De donde

Definira una inecuacion de segundo grado con una incognita
Una ecuación de segundo grado es aquella en la cual la incógnita (generalmente
simbolizada por x ) aparece elevada a la segunda potencia.
En general, puede simbolizarse como
donde
representa al coeficiente del término cuadrático, y nunca puede ser
, pero
sí puede ser igual a cualquier otro número real.
es el coeficiente del término lineal, es decir aquel en que
a la primera potencia. Puede o no ser igual a
aparece elevada
.Y
es el término independiente, pues es el coeficiente del término donde
aparece elevada a la potencia
Según los valores de
1.Completas, cuando
,
y
y
, o sea,
no aparece porque
.
, las ecuaciones de segundo grado se clasifican en
son distintas de
.
2.Incompletas, cuando
2.1
, o sea, no contiene término lineal, o bien cuando 2.2
existe término independiente.
Veamos 2.1. La forma general sería
En este caso, la resolución es fácil:
de donde
es decir, no
Por lo tanto
y
Por ejemplo:
se resuelve así:
de
, es
,y
Por lo tanto,
2.2 Si
y
, es
En este caso, para resolver, extraemos el factor común, y nos queda:
Que es lo mismo que
y este producto dará
(porque el primer factor será
producto
,
, y multiplicado por lo que sea que valga el otro, dará
), o bien si
(ya que
Por ejemplo,
sólo si
).
se puede pensar como:
o sea
, que tendrá
como raíces
y
Volviendo al caso general, si
, se dice que las ecuaciones son Reducidas.
Veamos cómo se resuelve una de estas joyitas cuando
,y
y
son distintas de
.
Su forma sería:
Pensémoslo en un ejemplo:
.
Si hacemos un conveniente pasaje de miembro ( el viejo truco ),
nos queda
[1]
Si observamos el primer miembro, vemos que podría corresponder a los dos primeros
términos de un trinomio cuadrado perfecto ( o sea, el cuadrado de un binomio),
donde:
es el cuadrado del primer término del binomio,
sería el doble producto del primero por el segundo, pero nos
faltaría el cuadrado del segundo.
Ahora bien, si
es el primer término del binomio,
sería el producto de
(doble
producto, dijimos) por el segundo.
Si llamamos
al segundo, donde
implica que
. Y el binomio sería
Entonces, apelando al otro viejo truco: "sumo y resto lo mismo y no altero la suma",
puedo escribir
(porque
)
Y, asociando convenientemente, queda:
o sea,
Entonces, reemplazando en [1], queda
y, resolviendo, será
y
o sea
de donde
y
Generalizando lo anterior, se ve que este mismo proceder es aplicable a cualquier
ecuación general de 2º grado con una incógnita. O sea, si:
será
Y si utilizamos el recurso del trinomio cuadrado perfecto, veremos que
Entonces, es
y, si sumamos y restamos
en ambos miembros (nuestro
querido y viejo truco), será
Luego, antes de caer en el colpaso cerebral, hacemos el conveniente pasaje de
miembro y el factoreo del trinomio, y nos quedará
De donde,
y
.
;
;
;
;
que es lo mismo que
. Pero como
,
esto es lo mismo que
Y si aún queda alguien que desconfíe de este razonamiento, veamos si, aplicando esta
fórmula en la ecuación anterior, llegamos a las mismas raíces. (Atención: un ejemplo
no es una demostración válida, pero si el ejemplo no coincide con la conclusión, vale
para demostrar la no validez de la misma.)
Recordemos que era:
;
;
entonces
de donde
,
pero
, entonces
o sea
entonces
( que coincide con una de las que hallamos antes)
y
entonces
(y que también coincide con la otra que hallamos)
2).- .-¿la solucion de una inecuacion son numeros o intervalos ?
Un problema común en la enseñanza matemática, secundaria y universitaria, es el de
resolver inecuaciones racionales. Esto se refiere a inecuaciones en las que cada término es
una fracción racional, o cociente de polinomios. Un ejemplo de ellas es la inecuación
con incógnita
.
El proceso de solución es, en general, tedioso. A grandes rasgos, se necesita convertir la
inecuación a la forma
donde
desigualdad podría ser también
y
,
es una fracción racional (la
o
), luego encontrar los ceros de los polinomios
(los ceros de un polinomio son los valores de la variable que hacen que el
polinomio valga cero; por ejemplo, los ceros de
son
y
), y finalmente
determinar el signo de
en cada intervalo entre dos ceros consecutivos así como a la
izquierda del primero y a la derecha del último cero. Hecho a mano, este proceso es
laborioso y propenso a errores.
En esta nueva serie presentaremos un programa de computadora para resolver inecuaciones
racionales.
Un ejemplo
En el ejemplo recién propuesto, empezamos por recoger todos los términos a la izquierda
de la desigualdad:
para entonces simplificar el lado izquierdo:
Luego de este paso procedemos a factorizar el numerador y el denominador:
Nuestro numerador no está completamente factorizado, ya que el segundo factor puede
descomponerse como
Pero como ninguno de esos nuevos factores aporta ceros, no obtenemos ninguna utilidad al
factorizar el segundo paréntesis en el numerador. Otra manera de decir eso es que el factor
por no tener ceros, no cambia de signo en
más.
y entonces no es necesario descomponerlo
Ahora vemos que los ceros del numerador y del denominador son
, ,
y , en
orden de tamaño. El siguiente paso será determinar el signo de la fracción en cada uno de
los intervalos
,
,
,
y
. Para eso hay varios
métodos, de los que los más usuales son el mapa de signos y la tabla de signos.