecidos cuando caracterizamos el anillo coordenado afı́n, pues sabemos que las funciones coordenadas usuales n n {x Li }i=0 no son funciones L en P ). Notemos que como I(Y ) es un ideal L homogéneo, entonces L I(Y ) = (I(Y )∩S ) = I(Y ) , y se sigue fácilmente que S(Y ) = (S /I(Y ) ) = d d d d d≥0 d≥0 d≥0 d≥0 S(Y )d , i.e., S(Y ) vuelve a ser un anillo graduado. 2.2.– El Nullstellensatz Homogéneo y Conos Afines En esta sección estableceremos una correspondencia entre los conjuntos algebraicos en Pn y los ideales homogéneos radicales en S, de manera similar a lo que se hizo en el caso afı́n. Esto se hace de manera casi inmediata, lo único que hay que notar es que el punto [0 : · · · : 0] no es un punto de Pn , por lo que el conjunto de ceros del ideal homogéneo radical hx0 , . . . , xn i que lo “representa”, es vacı́o, aunque este ideal no es el ideal trivial h1i. Por lo tanto nos vemos obligados a excluir dicho ideal de nuestra correspondencia, razón por la cual a veces es llamado el ideal irrelevante de S. Proposición 2.3 (El Nullstellensatz Homogéneo). Si a ⊆ S es un ideal homogéneo, y si f ∈ S h (con deg f > 0) es tal que f (P ) = 0 para todo P ∈ Z(a) en Pn , entonces ∃ q > 0 : f q ∈ a. 27 2.2. El Nullstellensatz Homogéneo y Conos Afines 2. Variedades Proyectivas Demostración. Consideremos a C = Z(a) como un conjunto algebraico en An+1 y tomemos P = (a0 , . . . , an ) ∈ C, entonces como ∀ g ∈ a : g(P ) = 0, en particular ∀ g ∈ T : g(P ) = 0 , donde T es el conjunto de elementos homogéneos en a, esto significa que [a0 : · · · : an ] ∈ Z(a) ⊆ Pn , por lo que 0 = f ([a0 : · · · : an ]) = f (a0 , . . . , an ), y de esta manera f se anula en todos los puntos de C ⊆ An , a continuación aplicamos el Nullstellensatz en su versión afı́n (Teorema 1.4) y vemos que ∃ q > 0 : f q ∈ a, que es lo que se deseaba demostrar. ∗ Formalizamos la idea anterior con el concepto de cono afı́n, detallado a continuación. Definición: Un subconjunto algebraico afı́n X ⊆ An+1 es llamado cono afı́n (ver Figura 2.3 (a)) si ∀ (a0 , . . . , an ) ∈ X, ∀λ ∈ k : (λa0 , . . . , λan ) ∈ X. Si Y ⊆ Pn es un conjunto algebraico no vacı́o, consideremos el mapeo θ : An+1 − {(0, . . . , 0)} −→ Pn dado por (a0 , . . . , an ) 7→ [a0 : . . . : an ]. Definimos el cono afı́n sobre Y (ver Figura 2.3 (b)) como: C(Y ) := θ−1 (Y ) ∪ {(0, . . . , 0)}. A3 A3 0 C(Y) o 2 Y (b) (a) Figura 2.3: (a) Cono afı́n. (b) Cono sobre una curva en P2 . En otras palabras, un cono es un conjunto algebraico en An+1 que se puede escribir como una unión (posiblemente infinita) de lı́neas que pasan por el origen. El cono sobre un conjunto algebraico proyectivo Y se puede ver simplemente como el conjunto C(Y ) = {(a0 , . . . , an ) ∈ An+1 | [a0 : · · · : an ] ∈ Y ⊆ Pn } ∪ {(0, 0, . . . , 0)}. Veamos ahora que si Y es una variedad proyectiva, entonces C(Y ) es un conjunto algebraico en An+1 . Sea P = (a0 , . . . , an ) ∈ Z(I(Y )), considerado como un conjunto algebraico en An+1 . Veamos que ∀ f ∈ I(Y ), ∀ λ ∈ k ∗ : f (λP ) = 0. Sea λ ∈ k ∗ , entonces, por las observaciones iniciales de la sección anterior, f (λP ) = f0 + λf1 (P ) + · · · + λr fr (P ), con fi (P ) = 0 ∀ i = 0, . . . , r, se sigue que f (λP ) = f0 = f (P ) = 0, por lo que [a0 : · · · : an ] ∈ Y , esto nos dice que (a0 , . . . , an ) ∈ θ−1 (Y ) ⊂ C(Y ), por lo que Z(I(Y )) ⊆ C(Y ). Recı́procamente, sea P ∈ C(Y ), tomemos f ∈ I(Y ), y sea f = f0 + · · · fr la descomposición en elementos homogéneos de f . Ya que Y 6= ∅, f0 = 0, ası́ f (0) = 0 y 0 ∈ Z(I(Y )). Sea P = (a0 , . . . , an ) ∈ θ−1 (Y ), ası́ θ(P ) = [a0 : · · · : an ] ∈ Y , por lo que se tiene que 0 = f ([a0 : · · · : an ]) = f (a0 , . . . , an ), por lo que P ∈ Z(I(Y )) y C(Y ) ⊆ Z(I(Y )). De estas dos inclusiones concluimos que C(Y ) = Z(I(Y )) y se sigue ası́ que C(Y ) es un conjunto algebraico 28 2.2. El Nullstellensatz Homogéneo y Conos Afines 2. Variedades Proyectivas Por último, observemos que si f ∈ I(C(Y )) se anula en un punto (a0 , . . . , an ) ∈ An+1 , entonces f se anula en toda la lı́nea que une al punto (a0 , . . . , an ) con el punto (0, . . . , 0), i.e., ∀ λ ∈ k ∗ : f (λa0 , . . . , λan ) = 0. Sea f = f0 + · · · + fr , donde ∀ i : fi ∈ Si , la descomposición única de f en elementos homogéneos. Entonces se tiene que ∀ λ ∈ k ∗ , ∀ i ∈ {0, . . . , r} : fi (λa0 , . . . , λan ) = 0. Pero esto sucede si, y solo si, ∀ i ∈ {0, . . . , r} : fi ∈ I(Y ). Por lo tanto obtenemos que I(C(Y )) = I(Y ), considerado como un ideal ordinario en el anillo S. Observación 2.2: Notemos que en este caso los puntos no se corresponden con ideales maximales, pues si P = [a0 : · · · : an ], entonces I(P ) = I(C(P )) y C(P ) es una recta que pasa por el origen en An+1 , luego I(C(P )) es un ideal primo en S, aunque no es maximal. Por ejemplo, está contenido estrictamente en el ideal maximal I(0). Como aplicación de lo anterior, tenemos la siguiente proposición. Proposición 2.4. Para un ideal homogéneo a ⊆ S, las siguientes condiciones son equivalentes: a) Z(a) = ∅; b) √ a = S ó √ a = S+ := L d>0 Sd ; c) ∃ d > 0 : a ⊇ Sd Demostración. a) ⇒ b). Si Z(a) = ∅ en Pn , entonces el cono Z(a) ⊂ An+1 , o es el conjunto vacı́o, o es el punto √ √ {0, . . . , 0}, por lo tanto, el Nullstellensatz afı́n nos dice que a = S ó a = hx0 , . . . , xn i = S+ . √ √ i b) ⇒ c). Si a = S ó a = S+ , luego existen i0 , . . . , in tales que ∀ j ∈ {0, . . . n} : xjj ∈ a, a L continuación hacemos d = i0 + · · · + in > 0 y tenemos que a ⊇ hx0 , . . . , xn id = d>0 Sd . Para P demostrar esto, sea M = xj00 · · · xjnn tal que nk=0 jk = d. Si ∀ k ∈ {0, . . . , n} : ik = jk , entonces no hay nada que probar y M ∈ a. Supongamos pues que ∃ k ∈ {0, . . . , n} : ik 6= jk , de esta manera, si jk > ik , se tiene que xjkk = xikk xjkk −ik ∈ a, por lo que M ∈ a. Por último, si jk < ik , entonces ∃ ` ∈ ({1, . . . , n} − {k}) : j` > i` , y en dado caso procedemos como anteriormente. √ c) ⇒ a). Supongamos que ∃ d > 0 : Sd ⊆ a, entonces x0 , . . . , xn ∈ a pues ∀ i : xdi ∈ Sd ⊆ a, por lo √ √ √ tanto S+ ⊆ a √ y como S+ es un ideal maximal en S, tenemos que a = S ó a = S+ , siendo en √ ambos casos Z( a) = ∅. Ahora sea x ∈ Z(a) y tomemos f ∈ a, por lo tanto ∃ n ≥ 0 : f n ∈ a, ası́, n n tenemos k es un campo, esto implica que f (x) = 0, por lo tanto √ que 0 = f (x) = (f (x)) y como √ x ∈ Z( a) y tenemos que Z(a) ⊆ Z( a) = ∅, por lo que se tiene que Z(a) = ∅. ∗ Incluimos ahora el análogo a la Proposición 1.3 en este nuevo contexto. Proposición 2.5. a) T1 ⊆ T2 ⊆ S h ⇒ Z(T1 ) ⊇ Z(T2 ). b) Y1 ⊆ Y2 ⊆ Pn ⇒ I(Y1 ) ⊇ I(Y2 ). c) ∀ Y1 , Y2 ⊆ Pn : I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ). d ) Si a ⊆ S es un ideal homogéneo con Z(a) 6= ∅, entonces I(Z(a)) = e) ∀ Y ⊆ Pn : Z(I(Y )) = Y . 29 √ a. 2.2. El Nullstellensatz Homogéneo y Conos Afines 2. Variedades Proyectivas Demostración. a) x ∈ Z(T2 ) ⇒ ∀ f ∈ T2 : f (x) = 0, pero T1 ⊆ T2 ⇒ f (x) = 0 ∀ f ∈ T1 , por lo tanto x ∈ Z(T1 ). P b) f ∈ I(Y2 ) ⇒ ∃ h1 , . . . , hn ∈ S h tales que f = ni=1 gi hi , con hi (P ) = 0 ∀ P ∈ Y2 , en particular, como Y1 ⊆ Y2 , entonces hi (P ) = 0 ∀ P ∈P Y1 , por lo tanto ∀ i : hi ∈ I(Y1 ), ası́ f ∈ I(Y1 ). c) Tomemos f ∈ I(Y1 ) ∩ I(Y2 ), con f = rk=0 fk , fk ∈ Sk , fr 6= 0. Se tiene que si P ∈ Pn , entonces f (P ) = 0 ⇔ ∀ k ∈ {1, . . . , r} : fk (P ) = 0, por esta observación, se sigue que ∀ P ∈ Pn : fk (P ) = 0, ası́ f ∈ I(Y1 ∪ Y2 ) y se tiene I(Y1 ∪ Y2 ) ⊃ I(Y1 ) ∩ I(Y2 ). P Recı́procamente, sea f = rk=0 fk ∈ I(Y1 ∪Y2 ) como anteriormente y supongamos que f ∈ / I(Y1 ) o f ∈ / I(Y2 ); si f ∈ / I(Y1 ), entonces existe P ∈ Y1 tal que f (P ) 6= 0, ası́ fk (P ) 6= 0 para algún k ∈ {1, . . . , r}, pero esto es una contradicción. El caso f ∈ / I(Y2 ) se trata de manera análoga. Por lo tanto I(Y1 ∪ Y2 ) ⊂ I(Y1 ) ∩ I(Y2 ) y se sigue la igualdad. √ d) Por (2.3), tenemos la inclusión I(Z(a)) ⊆ a. La otra inclusión es clara. e) Misma demostración que en la Proposición (1.3). ∗ Teniendo en mano estos resultados, podemos ya ajustar y expresar de manera conveniente la correspondencia que estábamos persiguiendo. Corolario 2.6. Existe una correspondencia uno a uno que invierte el orden de las inclusiones entre los conjuntos algebraicos en Pn y los ideales radicales homogéneos en S distintos de S+ , dada por Y 7→ I(Y ) y a 7→ Z(a). Más aún, un conjunto algebraico Y ⊆ Pn es irreducible si, y solo si, I(Y ) es un ideal primo. Demostración. Nuevamente la primera afirmación es consecuencia directa de (2.5). Probaremos la segunda afirmación. Si Y es irreducible, probaremos que I(Y ) es un ideal homogéneo primo. Sean f, g ∈ S h tales que f g ∈ I(Y ), entonces Y ⊆ Z(f g) = Z(f ) ∪ Z(g), como f y g son polinomios homogéneos, tanto Z(f ) como Z(g) son conjuntos cerrados, ası́ tenemos una descomposición de Y como unión de subconjuntos cerrados, a saber Y = (Y ∩ Z(f )) ∪ (Y ∩ Z(g)). Como Y es irreducible, se tiene que Y = Y ∩ Z(f ) o Y = Y ∩ Z(g), y en ambos casos concluimos que f ∈ I(Y ) o g ∈ I(Y ). Se sigue de las observaciones realizadas al inicio del capı́tulo que I(Y ) es un ideal homogéneo primo. Recı́procamente, sea p un ideal primo homogéneo en S, y supongamos que Z(p) = Y1 ∪ Y2 . √ Entonces, como p es primo, p = p = I(Z(p)) = I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ), por lo tanto se tiene que p = I(Y1 ) o p = I(Y2 ). Ası́ Z(p) = Y1 o Z(p) = Y2 , y concluimos que es irreducible. ∗ Observación 2.3: a) Ya que I(Pn ) = h0i ⊂ S es un ideal primo, se sigue que Pn es una variedad irreducible. b) Notemos que si Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · es una cadena descendente de subconjuntos cerrados de Pn , entonces I(Y1 ) ⊆ I(Y2 ) ⊆ · · · es una cadena ascendente de ideales en S, y como S es noetheriano, esta cadena se estaciona eventualmente. Nuevamente, ∀i : Yi = Z(I(Yi )), por lo que la cadena Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · también es estacionaria. Por lo tanto Pn es un espacio topológico noetheriano. c) En particular, ya que la discusión sobre espacios topológicos noetherianos ofrecida en el Capı́tulo 1 se dio en un contexto totalmente general, se sigue que todo subconjunto algebraico en Pn se puede escribir como una unión finita de conjuntos algebraicos irreducibles (i.e., variedades proyectivas). Observación 2.4: Tenemos que el cono afı́n C(Y ) definido por una variedad proyectiva Y es irreducible si, y solo si, Y lo es. Esto se sigue de manera inmediata, ya que como vimos, ambas variedades comparten el mismo ideal I(Y ), y ambas son irreducibles si, y solo si I(Y ) es un ideal primo en S. 30 2.3. Cubierta Afı́n y Dimensión 2. Variedades Proyectivas 2.3.– Cubierta Afı́n y Dimensión Nuestros siguientes objetivos serán: a) probar que el n-espacio proyectivo posee una cubierta abierta formada por n-espacios afines y, por lo tanto, toda variedad proyectiva (respectivamente variedad cuasi-proyectiva) tiene una cubierta abierta formada por variedades afines (respectivamente cuasi-afines), b) poder ver al espacio proyectivo como un espacio afı́n “completado” al añadir algunos puntos al infinito y c) caracterizar la dimensión de una variedad proyectiva en términos de su anillo coordenado homogéneo. 2.3.1. Relación entre variedades afines y proyectivas Si f ∈ k[x0 , . . . , xn ] es un polinomio homogéneo lineal, entonces Z(f ) es llamado un hiperplano. En particular denotaremos el conjunto de ceros de xi por Hi , para i = 0, 1, . . . , n. Tomemos el conjunto abierto Ui = Pn −Hi . Entonces Pn esta cubierto por los conjuntos abiertos Ui , i = 0, . . . , n, ya que si P = [a0 : · · · : an ] es un punto, entonces ∃ i ∈ {0, . . . , n} : ai 6= 0, por lo tanto P ∈ Ui . Definimos un mapeo ϕi : Ui −→ An como sigue: si P = [a0 : · · · : an ] ∈ Ui , entonces ϕi (P ) = Q, donde Q es el punto con coordenadas afines a0 a1 ai−1 ai+1 an , ,··· , , ,··· , , ai ai ai ai ai es decir, donde omitimos la i−ésima coordenada 1 = ai /ai . Notemos que la función ϕi está bien definida, pues ∀ j = 0, 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n, los cocientes aj /ai son independientes de la elección de las coordenadas homogéneas elegidas. Antes de seguir adelante, es necesario conocer algunos conceptos muy importantes que vinculan a los conjuntos A y S h , y que serán necesarios para probar el primer resultado importante de esta sección. Definición: Sea A = k[y1 , . . . , yn ], dado f ∈ A de grado e, definimos la homogeneización de f (con respecto a la variable x0 ) a ser el polinomio β(f ) := xe0 f (x1 /x0 , . . . , xn /x0 ), el cual es un polinomio homogéneo de grado e en las variables x0 , . . . , xn . Ası́ tenemos una función β : A −→ S h . Definición: Sea f ∈ S h , definimos la deshomogeneización de f (con respecto a la variable x0 ) a ser el polinomio α(f ) := f (1, y1 , . . . , yn ). Por lo tanto, tenemos una función α : S h −→ A. A continuación mencionaremos algunas propiedades que cumplen las funciones α y β definidas anteriormente. α Proposición 2.7. a) ∀ f, g ∈ A : β(f g) = β(f )β(g), b) ∀ f, g ∈ S h : α(f g) = α(f )α(g), c) ∀ f, g ∈ S h : α(f + g) = α(f ) + α(g), d ) α ◦ β = idA , e) dado f ∈ S h con f = xn0 g (donde x0 no divide a g), entonces (β ◦ α)(f ) = g. Demostración. Todas estas afirmaciones son fáciles de demostrar, véase por ejemplo [ZS58] Volumen II, página 179. ∗ Proposición 2.8. El mapeo ϕi es un homeomorfismo de Ui con su topologı́a inducida sobre An con su topologı́a de Zariski. 31 2.3. Cubierta Afı́n y Dimensión 2. Variedades Proyectivas Demostración. Tenemos que la función ϕi es biyectiva (su inversa es el mapeo ψi : An −→ Ui dado por ψi (a1 , . . . , an ) = [a1 : · · · : ai−1 : 1 : ai+1 : · · · : an ], i.e., colocando 1 en el i-ésimo lugar y reordenando los elementos restantes), ası́ que será suficiente probar que los conjuntos cerrados de Ui están identificados con los conjuntos cerrados de An por ϕi . Asumiremos i = 0 y escribiremos simplemente U para U0 y ϕ : U −→ An . A continuación sea Y ⊆ U un conjunto cerrado y sea Y su cerradura en Pn ; éste es un conjunto algebraico , por lo que ∃ T ⊆ S h : Y = Z(T ). Supongamos que I(Y ) = hf1 , . . . , fr i, con fi ∈ S h ∀ : i = 1, . . . , r. Consideremos gi = α(fi ), i = 1, . . . , r, entonces, si P = [1 : a1 : . . . : an ], tenemos P ∈ ϕ(Y ) ⇔ ∀ i : fi (1, a1 , . . . , an ) = 0 ⇔ ∀ i : gi (a1 , . . . , an ); por lo tanto, tenemos Z(g1 , . . . , gr ) = ϕ(Y ). Recı́procamente, sea W un subconjunto cerrado de An , entonces ∃ f1 , . . . fn ∈ A : W = Z(f1 , . . . fn ). Sean gi = β(hi ), tomemos P ∈ ϕ−1 (W ) ⊆ U , es fácil demostrar que gi (P ) = fi (ϕ(P )) = 0, luego ϕ−1 (W ) ⊆ U ∩ Z(g1 , . . . , gn ); análogamente, sea P ∈ U ∩ Z(g1 , . . . , gn ), entonces se tiene que 0 = gi (P ) = fi (ϕ(P )), lo cual indica que P ∈ ϕ−1 (W ), ası́, tenemos que ϕ−1 (W ) = U ∩ Z(g1 , . . . , gn ). Por lo tanto, ϕ y ϕ−1 son ambas funciones cerradas y concluimos que ϕ es un homeomorfismo. ∗ Corolario 2.9. Si Y es una variedad proyectiva (respectivamente cuasi-proyectiva), entonces Y está cubierta por los conjuntos abiertos Y ∩ Ui , i = 0, 1 . . . , n, los cuales son homeomorfos a variedades afines (respectivamente cuasi-afines) vı́a el mapeo ϕi definido anteriormente. Demostración. Se sigue inmediatamente de la proposición anterior. ∗ Observación 2.5: Siguiendo con la visualización inicial de los espacios proyectivos, después de haber hecho nuestra discusión geométrica intuitiva, en esta parte hemos visto que para todo i ∈ {0, . . . , n}, Ui es homeomorfo a An , por lo que efectivamente podemos visualizar a An como un subconjunto abierto denso de Pn al identificarlo, por ejemplo, con el complemento del hiperplano H0 = Z(x0 ) en Pn . En este caso, el hiperplano H0 = {[a0 : · · · : an ] ∈ Pn | a0 = 0} es llamado el hiperplano al infinito respecto de An = U0 , y forma automáticamente un nuevo espacio proyectivo de menor dimensión (Pn−1 ). En caso de que nuestro campo base sean los números complejos C, entonces se puede demostrar que PnC es compacto, y por lo tanto es de manera natural una compactificación del espacio afı́n n-dimensional AnC . (Ver [S+ 00], página 31). Sea Y ⊆ An una variedad afı́n. Al identificar a An con el conjunto abierto U0 ⊂ Pn vı́a el homomorfismo ϕ0 , podemos hablar de Y , la cerradura de Y en Pn , la cual se conoce como la cerradura proyectiva de Y . 2.2 Ejemplo (La Cerradura Proyectiva de una Variedad Afı́n): Probar que I(Y ) es el ideal generado por β(I(Y )), utilizando la notación de la demostración ofrecida en (2.8). En este caso se dice que I(Y ) es la homogeneización del ideal I(Y ). Comencemos considerando a el ideal generado por β(I(Y )) y tomemos G ∈ a, el cual tiene la forma G(x0 . . . , xn ) = r X xk0 gk (x1 /x0 , . . . , xn /x0 ), con gk ∈ I(Y ) de grado k, ∀ k = 0, . . . r, k=0 Pr ası́, tenemos que G(1, x1 , . . . , xn ) = k=0 gk (x1 , . . . , xn ) = g ∈ I(Y ), por lo tanto, como U0 = Pn − Z(x0 ), tenemos que G|U0 = g, por lo que G se anula en Y = Y ∩ U0 y con esto Y ⊆ Z(a) el cual es un conjunto cerrado, por lo tanto Y ⊆ Z(a). 32 2.3. Cubierta Afı́n y Dimensión 2. Variedades Proyectivas Recı́procamente, sea G ∈ I(Y ) un polinomio homogéneo de grado e, en particular, G se anula en Y = Y ∩ U0 , ası́, el polinomio G(1, x1 , . . . , xn ) = g ∈ I(Y ) pero, por definición, β(g) ∈ a. Sea k la máxima potencia tal que G = xk0 H, k ∈ N ∪ {0}, ası́, H es homogéneo de grado e − k y G(1, x1 , . . . , xn ) = H(1, x1 , . . . , xn ) = g, como x0 ya no es factor común de H, éste posee un monomio de grado e − k que no envuelve a la variable x0 , luego β(g) = xe−k 0 g(x1 , . . . , xn ) es homogéneo de grado e − k, el cual debe ser H, ası́ H = β(g) y G = xk0 β(g) ∈ a; por lo que tenemos I(Y ) ⊆ a lo cual implica Y ⊇ Z(a). Por último probaremos que si un ideal a es radical, entonces su homogeneización también es un ideal radical. Para esto es suficiente ver que si una potencia de un polinomio homogéneo está en la homogeneización, entonces el polinomio también lo está. Sea a un ideal radical y a su homogeneización, sea G(xo , . . . , xn ) homogéneo de grado que ∃ n ∈ N tal que Gn (x0 , . . . , xn ) ∈ a, es Pr e tal k n fácil ver que G (1, x1 , . . . , xn ) ∈ a (pues G = k=o xo gk (x1 /x0 , . . . , xn /x0 ) con gk ∈ a∀ k), luego, como a es radical, G(1, x1 , . . . , xn ) = g ∈ a. A continuación sea β(g) ∈ a la homogeneización de g, entonces nuevamente ∃ m ∈ N : G(x0 , . . . , xn ) = xm o β(g) ∈ a. Como aplicación del ejemplo anterior, tenemos que si Y es una variedad afı́n irreducible, entonces su cerradura proyectiva Y es irreducible. Para esto, sean f, g ∈ S h : f g ∈ I(Y ), entonces ∃h ∈ I(Y ) : f g = β(h), pero esto dice que α(f g) = α(f )α(g) = (α ◦ β)(h) = h ∈ I(Y ), por lo que α(f ) ∈ I(Y ) o α(g) ∈ I(Y ), pero existen n, m ∈ N tales que f = xn0 (β ◦ α)(f ) ∈ I(Y ) y g = xm 0 (β ◦ α)(g) ∈ I(Y ). Esto dice que I(Y ) es un ideal primo homogéneo, por lo que Y es una variedad proyectiva irreducible. 2.3 Ejemplo (La Cerradura Proyectiva de la Cúbica Torcida): Tomemos Y la curva cúbica torcida (Ver Ejemplo 1.19), sabemos que Y = Z(x2 − x21 , x3 − x31 ) en A3 . Si consideramos la variedad proyectiva X definida por la homogeneización de estos polinomios, obtenemos que X = Z(x0 x2 − x21 , x3 x20 − x31 ) en P3 . Es fácil ver que X ∩ U0 = Y . Por otra parte, en el plano al infinito Z(x0 ), tenemos que X ∩ Z(x0 ) = Z(x0 , x1 ), por lo que X = Y ∪ Z(x0 , x1 ), lo cual no es un conjunto algebraico irreducible, por lo que no puede ser la cerradura proyectiva de la variedad Y . Por lo tanto, si I(Y ) = hf1 , . . . , fr i, entonces no necesariamente se tiene que β(f1 ), . . . , β(fr ) generan a I(Y ). Por otra parte, tenemos que x1 x3 − x22 ∈ I(Y ), y como este polinomio ya es homogéneo, podemos añadirlo a los polinomios que definen a X para obtener X 0 = Z(x2 x0 −x21 , x3 x20 −x31 , x1 x3 −x22 ) ⊆ X. Nuevamente X 0 ∩U0 = Y , y fácilmente se ve que X 0 ∩Z(x0 ) = [0 : 0 : 0 : 1], i.e., ahora la intersección con el plano al infinito es solamente un punto. Por lo tanto, X 0 = Y ∪ {P }, por lo que tenemos una variedad proyectiva más pequeña, la cual se restringe a nuestra cúbica torcida en el conjunto U0 . Utilizando Bases de Gröbner, se puede demostrar ([CLO97], Capı́tulo 8, §4.) que X 0 es la cerradura proyectiva de nuestra curva cúbica torcida Y . 2.3.2. Dimensión Dado que hemos cubierto los dos primeros puntos de nuestra agenda, a continuación relacionaremos la dimensión de una variedad proyectiva con la dimensión de su anillo coordenado homogéneo. Pero antes, necesitaremos un resultado algebraico que hará más clara la exposición. Proposición 2.10. Sea B = k[x1 /x0 , . . . , xn /x0 ] y Ω := {f /g ∈ coc S | f, g ∈ S h , g 6= 0 y deg f = deg g}. Entonces B es isomorfo a un anillo de polinomios en n variables con coc B = Ω. Demostración. Es fácil ver que Ω es un anillo conmutativo con identidad, donde si f /g ∈ Ω con f 6= 0, entonces (f /g)−1 = g/f . Ası́ Ω es un campo, y claramente se tiene que B ⊆ Ω. De esto concluimos que coc B ⊆ Ω. A continuación, sea f /g ∈ Ω, entonces f y g son polinomios homogéneos 33 2.3. Cubierta Afı́n y Dimensión 2. Variedades Proyectivas del mismo grado (digamos m) en S. Ası́, en coc S tenemos que f g = f /xm 0 g/xm 0 f g = f /xm 0 , g/xm 0 m pero f /xm 0 , g/x0 ∈ B, por lo ∈ coc B. Esto significa que Ω ⊆ cocB, y tenemos ası́ la igualdad buscada coc B = Ω. A continuación, definimos el k-homomorfismo ψ : k[y1 , . . . , yn ] −→ k[x1 /x0 , . . . , xn /x0 ] por Pr yi → 7 xi /x0 . Sea f ∈ Ker ψ, donde f = j=0 fj , fi ∈ Si , fr 6= 0. Ası́, tenemos que 0 = f (x1 /x0 , . . . , xn /x0 ) = r X fj (x1 /x0 , . . . , xn /x0 ) = j=0 r X 1 j=0 xj0 fj (x1 , . . . , xn ). P Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por xr0 , obtenemos que rj=0 xr−j 0 fj (x1 , . . . , xn ) = 0. Como este polinomio es el polinomio cero, lo sigue siendo aún cuando hacemos x0 = 0, pero esto implica que fr (x1 , . . . , xn ) es el polinomio 0, lo cual es una contradicción. Se sigue que Ker ψ = {0} y por lo tanto ψ es un isomorfismo. ∗ En la Proposición 1.12 fue relativamente fácil probar que si Y es un conjunto algebraico afı́n, entonces dim Y = dim A(Y ). El correspondiente resultado para variedades proyectivas (el cual es más difı́cil de probar) es que si Y es una variedad proyectiva, entonces dim Y = dim S(Y ) − 1. Lo que haremos a continuación será probar ésta afirmación. 2.4 Ejemplo: Si Y es una variedad proyectiva con anillo coordenado homogéneo S(Y ), mostrar que dim S(Y ) = dim Y + 1. Primero, recordemos el hecho de que la formación de fracciones es una operación “exacta” (ver [AM69] página 39). Especı́ficamente, si 0 → M 0 → M → M 00 → 0 es una sucesión exacta de R-módulos y T ⊂ R es un subconjunto multiplicativamente cerrado de R, entonces la sucesión 0 → T −1 M 0 → T −1 M → T −1 M 00 → 0 también es exacta. Utilizaremos esta observación para la siguiente sucesión exacta de S-módulos 0 → I(Y ) → S → S(Y ) → 0. A continuación trabajaremos con las variedades cuasi-proyectivas Yi := Y ∩ Ui . Si Y es no vacı́a, entonces ∃ i ∈ {0, . . . , n} : Yi 6= ∅. Sin pérdida de generalidad, supongamos que Y0 6= ∅ y consideremos el subconjunto multiplicativamente cerrado T = {xn0 }n≥0 . Veamos a los anillos de la sucesión exacta anterior como subanillos inmersos dentro del campo de cocientes de S, k(x0 , . . . , xn ). Ası́, se tiene por la proposición anterior que −1 −1 Sx0 = k[x1 , . . . , xn ][x0 , x−1 0 ] = k[x1 /x0 , . . . , xn /x0 ][x0 , x0 ] = B[x0 , x0 ], L j donde B = k[x1 /x0 , . . . , xn /x0 ]. Vemos que Sx0 es un anillo Z−graduado, Sx0 = ∞ j=−∞ Bx0 . L∞ A continuación veremos que (I(Y ))x0 = j=−∞ I(Y0 )x0 . Primero notemos que como Y es irreducible y Y0 es un subconjunto abierto no vacı́o de Y , entonces Y0 es denso en Y . Se sigue que ∀ f (x0 , . . . , xn ) ∈ S h , f se anula en Y si, y solo si, α(f ) = f (1, x1 /x0 , . . . , xn /x0 ) se anula en Y0 . Ahora, los elementos de I(Y )x0 de grado r ∈ Z son de la forma f /xm 0 , donde f ∈ I(Y )s y m ≥ 0 m s −r s cumplen s−m = r. A continuación, f /x0 = (f /x0 )xo , con f /x0 = f (1, x1 /x0 , . . . , xn /x0 ) ∈ I(Y0 ), L por lo que (I(Y ))x0 ⊆ ∞ I(Y ) 0 x0 . j=−∞ Una vez hechas estas observaciones, obtenemos Sx0 /I(Y )x0 ∼ = (S/I(Y ))x0 ∼ = (B/I(Y0 ))[x0 , x−1 0 ]. 34 2.3. Cubierta Afı́n y Dimensión 2. Variedades Proyectivas ∼ k[x1 , . . . , xn ]/I(Y0 ), y este es el anillo coordenado de Y0 , que hemos denotado Ahora, B/I(Y0 ) = por A(Y0 ). Juntando todo se tiene que S(Y )x0 ∼ = A(Y0 )[x0 , x−1 0 ]. Por el Ejemplo 1.9, tenemos que S(Y )x0 ∼ = A(Y0 )[α, β]/ hαβ − 1i, la cual es una k−álgebra finitamente generada, ya que A(Y0 ) lo es. Además, es claro que el grado trascendencia del campo de cocientes de A(Y0 )[x0 , x−1 0 ] sobre k es el mismo que el grado de trascendencia de A(Y0 )(x0 ) sobre k. También notamos que S(Y ) ⊆ S(Y )x0 ⊆ coc S(Y ), por lo que S(Y )x0 es una k-álgebra finitamente generada con el mismo campo de cocientes que S(Y ). Por (1.13), tenemos que dim S(Y ) = dim S(Y )x0 = dim A(Y0 )[x0 , x−1 0 ] = dim Y0 + 1. Repitiendo el proceso anterior para i = 0, . . . , n tal que xi ∈ / I(Y ) (i.e., Y ∩ Ui 6= ∅), tenemos que dim S(Y ) = dim A(Yi ) + 1. A continuación notamos que cada Yi es un conjunto abierto, y que Y = ∪ni=0 Yi , ası́, por el Ejemplo 1.17, dim Y = supi dim Yi = dim Y0 . Concluimos que dim S(Y ) = dim Y +1. Asimismo, vemos también que siempre que Yi 6= ∅, se tiene dim Y = dim Yi . El ejemplo anterior nos permitirá extender a las variedades proyectivas algunos resultados previamente obtenidos para variedades afines. 2.5 Ejemplo: 1. La dimensión de Pn es n. En efecto, tenemos que I(Pn ) = h0i, ası́ S(Pn ) = S/ h0i ∼ = S, y por n n el Ejemplo 2.4, n + 1 = dim S(P ) = dim P + 1, de donde se sigue el resultado. 2. Si Y ⊆ Pn es una variedad cuasi-proyectiva, entonces dim Y = dim Y . Ya que Y ⊆ Y , se sigue por el Ejemplo 1.17 que dim Y ≤ dim Y . Recı́procamente, como dim Pn = n, en particular dim Y < ∞ y dim Y < ∞, digamos dim Y = r y dim Y = s. Sea ∅ 6= Z0 ( Z1 ( · · · ( Zr una cadena maximal de subconjuntos cerrados irreducibles de Y . Entonces Z0 debe ser un punto {P } ⊂ Y (de lo contrario, la cadena se podrı́a extender aún más y no serı́a maximal). De los hechos topológicos 1 y 2 de la demostración de la Proposición (1.15), se sigue que {P } = Z 0 ( · · · ( Z m es una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles en Y . Por la minimalidad del conjunto {P } y como S+ es un ideal maximal en S, se sigue que la cadena de ideales primos I(P ) ( S+ ( S es saturada (i.e., no podemos insertar ningún otro ideal primo no trivial, véase [Mat89] página 31), ası́ obtenemos que dim S/I(P ) = 1. A continuación, sea a := I(P )/I(Y ) ⊂ S/I(Y ), por el segundo teorema de isomorfismo para anillos, se tiene que S(P ) ∼ = S(Y )/a, por lo que por (1.13), se tiene que ht a = dim S(Y ) − dim S(P ) = s + 1 − 1 = s. Por lo tanto podemos hallar una cadena de ideales primos en S(Y ) de longitud s, la cual comienza con I(P ), a saber I(P ) ) p1 ) · · · ) ps . Aplicando la operación Z, obtenemos {P } ( Z(p1 ) ( · · · ( Z(ps ), que es una cadena de subconjuntos irreducibles de Y . Como P ∈ Y , se sigue que ∀ i ∈ {1, . . . , s} : Z(pi ) ∩ Y 6= ∅, por lo tanto, por el hecho topológico 1 de (1.15), obtenemos que {P } ( Z(p1 ) ∩ Y ( · · · ( Z(ps ) ∩ Y es una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles de Y de longitud s. Pero como r = dim Y , se sigue que dim Y = s ≤ r = dim Y . Esto completa la demostración. 2.6 Ejemplo: Una variedad proyectiva Y ⊆ Pn tiene dimensión n − 1 si y solo si es el conjunto de ceros de un solo polinomio homogéneo irreducible f de grado positivo. En efecto, sea f ∈ S un polinomio homogéneo irreducible de grado positivo. Ya que todo polinomio no constante en S tiene una raı́z, se tiene que Y 6= ∅. Pero S es un DFU, entonces f es primo y 35 2.4. La Inmersión d-ésima de Veronese 2. Variedades Proyectivas por lo tanto hf i es un ideal primo. Sea Y = Z(f ), ası́ I(Y ) = hf i y por (2.6), Y es irreducible, por lo tanto Y es una variedad proyectiva. A continuación, vemos que f no es cero ni es una unidad, entonces por (1.16) ht hf i = 1, y por (1.13) y el Ejemplo 2.4 se sigue que ht I(Y ) = n + 1 − dim Y = n + 1 − n = 1. Por lo tanto ht I(Y ) = 1. Como S es un Dominio de Factorización Única, por (1.17) se tiene que I(Y ) = hf i, donde f es un polinomio homogéneo irreducible. Por (2.6), Z(f ) = Z(I(Y )) = Y = Y , i.e., Y = Z(f ). Por ultimo, ya que dim Y = n − 1, se sigue que deg f > 0. Recı́procamente, supongamos que dim Y = n − 1. Por (2.6) tenemos que I(Y ) es un ideal primo en S, además, por el Ejemplo 2.4, se tiene que dim S(Y ) = dim Y + 1. Aplicando (1.13) tenemos que dim Y = n + 1 por lo que ht I(Y ) = n + 1 − n = 1, ası́ corresponde a un ideal primo de altura 1, como S es DFU, por (1.17), I(Y ) es principal, necesariamente generado por un solo polinomio irreducible homogéneo, digamos f , y ası́ Y = Z(f ). Observación 2.6: Tenemos que el tomar el cono afı́n sobre una variedad proyectiva aumenta la dimensión del objeto en 1. De manera más precisa, como A(C(Y )) = k[x0 , . . . , xn ]/I(Y ) = S(Y ), se tiene que dim C(Y )=dim A(C(Y ))=dim S(Y ) =dim Y +1. 2.4.– La Inmersión d-ésima de Veronese En esta sección estudiaremos las propiedades de una construcción clásica en Geometrı́a Algebraica, la cual encaja de manera no trivial un espacio proyectivo como un subconjunto algebraico de otro espacio proyectivo de mayor dimensión. Estudiaremos algunos ejemplos de aplicación en dimensiones bajas y analizaremos la conexión que existe con la cerradura proyectiva de ciertas variedades afines que ya hemos estudiado previamente. Proposición 2.11. Para n, m > 0 dados, hay x0 , . . . , xn . m+n n monomios de grado m en las n+1 variables Demostración. Esto se puede probar por inducción sobre m + n. Si m = 0 = n, entonces 00 = 1, lo cual es correcto. Cualquier polinomio homogéneo de grado m en n+1 variables f se puede escribir de manera única como f (x0 , x1 . . . , xn ) = f1 (x1 , . . . , xn ) + x0 f2 (x0 , . . . , xn ), donde f1 es homogéneo de grado m y f2 homogéneo de grado m − 1. Notemos que f1 es homogéneo de grado m en n variables y f2 es homogéneo de grado m − 1 en n + 1 variables. Aplicando la n hipótesis de inducción y sabiendo que nk + k−1 = n+1 k , se sigue que el número de monomios de grado m en n + 1 variables es m+n−1 m+n−1 m+n + = , m m−1 m ∗ que es lo que se querı́a demostrar. A continuación, sean M0 , M1 , . . . , MN (N = n+d − 1) todos los monomios de grado d en las n variables x0 , . . . xn , y definimos un mapeo ρd : Pn −→ PN dado por P = [a0 : · · · : an ] 7→ [M0 (P ) : · · · : MN (P )]. Este mapeo es conocido como la inmersión d-ésima de Pn en PN . Propiedades del mapeo ρd . 36 2.4. La Inmersión d-ésima de Veronese 2. Variedades Proyectivas Si θ : k[y0 , · · · , yN ] −→ k[x1 , · · · , xn ] es el homomorfismo definido por ∀ i : yi → 7 Mi y si a = Ker θ, entonces a es un ideal homogéneo primo, y por ende Z(a) es una variedad proyectiva en Pn . Demostración. Primero observamos que θ|k = idk , luego si f ∈ a, entonces la parte consP tante de f es cero. Sea f = ri=1 fi ∈ a con fi ∈ k[y0 , . . . , yN ]i (los elementos homogéneos de grado i). Entonces θ(f ) = gd + g2d + · · · + grd = 0, con g` ∈ S` , entonces tenemos que θ(f1 ) = gd = · · · θ(fr ) = grd = 0, luego P fi ∈ a∀ i = 1, . . . , r; recı́procamente es fácil ver que si f1 , . . . , fs ∈ a, entonces f = fi ∈ a, luego a es homogéneo, por último, como ∼ k[y0 , . . . , yN ]/a = Im θ ⊂ k[x0 , . . . , xn ] y todo subanillo de un dominio entero es un dominio entero, entonces a es primo. Im ρd = Z(a). Demostración. Tomemos P ∈ Im ρd y f ∈ a, tenemos que ∃ Q ∈ Pn : P = [M0 (Q) : · · · : MN (Q)], ası́ f (P ) = θ(f )(Q), pero como θ(f ) = 0 entonces f (P ) = 0, por lo tanto P ∈ Z(a). Recı́procamente, sea I := {(i0 , . . . , in ) | ik ∈ N ∪ {0}, i0 + · · · + in = d} y numeremos las coordenadas de PN por yi0 ···in , donde (i0 , . . . , in ) ∈ I . De esta manera, tenemos que cada uno de los monomios Mi indexa a una variable de PN , y que ∀ (i0 , . . . , in ) ∈ I : θ(yi0 ···in ) = xi00 · · · xinn , ası́, definimos el conjunto Γ por Γ := {yi0 ···in yj0 ···jn − yk0 ···kn y`0 ···`n | i0 + j0 = k0 + `0 , . . . , in + jn = kn + `n }. Observamos que Γ ⊆ Ker θ, por lo que Z(Ker θ) ⊆ Z(Γ). Definimos ∀ i ∈ {0, . . . , n}, Wi ⊆ PN como el conjunto abierto en el cual la coordenada indexada por el monomio xm i es distinta de cero, i.e., Wi := {[· · · : ai0 ···in : · · · ] | aαi 6= 0}, αi = (0, · · · , 0, |{z} d , 0, · · · , 0). lugar i De la definición del conjunto Γ, se sigue que ∀ P = [· · · : ai0 ···in : · · · ] ∈ Z(Γ) ∃ i ∈ {0, . . . , n} : ρd (P ) ∈ Wi , por lo tanto, {Wi } es una cubierta abierta de Z(Γ). Supongamos i = 0, por lo que estaremos trabajando en el subconjunto abierto ad0···0 6= 0, entonces, vemos que ρd ([ad,0,0,··· ,0 : ad−1,1,0···0 : · · · : ad−1,0,··· ,1,0 : ad−1,0,··· ,0,1 ]) = P, por lo tanto, tenemos que P ∈ Im ρd , ası́ concluimos que Z(Ker θ) ⊆ Z(Γ) ⊂ Im ρd , y se sigue que Im ρd = Z(a). Ası́, tenemos una familia de mapeos ψi : Wi −→ Pn que son compatibles en las intersecciones de los conjuntos Wi , de manera que podemos definir una función inversa global ψ para ρd en términos de funciones localmente polinomiales. ρd define un homeomorfismo de Pn sobre su imagen Z(a). En primera instancia, notemos que este mapeo tiene la siguiente interpretación: sea P = [a0 : · ·P · : an ] ∈ Pn , el cual podemos visualizar como los coeficientes de un polinomio lineal LP = ni=0 ai xi (bien definido salvo multiplicación por cualquier escalar distinto de cero), 37 2.4. La Inmersión d-ésima de Veronese 2. Variedades Proyectivas entonces las coordenadas de ρd (P ) son los coeficientes del polinomio homogéneo LdP omitiendo los coeficientes binomiales. Aquı́ observemos que si ∀ λ ∈ k ∗ : LP 6= λLQ , entonces ∀ λ ∈ k ∗ : LdP 6= λLdQ , pues S es un DFU, por lo tanto, tenemos que ρd es una función inyectiva y con lo demostrado en el inciso anterior, tenemos que ρd es biyectiva. Como ambas funciones están dadas en términos de polinomios, se sigue que son continuas bajo la topologı́a de Zariski, y de esta manera se tiene que La curva cúbica torcida Y en P3 es igual a ρ3 (P1 ) para una elección adecuada de coordenadas. Previamente (Ejemplo 2.3) encontramos que Y = Z(yw − x2 , zw2 − x3 , xz − y 2 ). Eligiendo las coordenadas de P3 de manera que ρ3 ([s : t]) = [s3 : s2 t : st2 : t3 ] = [w : x : y : z], se tiene que ρ3 (P1 ) ⊆ Y . Recı́procamente, ya que Y = {[1 : t : t2 : t3 ] | t ∈ k} ∪ {[0 : 0 : 0 : 1]}, tenemos que ∀ t ∈ k : ρ3 ([1 : t]) = [1 : t : t2 : t3 ], y ρ3 ([0 : 1]) = [0 : 0 : 0 : 1], por lo tanto ρ3 (P1 ) ⊆ Y y concluimos que deben ser iguales. Ahora daremos algunos ejemplos de aplicación de este mapeo. 2.7 Ejemplo (La cerradura proyectiva de la parábola): Consideremos la inmersión 2-ésima de P1 dada por [a0 : a1 ] 7→ [a20 : a0 a1 : a21 ] ∈ P2 . A continuación probaremos que ρ2 (P1 ) = Z(x21 − x2 x0 ). La inclusión ρ2 (P1 ) ⊆ Z(x21 − x2 x0 ) es inmediata. Sea [x : y : z] ∈ Z(x21 − x2 x0 ), entonces necesariamente tenemos que x 6= 0 o z 6= 0, pues si ambos fuesen cero, entonces la relación x21 = x0 x2 implicarı́a también que y = 0, lo cual es imposible. Si x 6= 0, vemos que ρ2 ([x : y]) = [x2 : xy : y 2 ] = [x : y : z], pues [x : y : z] = [x2 : xy : xz] = [x2 : xy : y 2 ]. De manera análoga, si z 6= 0, entonces ρ2 ([y : z]) = [x : y : z]. Concluimos que ρd (P1 ) = Z(x21 − x2 x0 ). Tenemos que ρ2 (P1 ) ∩ U0 = Z(x21 − x2 ) representa una parábola inmersa en P2 (ver Figura 2.4). En este caso, ρ2 (P1 ) representa la cerradura proyectiva de la parábola, la cual está dada por la homogeneización del polinomio que define la variedad afı́n, i.e., en este caso I(Y ) = β(x21 − x2 ) , lo que no pudimos obtener con la cerradura proyectiva de la curva cúbica torcida. x0 2 U0 x2 x1 Figura 2.4: Cerradura proyectiva de la parábola x21 = x2 en P2 . 38 2.5. La Inmersión de Segre 2. Variedades Proyectivas 2.5.– La Inmersión de Segre A continuación veremos un ejemplo de variedad determinantal. Especı́ficamente una variedad 2 determinantal es el conjunto en k n de todas las matrices de rango a lo sumo k, donde k ∈ N. Si 2 k ≥ n, la variedad determinantal es el espacio completo k n , pero si k < n, el rango de la matrı́z A es a lo sumo k si, y solo si, todos sus subdeterminantes de orden (k + 1) × (k + 1) se anulan. Sea ψ : Pr × Ps −→ PN el mapeo definido por (P = [a0 : · · · : ar ], Q = [b0 : · · · : bs ]) 7→ [a0 b0 : · · · : a0 bs : a1 b0 : · · · : a1 bs : · · · : ar b0 : · · · : ar bs ], donde N = r + s + rs. Notemos que ψ está bien definida y que es inyectiva, ya que no todas las coordenadas de P y Q son simultáneamente iguales a cero, además (∀λ ∈ k ∗ )(∀P, Q) : ψ(λP, λQ) = λ2 ψ(P, Q). ψ se conoce como la Inmersión de Segre. Nuestro objetivo será demostrar que Im (ψ) es una subvariedad de PN . Veamos que ψ está bien definida, es claro que ψ no se anula en todos los puntos de su imagen. A continuación sean α, β ∈ k ∗ , entonces ψ([αa0 : · · · : αar ], [βb0 : · · · : βbs ]) = αβ[· · · : ai bj · · · ] = ψ([a0 : · · · : ar ], [b0 : · · · : bs ]). Veamos ahora que ψ es inyectiva, sean pues A = [a0 : · · · : ar ], B = [b0 : · · · : bs ], C = [c0 : · · · : cr ] y D = [d0 : · · · : ds ] tales que ψ(A, B) = ψ(C, D), esto es [· · · : ai bj : · · · ] = λ[· · · : ci dj : · · · ] para algún λ ∈ k ∗ , podemos hallar un bk 6= 0 y un dj 6= 0, entonces, en particular tenemos que λd ∀ i ∈ {0, . . . , r} : bk ai = λdj ci , i.e., ai = bkj ci y esto nos dice que A = C, se procede de manera análoga para mostrar que B = D, por lo que ψ es una inmersión. Para entender mejor esta función, es útil renombrar las coordenadas del espacio PN por {zij | i = 0, . . . , r, j = 0, . . . , s}, y pensamos en los puntos Z ∈ PN como matrices de dimensión (r+1)×(s+1), i.e., si Z = ψ(X, Y ), tenemos Z= z00 z01 · · · z10 z11 · · · .. .. .. . . . zr0 zr1 · · · z0s z1s .. . = zrs x0 x1 .. . · y0 y 1 · · · ys . xr Observemos que una matriz A = (aij ) 6= 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n tiene rango 1 si, y solo si, todos los subdeterminantes de orden 2 de A se anulan, i.e., si ∀i, k ∈ {1, . . . , n}, j, ` ∈ {1, . . . , m} : aij ak` − ai` akj = 0. Para ver esto, supongamos que A 6= 0 tiene rango 1, entonces existe una fila de A (la cual, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que es la fila 1) (a11 , . . . , a1n ), donde no todos los a1i son iguales a cero, tal que ∀ i ∈ {1, . . . , m} ∃ λi ∈ k : (ai1 , . . . , ain ) = (λi a11 , . . . , λi a1n ). Es claro entonces que si seleccionamos cualesquiera dos filas i, k de A y cualesquiera dos columnas j y ` de A, entonces aij ak` − ai` akj = λi λk aij ak` − λi λk aij ak` = 0. Recı́procamente, supongamos que una matriz A = (aij ) 6= 0 de dimensión m×n es tal que ∀i, k ∈ {1, . . . , n}, ∀ j, ` ∈ {1, . . . , m} : aij ak` − ai` akj = 0, entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que (a11 , . . . , a1n ) posee un elemento no nulo, digamos a11 . Sea (ai1 , . . . , ain ) cualquier otra fila no nula de A, digamos aij 6= 0, si j = 1 y todas las demás aij son cero, hemos terminado, de lo contrario, otra entrada aij con j 6= 1, entonces tenemos que a11 aij = a1j ai1 6= 0, por lo que elegimos ai1 = aij a1j a11 6= 0. A continuación nos fijamos en todos los términos de la forma a11 aik − a1k ai1 , 39 2.5. La Inmersión de Segre 2. Variedades Proyectivas i1 k = 2, 3, . . . , m y vemos que aik = aa11 a1k , por lo que se sigue que (ai1 , . . . , ain ) es combinación lineal de (a11 , . . . , a1n ) y por lo tanto, A tiene rango 1. De las observaciones anteriores, se desprende el siguiente resultado importante. Teorema 2.12. Im ψ es una variedad proyectiva correspondiente a las matrices de rango 1 en PN . Demostración. Im ψ consiste de las entradas de la matriz Z de dimensión (r+1)×(s+1) obtenida al multiplicar las matrices [x0 : · · · : xr ]T · [y0 : · · · : xs ]. En particular, cada columna de Z es un múltiplo de todas las demás, lo que dice que Z tiene rango 1. Por otra parte, supongamos que un punto Z ∈ PN satisface las ecuaciones zij zk` − zi` zkj ∀ i, k ∈ {0, . . . , r}, ∀ j, ` ∈ {0, . . . , s}, que, como vimos anteriormente, equivale a decir que la matriz Z tiene rango 1. Pero toda matriz de dimensión (r + 1) × (s + 1) de rango k se factoriza como un producto de una matriz de dimensión (r + 1) × k por una matriz de dimensión k × (s + 1). Para probar esto, supongamos que A es una matriz de dimensión (r + 1) × (s + 1) de rango k sobre un campo F , entonces sabemos que A es equivalente por filas a una matriz B de dimensión (r +1)×(s+1) con k vectores linealmente independientes en la parte superior, y siendo los restantes r +1−k vectores inferiores cero. Esto es, existe una matriz invertible E de dimensión (r +1)×(r +1) tal que EA = B. Desde luego, esta relación implica que A = E −1 B y, ya que las últimas r + 1 − k filas de B son cero, podemos eliminar sin problemas las últimas r +1−k columnas de E, ası́ como las r + 1 − k últimas filas de B, para obtener la descomposición A = E 0 B 0 , donde E 0 es de de dimensión (r + 1) × (k) y rango k, y B 0 es de dimensión (k) × (s + 1) y de rango k, tales que A = E 0 B 0 , lo cual finaliza la prueba. En particular, ∃ X = [x0 : · · · : xr ], Y = [y0 : · · · : ys ] determinados salvo múltiplo escalar tales que Z = X T Y . Como Z nunca es la matriz cero, entonces ni X ni Y pueden ser el vector cero. Ası́, P ∈ Im ψ. ∗ Este hecho nos permite considerar el producto de dos espacios proyectivos como una variedad proyectiva. En particular, nos da una topologı́a (de Zariski) en Pn × Pm (que en general no es la topologı́a producto, ver la página 45). 2.8 Ejemplo (La superficie cuádrica en P3 ): El siguiente es un ejemplo de una superficie reglada. Considere la superficie Q (una superficie es una variedad de dimensión 2) en P3 definida por la ecuación xy − zw = 0 (ver Figura 2.5). A continuación probaremos que Q es igual a la inmersión de Segre de P1 × P1 en P3 para una apropiada elección de coordenadas. Consideramos la inmersión de Segre ψ : P1 × P1 −→ P3 escrita de la forma ([x0 : x1 ], [y0 : y1 ]) 7→ [x0 y0 : x0 y1 : x1 y0 : x1 y1 ] = [w : x : y : z], y por lo tanto Im ψ ⊆ Z(xy − zw) = Q. Ya que dim ψ(P1 × P1 ) = 2, y por el inciso 4 del Ejemplo 1.17, se sigue que ψ(P1 × P1 ) = Q. Probaremos a continuación que Q se ve realmente como la Figura 2.5, es decir, que contiene dos familias de lı́neas {Li } y {Mi }, cada una parametrizada por t ∈ P1 con ciertas propiedades que esperarı́amos del producto natural de dos “lı́neas”. Ya que la inmersión de Segre ψ es un mapeo inyectivo, dado t = [a : b] ∈ P1 , el conjunto {t} × P1 es enviado a los puntos de la forma [ax0 : ax1 : bx0 : bx1 ] en Q. Estos puntos son exactamente 40 2.5. La Inmersión de Segre 2. Variedades Proyectivas z 3 y Lo Mo x Figura 2.5: La superficie cuádrica en P3 . las soluciones al sistema homogéneo de ecuaciones lineales dado por bx − az = 0, bw − ay = 0, y representan ası́ una lı́nea que necesariamente yace en Q. Al variar el punto t sobre todo P1 , obtenemos una familia de lı́neas {Lt }. De manera análoga, el conjunto P1 × {t} es enviado bajo ψ a los puntos de la forma [ax0 : bx0 : ax1 : bx1 ], los cuales también definen una familia de lı́neas {Mt } definida por Mt := Z(bw − ax, by − az), la cual nuevamente está parametrizada por t ∈ P1 . A continuación veremos las propiedades que cumplen estas familias de lı́neas. Primero, sean s = [a : b], t = [c : d] ∈ P1 , s 6= t, y supongamos P ∈ Ls ∩ Lt , entonces tenemos que ∃ [x0 : x1 ], [y0 : y1 ] ∈ P1 : [ax0 : ax1 : bx0 : bx1 ] = P = [cy0 : cy1 : dy0 : dy1 ], lo que dice que ∃ λ ∈ k ∗ : axi = λcyi , bxi = λdyi , i ∈ {0, 1}. Analizaremos solo el caso en el que a 6= 0 y x1 6= 0 (los demás son análogos), ası́ cy1 6= 0 y por lo tanto x1 = λc a y1 . Por último, como bx1 = λdy1 , tenemos que λbc y = λdy , y esto implica que bc − ad = 0, lo cual nos dice que s = t, pero esto es una 1 a 1 1 contradicción. Concluimos que ∀ s, t ∈ P tales que s 6= t, se tiene que Ls ∩ Lt = ∅. Siguiendo los mismos argumentos obtenemos el mismo resultado para la familia de lı́neas {Mt }. Es fácil ver que ∀ t = [a : b], s = [c : d] ∈ P1 : Lt ∩ Ms consta de al menos un punto (pues ψ([a : b], [x0 : x1 ]) = ψ([y0 : y1 ], [c : d]) al menos cuando [x0 : x1 ] = [c : d] y [y0 : y1 ] = [a : b]). Veamos que éste es el único punto de intersección para cada par de lı́neas Lt , Ms . Sea P = [w : x : y : z] ∈ Lt ∩ Ms , entonces las coordenadas w, x, y, z de P cumplen las siguientes relaciones: bx = az, cx = dw, dy = cz, ay = bw. Ya que t = [a : b] y s = [c : d] son puntos de la lı́nea proyectiva, entonces no todas las coordenadas son nulas, quedándonos con solo 4 casos distintos a probar. Analizaremos solo los casos a 6= 0, c 6= 0 y b 6= 0, d 6= 0; los casos a 6= 0, d 6= 0 y b 6= 0, c 6= 0 se tratan de manera análoga. Comencemos con P = [aw : ax : ay : az] = [aw : ax : bw : bx] = [acw : acx : bcw : bcx] = w[ac : ad : bc : bd] = ψ([a : b], [c : d]) P = [bw : bx : by : bz] = [ay : az : by : bz] = [ady : adz : bdy : bdz] = z[ac : ad : bc : bd] = ψ([a : b], [c : d]). Resumiendo, tenemos en Q = ψ(P1 × P1 ) dos familias de lı́neas {Lt }, {Mt }, cada una parametrizada por t ∈ P1 , tales que 1. ∀ s, t ∈ P1 con s 6= t se tiene Ls ∩ Lt = Ms ∩ Mt = ∅ 41 2.6. Intersecciones de Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas 2. ∀ s = [a : b], t = [c : d] ∈ P1 : Ls ∩ Mt = ψ([a : b], [c : d]). Esto está de acuerdo con la idea intuitiva que tenemos del producto de dos lı́neas, tal y como lo mencionamos al inicio de esta discusión. En el Capı́tulo 3 tendremos la oportunidad de analizar más a fondo los productos de variedades, tanto afines como proyectivas. 2.9 Ejemplo: Mostrar que cualesquiera dos curvas en P2 se intersecan. Sean C1 = Z(f ), C2 = Z(g) dos curvas en P2 , sabemos que ht I(C1 ) = 1 = ht I(C2 ) = y consideremos I(C1 ) + I(C2 ) = hf, gi, el cual es un ideal homogéneo (pues está generado por elementos homogéneos de grado positivo) por lo que hf, gi ⊂ hx, y, zi. A continuación sea p un ideal primo minimal de hf, gi tal que hf, gi ⊆ p ⊆ hx, y, zi. Se tiene por [ZS58] (ver Corolario al Teorema 9, Volumen I, Capı́tulo VII, Sección 2 página 154), los primos minimales asociados a un ideal homogéneo son homogéneos, y por el resultado de la Teorı́a de la Dimensión citado en el Ejemplo 1.18, tenemos que ht p ≤ 2, lo que implica que p ( hx, y, zi (pues ht hx, y, zi = 3). Al juntar todos estos hechos, tenemos que Z(p) 6= ∅, y ya que hf i ⊆ p, hgi ⊆ p, tenemos que ∅= 6 Z(p) ⊆ C1 y Z(p) ⊆ C1 , por lo cual concluimos que C1 ∩ C2 6= ∅ y hemos terminado. Observación 2.7: De estos dos ejemplos vemos que ψ(P1 × P1 ) y P2 son dos objetos geométricamente muy distintos, ya que el primero contiene curvas que no se intersecan, mientras que en el segundo esto no sucede nunca. 2.6.– Intersecciones de Variedades Proyectivas En esta sección estudiaremos algunos ejemplos concretos de intersección de variedades proyectivas, cuyo proceso algebraico asociado es el de encontrar soluciones comunes de varios sistemas de ecuaciones polinomiales. Para el siguiente ejemplo enunciamos primero un importante teorema de Álgebra Lineal. α Teorema 2.13. Si W1 y W2 son subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial V , entonces dim (W1 ∩ W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 + W2 ). (2.6.1) Demostración. Ver por ejemplo [HK73], página 46. ∗ 2.10 Ejemplo (Variedades lineales en Pn ): Una hipersuperficie definida por un polinomio lineal se llama un hiperplano. 1. Sea Y una variedad en Pn , probar que I(Y ) puede ser generado por polinomios lineales si, y solo si, Y puede ser escrita como una intersección de hiperplanos. Supongamos que I(Y ) = hL1 , . . . , Ln i, siendo los L0i s polinomios lineales, entonces hLi i ⊂ I(Y ), lo cual implica que ∀ i ∈ {1, . . . , n} : Z(Li ) := Hi ⊃ Z(I(Y )), por lo tanto ∩ni=1 Hi ⊃ Y . Recı́procamente, dado P ∈ ∩ni=1 Hi , entonces Pn P ∀ i : P ∈ Z(Li ), sea f ∈ I(Y ), entonces f = i=1 αi Li , con αi ∈ S, ası́, f (P ) = ni=1 αi (P )Li (P ) = 0, luego, P ∈ Z(I(Y )) = Y , ası́ ∩ni=1 Hi ⊂ Y y tenemos que Y = ∩ni=1 Hi Sea T : An −→ An un automorfismo de espacios vectoriales y sea {e1 , . . . , en } la P base canónica n de An , con ∀ i ∈ {1, . . . , n} : T (ei ) = (ai1 , . . . , ain ). Luego, dado α = i=1 ci ei , tenemos que T (α) = (a11 c1 + · · · + a1n cn , . . . , an1 c1 + · · · + ann cn ), luego, si hacemos para toda i ∈ {1, . . . , n}, fi (x1 . . . , xn ) = a11 x1 + · · · + a1n xn , tenemos que T induce un automorfismo de anillos ϕT : k[x1 , . . . , xn ] −→ k[x1 , . . . , xn ] dado por ϕT (F (x1 , . . . , xn )) = 42 2.6. Intersecciones de Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas F (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn )) (i.e., ∀ i ∈ {1, . . . , n} : xi 7→ fi ), cuyo morfismo inverso ϕ−1 T está dado por ϕT −1 . Si V ⊆ An es un subespacio vectorial y si W = T (V ), entonces tenemos que ϕT (I(W )) = I(V ), ya que si F ∈ I(W ) y P ∈ V , entonces ϕT (F )(P ) = F (f1 (P ), . . . , fn (P )) = F (T (P )) = 0, por lo que ϕT (I(W )) ⊆ I(V ). Haciendo el mismo proceso para el morfismo inverso ϕ−1 T tenemos la otra inclusión. Por último, si V ⊆ An es cualquier subespacio vectorial de dimensión r, entonces existe un isomorfismo T : An −→ An tal que T (Z(xr+1 , . . . , xn )) p = V . Si denotamos por W = Z(xr+1 , . . . , xn ), tenemos que I(W ) = I(Z(xr+1 , . . . , xn )) = hxr+1 , . . . , xn i = hxr+1 , . . . , xn i pues hxr+1 , . . . , xn i es un ideal primo, ası́ I(V ) debe ser un ideal primo A continuación, supongamos que Y se puede expresar como una intersección de hiperplanos Y = ∩ni=1 Hi , donde Hi = Z(Li ) siendo Li un polinomio lineal para toda i, entonces al considerar el cono afı́n C(Y ) ⊂ An+1 , el cual, al ser una intersección finita de hiperplanos en el espacio vectorial k n+1 resulta ser un subespacio vectorial de dimensión r+1. Sea {α0 , . . . , αr } una base para éste subespacio, la cual completamos a una base B = {α0 , . . . , αn } de k n+1 , y sea B ∗ := {φ0 , . . . , φn } la base dual de B. Con respecto a esta base, es claro que C(Y ) = Z(φr+1 , . . . , φn ). Por la discusión anterior se sigue que I(Y ) puede ser generado por polinomios lineales. En este caso se dice que Y es una variedad lineal. De las observaciones anteriores se sigue que si Y es una variedad lineal de dimensión r en Pn , entonces la menor cantidad de polinomios generadores lineales del ideal I(Y ) es n − r, de lo contrario, si suponemos que C = {f0 , . . . , fk−1 } genera a I(Y ), donde k ≤ n − r, entonces al completar C a una base C ∗ de (An+1 )∗ y considerar la base C de la cual es dual, llegarı́amos a que dim C(Y ) = k > r + 1, de donde obtendrı́amos que dim Y > r, lo cual es una contradicción. 2. Sean Y , Z variedades lineales en Pn , con dim Y = r, dim Z = s. Si r + s − n ≥ 0, entonces Y ∩ Z 6= ∅. Más aún, si Y ∩ Z 6= ∅, entonces Y ∩ Z es una variedad lineal con dim (Y ∩ Z) ≥ r + s − n. Visualicemos el problema en el k-espacio vectorial de dimensión finita An+1 , por el inciso anterior, Y lo podemos ver como el Kernel K1 de un sistema de n − r ecuaciones lineales linealmente independientes, al igual que Z es el Kernel K2 de un sistema de n − s ecuaciones lineales (ambas en n + 1 variables), entonces dimk K1 = r + 1, dim k K2 = s + 1. Para que Y ∩ Z sea una variedad proyectiva no vacı́a, necesitamos que dim k (Y ∩ Z) ≥ 1, pues de lo contrario, serı́a el subespacio trivial {0} que sabemos corresponde al ideal S+ . Tenemos que dim k (Y + Z) ≤ n + 1, y por el teorema anterior, se sigue que: dim k (Y ∩Z) = (r +1)+(s+1)−dim k (Y +Z) ≥ (r +1)+(s+1)−(n+1) = (r +s−n)+1 ≥ 1, por lo que Y ∩ Z es por lo menos un subespacio lineal de dimensión uno en An+1 , el cual representa un punto P ∈ Pn , luego Y ∩ Z 6= ∅. Sean Y = Z(L1 , . . . , Lα ) y Z = Z(M1 , . . . , Mβ ), donde los Li y los Mi son polinomios lineales en n + 1 variables. Sea A la matriz (α + β) × (n + 1) obtenida de la unión de estos polinomios lineales, y cuyo conjunto solución (i.e., los X ∈ An+1 tales que AX = 0) definen Y ∩ Z. Supongamos que el rango de A es r. Si r = n + 1 entonces el sistema sólo tiene la solución trivial {0}, por lo que Y ∩ Z = ∅. En caso contrario, siempre podemos despejar r variables en términos de las n + 1 − r restantes, de donde se sigue que k[x0 , . . . , xn ]/I(Y ∩ Z) ∼ = k[x0 , . . . , xn+1−r ] 43 2.6. Intersecciones de Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas de donde obtenemos que dim (Y ∩ Z) = dim S(Y ∩ Z) − 1 = dim k[x0 , . . . , xn+1−r ] − 1 = n + 1 − r. Observación 2.8: En el subconjunto de las variedades proyectivas lineales se cumple la fórmula de las dimensiones (2.6.1), si convenimos que dim ∅ = −1, y por lo tanto, la función dim actúa realmente en este caso en particular como una “ medida” (en el sentido usual) del tamaño de las variedades. 2.11 Ejemplo: 1. La intersección de dos variedades no necesariamente es una variedad. Sea Q1 y Q2 las superficies cuádricas en P3 definidas por las ecuaciones x2 − yw = 0 y xy − zw = 0, respectivamente. Nuestro objetivo será mostrar que Q1 ∩ Q2 es la unión de una cúbica torcida y una lı́nea. Analizaremos primero como son los puntos de la variedad Q1 . Tomemos P = [w : x : y : z] ∈ Q1 , con w = 0, entonces x2 = 0, lo que implica que x = 0. Por lo tanto obtenemos dos tipos de puntos, [0 : 0 : 1 : t], con t ∈ k (correspondiente a y 6= 0) y [0 : 0 : 0 : 1] (que corresponde a y = 0). Supongamos a continuación que w 6= 0, en cuyo caso podemos suponer w = 1. Ası́ en este plano se tiene la ecuación x2 − y = 0, donde no hay restricciones sobre z, por lo que los puntos en este caso son de la forma [1, t, t2 , s], con t, s ∈ k. Concluimos que solo hay 3 tipos de puntos en Q1 . A continuación tomamos P ∈ Q1 ∩ Q2 , entonces P debe de ser de uno de los 3 tipos anteriores y además satisfacer la ecuación que define a la variedad Q2 , a saber xy = zw. Sustituyendo [0 : 0 : 1 : t] obtenemos 0 = 0, por lo que todo punto de esta forma se encuentra en la intersección. Al sustituir [0 : 0 : 0 : 1] también obtenemos la identidad 0 = 0, por lo que este punto también se encuentra en la intersección. Por último, al sustituir los puntos de la forma [1 : t : t2 : s], tenemos que s = t3 , por lo que los únicos puntos en la intersección en este caso son de la forma [1 : t : t2 : t3 ]. En resumen, tenemos que Q1 ∩ Q2 = {[1 : t : t2 : t3 : t ∈ k]} ∪ {[0 : 0 : 0 : 1]} ∪ {[0 : 0 : 1 : t] : t ∈ k}, donde las primeras componentes conforman una curva cúbica torcida y la tercera componente es una lı́nea. Por lo tanto hemos llegado a la descomposición deseada y vemos que Q1 ∩ Q2 no es una variedad proyectiva. 2. Aún cuando la intersección de dos variedades sea una variedad, puede que el ideal de la intersección no sea la suma de los ideales. Por ejemplo, sea C la cónica en P2 dada por la ecuación x2 − yz = 0, y sea L la lı́nea dada por y = 0. Para ver que puntos están en L, nuevamente tomamos dos casos, si x 6= 0, entonces todo punto de la forma {[1 : 0 : t] : t ∈ k} está en L, y si x = 0, entonces z 6= 0, por lo que el punto [0 : 0 : 1] también está en L, y estos son los únicos puntos en L. A continuación, si P ∈ C ∩ L, entonces C tiene coordenada y igual a 0, al sustituir en la ecuación x2 − yz = 0 obtenemos x = 0, y necesariamente se tiene z 6= 0, por lo tanto el único punto en C ∩ L es P = [0 : 0 : 1]. Consideremos ahora los ideales de estas variedades. Como x2 −yz, y ∈ k[x, y, z] son polinomios irreducibles, se tiene que I(C) = x2 − yz y I(L) = hyi. Vemos que x2 = (x2 − yz) + yz ∈ 2 I(C) + I(L), luego x , y ⊆ I(C) + I(L), Recı́procamente, si f ∈ I(C) + I(L), entonces 2 − yz) + β(y) = x2 (α) + y(zα + β) ∈ x2 , y . existen α, β ∈ k[x, y, z] tales que f = α(x Concluimos que I(C) + I(L) = x2 , y . Sin embargo, x ∈ I(P ), pero x ∈ / x2 , y . Por lo tanto I(C) + I(L) 6= I(P ). 44 2.6. Intersecciones de Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas Observación 2.9: Volviendo al Ejemplo 2.8 sea Y ⊂ Q la curva cúbica torcida, ası́ P = [0 : 0 : 0 : 1] ∈ Y . Tenemos que las lı́neas L[0:1] y M[0:1] son las únicas dos lı́neas de Q pasan por P , sin embargo, L[0:1] * Y y M[0:1] * Y (por ejemplo, [0 : 0 : 1 : 0] ∈ L[0:1] y [0 : 1 : 0 : 0] ∈ M[0:1] , y ambos puntos no se hallan en Y ). Concluimos que, además de las dos familias de lı́neas descritas, Q contiene otras curvas que no son necesariamente una unión de estas familias de lı́neas. Por lo tanto la topologı́a de Zariski en Q no es homeomorfa vı́a la inmersión de Segre ψ a la topologı́a producto en P1 × P1 (donde cada P1 tiene su respectiva topologı́a de Zariski). 2.12 Ejemplo (Intersecciones completas): Una variedad Y de dimensión r en Pn es una intersección completa si I(Y ) puede ser generado por n − r elementos. Y es una intersección completa conjuntista si Y se puede escribir como la intersección de n − r hipersuperficies. Sea Y una variedad en Pn con Y = Z(a), y suponga que a puede ser generado por q elementos. Mostraremos que dim Y ≥ n − q. Como Y es una variedad proyectiva, entonces es un conjunto algebraico irreducible, ası́, el cono afı́n C(Y ) = Z(a) ⊆ An+1 es irreducible. Por el Ejemplo 1.18, se tiene que dim C(Y ) ≥ n+1−q y como dim C(Y ) = dim Y + 1, obtenemos que dim Y = dim C(Y ) − 1 ≥ n − q. Toda intersección completa es una intersección completa conjuntista. Sea Y una intersección completa, entonces I(Y ) = hα1 , . . . , αn−r i, donde ∀ i ∈ {1, . . . , n − r}, αi es un polinomio homogéneo que podemos suponer irreducible (si alguno no es irreducible, entonces lo reemplazamos por uno de sus factores irreducibles. Dicho reemplazo no altera el ideal generado). Ası́ tenemos que ! n−r n−r [ \ Y = Z(I(Y )) = Z {αi } = Z(αi ), i=1 i=1 donde por el Ejemplo 2.6, Z(αi ) := Hi es una hipersuperficie, y de esta manera se sigue el resultado. Estos ejemplos han servido como motivación y una primera introducción para el tratamiento que se dará a la Teorı́a de Intersección en Espacios Proyectivos en el Capı́tulo 5. 45 2.6. Intersecciones de Variedades Proyectivas 2. Variedades Proyectivas 46 Capı́tulo 3 Morfismos Hasta este momento nos hemos concentrado solo en describir y estudiar nuestros objetos de manera aislada y desde el punto de vista de la Teorı́a de Categorı́as; tanto ó más importantes que los objetos en si, son los morfismos o funciones que nos permiten viajar de un objeto a otro y relacionarlos entre sı́. En la Sección 3.1 (el corazón de este capı́tulo) incorporaremos este lenguaje para definir la categorı́a de las variedades algebraicas. Cabe mencionar que el concepto más general de variedad que manejaremos será el de variedad cuasi-proyectiva. También definiremos una serie de objetos algebraicos asociados a una variedad y a los puntos que la componen y después veremos que en realidad estos objetos son invariantes de la misma (bajo la relación de isomorfismo que definiremos) y más tarde, cuando la variedad resulte ser afı́n o proyectiva, seremos capaces de caracterizarlos completamente en términos de su anillo coordenado afı́n u homogéneo, según sea el caso. Aunque toda la Sección 3.1 es sumamente importante, hay un resultado que por su utilidad destaca sobre los demás: la Proposición 3.7, la cual establece una correspondencia biyectiva entre los conjuntos de morfismos de dos objetos geométricos (dos variedades) y el conjunto de morfismos de dos objetos algebraicos (dos k-álgebras asociadas a dichas variedades). Y ¿qué mejor después de una sección difı́cil que una ilustración de los conceptos por medio de ejemplos?, por ello la Sección 3.2 está completamente dedicada a la resolución de ejemplos y establecemos contraejemplos que hacen más claros los conceptos de la sección anterior. La Sección 3.3 versa sobre los morfismos entre espacios proyectivos, aquı́ damos un par de caracterizaciones de los mismos que permiten ofrecer más ejemplos interesantes. En la Sección 3.4 vemos que el producto cartesiano de variedades afines define un producto en la categorı́a de las variedades; caracterizaremos el anillo coordenado del producto y su dimensión, una vez hecho esto, analizaremos los productos de variedades cuasi-proyectivas. Por último, la Sección 3.5 desarrolla una introducción a las variedades normales y, en caso de que tengamos una variedad afı́n Y , mostramos que siempre podemos encontrar una pareja ∼ ∼ ∼ (Y , π), donde Y es una variedad normal y π es un morfismo π : Y −→ Y ; dicha pareja tiene una propiedad universal que la caracteriza. 3.1.– La Categorı́a de las Variedades Algebraicas Hasta el momento se han definido las variedades afines y proyectivas, pero no se ha discutido nada sobre los mapeos que están permitidos entre ellas, ni siquiera se ha mencionado cuando dos de ellas son isomorfas. En esta sección discutimos las funciones regulares sobre una variedad y después definimos los morfismos de variedades. Necesitamos dar una definición local, de modo que podamos definir al mismo tiempo el anillo de funciones en todo subconjunto abierto de una variedad. Después de esto tendremos una buena categorı́a en la cual trabajar. 47 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos Definición: Sea Y una variedad cuasi-afı́n en An . Una función f : Y −→ k es regular en el punto P ∈ Y si existe una vecindad abierta U ⊆ Y de P y polinomios g, h ∈ A = k[x1 , . . . , xn ], tal que h no se anula en U y f = g/h en U . (Por supuesto, aquı́ consideramos a los polinomios como funciones en An y, por lo tanto, en Y .) Decimos que f es regular en Y si es regular en todo punto de Y . Para probar el siguiente lema es necesario demostrar antes un hecho topológico básico que expresa que la propiedad de ser un subconjunto cerrado es local. Proposición 3.1. Sea Y un espacio topológico y sea {Ui } una cubierta abierta de Y , entonces un subconjunto Z ⊂ Y es cerrado si, y solo si, Z ∩ Ui es cerrado en Ui para todo Ui . Demostración. Si Z es un conjunto cerrado, entonces por la definición de topologı́a inducida, dado cualquier conjunto abierto U , Z ∩ U es cerrado en U . Recı́procamente, supongamos Y = ∪i∈I Ui , con Ui abierto ∀ i ∈ I, entonces Ui − (Ui ∩ Z) es abierto en Ui y por lo tanto abierto en Y , esto implica que el conjunto [ Y − Z = (Ui − (Ui ∩ Z)) i∈I es abierto en Y , lo cual indica que Z es cerrado, lo cual finaliza la demostración. ∗ Lema 3.2. Una función regular es continua, cuando identificamos a k con A1k con su topologı́a de Zariski. Demostración. Basta probar que f −1 envı́a conjuntos cerrados en conjuntos cerrados. Por el Ejemplo 1.1, todo conjunto cerrado en A1k es un conjunto finito de puntos, luego es suficiente mostrar que ∀ a ∈ k : f −1 (a) = {P ∈ Y | f (P ) = a} es cerrado. Esto se puede verificar de manera local, sea U un conjunto abierto en el cual f = g/h, con g, h ∈ A y h no se anula en U . Entonces f −1 (a) ∩ U = {P ∈ U | g(P )/h(P ) = a}. Pero g(P )/h(P ) = a si y solo si (g − ah)(P ) = 0. Por lo tanto f −1 (a) ∩ U = Z(g − ah) ∩ U el cual es cerrado. Por la proposición anterior, f −1 (a) es cerrado en Y . ∗ Definición: Sea Y una variedad cuasi-proyectiva en Pn . Una función f : Y −→ k es regular en el punto P ∈ Y si existe una vecindad abierta U ⊆ Y de P y polinomios homogéneos g, h ∈ S = k[x0 , . . . , xn ] del mismo grado, tal que h no se anula en U y f = g/h en U . Decimos que f es regular en Y si es regular en todo punto de Y . Observación 3.1: Como en el caso afı́n, una función regular es necesariamente continua (la demostración es similar). Una consecuencia importante de este hecho es la siguiente: si f y g son funciones regulares en una variedad X tales que f = g en algún abierto no vacı́o U ⊆ X, entonces tenemos que f = g en todo X. A continuación definiremos las partes de las que constará nuestra categorı́a de las variedades (véase el Apéndice A como referencia sobre este tema). Definición: Sea k un campo algebraicamente cerrado fijo. Una variedad sobre k (o simplemente variedad) es una variedad afı́n, cuasi-afı́n, proyectiva o cuasi-proyectiva como se han definido previamente. Si X, Y son dos variedades, un morfismo ϕ : X −→ Y es un mapeo continuo tal que para todo abierto V ⊆ Y y para toda función regular f : V −→ k, la función ϕ∗ = f ◦ ϕ : ϕ−1 (V ) −→ k es regular. 48 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos Claramente la composición de dos morfismos es un morfismo, hemos definido entonces una categorı́a. En particular tenemos la noción de isomorfismo: un isomorfismo ϕ : X −→ Y de dos variedades es un morfismo que admite un morfismo inverso ψ : Y −→ X con ψ ◦ ϕ = idX y ϕ ◦ ψ = idY . Notemos que un isomorfismo necesariamente es biyectivo y bicontinuo, pero que un morfismo biyectivo y bicontinuo no es necesariamente un isomorfismo, como lo veremos en los ejemplos de la Sección 3.2. Observación 3.2: Toda variedad es una variedad cuasi-proyectiva. En efecto, esto es obvio si la variedad es proyectiva, también es inmediato si la variedad es afı́n, pues sabemos que si Y ⊆ An es afı́n e identificamos a An con U0 ⊂ Pn , entonces al tomar su cerradura proyectiva Y ⊆ Pn se tiene que Y = U0 ∩ Y . Tomemos pues un conjunto abierto X de la variedad afı́n Y ⊆ An , entonces X = V ∩ Y , donde V es un conjunto abierto en An , pero esto dice que V es abierto en U0 y por ende en Pn y ası́ X = V ∩ Y = V ∩ (U0 ∩ Y ) = V ∩ Y y también es cuasi-proyectiva. Por lo tanto, el concepto más general de variedad que manejaremos en este trabajo será el de variedad cuasi-proyectiva. A continuación introducimos algunos anillos de funciones asociados con una variedad, los cuales demostrarán su utilidad más adelante en ciertos casos particulares de variedades, cuando los relacionemos con los anillos coordenados afines y homogéneos. Definición: Sea Y una variedad. Denotamos por O(Y ) el anillo de todas las funciones regulares en Y . Si P ∈ Y , definimos el anillo local de P en Y , OP,Y (o simplemente OP ) como el anillo de gérmenes de funciones regulares en Y cerca de P . En otras palabras, un elemento de OP es una clase de equivalencia de la pareja hU, f i, donde U es un abierto de Y que contiene a P , y f es una función regular en U , donde identificamos dos de tales parejas hU, f i, hV, gi si f = g en U ∩ V . Notemos que OP es de hecho un anillo local: su ideal maximal m es el conjunto de gérmenes de funciones regulares que se anulan en P , ya que si f (P ) 6= 0, entonces 1/f es regular en alguna vecindad de P . El campo residual OP /m es isomorfo a k (via el homomorfismo ψ : OP −→ k dado por hU, f i 7→ f (P ), el cual es suprayectivo con Ker ψ = m). Definición: Si Y es una variedad, el campo de funciones de Y , K(Y ) lo definimos como sigue: un elemento de K(Y ) es una clase de equivalencia de parejas hU, f i, donde U es un subconjunto abierto no vacı́o de Y , f es una función regular en U y en donde identificamos dos parejas hU, f i, hV, gi si, y solo si, f = g en U ∩ V . Los elementos de K(Y ) se llaman funciones racionales en Y . Veamos que K(Y ) es de hecho un campo. Ya que Y es irreducible, cualesquiera dos conjuntos abiertos no vacı́os se intersecan, por lo tanto podemos definir una adición y una multiplicación en K(Y ) dotándolo de una estructura de anillo. Luego, si hU, f i ∈ K(Y ) con f 6= 0, podemos restringir f al conjunto abierto V = U − (U ∩ Z(f )) donde no se anula nunca, ası́ que 1/f es regular en V , por lo tanto hV, 1/f i es un inverso para hU, f i. Vemos además que si restringimos la relación de equivalencia a aquellas parejas hU, f i que contengan a un punto P fijo, entonces obtenemos el anillo local en el punto P , OP . Ahora hemos definido para una variedad Y , el anillo de funciones globales O(Y ), el anillo local OP en un punto de Y , y el campo de funciones K(Y ). Por restricción de funciones obtenemos mapeos naturales O(Y ) → OP → K(Y ), los cuales de hecho son inyectivos por la Observación 3.1. Por lo tanto frecuentemente se identificaran a O(Y ) y OP como subanillos de K(Y ). Si reemplazamos Y por una variedad isomorfa, entonces los anillos correspondientes son isomorfos. Para ver esto, si ϕ : X −→ Y es un morfismo de variedades, entonces ϕ∗ : O(Y ) −→ O(X) es un homomorfismo de k-álgebras y, más aún, si ϕ(Q) = P , entonces ϕ∗ : OP,Y −→ OQ,X es también un homomorfismo de 49 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos anillos. Este homomorfismo de anillos locales satisface una propiedad adicional: ϕ∗ (mP,Y ) ⊆ mQ,X . Dicho homomorfismo de anillos locales es llamado un homomorfismo local. Por último, ϕ∗ : K(Y ) −→ K(X) es un homomorfismo de campos. Como consecuencia éste es inyectivo o cero, pero como es un k-homomorfismo, nunca es el mapeo cero y por lo tanto siempre es una inyección. Por lo tanto podemos decir que O(Y ), OP y K(Y ) son invariantes de la variedad Y (y del punto P ) salvo isomorfismo. 3.1 Ejemplo (Mapeos inducidos y propiedades locales de los morfismos): a) Sea ϕ : X −→ Y un morfismo. Entonces para cada P ∈ X, ϕ induce un homomorfismo de anillos locales ϕ∗P : Oϕ(P ),Y −→ OP,X . Tomemos hU, f i ∈ Oϕ(P ),Y , tenemos el siguiente diagrama conmutativo: ϕ /U ⊆Y NNN NNN NN f f ◦ϕ NNNN N' ϕ−1 (U ) ⊆ X k en dónde ϕ−1 (U ) es una vecindad de P y, por definición de morfismo, ϕ−1 (U ), f ◦ ϕ es una función regular cerca de P , ası́, definimos ϕ∗P (hU, f i) := ϕ−1 (U ), f ◦ ϕ . Veamos que este mapeo está bien definido, tomemos hV, gi tal que g = f en U ∩ V , entonces ϕ ◦ f = ϕ ◦ g en ϕ−1 (U ∩ V ) = ϕ−1 (U ) ∩ ϕ−1 (V ), i.e., ϕ∗P (hU, f i) = ϕ∗P (hV, gi), que es lo que se querı́a demostrar. A continuación veamos que es un homomorfismo de anillos bajo las operaciones puntuales usuales, i.e.: hU, f i + hV, gi = hU ∩ V, f + gi y hU, f i · hV, gi = hU ∩ V, f gi , para ello, tenemos que si f, g, h son polinomios, entonces se cumple que (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h y (f g) ◦ h = (f ◦ h)(g ◦ h); al ser las funciones regulares localmente cocientes de polinomios, se cumplen las mismas relaciones; por lo tanto, ϕ∗P (hU, f i + hV, gi) = ϕ−1 (U ∩ V ), (f + g) ◦ ϕ = ϕ−1 (U ) ∩ ϕ−1 (V ), f ◦ ϕ + g ◦ ϕ = ϕ−1 (U ), f ◦ ϕ + ϕ−1 (V ), g ◦ ϕ = ϕ∗P (hU, f i) + ϕ∗P (hV, gi). De manera similar se sigue de las observaciones que ϕ∗P (hU, f i · hV, gi) = ϕ∗P (hU, f i) · ϕ∗P (hV, gi). Ası́, tiene el resultado. b) Probar que un morfismo ϕ es un isomorfismo si y solo si ϕ es un homeomorfismo, y el mapeo inducido ϕ∗P en los anillos locales es un isomorfismo para todo P ∈ X. (Esto un ejemplo de una “propiedad local ” de las variedades algebraicas). Si ϕ es un isomorfismo, claramente ϕ es un homeomorfismo (pues es biyectivo y bicontinuo); si U es una vecindad de ϕ(P ) en Y , entonces ϕ−1 (U ) = V es una vecindad de P en X y, recı́procamente, si V es una vecindad de P en X, entonces ϕ(V ) es una vecindad ϕ(P lo ) en Y , por −1 ∗ ∗ cual es fácil ver que ϕϕ−1 (P ) : OP,X −→ Oϕ(P ),Y definido por ϕϕ−1 (P ) (hU, f i) = ϕ(U ), f ◦ ϕ es el homomorfismo inverso de ϕ∗P , luego, éste es un isomorfismo para todo punto P ∈ X. Recı́procamente, supongamos que ϕ es un homeomorfismo tal que ∀ P ∈ X : OP,X ∼ = Oϕ(P ),Y ∗ ∗ −1 vı́a el isomorfismo inducido ϕP dado por ϕP (hU, f i) = ϕ (U ), f ◦ ϕ . Automáticamente ϕ es continua, ası́ que sea U ⊂ Y un conjunto abierto no vacı́o, entonces ∃ ! P ∈ X : ϕ(P ) ∈ Y , por el isomorfismo indicado, tenemos que ∀ f ∈ O(U ) : f ◦ ϕ ∈ O(ϕ−1 (U )), pero esto dice que ϕ : X −→ Y es un morfismo. De manera análoga se demuestra que ϕ−1 : Y −→ X es un morfismo que, de hecho, es la inversa de ϕ. Por lo tanto, ϕ es un isomorfismo. 50 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos c) Probar que si ϕ(X) es denso en Y , entonces el mapeo ϕ∗P es inyectivo para todo P ∈ X. Supongamos ϕ∗P (hU, f i) = ϕ∗P (hV, gi), entonces ϕ−1 (U ), f ◦ ϕ = ϕ−1 (V ), g ◦ ϕ esto quiere decir que f ◦ ϕ = g ◦ ϕ en ϕ−1 (U ) ∩ ϕ−1 (V ) = ϕ−1 (U ∩ V ), el cual es abierto en X, luego f ◦ ϕ = g ◦ ϕ en todo X, esto implica que f = g en ϕ(X) ⊆ Y , pero dos funciones continuas que son iguales en un conjunto denso son iguales en todo el conjunto, ası́ f = g en Y , en particular, f = g en U ∩ V , luego, hU, f i = hV, gi y ϕ∗P es inyectiva. Nuestra siguiente tarea es relacionar O(Y ), OP y K(Y ) con el anillo coordenado afı́n A(Y ) de una variedad afı́n, y con el anillo coordenado homogéneo S(Y ) de una variedad proyectiva, los cuales fueron introducidos con anterioridad. Antes de poder hacerlo, necesitamos un resultado preliminar. Proposición 3.3. Sea A un dominio entero. Entonces \ A= Am . m maximal Demostración. Sea ∩m Am =: Ω, entonces la única inclusión que no es inmediata es A ⊇ Ω, pues como A es un dominio entero y para todo ideal maximal m de A se tiene que 1 ∈ / m, se tiene una inmersión canónica A ,→ Am dada por x 7→ x1 . Sea entonces x ∈ Ω, ası́, para todo ideal maximal m de A existen am ∈ A, bm ∈ / m tales que x = am /bm . Sea b el ideal generado por todos los elementos bm . Queremos demostrar que b = A. Supongamos que éste no es el caso, i.e., b ( A, en cuyo caso, existe un ideal maximal o tal que b ⊆ o. Ası́, por una parte tenemos que bo ∈ b, pero, por otra parte, bo ∈ / o, por lo que bo ∈ / b, lo cual es una contradicción. P Por lo tanto b = A y, como 1 ∈ A, tenemos que ∃ bm1 , . . . , bmn ∈ b, c1 , . . . , cn ∈ A tales que 1 = ni=1 ci bmi . Ya que ∀ i ∈ {1, . . . , n} : bmi x = ami , al multiplicar esto por ci y sumar sobre i, obtenemos x= n X ci ami ∈ A, i=1 ∗ lo cual concluye la demostración. Teorema 3.4. Sea Y ⊆ An una variedad afı́n con anillo coordenado afı́n A(Y ). Entonces: a) O(Y ) ∼ = A(Y ); b) ∀ P ∈ Y , sea mP ⊆ A(Y ) el ideal de funciones que se anulan en P . Entones P 7→ mP da una correspondencia 1-1 entre los puntos de Y y los ideales maximales de A(Y ); c) ∀ P ∈ Y : OP ∼ = A(Y )mP , y dim OP = dim Y ; d ) K(Y ) ∼ = coc A(Y ), y ası́ K(Y ) es una extensión de campos finitamente generada de k, con tr.d. K(Y )/k = dim Y . Demostración. Se procederá en varios pasos. Primero definimos un mapeo α : A(Y ) −→ O(Y )de la siguiente manera: tenemos que todo polinomio f ∈ A define una función regular en An y por ende en Y . Entonces tenemos un homomorfismo A → O(Y ) cuyo Kernel es precisamente I(Y ), por lo tanto obtenemos un homomorfismo inyectivo α : A(Y ) ,→ O(Y ). Por el Ejemplo 1.7, sabemos que existe una correspondencia 1-1 entre los puntos de Y (los cuales son los subconjuntos algebraicos minimales de Y ) y los ideales maximales de A que contienen a I(Y ). Pasando al cociente por I(Y ), estos corresponden a los ideales maximales de A(Y ). Más 51 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos aún, utilizando α para identificar a los elementos de A(Y ) con funciones regulares en Y , el ideal maximal que corresponde a P es justamente mP = {f ∈ A(Y ) | f (P ) = 0}. Esto prueba b). Para todo P existe un mapeo natural A(Y )mP → OP , el cual es inyectivo porque α lo es, y suprayectivo por la definición de función regular. Esto prueba que OP ∼ = A(Y )mP . Ahora dim OP = ht mP . Como A(Y )/mP ∼ = k, concluimos de (1.12) y (1.13) que dim OP = dim Y. ∼ coc (A(Y )), y coc (A(Y )) = K(Y ), por que cada función De c) se sigue que ∀P ∈ Y : coc (OP ) = racional se encuentra de hecho en algún OP . Ahora A(Y ) es una k-álgebra finitamente generada, ası́ que K(Y ) es una extensión finitamente generada de k. Más aún, tr.d. K(Y )/k = dim Y por (1.12) y (1.13). Esto prueba d). Para demostrar a) notemos que O(Y ) = ∩P ∈Y O(P ), donde todos los anillos se consideran como subanillos de K(Y ). Utilizando b) y c) tenemos \ A(Y ) ⊆ O(Y ) ⊆ A(Y )m . m maximal ∗ La igualdad se sigue ahora de la Proposición 3.3. Como una primera aplicación del Teorema anterior, tenemos el siguiente ejemplo. 3.2 Ejemplo (Subvariedades): Un subconjunto de un espacio topológico es localmente cerrado si es un subconjunto abierto de su cerradura, o, equivalentemente, si es la intersección de un conjunto abierto con un conjunto cerrado. Si X es una variedad cuasi-afı́n o cuasi-proyectiva y Y es un subconjunto irreducible localmente cerrado, entonces Y es también una variedad cuasi-afı́n (respectivamente cuasi-proyectiva), en virtud de ser un subconjunto localmente cerrado del mismo espacio afı́n o proyectivo. A esto le llamamos la estructura inducida en Y , y decimos que Y es una subvariedad de X. 1. Ahora sea f : X −→ Y un morfismo, y sean X 0 ⊆ X y Y 0 ⊆ Y dos subconjuntos localmente cerrados irreducibles de manera que ϕ(X 0 ) ⊆ Y 0 . Mostrar que f |X 0 : X 0 −→ Y 0 es un morfismo. Para comenzar veamos que la inmersión canónica iX 0 : X 0 −→ X es un morfismo. Sea U ⊂ X 0 0 cualquier conjunto abierto, entonces i−1 X 0 (U ) := {x ∈ X | x ∈ U } = U ∩ X , el cual es un conjunto abierto en X 0 , por lo que iX 0 es continua. Ahora sea f ∈ O(U ), tenemos que 0 0 f ◦ iX 0 : i−1 X 0 (U ) −→ k no es más que f : U ∩ X −→ k, y como O(U ) ⊆ O(U ∩ X ), se sigue −1 que f es regular en iX 0 (U ), por lo que iX 0 es un morfismo. Como la composición de morfismos es un morfismo, tenemos el siguiente diagrama f ◦iX 0 /Y O BB BB iY 0 B f |X 0 BB ? 0 X0 B Y Sea U ⊆ Y 0 abierto, entonces iY 0 (U ) = V ∩ Y 0 , donde V es abierto en Y . Tenemos que (f ◦ iX 0 )−1 (iY 0 (U )) = f −1 (V ) ∩ X 0 , el cual es abierto en X 0 , y también vemos que f |−1 X 0 (U ) = f −1 (V )∩X 0 , por lo que f |X 0 es continua. Ahora sea g ∈ O(U ), donde U = V ∩Y 0 es abierto en Y 0 , tenemos que g◦f ◦iX 0 : f −1 (V )∩X 0 −→ k es una función regular, y de esta manera se sigue que g ◦ f |X 0 = g ◦ f ◦ iX 0 . Con esto hemos terminado de ver que efectivamente f |X 0 : X 0 −→ Y 0 es un morfismo. 52 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos 2. Sea X una variedad afı́n, P ∈ X. Muestre que existe una correspondencia unı́voca entre los ideales primos del anillo local OP y las subvariedades cerradas de X que contienen a P . Sea X una variedad afı́n, si Y ⊂ X es una subvariedad cerrada, entonces Y es un conjunto algebraico irreducible en An , i.e., I(Y ) es un ideal primo en A tal que I(Y ) ⊃ I(X), y por el teorema de la correspondencia para anillos, si π : A −→ A(X) es la proyección canónica, el ideal p = π(I(Y )) es un ideal primo en A(X) unı́vocamente determinado por I(Y ). Además A/I(X) A(Y ) ∼ = I(Y )/I(X) ∼ = A(X)/p. Por lo tanto, dada cualquier función f ∈ p se tiene que f ∈ I(Y ) y f es nula sobre Y , y ya que P ∈ Y , entonces f (P ) = 0, luego f ∈ mP y p ⊆ mP . Como OP ∼ = A(X)mP = (A(X) − mP )−1 A(X), luego p ∩ (A(X) − mP ) = ∅. También sabemos que existe una correspondencia biunı́voca entre los ideales primos de A(X)mP con los ideales primos de A(X) que no intersecan a A(X) − mP , hemos visto pues que toda subvariedad cerrada Y de X que contiene al punto P se corresponde con un ideal primo p en A(X) que está contenido en mP , ası́ al localizar A(X) en mP , p se corresponde nuevamente con otro ideal primo p en A(X)mP , el cual es isomorfo a OP . Proposición 3.5. Sea Ui ⊂ Pn el abierto definido por la ecuación xi 6= 0. Entonces el mapeo ϕi : Ui −→ An de (2.8) es un isomorfismo de variedades. Demostración. Como en la demostración de (2.8), asumiremos que i = 0 y escribiremos U = U0 y ϕ = ϕ0 . Sea f una función regular en An , entonces, localmente tenemos f = g/h, con g, h ∈ k[x1 , . . . , xn ], supongamos que deg g = d, deg h = e, entonces tenemos que β(g) es un polinomio homogéneo de grado d y β(h) un polinomio homogéneo de grado e, ası́ tenemos que xe0 β(g)/xd0 β(h) = G/H, donde G y H son polinomios homogéneos del mismo grado (d + e) en S. Ası́, ϕ∗ (g/h) = G/H localmente y por lo tanto ϕ∗ es un mapeo de O(An ) a O(U ). Sea ψ : An −→ U dada por (a1 , . . . , an ) 7→ [1 : a1 , . . . , an ], la cual es la inversa de ϕ; ya que ϕ es un homeomorfismo, tenemos que ψ es continua. De hecho, es suficiente mostrar que ψ induce un mapeo de O(U ) a O(An ). Sea f una función regular en U y y ∈ U , entonces existe un conjunto abierto V con y ∈ V tal que f |V = F/G, con F, G ∈ S polinomios homogéneos del mismo grado. Sea P ∈ V , entonces P = [1 : a1 . . . : an ] y entonces F F (1, a1 , . . . , an ) α(F ) −1 (P ) = = (ψ (P )), G G(1, a1 , . . . , an ) α(G) ∗ que es lo que se querı́a demostrar. Antes de establecer el siguiente resultado, introducimos algunas notaciones. Si S es un anillo graduado y p un ideal homogéneo primo en S, entonces denotamos por S(p) el subanillo de elementos de grado 0 en la localización de S con respecto al subconjunto multiplicativo T que consiste de los elementos homogéneos de S que no están en p. Notemos que T −1 S tiene una graduación natural dada por deg (f /g) = deg f − deg g para f homogéneo en S y g ∈ T . S(p) es un anillo local con ideal maximal (p · T −1 S) ∩ S(p) . En particular, si S es un dominio entero, entonces para p = (0) obtenemos un campo S((0)) . De manera similar, si f ∈ S es un elemento homogéneo, denotamos por S(f ) el subanillo de elementos de grado 0 en el anillo localizado Sf . Teorema 3.6. Sea Y ⊆ Pn una variedad proyectiva con anillo coordenado homogéneo S(Y ). Entonces: a) O(Y ) = k; 53 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos b) ∀P ∈ Y , sea mP ⊂ S(Y ) el ideal generado por el conjunto de polinomios homogéneos f ∈ S(Y ) tal que f (P ) = 0. Entonces OP = S(Y )(mP ) ; c) K(Y ) ∼ = S(Y )((0)) . Demostración. Para comenzar, sea Ui ⊂ Pn el conjunto abierto xi 6= 0, y sea Yi = Y ∩ Ui . entonces Ui es isomorfo a An por el isomorfismo ϕi de (3.5), ası́ que podemos considerar a Yi como una variedad afı́n. Existe un isomorfismo natural ϕ∗i del anillo coordenado afı́n A(Yi ) con la localización S(Y )xi del anillo coordenado homogéneo de Y S(Y ). Primero efectuamos un isomorfismo de k[y1 , . . . , yn ] con k[x0 , . . . , xn ](xi ) enviando f (y1 , . . . , yn ) a f (xo /xi , . . . , xn /xi ), omitiendo xi /xi como en la prueba de (2.8). este isomorfismo envı́a I(Yi ) a I(Y )S(xi ) , ası́ que al pasar al cociente, ∼ obtenemos el isomorfismo deseado ϕ∗i : A(Yi ) −→ S(Y )(xi ) . A continuación para probar b), sea P ∈ Y y elegimos i de manera que P ∈ Yi , entonces por (3.4), OP ∼ = A(Yi )m0P , donde m0P es el ideal maximal de A(Yi ) que corresponde a P . Se verifica fácilmente que ϕ∗i (m0P ) = mP · S(Y )(xi ) . Ahora xi ∈ / mP , y la localización es transitiva, ası́ encontramos que A(Yi )m0P ∼ = S(Y )mP , lo cual completa la prueba b). Para demostrar c), utilizamos nuevamente (3.4) para ver que K(Y ), el cual es igual a K(Yi ), es el campo de cocientes de A(Yi ). Pero por ϕ∗i , éste es isomorfo a S(Y )((0)) . Por último, para probar a), sea f ∈ O(Y ) una función regular global. Entonces se tiene que ∀ i ∈ {0, 1, . . . , n}, f es regular en Yi , por (3.4) obtenemos que f ∈ A(Yi ), pero acabamos de ver que N A(Yi ) ∼ = S(Y )(xi ) , por lo tanto concluimos que f se puede escribir como gi /xi i , donde gi ∈ S(Y ) es homogéneo de grado Ni . Pensando en O(Y ), K(Y ) y S(Y ) como subanillos del campo de cocientes i L de S(Y ), esto significa que ∀ i : xN i f ∈ S(Y )Ni . P Ahora elegimos N ≥ Ni , entonces S(Y )N como k-espacio vectorial es generado por monomios de grado N en x0 , . . . , xn , y en cada uno de estos monomios, aparece al menos un xi elevado a una potencia mayor o igual que Ni . Por lo tanto tenemos S(Y )N · f ⊆ S(Y )N . Iterando se tiene que q ∀q > 0 : S(Y )N · f q ⊆ S(Y )N . En particular, ∀q > 0 : xN 0 f ∈ S(Y ). Esto muestra que el subanillo −N S(Y )[f ] de L está contenido en x0 S(Y ), el cuál es un S(Y )-módulo finitamente generado. Como S(Y ) es un anillo noetheriano, S(Y )[f ] es un S(Y )-módulo finitamente generado y, por lo tanto, f es entero sobre S(Y ). Esto significa que ∃ a1 , . . . , am ∈ S(Y ) tales que f m + a1 f m−1 + · · · + am = 0. Como f tiene grado cero, podemos reemplazar los ai por sus componentes homogéneas de grado 0 y seguir teniendo una ecuación válida. Pero S(Y )0 = k, por lo tanto ai ∈ k para todo i, y f es algebraico sobre k. Pero k es algebraicamente cerrado, por lo tanto f ∈ k. ∗ El siguiente resultado demuestra que su X y Y son variedades afines, entonces X es isomorfa a Y si y solo si A(X) es isomorfa a A(Y ) como k-álgebra. De hecho, la prueba da más, ası́ que establecemos un resultado más fuerte. Proposición 3.7. Sea X una variedad y Y una variedad afı́n. Entonces existe un mapeo biyectivo natural de conjuntos ∼ α : Hom (X, Y ) −→ Hom (A(Y ), O(X)). donde el conjunto de la izquierda representa morfismos de variedades, y el conjunto de la derecha significa morfismos de k-álgebras. 54 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos Demostración. Dado un morfismo ϕ : X −→ Y , ϕ envı́a funciones regulares en Y a funciones regulares en X, por lo tanto ϕ induce un mapeo de O(Y ) a O(X), el cual es claramente un homomorfismo de k-álgebras. Pero por (3.4) hemos visto que O(Y ) ∼ = A(Y ), por lo tanto obtenemos un homomorfismo A(Y ) −→ O(X). Esto define a α. Recı́procamente, sea h : A(Y ) −→ O(X) un homomorfismo de k-álgebras. Suponga que Y es un subconjunto cerrado de An , de manera que A(Y ) = k[x1 , . . . , xn ]/I(Y ). Sea xi la imagen de xi en A(Y ), y consideremos los elementos ξi = h(xi ) ∈ O(X). Estas son funciones globales en X, ası́ que podemos utilizarlas para definir un mapeo ψ : X −→ An por ψ(P ) = (ξ1 (P ), . . . , ξn (P )) para P ∈ X. A continuación mostramos que ψ(X) ⊆ Y . Como Y = Z(I(Y )), es suficiente probar que ∀ P ∈ X, ∀ f ∈ I(Y ) : f (ψ(P )) = 0. Pero f (ψ(P )) = f (ξ1 (P ), . . . , ξn (P )). Ya que f es un polinomio y h es un homomorfismo de K-álgebras, tenemos f (ξ1 (P ), . . . , ξn (P )) = h(f (x1 , . . . , xn ))(P ) = 0 ya que f ∈ I(Y ). Por lo tanto ψ define un mapeo de X a Y , que induce el homomorfismo dado h. Para completar la prueba debemos mostrar que ψ es un morfismo. Esto es una consecuencia del siguiente lema. Lema 3.8. Sea X una variedad y Y ⊆ An una variedad afı́n. Un mapeo de conjuntos ψ : X −→ Y es un morfismo si, y solo si, xi ◦ ψ es una función regular en X para todo i, donde x1 , . . . , xn son las funciones coordenadas en An . Demostración. Si ψ es un morfismo, entonces las xi ◦ ψ deben ser funciones regulares, por la definición de morfismo. Recı́procamente, suponga que las funciones xi ◦ ψ son regulares, entonces para todo polinomio f (x1 , . . . , xn ), f ◦ ψ es también regular en X. Ya que los conjuntos cerrados de Y están definidos por la anulación de funciones polinomiales, y como las funciones regulares son continuas, vemos que ψ −1 envı́a conjuntos cerrados en conjuntos cerrados, por lo tanto ψ es continua. Finalmente, como las funciones regulares en conjuntos abiertos de Y son localmente cocientes de polinomios, g ◦ ψ es regular para cualquier función regular g en cualquier conjunto abierto de Y . Ası́ ψ es un morfismo. ∗ Corolario 3.9 (Criterio de isomorfismo para variedades afines). Si X y Y son dos variedades afines, entonces X y Y son isomorfas si, y solo si, A(Y ) y A(X) son isomorfas como k-álgebras. Demostración. Inmediato de la proposición anterior. ∗ En el lenguaje de las categorı́as, el resultado anterior se puede expresar como sigue: Corolario 3.10. El funtor contravariante X 7→ A(X) induce una equivalencia de categorı́as entre la categorı́a de las variedades afines sobre k y la categorı́a de los dominios enteros finitamente generados sobre k. 3.3 Ejemplo: Aunque hasta este momento sólo nos hemos concentrado en conjuntos algebraicos irreducibles, tenemos que la equivalencia anterior se puede ampliar un poco más de la siguiente manera. Sea X ⊆ An cualquier conjunto algebraico, entonces se puede demostrar (ver [S+ 00], página 55 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos 57, y [Har77], página 71, Proposición 2.2) que O(X) ∼ = A(X) = A/I(X). Definimos la categorı́a C de los conjuntos algebraicos de la siguiente forma, Ob C constará de todos los conjuntos algebraicos, y si X, Y ∈ Ob C , entonces: HomC (X, Y ) = {f : X −→ Y | f es restricción de un mapeo polinomial entre los espacios ambiente}, i.e., supongamos que X ⊆ An y Y ⊆ Am , entonces un morfismo f : X −→ Y está dado por f = (f1 , . . . , fm ), donde ∀ i ∈ {1, . . . , m} : fi ∈ k[x1 , . . . , xn ]. Consideremos la categorı́a A de todas las k-álgebras con mapeos entre k-álgebras como morfismos de los objetos de la categorı́a. Dado f ∈ HomC (X, Y ), como anteriormente induce un homomorfismo de k-álgebras f ∗ : A(Y ) −→ A(X) por medio de la composición de funciones. Definimos el funtor F : C −→ A dado por F (X) = A(X) y ∀ ϕ ∈ HomC (X, Y ) : F ϕ := ϕ∗ . Probaremos a continuación que el funtor contravariante F es fiel, pleno y denso cuando nos restringimos a la subcategorı́a A0 de las k-álgebras reducidas finitamente generadas (Vea la página 104 del Apéndice A para los detalles necesarios). Densidad. Se tiene del Ejemplo 1.8. Plenitud. Sea σ ∈ HomA0 (R, S), por el punto anterior, podemos elegir presentaciones para R y S y escribir σ : k[x1 , . . . , xn ]/I −→ k[y1 , . . . , ym ]/J, donde I y J son radicales. Para j = 1, . . . , n, sean fj ∈ σ(xj ) y definimos el mapeo polinomial F : Am −→ An dado por a = (a1 , . . . , am ) 7→ (f1 (a), . . . , fn (a)). A continuación sea a ∈ V = Z(J), y queremos probar que F (a) ∈ W = Z(I). Para esto basta verificar que F (a) está en el conjunto de ceros de todo polinomio g ∈ I. Utilizando el hecho de que fj = σ(xj ), vemos que para g ∈ I, g(F (a)) = g(f1 (a), . . . , fn (a)) = g(σ(x1 )(a), . . . , σ(xn )(a)) = σ(g)(a) = 0. Ya que g ∈ I, tenemos que σ(g) ∈ J, por lo que (∀ a ∈ V ) (∀ g ∈ I) : σ(g)(a), y se sigue que ∀ g ∈ I : g(F (a)) = 0. Por lo tanto F (a) ∈ W y F envı́a V a W . Sin dificultad se verifica que F ∗ = σ. Si elegimos otros representantes gj para la clase de equivalencia de σ(xj ) para formar el mapeo G : Am −→ An , tenemos que para todo j ∈ {1, . . . , n}, la diferencia fj − gj se anula en V , por lo que G se restringe a F en V . Fidelidad. Dados σ : R −→ S, F : V −→ W como el punto anterior, supongamos que existen ideales radicales I 0 ⊆ k[x1 , . . . , xs ] y J 0 ⊆ k[x1 , . . . , xt ], y un morfismo G : W 0 −→ V 0 (donde W 0 = Z(J 0 ) y V 0 = Z(I 0 )) tales que σ = G∗ : A(V 0 ) −→ A(W 0 ), en particular, ∼ ∼ existen isomorfismos de k-álgebras ϕ : A(V ) −→ A(V 0 ) y ψ : A(W ) −→ A(W 0 ) y, como F es pleno, tenemos que existen morfismos ϕ : V −→ V 0 y ψ : W −→ W 0 , los cuales resultan ser isomorfismos. Se verifica que el siguiente diagrama es conmutativo : F V ∼ = V0 /W G ∼ = / W0 Por la propiedad de que todo funtor que es fiel, pleno y denso induce una equivalencia de categorı́as, tenemos que F induce una antiequivalencia (en el sentido de que es un funtor contravariante) entre las categorı́as C y A0 . 56 3.1. La Categorı́a de las Variedades Algebraicas 3. Morfismos 3.4 Ejemplo (Subconjuntos cerrados bajo un morfismo de variedades afines): Sean X y Y dos variedades afines y f : X −→ Y un morfismo. Sea φ : O(Y ) −→ O(X) el homomorfismo de k-álgebras inducido por f . Siguiendo con la discusión del Ejemplo 3.2, podemos identificar a los subconjuntos cerrados de X (respectivamente de Y ) con ideales del anillo A(X) = O(X) (respectivamente A(Y ) = O(Y )). 1. Sea W un subconjunto cerrado de X, digamos W = Z(a), donde a ⊆ A(X). Entonces se tiene que f (W ) = Z(φ−1 (a)). Para probar lo anterior, veremos que I(f (W )) = φ−1 (a). Sea g ∈ I(f (W )), entonces ∀ P ∈ W : g(f (P )) = 0, pero esto dice que φ(g) = g ◦ f ∈ I(W ) = a, de donde se desprende que g ∈ φ−1 (a). Recı́procamente, tomemos g ∈ φ−1 (a), entonces φ(g) = g ◦ f ∈ a, lo cual significa que ∀ P ∈ W : (g ◦ f )(P ) = 0, por lo que g ∈ I(f (W )). Por lo tanto concluimos que I(f (W )) = φ−1 (a), y del inciso e) de la Proposición 1.3, f (W ) = Z(I(f (W ))) = Z(φ−1 (a)). 2. Sea W 0 un subconjunto cerrado de Y , digamos W 0 = Z(b), donde b es un ideal de A(Y ). entonces f −1 (W 0 ) es eñ conjunto cerrado Z(hφ(a)i). Sea P ∈ W 0 y g ∈ b, entonces se tiene que φ(g)(f −1 (y)) = g(y) = 0. Por lo tanto f −1 (W 0 ) ⊆ Z(hφ(b)i). recı́procamente, si P ∈ Z(hbi), entonces ∀ g ∈ b : g(f (P )) = φ(g)(P ) = 0. Por lo tanto Z(hφ(b)i) ⊆ f −1 (Z), de donde se sigue la igualdad. A continuación veremos otro ejemplo en donde utilizamos términos de la Teorı́a de Categorı́as. 3.5 Ejemplo (El anillo local de un punto como un lı́mite directo): Sea X una variedad y P ∈ X un punto de ella. Dado cualquier conjunto abierto U ⊆ X tal que P ∈ U , podemos definir un mapeo ΦU : O(U ) −→ OP , dado por f 7→ hU, f i. A continuación probaremos que el anillo local de un punto P (que hemos denotado por OP ) tiene una descripción alternativa. Si U ⊆ V son conjuntos abiertos de X que contengan a P , entonces tenemos un mapeo ϕV U : O(V ) −→ O(U ) definido por la restricción de funciones. Claramente si U ⊆ V ⊆ W son conjuntos abiertos que contienen a P , entonces la siguiente composición de mapeos ϕ ϕ WV VU O(W ) −→ O(V ) −→ O(U ) es la misma que ϕV U ◦ ϕW V : O(W ) −→ O(U ). También, dados cualesquiera dos conjuntos abiertos U y V que contengan a P , entonces U ∩ V es un conjunto abierto no vacı́o que contiene a P , y por lo tanto tenemos mapeos O(U ) −→ O(U ∩ V ) y O(V ) −→ O(U ∩ V ). Por lo tanto, la familia de conjuntos abiertos {O(U ) | P ∈ U } junto con los mapeos descritos anteriormente forman un sistema dirigido (en el sentido de la definición de la página 104) de conjuntos y mapeos. Afirmamos que el lı́mite directo de este sistema dirigido, el cual denotaremos por limP ∈U O(U ), es isomorfo a OP . −→ Para esto vemos que para cualquier conjunto abierto U que contiene a P , tenemos el morfismo ΦU : O(U ) −→ OP descrito con anterioridad, y es fácil ver que si V es cualquier conjunto abierto tal que U ⊇ V ⊇ {P }, entonces el siguiente diagrama O(U ) ϕU V FF FF FF ΦU FF" OP 57 / O(V ) x x x xxΦ x |xx V 3.2. Ejemplos y Contraejemplos 3. Morfismos es conmutativo. Por lo tanto sabemos que existe un único mapeo ψ : limp∈U O(U ) −→ OP tal que −→ para todo conjunto abierto V que contenga a P , el diagrama O(V ) / lim O(U ) MMM −→P ∈U MMM MM ψ ΦV MMMM & OP es conmutativo. A continuación mostraremos que éste único mapeo ψ es un isomorfismo. Dado hU, f i ∈ OP , tenemos que existe un conjunto abierto U y f ∈ O(U ) tal que ΦU (f ) = hU, f i. Entonces se sigue de la conmutatividad del diagrama anterior que la imagen de f en limP ∈U O(U ) −→ bajo el mapeo O(V ) −→ limP ∈U O(U ) va a dar bajo el mapeo ψ a hU, f i, lo que muestra que ψ es −→ un epimorfismo. A continuación supongamos que x, y ∈ limP ∈U O(U ) son tales que ψ(x) = ψ(y). Sean f ∈ O(U ) y −→ g ∈ O(V ) tales que sus imágenes en limP ∈U O(U ) son x y y respectivamente. Entonces sabemos que −→ ΦU (f ) = ΦV (g), lo que significa que f = g en W = U ∩ V , donde P ∈ W es un conjunto abierto. Ası́ llegamos al siguiente diagrama conmutativo: O(W ) 8 fMMM MMϕMV,W qqq q q MMM qq q MM q qq / lim O(U ) o O(U ) O(V ) MMM −→P ∈U q q MMM q qq MM ψ qqqΦV q ΦU MMMM q & xqq ϕU,W OP y ya que el diagrama se factoriza a través de O(W ), se sigue que las imágenes de f y g en limP ∈U O(U ) son iguales, pues sus imágenes ya son las mismas en O(W ). Por lo tanto concluimos −→ que x = y, y esto nos dice que ψ es un isomorfismo. 3.2.– Ejemplos y Contraejemplos En esta sección utilizaremos la teorı́a desarrollada a lo largo de la Sección 3.1 para ofrecer diversos ejemplos que ilustran la naturaleza de la categorı́a de las variedades algebraicas, para lo cual utilizaremos fuertemente la Proposición 3.7. 3.6 Ejemplo: Si U = A1 − {a1 , . . . , an } es un conjunto abierto propio de A1 , entonces O(U ) consiste Q de las funciones racionales g(x) en la variable x tal que g no tenga polos en U , i.e., g(x) = p(x)/ ni=1 (x − ai )mi , donde p ∈ k[ x ] y mi ∈ N ∪ {0}, lo que queremos decir en realidad es que O(U ) = k[x, (x − a1 )−1 , . . . , (x − an )−1 ], y evidentemente k[ x ] no puede ser de ninguna manera isomorfo a un anillo de éste tipo. De esto se sigue que A1 no es isomorfo a ningún subconjunto abierto de él mismo. 3.7 Ejemplo: Aunque el mapeo subyacente de un morfismo de variedades sea un homeomorfismo, esto no implica que dicho morfismo sea un isomorfismo. Por ejemplo, sea ϕ : A1 −→ A2 el mapeo definido por t 7→ (t2 , t3 ). Entonces ϕ define un morfismo biyectivo y bicontinuo de A1 sobre la curva cuspidal C definida por Z(y 2 − x3 ), ya que ϕ−1 : C −→ A1 viene dada por (a, b) 7→ ab y (0, 0) 7→ 0. Intuitivamente, a cada punto (t2 , t3 ) ∈ C le asignamos la “pendiente” t3 /t2 de la única recta L(t) que parte del origen y pasa por dicho punto (ver Figura 3.1). De esta discusión se ve que ϕ es 58 3.2. Ejemplos y Contraejemplos 3. Morfismos A1 A2 (t 2 ,t ) 3 L(t) t A1 Figura 3.1: La curva afı́n Z(y 2 − x3 ). biyectiva. Sabemos que la topologı́a de Zariski de la lı́nea afı́n es la topologı́a cofinita (Ejemplo 1.1), pero ésta también es la topologı́a de Zariski inducida en C (de hecho, en cualquier curva algebraica irreducible), por lo que ϕ es bicontinua. Se sigue que ϕ es un homeomorfismo de espacios topológicos. Es evidente que es un morfismo, supongamos que define un isomorfismo, entonces define un mapeo en los anillos coordenados como sigue ψ : k[x, y]/ y 2 − x3 −→ k[ t ] x 7→ t2 y 7→ t3 , pero este mapeo no es suprayectivo (t ∈ k[ t ] no se encuentra en Im ψ). Por lo tanto las variedades no pueden ser isomorfas. Una forma alternativa deresolver este problema es la siguiente. Como C es afı́n, tenemos que O(C) = A(C) = k[x, y]/ y 2 − x3 , por lo tanto, dada f ∈ O(C), tenemos que f = P (x) + Q(y) + R(x, y), donde P (x) ∈ k[ x ], Q(y) ∈ k[y] y R(x, y) ∈ k[x, y] es tal que deg R ≥ 2. Además, como y 2 = x3 , dado n ≥ 2, si n es par, entonces y n = (x3 )n/2 , si n es impar, digamos n = 2m + 1, entonces y n = (x3 )m y, por lo tanto, podemos cambiar a Q(y) y a R(x, y) por polinomios Q0 (x)y y R0 (x)y. De esta manera, toda función regular en C f es de la forma P (x) + Q(x)y, donde P (x), Q(x) ∈ k[ x ]. Si deseamos hallar una función regular ϕ tal que ϕ ◦ ψ = idX , entonces llegamos a la siguiente ecuación P (t2 ) + Q(t2 )t3 = t, la cual claramente es imposible de resolver. Otro ejemplo se da al considerar un campo base k con char k = p > 0, y definimos el mapeo ϕ : A1 −→ A1 dado por t 7→ tp (conocido como el mapeo de Frobenius, el cual es muy importante en Teorı́a Algebraica de los Números). Esto tiene sentido pues, como sabemos, en caracterı́stica p, se tiene la agradable propiedad de que ∀ x, y ∈ k : (x + y)p = xp + y p . Por esta propiedad, se tiene que ϕ es inyectiva. Para ver que ϕ es suprayectiva basta notar que como k es algebraicamente cerrado, (∀ t ∈ k) (∃ s ∈ k) : sp = t. Nuevamente, ϕ es bicontinua, para ver esto, basta considerar la imagen inversa ϕ−1 ({a}), donde a ∈ A1 . Se tiene que ϕ−1 ({a}) = {t ∈ A1 | tp = a} = Z(xp − a), la cual es un conjunto cerrado. Si ϕ fuese un isomorfismo de variedades, tendrı́amos que el mapeo inducido en los anillos coordenados ϕ∗ : k[ x ] −→ k[ x ] dado por x 7→ xp serı́a un isomorfismo de k-álgebras, pero vemos que x∈ / ϕ∗ (k[ x ]), por lo que dicho mapeo no puede ser suprayectivo. 59 3.2. Ejemplos y Contraejemplos 3. Morfismos 3.8 Ejemplo: Si una variedad afı́n es isomorfa a una variedad proyectiva, entonces ésta consiste de un solo punto. ∼ Tomemos X una variedad proyectiva y Y una variedad afı́n, con ψ : X −→ Y un isomorfismo. En particular, ψ es biyectivo como mapeo de conjuntos, luego ψ(X) = Y . Por (3.8), se tiene que ∀ i ∈ {1, . . . n} : xi ◦ ψ ∈ O(X), donde xi son las funciones coordenadas en An . Sabemos que O(X) = k, luego, ∀ i : xi ◦ ψ = ai ∈ k. Tenemos que idAn = (x1 , . . . , xn ) y (idAn ◦ ψ)(X) = (a1 , . . . , an ). Luego, idAn (ψ(X)) = idAn (Y ) = Y = (a1 , . . . , an ). 3.9 Ejemplo: De los Ejemplos 1.9 y 1.19, tenemos que las variedades afines A1 , Z(y 2 − x) ⊂ A2 y Z(x2 − y, x3 − z) ⊆ A3 , son isomorfas, pues su anillo coordenado es un anillo de polinomios en una variable sobre k (Ver Figura 3.2). De hecho, sea nuevamente Z la curva plana definida por xy − 1 y z A2 A1 A3 y y x (a) x (b) (c) Figura 3.2: (a) La lı́nea afı́n, (b) la parábola Z(y 2 − x) y (c) la cúbica torcida Z(x2 − y, x3 − z) son isomorfas. sea Y la lı́nea afı́n “perforada” A1 − {0}. Por abuso de lenguaje, decimos que una variedad es “afı́n” si es isomorfa a una variedad afı́n. Sea π : Z −→ Y la proyección natural π(x, y) = x, la cual define un isomorfismo de variedades (siendo el morfismo inverso π −1 : Y −→ Z dado por (x) 7→ (x, x−1 )). Por lo tanto Z ∼ = Y y ası́ decimos que Y es una variedad afı́n. Por el Ejemplo 1.10, concluimos que toda cónica en A2 es isomorfa a A1 ó a A1 − {0}, las cuales no pueden ser isomorfas, como ya hemos mostrado. 3.10 Ejemplo: Existen variedades cuasi-afines que no son variedades afines. A continuación mostraremos que X = A2 − {(0, 0)} no es una variedad afı́n. Primero, observemos que O(X) ⊇ k[x, y], mostraremos que éstos son iguales. Consideremos f ∈ O(X) y una cubierta abierta {Uα } de X. Entonces f |Uα es una función racional en A2 y, como tal, ∃ gα , hα ∈ k[x, y] tales que f |Uα = gα /hα , con gcd (gα , hα ) = 1. Tenemos que ∀ α, β, Uα ∩ Uβ 6= ∅ es un conjunto abierto denso, con gα /hα = gβ /hβ en Uα ∩ Uβ , por lo tanto gα /hβ = gβ /hα en Uα ∩ Uβ , por lo tanto tenemos la misma igualdad en todo A2 . Ası́ gα |gβ y gβ |gα , luego gα = gβ y por lo tanto también hα = hβ , i.r., f = gα /hα en todo X. Pero Z(hα ) es un subconjunto algebraico de A2 de dimensión 1, y f no puede estar definida en todo X, a menos que hα ∈ k. En este caso, f ∈ k[x, y]. 60 3.2. Ejemplos y Contraejemplos 3. Morfismos Supongamos a continuación que X es una variedad afı́n, ya que O(X) = k[x, y] = O(A2 ), tomemos id : O(X) −→ O(A), de acuerdo a la prueba de (3.7), tenemos que este mapeo induce el mapeo id : A2 −→ A2 , el cual, por la misma demostración, envı́a A2 en X. Pero esto es una contradicción. Por lo tanto concluimos que X no es afı́n. 3.11 Ejemplo (Automorfismos de An ): Sea ϕ ∈ Hom (An , An ) que esté dado por n polinomios f1 , . . . , fn ∈ k[x1 , . . . , xn ], y sea Jϕ = det (∂fi /∂xj )1 el polinomio Jacobiano de ϕ. Si ϕ es un isomorfismo (en cuyo caso llamamos a ϕ un automorfismo de An ) mostrar que la asignación ϕ 7→ Jϕ define un homomorfismo de grupos entre Hom (An , An ) y k ∗ . Si ϕ : An −→ An es un isomorfismo, entonces ϕ induce el siguiente automorfismo de k[x1 , . . . , xn ]: ϕ∗ : k[x1 , . . . , xn ] −→ k[x1 , . . . , xn ] h(x1 , . . . , xn ) 7→ h(f1 , . . . , fn ) Mostraremos primero que n ∂h(f1 , . . . , fn ) X ∂h(f1 , . . . , fn ) ∂fj = , ∀ i ∈ {1, . . . , n}. ∂xi ∂xj ∂xi (*) j=1 P Como h(x1 , . . . , xn ) = ai1 ...in xi11 · · · xinn y las derivadas parciales son operadores lineales, basta Q probar esto para el caso en que h(x1 , . . . , xn ) = nk=1 xikk , en este caso se tiene que n X ∂h(x1 , . . . , xn ) ∂xj j=1 por lo que ∂xj n X i −1 · · · xinn , i −1 · · · fn ij xi11 · · · xjj j=1 n X ∂h(f1 , . . . , fn ) ∂fj j=1 = ∂xi = n X ij f1i1 · · · fj j j=1 ∂fj . ∂xi (**) Por otro lado i2 in ∂h(f1 , . . . , fn ) i1 −1 i2 i1 ∂(f2 · · · fn ) in ∂f1 = i1 f1 f2 · · · fn + f1 ∂xi ∂xi ∂xi ∂f1 ∂f2 ∂(f3i3 · · · fnin ) = i1 f1i1 −1 f2i2 · · · fnin + i2 f1i1 fxi2 −1 f3i3 · · · fnin + f1i1 f2i2 ∂xi ∂xi ∂xi .. . = i1 f1i1 −1 f2i2 · · · fnin ∂fn−1 ∂f in ∂f1 in−1 −1 + · · · + in−1 f1i1 · · · fn−1 fn + f1 · · · fn−1 n . ∂xi ∂xi ∂xi Por lo tanto la relación ( * ) es verdadera. A continuación, como ϕ∗ es suprayectivo, entonces ∀ i ∈ {1, . . . , n} ∃ hi ∈ k[x1 , . . . , xn ] : xi = hi (f1 , . . . , fn ). Por lo anterior, como ∀ i, j ∈ {1, . . . , n} : ∂xi /∂xj = δij , entonces δij = n X ∂hi (f1 , . . . , fn ) ∂fk k=1 ∂xk ∂xj , 1 La noción de derivada parcial de un polinomio con respecto a una des sus variables tiene sentido sobre cualquier campo. Lo único que tenemos que hacer es aplicar las ya conocidas reglas de diferenciación. De esta manera no necesitamos ningún proceso de lı́mite para definirlas. 61 3.3. Morfismos entre Espacios Proyectivos 3. Morfismos y esto equivale al siguiente producto matricial: ∂h1 (f1 ,...,fn ) 1 ,...,fn ) · · · ∂h1 (f∂x ∂x1 n 1 0 ··· 0 0 1 ··· 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂hi (f1 ,...,fn ) 1 ,...,fn ) I= . . . · · · ∂hi (f∂x .. = ∂x1 n . . . . . . . ..................... 0 0 ··· 1 ∂hn (f1 ,...,fn ) n) · · · ∂hn (f∂x1 ,...,f ∂x1 n ∂f ∂f1 ∂f1 1 · · · · · · ∂x ∂xj ∂xn 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂fn ∂fn ∂fn · · · ∂x ∂x1 · · · ∂xj n Llamamos A a la matriz (∂hi /∂xj ), al sacar el determinante se sigue que 1 = (det A)(det (∂fi /∂xj )), por lo que Jϕ = det (∂fi /∂xj ) ∈ k[x1 , . . . , xn ]∗ , por lo tanto Jϕ ∈ k ∗ . También hemos visto que si ϕ = (f1 , . . . , fn ), ψ = (g1 , . . . , gn ) ∈ Aut (An ), entonces Jϕ◦ψ = Jϕ · Jψ ∈ k ∗ , de donde se sigue el resultado. 3.3.– Morfismos entre Espacios Proyectivos Existe también una descripción local de los morfismos entre variedades. Consideremos dos variedades X y Y , junto con un mapeo de conjuntos f : X −→ Y . Sea {Yα } una cubierta abierta de Y . Si x ∈ X y f (x) ∈ Yα , suponga que existe un conjunto abierto Ux,α con x ∈ Ux,α tal que f (Ux,α ) ⊆ Yα , entonces se tiene el siguiente resultado. Teorema 3.11 (Naturaleza local de un morfismo). Un mapeo de conjuntos entre dos variedades f : X −→ Y es un morfismo si, y solo si, todos los mapeos f : Ux,α −→ Yα son morfismos. Demostración. Supongamos que f es un morfismo y consideremos f : Ux,α −→ Yα y sea U ⊆ Yα cualquier conjunto abierto, entonces tenemos que U es abierto en Y (pues es la intersección de dos conjuntos abiertos en Y ), y de esta manera, f −1 (U ) ⊆ X es abierto, lo cual implica que f −1 (U )∩Ux,α es abierto en Ux,α , pero observemos que f −1 (U ) ∩ Ux,α es f −1 (U ) al restringir f a Ux,α , por lo que f es continua. A continuación sea V un conjunto abierto en Yα , lo cual implica que V es abierto en Y . Tomemos g ∈ O(V ), entonces g ◦ f : f −1 (V ) ∩ Ux,α −→ k es regular, pero ya que f −1 (V ) ∩ Ux,α ⊆ f −1 (V ), se tiene que O(f −1 (V ) ∩ Ux,α ) ⊇ O(f −1 (V )). Por lo tanto concluimos que g ◦ f : f −1 (V ) ∩ Ux,α −→ k es regular, y de esta manera f : Ux,α −→ Yα es un morfismo. Supongamos ahora que ∀ α : f : Ux,α −→ Yα son morfismos. Sea V ⊆ Y abierto, entonces V = ∪α (V ∩ Yα ), por lo que f −1 (V ) = f −1 (∪α (V ∩ Yα )) = ∪α f −1 (V ∩ Yα ), donde todos los conjuntos f −1 (V ∩ Yα ) ⊆ Ux,α son abiertos, ası́ ∀ α : f −1 (V ∩ Yα ) es abierto en X, de donde se sigue que f −1 (V ) es abierto y de esta forma f es una función continua. Sea V ⊆ Y un conjunto abierto con g ∈ O(V ), y ya que f −1 (V ) = ∪α f −1 (V ∩ Yα ), entonces (∀ x ∈ f −1 (V )) (∃ β) : x ∈ f −1 (V ∩ Yβ ). Como V ⊃ V ∩ Yβ , tenemos que O(V ) ⊆ O(V ∩ Yβ ), ası́, g ◦ f : f −1 (V ∩ Yβ ) −→ k es una función regular, por lo que hallamos una vecindad Ωx de x en Ux,β , la cual a su vez es una vecindad de x en X tal que g ◦ f = γ/δ, donde γ, δ ∈ A y ∀ y ∈ Ωx : δ(y) 6= 0 (ó γ, δ ∈ S polinomios homogéneos del mismo grado, según X sea cuasi-afı́n o cuasi-proyectiva), y de esta manera, g ◦ f : f −1 (V ) −→ k es una función regular, lo cual culmina la prueba. ∗ Utilizaremos este criterio local para dar una descripción agradable de los morfismos de Pn a Pm . Ası́, supongamos que ψ : Pn −→ Pm es un mapeo de conjuntos continuo y consideremos la cubierta canónica {U0 , . . . , Um } de Pm . Definimos ∀ i : Vi = ψ −1 (Ui ), entonces tenemos las restricciones ψi : Vi −→ Ui de ψ a los conjuntos V1 , . . . , Vm que cubren a Pn . Por la naturaleza local para un morfismo (Teorema 3.11), ψ es un morfismo si, y solo si, todos los ψi son morfismos. 62 3.3. Morfismos entre Espacios Proyectivos 3. Morfismos Ya que ∀ i : Ui ∼ = Am , podemos utilizar el Teorema 3.7 para ver que ψi es un morfismo si, y solo si ∃ ψi1 , . . . , ψim ∈ O(Vi ) : ψi = (ψi1 , . . . , ψim ). Pero, ya que las funciones ψij , i, j = 1, . . . , m son funciones regulares en los conjuntos abiertos Vi ⊂ Pn , se sigue que son funciones racionales en Pn . Afortunadamente conocemos bien las funciones racionales en Pn , las cuales son localmente cocientes de polinomios homogéneos del mismo grado. De hecho, ya que S es un DFU, sabemos que en Pn toda función racional tiene un representante cuyo dominio de definición es el dominio de definición de la función racional. Dicho representante es el cociente de dos polinomios del mismo grado que no tienen factores en común, y es el único represente de la función racional que se puede escribir de esta manera. El dominio de definición de la función racional es el conjunto de elementos distintos de cero del denominador de dicha representación. Por lo tanto, si elegimos una representación para ψij que cumpla con lo que hemos mencionado, i1 im se tiene que el denominador no se puede anular en todo Vi , i.e., podemos escribir ψi = fgi1 , · · · , fgim , donde los fij , gij tienen el mismo grado dij , gcd (fij , gij ) = 1, y ninguno de los gij se anula en Vi . Si elegimos un denominador común gi , tenemos que podemos escribir ψi como ψi = hgi1i , · · · , hgim , i donde gi no se anula en Vi y ∀ j ∈ {1, . . . , m} : deg gi = deg hij . (En este caso hemos perdido la condición de que el numerador y el denominador de cada función coordenada no tuvieran ningún factor en común.) A continuación supondremos por simplicidad que Ui = U0 , en cuyo caso podemos describir ψ0 por ψ0 = [g0 : h01 : · · · : h0m ], donde ∀ x ∈ V0 , ψ(x) = [g0 (x) : h01 (x) : · · · : h0m (x)]. Hacemos lo mismo en el conjunto abierto Ui , colocando en la i-ésima entrada el denominador de la correspondiente ψi . Por lo tanto, vemos que ψ : Pn −→ Pm da origen a una familia de m + 1 conjuntos de m + 1 polinomios homogéneos (donde los polinomios en cada conjunto tienen el mismo grado). Sin embargo, tenemos que estos conjuntos de polinomios no son independientes entre si. Para ver esto, sea (α0 , α1 , · · · : αm ) uno de tales conjuntos, donde los αi ∈ S son polinomios homogéneos del mismo grado (digamos d − 1), y supongamos que este (m + 1)-tuple describe a la función ψ en el conjunto abierto V1 . Supongamos también que (β0 , β1 , · · · , βm ) describe a ψ en el conjunto abierto V2 . Ahora, como V1 ∩ V2 6= ∅, se tiene que las dos representaciones de ψ deben coincidir en dicho conjunto, i.e., ∀ x ∈ V1 ∩ V2 : (α0 (x) : · · · : αm (x)) = (β0 (x) : · · · : βm (x)), o lo que es lo mismo, todos los menores de dimensión 2 × 2 de la siguiente matriz se anulan: α0 α1 · · · αm . β0 β1 · · · βm Definimos a continuación el conjunto F := {(f0 , . . . , fm ) ⊂ S m+1 | ∃ n ≥ 0 tal que fi ∈ Sn ∀ i = 0, . . . , m} y establecemos una relación de equivalencia en F, estableciendo que g0 · · · [g0 , . . . , gm ] ∼ [h0 , . . . , hm ] ⇔ el rango de h0 · · · gm gm es 1. Por lo tanto, todo morfismo ψ : Pn −→ Pm es una clase de equivalencia G ∈ F/ ∼ con la propiedad adicional de que ∀ x ∈ Pn ∃ (g0 , . . . , gm ) ∈ G tal que no todos los gi se anulan en x. 63 3.3. Morfismos entre Espacios Proyectivos 3. Morfismos Ahora tomemos dos representantes (α0 , . . . , αm ) y (β0 , . . . , βm ) para el morfismo ψ. Entonces, es fácil ver que ∀ i, j ∈ {0, . . . , m} : αi βj = βi αj . Sea α = gcd (α0 , . . . , αm ) y β = gcd (β0 , . . . , βm ), y notemos que (α0 /α, . . . , αm /α) = (f0 , . . . , fm ) y (β0 /β, . . . , βm /β) = (g0 , . . . , gm ) sigue siendo una pareja de polinomios equivalentes, pero con la ventaja de que gcd (f0 , . . . , fm ) = 1 = gcd (g0 , . . . , gm ). Afirmamos que ∀ P ∈ Pn : [f0 (P ) : · · · : fm (P )] = [g0 (P ) : · · · : gm (P )]. Para ver esto, sea h cualquier factor irreducible de f0 , y sea s la máxima potencia a la cual h divide a f0 . A continuación sea j ∈ {1, . . . , m} tal que h - fj , y como f0 gj = g0 fj , concluimos que hs | g0 , por lo que f0 | g0 . De manera similar obtenemos que g0 | f0 . Por lo tanto, ∃c0 ∈ k ∗ : g0 = c0 f0 . Repitiendo el mismo argumento, vemos que ∀ i ∈ {0, . . . , m} ∃ ci ∈ k ∗ : gi = ci fi . Pero como ∀ i, j ∈ {0, . . . , m} : fi gj = gi fj , podemos suponer c0 = c1 = · · · = cm = c, de donde se desprende que [f0 (P ) : · · · : fm (P )] = [g0 (P ) : · · · : gm (P )] para todo P ∈ Pn , que es lo que querı́amos probar. Todo este trabajo ha sido para establecer el siguiente teorema. Teorema 3.12. Todo morfismo ψ : Pn −→ Pm es de la forma (ψ0 , . . . , ψm ), donde los ψi son polinomios homogéneos del mismo grado tales que ∀ P ∈ Pn ∃ i ∈ {0, . . . , m} : ψi (P ) 6= 0. ∗ Demostración. Inmediata. Utilizando esta caracterización de los morfismos entre espacios proyectivos, podemos describir fácilmente otro mapeo muy interesante. 3.12 Ejemplo (Proyección desde un punto): Sea Pn un hiperplano de Pn+1 y sea P ∈ (Pn+1 − Pn ). Si S = k[x0 , . . . , xn+1 ] es el anillo coordenado homogéneo de Pn+1 entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que Pn es el hiperplano definido por xn+1 = 0 y que P = [0 : 0 : · · · : 0 : 1]. A continuación, consideremos el mapeo ψ : (Pn+1 − P ) −→ Pn dado por [a0 : · · · : an+1 ] 7→ [a0 : · · · : an ] (Ver la Figura 3.3). Veamos a continuación que si Q ∈ (Pn+1 − P ), entonces ψ(Q) es P n+1 Y n Figura 3.3: Proyección desde un punto. el único punto en el cual la lı́nea que une a P y Q interseca al hiperplano Pn = Z(xn+1 ). Para ver esto, consideremos el conjunto x0 · · · xn −1 ψ ([a0 : · · · : an ]) = [x0 : · · · : xn+1 ] | el rango de es 1 . a0 · · · an 64 3.3. Morfismos entre Espacios Proyectivos 3. Morfismos Ya que ψ no está definida en P , podemos suponer que ∃ i ∈ {0, . . . , n} : ai 6= 0, por lo que al dividir entre dicha cantidad la segunda fila, obtenemos la matriz equivalente x0 · · · xi · · · xn , a0 · · · 1 · · · aani ai y esta matriz tiene rango 1 si, y solo si, todos los menores de dimensión 2 × 2 que involucran a la i-ésima columna se anulan, i.e., hablamos de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales dado por xj − (aj /ai )xi = 0, j = 0, . . . , n, j 6= i. Es fácil ver que este es un sistema de n ecuaciones de rango n, por lo que define una lı́nea en Pn+1 que contiene a P y a [a0 : · · · : an+1 ], por lo que hemos terminado. Ahora consideremos ψ la inmersión 3-ésima de Veronese de P1 en P3 , cuya imagen Y es la curva cúbica torcida. Si t, u son las coordenadas homogéneas en P1 , decimos que Y es la curva dada paramétricamente por [x : y : z : w] = [t3 : t2 u : tu2 : u3 ]. Sea P = [0 : 0 : 1 : 0] y ϕ : (P3 − P ) −→ P2 la proyección sobre el hiperplano z = 0, definida por ϕ([a0 : a1 : a2 : a3 ]) = [a0 : a1 : a3 ] (notemos que P ∈ / Y ). ψ ϕ A continuación, consideremos los morfismos P1 −→ (P3 − P ) −→ P2 , esta composición es la proyección de la cúbica torcida desde un punto que no pertenece a ella, por lo que obtenemos una curva en P2 . De manera precı́sa, la composición ϕ ◦ ψ : P1 −→ P2 está dada por [t : u] 7→ [t3 : t2 u : u3 ]. Si utilizamos x, y y z como coordenadas homogéneas de P2 , nos resulta una curva cuya ecuación es y 3 − x2 z (Véase el Ejemplo 3.17). Proposición 3.13. Sea X ⊂ Pn una variedad cuasi-proyectiva y ψ : X −→ Pm un morfismo. Entonces ψ esta representado por una clase de equivalencia ψ = (f0 , . . . , fn ), donde (f0 , . . . , fn ) ∼ (g0 , . . . , gn ) si, y solo si, ∀ 0 ≤ i, j ≤ n : fi gj = fj gi en X, siendo los fi polinomios homogéneos del mismo grado, tales que para todo x ∈ X exista un representante (f1 , . . . , fn ) de ψ tal que fi (x) 6= 0 para al menos un i ∈ {0, . . . n}. Demostración. Sea ψ : X −→ Pm como en el enunciado de la proposición, y consideremos m −1 {Ui }m i=0 la cubierta abierta canónica de P . Definimos Vi := ψ (Ui ), tenemos que ∪i Vi = X y ψ(Vi ) ⊆ Ui , ası́, por (3.11), tenemos que la familia de funciones ψi : Vi −→ Ui ∼ = Am son de hecho morfismos. Tomemos x ∈ X de manera que ψ(x) ∈ Ui , entonces x ∈ Vi y como ψi es regular en Vi , entonces es regular en x, por lo que existe una vecindad W de x tal que ψi = (fi0 /gi0 , . . . , f(i−1)0 /g(i−1)0 , f(i+1)0 /g(i+1)0 , . . . , fim /gim ) en W , donde los polinomios fij , gij son homogéneos del mismo grado y gij (x) 6= 0. Eligiendo un denominador común gi , tenemos que ψi = (fi0 /gi , . . . , f(i−1)0 /gi , f(i+1)0 /gi , . . . , fim /gi ), donde gi , f1 , . . . , fm son polinomios homogéneos del mismo grado con gi (x) 6= 0. En otras palabras, ψ(x) = [f0 (x) : · · · : fi−1 (x) : gi (x) : fi+1 (x) : · · · : fn (x)] ∈ Pm . Nuevamente tenemos que dos representaciones f (x) = (f0 , . . . , fm ) y g(x) = (g0 , . . . , gm ) definen el mismo mapeo si, y solo si ∀ 0 ≤ i, j ≤ n : fi gj = fj gi en X. ∗ Utilizando esta caracterización de los morfismos, podemos dar más ejemplos interesantes. 3.13 Ejemplo (La inmersión d-ésima de Veronese): Con este resultado podemos probar que la inmersión d-ésima de Veronese es un isomorfismo de Pn sobre su imagen ρd (Pn ) ⊆ PN . Para ello n n describiremos de manera local el morfismo inverso ρ−1 d : ρd (P ) −→ P . Utilizando la notación que desarrollamos en la Sección 2.4, ası́, sea {Wi }ni=0 la cubierta abierta de Im ρd (Pn ), y sea {Ui } la cubierta abierta canónica de Pn . Entonces tenemos que ρd (Ui ) ⊂ Vi y ρ−1 d (Vi ) = Ui . 65 3.3. Morfismos entre Espacios Proyectivos 3. Morfismos A continuación definimos el mapeo ψi : Wi −→ Pn dado por c = [: · · · : ci0 ···:in : · · · ] 7→ [c1,0,...,d−1,0 : c0,1,0,...,d−1,...,0 : · · · : c0,...,d−1,...,1,0 : c0,...,d−1,...,0,1 ]. Esto es, enviamos a c ∈ Wi al n + 1-tuple de sus coordenadas que está indexado por los monomios x0 xd−1 , . . . , xn xd−1 . Esta familia de mapeos coincide en las intersecciones Wi ∩ Wj , ası́ que podemos i i pegarlos para formar un morfismo ψ : Im ρd (Pn ) −→ Pn . Es fácil ver que las correspondientes composiciones originan los morfismos identidad. 3.14 Ejemplo: El anillo coordenado homogéneo de una variedad proyectiva no es invariante bajo isomorfismo. Por ejemplo, sea X = P1 , y sea Y la 2-ésima inmersión de Veronese de P1 en P2 . Entonces X ∼ = Y , pero S(X) no es isomorfo a S(Y ). Para ver esto, tenemos que S(X) = S(P1 ) = k[x0 , x1 ]. La 2-ésima inmersión de Veronese envı́a el 2 2 2 2 2 2 punto [a : b] al punto 2 [a :ab : b ]. Ası́, Y = {[1, t, t ] |2t ∈ k} ∪ {[0 : 0 : 1]}. Como (ab) = a b , se tiene que I(Y ) = y − xz , y S(Y ) = k[x0 , x1 , x2 ]/ y − xz . A continuación, veremos que S(X) no es isomorfo a S(Y ). Para esto, observamos que son necesarios por lo menos 3 elementos para generar a S(Y ) como k-álgebra. Cualquier homomorfismo f : S(X) −→ S(Y ) está definido por las imágenes de los generadores x0 , x1 de S(X) (como k-álgebra), sin embargo, como no tenemos el numero suficiente de variables, no existe un homomorfismo suprayectivo de S(X) en S(Y ) y, por lo tanto, dichos anillos no pueden ser isomorfos. 3.15 Ejemplo: Si H ⊆ Pn es cualquier hipersuperficie. Mostrar que Pn − H es una variedad afı́n (i.e., isomorfa a una variedad afı́n). Sea f ∈ k[x0 , . . . , xn ] un polinomio homogéneo irreducible de grado d > 0 (ver Ejemplo 2.6) tal que P H = Z(f ). Sabemos que los monomios M0 , . . . , MN de la forma xi00 · · · xinn , con nk=0 ik = d donde − 1, forman una base del k-espacio vectorial de los polinomios de grado d en las n + 1 N = n+d n P −1 c ∈ k. A continuación, variables x0 , . . . , xn Sd , ya que f ∈ Sd , se tiene que f = N i=0 ci Mi , con Pi consideraremos la d-ésima inmersión de Veronese de Pn en PN ρd . Sea g = N i=0 ci xi ∈ k[x0 , . . . , xN ] 0 n y sea H = Z(g), entonces, vemos que dado P ∈ P , P ∈ H = Z(f ) si, y solo si, ρd (P ) ∈ H 0 = Z(g), de esta observación se sigue que ρd (H) = ρd (Pn ) ∩ H 0 . Ası́, vemos que ρd envı́a H en H 0 de manera biyectiva. Por lo tanto, se tiene que ρd (Pn − H) = ρd (Pn ) ∩ (PN − H 0 ). Por el Ejemplo 3.13 , ρd es un isomorfismo de Pn sobre su imagen y, por lo tanto, ρd es un isomorfismo de Pn − H sobre ρd (Pn ) ∩ (PN − H 0 ). Por la Sección 2.4, ρd (Pn ) = Z(a) es una variedad proyectiva en PN y por lo tanto es un subconjunto algebraico cerrado en PN . Ası́, ρd (Pn ) ∩ (PN − H 0 ) es un subconjunto cerrado en PN − H 0 . Pero PN − H 0 ∼ = AN , por lo que ρd (Pn ) ∩ (PN − H 0 ) es isomorfo a su imagen en AN , la cual es un subconjunto cerrado. Por lo tanto, Pn − H es isomorfo a una variedad afı́n, y por lo tanto es afı́n. 3.16 Ejemplo: Si Y ⊆ Pn es una variedad proyectiva con dim Y ≥ 1 y H es una hipersuperficie, entonces Y ∩ H 6= ∅. Tomemos Y ⊆ Pn una variedad de dimensión positiva, y supongamos que existe una hipersuperficie H tal que Y ∩ H = ∅, entonces Y ⊆ (Pn − H), pero Pn − H es afı́n por el Ejemplo 3.15. Por lo tanto, Y ∼ = X = (Y ∩ (Pn − H)), donde X es una variedad afı́n, ası́ que consta de un solo punto, luego dim Y = 0, lo cual es una contradicción. Por lo tanto concluimos que para toda hipersuperficie H se tiene que Y ∩ H 6= ∅. 3.17 Ejemplo (Equivalencia Proyectiva de variedades): Antes del siguiente ejemplo necesitamos introducir la noción de equivalencia proyectiva. Sea A ∈ GLn+1 (k), sabemos que induce un 66 3.4. Productos de Variedades 3. Morfismos homomorfismo lineal A : k n+1 −→ k n+1 que envı́a subespacios de k n+1 en subespacios de la misma dimensión y, al restringirnos a los subespacios de dimensión 1, vemos que A induce un mapeo A : Pn −→ Pn (de hecho, A ∈ Aut Pn ). Llamamos a este mapeo una colineación. Es fácil ver que si V = Z(f1 , . . . , fm ) ⊆ Pn es una variedad proyectiva y Γ ∈ GLn+1 (k), entonces al definir gi = fi ◦Γ−1 se tiene que Γ(V ) = Z(g1 , . . . , gm ), por lo que Γ(V ) es una variedad proyectiva. Decimos que V y Γ(V ) son proyectivamente equivalentes. Supongamos que char k 6= 2, sea f (x0 , x1 , x2 ) = ax20 + bx21 + cx22 + dx0 x1 + ex0 x2 + f x1 x2 cualquier polinomio de grado 2, entonces podemos ver a f como la forma cuadrática inducida por una forma bilineal simétrica A, a saber: a d2 2e x f (x0 , x1 , x2 ) = (x0 , x1 , x2 ) d2 b f2 y , f e z c 2 2 y como sabemos del Álgebra Lineal básica, cualquier matriz simétrica es diagonalizable, por lo que existe una matriz inversible P tal que D = P t AP , donde D = diag {c0 , c1 , c2 }. Ası́ Z(f ) es proyectivamente equivalente a la cúadrica definida por una ecuación de la forma c0 x20 + c1 x21 + c2 x22 = 0, donde los c0 , c1 , c2 ∈ k no son todos cero. Por último, como k es algebraicamente cerrado, entonces ∀ i ∈ {0, . . . , 2} ∃ bi ∈ k : b2i = ci , entonces después de aplicar una nueva colineación tal que ci xi 7→ bi xi , se sigue que, después de una colineación adecuada, toda cónica en P2 es equivalente a una de las siguientes: x20 , x20 + x21 , x20 + x21 + x22 . De lo anterior podemos demostrar ahora que cualquier cónica en P2 es isomorfa a P1 . a) Caso x20 = 0. Como k es un campo, tenemos que x2 = 0 ⇔ x = 0, ası́, aquı́ la cuádrica está dada por el hiperplano al infinito del plano afı́n x0 = 1, el cual, como sabemos, es isomorfo a P1 (Sección 2.3). b) Caso x20 +x21 = 0. Este polinomio no es irreducible, pues tenemos que x20 +x21 = (x0 +ix1 )(x0 −ix1 ), donde i es una raı́z cuadrada de 1. Representa la unión de dos lı́neas rectas. c) Caso x20 + x21 + x22 = 0. Tenemos que está última ecuación es proyectivamente equivalente a la cuádrica definida por la ecuación xy − z 2 , y del Ejemplo 2.7 y del Ejemplo 3.13, se sigue que P1 es isomorfo a Z(xy − z 2 ), que es la 2-ésima inmersión de Veronese de P1 . 3.4.– Productos de Variedades A continuación estudiaremos los productos en la categorı́a de las variedades algebraicas. Vistas como conjuntos de puntos, la forma más natural de definir esto es vı́a el producto cartesiano, y veremos que en realidad éste es el enfoque correcto; lo que es difı́cil de justificar es el por que seguimos conservando una estructura de variedad en el producto cartesiano de variedades. Sean V ⊆ An y W ⊆ Am variedades afines con p = I(V ) y q = I(W ), para abreviar notación, tomaremos X = {x1 , . . . , xn } y Y = {y1 , . . . , ym }, entonces k[X, Y ] = k[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ], e identificaremos los puntos de An+m como parejas ordenadas de puntos (x, y), con x ∈ An y y ∈ Am . A continuación, sea P ⊆ k[X, Y ] el ideal asociado a V × W ⊆ An+m . Entonces P es un ideal primo y V × W es una variedad afı́n. 67 3.4. Productos de Variedades 3. Morfismos Para ver esto, sean f (X, Y ), g(X, Y ) tales que f (X, Y )g(X, Y ) ∈ P, i.e., ∀ (a, b) ∈ V × W : f (a, b)g(a, b) = 0. Debemos mostrar que f ∈ P o g ∈ P. Consideremos los ideales a = h{f (X, y) | y ∈ W }i y b = h{g(X, y) | y ∈ W }i, tenemos que a, b ⊆ k[ x ]. Afirmamos que ab ⊆ p. Si esto no ocurre, entonces existen (a1 , . . . , an ) = a ∈ V , (b1 , . . . , bm ) = b, (b01 , . . . , b0m ) = b0 ∈ W tales que f (a, b)g(a, b0 ) 6= 0. Entonces, necesariamente f (a, b) 6= 0, y por lo tanto f (a, Y ) ∈ / q. Pero, por hipótesis, f (a, Y )g(a, Y ) se anula en W , por lo tanto g(a, Y ) ∈ q, pero esto implica que g(a, b0 ) = 0, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, hemos probado ab ⊆ p, y como p es primo, se tiene a ⊆ p o b ⊂ p. Supongamos que a ⊆ p entonces ∀ (a1 , . . . , an ) = a ∈ V , ∀ (b1 , . . . , bm ) = b ∈ W , tenemos que f (a, b) = 0, por lo que f se anula en V × W y por lo tanto f ∈ P. En caso de que b ⊆ p, se concluye que g ∈ P. Por lo tanto P es primo y V × W es una variedad afı́n. La variedad afı́n V × W se conoce como el producto de V y W . Notemos que su topologı́a no es en general la topologı́a producto (Ver Ejemplo 1.2). Probemos a continuación que I(V × W ) = hI(V ), I(W )i = Ω. Tomemos (x, y) ∈ V × W y sea f ∈ Ω, ası́ f (x, y) = 0 y V × W ⊆ Z(Ω). Recı́procamente sea (x, y) ∈ Z(Ω), entonces, si vemos a I(V ) como un ideal en k[X, Y ] y dado f ∈ I(V ) definimos f (x, y) := f (x), de esta manera vemos que (x, y) ∈ Z(I(V )), pero como I(V ) no depende del conjunto de variables Y , entonces x ∈ Z(I(V )) = V . Análogamente se demuestra que y ∈ Z(I(W )), por lo tanto, tenemos que (x, y) ∈ V × W , luego V × W ⊇ Z(Ω), y al juntar ambas inclusiones tenemos que V × W = Z(Ω). Ya vimos que V × W es una variedad algebraica, por lo que Ω debe ser un ideal primo. Concluimos que I(V × W ) = I(Z(Ω)) = Ω, como se querı́a demostrar. Para la siguiente discusión será necesario conocer algunos hechos básicos sobre productos tensoriales (ver el Apéndice A). Proposición 3.14. Sea I un ideal de k[X] y J un ideal de k[Y ]. Entonces k[X, Y ]/ hI, Ji ∼ = k[X]/I ⊗k k[Y ]/J. Demostración. Denotamos por I e la extensión del ideal I en k[X, Y ] (ver [AM69], página 9). Utilizando que k[X, Y ] es un k[X]-módulo, y que k[X, Y ]I = I e , tenemos que k[X, Y ]/I e ∼ = k[X]/I ⊗k[X] k[X, Y ] ∼ = k[X]/I ⊗k[X] (k[X] ⊗k k[Y ]) ∼ = ∼ = (k[X]/I ⊗k[X] k[X]) ⊗k k[Y ] ∼ = k[X]/I ⊗k k[Y ]. Tomando ahora como base el anillo k[Y ] y tensorizando con k[Y ]/J, del lado derecho tenemos que (k[X]/I ⊗k k[Y ]) ⊗k[Y ] k[Y ]/J ∼ = k[X]/I ⊗k (k[Y ] ⊗k[Y ] k[Y ]/J) ∼ = k[X]/I ⊗k k[Y ]/J. Y del lado izquierdo obtenemos (k[X, Y ]/I e ) ∼ k[X, Y ]/I e ⊗k[Y ] k[Y ]/J ∼ = k[X, Y ]/(I e + J e ). = Je Pero tenemos que (I e + J e ) = (I + J)e . ∗ α Teorema 3.15. Sea k un campo algebraicamente cerrado y sean A, B dominios enteros finitamente generados sobre k, entonces A ⊗k B es también un dominio entero. 68 3.4. Productos de Variedades 3. Morfismos ∗ Demostración. Ver [ZS58] Capı́tulo III, Sección 15, Volumen I. Proposición 3.16. Sean V ⊆ An , W ⊆ Am dos variedades afines. Entonces A(V × W ) ∼ = A(V ) ⊗k A(W ) Demostración. Ya vimos que I(V × W ) = hI(V ), I(W )i, ası́ por 3.14 A(V × W ) = k[X, Y ]/ hI(V ), I(W )i ∼ = k[X]/I(V ) ⊗k k[Y ]/I(W ) = A(V ) ⊗k A(W ). ∗ A continuación veremos que V × W es un producto en la categorı́a de las variedades algebraicas. Notemos primero que existen inmersiones canónicas de k-álgebras i1 : A(V ) ,→ A(V ) ⊗k A(W ) y i2 : A(W ) ,→ A(V ) ⊗k A(W ) dadas por i1 (X) := x ⊗ 1 y i2 (y) := 1 ⊗ y. Ya que tanto V , W y V × W son variedades afines, estas inmersiones inducen los morfismos de variedades π1 : V × W −→ V y π2 : V × W −→ W dados por π1 (x, y) = x · 1 y π2 (x, y) = 1 · x, y con esto demostramos que las proyecciones π1 y π2 son morfismos de variedades afines. Tomemos ahora sea Z una variedad y sean ϕ1 : Z −→ V , ϕ2 : Z −→ W morfismos de variedades, entonces por existen β1 : A(V ) −→ A(Z) y β2 : A(W ) −→ A(Z) morfismos de k-álgebras. Definimos ψ : A(V ) × A(W ) −→ A(Z) dado por ψ(f, g) := β1 (f )β2 (g), la cual es una función bilineal. Por la ∼ propiedad que define el producto tensorial, existe un único morfismo ψ : A(V ) ⊗k A(W ) −→ A(Z) tal que el siguiente diagrama conmuta: i1 ⊗i2 / A(V ) ⊗k A(W ) RRR RRR ∼ RRR ψ ψ RRRRR ( A(V ) × A(W ) A(Z) ∼ En particular, tenemos que ∀ x ∈ A(V ) : ψ(x ⊗ 1) = ψ(x, 1) = β1 (x)β2 (1) = β1 (x) y de manera ∼ ∼ ∼ similar, ∀ y ∈ A(W ) : ψ(1 ⊗ y) = β2 (y), esto es ψ ◦ i1 = β1 y ψ ◦ i2 = β2 . Esto da origen a un mapeo único (por la propiedad universal del producto tensorial) ξ : Z −→ X × Y y a dos diagramas conmutativos π1 π2 /V / V ×O W V ×O W ;w :W ξ Z ww ww w ww ψ1 ww ξ Z v vv vv v vv ψ2 vv Al juntarlos obtenemos la conclusión de que X × Y es un producto categórico. V ×O WH HH π w HH 2 ww w HH ξ w HH ww π1 w $ {w ϕ2 o /W V Z ϕ1 Proposición 3.17. Si X y Y son dos variedades afines, entonces dim X × Y = dim X + dim Y Demostración. Utilizando el hecho de que los productos tensoriales de dominios enteros finitamente generados sobre campos algebraicamente cerrados vuelven a ser dominios enteros, es fácil hallar una cadena de ideales primos que tenga longitud dim X + dim Y y que termine con el ideal 69 3.4. Productos de Variedades 3. Morfismos I(X) + I(Y ). Primero construimos una cadena de longitud dim X al considerar ideales primos en el anillo k[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ] de la forma p + I(Y ), donde p es un ideal primo en k[x1 , . . . , xn ] tal que I(X) ( p. Terminaremos esta cadena en un ideal primo de la forma mP + I(Y ), donde mP es maximal en k[x1 , . . . , xn ] y P ∈ X. Continuamos ahora este ideal primo con ideales primos de la forma mP + q, donde q es un ideal primo en k[y1 , . . . , ym ] y I(Y ) ( q. ∗ En este momento utilizaremos la inmersión de Segre ψ para dar una definición de productos de variedades proyectivas y cuasi-proyectivas. Identificamos al producto Pn × Pm con su imagen en PN via la inmersión de Segre para darle una estructura de variedad proyectiva. A continuación para cualesquiera dos variedades cuasi-proyectivas X ⊆ Pn y Y ⊆ Pm consideramos X × Y ⊆ Pn × Pm . Proposición 3.18. Sean S1 = k[x0 , . . . , xn ], S2 = k[y0 , . . . , yn ] y S3 = k[{zij | 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}] los anillos coordenados homogéneos de Pn , Pm y PN respectivamente, y sean An ∼ = Ui = m − Z(y ) y AN ∼ W = PN − Z(z ). Entonces Pn − Z(xi ), Am ∼ V = P = j = ij j ij \ ψ(Ui × Vj ) = Wij ψ(Pn × Pm ). Demostración. Sean α = [a0 : · · · : ai−1 : 1 : ai+1 · · · : an ], β = [b0 : · · · : bj−1 : 1 : bj+1 · · · : bn ]. Entonces tenemos que si ψ(α, β) = [· · · : c`k : · · · ], entonces cij = 1 y ψ(α, β) ∈ Wij , luego ψ(Ui × Vj ) ⊆ Wij ∩ ψ(Pn × Pm ). Recı́procamente, sea γ = [· · · : c`k : · · · ] ∈ Wij ∩ ψ(Pn × Pm ), entonces tenemos que ∃ α = [a0 : · · · : an ] ∈ Pn , β = [b0 : · · · : bm ] ∈ Pm : ψ(α, β) = γ. En particular se tiene que ai bj = cij 6= 0, por lo que ai 6= 0 y bj 6= 0, ası́ α ∈ Ui y V ∈ Vj , y tenemos que ψ(Ui × Vj ) ⊇ Wij ∩ ψ(Pn × Pm ), de donde se sigue la igualdad. ∗ Por el resultado anterior, ya que An+m ∼ = Ui × Vj , tenemos un isomorfismo ψ(An+m ) ∼ = Wij ∩ n m ψ(P × P ). Utilizaremos este isomorfismo junto con los resultados obtenidos previamente para productos de variedades afines para probar algunos hechos que tienen propiedades locales. Por ejemplo, podemos probar que si X es irreducible en Pn y Y es irreducible en Pm , entonces X × Y es irreducible. También podemos probar de esta manera que si X y Y son cerradas, entonces ψ(X × Y ) también es cerrada, para lo cual es suficiente probar que las componentes afines son cerradas, y esto se sigue de la discusión anterior para variedades afines. La parte más difı́cil es probar que todas estas imágenes son realmente productos categóricos. Para hacer esto de una manera económica, tenemos que por la Observación 3.2, toda variedad es cuasi-proyectiva. Ası́, para probar que X × Y es un producto en la categorı́a de las variedades, es suficiente con suponer que X ⊆ Pn y X ⊆ Pm son variedades cuasi-proyectivas, y dada Z ⊆ Pr cualquier variedad cuasi-proyectiva, tal que se tenga: y X × YG Z@ X ~~ ~~ ~ ~~~ f @@ g @@ @@ Y X w ww wwπ w w 1 w{ w GG π GG 2 GG GG # Y y queremos construir un morfismo f × g : Z −→ X × Y tal que ∀ z ∈ Z : π1 (f × g)(z) = f (z), π2 (f × g)(z) = g(z). Es suficiente hacerlo localmente, i.e., en cada pieza abierta de Z y X × Y que estén contenidas en la cubierta abierta mencionada arriba. Esto es un trabajo tedioso, más no difı́cil. 3.18 Ejemplo (Grupos Algebraicos): Un grupo algebraico (también conocidos como variedades grupo) consiste de una variedad Y junto con un morfismo µ : Y × Y −→ Y tal que el conjunto de puntos de Y junto con la operación dada por µ es un grupo, y tal que el mapeo inverso y 7→ y −1 es también un morfismo de Y a Y . 70 3.4. Productos de Variedades 3. Morfismos a) El grupo aditivo Ga está dado por la variedad A1 y el morfismo µ : A2 −→ A1 definido por µ(a, b) = a + b. Mostrar que es un grupo algebraico. Para ver que (A1 , µ) es un grupo, no es necesario considerarlo como espacio topológico, en cuyo caso, tomamos el conjunto subyacente k y vemos que µ define la misma operación que la operación adición en k, por lo que (A1 , µ) es un grupo aditivo (y abeliano). A continuación veamos la continuidad de µ, para lo cual nuevamente es suficiente considerar µ−1 ({a}), a ∈ k. Tenemos que µ−1 ({a}) = {(b, c) ∈ A2 | b + c = a} = Z(x + y − a), el cual es un conjunto cerrado. Por lo tanto, µ es continua. Por tenemos que O(A1 × A1 ) ∼ = A(A1 × A1 ) ∼ = k[ x ] ⊗k k[y] ∼ = k[x, y], 1 1 y ası́ tenemos que x ◦ µ = x + y ∈ O(A × A ), por lo tanto, µ es un morfismo. Por último, es evidente que el mapeo ψ : A1 −→ A1 dado por a 7→ −a es un morfismo, pues si x es la función coordenada en A1 , se tiene x ◦ ψ = −x ∈ k[ x ] = O(A1 ), por lo tanto, por, ψ es un morfismo. De esta manera Ga es un grupo algebraico. b) El grupo multiplicativo Gm está dado por la variedad A1 − {0} y el morfismo µ(a, b) = ab. Mostrar que es una variedad grupo. Nuevamente, (A1 − {0}, µ) no es más que el grupo multiplicativo (k − {0}, ·). Tenemos que ∀ a ∈ (A1 − {0}) : µ−1 ({a}) = {(b, c) ∈ A2 | bc = a} = Z(xy − a). Por lo tanto, µ es continua. Además se tiene que como (A1 − {0})2 ⊂ A2 , entonces k[x, y] ⊆ O((A1 − {0})2 ), de donde se sigue que µ es un morfismo. Por último, es evidente que el mapeo ψ : A1 −{0} −→ A1 −{0} dado por a 7→ a−1 es un morfismo, pues si x es la función coordenada en A1 , se tiene x ◦ ψ = x−1 ∈ k[x, x−1 ] = O(A1 − {0}), por lo tanto, por, ψ es un morfismo. Se sigue que Ga es un grupo algebraico. Es fácil ver que si (G, µ, e) es una variedad grupo y X es cualquier variedad, entonces Hom (X, G) hereda una estructura natural de grupo bajo la operación ∗ : Hom (X, G) × Hom (X, G) −→ Hom (X, G) dada por (f ∗ g)(x) := µ(f (x), g(x)). Dicha operación es asociativa a fortiori. Definimos la función ε : X −→ G definida por x 7→ e, y queremos ver que ε ∈ Hom (X, G). Sea U ⊆ G cualquier conjunto abierto, entonces ε−1 (U ) = ∅ si e 6= U y ε−1 (U ) = X si e ∈ U , por lo tanto ε es continua. A continuación consideremos un conjunto abierto U en G de manera que e ∈ U y sea λ ∈ O(U ), con λ(e) = α ∈ k, entonces tenemos que λ ◦ ε es la función constante α, por lo que está en O(X), luego, ε ∈ Hom(X, G) juega el papel de ı́dentidad bilátera, pues (f ∗ ε)(x) = µ(f (x), ε(x)) = µ(f (x), e) = f (x), (ε ∗ f )(x) = µ(ε(x), f (x)) = µ(e, f (x)) = f (x). Tenemos que Hom(X, Gm ) = Hom(k[x, x−1 ], O(X)). Dado f ∈ Hom(k[x, x−1 ], O(X)), entonces f (x) ∈ O(X)∗ (el grupo de unidades de O(X) bajo la multiplicación), pues 1 = f (1) = f (xx−1 ) = f (x)f (x−1 ), por lo tanto, podemos definir la aplicación Ψ : Homk[x, x−1 ], O(X)) −→ O(X)∗ dada por f 7→ f (x). Verifiquemos en primera instancia que es un homomorfismo, Ψ(f g) = (f g)(x) = f (x)g(x) = Ψ(f )Ψ(g). Es claro que es un monomorfismo, ası́ que verifiquemos que es un epimorfismo, dado α ∈ O(X)∗ , podemos definir un homomorfismo de k-álgebras g : k[x, x−1 ] −→ O(X) dado por x 7→ α, x−1 7→ α−1 y g|k = idk , por lo que se tiene que Ψ(g) = α. Concluimos que Ψ es un isomorfismo de grupos, y ası́ podemos definir un funtor representable Hom(−, Ga ) que va de las categorı́as de las variedades a la categorı́a de los grupos. c) GLn (k) es un grupo algebraico. Nos adelantaremos un poco a lo que sigue para dar este ejemplo concreto de un grupo algebraico muy importante. En el Capı́tulo 4 (Lema 4.2) veremos que el complemento de una hipersuperficie Y en An es isomorfo a una hipersuperficie en An+1 . El conjunto GLn (k) de las matrices n × n que son invertibles sobre k no es más que el complemento 2 en An de la hipersuperficie D := Z(Det), y con todo derecho lo podemos considerar como una 71 3.5. Variedades Normales 3. Morfismos variedad afı́n. Claramente el mapeo multiplicación · : GLn (k) × GLn (k) −→ GLn (k) es regular; de la regla de Cramer se sigue que el mapeo A 7→ A−1 para A = (aij ) ∈ GLn (k) es regular, pues i+j (a)−1 Det Mji /Det A ij = (−1) donde Mji es la submatriz de A obtenida al eliminar la j-ésima fila y la i-ésima columna. Por último, el subconjunto SLn (k) de GLn (k) es una subvariedad, la cual es cerrada bajo las operaciones de grupo, por lo que es un subgrupo algebraico. 3.5.– Variedades Normales Antes de entrar en esta discusión necesitaremos de algunos preliminares sobre extensiones enteras de anillos (véase el Apéndice A). Una variedad Y es normal en el punto P ∈ Y si OP es un anillo ı́ntegramente cerrado. Y es normal si es normal en todo punto. Observación 3.3: Usualmente se utiliza el término anillo normal para designar a un dominio entero ı́ntegramente cerrado (i.e., ı́ntegramente cerrado en su campo de cocientes). Siguiendo la advertencia dada en [Mat89], aquı́ utilizaremos el término de acuerdo a como lo concibieron Serre y Grothendieck, es decir, un anillo A es normal si para todo ideal primo p, la localización Ap de A en el ideal p es ı́ntegramente cerrada. 3.19 Ejemplo: Mostrar que la cúbica cuspidal y 2 = x3 (Ver la Figura 3.1) en A2 no es normal. Sea Y = (y 2 −x3 ) y consideremos la función f := y/x ∈ K(Y ), entonces el elemento f es entero sobre O0 pues f 2 = y 2 /x2 = x3 /x2 = x, luego, f es raı́z del polinomio mónico P (T ) := T 2 − x ∈ O0 [T ], sin embargo, f ∈ / O0 y O0 no es ı́ntegramente cerrado, por lo que Y no es normal. Proposición 3.19. Si Y es afı́n, entonces Y es normal si, y solo si, A(Y ) es ı́ntegramente cerrado. Demostración. Supongamos que Y es normal y tomemos P ∈ Y . Probaremos que OP es ı́ntegramente cerrado. Sabemos que coc OP = K(Y ), ası́, sea α ∈ K(Y ) entero sobre OP , entonces existe n ∈ N tal que αn + a1 αn−1 + · · · + an = 0, donde ai ∈ OP , por lo que ai = bi /ci , bi , ci ∈ A(Y ), ci (P ) 6= 0. A continuación hacemos d0 = c1 · · · cn y multiplicando la relación anterior, obtenemos que d0 αn + d1 αn−1 + · · · + dn = 0, donde di ∈ A(Y ), y d0 (P ) 6= 0. Multiplicando la ecuación anterior por d0n−1 y haciendo β = d0 α, obtenemos β n + d1 β n−1 + d2 d0 β n−2 + · · · + dn d0n−1 = 0, lo cual implica que β es entero sobre A(Y ). Por hipótesis, A(Y ) es ı́ntegramente cerrado, por lo que d0 α = β ∈ A(Y ). Entonces α = β/d0 ∈ OP , ya que d0 (P ) 6= 0. Supongamos ahora que todos los anillos locales OP son ı́ntegramente cerrados. Mostraremos que A(Y ) es ı́ntegramente cerrado. Sea α ∈ K(Y ) entero sobre A(Y ), entonces existe n ∈ N tal que αn + a1 αn−1 + · · · + an = 0, donde ai ∈ A(Y ). Pero entonces ∀ P ∈ Y : ai ∈ OP , ∀ i ∈ {1, . . . , n}, pero, por hipótesis, todos estos anillos son ı́ntegramente cerrados, por lo que ∀ P ∈ Y : α ∈ OP . Por último, notamos que \ α∈ OP = A(Y ). P ∈Y Esto demuestra que A(Y ) es ı́ntegramente cerrado. 72 ∗ 3.5. Variedades Normales 3. Morfismos De hecho, para dominios enteros D, la propiedad de ser ı́ntegramente cerrado es una propiedad local, i.e., D es ı́ntegramente cerrado si, y solo si, para todo ideal primo p de D (respectivamente para todo ideal maximal m), Dp (respectivamente Dm ) es ı́ntegramente cerrado. Ver [AM69], Cap. 5 Proposición 5.13. 3.20 Ejemplo: An es normal. Para ver esto, basta ver que A = k[x1 , . . . , kn ] es ı́ntegramente cerrado. Se tiene que A es un DFU (ver [Hun74], página 164), ası́, sea α ∈ k(x1 , . . . , xn ) = coc A un elemento entero sobre A, entonces podemos suponer que existen p, q ∈ A con gcd(p, q) = 1 tales que α = p/q. Supongamos a continuación que α satisface la ecuación αn + an−1 αn−1 + · · · + a0 = 0, ∀ i ∈ {0, . . . , n − 1} : ai ∈ A. Obtenemos ası́ que pn + an−1 pn−1 q + · · · + a0 q n = 0. Sea π ∈ A un factor primo de q, entonces tenemos que π | pn y por lo tanto π | p, pero esto contradice el hecho de que gcd(p, q) = 1. Concluimos ası́ que ningún primo divide a q, por lo que q debe ser una unidad, lo cual implica que α = pq −1 ∈ A. En consecuencia A es ı́ntegramente cerrado y An es normal. Para probar nuestro próximo resultado, necesitaremos del siguiente teorema. α Teorema 3.20 (Finitud de la Cerradura Entera). Sea A un dominio entero, el cual es una algebra finitamente generada sobre un campo k. sea K el campo de cocientes de A y L una extensión algebraica finita de K. Entonces la cerradura entera A0 de A en L es un A-módulo finitamente generado, y es también una k-álgebra finitamente generada ∗ Demostración. Ver [ZS58], Vol. 1, Cap V, Teorema 9, página 267. Definición: Decimos que un morfismo ψ : X −→ Y es dominante si ψ(X) es denso en Y . Proposición 3.21. Sea ϕ : X −→ Y un morfismo. Entonces α(ϕ) : A(Y ) ,→ A(X), i.e., α(ϕ) es un monomorfismo de k-álgebras si, y solo si, ϕ es dominante Demostración. Sean ξ, ζ ∈ A(Y ) tales que α(ξ) = α(ζ), esto es, las funciones ξ ◦ ϕ, ζ ◦ ϕ ∈ A(X) son iguales, lo cual implica que ∀ x ∈ X : ξ(ϕ(x)) = ζ(ϕ(x)), lo que nos dice que ξ = ζ en ϕ(X) ⊂ Y , el cual, por hipótesis, es un subconjunto denso. Por continuidad, se sigue que ξ = ζ y α(ϕ) es inyectiva. A continuación, supongamos que α(ϕ) es inyectiva. Tomemos un polinomio g ∈ A y supongamos que ϕ(X) ⊂ Y ∩ Z(g), que es un conjunto cerrado en Y . Sea g la clase de g en A(Y ) = O(Y ), ası́, tenemos que (g ◦ ϕ)(X) = 0, lo que nos dice que α(ϕ)(g) = 0, i.e., g ∈ I(Y ), por lo tanto, Z(g) = Y . Ahora tomemos un subconjunto cerrado Tn arbitrario Ω de Y que contenga a ϕ(X), dicho conjunto es de la forma Y ∩ Z(g1 , . . . , gn ) = i=1 (Y ∩ Z(gi )) para algunos g1 , . . . gn ∈ A. Se sigue que ∀ i : ϕ(X) ⊆ Y ∩ Z(gi ), y esto implica por lo visto anteriormente que ∀ i : gi ∈ I(Y ), luego Ω = Y y ϕ(X) es denso en Y . ∗ ∼ Teorema 3.22. Sea Y una variedad afı́n. Entonces existe una variedad normal Y y un morfismo ∼ π : Y −→ Y con la propiedad de que siempre que Z sea una variedad normal, y ϕ : Z −→ Y ∼ sea un morfismo dominante, entonces existe un único morfismo θ : Z −→ Y tal que el siguiente diagrama es conmutativo: ∼ Y π o θ ϕ Y 73 Z 3.5. Variedades Normales 3. Morfismos ∼ ϕ = π ◦ θ. Y se conoce como la normalización de Y . Demostración. Para comenzar, notemos que como Y es una variedad algebraica, entonces A(Y ) es un dominio entero y es una k-álgebra finitamente generada. Consideremos Ω la cerradura entera de A(Y ) en K(Y ). Sabemos que Ω es de hecho, un anillo ı́ntegramente cerrado. Más aún, como Ω ⊆ K(Y ), se sigue que Ω no tiene divisores de cero. La extensión de campos K(Y )/K(Y ) es algebraica y finita, luego, por el Teorema (3.20), se sigue que Ω es una k-álgebra finitamente generada. Por el ∼ ∼ ∼ A(Y ), y ya que Ω no tiene Ejemplo 1.8, tenemos que existe un conjunto algebraico Y tal que Ω = ∼ ∼ divisores de cero, se sigue que I(Y ) es un ideal primo, por lo que Y es una variedad algebraica afı́n normal (por construcción). ∼ ∼ Ya que A(Y ) ,→ A(Y ), por (3.7) obtenemos un morfismo inducido π : Y −→ Y . Ahora sea Z una variedad normal y ϕ : Z −→ Y un morfismo dominante, por 3.21 se tiene que A(Y ) ,→ A(Z). ∼ A continuación, dado u ∈ A(Y ), éste es entero sobre A(Y ) y está contenido en K(Y ), por la Proposición 3.21, como A(Y ) ,→ A(Z), tenemos que K(Y ) ,→ K(Z), por lo tanto u ∈ K(Z). Ya que A(Y ) ⊆ A(Z), necesariamente se tiene que u es entero sobre A(Z), y como Z es normal, A(Z) ∼ es ı́ntegramente cerrado y concluimos que u ∈ A(Z). Por lo tanto, tenemos que A(Y ) ⊆ A(Z), lo ∼ cual nos da un único morfismo θ : Z −→ Y , terminando ası́ la prueba. 74 ∗ Capı́tulo 4 Mapeos racionales En este capı́tulo discutiremos un concepto único en Geometrı́a Algebraica: funciones que están definidas solamente en algún subconjunto abierto de una variedad. En la Sección 4.1 definimos los conceptos de mapeo racional y mapeo racional dominante entre variedades; el segundo nos permitirá definir una nueva categorı́a (y por ende una nueva relación de igualdad: la equivalencia birracional) la cual es importante cuando se trata el problema de la clasificación de las variedades, el cual es un tópico central de estudio en Geometrı́a Algebraica. En la Sección 4.2 (la más importante de este capı́tulo) hallaremos que toda variedad algebraica es localmente afı́n, en el sentido de que la topologı́a de Zariski de cualquier variedad posee una base que consta de subconjuntos abiertos que son isomorfos a conjuntos algebraicos afines. Descubriremos como al cambiar los morfismos de nuestra categorı́a base obtenemos una nueva antiequivalencia de categorı́as, en este caso, entre la categorı́a de las variedades algebraicas y los mapeos racionales con la categorı́a de las extensiones k que son finitamente generadas y los morfismos de k-álgebras. Por último, X r+1 de dimensión r es birracionalmente equivalente a una hipersuperficie en P (Teorema 4.7). de campos de aprovecharemos la noción de equivalencia birracional para demostrar que toda variedad En la Sección 4.3 utilizamos las ideas desarrolladas para describir un ejemplo muy importante de mapeo birracional: la explosión de una variedad en un punto, que es una herramienta necesaria en la resolución de singularidades (o puntos distinguidos) de las variedades algebraicas, el cual es un concepto que ilustra muy bien la utilidad de las funciones racionales. 4.1.– Mapeos racionales y Equivalencia birracional En esta sección introducimos las nociones de mapeo racional y de equivalencia birracional, las cuales son útiles para la clasificación de variedades. Un mapeo racional es un morfismo que solo está definido en algún subconjunto abierto. Como un subconjunto abierto es denso, este morfismo lleva mucha información. En este aspecto la geometrı́a algebraica es más “rı́gida” que la geometrı́a diferencial o la topologı́a. En particular, el concepto de equivalencia birracional es único para la geometrı́a algebraica. Lema 4.1. Sean X y Y variedades, sean ϕ, ψ dos morfismos de X a Y y suponga que existe un subconjunto abierto no vacı́o U ⊂ X tal que ϕ|U = ψ|U . Entonces ϕ = ψ. Demostración. Podemos suponer que Y ⊆ Pn para algún n ∈ N. Entonces al componer con el morfismo de inclusión Y ,→ Pn se reduce al caso en que Y = Pn . Consideremos el producto Pn ×Pn , el cual tiene estructura de variedad proyectiva garantizada por su inmersión de Segre (Ver Sección 3.4). Los morfismos ϕ, ψ determinan un mapeo ϕ × ψ : X −→ Pn × Pn , el cual es de hecho un morfismo. Sea ∆ = {(P, P ) | P ∈ Pn }, el cual está definido por las ecuaciones {xi yj = xj yi | i, j = 0, 1, . . . , n} por lo que es un subconjunto cerrado de Pn × Pn . Por hipótesis (ϕ × ψ)(U ) ⊆ ∆. Pero U es denso en X y ∆ es cerrado, por lo que ϕ × ψ(X) ⊆ ∆. Esto dice que ϕ = ψ. ∗ 75 4.1. Mapeos racionales y Equivalencia birracional 4. Mapeos racionales Sean U1 , U2 , U3 subconjuntos abiertos de X y para i ∈ {1, 2, 3} sea fi : Ui −→ Y un morfismo. Supongamos que f1 = f2 en U1 ∩ U2 6= ∅ y que f2 = f3 en U2 ∩ U3 6= ∅, entonces tenemos que f1 = f3 en el conjunto abierto U1 ∩ U2 ∩ U3 , el cual es un subconjunto abierto de U1 ∩ U3 , por el Lema 4.1, se sigue que f1 = f3 en U1 ∩ U3 . Hemos llegado a la definición de un mapeo racional de variedades, las cuales juegan un papel similar a las funciones racionales en una variedad. Definición: Sean X, Y variedades. Un mapeo racional ϕ : X −→ Y es una clase de equivalencia de parejas hU, ϕU i donde U es un subconjunto abierto no vacı́o de X, ϕU es un morfismo de U a Y , y donde dos parejas hU, ϕU i,hV, ϕV i son equivalentes si ϕU = ϕV en U ∩ V . El mapeo racional ϕ es dominante si para algún (y por ende para todo) par hU, ϕU i, la imagen de ϕU es un subconjunto denso de Y . Notemos que el mapeo racional ϕ : X −→ Y no es en general un mapeo del conjunto X al conjunto Y . Por ello debemos ser muy cuidadosos cuando hablemos, por ejemplo, de la composición de este tipo de funciones. Bien se puede presentar el caso de que la imagen de un mapeo racional esté contenida en el conjunto en el cual el segundo mapeo racional no está definido. Si f es un mapeo racional dominante, entonces lo podemos componer con cualquier otro mapeo racional. Para ver esto, sea f : X −→ Y un mapeo racional dominante y sea g : Y −→ Z cualquier mapeo racional. Si denotamos por V ⊆ Y al dominio de g y por W ⊆ X al dominio de f , entonces f −1 (V ) es abierto en X y por lo tanto f −1 (V ) ∩ W 6= ∅. Sea U este conjunto abierto, y hacemos g ◦ f : U −→ Z, el cual es un morfismo en U y por lo tanto define un mapeo racional de X a Z. Observemos que si g también es dominante, entonces g◦f será dominante también. Para ver esto, supongamos que existe C ⊆ Z un conjunto cerrado tal que (g ◦ f )(U ) ⊆ C, si hacemos D = g −1 (C), entonces D ⊆ Y es cerrado y g(D) ⊆ C. Pero podemos suponer que f (U ) ⊆ D, por lo que f (U ) ⊆ D. Como f es dominante, se debe tener que D = Y , y de esta manera g −1 (C) = Y , i.e., g(Y ) ⊆ C. Pero g es dominante, por lo que el único conjunto cerrado que contiene a g(Y ) es Z. Por lo tanto C = Z, que era lo que querı́amos demostrar. Por lo tanto, ya que al componer dos mapeos racionales dominantes nos vuelve a dar un mapeo racional dominante, podemos considerar nuevamente la clase de todas las variedades algebraicas junto con los mapeos racionales dominantes que existen entre ellas. De esta manera hemos construido una nueva categorı́a, donde los objetos son las variedades algebraicas y los morfismos son mapeos racionales. Un “isomorfismo” en esta categorı́a se llama un mapeo birracional. Definición: Un mapeo birracional ϕ : X −→ Y es un mapeo racional que admite una inversa, a saber, un mapeo racional ψ : Y −→ X tales que ϕ ◦ ψ = idY y ψ ◦ ϕ = idX como mapeos racionales. Si existe un mapeo birracional de X a Y , decimos que X y Y son equivalentes birracionalmente. 4.1 Ejemplo (Dominio de definición de una función racional): Si f, g son funciones regulares en conjuntos abiertos U y V de una variedad X y si f = g en U ∩ V , mostrar que la función que es f en U y g en V es regular en U ∪V . Concluya que si f es una función racional en X, entonces existe un conjunto maximal (con respecto a la inclusión) U de X en el que f está representada por una función regular. Decimos que f está definida en los puntos de U . Sea h la función descrita anteriormente. Podemos suponer que X es cuasi-proyectiva. Si P ∈ U con P ∈ / V , como f es regular y h|U = f , entonces existe una vecindad A de P en U tal que h|A = f |A = α/β, con α, β ∈ S h polinomios homogéneos del mismo grado, tales que ∀ P ∈ A : β(P ) 6= 0. Análogamente se trata el caso cuando P ∈ V con P ∈ / U . Finalmente tomemos P ∈ U ∩ V , sean AU , AV vecindades de P en U y V respectivamente tales que f |AU = α/β y g|AV = γ/δ, con 76 4.1. Mapeos racionales y Equivalencia birracional 4. Mapeos racionales α, β, γ, δ ∈ S h polinomios homogéneos, con α, β del mismo grado, y también γ, δ del mismo grado, tales que ∀ P ∈ AU : β(P ) 6= 0, ∀ P ∈ AV : δ(P ) 6= 0 y tomemos AU ∩ AV , la cual es una vecindad de P en U y V , y como f = g en U ∩ V , se sigue que h = α/β = γ/δ en AU ∩ UV , por lo que concluimos que h es regular en U ∪ V . Para concluir, tomemos hU, f i ∈ K(X) una función racional, sabemos que hU, f i = {(Ui , fi )}i∈I , donde ∀ (i, j) ∈ I × I : fi = fj en Ui ∩ Uj . Tomemos V = ∪i∈I Ui y definimos la función h en V como: si P ∈ Ui , entonces h(P ) = fi (P ), por el párrafo anterior, h es una función regular bien definida en el subconjunto abierto V , además, tenemos que ∀ i ∈ I : h = fi en V ∩ Ui (por definición de h), luego hU, f i = hV, hi, por último es claro que V es el subconjunto abierto más grande en el cual hU, f i está representada por una función regular. A continuación estudiaremos el problema anterior para mapeos racionales. 4.2 Ejemplo (Dominio de definición de un mapeo racional): Si ϕ es un mapeo racional de X a Y , mostrar que existe un conjunto abierto maximal (con respecto a la inclusión) en el cual ϕ está representada por un morfismo. Decimos que el mapeo racional está definido en los puntos de dicho conjunto abierto. Nuevamente suponemos que X y Y son cuasi-proyectivas, dados U, V dos conjuntos abiertos en X, y f : U −→ Y , g : V −→ Y dos morfismos tales que f = g en U ∩ V , definimos la función h : U ∪ V −→ Y dada por h(x) = f (x), si x ∈ U y h(x) = g(x), si x ∈ V . Primero, veamos que h es continua. Dado W ⊆ Y cualquier conjunto abierto, tenemos que h−1 (W ) = {x ∈ U ∪ V | h(x) ∈ W } = f −1 (W ) ∪ g −1 (W ), y como f y g son morfismos, tenemos que h−1 (W ) es la unión de dos conjuntos abiertos, y por lo tanto es abierto, luego, h es continua. Ahora sea λ : W −→ k una función regular, entonces la función λ ◦ h : h−1 (W ) −→ k se puede ver como λ ◦ h : f −1 (W ) ∪ g −1 (W ) −→ k. A continuación, dado P ∈ f −1 (W ) tal que P ∈ / g −1 (W ), entonces, como f es un morfismo, tenemos que λ ◦ h(P ) = λ ◦ f (P ) y es regular en P , de manera análoga se tiene que si P ∈ g −1 (W ) con P ∈ / f −1 (W ), entonces λ ◦ h(P ) = λ ◦ g(P ) es regular en P , por último, si P ∈ f −1 (W ) ∩ g −1 (W ), entonces λ ◦ h(P ) = λ ◦ f (P ) = λ ◦ g(P ) es regular en P , por lo que λ ◦ h es regular en todo punto de U ∪ V , y de esta manera, h es un morfismo. Ahora sea hU, ϕi = {(Ui , ϕi )}i∈I un mapeo racional, por argumentos similares a los ofrecidos en el Ejemplo 4.1, se tiene que la función h definida en V = ∪i∈I Ui por x ∈ Ui ⇒ h(x) := fi (x) es un morfismo definido en un conjunto abierto maximal de X que representa al mapeo racional hU, ϕi. 4.3 Ejemplo (Transformaciones Planas de Cremona): Un mapeo birracional de P2 en sı́ mismo se llama una transformación plana de Cremona. Daremos un ejemplo, llamado transformación cuadrática. Es el mapeo racional ϕ : P2 −→ P2 dado por [a0 : a1 : a2 ] 7→ [a1 a2 : a0 a2 : a0 a1 ], y está definida en el subconjunto de P2 en el cual no hay dos elementos de {a0 , a1 , a2 } que sean iguales a cero. A continuación, notemos que ϕ como morfismo está definido en todo P2 excepto en los puntos [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [0 : 0 : 1]. Sea ϕ = (f1 , f2 , f3 ) otra trı́ada de polinomios homogéneos del mismo grado que definan la misma función ϕ. Podemos suponer que ∀i, j ∈ {1, 2, 3}, i 6= j : gcd(fi , fj ) = 1, en este caso tenemos que yz xz = 0, yz xy = 0, xz xy = 0. f1 f2 f1 f3 f2 f3 Esto nos lleva a las siguientes relaciones: yf2 = xf1 , zf3 = xf1 , 77 zf3 = yf2 . 4.2. Una base para la topologı́a de Zariski 4. Mapeos racionales Cómo x, y, z son elementos irreducibles (primos) en un DFU (k[x, y, z]), se sigue que yz | f1 , xz | f2 y que yx | f3 , por lo tanto concluimos que ϕ = (yz, xz, xy) como mapeos racionales. La imagen de este mapeo es todo P2 , excepto por las tres lı́neas coordenadas, pero vemos que los puntos en los que no estaba definida ϕ se encuentran en la imagen, pues ϕ([0 : 1 : 1]) = [1 : 0 : 0], ϕ([1 : 0 : 1]) = [0 : 1 : 0] y ϕ([0 : 1 : 1]) = [0 : 0 : 1]. Observamos primero que ϕ2 ([a0 : a1 : a2 ]) = ϕ([a1 a2 : a0 a2 : a0 a1 ]) = [(a0 a1 a2 )a0 : (a0 a1 a2 )a1 : (a0 a1 a2 )a2 ] = (a0 a1 a2 )[a0 : a1 : a2 ]. Ası́, para todos los puntos [x : y : z] ∈ P2 tales que xyz 6= 0, tenemos que ϕ2 ([x : y : z]) = [x : y : z]. Luego, tenemos que en el conjunto abierto Ω := P2 −{las tres lı́neas proyectivas x = 0, y = 0, z = 0}, tenemos que ϕ es una función involutiva (i.e., es su propia inversa). Por lo tanto ϕ es un mapeo birracional de P2 en sı́ mismo. Notemos también que todos los puntos [0 : a1 : a2 ] en la lı́nea x = 0 (salvo los dos puntos en los que ϕ no está definida) son enviados al punto [1 : 0 : 0]. Intuitivamente podemos decir que ϕ “colapsa” la lı́nea x = 0, pero ya que ϕ = ϕ−1 , entonces también decimos que ϕ “levanta” el punto [1 : 0 : 0] a una lı́nea. 4.2.– Una base para la topologı́a de Zariski El trabajar con mapeos racionales nos hace estar alertas del hecho de que estaremos empleando siempre subconjuntos abiertos de nuestras variedades, por lo tanto, es un buen tiempo para aprender algo más sobre la topologı́a de las variedades. Sea B = {Ui }i∈I una colección de conjuntos abiertos en Y . Recordemos que B es una base para la topologı́a de Y si, y solo si, todo conjunto abierto de Y es la unión de elementos de B. De manera equivalente, si P ∈ Y y U es un conjunto abierto en Y que contiene a P , entonces existe un conjunto Ui ∈ B tal que P ∈ Ui ⊆ U . Tomemos el polinomio f (x) = x ∈ k[x] y sea Y la hipersuperficie definida por Y = Z(f ) = {0}. En el Ejemplo 3.9, vimos que A1 −Y es isomorfa a la hipersuperficie H en A2 dada por H = Z(yf −1), y que de esta forma, la lı́nea afı́n perforada A1 − {0} podı́a ser considerada como una variedad afı́n, cuyo anillo coordenado resultó ser k[x, x−1 ] = k[x]f . Lo que haremos a continuación sera dar una generalización de éste hecho para dimensiones superiores. Lema 4.2. Sea Y una hipersuperficie en An dada por la ecuación f (x1 , . . . , xn ) = 0. Entonces V = An − Y es isomorfa a la hipersuperficie H en An+1 dada por xn+1 f = 1. En particular, V es afı́n, y su anillo coordenado afı́n es Af . Demostración. Primero estableceremos la existencia del isomorfismo. Para P = (a1 , . . . , an+1 ) ∈ H, definimos ψ(P ) = (a1 , . . . , an ). Entonces claramente ψ es un morfismo de H en An . También es claro que ψ da un mapeo biyectivo de H sobre su imagen, la cual es An − Y . Para probar que ψ es un isomorfismo, es suficiente mostrar que ψ −1 es un morfismo. Pero ψ −1 (a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , an , 1/f (a1 , . . . , an )), entonces, el hecho de que ψ −1 es un morfismo en An − Y se sigue de (3.8). Veamos a continuación que O(V ) = Af . Sea ϕ ∈ O(V ), entonces como la topologı́a de Zariski es compacta en cualquier subconjunto de An (véase el inciso (2) del Ejemplo 1.12), existen U1 , . . . , Us abiertos en V tales que V = ∪si=1 Ui y ϕ|Ui = gi /hi , con gi , hi ∈ A. Si i 6= j, Ui ∩ Uj 6= ∅, entonces Ui ∩ Uj es un abierto en An , por lo tanto gi hj = gj hi como funciones en V . Si I = hh1 , . . . , hs i, entonces ya que los polinomios h1 , . . . , hs no se p anulan en todo p V , tenemos que Z(I) ⊆ Z(f ), lo que implica que al obtener los radicales se tiene hh1 , . . . , hs i ⊃ hf i, por loP que ∃ βi ∈ A tal que P f m = si=1 βi hi ; viendo la última relación en k(x1 , . . . , xn ), tenemos que 1 = si=1 βi hi /f m . 78 4.2. Una base para la topologı́a de Zariski 4. Mapeos racionales A continuación tomemos t ∈ Uj , entonces se tiene P P Ps βi (t)gi (t) gj (t) si=1 βi (t)hi (t) hj (t) si=1 βi (t)gi (t) gj (t) ϕ(t) = = = = i=1 m , m m hj (t) f (t)hj (t) f (t)hj (t) f (t) P pero notemos que ésta última relación no depende de j, luego, ϕ = si=1 βi gi /f m ∈ Af y tenemos que O(V ) ⊆ Af . Ahora sea λ ∈ Af , entonces λ = g/f m , con g ∈ A. Sea P ∈ V , tenemos que f (P ) 6= 0, por lo tanto λ ∈ O(V ). Concluimos de las dos contenciones anteriores que O(V ) = Af . ∗ Proposición 4.3. En cualquier variedad Y existe una base para la topologı́a que consiste de subconjuntos abiertos afines. Demostración. Debemos probar que para todo punto P ∈ Y y para todo conjunto abierto U que contenga a P , existe un conjunto abierto afı́n V con P ∈ V ⊆ U . Primero, ya que U es también una variedad, podemos asumir que U = Y . Segundo, ya que toda variedad es una variedad cuasiproyectiva, entonces Y está cubierta por variedades cuasi-afines (véase 2.8), por lo que podemos suponer que Y es cuasi-afı́n en An . Sea Z = Y − Y , que es cerrado en An y sea a ⊆ A el ideal de Z. Entonces, como Z es cerrado y P ∈ / Z, ∃ f ∈ a tal que f (P ) 6= 0. Sea H la hipersuperficie definida por f = 0 en An . Entonces Z ⊂ H pero P ∈ / H. Por lo tanto P ∈ (Y − Y ∩ H) el cual es un subconjunto abierto de Y . Más aún, Y − Y ∩ H es un subconjunto cerrado de An − H, el cual es afı́n por (4.2), por lo tanto Y − Y ∩ H es afı́n. Esta es la vecindad afı́n requerida para P . ∗ Definición: Sea X ⊆ An una variedad afı́n, y sea f ∈ A(X). El conjunto abierto afı́n D(f ) = X − Z(f ) se llama un subconjunto abierto principal de X. De lo que hemos visto de la prueba anterior, tenemos que el anillo coordenado de la variedad afı́n D(f ) = X − Z(f ) es A(D(F )) = A(X)f . Es interesante observar que para estos subconjuntos abiertos principales, el anillo de funciones regulares es también una k-álgebra finitamente generada. A continuación pasaremos al resultado principal de esta sección. Sea ϕ : X −→ Y un mapeo racional dominante, representado por hU, ϕU i. Sea f ∈ K(Y ) una función racional, representada por hV, f i, donde V es un abierto en Y y f es una función regular en V . Ya que ϕU (U ) es denso en Y , ϕ−1 U (V ) es un subconjunto abierto no vacı́o en X, por lo tanto f ◦ ϕU es una función regular en −1 ϕU (V ). Esto nos da una función racional en X, y de esta manera hemos definido un homomorfismo de k-álgebras que va de K(Y ) a K(X), i.e., una inmersión de K(Y ) en K(X). Teorema 4.4. Para cualesquiera dos variedades X y Y , la construcción anterior da una biyección entre 1. el conjunto de los mapeos racionales dominantes de X a Y , y 2. el conjunto de homomorfismos de k−álgebras de K(Y ) a K(X). Más aún, esta correspondencia da una equivalencia de categorı́as que invierte el orden de las flechas de la categorı́a de variedades y mapeos racionales con la categorı́a de extensiones de campos finitamente generadas de k. Demostración. Construiremos una inversa para el mapeo anterior. Sea θ : K(Y ) −→ K(X) un homomorfismo de k-álgebras, y como θ(k) = k, se tiene que θ es un monomorfismo. Por (4.3), Y está cubierta por variedades afines, por lo tanto, podemos asumir que Y es afı́n. Sea A(Y ) 79 4.2. Una base para la topologı́a de Zariski 4. Mapeos racionales su anillo coordenado afı́n, entonces tenemos que K(Y ) = coc A(Y ), y por lo tanto K(Y )/k es una extensión de campos finitamente generada (i.e. generada como campo por los elementos que generan a A(Y ) como k-álgebra). Ası́, sean y1 , . . . , yn generadores para A(Y ) como k-álgebra, entonces θ(y1 ), . . . , θ(yn ) son funciones racionales en X. Podemos hallar un conjunto abierto U ⊆ X de manera que todas las funciones θ(yi ) sean regulares en todo U . Entonces θ define un monomorfismo de k-álgebras A(Y ) ,→ O(U ). Por (3.7) éste corresponde a un morfismo ϕ : U −→ Y , el cual nos da un mapeo racional dominante de X a Y (véase la Proposición 3.21). Es fácil verificar que esto nos da un mapeo de conjuntos (2)−→(1) que es la inversa del que se definió anteriormente. Para establecer la existencia de la equivalencia, sólo necesitamos verificar que para toda variedad Y , K(Y ) es finitamente generada sobre k, y recı́procamente, si K/k es una extensión de campos finitamente generada, entonces K = K(Y ) para alguna Y . Si Y es una variedad, entonces K(Y ) = K(U ) para cualquier subconjunto abierto afı́n, por lo que podemos asumir que Y es afı́n. Entonces por el inciso 4 de (3.4), K(Y ) es una extensión de campos finitamente generada de k. Por otra parte, sea K una extensión de campos finitamente generada de k y sea y1 , . . . , yn ∈ K un conjunto de generadores, sea B la sub-k-álgebra de K generada por y1 , . . . , yn . Entonces por el Ejemplo (1.8), B es isomorfa al anillo coordenado afı́n de alguna variedad Y en An . Entonces K = K(Y ) y hemos terminado. ∗ Ya que el campo de funciones de una variedad está determinado por un subconjunto abierto, podrı́amos pensar que no transporta mucha información acerca de la variedad. Pero éste no es el caso, tal y como lo ilustra el siguiente Corolario. Corolario 4.5. Para cualesquiera dos variedades X, Y , las siguientes condiciones son equivalentes: 1. X y Y son birracionalmente equivalentes, 2. existen subconjuntos abiertos U ⊆ X y V ⊆ Y tales que U es isomorfo a V , 3. K(X) ∼ = K(Y ) como k-álgebras. Demostración. (1) ⇒ (2). Sean ϕ : X −→ Y y ψ : Y −→ X mapeos racionales los cuales son inversos el uno del otro. Representemos por a ϕ y a ψ por hU, ϕi y por hV, ψi respectivamente. Entonces ψ ◦ ϕ está representada por ϕ−1 (V ), ψ ◦ ϕ , y como ψ ◦ ϕ = id X como mapeo racional, ψ ◦ ϕ es la identidad en ψ −1 (V ). De manera similar ϕ ◦ ψ es la identidad en ϕ−1 (U ). A continuación tomamos ϕ−1 (ψ −1 (U )) como nuestro conjunto abierto en X, y ψ −1 (ϕ−1 (U )) como nuestro conjunto abierto en Y . Se sigue de la construcción que estos dos conjuntos abiertos son isomorfos via ϕ y ψ. (2) ⇒ (3) se sigue de la definición de campo de funciones. (3) ⇒ (1) se sigue del teorema. ∗ En Geometrı́a Algebraica trabajamos con dos relaciones de equivalencia distintas, isomorfismo y equivalencia birracional. La equivalencia birracional es claramente una relación más amplia que la isomorfı́a; en otras palabras, dos variedades pueden ser birracionalmente equivalentes sin ser isomorfas. Ya que la relación de isomorfismo está definida en cada punto, se tiene que esta relación está más cerca a las nociones geométricas como homeomorfismo y difeomorfismo, y por ello es más conveniente. El entender la relación entre estas dos relaciones de equivalencia es un problema importante; la pregunta es saber que tan amplia resulta ser la equivalencia birracional cuando se le compara con la relación de isomorfı́a, en otras palabras, nos interesa saber cuantas variedades son distintas desde el punto de vista de la isomorfı́a, pero que resulten ser la misma desde el punto de vista de la equivalencia birracional. 80 4.2. Una base para la topologı́a de Zariski 4. Mapeos racionales 4.4 Ejemplo: La equivalencia birracional hace que dos variedades sean muy similares, pero no podemos llevar esto demasiado lejos. Por ejemplo, notemos que por el corolario anterior, Pn × Pm y Pn+m son birracionalmente equivalentes, pues ambos poseen un subconjunto abierto isomorfo a An+m . Pero estas variedades están lejos de ser isomorfas. De hecho, los únicos morfismos de Pn+m a Pn × Pm son las funciones constantes. Para ver esto, sea ϕ ∈ Hom (Pn+m , Pn × Pm ) un morfismo no constante, entonces al componerlo con la primera proyección π1 obtenemos un morfismo π1 ◦ ϕPn+m −→ Pn . Pero como ya hemos visto, dicho morfismo debe estar definido por una sola (n + 1)-ada de polinomios homogéneos del mismo grado en S = k[x0 , . . . , xn+m ]. Pero cualesquiera n + 1 polinomios homogéneos del mismo grado en el anillo S deben de tener una solución no trivial (ya que si a es el ideal que generan, tenemos que ht a ≤ n + 1, y los únicos ideales sin ceros tienen que tener altura n + m + 1). Por lo tanto ϕ no puede ser un morfismo, pues existirı́a un lugar en el que el mapeo no está definido. Por supuesto, esto no podrı́a pasar si todos los n + 1 polinomios homogéneos tuvieran grado 0, pero en este caso, la función que definen es constante. Si hacemos lo mismo al componer con la otra función proyección, obtenemos la conclusión Hom (Pn+m , Pn × Pm ) = k. Para ilustrar la noción de la correspondencia birracional, utilizaremos algunos resultados algebraicos sobre extensiones de campos para mostrar que toda variedad es birracionalmente equivalente a una hipersuperficie (Ver Apéndice (A)). α Teorema 4.6 (Teorema del elemento primitivo). Sea L/k una extensión de campos finita y separable. Entonces ∃ α ∈ L tal que L = k(α). Más aún, si β1 , . . . , βn es cualquier Pn conjunto de generadores de L sobre k, y si k es infinito, entonces se puede tomar α = j=1 cj βj , con cj ∈ k. Demostración. Ver [ZS58], Volúmen 1, Capı́tulo II, Teorema 19, página 84. La segunda afirmación se sigue de la demostración dada ahı́. ∗ Teorema 4.7. Cualquier variedad X de dimensión r es birracionalmente equivalente a una hipersuperficie en Pr+1 . Demostración. La extensión de campos K(X)/k es finitamente generada, digamos K(X) = k(t1 , . . . , tn ), considerando a las ti como funciones coordenadas de An vistas como funciones en X. Tenemos que tr.d.(K(X)/k) = d, por lo que podemos tomar {t1 , . . . , td } ⊂ K(X) algebraicamente independiente sobre k. Ası́, la torre de campos k ⊂ k(t1 , . . . , td ) ⊂ K(X) cumple que k(t1 , . . . , td )/k es puramente trascendente y K(X)/k(t1 , . . . , td ) es algebraica, (Ver [Hun74], página 314) luego, ∀ y ∈ K(X) ∃ !g(T ) ∈ k(x1 , . . . , xn )[T ], g(T ) irreducible, tal que g(y) = 0. Ya que los coeficientes de dicho polinomio son funciones racionales en t1 , . . . , td , al eliminar los denominadores de estos coeficientes podemos formar el polinomio g(T1 , . . . , Td+1 ) ∈ k[T1 , . . . , Td+1 ] irreducible sobre k tal que g(t1 , . . . , td , y) = 0. Tomemos y = td+1 y sea f (T1 , . . . , Td+1 ) su polinomio irreducible correspondiente. Afirmamos ∂f que ∃ i ∈ {1, . . . , d + 1} : ∂T 6= 0. De lo contrario, las potencias de las variables Ti serı́an todas i múltiplos de la caracterı́stica p del campo k, i.e., f serı́a de la forma X pid+1 f= ai1 ···id+1 T1pi1 · · · Td+1 . Ya que el campo es algebraicamente cerrado, podemos encontrar elementos bi1 ···id+1 tales que P id+1 ai1 ···id+1 = bpi1 ···id+1 . Definimos el polinomio g = bi1 ···id+1 T1i1 · · · Td+1 . De esta forma, tenemos 81 4.2. Una base para la topologı́a de Zariski 4. Mapeos racionales que f = g p , lo cual contradice la irreducibilidad de f . Si char k = 0, entonces concluimos que ∂f ∀ i ∈ {1, . . . , d + 1}, ( ∂T = 0 =⇒ f ∈ k), pero como f es irreducible, no puede ser constante. i ∂f Supongamos pues que ∂T 6= 0, entonces se sigue que el elemento ti es algebraico sobre el campo i k(t1 , . . . , ti−1 , ti+1 , . . . , td+1 ), pues necesariamente la variable Ti aparece en el polinomio f (y por hipótesis f (t1 , . . . , td+1 ) = 0). En consecuencia, se sigue que el conjunto {t1 , . . . , ti−1 , ti+1 , . . . , td+1 } es algebraicamente independiente, pues de otro modo se tendrı́a que tr.d. k(t1 , . . . , td+1 )/k < d, lo cual es una contradicción. Ası́, siempre podemos renombrar las variables T1 , . . . , Tn de manera que t1 , . . . , td sean algebraicamente independientes sobre k y ∂T∂f 6= 0. Como f es por hipótesis irreducible sobre d+1 0 k(t1 , . . . , td )[T ] y f (T ) 6= 0 se sigue que gcd(f, f 0 ) = 1, pues deg f 0 < deg f . Por último, ya que k(t1 , . . . , td )[T ] es DIP, tenemos que ∃ g, h : 1 = f g + f 0 h (ver [Hun74], página 140), y sabemos que c es raı́z múltiple de f si, y solo si, f (c) = 0 y f 0 (c) = 0. Por lo tanto, f no tiene raı́ces múltiples y se sigue que td+1 es separable sobre k(t1 , . . . , td ). Ya que td+2 es algebraico sobre k(t1 , . . . , td ), se sigue de (4.6) que podemos hallar un elemento y tal que k(t1 , . . . , td+2 ) = k(t1 , . . . , td , y). Al repetir el proceso de adjuntar los elementos td+1 , . . . , tn podemos representar al campo K(X) en la forma k(z1 , . . . , zd+1 ), donde z1 , . . . , zd son algebraicamente independientes sobre k y f (z1 , . . . , zd , zd+1 ) = 0, donde este polinomio f es irreducible sobre k y ∂T∂f 6= 0 Esto define una hipersuperficie en Ar+1 con campo de funciones K, el cual, de d+1 acuerdo con (4.5) es birracionalmente equivalente a X. Su cerradura proyectiva es la hipersuperficie requerida Y ⊆ Pr+1 . ∗ Observación 4.1: De la demostración del Teorema 4.7 y de 4.6, se sigue que las coordenadas z1 , . . . , zd+1 se pueden elegir como Pncombinaciones lineales de las coordenadas originales x1 , . . . , xn , i.e., ∀ i ∈ {1, . . . , d + 1} : zi = j=1 cij xj . El mapeo (x1 , . . . , xn ) 7→ (z1 , . . . , zd+1 ) dado por éstas fórmulas es una proyección de An paralelamente al subespacio lineal definido por las ecuaciones P n j=1 cij xj = 0, i = 1, . . . , d + 1. Esto nos indica el significado geométrico del mapeo birracional. Para trabajar el siguiente ejemplo necesitaremos de los siguientes resultados preliminares. α Teorema 4.8. 1. Si α y β son números cardinales tales que β ≤ α y si α es infinito, entonces α + β = α; n-veces z }| { 2. sea A un conjunto infinito y para cada entero n ≥ 1, sea An = A × A × · · · × A. Entonces Card An = Card A. Demostración. Ver [Hun74] p.19, 20 para la demostración de ambas afirmaciones. ∗ 4.5 Ejemplo: Probar que toda variedad de dimensión positiva sobre k tiene la misma cardinalidad que el campo base k. Probemos esto primero para An . Por el Ejemplo 1.7, se tiene que hay una biyección entre An y k n , utilizando que k es infinito y por (2) de el Teorema 4.8, se sigue que Card An = Card k n = Card k. A continuación analicemos el caso de Pn ; iniciemos con P1 utilizando el homeomorfismo ϕ0 de (2.8), tenemos que existe una biyección (en el sentido de la Teorı́a de Conjuntos) ϕ0 : P1 −→ (A1 ∪ {[0 : 1]}), por lo que Card P1 = Card A1 + 1, se sigue por lo anterior y por (1) del Teorema 4.8, que Card P1 = Card k. Para n = 2, tenemos P2 = A2 t P1 , ası́ Card P2 = Card k, luego, se sigue por un argumento inductivo que ∀ n ∈ N : Card Pn = Card k. 82 4.3. Explosión 4. Mapeos racionales Tomemos ahora H ⊂ Pn cualquier hipersuperficie y sea P un punto que no se encuentre en H; consideremos el morfismo proyección desde el punto P , πP : H −→ Pn−1 . Dado Q ∈ Pn−1 , la lı́nea LP Q que une a P con Q es una variedad lineal de dimensión uno; por el Ejemplo 3.16, tenemos que LP Q ∩ H 6= ∅. Luego πP (H) = Pn−1 . A continuación vemos que como πP es un morfismo de variedades, entonces es continua, por lo que ∀ Q ∈ Pn−1 : πP−1 (Q) es un subconjunto cerrado no vacı́o de LP Q = P1 , ası́ que debe de ser un subconjunto finito. De las observaciones anteriores tenemos que P , πP : H −→ Pn−1 es un morfismo suprayectivo finito-a-uno (i.e., la imagen inversa de cualquier elemento en Pn−1 es un conjunto finito), por lo tanto, tenemos que H = tQ∈Pn−1 πP−1 (Q), y de esta manera concluimos que Card H = Card G πP−1 (Q) = Card Pn−1 = Card k. Q∈Pn−1 En este momento tomamos una variedad X de dimensión uno, entonces por el Teorema 4.7, X es birracionalmente equivalente a una hipersuperficie H en P2 , y esto nos dice que existen dos conjuntos abiertos U ⊆ X y V ⊆ H tales que U y V son isomorfos. Como dim X, dim H = 1, U y V deben ser respectivamente complementos de subconjuntos finitos (incluyendo al vacı́o) de X y de H; se sigue de lo anterior que Card X = Card H = Card k. Supongamos ahora que si X es una variedad cuasi-proyectiva tal que dim X = r − 1 > 1, entonces Card X = Card k. Sea X una variedad cuasi-proyectiva de dimensión r, nuevamente podemos encontrar una hipersuperficie H ⊂ Pr+1 tal que X es birracionalmente equivalente a H, por lo tanto podemos hallar dos subconjuntos abiertos U ⊆ X y V ⊆ H tales que U y V son isomorfos; si V = H, entonces Card X ≥ Card H = Card k, y se sigue que Card X = Card H (pues como X es cuasi-proyectiva está encajada en algún espacio afı́n o proyectivo y de esta manera se tiene que Card X ≤ Card k, de donde tenemos la igualdad). Asumamos que V 6= H; el resultado que citaremos a continuación se puede consultar en [Har92], página 133, dice que si que si Y ⊂ Pr+1 es una variedad cuasi-proyectiva y si H ⊂ Pr+1 es una hipersuperficie que no contiene a ninguna componente irreducible de Y , entonces dim (Y ∩ H) = dim X − 1. Como V es abierto en H, entonces existe un abierto V 0 en Pr+1 tal que V = V 0 ∩ H, por el resultado citado, tenemos que dim V = r − 1 y por la hipótesis inductiva, tenemos que Card V = Card k, y por lo tanto se tiene nuevamente que Card X = Card k. Observación 4.2: Del ejemplo anterior podemos ver que cualesquiera dos curvas planas irreducibles son homeomorfas si las consideramos con la topologı́a de Zariski, no importando que sean afı́nes o proyectivas, y cualquiera que sea el campo de definición o el grado del polinomio que las crea. Es decir, como espacios topológicos solo son simples conjuntos infinitos con la topologı́a cofinita. 4.3.– Explosión Como otro ejemplo de mapeo birracional, construiremos la explosión de una variedad en un punto. Esta construcción importante es la herramienta principal en la resolución de singularidades de una variedad algebraica. Primero construiremos la explosión de An en el punto O = (0, . . . , 0). Considere el producto el cual es una variedad cuasi-proyectiva. Si x1 , . . . , xn son las coordenadas afines de An y si y1 , . . . , yn son las coordenadas homogéneas de Pn−1 , entonces los conjuntos cerrados de An × Pn−1 estén definidos por polinomios en las variables xi y yj homogéneos con respecto a las variables yj . An × Pn−1 , 83 4.3. Explosión 4. Mapeos racionales A continuación definimos la explosión de An en el punto O como el conjunto cerrado X ⊂ An × Pn−1 definido por las ecuaciones {xi yj = xj yi | i, j = 1, . . . , n}. X JJ / An × Pn−1 JJJ ϕ JJJ JJJ % n A Tenemos un morfismo natural ϕ : X −→ An obtenido al restringir el mapeo proyección de An ×Pn−1 al primer factor. A continuación estudiaremos las propiedades de X. 1. Si P ∈ An , P 6= O, entonces ϕ−1 (P ) es un sólo punto. De hecho ϕ nos da un isomorfismo de X − ϕ−1 (O) sobre An − O. Para ver esto, sea P = (a1 , . . . , an ), con algún ai 6= 0, ahora, si P × [y1 : · · · : yn ] ∈ ϕ−1 (P ), entonces ∀ j : yj = (aj /ai )yi , por lo tanto [y1 : · · · : yn ] está unı́vocamente determinado como un punto en Pn−1 . De hecho, haciendo yi = ai , podemos tomar [y1 : · · · : yn ] = [a1 : · · · : an ]; de esta manera, ϕ−1 (P ) consiste de un solo punto. Más aún, para P ∈ (An − O), la función ψ(P ) = (a1 , . . . , an ) × [a1 : · · · : an ] define el morfismo inverso a ϕ, y de esta manera se muestra que X − ϕ−1 (O) es isomorfo a An − O. 2. ϕ−1 (O) ∼ = Pn−1 . De hecho, ϕ−1 (O) consiste de todos los puntos O × Q con Q = [y1 : · · · : yn ] ∈ Pn−1 sin ninguna restricción. 3. Los puntos de ϕ−1 (O) están en correspondencia 1-1 con el conjunto de lı́neas en An que pasan por O. De hecho, cualquier lı́nea L que pasa por O en An se puede parametrizar por las ecuaciones xi = ai t, i = 1, . . . , n, donde no todos los ai ∈ k son cero simultáneamente y t ∈ A1 . A continuación consideramos la lı́nea L0 = ϕ−1 (L − O) en X − ϕ−1 (O), la cual esta dada paramétricamente por las ecuaciones xi = ai t, yi = ai t, para t ∈ A1 − O, pero las yi son coordenadas homogéneas en Pn−1 , por lo que también podemos describir a L0 por las ecuaciones xi = ai t, yi = ai , para t ∈ A1 − O. Estas ecuaciones tienen sentido también para t = 0, y nos dan la cerradura L0 de L0 en X. A continuación, notamos que L0 interseca a ϕ−1 (O) en el punto Q = [a1 : · · · : an ] ∈ Pn−1 , por lo que vemos que enviando la lı́nea L al punto Q nos da una correspondencia 1-1 entre las lı́neas en An que pasan a través de O y los puntos de ϕ−1 (O). 4. X es irreducible. De hecho, X = (X − ϕ−1 (O)) ∪ ϕ−1 (O) y la primer pieza es isomorfa a An − O, por lo tanto irreducible. Por otro lado, hemos visto que todo punto de ϕ−1 (O) está en la cerradura de algún subconjunto (la lı́nea L0 ) de X − ϕ−1 (O). Por lo tanto X − ϕ−1 (O) es denso en X, y X = X − ϕ−1 (O) es irreducible. Definición: Si Y es una subvariedad cerrada de An que pasa a través de O, definimos la explosión ∼ de Y en el punto O como Y := (ϕ−1 (Y − O)), donde ϕ : X −→ An es la explosión de An en el ∼ punto O descrita anteriormente. También denotaremos por ϕ : Y −→ Y al morfismo ϕ| ∼ . Para Y hacer una explosión en cualquier otro punto P ∈ An , hacemos un cambio lineal de coordenadas que envı́e P a O. ∼ Note que ϕ induce un isomorfismo de Y − ϕ−1 (O) a Y − O, por lo que ϕ es un morfismo ∼ birracional de Y a Y . El efecto de explotar un punto de Y es “separar” Y cerca de O en relación a las diferentes direcciones de las lı́neas que pasan por O. Ilustraremos esto a continuación con un ejemplo. 84 4.3. Explosión 4. Mapeos racionales x x j Y E u=1 u=-1 u=0 X y Y t=0 Figura 4.1: Explosión. 4.6 Ejemplo (Explosión del Folium Cartesii en el origen): Sea Y la curva cúbica plana dada por la ecuación y 2 = x2 (x + 1). Explotaremos la variedad Y en el punto O (Figura 4.3). Sean t y u las coordenadas homogéneas de P1 . Entonces X, la explosión de A2 en el punto O, está definida por la ecuación xu = ty dentro de A2 × P1 . Se parece a A2 , excepto que se ha reemplazado el punto O por una copia de P1 que corresponde a las pendientes de las lı́neas que pasan por O. Llamamos a este P1 la curva excepcional, y la denotamos por E. Al considerar las ecuaciones y 2 = x2 (x + 1) y xu = ty en A2 × P1 , obtenemos la imagen inversa total de Y en X. Como P1 esta cubierto por los conjuntos abiertos U0 = u 6= 0 y U1 = t 6= 0, los consideraremos por separado. Si t 6= 0, podemos hacer t = 1 y utilizar a u como un parámetro afı́n. Utilizaremos el isomorfismo usual A2 × U0 ∼ = A3 , donde (x, y) × [1 : u] 7→ (x, y, u). De esta manera tenemos las ecuaciones y 2 = x2 (x + 1), y = xu en A3 con coordenadas x, y, u. Al sustituir obtenemos x2 u2 − x2 (x + 1) = 0, que se factoriza como x2 (u2 − (x + 1)) = 0. Por lo tanto obtenemos dos componentes irreducibles, la primera definida por x = 0, y = 0, u arbitraria, la cual representa a E, la segunda está definida por u2 = x + 1, y = xu, ∼ ∼ la cual es Y . Notemos que Y interseca a la curva excepcional E en los puntos u = 1 y u = −1. Estos puntos corresponden a las pendientes de las dos ramas de Y en el punto O. De manera similar podemos verificar que la imagen inversa total del eje x consiste de E y de otra curva irreducible, a la que llamaremos la transformación estricta del eje x (ésta es la curva L0 que corresponde a la lı́nea L = eje x, descrita anteriormente). Esta transformación estricta interseca a E en el punto u = 0. Al considerar el otro conjunto abierto (i.e., u 6= 0) en A2 × P1 , vemos que la transformación estricta del eje y interseca a E en el punto t = 0, u = 1. Todas estas conclusiones están resumidas en la Figura 4.1. El efecto de explotar es, por lo tanto, el separar las ramas de las curvas que pasan por O de acuerdo a sus pendientes. Si las pendientes son distintas, sus transformaciones estrictas no se intersecan en X. En vez de esto, intersecan a E en puntos que corresponden a las diferentes pendientes. 85 4.3. Explosión 4. Mapeos racionales 4.7 Ejemplo (Explosión de la curva cuspidal): Sea Y la curva cuspidal y 2 = x3 en A2 . Ex∼ plote el punto O = (0, 0) de la variedad. Sea E la curva excepcional y Y la transformación estricta ∼ ∼ ∼ de Y . Mostrar que E interseca a Y en un punto y que Y ∼ = A1 . En este caso el morfismo ϕ : Y −→ Y es biyectivo y bicontinuo, pero no es un isomorfismo. Sean t, u las coordenadas homogéneas de P1 y sea X la explosión de A2 en el punto O (definida por la ecuación xu = ty dentro de A2 × P1 ), obtenemos la imagen inversa total de Y en X al considerar las ecuaciones y 2 = x3 y xu = ty en A2 × P1 . Nuevamente elegimos t 6= 0, por lo cual podemos hacer t = 1 y obtener las ecuaciones y 2 = x3 y = xu. Sustituyendo obtenemos x3 − x2 u2 = 0, la cual se factoriza en x2 (x − u2 ) = 0. Ası́ obtenemos dos componentes irreducibles, una definida por x = 0, y = 0, u arbitrario, la cual corresponde a E, y la ∼ otra está definida por las ecuaciones u2 = x, y = xu, la cual corresponde a Y . De aquı́ obtenemos ∼ que E interseca a Y solamente en un punto, a saber, u = 0, y es único pues en este caso la pendiente de las dos ramas de Y en O es la misma. ∼ A continuación, sabemos que Y esta definida por: ∼ Y = {(x, y) × [1, u] | y = xu u2 = x}. Utilizando el isomorfismo usual (x, y) × [1, u] 7→ (x, y, u) de A2 × U0 a A3 , seguido del cambio de ∼ ∼ coordenadas (a, b, c) 7→ (c, a, b), obtenemos un isomorfismo ψ : Y −→ ψ(Y ) dado por (x, xu) × [1, u] 7→ (u, x, xu). Observemos que el conjunto ∼ ψ(Y ) = {(u, x, xu) | x ∈ A1 } satisface las ecuaciones u2 − x = 0, u3 − xu = 0. ∼ Luego, ψ(Y ) no es más que la curva cúbica torcida afı́n C = {(t, t2 , t3 ) | t ∈ A1 }, y concluimos ∼ ∼ de esta manera que Y ∼ = A1 . En este caso tenemos que ϕ : Y −→ Y es un morfismo biyectivo y bicontinuo que no es un isomorfismo, pues de lo contrario tendrı́amos que Y ∼ = A1 , lo cual ya vimos que no puede suceder. 86 Capı́tulo 5 Intersecciones en el Espacio Proyectivo El propósito de esta capı́tulo es estudiar la intersección de variedades en el espacio proyectivo Y yZ Pn , ¿Qué podemos decir acerca de Y ∩ Z ?. Hemos visto ya (Ejemplo y aplicarlas después a la construcción de ejemplos sobre códigos algebraicos. Si son variedades en 2.11) que Y ∩ Z no necesariamente es una variedad, pero éste es un conjunto algebraico y podemos preguntarnos primero acerca de la dimensión de sus componentes irreducibles. Nuestra tarea principal en la Sección 5.1 será la definición del grado de una variedad Y ⊆ Pn de dimensión r . Clásicamente, el grado de Y se define como el máximo número de puntos de intersección de Y con un subespacio lineal L de dimensión n − r “suficientemente general” (ver [S+ 00], página 70). Sin embargo, esta definición es difı́cil de usar, además de que el término suficientemente general carece de precisión, por lo tanto daremos una definición de grado puramente algebraica utilizando el polinomio de Hilbert de una variedad proyectiva. Está definición, aunque no tenga tanta motivación geométrica, tiene la ventaja de ser precisa. En la Sección 5.2 utilizamos resultados y técnicas del Álgebra Conmutativa como el ainvariante del ideal de un conjunto algebraico, el polinomio y la serie de Hilbert, ası́ como resoluciones libres finitas y el módulo canónico para dar algunos ejemplos de códigos de evaluación para ilustrar estas ideas. 5.1.– El Polinomio de Hilbert y el grado de un conjunto algebraico Tomaremos nuestra discusión inicial del trabajo realizado en la Sección 2.6 con las variedades lineales en el espacio proyectivo (Ejemplo 2.10), donde vimos que si Y y Z son variedades lineales en Pn , con dim Y = r y dim Z = s, se tiene que si r + s − n ≥ 0, entonces Y ∩ Z 6= ∅ es una variedad lineal con dim (Y ∩ Z) ≥ r + s − n. Nuestro primer resultado en esta sección será probar que si Y y Z son variedades en Pn de dimensiones r y s, entonces toda componente irreducible de Y ∩ Z tiene dimensión no menor a r + s − n. Más aún, si r + s − n ≥ 0, entonces Y ∩ Z es no vacı́a. Proposición 5.1 (Teorema de la Dimensión Afı́n). Sean Y y Z variedades de dimensiones r y s en An . Entonces toda componente irreducible W de Y ∩ Z tiene dimensión no menor a r + s − n. Demostración. Hemos visto en el Ejemplo 1.20 que si Z es una hipersuperficie, con Y * Z, entonces toda componente irreducible de Y ∩ Z tiene dimensión r − 1. Para el caso general, consideremos el producto Y × Z ⊆ A2n , el cual es una variedad de dimension r + s. Sea ∆ la diagonal {(P, P ) | P ∈ An } ⊆ A2n . Entonces An es isomorfo a ∆ vı́a el mapeo P 7→ (P, P ), y bajo este isomorfismo, Y ∩ Z corresponde a (Y × Z) ∩ ∆. Como dim ∆ = n y ya que r + s − n = (r + s) + n − 2n, la prueba se reduce a demostrar el resultado para las dos variedades Y × Z y ∆ en A2n . Notemos que 87 5.1. El Polinomio de Hilbert y el grado de un conjunto algebraico 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo ∆ es la intersección de n hipersuperficies exactamente, a saber x1 − y1 = 0, . . . , xn − yn = 0, donde x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn son las coordenadas de A2n . Al aplicar n veces el caso especial mencionado al inicio de esta demostración, se sigue el resultado. ∗ Ahora probaremos el resultado correspondiente para variedades proyectivas. Proposición 5.2 (Teorema de la Dimensión Proyectiva). Sean Y y Z variedades de dimensiones r y s en Pn . Entonces toda componente irreducible de Y ∩ Z tiene dimensión no menor a r + s − n. Más aún, si r + s − n ≥ 0, entonces Y ∩ Z 6= ∅. Demostración. La primera afirmación se sigue del resultado anterior, ya que Pn esta cubierto por n-espacios afines. Para la segunda afirmación, sean C(Y ) y C(Z) los conos afines sobre Y y Z en An+1 . Entonces dim C(Y ) = r + 1 y dim C(Z) = s + 1, respectivamente. Más aún, C(Y ) ∩ C(Z) 6= ∅, ya que ambos contienen al origen P = (0, . . . , 0). Por el Teorema de la dimensión afı́n, dim (C(Y ) ∩ C(Z)) ≥ (r + 1) + (s + 1) − (n + 1) = r + s − n + 1 > 0. Ası́ C(Y ) ∩ C(Z) contiene algún punto Q 6= P , y por ende Y ∩ Z 6= ∅. ∗ A continuación definiremos el polinomio de Hilbert para una variedad proyectiva. La idea es asociarle a cada variedad proyectiva Y ⊆ Pnk un polinomio PY ∈ Q[z] del que podamos obtener varios invariantes numéricos de Y . Definiremos PY comenzando con el anillo coordenado homogéneo S(Y ). De manera más general, definiremos un polinomio de Hilbert para cualquier S-módulo graduado, donde S = k[x1 , . . . , xn ]. Definición: Un polinomio numérico es un polinomio P (z) ∈ Q[z] tal que ∀ n 0 : P (n) ∈ Z. Proposición 5.3. 1. Si P ∈ Q[z] es un polinomio numérico, entonces existen c0 , . . . , cr ∈ Z tales que z z P (z) = c0 + c1 + · · · + cr . r r−1 2. Si f : Z −→ Z es cualquier función y, si existe un polinomio numérico Q(z) tal que la función diferencia ∆f := f (n + 1) − f (n) es igual a Q(n) para todo n 0, entonces existe un polinomio numérico P (z) de manera que ∀n 0 : f (n) = P (n). Demostración. (1) La prueba procederá por inducción sobre el grado de P , siendo obvio el caso de grado 0. Ya que zr = z r /r! + · · · , todo polinomio P ∈ Q[z] de grado r se puede expresar en la forma anterior, con c0 , . . . , cr ∈ Q. Para todo polinomio P definimos el polinomio diferencia ∆P por z z ∆P (z) := P (z + 1) − P (z). Ya que ∆ r = r−1 , se tiene z z ∆P = c0 + c1 + · · · + cr−1 . r−1 r−2 Por hipótesis inductiva, c0 , . . . , cr−1 ∈ Z. Pero entonces cr ∈ Z ya que ∀ n ∈ Z : P (n) ∈ Z. (2) Escribimos z Q = c0 + · · · + cr , con c0 , . . . , cr ∈ Z. r Sea z z P = c0 + · · · + cr . r+1 1 Entonces ∆P = Q, por lo que ∀ n 0 : ∆(f − P )(n) = 0, ası́ existe una constante cr+1 tal que ∀ n 0 : (f − P )(n) = cr+1 , por lo tanto ∀ n 0 : f (n) = P (n) + cr+1 como se deseaba. ∗ 88 5.1. El Polinomio de Hilbert y el grado de un conjunto algebraico 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo A continuación necesitamos algunos hechos acerca de módulos graduados. Sea S un anillo graL duado. Un S-módulo graduado es un S-módulo M , junto con una descomposición M = d∈Z Md , tal que ∀ d, e ∈ Z : Sd · Me ⊆ Md+e . Antes de proseguir, necesitamos una notación para indicar que hemos alterado un módulo graduado M al “torcer” su graduación en d lugares. Definimos M (d) a ser este módulo graduado. De manera más formal, M (d) es isomorfo a M como módulo y tiene una graduación definida por ∀ e ∈ Z : M (d)e = Md+e . Usualmente se conoce a M (d) como el d-ésimo módulo torcido de M . Muchos mapeos naturales de módulos graduados envı́an la graduación del módulo de salida a la graduación del módulo de llegada con un corrimiento de la graduación. Utilizando esta notación, podemos escribirlos como mapeos de grado 0 (es decir, que envı́an elementos homogéneos a elementos homogéneos del mismo grado) entre uno de los módulos y el torcimiento del otro. Esto hace más fácil seguir de cerca a las componentes graduadas. Por ejemplo, si tomamos M = S = k[x0 , . . . , xn ] y f ∈ Se , entonces la multiplicación por f induce un mapeo ϕf de M en M que eleva el grado de los elementos en e. Por lo tanto, lo podemos pensar como un mapeo de grado 0 de M (−e) a M . Si M es un S-módulo graduado, definimos el anulador de M , Ann M := {s ∈ S | s · M = 0}. Éste es un ideal homogéneo en S. Proposición 5.4. Sea M un módulo graduado finitamente generado sobre un anillo noetheriano graduado S. Entonces existe una filtración 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ M r = M por submódulos graduados, tal que ∀ i : M i /M i−1 ∼ = (S/pi )(li ), donde pi es un ideal primo homogéneo de S, y li ∈ Z. Dicha filtración no es única, pero tenemos que: 1. si p es un ideal primo homogéneo de S, entonces p ⊇ Ann M ⇔ ∃ i : p ⊇ pi . En particular, los elementos minimales del conjunto {p1 , . . . , pr } no son más que los primos minimales de M , i.e., los primos que son minimales con respecto a la contención de Ann M ; 2. para cada primo minimal de M , el número de veces en las que p aparece en el conjunto {p1 , . . . , pr } es igual a la longitud de Mp sobre el anillo local Sp (y por ende independiente de la filtración). Demostración. Para la existencia de la filtración, consideramos el conjunto Ω de submódulos graduados de M que admiten tal filtración. Claramente, el módulo cero la admite, por lo tanto Ω 6= ∅. Como M es un módulo noetheriano (ver [Kun85] página 14), entonces Ω posee un elemento maximal M 0 ⊆ M . A continuación sea M 00 = M/M 0 . Si M 00 = 0 hemos terminado, de lo contrario, tomamos el conjunto de ideales I = {Im = Ann hmi |m ∈ M 00 es un elemento homogéneo, m 6= 0}. Todo Im es un ideal homogéneo con Im 6= S. Ya que S es un anillo noetheriano, podemos hallar un elemento m ∈ M 00 , m 6= 0, tal que Im es un elemento maximal en el conjunto I . Afirmamos que Im es un ideal primo. Sean a, b ∈ S, supongamos que ab ∈ Im , pero que b ∈ / Im . Al dividir en elementos homogéneos podemos suponer que a, b son homogéneos. A continuación consideramos el elemento bm ∈ M 00 . Como b ∈ / Im , bm 6= 0. Tenemos que Im ⊆ Ibm , pero por la maximalidad de Im se tiene que Ibm = Im . Pero ab ∈ Im , por lo que abm = 0 y ası́ a ∈ Im , como se querı́a probar. Ası́ Im es un ideal primo homogéneo de S, llamémoslo p. Supongamos que m sea de grado l, entonces el módulo N ⊆ M 00 generado por m es isomorfo a S/p(−l). Sea N 0 ⊆ M la imagen inversa de N en M . Entonces M 0 ⊆ N 0 , y N 0 /M 0 ∼ = (S/p)(−l). Por lo tanto N 0 también tiene una filtración del tipo requerido. Esto contradice la maximalidad de M 0 . Concluimos que M 0 = M , lo que demuestra la existencia de la filtración. 89 5.1. El Polinomio de Hilbert y el grado de un conjunto algebraico 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo Ahora supongamos que se cuenta con una filtración de este tipo para M . Entonces es claro que p ⊇ Ann M ⇔ ∃ i : p ⊇ Ann (M i /M i−1 ). Pero Ann (S/pi (l)) = pi , y esto demuestra (1). Para demostrar (2) localizamos en un primo minimal p. Ya que p es minimal en el conjunto {p1 , . . . , pr }, tendremos que después de la localización Mpi /Mpi−1 salvo en los casos en los que pi = p, pero en estos casos se tiene que Mpi /Mpi−1 ∼ = (S/p)p = coc (S/p) (olvidamos la graduación). Esto muestra que Mp es un Sp -módulo de longitud finita igual al número de veces que p aparece en el conjunto {p1 , . . . , pr }. ∗ Definición: Si p es un primo minimal de un S-módulo graduado M (donde S = k[x0 , . . . , xn ]), definimos la multiplicidad de M en p, denotada por µp (M ), como la longitud de Mp sobre Sp . Ahora podemos definir el polinomio de Hilbert de un S-módulo graduado M . Primero definimos la función de Hilbert ϕM de M dada por ϕM (l) = dimk Ml , ∀ l ∈ Z. Teorema 5.5 (Hilbert–Serre). Sea M un S-modulo graduado finitamente generado. Entonces existe un único polinomio PM (z) ∈ Q[z] tal que ∀ l 0 : ϕM (l) = PM (l). Más aún, deg PM (z) = dim Z(Ann M ), dónde Z denota el conjunto de ceros en Pn de un ideal homogéneo. Demostración. Si 0 → M 0 → M → M 00 → 0 es una sucesión exacta corta, entonces ϕM = ϕM 0 + ϕM 00 , y Z(Ann M ) = Z(Ann M 0 ) ∪ Z(Ann M 00 ), por lo que si el teorema es cierto para M 0 y M 00 , entonces también es cierto para M . Por (5.4), M tiene una filtración con cocientes de la forma (S/p)(l), donde p es un ideal primo homogéneo y l ∈ Z. Por lo tanto es suficiente probar el teorema para M ∼ = S/p(l). El parámetro l corresponde a un cambio de variable z 7→ z + l, por lo que es suficiente considerar el caso M = S/p. Si p = hx0 , . . . , xn i, entonces ϕM (l) = 0 para l > 0, ası́ que PM = 0 es el polinomio correspondiente, y deg PM = dim Z(p), donde hacemos las convenciones deg 0 = −1 y dim ∅ = −1. x Si p 6= hx0 , . . . , xn i, elegimos xi ∈ / p, y consideramos la sucesión exacta 0 → M →i M → M 00 → 0, donde M 00 = M/xi M . Entonces ϕM 00 (l) = ϕM (l) − ϕM (l − 1) = (∆ϕM )(l − 1). Por otra parte, Z(Ann M 00 ) = Z(p) ∩ H, donde H es el hiperplano xi = 0, y Z(p) * H por la elección de xi , por lo tanto, por (5.2), dim Z(Ann M 00 ) = dim Z(p)−1. Utilizando ahora inducción sobre dim Z(Ann M ), podemos suponer que ϕM 00 es una función polinomial, correspondiente a un polinomio PM 00 con deg PM 00 = dim Z(Ann M 00 ). Ahora, por (5.3), se sigue que ϕM es una función polinomial que corresponde a un polinomio de grado dim Z(p). La unicidad de PM es clara. Definición: El polinomio PM de este teorema es el polinomio de Hilbert de M . El clasificar a todas las variedades proyectivas salvo equivalencia proyectiva (Ejemplo 3.17) es una tarea ciertamente muy complicada. Sin embargo se han ideado nuevas formas para intentar resolver el problema. Como un primer paso es de mucha utilidad identificar invariantes de las variedades proyectivas: números (u otro tipo de información) que partan la clase de las subvariedades proyectivas de Pn . Uno de tales invariantes numéricos es el grado, que a continuación definimos. Definición: Si Y ⊆ Pn es un conjunto algebraico de dimensión r, definimos el polinomio de Hilbert de Y como el polinomio de Hilbert PY de su anillo coordenado homogéneo S(Y ). (Por el teorema anterior, este es un polinomio de grado r.) Definimos el grado de Y (denotado por deg Y ) a ser r! veces el coeficiente lı́der de PY . 90 5.1. El Polinomio de Hilbert y el grado de un conjunto algebraico 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo Proposición 5.6. 1. Si Y ⊆ Pn , Y 6= ∅, entonces el grado de Y es un entero positivo. 2. Sea Y = Y1 ∪ Y2 , donde Y1 y Y2 tienen la misma dimensión r, y donde dim (Y1 ∩ Y2 ) < r. Entonces deg Y = deg Y1 + deg Y2 . 3. deg Pn = 1 4. Si H ⊆ Pn es una hipersuperficie cuyo ideal es generado por un polinomio homogéneo de grado d, entonces deg H = d. (En otras palabras, esta definición de grado es consistente con el grado de una hipersuperficie tal y como se define anteriormente en ) Demostración. (1) Como Y 6= ∅, PY es un polinomio no cero con deg PY = r = dim Y . Por el inciso 1 de (5.3), deg Y = co ∈ Z. c0 es positivo pues para l 0, PY (l) = ϕS/I (l) 0. (2) Sean I1 e I2 los ideales de Y1 y Y2 , respectivamente. Entonces I = I1 ∩ I2 es el ideal de Y . Tenemos una sucesión exacta 0 → S/I → S/I1 ⊕ S/I2 → S/(I1 + I2 ) → 0. Ahora Z(I1 + I2 ) = Y1 ∩ Y2 , que tiene menor dimensión. Por lo tanto PS/(I1 +I2 ) tiene grado menor que r. Por lo tanto el coeficiente lı́der de PS/I es la suma de los coeficientes lı́deres de PS/I1 y PS/I2 . (3) Calculemos el polinomio de Hilbert de Pn (lo cual ya hicimos al inicio de la Sección 2.4). Es el polinomio PS , donde S = k[x0 , . . . , xn ] definido por ( l+n , si l ≥ 0, n ϕS (l) = , 0, si l < 0 por lo que PS = z+n n . En particular, su coeficiente lı́der es (n!)−1 . Por lo tanto deg Pn = 1. (4) Si f ∈ S es un polinomio homogéneo de grado d, entonces tenemos una sucesión exacta de S-módulos graduados f 0 → S(−d) → S → S/ hf i → 0. Ası́ ϕS/hf i (l) = ϕS (l) − ϕS (l − d). Por lo tanto podemos hallar el polinomio de Hilbert de H, como z+n z−d+n d z n−1 + · · · . PH (z) = − = (n − 1)! n n ∗ Concluimos que deg H = d. 5.1 Ejemplo (El género aritmético): Sea Y una variedad de dimensión r en Pn , cuyo polinomio de Hilbert es PY . Definimos el género aritmético de Y como pa (Y ) := (−1)r (PY (0) − 1). Éste es un invariante importante que, como se puede demostrar (ver [Har77], Capı́tulo III, Ejercicio 5.3) es independiente de la inmersión de Y en un espacio proyectivo dado. a) Mostrar que pa (Pn ) = 0. Sabemos que el polinomio de Hilbert de Pn es P (x) = sin importar el número n. 91 x+n n , ası́ P (0) = 1. Por lo tanto pa (Pn ) = 0 5.1. El Polinomio de Hilbert y el grado de un conjunto algebraico 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo b) Si Y es una curva plana de grado d, mostrar que pa (Y ) = 21 (d − 1)(d − 2). Podemos interpretar a Y como una hipersuperficie de grado d en P2 , por lo que podemos utilizar la fórmula encontrada en la demostración del inciso (4) de 5.6 y obtener que x+2 x−d+2 P( Y )(x) = − = 12 {(x + 1)(x + 2) − (x − d + 1)(x − d + 2)} . 2 2 Haciendo x = 0, obtenemos que PY (0) = 1 − 12 (d − 1)(d − 2). Tenemos que dim Y = 1, por lo que se sigue que pa (Y ) = 21 (d − 1)(d − 2). c) De manera más general, si H es una hipersuperficie de grado d en Pn , entonces pa (H) = d−1 n . ,y − x−d+n Utilizando la misma fórmula nuevamente, tenemos que PY (x) = x+n n n n 1 n d−1 PY (0) = 1 − (−1) n! (d − n)(d − n + 1) · · · (d − 1) = 1 − (−1) . n Como dim H = n − 1, se sigue que pa (Y ) = (−1)2n d−1 = d−1 n n . d ) Si Y es una intersección completa de superficies de grados a, b en P3 , entonces pa (Y ) = 12 ab(a + b − 4) + 1. Sean f , g ∈ S = k[x0 , x1 , x2 , x3 ] tales que f = a y deg g = b, con Y = Z(f, g). Sabemos de deg `−a+3 la proposición 5.6 que ϕS/hf i (`) = `+3 − . Consideremos la siguiente sucesión exacta de 3 3 S-módulos graduados g 0 → S(−b) → S/ hf i → S/ hf, gi → 0. Entonces ϕS/hf,gi (`) = ϕS/hf i (`) − ϕS/hf i (` − b) `+3 `−a+3 `−b+3 `−a−b+3 = − − + . 3 3 3 3 Si hacemos ` = 0 en la relación anterior obtenemos que ϕS/hf,gi (0) = 1 − (1 + 12 ab(a + b − 4)), de donde se sigue que pa (Y ) = 1 + 12 ab(a + b − 4) por que dim Y = 3 − 2 = 1. e) Sean Y ⊆ Pn , Z ⊆ Pm variedades proyectivas, y encajamos Y × Z ⊆ Pn × Pm −→ PN con la inmersión de Segre. Mostrar que pa (Y × Z) = pa (Y )pa (Z) + (−1)s pa (Y ) + (−1)r pa (Z). Sean xi , yj y zij , para i ∈ {0, . . . , n}, j ∈ {0, . . . , m} las coordenadas homogéneas de Pn , Pm y PN respectivamente. Si identificamos a Pn × Pm con su imagen isomorfa dentro de PN , sabemos que zij = xi yj . En particular, cualquier polinomio homogéneo f (z00 , . . . , znm ) de grado d en las variables zij en Pn × Pm ⊂ PN es de la forma g(x0 , . . . , xn ; y0 , . . . , ym ), donde el polinomio g es homogéneo tanto en las variables x0 , . . . , xn como en las variables y0 , . . . , ym del mismo grado con respecto a los dos sistemas de variables. De esta observación se sigue que PY ×Z (d) = PY (d) · PZ (d). En particular, como dim Y = r y dim Z = s, tenemos pa (Y × Z) = (−1)r+s (PY ×Z (0) − 1) = (−1)r+s (PY (0)PZ (0) − 1) = (−1)r (−1)s [PY (0)PZ (0) − PY (0) − PZ (0) + 1 + PY (0) − 1 + PZ (0) − 1] = (−1)r [PY (0) − 1](−1)s [PZ (0) − 1] + (−1)s+r [PY (0) − 1] + (−1)r+s [PZ (0) − 1] = pa (Y )pa (Z) + (−1)s pa (Y ) + (−1)r pa (Z). Esto es lo que se querı́a demostrar. 92 5.1. El Polinomio de Hilbert y el grado de un conjunto algebraico 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo Hemos llegado a nuestro resultado principal acerca de la intersección de una variedad proyectiva con una hipersuperficie, que es una generalización parcial del teorema de Bézout a espacios proyectivos de dimensiones altas. Sea Y ⊆ Pn una variedad proyectiva de dimensión r. Sea H una hipersuperficie que no contenga Y . Entonces por (5.2), Y ∩ H = Z1 ∪ · · · ∪ Zs , donde ∀ j, Zj es una variedad de dimensión r − 1. Sea pj el ideal primo homogéneo de Zj . Definimos la multiplicidad de intersección de Y y H a través de Zj como i(Y, H; Zj ) = µpj (S/(IY + IH )). Aquı́ IY e IH son los ideales homogéneos de Y y H. El anulador del módulo M = S/(IY + IH ) es IY + IH , y Z(IY + IH ) = Y ∩ H, por lo que pj es un ideal primo minimal de M , y µ es la multiplicidad introducida anteriormente. Teorema 5.7. Sea Y una variedad en Pn con dim Y ≥ 1, y sea H una hipersuperficie que no contenga a Y . Sean Z1 , . . . , Zs las componentes irreducibles de Y ∩ H. Entonces s X i(Y, H; Zj ) · deg Zj = (deg Y )(deg H). j=1 Demostración. Supongamos que H está definida por un polinomio homogéneo f de grado d. Consideremos la siguiente sucesión de S-módulos graduados f 0 → (S/IY )(−d) → S/IY → M → 0, donde M = S/(IY + IH ). Tomando polinomios de Hilbert, hallamos que PM (z) = PY (z) − PY (z − d). Nuestro resultado se obtiene al comparar los coeficientes lı́deres de ambos lados de esta ecuación. Supongamos que dim Y = r y deg Y = e, entonces PY (z) = r!e z r + · · · , por lo que en el lado derecho tenemos he i e r de z + ··· − (z − d)r + · · · = z r−1 + · · · . r! r! (r − 1)! A continuación consideremos el módulo M . Por (5.4), M posee una 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Pfiltración q q M = M , cuyos cocientes son de la forma (S/qi )(li ). Ası́ PM = i=1 Pi , donde Pi es el polinomio de Hilbert de (S/qi )(li ). Si Z(qi ) es una variedad proyectiva de dimensión ri y grado fi , entonces Pi = rfii! z ri + · · · . Note que la traslación li no afecta al coeficiente lı́der de Pi . Ya que solo estamos interesados en el coeficiente lı́der de Pi , podemos ignorar aquellos Pi de grado menor a r − 1. Nos quedamos solo con los Pi que están definidos por los ideales primos minimales qi de M : a saber uno de los primos p1 , . . . , ps correspondientes a los Zj . Cada uno de ellos aparece µpj (M ) veces, ası́ que el coeficiente lı́der de PM es s X 1 i(Y, H; Zj ) · deg Zj . (r − 1)! j=1 Al comparar con la relación anterior, tenemos el resultado. ∗ Corolario 5.8 (Teorema de Bézout). Sean Y y Z curvas distintas en P2 , con deg Y = d y deg Z = e. Sea Y ∩ Z = {P1 , . . . , Ps }. Entonces X i(Y, Z; Pj ) = de. Demostración. Sólo hay que notar que el polinomio de Hilbert de un punto es el polinomio 1, y por lo tanto tiene grado 1. ∗ 93 5.2. Códigos algebraicos de Evaluación 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo 5.2.– Códigos algebraicos de Evaluación 5.2.1. Preliminares algebraicos En esta sección enunciamos definiciones y resultados del álgebra conmutativa. Denotaremos la función de Hilbert del anillo coordenado RX por H(RX , j) (o por HX (j)). Ya que tenemos la siguiente sucesión exacta 0 → I → S → S/IX → 0 se sigue que H(RX , j) := k Sj −dimk IX (j), para todo j ∈ Z. La correspondiente serie de Hilbert Pdim ∞ se define por FX (t) := j=0 HX (j)tj . L∞ Sea IX = r=γ IX (r), donde IX (r) 6= 0, de manera que γ sea el menor de los grados de los componentes homogéneos no triviales del ideal IX . Existe un entero aX llamado el a-invariante de RX (o el a-invariante del ideal IX , o hasta el a-invariante de X) tal que: a) HX (j) = dimk Sj = j+n ⇔ j < γ; n b) HX (j) < HX (j + 1) < m para 0 ≤ j < aX ; c) HX (j) = m para j > aX . El número aX + 1 se llama el ı́ndice de regularidad de RX o IX . Sabemos que la serie de Hilbert para un módulo es una función racional, i.e., es el cociente de dos polinomios con coeficientes enteros. En nuestro caso la función de Hilbert tiene una expresión de la forma FX (t) = p(t)/(1 − t)1+n (Ver [Eis95]). El siguiente resultado sencillo es útil en situaciones prácticas para calcular el a-invariante de IX . Proposición 5.9. Con la notación anterior, el a-invariante de IX es igual a deg p − (1 + n) Demostración. Supongamos Card X = m, entonces, del comportamiento de la función de Hilbert del ideal IX se sigue que aX ∞ X X FX (t) = HX (j)tj + mtaX +1 tj . j=0 P∞ j=0 PaX tj , Usando la igualdad 1/(1 − t) = j=0 vemos que FX (t) = j=0 HX (j)tj + mtaX +1 /(1 − t), donde al sumar ambas partes no se altera el grado del polinomio del numerador, que es aX + 1, y al p(t) multiplicar tanto el numerador como el denominador por (1 − t)n , obtenemos que FX = (1−t) 1+n , donde deg p(t) = aX + 1 + n, y de esta manera se sigue el resultado. ∗ Recordamos que una resolución libre finita graduada (que abreviaremos como (GFFR), por sus siglas en inglés) para RX es una sucesión exacta de S-módulos de la forma M M 0→ S(−αis )βis → · · · → S(−αi1 )βi1 → S → RX → 0 donde αij ∈ Z, S(−αij ) ∼ = S con la graduación (S(−αij ))k = Sk−αij . Si conocemos una (GFFR) para un A-módulo RX , el siguiente resultado es una consecuencia inmediata. Proposición 5.10. Si d ∈ N, entonces X s X n + d − αij n+d j dim k RX (d) = + (−1) βij . d d − αij j=1 94 i 5.2. Códigos algebraicos de Evaluación 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo A continuación recordamos el módulo canónico de RX . Es fácil ver que RX es un A-módulo Cohen-Macaulay de dimensión 1. Esto significa que ∃ d > 0 tal que f ∈ Ad no es un divisor de cero en RX . Podemos suponer que d = 1 y f = x0 , al trabajar, de ser necesario, sobre una extensión finita adecuada de k . Sea Homk[x0 ] (RX , k[x0 ]) el RX -módulo graduado cuya componente homogénea de grado d es el conjunto de todos los k[x0 ]-homomorfismos graduados ϕ tales que ϕ(RX (s)) ⊆ k[x0 ]s+d . La estructura de RX -módulo sobre Homk[x0 ] (RX , k[x0 ]) esta dada por (rϕ)(t) = ϕ(rt) para todos t, r ∈ RX . Definimos el módulo canónico de RX como: ωRX = Homk[x0 ] (RX , k[x0 ])(−1). Se puede demostrar ([DRTR01], página 457) que ωRX es isomorfo a aM X +1 (Homk[x0 ] (k[x0 ](−i), k[x0 ]))∆HX (i) (−1) ∼ = i=0 aM X +1 k[x0 ](i − 1)∆HX (i) , i=0 Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado. Proposición 5.11. Para todo entero d ∈ Z se tiene que HX (d) + HωR (−d) = Card X. A continuación, decimos que un conjunto de puntos X ⊆ Pnk es una intersección completa (cero dimensional) si el ideal IX es generado por una sucesión regular de elementos, i.e., existe un conjunto de n generadores {f1 , . . . , fn } del ideal IX tal que fi no es un divisor de cero de S/ hf1 , . . . , fi−1 i, para i = 1, . . . , n − 1. Si IX = hf1 , . . . fn i, con fi ∈ Sdi , decimos que X es una intersección completa de multigrado d = (d1 , . . . , dn ). La siguiente proposición nos da una GFFR de una intersección completa. Proposición 5.12. Sea X una intersección completa de multigrado d = (d1 , . . . , dn ), entonces una (GFFR) de RX es la siguiente: 0 → T (dn +· · ·+d1 ) → · · · T (di1 +· · ·+dik ) → · · · T (di1 +di2 +di3 ) → T (di1 +di2 ) → T (di ) → RX → 0, donde T (di ) = Ln i=1 S(di ) y, en general, T (di1 + · · · + dik ) = L 1≤i1 <···<ik S(− Pk j=1 dij ). Demostración. La resolución anterior es el complejo graduado de Koszul, y es una sucesión exacta por que el ideal está generado por una sucesión regular. ∗ Como una consecuencia inmediata del resultado anterior tenemos Corolario 5.13. Si X es una intersección completa de multigrado d = (d1 , . . . , dn ), entonces la serie de Hilbert de IX es " # X X 1 1− tdi1 +di2 + tdi1 +di2 +di3 + · · · + (−1)n td1 +···+dn . (1 − t)n+1 i1 <i2 i1 <i2 <i3 El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del corolario anterior y de la Proposición 5.9. Corolario 5.14. Si X es una intersección completa de multigrado d = (d1 , . . . , dn ), entonces P a) el a-invariante de IX es aX = ni=1 di − (1 + n); 95 5.2. Códigos algebraicos de Evaluación 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo b) el Polinomio de Hilbert de IX es: X X n + d − (di + dj + dk ) n + d − (di + dj ) n+d + ··· + HX (d) = − d − (di + dj + dk ) d − (di + dj ) d i<j i<j<k Pn di n n+d− i=1 P . + (−1) d − ni=1 di Se puede dar una descripción más concreta del módulo canónico de una intersección completa ([DRTR01], página 459 [Eis95] página 519). Si IX = hf1 , . . . , fn i con multigrado d = (d1 , . . . , dn ), entonces ! n X ωR = R di − (n + 1) . i=1 Ası́, para todo entero m, la m-ésima componente homogénea de ωR es P d −n−1−m. (−m) = dimk (RP d −n−1−m ). (ωR )−m = R En particular, tenemos que HωR i i A continuación expresaremos HωR en términos de HX , utilizando el teorema de la Dualidad de Serre ([Har77], Capı́tulo 3, Sección 7, página 239 y [DRTR01], página 459). Proposición 5.15. Con la notación anterior, sea aX el a-invariante de IX , entonces HωR (−m) = HX (aX − m). En particular, HX (m) + HX (aX − m) = Card X Demostración. La primera afirmación se sigue del Corolario 5.14 y de las observaciones anteriores. La última afirmación se sigue de la Proposición 5.11. ∗ 5.2.2. Códigos Primero introduciremos algo de notación. Sea k = GF(q) un campo finito con q elementos, Ldonde q es la potencia de un número primo p (la caracterı́stica del campo), sea S = k[x0 , . . . , xn ] = j≥0 Sj el anillo de polinomios en las variables x0 , . . . , xn sobre el campo k con la graduación natural. Transformamos el espacio k n en un espacio métrico utilizando la distancia de Hamming entre dos vectores u = (u1 , . . . , un ) y v = (v1 , . . . , vn ) definida por d(u, v) := Card {i = 1, . . . , n | ui − vi 6= 0}. Sea Dr (v) el disco de radio r con centro en v ∈ k n . Un subconjunto C ⊂ k n es un código que corrige al menos r errores si los discos Dr (v) con centros en v ∈ C son disjuntos. (Ası́, se pueden corregir hasta r errores que sucedan en los elementos de C, llamados palabras código.) El número dist C := min {d(u, v)} u,v∈C u6=v se llama la distancia mı́nima de C y mide la capacidad del código para corregir errores, pues es fácil ver que C corrige r errores si dist C ≥ 2r + 1. 96 5.2. Códigos algebraicos de Evaluación 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo Un código lineal es un subespacio vectorial C ⊆ k n . En el caso particular de los códigos lineales es relativamente fácil el calcular la distancia mı́nima de C, al menos en principio. El peso de una palabra (denotado por wt) es el número de letras no cero en ella. La distancia entre dos palabras u y v es igual al peso de su diferencia (en cualquier orden), d(u, v) = wt (u − v) = wt (v − u). Por lo tanto, en un código lineal, la distancia entre cualesquiera dos palabras distintas en C es igual al peso de una palabra no cero en C. Recı́procamente, el peso de una palabra u distinta de cero es la distancia de u a la palabra cero, la cual se halla en cualquier código lineal. Ası́ dist C resulta ser el menor número de coordenadas distintas de cero de una palabra no cero del código. Definimos también el código dual de un código lineal C a ser el conjunto ⊥ n C := {(y1 , . . . , yn ) ∈ k | n X yi xi = 0 ∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ C}. i=1 Cada elemento w en C ⊥ nos provee de una prueba para verificar si cierta palabra c está en C, pues toda palabra en C debe ser ortogonal a w. Esto es llamado una verificación de paridad por que, en el caso binario, esto verifica si hay un numero par de unos en c en las posiciones en las que w tiene unos. Con los códigos lineales obtenemos dos códigos por el precio de uno. Observación 5.1: No hay que confundir al código dual C ⊥ con un complemento ortogonal en el sentido clásico de los R-espacios vectoriales. En el caso de un campo finito GF(q), los subespacios C y C ⊥ pueden llegar intersecarse en algo más grande que el conjunto {0}, inclusive puede suceder C = C ⊥ , en cuyo caso se dice que C es un código autodual. El principal problema de la teorı́a de códigos correctores de errores lineales es construir dichos códigos de tal manera que tanto dist C como dimk C sean tan grandes como sea posible. A continuación L tomamos X = {P1 , . . . , Pm } ⊆ Pnk un conjunto finito de puntos,L denotaremos por IX = j≥0 IX (j) al ideal graduado I(X) en S, y denotaremos por RX = S/IX = j≥0 Sj /IX (j) al anillo coordenado de X. Para d ∈ N, consideramos el mapeo de evaluación ev : Sd −→ k m en el conjunto X = {P1 , . . . , Pm } ⊆ Pn , definido por ev(fL ) = (f (P1 ), . . . , f (Pm )). Éste mapeo es k-lineal y define el código k-lineal CX (d) = Im ev. Si IX = j≥0 IX (j) ⊆ S es el ideal de X, es fácil ver que Ker ev = IX y ası́ CX (d) ∼ = Sd /IX (d). En particular, la longitud de CX (d) es Card X = m y su dimensión está dada por HX (d), el polinomio de Hilbert de IX . Ahora podemos aplicar la construcción anterior del código CX (d) al caso en el que X es una intersección completa. Aquı́ tenemos que IX = hf1 , . . . , fn i, donde {f1 , . . . , fn } es una sucesión regular, con multigrado d = (d1 , . . . , dn ). Sea aX = d1 + · · · + dn − (n + 1) el a-invariante de IX . Para un entero d tal que 0 ≤ d ≤ aX el código k-lineal CX (d) definido anteriormente se denotará por RM(X, d) y se llamará el Código de Reed-Muller en X. Teorema 5.16. Sea X una intersección completa y d un entero tal que 0 ≤ d ≤ aX . Entonces el código Reed-Muller RM(X, d) tiene longitud Card X = d1 d2 · · · dn , y su dimensión está dada por el polinomio de Hilbert HX (d). Demostración. Probaremos el siguiente resultado general. Sea {Fi } una sucesión regular de polinomios homogéneos de grados di en A, donde i ∈ {1, . . . , t}, y t ≤ n y sea Rt = A/ hF1 , . . . , Ft i. 97 5.2. Códigos algebraicos de Evaluación 5. Intersecciones en el Espacio Proyectivo d1 ···dt n−t Entonces el polinomio de Hilbert de Rt es de la forma Pt (z) = (n−t)! z +Q(z), donde deg Q < n−t. Para demostrarlo procederemos por inducción sobre t. Para t = 1, tenemos la sucesión exacta 0 → A(−d1 ) → A → R1 → 0 donde el primer mapeo la de está definido por 1 7→ F1 . Por lo tanto función Hilbert en grado d+n−d1 z+n z+n−d1 d es d+n − , por lo que el polinomio de Hilbert es − , es decir, P1 (z) = n n n+ n d1 n−1 + Q1 (z), donde deg Q1 < n − 1. Suponemos que este resultado se cumple para t − 1, (n−1)! z ahora consideremos la siguiente sucesión regular para t F 0 → Rt−1 (−dt ) →t Rt−1 → Rt → 0 donde el primer mapeo es la multiplicación por Ft , el cual es inyectivo por que F1 , . . . , Ft forman una d1 ···dt−1 n−(t−1) sucesión regular. De lo anterior obtenemos que Pt (z) = Pt−1 (z) − Pt−1 (z − dt ) = (n−(t−1))! z + d1 ···dt−1 (z − dt )n−(t−1) + R2 (z − dt ), donde deg R1 , deg R2 < n − (t − 1), por lo que se sigue R1 (z) − (n−(t−1))! el resultado. Por supuesto que éste resultado también se cumple cuando t = n. Ya que RM(X, d) es isomorfo a Ad /IX (d), su dimensión es HX (d), del cual tenemos una expresión explı́cita del Corolario 5.14. ∗ α Teorema 5.17. Con la notación anterior, el código dual de RM(X, aX ) es unidimensional. ∗ Demostración. Ver [DRTR01], página 460. 5.2.3. Algunos ejemplos En esta sección damos algunos ejemplos de conjuntos en espacios proyectivos (sobre campos finitos) que son intersecciones completas, y después de ello damos los correspondientes códigos de Reed-Muller. Los siguientes tres ejemplos son de curvas inmersas en P2 cuyos puntos racionales sobre el campo correspondiente forman una Intersección Completa (para leer más al respecto, consulte [DRTR01], página 461). 5.2 Ejemplo (La lı́nea Proyectiva): Sea k = GF (q), y tomamos los polinomios f1 (x, y, z) = z y f2 (x, y, z) = xq y − xy q . Entonces el subconjunto X = {(1, a, 0) | a ∈ k} ∪ {(0, 1, 0)} es tal que IX = hf1 , f2 i, en el cual el multigrado es d = (1, q + 1). El a-invariante es q − 1. 5.3 Ejemplo (La cuártica de Klein): Sea k = GF (8) y f1 (x, y, z) = x2 y+y 3 z+z 3 x, f2 (x, y, z) = x5 z + y 5 x + z 5 y + x2 y 2 z 2 . Se puede demostrar que el conjunto X de los puntos k-racionales de la cuártica de Klein tiene las siguientes caracterı́sticas: IX = hf1 , f2 i, con multigrado d = (4, 6), Card X = 24 y a-invariante igual a 7. 5.4 Ejemplo (Curva Hermitiana): Sea k =GF(r2 ) y sean f1 (x, y, z) = xr+1 + y r+1 + z r+1 , 2 2 f2 = z(xr y − xy r )/(xr y − xy r ). Entonces el conjunto de los puntos k-racionales de la curva Hermitiana cumple IX = hf1 , f2 i, con multigrado d = (r + 1, r2 − r + 1). Observe que el polinomio f2 es el producto de aquellas lı́neas que pasan a través del punto [0 : 0 : 1] que contienen r + 1 puntos, y de la lı́nea z = 0 que pasa a través de los r + 1 puntos restantes. Notemos que en estos tres ejemplos el a-invariante es igual a q−1, donde q es el número de elementos del campo de definición. También cabe mencionar que el conjunto de todos los puntos racionales en el espacio proyectivo de dimensión mayor que uno no define una intersección completa, por lo que el Ejemplo 5.2 no se puede generalizar. 98 Conclusiones “En toute science, quand nous l’entendons non comme un instrument de pouvoir et de domination, mais comme aventure de connaissance de notre espèce à travers les âges, n’est autre chose que cette harmonie, plus ou moins vaste et plus ou moins riche d’une époque à l’autre, qui se déploie au cours des générations et des siècles, par le délicat contrepoint de tous les thèmes apparus tour à tour, comme appelés du néant.”1 . –Alexandre Grothendieck El principal objetivo de este trabajo fue estudiar a las variedades algebraicas desde dos puntos de vista: en el primero (llevado a cabo en los capı́tulos 1 y 2) las consideramos como objetos aislados y las clasificamos en dos grandes grupos: afines y proyectivas. Vimos las diferentes propiedades topológicas de nuestros espacios de trabajo (An y Pn , los cuales resultaron ser espacios topológicos noetherianos irreducibles de dimensión finita) y en base a estas propiedades fuimos construyendo nuestros ejemplos, siempre con el objetivo de ganar intuición y hacer más claras las ideas. Gracias a distintos resultados auxiliares fuimos capaces de descubrir las siguientes conexiones entre el Álgebra y la Geometrı́a en el espacio afı́n: V es : ∅ An Un punto (a1 , . . . , an ) Irreducible Un conjunto algebraico Una hipersuperficie I(V ) es A {0} maximal hx1 − a1 , . . . , xn − an i primo radical principal no nulo A(V ) es {0} A Un campo dominio entero k-álgebra reducida f.g − Dimensión − n 0 − − n−1 Sin embargo no es posible ofrecer una tabla tan clara en el caso proyectivo, pero con algunos cambios técnicos pudimos trasladar muchos de los resultados obtenidos previamente en variedades afines. En los capı́tulos 3 y 4 viramos hacı́a el segundo punto de vista, en el cual unificamos nuestra definición de variedad y comenzamos a estudiar las formas de viajar de un objeto a otro; para ello construimos distintas nociones de morfismo y concretamente formamos dos categorı́as de objetos geométricos que caracterizamos completamente en términos de categorı́as de objetos algebraicos. Este es el espı́ritu interdisciplinario, interrelacional y global de la Geometrı́a Algebraica moderna. Las caracterizaciones obtenidas fueron las siguientes: 1. El funtor contravariante X 7→ A(X) induce una antiequivalencia de categorı́as entre la categorı́a de las variedades afines sobre k y la categorı́a de los dominios enteros finitamente generados sobre k (Corolario 3.10). 1 Texto extraı́do de [Jac04] 99 5. Intersecciones en el EspacioConclusiones Proyectivo 5.2. Códigos algebraicos de Evaluación 2. El funtor contravariante X 7→ K(X) induce una antiequivalencia de categorı́as entre la categorı́a de las variedades y los mapeos racionales con la categorı́a de las extensiones de campos de k que son finitamente generadas (Teorema 4.4). Cabe mencionar que el uso de este lenguaje fue muy fructı́fero, pues además de haber justificado la inserción de varios ejemplos y temas de los capı́tulos 1 y 2 (v.g., las inmersiones de Veronese y de Segre), nos permitieron aclarar el significado de los mismos y definir conceptos nuevos, como los productos de variedades. El uso de categorı́as inevitablemente lleva ligada la noción de isomorfismo o igualdad de objetos; con ello también arrivamos al problema central de la clasificación de las variedades desde distintos puntos de vista. Aquı́ hemos empleado dos: Isomorfismo y Equivalencia Birracional. Con ejemplos vimos que la segunda relación es más amplia, en el sentido de que cualesquiera dos variedades isomorfas son birracionalmente equivalentes, pero el recı́proco de este enunciado no es cierto. Hubo un tema que estuvo presente a lo largo de todo el trabajo, pero que pudo haber pasado desapercibido: la teorı́a de la intersección. Hacı́a la parte final del trabajo decidimos dedicarle un capı́tulo para hacer notar la versatilidad de la disciplina, para incluir una sección donde se abordan aplicaciones de la misma a la construcción de códigos detectores-correctores de erroes, el cual es un campo en el que Geometrı́a Algebraica tiene un papel destacado. Ahora pasemos a comentar sobre lo que se asoma en el horizonte. Hay buenas razones para trabajar sobre campos que no son algebraicamente cerrados, una de ellas es que muchos problemas en Geometrı́a Algebraica son motivados por la teorı́a de numeros, en la cual estamos principalmente interesados en la resolución de ecuaciones sobre campos finitos o campos numéricos. Algunas personas como Zariski, Weil y Nagata han trabajado ya sobre campos que no son algebraicamente cerrados e inclusive sobre dominios de Dedekind. Otra dirección en la cual podemos expandir nuestros fundamentos es el definir un cierto tipo de variedad abstracta que no venga acompañada a priori de una inmersión en algún espacio afı́n o proyectivo. Esto es especialmente necesario en problemas como el de la construcción de una variedad de moduli. El problema moduli es a grosso modo hallar un objeto geométrico que parametrize a una familia de objetos que comparten ciertos invariantes o caracterı́sticas, y que al mismo tiempo refleje la estructura de estos objetos vistos no como entidades discretas o separadas, sino como un todo. Como objetos geométricos que son, podemos hablar de una variedad de moduli, la cual deberı́amos ser capaces de construir de manera local, sin saber nada acerca de una inmersión global. Se ha visto que la fructı́fera idea de los esquemas (debida a Alexandre Grothendieck) generaliza correctamente el concepto de variedad cuasi-proyectiva que desarrollamos en este trabajo. Él comienza de la observación de que una variedad afı́n corresponde a un dominio entero finitamente generado sobre un campo. Pero, ¿Por qué restringirnos solamente a este tipo tan particular de anillos? De esta manera, para cualquier anillo conmutativo A, él define un espacio topológico Spec A, y una gavilla de anillos sobre Spec A, la cual generaliza el anillo de funciones regulares sobre una variedad afı́n, llamándole a todo esto un esquema afı́n. Después se define un esquema arbitrario al pegar o unir esquemas afines, generalizando ası́ la noción de variedad abstracta sugerida anteriormente. Sugerimos ampliamente el Capı́tulo II del libro de Hartshorne [Har77], en el cual desarrolla los fundamentos de la Geometrı́a Algebraica utilizando el lenguaje de los esquemas. 100 Apéndice A Tópicos en Álgebra En esta parte presentamos los conceptos y resultados más especializados a los que recurrimos en este trabajo y, que de introducirlos al momento de utilizarlos, nos distraerı́an demasiado del tema actual en discusión. A.1.– Álgebra Conmutativa Álgebras. Sea A un anillo. Una A−álgebra es un anillo B junto con un homomorfismo entre los anillos ψB : A −→ B. Un homomorfismo de A-álgebras B −→ C es un homomorfismo entre los anillos ϕ : B −→ C tal que el siguiente diagrama es conmutativo ψB /B @@ @@ ϕ ψC @@ A@ C Una A-álgebra B es finitamente generada si existen a1 , . . . , an ∈ B tales que ∀α ∈ B ∃ f ∈ R[x1 , . . . , xn ] : α = f (a1 , . . . , an ). Si X ⊆ B, entonces la A-subálgebra generada por X es la intersección de todas las A-subálgebras de B que contienen a X, y es la mı́nima A-subálgebra que contiene a X. Consiste de todos los elementos de B que se pueden escribir como polinomios en elementos de X con coeficientes en A. Descomposición Primaria. Una descomposición primaria de un ideal a en un anillo A es una expresión de a como una intersección finita de ideales primarios a = ∩ni=1 qi . Si además se cumple √ que (i ) los ideales primos asociados pi = qi son todos distintos, e (ii ) se tiene que ∀ i : qi ) ∩j6=i qj , entonces la descomposición primaria se dice que es minimal. Se puede demostrar que toda descomposición primaria se puede reducir a una minimal. Se dirá que a es descomponible si tiene una descomposición primaria. Definición: Sea R un anillo, un R-módulo libre es un módulo que es isomorfo (como módulo) a una suma directa de copias del anillo R. Si M es un R-módulo libre finitamente generado, i.e. ∃n∈N : M ∼ = Rn , entonces el número n es un invariante de M y se llama el rango de M . Sucesiones exactas. Una sucesión de A-módulos y A-homomorfismos fi+1 fi · · · −→ Mi−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ · · · se dice que es una sucesión exacta en Mi si Im fi = Ker fi+1 . La sucesión es exacta si es exacta en f g cada Mi . En particular, la sucesión 0 → M 0 → M → M 00 → 0 es exacta si, y sólo si, f es inyectiva y g es suprayectiva y Ker g = Im f . Una sucesión de este tipo se denomina sucesión exacta corta. 101 A.2. Categorı́as A. Tópicos en Álgebra Sea C una clase de A-módulos y λ : C −→ Z. La función λ es aditiva si, para cada sucesión f g exacta corta 0 → M 0 → M → M 00 → 0, se tiene λ(M 0 ) − λ(M ) + λ(M 00 ) = 0. Sucesiones regulares. Anillos y Módulos Cohen-Macaulay. Sea M un A-módulo. Una sucesión {a1 , . . . , am } de elementos de A es una sucesión M -regular si ∀ i ∈ {0, . . . , m − 1}, ai+1 no es un divisor de cero de M/ ha1 , . . . , ai i. Dependencia Entera. Los elementos enteros sobre un anillo son el equivalente a los elementos algebraicos sobre un campo. Sea A un anillo, B un subanillo de A (con 1 ∈ B). Un elemento α ∈ A se dice entero sobre B si ∃ f ∈ A[x] mónico tal que f (α) = 0. El conjunto C de todos los elementos de A que son enteros sobre B forman un subanillo de A llamado la cerradura entera de B en A. Extensiones de Campos. Sea k un campo. Una extensión de k es un campo F que contiene a k como subcampo (se representa por F/k). Bajo estas condiciones, F es un k-espacio vectorial de manera natural, la extensión se dice de dimensión finita si dimk F < ∞; en caso contrario la extensión se dice que es de dimensión infinita. Sea F/k una extensión de campos, un elemento u ∈ F se dice algebraico sobre k si ∃ f ∈ k[x], f 6= 0 tal que f (u) = 0. Si dado cualquier polinomio no nulo f ∈ k[x] se tiene que f (u) 6= 0, entonces se dice que u es trascendental sobre k. F/k es una extensión algebraica si todo elemento de F es algebraico sobre k. F es una extensión trascendental si al menos un elemento de F es trascendental sobre k. Sea k un campo y f ∈ k[x] un polinomio irreducible, entonces se dice que f es separable si en algún campo de descomposición de f sobre k toda raı́z de f tiene multiplicidad 1. Si F/k es una extensión de campos y u ∈ F es algebraico sobre k, entonces u se dice separable sobre k si su polinomio irreducible es separable. Si todo elemento de F es separable sobre k, entonces F es una extensión separable de k. Estudiaremos a continuación los conceptos de independencia algebraica y base de trascendencia, que son fundamentales en la geometrı́a algebraica, y están ligadas esencialmente a la noción de dimensión. Sea F/k una extensión de campos y S ⊆ F . Se dice que S es algebraicamente dependiente sobre k si para algún n ∈ N ∃ f ∈ k[x1 , . . . , xn ] no cero tal que f (s1 , . . . , sn ) = 0 para distintos s1 , . . . , sn ∈ S. Si S no es algebraicamente dependiente sobre k, entonces se dice que S es algebraicamente independiente sobre k. Sea F/k una extensión de campos. Una base de trascendencia de F sobre k es un subconjunto S ⊆ F el cual es algebraicamente independiente sobre k y es maximal (con respecto a la inclusión de conjuntos) en el conjunto de subconjuntos algebraicamente independientes de F . El grado de trascendencia de la extensión F/k (denotado por tr.d.F/k) es el número cardinal Card S de cualquier base de trascendencia S. A.2.– Categorı́as Definición: Una categorı́a es una clase C de objetos junto con una clase de conjuntos disjuntos, denotados hom (A, B), uno para cada par de objetos en C ; (un elemento f ∈ hom (A, B) se llama morfismo de A a B y es denotado por f : A −→ B); para cada trio (A, B, C) de objetos en C una función hom (B, C) × hom (A, B) −→ hom (A, C); 102 A.2. Categorı́as A. Tópicos en Álgebra donde para morfismos f : A −→ B y g : B −→ C, esta función se escribe (g, f ) 7→ g ◦ f y el morfismo resultante g ◦ f : A −→ C se llama la composición de f y g; todos sujetos a los siguientes dos axiomas: • Asociatividad. Si f : A −→ B, g : B −→ C y h : C −→ D son morfismos de C , entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . • Identidad. Para todo objeto B de C existe un morfismo 1B : B −→ B tal que para todo f : A −→ B, g : B −→ C, se cumple 1B ◦ f = f y g ◦ 1B = g En una categorı́a C un morfismo f : A −→ B se dice una equivalencia si existe en C un morfismo g : B −→ A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B . La composición de dos equivalencias (cuando está definida) es una equivalencia. Si f : A −→ B es una equivalencia, A y B se dicen ser equivalentes. Definición: Sea C una categorı́a y {Ai }i∈I una familia de objetos de C . Un producto para la familia {Ai }i∈I es un objeto P de C junto con una familia de morfismos {πi : P −→ Ai }i∈I tal que para todo objeto B y cualquier familia de morfismos {ϕi : B −→ Ai }i∈I , existe un único morfismo ψ : B −→ P tal que ∀i ∈ I , el siguiente diagrama es conmutativo: πi / Ai > } } } }}ϕ }} PO ∃ !ψ B Definición: Un objeto I en una categorı́a C se dice universal (o inicial) si para todo objeto C de C , el conjunto hom (I, C) consta de un solo elemento. Un objeto T de C se dice couniversal (o final) si para todo objeto C de C , el conjunto hom (C, T ) consta de un solo elemento. Teorema A.1. Cualesquiera dos objetos universales [respectivamente couniversales] en una categorı́a C son equivalentes. Demostración. Véase [Hun74], página 57. Productos Tensoriales de Módulos. Sea R un anillo (conmutativo con identidad como siempre), M y N dos R-módulos. Entonces existe un R-módulo T y un mapeo bilineal ψ : M × N −→ T tal que para todo R-módulo P y para toda función bilineal f : M × N −→ P existe un único mapeo lineal f 0 : T −→ P tal que el siguiente diagrama es conmutativo M ×N HH ψ /T HH f HH 0 HH ∃ !f H# P El R-módulo T se llama el producto tensorial de M y N , y se denota por M ⊗R N . Vemos que ψ es un objeto universal en la categorı́a de todas las funciones bilineales en M × N . Proposición A.2. Sean R y S dos anillos, I un ideal de R, M un R-módulo, P un S-módulo y N un (R, S)-bimódulo (i.e., N es a la vez un R-módulo y un S-módulo, y las dos estructuras don compatibles en el sentido de que ∀ r ∈ R, s ∈ S, x ∈ N : a(xb) = (ax)b). Entonces se cumple lo siguiente: 103 A.2. Categorı́as A. Tópicos en Álgebra a) R ⊗R M ∼ = M, b) M/IM ∼ = R/I ⊗R M , c) (M ⊗R N ) ⊗S P ∼ = M ⊗R (N ⊗S P ). Demostración. a) Definimos ψ : R × M −→ M por ψ(r, x) := rx, es claro que ψ es una función bilineal. Sea T cualquier R-módulo y f : M × N −→ T cualquier función bilineal, es claro que ∀ r ∈ R, x ∈ M : f (r, x) = f (1, rx), luego, si definimos f 0 = f (1, ·), es claro que es el único mapeo lineal tal que f = f 0 ◦ ψ. b) Ver [AM69], página 31. c) Ver [AM69], página 27. Definición: Sean C , D dos categorı́as. Un funtor covariante T de C a D (denotado por T : C −→ D) consta de un par de funciones (ambas denotadas por T ), una función objeto que a cada objeto C de C le asigna un objeto T (C) en D, y una función morfismo que a cada morfismo f ∈ HomC (C, M ) le asigna un morfismo T (f ) ∈ HomD (T (C), T (M )) tal que 1. para todo morfismo identidad 1C de C , se tiene que T (1C ) = 1TC ; 2. para cualesquiera morfismos f, g cuya composición esté definida, se tiene que T (g ◦ f ) = T (g) ◦ T (f ). Definición: Sean C , D dos categorı́as. Un funtor contravariante S : C −→ D consta de un par de funciones (ambas denotadas por S), una función objeto que a cada objeto C de C le asigna un objeto S(C) en D, y una función morfismo que a cada morfismo f ∈ HomC (C, M ) le asigna un morfismo S(f ) ∈ HomD (S(M ), S(C)) tal que 1. para todo morfismo identidad 1C de C , se tiene que S(1C ) = 1SC ; 2. para cualesquiera morfismos f, g cuya composición esté definida, se tiene que S(g ◦ f ) = S(f ) ◦ S(g). Observemos que la función morfismo de un funtor contravariante S : C −→ D invierte la dirección de los morfismos. Algunas caracterı́sticas interesantes de los funtores son las siguientes: Definición: Sea F : C −→ D un funtor, F se dice pleno si para cada morfismo f : F (A) −→ F (B) en HomD (F (A), F (B)) existe g ∈ HomC (A, B) tal que F (g) = f . El funtor se dice fiel si el mapeo F : HomC (A, B) −→ HomD (F (A), F (B)) es inyectivo para cada A, B ∈ Ob C . Por último, el funtor se dice denso si para todo D ∈ Ob D existe C ∈ Ob C tal que F (C) ∼ = D. Sea (I, ≤) un conjunto parcialmente ordenado . Sea {πij : Ai −→ Aj | i ≤ j} una familia de morfismos en C indexados por ≤ tales que si i = j, entonces πii = 1Ai y si i ≤ j ≤ k, entonces πjk ◦πij = πik . Dicha familia se llama un sistema dirigido indexado por I. El objeto A junto con una familia de morfismos {πi : Ai −→ A | i ∈ I} se llama el colı́mite de la familia, escrito A = limI Ai −→ si todo diagrama de la forma Ai @ πij @@ @@ πi @@@ A / Aj ~ πj ~ ~ ~~ ~~~ 104 A.2. Categorı́as A. Tópicos en Álgebra conmuta, y si para todo objeto B ∈ C y para toda familia de objetos {ϕi : Ai −→ B} tal que todos los diagramas de la forma Ai @ πij @@ @@ ϕi @@@ B / Aj ~ ϕj ~ ~ ~~ ~ ~~ es conmutativo, entonces existe un único morfismo ψ : A −→ B tal que el siguiente diagrama πij / Aj 00@@@ πi ~ πj ~ 00 @@ ~~ 00 @@ ~~~~ 0 ϕ ϕi 00 A j 00 0ψ0 0 Ai0 @ B es conmutativo. Si I es un conjunto dirigido, entonces lim Ai es llamado el lı́mite directo de la −→ familia {Ai }i∈I . 105 A.2. Categorı́as A. Tópicos en Álgebra 106 Índice de figuras 1.1. Curvas algebraicas de grado 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Descomposición en componentes irreducibles de un conjunto algebraico . . . . . . . . 1.3. La curva cúbica torcida afı́n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 15 19 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. . . . . . 24 25 28 38 41 3.1. La curva afı́n Z(y 2 − x3 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tres variedades afines isomorfas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Proyección desde un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 64 4.1. Explosión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Proyección desde un punto . . . . . . . . . . . . . . La lı́nea y el plano proyectivos . . . . . . . . . . . Conos afines y conos sobre variedades proyectivas. Cerradura proyectiva de la parábola x21 = x2 en P2 . La superficie cuádrica en P3 . . . . . . . . . . . . . 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice de figuras Índice de figuras 108 Índice de Notación Ank k k[x1 , . . . , xn ] Z(f ) Y hXi √ a I(Y ) N = {1, 2, . . .} R C A(Y ) x R∗ deg f char k GLn (k) {Gα }α∈I X −Y Card X dim X ht p coc B Pn AtB [a0 : . . . : an ] Sh S(Y ) C(Y ) S+ T −1 S Sp dimk V O(Y ) OP,Y K(Y ) n-espacio afı́n sobre k, 1 un campo, 1 anillo de polinomios en n variables sobre k, 1 conjunto de ceros, 1 cerradura de un conjunto, 4 ideal generado por el conjunto X, 5 radical de un ideal, 5 ideal de un conjunto de puntos, 5 conjunto de los números naturales, 6 campo de los números reales, 7 campo de los números complejos, 7 anillo coordenado afı́n, 8 clase residual (de equivalencia), 8 conjunto de unidades del anillo R, 9 grado de un polinomio f ∈ R[x], 9 caracterı́stica del campo k, 10 Grupo General Lineal de orden n del campo k, 10 familia indexada por el conjunto I, 13 complemento relativo, 13 cardinalidad del conjunto X, 14 dimensión de un espacio topológico, 15 altura de un ideal primo, 17 campo de cocientes del dominio entero B, 17 n-espacio proyectivo, 24 unión disjunta de A y B, 24 coordenadas homogéneas de un punto en Pn , 24 conjunto de elementos homogéneos de S, 27 anillo coordenado homogéneo, 27 cono afı́n sobre la variedad proyectiva Y , 28 ideal maximal irrelevante, 29 localización en un sistema multiplicativo, 34 localización en un ideal primo, 34 dimensión del espacio vectorial V sobre el campo k, 43 anillo de funciones regulares en una variedad, 49 anillo local de un punto, 49 campo de funciones, 49 109 tr.d k 0 /k S(p) HomC (X, Y ) limI Ai −→ gcd (a, b) A⊗B SLn (k) a|b n0 ∆f M (d) Ann M µp (M ) deg Y pa (Y ) i(Y, H; Zj ) aX ω RX d = (d1 , . . . , dn ) GF(q) d(u, v) dist C wt (u) C⊥ ev grado de trascendencia de una extensión de campos, 51 ver 53 conjunto de morfismos de X a Y en la categorı́a C , 54 lı́mite directo, 57 máximo común divisor de a y b, 60 producto tensorial de módulos (k-álgebras), 68 Grupo Especial Lineal de orden n sobre el campo k, 72 a divide a b, 78 n suficientemente grande, 88 función diferencia, 88 d-ésimo modulo torcido de M , 89 anulador del módulo M , 89 la multiplicidad de un S-módulo graduado en el ideal primo minimal p, 90 grado de una variedad proyectiva Y , 90 género aritmético de Y , 91 multiplicidad de intersección de Y y H a través de Zj , 93 a-invariante del anillo coordenado de X, 94 módulo canónico del anillo coordenado de X, 95 multigrado de una intersección completa cero dimensional X, 95 campo finito de q elementos, 96 distancia de Hamming entre u y v, 96 distancia mı́nima del código C, 96 peso de u, 97 código dual del código lineal C, 97 mapeo de evaluación, 97 110 Índice alfabético ı́ndice de regularidad, 94 a-invariante, 94 altura, 17 anillo coordenado afı́n, 8 homogéneo, 27 de funciones regulares, 49 graduado, 25 reducido, 8 Bézout teorema de, 93 código autodual, 97 corrector de errores, 96 dual, 97 lineal, 97 campo de funciones, 49 CCA, 12 CCD, 12 cerradura proyectiva, 32 Cohen-Macaulay, 102 colı́mite, 104 colineación, 67 componente irreducible, 14 condición de cadena ascendente, véase CCA condición de cadena descendente, véase CCD conjunto algebraico, 2, 27 de ceros, 2, 26 cono afı́n, 28 sobre una variedad proyectiva, 28 Cremona transformación plana de, 77 curva afı́n plana, 7 cúbica torcida, 18 curva excepcional, 85 deshomogeneización de polinomios, 31 dimensión de espacio topológico, 15 de Krull, 17 distancia mı́nima, 96 Eisenstein criterio de, 5 equivalencia proyectiva, 67 espacio afı́n, 1 proyectivo, 24 explosión, 84 en un punto, 84 extensión de ideales, 68 Frobenius mapeo de, 59 función coordenada, 7 polinomial, 7 racional, 49 regular, 48 funtor contravariante , 104 covariante, 104 denso, 104 fiel, 104 pleno, 104 género aritmético, 91 GFFR, 94 grado, 7, 90 graduación, 25 111 Índice alfabético grupo aditivo, 71 multiplicativo, 71 grupo algebraico, 70 Hamming distancia de, 96 Hilbert Basissatz, 2 función de, 90 Nullstellensatz, 6, 27 polinomio de, 90 serie de, 94 hiperplano, 42 hipersuperficie, 7 homogeneización de ideales, 32 de polinomios, 31 ideal homogéneo, 25 irrelevante, 27 intersección completa, 45 conjuntista, 45 intersección local completa, 22 isomorfismo de variedades, 49 Krull Hauptidealsatz, 20 lı́mite directo, 105 lı́nea afı́n, 3 proyectiva, 24 Laurent anillo de polinomios de, 10 localmente cerrado subconjunto, 52 mapeo birracional, 76 racional, 76 dominante, 76 morfismo de variedades, 48 dominante, 73 multigrado, 95 multiplicidad, 90 Índice alfabético normalización de una variedad afı́n, 74 Nullstellensatz afı́n, 6 homogéneo, 27 parametrización polinomial, 21 peso, 97 plano proyectivo, 24 polinomio Jacobiano, 61 polinomio numérico, 88 producto de variedades afines, 68 punto al infinito, 23, 24 resolución libre finita graduada, véase GFFR Segre inmersión de, 39 sistema dirigido, 104 subconjunto abierto principal, 79 subvariedad, 52 sucesión regular, 102 superficie, 7 reglada, 40 Topologı́a de Zariski de una variedad afı́n, 2 de una variedad proyectiva, 27 topologia cofinita, 3 producto, 3 transformación cuadrática, 77 transformación estricta, 85 variedad, 48 afı́n, 4 cuasi-afı́n, 4 cuasi-proyectiva, 27 determinantal, 39 lineal, 43 normal, 72 proyectiva, 27 verificación de paridad, 97 Veronese inmersión de, 36 112 Bibliografı́a [AM69] M. 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