El primer principio de la mecánica euleriana. Organización del

El primer principio de la mecánica euleriana.
Organización del mundo sensible, cuantificación
de las fuerzas y estructura del medio
The first principle of the eulerian mechanics.
Organizing the sensible world, the quantification of forces and the medium’s structure
Ángel Enrique Romero Chacón
Facultad de Educación - Universidad de Antioquia
Medellín, Colombia
[email protected]
Resumen
La perspectiva de L. Euler en mecánica posibilita la cuantificación y reproducción de las
fuerzas. En el artículo se resalta, en particular, el papel que juega el fenómeno de la caída
de los cuerpos y su causa —la gravedad— en el establecimiento de las relaciones espacio-temporales que permiten identificar a cualquier otra causa como fuerza. Se muestra en este análisis la construcción de la conocida relación Mddx = Pdt2 erigida por Euler
como el principio fundamental de la mecánica, resaltándose el carácter espacial de su
enunciación. En la segunda parte del artículo se muestra la forma en que el concepto de
deformación le permite a Euler dar cuenta de las interacciones en un espacio lleno (medio
continuo) a través de la diferenciación y cuantificación de dos clases de fuerzas surgidas
en toda interacción: una absoluta, que da cuenta de la intensidad del cambio espacial del
movimiento, y otra relativa —llamada también esfuerzo— que da cuenta del cambio total
en el estado espacial del movimiento. Se presenta cómo el análisis del movimiento de un
cuerpo en un medio determinado permite dar cuenta de la estructura mecánica de dicho
medio, a través de la cuantificación de la mencionada fuerza relativa.
Abstract
The eulerian point of view in mechanic makes possible the quantification of the force.
In the paper it is emphasized mainly the role that plays the phenomenon of the fall
of bodies and its cause - the gravity- in the establishment of the space-time relations
that allow to identify to any other cause like force. In this conceptual frame is placed
the well-known relation Mddx = Pdt2 asumed by Euler as the fundamental principle
of the mechanics, emphasizing the spacial character of its enunciation. In the second
part of the paper it is shown the way that the deformation concept allows Euler to
give account the interactions in a plenty space (a continuum medium) through the
differentiation and quantification of two classes of forces involved in any interaction:
one, absolute, refered to the intensity of the space change of the movement and other,
relative, - also called effort that gives account of the total change in the space state
of the movement. It is shown how the analysis of the movement of any body in a
medium allows to give account of the mechanical.
Julio 14 de 2012 * Octubre 30 de 2012
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Palabras Clave
Caída de los cuerpos, gravedad, medio continuo,
fuerza relativa, esfuerzos, deformaciones,
mecánica de Euler.
Key Words
Free fall, gravity, continuous medium, relative
force, efforts, deformations, Euler’s mechanics.
Ángel Enrique Romero Chacón
Profesor de la Facultad de Educación de la Universidad de
Antioquia, Ph D.en Epistemología e Historia de las Ciencias
y las Técnicas de la Universidad de París VII (París, Francia),
Licenciado con en física y Magister en Docencia de la física
de la Universidad Pedagógica Nacional de Bogotá.
Coordinador del grupo de investigación Estudios Culturales sobre
las Cienciasy su Enseñanza-ECCE. Actualmente coordinador del
programa de Maestría en Educación en Ciencias Naturales de la
Universidad de Antioquia.Coordinador del grupo de investigación
Estudios Culturales sobre las Cienciasy su Enseñanza-ECCE.
Actualmente coordinador del programa de Maestría en
Educación en Ciencias Naturales de la Universidad de Antioquia.
Este artículo hace parte de los resultados de la investigación La
experimentación y el desarrollo del pensamiento físico. Un análisis
histórico y epistemológico con fines didácticos, adelantada por el
grupo de investigación Estudios Culturales sobre las Ciencias
y su Enseñanza -ECCE- entre 2009 y 2011, con el auspicio de la
Universidad de Antioquia (Medellín, Colombia).
El primer principio de la mecánica
euleriana
La memoria de 1750 publicada en 1752, Decouverte d’un
nouveau principe de mecanique, es donde Euler enuncia y
explica el principio que, según él, es considerado como
general y fundamental de toda la mecánica.1 El siguiente
fragmento de su exposición permite destacar tres aspectos que serán abordados y desarrollados a continuación:
la generalidad del principio, el tratamiento espacial de su
formulación y su relación con la deformación.
Sea un cuerpo infinitamente pequeño o [uno] en el cual toda la
masa este reunida en un solo punto, siendo esta masa = M, que
haya recibido un movimiento cualquiera y que sea actuado por
fuerzas cualesquiera. Para determinar el movimiento de este cuerpo, no se puede tener en cuenta más que la distancia de este
cuerpo de un plano cualquiera fijo e inmóvil; sea en el instante
presente la distancia del cuerpo a este plano = x; se descomponen todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en las direcciones que son paralelas o perpendiculares al plano y sea P
la fuerza que resulta de esta [des]composición en la dirección
perpendicular al plano y que tratará por consiguiente de alejar o
de acercar al cuerpo al plano. Luego de un elemento de tiempo
dt, sea x + dx la distancia del cuerpo al plano y tomando este
elemento dt por constante, se tiene que: Mddx = Pdt² según
que la fuerza P tienda o a alejar o a acercar el cuerpo al plano.
Y es esta sola fórmula la que contiene todos los principios de
la mecánica. Para comprender mejor la fuerza de esta fórmula, es necesario explicar a cuáles unidades se refieren las
diversas cantidades M, P, x y t que allí se encuentran. Así, M
designa la masa del cuerpo y expresa al mismo tiempo el peso
que éste cuerpo tiene alrededor de la superficie de la tierra; la
fuerza P está también reducida a la de un peso de modo que
las letras M y P contienen cantidades homogéneas. Entre tanto
la velocidad del cuerpo con la cual se aleja del plano es como
dx / dt; si suponemos que esta velocidad es igual a la que un
cuerpo grave adquiere en la caída de la altura ν, es necesario
tomar (dx / dt)² = ν y el elemento de tiempo será dt = dx ⁄ √ν;
de donde se conoce la relación entre el tiempo t y el espacio
x. Como esta fórmula [2Mddx=Pdt²] no determina más que la
distancia o la aproximación del cuerpo con respecto a un plano
1. Es importante aclarar que el título de la memoria no hace referencia
al principio en cuestión sino a la “deducción” de un nuevo principio a
partir de este: “Aunque los principios que actúan aquí sean nuevos,
en tanto que aún no son conocidos o aplicados por los autores que
trataron la mecánica, se comprende sin embargo que el fundamento
de estos principios no va a ser nuevo, sino que es absolutamente necesario que estos principios sean deducidos de los primeros principios, o
mejor dicho de axiomas, sobre los que toda la doctrina del movimiento se estableció” (Euler, Leonhard. Decouverte d'un nouveau principe de
mecanique. Opera Omnia, p. 88).
fijo cualquiera, para encontrar el verdadero lugar del cuerpo en
cada instante, no habrá más que relacionar al mismo tiempo
los tres planos fijos, que son perpendiculares entre ellos. Luego,
como x designa la distancia del cuerpo a uno de estos planos,
sea y y z sus distancias a los otros dos planos, y después se
descomponen todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo,
siguiendo las direcciones perpendiculares a estos tres planos,
sea P la fuerza perpendicular la que resulta sobre el primero, Q
sobre el segundo y R sobre el tercero. Supongamos que todas
estas fuerzas tienden a alejar al cuerpo de estos tres planos;
porque en caso que ellas tiendan a acercarlo, no habrá más
que volver las fuerzas negativas. Sea puesto, el movimiento del
cuerpo estará contenido en las tres fórmulas siguientes:
I. Mddx = Pdt 2
II. Mddy = Qdt 2
III. Mddz = Rdt 2
(Euler, L. 1752, p. 89)
Es importante notar la importancia asignada por Euler a
esta relación, al darle una significación conceptual que
deja ver su intención de analizar y organizar los fenómenos percibidos del mundo natural. En este sentido, es pertinente resaltar que esta característica de la perspectiva
euleriana no se corresponde con las intenciones y características de la perspectiva newtoniana: mientras que la teoría newtoniana puede considerarse como una teoría válida
únicamente en un mundo ideal, con independencia de lo
sensible en el sentido que en él han de verificarse ciertas
relaciones y proposiciones, siempre y cuando se deduzcan
lógicamente de otras proposiciones asumidas como axiomas; en la perspectiva euleriana la pregunta por lo sensible
está presente en toda la estructuración de su cosmovisión.
Además, tal relación es erigida como el principio fundamental de toda la mecánica y de las otras ciencias que tratan
del movimiento de cuerpos cualesquiera: todos los otros
principios, tanto conocidos como los que se tenga necesidad de desarrollar, que sirven para determinar los movimientos de los cuerpos sólidos así como los de los fluidos,
no son más que principios derivados de este, en cuanto que
ellos son deducidos de él según las diversas maneras como
están compuestos los elementos de los cuerpos en consideración y según la diversidad de los movimientos que
tales cuerpos y sus partes sean susceptibles de tener. Es así
como para Euler estas ecuaciones se aplican no solo a un
cuerpo sino a todos los sistemas mecánicos discretos —en
cuyo caso se puede sumar sobre las masas— y continuos
—donde M y F deben ser tomadas como diferenciales dM y
dF y la integración extendida sobre todo el sistema o sobre
el subsistema que se quiera considerar—.
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En la cosmovisión euleriana existe, pues, una unidad en
la forma de comprender y abordar el análisis de los sistemas mecánicos, ya sean estos sistemas discretos de
masas puntuales, cuerpos rígidos, cuerpos flexibles o
elásticos y aun fluidos y medios continuos. El hecho de
que Euler considere que todo sistema se comporta de la
misma forma y presenta las mismas características que
una parte cualquiera de él, resalta en su cosmovisión una
perspectiva continuista2 de los sistemas, en donde la parte
presenta las mismas propiedades del todo. Hecho que
además fortalece la hipótesis de que la concepción euleriana de la mecánica es la propia de los medios continuos.
La memoria de 1750
publicada en 1752,
Decouverte d'un nouveau
principe de mecanique, es
donde Euler enuncia y explica
el principio que, según él, es
considerado como general
y fundamental de toda la
mecánica.
La concepción de fuerza aceleratriz que Euler reflejara
en su Mechanica de 1736, como intensidad de cambio de
magnitud de la velocidad en el tiempo, es en su Decouverte
d’un nouveau principe de mecanique de 1752 analizada a partir de relaciones espaciales. Si bien la fuerza sigue viéndose a través de sus efectos en el tiempo, los elementos
de tiempo mismos son definidos en relación con los elementos de espacio recorridos. El segundo párrafo de la
cita anterior refleja mucho del análisis y concepción euleriana de los fenómenos en general y del movimiento en
particular; vale la pena, por ello, mostrar en detalle algunos aspectos de este análisis implícitos en dicho párrafo.
Por una parte, Euler hace uso de un concepto empleado
igualmente en su Mechanica y al parecer bastante común
ya en la época: el de velocidad instantánea. La velocidad
es aquí concebida como aquella magnitud que da respuesta al problema de encontrar, para incrementos de
tiempo dt dados y asumidos como constantes, los correspondientes incrementos de espacio dx en cualquier clase
de movimiento: dx = vdt. La relación dx/dt = v es, entonces, identificada como la forma particular en que se relacionan los incrementos de espacio respecto a los incre-
2. Véase Romero, A., 1996a, pp. 11-15.
mentos de tiempo correspondientes.3 Esta concepción
de velocidad como cociente diferencial del espacio respecto al tiempo permite establecer una relación entre las
dos formas alternativas de analizar el movimiento de los
cuerpos: la espacial y la temporal.
El movimiento de caída de los cuerpos, por ejemplo,
puede analizarse desde dos perspectivas: Una temporal, donde se asume que los estados de movimiento que
adquiere el cuerpo a través de su caída son proporcionales al tiempo mismo de caída; en este caso, tales estados son representados por intensidades temporales del
movimiento: v ∝ t. Otra espacial, donde se considera que
los estados que adquiere el cuerpo a través de su caída
son proporcionales a la distancia recorrida por el cuerpo;
tales estados son representados en este caso como
intensidades espaciales del movimiento: v2 ∝ h.
Euler establece una correspondencia entre las dos perspectivas haciendo uso inicialmente de una experiencia
sensible ya organizada y expresada a través de la relación galileana que establece una proporcionalidad entre
la altura de caída h y el cuadrado del tiempo t gastado
en recorrerla: h ∝ t². Estas proporciones son, de hecho,
muy importantes pues relacionan los estados de movimiento espaciales ϑ alcanzados por el cuerpo en su caída
con los correspondientes estados temporales v. No obstante, Euler va mucho más allá al asumir que dado que la
fuerza de gravedad es la causa de la caída y por la que se
dan estas relaciones, cualquier otra causa que reproduzca
tales relaciones será igualmente concebida como fuerza.
En este punto es importante resaltar un aspecto característico del análisis de Euler: a partir de un fenómeno específico considerado como prototipo analiza y construye
otros fenómenos análogos. En este caso, tal fenómeno
particular que se toma como referente es el movimiento
de caída de los cuerpos cuya causa, la fuerza de gravedad, es igualmente asumida como prototipo de las causas de los cambios de estado de los cuerpos: cualquier
otra causa que se comporte como la gravedad, en el sentido que produzca relaciones espacio-temporales similares en el cuerpo sobre el que actúa, es considerada igualmente como fuerza.
3. Es importante señalar que esta no es la única forma de concebir tal
concepto, pues si bien para Galileo, por ejemplo, la velocidad es una
magnitud intensiva que puede variar continuamente no la identifica
como una relación entre el espacio y el tiempo sino que es una magnitud completamente diferente a estos y, dada la forma de razonamiento
geométrico, solo es posible establecer proporciones entre magnitudes
homogéneas, aunque tales razones se pueden comparar y componer:
v1/v2 = (x1/x2)(t2/t1). Para un análisis más detallado al respecto ver Malagón, Francisco, “Relación física y matemáticas en Galileo”, tesis de grado,
Universidad Pedagógica Nacional, Departamento de Física, Programa
de Maestría en Docencia de la Física, Bogotá, 1988.
¿Cómo asegurar, entonces, que la causa de un cierto cambio de estado del movimiento de un cuerpo, en una dirección determinada, se comporta de la misma forma que la
gravedad para el caso de la caída? Es necesario para ello
hacer corresponder la forma como se relacionan los espacios y los tiempos en la caída de los cuerpos con los espacios y tiempos en otros movimientos. En otras palabras,
dado que se conoce la forma o proporción como se relacionan los incrementos de espacio y los incrementos de
tiempo en el caso de la caída —fenómeno tomado como
referente—, se requiere encontrar para un movimiento
cualquiera cómo deben ser los elementos de tiempo dt
que corresponden a elementos de espacio dx, asumidos
como constantes, para que se conserven las mismas relaciones que en el caso de la caída de los cuerpos. De esta
forma, como en la caída de los cuerpos los cuadrados de
los tiempos de caída son como las alturas recorridas en
esos tiempos, t² ∝ h, entonces las variaciones en la altura
dh serán como: dh ∝ tdt ∝ √hdt, donde la relación entre
los incrementos de espacio y los incrementos de tiempo,
obviando las constantes, es dh/dt ∝ √h.
Euler relaciona los análisis espacial y temporal del movimiento con la experiencia sensible organizada a través de
las relaciones galileanas, haciendo uso del cociente diferencial del espacio respecto al tiempo como expresión
que da cuenta del estado temporal del movimiento v = dx/
dt. Esta expresión es precisamente la que permite establecer una relación entre ambos tipos de estados del movimiento, en el sentido en que establece la proporcionalidad entre el cuadrado de la magnitud que caracteriza el
estado temporal del movimiento y aquella que tipifica al
estado espacial correspondiente.
Para que un movimiento de acercamiento o alejamiento a
un plano fijo cualquiera, a lo largo de una dirección identificada como x, por ejemplo, reproduzca las mismas relaciones que se dan en el caso de la caída; o, en otras palabras, para que los cuadrados de los estados temporales
del movimiento correspondan a los estados espaciales, el
incremento de tiempo dt para un tal movimiento debe ser
dt ∝ dx/ √h.
Es decir, la consideración de la velocidad como el cociente
diferencial entre el espacio y el tiempo permite dar respuesta a la pregunta de encontrar, para un movimiento
de acercamiento a un plano fijo cualquiera, el tiempo dt
durante el cual el cuerpo, habiendo recorrido una distancia dx, adquiera el mismo estado de movimiento que
adquiriría cuando cae desde una altura h.
Aquí es claro que, si bien el tiempo es un elemento indispensable en el análisis del movimiento, la perspectiva euleriana enfoca el análisis específicamente desde el punto de
vista espacial: evidencia de ello es la pregunta implícita
planteada más arriba sobre los incrementos de tiempo
dt que deben reproducir las mismas relaciones que en la
caída, cuando los incrementos de espacio dx se asumen
como constantes. Por ello, adquiere relevancia la forma
como Euler define la velocidad con que un cuerpo se aleja
o acerca a un plano fijo (dx/dt); Euler la identifica con la
velocidad que adquiriría un cuerpo al caer una altura (h) y
haciendo uso de las relaciones para la caída de los cuerpos arriba mencionadas, el autor afirma que h = (dx/dt)².
Todos los otros principios,
tanto conocidos como los
que se tenga necesidad
de desarrollar, que
sirven para determinar
los movimientos de los
cuerpos sólidos así como
los de los fluidos, no
son más que principios
derivados de este.
Ahora bien, Euler concibe la expresión dx/dt como el
cociente diferencial del espacio respecto al tiempo, hecho
que conlleva a todas las implicaciones que corresponden
a esta clase de relaciones. En particular, la asignación
de diferencial constante para el tiempo es equivalente a
señalar al tiempo como una variable independiente en el
análisis del movimiento y al espacio recorrido x, por tanto,
como una variable dependiente de él; dándose de esta
forma importancia al concepto de función. Además, el
considerar al respectivo cociente diferencial como una
magnitud que da cuenta de la forma o proporción como
varían los incrementos de la variable dependiente cuando
los incrementos de la independiente se asumen como
constantes, es decir, cuando se asume que la variable
independiente varía en progresión aritmética, conlleva a
que tal magnitud se asuma como constante durante los
incrementos de la variable independiente. Esto implica,
para el caso del movimiento, que la velocidad v = dx/dt
se considere como constante durante el incremento de
tiempo dt en consideración.
Sin embargo, se sabe de la experiencia que los cambios
de estado que experimentan los cuerpos ocurren en
forma continua, es decir, la velocidad es, al igual que el
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espacio recorrido, una variable que depende del tiempo. ¿En
qué forma o proporción varía, entonces, la velocidad? ¿Cuáles
son las correspondientes variaciones del espacio en tal caso?
Para dar solución a estos interrogantes Euler hace uso, de
nuevo, tanto del movimiento de caída de los cuerpos cual
fenómeno referente, como de su tradición leibniziana del
cálculo. En este orden de ideas, si durante el intervalo de
tiempo dt un cuerpo se acerca, o aleja, a un plano fijo una
distancia dx, la relación dx/dt que expresa la velocidad
del cuerpo en cuestión es asumida, según se ha referido
antes, como constante durante tal intervalo de tiempo dt.
Sin embargo, durante ese mismo intervalo de tiempo, el
cuerpo, debido a la acción del poder P sobre él, experimentará un incremento en la velocidad, dv, que a su vez
engendrará un incremento de espacio. Denotando por
ddx el espacio recorrido en virtud del incremento de velocidad dv, se tiene entonces que, al igual que en el caso de
la caída de los cuerpos donde las alturas recorridas son
proporcionales a los cuadrados de los tiempos que duran
tales recorridos, los incrementos de espacio ddx son proporcionales a los cuadrados de los incrementos de tiempo
dt durante los cuales se realiza tal recorrido: ddx ∝ dt².
A partir de un fenómeno
específico considerado
como prototipo Euler
analiza y construye otros
fenómenos análogos. En
este caso, tal fenómeno
particular que se toma como
referente es el movimiento
de caída de los cuerpos
cuya causa, la fuerza de
gravedad, es igualmente
asumida como prototipo de
las causas de los cambios de
estado de los cuerpos
La expresión ddx = P(dt)², donde P es el poder aceleratriz,
implica entonces que hecha una correspondencia entre
las alturas de caída h y las distancias dx por las que un
cuerpo trata de acercarse a un plano fijo, el poder P que
causa tales cambios en el movimiento debe considerarse
como una fuerza de la misma clase que la gravedad.
Esta es una relación que, por otra parte, está en completo
acuerdo con el enfoque euleriano del cálculo basado en
la idea de coeficiente diferencial: si, por ejemplo, x y y son
variables, la relación entre sus diferenciales puede escribirse como dy = pdx, donde dx se toma como constante,
es decir, ddx = 0. De esto, la diferencial de orden superior
ddy que se obtiene es: ddy = dpdx + pddx = dpdx, donde p
es una variable, tal como lo es y; si la relación entre dp y dx
se expresa como dp = qdx, la diferencial de segundo orden
para y tomará la forma: ddy = q(dx)², donde p, q..., son los
sucesivos coeficientes diferenciales de y con respecto a x.4
Para el caso del movimiento q es el poder o fuerza aceleratriz.
Para contribuir más a la caracterización y significación
de este principio, es particularmente interesante recordar aquí la manera en que Euler lo utiliza en el análisis de
las dos interacciones asumidas como aquellas en donde
se producían los cambios de estado que ocurren en los
cuerpos: el choque entre cuerpos y las llamadas fuerzas
centrífugas. En los dos casos substituye el elemento de
tiempo dt por los diferenciales de los espacios recorridos.
En el caso del choque entre dos cuerpos el principio toma
la forma: Mvdv = Pdx y en el análisis de la fuerza centrípeta: M(dv²) = Pxdx.
Esta es otra forma de expresar la reproducción de las
relaciones que se dan en el caso de la caída de los cuerpos. Como en este fenómeno el cuadrado de la magnitud correspondiente al estado temporal del movimiento
—velocidad— es proporcional a la distancia recorrida v²
∝ x, sus diferenciales también se relacionarán proporcionalmente: dv² ∝ dx, por tanto cualquier otra causa que
reproduzca estas relaciones será igualmente considerada
como fuerza.
Baste con ello para notar que si bien Euler enuncia el principio fundamental de la mecánica asumiendo el tiempo
como variable independiente, en los casos particulares
donde lo utiliza reorganiza tal expresión en términos de
los incrementos de las velocidades y de los diferenciales
de los espacios recorridos, asumidos como constantes,
tomando la forma Mdv² = Pdz, hecho que pone de manifiesto el carácter espacial de su significación al dar relevancia a la magnitud Pdz, denominada por él mismo el
esfuerzo de las fuerzas actuantes.
Además, esta caracterización espacial tanto de los movimientos de los cuerpos como de las fuerzas que los producen trasciende la forma particular en que se concibe el
4. Ver a este respecto Grattan-Ginnes, Ivor. Convolutions in French Mathematics 1800-1840: from the Calculus and Mechanics to Mathematical
Analysis and Mathematical Physics. vol. I: The settings. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. en particular cap. 3 y 5.
principio y se lo aplica a casos de interacciones concretas, para ubicarse en la certeza misma de sus determinaciones: el hecho de que se identifique la posibilidad de
determinación del movimiento de un cuerpo, cuando es
actuado por fuerzas, con el establecimiento de la variación de la distancia de tal cuerpo a un plano fijo implica
que la determinación de las fuerzas no se puede hacer
más que teniendo en cuenta los efectos que ella produce;
efectos que en este caso son considerados y analizados
específicamente desde el punto de vista espacial.
Teoría euleriana de las fuerzas y su
relación con la estructura del medio
Como se ha mencionado anteriormente,5 desde la perspectiva euleriana la deformación de los cuerpos, entendida
como la variación de su volumen cuando el cuerpo es
compresible o la variación de su forma cuando es incompresible, es el hecho que evita que la penetración ocurra
cuando se está en el proceso de una interacción —por
ejemplo, un choque entre cuerpos—, pues mientras los
cuerpos se deforman, el uno no ocupa el lugar del otro;
si los cuerpos prosiguieran con el estado alcanzado en un
momento dado de esa interacción sin que hubiera posibilidad de que se deformaran, la penetración ocurriría.
Además, continuando con la suposición de que durante
el choque no hubiera posibilidad de que los cuerpos se
deformaran, la única posibilidad que existiría para evitar
la penetración de los cuerpos sería que sus cambios de
estado ocurrieran instantáneamente.
En este sentido, la deformación de los cuerpos se convierte en una condición necesaria para que los cambios
de estado de los cuerpos se den en forma continua. Tal
continuidad, por ende, no solo es temporal sino que
también es espacial: a un tiempo dt de la interacción le
corresponde una variación dz en la deformación de los
cuerpos que interactúan —un acercamiento de los centros de los cuerpos en el caso del choque de dos cuerpos—. También se convierte en un indicador del surgimiento, o no, de fuerzas para evitar la penetración: a
toda fuerza surgida de la impenetrabilidad de los cuerpos debe asociarse una deformación dz, hecho que pone
de manifiesto el carácter espacial de la fuerza euleriana.
Sin embargo, es posible diferenciar interacciones a las
que, para un mismo cambio de estado, se les asocian
5. Véase Romero, A. (1996b). La concepción euleriana de la fuerza en
Física y Cultura, Cuadernos sobre Historia y Enseñanza de las Ciencias,
Nº3, 1996, pp. 19-25.
deformaciones diferentes, muy posiblemente debido
a la constitución de los cuerpos que interactúan. A partir de estas consideraciones pueden distinguirse dos
magnitudes, una de carácter extensivo y otra de carácter
intensivo, que Euler identifica con los términos de fuerza
absoluta y fuerza relativa, respectivamente. La fuerza relativa, también llamada esfuerzo, es la fuerza desarrollada a
lo largo de una deformación dz que, por los análisis arriba
enunciados, es identificada con los cambios de estado de
movimiento que se dan en esa deformación dz. La fuerza
absoluta, F, por su parte, es aquella intensidad espacial de
la fuerza que permite diferenciar entre interacciones a las
que, para un mismo cambio de estado, se asocian diferentes deformaciones. Desde la perspectiva euleriana, no
es posible determinar tales fuerzas sin establecer su relación con la cantidad de deformación, y la expresión Fdz
—que Euler denomina el esfuerzo de las fuerzas actuantes
cuando la deformación incrementa de z a z + dz en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t + dt de la interacción— da cuenta de tal relación.
Algunas características de esta magnitud que introduce
Euler para dar cuenta de las fuerzas son:
•• El esfuerzo Fdz, al producirse una variación dz de la
deformación, es la diferencial de una magnitud aditiva de
una cantidad; así, es posible en principio determinar el
esfuerzo cuando la deformación varía de un valor z a un
valor z’ a través de la integral ∫Fdz evaluada entre z y z’.
•• Es la variación de la deformación el hecho que determina
esfuerzo. Si en la interacción efectuada durante un intervalo de tiempo cualquiera no hay una variación neta de la
deformación, el esfuerzo realizado es nulo, tal es el caso
de un choque completamente elástico.
•• El esfuerzo está directamente relacionado con la variación
del cuadrado de la velocidad (o con la variación de la suma
de los cuadrados de velocidad de los cuerpos intervinientes: Adv² + Bdu² = ∫Fdz) y por lo tanto con la variación de
la magnitud de la velocidad: a variaciones iguales del cuadrado de la velocidad le corresponden esfuerzos iguales.
Luego, en una interacción solo habrá cambios en la magnitud de la velocidad en la medida que se produzcan variaciones en la deformación.
Pero, si bien el choque sigue siendo el prototipo de las
interacciones por contacto, el choque entre dos cuerpos es, desde la perspectiva euleriana, donde el mundo
es concebido como un plenum de materia, una situación
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ideal y que en muy poco corresponde a los fenómenos e
interacciones observados en el mundo sensible. ¿Cómo
dar cuenta, entonces, de las interacciones y en particular
de la deformación en un espacio lleno?
Para este efecto, no se tiene más que considerar dos
aspectos relevantes de la cosmovisión euleriana. Por una
parte, en un medio lleno todo cuerpo que trate de preservar su estado de movimiento deberá necesariamente
encontrarse con otros cuerpos a los que trataría de
penetrar, desarrollándose así fuerzas que evitan en todo
momento tal penetración y que cambian continuamente
el estado de los cuerpos a la vez que los deforman. Por
otra parte, en un medio tal la única forma de diferenciar
los cuerpos involucrados en las interacciones es por la
intención del análisis que se vaya a realizar; es decir, un
cuerpo es una región del medio, finita o infinitesimal, cuyo
movimiento es analizado para dar cuenta de cómo una
región particular interactúa con el resto del medio, o en
otras palabras, para dar cuenta de la estructura de deformación del medio.
En este sentido, implícito a la deformación del medio
está el hecho de que el cuerpo en su movimiento tienda
a acercarse o a alejarse a un plano fijo determinado; la
cantidad ds, que expresa la magnitud del acercamiento,
dará también cuenta de la magnitud de la deformación
experimentada por el medio. Durante este recorrido el
cuerpo en cuestión trata de penetrar al resto del medio,
surgiendo las fuerzas necesarias para evitar tal penetración, la expresión Fdz da cuenta de la fuerza surgida en la
interacción al efectuarse el desplazamiento ds y producirse debido a este una variación de la deformación dz.
Por tanto, la variación de la deformación debida al desplazamiento ds realizado durante el tiempo dt depende de
que haya o no cambio en la magnitud de la velocidad. Así,
si en el desplazamiento ds que se efectúa no hay cambio
de esta, dicho desplazamiento no produce variación de la
deformación del medio, y, por consiguiente, un desplazamiento que se realice en la dirección perpendicular al primero generará el máximo cambio de la deformación del
medio en ese punto, siendo esta dirección la dirección de la
fuerza absoluta. Luego, el cambio de la deformación dz, que
un acercamiento ds al plano produce, depende de la dirección del desplazamiento con relación a la fuerza absoluta F:
es nulo si estas direcciones son perpendiculares y máxima
si son paralelas; de ahí que el esfuerzo Fdz debido al cambio de la deformación dz se pueda expresar como F • ds =
Fcosθds, donde θ es el ángulo formado por las direcciones
de la fuerza y del desplazamiento y dscosθ = dz.
Puede decirse, entonces, que dada la estrecha relación
entre el movimiento de un cuerpo y la deformación del
medio donde se realiza tal movimiento, la forma como se
dé el movimiento de un cuerpo en un determinado medio
refleja la estructura misma del medio, estructura que vendría a estar caracterizada por la deformación y sus variaciones. Si, por ejemplo, el movimiento de un cuerpo en un
medio dado es uniforme en cualquier dirección, el medio se
identifica como homogéneo. En este caso, por consiguiente,
se tendrá que F • ds = 0 en cualquier dirección.
En el análisis de la estructura del medio a través del movimiento, la expresión P • ds = 0 cobra especial relevancia
pues permite encontrar aquellas superficies sobre las
cuales el movimiento de cualquier cuerpo no requeriría
gasto de esfuerzo, en otras palabras, permitiría encontrar las superficies de equiesfuerzo. Pero, la expresión
Pds = 0 no solo permite encontrar las superficies de igual
esfuerzo en un medio dado sino que igualmente posibilita el determinar aquellas direcciones o trayectorias a lo
largo de las cuales ocurre la máxima variación de la deformación y por lo tanto el máximo esfuerzo6.
Por otra parte, si en la determinación de las deformaciones únicamente se consideran los desplazamientos de
los cuerpos respecto a planos móviles y en todo punto
perpendiculares a las trayectorias de equiesfuerzo —lo
que equivale a considerar los desplazamientos de los
cuerpos sobre las mismas trayectorias descritas—, no
habría forma de diferenciar un medio deformado del
medio considerado como homogéneo ya que en ambos
casos se tiene que P • ds = 0. Las consideraciones precedentes conducen a evidenciar adicionalmente un aspecto
relevante de la perspectiva euleriana de la mecánica que
permiten superar esta incertidumbre: el enfoque analítico (de descomposición-composición).
Para este efecto, Euler determina el acercamiento —
deformación— respecto a tres planos fijos perpendiculares entre sí, es decir, independiza el análisis del movimiento de los cuerpos de sus trayectorias para, de este
modo, ubicarlo como referido al espacio mismo. Ahora
bien, el espacio es asumido como completamente determinado a partir de tres planos fijos perpendiculares entre
6. Como durante el movimiento, el cuerpo en consideración trata de
penetrar el medio, han de surgir fuerzas de una tal magnitud y que
hagan desplazar al cuerpo en una tal dirección que se evite la penetración lo más rápidamente posible, y es claro, como afirma Euler, que
esta dirección sea perpendicular al plano de contacto; por tanto, las
direcciones según la cuales ocurre la máxima variación del esfuerzo
son en todo punto perpendiculares a las superficies de equiesfuerzo.
sí. Es por ello que, luego de la explicación del principio,
Euler hace notar:
Como esta fórmula no determina más que la distancia o la
aproximación del cuerpo con respecto a un plano fijo cualquiera, para encontrar el verdadero lugar del cuerpo en cada instante, no habrá más que relacionar al mismo tiempo los tres
planos fijos, que son perpendiculares entre ellos. Luego, como
x designa la distancia del cuerpo a uno de estos planos, sea y y
z sus distancias a los otros dos planos, y después se descomponen todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, siguiendo
las direcciones perpendiculares a estos tres planos, sea P la
fuerza perpendicular la que resulta sobre el primero, Q sobre
el segundo y R sobre el tercero. Supongamos que todas estas
fuerzas tienden a alejar al cuerpo de estos tres planos; porque
en caso [de] que ellas tiendan a acercarlo, no habrá más que
volver las fuerzas negativas. Sea puesto, el movimiento del cuerpo estará contenido en las tres fórmulas siguientes:
I. Mddx = Pdt 2
II. Mddy = Qdt 2
III. Mddz = Rdt 2
(Euler, L., 1752, pp. 89-90)
El hecho de que para el movimiento de un cuerpo
en un medio determinado se satisfaga que
Pxdx + Pydy + Pzdz = 0, es decir, que las trayectorias s(x, y,
z) sea tal que a lo largo de ellas no se produzca variaciones de la deformación, implica dos posibilidades:
•• Que en el acercamiento a cada uno de los tres planos
fijos, considerados para analizar la estructura del medio,
no se dan variaciones en la deformación en cuyo caso
Pxdx = Pydy = Pzdz = 0.
•• Que en el acercamiento a cada uno de tales planos haya
variaciones en la deformación pero de una forma tal que
se da una compensación entre dichas variaciones.
h
h
h
Expresiones que en la forma como Euler las utiliza y conceptualiza quedan:
I. dvx 2 = Px dx
II. dvy 2 = Py dy
III. dvz 2 = Pz dz
donde Px, Py y Pz designan las fuerzas aceleratrices según
las direcciones x, y y z. Y es con estas relaciones como
queda completamente determinado el movimiento de
cualquier cuerpo.7
Teniendo en cuenta el acercamiento a los tres planos fijos, el
esfuerzo Pdz = P • ds que da cuenta de las fuerzas generadas
al producirse una variación dz de la deformación del medio
toma la forma: Pxdx + Pydy + Pzdz. Y es esta expresión la que
permite, en primer lugar, diferenciar cuando un medio es
deformado y cuando se puede asumir como homogéneo, y,
en segundo lugar, determinar la estructura del medio deformado mediante la solución de la ecuación diferencial:
Pxdx + Pydy + Pzdz = 0
7. En este cambio de forma del principio fundamental de la mecánica
es conveniente notar que si bien en la descripción espacial lo que interesa es el cambio de la deformación en la descripción temporal lo que
resulta relevante es cómo se efectúan tales cambios de deformación
en el tiempo; de ahí que se consideren los cambios en el tiempo de los
acercamientos dx, dy y dz a los planos de referencia y aparezcan las
expresiones ddx, ddy y ddz.
Figura 1. Superficie equiesfuerzo para un medio caracterizado
por una fuerza vertical constante.
El primero de estos casos es el que corresponde a un
medio homogéneo y el segundo a un medio “forzado”
cuya estructura queda explicitada a través de la familia
de superficies equiesfuerzo solución de la ecuación diferencial: Pxdx + Pydy + Pzdz = 0 y del conjunto de trayectorias ortogonales a estas. Por ejemplo, para el caso de una
fuerza constante con dirección vertical se tendrán planos
paralelos horizontales igualmente espaciados caso de la
fuerza de gravedad, (véase figura 1); y para el caso de una
fuerza centrípeta las superficies equiesfuerzo serán esferas concéntricas (figura 2).
De esta manera podemos concluir que, desde la perspectiva euleriana, del movimiento de un cuerpo —de una
región del medio— es posible determinar la estructura de
deformación del medio haciendo uso del principio fundamental de la mecánica en su forma espacial; y, viceversa,
de la estructura del medio es posible determinar el movimiento del cuerpo.
Ángel Enrique Romero Chacón / El primer principio de la mecánica euleriana. Organización del mundo sensible, cuantificación de las fuerzas y estructura del medio / P.P. 53-62
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Física y Cultura: Cuadernos sobre Historia y enseñanza de las ciencias - No. 8 , 2014 / ISSN 1313-2143 / Análisis Histórico-Críticos
Figura 2. Superficie equiesfuerzo para el caso de una fuerza
centrípeta.
Referencias
Euler, L. (1752). Decouverte d’un nouveau principe de
mecanique. Mémoires de l’académie des sciences
de Berlin 6, (1750) 1752, pp. 185-217. También en
Opera Omnia II, 5, Commentationes mechanicae,
pp. 81-109. [ Links ].
Grattan-Ginnes, I. (1990). Convolutions in french
mathematics 1800-1840: from the calculus
and mechanics to mathematical analysis and
mathematical physics [vol. I: The Settings]. Basilea:
Birkhäuser Verlag.
Romero, A. ª(1996a). La mecánica de Euler ¿una mecánica
del continuo? Física y Cultura, Cuadernos sobre
Historia y Enseñanza de las Ciencias, 3, 11-15.
Romero, A. (1996b) La concepción euleriana de la
fuerza. Física y Cultura, Cuadernos sobre Historia y
Enseñanza de las Ciencias, 3, 19-25.